Buenas Noches

Buenas Noches.

El presente correo es para informarles sobre el trabajo que deben desarrollar.

Deben hacer una revisión bibliográfica sobre los siguientes temas:

Modelos AR Modelos MAModelos ArimaRuido BlancoMetodologia Box Jenkins.

Ademas deben buscar un articulo en la base de datos referente a las series de tiempo y aplicaciones y desarrollar un análisis interpretativo critico de dicho articulo.

El análisis se debe desarrollar en ingles.

pronosticos en los negocios octava edicion jhon janke, dean wichern, editorial Pearson educación , mexico 2006

Modelo autorregresivoEn estadística y procesamiento de señales, un modelo autorregresivo (AR) es una representación de un tipo de proceso aleatorio, como tal, que describe ciertos procesos variables en el tiempo ya sea en la naturaleza, la economía, etc. El modelo autorregresivo especifica que la variable de salida depende linealmente de sus propios valores anteriores. Se trata de un caso especial del más general del modelo ARMA de series de tiempo.

Definición[editar · editar código]

La notación AR (p) presenta un modelo autorregresivo de orden p. El modeloAR (P) se define como:

donde   son los parámetros del modelo,,   es una constante, y   es Ruido blanco. Esto se puede escribir de manera equivalente usando el operador de backshift B como

de manera que, moviendo el término sumatorio hacia el lado izquierdo y el uso de la notación polinómica, tenemos

Un modelo autorregresivo por lo tanto se puede ver como la salida de un todo- polo respuesta de impulso infinito filtro cuya entrada es ruido blanco.

Algunas limitaciones son necesarios en los valores de los parámetros de este modelo con el fin de que el modelo se mantiene estacionario en sentido amplio . Por ejemplo, los procesos en el (1) con el modelo |φ1| ≥ 1 no son estacionarias. Más en general, para un modelo AR (p) para ser estacionario en sentido amplio, las raíces del polinomio \  debe estar dentro del círculo unitario , es decir, cada raíz   debe satisfacer 

Efecto intertemporal de los choques[editar · editar código]

En un proceso AR, un choque de una sola vez afecta a los valoresde la variable evolución infinitamente lejos en el futuro. Por ejemplo, considere el (1) el modelo AR  .Un valor distinto de cero para   el digamos el momento t =

1 afecta   por la cantidad  . A continuación, por la ecuaciónpara la AR   en términos de  , Esto afecta   por la cantidad  . A continuación, por la ecuación para la AR   

en términos de  , Esto afecta   por la cantidad  . Continuando este proceso muestra que el efecto de   nunca termina, aunque si el proceso es estacionario , entonces el efecto disminuye hacia cero en el límite.

Debido a que cada choque afecta a los valores de X infinitamentelejos en el futuro desde el momento en que se producen, cualquier valor dadoXt es afectada por perturbaciones que ocurren

infinitamente lejos en el pasado. Esto también se puede ver mediante la reescritura de la autorregresión

(Donde el término constante ha sido suprimida por el supuestode que la variable se ha medido como desviaciones de su media) como

Cuando la división polinómica en el lado derecho se llevaa cabo, el polinomio en el operador aplica a backshift \ Varepsilon_t tiene, es decir, un número infinito de valores rezagados de un infinito de orden que \ Varepsilon_t aparecerá en el lado derecho de la ecuación.

Modelo autorregresivo de media móvil

En estadística, los modelos autorregresivos de media móvil (en inglés AutoRegressive Moving Average models, abreviados ARMA), también llamados Modelos Box-Jenkins, se aplican a series temporales de datos.

Dada una serie temporal de datos Xt, el modelo ARMA es una herramienta para entender y, aún más, para predecir futuros valores de la serie. El modelo está formado por dos partes, una parte autorregresiva (AR) y otra de media móvil (MA). El modelo se conoce con el nombre de modelo ARMA (p,q), donde p es el orden de la parte autorregresiva y q es el orden de la parte de media móvil.

Índice [ocultar]

1 Modelo autorregresivo

1.1 Ejemplo: Un proceso AR(1)

2 Modelo de medias móviles

3 Modelo autorregresivo de media móvil

4 Nota sobre los términos de error

5 Especificación en términos del operador retardo (lag operator)

6 Modelos de ajuste (fitting models)

7 Generalizaciones

8 Referencias

Modelo autorregresivo[editar · editar código]

La notación AR(p) se refiere a un modelo autorregresivo de ordenp. Un modelo AR(p) puede escribirse como:

X_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t .\,

donde \phi_1, \ldots \phi_p son los parámetros del modelo, c es una constante y \epsilon_t es un término de error. Muchos autores omiten el término constante, para fines de simplificación.

Un modelo autorregresivo es esencialmente un filtro de respuestainfinita al impulso IIR, con determinada interpretación adicional.

Se debe tener en cuenta que es necesario imponer ciertas restricciones a los valores de los parámetros de este modelo para que funcione correctamente (proceso estacionario). Por ejemplo, en un modelo AR(1), si |φ1| > 1 el modelo no tendrá un buen comportamiento.

Ejemplo: Un proceso AR(1)[editar · editar código]

Un proceso AR(1) está dado por:

X_t = c + \phi X_{t-1}+\epsilon_t,\,

donde \epsilon_t es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza \sigma^2. (Nota: El subíndice en \phi_1 se omitió.) El proceso es de covarianza estacionaria si |\phi|<1. Si \phi=1, entonces X_t tiene una raíz unitaria. El cálculo de la esperanzade X_t es directo. Asumiendo la covarianza estacionaria, tenemos:

\mbox{E}(X_t)=\mbox{E}(c)+\phi\mbox{E}(X_{t-1})+\mbox{E}(\epsilon_t)\Rightarrow \mu=c+\phi\mu+0.

entonces:

\mu=\frac{c}{1-\phi},

donde \mu es la media. La varianza es:

\textrm{var}(X_t)=E(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}

La función de autocorrelación viene dada por:

B_n=E(X_{t+n}X_t)-\mu^2=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\,\,\phi^{|n|}

Se puede ver que la función de autocorrelación decrece con un intervalo de decrecimiento de \tau=-1/\ln(\phi).

La función de densidad espectral es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación. En términos discretos, ésta sería la transformada de Fourier de tiempo discreto:

\Phi(\omega)=

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n}

=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma^2}{1+\phi^2-2\phi\cos(\omega)}\right)

Esta expresión contiene aliasing debido a la naturaleza discretade X_j. Si asumimos que el intervalo de la muestra es mucho menor que el intervalo de decrecimiento (\tau\ll 1), entonces podemos utilizar una aproximación continua a B_n:

B(t)\approx \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\,\,\phi^{|t|}

que da un perfil Lorentzian para la densidad espectral:

\Phi(\omega)=

=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}

donde \gamma=1/\tau es la frecuencia angular asociada con el intervalo de decrecimiento \tau.

Una expresión alternativa para X_t se puede obtener substituyendo primero c+\phi X_{t-2}+\epsilon_{t-1} por X_{t-1} en la ecuación de definición.

Continuando este proceso N veces, obtenemos:

X_t=c\sum_{k=0}^{N-1}\phi^k+\phi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\phi^k\epsilon_{t-k}

Cuando N tiende a infinito, \phi^N tiende a cero y:

X_t=\frac{c}{1-\phi}+\sum_{k=0}^\infty\phi^k\epsilon_{t-k}

Véase que X_t es ruido blanco convolucionado con \phi^k más la constante de la media. Por el teorema del límite central, X_t será distribuido normalmente como cualquier muestra de X_t, que es más grande que el intervalo de decrecimiento de la función deautocorrelación.

Modelo de medias móviles[editar · editar código]

La notación MA(q) se refiere a un modelo de media móvil de ordenq.

X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,

donde θ1, ..., θq son los parámetros del modelo y εt, εt-1,... son, de nuevo, los términos de error.

Un modelo de medias móviles es esencialmente un filtro de respuesta finita al impulso FIR, con cierta interpretación adicional.

Modelo autorregresivo de media móvil[editar · editar código]

La notación ARMA(p, q) se refiere a un modelo con p terminos autorregresivos y q términos de media móvil. Este modelo combinalos modelos AR e MA:

X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,

Nota sobre los términos de error[editar · editar código]

Habitualmente se asume que los términos de error εt son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, tomadas de una muestra con distribución normal de media cero: εt

~ N(0,σ2), donde σ2 es la varianza. Estas suposiciones pueden ser frágiles y, si no se cumplen, pueden cambiar las propiedadesdel modelo. De hecho, un cambio en la suposición de independencia y distribución idéntica podría dar lugar a una diferencia considerable.

Especificación en términos del operador retardo (lag operator)[editar · editar código]

En algunos textos los modelos se especifican en términos del operador retardo L. En estos términos, el modelo AR(p) viene dado por:

\varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \phi X_t\,

donde φ representa el polinomio

\phi = 1 - \sum_{i=1}^p \phi_i L^i.\,

Un modelo MA(q) viene dado por:

X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta \varepsilon_t\,

donde θ representa el polinomio

\theta= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i.\,

Por último, el modelo combinatorio ARMA viene dado por

\left(1 - \sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,

o, de forma más concisa,

\phi X_t = \theta \varepsilon_t.\,

Modelos de ajuste (fitting models)[editar · editar código]

En general, tras seleccionar p y q, los modelos ARMA pueden ajustarse mediante regresión de mínimos cuadrados para encontrarlos valores de los parámetros que minimizan el término de error.

Se considera generalmente una buena práctica encontrar los valores menores de p y q que proporcionan un ajuste aceptable a los datos. Para un modelo puro AR, deben utilizarse las ecuaciones Yule-Walker para proporcionar un ajuste.

Generalizaciones[editar · editar código]

La dependencia de Xt de valores pasados y en los términos de error εt se asume que es lineal, salvo que se especifique lo contrario. Si la dependencia no es lineal, entonces el modelo sellama específicamente modelo de media móvil no lineal (NMA), modelo autorregresivo no lineal (NAR) o modelo autorregresivo demedia móvil no lineal (NARMA).

Los modelos autorregresivos de media móvil pueden generalizarse con otros métodos. Véanse también los modelos ARCH (modelos de heterocedasticidad condicional autorregresivos) y los modelos autorregresivos integrados de medias móviles ARIMA (modelos autorregresivos integrados de medias móviles). Si tenemos que ajustar múltiples series temporales, entonces se puede ajustar un modelo vectorial ARIMA (VARIMA). Si las series temporales en cuestión muestran una memoria lejana, entonces es apropiado un modelo ARIMA fraccional (FARIMA, a veces denominado ARFIMA). De pensar que los datos presentan estacionalidad, entonces debe usarse un modelo SARIMA.

Series TemporalesModelo Autorregresivo

Las observaciones de una serie cronológica están asociadas a los diferentes valores que alcanza una magnitud que varía en el tiempo. Tales valores se guardan en una lista de la forma

(y1, y2, ..., yn).

El ajuste autorregresivo de orden p, AR(p), consiste en suponer que los valores registrados han sido generados por un modelo subyacente de la forma

esto es, la lectura que se obtiene en la etapa i-ésima depende linealmente de las últimas p observaciones, más un error aleatorio representado aquí por ei. Otras hipótesis adicionalesdel modelo son:

1.El proceso es estacionario hasta el segundo orden (significa esto que la esperanza estocástica de las observaciones es constante y que la covarianza entre observaciones depende únicamente de su separación en el tiempo).

2.Los residuos ei son normales de media nula y varianza   desconocida; estos residuos son, porlo demás, independientes entre sí y de las variables yi del proceso.

Tal como ha quedado especificado, el modelo AR(p) tiene p+2 parámetros a estimar a partir de los datosobservados:

Los p+1 coeficientes autorregresivos

La varianza del residuo,  .

El método de estimación adoptado aquí es el de los mínimos cuadrados, que consiste en calcular los parámetros autorregresivos de forma tal que minimicen el error cuadrático

Así, el estimador del vector paramétrico es

siendo

habiéndose indicado la transposición matricial mediante el superíndice T.

El estimador mínimo cuadrático de la varianza  , o varianza residual, se calcula mediante

La etapa de validación es la fase en la que se comprueba que el modelo AR(p) explica aceptablementela serie numérica observada; en ella se debe analizar si las hipótesis del modelo son válidas.

Nos limitamos aquí al chequeo de los residuos estimados

Media nula y varianza constante: la serie de residuos estimados

debe comportarse de forma que no experimente tendencias ni alteraciones importantes en su variabilidad a lo largo del tiempo. En la esquina inferior derecha del applet se representaesta serie de residuos, junto con su intervalo de confianza del 95% bajo las hipótesis mencionadas.

Independencia: para contrastar que los residuos son independientes se plantea la hipótesis nula

H0: "los k primeros coeficientes de correlación son nulos:

".

frente a la alternativa:

H1: "al menos existe un coeficiente de correlación no nulo:  ".

Se calcula para ello el estadístico de Ljung-Box:

el cual se distribuye como una distribución , siendo (r1, r2, ..., rk) las correlaciones correspondientes a los k primeros retardos. El valor k elegido para la realización del test es el entero más próximo a 10 log10(n-p). El contraste se realiza para un nivel de significación del 5%.

Caso

Durante la fase temprana del periodo menstrual de una mujer sana se han registrado, a partir de muestras sanguíneas, durante ocho horas y a intervalos de diez minutos, los niveles de cierta hormona cuyo papeles importante en el proceso reproductivo. Las 48 lecturas realizadas son las siguientes:2.42.42.42.22.11.52.32.32.52.01.91.72.21.83.23.2

2.72.22.21.91.91.82.73.02.32.02.02.92.92.72.72.3

2.62.41.81.71.51.42.13.33.53.53.12.62.13.43.02.9

Mediante el ajuste de un modelo matemático se quiere caracterizar la serie para establecer las diferencias entre las propiedades de las series tomadas en otras fases del ciclo menstrual.

Para el orden p=1, se obtiene el modelo

yi = 0.9999 + 0.5860 yi-1,para todo i= 2, ..., n. La varianza residual asociada es de 0.2016. Delgráfico de los residuos, éstos no parecen experimentar tendencia a lo largo del tiempo, ni que su variabilidad se vea alterada; además, la mayor parte de ellos se mantienen dentro de los márgenes de confianza,lo que nos permite concluir que las hipótesis de normalidad, nulidad de la esperanza y constancia de la variancia (homocedasticidad) son válidas. Por otro lado, según el contraste de Ljung-Box, la hipótesis de independencia de estos residuos puede mantenerse como aceptable al nivel de significación del 5%. A falta de un chequeo más exhaustivo, parece que el modelo estimado se ajusta razonablemente bien a la serieobservada de niveles hormonales. Experimentando con órdenes superiores(p= 2, 3, ...), el análisis de los residuos sigue dando resultados razonables, pero mejorando muy levemente la varianza residual, lo que induce a tomar como bueno el modelo autorregresivo AR(1), ya que el aumento de su complejidad no redunda en una mejora sensible del poder predictivo de éste.

Modelo maModelos ARIMA 3.2.- Conceptos previos II: Modelos MA y Modelos ARMA 

IDEAS CLAVE: 

 ■ Una alternativa de modelización pasa por tratar de explicar el comportamiento de una variable y, no en función de los valores que tomó en el pasado (modelos AR) sino a través de los errores al estimar el

valor de la variable en los períodos anteriores. Ello da lugar a los modelos de medias móviles (o Modelos MA, por sus siglas en inglés).  ■ Por ejemplo, un modelo MA(1) viene dado por la expresión

donde   es el valor constante alrededor del cual se mueve la variable, y ha de ser estimado igualmente con los coeficientes   . En general un modelo MA(q) viene dado por la expresión:

 ■ Al igual que ocurría con los modelos AR, en series con componente estacional es frecuente que el retardo coincida con la periodicidad delos datos.  ■ Entre los modelos AR y los Modelos MA existe una relación, bajo ciertas condiciones,  que es útil conocer.  ■ Los modelos ARMA integran a los Modelos AR y a los Modelos MA en una única expresión. Por tanto, la variable y queda explicada en función de los valores tomados por la variable en períodos anteriores,y los errores cometidos en la estimación. Una expresión general de un modelo ARMA (p, q) viene dado por

que, es la unión de un modelo AR(p) y un modelo MA(q).  ■ Obviamente, los modelos AR (p) se corresponden con modelo ARMA (p,0), mientras que los modelos MA (q) se corresponden con ARMA (0,q).

Relación entre modelos AR y MA

Bajo ciertas condiciones los modelos AR y los MA pueden relacionarse. Estas condiciones se denominan de invertibilidad y de estacionariedad.La explicación de tales características requiere de un instrumental matemático específico, que supera los límites de este curso, por lo que tan solo haremos mención a la intuición de las mismas, sabiendo que se trata de características, por lo demás, fáciles de encontrar desde el punto de vista práctico en las series a modelizar.Por ejemplo, supongamos un modelo AR(1) sin termino independiente como:

Puesto que

podríamos llegar, por sustituciones sucesivas a una expresión como:

Es decir, un proceso autorregresivo de primer orden es equivalente a una media móvil de infinitos términos con una ponderación decreciente en forma exponencial, cuando

Este resultado es generalizable, y puede demostrarse que bajo las condiciones de estacionariedad un modelo AR de orden reducido puede transformarse en un modelo MA de orden elevado o, teóricamente, infinito. De igual forma, bajo las condiciones de invertibilidad, modelos MA de orden reducido pueden aproximarse por modelos AR de un número suficientemente elevado de términos.La utilidad de esta relación estriba en que, por aplicación de un principio de parsimonia o economicidad (y sin olvidar que, en la práctica, puede favorecer la estimación del modelo) es preferible un modelo sencillo, con el menor número posible de términos y, por lo tanto, de parámetros a estimar, frente a un modelo con un gran número de coeficientes, siempre que, por supuesto, nos conduzca a resultados similares.

Ruido blanco

Ruido blanco

Ejemplo de la forma de onda de un ruido blanco.

Densidad espectral de potencia (PSD) del ruido blanco estimada con el método de Welch. Eje de las ordenadas (y): potencia/frecuencia (dB/Hz); eje de las abscisas (x): frecuencia (KHz).

El ruido blanco o sonido blanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, sudensidad espectral de potencia (PSD, siglas en inglés de power spectral density) es una constante, es decir, su gráfica es plana.1 Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencia. Igual fenómeno ocurre con la luz blanca,de allí la denominación.

Ruido blanco - Ruido aleatorio que posee la misma densidad espectral de potencia a lo largo de toda la banda de frecuencias. Dado que la luz blanca es aquella que contiene todas las frecuencias del espectro visible,el ruido blanco deriva su nombre de contener también todas las frecuencias.

El ruido blanco es una señal no correlativa, es decir, en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna relación unos con otros. Cuando se dice que tiene una densidad espectral de potencia plana, con un ancho de banda teóricamente infinito, es que en un gráfica espectral de frecuencia tras haber realizado una descomposición espectral de Fourier, en el dominio de la frecuencia veríamos todas las componentes con la mismaamplitud, haciendo el efecto de una línea continua paralela al eje horizontal.

http://www.duiops.net/hifi/enciclopedia/ruido-blanco.htm

Si la PSD no es plana, entonces se dice que el ruido está "coloreado" (correlacionado). Según la forma que tenga la gráfica de la PSD del ruido,se definen diferentes colores.

Índice

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1   Ejemplos

2   Definición matemática

3   Análisis y síntesis de procesos estocásticos WSS coloreados

4   Aplicaciones

o 4.1   Procesamiento de señal

o 4.2   Generación de números aleatorios

o 4.3   Uso en vehículos de emergencia

o 4.4   Uso en los seres humanos

5   Véase también

6   Referencias

7   Enlaces externos

Ejemplos[editar · editar código]

Ejemplo de ruido blanco

MENÚ

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¡Precaución! Se sugiere escuchar a un nivel bajo de volumen para evitar daños auditivos y en el sistema de amplificación

¿Problemas al reproducir este archivo?

Imagen B/N de ruido blanco.

Esta imagen en B/N también2 es ruido blanco, sus píxeles no guardan correlación entre sí y por tanto su densidad espectral de potencia es constante. Si la imagen fuese en color, entonces la "nieve" sería de colores aleatorios.

Esta es la típica imagen que se ve en la pantalla de un televisor analógico cuando no está sintonizado en ningún canal. La señal que recibe entonces el demodulador puede considerarse ruido blanco, ya que es el resultado de sumar el ruido electromagnético del canal radio más el que generan los propios circuitos electrónicos del televisor, múltiples interferencias de baja intensidad todas ellas independientes entre sí, etc. En este último caso, la "nieve" no permanecería estática, sino que cambiaría constantemente con el tiempo, porque la señal de televisión es una señal de video, por ejemplo, una sucesión de imágenes (más de 25 fotograma/s).

Definición matemática[editar · editar código]

La autocorrelación de cualquier proceso estocástico blanco es una delta.

Densidad espectral de potencia del ruido blanco. La PSD de cualquier proceso estocástico blanco es una constante. Eje de las ordenadas (y): densidad espectral de potencia (PSD) (W/Hz/muestra); eje de las abscisas (x): frecuencia discreta normalizada (f = ω/2π).

El ruido blanco es un caso particular de proceso estocástico WSS en el cual lasvariables aleatorias que lo forman no están correlacionadas. Es decir, si se tiene un proceso estocástico   WSS (lo supondremos de tiempo discreto y real, de manera equivalente para procesos de tiempo continuo), debe ocurrir entonces que:

Si, en lugar de tener la distribución de probabilidad del proceso, lo que tenemos es una realización temporal del mismo en forma de vector columna   (lo más usual), entonces las ecuaciones anteriores se expresarán normalmente en forma matricial

Como el proceso no está correlacionado, su función de autocorrelación es unadelta y su densidad espectral de potencia (PSD, Power Spectral Density)   es una constante

Como la PSD es constante, la señal no está limitada en banda y su potencia es -teóricamente- infinita. En la práctica, se considera que una señal es blanca si su PSD es constante en la banda de frecuencia de interés en la

aplicación. Por ejemplo, si se trata de una aplicación deaudio, el ruido será blanco si su espectro es plano entre20 Hz y 20 KHz, que es la banda de frecuencia que resulta audible para el oído humano.

En cualquier proceso estocástico existen siempre dos componentes:

una componente innovadora, que no se puede predecir mediante predicción lineal y que representa la entropía, la incertidumbre, elcaos, lo que no se puede predecir de ninguna manera;

una componente redundante que es posible predecir y, por tanto, eliminar (en esto se basan las técnicas de compresión sin pérdidas de la señal como, por ejemplo, ADPCM o, más específicamente para señales de voz, la norma G.721).

La PSD es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación y, como ésta es una transformación matemática unívoca, se ve que la función de autocorrelación y la PSD contienen básicamente la misma información acerca de una señal. Son dos formas distintasde ver lo mismo: el grado de entropía de una señal. La entropía de una señal en este caso puede verse como una medida de lo plano que es su espectro. De una señal cuyo espectro no sea plano se dice que está "coloreada" (autocorrelacionada o que tiene redundancia).

El ruido blanco es un proceso completamente innovador, caótico, no tiene redundancia y, por tanto, no puede comprimirse.

Análisis y síntesis de procesos estocásticos WSS coloreados[editar · editar código]

También se puede ver el ruido blanco como el residuo que queda después de extraer toda la redundancia a un procesoestocástico WSS coloreado. De hecho, es posible demostrarque todo proceso estocástico estacionario en sentido

amplio (WSS, del inglés wide-sense stationarity) se puede obtener filtrando ruido blanco con un filtro todo polos (modelo AR), con un filtro todo ceros (modelo MA) o con un filtro de polos y ceros (modelo ARMA).

En el siguiente diagrama se filtra ruido blanco   mediante el filtro lineal  , obteniendo a la salida el proceso   coloreado (el filtro   introduce correlación entre las muestras del proceso  )

Proceso estocástico WSS genérico obtenido filtrando ruido blancocon el filtro lineal H.

Haciendo predicción lineal sobre  , se obtiene el filtro  , que es el filtro inverso (filtro de deconvolución) de   y que permite, después de ajustar las medias de los procesos, obtener de nuevo el proceso de ruido blanco original  .

Recuperación del proceso de ruido blanco mediante el filtro blanqueador  .

Estas técnicas tienen gran importancia en el procesamiento de la señal. En el filtrado adaptativo se usan para estudiar la estabilidad de algoritmos adaptativos para filtros IIR.

En codificación de voz, el códec vocoder en ningún momento transmite las muestras de la señal, sino un bit que decide si el fonema es sordo/sonoro y a continuación los parámetros del modelo de predicción lineal para cada caso (filtro   del diagrama). Con esta técnica se consigue codificar la voz con tasas tan bajas como 2,4 kbps y con una calidad suficientemente inteligible.

Aplicaciones[editar · editar código]Procesamiento de señal[editar · editar código]En general, el ruido blanco tiene muchas aplicaciones en procesado de señales:

Sirve para determinar la función de transferencia de cualquier sistema lineal e invariante con el tiempo (LTI, Linear Time Invariant). Por ejemplo, en acústica arquitectónica la función de transferencia seusa para medir el aislamiento acústico y la reverberación de la sala.

En síntesis de audio (música electrónica) se usa para sintetizar el sonido de instrumentos de percusión, o los fonemas sordos: /s/, /t/, /f/, etc.

También se puede usar para mejorar las propiedades de convergencia de ciertos algoritmos de filtrado adaptativo mediante la inyección de una pequeña señal de ruido blanco en algún punto del sistema.

Generación de números aleatorios[editar · editar código]El ruido blanco generado por ciertos procesos físicos naturales o artificiales se usa como base para la generación de números aleatorios de calidad, puesto que es, como ya se ha dicho, una fuente de entropía.

Uso en vehículos de emergencia[editar · editar código]Algunos vehículos de emergencia lo usan debido a que es fácil distinguirlo del ruido de fondo y no queda enmascarado por el eco, por lo que es más fácil su localización espacial.

Uso en los seres humanos[editar · editar código]El ruido blanco puede usarse para desorientar a personas antes de un interrogatorio y como técnica de privación sensorial.

Por otra parte, el ruido blanco de baja intensidad puede favorecer la relajación y el sueño (véase insomnio). En tiendas especializadas pueden adquirirse discos compactos con largas secuencias de ruido blanco, así comoaparatos electromecánicos que hacen uso delprincipio del ruido

blanco para "enmascarar" los ruidos repentinos y molestos.

Box

Metodología de Box-JenkinsEsta página o sección está siendo traducida, razón por la cual puede haber lagunas de contenidos, errores sintácticoso escritos sin traducir.Puedes colaborar con Wikipedia continuando con la traducción desde el artículo original.

En el análisis de series de tiempo, la metodología de Box-Jenkins, nombrada así en honor a los estadísticos George Box y Gwilym Jenkins 1  , se aplica a los modelos autorregresivos de media móvil ARMA o a los modelos autorregresivos integrados de media móvilpara encontrar el mejor ajuste deuna serie temporal de valores, a fin de que los pronósticos sean más acertados.2 3

Índice

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1   Enfoque de metódo

2   Identificación del modelo Box-Jenkins

o 2.1   Estacionariedad y estacionalidad

o 2.2   Diferenciación estacional

3   Identificar p y q

4   Referencias

Enfoque de metódo[editar · editar código]

El metódo original utiliza un enfoque de modelado iterativo en tres etapas:

1. Identificación del modelo y de la selección del modelo: asegurarse de que las variables son estacionaria, la identificación de laestacionalidad de la serie dependiente (diferenciando en temporada si es necesario), y el uso de los graficos de las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de la serie de tiempo dependiente para decidir cuál componente (si es el caso) se debe utilizar en el modelo, el promedio autorregresivo o un promedio móvil.

2. Estimación de parámetros  usando algoritmos de cálculo para llegar a coeficientes que mejor se ajustan al modelo ARIMA seleccionado. Losmétodos más comunes usan estimación de máxima verosimilitud o mínimos cuadrados no lineales.

3. Comprobar el modelo mediante el ensayo si el modelo estimado se ajusta a las especificaciones de un proceso univariado estacionario. En particular, los residuos deben ser independientes el uno del otro y constante en la media y la varianza en el tiempo.(Dibujo de la media y la varianza de los residuos a través del tiempo y la realización de una prueba de Ljung-Box o el trazado de autocorrelación y autocorrelación parcial de los residuos son útiles para identificar los errores de especificación.) Si la estimación es suficiente, tenemos que volver al paso uno y el intento de construir un modelo mejor.

Los datos que utilizaban eran de un horno de gas. Estos datos son bien conocidos como datos de Box-Jenkins del horno de gas para la evaluación comparativa de los modelos de predicción.

Identificación del modelo Box-Jenkins[editar · editar código]

Estacionariedad y estacionalidad[editar · editar código]El primer paso en el desarrollo de un modelo de Box-Jenkins es para determinar si la serie de tiempo es estacionaria y si hay alguna significativa estacionalidad que necesita ser modelada. Detección estacionaria

Estacionariedad puede evaluarse a partir de una secuencia de parcela plazo. La secuencia parcela ejecutar debe mostrar la ubicación y constante de escala . También se puede detectar a partir de una parcela de autocorrelación . En concreto, no estacionariedad se indica a menudo por una parcela de autocorrelación con caries muy lento. Detección estacionalidad

Estacionalidad (o periodicidad) generalmente se puede evaluar a partir de un diagrama de autocorrelación, una subserie parcela de temporada , o una trama espectral . Diferenciación para lograr estacionariedad

Box y Jenkins recomiendan el enfoque de diferenciación para lograr estacionariedad. Sin embargo, ajustando una curva y restando los valores ajustados de los datos originales también se puede utilizar en el contextode los modelos de Box-Jenkins.

Diferenciación estacional[editar · editar código]En la fase de identificación del modelo, el objetivo es detectar la estacionalidad, si existe, y para identificar el orden de los términos autorregresivos y de media móvil estacional de temporada. Para muchas series, el período es conocido y un solo término estacionalidad es suficiente. Por ejemplo, para los datos mensuales que uno suele incluir untérmino de temporada AR 12 o un término de temporada MA 12. Para los modelos de Box-Jenkins, uno no elimina explícitamente estacionalidad antesde ajustar el modelo. En su lugar, se incluye la orden de los términos estacionales en la especificación del modelo a la ARIMA software de estimación. Sin embargo, puede ser útil aplicar una diferencia estacional a los datos y regenerar la autocorrelación y autocorrelación parcial parcelas. Esto puede ayudar en la identificación del modelo del componenteno estacional del modelo. En algunos casos, la diferenciación estacional puede eliminar la mayor parte o la totalidad del efecto de la estacionalidad.

Identificar p y q[editar · editar código]

Una vez que se han abordado estacionalidad y temporalidad, el siguiente paso es identificar el orden (es decir, la p y q) de los términos autorregresivo y de media móvil. Diferentes autores tienen diferentes enfoques para la identificación de p y q. Brockwell y Davis (1991, p. 273)afirman "nuestro principal criterio para la selección del modelo de [entreARMA (p, q) los modelos] será la AICC", es decir, el criterio de información Akaike con corrección.

Otros autores utilizan el argumento de autocorrelación y autocorrelación parcial de la parcela.