Boska proporcja

Boska proporcja

Ciąg Fibonacciego

Złota liczba

Aleksandra Czerniak

Gimnazjum nr 9 w Lubliniepod kierunkiem p. Lidii Sarat

Krótka historia

Uważa się, że podział zwany złotym jest najmilszy dla oka. Od wieków zachwyca on nie tylko matematyków, lecz także przyrodników i artystów.

Nazwa „phi” [fi] pochodzi od nazwiska zafascynowanego nią Fidiasza, greckiego artysty z V w. p.n.e., lub jak podają niektóre źródła, nazwiska włoskiego matematyka, Fibbonacciego.

Najstarsza wzmianka o phi jako o „świętej proporcji” sięga 1650 rok p.n.e., kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Później badali go Pitagorejczycy, wrósł na stałe do kanonu piękna i do dziś możemy go spotkać w wielu dziełach sztuki. Ciekawe jest także to, że ф wydaje się być ulubioną liczbą przyrody.

Podział odcinka nazywamy złotym, gdy:

Za a przyjmując odcinek jednostkowy otrzymujemy:

Ponieważ jest liczbą ujemną

(nie może być długością odcinka), warunki zadania spełnia:

Stosunek odcinka a do x nazywany złotym stosunkiem:

ф= =1,61803 39887 49894 84820 45968 34…

Liczba ф jest jedyną liczbą rzeczywistą, której odwrotność jest równa różnicy siebie samej i 1(co pokazuje równanie rozwiązane podczas obliczania złotego stosunku).

≈ 0,6180339887

Ponadto jej kwadrat jest równy sumie jej samej oraz 1.

Zapis liczby ф

Więcej o potęgowaniu

Ogólny wzór na potęgi liczby ф:

gdzie F oznacza liczby Fibonacciego

Odcinki o długościach równych kolejnym potęgom liczby ф można skonstruować w następujący sposób:

Ciąg Fibonacciego

Omawiając ulubioną proporcję przyrody nie można pominąć jej ulubionego ciągu.

Fiboonacci był matematykiem średniowiecznym, który urodził się w Pizie w 1175 roku. W swoim dziele Liber Abacci (Księga obliczeń) zaprezentował system dziesiętny z zerem jako pierwszą cyfrą. Jednak współcześni znają go głównie za

sprawą ciągu Fibonacciego. Ciąg ten jest wynikiem zadania: Ile par królików urodzi się w ciągu jednego roku zaczynając od jednej pary, jeśli para po dwóch

miesiącach od swoich narodzin wydaje na świat jedną parę?

Miesiąc

Liczba par

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 8

Dla 100. miesiąca będzie to 354224848179261915075 par królików. Jak łatwo zauważyć, każdy następny wyraz jest sumą dwóch pozostałych (np. 1+1=2, 2+3=5).O innych przykładach liczb Fibonacciego w przyrodzie powiem w części prezentacji poświęconej występowaniu liczby ф.

Ciąg Fibonacciego jest ciągiem rekurencyjnym. Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą).

Przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...co daje kolejno:

1/2=0,5 2/3=0,(6)3/5=0,65/8= 0,6258/13≈0,6153813/21≈0,6190521/34≈0,6176534/55=0,6(18)55/89≈0,61798

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie liczby 1/ф z dokładnością do 0,001. Muszę tu zaznaczyć, że czasami złotą liczbą nazywa się także liczbę 1/ф≈0,6180339887.

Stosunek między kolejnymi liczbami ciągu dąży do ф. Każde dwie liczby rozdzielone jedną liczbą mają się do siebie jak 1/ф2≈0,3819. Tę samą procedurę można powtórzyć dla liczb bardziej oddalonych od siebie. Na przykład dla liczb oddzielonych o trzy pozycje współczynniki wynoszą 1/ф3≈0,2361. Liczby oddalone o cztery pozycje łączą proporcje wyrażone współczynnikiem 1/ф4≈0,1459.

Inne zależności w ciągu Fibonacciego:

Liczba ф i geometria

Podział odcinka w boskim stosunku najczęściej otrzymuje się z konstrukcji złotego prostokąta.

1. Konstruujemy kwadrat ABCD.2. Na podstawie AB kreślimy symetralną. Jej środek oznaczamy jako punkt S.3. Z punktu S kreślimy łuk o promieniu SC. 4. Punkt przecięcia się łuku z przedłużeniem AB nazywamy K.5. Kreślimy prostą prostopadłą do półprostej będącej przedłużeniem odcinka AB przechodzącą przez punkt K.6. Przedłużamy odcinek CD. Punkt przecięcia się otrzymanej półprostej i prostej K nazywamy L.

Otrzymany prostokąt AKLD nazywamy złotym. Odcinek AL’ podzielony jest złotym cięciem.

Złoty trójkąt

Ciekawe własności ma także złoty trójkąt, który wiąże się z pięciokątem i dziesięciokątem foremnym.

Złotym nazywamy trójkąt równoramienny, w którym miara kąta przy wierzchołku jest równa 36

o. Stosunek boku do podstawy jest równy ф.

Złoty trójkąt możemy podzielić na dwa trójkąty równoramienne, przy czym jeden będzie do niego podobny. Drugi trójkąt także będzie się wiązał z boską proporcją. Na rysunkach widać kilka ciekawych zależności w nich zachodzących.

Złotym prostokątem nazywamy taki prostokąt, w którym stosunek długości dłuższego boku do długości krótszego wyraża się złotą liczbą.

Własności złotego prostokąta:

• Jeżeli odetniemy z tego prostokąta możliwie największy kwadrat, to pozostanie prostokąt, który jest też złoty. W ten sposób można konstruować cały zbiór takich złotych prostokątów. • Przekątna największego prostokąta i drugiego co do wielkości pozostają w stosunku ф.• Jeżeli w dwudziestościan wpiszemy 3 wzajemnie do siebie prostopadłe złote prostokąty, to ich wierzchołki znajdą się w 12 wierzchołkach dwudziestościanu.• Jeżeli 3 złote prostokąty wzajemnie do siebie prostopadłe wpiszemy w dwunastościan foremny, to ich wierzchołki znajdą się w środkach ścian dwunastościanu.

Pięciokąt foremny i pentagram

Figurze tej od zawsze przypisuje się magiczne własności. Już Pitagorejczycy widzieli w nim symbol doskonałości, kojarzyli go z życiem i zdrowiem. Ciekawostką jest, że

najstarszy pentagram został odnaleziony w starożytnym mieście Ur - centrum cywilizacji Mezopotamii i datowany jest na rok 3500 p.n.e. Trudno więc zaprzeczyć, że jest figurą

niezwykłą.

Nie trudno jest doszukać się tu złotej proporcji. Ponadto trójkąty, na jakie dzielą pięciokąt foremny jego przekątne, są w przeważającej części złote.

W geometrii złoty trójkąt występuje też w dziesięciokącie foremnym – wyznaczają go dwa odcinki łączące środek okręgu opisanego na tym wielokącie i sąsiednie wierzchołki (czyli promienie) oraz bok dziesięciokąta do którego należą oba odcinki.

Złota liczba w dwunastościanie i dwudziestościanie foremnym:

Złota spirala (spirala Fibonacciego)

Otrzymana spirala jest zbieżna do punktu przecięcia się przekątnych pierwszego i drugiego złotego prostokąta. Przy rysowaniu kolejnej ćwiartki okręgu, zmieniamy także jego promień, więc przy pełnym obrocie zmienia się on 4 razy. Ponieważ za każdym razem promień jest dzielony przez liczbę złotą, więc po każdym pełnym obrocie jest on ponad 6 razy mniejszy.

Złotą spiralę możemy także otrzymać na bazie złotego trójkąta.

Liczba ф w przyrodzie

Jak pisałam we wstępie, liczba phi oraz ciąg Fibonacciego niezwykle często występują w przyrodzie.

•Jednym z przykładów jest stosunek pszczół płci żeńskiej i męskiej w społeczności ula. Pszczół płci żeńskiej jest zawsze więcej niż pszczół płci męskiej. Jeśli podzielić liczbę pszczół płci żeńskiej przez liczbę pszczół płci męskiej jakiegokolwiek ula na świecie, zawsze otrzyma się ten sam wynik – liczbę phi. 

•Kolejne ilości gałęzi na drzewie są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

•Podział głowy z profilu na części charakterystyczne daje cały szereg stosunków bardzo bliskich podziału złotego.

•Większość muszli zbudowana jest na zasadzie złotej spirali.

•Na schemacie ramienia można wskazać złote podziały.

•Olbrzymie spiralne ramiona Drogi Mlecznej i innych galaktyk przypominają złotą spiralę.

•Pojawia się ona też w ogonach komet i w sieciach niektórych pająków.

•Spiralę Fibonacciego znajdziemy też w układzie nasion w owocach wielu gatunków roślin, łuskach na owocach ananasa i szyszkach sosny. Na owocostanie słonecznika układ nasion bardzo często odpowiada następującemu wzorowi: 89 spiral odchodzących ciasno w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, 55 - w kierunku przeciwnym a 34 - znacznie mniej ciasno w kierunku zegarowym.

•U wielu roślin takich jak słoneczniki czy stokrotki ilość płatków każdego kwiatostanu to zwykle liczba Fibonacciego (u przypołudnika nawet 377). Z kolei po przebadaniu 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny stwierdzono, iż ponad 98% posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą Fibonacciego. Łuski owocostanu ananasa wykazują zdumiewająco małą zmienność w zjawiskach Fibonacciego: z 2000 prób typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły. U wielu drzew z kolei często co drugi, co piąty, co ósmy lub co trzynasty liść wyrasta w tym samym kierunku.

•Liście. W ich układzie na wspólnej gałązce można Odnaleźć zastosowanie złotego cięcia. Między każdymi dwoma parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia. Odkryto, że odnotowywany bardzo często kąt stałegorozstawu kątowego gałęzi bądź łodyg (13730`28``) spełnia równanie =360/2. Kąt ten ma miarę π/2 i nazwany został złotym kątem.

Boską proporcję odnaleźć można w wielu innych przypadkach. Zaznaczona jest onana poniższych rysunkach.

Kanon piękna:

Odległość od biodra do podłogi / odległość od kolana do podłogi = phiOdległość od czubka głowy do podłogi / odległość od pępka do podłogi = phiOdległość od czubka głowy do pępka / odległość od ramienia do pępka = phi

Najsłynniejsze przedstawienie Wenus porównane z kanonem kobiecego piękna opartego na złotej proporcji.

Apollo Belwederski pocięty złociście. Linia I dzieli na dwie znamienne części całą postać w "złotej proporcji", linia E wskazuje na tenże stosunek głowy do górnej części tułowia, a linia O zaznacza podział nóg w kolanach.

Boska proporcja w sztuce

•Liczbę phi wykorzystano przy budowie Wielkiej Piramidy Cheopsa w Gizie.

•Proporcją posłużono się również przy budowie Partenonu w Atenach. Widać tam współwystępujące kształty prostokątów, takich jak ten, który tworzy się przy kreśleniu spirali Fibonacciego.

•Złotą proporcję stosowano przy budowie katedr zwanych gotyckimi.

•Podobno większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Na pytanie, czy Mozart robił to intuicyjnie czy świadomie (gdyż był zafascynowany matematyką), nie poznamy raczej odpowiedzi. Inni badacze odnajdowali złote proporcje w Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.

•Słynny Stradivarius korzystał ze złotegopodziału podczas konstruowania swoich

najlepszych instrumentów.

• Spośród artystów stosujących phi wymienić należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca, Pieta Mondriana, Rafaela oraz oczywiście Salvadora Dali i Leonarda da Vinci (najbardziej znanym dziełem opartym na złotej proporcji jest „człowiek witruwiański”). Złota liczba występuje w wielu rzeźbach i obrazach, np.:

Złota spirala wspisana w obraz Rafaela.

Dzieła Leonarda da Vinci z zaznaczonym złotym podziałem:

Pentagram na obrazie Michała Anioła „Święta

Rodzina”

Piet Mondrian

„Kompozycja w czerwieni, żółci i błękicie”

S. Dali

Ze złotym podziałem możemy spotkać się też w życiu codziennym. Na jego bazie planowane są układy

graficzne stron książek, meble, biżuteria oraz samochody czy budynki. Opiera się na nim także

współczesna fotografia i architektura.

Przy wykonaniu prezentacji korzystałam z następujących źródeł internetowych:

1. majorityrights.com/index.php/weblog/comments/the_facial_proportions_of_beautiful_people2. www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html 3. www.pauloporta.com/Fotografia/Artigos/gpropaurea1.htm 4. www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/fibo.htm 5. www.nowik.com.pl/index.php?go=ciekawostki/ciekawostki_4 6. perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes.htm7. angelsplace.club.fr/Nombred'Or.htm 8. klubkm.pl/forum/archive/index.php?t-5971.html 9. www.interklasa.pl/portal/dokumenty/pabich/s6b.htm10. www.wsipnet.pl/kluby/m2001.html?w=&kto=98&k1=&id=1214&par=98&a=111. www.wsipnet.pl/kluby/dodruku.php?id=964

Oraz z materiałów zamieszczonych w książkach:1. Tablice matematyczne, pod redakcją Witolda Mizerskiego, wyd. Cykada. 2. Słownik Szkolny Matematyka, pod redakcją Danuty Ciesielskiej, wyd. Zielona Sowa.

Aleksandra Czerniak Gimnazjum nr 9 w Lublinie