-
Captulo 1 Introduo Fsica
Introduo Fsica
Na preparao para o vestibular, a fsica vista por muitos como
complicada, principalmente quando no se trata de uma disciplina
especfica nos concursos. Talvez o grande empecilho seja o enfoque
matemtico usado por ela para a anlise dos fenmenos. Todavia, quando
os conceitos so bem compreendidos e frequentemente praticados
atravs dos exerccios propostos, no h mais dificuldades.
Portanto, muito importante a presena s aulas e a execuo das
tarefas extras em casa. o esforo de cada um que determina o sucesso
no vestibular. Principalmente em um contexto de competio, no qual h
dezenas de pessoas por vaga concorrendo. muito comum a desmotivao
ao longo do ano, a desesperana e a vontade de desistir. Mas,
sinceramente, vale insistir: isso bem comum.
um perodo longo e cheio de abdicaes, em que nos privamos de
muitos prazeres em busca de um objetivo maior. Mas tenha certeza:
vale, e muito, a pena. O ingresso na universidade abre infinitas
portas e somente 2% da populao tm chance de se preparar para o
concurso. Por isso, aproveite muito sua chance.
Nos textos que seguem, abordaremos os principais tpicos da
fsica, todos que tm possibilidade de ocorrer em uma prova de
vestibular. Procure l-los calmamente, sem pressa de prosseguir caso
haja alguma dvida. Releia o que for preciso sempre que sentir
insegurana. E pratique com os exerccios propostos. Muitos deles tm
a inteno de faz-lo refletir antes mesmo de que a teoria
correspondente lhe seja apresentada. Por isso, de forma alguma veja
a soluo imediatamente.
Boa leitura!
1. A fsica A fsica o estudo dos fenmenos naturais (natureza =
physis, em grego). At o fim do sculo XIX,
dividia-se em cinco grandes campos: a mecnica, o
eletromagnetismo, a termologia, a ptica e o estudo das ondas.
Atualmente, alguns desses campos fundiram e surgiram outros novos:
a Fsica Relativstica e a Fsica Quntica. Contudo, o novo foco da
fsica s estudado nas universidades. A relatividade trata de corpos
com velocidades muito grandes, prximas da velocidade da luz. A
fsica quntica trata de corpos muito pequenos, como os eltrons, e
como eles se comportam.
EXTRA
_____________________________________________________________________________________
Os fenmenos naturais sempre intrigaram a humanidade. Desde coisas
aparentemente simples, como
o movimento, at mesmo o sol e os relmpagos. Contudo, em pocas
mais antigas, havia outras necessidades bastante prioritrias
sobrevivncia, que impediam que dssemos ateno s nossas curiosidades
e questionamentos.
Foi no momento de estabilidade poltica e econmica da Grcia
Antiga que, pela primeira vez na histria, o homem pde dedicar mais
tempo ao desenvolvimento da intelectualidade. Surgia a cincia.
Obviamente, no nos moldes atuais, mas era a sua essncia. O cio
surgido em virtude do contexto histrico determinou uma srie de
paradigmas novos, culminando na ideologia bsica de fomentao do
saber e da arte, que rege nossa cultura at hoje.
O desenvolvimento intelectual grego iniciou-se com a matemtica e
com a lngua, bastante sofisticada. O prosseguimento desses estudos
deu origem filosofia, que se desenvolveu de forma considervel,
visto que a religio grega no constitua um empecilho, como
normalmente ocorre. Na verdade, a religio grega era bastante livre,
isto , no existia uma entidade consistente com o objetivo de
conservar a tradio ideolgica, nem de controlar as interpretaes das
lendas. E, justamente por se tratarem de lendas, e no dogmas, havia
um tom pessoal na religio, isto , no existia uma interpretao
oficial para elas.
A primeira tese registrada de Tales de Mileto. Ele afirmou que
todas as coisas eram feitas de gua. Seu trabalho incentivou vrios
pensadores a dissertarem sobre o mesmo assunto. Pitgoras defendia
que tudo era feito de nmeros. Anaxmenes de Mileto propunha que as
coisas, por condensao e rarefao, eram essencialmente compostas de
ar. Anaximandro de Mileto afirmou que tudo era feito do
indeterminado, algo que tinha como principal caracterstica a
no-definio. Herclito de feso tentou provar que as coisas eram
feitas de
Tales de Mileto: primeiro passo na construo da filosofia
ocidental, com o questionamento acerca da essncia de todas as
coisas.
-
Captulo 1 Introduo Fsica
fogo pois, assim como o fogo, tudo flui (tudo est em constante
mudana impossvel banhar-se duas vezes no mesmo rio).
Parmnides de Elia contra-argumentou dizendo que se tudo muda, a
lei das mudanas tambm mudar, e passar a haver algo que no muda.
Logo, impossvel que tudo mude. E, em um pensamento diametralmente
oposto, ele afirma que nada muda, pois tudo feito do ser. Zeno de
Elia argumentava em defesa de Parmnides. Da surge o famoso paradoxo
de Aquiles e a tartaruga.
Esse grupo de filsofos gregos constituiu o embrio da ideologia
do mundo ocidental. Podemos destacar trs cones: Scrates, Plato e
Aristteles. Este ltimo foi a pea-chave para o desenvolvimento da
fsica, em especial pela Teoria da Causalidade. Aristteles postulou
que todas as coisas no mundo tm potncia de mudana e, sob esse
aspecto, a qualquer processo desencadeado possvel atribuir uma
causa. Em outras palavras, tudo ocorre segundo a seqncia causa fato
conseqncia.
_____________________________________________________________________________________
2. Reviso matemtica: potenciao e radiciao Antes de iniciarmos o
estudo dos conceitos fsicos, precisamos fixar alguns conceitos
matemticos
acerca de potenciao, em especial o uso da base 10. Se voc j
domina esse tema, deve pular este tpico.
( )10 10 10 ...10 x vezes
10 1000...0 (x zeros)
x
x
=
=
bastante comum encontrarmos tambm um expoente negativo:
110 0, 00...01 (x zeros, incluindo o zero esquerda da
vrgula)
10
x
x
= =
Da mesma forma que podemos passar o 10 para o denominador da
frao trocando o expoente para
o seu equivalente positivo, podemos tambm fazer o inverso:
110
10
x
x=
H ainda algumas propriedades interessantes da potenciao:
( ) .
10 10 10
1010
10
10 10
x y x y
xx y
y
yx x y
+
=
=
=
Quando multiplicamos um nmero intero por 10, acrescentamos um
zero sua direita.
525*10 5250= Se multiplicamos um nmero inteiro por uma potncia
de 10 (10x), acrescentamos x zeros sua
direita: 4525*10 5250000=
Se o fazemos com um nmero racional, devemos deslocar a vrgula x
casa para a direita: 35,25178*10 5251,78=
Porm, se o nmero de casas direita da vrgula no forem suficientes
para completarmos a operao, devemos continu-la complementando o
nmero com zeros:
55,25*10 525000= O procedimento para efetuarmos a diviso por 10
e suas potncias exatamente o inverso:
2
3
4
5
525 /10 52,5
525 /10 5,25
525 /10 0,525
525 /10 0,0525
525 /10 0,00525
=
=
=
=
=
Propriedades gerais da potenciao
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Seja a e b um nmero real qualquer. Generalizando as propriedades
vistas de potenciao, podemos
escrever: 1. x y x ya a a + =
2. x
x y
y
aa
a
=
3. ( ) .yx x ya a= H ainda outras propriedades como:
4. ( ). .x x xa b a b=
5. x x
x
a a
b b
=
Radiciao Comumente calculamos a raiz quadrada de um nmero. s
vezes, at mesmo a raiz cbica. A
radiciao a operao inversa da potenciao. Podemos definir a raiz
n-sima de um nmero da seguinte forma:
1. 1
n na a= De forma mais geral, escrevemos
2. ( )11 .m m
n m m n n na a a a= = = .
Pelo fato de ser possvel escrever uma raiz na forma de
potenciao, seguem algumas outras
propriedades:
3. .n n na b a b =
4. n
n
n
a a
bb=
5. Medidas Aqui, comeamos de fato o estudo da fsica. Se a fsica
o estudo da natureza, precisamos de dados
para analis-la. Esses dados so numricos, so comparaes com coisas
j conhecidas. Medir, em termos tcnicos, significa comparar. Podemos
por enquanto traduzir como interpretar a natureza como nmeros.
Sempre que desejamos realizar alguma medida, no a fazemos com
perfeita exatido. Isto , h uma margem de erro correspondente ao
prprio instrumento e tambm devida falta de preciso humana. Por
isso, quando queremos representar numericamente uma medida, devemos
mostrar tambm a sua incerteza.
Por exemplo, imaginemos que vamos medir o comprimento de algo:
Comeando pelo zero, a outra extremidade do objeto ficou situada
entre a medida 1,3 e 1,4. Dando
um chute para essa medida, podemos dizer que o objeto mede 1,36
cm. Ou seja, sempre que citamos uma medida, colocamos o ltimo
algarismo como sendo o algarismo
duvidoso. Isto , dizer que esse objeto mede 1,36 cm significa
afirmar que sua medida est entre 1,3 e 1,4, mas que a melhor
aproximao que pudemos obter 1,36 cm.
0 0.5 1.0 1.5
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Aristteles: estudou a natureza sem a comprovao prtica. Suas
concluses foram tidas como certas ao longo de 20 sculos.
Assim, dizemos a medida 1,36 cm contm trs algarismos
significativos: 2 no duvidosos e 1 duvidoso.
exceo de possveis zeros esquerda de um nmero, todos os seus
algarismos so chamados de algarismos significativos.
Por exemplo, a medida de tempo 0,05648 s contm 4 algarismos
significativos, 3 no duvidosos e 1 duvidoso.
EXTRA
_____________________________________________________________________________________
A importncia das medidas no estudo dos fenmenos fsicos pode parecer
bvia, mas nem sempre foi
assim. Aristteles foi o primeiro a estudar com mais clareza a
natureza, mas herdou bastante os paradigmas estabelecidos por
Plato.
Plato filosofava a respeito do mundo das idias, isto , sobre um
hipottico mundo de conceitos perfeitos, ideais. Nesse mundo, por
exemplo, existiria a idia de beleza, ou seja, o conceito da beleza
perfeita, assim como a idia de inteligncia tambm.
Isso fez com que Aristteles, seu seguidor, estudasse a natureza
como ela deveria ser, em um suposto mundo perfeito, e no como ela .
Dessa forma, chegou a diversas concluses erradas, pois afirmava que
a verdade sobre as coisas deveria ser bela, ter uma boa esttica, e
se enquadrar com aquilo que considerava correto e ideal.
Tais equvocos teriam sido evitados se ele tivesse feito
experimentos prticos, isto , se ele tivesse observado e medido os
fenmenos. Ao longo do nosso estudo, apontaremos diversas contradies
na filosofia natural aristotlica.
Sua forma de estudar a natureza foi mantida ao longo de muitos
anos. Isso ocorreu principalmente porque ela foi a base da
ideologia crist. Durante muito tempo, a Igreja Catlica foi a
instituio detentora do conhecimento. Graas a ela, hoje temos acesso
a diversas obras da era antiga. Muitos monges tinham como nica funo
traduzir textos, havia um imenso nmero de bibliotecas em posse da
Igreja, os paradigmas gerados por sua ideologia eram todos baseados
na razo, no conhecimento e na erudio.
Contudo, o monoplio do conhecimento, das tradues e das
interpretaes fez com que essas atividades atendessem aos interesses
clericais. Isso significa dizer que as obras que de alguma forma
criticavam ou discordavam dos textos defendidos pela igreja eram
escondidas e seus autores perseguidos. Muitos pensadores e filsofos
foram queimados por serem considerados hereges.
Por isso, durante muito tempo, tantas coisas erradas foram
mantidas como verdades indiscutveis. At mesmo porque a idia da
experincia no estava incorporada mentalidade. Isso faz com que no
consideremos tais teses como cientficas. Certamente, o pensamento
grego antigo, principalmente o aristotlico, foi a base para a
mentalidade ocidental moderna, a base para a cincia, mas faltava
algo essencial: as evidncias prticas.
Na verdade, a cincia no feita de verdades absolutas, mas
qualquer tese, para ser considerada cientfica, deve ser defendida,
com argumentos aceitos dentro de um conjunto de critrios. A esttica
deixou de estar entre esses critrios. O principal argumento passou
a ser a evidncia prtica. Mas ainda assim, teorias so ultrapassadas,
e outras, mais abrangentes as substituem. A cincia o nico processo
no mundo que se baseia na auto-crtica Na verdade, a cincia se
define pela auto-crtica. No momento em que se chegar a uma verdade
incontestvel, deixamos de ter cincia. preciso o constante
progresso.
O grande fundador desse pensamento foi Galileu Galilei. Sem
dvida, ele foi a pea essencial para todo o desenvolvimento humano
dos ltimos sculos. Ele estudava o movimento dos corpos manuseveis e
dos planetas. Mas, revolucionariamente, todas as suas teorias eram
comprovadas com experimentos que eram repetidos inmeras vezes, de
forma a obter a menor incerteza possvel. Mais adiante, falaremos
sobre Galileu com mais detalhes.
_____________________________________________________________________________________
6. Notao cientfica Na resoluo de um problema em fsica, existe
uma maneira correta de escrever um resultado: a
notao cientfica. A representao numrica de uma grandeza fsica
ocorre da seguinte forma:
-
Captulo 1 Introduo Fsica
um nmero maior ou igual a 1 e menor que 10
multiplicado por uma potncia de 10
associado a uma unidade
A impreciso ainda deve ser representada com o ltimo algarismo do
nmero principal. Exemplo 1.4.1: A medida de tempo citada
anteriormente (0,05648 s) deve ser reescrita da seguinte
forma: 5,648*10-2 s
Nesse caso, o algarismo 8 duvidoso. certo que a medida
encontra-se entre 0,0564 e 0,0565. Exemplo 1.4.2: A medida de
velocidade da luz (300.000 km/s) deve ser escrita em notao
cientfica
da seguinte forma: 3,0*105 km/s
Com to poucos algarismos significativos, dois, sendo um duvidoso
e outro no, essa medida bastante imprecisa para a velocidade da
luz.
7. A forma correta de solucionar um problema Sempre que
resolvermos um problema de fsica, devemos apresentar um resultado
que contenha o
mesmo nmero de algarismos significativos que o(s) dado(s)
fornecido(s) com o menor nmero de algarismos significativos.
Exemplo 1.5.1: Vamos supor que comeamos uma seqncia de clculos a
partir do nmero 3,457.
J sabemos que essa medida est certamente situada entre 3,45 e
3,46, mas a melhor aproximao para ela 3,457. Assim, seu ltimo
algarismo duvidoso.
Chegamos, como resultado, no nmero 892.176. Deparamo-nos com
dois problemas: Esse nmero no se encontra representado na notao
cientfica; Ele contm mais algarismos significativos do que deveria.
Isso quer dizer que mais de um
algarismo duvidoso, o que no correto. Vamos portanto,
primeiramente represent-lo na notao cientfica. Temos ento
8,92176*105. Inicialmente tnhamos apenas quatro algarismos
significativos (3 no duvidosos e 1 duvidoso). Agora
temos 6 algarismos significativos, portanto 3 no duvidosos e 3
duvidosos. Como devemos ter apenas 1 algarismo duvidoso, os dois
ltimos algarismos (7 e 6) no sero representados. Aproximaremos,
portanto, a medida para 8,921 ou para 8,922. Como o nmero a que
chegamos est mais prximo da segunda opo, ns a escolheremos.
Portanto, a forma correta de representarmos esse resultado :
8,922*105
Suponhamos agora que iremos fazer um outro clculo usando este
resultado. Deveremos multiplic-
lo por 5,0*103. Como proceder? Multiplicaremos as potncias
separadamente dos valores 8,922 e 5,0. Assim teremos como
resultado:
(8,922 * 5,0) * (105 * 103) = 44,61*108 Contudo, este resultado
ainda no est correto, j que na notao cientfica, o valor que
acompanha a
potncia de 10 deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10.
Teremos ento: 44,61*108 = 4,461*10 * 108 = 4,461*109
Ordem de grandeza
A ordem de grandeza de uma medida a potncia de 10 mais prxima
dela. Por exemplo, a ordem de grandeza do resultado acima
(4,461*109) 109. A ordem de grandeza do resultado do problema
inicial (8,922*105) 106.
-
Captulo 1 Introduo Fsica
8. Grandezas Fsicas
Definimos como grandeza fsica tudo que pode ser medido e
representado numericamente, isto , que mensurvel. Para a realizao
dessa medida, como vimos anteriormente, podemos utilizar
determinados instrumentos, cuja preciso pode fazer com que tenhamos
um maior ou menor grau de incerteza. Quanto maior a preciso do
instrumento e, portanto, menor a incerteza, maior ser a quantidade
de algarismos significativos utilizada para a representao numrica
da grandeza.
Posio, tempo, velocidade e massa so exemplos de grandezas
fsicas, pois podem ser medidos e representados numericamente. Para
essas medidas, utilizamos um padro de comparao denominado
unidade.
Por exemplo, quando dizemos que a posio da cidade A 10
quilmetros ao norte da cidade B, estamos afirmando que a distncia
entre as duas cidades 10 vezes maior que a distncia equivalente a 1
quilmetro. Isto , estamos comparando a distncia entre as cidades
com o espao de 1 quilmetro, ou seja, estamos utilizando a unidade
quilmetro para a determinao da posio.
Poderamos tambm compar-la com o espao de 1 metro, o que nos
daria uma distncia equivalente a 10.000 metros.
Adota-se, entretanto, um padro de unidade para cada grandeza
fsica. Esse padro definido pelo Sistema Internacional. Ou seja,
quando representarmos numericamente uma determinada grandeza,
podemos utilizar a unidade que melhor nos convier. Contudo, a
realizao de determinados clculos facilitada se utilizarmos a
unidade indicada pelo Sistema Internacional (SI).
O SI indica as seguintes unidades para as grandezas bsicas:
Posio: metro (m) Tempo: segundos (s) Massa: quilogramas (kg)
Carga: coulomb (C)
Alm dessas, existem outras grandezas fsicas, porm todas podem
ser derivadas dessas quatro. A
velocidade, por exemplo, uma grandeza obtida com a associao
entre posio e tempo. Ela pode ser medida em km/h, pois a variao de
posio ocorrida em uma unidade de tempo, isto , o nmero de
quilmetros percorridos em cada hora.
Contudo, se dissermos que um carro faz uma viagem a 90 km/h, no
estaremos definindo completamente a grandeza velocidade. A essa
informao, cabem duas perguntas a mais:
Em que estrada o carro viaja? Qual dos dois sentidos ele
percorre?
Porm, se dissermos que o carro viaja a 90 km/h, na rodovia
Rio-Santos, sentido Santos, podemos
definir por completo seu movimento. Dizemos que o valor numrico,
acompanhado da unidade, a intensidade (ou mdulo) da velocidade. A
rodovia, supondo que seja uma reta, a direo do movimento. A idia de
o carro ter partido do Rio e estar a caminho de Santos o sentido do
movimento.
Observao: Cada direo admite apenas dois sentidos. A velocidade,
assim como outras grandezas fsicas, , portanto, definida com essas
trs informaes:
intensidade, direo e sentido. Esse fato a caracteriza como uma
grandeza vetorial. Outros exemplos de grandezas vetoriais so:
posio, fora, campo eltrico, acelerao etc.
So chamadas vetoriais por serem representadas por vetores. O
vetor um ente matemtico que dispe justamente das trs caractersticas
das quais precisamos: intensidade, direo e sentido.
Entretanto, existem grandezas fsicas que podem ser perfeitamente
caracterizadas apenas com a intensidade, isto , com o valor numrico
acompanhado de uma unidade. Por exemplo, se dissermos que a massa
de um indivduo de 70 kg, no coerente perguntar em que direo?. O
mesmo vale para tempo decorrido. So grandezas no vetoriais, isto ,
escalares.
9. Unidades Como vimos, a intensidade de qualquer grandeza fsica
uma comparao com um padro, a
unidade. Tambm vimos que determinada grandeza fsica admite mais
de uma unidade, mas existe uma indicada pelo Sistema Internacional.
De um modo geral, podemos tambm usar os mltiplos de uma
-
Captulo 1 Introduo Fsica
unidade. No toa que, assim como 1 quilograma (kg) so mil gramas
(g), um quilmetro (km) so mil metros (m). Na verdade, o prefixo
quilo (k) significa uma multiplicao por mil.
Existem diversos prefixos que representam diferentes mltiplos.
Eles esto tabelados a seguir: PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL
PREFIXO SMBOLO MULTIPLICA POR exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012
giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d
10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12
femto f 10-15 atto a 10-18
Os seis prefixos em negrito so os mais comumente utilizados. Os
prefixos quilo, mega e giga so bastante usados quando nos referimos
unidade de
armazenamento de um computador, o byte. Os termos kbyte
(quilobyte kb), megabyte (Mb) e gigabyte (Gb) so bastante
utilizados.
Quando nos referimos a comprimentos pequenos, usamos o centmetro
(cm) e o milmetro (mm). As cargas pequenas geralmente so medidas em
microcoulombs (mC). Alm disso, em geral, os
microscpios nos permitem visualizar objetos na escala dos
micrmetros (m). Atualmente, temos visto nos jornais o
desenvolvimento da nanotecnologia, na rea de eletrnica. So
projetos em que as distncias so medidas em nanmetros (nm).
Exerccio 1.7.1: Um milmetro maior ou menor que um nanmetro?
Quantas vezes maior/menor?
Soluo:
-3
-9
3 99 3 6
-9 3
1 m1 mm = 10 m = = um milsimo de metro
1.0001 m
1 nm = 10 m = = um bilhonsimo de metro1.000.000.000
Portanto, um milmetro maior que um nanmetro.
1 mm 10 m 1010 10 um milh
1 nm 10 m 10
= = = = = o
Portanto, um milmetro um milho de vezes maior que um
nanmetro.
10. Anlise Dimensional Vimos que as quatro grandezas bsicas da
fsica so: posio (m), tempo (s), massa (kg) e carga (C).
Todas as outras grandezas fsicas podem ser obtidas apenas com
diferentes relaes entre essas quatro. E, portanto, suas unidades de
comparao tambm.
Demos o exemplo da velocidade que, por ser uma relao entre posio
e tempo, tinha como unidade uma relao entre as unidades de posio e
de tempo.
Quando representarmos a unidade de uma determinada grandeza,
como a massa, por exemplo, usaremos a seguinte notao:
[ ]m kg= , que quer dizer que uma das unidades unidade de massa
o quilograma. correto tambm escrever
[ ]m g= ,
-
Captulo 1 Introduo Fsica
ou seja, que o grama tambm uma unidade possvel para a massa.
Combinao de unidades Podemos medir a fora que aplicada a um corpo
em newtons (N). Veremos mais adiante alguns
conceitos com mais detalhes que vamos, no momento, resumir: Pela
segunda lei de Newton, exprime-se a fora resultante aplicada sobre
um corpo por
.RF m a= , em que m sua massa e a a acelerao adquirida por
ele.
A acelerao mdia de um corpo dada por m
va
t
=
, em que v a variao
velocidade ocorrida no perodo de tempo t.
A velocidade mdia de um corpo dada por m
sv
t
=
.
Nosso objetivo agora exprimir a unidade newton em funo das
unidades bsicas apresentadas anteriormente. Tomando como base os
conceitos citados acima, podemos escrever, atravs da segunda lei de
newton:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
2
2
.
.
. .
.
F m a
vF m
t
s
t sF m m
t t
kg mF N
s
=
=
= =
= =
Potncia de unidades O volume de um cubo igual ao produto
comprimento*largura*altura. Ou seja, a unidade de
volume dada por
[ ] [ ] [ ] [ ]V comprimento largura altura= . Isto , como
comprimento, largura e altura so, na verdade, a mesma grandeza, de
comprimento ou
posio, uma das possibilidades para a unidade de volume o m3. Mas
poderamos tambm usar o cm3, ou ainda, a potncia cbica de qualquer
unidade de comprimento.
Exerccio 1.8.1: Quantas vezes um mm3 (milmetro cbico) maior que
um nm3 (nanmetro
cbico)? Soluo: No exerccio 1.7.1. vimos que um milmetro um milho
(106) de vezes maior que um
nanmetro. Ou seja: 61 mm = 10 nm
Mantendo a igualdade, podemos elevar ambos os termos ao cubo.
Teremos
( ) ( )33 61 mm = 10 nm . Aplicando as propriedades de
potenciao
( )33 3 6 33 18 3
1 mm = 10 nm
1 mm = 10 nm
11. Sistema de referncia A medio de qualquer grandeza fsica
vetorial depende de um sistema de referncia, isto , um
sistema de eixos cartesianos com uma origem, representando o
espao. Normalmente, os problemas fsicos falam de um observador. Ele
representa a origem do sistema referencial, ou seja, o ponto
zero.
No exemplo do carro em viagem do Rio para Santos, estudamos o
carter vetorial da velocidade. Vimos que essa grandeza tem uma
intensidade, direo e sentido. Vimos tambm que ela pode ser,
portanto, representada por um vetor.
A representao uma grandeza vetorial se d atravs do sistema de
referncia. No caso da velocidade, teramos:
-
Captulo 1 Introduo Fsica
A reta que passa pelas duas cidades a direo da velocidade. A
origem do sistema (o ponto de
cruzamento dos eixos cartesianos) foi escolhida como sendo o
prprio carro. Observao: A escolha da origem de qualquer sistema
fsico arbitrria. Ela deve ter como objetivo
facilitar a resoluo do problema. A seta, indicada por v, que
parte da origem, o vetor velocidade. Note que o vetor indica a
direo e
o sentido do movimento. A intensidade representada pelo tamanho
do vetor, que, no caso, 90 km/h. Isto , definidas as escalas para o
eixo X e o eixo Y, o comprimento do vetor velocidade dever ser
igual a 90. Mais adiante, veremos mtodos eficientes para a anlise
mais profunda dessa questo.
Vejamos alguns exemplos decorrentes do uso do sistema
referencial: Exemplo 1.8.1: Considere um prdio de 30 metros. No
terrao, uma pessoa de 2 metros de altura,
levanta um holofote 1 metro acima da sua cabea. Pergunta-se:
qual a altura do holofote? A resposta depende crucialmente do
sistema de referencial adotado, mais especificamente, da
localizao de sua origem (o observador). Se a origem estiver na
cabea da pessoa, teremos que a altura do objeto igual a1 metro. Se
estiver nos seus ps, ser igual a 3 metros. Se estiver na base do
edifcio, ser igual a 33 metros.
Exemplo 1.8.2: Considere um carro se movendo em uma estrada a 60
km/h e outro, ultrapassando o
primeiro, a 80 km/h. Pergunta-se: qual a velocidade do segundo
carro? Novamente, a resposta depende do sistema de referncia
adotado. Mas agora, no depende mais da
posio da origem, mas somente da velocidade do referencial.
Veremos mais adiante que podemos, sem maiores problemas, adotar um
referencial se movendo com
velocidade constante, ou seja, um referencial inercial. Na fsica
clssica, no podemos adotar um referencial no inercial, ou seja, um
referencial cuja velocidade varia com o tempo.
Se o referencial estiver fixo, com a origem em um poste da
estrada, por exemplo, a velocidade do segundo carro igual a 80
km/h. Se mantivermos o referencial fixo, porm mudarmos a posio da
origem, colocando-a sobre um pedestre parado que v a ultrapassagem,
a velocidade do segundo carro continuar igual a 80 km/h.
Esse valor, porm, mudar se utilizarmos um sistema de referncia
que se move juntamente com o carro que est sendo ultrapassado. Ou
seja, o observador da ultrapassagem um dos passageiros do primeiro
carro. Nesse caso, a velocidade do segundo carro igual a 20 km/h. a
chamada velocidade relativa, pois medida em relao a um outro
corpo.
Exemplo 1.8.3: Considere o pedestre do exemplo anterior.
Pergunta-se: ele est em repouso ou em
movimento? A resposta, como esperado, foge do que nos intuitivo,
a depender do referencial utilizado. A princpio, de acordo com o
senso comum, diremos que ele est em repouso, isto , sem
velocidade.
Mas essa resposta s de fato correta, se adotarmos um
referencial, por exemplo, com a origem sobre o poste ao seu lado,
tambm parado.
Mas como o passageiro do carro que passa a 60 km/h v o pedestre?
Tomando esse passageiro como o observador, o seu carro est em
repouso, j que se move junto com ele. A velocidade relativa entre o
observador e o carro nula.
Mas ele v o pedestre com velocidade em sentido contrrio do
carro, tambm a 60 km/h. Ele v o pedestre passando para trs. Nesse
referencial, o pedestre est em movimento.
Portanto, at mesmo o conceito de repouso e movimento dependente
do referencial.
DIREO DA RODOVIA RIO-SANTOS
Y
X
RIO DE JANEIRO
SANTOS
v
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Mas, cabe mais uma pergunta: qual ento o referencial utilizado
pelo senso comum? Isto , quando
damos a resposta intuitiva de que o pedestre est parado, qual o
referencial que estamos utilizando? Normalmente, utilizamos um
referencial cuja origem est no solo, na Terra, e parado em relao a
ela.
Isso vale mesmo para movimentos que transcendem o planeta. Por
exemplo, antes de termos instrumentos mais avanados, pensava-se que
o Sol girava ao redor da Terra, e no o contrrio. Tal afirmao
verdadeira se tomarmos a Terra como origem do referencial.
Todavia, se tomarmos o Sol como referencial, obteremos o
resultado exatamente inverso: a Terra gira em torno do Sol. Mas
ento, qual referencial usar? E qual dos dois resultados o
verdadeiro?
Na verdade, no existe, por exemplo, a velocidade absoluta de um
corpo, ou seja, a velocidade do corpo, em relao a nada,
independente de qualquer referencial. Para toda grandeza fsica que
medimos, utilizamos um determinado referencial. Para problemas de
pequena escala, razovel utilizar a Terra como o referencial, e
medir tudo em relao a ela. Porm, para questes de maiores escalas,
temos que usar um referencial melhor. Nesses casos, ento, qual o
referencial razovel? O ideal utilizar algo que no interfira no
sistema analisado. Por isso, normalmente, escolhe-se como origem
desses referenciais, estrelas bem distantes, que, para ns, esto
praticamente em repouso.
Nesse referencial, obtemos mais alguns resultados, do que
simplesmente perceber que a Terra gira em torno do Sol, e no o
contrrio. Percebemos que o Sol gira em torno do centro da galxia,
que por sua vez, tambm gira, em torno de algo distante o suficiente
para que no o conheamos.
importante ressaltar que esses referenciais nas estrelas
distantes so utilizados simplesmente por questes de facilidade de
clculo, a necessidade de ter algo que parea parado para ser tomado
como referncia. Contudo, sabemos que no faz o menos sentido
falarmos de velocidade independente de um referencial. O mesmo vale
para o conceito mais essencial de repouso e movimento. Como toda
velocidade medida em relao a algo, no faz sentido falar que algum
corpo no espao esteja em repouso ou em movimento. No existe um
repouso ou movimento absoluto.
12. Posio, tempo e velocidade Vimos que posio e tempo esto entre
as quatro grandezas fundamentais da fsica. Isto significa que
outras grandezas, como a velocidade, so obtidas a partir delas,
conforme veremos a seguir. A unidade de medio de tempo no Sistema
Internacional (SI) o segundo (s). bvio que existem
outras unidades, que so utilizadas a depender do propsito. Por
exemplo, no vamos contar o tempo de vida de uma pessoa em segundos
ou dias, mas em anos. Da mesma forma ocorre com um perodo letivo,
que calculado em meses. Na rea de eletrnica, mede-se o perodo de
oscilao de determinados pulsos eltricos em milisegundos (ms),
microsegundos (s) ou at nanosegundos (ns).
A unidade de medio de posio e distncia no SI o metro. Tambm
utilizamos muito comumente outras unidades, como o quilmetro (km),
o centmetro (cm), o milmetro (mm). Para distncias astronmicas,
utilizamos o ano-luz, que a distncia percorrida pela luz no perodo
de um ano, algo da ordem de 1016 metros.
Exerccio 1.9.1: Um carro percorre em uma estrada 120 km em 2,0
h. Em mdia, quantos
quilmetros ele percorreu em cada hora? Soluo: Est bvio que a
resposta uma mdia de 60 quilmetros em cada hora. Contudo, em
problemas
mais complexos, essa resposta no ser bvia ou intuitiva.
Precisamos de um mtodo fsico e matemtico para a resoluo desse
problema. Ou seja, vamos analisar o que fizemos para chegar a essa
resposta.
Primeiramente, vamos imaginar a estrada, retilnea. Vamos mostrar
as sucessivas posies do carro nessa estrada.
Como vimos, a posio uma grandeza vetorial. Isso significa que
deve ser representada de forma completa atravs de um vetor, com
mdulo, direo e sentido. No exemplo anterior, utilizamos um sistema
referencial com dois eixos. Mas poderamos ter usado um eixo
somente, aproveitando-se do fato de tratar-se de um movimento
retilneo. Isto , se estivssemos estudando um movimento em curva,
necessariamente precisaramos utilizar dois ou at trs eixos. Mas no
movimento retilneo, se colocarmos um dos eixos exatamente sobre a
trajetria, o outro eixo fica dispensvel. Faremos isso com o
objetivo de facilitar o raciocnio.
0
s0 s
s (m) eixo das posies
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Representamos a posio com a letra s (do ingls, space). O ponto
zero a origem do nosso
referencial. O ponto s a posio atual do carro. O ponto s0 a
posio inicial do corpo, isto , o ponto a partir do qual comeamos a
contar as posies e o tempo.
Os 120 km, percorridos pelo carro em 2,0 h, comeam no ponto s0 e
vo at o ponto s. Por exemplo, imagine que em s0 o marco na estrada
era de 50 km. Portanto, em s, o marco era de 170 km.
A distncia percorrida equivale justamente variao de posio
realizada pelo mvel. Essa variao representada por:
0s s s =
A letra grega (leia-se delta) significa variao. Portanto s a
variao de posio. Essa
variao de posio a diferena entre as posies atual (s) e inicial
(s0). Igualmente, podemos descrever o perodo de tempo decorrido
como:
0t t t =
E, finalmente, o que fizemos para chegar mdia de 60 quilmetros
em cada hora, foi dividir os 120
quilmetros por 2,0 horas. Ou seja, dividimos a distncia
percorrida (variao da posio - s) pelo perodo de tempo em que isso
ocorreu (variao do tempo - t).
Dizer que o automvel percorreu em mdia 60 km em cada hora do seu
percurso o mesmo que dizer que sua velocidade mdia foi de 60 km/h
no percurso. Assim, podemos escrever:
m
sv
t
=
Exerccio 1.9.2: Um automvel faz uma viagem em duas etapas. A
primeira, contendo 50 km, foi
feita em 30 min. A segunda, de 60 km, foi feita em 1h e 30 min.
Determine: a) A velocidade mdia na primeira etapa do percurso; b) A
velocidade mdia na segunda etapa do percurso; c) A velocidade mdia
em todo o percurso. Soluo:
Sabemos que a frmula para o clculo da velocidade mdia ms
vt
=
. Assim teremos:
Na primeira etapa:
m
1s = 50 km e t = 30 min = h = 0,5 h
250
v 50 2 100 km/h12
s
t
= = = =
Na segunda etapa:
m
3s = 60 km e t = 1h + 30 min = h = 1,5 h
260 2
v 60 40 km/h3 32
s
t
= = = =
Em todo o percurso:
m
s = 50 + 60 km e t = 30 min + 1h + 30 min = 2,0 h
110v 55 km/h
2,0
s
t
= = =
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Calculada a velocidade mdia na primeira etapa (100 km/h) e na
segunda (40 km/h), comum pensar
que a velocidade mdia em todo o percurso a mdia entre 100 e 40,
isto , 70 km/h. Contudo, isso s estaria correto se os percursos
tivessem o mesmo tempo de durao. como ao longo do ano letivo em um
colgio: se um aluno tira nas quatro primeiras provas nota 5,0 e 10
na ltima, sua mdia no ser 7,5, pois houve mais notas 5,0 do que
notas 10. A mdia, portanto, tem que estar mais prxima de 5,0 do que
de 10. Da mesma forma, o automvel passou mais tempo com a
velocidade mdia de 40 km/h do que de 100 km/h. Portanto, a
velocidade mdia de todo o percurso deve ser mais prxima de 40 km/h.
A maneira de realizar o clculo exato a descrita acima.
Exerccio 1.9.3: Um automvel se locomove com uma velocidade de
1,0 m/s. Qual sua velocidade
em km/h? Soluo: Esse problema se baseia na converso das
principais unidades de velocidade (m/s e km/h).
Daqui por diante, tomaremos seu resultado como mtodo para
futuras converses. 1 m
1 m/s = 1 s
. Para obtermos um valor em km/h, precisamos saber quantos
quilmetros equivalem a
1 m e quantas horas equivalem a 1 s. Fazendo a substituio,
teremos um resultado. 3 -31 km = 10 m 1 m = 10 km
11 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s 1 s = h
3600
Substituindo, 3 3
-31 m 10 km 10 km/h = 10 3600 km/h 3,6 km/h1 11 s h3600 3600
= = =
Portanto, 1 m/s = 3,6 km/h. Para outras velocidades pode-se
fazer o mesmo processo, ou simplesmente realizar uma
multiplicao (no caso da passagem de m/s para km/h) ou diviso (no
caso da passagem de km/h para m/s) por 3,6.
Por exemplo, para saber o equivalente em km/h da velocidade
igual a 2 m/s, basta multiplicar esse valor por 3,6:
2,0 m/s = 2,0 3,6 km/h = 7,2 km/h Por outro lado, se quisermos
saber o equivalente em m/s da velocidade igual a 7,2 km/h, basta
dividir
esse valor por 3,6: 7,2
7,2 km/h = m/s = 2,0 m/s3,6
Exerccio 1.9.4: Como prtica, transforme as seguintes velocidades
dadas em km/h para m/s ou vice-
versa. Confira seus resultados com o auxlio de uma calculadora.
a) 10,8 km/h b) 4,0 m/s c) 5,0 m/s d) 36 km/h e) 72 km/h f) 90 km/h
g) 30 m/s
Com a equao da velocidade mdia, podemos tambm deduzir a distncia
percorrido ou o tempo de
durao do movimento. Exerccio 1.9.5: Um maratonista realizou uma
prova com uma velocidade mdia de 12 km/h. Se o
tempo de durao dessa prova foi de 3,0 h, determine a distncia
total percorrida pelo atleta em km. Exerccio 1.9.6: Um automvel, em
movimento de velocidade mdia igual a 90 km/h, atravessa uma
ponte de 525 m. Em quanto tempo ele completa a travessia?
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Nos casos anteriores, estamos estudando o conceito de velocidade
mdia, que difere de velocidade
instantnea. Como os nomes sugerem, a velocidade instantnea a
rapidez momentnea de um mvel, isto , a velocidade em um dado
instante, ao passo que a velocidade mdia a mdia de todas as
velocidades instantneas ao longo do perodo.
Se a velocidade mdia corresponde a um perodo de tempo t e pode
ser escrita por m
sv
t
=
,
podemos dizer que a velocidade instantnea corresponde velocidade
mdia aplicada a um instante, isto , um perodo de tempo muitssimo
pequeno, que tende a zero. Matematicamente, expressamos a
velocidade instantnea por:
0limt
vs
t =
Utilizamos o conceito matemtico de limite. Contudo, isso no ser
to importante no nosso estudo. Basta a compreenso do conceito
essencial de velocidade instantnea. Dizemos, assim, que a
velocidade de um corpo a taxa de variao no tempo da sua posio. Em
outras palavras, a velocidade o quanto a posio est variando por
unidade de tempo.
Quando dizemos que velocidade mdia de um carro igual a 90 km/h,
isso no significa dizer que sua velocidade permaneceu a mesma, ou
seja, que sua velocidade instantnea foi igual a 90 km/h em todos os
instantes. Significa dizer que a velocidade instantnea pode ter
variado e, se isso ocorreu, ela oscilou em torno de 90 km/h.
13. Acelerao Vamos agora estudar a variao de velocidade ao longo
de um perodo de tempo. Suponha que voc
vai comprar um carro, e est em dvida entre dois modelos. Ambos
tem a mesma velocidade mxima: de 200 km/h. Contudo, um dos modelos
consegue aumentar sua velocidade de 110 a 200 km/h em 10 s. O outro
faz o mesmo em 25 s. Qual dos dois modelos o melhor?
Se voc est interessado em um carro para estradas, onde
certamente voc manter uma velocidade mdia alta e, de tempos em
tempos, realizar uma ultrapassagem, precisando de um aumento rpido
de velocidade, claro que escolher aquele que obtm a mesma variao de
velocidade em menos tempo. Dizemos que esse modelo tem uma acelerao
maior do que o outro.
Vamos verificar, para o primeiro caso, quanto ele varia sua
velocidade por segundo. J sabemos que ele aumenta sua velocidade de
110 a 200 km/h. Isso nos d uma variao de 90 km/h. Obtivemos esse
resultado com a subtrao: 200 110 = 90 km/h. Assim, definimos:
0v v v =
Essa variao de 90 km/h pode ser convertida em 25 m/s. Portanto,
se a variao de velocidade total de 25 m/s em um tempo total de 10
s, quantos m/s variam em 1 s? Intuitivamente, basta dividirmos 25
por 10, e obtemos como resposta 2,5. Isso o que chamamos de
acelerao mdia. Temos, ento:
m
va
t
=
Isso, ento, quer dizer que a cada segundo, o automvel aumenta em
mdia sua velocidade em 2,5
metros por segundo. Ou seja, varia 2,5 metros por segundo, por
segundo. Matematicamente, temos
2
2
12,5 2,5 . 2,5 2,5mm s m m
a m ss s s s
= = = =
Equivalentemente, para o segundo carro, temos:
225 1,025m
v m sa m s
t s
= = =
Exerccio 1.10.1: Um automvel, em determinado instante, tem uma
velocidade de 20 m/s. Para
realizar uma ultrapassagem, ele pisa no acelerador de forma a
oferecer uma acelerao ao veculo de 2,0 m/s2, ao longo de 5,0 s.
Determine qual foi a velocidade final nesse processo?
Soluo: Utilizaremos a relao mostrada acima para acelerao
mdia:
-
Captulo 1 Introduo Fsica
0
2,0 5,0 10
10 20 30
m m
va v a t m s
t
v v v v v m s
= = = =
= = =
Analogamente aos conceitos de velocidades instantnea e mdia,
tambm diferimos as aceleraes
instantnea da mdia. A acelerao instantnea refere-se a quanto a
velocidade est variando em um determinado instante.
Ela est relacionada, conforme veremos mais adiante, com a fora
de propulso do movimento. Isto , quanto maior a fora que impulsiona
o veculo para frente em um determinado momento, maior a sua
acelerao. Sentimos essa diferena quando, por exemplo, em uma situao
de acelerao muito grande, somos puxados pra trs.
H tambm o caso contrrio, em que ocorre uma desacelerao forte,
uma freada, em que somos jogados pra frente. A fora que nos
impulsiona para frente est diretamente relacionada com a acelerao
instantnea.
A acelerao mdia, como esperado, a mdia de todas as aceleraes
instantneas, e dada pela
relaom
va
t
=
. Por isso, quando nos referimos acelerao instantnea,
referimo-nos a essa relao
aplicada no a um perodo de tempo, mas a um instante, que
equivale a um perodo de tempo muitssimo pequeno. Assim,
escrevemos:
0limt
va
t
=
Dizemos, assim, que a acelerao de um corpo a taxa de variao no
tempo da sua velocidade.
Em outras palavras, a acelerao o quanto a velocidade est
variando por unidade de tempo.
14. Movimento progressivo x retrgrado Antes de prosseguirmos,
devemos fazer algumas definies e classificaes importantes.
Caracterizar
um movimento como progressivo ou retrgrado significa nada mais
do que, dada uma direo de um movimento, indicar o sentido da
velocidade.
Vamos considerar um movimento retilneo, ou seja, unidimensional.
Assim como fizemos anteriormente, vamos usar, portanto, um s eixo
para a representao das posies. Esse eixo ordenado e tem uma
origem.
A bola cinza representa o mvel que se desloca sobre essa reta.
As posies crescem para a direita.
Caso o mvel se desloque para a direita, sua posio crescer
gradativamente. Isso quer dizer que, para um perodo de tempo, sua
posio final ser maior que a inicial. Ou seja:
0 0 0 0s s s s s> > >
Isto , quando as posies aumentam, a variao de posio s positiva.
Como m
sv
t
=
, nesse
caso, a velocidade tambm positiva. Todo esse conjunto de
caractersticas define o movimento progressivo, no qual a velocidade
tem o mesmo sentido que a orientao do eixo das posies.
Caso o mvel se desloque para a esquerda, sua posio diminuir
gradativamente. Isso quer dizer
que, para um perodo de tempo, sua posio final ser menor que a
inicial. Ou seja:
0 0 0 0s s s s s< < <
Isto , quando as posies diminuem, a variao de posio s negativa.
Como ms
vt
=
, nesse
caso, a velocidade tambm negativa. Todo esse conjunto de
caractersticas define o movimento retrgrado, no qual a velocidade
tem sentido contrrio orientao do eixo das posies.
0
s (m)
-
Captulo 1 Introduo Fsica
15. Movimento acelerado x retardado
Imagine o exemplo anterior, no qual o eixo das posies representa
uma estrada e o mvel um carro. Suponha tambm que o movimento seja
progressivo, isto , o carro locomove-se para a direita.
O motorista, por um motivo qualquer, pisa no acelerador, fazendo
com que sua velocidade comece a aumentar. Teremos, assim, aps um
perodo de tempo, uma velocidade final maior que a inicial. Ou
seja:
0 0 0 0v v v v v> > >
Isto , quando a velocidade aumenta, a variao de velocidade v
positiva. Como m
va
t
=
, nesse
caso, a acelerao tambm positiva. Esse movimento definido como
acelerado. Mas note que no o fato de a acelerao ser positiva
que nos faz classificar o movimento dessa forma. O movimento
acelerado porque o mvel est cada vez mais rpido, ou seja, o
motorista pisou no acelerador. Isso no parece fazer muito sentido,
pois a princpio uma coisa leva outra, mas veremos que isso no
verdade. importante fixar que o movimento acelerado por estar cada
vez mais rpido.
Analogamente, temos o caso em que o motorista pisa no freio,
fazendo com que sua velocidade
comece a diminuir. Teremos, assim, aps um perodo de tempo, uma
velocidade final menor que a inicial. Ou seja:
0 0 0 0v v v v v< < <
Isto , quando a velocidade aumenta, a variao de velocidade v
negativa. Como m
va
t
=
, nesse
caso, a acelerao tambm negativa. Esse movimento definido como
retardado, pois o mvel est cada vez mais lento, o motorista
pisou
no freio. Novamente, nesse caso, essa situao leva a uma acelerao
negativa, mas isso nem sempre ocorre. o fato de o mvel estar cada
vez mais lento que classificamos o movimento como retardado.
Classificaremos agora um movimento retrgrado como acelerado ou
retardado. A caracterstica do
movimento retrgrado, como vimos, o sentido do movimento ser
contrrio orientao do eixo das posies, isto , a velocidade ser
negativa.
Vamos supor, como exemplo, que a velocidade do automvel seja v0
= 10 m/s. Considerando o eixo das posies orientado para a direita,
sabemos que o movimento do mvel ocorre para a esquerda. Assim
sendo, a cada segundo, o mvel percorre 10 metros para a
esquerda.
Se o motorista pisa no acelerador, fica mais rpido. Suponhamos
que agora ele ande 15 metros a cada segundo. Sua velocidade ento v
= 15 m/s. Repare que, apesar de ter ficado mais rpido, sua
velocidade ficou mais negativa. Ou seja, o valor escalar da sua
velocidade diminuiu. No podemos, portanto, associar rapidez a esse
valor, pois uma comparao falha. Devemos associar rapidez ao mdulo
da velocidade. Antes tnhamos |v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 15
m/s.
Se o mdulo da velocidade aumentou, isto , o movimento est mais
rpido, ns o classificamos como acelerado. Contudo, o novo valor
escalar da velocidade menor do que o primeiro. Assim, podemos
escrever:
0 0 0 0v v v v v< < <
Isto , a variao de velocidade v negativa. Como m
va
t
=
, nesse caso, a acelerao tambm ser
negativa. Temos ento uma aparente contradio: acelerao negativa,
mas movimento acelerado. Isso
esclarecido quando consideramos que a acelerao relaciona-se com
o valor escalar da velocidade e a classificao entre acelerado ou
retardado relaciona-se com o mdulo da velocidade.
Ainda no movimento retrgrado, vamos considerar agora o exemplo
contrrio, em que o motorista
pisa no freio. De incio, vamos considerar a velocidade inicial
v0 = 10m/s. Isso significa que a cada segundo, o motorista percorre
10 metros para a esquerda. Pisando no freio, o movimento fica mais
lento. Suponhamos que agora, ele percorra apenas 5 metros a cada
segundo. Sua velocidade ento passou a ser v = 5 m/s.
Repare que, apesar de o movimento ter ficado mais lento, sua
velocidade ficou menos negativa. Ou seja, o valor escalar da sua
velocidade aumentou. Novamente, conclumos que no podemos associar
rapidez a esse valor, e sim ao mdulo da velocidade. Antes tnhamos
|v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 5 m/s.
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Seguindo o mesmo raciocnio, classificamos esse movimento como
retardado, apesar de a nova
velocidade ser maior do que a inicial:
0 0 0 0v v v v v> > >
Isto , a variao de velocidade v positiva. Como m
va
t
=
, nesse caso, a acelerao tambm ser
positiva, apesar de se tratar de um movimento retardado.
16. Equaes horrias Em um breve resumo do que vimos at agora,
podemos dizer que a velocidade a taxa de variao
da posio no tempo e que a acelerao a taxa de variao da
velocidade no tempo. EXTRA
_____________________________________________________________________________________
Quem estudou todas as conseqncias dessas relaes foi Newton. Para
aprimorar seu estudo de
grandezas que exprimem a taxa de variao de outras, ele criou o
mtodo matemtico chamado derivada, e o operador oposto, a integral.
Tais conceitos foram fundamentais no desenvolvimento da matemtica e
da fsica moderna, a partir do sculo XVI. Essas ferramentas so muito
poderosas, podem abreviar muitas linhas de clculo complexo. Alm
disso, propiciam uma viso cartesiana geomtrica dos fenmenos fsicos
estudados.
_____________________________________________________________________________________
Portanto, dada uma posio inicial, se transcorrido um intervalo
de tempo t, a nova posio
depender das velocidades adquiridas pelo corpo ao longo desse
perodo. Essas velocidades, por sua vez, dependero das aceleraes
caractersticas de cada instante.
Esses fatores geraro, em cada caso, equaes horrias
caractersticas do movimento. As trs equaes horrias que sero usadas
por ns sero as de posio, velocidade e acelerao, no domnio do
tempo.
Por exemplo, digamos que em um caso especfico, um corpo tenha um
movimento retilneo gerido pela seguinte equao horria de posio: 2( )
3 5 2s t t t= + (SI). Essa equao relaciona a posio do mvel a cada
instante a partir do incio do movimento, em unidades do Sistema
Internacional. Ou seja, atravs dela, poderamos construir a seguinte
tabela:
Tempo (s) Posio (m)
t = 0 s(0) = 3 5.0 + 2.02 = 3 m t = 1 s s(1) = 3 5.1 + 2.12 = 0
t = 2 s s(2) = 3 5.2 + 2.22 = 1 m t = 3 s s(3) = 3 5.3 + 2.32 = 6 m
t = 4 s s(4) = 3 5.4 + 2.42 = 15 m t = 5 s s(5) = 3 5.5 + 2.52 = 28
m
Se desejarmos saber a posio do objeto em um dado instante, basta
substituir o valor de t na equao
e calcular o valor de s. Por outro lado, se quisermos saber em
qual ou quais instantes o mvel tem uma dada posio, basta substituir
o valor de s na equao e calcular o valor de t.
Vamos calcular em qual instante o mvel alcana a posio 153 m.
Substituiremos esse valor em s na equao:
2
2
153 3 5 2
2 5 150 0
t t
t t
= +
=
Observao: Essa equao classificada como de segundo grau. Sua
forma genrica :
2 0ax bx c+ + =
A frmula para solucion-la a chamada frmula de Bhskara, na
verdade descoberta pelo matemtico hindu Sridhara, um sculo antes da
publicao de Bhskara:
2 4
2
b b acx
a
=
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Observe o smbolo na equao. Ele ocorre porque essa equao tem, na
verdade, duas solues:
2
1
4
2
b b acx
a
+ = e
2
2
4
2
b b acx
a
= .
Ou seja, existem dois nmeros (x1 e x2) que satisfazem a relao 2
0ax bx c+ + = .
Voltando equao em que nos encontrvamos, usando os coeficientes
da forma genrica de
equao do segundo grau, temos nesse caso a = 2, b = 5, c = 150.
Aplicando-os equao de Bhaskara: 2
1
2
( 5) ( 5) 4.2.( 150) 5 25 1200 5 35
2.2 4 45 35
10 s4
5 35t 7,5 s
4
t
t
+ = = =
+= =
= =
Como os instantes so contados a partir de zero, no utilizamos
valores negativos para o tempo. Portanto, a segunda soluo (t2) est
descartada. A resposta t = 10 s, ou seja, no instante t = 10 s, o
mvel ocupa a posio 153 m.
Como no exemplo acima, as equaes horrias definem uma relao entre
uma determinada grandeza
fsica (no caso, a posio) com o tempo, isto , mostram o
comportamento dessa grandeza ao longo de um perodo. Poderamos
definir para o mvel, a equao horria da sua velocidade, ou ainda da
sua acelerao. Os procedimentos seriam os mesmos que os
exemplificados acima.
Exerccio 1.13.1: Considere um mvel com a seguinte equao horria
de velocidade:
4 2( ) 13 36v t t t= + (km, h). Determine: a) sua velocidade no
instante 5 s. b) o(s) instante(s) em que sua velocidade nula.
Soluo: Repare, primeiramente, que no estamos mais trabalhando com o
Sistema Internacional de
unidades. Agora, a posio medida em quilmetros e o tempo em
horas. importante ressaltar que mesmo que se trate de uma equao
horria de velocidade, as unidades destacadas entre parnteses
referem-se s grandezas fundamentais posio e tempo. Logo, nesse
caso, a velocidade ser medida em km/h.
a) Para determinarmos a velocidade no instante t = 5 h, devemos
jogar esse valor na frmula: 4 2(5) 5 13.5 36 625 325 36 336 km/hv =
+ = + =
b) Agora, queremos saber o(s) instante(s) em que a velocidade
nula, isto , v = 0. Novamente,
jogamos esse valor na frmula: 4 213 36 0t t + = .
Essa uma equao de quarto grau, cujos mtodos de resoluo so
complexos. Mas veja que as
ocorrncias das potncias de t so t4 e t2. No aparecem na equao t
e t3. Quando isso ocorre, dizemos que essa uma equao de quarto grau
redutvel a segundo grau, ou uma equao biquadrada. Ou seja, vamos de
alguma forma, transform-la em uma equao de segundo grau.
Faremos isso introduzindo uma nova varivel, a fim de representar
t2. Vamos chamar t2 de u. Assim, teremos:
( )
2
24 2 2
t u
t t u
=
= =
Substituindo na equao: 2 13 36 0u u + =
Podemos, portanto, aplicar Bhaskara para resolver a equao. Os
coeficientes so a = 1, b = 13 e c = 36. Teremos:
22 ( 13) ( 13) 4.1.364 13 5
2 2.1 2
b b acu
a
= = =
Agora, temos duas solues, u1 e u2:
-
Captulo 1 Introduo Fsica
1
2
9
4
u
u
=
=
Como tnhamos u = t2, obteremos os instantes procurados: 21 1
22 2
9 3 h
4 2 h
t t
t t
= =
= =
Portanto, para o movimento cujas velocidades so definidas pela
equao horria dada, h dois
instantes nos quais a velocidade nula: t1 = 2 h e t2 = 3 h.
Transformao das equaes horrias Esses procedimentos com as equaes
horrias so relativamente simples. O grande pulo do gato
de Newton foi perceber que poderia atravs da equao horria de uma
grandeza, obter a equao horria de outra grandeza, mais
especificamente, daquela que exprime a taxa de variao da
primeira.
importante relembrar que a velocidade exprime a taxa de variao
da posio no domnio do tempo e a acelerao, a taxa de variao da
velocidade no domnio do tempo.
No exemplo acima, conhecamos a equao horria de velocidade do
mvel: 4 2( ) 13 36v t t t= + (km, h). Se quisermos obter a equao
horria da acelerao, teremos que aplicar o
mtodo desenvolvido por Newton, a derivada. Isso quer dizer que
iremos derivar a funo de velocidade.
Quando derivamos uma funo f(t), obtemos a funo que exprime sua
taxa de variao. Chamamos
a funo derivada de f(t) e usamos a seguinte notao:
'( ) ( )df
f t tdt
=
Podemos escrever portanto:
( ) ( )
( ) ( )
dsv t t
dt
dva t t
dt
=
=
Para calcular a derivada de 4 2( ) 13 36v t t t= + , usaremos
duas propriedades:
1
(I) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(II) - ( ) . ( ) . .n n
df dg dhf t g t h t t t t
dt dt dt
dff t a t t a n t
dt
= + = +
= =
A propriedade (I) diz que derivar a funo v(t) significa derivar
cada um de seus termos separadamente. A propriedade (II) mostra a
forma de derivar um termo de funes polinomiais:
a constante a presente no termo no alterada; o termo passa a ser
multiplicado pelo expoente n de t; o expoente de t decrescido em 1
e passa a ser n 1.
Antes de finalmente derivarmos a funo v(t), ainda preciso
observar mais um aspecto importante:
o ltimo termo da funo, + 36, no multiplicado por t. Todavia,
sabemos que t0 = 1. Ento vamos reescrever a funo v(t):
4 2 0( ) 1. 13 36.v t t t t= + Agora, vamos aplicar a
derivada:
4 1 2 1 0 1( ) 1.4. 13.2. 36.0.dvt t t t
dt
= +
E, assim, podemos obter a equao horria da acelerao do mvel: 3( )
4. 26.a t t t= (km, h)
Observao 1: As unidades km e h so mantidas aps a aplicao da
derivada, ou seja, o tempo deve
estar baseado em horas e a acelerao, em km/h2. Observao 2:
Repare que quando derivamos o ltimo termo da equao, + 36, obtivemos
um
resultado nulo. Isso quer dizer que ele no produz nenhum efeito
na funo derivada, a acelerao. Ou
-
Captulo 1 Introduo Fsica
seja, se no lugar de + 36, tivssemos + 50, a funo derivada em
nada seria alterada, j que esse termo, chamado termo independente
(de t), seria de qualquer forma multiplicado pelo expoente de t,
que zero, anulando o resultado. Por que isso ocorre?
Essencialmente porque o nico termo de v(t) que no varia com o
tempo. Tanto o termo -13t2 quanto t4 variam com o decorrer do
tempo. J o termo + 36 permanece constante. A funo derivada exprime
a taxa de variao da grandeza, ou, de acordo com a propriedade I, a
soma das taxas de variao de cada um de seus termos. A taxa de
variao de t4, como vimos, 4t3. A taxa de variao de -13t2 -26t. Se +
36 constante, sua taxa de variao deve ser nula.
Isso fica mais claro se calcularmos a velocidade no instante
zero: 4 2(0) 0 13.0 36
(0) 36 km/h
v
v
= +
=
Quando calculamos a velocidade no instante t = 0, todos os
termos se anulam, a no ser o termo independente de t. Isso quer
dizer que a velocidade inicial do movimento 36 km/h.
Em qualquer equao horria, o termo independente de t representa o
valor da grandeza no instante t = 0, pois o nico que no se anula
nessa circunstncia.
Ou seja, podemos reescrever a equao de v(t) da seguinte forma: 4
2( ) (0) ( 13 )v t v t t= +
Nesse caso, como se dissssemos que a velocidade atual do mvel a
sua velocidade inicial somada ao quanto essa velocidade variou ao
longo do perodo de tempo, de 0 a t. Essa variao de velocidade v =
t4 13t2. Se substituirmos v na equao, temos a relao j conhecida: v
= v0 + v.
Portanto, claro que a taxa de variao do movimento refere-se
somente componente v. Exerccio 1.13.2: A posio de um mvel varia com
o tempo segundo a seguinte regra:
2( ) 5 3 5s t t t= + (m, s). Determine: a) sua posio no instante
1 s; b) sua velocidade inicial; c) sua acelerao;
Soluo: a) Para a determinao da posio no instante 1 s, basta
substituirmos esse valor na equao dada:
2(1) 5 3.1 5.1 3 ms = + =
b) Dispomos apenas da equao horria da posio. Se quisermos obter
a velocidade em algum instante, deveremos primeiramente derivar a
funo de posio.
0 1 2
0 1 1 1 2 1
( ) 5. 3 5
( ) 5.0. 3.1. 5.2.
( ) 3 10
s t t t t
dst t t t
dt
v t t
= +
= +
= +
Queremos determinar a velocidade inicial do movimento, ou seja,
a velocidade para t = 0. Vamos substituir esse valor na equao:
0
(0) 3 10.0
3 m/s
v
v
= +
=
c) Para obtermos a equao horria da acelerao, vamos derivar a
funo de velocidade:
0 1
0 1 1 1
2
( ) 3. 10
( ) 3.0. 10.1.
( ) 10
10 m/s
v t t t
dvt t t
dt
a t
a
= +
= +
=
=
Nesse caso, podemos concluir que a acelerao constante, isto , no
varia com o tempo. Mais tarde, estudaremos movimentos com essa
caracterstica, o chamado Movimento Uniformemente Variado.
-
Captulo 1 Introduo Fsica
Exerccio 1.13.3: Vamos voltar ao exemplo inicial, em que tnhamos
4 2( ) 13 36v t t t= + (km ,h).
Determine a equao horria das posies. Soluo: De acordo com o que
vimos at agora, se a velocidade a taxa de variao da posio,
devemos ter uma funo s(t) que, quando derivada, obteramos v(t).
Vamos fazer isso termo a termo. Devemos ter um termo a.tn que,
quando derivado, obtm-se 1.t4. A derivada do termo a.tn
a.n.tn-1.
Vamos fazer, portanto, duas relaes: 1 4 5
. 1 .5 1 1 5
n n
a n a a
= =
= = =
Logo o termo que, quando derivado igual a t4, 55(1 5). 5tt =
.
Utilizando o mesmo raciocnio, podemos obter tambm outros termos
da equao: 3133
t e 36t .
Contudo, se v(t) exprime a taxa de variao de s(t), esses termos
referem-se s, pois o termo s(0) no tem nenhuma contribuio em v(t).
Assim, dizemos que:
5 3
5 30
1 1336
5 3
1 13( ) 36
5 3
s t t t
s t s t t t
= +
= + +
impossvel determinar s0 a partir da equao de v(t). EXTRA
_____________________________________________________________________________________
Nos exemplos vistos, as equaes horrias eram polinomiais, isto , um
somatrio do tipo a.xn.
Vimos a regra de derivao polinomial:
1( ) . '( ) . .n ndf
f x a x f x a n xdx
= = = .
Vamos estud-la. A definio de derivada taxa de variao. Isso
significa que
0 0
( ) ( )lim limx x
df f f x x f x
dx x x
+ = =
Suponha que f(x) represente a posio escalar de um corpo e x, o
tempo.
( ) . ns t a t= Nesse caso, sua derivada a velocidade.
dsv
dt=
Pela definio, temos
0limt
sv
t
=
,
que exatamente a definio de velocidade j vista anteriormente.
Desmembrando esse limite, vir
0
( ) ( )limt
s t t s tv
t
+ =
,
onde ( ) Fs t t s+ = e 0( )s t s= . Da, 0( ) ( ) Fs s t t s t s
s = + = . Para simplificar, vamos tomar n = 2. Nesse caso, 2( ) .s
t a t= . Substituindo na equao da velocidade,
-
Captulo 1 Introduo Fsica
( )
2 2
0
2 2 2
0
2 2 2
0
2
0
2
0
0
.( ) .lim
.( 2. . ) .lim
. 2. . . . .lim
2. . . .lim
2. . . .lim
lim 2. . .
2. .
t
t
t
t
t
t
a t t a tv
t
a t t t t a tv
t
a t a t t a t a tv
t
a t t a tv
t
a t t a tv
t t
v a t a t
v a t
+ =
+ +
=
+ + =
+
=
= +
= +
=
,
como era esperado. Podemos fazer a mesma demonstrao para um
valor genrico de n, mas isso requer um
conhecimento de matemtica mais avanado. Na verdade, podemos
fazer a demonstrao para qualquer tipo de funo, e no somente as
polinomiais.
_____________________________________________________________________________________
17. Concluso Com esses conceitos bem fixados, ser bastante fcil
o aprendizado de todo o resto da fsica. Vimos
as notaes e os procedimentos padres para a anlise e resoluo de
um problema de fsica, usamos de forma simples os sistemas de
referncia, introduzimos as grandezas fundamentais da fsica, e
estudamos suas relaes.
importante ressaltar que os exemplos vistos para o estudo das
equaes horrias tratavam apenas do movimento em uma nica direo. Por
isso, as grandezas vetoriais posio, velocidade e acelerao j tinham
sua direo definida, e a distino entre os dois sentidos possveis foi
feita com o uso dos sinais positivo ou negativo. Isso quer dizer
que demos um tratamento escalar a essas grandezas. No quarto
captulo, veremos como trabalh-las em um mbito vetorial. Por
enquanto, ainda vamos nos ater nessa restrio, porm utilizando o
grfico cartesiano como artifcio alternativo s equaes horrias.
Sendo assim, no captulo II revisaremos alguns conceitos
matemticos essenciais para a expanso da teoria do movimento e, no
captulo III, daremos prosseguimento cinemtica escalar com o auxlio
de grficos cartesianos.