BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 1 Dr.ing. G. Kűmbetlian Dr.ing T. Chis BREVIAR DE MECANICA APLICATĂ (Teorie şi aplicaţii) CONSTANŢA 2008 x y z
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 1
Dr.ing. G. Kűmbetlian Dr.ing T. Chis
BREVIAR DE MECANICA APLICATĂ
(Teorie şi aplicaţii)
CONSTANŢA 2008
x
y z
2 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Referent ştiinţific:
Prof.Dr.Ing. Mihai Minescu
Universitatea Petrol-Gaze Ploiesti
ISBN 978-973-0-06162-8
© Garabet Kűmbetlian, Timur Chis, 2008
Constanţa,
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
Kűmbetlian, Garabet
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ
(Teorie şi aplicaţii)
/Prof.univ.dr.ing. Garabet Kűmbetlian
Lect.univ.dr.ing.Timur Chis
Constanţa, 2008.
Bibliogr.
ISBN 978-973-0-06162-8
Timur Chiş
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 3
NOTĂ
BIBLIOTECA NATIONALA A ROMANIEI
Lucrarea BREVIAR DE MECANICA APLICATA (TEORIE SI APLICATII) autori GARABET KUMBETLIAN si TIMUR VASILE CHIS a fost înregistrată având codul ISBN 978-973-0-06162-8.
Autorul se obligă să tipărească codul ISBN pe coperta a IV-a şi pe verso paginii de titlu.
Pentru aceste publicaţii este valabilă Legea 111/1995 republicata 2007 – Legea Depozitului Legal.
4 G. Kűmbetlian şi T. Chis
PREFAŢĂ
Cursul de faţă pentru Navigatori, se adresează studenţilor din anul II
ai Facultăţii de Navigaţie şi Transport Maritim şi Fluvial.
Cursul de mecanică este prevăzut în planul de învăţământ al Facultăţii
în semestrul 1 (3) al anului II, cu 2 ore de curs şi 1 oră de seminar pe
săptămână.
Ţinând cont de timpul alocat, conţinutul cursului a trebuit să fie redus
la cunoştinţele de mecanică strict necesare navigatorului.
Din acelaşi motiv, tratarea cunoştinţelor s-a făcut cu instrumentul
matematic cel mai potrivit unei prezentări clare şi sistematice, aplicaţiile fiind
adaptate specificului „meseriei de marinar”.
Sperăm că sub această formă, el este accesibil studenţilor,
îndeplinindu-şi scopul de suport al cursului predat direct studenţilor.
Autorii,
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 5
OBSERVATIE
Cursul de faţă a fost întocmit pe baza programei din „Standards of
Training, Certification and Watchkeeping for Seafares (STCW), Officer in
charge of a navigational watch, PHYSICAL SCIENCE, PART C, MODULE
16,
1.1.Mass, weight and force,
1.2.Distance, velocity and acceleration,
1.3.Circular motion and rotation,
1.4.Statics,
1.5.Work, energy and power,
1.6.Machines.
6 G. Kűmbetlian şi T. Chis
CUPRINS
Pag.
NOTA BIBLIOTECA NATIONALA A ROMANEI...... 3
PREFATA......................................................................... 4
OBSERVATIE.................................................................. 5
CUPRINS.......................................................................... 6
1. INTRODUCERE.............................................................. 10
2. STATICA.......................................................................... 11
2.1. Mărimile fizice ale staticii.............................................. 11
2.2. Vectorii şi versorii.......................................................... 11
2.3. Orientarea spaţiului......................................................... 14
2.4. Operaţii cu vectori.......................................................... 17
2.4.1. Amplificarea vectorilor cu un scalar............................... 17
2.4.2. Adunarea vectorilor coplanari si concurenti................... 18
2.4.3. Proiecţia unui vector pe o axă......................................... 20
2.4.3.1. Expresia hipercomplexă a unui vector în planul (x,y).... 21
2.4.3.2. Teorema proiecţiilor....................................................... 22
2.4.4. Produsul a doi vectori..................................................... 23
2.4.4.1. Produsul scalar a doi vectori........................................... 23
2.4.4.2. Produsul vectorial a doi vectori...................................... 26
2.4.5. Aplicaţii.......................................................................... 28
2.5. Momentul unei forţe în raport cu un punct.Teorema
momentelor .................................................................... 37
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 7
2.5.1. Momentul unei forţe în raport cu un punct..................... 37
2.5.2. Teorema momentelor...................................................... 41
2.6. Cuplul de forţe; momentul cuplului................................ 44
2.7. Operaţii de echivalenţă în mecanică............................... 47
2.8. Reducerea sistemelor de forţe coplanare, oarecare......... 49
2.9. Momente statice, centre de greutate............................... 51
2.10. Echilibrul corpului solid rigid, sub actiunea sistemelor
de forte coplanare..............................................................
59
2.10.1. Echilibrul corpului solid rigid liber................................ 59
2.10.2. Echilibrul corpului solid rigid cu legături. Axioma
legaturilor. Tipuri de legaturi............................................
61
2.10.2.1. Axioma legăturilor.......................................................... 61
2.10.2.2. Tipuri de legături (in plan).Legatura prin fir.................. 62
2.10.3. Maşini simple la bordul navelor..................................... 67
2.10.3.1. Parghia........................................................................... 67
2.10.3.2. Scripetele....................................................................... 68
2.10.3.3. Troliul............................................................................ 68
2.10.3.4. Planul inclinat fara frecare............................................. 69
2.10.3.5. Planul inclinat cu frecare............................................... 70
2.10.4. Instalaţii de ridicare de la bordul navelor (Instalatii cu
biga si balansina).............................................................. 71
3. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL.................... 74
3.1. Elementele mişcării......................................................... 74
3.1.1. Traiectoria....................................................................... 74
3.1.2. Viteza.............................................................................. 74
3.1.3. Acceleratia...................................................................... 75
3.2. Mişcările particulare ale punctului material................... 77
8 G. Kűmbetlian şi T. Chis
3.2.1. Mişcarea rectilinie uniformă.......................................... 77
3.2.1.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport rectilinie a
punctului material.......................................................... 78
3.2.2. Mişcarea rectilinie variantă............................................ 85
3.2.3. Mişcarea circulară a punctului material......................... 87
3.2.3.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport circulară a
punctului material.......................................................... 94
4. DINAMICA...................................................................... 99
4.1. Principile mecanicii clasice............................................ 99
4.1.1. Principiul inertiei (Legea I-a a lui Newton).................... 99
4.1.2. Principiul actiunii fortei (Legea a II-a a lui Newton)..... 99
4.1.3. Principiul actiunii si reactiunii (sau „actiunilor
reciproce fortei”) (Legea a III-a a lui Newton).............. 100
4.2. Forţe şi momente de inerţie. Metoda cineto-statică (a
lui d’Alembert)............................................................... 100
4.2.1. Forte de inertie in miscarea rectilinie a punctului
material si in translatia corpului solid rigid................... 100
4.2.2. Forte de inertie in miscarea circulara a punctului
material .......................................................................... 103
4.2.3. Forte de inertie in rotatia corpului solid rigid................. 105
4.3. Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în
mişcarea rectilinie a punctului material şi translaţia
corpului solid rigid.......................................................... 110
4.3.1. Teorema energiei cinetice în translaţie........................... 112
4.4. Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică în rotaţia
corpului solid rigid.......................................................... 113
4.4.1. Teorema energiei cinetice în rotaţia corpului solid rigid 116
4.5. Impulsul şi teorema impulsului....................................... 119
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 9
4.5.1. Impulsul forţei şi impulsul punctului material în
mişcarea rectilinie........................................................... 119
4.5.2. Impulsul corpului solid rigid în translaţie....................... 120
4.5.3. Teorema impulsului şi teorema conservării impulsului.. 121
4.6. Momentul cinetic şi teorema momentului cinetic........... 124
4.6.1. Momentul cinetic al punctului material în mişcarea
circulară.......................................................................... 124
4.6.2. Momentul cinetic al solidului rigid în rotaţie................. 126
4.6.3. Teorema momentului cinetic.......................................... 127
4.6.4. Teorema conservării momentului cinetic....................... 128
4.7. Giroscopul şi aplicaţiile în navigaţie.............................. 131
4.7.1. Generalităţi...................................................................... 131
4.7.2. Efectul giroscopic în cazul navelor echipate cu turbine 132
4.7.3. Giroscopul ca stabilizator antiruliu pentru salile de operatie de la bordul navelor ......................................... 134BIBLIOGRAFIE............................................................... 137
10 G. Kűmbetlian şi T. Chis
1.INTRODUCERE
Obiectul de studiu al mecanicii îl constituie „corpurile
materiale”. Corpurile materiale pot fi considerate „puncte
materiale”, dacă dimensiunile lor sunt relativ mici în raport cu
mediul sau „solide rigide” (nedeformabile), dacă dimensiunile
lor sunt comparabile cu cele ale mediului înconjurător.
Mecanica studiază „mişcarea mecanică” a corpurilor, cu viteze
„v” mult inferioare vitezei luminii „c”.
(1.1.)
Sistemele de referinţă în raport cu care se studiază mişcarea
sunt considerate în mecanică „inerţiale” (adică în mişcare
rectilinie şi uniformă).
Părţile mecanicii sunt STATICA, CINEMATICA şi
DINAMICA.
Statica studiază starea de echilibru a corpurilor materiale.
Cinematica studiază mişcarea mecanică, independent de
cauzele care o produc.
Dinamica studiază mişcarea mecanică, în strânsă dependenţă
de cauzele care o produc.
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 11
2.STATICA
2.1.Mărimile fizice ale staticii
„Mărimile fizice” care fac obiectul de studiu al staticii pot fi
clasificate în mărimi scalare sau vectoriale.
-„Mărimile scalare” sunt perfect definite printr-un singur număr, ca în
cazul masei sau volumului unui corp.
-„Mărimile vectoriale” sunt definite prin valoare, direcţie şi sens (ca în
cazul vectorilor „alunecători” aplicaţi asupra corpurilor solide rigide) sau
valoare, direcţie, sens şi punct de aplicaţie (ca în cazul celor aplicaţi asupra
punctelor materiale sau, asupra corpurilor solide deformabile).
2.2.Vectorii şi versorii
„Vectorii” pot fi „legaţi”, „alunecători” sau „liberi”.
-„Vectorii legaţi” sunt mărimi fizice caracteristice punctelor materiale sau
solidelor deformabile (figura 2.1.).
Fig.2.1.
În figura 2.1., viteza , impulsul , acceleraţia şi forţa acţionează
asupra punctului material de masă m.
-„Vectorii alunecători” sunt caracterizaţi prin direcţie, sens şi valoare ca
în cazul forţei care acţionează asupra navei din figura 2.2.
m
12 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.2.
Efectul lor asupra „corpului solid rigid” este acelaşi, indiferent de punctul
de aplicaţie aparţinând direcţiei Δ, iar valoarea forţei este F.
-„Vectorii liberi” pot fi mutaţi în orice punct al planului (sau spaţiului),
fără ca efectul lor să fie alterat, cu condiţia păstrării sensului şi mărimii,
(ca în cazul momentului al unui cuplu ( )) (figura 2.3.).
Fig.2.3.
Vectorii mai pot fi „coliniari” (ca în figura 2.4.), coplanari (ca în figura
2.5.) sau spaţiali.
„Versorii” sunt vectori de mărime unitate (1). De exemplu în figura
2.6., vectorul este versor, dacă mărimea lui este:
(2.1.)
În acest caz vectorul (de valoare F) orientat după direcţia (şi în
sensul) versorului poate fi notat sub forma:
Δ
F
(M)
(M)M
O1 O O2O1
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 13
(2.2.)
Fig.2.4.
Fig.2.5.
Fig.2.6.
2.3.Orientarea spaţiului
Δ
3F
1F
2FG
Δ4F
1F
3FG
2F
(Δ)
u
uFF
14 G. Kűmbetlian şi T. Chis
„Orientarea” unei drepte (direcţii), x
În figura 2.7. axa x devine „orientată” dacă i se asociază un versor
=i=1
Fig.2.7.
În acest caz, expresiile forţelor şi vor ţine cont de orientarea axei x.
Astfel,
(2.3.)
(2.4.)
„Orientarea planului” este posibilă cu ajutorul unui sistem de axe
(x,y) „orientate” cu ajutorul versorilor şi . În acest caz o rotaţie a
planului va putea fi considerată pozitivă, dacă suprapunerea axei x
peste y se face cu unghiul α de cea mai mică valoare (de 90°), (figura
2.8.).
Aceleaşi considerente determină şi rotaţia pozitivă (sau negativă) a
axelor, ca în figura 2.9.
I
I11 FF
OI22 FF
x
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 15
Fig.2.8.
Fig.2.9.
Orientarea spaţiului poate fi definită similar celei a planului, dacă prin
rotaţia axelor (x peste y, y peste z şi z peste x), unghiurile „pozitive”
αxy, αyz şi αzx vor fi unghiuri de 90° (figurile 2.10. şi 2.11.).
J
O
xI
yα>0
α<0
I
G x
J
y
α>0
α<0
16 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.10.
Fig.2.11.
x
yz
αxy >0
αzx >0αyz >0
x
y
z
αxy >0
αzx >0
αyz >0
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 17
2.4.Operaţii cu vectori
În cele ce urmează vom considera ca fiind operaţii cu vectori: „Amplificarea
vectorilor cu un scalar”, „Adunarea vectorilor”, „Proiecţia unui vector pe o
axă” şi „Produsul a doi vectori”.
2.4.1.Amplificarea vectorilor cu un scalar
Vectorul , (de valoare F), amplificat cu un scalar λ, este un vector, :
(2.5.)
Direcţia lui este cea a lui .
Sensul lui este cel al lui , dacă λ>0.
Sensul lui este contrar lui , dacă λ<0.
Valoarea lui este F1:
(2.6.)
Proprietăţile produsului :
Produsul este comutativ:
(2.7.)
Produsul este asociativ, în raport cu un al doilea scalar, μ.
(2.8.)
Produsul este distributiv, în raport cu adunarea scalarilor λ şi μ.
(2.9.)
18 G. Kűmbetlian şi T. Chis
2.4.2.Adunarea vectorilor coplanari şi concurenţi
În cele ce urmează vom considera că vectorii sunt forţe .
( ), sunt coplanare şi concurente.
Regula paralelogramului forţelor
-Rezultanta a două forţe coplanare şi concurente şi este diagonala
paralelogramului construit pe cei doi vectori ca laturi (figura 2.12.).
Fig.2.12.
Se scrie:
(2.10.)
Regula triunghiului forţelor
-două forţe şi coplanare (şi concurente) pot fi sumate (adunate)
vectorial, adăugând în continuarea vectorului un vector, având aceaşi
sens şi aceaşi valoare (la scara desenului) cu forţa (vectorul) (figura
2.13.).
()
()2F
1F
O
R
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 19
Fig.2.13.
Rezultanta va avea şi în acest caz punctul de aplicaţie în cel al forţelor
şi , fiind paralelă şi egală cu suma vectorială a vectorilor şi .
Generalizare pentru un sistem de n forţe coplanare şi concurente
(Regula poligonului forţelor)
Un număr de n forţe coplanare şi concurente se pot suma grafic,
generalizând regula triunghiului (adunând succesiv rezultantele a două
câte două forţe concurente), ca în figura 2.14.b).
Fig.2.14.
(2.11.)
2F
1F
21 FFR
1F
2F
O O)a )b
nF
1F R
1F
12R
2F
jF
2F
jF nF
RR ,n,...,2,1
O O)a )b
j2,1R jnR
20 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Rezultanta va avea şi în acest caz punctul de aplicaţie în cel al forţelor
, , ... , fiind paralelă şi egală cu „vectorul” ce rezultă din
construcţia „poligonului” forţelor, din figura 2.14.b).
Dacă poligonul „forţelor” rămâne deschis, atunci (evident) rezultanta este
diferită de zero. Dimpotrivă, dacă „poligonul” forţelor se închide, rezultanta
forţelor este nulă şi sistemul de forţe va fi în „echilibru”.
Proprietăţile adunării vectorilor
Adunarea vectorilor este:
-comutativă, adică
, (2.12.)
-asociativă, adică
, (2.13.)
-şi distributivă, în raport cu un scalar:
(2.14.)
2.4.3.Proiecţia unui vector pe o axă
Proiecţia vectorului pe axa x (figura 2.15.) ar putea fi considerată ca fiind
tot de natură vectorială, întrucît i se poate asocia o direcţie şi un sens
(corespunzător axei x), precum şi o valoare Fx=X.
(2.15)
Proiecţia se obţine ducând din punctul de aplicaţie şi vârful vectorului ,
perpendiculare pe axa x. Vectorul proiectat pe axa x va fi „pseudovectorul”:
(2.16.)
Valoarea α este cea a unghiului dintre axa x şi suportul vectorului .
Analog, proiecţia vectorului pe axa y, va fi „pseudovectorul” ,
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 21
(2.17.)
Fig.2.15.
2.4.3.1.Expresia hipercomplexă a unui vector în planul
(x,y)
În conformitate cu cele de mai sus, valorile proiecţiilor vectorului şi
„vectorului de poziţie”, al forţei în raport cu originea (O) a axelor, vor fi:
, , (2.18.)
Ca urmare rezultă, că valorile vectorilor proiectaţi pe axele ortogonale x şi y
vor fi:
, (2.19.)
iar expresiile vectoriale ale acestora (numite „hipercomplexe”) vor fi:
(2.20.)
Cu notaţiile din figură rezultă, că:
, (2.21.)
F
yF
xI
y
J
Jyry
),Y(Fy
Ixrx
),X(Fx
22 G. Kűmbetlian şi T. Chis
şi respectiv:
. (2.22.)
2.4.3.2.Teorema proiecţiilor
Dacă se raportează adunarea vectorială,
(2.23.)
sistemului de axe (x,y) din figura 2.16. rezultă (cu notaţiile din figură), că:
(2.24.)
Fig.2.16.
relaţii care definesc „terorema proiecţiilor” şi care poate fi enunţată astfel:
„Suma proiecţiilor unor forţe care fac obiectul unei sumări vectoriale pe o
axă, este egală cu proiecţia rezultantei lor pe aceeaşi axă”.
Prin generalizare, dacă:
1F
xI
1
y
J
2F
I1X
I2X
1X 2XX
J1YJ2Y
Y 1Y2Y)Y,X(R
2
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 23
, (2.25.)
atunci:
. (2.26.)
2.4.4.Produsul a doi vectori
Produsul a doi vectori poate fi „scalar” sau „vectorial”.
2.4.4.1.Produsul scalar a doi vectori
Prin definiţie, produsul scalar al vectorilor şi (figura 2.17.) este
expresia:
(2.27.)
Produsul scalar este:
Comutativ, în sensul că:
(2.28.)
Asociativ în raport cu un scalar, adică:
(2.29.)
Distributiv, în raport cu adunarea vectorilor:
(2.30.)
24 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.17.
Cazuri particulare
Pentru , (figura 2.18.),
Fig.2.18.
. (2.31.)
Pentru ,
. (2.32.)
Ca urmare pentru versorii şi ,
. (2.33.)
Pentru , (figura 2.19.), obţinem:
. (2.34.)
Ca urmare,
. (2.35.)
1F
2F
1F
2F
I
O
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 25
Fig.2.19.
Pentru 0<α< , (figura 2.20.), obţinem:
Fig.2.20.
, (2.36.)
(2.37.)
rezultă:
sau . (2.38.)
1F
2F
2
I
J
O
x
2F
IJ
O
1F
y
1X2X
1Y2Y1
2
26 G. Kűmbetlian şi T. Chis
2.4.4.2.Produsul vectorial a doi vectori
Se consideră vectorii şi , în planul (P), (figura 2.21.). Prin
definiţie, produsul vectorial va fi expresia:
. (2.39.)
Sau:
. (2.40.)
Fig.2.21.
Produsul vectorial definit ca mai sus are caracteristicile unui
vector rotitor (rotor) în jurul axei z, cu sensul corespunzător triedrului (
, ).
Rezultă, că produsul vectorial , are:
x2F
IJ
O
1F
y
1X2X
1Y2Y2
k
z21 FF
)P(
1
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 27
Direcţia axei z, perpendiculară pe planul (P) al vectorilor , .
Sensul axei z, dacă valoarea produsului este pozitivă şi sensul contrar
axei z, dacă valoarea produsului este negativă.
Valoarea sau .
Proprietăţile produsului vectorial
Produsul vectorial este:
Anticomutativ:
. (2.41.)
Asociativ, în raport cu un scalar:
. (2.42.)
Distributiv, în raport cu adunarea vectorilor:
. (2.43.)
Cazuri particulare
, (figura 2.22.),
Fig.2.22.
Întrucât , rezultă că, în acest caz avem:
. (2.44.)
1F
2F
I
O
28 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Ca urmare şi:
. (2.45.)
Pentru , (figura 2.23.), obţinem:
, (2.46.)
cu valoarea:
. (2.47.)
Ca urmare:
, (2.48.)
Fig.2.23.
2.4.5.Aplicaţii
Aplicaţia 1. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi un împingător, cu
forţele de 4 kN şi 3 kN ca în figura 2.24. Determinaţi direcţia, sensul şi
valoarea rezultantei, R.
Rezolvare: Forţele fiind coliniare, rezultă că R=3 kN+4 kN=7 kN (figura
2.25.).
1F
2F
2
I
J
O
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 29
Fig.2.24.
Fig.2.25.
Direcţia rezultantei este direcţia forţelor,
Sensul, corespunde forţelor, care se adună.
Aplicaţia 2. Asupra unei nave acţionează două remorchere, cu forţele de 4 kN
fiecare, ca în figura 2.26.Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea rezultantei
lor.
Fig.2.26.a.
Rezolvare:
Soluţia 1-a. Întrucât forţele au aceeaşi valoare şi fac acelaşi unghi cu
axa longitudinală a navei, rezultanta lor va fi orientată în direcţia axei x. În
xkN3F1
kN4F2 G
x
kN7R G
x
kN4G
kN44545
y
y
y
30 G. Kűmbetlian şi T. Chis
acest caz, rezultanta va fi diagonala pătratului ale cărui laturi sunt chiar
forţele. Ca urmare, kN (figura 2.26.b.).
Soluţia a 2-a. Conform teoremei proiecţiilor, kN
şi Y=0. Rezultă kN.
Fig.2.26.b.
Aplicaţia 3. Rezolvaţi aceeaşi problemă, dacă unghiurile pe care le fac
forţele cu axa x sunt de 30° (figura 2.27).
Fig.2.27.
Aplicaţia 4. Două remorchere acţionează asupra unei nave cu forţe de
3 şi respectiv 4 kN, ca în figura 2.28.a. Determinaţi direcţia, sensul şi
valoarea rezultantei lor.
x
kN4G
kN44545
y
R
x
kN4G
kN43030
y
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 31
Fig.2.28.a.
Rezolvare:
Soluţia 1-a. Întrucât forţele sunt perpendiculare, rezultă că
kN. Direcţia rezultantei este dată de unghiul α (figura
2.28.b.),
.
Soluţia a 2-a. Conform teoremei proiecţiilor, din kN şi Y=4 kN.
Rezultă kN.
Fig.2.28.b.
Aplicaţia 5. Asupra unei nave acţionează două împingătoare, cu
forţele de 3 kN şi 4 kN, ca în figura 2.29.a. Determinaţi direcţia, sensul şi
valoarea rezultantei lor.
xkN3G
kN4 90y
x
kN3G
kN4 y
R
32 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Rezolvare. Întrucât forţele sunt vectori alunecători, putem să le
deplasăm astfel încât să devină concurente în originea „O” a axelor, ca în
figura 2.29.b.
Fig.2.29.a.
Fig.2.29.b.
Ca urmare, întrucât X=4 kN şi Y=3 kN, rezultă că:
kN, iar :
.
Aplicaţia 6. Asupra unei nave acţionează trei împingătoare, cu forţele
de 3 kN şi 4 kN, ca în figura 2.30.a. Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea
rezultantei lor.
x
kN3
OkN4
y
x
kN3O kN4
y
R
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 33
Rezolvare. Întrucât forţele pot fi considerate „vectori alunecători”,
putem să le deplasăm pe suportul lor, astfel încât să devină concurente în
originea „O” a axelor, ca în figura 2.30.b.
Fig.2.30.a.
Fig.2.30.b.
În consecinţă, comform teoremei proiecţiilor kN=
şi Y=0. Ca urmare: kN, şi este orientată în
direcţia şi sensul axei x.
Aplicaţia 7. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi două împingătoare,
cu forţele de 4 kN, 3 kN şi 5 kN fiecare, ca în figura 2.31. Determinaţi
direcţia, sensul şi valoarea rezultantei lor.
xO
ykN4
kN4kN3 4545
xO
y kN4
kN4kN3 4545
34 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.31.
Răspuns:
R=8,602 kN şi α=35 ° 32’15”.
Aplicaţia 8. Asupra unei nave acţionează un remorcher şi două împingătoare,
cu forţele de 2 kN, 4 kN şi respectiv 1 kN, ca în figura 2.32. Determinaţi
direcţia, sensul şi valoarea rezultantei lor.
Fig.2.32.
Aplicaţia 9. După ce direcţie trebuie să acţioneze un împingător care dezvoltă
o forţă de 6 kN ca în figura 2.33.a, pentru a se suprapune peste direcţia
rezultantei altor două împingătoare care dezvoltă forţe de 3 respectiv 4 kN?
Calculaţi valoarea rezultantei totale în acest caz.
x
kN5G kN4
y
kN3
x
kN1G
kN2y
kN4
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 35
Fig.2.33.a.
Rezolvare. Se deplasează prin alunecare forţele de 3 şi 4 kN, astfel
încât să devină concurente, ca în figura 2.33.b.
Fig.2.33.b.
Rezultă R3,4 =5 kN şi
,
Rtot= R3,4 + 6 kN=5+6=11 kN.
x
kN4G
kN6
y
kN3?
?
x
kN4
kN6
y
kN3
4,3R
36 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Aplicaţia 10. Asupra unei nave acţionează două remorchere, cu forţele de 3
kN şi respectiv 4 kN ca în figura 2.34.a. Determinaţi direcţia, sensul şi
valoarea rezultantei lor.
Fig.2.34.a.
Rezolvare. (figura 2.34.b.).
Fig.2.34.b.
X=3 cos 30 + 4 cos 60=4,595 kN,
Y=3 sin 30 - 4 sin 60= - 1,96 kN,
kN,
x
kN4
G
y
kN36030
x
kN4
G
y
kN3
60
30R
X
Y
α
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 37
.
Aplicaţia 11. Asupra unei nave acţionează două împingătoare, cu forţele de 3
kN şi respectiv 4 kN ca în figura 2.35. Determinaţi direcţia, sensul şi valoarea
rezultantei lor.
Fig.2.35.
2.5.Momentul unei forţe în raport cu un punct. Teorema
momentelor
2.5.1.Momentul unei forţe în raport cu un punct (figura
2.36)
Să considerăm în planul (P) o forţă aplicată în punctul O’ şi vectorul
de poziţie al punctului O’, în raport cu un alt punct (O) din plan.
Prin definiţie, momentul, al forţei în raport cu punctul O, este
produsul vectorial:
x
kN4
G
y
kN345
45
38 G. Kűmbetlian şi T. Chis
, (2.49.)
Dacă notăm:
rx=x, ry=y, Fx=X, Fy=Y, (2.50.)
atunci:
, (2.51.)
Fig.2.36.
în care, valoarea scalară a momentului , este:
, (2.52.)
pe de altă parte, în baza definiţiei produsului vectorial, putem scrie:
, (2.53)
în care:
, (2.54.)
este „braţul” forţei F în raport cu punctul O.
Aplicaţii:
k
0M
x
yz
(P)
F
r
ry
Fy
rx Fx
d
α
αJ
I
O’
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 39
Aplicaţia 1. Pentru nava din figura 2.37. calculaţi momentul pe care-l
imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un împingător care
acţionează cu o forţă de 4 kN.
Fig.2.37.
Rezolvare: M0=4 · 10=40 kNm.
Aplicaţia 2. Pentru nava din figura 2.38. calculaţi momentul pe care-l
imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un împingător care
acţionează cu o forţă de 14,1 kN.
G x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
4kN
d=rx=x
40 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.38.
Rezolvare:
rx=x=10 m,
ry=y= - 4,5 m,
Fx=X=14,1 cos 45=14,1 =10 kN,
Fy=Y=14,1 sin 45=14,1 =10 kN,
M0=xY – yX =10 · 10 – (- 4,5) · 10 = 145 kNm.
Aplicaţia 3. Pentru nava din figura 2.39. calculaţi momentul pe care-l
imprimă navei în raport cu centrul de greutate G, un remorcher care
acţionează cu o forţă de 4 kN.
G x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
45°
rx=x
d
14,1 kN
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 41
Fig.2.39.
Rezolvare:
rx=x=20 m,
ry=y= 0 m,
Fx=X=4 cos 30=4 =3,46 kN,
Fy=Y=4 sin 30=4 =2 kN,
M0=xY – yX =20 · 2 – 0 · 3,46 = 40 kNm.
2.5.2.Teorema momentelor
„Teorema momentelor” pentru un sistem de forţe concurente se
enunţă astfel:
„Pentru un sistem de forţe concurente care admit o rezultantă ,
(2.55.)
G x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
30°
4kN
42 G. Kűmbetlian şi T. Chis
momentul rezultantei în raport cu un punct „O” este egal cu suma
momentelor forţelor, în raport cu acelaşi punct.
, (2.56.)
sau
, (2.57.)
Relaţia (2.57.) se mai poate scrie sub forma:
, (2.58.)
sau:
(2.59)
Aplicaţii:
Aplicaţia 1. Pentru nava acţionată de două remorchere, ca în figura
2.40., calculaţi momentul rezultantei acţiunii lor, în raport cu centrul de
greutate G, al navei.
Rezolvare:
Soluţia 1. M0=3 · 10 – 4 · 4,5 =12 kNm.
Soluţia 2. x=10 m, y=4,5 m, X1=0, Y1=3 kN, X2=4 kN, Y2=0,
M0=x(Y1 + Y2) – y(X1 + X2) =10 · 3 – 4,5 · 4=12 kNm.
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 43
Fig.2.40.
Aplicaţia 2. Pentru nava acţionată de două remorchere, ca în figura
2.41., calculaţi momentul rezultantei acţiunii lor, în raport cu centrul de
greutate G, al navei.
Fig.2.41.
Rezolvare:
G
x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
3 kN
4kN
Gx
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
30°r=x
60°
3 kN
4 kN
44 G. Kűmbetlian şi T. Chis
M0=(Y1+Y2)x=x Y1+x Y2.
M0=(3 sin 60) · 20 + ( 4 sin 30) · 20 = 91,9 kNm.
2.6. Cuplul de forţe; momentul cuplului
Să considerăm în planul paginii (P), un cuplu de forţe şi ( ca în
figura 2.42.), egale şi opuse, la „braţul” d între ele. Ne propunem să calculăm
„momentul cuplului” , în raport cu un punct O. În acest scop, punem în
evidenţă „vectorii de poziţie” şi ai punctelor de aplicaţie ale celor două
forţe, în raport cu O şi
.
Dar , şi ca urmare,
, (2.55.)
indiferent de poziţia punctului O.
În consecinţă, momentul cuplului este un vector liber, adică are
aceeaşi valoare indiferent de punctul de calcul al lui.
Valoarea momentului cuplului este:
. (2.56.)
Dacă lucrăm cu proiecţiile pe axele x şi y, ale vectorului şi forţei ,
adică cu rx=x, ry=y, Fx=X, Fy=Y, atunci momentul cuplului va avea expresia:
(2.57.)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 45
Fig.2.42.
Ca urmare:
Direcţia momentului este perpendiculară pe planul forţelor
cuplului.
Sensul momentului corespunde triedrului , , .
Mărimea momentului este
. (2.58.)
Două cupluri sunt echivalente, dacă:
(2.59.)
În plan, cuplurile (coplanare) se sumează după regula
cunoscută,
(2.60.)
i
j
1r
x
y
(P)F
α
F
2r
r
βdO
Mc
46 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Aplicaţii:
Aplicaţia 1. Calculaţi momentul cuplului pe care-l exercită două
remorchere, asupra navei din figura 2.43.
Fig.2.43.
Rezolvare:
Mc=4 · 20 =80 kNm.
Aplicaţia 2. Calculaţi momentul cuplului pe care-l exercită două
remorchere, asupra navei din figura 2.44.
Rezolvare:
Soluţia 1. Mc=(4 sin 60) · 40 =138,4 kNm.
Soluţia 2. x=40 m, y=0, X=4 cos60=2 kN, Y=4 sin 60=3,46 kN.
Rezultă:
Mc=xY – yX =40 · 3,46=138,4 kNm.
O
x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
4kN
4kN
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 47
Fig.2.44.
2.7. Operaţii de echivalenţă în mecanică
Mecanica (Statica), admite următoarele şase operaţii de echivalenţă.
1. Alunecarea unui vector (alunecător) pe suportul lui, Δ (figura 2.45.).
Fig.2.45.
2. Adăugarea a două forţe egale şi opuse (figura 2.46.), fără a se
modifica starea iniţială a corpului.
Fig.2.46.
O
x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
60° 60°
4kN
4kN
F F
F
F
48 G. Kűmbetlian şi T. Chis
3. Suprimarea a două forţe egale şi opuse (figura 2.47.), fără a se
modifica starea iniţială a corpului.
Fig.2.47.
4. Înlocuirea a două forţe concurente, prin rezultanta lor (figura 2.48.).
Fig.2.48.
5. Înlocuirea unei forţe , cu componentele ei, şi , după două
direcţii şi cunoscute, concurente între ele într-un punct
aparţinând suportului forţei (figura 2.49.).
Fig.2.49.
6. Înlocuirea unui cuplu cu momentul lui, Mc. (figura 2.50.).
F
F
1F2F
R
1F2F
R
1F
)( 1
)( 2
F
cMF
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 49
Fig.2.50.
2.8. Reducerea sistemelor de forţe coplanare (oarecare)
Să considerăm o navă asupra căreia acţionează mai multe remorchere
şi împingătoare, cu forţele , care fac cu axa longitudinală (X) a navei,
unghiuri (figura 2.51.a.).
Ne propunem să reducem forţele în centrul (de greutate), G al
navei. În acest scop, se reduce fiecare forţă în punctul G, la ea însăşi şi la
momentul ei, , în raport cu punctul G.
Fig.2.51.a.
. (2.61.)
În ecuaţia (2.61.), sunt braţele forţelor în raport cu punctul O
(figura 2.51.b.). Forţele devenite concurente în punctul G se reduc la
rândul lor, la o rezultantă unică, (figura 2.51.c.).
G
x
y
n
jF
1F
1nF
jd1
dn
dj
50 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.51.b.
Fig.2.51.c.
, (2.62.)
în care:
(2.63.)
şi care este independentă de poziţia punctului de reducere (O):
1F
jF
nF
jjx jy
1G11 FMdF
jGjj FMdF
GnGnn FMdF
y
x
1F
nF
)x(G
n
1jGnG MFM
n
1jjFR )y(
x
y
jF
nF
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 51
, (2.64.)
în care:
(2.65.)
, (2.66.)
în care:
. (2.67.)
Momentele se reduc şi ele la un moment rezultant, M0,
(2.68.)
Cazuri posibile de reducere
1. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la o rezultantă şi
un moment, al căror efect asupra navei este de translaţie şi rotaţie
în jurul punctului G.
2. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la o rezultantă
unică.
3. Dacă şi , sistemul de forţe se reduce la un moment
unic,
şi.
4. Dacă şi , nava se va afla în echilibru sau mişcare
rectilinie şi uniformă.
Aplicaţii
52 G. Kűmbetlian şi T. Chis
1.Asupra unei nave acţionează două împingătoare şi două remorchere, cu
forţele îndicate în figura 2.52. Se cere să se calculeze valoarea, şi înclinarea
rezultantei R a forţelor faţă de axa x şi momentul rezultant M0 al forţelor,
reduse în centrul de greutate (G) al navei.
Fig.2.52.
Rezolvare:
Varianta I-a:
Rezultă:
Pentru calculul momentului M0 avem două posibilităţi:
Soluţia 1-a:
G
x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
45°
d 2 kN
4kN
1 kN
3 kN
1,41 kN
4
1
2
3
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 53
.
Soluţia 2-a:
, în care
şi .
Ca urmare:
.
Varianta II-a: cu ajutorul calculului tabelar.
Se constituie tabelul:
Nr.
Crt
1 -20 0 1 0 0 0 0
2 0 -4,5 0 3 0 0 0
3 0 4,5 1 1 0 4,5 -4,5
4 20 0 2 0 0 0 0
/ / 4 4 0 4,5 -4,5
Rezultă , şi .
2.Asupra unei nave acţionează două împingătoare şi un remorcher, cu forţele
de 1 kN,2 kN şi 4 kN ca în figura 2.53. Se cere să se calculeze rezultanta
forţelor reduse în centrul de greutate G al navei, şi valoarea momentului
rezultant, M0 .
54 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.53.
Răspuns: X=6,28 kN, Y=2,82 kN, R=6,88 kN.
, şi
3.Asupra unei nave acţionează trei împingătoare şi un remorcher, ca în figura
2.54. Se cere să se calculeze rezultanta forţelor reduse în centrul de greutate
G al navei, şi valoarea momentului rezultant, M0 .
Fig.2.54.
Gx
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
30°
4 kN
4kN
1 kN
2 kN
1
2
3
α2
G
x
y
4,5 m
4,5 m
10 m 10 m 10 m 10 m
30°
4 kN
4kN
1 kN
2 kN
α
3 kN
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 55
2.9.Momente statice şi centre de greutate
Se consideră o suprafaţă de arie (plină) A, ca în figura 2.55., raportată
la axele centrale y şi z, care se intersectează în centrul de greutate G al
suprafeţei.
Aria A poate fi considerată ca fiind formată din o mulţime de
suprafeţe elementare, dA, şi în acest caz, putem scrie:
(2.69.)
Prin definiţie, momentul static al suprafeţei A în raport cu o axă y0
paralelă cu y, este integrala:
(2.70.)
Fig.2.55.
Coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeţei A în raport cu
axa y0, este zG(y0):
Gy
(A)
z
z
zG
z0
O
(dA)
zo
y0
56 G. Kűmbetlian şi T. Chis
(2.71.)
Evident, coordonata zG a centrului de greutate G al suprafeţei A în
raport cu axa y, va fi nulă:
(2.72.)
Din ecuaţia (2.72.), rezultă că momentul static al suprafeţei în raport
cu o axă centrală este nul.
În cazul nostru:
(2.73.)
În cazul suprafeţelor compuse constituite dintr-un număr finit de „n”
suprafeţe componente, relaţia (2.71.) se scrie sub forma:
(2.74.)
Evident, dacă z este axă de simetrie, centrul de greutate se află pe axa z:
(2.75.)
Aplicaţii
1.În cazul unei nave având secţiunea din figura 2.56., centrul de greutate se
va afla în punctul de intersecţie al axelor de simetrie, y şi z.
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 57
Fig.2.56.
2.În cazul secţiunii din dreptul unei guri de magazii a unei nave (ca în
figura 2.57), centrul de greutate G al secţiunii se va afla pe axa de simetrie z
(din planul diametral al navei), dar într-o poziţie oarecare pe verticală. Dacă
alegem ca axă de referinţă conturul median al învelişului punţii, poziţia
centrului de greutate G al secţiunii poate fi definită prin coordonata zG în
raport cu axa de referinţă aleasă.
Pentru calculul coordonatei zG cu relaţia (2.74.), se procedează în felul
urmator:
a.se descompune secţiunea în suprafeţe componente, după cum
urmează:
1.învelişul punţii cu centrele de greutate G1 (pentru fiecare suprafaţă
componentă) prin care trece axa centrală y1.
2.învelişul bordurilor, cu centre de greutate G2 prin care trece axa
centrală y2.
Gy
z
B=9 m
D=6 m
t=2 X 10-2 m
z
58 G. Kűmbetlian şi T. Chis
3.învelişul fundului, cu centrul de greutate G3 prin care trece axa
centrală y3.
Fig.2.57.
b.se constituie tabelul de mai jos, în care se trec datele necesare calculului.
Nr. Crt. Aj [m2] zGj [m] Aj zGj [m3]
1 8 · 10-2 0 0
2 24 · 10-2 3 72 · 10-2
3 18 · 10-2 6 108 · 10-2
50 · 10-2 / 180 · 10-2
Rezultă: m.
Gy
4,5 m
6 m
4,5 m
y2
G2 G2
G3
1 1
2
2
3
3 m ZG=3,6 m G1G1
X X
X
X
z
ZG2=3 m
ZG3=6 m
2 m2 m
2 ·10-22 ·10-2
1 m 1 m
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 59
3.Calculaţi în raport cu axa de referinţă, care coincide cu conturul median al
învelişului punţii, pentru secţiunea din fig.2.58., coordonata zG, a centrului de
greutate, G al secţiunii.
Fig.2.58.
2.10.Echilibrul corpului solid rigid, sub acţiunea
sistemelor de forţe coplanare
2.10.1.Echilibrul corpului solid rigid liber
Un corp solid rigid liber, asupra căruia acţionează un sistem de forţe
coplanare Fj se află în echilibru, dacă rezultanta (vectorială) a forţelor şi
momentul rezultant M0 al forţelor sunt nule (fig.2.59.a) şi b)).
4,5 m
2 m
4,5 m
y1
G2 G2
G3
1 22
4
4 m
G1X
X
z
ZG2
ZG42 ·10-2
XX X
G4
3
ZG3
y2
y3
y4
3 m
60 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.59.
(2.75.)
sau:
(2.76.)
Dacă forţele sunt şi concurente, atunci condiţia de echilibru a
corpului se reduce la:
sau . (2.77.)
1F xO
a)
O
Ry
y
M0
jF nF
Rx
R
b)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 61
Dacă forţele sunt paralele în plan, (de exemplu orientate după
direcţia axei y), atunci condiţiile de echilibru se reduc la:
(2.78.)
sau:
, (2.79.)
în care O1 şi O2 sunt două puncte oarecare aparţinând corpului solid
rigid liber. În acest caz, prima ecuaţie (2.78.) poate fi folosită ca o ecuaţie de
verificare (suplimentară) a condiţiei de echilibru.
2.10.2.Echilibrul corpului solid rigid cu legături.
Axioma legăturilor. Tipuri de legături
2.10.2.1. Axioma legăturilor
Un corp solid rigid care este legat de un mediu printr-o legătură poate
fi eliberat de ea, dacă se înlocuieşte legătura cu torsorul forţelor care
acţionează în legătură, asupra corpului considerat. Ca urmare, în urma acestei
operaţii corpul iniţial legat poate fi considerat liber, sub acţiunea sistemului
iniţial de forţe active şi forţelor de legătură, .
62 G. Kűmbetlian şi T. Chis
În acest caz, condiţia de echilibru (2.75.) devine:
, (2.80.)
iar, celelalte condiţii de echilibru, (2.76.), (2.77.), (2.78.) şi (2.79), se
modifică, completându-se corespunzător, ţinând cont inclusiv de prezenţa
forţelor de legătură, .
2.10.2.2. Tipuri de legături (în plan). Legătura prin fir
O legătură prin fir (cablu, lanţ, etc.), (figura 2.60 a) şi b)), se
înlocuieşte printr-o forţă de legătură (sau „efort”), orientată în lungul firului,
în sensul corespunzător întinderii lui. Valoarea efortului din fir se calculează
cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru. Firul introduce deci o singură necunoscută.
Reazemul simplu (fără frecare).
Legătura unui corp printr-un reazem simplu, se reprezintă ca în figura
2.61.a). Reazemul permite deplasarea (translaţia) corpului paralel cu
suprafaţa de reazem şi rotirea lui în jurul „punctului” de reazem, împiedecând
deplasarea corpului perpendicular pe suprafaţa de reazem (figura 2.61.b)).
În consecinţă reazemul simplu se înlocuieşte cu o reacţiune (forţă) R,
perpendiculară pe suprafaţa de reazem (figura 2.61.c)).
Mărimea (necunoscută a) reacţiunii poate fi determinată din condiţia
de echilibru a corpului rezemat, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru. Reazemul
introduce deci o singură necunoscută.
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 63
Fig.2.60.
Fig.2.61.
Articulaţia.
Articulaţia poate fi considerată ca fiind un reazem fix (imobil) şi se
reprezintă ca în figura 2.62.a).
O
G=mg
N=G
b)
m
a)
G=mg
1F
a)
jF nF
b)
jF
nF
1F
R
c)
64 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Articulaţia permite rotirea corpului în jurul punctului de articulaţie şi
se opune deplasării corpului după orice direcţie (figura 2.62.b). Ca urmare,
articulaţia se poate înlocui cu o reacţiune (forţă), , având direcţia (α) şi
mărimea (R) necunoscute, sau prin două componente (Rx şi Ry) ortogonale
ale reacţiunii , de direcţii cunoscute dar mărimi necunoscute.
Cele două necunoscute introduse prin înlocuirea articulaţiei (valoarea
R, direcţia α sau valorile Rx şi Ry ale componentelor reacţiunii ) se pot
determina cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru, din condiţia de echilibru a
corpului eliberat de legătura prin articulaţie. Articulaţia introduce deci într-o
problemă două necunoscute: R şi α sau Rx şi Ry.
Fig.2.62.
Încastrarea.
1F
a)
jF nF
b)
jF
nF
1F
c) RRy
Rx
α
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 65
Este legătura rigidă, care răpeşte corpului toate gradele de libertate
(figura 2.63.a).
Ca urmare încastrarea, (în plan) se înlocuieşte cu o reacţiune , de
valoare (R) şi de direcţie (α) necunoscute (sau de componente ortogonale Rx
şi Ry, după direcţii cunoscute, dar de mărimi necunoscute) şi un moment M
(în planul forţelor) de mărime necunoscută.
Încastrarea introduce deci într-o problemă trei necunoscute (R, α şi M
sau Rx , Ry şi M).
Acestea pot fi determinate din condiţia de echilibru a corpului eliberat
de încastrare, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru.
În situaţii concrete reale, corpurile pot fi prevăzute simultan cu două
sau chiar mai multe legături.
Fig.2.63.
Acestea introduc-prin eliberarea corpului de legături-una sau mai
multe necunoscute iniţiale în funcţie de natura legăturilor înlocuite. Cum
1F
a)
jF nF
b)
jF
nF
1F
c)
R Ry
Rx
α
M
66 G. Kűmbetlian şi T. Chis
necunoscutele pot fi determinate cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru, rezultă
că, în rezolvarea problemelor care implică corpuri solide rigide sub acţiunea
sistemelor de forţe coplanare oarecare, pot fi întâlnite următoarele trei
situaţii:
a.numărul necunoscutelor (n) este mai mic ca numărul ecuaţiilor de
echilibru (3):
n < 3.
În acest caz, corpul are grade de libertate suplimentare şi se
comportă ca un mecanism.
b.numărul necunoscutelor (n) este egal cu cel al numărului de ecuaţii
de echilibru (3) disponibile:
n = 3.
În acest caz, libertatea de mişcare a corpului este împiedicată şi
valorile necunoscutelor introduse prin înlocuirea legăturilor cu reacţiuni
sau/şi parametri geometrici pot fi determinate cu ajutorul ecuaţiilor de
echilibru disponibile.
c.numărul necunoscutelor (n) este mai mare decât cel al ecuaţiilor de
echilibru (3):
n > 3.
În acest caz, problema este static nedeterminată, iar rezolvarea ei
impune folosirea suplimentară a unor ecuaţii care să aibă în vedere
comportarea reală, sub sarcini, a corpului real (deformabil).
2.10.3.Maşini simple de la bordul navelor
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 67
2.10.3.1.Pârghia
Scopul pârghiei este de a facilita ridicarea unor greutăţi (G) mari, cu
ajutorul unor forţe (F) mici (figura 2.64.).
Dacă considerăm pârghia - - -
în echilibru sub
acţiunea greutăţii G şi forţei aplicae P, şi scriem una din ecuaţiile de
echilibru şi anume ecuaţia de momente în jurul punctului de reazem (2), vom
obţine relaţia între forţa activă F şi greutatea ridicată, G.
Fb-Ga=0 sau .
Din relaţia obţinută se deduce că, cu cât raportul a/b pentru o greutate
dată G este mai mic, cu atât şi forţa F folosită pentru ridicarea greutăţii G va
fi proporţional mai mică.
Fig.2.64.
2.10.3.2.Scripetele
G=mg
b
m
a
P
1 2 3
1 2
3
68 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Dezavantajul pârghiei constă în faptul că forţa activă P trebuie
aplicată în jos. Scripetele din figura 2.65. înlătură acest dezavantaj, dar din
ecuaţia de momente în raport cu axul scripetului (O) rezultă că:
F=G,
de unde se deduce, că scripetele (simplu) nu „economiseşte” forţa
activă necesară ridicării greutăţii G (anulează avantajul pârghiei).
Fig.2.65.
2.10.3.3.Troliul
Troliul (figura 2.66.) reuneşte într-un singur dispozitiv avantajele
pârghiei şi scripetelui. Din ecuaţia de echilibru (de momente) în raport cu
axul troliului, obţinem:
FR-Gr=0 sau ,
de unde se observă că, cu cât rapotul r/R este mai mic pentru o
greutate G dată, cu atât şi valoarea forţei active, F, va fi una mai mică.
m
FG=mg
r r
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 69
Fig.2.66.
2.10.3.4.Planul înclinat fără frecare
Greutatea G (figura 2.67.) se poate descompune în componentele
G sin α (paralelă cu planul înclinat) şi G cos α (perpendiculară pe planul
înclinat). Din ecuaţia de echilibru (de proiecţii pe direcţia firului paralel cu
planul înclinat), rezultă relaţia dintre forţa activă (F), de ridicare şi greutatea
G:
P=F sin α,
de unde se deduce că, cu cât pentru o greutate G, dată unghiul α este
mai mic, cu atât şi valoarea forţei F ar trebui să fie mai mică (dacă se
neglijează efectul frecării dintre corpul ridicat şi planul înclinat).
În cele ce urmează se consideră problema frecării cunoscută de la
cursul de fizică.
m
FG=mg
r R
70 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig.2.67.
2.10.3.5.Planul înclinat cu frecare
În cazul în care corpul de greutate G (figura 2.68.) se deplasează cu
frecare pe planul înclinat, între corp şi plan se dezvoltă o forţă de frecare Ff.
Ff=μN.
Fig.2.68.
În ecuaţia de mai sus, N este reacţiunea normală a planului asupra
corpului:
mF
G=mg
(F)
(F)
GccosαG sinα
α
α
mP
G=mg
(P)
(P)
GccosαG sinα αFf=μN
α
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 71
N=G cos α.
Ca urmare, rezultă că:
Ff=μ G cos α,
şi din ecuaţia de proiecţii a forţelor pe direcţia planului, obţinem:
F=G(sin α+μ cos α).
Cu cât înclinarea (α) şi coeficientul de frecare (μ) vor fi mai mici cu
atât (pentru o greutate G dată), şi forţa activă F va fi mai mică.
2.10.4.Instalaţii de ridicare de la bordul navelor
(Instalaţii cu bigă şi balansină)
La bordul navelor există instalaţii de ridicare ale căror elemente
principale sunt biga (care asigură orientarea instalaţiei) şi balansinele
(cablurile care susţin biga). Într-o primă aproximaţie se poate considera, că
biga este un solid rigid (nedeformabil), iar balansinele ar putea fi asimilate
„firelor” deformabile.
În acest context biga poate fi considerată articulată la capătul inferior
(dinspre stâlpul de susţinere sau catarg), balansinele putând fi secţionate
imaginar şi înlocuite cu efortul N pe care-l trasmit asupra bigii. În cele ce
urmează ne propunem să studiem câteva instalaţii foarte simple cu bigă şi o
singură balansină, scopul studiului fiind determinarea efortului din balansină
pentru o greutate ridicată G, dată. Alegerea tipului de cablu pentru balansină
se face în funcţie de valoarea acestui efort axial, N.
72 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Aplicaţii
1. Pentru instalaţia cu bigă şi balansină din figura 2.69., se cere să se
determine valoarea efortului N din balansină, în funcţie de valoarea
greutăţii ridicate G, braţul ei (X) în raport cu articulaţia bigii şi
unghiul (α) de înclinare a balansinei faţă de orizontală (axa bigii).
Fig.2.69.
Rezolvare:
Luând în considerare că (după secţionarea imaginară a balansinei şi
înlocuirea ei cu efortul axial N) biga se află în echilibru, putem scrie o
ecuaţie de echilibru (de momente) a forţelor ce acţionează asupra bigii, în
raport cu articulaţia bigii. Ca urmare, vom obţine ecuaţia:
Nd=Gx,
în care d este braţul efortului N în raport cu articulaţia bigii, d=l sin α.
Rezultă:
.
(d)
G=mg
N
l
α
m
x
N
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 73
2. Pentru instalaţia cu bigă şi balansină din figura 2.70., se cere să se
determine valoarea efortului N din balansină, în funcţie de valoarea
greutăţii ridicate, G=40 kN.
Fig.2.70.
3. Pentru instalaţia cu bigă şi balansină din figura 2.71., se cere să se
determine valoarea efortului N din balansină, pentru o greutate G=60
kN.
Fig.2.71.
N
α=45°
m
N
G=40 kN
6 m
N
β=30°
m
N
G=40 kN
d=4 m
d’
α=60°
74 G. Kűmbetlian şi T. Chis
3.CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL
3.1. Elementele mişcării
Elementele mişcării punctului material sunt: traiectoria, viteza şi
acceleraţia.
3.1.1. Traiectoria
Traiectoria unui punct material (în figura 3.1.) este reprezentată prin
curba din planul (P) pe care o descrie punctul în mişcarea sa (presupusă ca
desfăşurându-se în acelaşi plan, P). Poziţia punctului la un moment dat (t)
este marcată prin punctul M(t), al cărui vector de poziţie în raport cu originea
O a unui sistem de axe xOy, este . M’(t+Δt) indică poziţia punctului
material la un interval de timp Δt faţă de M(t), ş.a.m.d. Cu alte cuvinte,
traiectoria este definită prinvectorul de poziţie ,
. (3.1.)
3.1.2. Viteza
Viteza medie, (figura 3.1.) la momentul M(t) este definită de
raportul:
, (3.2.)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 75
iar limita spre care tinde acest raport când Δt tinde spre zero, este
viteza (instantanee) a punctului material în punctul M.
(3.3.)
sau:
(3.4.)
în care este derivata vectorului de poziţie , în raport cu timpul.
Fig. 3.1.
3.1.3. Acceleraţia
Dacă poziţiile unui punct material (fig.3.2.) în două momente extrem de
apropiate (la un interval de timp Δt) sunt M şi M’ , caracterizate prin vitezele
instantanee şi ,
, (3.5.)
variaţia vitezei între cele două puncte va fi ,
xO
v
)P(
r
y
r
)t(M
)tt(M
mvr
aTraiectori
76 G. Kűmbetlian şi T. Chis
(3.6.)
Fig. 3.2.
Raportul dintre şi Δt se numeşte acceleraţie medie, ,
. (3.7.)
Limita spre care tinde , când Δt tinde spre zero, se numeşte
acceleraţie (instantanee a) mişcării, în punctul .
(3.8.)
Cu alte cuvinte, acceleraţia ( ) este derivata vitezei ( ) în raport cu
timpul sau derivata doua a vectorului de poziţie ( ), în raport cu timpul.
(3.9.)
3.2.Mişcările particulare ale punctului material
x
v
)P(
vv
M
M vvv
ma)t(
)tt(
a
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 77
3.2.1. Mişcarea rectilinie uniformă
Să considerăm că o navă (M) se deplasează pe direcţia Ox (de versor
), cu viteza , constantă.
Distanţa d parcursă în timpul t va fi:
, (3.10.)
şi se măsoară în metri (m), kilometri (km),
m (3.11.)
sau mile marine (Mm),
km m. (3.12.)
Din relaţia (3.10) putem obţine expresia vitezei în funcţie de distanţă şi
timp,
. (3.13.)
Viteza se măsoară în metri pe secundă (m/s), kilometri pe oră (km/h),
m/3600 s=0,277 m/s (3.14.)
sau noduri (Nd),
1 Nd= 1 MM/h=1,852 km/h. (3.15.)
1 Nd= 1,852·0,277 m/s=0,513 m/s. (3.16.)
Aplicaţie:
O navă părăseşte un port cu viteza de 20 Nd, iar după o oră, pleacă din
acelaşi port o altă navă, cu viteza de 30 Nd (fig.3.3). După cât timp se vor
întâlni şi la ce distanţă de port ?
a. Din condiţia d1=d2, rezultă:
20 t=30 (t-1),
din care obţinem:
t=3 ore.
78 G. Kűmbetlian şi T. Chis
b.Distanţa parcursă de cele două nave până la punctul de întâlnire, va fi:
d=v1t=20·3=60 MM=60·1,852=111,12 km.
Fig. 3.3.
3.2.1.1. Mişcarea absolută, relativă şi de transport
(rectilinie), a punctului material
Să considerăm o navă care se deplasează cu „viteza relativă” în raport
cu un fluviu, a cărui apă curge cu „viteza de transport” , faţă de mal (figura
3.4.).
Care va fi „viteza absolută” a navei, faţă de mal?
Rezolvare
Viteza absolută a navei ( ) va fi rezultanta vectorială a vitezelor
„relativă” ( ) şi de transport ( ).
, (3.17.)
d=d1=d2
(t) v1=20 Nd
v1=30 Nd
(t-1)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 79
Fig. 3.4.
Cazuri particulare
1.a. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt colinare şi
de acelaşi sens (figura 3.5.), atunci:
, (3.18.)
şi
(3.19.)
Fig. 3.5.
rv
tv
tra vvv
tv
avrv
tv
80 G. Kűmbetlian şi T. Chis
1.b. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt colinare şi
opuse (figura 3.6.), atunci:
, (3.20.)
şi
(3.21.)
Fig. 3.6.
2.a. Dacă vitezele „relativă” şi de „de transport” , sunt octogonale
(figura 3.7.), atunci:
Fig. 3.7.
, (3.22.)
şi
(3.23.)
av rv
tv
av
rv
tv
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 81
2.b. Dacă vitezele de „de transport” şi direcţia vitezei absolute, ,
sunt octogonale (figura 3.8.), atunci:
Fig. 3.8.
, (3.22.)
şi
(3.23.)
Aplicaţii:
1. O navă se deplasează cu viteza vr=20 km/h în sensul curentului unui
fluviu, a cărui viteză vt este de 1,5 m/s. În cât timp va parcurge o
distanţă d=40 km? Dar dacă se deplasează în sens opus?
Rezolvare:
a. ; ,
deci:
h adică 1 h 34’.
av
rv tv
()
82 G. Kűmbetlian şi T. Chis
b. ; ,
deci:
h adică 2 h 44’.
Fig. 3.9.a.
Fig. 3.9.b.
2. O navă parcurge distanţa d=216 km în sensul de curgere a unui
fluviu în timpul t1=10 ore şi în sens contrar, în t2=15 ore.
Determinaţi vitezele relativă (vr) a navei şi de transport (vt) a fluviului.
rv
tv
d=40 km
rv
tv
d=40 km
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 83
Răspuns: vr=18 km/h şi vt= 3,6 km/h.
3. O navă traversează un fluviu (care curge cu viteza v t=0,5 m/s), cu
viteza vr=2 m/s. Sub ce unghi φ faţă de mal trebuie să pornească
nava pentru a traversa fluviul perpendicuar pe axa şenalului? Cât va
fi în acest caz viteza absolută, va şi în cât timp traversează fluviul.
Fig. 3.10.
deci
s.
4. O navă traversează un fluviu (care curge cu o viteză vt=0,6 m/s),
perpendicular pe axul şenalului. Determinaţi unghiul β dintre axa
longitudinala a navei (a cărei viteza relativă este vr=2,4 m/s) şi
direcţia deplasării, viteza absolută va şi timpul parcurs.
rv tv
av
l=48 m
φ
84 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Fig. 3.11.
Răspuns: β=14°29’; va=2,32 m/s ; t=20,8 s.
5. O navă traversează un fluviu (a cărui viteză de curgere este v t=0,6
m/s) pornind perpendicular pe axa şenalului lui, cu viteza v r=2,4
m/s. Determinaţi abaterea (α şi BB’) faţă de direcţia iniţială,
valoarea drumului parcurs AB’, viteza absolută a navei (va) şi
timpul necesar traversării (tAB’). (figura 3.12.).
Fig. 3.12.
rv tv
av
l=48 m
β
A
B
rv tv
av
l=48 mβ
A
B B’
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 85
3.2.2. Mişcarea rectilinie variată
În mişcarea rectilinie variată, punctul material se deplasează accelerat,
cu acceleraţia a (figura 3.13.).
În timpul t, viteza creşte de la v1 la:
. (3.24.)
Fig. 3.13.
Între poziţiile şi , punctul material parcurge distanţa d, cu viteza
medie:
. (3.25.)
Rezultă că:
. (3.26.)
Dar din expresia vitezei v2, putem înlocui timpul:
, (3.27.)
şi obţinem:
d(t)
a[m/s]
1v
tavv 12
t2
vvtvd 21
m
1 2
1 2
86 G. Kűmbetlian şi T. Chis
, (3.28.)
de unde:
, (3.29.)
sau:
. (3.30.)
Aplicaţie:
O navă se deplasează (pornind din repaus), cu acceleraţia a=0,05
m/s2.Determinaţi timpul necesar atingerii unei viteze de 10 Nd (figura 3.14.).
Fig. 3.14.
Rezolvare:
,
v=10 Nd=10 =5,14 m/s.
s ≈ 1 minut şi 42,8 secunde.
x
t=?
0v1 Nda
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 87
3.2.3. Mişcarea circulară a punctului material
Să considerăm mişcarea circulară a unui punct material în planul orizontal
(P), ca în figura 3.15., legea mişcării:
, (3.31.)
fiind cunoscută.
Viteza unghiulară va fi derivata în raport cu timpul a unghiului descris de
raza vectoare într-un timp t ,
Figura 3.15.
, (3.32.)
iar acceleraţia unghiulară ε, derivata în raport cu timpul a vitezei
unghiulare , sau derivata a doua a lui în raport cu timpul.
. (3.33.)
(P)
v
ta
nar
(O)
a
(M)
s
88 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Dacă cunoaştem legea de variaţie a vectorului de poziţie a punctului O (în
raport cu timpul):
, (3.34.)
atunci viteza (tangenţială) a punctului O va fi:
, (3.35.)
iar valoarea ei va fi:
. (3.36.)
Dacă cunoaştem legea de variaţie a arcului (s) descris de punctul O,
sau (3.37.)
atunci viteza tangenţială va fi:
, (3.38.)
ca în relaţia (3.36.).
Viteza unghiulară va fi:
, (3.39.)
sau în funcţie de “turaţia” n ,
. (3.40.)
Acceleraţia punctului O este:
, (3.41.)
sau:
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 89
. (3.42.)
Primul termen al relaţiei (3.42.) este acceleraţia tangenţială,
sau , (3.43)
la care se poate ajunge şi cu ajutorul vitezei tangenţiale:
, (3.44.)
în care:
sau . (3.45.)
În concluzie putem scrie:
. (3.46.)
Al doilea termen al relaţiei (3.42.) este acceleraţia normală, şi se dezvoltă
după regula de calcul a dublului produs vectorial:
(3.47.)
sau
(3.48.)
şi este opusă vectorului de poziţie .
Valoarea acceleraţiei normale an, este:
, sau (3.49.)
Mai putem scrie:
90 G. Kűmbetlian şi T. Chis
. (3.50.)
În tabelul de mai jos se prezintă o analogie între elementele de bază ale
mişcării rectilinii şi celei circulare, după cum urmează:
Mărimea Mişcarea
rectilinie
Mişcarea circulară
Elemente
unghiulare
Elemente curbilini
Legea
mişcării
Viteza
Acceleraţia
Spaţiul
parcurs
Spaţiul
parcurs
Legea de
variaţie a
vitezei
Aplicaţii
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 91
1. O navă porneşte de la mal, într-o mişcare circulară de rază R=250 m,
cu viteza v0=10 Nd şi acceleraţia tangenţială vt=0,08 m/s2.
Determinaţi valorile acceleraţiilor normală (an) şi totală (a) precum
şi unghiul φ dintre ele (figura 3.16.).
Rezolvare:
; .
m/s2 .
m/s2 .
.
Figura 3.16.
2. Tamburul unui vinci de ancoră de rază r=15 cm lansează o ancoră cu
o turaţie n=120 rot/min., constantă în timp. Determinaţi viteza
unghiulară a tamburului şi viteza şi acceleraţia ancorei (figura 3.17.).
R=250 m
a=?
φ=?
v=10 Nd
a=0,08 m/s2
an=?
92 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Figura 3.17.
Rezolvare
rad/s.
m/s.
m/s2.
3. Stabiliţi relaţiile între elementele cinematice (h,v,a şi respectiv h1,v1,
şi a1) ale troliului din figura 3.18.
(=a)
at=0
v
anR=15 cm
n
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 93
Figura 3.18.
Rezolvare
3.2.3.1. Mişcarea abolută, relativă şi de transport
(circulară), a punctului material
m
FG=mg
rR
ha
94 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Să considerăm o navă, în mişcare circulară ca în figura 3.19., cu viteza
unghiulară, .
Figura 3.19.
Viteza tangenţială (de transport), va fi:
, sau . (3.50.)
Dacă pe punte se află un container care se deplasează în lungul navei cu
viteza relativă , atunci viteza absolută a containerului va fi (figura 3.20.):
sau . (3.51.)
Se demostrează că pentru ω=constant şi vt şi vr constante, acceleraţia
absolută a containerului va fi:
(3.52.)
în care acceleraţia normală ( ) este:
, (3.53.)
sau:
(P)
rv t
r
(C)
.const
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 95
, sau , (3.54.)
iar acceleraţia Coriolis, are expresia:
sau . (3.55.)
Acceleraţia Coriolis este perpendiculară pe planul vectorilor şi şi are
sensul celei de-a treia axe a triedului drept , , (conform regulii
şurubului drept).
Figura 3.20.
Aplicaţii
1. Dacă raza de giraţie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km=100 m
(vezi figura 3.20), viteza de transport a navei Nd şi viteza
relativă a containerului este m/s. Calculaţi viteza absolută a
containerului (va), acceleraţia normală (de transport), (an=atr),
acceleraţia Coriolis (ac) şi acceleraţia absolută (aa) a containerului.
Rezolvare:
vtr=vt=10 Nd=19· (1852/3600)=5,14 m/s,
av
rv
r
ttr vv
na
ca
aa
O (fix)
96 G. Kűmbetlian şi T. Chis
va=vtr + vr= vt + vr =5,14+1=6,14 m/s,
atr=an= m/s2,
ac= m/s2,
aa=an+ac=0,264+0,103=0,367 m/s2,
2. Dacă raza de giraţie a traiectoriei unei nave este r=0,1 km (vezi figura
3.21.) viteza de transport a navei vtr=vt=10 Nd şi viteza relativă a
containerului este vr=1 m/s, calculaţi viteza absolută s containerului
(va), acceleraţia normală-de transport (an=atr), acceleraţia Coriolis (ac)
şi acceleraţia absolută (aa) a containerului.
Figura 3.21.
Rezolvare:
m/s,
m/s2,
av rv
r
tv
ntr aa
ca
aa
O (fix)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 97
m/s2,
m/s2,
3. Pentru aceeaşi navă şi aceleaşi valori pentru r,v t şi vr dar pentru sensul
vitezei relative (vr) din figura 3.22., calculaţi va,an,ac şi aa.
Rezolvare:
m/s,
an=0,264 m/s2,
ac=0,103 m/s2,
m/s2,
Figura 3.22.
4. Pentru aceeaşi navă şi aceleaşi valori pentru r,v t şi vr dar pentru sensul
vitezei relative (vr) din figura 3.23., calculaţi va,an,ac şi aa.
Rezolvare:
m/s,
an=0,264 m/s2,
ac=0,103 m/s2,
av rv
r
tv
ntr aa
ca
aa
O (fix)
98 G. Kűmbetlian şi T. Chis
m/s2,
Figura 3.23.
avrv
r
tv
ntr aa
caaa
O (fix)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 99
4.DINAMICA
4.1.Principile mecanicii clasice
Principiile mecancii clasice au fost definite de către Isaac Newton în anul
1687 şi sunt următoarele:
4.1.1.Principiul inerţiei (Legea I-a a lui Newton)
„Un corp asupra căruia nu acţionează forţe, se află în repaus sau în mişcare
rectilinie şi uniformă în raport cu un reper (sau sistem de referinţă) inerţial”.
Măsura inerţiei corpului în mişcare rectilinie (sau translaţie) este „masa (m)”.
Unitatea de măsură pentru „masă” în „SI” este kg.
4.1.2.Principiul acţiunii forţei (Legea II-a a lui Newton)
„Dacă asupra unui corp de masă „m” acţionează o forţă (Figura 4.1.)
această imprimă corpului o acceleraţie .
Relaţia dintre masa m [kg], acceleraţia a [m/s2] şi forţa F[N→”Newton”],
este:
(4.1.)
Sau, în cazul „punctului material”,
100 G. Kűmbetlian şi T. Chis
(4.2.)
Figura 4.1.
4.1.3.Principiul acţiunii şi reacţiunii (sau „acţiunilor
reciproce forţei”) (Legea III-a a lui Newton)
Dacă două corpuri (1) şi (2) interacţionează reciproc cu forţele şi
(Figura 4.2.), atunci;
sau (4.3.)
4.2.Forţe şi momente de inerţie. Metoda cineto-statică (a lui
d’Alembert)
4.2.1.Forţe de inerţie în mişcarea rectilinie a punctului
material şi în translaţia corpului solid rigid
S-a arătat mai sus, că dacă asupra unui punct material acţionează o forţă
, aceasta imprimă corpului o acceleraţie, şi punctul material se va afla în
raport cu un sistem inerţial într-o mişcare rectilinie variată. Dacă raportăm
însă punctul material unui sistem de referinţă neinerţial, legat de punct, atunci
putem considera corpul în repaus, sub acţiunea forţei de mai sus şi a unei
forţe egale, de sens contrar, proporţională cu masa şi acceleraţia lui (ca în
Figura 4.3.).
F
m
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 101
Figura 4.2.
Figura 4.3.
Forţa:
(4.4.)
se va numi „forţă de inerţie” şi în conformitate cu raţionamentul de mai
sus,
. (4.5.)
Din ecuaţia (4.5.) rezultă că:
(4.6.)
sau,
, (4.7.)
ceea ce corespunde celui de-al doilea principiu al dinamicii.
În cazul unui corp solid rigid în translaţie, (Figura 4.4.), forţa de inerţie
este proporţională cu masa şi acceleraţia centrului de greutate al corpului,
. (4.8.)
21F
12F
F
mamFin
a
102 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Figura 4.4.
Aplicaţie
O ancoră de masă m=1 t este ridicată cu o acceleraţie a=0,3 m/s2 ca în
figura 4.5. Se cere să se determine greutatea ancorei (G), forţa de inerţie (F in)
şi efortul (N) din lanţul de ancoră.
Figura 4.5.
Rezolvare:
m=1 t = 1000 kg.
G=mg= 1000 · 9,81 =9810 N
Fin= ma= 1000 · 0,3 =300 N
N=G+ Fin=9810+300=10110 N=10,11 kN.
F
mamFin
a
G
m
a
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 103
Figura 4.6.
4.2.2.Forţe de inerţie în mişcarea circulară a punctului
material
În cele ce urmează vom considera un punct material în rotaţie în jurul
unui centru O, cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε (Figura
4.7.).
Forţa f care imprimă corpului mişcarea de rotaţie determină şi
acceleraţiile „tangenţiale”
(4.8.)
şi „normală”:
(4.9.)
Ca urmare, într-un sistem de referinţă legat de corp, am putea considera că
asupra acestuia, în „repaus” s-ar aplica forţele de inerţie „tangenţială”, fin(t),
(4.10.)
şi „normală” (sau „centrifugă”), fincf :
m
a
G
Fin
N
104 G. Kűmbetlian şi T. Chis
(4.11.)
Ca urmare, forţa de inerţie totală, rezultantă ar fi:
(4.12.)
sau:
(4.13.)
Aplicaţie:
O barcă cu motor, de masă m=200 kg., se deplasează după o traiectorie
circulară de rază r=20 m, cu viteza de v=10 Nd. Se cere valoarea acceleraţiei
normale (an) şi forţei de inerţie centrifuge (f in(cf)), care tinde să devieze barca
de la traiectoria pe care o urmează (figura 4.8.).
Rezolvare:
v=10 Nd= 10 (1852/3600)=5,14 m/s.
an=v2/r=(5,14)2/20=1,32 m/s2.
(f in(cf))=m · an=200 · 1,32=254 N=0,264 kN.
Figura 4.7.
O
n)cf(in maf t)t(in maf
ωε
ra t rvm
2n ra
a
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 105
Figura 4.8.
4.2.3.Forţe de inerţie în rotaţia corpului solid rigid
Să considerăm un corp solid rigid (ca de exemplu tamburul unui vinci de
ancoră), în rotaţie în jurul axei sale, cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia
unghiulară ε (figura 4.9.), sub acţiunea unui moment, M.
Asupra fiecărei particule de masă mj şi distanţă rj de centrul tamburului, va
acţiona o acceleraţie tangenţială atj.
(4.14.)
Ca urmare, fiecărei particule de masă mj, i se poate asocia (atribui) o
forţă de inerţie (tangenţială), ftj, opusă acceleraţiei atj, de valoare:
(4.15.)
Suma momentelor acestor forţe (de inerţie) în raport cu centrul de
rotaţie, se va numi „moment de inerţie”, Min, a cărui expresie matematică,
conform definiţiei, va fi:
v
rna
O (fix)
106 G. Kűmbetlian şi T. Chis
(4.16.)
Figura 4.9.
Ecuaţia (4.16.) se mai poate scrie şi sub forma:
(4.17.)
Expresia , care depinde doar de masele particulelor (m j), (particule care
compun corpul) şi de distribuţia lor (rj) se numeşte „moment de inerţie
masic” şi se notează cu J [kg m2].
(4.18.)
Momentul de inerţie masic este o caracteristică masică a corpului în rotaţie
(asemănătoare cu masa (m) în translaţia corpului).
Se poate spune deci, că „momentul de inerţie masic“ , J , este măsura inerţiei
corpului material în rotaţie. Ca urmare, „ momentul de inerţie” (M in) a
corpului în rotaţie, va fi:
(4.19.)
O
tjf
ωε
R
tja M
Min
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 107
Pentru un corp solid rigid, omogen si izotrop de grosime constantă şi
„densitate superficială” , ρA [kg/m2],
(4.20.)
Expresia:
[m4] (4.21.)
Se numeşte „moment de inerţie polar”. Ca urmare, între momentul de inerţie
masic şi momentul de inerţie polar există relaţia:
. (4.22.)
Pentru un volant (sau tambur) de formă circulară, de rază R şi grosime
constantă, se demostreză că:
şi (4.23.)
Aplicaţii:
1.Pentru troliul din figura 4.10., sub acţiunea greutăţilor F şi Q,
corespunzătoare maselor mF şi mQ, se cere să se calculeze, în funcţie de datele
problemei (F, Q, R, r şi J), acceleraţiile a şi a1, vitezele v şi v1 cu care se
deplasează masele, precum şi distanţele h şi h1 parcurse de ele.
Rezolvare:
Odată introduse forţele (greutăţile F şi Q), forţele de inerţie (F in(F) şi Fin(Q)),
precum şi momentul de inerţie (Min), sistemul poate fi considerat „in repaus”,
faţă de un sistem de referinţă neinerţial, problema devenind una de statică,
secţionând (imaginar) cablurile şi întroducând în secţiuni eforturile (egale şi
opuse) N şi N1 , putem scrie „ecuaţiile de echilibru”:
-pentru troliu : ,
-pentru masa mF: ,
108 G. Kűmbetlian şi T. Chis
-pentru masa mQ: ,
Figura 4.10.
Dar întrucât , rezultă .
Întroducând N şi N1 în prima relaţie, obţinem:
,
Din care rezultă valorile:
O
R
Min=Jε
r
F=mF ·g
Fin(Q)=mQ ·a1=(Q/g) ·a1
Q=mQ ·g
mQ
mF a
a1
(N)
(N)(N1)
(N1)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 109
, , şi .
2. Pentru vinciul de ancoră din figura 4.11., acţionat de momentul cunoscut
R1, se cere să se determine acceleraţia a, viteza v şi legea mişcării ancorei (h),
dacă se cunosc greutatea ancorei (Q), razele R şi r ale tamburului vinciului de
ancoră şi rolei de ghidaj a lanţului de ancoră, precum şi valorile momentelor
de inerţie masice J şi J1 ale lor.
Figura 4.11.
Din condiţia de „echilibru” a tamburului, rezultă:
sau .
Pentru , rezultă .
O
R
Min=Jε
Fin(Q)=(Q/g) ·a
Q
a
M=!
(N1)
(N1)
ε
NIVEL APĂ
ω
(N) (N)
110 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Din condiţia de „echilibru” a rolei de ghidare a lanţului de ancoră,
obţinem:
şi pentru rezultă:
.
Din condiţia de „echilibru” a ancorei obţinem:
sau .
Întroducând pe N din prima relaţie şi N1 din a treia condiţie de echilibru,
în relaţia din a doua condiţie de echilibru, rezultă efectuând calculele,
valoarea acceleraţiei:
.
Şi apoi v=at şi .
4.3.Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în mişcarea
rectilinie a punctului material şi în translaţia corpului solid
rigid
Să considerăm un corp solid, rigid (sau un punct material) în translaţie
(sau respectiv în mişcare rectilinie) ca în figura 4.12.
Dacă în poziţia 1 viteza corpului este v1, în poziţia 2 viteza va fi v2.
(4.24.)
Produsul dintre valoarea forţei (F) şi distanţa (d) parcursă pe direcţia
forţei se numeşte „lucru mecanic” (L).
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 111
Figura 4.12.
(4.25.)
Unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este „Joule”.
Dacă forţa este orientată în sensul distanţei parcurse (d), lucrul mecanic
se numeşte „lucrul mecanic motor”.
Dacă forţa F este opusă sensului distanţei parcurse (d), lucrul mecanic se
numeşte „lucru mecanic rezistent”.
Dacă forţa F face un unghi α cu direcţia distanţei parcurse (ca în figura
4.13.), lucrul mecanic este:
(4.26.)
Raportul dintre lucrul mecanic şi timpul în care a fost efectuat se numeşte
„putere” (P).
(4.27.)
Unitatea de măsură pentru putere este „Watt”-ul.
(4.28.)
4.3.1. Teorema energiei cinetice în translaţie
d(t)
a[m/s]
1v
tavv 12
t2
vvtvd 21
m
1 2
F
F
112 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Între poziţiile 1 şi 2 din figura 4.12., lucrul mecanic efectuat este L12:
. (4.29.)
Dacă înlocuim acceleraţia cu expresia ei în funcţie de vitezele v2, v1 şi
timpul t în care a fost parcurs spaţiul d,
, (4.30.)
obţinem:
, (4.31.)
sau:
. (4.32.)
Expresia se numeşte „energie cinetică” şi se măsoară în „Joule”:
. (4.33.)
Ca urmare:
, (4.34.)
Ecuaţia (4.34.) reprezintă teorema energiei cinetice.
Pentru v1 =0,
€
Ec1 = 0 , si teorema energiei cinetice devine:
€
L12 = Ec2 (4.35.)
Aplicatie:
O nava care a pornit din repaus, a parcurs o distanta d in drum drept,
ajungand la o viteza de v=10 Nd. Daca masa navei este m=100 t, calculati
energia cinetica si lucrul mecanic efectuat.
Rezolvare: m=100 t=100.000 kg,
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 113
€
v1 = 0 ;
€
v2 = v =10 Nd =10 ⋅1852
3600= 5,14
m
s,
€
Ec2 = Ec =mv2
2
2=
100.000 ⋅(5,14)2
2=1.320.980 J
€
L12 = Ec2 =1.320,98 kJ =1,32098 MJ
4.4.Lucrul mecanic, puterea şi energia cinetică, în rotatia
corpului solid rigid
Sa consideram in cele ce urmeaza un corp solid rigid, de tipul unui troliu,
scripete sau tambur al unui vinci de ancora in rotatie cu viteza unghiulara
(figura 4.13.) sub actiunea unui moment, M.
Daca momentul de inertie masic al corpului in rotatie este J, atunci in
conformitate cu cele studiate anterior, avem relatia:
€
Je = M (4.36.)
Pentru un unghi de rotatie [rad], produsul M este „Lucrul mecanic”
efectuat:
€
Mq = L [J] (4.37.)
si care poate fi la randul lui „Lucrul mecanic motor” (pentru
€
L ⟩0 ), sau
„Lucrul mecanic rezistent” (pentru
€
L ∠0 ).
Raportul L/t este „Puterea”
€
L
t= P [W], (4.38.)
de unde:
€
P =Mq
t= Mw . (4.39.)
114 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Din cele de mai sus rezulta ca momentul se defineste in functie de putere
(P) si viteza unghiulara sub forma:
€
M =P W[ ]
w s−1[ ]
[Nm] (4.40.)
Figura 4.14.
Daca exprimam viteza unghiulara in functie de turatia n [rot/min],
€
[s−1] =2πn
60=
πn
30, (4.41.)
rezulta:
€
M = [Nm] =P[W]
πn
30
=30P [W]
πn[rot/min] (4.42.)
sau:
€
M = [kNm] =30
π
P[W]
n, (4.43.)
si respectiv:
M
€
M in= −Je
€
1(ω1)
€
2(ω2)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 115
€
e =M
J[s−2]. (4.44.)
Aplicatie.
Determinati momentul de actionare, acceleratia unghiulara , viteza
unghilara si legea de variatie a spatiului unghiular pentru un tambur
de vinci cu masa m=200 kg si de raza R=0,5 m, daca transmite o putere
P=314 kW sub o turatie n=3000 rot/minut.
Rezolvare:
€
M = [kNm] =30
3,14
314
3000=1 kNm =1000 Nm.
€
J = mR2
2=
200 ⋅(0,5)2
2= 25 kgm2 .
€
e =M
J=
1000
25= 40 s-2.
€
=40t 2
2= 20t 2 [rad].
4.4.1. Teorema energiei cinetice, in rotatia corpului solid
rigid
Daca la momentul t1 (si spatiul unghiular 1), viteza unghiulara este 1 ,
la momentul t2 (si spatiul unghiular 2), ea va fi:
€
2 = ω1 + εt , (4.45.)
116 G. Kűmbetlian şi T. Chis
de unde:
€
=2 −ω1
t.
Lucrul mecanic efectuat de momentul M corespunzator spatiului
unghiular va fi ,
€
L12 = Mθ = Jε ⋅ωmed ⋅t . (4.46.)
Dar cum:
€
med =ω1 + ω2
2, (4.47.)
rezulta ca:
€
L12 = Jω2 −ω1
t⋅ω1 + ω2
2⋅t =
1
2J(ω2
2 −ω12) , (4.48.)
sau:
€
L12 =1
2Jω2
2 −1
2Jω1
2 (4.49.)
Expresia:
€
1
2Jω2 = Ec , (4.50.)
si ca urmare:
€
L12 = Ec2 − Ec1 (4.51.)
Expresia (4.51.) reprezinta teoria energiei cinetice.
Daca Ec1=0, 1=0 atunci si L12=Ec2.
Aplicatii:
1.Pentru troliul din figura 4.15., sub actiunea maselor mF si mQ,
determinati elementele miscarii celor doua mase (a,v,h si respectiv a1, v1
si h1).
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 117
Figura 4.15.
Rezolvare:
Problema se rezolva cu ajutorul metodei izolarii corpurilor si teoremei
energiei cinetice.
Pentru troliul izolat avem:
€
NR ⋅Q − N1rθ =1
2Jω2 .
Dar intrucat
€
Rθ = h , si
€
rθ = h1 , rezulta ca:
(N)
(N)
(N1)
(N1)
a=RMFMQ
v=R
F
Q
h=R
h1=r
v1=r
a1=r
J
118 G. Kűmbetlian şi T. Chis
€
Nh − N1h1 =1
2Jω2 =
1
2J
v2
R2.
Pentru masa mF :
€
Fh − Nh =F
gJω2 ⋅
v2
2g.
Pentru masa mQ :
€
N1h1 − Qh1 =Qv2
2g.
Dar intrucat
€
rθ = h1 = rh
R, si
€
rω = v1 = rv
R , rezulta ca:
€
N1h1 = Qhr
R+
Q
2g⋅r2v2
R2 .
Introducand expresiile Nh si N1h1 obtinute in expresia teoremei energiei
cinetice pentru troliu, obtinem efectuand calculele, expresia acceleratiei
masei mF:
€
a =gR(FR - Qr)
FR2 + Qr2 + Jg, v = at si h =
at 2
2
2. Pentru instalatia vinciului de ancora din figura 4.11., determinati
expresia acceleratiei ancorei in momentul ridicarii ei cu ajutorul teoremei
energiei cinetice si a metodei izolarii corpurilor.
Raspuns:
€
a =gRr2(M - QR)
QR2r2 + J1gR2 + Jgr2 .
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 119
4.5.Impulsul si teorema impulsului
4.5.1. Impulsul fortei si impulsul punctului material, in
miscarea rectilinie
Figura 4.16.
In pozitia 2, viteza corpului va fi:
€
rv 2 =
r v 1 +
r a t (4.52.)
d(t)
a[m/s]
1v
tavv 12
t2
vvtvd 21
m
1 2
F
F
t
120 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Din ecuatia de mai sus avem:
€
ra =
r v 2 −
r v 1
t. (4.53.)
Expresia fortei poate fi scrisa ca fiind:
€
rF = m
r a = m
r v 2 -
r v 1
t, (4.54.)
De unde rezulta:
€
rF t = m
r v 2 − m
r v 1 , (4.55.)
expresia:
€
rp =
r F t = m
r v 2 − m
r v 1 , (4.56.)
se numeste „impulsul fortei” si se masoara in „Ns” sau in „kgm/s”.
Expresia:
€
rh = m
r v , (4.57.)
se numeste „impulsul punctului material” si se masoara (evident) tot in „Ns”
sau in „kgm/s”.
Cu cele de mai sus mentionate, relatia (4.55.) devine:
€
rp =
r F t =
r h 2 −
r h 1, (4.58.)
si daca corpul porneste din repaus (
€
rv 1 = 0) obtinem ecuatia:
€
rp =
r h 2. (4.59.)
4.5.2. Impulsul corpului solid rigid in translatie
Daca sub actiunea unui sistem de forte de rezultanta
€
vR , centrul de
greutate al corpului se afla in translatie cu viteza
€
vv g si acceleratia:
€
va g =
r v g (4.60.)
ca in figura 4.17., impulsul corpului solid in translatie va fi:
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 121
Figura 4.17.
€
rH = m
r v g (4.61.)
4.5.3. Teorema impulsului si teorema conservarii
impulsului
Daca derivam (in raport cu timpul) expresia impulsului (din relatia 4.60.),
obtinem „teorema impulsului”.
€
r H = mr v G = m
r a G =
r F jext =
r R
j=1
n
∑ , (4.62.)
sau:
€
rH = m
r v g =
r R , (4.63.)
G
€
rF 1
€
rF j
€
ra G
€
rv G
€
rR
€
rF n
122 G. Kűmbetlian şi T. Chis
comform careia „derivata impulsului corpului solid rigid (in translatie) in
raport cu timpul, este egala cu rezultanta
€
rR , a sistemului de forte care
actioneaza asupra corpului”.
Daca rezultanta sistemului de forte ce actioneaza asupra corpului este
nula, (corpul in repaus sau miscare rectilinie uniforma), atunci (pentru
€
rR = 0),
impulsul este constant.
€
r H = 0, (4.64.)
sau
€
rH = m
r v G = constan t . (4.65.)
Aceasta relatie este expresia „teoremei conservarii impulsului”.
Aplicatii:
1. Pentru o nava cu un deplasament de m=D=5000 tone care se afla in
repaus se cere sa se calculeze timpul necesar motorului care dezvolta
forta F=100 kN, pentru a imprima navei o viteza de v=10 nD.
a. fara a lua in consideratie rezistenta apei,
b. luand in consideratie rezistenta apei, R=35 kN.
Rezolvare
a. In prima ipoteza, din relatia Ft=mv, rezulta
€
t =mv
F,
si care, pentru
€
m = 5 ⋅106 kg,
€
v =10 Nd = 5,14 m
s si
€
F =105 N , ne da
€
t = 5 ⋅106 ⋅5,14 /105 = 257 s = 4 min si 17 s.
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 123
b.In a doua ipoteza din relatia:
€
(F - R)t = mv , obtinem:
€
t =mv
F - R si care pentru
€
R = 35 ⋅103N , ne da:
€
t =5 ⋅106 ⋅5,14
65 ⋅103≅ 395 s = 6 min si 35 s.
2. Un remorcher care are un deplasament D2=400 t si care se deplaseaza
cu viteza v2=10 Nd, urmeaza sa deplaseze o barja cu un deplasament
D1=1000 t care se afla in repaus (v1=0). Se cere sa se calculeze viteza
v’, a remorcherului si barjei, dupa cuplarea lor (dupa ce cablul de
legatura a fost intins la maximum), figura 4.18. (Se neglijeaza
rezistenta apei).
Rezolvare:
a.In prima situatie
€
H1 = D2v2.
b.In a doua situatie,
€
H2 = (D1 +D2) ′ v . In conformitate cu teorema conservarii impulsului,
€
D2v2 = (D1 +D2) ′ v , din care rezulta:
€
v'=D2v2
D1 +D2
=400 ⋅10
1400= 2,857 Nd.
sau:
€
v'= 2,8571,852
1= 5,29
km
h= 5,29
1000
3600=1,46
m
s.
124 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Cazul a.
Cazul b.
Figura 4.18.
4.6.Momentul cinetic si teorema momentului cinetic
4.6.1.Momentul cinetic al punctului material in miscare
circulara
Sa consideram un punct material de masa „m” in miscare circulara, cu
viteza unghiulara si acceleratia unghiulara
€
= ˙ ω , ca in figura 4.19.
Elementele miscarii sunt:
a. viteza tangentiala
€
v = rω (4.66.)
b. acceleratia tangentiala
€
a t = rε (4.66.)
D1=1000 t
v1=0
D2=400 t
v2=10 Nd
D1=1000 t D2=400 t
v’
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 125
Figura 4.19.
Forta tangentiala (componenta tangentiala) a fortei care imprima miscarea
de rotatie, este:
€
ft = ma t = mre , (4.67.)
iar momentul acesteia in raport cu centrul de rotatie (O) este:
€
M0(ft ) = ft ⋅r = mr 2ε . (4.68.)
Expresia:
€
k = hr , (4.69.)
se numeste „momentul cinetic al punctului material”, in miscarea
circulara.
4.6.2.Momentul cinetic al solidului rigid in rotatie
Sa consideram un solid rigid de forma unui volant, scripete, troliu s-au
tambur de vinci, in rotatie, in jurul unei axe O, (ca in figura 4.20.), sub
actiunea unui moment M, cu viteza unghiulara si acceleratia unghiulara .
m
€
rv
€
ra t
O
€
rh
€
rf t
r
€
rf '
126 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Momentul M imprima tutror punctelor materiale de mj (apartinand
corpului) acceleratii tangentiale:
€
a tj = rjε (4.70.)
Ca urmare se poate considera ca asupra tuturor punctelor materiale ar
actiona forte tangentiale:
€
ftj = m jrjε , (4.71.)
al caror moment in raport cu axa O va fi:
€
M = M j
j=1
n
∑ = ftj = m jrj
j=1
n
∑ ⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
j=1
n
∑ ε, (4.72.)
echivalent cu M.
Dar:
€
m jrj
j=1
n
∑ = J , (4.73.)
este momentul de inertie masic al corpului (considerat cunoscut).
Ca urmare,
€
M = Jε . (4.74.)
Pe de alta parte, impulsul punctului material mj va fi:
€
h j = m jv j = m jrjω , (4.75.)
iar „momentul cinetic” al corpului solid rigid in rotatie, va fi:
€
k = k j = h jrj = ( m jr j
2)ωj=1
n
∑j=1
n
∑j=1
n
∑ . (4.76.)
Cum paranteza din membrul doi al relatiei (4.76.) este chiar momentul de
inertie masic (J) al corpului in rotatie, rezulta:
€
k = Jω [kgm2 /s = (kgm/s2)ms = Nm⋅s = J ⋅s . (4.77.)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 127
Figura 4.20.
4.6.3.Teorema momentului cinetic
„Teorema momentului cinetic” se obtine daca derivam expresia (4.77.).
Rezulta:
€
˙ k = Jε = J ˙ ω = M , (4.78.)
sau:
€
˙ k = M , (4.79.)
Ca urmare, „derivata in raport cu timpul a momentului cinetic (k) al
corpului solid rigid in rotatie, este chiar momentul (M) care actioneaza asupra
corpului.
4.6.4.Teorema conservarii momentului cinetic
J
M
mj
j
atj
hj
ftj
128 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Daca momentul rezultant al fortelor care actioneaza asupra corpului in
rotatie este nul, atunci:
€
˙ k = J ˙ ω = 0 , (4.80.)
de unde rezulta:
€
k = Jω = constant , (4.81.)
care reprezinta expresia „teoremei conservarii momentului cinetic”.
Aplicatii:
1.Pentru troliul din figura 4.21. sub actiunea greutatilor F si Q (de masa
mF si mQ), calculati acceleratiile si vitezele lor, precum si spatiile h si h1
parcurse. Momentul de inertie masic J se considera cunoscut.
Rezolvare:
Daca sectionam (imaginar) cablurile si introducem eforturile N si N1,
putem studia (separat), miscarea fiecarui corp in parte.
Din studiul miscarii troliului in rotatie rezulta:
€
k = Jω = Jv
R,
de unde, ca urmare,
€
˙ k = J˙ v
R= J
a
R.
Dar
€
˙ k = M0
r F extj
j=1
n
∑ ,
si deci:
€
Ja
R= NR − N1r , (4.82.)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 129
in care N si N1 rezulta pentru fiecare corp (mF) si (mQ), din teorema
impulsului:
pentru corpul de greutate F,
€
H = mFv =F
gv ,
si deci:
€
˙ H =F
g˙ v =
F
ga = F − N ,
de unde:
€
N = F -F
ga .
pentru corpul de greutate Q,
€
H1 = mQv1 =Q
gv1
€
˙ H 1 =Q
g˙ v 1 =
Q
ga1 = N1 − Q
de unde,
€
N1 = Q +Q
ga1 = Q +
Q
g⋅
r
Ra .
Introducand N si N1 in relatia (4.82.), rezulta:
€
a =gR(FR - Qr)
FR2 + Qr2 + Jg.
Daca dorim sa determinam expresia acceleratiei ancorei in momentul
ridicarii ei, cu ajutorul teoremelor de conservare a impulsului si
momentului cinetic, aceasta va fi (Figura 4.11.):
J
130 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Figura 4.21.
€
a =(M - QR)gRr2
Jgr2 + J1gR2 + QR2r2
4.7. Giroscopul si aplicatiile lui in navigatie
4.7.1. Generalitati
Giroscopul este un corp solid, rigid in rotatie, in jurul unei axe z (Figura
4.22.), cu viteza unghiulara
€
r .
(N)
(N)
(N1)
(N1)
a=RmFmQ
v=R
FQ
h=R
h1=r1
v1=r
a1=r
v
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 131
Daca se imprima giroscopului (de moment de inertie masic J) o rotatie
€
r 1, se dezvolta un „moment de inertie” (
€
rM in ) , care se numeste „moment
giroscopic” (
€
rM g ) a carui expresie este:
€
rM g = J
r ω ×
v ω 1, (4.83.)
si care va actiona asupra lagarelor lui cu o „presiune giroscopica”,
€
±F .
Figura 4.22.
4.7.2. Efectul giroscopic in cazul navelor
echipate cu turbine
€
r 1
F
z
€
r
€
r 1
€
rM g =
r M in
(F)
J
132 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Figura 4.23.
a.Cazul navei care vireaza (Figura 4.23.).
In cazul in care nava efectueaza un viraj cu viteza unghiulara
€
r 1 (in jurul
axei z), se dezvolta un moment giroscopic
€
rM g, care imprima navei un tangaj,
in jurul axei orizontale (y).
b.Cazul navei in tangaj (Figura 4.24.)
Daca nava este in tangaj cu viteza unghiulara
€
r 1 (in jurul axei y), se
dezvolta un moment giroscopic
€
rM g, care produce tendinta de viraj in
jurul axei verticale z.
(z)(y)
(x)
€
r
€
r 1'
€
rM g
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 133
Figura 4.24.
4.7.3. Giroscopul ca stabilizator antiruliu (figura 4.25.),
pentru salile de operatie de la bordul navelor
(z)(y)
(x)
€
r
€
r 1
€
r 1'
€
rM g
(x)
(y)
€
r
€
r 1
€
r 1'
€
rM g
'
€
r
134 G. Kűmbetlian şi T. Chis
Figura 4.25.
Daca nava se afla in ruliu, cu viteza unghiulara
€
r 1 , (in jurul axei
orizontale x), se dezvolta momentul giroscopic
€
rM g
' care tinde sa imprime
navei o rotatie cu viteza unghiulara
€
r 1' (in jurul axei orizontale y). Datorita
tendintei de rotatie a giroscopului cu viteza unghiulara
€
r 1' , se dezvolta insa
momentul giroscopic
€
rM g
" ,
€
rM g
" = Jr ω ×
r ω 1
' ,
(4.60.)
care tinde sa roteasca in axa cu viteza unghiulara
€
r 1" in jurul axei
orizontale x. In felul acesta si intrucat
€
r 1" se opune sensului
vitezei unghiulare
€
r 1 , tendinta navei de a se supune ruliului, este anulata.
€
r 1"
€
rM g
"
(z)
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 135
TABEL COMPARATIV CU MARIMILE IMPORTANTE
ALE DINAMICII, DIN TRANSLATIA SI ROTATIA
CORPULUI SOLID RIGID
Nr.crt. Translatie Rotatie
1 Forta
€
rF
Momentul fortei
M=Fr
€
rM =
r r ×
r F
2 Masa, Momentele de inertie
136 G. Kűmbetlian şi T. Chis
m
€
J = m jrj2
j=1
n
∑ sau
€
r2dm∫∫∫
3 Relatia dintre forta si
acceleratie
€
rF = m⋅
r a
Relatia dintre momentul fortei si
acceleratia unghiulara
€
M = Jε (
€
rM = J
r ε )
4 Lucrul mecanic
L=Fl(cos)
Lucrul mecanic
L=M(cos)
5 Puterea
P=Fv(cos)
Puterea
P=M(cos)
6 Energia cinetica
€
Ec =1
2mv2
Energia cinetica
€
Ec =1
2Jω2
7 Impulsul
€
rH = m
r v G
Momentul cinetic
K=J (
€
rK = J
r ω )
BREVIAR DE MECANICĂ NAVALĂ 137
BIBLIOGRAFIE
1. Sears, F.W., Zemarsky, M.W., Young, H.D.- „University Physics”,
Ed.Addison-Wesley Publishing Company, 1976.
2. Valcovici, V., Balan, St., Voinea, R-„Mecanica teoretica”, Editura
Tehnica, Bucuresti, 1968.
3. Voinea, V., Voiculescu, D., Ceausu,V.-„Mecanica”, Editura Didactica
si Pedagogica, Bucuresti, 1983.
4. Voinea, R., Voiclescu, D., Simion, F.P., „Introducere in mecanica
solidului cu aplicatii in inginerie”, Editura Academiei RSR, 1989.
5. Standards of Training, Certification and Watchkeeping for
Seafarers (STCW), Physical Science, Part C, Module 16.