Buku Ajar Dinamika Ir. Sugeng p. Budio

DINAMIKA STRUKTUR i

DINAMIKA STRUKTUR i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya

sehingga kami dapat menyelesaikan Buku Ajar Mata Kuliah Dinamika Struktur

ini. Buku ajar ini merupakan bagian dari media bahan ajar yang dimaksudkan

untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi perkuliahan yang

disampaikan, khususnya mata kuliah Dinamika Struktur, Jurusan Teknik Sipil,

Fakultas Teknik, Universitas Brawijaya, Malang.

Buku ajar ini disusun dalam enam bab. Bab I memperkenalkan konsep-

konsep dasar mengenai dinamika struktur, respon struktur terhadap beban

dinamik, analisa dinamis pada struktur, serta derajat kebebasan. Bab II membahas

sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) yang meliputi pemodelan parameter,

pemodelan matematis, free body diagram, dan persamaan gerak dari suatu

struktur. Getaran bebas sistem SDOF untuk kondisi tak teredam dan teredam

dibahas pada bab III. Selain itu juga dijelaskan mengenai eksperimen penentuan

frekuensi alami dasar dan faktor damping, serta getaran bebas dengan coulomb

damping dari sebuah sistem SDOF. Sistem SDOF terhadap gerak harmonis untuk

sistem tak teredam dan sistem dengan redaman viskous dijelaskan pada bab IV.

Bab V membahas respon sistem SDOF terhadap bentuk spasial dari eksitasi,

meliputi respon sistem redaman viskous untuk step input ideal, respon sistem tak

teredam pada rectangular pulse dan pembebanan ram, serta impuls dengan durasi

pendek, unit respon impuls. Bab VI dibahas tentang respon sistem SDOF pada

eksitasi dinamis dengan metode integral duhamel. Akhirnya, pada bab VIII dan IX

membahas mengenai sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF).

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan buku ajar ini masih terdapat

banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami

harapkan. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat kepada siapapun yang

ingin mengkaji dinamika struktur.

Hormat kami,

Penyusun

DINAMIKA STRUKTUR ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................. i

DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

1.1 Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur ........................................................ 1

1.2 Analisa Dinamis pada Struktur ............................................................................ 2

1.3 Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) .......................................................... 4

BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL (SDOF) ............... 6

2.1 Pemodelan Parameter ......................................................................................... 6

2.2 Pemodelan Matematis ........................................................................................ 7

2.3 Free Body Diagram .............................................................................................. 9

2.4 Persamaan Gerak (Equation of Motion) ............................................................ 10

2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter........... 10

2.4.2 Prinsip DAlembert .......................................................................................... 12

2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped) ............................. 15

2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped) .................................................. 20

BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF .................................................... 21

3.1 Pendahuluan ...................................................................................................... 21

3.2 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped) .......................... 22

3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped) ..................................... 23

3.4 Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari

sebuah sistem SDOF .......................................................................................... 26

3.5 Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping ............... 32

BAB IV RESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK HARMONIS ........... 35

4.1 Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis .................... 35

4.2 Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis ............. 39

BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari Eksitasi ............... 44

5.1 Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah Step Input

yang Ideal........................................................................................................... 44

5.2 Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada Rectangular

Pulse dan Pembebanan Ram ............................................................................. 45

DINAMIKA STRUKTUR iii

5.3 Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi Pendek,

Unit Respon Impuls ........................................................................................... 49

BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis ....................................... 53

6.1 Metode Integral Duhamel ................................................................................. 53

BAB VII Respons Spektrum ................................................................................. 62

7.1 Bentuk Respons Spektrum ................................................................................ 62

7.2 Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak .............................................. 65

7.3 Besaran- Besaran Respons Spektrum ................................................................ 66

7.4 Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis ................................................. 68

BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK (MDOF) ..... 70

8.1 Sistem MDOF Sederhana ................................................................................... 70

8.2 Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF ....................................................... 70

8.3 Prinsip DAlemberts pada Sistem MDOF .......................................................... 71

8.4 Sistem Massa Pegas Redaman ..................................................................... 72

8.5 Koefisien Kekakuan ............................................................................................ 74

BAB IX GETARAN BEBAS UNTUK SISTEM MDOF ................................... 77

9.1 Sistem MDOF Tak Teredam ............................................................................... 77

9.2 Frekuensi Natural dan Pola Normal .................................................................. 78

9.3 Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal ................................................................. 79

9.4 Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam ............................ 83

9.5 Respon Pada Gedung Akibat Gempa ................................................................. 84

DINAMIKA STRUKTUR 1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur

Secara sederhana dinamik dapat diartikan sebagai variasi atau perubahan

terhadap waktu dalam konteks gaya yang bekerja (eksitasi) pada struktur. Beban

dinamis dapat berupa variasi besarannya (magnitude), arahnya (direction) atau

posisinya (point of application) berubah terhadap waktu. Demikian pula respons

struktur terhadap beban dinamik, yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan

juga perubahan-waktu, atau bersifat dinamik.

Gambar 1.1. Balok kantilever dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis.

Pada gambar diatas terlihat balok kantilever dengan dua jenis pembebanan

berbeda yaitu beban statis dan dinamis.

a. gambar 1.1 (a) menunjukan balok kantilever dengan beban statis, responnya

dipengaruhi oleh beban P.

b. gambar 1.1 (b) menunjukan balok kantilever dengan beban dinamis atau

beban yang bervariasi terhadap waktu P(t).

Lendutan dan tegangan internal yang timbul dalam kasus beban statis hanya

ditimbulkan langsung oleh beban P, sedangkan dalam kasus beban dinamis,

percepatan yang dialami oleh balok akibat P(t) menimbulkan gaya inersia yang

terdistribusi pada seluruh bagian balok. Lendutan dan tegangan pada balok sangat

dipengaruhi pula oleh gaya inersia yang ditimbulkan oleh massa balok ketika

mengalami percepatan. Jika pengaruh gaya inersia yang terjadi sangat signifikan,

maka perlu dilakukan analisa dinamis. Perbedaan respon untuk beban statis dan

dinamis juga dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut.

(a) (b)

DINAMIKA STRUKTUR 2

P(t)P

Gambar 1.2. Balok dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis

1.2 Analisa Dinamis pada Struktur

Dapat dikatakan bahwa langkah yang paling diperlukan dalam sebuah

analisa dinamis adalah pemodelan matematis. Namun secara keseluruhan langkah-

langkah dalam analisa dinamis dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 1.3. Langkah-langkah dalam analisa dinamis.

DINAMIS STATIS

DINAMIKA STRUKTUR 3

Model analitis terdiri dari:

a. Asumsi sederhana yang dibuat untuk menyederhanakan suatu sistem.

b. Gambar dari model analitis tersebut.

c. Daftar parameter desain.

Model analitis terbagi dalam dua kategori dasar :

a. Model berkesinambungan (continues model)

b. Model diskrit (discrete-parameter model)

Model berkesinambungan (continues model) mempunyai jumlah derajat

kebebasan (number of DOF) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi,

sebuah model matematis dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu

jumlah diskrit.

Gambar 1.4. Model analitis berkesinambungan (continues) dan diskrit (discrete-parameter)

pada sebuah balok kantilever.

Model berkesinambungan (continues model) pada gambar 1.4(a)

menunjukan jumlah derajat kebebasan tak berhingga, model diskrit pada gambar

1.4 (b) dan (c) ditunjukan dengan model massa terkelompok (lumped-mass

model) dimana massa terbagi rata dari sistem dianggap sebagai massa titik atau

partikel.

(a)

(b)

(c)

DINAMIKA STRUKTUR 4

1.3 Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom)

Jumlah koordinat bebas yang menetapkan susunan atau posisi sistem pada

setiap saat.

Model Struktur

Model SDOF

Model MDOF

Model Struktur

Model SDOF

Model MDOF

Model Struktur Model SDOF Model MDOF

DINAMIKA STRUKTUR 5

Gambar 1.5. Beberapa model struktur dengan derajat kebebasan SDOF (Single Degree of

Freedom) dan MDOF (Multiple Degree of Freedom).



DINAMIKA STRUKTUR 6

)( 12 uucfD

BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL

(SDOF)

2.1 Pemodelan Parameter

Komponen-komponen yang merupakan pemodelan himpunan parameter

dari sebuah struktur adalah sesuatu yang menghubungkan gaya dengan

perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Komponen yang menghubungkan gaya

dengan perpindahan disebut pegas. Gambar 2.1 menunjukkan idealisasi pegas tak

bermassa dan plot gaya dari pegas terhadap regangan. Gaya pegas selalu bekerja

sepanjang garis hubung kedua ujung pegas.

Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan :

fs = k e

dimana, k adalah konstanta pegas. Besaran k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m.

Energi tegangan dinyatakan dengan

V = (k e2)

Gambar 2.1. Gaya-deformasi pada pegas.

dimana energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva fs terhadap e.

Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisa dinamika struktur

adalah model tahanan dashpot, yang dapat diilustrasikan pada gambar 2.2.

Gambar 2.2. Model tahanan dashpot.

Gaya redaman fD dinyatakan :

Dari fungsi linear dari kecepatan relatif antara dua ujung dashpot.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

DINAMIKA STRUKTUR 7

Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman dan besarannya adalah

pond/inc/detik atau N/m/detik. Dalam menulis persamaan gerak dari partikel,

hukum kedua dari Newton digunakan,

dimana m adalah massa dan a adalah percepatan relatif dari suatu bidang

referensi inersia. Besaran massa adalah lb.det/in atau N.det/in.

Untuk permasalahan dinamika struktur seringkali sangat berguna untuk

memperkenalkan gaya inersia.

Kemudian persamaan 2.4 bisa ditulis sebagai persamaan dinamik yang

semisal :

dengan resultan gaya inersia yang ditambahkan pada resultan gaya lain yang

bekerja pada partikel.

2.2 Pemodelan Matematis

Model matematis dalam analisa dinamika struktur mempunyai beberapa

elemen sebagai berikut:

massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur

pegas k menyatakan gaya balik elastic dan kapasitas energy potensial dari

struktur

redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilangan energy dari struktur

gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem

struktur sebagai fungsi dari waktu.

Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisa sederhana pada

sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman c diabaikan. Beberapa contoh

model matematis pada struktur dapat dilihat pada gambar berikut.

mafl

(2.4) maF

(2.5)

0' FfF l (2.6)

DINAMIKA STRUKTUR 8

P(t)P(t)

KK1 K2

m

P(t)m

K

Fs

y

Fs (gaya)

y (perpindahan)

hard spring

linier spring

soft spring

K

m

m

K

y

EI

Gambar 2.3. Model matematis sistem berderajat kebebasan tunggal.

Pada model diatas, massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut

garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis pegas

digambarkan antara gaya Fs pada ujung pegas dan hasil perpindahan y dapat

dilihat pada gambar 2.4 (a) sedangkan tiga jenis pegas ditunjukan secara grafis

pada gambar 2.4 (b).

Gambar 2.4. Hubungan gaya dan perpindahan pada pegas.

Lengkungan pada pegas kuat (hard spring) menyatakan sifat dimana gaya

harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang

diisyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas. Karakteristik garis lurus pada

pegas liniear (linear spring) menggambarkan deformasi yang selaras dengan gaya.

Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebut

konstanta pegas (spring constant) k. Sedangkan pada pegas lemah (soft spring),

Model Struktur Model SDOF Model Matematis

Model Struktur Model SDOF Model Matematis

(a)

(b)

DINAMIKA STRUKTUR 9

m

y

K2K1

P

y

K1 K2

21

111

kkke

21 kkke

i

n

ie kk

1

i

n

ie kk

11

1

P(t)mK

P(t)fs

I

pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat

deformasi pegas menjadi makin besar.

Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, maka diperlukan

penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistem tersebut.

(a) (b)

Gambar 2.5. Kombinasi pegas (a) pegas paralel (b) pegas seri.

Untuk n pegas yang dipasang parallel, konstanta pegas ekivalennya:

Sedangkan untuk n pegas yang terpasang seri :

2.3 Free Body Diagram

Salah satu aspek yang penting dalam analisis dinamis adalah menggambar

sebuah diagram free body dari sistem yang memungkinkan penulisan besaran

matematik dari sistem tersebut. Free Body Diagram (FBD) adalah suatu sketsa

dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada

benda terlihat jelas. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2.6. Free Body Diagram dari sebuah sistem berderajat kebebasan tunggal.

(2.7)

(2.8)

DINAMIKA STRUKTUR 10

Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa m yang

dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t), dan memberikan gaya pegas

sebesar Fs=ky serta gaya inersia I.

2.4 Persamaan Gerak (Equation of Motion)

Pada bagian ini persamaan gerakan dari beberapa model lumped parameter

akan diturunkan dengan menggunakan hukum Newton atau yang ekivalen,

metode gaya DAlembert. Hal ini akan berlaku sebagai review atas pelajaran

sebelumnya pada dinamika dan juga memperkenalkan prosedur yang digunakan

dalam menentukan model matematis dari sistem SDOF.

2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter

Untuk menentukan gerak pada sebuah sistem, yaitu mempelajari

perpindahan atau kecepatan massa m pada saat t untuk kondisi awal pada saat

0t . Hubungan antara perpindahan dan waktu diberikan oleh Hukum Newton

Kedua untuk gerak yang ditulis pada persamaan (2.4), dimana F adalah resultan

gaya yang bekerja pada partikel massa m dan a adalah resultan percepatan.

Persamaan diatas merupakan persamaan vector yang dapat ditulis dalam bentuk

ekivalen, dalam besaran komponennya menurut sumbu koordinat.

zzyyxx amFamFamF

Contoh 2.1

Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari sistem

pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini. Asumsikan hanya ada gerakan

vertikal. Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k. Abaikan

gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas. P(t) adalah gaya yang

bekerja pada massa dari luar.

(2.9)


Solusi:

Tentukan bidang referensi dan koordinat perpindahan. Pilih sumbu x sepanjang

garis pergerakan dan tentukan titik acuan awal (misal x = 0) pada lokasi dimana

pegas tidak teregang. u adalah perpindahan pada arah x.

Gambar diagram free body dari partikel.

Gunakan hukum Newton yang kedua

umFx (catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif untuk arah

ke bawah).

Dari diagram free body, tentukan gaya-gaya pada bagian kanan persamaan (2.10)

umWfdfsp

Hubungkan gaya dengan sistem variabel gerakan

ucecfd

kukefs

Gabungkan dan susunlah variabel yang tidak diketahui di bagian kanan pada

persamaan

)(tpWkuucum (Catat bahwa ini adalah persamaan diferensial ordiner ordo dua, linier, non

homogen dengan koefisien konstan).

Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai berikut.

Perpindahan statis dari bobot w dinyatakan sebagai perpindahan dari massa

terukur berhubungan dengan posisi setimbang, statis sebagai ur sehingga

str uuu dimana ust adalah konstan, persamaan (2.14) bisa ditulis sebagai :

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)


)(tpkuucum rrr Persamaan (2.16) pada contoh 2.1 bisa dipertimbangkan sebagai persamaan dasar

pada dinamika struktur dan teori getaran linier. Akan diperlukan waktu yang lama

untuk menetukan solusinya dan aplikasinya pada soal-soal dinamika struktur, baik

sistem SDOF maupun MDOF. Pada contoh 2.1, hukum Newton yang kedua

digunakan langsung, sehingga tidak ada gaya inersia yang diperlihatkan pada

diagram free body.

2.4.2 Prinsip DAlembert

Alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan gerak adalah

penggunaan Prinsip DAlembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat

dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya

fiktif pada gaya-gaya luar yang disebut sebagai gaya inersia.

y

mK

fs = ky m

N

ymI

mg

(a) (b)

Gambar 2.7. Sistem berderajat kebebasan tunggal, (a) model matematis dan

(b) diagram Free Body.

Penggunaan Prinsip DAlembert memungkinkan pemakaian persamaan

keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada gambar free body

diagram diatas dapat dilihat bahwa jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan

persamaan

0

0

0

kyym

If

H

s

Dengan: y = simpangan

22 dtydy = percepatan

m = massa

k = kekakuan elemen

(2.16)

Persamaan gerak (Equation of Motion)


K

m

yo

K1

m

y

K1

W

I

A CB

Satuan:

2

sec

sec386

2

ing

lb

g

wm

inlbk

in

Keterangan:

Kondisi (B) Statis

fs

m

W

oykW

fsW

Wfs

V

.

0

0

: Pegas belum dibebani

: Pegas dibebani (statis)

: Pegas dibebani (dinamis) C

B

A


oo

oo

o

o

ykymykyk

ykymyyk

WIfs

ykW

ymI

yykfs

WIfs

V

....

..

.

.

0

m

W

fs

I

Kondisi (C) Dinamis

0.. ykym Persamaan gerak (Equation of Motion)

Untuk menunjukkan kegunaan gaya inersia dan juga mengilustrasikan

fungsi utama eksitasi terdukung atau gerakan dasar, seperti struktur gedung yang

akan mengalaminya selama gempa bumi, dapat dilihat pada contoh 2.2 .

Contoh 2.2

Gunakan metode gaya DAlembert untuk menentukan persamaan gerakan

dari massa m, asumsikan bahwa gaya redaman pada sistem bisa diwakili dengan

viskous dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah.

Asumsikan bahwa eksitasi terdukung z(t) diketahui. ketika u = z = 0, pegas belum

diregangkan.

Solusi:

Gambarkan diagram free body dari massa termasuk gaya inersia bersama dengan

gaya sesungguhnya.


02 km0tCosA

Tulis persamaan kesetimbangan dinamis

0'xF Dari diagram freebody didapat

0 umfdfsp Hubungkan gaya dengan variable gerakan dan sederhanakan

pzukzucum )()( Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang dihubungkan dengan gerakan

dari massa mempunyai hubungan dengan gerakan yang terdukung.

Persamaan (2.19) bisa dituliskan dengan semua nilai yang diketahui dari bagian

kanan persamaan.

pkzzckuucum

Persamaan (2.20) adalah persamaan dari gerakan dari perpindahan aktual dari

massa yang berada dalam kerangka acuan inersia yakni untuk u(t)

zuw Dengan mengalihkan zm pada persamaan (2.19) dan menggunakan persamaan

(2.21) bisa didapatkan persamaan berikut :

zmpkwwcwm

2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped)

Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal tak teredam

adalah

0.. ykym

Misal solusi:

tAy

tAy

sin

cos

Kita menganggap bahwa solusi pada persamaan (2.23) adalah persamaan (2.24)

tAy

tAy

tAy

cos

sin

cos

2

Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.26) kedalam persamaan (2.23)

0

0.

0..

2

2

tCosAkm

tCosAktCosAm

ykym

Sehingga:

m

k

km

2

2 0

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.26)


m

k Frekuensi Alami Struktur [rad/dt]

Sebenarnya persamaan (2.25) juga solusi, maka solusi umumnya adalah:

tCosBtSinAy

tSinBtCosAy

Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:

Perpindahan awal : oyyty 0

Kecepatan awal : oVyty 0

Maka substitusi persamaan (2.30) ke dalam persamaan (2.28) didapat:

oyA Substitusi persamaan (2.31) dan (2.32) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:

oVB

Substitusi persamaan (2.32) dan (2.33) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:

tSinV

tCosyy oo

atau

tSinCy dengan:

o

o

oo

V

y

VyC

tan

2

2

Gambar 2.8. Respon getaran bebas tak teredam.

2

1

Tf Frekuensi Alami [Siklus/dt]

2T Periode Getar

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Solusi Gerak Respons


Contoh 2.3

F(t)F(t)

W8x24

m

200 lb/ft

15 ft

SDOF

F(t)m

K

y

fsm F(t)

I

Persamaan Kesetimbangan:

tFfsI tFykym .. (Equation of Motion)

spsf

dtradm

k

g

Wm

inlbL

IEK

46.45000

386.185,10

2

1

2

/5000

386.185,10

386

5000

/185,1012.15

5,82.210.30.122123

6

3

Model Struktur :

E = 30.106 psi

I = 82,5 in4

W = 200 x 25 = 5000 lb

g = 386 ft/dt2

Model Matematis

Free Body Diagram


Latihan.

Jika: Simpangan awal ft001,00 y

Kecepatan awal ft/dt1,00 y Gaya luar F(t)

Gambarkan Respons Struktur!!


yo

P

o

o

y

PK

yKP

.

yo

P

EI 33

3

48

48

48

L

EI

EI

PL

P

y

PK

EI

PLy

o

o

EI

yo

h

P

33

3

12

12

12

h

EI

EI

Ph

P

y

PK

EI

Phy

o

o

EI

yo

L

P

33

3

3

3

3

L

EI

EI

Pl

P

y

PK

EI

Ply

o

o

Konstanta Pegas (Konstanta Elastis)


yo

h

P

h

EA

EA

Ph

P

y

PK

EA

Phy

o

o

mP(t)

K2K1 K,c

mP(t)

P(t)m

y

K

Ic

tPkyycym

kyf

ycf

ymI

tPffIH

s

d

sd

)(0

2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped)

Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa cara untuk

memeperoleh persamaan gerak untuk SDOF teredam. Struktur yang

dimodelisasikan sebagai sistem sederhana dengan redaman-liat (viscous-

damping), seperti pada gambar berikut:

(a) (b) (c)

Gambar 2.9. Sistem SDOF teredam, (a) model struktur, (b) model SDOF, dan

(c) model matematis.

Free Body Diagram

P(t)I

fs

fd

solusi persamaan gerak


BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF

3.1 Pendahuluan

Pada semua kasus, persamaan gerak sistem linier berderajat kebebasan

tunggal mempunyai bentuk

)(tpkuucum

Perpindahan dan kecepatan pada saat t = 0 adalah

oo uuuu )0(,)0(

dimana, ou dan ou adalah perpindahan awal dan kecepatan awal.

Persamaan (3.1) dapat ditulis kembali menjadi

)(2

22

tpk

uuu nnn

dimana

m

kn

2

dan

crc

c

kmk

mcn

ncr 22

2

Untuk getaran bebas P(t) = 0, maka persamaan (3.1) dan (3.3) menjadi:

0 kuucum 02

2 uuu nn

n adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), adalah faktor redaman liat

dan crc adalah koefisien redaman kritis.

Respon total:

)()()( tututu cp

Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial

terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan penyelesaian

komplemen/pelengkap uc(t). Untuk memenuhi persamaan (3.4) dan (3.5), maka

digunakan asumsi

tseCu

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.7) kedalam (3.5), maka diperoleh

02 22 tsnn eCss Agar persamaan (3.8) valid untuk semua nilai t, kita harus menentukan

0222 nnss

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)


3.2 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped)

Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) tak

teredam adalah

02

uu n Dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

022 ns

Akar dari persamaan adalah

1-idimana2,1 nis Jika akar-akar tersebut di substitusikan ke persamaan (3.7), kita mendapat

penyelesaian umum

titi nn eCeCu 21

dengan memperkenalkan persamaman Euler :

sincos ie i kita dapat menulis ulang persamaan (3.13) dalam bentuk fungsi trigonometri,

yaitu

tAtAu nn sincos 21 dimana A1 dan A2 adalah konstanta real untuk ditentukan dari kondisi awal yaitu

persamaan 3.2. Persamaan 3.2 dan 3.15 mengacu pada

no

o

Auu

Auu

2

1

)0(

)0(

jadi,

tu

tuu nn

ono

sincos

adalah respon getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam.

Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah sistem yang

menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan jumlah uo dan dibebaskan.

Kemudian u(0) = 0 , jadi

tuu no cos

Gambar 3.1. Getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam dengan 0)0(.

u .

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)


1s 2s

Dapat dilihat bahwa gerakan hasil adalah merupakan gerakan harmonik

sederhana dengan amplitudo uo, periode alami dari sistem tak teredam (undamped

natural period) yaitu

(s)2

n

nT

dan frekuensi alami dari sistem tak teredam (undamped natural frequency) adalah

(Hz)2

1

n

n

nT

f

Gambar 3.2. Respon getaran bebas secara umum dari sistem SDOF tak teredam.

Gambar diatas menunjukkan sebuah plot dari persamaan (3.17) apabila ou

ataupun ou adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik sederhana

dengan periode Tn u(t) dapat diekspresikan dengan persamaan (3.17) atau dengan

persamaan

n

nn UtUtu

1cos)cos()(

3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped)

Persamaan (3.5) ditulis kembali disini :

022 uuu nn

Mengasumsi kembali sebuah solusi dari bentuk :

ts

ts

ts

eCsu

eCsu

eCu

2

dan kita akan mendapatkan persamaan karakteristik :

0222 nnss

nilai dan adalah

12

2,1 nns

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)


00 dan uu

Besarnya faktor "damping" () dapat digunakan untuk membedakan 3

kasus, yaitu underdamped (0 < < 1), critically damped ( = 1), dan overdamped

( 1). Respon pada sistem SDOF teredam dengan beberapa variasi nilai redaman

dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 3.3. Respon dari sistem SDOF dengan redaman viskous dan variasi tingkat redaman.

Kasus Underdamped (


Substitusi persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.30), maka solusi gerak dapat

digambarkan sebagai berikut

Gambar 3.4. Respon getaran bebas dari sistem redaman subkritis.

Gambar berikut menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari

sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam redaman

subkritis. Dalam tiap kasus, karena uo = 0, respon yang didapat adalah

Gambar 3.5. Pengaruh dari tingkat redaman pada getaran bebas.

Walaupun nilai dari mempunyai efek pada frekuensi, d, efek yang paling

berat dari damping adalah pada angka pada saat gerakan menyusut, yaitu pada

waktu e-dt

. Efek ini akan dibahas lebih lanjut pada bagian 3.4, yang membahas

ukuran dari damping.


Kasus Critically-damped (=1) (redaman kritis)

Ketika =1 maka persamaan (3.25) menjadi

ns 2,1 Sehingga responnya menjadi:

tnetCCtu )()( 21

Ketika kondisi awal diperhitungkan, maka respon dari sistem redaman kritis

adalah: t

onoonetuuutu

])([)(

Gambar 3.6. Respon getaran bebas pada redaman kritis.

Kasus Overdamped (>1) (redaman superkritis)

Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari

koefisien redaman kritis yaitu

1crc

c

3.4 Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor

Damping dari sebuah sistem SDOF

Metode eksperimen biasa dipakai untuk variabel dinamis pada suatu sistem

(misal: frekuensi alami dan faktor redaman). Nilai konstanta pegas (k) dan massa

(m) dari sistem SDOF sederhana dapat diukur secara langsung. Namun nilai faktor

redaman sering berubah sehingga perlu pengukuran yang lebih teliti. Bila faktor

redaman diketahui, maka koefisien redaman bisa dihitung menggunakan

persamaan faktor redaman. Frekuensi alami dari sistem SDOF tak teredam dapat

ditentukan secara langsung melalui pengukuran statis. Contoh perhitungannya

seperti pada contoh 3.2 berikut.

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)


Contoh 3.1

Tentukan frekuensi natural dari sistem pegas-massa dengan menggunakan

pengukuran perpindahan secara statis.

Solusi:

k Lo k

w

ust

fs=kust

w

Dari persamaan frekuensi alami struktur, diperoleh persamaan

mkn 2

Persamaan keseimbangan massa yang tergantung pada pegas adalah

0F atau 0 sfW

Dari persamaan gaya-perpindahan pada pegas

stskuf

Kombinasi persamaan 3 dan 4

st

nu

g

2

apabila redaman dalam sistem kecil ( < 0.2), persamaan 3.32 menunjukkan

bahwa nilai d kurang lebih sama dengan n. Sedangkan dari contoh 3.3 dapat

diketahui bagaimana sebuah eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk

menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF.

Contoh 3.2

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa lumped (terpusat)

bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian

dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang

(3)

(1)

(2)

(4)

(5)


mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi

natural dalam radian per detik dan hertz. Berapa periodenya?

Solusi:

Pada titik a, mass telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Hz125.34.0

putaran25.1

sfn

rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f

sf

Tn

n 32.0125.3

11

Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan faktor redaman

( ) menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sistem SDOF, yaitu

metode pengurangan logaritmik dan metode setengah amplitudo dimana keduanya

didasarkan pada persamaan 3.31.

Gambar 3.7. Rekaman melemahnya respon pada sistem teredam.

Pada metode setengah amplitudo, gerakan amplitudo (up) pada permulaan

putaran dan amplitudo (uQ) pada akhir putaran diperkirakan besarnya. Pada akhir


periode (satu putaran) nilai cos td kembali lagi ke nilai pada awal putaran. Dari persamaan 3.31, didapatkan rumus:

dnT

Q

P eu

u

Persamaan pengurangan logaritmik adalah:

dn

Q

P Tu

u

ln

Dimana Td adalah periode natural teredam yang dirumuskan sebagai berikut.

21

22

nd

dT

Dari persamaan 3.38 dan 3.39 didapatkan

21

2

dnT

Untuk faktor redaman kecil ( < 0,2), persamaan persamaan pengurangan

logaritmik mendekati nilai

2 Sehingga faktor redaman dapat diketahui juga menggunakan persamaan

Q

P

U

Uln

2

1

Prosedur yang sama juga dapat diterapkan pada metode setengah amplitudo, yang

menghasilkan perhitungan lebih sederhana untuk faktor redaman. Metode

setengah amplitudo didasarkan pada amplitudo dari kurva envelope.

tnUetu)(

Pada dua titik P dan R dimana:

2

P

R

uu

Titik-titik tersebut sejarak periode redaman N, dimana N bukan sebuah bilangan

bulat. Selanjutnya,

2

dn NT

R

P eu

u

Dari persamaan 3.40 dan 3.46

)2ln(1

2

2

N

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)


m

Kn

Gambar 3.8 menunjukkan hubungan antara dan N.

Gambar 3.8. Faktor redaman vs. jumlah putaran untuk mengurangi ampitudo sebesar 50%.

Untuk nilai faktor redaman yang kecil, 2 1)

Contoh 3.3

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan

kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo

puncak 1,0 dan 0,85.

Tentukan:

a) n

b) Pengurangan logaritma 2

1lny

y

c)

d) c

e) D

Solusi:

a) K = 20 lb/in

2in/sec 386

lb 10

g

Wm

sec

rad 78,2738610

20n

(3.48)

(3.49)


2

1lny

y

SPSf 42,42

78,27

2

b) y1 = 1,00

y2 = 0,85

165,085,0

0,1ln

c ) (untuk kecil)

026,02

163,0

d )

crcc

38620102026,0

in

dtlb 037,0

Contoh 3.4

Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan redaman dari

sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar 3.10

Solusi:

Gambar sketsa dari kurva envelope (terdapat pada gambar)

Ambil titik P pada salah satu puncak dan ukur up up = 0,44 in

2

crc

c

386201022 mkccr


Tempatkan titik R, dimana amplitudo dari kurvanya adalah up / 2 = 0,22 in

Perkirakan jumlah putaran antara P dan R N = 2,25 putaran

Gunakan persamaan 3.49 untuk memperkirakan :

049.025.2

11.0

Level redaman dalam suatu sistem juga tercermin dalam konstanta waktu, ,

yang didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan amplitudo untuk berkurang

sejumlah faktor 1/e. Persamaan untuk menghitung konstanta waktu dapat

menggunakan langkah yang sama dengan langkah yang dipakai untuk penurunan

persamaan pada metode setengah amplitudo. Gunakan kurva envelope pada

gambar 3.7 lagi, tentukan titik S dimana:

eeu

u

u

u

P

P

S

P )/1(

Jadi,

etU

tU

u

u

Pn

Pn

S

P

)](exp[

)exp(

Atau,

ee n

Dengan menggunakan logaitma pada kedua sisi, kita dapatkan:

1 n

Selanjutnya konstanta waktu, , didapat dengan persamaan:

2

1 n

n

T

Dari persamaan 1/e = 1 / 2,718 = 0,368. Maka, konstanta waktu, ,adalah waktu

yang diperlukan amplitudo gerakan untuk berkurang sekitar 63 %.

3.5 Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping

Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan

diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon

getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar. Dalam praktek, redaman

ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan

redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi

nonlinier. Gambar 3.12 menunjukkan sebuah massa meluncur pada permukaan

kasar yang menghasilkan gaya gesekan.

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)


u

Gambar 3.9. Sistem SDOF dengan redaman.

mgNf kkD Dimana k adalah koefisien gesek kinetik atau koefisien gesekan luncur. Gaya

gesek selalu berlawanan arah dengan gerakan gaya . Menggunakan hukum

Newton II, kita peroleh:

umff Ds Sedangkan fs = k . u dan )sgn(umgf kD

Selanjutnya,

0,

0,

umgkuum

umgkuum

k

k

Dengan

2

1

n

kDD

g

kfu

Persamaan 3.58 dan 3.59 dapat digabungkan untuk mendapat:

0

0

2

2

uuuu

uuuu

Dnn

Dnn

Gambar 3.10. Respon getaran bebas sistem dengan redaman Couloumb.

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

(3.60)


Gerakan yang dihasilkan kemudian diplot dalam gambar 3.10. Yang perlu dicatat

pada gambar 3.10 adalah bahwa sistem redaman couloumb berlaku seperti sistem

SDOF tak teredam yang posisi seimbangnya berubah pada tiap akhir dari setengah

putaran. Tampilan yang beda dari gambar 3.9 adalah amplitudo berkurang secara

linier terhadap waktu, tidak secara eksponen seperti pada kasus redaman viskous.


2

1

nk

m

BAB IV RESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK

HARMONIS

Pada bab ini, dibahas respon sistem SDOF baik yang tidak teredam maupun

dengan redaman viskous terhadap gaya luar, dalam bentuk gerakan harmonis,

yaitu struktur yang dibebani oleh gaya atau perpindahan yang besarnya

dinyatakan oleh fungsi sinus atau cosinus dari waktu (p(t) = sin t atau p(t) = cos

t). Contoh gerakan harmonis adalah gerakan mesin-mesin rotasi yang

menghasilkan pengaruh harmonis akibat adanya eksentrisitas massa yang berotasi.

4.1 Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis

Respon total dari sistem linier terdiri dari superposisi respon akibat gerakan

gaya luar dan respon dari gerakan natural. Sedangkan pada gerakan harmonis,

gaya luarnya berupa respon steady-state.

Berdasarkan gambar 4.1 yang menunjukkan Sistem SDOF tak teredam,

diasumsikan bahwa sistem linier, amplitudo p0 dan frekuensi gerakan ,

persamaan gerakan adalah:

tpkuum cos0 Nilai dari gaya luar (respon steady-state) berbentuk:

tUup cos Untuk menentukan amplitudo, U, persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam

persamaan (4.1):

2

0

mk

pU

Terlihat bahwa 02 mk , maka defleksi statis:

k

pU 00

Kombinasi dari persamaan 4.3 dan 4.4 menghasilkan persamaan fungsi respon

frekuensi:

2

0

1

k

mk

p

U

2

0

1

k

m

UU

1r,1

1)(

2

rH

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)


dimana:

2

n

r

dan

0

)(U

UH

r = rasio rekuensi

H() = fungsi respon frekuensi

Gambar 4.1. Gerak harmonis dari sistem SDOF tak teredam.

Fungsi respon frekuensi adalah fungsi yang memberikan penambahan atau

pembesaran pada gerakan steady-state dalam bentuk nilai absolut dari fungsi

respon frekuensi. Faktor pembesaran respon steady-state dirumuskan sebagai

berikut:

)( HDs Dari gabungan persamaan (4.2) dn (4.5) memberikan persamaan respon steady-

state sebagai berikut:

1r,cos1 2

0

t

r

Uu p

Gambar 4.2. Faktor pembesaran untuk sistem SDOF tak teredam (p(t) = po sin t).

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)


Jika r < 1, maka responnya sefase / terdapat di dalam fase gerakan karena (1-r2)

bernilai positif.

Jika r > 1, maka responnya 180 diluar fase / tidak sefase dengan gerakan,

sehingga up dapat ditulis:

tr

Uu p

cos

1 20

Persamaan respon total terdri dari solusi komplementer (uc) yang memenuhi

persamaan homogen dan solusi partikulir (up) yang memenuhi persamaan

differensial nonhomogen.

cp uuu

tAtAu nnc sincos 21

tAtAtr

Uu nn sincoscos

1212

0

Persamaan 4.9 dan 4.11 tidak dapat digunakan bila r = 1 atau = n yang

disebut dengan keadaan resonansi.

Dari gambar 4.2 terlihat bahwa frekuensi gerakan yang berada dekat dengan

resonansi, responnya menjadi sangat besar karena amplitudonya bernilai tak

hingga. Oleh karena itu, memperhitungkan respon struktur terhadap gerakan

harmonis sangat penting untuk menghindari kondisi resonansi dimana terjadi nilai

amplitudo yang sangat besar. Namun biasanya bahan yang dipakai untuk struktur

mempunyai limit kekuatan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh

sebelum dicapainya amplitudo maksimum.

Contoh 4.1

Sistem pada gambar 4.1 mempunyai k = 40 lb/in, dan berat benda 38,6 lb.

Jika 0 oo uu dan gaya luar P(t) = 10 cos (10t), tentukan persamaan gerakannya

dan sketsa hasil pergerakannya.

(4.10)

(4.11)


Solusi:

Dari persamaan 4.11, respon total adalah:

tAtAtr

Uu nn sincoscos

1212

0

Selanjutnya, persamaan gerakan diturunkan untuk mendapatkan persamaan

kecepatan:

tAtAtr

Uu nnnn cossinsin

1212

0

Persamaan 3.4a

rad/s20)6.38(

)386(4021

21

W

kg

m

kn

Persamaan 4.4:

in.25.040

1000

k

pU

Persamaan 4.7:

5.020

10

n

r

Sehingga,

in33.025.01

25.0

)5.0(1

25.0

1 220

r

U

Gunakan kondisi awal untuk menghitung A1 dan A2.

12

0

10)0( A

r

Uu

Maka:

in33.01 2

01

r

UA

nAu 20)0( Jadi,

A2 = 0

u = 0,33[cos (10t) cos (20t)] in


Persamaan yang diperoleh kemudian digambarkan pada kurva di bawah ini.

Dari respon yang digambarkan pada contoh 4.1, maka:

Respon steady-state mempunyai frekuensi yang sama dengan gerakan dan

berada di dalam fase gerakan karena r < 1.

Gerakan gaya dan gerakan natural saling memperkuat dan menghilangkan,

menghasilkan fenomena tumbukan. Jadi, respon total bukan merupakan

gerak harmonis sederhana.

Respon total maksimum (u = -0,66 in pada t = /10 s) lebih besar pada

pembesarannya daripada respon steady-state (up = 0,33 in pada t = 0).

Total faktor pembesaran dinamis didefinisikan sebagai:

0

)(max

U

tuD

t

Jika r = 1, maka asumsi yang digunakan pada persamaan (4.2) adalah :

np tCtu ,sin Kemudian, dengan mnsubstitusikan persamaan (4.13) ke persamaan (4.1),

didapat:

nm

pC

20

Atau:

ttUu nnp sin)( 021

4.2 Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis

Model analisis klasik dari sistem SDOF adalah model pegas-massa-dashpot

(gambar 3.1). Ketika sistem tersebut dikenakan gerakan harmonis (p0 cos t),

maka persamaan gerakannya menjadi:

tpkuucum cos0

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)


Gambar 4.3. Respon up(t) saat resonansi, = n .

Akibat adanya redaman pada persamaan (4.16), respon steady-state tidak akan

berada dalam satu fase dengan respon steady-state:

)cos( tUup Dimana U adalah amplitudo steady-state dan adalah sudut fase respon steady-

state. Penentuan nilai U dan dapat dilakukan dngan menggunakan putaran

vektor. Kecepatan dan percepatan dirumuskan sebagai berikut:

)sin( tUup )cos(2 tUup

Vektor posisi dari gaya luar, perpindahan, kecepatan dan percepatan terlihat pada

gambar 4.4.

Gambar 4.4. Vektor gaya, perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Gambar 4.5. Poligon vektor gaya.

(4.17)

(4.18)


Persamaan 4.17 dan 4.18 disubstitusikan ke persamaan 4.16, menghasilkan

persamaan:

tptkUtUctUm coscossincos 02

Persamaan di atas diperoleh dari poligon vektor gaya dimana masing-

masing variabel gaya menggambarkan gaya yang bekerja pada suatu massa.

Gambar 4.5 menunjukkan kasus Um 2 < kU yang berarti < n . Proyeksi

vektor dengan garis putus-putus pada gambar tersebut ditulis pada bagian kiri

persamaan 4.19. Sedangkan proyeksi vektor dengan garis penuh ditulis pada

bagian kanan persamaan 4.19. Dari gambar 4.5 juga bias diperoleh hubungan

persamaan sebagai berikut: 2222

0 )()( UcUmkUp

2tan

mk

c

Sehingga nilai faktor pembesaran steady-state dirumuskan dengan persamaan:

21

2220 21

1

rrU

UDs

21

2tan

r

r

Kombinasi dari amplitude dan fase disebut respon frekuensi. Hubungan

antara rasio frekuensi dan faktor pembesaran steady-state digambarkan pada

kurva gambar 4.6.

Gambar 4.6. Kurva faktor pembesaran vs rasio frekuensi untuk berbagai nilai redaman.

(4.19)

(4.20a)

(4.20b)

(4.21a)

(4.21b)


Contoh 4.2

Jika = 0,2 ditambahkan pada sistem contoh 4.1, dengan kondisi dan

perlakuan yang sama, tentukan persamaan gerakannya. Sketsa pergerakannya.

Solusi:

Fungsi total respon didapat dari:

)sincos()cos( 21 tAtAetUu ddtn

Dimana:

21

222

0

)2()1( rr

UU

n , ud dan r dapat ditemukan dari contoh 4.1

rad/s2021

m

kn

in25.040

1000

k

pU

5.020

10

n

r

rad/s4)20)(2.0( n Oleh karenanya:

in32.0

)5.0)(2.0(25.01

25.0

21

222

U

267.0)5.0(1

)5)(2.0(2

1

2tan

22

r

r

= 0,26 rad


Dari persamaan 3.31a,

rad/s6.19)2.0(1201 22 nd Hasil diferensial total respon dari waktu:

tAAtAAetUu dnddndtn sincos)sin( 2112

Maka,

1)26.0cos(32.00)0( Au

Sehingga:

in31.0)26.0cos(32.01 A in11.02 A

Oleh karenanya,

in)]6.19sin(11.0)6.19cos(31.0[)26.010cos(32.0 4 ttetu t


BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari

Eksitasi

Pada berbagai situasi riil di lapangan, eksitasi dinamik yang terjadi tidaklah

harmonik maupun periodik. Oleh karena itu, pada bab ini akan dibahas respon

dinamik dari suatu sistem SDOF terhadap eksitasi.

5.1 Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah

Step Input yang Ideal

Prototipe sistem SDOF yang ditunjukkan dalam gambar 3.1 merupakan

bentuk subjek untuk sebuah step input yang ideal seperti ditunjukkan pada gambar

5.1. Dari gambar di bawah dapat dilihat bahwa sebuah gaya bekerja secara tiba-

tiba dari gaya nol (0) sampai dengan Po, selanjutnya nilainya konstan sebesar po.

P(t)

Po

t

Gambar 5.1. Sebuah stop input yang ideal.

Persamaan dari gerakan diberikan oleh persamaan 3.1, yaitu:

0,0 tpkuucum

Dianggap sistem berhenti pada t = 0 (kondisi awal), sehingga:

0)0()0( uu

Penyelesaian dari persamaan 5.1 memuat sebuah bagian penyelesaian (a

particular solution) dari persamaan 5.1, yang dapat ditulis menjadi:

0

k

pu p

Dan sebuah penyelesaian pelengkap (a complementary solution) diberikan (untuk


Suatu cara yang berguna untuk menentukan respon dinamis suatu sistem adalah

dengan memperhitungkan rasio respon atau suatu faktor beban dinamik, )(tR ,

yang didefinisikan oleh:

max

)()(

p

tkutR

Suatu faktor beban dinamik adalah rasio dari respon dinamis terhadap deformasi

statis. Untuk step input ideal, )(tR diberikan oleh:

ttetR d

d

nd

tn

sincos1)(

Suatu faktor beban dinamik yang sejenis diilustrasikan pada gambar 5.2. Pada

rasio respon plot 1)( tR sesuai dengan posisi dari perpindahan statis. Karena

beban diberikan secara langsung, terdapat overshoot, kemudian sistem akan tetap

bertahan pada nilai statis yaitu 1 setelah melalui sejumlah gerakan bolak-balik

yang teredam.

Gambar 5.2. Plot dari faktor beban dinamik untuk sebuah step input.

Untuk sebuah sistem tak teredam (undamped), persamaan 5.5 menjadi:

)cos1()( 0 tk

ptu n

dan 2max R

5.2 Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada

Rectangular Pulse dan Pembebanan Ram

Pada bagian rectangular pulse akan dibahas efek dari hilangnya beban

setelah durasi td. Gambar 5.3 menunjukkan sebuah input rectangular pulse dan

rasio respon untuk sebuah sistem tak teredam untuk 2 kasus, yaitu

2)(,

2)( nd

nd

Ttb

Tta

dimana td adalah durasi dari rectangular pulse.

(5.6)

(5.7)

(5.8)


Gambar 5.3. Respon dari sebuah input rectangular pulse, (a) rectangular pulse dan

(b) rasio reaksi.

Dari gambar di atas terlihat bahwa ketika ketika 2nd Tt , maka respon

maksimum terjadi sepanjang Force-vibration era, sedangkan jika 2nd Tt , maka

respon maksimum terjadi di Residual-vibration era, dimana nilai maksimumnya

dapat ditentukan pada tiap kasusnya.

a. Kasus 1 : Forced-vibration era (0 t td)

Gambar 5.3 (b) memperlihatkan R(t) untuk sebuah pulse dengan durasi

pembebanan sebesar nd Tt 45 , dimana R(max) terjadi selama force-

vibration era. Untuk kasus ini, R(t) adalah sama untuk sebuah step ideal

yang nilainya diperoleh dari persamaan (5.5) untuk sistem undamped,

dimana:

dn ttttR 0,cos1)(1

Nilai maksimumnya adalah

22

)( 1max1

n

TRR

b. Kasus 2 : Residual-vibration era (td < t)

Gambar 5.3(b) menunjukkan R(t) untuk sebuah pulse selama durasi

8nd Tt . Rmaks terjadi selama residual-vibration era. Karena respon

untuk t > td adalah vibrasi bebas dengan kondisi awal initial condition

)(1 dtR dan )(1 dtR , maka persamaan (3.17) dapat digunakan dalam bentuk

)(sin)(

)(cos)()( 112 dnn

ddnd tt

tRtttRtR

untuk dtt , dimana )(1 dtR dan )(1 dtR diperoleh dari persamaan 5.9.

(5.9)

(5.11)

(5.10)


Gambar 5.4. Rotasi vektor yang merepresentasikan vibrasi bebas tak teredam.

Dari gambar 5.4 dapat dilihat bahwa amplitude U, dan sudut pada

persamaan 3.21 ditentukan dengan

2

22

n

oo

uuU

dan

o

no

u

u

tan

Persamaan amplitude U tersebut dapat digunakan untuk menentukan

amplitude dan respon ini.

21

2

12

1max2

)()(

n

dd

tRtRR

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:

n

d

T

tR

sin2)( max2

Untuk memperhitungkan pengaruh dari durasi pembebanan pada respon

maksimum, maka selanjutnya akan dibahas mengenai pengaruh dari

peningkatan waktu pembebanan. Gambar 5.4 memperlihatkan hubungan

antara beban ramp dengan peningkatan waktu tr yang diterapkan pada

sistem undamped SDOF.

(5.12)

(5.13)


P(t)

Po

tr t

Gambar 5.5. Fungsi input ramp.

Persamaan gerakan pada kondisi awal adalah

(5.14b).......................

(5.14a).......................0

ttP

ttPt

t

kuum

ro

ro

r

000 uu

untuk 0 t tr, solusi khususnya adalah

k

p

t

tu

r

p0

Kemudian,

tAtAk

p

t

tu nn

r

sincos 210

Dengan menggunakan kondisi awal dari persamaan 5.15, kita dapatkan

t

tt

t

k

pu n

rnr

sin10

Untuk rtt , persamaan 5.14b dapat diselesaikan menjadi

ttt

tk

pu nrn

rn

sinsin1

10

Gambar 5.6a memperlihatkan respon sebuah masukan dengan nr Tt serta

nr Tt . Gambar 5.6b menggambarkan pengaruh dari kenaikan waktu pada respon

maksimum.

(5.15)

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)


(a)

(b)

Gambar 5.6. Respon dari sistem SDOF tak teredam terhadap input ramp. (a) Respon terhadap

input ramp. (b) Respon maksimum terhadap input ramp.

Dari gambar 5.6, dapat dilihat bahwa respon maksimum, 2max R , terjadi

pada step input ideal (misalkan untuk tr = 0). Untuk ramp dengan tr >> Tn akan

terjadi sedikit overshoot dan sistem mengalami sedikit getaran bolak-balik atas

kurva defleksi statis semu (pseudostatic deflection curve).

r

r

icpseudostat ttk

p

t

tu

0,0

5.3 Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi

Pendek, Unit Respon Impuls

Pembebanan impuls adalah pembebanan yang berlangsung dalam selang

waktu yang singkat. Impuls pada pembebanan ini didefinisikan sebagai perkalian

dari gaya dan selang waktu bekerjanya gaya tersebut. Mengingat sistem SDOF tak

teredam menyebabkan gaya dari durasi td


Gambar 5.7. Sistem SDOF tak teredam yang menerima impuls dengan durasi pendek.

Persamaan gerakan dan kondisi awal adalah

)(5.22...................0

)(5.22...................0

btt

atttpkuum

d

d

0)0()0( uu Dengan mengintegralkan persamaan 5.22a yang mempertimbangkan waktu

dan menggabungkan kondisi awal, kita dapatkan

Itkutum davgd )( Dimana uavg adalah perpindahan rata rata(kecil) dalam interval waktu 0 < t td.

Untuk td 0, yaitu td Tn, bagian kedua pada persamaan 5.24 dapat diabaikan.

Ium )0( Akan tetapi, sebuah impuls yang terdiri atas sebuah gaya yang besar dan bekerja

pada waktu yang singkat berefek memberikan kecepatan awal yang besar, yaitu

m

Iu )0(

Akan tetapi abaikan dengan diganti perpindahan awal, yakni

0)0( u Hal ini bisa digunakan sebagai awal kondisi bagi permasalahan getaran bebas

pada persamaan 5.22b. Dengan menggunakan persamaan 3.17, kita dapatkan

respon dari impuls

tm

Itu n

n

sin)(

Fungsi respon dari impuls untuk sistem SDOF tak teredam didapatkan dari

persamaan 5.27 dengan I = 1. Secara konvensi, unit fungsi respon dari impuls

seringkali disebut h(t), sehingga

tm

th nn

sin1

)(

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26a)

(5.26b)

(5.27)

(5.28)


Untuk sistem SDOF teredam-kental (viscous damped) dengan < 1, fungsi respon

dari impuls dapat diperlihatkan sebagai

tem

Itu d

t

d

n

sin)(

dan kesetaraan fungsi respon dari impuls didapat

tem

th dt

d

n

sin

1)(

Contoh 5.1

Asumsikan bahwa impuls dttpI )( berasal dari gaya konstan op yang

terjadi pada interval waktu 0 < t td hingga sistem SDOF tak teredam berada

pada t = 0. Buktikan bahwa untuk td Tn, persamaan 5.11 dapat diringkas

menjadi persamaan 5.27.

Solusi:

a. Tentukan dtu dan dtu dari persamaan 5.8

)2(...................sin)(

)1(...................)cos1()(

0

0

dnn

d

dnd

tk

ptu

tk

ptu

Dengan 2nnT dan td


Jadi untuk td 0

)5(...................sin)( tm

Itu n

n

Seperti yang terlihat pada persamaan 5.27.


BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis

6.1 Metode Integral Duhamel

Metode integral duhamel untuk menentukan respon dari sistem SDOF

terhadap eksitasi dinamis secara umum dapat dikembangkan dari persamaan

fungsi respon impuls, yang telah dijabarkan pada bab 5.3. Integral duhamel

didasarkan pada prinsip superposisi, yang valid hanya untuk sistem linear.

Gambar 6.1 menunjukan sistem SDOF tak teredam yang pada awalnya tak

terganggu dimana kemudian menjadi pokok inputan P(t). respon dari sistem atas

impuls dI= P()d yang disebut du(t) dan didapatkan atas persamaan:

t

m

dItdu n

n

sin

Gambar 6.1. Kenaikan respon pada sistem tak teredam.

Total respon pada waktu t adalah jumlah dari respons pada waktu t adalah jumlah

dari respons yang berasal dari keseluruhan pias-pias impuls mulai dari waktu awal

hingga waktu t, sehingga

dtpm

tu nt

n

)(sin)(1

)(0

Atau

dthptut

)()()(0

(6.1)

(6.2)

(6.3)


dimana h(t- ) didapat dari persamaan 5.28 untuk sistem tak teredam. Persamaan

6.3 adalah valid untuk sistem teredam jika persamaan 5.30 digunakan untuk

mendapatkan h(t- ). Sehingga, untuk sistem teredam yang mulai dari waktu awal

dtep

mtu d

tt

d

n )(sin)(1

)()(

0

atau

depI

mtu

tit

d

nd ))((

0)(

1)(

Persamaan 6.2 dan 6.4 menjelaskan pernyataan integral duhamel untuk respons

dari sistem SDOF baik yang tak teredam maupun yang teredam. Persamaan 6.3

seringkali menjelaskan sebagai integral konvulasi, dimana bentuk yang lebih

umum adalah :

dtfftx )()()( 21

Persamaan 6.2 atau 6.4 mungkin akan digunakan untuk menentukan respons dari

sistem SDOF hingga eksitasi dinamis secara umum jika sistem ini dimulai dari

waktu awal. Jika sistem memiliki kondisi awal tidak sama dengan nol, kemudian

respons dari kondisi awal di tentukan dari persamaan 3.17 atau untuk < 1, dari

persamaan 3.33. Oleh karena itu, untuk sistem tak teredam

t

utudtp

mtu n

n

nn

t

n

sincos)(sin)(1

)( 000

dan untuk sistem di bawah teredam (under damped)

teuu

teudtepm

tu

d

t

n

d

d

t

d

tt

d

n

nn

sin1

cos)(sin)(1

)(

00

0

)(

0

adalah tepat untuk menggunakan identitas trigonometri ketika mengevaluasi

integrasi Duhamel

sincoscossin)(sin ttt

(6.4a)

(6.4b)

(6.5)

(6.6)

(6.8)

(6.7)


Contoh 6.1

Gunakan integral Duhamel untuk menentukan respons dari sistem SDOF tak

teredam dari sebuah beban ledakan yang ditentukan oleh pulsa triangular yang

diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Menjelaskan pernyataan yang valid untuk t < td dan untuk t > td. Sistem tersebut

dimulai pada waktu awal.

Solusi:

Gunakan persamaan 6.2 dengan

tttp

ttt

tptp

d

d

d

o

0)(

01)(

a. Untuk 0 t td

)(sin1cos

)(cos1sin

)(sin11

)(

0

0

0

nn

d

t

on

nn

d

t

on

n

d

t

on

dt

tk

p

dt

tk

p

dtt

pm

tu

Gunakan integral parsial, kita dapatkan

n

n

n

nn

n

nnn dd

cos1

sin

)(sin1

sin)(cos

Juga,


n

n

nnn d sin1

cos)(sin

Sehingga,

tt

tt

ttt

tt

tt

t

ttt

k

ptu

n

dn

n

d

nn

dn

n

dn

n

d

nn

sin1

cos1coscos

1cos

1sinsinsin)( 0

Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi

t

tt

t

ttR n

dn

n

d

sin1

cos1)(1

b. Untuk td < t

dt

tp

mtu n

d

o

t

on

d

)(sin11

)(

Jadi,

dn

dn

n

dn

dn

dn

n

tt

t

tt

tt

k

ptu

sin1

1cos

1cos

1sin)( 0

sehingga,

)sin(cos)cos1(sin1)(2 dndnndnndn

tttttt

tR

Contoh 6.2

Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model

dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila

perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) td = 0.4 s, (2) td = 0.04 s


k = 9.0 GN/m, m = 10 Mg

Solusi :

a. Tentukan frekuensi dasar sistem

sradm

kn /30

1010

109

6

9

Hzf nn 77.4

2

b. Menentukan rasio reaksi maksimum

Untuk kasus 1, td = 0.4 s

91.14.077.4 dntf Dari reaksi spectrum, dapat dihitung

Rmax = 1.75

Untuk kasus 2, td = 0.04 s

191.004.077.4 dntf

Dari reaksi spectrum, dapat dihitung

Rmax = 0.58

c. Menentukan perpindahan statis untuk setiap kasus, kemudian tentukan nilai

gaya ledak maksimum yang dapat ditahan (po)

umax = 5 mm

k

pRu 0maxmax

atau

max

max

R

kupo

Untuk kasus 1

MN7.25

75.1

105109 39

1

op

Untuk kasus 2


MN6.77

58.0

105109 39

2

op

m

k

z(t)

u

c

Gambar 6.2. Prototipe gerakan relatif sistem SDOF.

Sejak banyaknya penerapan dari reaksi spectra yang melibatkan gerakan

relatif, ini berguna untuk menentukan jumlah reaksi yang sesuai untuk kasus ini.

Gambar 6.2 menunjukkan prototipe dari gerakan relatif sistem SDOF. Seperti

pada contoh 2.2, perpindahan relatif menjadi

w = u z

Kemudian persamaan dari gerakan dapat ditulis

zmkwwcwm

definisi dari rasio reaksi seperti yang telah diberikan pada persamaan 5.6. Rasio

reaksi berhubungan pada gerakan relatif hendaknya difenisikan sebagai

max

2

max / z

tw

kzm

twtR n

Dengan memasukkan tfzz amax

dan berdasarkan persamaan 6.4 dapat

menunjukan R (t) pada integral Duhamel. Untuk 000 ww maka untuk sistem teredam

dtef

d

t

a

d

nn

1

0

2

sin R(t)

dan untuk sistem tak teredam

1

0

sin R(t) dtf nan

Dari persamaan 6.11, perpindahan relatif maksimum diberikan oleh

maxmax2max

1 w zR

n

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)


Jumlah kedua yang menjadi perhatian ialah akselerasi maksimum mutlak, maxu .

Persamaan 6.10 dapat ditulis

0 kwwcum

Untuk sistem yang tak teredam, maxu dapat dengan mudah ditentukan dari

persamaan 6.14 dan 6.15

max2

max u wn

atau dari persamaan 6.14 dan 6.16,

0) (c z R u maxmaxmax

Contoh 6.3

Sistem SDOF tak teredam seperti pada gambar 6.3 mengambarkan

akselerasi dasar seperti gambar di bawah. Semua kondisi awal nol. Tentukan

persamaan untuk wmax dan maxu dan plot log-log dari wmax dengan fn.

Gambar 6.3a. Pemodelan kendaraan yang bergerak di atas lintasan bump.

(t)fz z amax

dimana

(6.15)

(6.16)

(6.17)


tt

ttt

t

d

dd

2

20

0

1

(t)fa

Solusi :

a. Menentukan reaksi untuk 0 t 2td

Karena eksitasi untuk 0 t 2td memiliki format yang sama pada contoh

6.1, R1(t) akan sama dengan yang diberikan pada persamaan 7 dari contoh

6.1

tt

tt

ttR n

dn

n

d

sin1

cos11

b. Menentukan reaksi untuk 2td < t

dnn

ddnd tt

tRtttRtR 2sin

22cos2 112

c. Menentukan waktu reaksi maksimum berdasarkan gaya getaran, 0 t

2td

tttt

tR nndnd

cossin11

1

dimana 1 = 0

dnmn tt 1tan2

Pada kasus biasa

dnmn tt 1tan2 dengan (ntm/2) berdasarkan pada kuadran

pertama

Pada kasus terakhir

ptt dnmn 1tan2

dimana p ialah integer terbesar untuk ntm < 2ntd dan tan-1

(ntd) diambil

pada kuadran pertama.

Kemudian,


mndn

mn

dn

mn tt

tt

tR

sin

1cos1

max1

d. Menentukan waktu residual-vibration maksimum yang terjadi, 2td < t

Dari persamaan 2,

2/1

2

12

1max2

22

n

dd

tRtRR

dimana R1(2td) dan 1(2td) berdasarkan pada persamaan 1.

e. Menentukan pernyataan untuk wmax dan max :

max222

max

max 1 Rttz

w

dnd

dan max

max

max Rz

u

dimana Rmax adalah reaksi maximax yang diambil nilai terbesar antara

(R1)max dan (R2)max.

f. Plot wmax dengan fn menggunakan skala log log

Ini akan lebih mudah untuk menggambar reaksi nondimensional

2maxmax dtzw dengan frekuensi alami nondimensional fntd.


BAB VII Respons Spektrum

Respons spektrum (response spectra) adalah plat respons maksimum

(perpindahan, kecepatan, percepatan maksimum ataupun besaran yang diinginkan)

dari fungsi beban tertentu untuk semua kemungkinan sistem berderajat kebebasan

tunggal (SDOF).

(a) (b)

Gambar 7.1 (a) Sistem SDOF yang dipengaruhi pergerakan tanah, (b) Bentuk spektrum respons.

Gambar 7.1(a) menunjukkan bangunan yang dibebani/dipengaruhi

perpindahan tanah yang dinyatakan sebagai fungsi ys(t). Lengkung atau kurva

spektrum respons pada gambar 7.1(b) memperlihatkan perpindahan relatif

maksimum dari massa m terhadap perpindahan penyokong dari suatu sistem

SDOF.

7.1 Bentuk Respons Spektrum

Bentuk grafik spektrum respons dapat dijelaskan dengan menggunakan

sebuah osilator tak teredam yang dipengaruhi oleh setengah perioda gaya

pengaruh sinusoidal pada gambar 7.2 di bawah ini.

y

k k

m

ys (t)

Perpindahan relatif

|y-ys|max

Frekuensi

Natural f


(a) (b)

ym )(tFky

(c)

Gambar 7.2 (a) Osilator sederhana tak teredam yang dipengaruhi beban F(t), (b) Fungsi beban

do tttFtF 0sin , dan (c) Free body diagram. Persamaan gerak SDOF tak teredam :

)(tFkyym

dengan,

do

d

tttF

tttF

0untuksin

untuk0)(

dt

Solusi umum persamaan (7.1) merupakan superposisi antara solusi komplementer

cy dan solusi partikulir py ,

pc yyy

tBtAyc sincos

tCy p sin

dimana mk adalah frekuensi natural. Solusi khusus untuk selang waktu

dtt 0 adalah sebagai berikut.

Recall persamaan (7.1).

)(tFkyym ttFkyym sin)(

Recall persamaan (7.6).

tCy

tCy

tCy p

sin

cos

sin

2

Susbstitusikan persamaan (7.6a) ke dalam persamaan (7.1a):

F(t)

m

k

yF(t)

td

Fo

t

(7.4)

(7.6)

(7.1a)

(7.6a)

(7.1)

(7.3)

(7.2)

(7.5)


)(

)(

sinsin)sin(

2

2

2

2

mk

FC

FmkC

FCkCm

tFtkCtCm

o

o

o

o

Dengan mengkombinasikan persamaan (7.4) dan persamaan (7.7), maka respon

untuk 0 t td adalah

pc yyy

2

sinsincos

mk

tFtBtAy o

2

coscossin

mk

tFtBtAy o

Untuk kondisi awal 0)0( y , recall persamaan (7.8).

0 = A + 0 + 0

A = 0

Untuk kondisi awal 0)0( y , recall persamaan (7.8a).

20

mk

FBy o

2

mk

F

Bo

Masukan harga A dan B kedalam persamaan (8).

ttkF

y

ttmk

Fy

mk

tF

mk

tF

y

o

o

oo

sinsin

1

sinsin

sinsin

2

2

22

Untuk memudahkan analisa, persamaan tersebut ditulis

k

Fy ost ,

dt

,

T

2

Maka persamaan (7.9) menjadi

(7.8)

(7.8a)

(7.9)

(7.7)


fS

fD

I

)(

)(

.

sD

sS

yycf

yykf

ymI

d

dd

d

st

ttT

t

t

T

t

t

t

Ty

y

0untuk2sin2

sin

21

12

Solusi pada persamaan (7.10a) untuk t > td adalah

T

t

T

t

T

t

t

T

tT

y

y dd

d

d

st 22sincos

12

2

Pada persamaan (7.10) terlhat bahwa respon dalam besaran styy adalah

fungsi dari rasio waktu pulsa (pulse duration) dengan periode natural dari sistem

(td/T) dan dari waktu yang dinyatakan dengan t/T. Jadi dari harga tertentu

parameter td/T akan diperoleh respon maksimum pada persamaan (7.10). Gambar

7.3 menunjukan respons spektrum dari persamaan (7.10).

Gambar 7.3 Respons spektrum untuk setengah gaya sinusoidal dengan selang waktu td.

7.2 Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak

Analisa sistem yang dipengaruhi oleh beban pada perletakan/pondasi

merupakan suatu masalah penting yang ada pada dinamika struktur.

(a)

(b)

k k

m

c

m

k

y

c

ys

sty

y

Ttd

kmT 2

(7.10a)

(7.10b)


Gambar 7.4 Osilator sederhana teredam yang dipengaruhi oleh penyokongnya, (b) diagram free

body.

Percepatan getaran yang menyebabkan pergerakan pondasi bisa digambarkan

sebagai berikut:

Gambar 7.5 Fungsi percepatan yang memmpengaruhi penyokong dari osilator pada Gambar 7.4.

Persamaan gerak sistem pada diagram free body dapat ditulis

0)()( ss yykyycym dengan,

mkcc

c

mk

cr

cr

.2,,

maka persamaan (7.11) menjadi:

)(2)(2 22 tytyyyy ss yang merupakan persamaan differensial gerak dari osilator teredam dalam besaran

gerak absolut. Jika dirumuskan perpindahan relatif u yang didefinisikan sebagai

syyu maka persamaan (7.12) dapat ditulis

)(2 2 tyuuu s solusi persamaan (7.14) diperoleh dengan menggunakan integral Duhamel sebagai

dteytu tt

s )(sin)(1

)( )(

0

7.3 Besaran- Besaran Respons Spektrum

Spektrum perpindahan SD adalah perpindahan relatif maksimum yang linear

dengan spektrum percepatan Sa yaitu percepatan absolut maksimum.

Da SS2

aDV

SSS

)(tys

t

(7.11)

(7.12)

(7.13)

(7.14)

(7.15)

(7.16)

(7.17)


Suatu contoh respons spektrum perpindahan untuk sistem SDOF yang

dipengaruhi oleh gerak penyokong terlihat pada gambar 7.6, yang merupakan

respons dari gerakan hasil rekaman percepatan tanah pada gempa di El Centro

1940. Plot dari rekaman percepatan gempa ini terlihat pada Gambar 7.7.

Gambar 7.6 Respons spektrum perpindahan untuk sistem elastis yang dipengaruhi pergerakan

tanah akibat gempa di El Centro 1940.

Gambar 7.7 Rekaman percepatan tanah untuk gempa El Centro, California 18 Mei 1940 konponen

utara-selatan.

Pada Gambar 7.8, bentuk data yang sama digunakan untuk mendapatkan

respons spektrum perpindahan pada Gambar 7.6, yang diplot dalam besaran

spektrum kecepatan untuk beberapa harga koefisien redaman, dengan perbedaan

absis dan ordinat dalam skala logaritmis.


Gambar 7.8 Respons spektrum sistem elastis untuk gempa El Centro 1940.

Untuk menyatakan bentuk dari diagram tiga besaran pada Gambar 7.8,

persamaan (7.17) ditulis dalam besaran frekuensi natural f dalam siklus per detik

(spd) dan mengambil harga logaritmanya, akan didapat

)2log(loglog

2

DV

DDV

SfS

SfSS

2logloglog

2

a

V

aa

V

SfS

f

SSS

7.4 Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis

Gempa bumi terdiri dari suatu seri gerakan tanah yang bersifat acak

(random). Biasanya komponen utara-selatan, timur-barat dan komponen vertikal

dari percepatan tanah yang diukur. Respons spektrum rencana yang merupakan

gabungan spektrum beberapa gempa bumi yang dinyatakan oleh suatu bentuk

spektrum rata-rata digunakan dalam perencanaan struktur tahan gempa, karena

saat ini tidak ada metode yang dapat menduga bentuk gerakan gempa pada suatu

lokasi yang akan terjadi. Respons spektru rencana ini diperlihatkan pada Gambar

8.9.

(7.18)

(7.19)


Gambar 7.9 Respons spektrum rencana yang dinormalisasikan untuk 1.0g.

Contoh 7.1

Struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai

perioda alami Tn= 1 detik. Metoda spektrum respons untuk menentukan

percepatan absolut maksimum, perpindahan relatif maksimum dan kecepatan

(pseudovelocity) relatif maksimum untuk:

a) gerakan pondasi yang sama dengan gempa El Centro 1940

b) gempa rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0.32g.

Dengan anggapan redaman sebesar 10% redaman kritis.

Solusi :

a. Dari spectrum respons pada gambar 8.8 dengan f=1/T=1.0 spd dan =0.10,

maka

SD = 3.3 in

SV = 18.5 in/dt

Sa = 0.30 g

b. Dari spectrum dasar rencana pada gambar 8.9, dengan f=1/T=1.0 spd dan

=0.10, untuk percepatan tanah maksimum 0.32g, maka

SD = 9.5 x 0.32 = 3.04 in,


SV = 60 x 0.32 = 19.2 in/det,

Sa = 0.95 x 0.32g = 0.304g.

BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK

(MDOF)

8.1 Sistem MDOF Sederhana

Persamaan gerak untuk sistem MDOF sederhana, dapat diidealisasikan pada

struktur portal tingkat dua dengan gaya luar p1(t) dan p2(t) (gambar 8.1).

Gambar 8.1. (a) Struktur portal tingkat dua (b) gaya yang bekerja pada kedua massa

Pada idealisasi tersebut balok dan lantai adalah kaku. Massa yang

terdistribusi pada seluruh gedung. akan diidealisasikan terpusat pada bidang

lantai. Asumsi tersebut umumnya sesuai untuk bangunan bertingkat. Pada gambar

8.1a diatas, portal tingkat dua dengan massa terpusat pada setiap lantai memiliki

dua DOF : perpindahan lateral u1 dan u2 pada kedua lantai dalam arah x.

Gaya-gaya yang bekerja untuk setiap massa lantai mj dapat dilihat pada

gambar 8.1b., termasuk gaya luar pj(t), gaya elastic fSj dan gaya redaman fDj. Gaya

elastis dan redaman menunjukan arah yang berlawan, karena kedua gaya tersebut

adalah gaya dalam yang menahan gerakan.

8.2 Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF

Persamaan gerak dari hukum Newton kedua yang diberikan untuk setiap

massa adalah

)(tpffum jSjjDjj

Persamaan diatas terdiri dari j=1 dan j=2 sehingga dapat ditulis dalam bentuk

matrik ;

)(

)(

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

tp

tp

f

f

f

f

u

u

m

m

S

S

D

D

atau dapat ditulis ;

pffum (t)SD

(8.1)

(8.2)

(8.3)


dimana

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

p

p

f

f

f

f

m

m

u

u

S

S

S

D

D

D p f f m u

Gaya elastis fS berhubungan dengan perpindahan yang terjadi pada setiap lantai u.

Oleh karena itu, kekakuan lateral kj untuk setiap lantai ke-j memberikan hubungan

geser pada lantai Vj terhadap deformasi lantai, j = uj-uj-1.

jjj kV

Kekakuan pada setiap tingkat atau lantai adalah jumlah kekakuan lateral dari

semua kolom di lantai tersebut. Tingkat atau lantai dengan tinggi h dan kolom

dengan modulus E dan momen inersia Ic maka kekakuan lantai tersebut adalah

kolom

cj

h

EIk

3

12

Pada gambar 8.1, kita dapat menghubungkan gaya elastis fS1 dan fS2 terhadap u1

dan u2 .Gaya fS1 pada lantai pertama tersusun atas a

Sf 1 dari tingkat atas danb

Sf 1 dari

tingkat bawah. Oleh karena itu a

S

b

SS fff 111

)( 212111 uukukfS

Gaya fS2 pada lantai kedua adalah

)( 1222 uukfS Persamaan (8.6a) dan (8.6b) dalam bentuk matrik adalah

kuf

S

S

Satau

u

u

kk

kkk

f

f

2

1

22

221

2

1

Dengan cara yang sama pada persamaan (8.6), dapat diperoleh

)( 212111 uucucfD

)( 1222 uucfD dan dalam bentuk matrik adalah

ucf

D

D

Datau

u

u

cc

ccc

f

f

2

1

22

221

2

1

Dengan mensubstitusikan persamaan (8.7) dan persamaan (8.9) kedalam

persamaan (8.3), maka diperoleh

pkuucum (t)

8.3 Prinsip DAlemberts pada Sistem MDOF

Berdasarkan prinsip D Alemberts pada bab sebelumnya, adanya gaya

inersia pada kesimbangan dinamis pada sebuah struktur. Untuk dua massa dalam

(8.4)

(8.5)

(8.6a)

(8.6b)

(8.7)

(8.8)

(8.9)

(8.10)


sistem pada gambar 8.1a, free body diagram dan gaya inersianyanya dapat dilihat

pada gambar 8.2, dimana untuk setiap gaya inersia adalah perkalian massa dengan

percepatannya.

Gambar 8.2. Free Body Diagram

8.4 Sistem Massa Pegas Redaman

Gambar 8.3. (a) Sistem berderajat dua; (b) free body diagram

Persamaan gerak untuk sistem diatas telah ditunjukan oleh persamaan (8.10),

sehingga;

)(

)(

0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

tp

tp

u

u

kk

kkk

u

u

cc

ccc

u

u

m

m

Contoh 8.1

Buat persamaan gerak untuk portal dua tingkat dibawah ini.

(8.11)


Solusi:

mmmm 21 2

332331

24122

482122

h

EI

h

)(EI k

h

EI

h

)EI(k cccc

Substitusikan ke persamaan (8.2) dan (8.7), sehingga diperoleh matrik massa dan

matrik kekakuan:

k m

11

1324

10

023h

EIm c

Jadi persamaan gerak untuk sistem ini adalah

)(

)(

11

1324

10

02

2

1

2

1

3

2

1

tp

tp

u

u

h

EI

u

um c

Contoh 8.2

Buat persamaan gerak untuk portal tiga tingkat (bangunan berlantai tiga) dibawah

ini.

p3(t)

p2(t)

p1(t)

u1

u3

p3(t)

p2(t)

p1(t)

33um

)( 233 uuk

)( 233 uuk

22um

)( 122 uuk

)( 122 uuk

11uk

11um

fI2

fI1

u2


Solusi:

Persamaan-persamaan gerak dari masing-masing free body diagram pada setiap

massa,

0)()(

0)()()(

0)()(

323333

223312222

11221111

tpuukum

tpuukuukum

tpuukukum

Sehingga persamaan gerak dalam bentuk matrik dari sistem ini adalah

)(

)(

)(

0

)(

0)(

00

00

00

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

3

2

1

3

2

1

tp

tp

tp

u

u

u

kk

kkkk

kkk

u

u

u

m

m

m

8.5 Koefisien Kekakuan

Elemen-elemen dari mtriks kekakuan pada persamaan (8.7) disebut

koefisien kekakuan. Dimana pada umumnya koefisien kekakuan kij didefinisikan

sebagai gaya pada koordinat i bila satu perpindahan diberikan pada titik j. Sebagai

contoh, koefisien pada baris kesatu dan kolom kesatu dari persamaan (8.7) adalah

k11=k1+k2 menyatakan gaya pada lantai kesatu akibat satu perpindahan yang

diberikan pada lantai tersebut.

u2 u1

u1

u3

p3(t) p2(t) p1(t)

u2 u3

11uk)( 122 uuk )( 233 uuk

p3(t) p2(t)

p1(t)

22um 33um 11um


Contoh 8.3

Buat persamaan gerak pada contoh soal 8.1 dengan menggunakan koefisien

kekakuan.

Solusi:

Matrik kekakuan

Pertama, kita tentukan matriks kekakuan dengan menentukan nilai u1 = 1 dan u2 =

0. Koefisien kekakuan adalah ki1 . Diperlukan gaya pada bagian atas dan bawah

untuk setiap lantai atau tingkat untuk menahan perubahan bentuk pada struktur,

yang digambarkan oleh kekakuan k1 dan k2. Dari contoh 8.1, diperoleh

3231

Buku Ajar Dinamika Ir. Sugeng p. Budio

Documents