Book 3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТ

Н.А. Берков, А.И. Мартыненко,В.Б. Миносцев, Е.А. Пушкарь, О.Е. Шишанин

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИпод редакцией В.Б.Миносцева

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Часть 37-е издание

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 517K93

Курс высшей математики: Учебное пособие Часть III / Н.А. Берков,А.И. Мартыненко, В.Б.Миносцев, Е.А. Пушкарь, О.Е. Шишанин / Под ред.засл. раб. ВШ РФ, д.ф.-м.н., проф. В.Б. Миносцева -М.:МГИУ, 2006, 7-eизд., — 627 с., 78 ил., библиогр. спис. 23 наим.

Рецензент: У.Г. Пирумов, чл.-корр. РАН, проф., заслуженный деятельнауки РФ.

Учебное пособие предназначено для студентов высших техническихучебных заведений и соответствует государственному образовательномустандарту.

Пособие включает в себя лекции и практические занятия. III часть по-собия содержит 34 лекции и 34 практических занятий по следующим раз-делам: дифференциальные уравнения в частных производных, элементывариационного исчисления и теории оптимизации, теория вероятностей иматематическая статистика.

Редакторы: Н.Н. Грызунова, З.И. Фадеева

Подписано в печать 16.09.2002 Сдано в производство 17.09.2002Формат бумаги 60x90/16 Бумага множ.Усл.печ.л. 30,25 Уч.-изд.л. 32,25 Тем. план 2002г., N1-22/02Тираж 500 Заказ N939

ISBN 5-276-00299-7c© Н.А. Берков, А.И. Мартыненко, В.Б. Миносцев

Е.А. Пушкарь, О.Е. Шишанин, 2001,2002c© МГИУ, 2001, 2002

69 Лекция – Решение уравнений первого порядка 3

XI ГЛАВА

Дифференциальные уравненияв частных производных

69. ЛЕКЦИЯ – Решение дифференциальныхуравнений первого порядка

Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Основныепонятия и определения. Решение квазилинейных уравнений первогопорядка. Задача Коши. Смешанная задача. Уравнение переноса

69.1. Основные понятияПри исследовании многих физических процессов часто приходится ре-

шать дифференциальные уравнения. Они могут включать как обыкновен-ные, так и частные производные в зависимости от того, является подлежа-щая определению величина функцией одного или нескольких аргументов.Глава X второй части настоящего учебного пособия посвящена решениюобыкновенных дифференциальных уравнений. В данной главе мы будем, восновном, рассматривать дифференциальные уравнения с частными про-изводными, которые нашли широкое применение при рассмотрении раз-личного рода физических процессов. Такие уравнения принято называтьуравнениями математической физики. Приведем несколько примеров диф-ференциальных уравнений с частными производными:

(69.1) z∂U

∂x+ y

∂U

∂y= 0; y

∂z

∂x+ x

∂z

∂y= (x− y)z;

(69.2) xz∂U

∂x= yU2; z

∂z

∂x− x∂z

∂y= z;

(69.3)∂U

∂x

∂U

∂y= yz;

(∂z

∂x

)2

− ∂z

∂x· ∂z∂y

= x2;

4

(69.4)∂2U

∂x∂z+

(∂U

∂y

)3

= 0;

(∂z

∂x

)2∂2z

∂x2+∂z

∂x

∂2z

∂y2= z2;

(69.5)∂U

∂x· ∂

3U

∂y∂z2−(∂U

∂x

)2

= z3;∂3z

∂x2∂y− ∂z

∂y−(∂z

∂x

)2

= 0.

Решением уравнения в частных производных называется функция, ко-торая при подстановке ее в уравнение вместо неизвестной функции обра-щает его в тождество.

В уравнениях (69.1)-(69.5), написанных слева, неизвестная функция Uзависит от аргументов x, y, z: U = U(x, y, z); в представленных справауравнениях (69.1)-(69.5) неизвестная функция z зависит от аргументов x иy: z = z(x, y).

Порядком уравнения называется наивысший порядок входящих в негопроизводных от неизвестной функции.

Уравнения (69.1), (69.2), (69.3) — первого порядка, уравнения (69.4) –второго порядка, а уравнения (69.5) – третьего порядка.

Уравнение называется линейным, если его левая и правая части линейнозависят1 от неизвестной функции U и ее производных.

В приведенных примерах уравнения (69.1) являются линейными.Уравнение называется квазилинейным, если старшие производные неиз-

вестной функции входят в него линейно.Любое линейное уравнение будет, очевидно, и квазилинейным. Однако

квазилинейные уравнения в общем случае не являются линейными. Так,уравнения (69.2), (69.4) являются квазилинейными не будучи линейными.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 69.1. Проверить, является ли функция z = (x2 + y2)1/2

реше-

нием уравнения∂2z

∂x∂y= 0.

Р е ш е н и е: Найдем частную производную∂2z

∂x∂yданной функции:

∂z

∂x=

x

(x2 + y2)1/2⇒ ∂2z

∂x∂y= − xy

(x2 + y2)3/2.

1Зависимость f

(U,∂U

∂x,∂U

∂y,∂U

∂z,∂2U

∂x2, · · ·

)называется линейной относительно

функции U и ее частных производных, если она имеет следующий вид:

f

(U,∂U

∂x,∂U

∂y,∂U

∂z,∂2U

∂x2, · · ·

)= a1(x, y, z) ·U + a2(x, y, z) ·

∂U

∂x+ a3(x, y, z) ·

∂U

∂y+ · · · ,

где коэффициенты ai(x, y, z) не зависят от функции u ее производных.


Поскольку полученная частная производная не равна нулю тождествен-но (при всех x и y), данная функция не является решением уравнения∂2z

∂x∂y= 0.

Если решение уравнения является неявной функцией, оно называетсяинтегралом уравнения с частными производными.

Пример 69.2. Проверить, является ли функция z = z(x, y), заданнаянеявно: xz − ln(yz) = 1, интегралом уравнения:

1

y

∂z

∂x+ z

∂z

∂y= 0.

Р е ш е н и е: Напомним, что частные производные∂z

∂xи∂z

∂yот функции,

заданной неявно уравнением F (x, y, z) = 0, определяются по формулам:

∂z

∂x= −

∂F

∂x∂F

∂z

;∂z

∂y= −

∂F

∂y∂F

∂z

; при∂F

∂z6= 0.

В данном примере: F (x, y, z) = xz − ln(yz)− 1, поэтому:

∂z

∂x= − z

x− y

yz

=z2

1− xz ;∂z

∂y= −

− z

yz

x− y

yz

=z

y(xz − 1).

Подставляя полученные производные в левую часть проверяемого ра-венства, получаем:

1

y

∂z

∂x+ z

∂z

∂y=

1

y

z2

1− xz + zz

y(xz − 1)= 0,

т. е. данная функция является интегралом приведенного уравнения.В исключительных случаях простейшие уравнения в частных произ-

водных можно решить и непосредственным интегрированием. При этомнеобходимо учитывать, что общее решение уравнений в частных производ-ных будет зависеть уже от произвольных функций, а не от произвольныхпостоянных, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений.Это видно из рассмотрения уравнений, содержащих лишь частные произ-водные по одному из аргументов:

∂U

∂x= f(x, y, z)⇒ U =

∫f(x, y, z)dx+ F (y, z);

6

∂2U

∂x2= f(x, y, z)⇒ ∂U

∂x=

∫f(x, y, z)dx+ F (y, z)⇒

⇒ U =

∫ (∫f(x, y, z)dx

)dx+ F (y, z)x+ Ф(y, z).

Здесь малой буквой f обозначается заданная функция, а большими Fи Ф — произвольные функции. Следовательно, общее решение уравнения вчастных производных 1-го порядка должно содержать одну произвольнуюфункцию, 2-го — две и т.д.

Пример 69.3. Решить уравнение∂2U

∂x∂y= 0.

Р е ш е н и е:Последовательно интегрируя уравнение по переменным x и y, получаем∂

∂x

(∂U

∂y

)= 0⇒ ∂U

∂y=∫0 dx+ Φ1(y) = Φ1(y)⇒

⇒ U =∫Φ1(y)dy + F (x) = Φ(y) + F (x).

Таким образом, решением данного уравнения будет функция: U(x, y) == Φ(y)+F (x), где F и Φ произвольные функции одной переменной. Нетруд-но проверить это и непосредственно:

U(x, y) = Φ(y) + F (x)⇒ ∂U

∂y= Φ′(y)⇒ ∂2U

∂y∂x=

∂

∂x(Φ′(y)) = 0.

Таким образом, общее решение дифференциальных уравнений в част-ных производных определяется с точностью до произвольных функций,а следовательно, содержит в себе бесчисленное множество решений. Что-бы выделить какое-либо одно из решений, надо поставить дополнительныеусловия.

Совокупность дифференциальных уравнений и поставленных дополни-тельных условий назовем дифференциальной задачей. При этом дополни-тельные условия должны соответствовать типу уравнений и их малые из-менения должны вызывать соответственно и малые изменения решениязадачи во всей области, где оно ищется, то есть решение задачи долж-но быть устойчиво относительно дополнительных условий. Дифференци-альная задача, имеющая единственное решение, устойчивое относительнодополнительных данных, называется корректно поставленной. Мы будемрассматривать в качестве примеров только корректно поставленные зада-чи. Исследование корректности само по себе представляет важную и слож-ную задачу, выходящую за рамки данной работы.

Итак, для нахождения единственного решения конкретной дифферен-циальной задачи необходимо определить произвольные функции, входящиев общее решение из заданных дополнительных условий. В случаях, когдаобщее решение найти невозможно, решение конкретной дифференциальной


задачи ищется непосредственно с помощью численных методов.

69.2. Общее и частное решение квазилинейныхуравнений первого порядка

Квазилинейным уравнением первого порядка или уравнением первогопорядка, линейным относительно производных, называется уравнение ви-да:

(69.6) a1(x1, x2, . . . , xn, U)∂U

∂x1

+ · · ·+

+an(x1, x2, . . . , xn, U)∂U

∂xn

= b(x1, x2, . . . xn, U).

Покажем, что общее решение этого уравнения может быть полученос помощью некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравне-ний. Причем в случае двух переменных этот процесс решения имеет на-глядную геометрическую интерпретацию. Пусть некоторая искомая функ-ция z = z(x, y) зависит от двух аргументов. В этом случае уравнение (69.6)примет вид:

(69.7) P (x, y, z)∂z

∂x+Q(x, y, z)

∂z

∂y= R(x, y, z).

Функции P , Q, R считаем непрерывными в рассматриваемой области ине равными нулю одновременно. Рассмотрим векторное поле с координата-ми P , Q, R:

(69.8) F = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Напоминание: При изучении функций нескольких переменных (лекция58) было установлено, что векторные линии этого поля, т.е. линии, каса-тельные к которым в каждой точке имеют направление вектора F , опреде-ляются из условия коллинеарности вектора

dr = dx i+ dy j + dz k,

касательного к этим линиям, и вектора поля F :

(69.9)dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z).

Поверхности, составленные из векторных линий, называются векторны-ми поверхностями или векторными трубками (см. рис. 69.1).

8

F

N

Рис. 69.1. Векторные трубки

Векторная поверхность определяется тем, что ее вектор нормали N влюбой точке ортогонален вектору поля F . Условием ортогональности двухвекторов является равенство нулю их скалярного произведения:

N · F = 0.

Если векторная поверхность задается уравнением z = f(x, y), то, как из-

вестно, вектор нормали имеет координаты:

(∂z

∂x,∂z

∂y,−1

); а следовательно,

N =∂z

∂xi+

∂z

∂yj − k и условие F · N = 0 принимает вид:

P (x, y, z)∂z

∂x+Q(x, y, z)

∂z

∂y− R(x, y, z) = 0,

т.е. z = f(x, y) удовлетворяет уравнению (69.7).Таким образом, геометрически решение квазилинейного уравнения (69.7)

означает нахождение уравнения семейства векторных поверхностей поля(69.8), задаваемого коэффициентами исходного уравнения. Эти поверхно-сти называются интегральными поверхностями уравнения (69.7).

Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторныхлиний, то правило решения уравнения (69.7) состоит в следующем:

(1) Составляем систему (69.9) обыкновенных дифференциальных урав-нений векторных линий, называемую характеристической систе-мой.

(2) Находим два независимых первых интеграла этой системы: 2

(69.10) ψ1(x, y, z) = C1, ψ2(x, y, z) = C2,

называемых уравнениями характеристик системы (69.9). Это естьдвухпараметрическое семейство уравнений векторных линий.

2Напомним, что первым интегралом системы дифференциальных уравнений (69.9)называется ее решение, заданное в виде неявной функции.


(3) Выделяем произвольным образом однопараметрическое семейство,устанавливая произвольную зависимость между параметрами C1 иC2: Ф(C1, C2) = 0, где Ф — произвольная функция двух перемен-ных.

(4) Исключая из этой зависимости параметры C1 и C2, получаем ис-комое уравнение семейства векторных поверхностей:

(69.11) Ф (ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z)) = 0.

Таким образом найден общий интеграл исходного уравнения,зависящий от одной произвольной функции Ф.

Замечание 69.1. Если векторная поверхность z = f(x, y) задается внеявном виде уравнением U(x, y, z) = 0, то вектор нормали имеет следу-

ющие координаты:∂U

∂x,∂U

∂y,∂U

∂zи условие F · N = 0 принимает вид:

(69.12) P (x, y, z)∂U

∂x+Q(x, y, z)

∂U

∂y+ R(x, y, z)

∂U

∂z= 0.

Следовательно, приведенное правило позволяет также интегрироватьлинейные однородные уравнения (69.12).

Пример 69.4. Решить уравнение a∂z

∂x+ b

∂z

∂y= c, где a, b, c — посто-

янные.

Р е ш е н и е: Составляем характеристическую систему (69.9):

dx

a=dy

b=dz

c.

Выбираем два независимых дифференциальных уравнения

bdx = ady и cdx = adz.

Интегрируя, получаем, что первые интегралы, т.е. уравнения характе-ристик, имеют вид:

bx− ay = C1 и az − cx = C2.

Общий интеграл исходного уравнения получается в виде Ф(bx−ay, az−−cx) = 0, где Ф — произвольная функция.

В разрешенном относительно z виде общий интеграл будет иметь вид:z =

cx

a+ ϕ(bx− ay), где ϕ — произвольная функция.

Однако интегрируемая комбинация дифференциальных уравнений лег-ко находится не во всех примерах. Иногда следует воспользоваться извест-ным свойством пропорций.

10

Еслиa1

b1=a2

b2= · · · = an

bn= t, то при любых k1, k2, . . . , kn будет

k1a1 + k2a2 + · · ·+ knan

k1b1 + k2b2 + · · ·+ knbn= t.

Пример 69.5. Решить уравнение: (z + y − x)∂z∂x

+ (z + x− y)∂z∂y

= z.

Р е ш е н и е: Составляем систему (69.9):dx

z + y − x =dy

z + x− y =dz

z.

Две интегрируемые комбинации получаются следующим образом:

dx+ dy

2z=dz

z⇒ d(x+ y) = 2dz ⇒ x+ y = 2z + C1 ⇒ x+ y − 2z = C1;

−dx+ dy

2(x− y) =dz

z⇒ d(x− y)

x− y = −2dz

z⇒

⇒ ln |x− y| = −2 ln |z|+ lnC2 ⇒ (x− y)z2 = C2.

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид:Ф(x+ y − 2z, (x− y)z2) = 0 .Для определения частного решения уравнения (69.7) задаем дополни-

тельные условия в виде:

(69.13) Ф1(x, y, z) = 0, Ф2(x, y, z) = 0.

Уравнения (69.13) определяют линию в пространстве, являющуюся пе-ресечением поверхностей, задаваемых этими уравнениями.

Геометрически решение уравнения (69.7) вместе с условиями (69.13)означает нахождение векторной поверхности, проходящей через линию,определяемую уравнениями (69.13). В этом случае после составления си-стемы (69.9) и нахождения характеристик (69.10) из системы уравнений(69.10) и (69.13):

(69.14)

Ψ1(x, y, z) = C1,Ψ2(x, y, z) = C2,Φ1(x, y, z) = 0,Φ2(x, y, z) = 0,

исключаем переменные x, y, z и находим зависимость между C1 и C2:Φ0(C1, C2) = 0.

Здесь Ф0 — конкретная (непроизвольная) функция. Частное решениеуравнений (69.7), удовлетворяющее условиям (69.13), получится после ис-ключения постоянных C1 и C2 с помощью соотношений (69.10):


(69.15) Φ0(Ψ1(x, y, z),Ψ2(x, y, z)) = 0.

Пример 69.6. Найти решение уравнения x∂z

∂y− y ∂z

∂x= 0, удовлетворя-

ющее условиям: x = 0, z = y2.

Р е ш е н и е: Составляем характеристическую систему:dx

−y =dy

x=dz

0.

Отсюда:

dx

−y =dy

x,

dz = 0.

Интегрируя, находим уравнения характеристик{

x2 + y2 = C1,z = C2.

Добавляем к этим двум уравнениям два заданных дополнительныхусловия

x2 + y2 = C1,z = C2,x = 0,z = y2.

Последовательно исключаем из этой системы уравнений переменные x,y и z получаем одно уравнение C1 = C2. Следовательно: z = x2 + y2.

Таким образом, искомая векторная поверхность является параболои-дом. Подставляя полученное решение в заданное дифференциальное урав-нение и дополнительные условия, легко проверить правильность решениязадачи.

Пример 69.7. Найти решение уравнения a∂z

∂x+ b

∂z

∂y= c, удовлетворя-

ющее условиям: x = 0, z = f(y).

Р е ш е н и е: В примере 69.4 были найдены первые интегралы bx−ay == C1 и az − cx = C2. Добавляем к этим двум уравнениям два допол-нительные условия x = 0, z = f(y) получаем систему четырех уравне-ний с пятью неизвестными. Исключая из полученной системы три пере-менные x, y, z, получим одну зависимость между переменными C1 и C2,

12

af(−C1/a) = C2. Подставляя в эту зависимость значения C1 и C2, получа-

ем af

(ay − bx

a

)= az − cx.

Откуда решение данной задачи в явном виде:

z =c

ax+ f

(y − b

ax

),

где f — заданная функция.

Замечание 69.2. Задача решения уравнения (69.7) при условиях (69.13)станет неопределенной, если заданная линия является характеристикойуравнения (69.7).

Если требуется найти векторную поверхность, проходящую через ли-нию, заданную параметрическими уравнениями:

(69.16) x = ϕ1(t), y = ϕ2(t), z = ϕ3(t),

то зависимость Ф0(C1, C2) = 0 определяется подстановкой (69.16) в (69.10)и исключением параметра t из получившейся системы.

Пример 69.8. Найти интегральную поверхность уравненияz

x

∂z

∂x−

− z

y

∂z

∂y= 1, проходящую через линию: x = t, y = t, z = (2t2 − 1)1/2.

Р е ш е н и е:xdx

z=−ydyz

=dz

1⇒ xdx

z= −ydy

zи − ydy

z=dz

1.

Интегрируя, получаем уравнения характеристик:

x2 + y2 = C1 и y2 + z2 = C2.

Подставив вместо x, y, z их выражения через t, получим:

t2 + t2 = C1 и t2 + (2t2 − 1) = C2.

Выразим t2 из первого и второго уравнений:

t2 =1

2C1, t2 =

1

3(C2 + 1).

Приравнивая, получаем зависимость между C1 и C2:1

2C1 =

1

3(C2 + 1).

Откуда на основании уравнений характеристик получаем частное реше-ние исходного уравнения:

1

2(x2 + y2) =

1

3(y2 + z2 + 1)⇒ 3

2x2 +

1

2y2 − z2 = 1.


Интегральной поверхностью является однополостный гиперболоид.Квазилинейное дифференциальное уравнение (69.7) относится к так на-

зываемым уравнениям эволюционного типа. В уравнениях этого типа мо-жет быть выделено направление, в котором происходит развитие процесса.

В задачах естествознания такую роль часто играет время, поэтому пе-репишем уравнение (69.7) в виде:

(69.17) P (t, x, u)∂u

∂t+Q(t, x, u)

∂u

∂x= R(t, x, u).

В этом уравнении переменные означают: t — время, x — пространствен-ную переменную, uu — искомую функцию.

Дополнительные условия, ставящиеся для нахождения решения кон-кретной задачи, описываемой уравнением (69.17), разделяются на началь-ные и краевые (граничные).

Начальные условия состоят в задании в какой-либо момент времени,чаще всего при t = 0, значений искомой функции.

Краевые (граничные) условия заключаются в том, что указываются зна-чения этой функции на какой-либо границе области, в которой ищется ре-шение дифференциальной задачи. Задача, в которой заданы только на-чальные условия называется задачей Коши. Если задаются и начальные, икраевые условия, то соответствующая дифференциальная задача называ-ется смешанной.

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентамиP = a > 0, Q = b > 0, R = 0:

(69.18) a∂u

∂t+ b

∂u

∂x= 0.

Из примера 69.7 имеем, что решение этого уравнения представляет со-

бой бегущую вправо со скоростью V =b

aволну 3:

(69.19) u = f

(x− b

at

).

На основании (69.19) можно утверждать, что корректно поставленнымизадачами для уравнения (69.18) являются:

ЗАДАЧА I. Задача Коши или задача только с начальными условиями:

(69.20) u(0, x) = ϕ0(x), −∞ < x <∞.

3Действительно, график функции f(x− b

at)

получается из графика функции f(x)

сдвигом его вправо на величинуb

at, т.е. перемещением его вправо со скоростью

b

a.

14

D

x

t

xx0 1

(a) Задача Коши

t0

D

xx1

t

0

(b) Смешанная задачаКоши

Рис. 69.2

ЗАДАЧА II. Смешанная задача Коши, включающая начальные усло-вия:

(69.21) u(0, x) = ϕ0(x), 0 6 x 6∞;

и граничные условия

(69.22) u(t, 0) = f0(t), t > 0.

Из рис. 69.2,a видно, что в задаче Коши значения искомой функциив верхней полуплоскости t > 0 определяются как решение уравнения(69.18) при заданных значениях функции uu на оси x. В смешанной задаче(рис. 69.2,b) значения искомой функции в первом квадранте (t > 0, x > 0)определяются как решение уравнения (69.18), удовлетворяющее начальнымусловиям на оси x и граничным на оси t.

Наклонными линиями на рисунках изображены характеристики x −(b/a)t = C = const. Как видно из решения (69.19), на характеристике зна-чение функции uu сохраняется постоянным и равным соответствующемузначению uu на оси x или оси t. Таким образом, начальные данные, за-данные на отрезке [x0, x1], или смешанные данные, заданные на отрезках[0, x1] и [0, t0], сносятся вдоль характеристик в область D, в которой ищет-ся решение. Если в задаче Коши вне отрезка [x0, x1], а в смешанной задачевне отрезков [0, x1] и [0, t0] функции ϕ(x) = 0 и ψ(t) = 0, то в области Dв первой задаче функция uu также будет равна 0 выше характеристикиx − (b/a)t = x0 и ниже характеристики x − (b/a)t = x1, а во второй за-даче соответственно выше характеристики x − (b/a)t = −(b/a)t0 и нижехарактеристики x− (b/a)t = x1.

69 Практика – Контроль остаточных знаний за первый курс 15

Если же уравнение (69.17) является неоднородным с постоянными ко-эффициентами

(69.23) a∂u

∂t+ b

∂u

∂x= c,

то из примера 69.7 имеем решение

u =c

at+ f

(x− b

at

),

то есть на характеристике x− (b/a)t = const остается постоянной величинаu− (c/a)t, а сама функция uu меняется.

Уравнение (69.17) в физике принято называть квазилинейным уравне-нием переноса. Уравнение переноса описывает различные процессы, свя-занные с распространением частиц в веществе.

69. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Контрольостаточных знаний за первый курс

Вариант 1(1) Найти пределы:

a) limx→∞

4x3 + 2x2 + x+ 1

8x3 + 4x− 2; b) lim

x→∞

(x+ 1

x+ 3

)x−3

.

(2) Исследовать ряд на сходимость:∞∑

n=1

n+ 1

n+ 2n.

(3) Найти производные первого порядка для заданных функций:

a)y = 2x3

ln(sin x); b)y2 + 2x3y − xy2 + x = 0; c)z = x2y sin y.

(4) Найти ускорение материальной точки движущейся по закону x(t) == sin2 t+ 3t− 1 при t = π/12 с.

(5) Найти промежутки монотонности функции: y = x4 + 4x3 + 4.(6) Даны два вектора a = (1,−1, 2) и b = (0,−1,−1). Найти площадь

параллелограмма, построенного на этих векторах.(7) Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки, име-

ющие следующие координаты: A(1, 2,−1),B(0,−2, 2) и C(−1, 3, 1).

(8) Найти интегралы:

a)

∫x3

√2x4 + 3

dx; b)

∫cos4 xdx; c)

∫ e

0

x lnxdx.

16

(9) Решить дифференциальные уравнения:

a)xydx+ (x+ 1)dy = 0; b)y′′ − 3y′ = cosx.

Вариант 2

(1) Найти пределы:

a) limx→5

x2 − 2x− 15

2x2 − 7x− 15; b) lim

x→0

x sinx

tg2 5x.


n=1

n+ 1

n3 + 3.


a)y = tg3(2x)e3x; b)y sin2 x+ x ln y + xy = 0; c)z = 3√x2 + y.

(4) Найти ускорение материальной точки движущейся по закону x(t) ==√

16− t2 при t = 1 с.

(5) Найти точки экстремума функции: y = x+4

x.

(6) Даны три вектора a = (1,−2, 1), b = (1, 0,−2) и c = (1, 3,−1). Най-ти произведение c · (a+ b).

(7) Написать уравнение прямой, проходящей через две точки, имею-щие следующие координаты: A(1, 2,−1) иB(0,−2, 2).


a)

∫cosx

sin3 xdx; b)

∫x arcsinxdx; c)

∫ 1

0

x2xdx.


a)y′ + y cosx = cosx; b)y′′ − 2y′ = e2x.

Вариант 3


a) limx→∞

(√x2 + 1− x

); b) lim

x→∞

(1− 5

3x− 2

)x

.


n=1

(−1)n

3√n2

.


a)y =tg3x

x2; b)y tg x+ xy2 − sin(xy) = 0; c)z = sinx2 + y.

69 Практика – Контроль остаточных знаний за первый курс 17

(4) Найти ускорение материальной точки движущейся по закону x(t) == 1

t2+1при t = 1 с.

(5) Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции: y = x3+x2.(6) Найти угол между диагоналями четырехугольника ABCD, если

A(2,−3, 1), B(1, 4, 0), C(−4, 1, 1) и D(−5,−5, 3).(7) Написать уравнение прямой линии, проходящей через точку

M(1, 2,−3) и перпендикулярной к векторам a = (2, 3, 1) и b == (3, 1, 2).


a)

∫e− tg x

cos2 xdx; b)

∫cos3 xdx; c)

∫ √2

0

√2− x2dx.


a) xy′ = y lnx

y; b) y′′ − 6y′ + 9y = 9x2 − 12x+ 2.

Вариант 4


a) limx→3

x2 − 9

x2 − 5x+ 6; b) lim

x→∞9x arcctgx.


n=1

(−1)nn3√n7 + 1

.


a) y =log3

3 x

x2; b) y sin x+ xy4 − 2xy = 0; c) z = xy3 4

√x2 + y.

(4) Найти ускорение материальной точки движущейся по закону x(t) == 3√

4− t2 при t = 1 с.(5) Найти точки перегиба функции: y = x4 − x3.(6) Найти площадь треугольника ABC. A(2,−1, 2), B(1, 2,−1) и

C(3, 2, 1).(7) Написать уравнение плоскости проходящей через три точки:

A(2,−1, 2), B(1, 2,−1) и C(3, 2, 1).(8) Найти интегралы:

a)

∫x2 + 4

x(x+ 2)2dx; b)

∫sin2 x cos3 xdx; c)

∫ 0

−1

√x+ 1

x− 3dx.


a) xy′ = y +√y2 − x2; b) y′′ − 2y′ = e2x + 5.

18

70. ЛЕКЦИЯ – Метод сеток

Введение в метод сеток. Основные понятия и определения. Реше-ние уравнений первого порядка методом сеток. Примеры конечно-разностных схем для решения задачи Коши и смешанной задачиуравнения переноса

70.1. Введение в метод сетокНахождение решения дифференциальных задач для квазилинейного

уравнения с частными производными первого порядка на основе общего ре-шения, описанное в предыдущем параграфе, не является достаточно общимметодом решения при произвольных коэффициентах P (x, y, z),Q(x, y, z) ,R(x, y, z) и возможно лишь в исключительных случаях специально подо-бранных примеров. Наиболее же общим методом является непосредствен-ное решение этих задач с помощью численного метода, основанного на за-мене дифференциального уравнения конечно-разностными уравнениями.Указанный метод получил название метода конечных разностей или ме-тода сеток. Хотя данный метод применим и к общему квазилинейномууравнению (69.17) и даже к нелинейным уравнениям, изложение его про-ведем на примере уравнения с постоянными коэффициентами (69.23).

Метод сеток содержит два основных этапа.Во-первых, область D непрерывного изменения аргументов t, x, в кото-

рой ищется решение дифференциальной задачи, заменяется конечным илибесконечным дискретным множеством точек, так называемых узлов. Сово-купность всех узлов называется сеткой. Таким образом, вместо функцииu, зависящей от непрерывно меняющихся аргументов t, x, рассматривает-ся функция, определенная в дискретных значениях tn, xm, определяющихузел сетки. Такие функции называются сеточными.

Отметим, что для описывающей эволюцию процесса временной пере-менной t в отличие от пространственной переменной x принята верхняяиндексация.

Во-вторых, производные, входящие в дифференциальные уравнения, идополнительные условия заменяются их разностными приближениями илиаппроксимациями. В итоге вместо дифференциальных уравнений получа-ются алгебраические, или так называемые разностные уравнения, а в целомвместо дифференциальной задачи — разностная задача.

Разностной задачей, или разностной схемой дифференциальной зада-чи, принято называть совокупность алгебраических уравнений, заменяю-щих дифференциальные уравнения и дополнительные условия. Количество

70 Лекция – Метод сеток 19

n

2-1-2-3 m=0 1n=0

12

t

xm

(a)

1

t

m=0n=0 x

n

m

123

32

(b)

1

1

t

m=0n=0

m=Mm=m

n=N

n=n

x

(c)

Рис. 70.1

этих уравнений определяется числом выбранных узлов сетки.Решение дифференциальной задачи для уравнения (69.23) ищется в

непрерывной области D, представляющей собой в случае задачи Кошиверхнюю полуплоскость (см. рис. 69.2,a) и в случае смешанной задачи, пер-вый квадрант (см. рис. 69.2,b). Как уже отмечалось, в методе сеток областьнепрерывного значения аргументов D, в которой ищется решение диффе-ренциальной задачи, заменяется дискретным множеством узлов (сеткой).Будем рассматривать лишь прямоугольную сетку, узлы которой образу-ются при пересечении прямых, параллельных координатным осям. Рассто-яние между соседними узлами вдоль этих прямых назовем шагом по со-ответствующей переменной и будем считать постоянным для всей сетки.Обозначим шаг по x буквой h, шаг по t обозначим τ .

Таким образом, в рассматриваемых нами областях координаты узловзадаются в виде: tn = n · τ , xm = m · h, n = 0, 1, 2, . . . ; m = 0,±1,±2, . . . .

Значение функции u(t, x) в некотором узле (n,m) обозначим u(tn, xm) == u(nτ,mh) = un

m.Если рассматривается конечная по какой-либо переменной область D,

соответствующие индексы n и m принимают на границах значения n = 0,n = N и m = 0, m = M . Совокупность узлов, соответствующих какому-либо фиксированному n или m, назовем слоем. Будем всегда считать, чтоτ = τ(h) есть такая функция, что при h→ 0 и τ → 0.

В большинстве случаев τ = rh, где r = const. Следовательно, введенныенами сетки (рис. 70.1) будут определяться одним параметром h; обозначимих Dh.

Искомые значения решения дифференциальной задачи u(t, x) в узлах

сетки Dh определяют сеточную функцию[u]

hдля приближенного вычис-

20

ления которой дифференциальная задача заменяется разностной. Преждевсего рассмотрим вопрос об аппроксимации производных. Поскольку в рас-сматриваемое нами уравнение (69.23) входят лишь частные производные1-го порядка, будем рассматривать аппроксимацию производных на фик-сированном слое, и в этом случае аппроксимация частных производныхпроводится по полной аналогии с обыкновенными производными.

Для аппроксимации производных в каком-то узле (n,m) нужно исполь-зовать значения функции и в соседних узлах с другими индексами. Этиаппроксимации можно проводить различным образом. Рассмотрим лишьсамые простейшие, в которых используются ближайшие узлы, окружаю-щие точку (n,m) (рис. 70.2).

hn+1

n

n-1

m-1 m m+1

(n+1,m)(n+1,m-1) (n+1,m+1)

τ

(n,m-1) (n,m) (n,m+1)

(n-1,m-1) (n-1,m) (n-1,m+1)

Рис. 70.2

Будем использовать в дальнейшем следующие аппроксимации произ-водных в узле (n,m), вытекающие из определения частной производной4

(лекция 68).

(70.1)

(∂u

∂t

)n

m

=un+1

m − unm

τ+ O(τ),

(70.2)

(∂u

∂t

)n

m

=un

m − un−1m

τ+ O(τ),

(70.3)

(∂u

∂t

)n

m

=un+1

m − un−1m

2τ+ O(τ 2),

4Напомним, что∂u(t, x)

∂t= lim

τ→0

u(t+ τ, x)− u(t, x)τ

;∂u(t, x)

∂x=

limh→0

u(t, x+ h)− u(t, x)h

.


(70.4)

(∂u

∂x

)n

m

=un

m+1 − unm

h+ O(h),

(70.5)

(∂u

∂x

)n

m

=un

m − unm−1

h+ O(h),

(70.6)

(∂u

∂x

)n

m

=un

m+1 − unm−1

2h+O(h2).

Значения функции в соседних с рассматриваемой точкой узлах можноопределить по формуле Тейлора для функции двух переменных следую-щим образом :

(70.7)

un+1m = un

m +1

1!

(∂u

∂t

)n

m

τ +1

2!

(∂2u

∂t2

)n

m

τ 2 +1

3!

(∂3u

∂t3

)n

m

τ 3 +O(τ 4),

un−1m = un

m −1

1!

(∂u

∂t

)n

m

τ +1

2!

(∂2u

∂t2

)n

m

τ 2 − 1

3!

(∂3u

∂t3

)n

m

τ 3 + O(τ 4),

unm+1 = un

m +1

1!

(∂u

∂x

)n

m

h+1

2!

(∂2u

∂x2

)n

m

h2 +1

3!

(∂3u

∂x3

)n

m

h3 +O(h4),

unm−1 = un

m −1

1!

(∂u

∂x

)n

m

h+1

2!

(∂2u

∂x2

)n

m

h2 − 1

3!

(∂3u

∂x3

)n

m

h3 +O(h4).

С помощью операций сложения и вычитания, подобно тому, как этоделалось для обыкновенных производных, (лекция 68) можно из формул(70.7) получить приведенные в (70.1) — (70.6) оценки ошибки, возникающейпри замене производных конечно-разностными соотношениями.

Разностные отношения, стоящие справа в формулах (70.1) и (70.4), на-зываются точно так же, как и в случае аппроксимации обыкновенных про-изводных односторонними правыми разностными производными (или про-изводными вперед), в формулах (70.2) и (70.5) — левыми разностными про-изводными (или производными назад), в формулах (70.3) и (70.6) — цен-тральными (двусторонними) разностными производными.

Пренебрегая ошибками в аппроксимации производных их конечно-раз-ностными аналогами и заменяя последними в каждом узле сетки производ-ные, входящие в дифференциальную задачу, получим вместо нее соответ-ствующую разностную задачу или разностную схему.

22

70.2. Задача КошиРассмотрим три различные конечно-разностные схемы для решения за-

дачи Коши уравнения переноса (69.23) с начальными условиями (69.20).1) Используя формулы (70.1) и (70.4):

(70.8)

aun+1

m − unm

τ+ b

unm+1 − un

m

h= C; m = 0,±1,±2, . . . ; n = 0, 1, 2, . . .

u0m = ϕ0(mh), m = 0,±1,±2, . . .

Обычно множество узловых точек с верхним индексом “n+1” принятоназывать верхним, а с “n” — нижним временными слоями. Поскольку в(70.8) входит значение u лишь в одном узле верхнего слоя, оно явно выра-жается через значения функции на нижнем слое.

un+1m = un

m −bτ

ah(un

m+1 − unm) +

Cτ

a; m = 0,±1,±2, . . . ; n = 0, 1, 2, . . . .

Такая схема называется явной. При известных значениях u в узлах ну-левого слоя u0

m = ϕ0(xm) формула позволяет последовательно получитьзначения искомой функции в узлах на первом, втором и последующих сло-ях.

Совокупность узлов, используемых в разностном уравнении, заменяю-щем дифференциальное, принято называть шаблоном. В соответствии счислом используемых узлов шаблон может быть “двухточечным”, “трех-точечным”, “четырехточечным” и т.д. По названию шаблона и разностнаясхема соответственно может быть “двухточечная”, “трехточечная”, “четы-рехточечная” и т.д. Количество слоев по t в шаблоне определяет еще одноназвание (и соответственно шаблона): “двухслойная”, “трехслойная” и т.д.

При аппроксимации производных в (70.8) использовались точки (n,m),(n,m + 1), (n + 1, m), изображенные на рис. 70.3,a, в соответствии с кото-рыми, используемый в явной двухслойной, трехточечной разностной схеме(70.8) шаблон может быть назван “правым явным уголком”.

2) Аппроксимируя уравнения (69.23) по формулам (70.1) и (70.5), полу-чим:

(70.9)

{aun+1

m − unm

τ+ b

unm − un

m−1

h= C; m = 0,±1, . . . ; n = 0, 1, . . .

u0m = ϕ0(mh); m = 0,±1,±2, . . .

.

Шаблон для этой также явной двухслойной, трехточечной разностнойсхемы изображен на рис. 70.3,b и может быть назван “левым явным угол-ком”.


(n,m) (n,m+1)

(n+1,m)

(a)

(n,m)

(n+1,m)

(n,m-1)

(b)

(n+1,m)

(n,m-1) (n,m) (n,m+1)

(c)

Рис. 70.3

3) Если в задаче I для аппроксимации производной (∂u/∂x)nm взять “цен-

тральную” разность (unm+1 − un

m−1)/ (2h), т.е. воспользоваться формулой(70.6), получим следующую разностную схему, использующую двухслой-ный четырехточечный шаблон, изображенный на рис. 70.3,c:

(70.10)

{aun+1

m − unm

τ+ b

unm+1 − un

m−1

2h= C; m = 0,∓1, . . . ; n = 0, 1, . . .

u0m = ϕ0(mh); m = 0,∓1,∓2 . . .

.

Если использовать для аппроксимации производной (∂u/∂t)nm централь-

ную разностную производную (70.3), получим трехслойные разностные схе-мы, для расчета по которым необходимо знать значения искомой функциина двух первоначальных временных слоях. У нас же функция известнана одном (нулевом) слое. Существуют приемы определения функции и напервом слое, однако мы их и, следовательно, трехслойные схемы в этомразделе рассматривать не будем.

70.3. Смешанная задачаВ этой задаче определяем начальные условия на нулевом временном

слое и граничные условия на нулевом слое по x. Для ее решения наряду сявными схемами (70.8-70.10) могут быть использованы еще следующие двесхемы.

4) Аппроксимировав производные в узле "n+1,m"по формулам (70.1) и(70.4), получим

(70.11)

aun+1

m − unm

τ+ b

un+1m+1 − un+1

m

h= C; m = 0, 1, . . . ; n = 0, 1, . . .

u0m = ϕ0(mh); m = 0, 1, . . .un

0 = f0(nτ), n = 0, 1, 2, . . .

5) Используя аппроксимацию производных по формулам (70.1) и (70.5),

24

(n+1,m)

(n,m)

(n+1,m+1)

(a)

(n,m)

(n+1,m)(n+1,m-1)

(b)

Рис. 70.4

получим(70.12)

aun+1

m − unm

τ+ b

un+1m − un+1

m−1

h= C; m = 0, 1, . . . ; n = 0, 1, 2, . . .

u0m = ϕ0(mh), m = 0, 1, 2, . . .un

0 = f0(nτ), n = 0, 1, 2, . . .

Здесь, в отличие от явных схем (70.8–70.10), используются шаблоны(рис. 70.4), в которых на верхнем слое имеется не одна, а две точки и зна-чения функции u в каждой из них не могут быть выражены только череззначения u на нижнем слое. Такие схемы называются неявными. Шабло-ны, приведенные на рис. 70.4, могут быть соответственно названы: "правыйнеявный уголок" и "левый неявный уголок".

Хотя формально схемы (70.11) и (70.12) неявные, фактически при рас-чете смешанной задачи Коши они ведут себя как явные.

Действительно, выразим un+1m+1 из (70.11):

un+1m+1 = un+1

m − ha

bτ(un+1

m − unm) +

Ch

b, n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1, 2, . . .

Подставляя вместо номера временного слоя n значение 0, получаем фор-мулу для вычисления значений искомой функции u на первом временномслое через решение на нулевом слое, которое определяется из начальныхусловий.

u1m+1 = u1

m −ha

bτ(u1

m − u0m) +

Ch

b, m = 0, 1, 2, . . .

Затем аналогично рассчитываются значения u в узлах второго слоя ит.д.

Подобным же образом приводится решение задачи и по схеме "левыйнеявный уголок"(70.12).

К неявной схеме, использующей центральную разностную производнуюпо x, относится все то, что было сказано о трехслойной явной разностнойсхеме.

70 Практика – Решение дифференциальных уравнений 25

70. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениедифференциальных уравнений первогопорядка

Разберите решение примеров, приведенных в лекции 69, и выполнитесамостоятельную работу.

Самостоятельная работа

Проверьте, является ли данная (написана слева) функция решениемуравнения (написано справа):

Пример 70.1. z = y ln(x2 − y2);1

x

∂z

∂x+

1

y

∂z

∂y=

z

y2.

Пример 70.2. u = arctgy

x;

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

Пример 70.3. u = cos(x− y) + ln(x+ y);∂2u

∂y2=∂2u

∂x2.

Пример 70.4. u = arcsin(x+ ay);∂u

∂y= a

∂u

∂x.

Пример 70.5. u = et sin x;∂u

∂t+∂2u

∂x2= 0.

Пример 70.6. u = cos(xy) + y2; u′′

xx + u′

y + y2u = y4.

Проверьте, является ли функция z = z(x, y), заданная неявно (написанаслева), интегралом дифференциального уравнения (написанного справа).

Пример 70.7. z2x− yz + x2 = 0; z′′

xy(2xz − y) + 2xz′

xz′

y + 2zz′

y = z′

x.

Пример 70.8.z

y− x

z= 1; z

′′

xy − z′

x + z′

y = 1.

Решите уравнения методом непосредственного интегрирования.

Пример 70.9.∂2u

∂x2=x

y.


∂x2∂y= 1.

Пример 70.11. y∂u

∂x= x+ y.

26


∂x∂y=

x2

1 + y2.


∂x∂y=

y

1 + y2.

Пример 70.14.∂2z

∂x∂y=

y√1− x2

.

Пример 70.15.∂3V

∂x∂y∂z= xzexy.

71. ЛЕКЦИЯ – Дифференциальные иразностные операторы

Понятие о дифференциальных и разностных операторах. Сравне-ние сеточных функций. Сходимость решения разностной задачи крешению дифференциальной задачи. Аппроксимация дифференци-альной задачи разностной. Устойчивость разностных схем. Исследо-вание устойчивости разностных схем. Условие Куранта, Фридрихса,Леви. Условие Неймана

71.1. Понятие о дифференциальных иразностных операторах. Сравнениесеточных функций

Будем записывать дифференциальные задачи в символическом опера-торном виде

(71.1) Lu = f,

где L — заданный дифференциальный оператор, применяемый к функцииu, а f — заданная правая часть, не содержащая u. Запись (71.1) включаетв себя как дифференциальное уравнение, так и дополнительные условия.Для примера отметим, что в смешанной задаче Коши II под оператором Lи правой частью f подразумеваются следующие выражения :

Lu =

a∂u

∂t+ b

∂u

∂x, 0 6 x 6∞, 0 6 t 6∞,

u(0, x), 0 6 x <∞,u(t, 0), 0 6 t <∞,

71 Лекция – Дифференциальные и разностные операторы 27

f =

c,ϕ0(x), 0 6 x <∞,f0(t), 0 6 t 6<∞.

В задаче Коши I в Lu и f отсутствует последняя строка и x меняется винтервале (−∞,∞).

По аналогии с записью (71.1) дифференциальной задачи можно и со-ставленные для нее разностные задачи записать в символическом опера-торном виде

(71.2) Lhu(h) = f (h).

Здесь Lh означает символический разностный оператор, примененныйк искомой сеточной функции u(h), f (h) — правая часть, не содержащая u(h).Индексы h в (71.2) означают, что входящие в (71.2) выражения зависят отh.

В качестве примера приведем выражения для левой и правой частейоператорного уравнения (71.2) для схемы (70.11):(71.3)

Lhu(h) =

aun+1

m − unm

τ+ b

un+1m+1 − un+1

m

h, m = 0, 1, . . . , n = 0, 1, . . .

u0m, m = 0, 1, . . .un

0 , n = 0, 1, . . .

f (h) =

Cϕ0(mh), m = 0, 1, 2, . . .f0(nτ), n = 0, 1, 2, . . .

Соответственно можно найти выражения для Lhu(h) и f (h) и для всех

остальных рассмотренных разностных схем.Рассмотрим теперь вопрос о сравнении сеточных функций. Пусть имеет-

ся некоторая сеточная функция f (h), принимающая на заданном множествеузлов (tn, xm) дискретные значения f (h)(tn, xm). Напомним, что мы пишему функции f один индекс h, поскольку мы условились считать, что шаг повторой переменной τ = τ(h), а следовательно, сетка Dh и заданные на нейсеточные функции в итоге определяются одним параметром h. Для тогочтобы сравнить эту функцию с другой сеточной функцией ϕ(h), заданнойна том же множестве узлов, нужно определить, как это сделать, по ка-ким признакам проводить сравнение. Естественно, что способов сравненияможет быть много.

Мы всегда будем проводить такое сравнение по точной верхней грани.Точной верхней гранью sup

n,m|fh(t

n, xm)| сеточной функции f (h) называется

наибольшее значение модуля этой функции, взятого по всем узлам сетки.

28

Введем для supn,m|fh(t

n, xm)| сокращенное обозначение

(71.4) ||f (h)|| = supn,m|fh(t

n, xm)|.

Таким образом, мерой отклонения двух сеточных функций f (h) и ϕ(h)

друг от друга является величина

||f (h) − ϕ(h)|| = supn,m|fh(t

n, xm)− ϕh(tn, xm)|.

Величина ||f (h)|| является обобщением понятия абсолютной величинычисла и, следовательно, должна удовлетворять соотношениям: ||f (h) ++ ϕ(h)|| 6 ||f (h)||+ ||ϕ(h)||, ||λf (h)|| = |λ| · ||f (h)||, где λ — число.

71.2. Сходимость решения разностной задачик решению дифференциальной задачи

Определение 71.1. Решение u(h) разностной задачи (71.2) сходитсяпри сгущении сетки к решению [u]h соответствующей дифференциальнойзадачи (71.1) с порядком hk, если

(71.5) || [u]h − u(h)|| 6 chk, c > 0, k > 0.

При этом говорят, что разностная схема имеет k-ый порядок точности.Очевидно, что при h→ 0 (а на основании определения функции τ = τ(h) иτ → 0) величина || [u]h−u(h)|| → 0, т.е. значения решения разностной задачиu(h) во всех узлах сетки Dh, стремятся к соответствующим значениямрешения дифференциальной задачи [u]h.

Как мы уже отмечали, сходимость является основным требованием,предъявляемым к разностным схемам. Естественно, что только используядля решения задачи (71.1) сходящиеся разностные схемы, можно получитьпри малых h и, соответственно, τ решение этой задачи с необходимой точ-ностью. Непосредственное исследование сходимости является чрезвычайнотрудной задачей и может быть проведено лишь в специально подобранныхслучаях, однако, как показывается в теории разностных схем, эту задачуможно свести к двум более простым, а именно к установлению аппрокси-мации дифференциальной задачи разностной и исследованию устойчивостипоследней.

Предположим, что разностная задача (71.2) имеет единственное реше-ние u(h). В общем случае при подстановке в (71.2) значений сеточной функ-ции [u]h, соответствующих значениям точного решения дифференциальной


задачи в узлах сетки, мы не получим тождества, поскольку [u]h лишь в ис-ключительных случаях может совпасть с u(h). Уравнение (71.2) при подста-новке в него [u]h будет удовлетворяться приближенно с точностью до неко-торой величины δf (h), называемой ошибкой аппроксимации, или невязкой

(71.6) Lh [u]h = f (h) + δf (h).

Если невязка δf (h) → 0 при h→ 0, τ → 0, говорят, что разностная схе-ма (71.2) аппроксимирует дифференциальную задачу (71.1) на ее решенииu.

Рассмотрим теперь разностную задачу (71.2) и внесем в нее какое-либомалое возмущение. Если при этом решение возмущенной разностной за-дачи будет незначительно отличаться от решения невозмущенной задачи,разностная схема (71.2) является устойчивой относительно малых возму-щений. В теории разностных схем доказывается теорема, что если разност-ная задача аппроксимирует дифференциальную, а используемая разност-ная схема устойчива, то решение такой разностной задачи сходится к реше-нию дифференциальной задачи. Таким образом, в этом случае из аппрок-симации, т.е. условия

δf (h) → 0 при h→ 0, τ → 0,

следует сходимость u(h) → [u]h при h→ 0, τ → 0.Итак, чтобы построить разностную схему (71.2), решение которой схо-

дится к решению соответствующей дифференциальной задачи (71.1), нуж-но, чтобы, во-первых, она аппроксимировала (71.1) и, во-вторых, былаустойчивой.

Приведенное предложение является содержанием основной теоремы те-ории разностных схем, более точно сформулированной в 71.4.

Рассмотрим теперь, как определяется величина невязки и дадим болееточный смысл понятию аппроксимации.

71.3. Аппроксимация дифференциальнойзадачи разностной

Дифференциальные задачи включают в себя как непосредственно диф-ференциальное уравнение, так и дополнительные условия. Мы заменилиэти задачи конечно-разностными, при этом для каждой из задач делалисьразличные замены. Чем же отличаются рассмотренные разностные схемы,составленные нами для одной и той же задачи? Во-первых, точностью, скоторой конечно-разностная задача заменяет (приближает, аппроксимиру-ет) дифференциальную. Установить точность этого приближения можно

30

оценив ошибку аппроксимации δf (h), входящую в (71.6). Это можно лег-ко сделать на основании оценок аппроксимации производных в формулах(70.1–70.6).

Определение 71.2. Разностная задача (71.2) аппроксимирует диффе-ренциальную задачу (71.1) на решении u с порядком hk, если невязка δf (h)

удовлетворяет следующему соотношению

(71.7) ||δf (h)|| 6 chk,

k > 0, c > 0 и не зависит от h.

Напомним, что шаг по второй переменной τ = τ(h) при h→ 0 и τ → 0.Из (71.7) очевидно, что при h→ 0 и ||δf (h)|| → 0.

Выясним, например, каков будет порядок аппроксимации разностнойсхемы (70.8) на решении u дифференциальной задачи Коши. В начальноеусловие производные не входят, следовательно, невязка определяется толь-ко отличием дифференциального и разностного уравнений. Подставляя ре-шение дифференциального уравнения [u] в разностное уравнение (70.8) иучитывая (70.7), получим

a

(∂ [u]

∂t

)n

m

+ b

(∂ [u]

∂x

)n

m

= C +O(τ) + O(h).

Поскольку [u] является точным решением (69.22), следовательно,

a

(∂ [u]

∂t

)n

m

+ b

(∂ [u]

∂x

)n

m

= C.

Итак, разностное уравнение удовлетворяется с точностью O(τ) + O(h),т.е. решение дифференциальной задачи Коши [u] удовлетворяет разностнойсхеме (70.8) с невязкой

δf (h) =

{O(τ) +O(h)0

.

Таким образом, дифференциальное уравнение в рассматриваемой намисхеме приближенного решения задачи Коши аппроксимируется с первымпорядком по h и по τ . А поскольку начальные условия выполняются точ-но, то и вся дифференциальная задача Коши аппроксимируется разностнойсхемой (70.8) с первым порядком по h и по τ . Все сказанное о погрешностиаппроксимации полностью относится и к схеме (70.9), однако в дальнейшеммы увидим, что между этими схемами имеется принципиальное отличие.Определив подобным же образом невязку, возникающую при замене задачиКоши схемой (70.10), получим, что эта схема аппроксимирует рассматри-ваемую дифференциальную задачу с первым порядком по τ и вторым по h.


В неявных схемах (70.11), (70.12) ошибки аппроксимации очевидно имеюттот же порядок, что и в явных (70.8), (70.9).

Итак, мы определили порядок аппроксимации всех введенных схем. Дляэтого было достаточно провести соответствующие оценки по формуле Тей-лора всех ошибок, возникающих из-за замены производных их разностны-ми аналогами, и определить слагаемое в задаче, имеющее наименьший по-рядок аппроксимации, который и определяет порядок аппроксимации диф-ференциальной задачи разностной схемой в целом. Гораздо сложнее обсто-ит вопрос с исследованием устойчивости разностных схем, к которому мытеперь переходим.

71.4. Устойчивость разностных схемОпределение 71.3. Разностная схема (71.2) называется устойчивой,

если существуют такие положительные числа h0 и δ, что при любомh < h0 и любом ||ε(h)|| < δ разностная задача

(71.8) Lhw(h) = δf (h) + ε(h),

полученная из задачи (71.2) добавлением к правой части возмущения ε(h),имеет единственное решение w(h), отклоняющееся от решения u(h) невоз-мущенной задачи (71.2) на сеточную функцию w(h) − u(h), удовлетворяю-щую оценке

(71.9) ||w(h) − u(h)|| 6 C1||ε(h)||,где C1 — постоянная, не зависящая от h.

Это определение означает, что малое возмущение правой части задачи(71.2) приводит к малому возмущению решения u(h).

В теории разностных схем, как мы уже отмечали, доказывается сле-дующая теорема: Если разностная схема (71.2) аппроксимирует диффе-ренциальную задачу (71.1) на решении u с порядком hk и устойчива, торешение разностной задачи u(h) сходится с тем же порядком к решению[u]h дифференциальной задачи и

(71.10) ||[u]

h− u(h)|| 6 C · C1h

k,

где C и C1 — числа, входящие в соотношения (71.9) и (71.5).Из этой теоремы следует также сделанный ранее вывод, что для того,

чтобы установить, будет ли решение, полученное по используемой раз-ностной схеме, сходиться к точному решению дифференциальной задачи,нужно установить, во-первых, является ли разностная схема аппрокси-мирующей и, во-вторых, исследовать ее на устойчивость.Определить по-рядок аппроксимации, как мы видели, несложно. Рассмотрим теперь, как

32

можно исследовать схему на устойчивость, т.е. проверить, как она реаги-рует на малые возмущения, вносимые в ее правую часть f (h).

Разностная задача, записанная в символическом виде (71.2), включаетв себя разностную аппроксимацию дифференциального уравнения и допол-нительных условий. Под возмущением правой части ε(h) можно пониматьлюбые малые возмущения, возникающие в каком-либо узле сетки в процес-се решения задачи. Эти возмущения могут быть вызваны так называемы-ми ошибками округления. Действительно, любой расчет, в том числе и насамой современной вычислительной машине, ведется с конечным числомзначащих цифр. При этом последняя из значащих цифр округляется. Иследовательно, система (71.2) в любом узле сетки удовлетворяется неточ-но. Вызванные ошибками округления неточности могут быть приняты завозмущение ε(h) правой части разностной схемы (71.2). При этом неважно,где возникают ошибки, в правой части разностных уравнений или в ко-эффициентах оператора Lhw

(h). Они всегда могут быть условно снесены вправую часть и включены в ε(h).

Таким образом, для того, чтобы определить, является ли устойчивойразностная схема, необходимо внести возмущение в процессе решения за-дачи и посмотреть, остается ли u(h) ограниченным или неограниченно воз-растает с уменьшением шага h. В первом случае схема является нечувстви-тельной к малым возмущениям и, следовательно, устойчивой, во втором— неустойчивой. Такое исследование, естественно, всегда может быть про-ведено экспериментально на машине. В отличие от обыкновенных диффе-ренциальных уравнений при решении рассматриваемых дифференциаль-ных уравнений в частных производных мы имеем двумерную сетку Dh,и устойчивость схемы определяется не только количеством используемыхузлов и последовательностью их включения в расчет, но и их взаимнымрасположением, т.е. соотношением шагов сетки τ и h.

71.5. Исследование устойчивости разностныхсхем. Условие Куранта, Фридрихса,Леви. Условие Неймана

В теории разностных схем существует необходимое условие устойчиво-сти разностной схемы, называемое условием Куранта, Фридрихса, Леви(КФЛ), заключающееся в следующем:

Для того чтобы аппроксимирующая разностная схема была устойчи-вой, а следовательно, ее решение сходилось к решению соответствующейдифференциальной задачи, необходимо, чтобы область зависимости дляразностной схемы охватывала область зависимости для дифференциаль-ного уравнения.


(n+1,m)

(n,m)(n,m-2) (n,m-1) (n,m+1) (n,m+2)

τ

(a)

(n+1,m)

τ

(n,m)

(n+1,m+1)

(n+1,m+1)(n+1,m)

(n,m+1)

(b)

Рис. 71.1

Поясним это условие на примере.Ранее было получено общее решение линейного уравнения с постоян-

ными коэффициентами a, b, c (69.23) в виде бегущей волны u − (c/a)t == f (x− (b/a)t), согласно которому величина u − (c/a)t сохраняется вдольхарактеристики x − (b/a)t = const. И, следовательно, решение задачи вкакой-либо точке (tn+1, xm) n + 1 -слоя определяется значением величиныu− (c/a)t в той точке предыдущего слоя ⊗, через которую проходит харак-теристика, приходящая в рассматриваемую точку n + 1 -слоя (рис. 71.1)(область зависимости для дифференциального уравнения). В явной схеме(70.8) решение в точке (tn+1, xm) определяется его значениями в точках(n,m) и (n,m + 1) (область зависимости разностной схемы), что противо-речит общему решению, и условие КФЛ не выполняется, а следовательно,схема "правый явный уголок"для уравнения (69.22) абсолютно неустойчи-ва.

Из рис. 71.1,a видно, что для схемы "левый явный уголок"(70.9) точка⊗ располагается между точками (n,m − 1) и (n,m), если h 6 (b/a)τ , и,следовательно, схема неустойчива при h < (b/a)τ , так как условие КФЛпри этом не выполняется, точка ⊗, из которой приходит информация в(n + 1, m), находится вне отрезка [(n,m − 1); (n,m)]. То же имеет место идля явной схемы с центральной разностью (70.10).

Рассмотрим теперь неявные разностные схемы (70.11) и (70.12), исполь-зуемые для решения смешанной задачи Коши. Из рис. 71.1,b видно, чтоусловие КФЛ для схемы "правый неявный уголок"(70.11) выполняется, ес-ли h < (b/a)τ , и, следовательно, при h > (b/a)τ схема неустойчива. Всхеме "левый неявный уголок"(70.12) точка ⊗ при любых соотношенияхшагов τ/h и любых b/a находится между участвующими в расчете точка-ми (n+ 1, m) и (n,m+ 1), и, следовательно, условие КФЛ выполняется.

34

Разностные схемы, в которых условия КФЛ не выполняются, неустойчи-вы и не могут использоваться для получения решения задачи с необходимойточностью. Однако это условие является лишь необходимым, а не доста-точным. Схемы, для которых условие КФЛ выполнено, могут оказаться инеустойчивыми.

Конечно, проверка схемы на устойчивость может быть проведена экспе-риментально после написания программы расчета. Для этого необходимов процессе решения задачи внести возмущение и проверить, остается лионо ограниченным или неограниченно возрастает. В первом случае схемаявляется нечувствительной к малым возмущениям и, следовательно, устой-чивой, во втором — неустойчивой. Если используемая схема неустойчива, суменьшением шага решение не будет сходиться и, как правило, будет носитьколебательный характер с быстровозрастающей амплитудой, что приведетк так называемому переполнению значения переменных и автоматическо-му аварийному завершению (авосту) работы программы. Естественно, чтожелательно быть убежденным заранее в устойчивости выбранной схемы досоставления программы расчета на машине, чтобы не тратить зря времяна ее составление, если используемая схема окажется неустойчивой.

Мы уже рассмотрели одно условие, позволяющее отсеивать непригод-ные схемы, — это условие КФЛ. Рассмотрим еще одно так называемоеусловие Неймана, которое является необходимым и достаточным услови-ем устойчивости схемы по отношению к возмущениям специального типа.И если схема оказывается неустойчивой по отношению к таким возмуще-ниям, то она, очевидно, неустойчива и к возмущениям более общего вида.Разностные уравнения (70.8–70.12) являются неоднородными, а возмуще-ние решения будет удовлетворять однородному уравнению. Действительно,если подставить вместо un

m в уравнения (70.8–70.12) unm +δun

m, то посколькуun

m удовлетворяет уравнениям (70.8–70.12), возмущения будут удовлетво-рять однородным разностным уравнениям:для схемы "правый явный уголок"(70.8)

(71.11) aδun+1

m − δunm

τ+ b

δunm+1 − δun

m

h= 0,

для схемы "левый явный уголок"(70.9)

(71.12) aδun+1

m − δunm

τ+ b

δunm − δun

m−1

h= 0,

для явной схемы с центральной разностью по x (70.10)

(71.13) aδun+1

m − δunm

τ+ b

δunm+1 − δun

m−1

2h= 0,


для схемы "правый неявный уголок"(70.11)

(71.14) aδun+1

m − δunm

τ+ b

δun+1m+1 − δun+1

m

h= 0,

и, наконец, для схемы "левый явный уголок"(70.12)

(71.15) aδun+1

m − δunm

τ+ b

δun+1m − δun+1

m−1

h= 0.

Зададимся возмущением специального вида

(71.16) δunm = λn · eiωmh,

где i — мнимая единица, w — частота возмущения, λ — в общем случаекомплексное число.

Очевидно, что на нулевом временном слое (n = 0) возмущение, опреде-ляемое формулой (71.16), является гармоническим колебанием с частотойω и амплитудой, равной по модулю единице:

(71.17) δu0m = λ0eiωmh = cosωxm + i sinωxm.

Таким образом, рассматривается задача Коши с начальными данными(71.17). Подставляя (71.16) в какое-либо уравнение для возмущений (71.11–71.15), получим для определения амплитуды λ так называемое характери-стическое уравнение.

Определение 71.4. Разностная схема называется устойчивой по от-ношению к возмущениям специального вида (71.16), если при h→ 0, τ → 0решение характеристического уравнения остается ограниченным по мо-дулю, т.е.

(71.18) |λn| 6 N,

где N — заданное число.

Равносильное (71.18) неравенство

(71.19) |λ| 6 1 + cτ,

где c — постоянная, и называется условием Неймана.Действительно, из (71.19) следует:

|λn| 6 (1 + cτ)T/τ6 lim

τ→0(1 + cτ)T/τ = ecT

6 N

для любого времени t = nτ = T .Геометрически условие устойчивости Неймана означает, что множество

значений λ, определяемых характеристическим уравнением для любого ω,на комплексной плоскости λ должно принадлежать кругу единичного ра-диуса с центром в начале координат λ = 0.

36

Проведем с помощью условия Неймана исследование устойчивости рас-смотренных нами схем. При этом, как правило, будем считать τ = rh,r = const.

Схема (70.8) — "правый явный уголок".Подставив (71.16) в уравнение возмущений (71.11) и сократив затем на

λn · eiωmh, получим характеристическое соотношение для λ:

aλ− 1

τ+ b

eiωh − 1

h= 0.

Откуда

(71.20) λ(ω) = 1 +b

a(r − reiωh).

На комплексной плоскости λ, рис. 71.2,a, точка, определяемая формулой(71.20), при изменении ω пробегает окружность радиуса (b/a)r с центромв точке λ = 1 + (b/a)r (пунктир) и ни при каких r не принадлежит кру-гу единичного радиуса. Условие Неймана не выполняется ни при каких rи, следовательно, схема (70.8) является абсолютно неустойчивой. И хотя,как мы установили ранее, она аппроксимирует дифференциальное уравне-ние (69.22) с первым порядком по h и τ , решение, сходящееся к решениюдифференциальной задачи Коши, по ней не может быть получено ни прикаком соотношении шагов r = τ/h. Кстати, как мы видим, для этой схемыне выполняется и необходимое условие КФЛ.

Схема (70.9) — "левый явный уголок".Подставив (71.16) в (71.12), получим характеристическое уравнение для

этой схемы:

aλ− 1

τ+ b

1− e−iωh

h= 0,

решением которого будет

(71.21) λ = 1− b

a(r + re−iωh).

На комплексной плоскости λ точка, определяемая формулой (71.21), приизменении ω пробегает окружность радиуса r с центром в точке: λ = 1 −−(b/a)r. Очевидно, что условие Неймана (71.16) выполняется, если(b/a)r 6 1, τ 6 (a/b)h, (рис. 71.2,a), и не выполняется, если (b/a)r > 1,τ > (a/b)h, (рис. 71.2,b).

Таким образом, схема (70.9) устойчива при соотношении шаговr = (τ/h) 6 (a/b) и неустойчива при r = (τ/h) > (a/b). Те же условияустойчивости этой схемы были и по КФЛ.

Явная схема (70.10) с центральной разностью по x.


1+ba r10

λ

(a)

1+ba r

λ

01

(b)

λ

11-r0

(c)

Рис. 71.2

Подставив (71.16) в (71.13) получим характеристическое уравнение дляэтой схемы:

aλ− 1

τ+ b

eiωh − e−iωh

2h= 0,

или, поскольку eiωh − e−iωh = 2i sinωh, (лекция 33)

aλ− 1

τ+ b

i

hsinωh = 0.

Из этого уравнения имеем

(71.22) λ = 1− i τbha

sinωh.

Модуль комплексной величины λ при (τ/h) = r:

(71.23) |λ| =√

1 + r2b2

a2sin2 ωh > 1.

Следовательно, для схемы (70.10) условие Неймана не выполняется нипри каком r, схема неустойчива при любом соотношении шагов (τ/h) = r == const, хотя необходимое условие КФЛ выполнялось при (τ/h) 6 (a/b).Однако, если при h→ 0 шаг по времени изменяется как h2, так что τ = rh2

и, следовательно, самая далекая от λ = 0 точка (71.22) при ωh = π/2 имеетмодуль:

(71.24) |λ|ωh=π/2 =

√

1 +

(τb

ha

)2

=

√1 +

b2

a2rτ 6 1 +

rb2

2a2τ.

В (71.24) для√

1 + (b2/a2)rτ мы взяли лишь два члена разложения этойфункции в ряд по степеням τ . Из (71.24) видно, что условие Неймана (71.16)

38

для схемы (70.10) оказывается выполненным при соотношении шагов:

τ

h2= r.

Это условие является более жестким, чем τ/h = r, условием на размершага по времени τ в сравнении с шагом по пространственной координате h.В расчетах по этой схеме для получения необходимой точности требуетсяиспользовать очень маленький шаг по времени, что, естественно, требуетбольшого суммарного времени для решения задачи.

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости неявных схем.Схема (70.11) — "правый неявный уголок".После подстановки (71.16) в (71.14) и упрощений получаем характери-

стическое уравнение для этой схемы

aλ− 1

τ+ b

λ(eiωh − 1)

h= 0.

Откуда

λ =1

1− b

ar +

b

areiωh

.

После преобразований найдем, что

|λ| = 1√1 + 4r

b

a

(b

ar − 1

)sin2 ωh

2

,

при (b/a)r < 1 или τ < (a/b)h условие Неймана не выполнено, при(b/a)r > 1 или τ > (a/b)h — выполнено. То же самое мы имеем и изусловия КФЛ для этой схемы.

Схема (70.12) — "левый неявный уголок".Характеристическое уравнение для этой схемы (после подстановки

(71.16) в (71.15) и упрощений) будет

aλ− 1

τ+ b

λ(1− e−iωh)

h= 0.

Откуда

(71.25) λ =1

1 +b

ar − b

are−iωh

.


Схема абсолютно устойчива, так как

|λ| = 1√(1 + 2r

b

asin2 ωh

2

)2

+ r2b2

a2sin2 ωh

6 0.

при любом r.Аналогичный вывод мы имеем и по условию КФЛ.Таким образом, рассмотрены все введенные разностные схемы для ли-

нейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Сточки зрения устойчивости более предпочтительными оказались неявныесхемы. В последующих разделах мы увидим, что это справедливо и длядругих уравнений математической физики.

Если задача нелинейная, то прежде всего проводится линеаризация,т.е. рассматриваются малые возмущения решения. В этом случае, еслиотбросить малые величины высших порядков, получим линейную задачус переменными коэффициентами. Здесь обычно пользуются так называе-мым "принципом замораживания коэффициентов", согласно которому пе-ременные коэффициенты сеточных уравнений заменяются их значениями вкакой-либо произвольной фиксированной точке, принадлежащей расчетнойобласти. Здесь надо рассматривать всю совокупность уравнений с постоян-ными коэффициентами, соответствующими различным точкам расчетнойобласти. Если в задачу входят и краевые условия, то прежде всего рассмат-ривают задачу без них, т.е. задачу Коши.

В результате исследование схемы производится с помощью так назы-ваемого "принципа снижения уровня сложности", который заключается вследующем: для того чтобы схема хорошо работала на каком либо уровнесложности, необходимо, чтобы она хорошо работала и на менее сложномуровне. Задачей самого простейшего уровня сложности очевидно являетсязадача Коши для линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Таким образом, исследованные схемы для простейших задач, описывае-мых линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, могут бытьиспользованы и для более сложных задач математической физики, описы-ваемых уравнениями первого порядка в частных производных. Разумеется,что особое внимание исследованию свойств схемы должно уделяться присоздании и использовании новых разностных схем. Однако и все те, ктоиспользует уже известные разностные схемы решения дифференциальныхзадач, должны быть в какой-то степени знакомы с такими чрезвычайноважными понятиями теории разностных схем как аппроксимация, устой-чивость, сходимость, чтобы суметь разобраться в полученных результатахрасчета и правильно оценить их точность.

40

71. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениезадач переноса методом сеток

71.1. Вычислительная программа — решениеметодом сеток задач переноса

При решении дифференциальных уравнений в частных производныхметодом сеток необходимо проделывать огромное количество арифметиче-ских операций, причем для получения более точного результата необходи-мо уменьшать значения шага сетки h, увеличивая при этом объем вычис-лений. Для получения приемлемого результата необходимо использоватьЭВМ. Для современных ЭВМ существует большое количество программ-ных комплексов, решающих задачи подобного рода. Для решения задачпереноса можно выбрать любой язык программирования и в рамках этогоязыка разработать пакет программ, реализующий приведенные конечно-разностные схемы и выполняющий графическую визуализацию полученно-го решения. К таким языкам программирования относятся: QBasic, Fortran,Pascal, C++, Java, Visual Basic и т.д. При разработке таких пакетов основ-ную трудоемкость составляет графическая часть пакета. Кроме того, суще-ствует другой путь, состоящий в применении стандартных специализиро-ванных пакетов, имеющих встроенный графический интерфейс. В даннойработе рассмотрим два таких пакета: Excel и MathCad. Для решения слож-ных задач в оба пакета встроены алгоритмические языки программирова-ния. Во всемирно известный табличный процессор Excel встроен стандарт-ный алгоритмический язык программирования Visual Basic, имеющий са-мостоятельный интерфейс. В пакет MathCad встроен собственный простойязык программирования. Однако для реализации большинства простых яв-ных схем в рамках данных пакетов необязательно использовать алгорит-мические языки программирования. Такие задачи решаются встроеннымив пакеты средствами.

В данной работе для решения дифференциальных задач мы будем ис-пользовать наиболее удобные, с точки зрения авторов, пакеты Excel иMathCad. Предполагается, что читатели уже знакомы с работой в данныхпакетах. Для повторения или изучения работы в данных пакетах предла-гаются следующие работы [3,4,5,12,14,18].

Продемонстрируем методы решения уравнения переноса с использова-нием пакета Excel и MathCad. Для этого рассмотрим задачу переноса, име-ющую аналитическое решение.

71 Практика – Решение задач переноса 41

Пример 71.1. Найти решение уравнения

(71.1)∂u

∂t+ (2et − x)∂u

∂x= 0,

удовлетворяющее условию u(x, 0) = x.

Р е ш е н и е: Составим систему обыкновенных дифференциальныхуравнений

dt

1=

dx

2et − x =du

0и находим два независимых первых интеграла этой системы следующимобразом: выбираем два независимых дифференциальных уравнения, инте-грируя которые и получим первые интегралы системы:

a)dt

1=du

0⇒ du = 0⇒ u = C1;

b)dt

1=

dx

2et − x ⇒dx

dt= 2et − x;

(71.2)dx

dt+ x = 2et.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобыего решить, надо сначала решить однородное уравнение:

dx

dt+ x = 0⇒ dx

dt= −x⇒ dx

x= −dt

ln x− lnC = −t⇒ lnx

C= −t⇒ x = Ce−t.

Теперь в полученном общем решении однородного уравнения заменимпроизвольную постоянную C на неизвестную функцию C(t) ("метод ва-риации произвольной постоянной"), затем выражение, полученное для x,подставим в исходное линейное уравнение (71.2) и найдем функцию C(t):

x = C(t)e−t ⇒ dx

dt+ C(t)e−t =

dC(t)

dte−t.

Подставим в уравнение (71.2):

dC(t)

dte−t − C(t)e−t = 2et − C(t)e−t ⇒ dC(t)

dt= 2et ⇒

⇒ dC(t) = 2e2tdt⇒ C(t) = e2t + C2 ⇒ x = (e2t + C2)e−t ⇒

⇒ x = et + C2e−t ⇒ C2 = xet − e2t.

42

Далее, исключая u, x, t из системы четырех уравнений C1 = u, C2 == xet − e2t, t = 0, u = x, находим: C1 = C2 + 1, следовательно, решениезаданного уравнения имеет вид:

(71.3) u(x, t) = xet − e2t + 1.

71.2. Решение задачи переноса в рамкахтабличного процессора Excel безиспользования программирования

Предполагается, что читатель уже знаком с основами использованиятабличного процессора Excel. В качестве примера воспользуемся задачей71.1. Для решения методом сеток выберем шаблон (70.9) "левый явныйуголок". Подставим в уравнение (70.9) a = 1, b = 2 · et − x, C = 0.

un+1m = un

m + (2 · et − x) · τh·(un

m−1 − unm

).

Начальные условия примут вид: u0m = xm. Ограничимся решением за-

дачи на области x ∈ [0, 1]. Для решения поставленной задачи входим втекстовый процессор Excel. Переименуем любой рабочий лист на "Уравне-ние переноса". Для этого дважды щелкаем на названии рабочего листа ипишем новое имя. Все дальнейшие действия производим на данном рабочемлисте. В первой строке (ячейка A1) пишем заглавие работы. В ячейки A2 иC2 записываем текст h и tau, комментирующий записываемые значения вячейки B2 и D2. В ячейках B2 и D2 записываем значения параметров сеткиh и tau. Именуем эти ячейки. Для этого щелкаем по ячейке B2 и переходимв поле "имя"(это поле в левом верхнем углу окна, где отображается адрестекущей ячейки), пишем вместо адреса ячейки имя переменной h или tauи нажимаем клавишу “Enter”. Заполняем теперь третью строку. В ячейкуA3 записываем текст t\x. Далее получаем массив абсцисс xm. Для этого вячейку B3 пишем число 0. В C3 пишем формулу =h. В ячейку D3 форму-лу = C3+h. Эту формулу продолжаем (применяем метод автозаполнения)до ячейки L3. Для продолжения формулы необходимо щелкнуть по ячейкеD3 и встать курсором мыши в правый нижний угол ячейки. При этом кур-сор изменяет вид на символ +. Нажимаем на левую кнопку мыши и тянемее вправо до ячейки L3. Массив координат узлов по пространственной ко-ординате x готов. Для заполнения массива координат узлов по временнойкоординате t проделаем аналогичные действия. В ячейку A4 пишем 0. Вячейку A5 - формулу = tau. В ячейку A6 - формулу =A5 + tau и продол-жаем ее до ячейки A14. В ячейках B4 и L4, получаем начальные условия.


Для этого в ячейки B4 пишем формулу = B3 и продолжаем ее до ячей-ки L4. Теперь займемся получением решения на n+ 1 временном слое приn = 0, 1, 2, ..., N − 1. Для получения решения уравнения переноса на левом

крае границы области, для аппроксимации производной∂u

∂xнеобходимо ис-

пользовать правую конечную разность.

un+10 = un

0 + (2 · etn − xm) · τh·(un

0 − un1

).

В ячейку B5 вводим следующую формулу:= B4 + (2 ∗EXP ($A5)−B$3) ∗ tau/h ∗ (B4−C4) и продолжаем ее вниз даячейки A14. Для получения решения во внутренних точках сетки в ячейкуC5 вводим следующую формулу: = C4 + (2 ∗ EXP ($A5) − C$3) ∗ tau/h ∗(B4−C4) и продолжаем ее влево до ячейки L5. Затем отпускаем мышку иснова продолжаем всю строку вниз до ячейки L14. Решение во всех узлахсетки получено.

Теперь займемся построением графиков функций U(t, x) при t=const,т.е. графиков функций одной переменной U = U(x, tn), n = 0, 1, ..., 10. Один-надцать графиков на одной диаграмме не смотрятся, поэтому построимграфики решения через один временной слой. Для этого скроем решенияна нечетных временных слоях. Выделяем нечетные строки с пятой до три-надцатой, в которых находится решение в нечетных временных слоях. Длявыделения этих строк необходимо нажать клавишу Ctrl и, не отпуская ее,нажать левую кнопку мыши на номерах выделяемых строк. Затем, нахо-дясь на любой выделенной строке, нажать правую кнопку мыши и в воз-никшем контекстном меню (зависящем от предыдущих действий) выбратьпункт Скрыть. При этом отмеченные строки превращаются в невидимые.Для выделения нужных строк можно применить фильтрацию данных припомощи простого или усиленного фильтра.

Теперь займемся построением графиков. Выделяем область данныхB3 : L14. Для этого щелкаем по ячейке B3, переходим на ячейку L14,нажимаем клавишу Shift и, удерживая ее, нажимаем левую кнопку мы-ши. Область B3 : L14 выделяется. На панели инструментов нажимаем зна-чок Мастер диаграмм и в возникшем меню шага 1 из поля Тип выби-раем Точечная и дважды щелкаем мышью на виде диаграммы: Точеч-ная диаграмма, со значениями, соединенными отрезками. В по-явившемся диалоговом окне шага 2 в поле Ряды в: нажимаем мышкойпереключатель в строках. Переходим на закладку Ряд и последователь-но в поле Имя изменяем имена рядов Ряд1, Ряд3, Ряд5, Ряд7 , Ряд9 на:t = 0; t = 0, 2; t = 0, 4; t = 0, 6; t = 0, 8; t = 1, 0. Для этого мышкойвыделяем старое название графика, например Ряд1, переходим мышкой вполе Имя и там пишем новое название - t = 0. После изменения всех имен

44

переходим к следующему шагу мастера диаграмм, нажимая мышкой накнопку Далее. На третьем шаге мастера диаграмм заполняем поля На-звание диаграммы: Решение задачи переноса; Ось X : X; Ось Y : U .Переходим к закладке линии сетки и устанавливаем флажки Основныелинии на оси Ox и Oy. Теперь можно нажать командную кнопку Готово.

Диаграмму можно редактировать. Для любого элемента диаграммыможно вызвать контекстное меню, нажав правую кнопку мыши и подводякурсор мыши к данному элементу, либо дважды щелкнуть левой кноп-кой мыши по выбранному элементу диаграммы. Переместим курсор мышик оси Ox. Пишется контекстная подсказка: Ось X(категорий). Вызываемконтекстное меню, нажав правую кнопку мыши, и в возникшем меню выби-раем пункт Формат Оси. Нажимаем закладку Шкала и изменяем поля:Максимальное значение на 1,0; Цена основных делений на 0,25. Ана-логично редактируем ось OY , устанавливаем поля Минимальное значе-ние на -6; Максимальное значение на 1; цена основных делений на 1.Теперь, находясь на области построения диаграммы, вызываем контекст-ное меню и выбираем пункт Формат области построения и в поле Цветвыбираем белый цвет. Подведя курсор к любому графику, можно изменитьцвет линии, толщину линии, вид и цвет маркера и т.д.

Теперь сравним полученные численные результаты с теоретическимирезультатами. Для этого вычислим теоретические значения функции u приt = 1. В ячейку B17 вводим формулу: = B3 ∗ EXP ($A$14) − EXP (2 ∗$A$14) + 1 и продолжаем ее до ячейки L17. На рис. 71.1 представлена та-блица с полученными результатами решения задачи 71.3. Сравнивая чис-ленное решение при t = 1 с теоретическим, можно отметить, что точностьчисленных значений удовлетворительная.

Для получения более высокой точности нужно уменьшить шаг сетки.Уменьшим в десять раз параметры сетки h и τ . Для этого удаляем по-строенную диаграмму и изменяем содержимое ячеек B2 и D2 на 0,01. Приэтом производится автоматический пересчет результатов для новой сеткина области x ∈ [0, 0.1], t ∈ [0, 0.1]. Выделяем область L3 : L14 и продолжаемее вправо до столбца CX. При этом в ячейке CX3 получается значениепространственной координаты x = 1. Выделяем область A14 : CX14 ипродолжаем ее до строки 104. В результате в нижней части таблицы полу-чаем очень большие значения искомой функции. Решение "развалилось".Ранее было показано, что данная конечно-разностная схема устойчива при

r =τ

h6

a

b. На области решения минимальное значение

a

b=

1

2et − x до-

стигается при t = 1 и x = 0. При этомa

b=

1

2e2≃ 0, 184. Следовательно,


Решение задачи переноса методом сетокh 0, 1 τ 0, 1t\x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,1 -0,22 -0,11 0 0,109 0,219 0,329 0,439 0,549 0,659 0,769 0,8790,2 -0,49 -0,37 -0,25 -0,13 -0,01 0,115 0,236 0,357 0,478 0,599 0,7200,3 -0,82 -0,68 -0,55 -0,42 -0,28 -0,15 -0,02 0,115 0,248 0,381 0,5150,4 -1,21 -1,07 -0,92 -0,77 -0,63 -0,48 -0,34 -0,19 -0,04 0,104 0,2510,5 -1,70 -1,54 -1,37 -1,21 -1,05 -0,89 -0,73 -0,57 -0,41 -0,25 -0,090,6 -2,28 -2,11 -1,93 -1,75 -1,57 -1,40 -1,22 -1,04 -0,87 -0,69 -0,510,7 -3,00 -2,80 -2,61 -2,41 -2,22 -2,02 -1,83 -1,63 -1,44 -1,24 -1,050,8 -3,86 -3,65 -3,44 -3,22 -3,01 -2,79 -2,58 -2,36 -2,15 -1,93 -1,720,9 -4,92 -4,68 -4,45 -4,21 -3,98 -3,74 -3,50 -3,27 -3,03 -2,80 -2,561,0 -6,20 -5,94 -5,68 -5,42 -5,16 -4,90 -4,64 -4,38 -4,13 -3,87 -3,61

Теоретическое решение задачи переноса при t = 1-6,39 -6,12 -5,85 -5,57 -5,30 -5,03 -4,76 -4,49 -4,21 -3,94 -3,67

Рис. 71.1

конечно-разностная схема будет устойчивой, если τ < 0, 184h. В ячейкуD2 запишем значение τ = 0, 0015. Продолжаем последнюю строку до 671.Сравнивая решение в 671 строке с теоретическим решением, видим иде-альное совпадение. Для построения графиков решения только на шестивременных слоях, необходимо скрыть все строки, кроме шести строк: 4,137, 271, 404, 538 и 671. Кроме того, необходимо скрыть еще и не нужныедля построения графиков столбцы. Для выделения множества подряд сто-ящих строк или столбцов, необходимо выделить первую строку (столбец)из непрерывной области, подойти при помощи бегунка к последней строке(столбцу), нажать кнопку Shift и удерживая ее нажать левую клавишумыши на последней строке (столбце).

Таким образом, для получения приемлемого результата и построенияграфиков полученного решения необходимо проделать большой объем ра-боты. Для многократного решения данной задачи такой метод не подходит.Для автоматизации процесса решения, необходимо использовать програм-мирование.

46

71.3. Решение задачи переноса в рамкахтабличного процессора Excel сиспользованием Visual Basic forApplication

Прежде напишем подпрограмму для построения графиков. Для полу-чения основных команд по построению графиков воспользуемся мастеромдиаграмм. Для этого выделяем область с данными для построения графи-ков. Войдем в меню Сервис и вызовем команду Макрос/Начать запись.В возникшем диалоговом окне необходимо записать имя макроса, напри-мер ПостроитьГрафики, и нажать кнопку Ok. После этого все поданныекоманды записываются в макрос ПостроитьГрафики. После проведениявсех манипуляций по построению графика, необходимо нажать на кноп-ку Остановить. Для написания универсальной программы по построениюграфика необходимо отредактировать полученную подпрограмму. Для то-го чтобы изменить подпрограмму, необходимо нажать клавиши Alt +F8,выбрать подпрограмму ПостроитьГрафики и отредактировать ее. Нижепредставлен текст разработанной программы. Программа снабжена доста-точным объемом комментариев. Подавляющее большинство команд под-программы автоматически включено в мастер диаграмм.

’ngr - количество графиков на одной диаграмме

’NPr - количество точек вывода на одном графике

’NameSh - имя рабочего листа для получения результатов

’NameDiagr - название диаграммы

’minx - минимальное значение координаты x

’maxx - максимальное значение координаты x

’miny - минимальное значение координаты y

’maxy - максимальное значение координаты y

Sub ПостроитьГрафики(ngr As Integer, NPr As Integer, _

NameSh As String,NameDiagr As String, minx As Double, _

maxx As Double, miny As Double, maxy As Double)

Dim s As String, k As Integer, alph As String

Dim t As Integer, t1 As Integer

’Нумерация столбцов

alph = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"

’Область данных для графиков

t = NPr + 2 ’Номер последнего столбца данных

’Если количество столбцов, в которых находятся данные > 26,

’то t1 задает номер первой буквы в названии последнего

’столбца данных


t1 = (t - 2) \ 26

If t1 > 0 Then s = Mid(alph, t1, 1) Else s = ""

s = "b1:" + s + Mid(alph, ((t - 1) Mod 26) + 1, 1) + _

Trim(Str(ngr + 1))

Charts.Add ’Добавить диаграмму

’Задается тип диаграммы x-y точечная; точки соединены прямыми

’линиями; Маркеры точек не отображать

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterLinesNoMarkers

’Указывает область расположения данных для диаграммы

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets(NameSh).Range(s), _

PlotBy:=xlRows

’Где построить диаграмму? (На рабочем листе с именем NameSh)

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:=NameSh

’ Формат оси абсцисс

With ActiveChart.Axes(xlCategory) ’Параметры оси Ox

.HasMajorGridlines = True ’Рисовать сетку

.MaximumScale = maxx ’Максимальное значение

.MinimumScale = minx ’Минимальное значение

.MajorUnit = (maxx - minx) / 5 ’Шаг сетки

End With

’ Формат оси значений функций

With ActiveChart.Axes(xlValue)

.HasMajorGridlines = True ’Рисовать сетку

.MaximumScale = maxy ’Максимальное значение

.MinimumScale = miny ’Минимальное значение

.MajorUnit = (maxy - miny) / 5 ’Шаг сетки

End With

’Формат области построения диаграммы

ActiveChart.PlotArea.Select

With Selection.Interior

.ColorIndex = 2 ’Цвет фона

.PatternColorIndex = 1

.Pattern = xlSolid

End With

’Имя графиков

’ ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries

For k = 1 To ngr

’ Имя легенды графика

s = "=" + NameSh + "!R" + Trim(Str(k + 1)) + "C1"

ActiveChart.SeriesCollection(k).Name = s

48

’Толщина линий

ActiveChart.SeriesCollection(k).Border.Weight = xlThick

Next k

’Заглавие диаграммы

ActiveChart.HasTitle = True

ActiveChart.ChartTitle.Characters.Text = NameDiagr

End Sub

Теперь напишем программу для автоматического получения решенияи вызова подпрограммы построения графика. В качестве тестовой задачивозьмем тот же пример и ту же конечно-разностную схему. Алгоритм ре-шения данной задачи такой же, как и для получения решения уравненияпереноса в рамках табличного процессора Excel без использования програм-мирования. Только все манипуляции со строками массива U проводятся ав-томатически программой. Конечно-разностная схема уравнения переносадвухслойная. Поэтому в программе вводятся два массива y — для хране-ния решения на текущем, n-ном временном слое и ynp1 — для хранениярезультатов на n + 1-ом временном слое. На рабочий лист выводим толь-ко данные, необходимые для построения графиков решения на временныхслоях с шагом вывода tauPr. По оси Ox выводим элементы массива ynp1через MPr точек. После получения результатов в виде данных на рабочемлисте вызываем разработанную ранее подпрограмму построения графиковрешения на фиксированных временных слоях. Значение фактических пара-метров, соответствующих максимальному и минимальному значениям ре-шения, вводится вручную после получения в первый раз решения уравне-ния теплопроводности. Студентам самостоятельно предлагается включитьоператоры для автоматического определения этих значений.

Sub УравнениеПереноса()

Dim x() As Double, y() As Double, ynp1() As Double

Dim h As Double, tau As Double, r As Double, a As Double

Dim L As Double

Dim hPr As Double, tauPr As Double, Tmax As Double

Dim nn As Long, mm As Long, MPr As Long

Dim n As Long, m As Long, ngr As Integer

Dim t As Double, rr As Double, q1 As Double, r1 As Double

’ Исходные данные для задачи

L = 1 ’ Это длина области, на которой решается краевая задача

Tmax = 1 ’ Верхняя граница временной координаты

h = 0.025 ’ Это шаг по пространственной координате

r = 0.1 ’Параметр сетки


tau = r * h ’Это шаг по временной координате

’ Это шаг для вывода значений сеточной функции по координате x

hPr = 0.1

tauPr = 0.2 ’ Это шаг вывода графиков по временной координате

’Через столько точек выводить результаты по оси Ox

MPr = CLng(hPr / h)

mm = CLng(L / h) ’ Количество ячеек сетки по оси Ox

nn = CLng(Tmax / tau) ’Количество ячеек сетки по оси Ot

’Создание динамических массивов, используемых в программе

ReDim x(mm), y(mm), ynp1(mm)

For m = 0 To mm

x(m) = h * m ’Абсциссы узловых точек

’Подстановка начальных условий

y(m) = x(m)

Next m

’ Имя рабочего листа для вывода результатов и графиков

Dim NameSh As String

NameSh = "УравнПереноса"

Sheets(NameSh).Select

Cells.Clear ’Очистить рабочий лист

Cells(1, 1) = "t\x"

Cells(2, 1) = "t=0"

ngr = 1 ’Номер текущего графика

’Вывод решения на нулевом временном слое

For m = 0 To mm Step MPr

Cells(1, m \ MPr + 2) = CDbl(Format(x(m), "#0.00"))

Cells(ngr + 1, m \ MPr + 2) = CDbl(Format(y(m), "#0.00"))

’Выделить цветом ячейки с координатами массива x

Cells(1, m \ MPr + 2).Interior.Color = RGB(220, 90, 220)

Next m

’Обход по временным слоям с 1-го по nn

For n = 1 To nn

t = tau * n ’Значение временной координаты

For m = 0 To mm

If Abs(FunA(x(m), t)) < 1E-16 Then

MsgBox "Коэффициент a=0"

Exit Sub

End If

q1 = FunB(x(m), t) * r / FunA(x(m), t)

r1 = FunC(x(m), t) * tau / FunA(x(m), t)

50

If m > 0 Then

ynp1(m) = y(m) - q1 * (y(m) - y(m - 1)) + r1

Else

ynp1(0) = y(0) - q1 * (y(1) - y(0)) + r1

End If

Next m

’Переписать полученное решение на n+1-ом временном слое в массив y

’ для использования на следующем временном слое

For m = 0 To mm

y(m) = ynp1(m)

Next m

’Записать решение на данном временном слое в строки рабочего листа

’Записываются с шагом tauPr

If Abs((ngr) * tauPr - t) < tau / 10 Then

ngr = ngr + 1

Cells(ngr + 1, 1) = "t=" + Format(t, "#0.00")



Next m

End If

Next n

’Выделить цветом область вывода заглавия графиков

Range("a1:a" + Trim(Str(ngr + 1))).Interior.Color = _

RGB(220, 90, 220)

Dim NameDiagr As String ’Название диаграммы

NameDiagr = "Уравнение переноса. Неявная схема"

Call ПостроитьГрафики(ngr, CInt(mm / MPr), NameSh, _

NameDiagr, 0, 1, -8, 2)

End Sub

’Функции для вычисления коэффициентов A, B и C

’дифференциального уравнения первого порядка

Function FunA(x As Double, t As Double) As Double

FunA = 1

End Function

Function FunB(x As Double, t As Double) As Double

FunB = 2 * Exp(t) - x

End Function

Function FunC(x As Double, t As Double) As Double

FunC = 0

End Function


Sub ГраничныеУсловияПереноса(ynp1() As Double, _

t As Double)

ynp1(0) = 0

End Sub

На рис. 71.2 представлены таблица и графики полученного решения.Значение функции искомой u(t, x) на последнем временном слое при t = 1совпадает с теоретическим решением, представленным на рис. 71.1.

t\x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

t = 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0t = 0, 20 -0,49 -0,37 -0,25 -0,13 0 0,12 0,24 0,36 0,49 0,61 0,73t = 0, 40 -1,23 -1,08 -0,93 -0,78 -0,63 -0,48 -0,33 -0,18 -0,03 0,12 0,27t = 0, 60 -2,32 -2,14 -1,95 -1,77 -1,59 -1,41 -1,23 -1,04 -0,86 -0,68 -0,50t = 0, 80 -3,95 -3,73 -3,51 -3,28 -3,06 -2,84 -2,62 -2,39 -2,17 -1,95 -1,73t = 1, 00 -6,38 -6,11 -5,84 -5,57 -5,30 -5,03 -4,75 -4,48 -4,21 -3,94 -3,67

Уравнение переноса. Неявная схема

-2

-4

-6

-8

0

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t=0t=0,2t=0,4t=0,6t=0,8t=1,0

Рис. 71.2

71.4. Решение задачи переноса в рамкахпрограммного комплекса MathCad

Предполагается, что читатель уже знаком с основами работы в па-кете MathCad. Представленные в учебном пособии программы получены сиспользованием пакета MathCad 2000.[12] Для получения решения урав-нения переноса средствами пакета математического процессора MathCadнеобходимо применять программирование на встроенном в пакет алгорит-мическом языке. Для примера рассмотрим решение задачи, представлен-ной в предыдущем подразделе с использованием алгоритмического языка

52

Visual Basic. Все обозначения математических параметров и алгоритмы за-дач в MathCad-программе полностью совпадают с программами на VisualBasic. Учитывая это, в программе подробные комментарии отсутствуют. Впервой части программы, по аналогии с VB-программой, присваиваютсяначальные данные параметрам задачи. Функция FunB(x, t) равна коэф-

фициенту при∂U

∂x.

Для читателей, которые редко используют пакет MatCad, напомнимнекоторые наиболее необходимые сведения. При использовании программи-рования в MathCad рекомендуется отключить опцию Automatic Calculation,находящуюся в пункте меню Math. При этом после написания программынеобходимо подать команду Вычислить, нажав клавишу F9. Для коди-рования оператора присваивания := вне блока программирования необхо-димо нажать клавишу Двоеточие. При написании программы в MathCadдля записи блока операторов используется вертикальная линия. Для созда-ния и расширения вертикальной линии необходимо подать команду AddLine, которая подается нажатием на соответствующую кнопку на пане-ли инструментов Programming. Эту команду можно ввести, используя"горячую"клавишу ] (закрывающаяся квадратная скобка). Для ввода опе-ратора цикла for необходимо мышкой нажать на кнопку for или одновре-менно нажать комбинацию из трех клавиш Ctrl + Shift + ’. Затем вобласти черных маркеров оператора for ввести имя параметра цикла (пер-вый маркер), начальное значение, шаг и конечное значение параметра цик-ла (второй маркер на первой строке). Если шаг параметра цикла равен 1,то его можно опустить. Шаг параметра цикла указывается после запятой.Для указания конечного значения необходимо нажать клавишу ; и ука-зать конечное значение. Вместо точки с запятой MathCad автоматическипроставляет две точки. Если тело цикла состоит из нескольких операто-ров, необходимо расширить блок тела цикла. Для этого необходимо перей-ти мышкой на маркер второй строки оператора for и подать необходимоеколичество раз команду Add Line. Для написания оператора присваива-ния внутри программного блока необходимо использовать команду ← или"горячую"клавишу { . Для написания нижних индексов используется кла-виша [. Решение задачи переноса на MathCad реализовано в виде функцииPerenos. Для ввода функции необходимо написать ее заглавие, нажатьдвоеточие и несколько раз клавишу ]. В последней строке написать пере-менную U, значение которой возвращает функция. Функция возвращаетдвумерный массив U, в котором хранятся полученные значения сеточнойфункции только в узлах вывода. Этот массив необходим для построенияграфиков решения на разных временных слоях.

После ввода данной программы необходимо подать команду Вычис-


лить (F9). Если при этом возникают ошибки, MathCad выделяет строки,в которых возникла ошибка, красным цветом. Их необходимо исправитьи снова нажать клавишу F9. После отладки программы можно посмот-реть полученные результаты в виде таблицы. Для этого необходимо ввестикоманду: U = F9. Полученную таблицу можно полностью посмотреть,расширяя область таблицы вниз и вправо, или при помощи передвиже-ния бегунков снизу и справа. Для построения графиков временных слоевнеобходимо еще задать массив абсцисс xm. Для этого вводим следующуюпоследовательность нажатия клавиш: m : 0 ; MhPr. Это мы указываем,что индекс m изменяется от 0 до переменной MhPr. Дальше вычисля-ем значения узлов сетки: x [ m <Пробел> : m * hPr. Теперь можностроить графики. Для построения графика при помощи "горячих"клавишCtrl+2, вызываем мастер построения одномерных графиков. В возникшейпрямоугольной области на месте нижнего маркера вводим x [m. Затем пе-реходим к левому маркеру и вводим следующую комбинацию клавиш: UCtrl+6 0 <пробел> [ m <запятая> <пробел>. Это мы ввели инфор-мацию для построения графика, значения ординат которого находятся внулевом столбце матрицы U . При этом MathCad отобразит символ U<0>,означающий нулевой столбец матрицы U . Для одновременного построениянескольких графиков необходимо далее ввести запятую и ввести ту же по-следовательность клавиш для первого и последующих столбцов матрицыU . Для этого вместо цифры 0 ставим номер другого столбца.

Ниже приведена программа решения задачи переноса средствами ма-тематического процессора MathCad. По аналогии с программой, написан-ной на алгоритмическом языке Visual Basic, данная программа снабженакомментариями. При введении программы комментарии, записанные послесимвола ’, вводить не следует.

L := 1 a := 1 Tmax := 1 r := 0.5 M := 20

h :=L

Mτ := r ·

(ha

)2

N :=Tmax

ττPr := 0.2 hPr := 0.1

MPr :=hPr

hFunB(x, t) := 2 · et − x

54

Решение задачи переноса MathCad

-6

-4

-2

0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1xm

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

m

m

m

m

m

m

Рис. 71.3

U :=∣∣∣for m ∈ 0..M∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣xm ← m · h ’Пространственные координаты узлов сеткиym ← xm ’Начальные условия

k ← 0ngr ← 1for m ∈ 0,MPr..M ‘Запомнить решения на нулевом слое∣∣∣∣Uk,0 ← ym ’В нулевом столбце матрицы Uk ← k + 1

for n ∈ 1..N ’Цикл по временным слоям от 1-го до N-го∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t← n · τ ’Значение временной координаты′ Решение на левом крае при x=0

ynp10 ← y0 +FunB(x0, t) · τ

h· (y0 − y1)

for m ∈ 1..M ’Решение во внутренних точках временного слоя

ynp1m ← ym +FunB(xm, t) · τ

h· (ym−1 − ym)

y ← ynp1 Запомнить решение на полученном слое в массиве y’Если t кратно параметру τPr, то запомнить решение в Uif∣∣ngr · τPr − t

∣∣ < 0.1 · τ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k ← 0for m ∈ 0,MPr..M∣∣∣∣Uk,ngr ← ym

k ← k + 1ngr ← ngr + 1

U

72 Лекция – Дифференциальные уравнения второго порядка 55

MhPr =M

MPrm := 0..MhPr xm := m · hPr

Далее на одной диаграмме строим графики решений для шести времен-ных слоев, значения которых записаны в двумерном массиве U . На рис. 71.3представленy графики решения, полученного после выполнения представ-ленной выше программы.

72. ЛЕКЦИЯ – Дифференциальныеуравнения второго порядка

Классификация линейных дифференциальных уравнений второгопорядка. Приведение линейных уравнений второго порядка к кано-ническому виду. Уравнение гиперболического типа. Уравнение пара-болического типа. Уравнение эллиптического типа. Постановка диф-ференциальных задач для уравнений второго порядка

72.1. Классификация линейныхдифференциальных уравнений второгопорядка

Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядкаотносительно неизвестной функции u(x, y) следующий:

(72.1)A(x, y)

∂2u

∂2x+ 2B(x, y)

∂2u

∂x∂y+ C(x, y)

∂2u

∂2y+

+D(x, y)∂u

∂x+ E(x, y)

∂u

∂y+G(x, y) = 0.

В основе классификации и методов решения таких уравнений лежит ихпреобразование с помощью замены переменных. Введем вместо независи-мых переменных x и y новые переменные ξ и η, связанные соотношением:

(72.2)

{ξ = ϕ(x, y),η = ψ(x, y).

Предполагаем, что система (72.2) однозначно разрешима относительноx и y, а функции дифференцируемы нужное число раз. Выберем функцииϕ(x, y) и ψ(x, y) так, чтобы в новых переменных уравнение (72.1) приняло

наиболее простой вид. Для этого выразим производные∂u

∂x,∂u

∂y,∂2u

∂x2,∂2u

∂x∂y,

56

∂2u

∂y2через

∂u

∂ξ,∂u

∂η,∂2u

∂ξ2,∂2u

∂ξ∂η,∂2u

∂η2и подставим их в уравнение (72.1). В со-

ответствии с правилом дифференцирования сложных функций получаем:

∂u

∂x=∂u

∂ξ

∂ξ

∂x+∂u

∂η

∂η

∂x;

∂u

∂y=∂u

∂ξ

∂ξ

∂y+∂u

∂η

∂η

∂y;

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u

∂x

)=

∂

∂x

(∂u

∂ξ

)∂ξ

∂x+∂u

∂ξ

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)+

+∂

∂x

(∂u

∂η

)∂η

∂x+∂u

∂η

∂

∂x

(∂η

∂x

)=

(∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x+

+∂2u

∂ξ∂η

∂η

∂x

)∂ξ

∂x+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x2+

(∂2u

∂η2

∂η

∂x+

+∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

)∂η

∂x+∂u

∂η

∂2η

∂x2=∂2u

∂2ξ

(∂ξ

∂x

)2

+

+2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x+∂2u

∂2η

(∂η

∂x

)2

+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂x2+∂u

∂η

∂2η

∂x2.

Учащимся предлагается самостоятельно получить формулы для U ′′yy и

U ′′xy:

U ′′yy =

∂2u

∂ξ2

(∂ξ

∂y

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y+∂2u

∂η2

(∂η

∂y

)2

+∂u

∂ξ

∂2ξ

∂y2+∂u

∂η

∂2η

∂y2;

U ′′xy =

∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+

∂2u

∂ξ∂η

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+∂2u

∂η2

∂η

∂x

∂η

∂y+

+∂u

∂ξ

∂2u

∂x∂y+∂u

∂η

∂2u

∂x∂y.

Подставляя полученные выражения в (72.1), получим:

(72.3)∂2u

∂ξ2

{A

(∂ξ

∂x

)2

+ 2B∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ C

(∂ξ

∂y

)2}

+

+2∂2u

∂ξ∂η

{A∂ξ

∂x

∂η

∂x+B

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ C

∂ξ

∂y

∂η

∂y

}+

+∂2u

∂η2

{A

(∂η

∂x

)2

+ 2B∂η

∂x

∂η

∂y+ C

(∂η

∂y

)2}

+


+F1

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0.

Это уравнение примет наиболее простой вид, если коэффициенты при∂2u

∂ξ2и∂2u

∂η2равны нулю, т.е. если функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) в (72.2) являются

решениями следующего дифференциального уравнения первого порядка вчастных производных:

(72.4) A(x, y)(z′x)2 + 2B(x, y)z′xz

′y + C(x, y)(z′y)

2 = 0.

Можно показать, что решение этого уравнения сводится к решениюобыкновенного дифференциального уравнения.

Теорема 72.1. Для того чтобы функция z = ϕ(x, y) была решени-ем уравнения (72.4) в некоторой области G, необходимо и достаточно,чтобы соотношение ϕ(x, y) = C было общим интегралом обыкновенногодифференциального уравнения:

(72.5) A(x, y)(dy)2 − 2B(x, y)dxdy + C(x, y)(dx)2 = 0.

Докажем только необходимость. Таким образом, дано: z = ϕ(x, y) —решение уравнения (72.4). Доказать: ϕ(x, y) = C — общий интеграл урав-нения (72.5). Перепишем уравнение (72.5), разделив обе его части на (dx)2:

(72.6) A(x, y)(dy

dx)2 − 2B(x, y)

dy

dx+ C(x, y) = 0.

Подставим в левую часть этого уравнения выражение дляdy

dx= −∂ϕ

∂x/∂ϕ

∂y.

A

(−

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

)2

− 2B

(−

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

)+ C =

A(

∂ϕ∂x

)2+ 2B ∂ϕ

∂x∂ϕ∂y

+ C(

∂ϕ∂y

)2

(∂ϕ∂y

)2 = 0,

так как по условию z = ϕ(x, y) удовлетворяет (72.4), и поэтому числительравен нулю. Следовательно, ϕ(x, y) = C — общий интеграл уравнения (72.5)

Уравнение (72.5) (или равносильное ему 72.6) называется характери-

стическим уравнением для исходного уравнения (72.1); оно является обык-новенным дифференциальным уравнением первого порядка. Записав его ввиде (72.6) и разрешив относительно dy/dx, получим два дифференциаль-ных уравнения:

58

(72.7)

dy

dx=(B(x, y) +

√B2(x, y)− A(x, y)C(x, y)

)/A(x, y);

dy

dx=(B(x, y)−

√B2(x, y)− A(x, y)C(x, y)

)/A(x, y).

Общие интегралы уравнений (72.7) ϕ(x, y) = C1 и ψ(x, y) = C2 назы-вается уравнением характеристик, а интегральные кривые, описываемыеэтими уравнениями, — характеристиками уравнения (72.1).

Возможны 3 случая:1. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) > 0 в области D. Тогда уравнения (72.7) раз-

личны, их интегралы вещественны, и не совпадают, уравнение (72.1) име-ет два различных семейства действительных характеристик и называетсяуравнением гиперболического типа.

2. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) < 0 в области D. Уравнения (72.7) различны,их интегралы не совпадают, но являются комплексными, уравнение (72.1)имеет два различных семейства комплексных характеристик и называетсяуравнением эллиптического типа.

3. B2(x, y)−A(x, y)C(x, y) = 0 в области D. Уравнения (72.7) совпадают,уравнение (72.1) имеет одно семейство действительных характеристик иназывается уравнением параболического типа.

Пример 72.1. Определить тип уравнений:

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2,

∂u

∂t= a2∂

2u

∂x2,

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

Р е ш е н и е: Уравнение∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2запишем в виде: a2∂

2u

∂x2− ∂

2u

∂t2= 0.

Для него A = a2, B = 0, C = −1, B2 − AC = a2 > 0. Следовательно, это

уравнение гиперболического типа. Уравнение∂u

∂t= a2∂

2u

∂x2запишем в виде

a2∂2u

∂x2− ∂u∂t

= 0. Для него A = a2, B = 0, C = 0, B2−AC = 0. Следователь-

но, это уравнение параболического типа. Для уравнения∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

A = 1, B = 0, C = 1, ⇒ B2 − AC = −1 < 0. Следовательно, это уравнениеэллиптического типа.

В случае переменных коэффициентов A, B, C тип уравнения в рассмат-риваемой области может меняться. Мы, как правило, будем рассматриватьуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.


72.2. Приведение линейных уравненийвторого порядка к каноническому виду

72.2.1. Уравнение гиперболического типаЕсли в области D уравнение (72.1) гиперболического типа, то оно имеет

два различных семейства действительных характеристик: ϕ(x, y) = C1 иψ(x, y) = C2.

Сделаем замену переменных: ξ = ϕ(x, y) и η = ψ(x, y). Поскольку функ-ции ϕ(x, y) и ψ(x, y) являются решениями уравнения (72.4), то коэффици-

енты при∂2u

∂ξ2и∂2u

∂η2в уравнении (72.3) равны нулю: A

(∂ξ

∂x

)2

+2B∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+

+C

(∂ξ

∂y

)2

= 0, A

(∂η

∂x

)2

+ 2B∂η

∂x

∂η

∂y+ C

(∂η

∂y

)2

= 0 и уравнение (72.3)

принимает вид: 2∂2u

∂ξ∂ηA1 +F1

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0, где A1 обозначен коэф-

фициент при 2∂2u

∂ξ∂η. Выразив отсюда

∂2u

∂ξ∂η, получаем:

(72.8)∂2u

∂ξ∂η= Ф

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

Уравнение (72.8) называется канонической формой уравнения гипербо-лического типа. Если u(ξ, η) — решение уравнения (72.8), то u(ϕ(x, y), ψ(x, y))— решение уравнения (72.1)

Пример 72.2. Привести к каноническому виду уравнение:∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2, называемое уравнением свободных колебаний струны.

Р е ш е н и е: Перепишем уравнение в виде: a2∂2u

∂x2− ∂2u

∂t2= 0. Здесь

A = a2, B = 0, C = −1, а в примере (72.1) установлено, что это уравне-ние гиперболического типа. Составим характеристическое уравнение (72.6):

a2

(dt

dx

)2

− 1 = 0. Разрешив его относительноdt

dx, получим два уравнения

(72.7): adt

dx− 1 = 0, −a dt

dx− 1 = 0, решая которые, получим два семейства

вещественных характеристик:

+adt

dx− 1 = 0⇒ a

dt

dx= 1⇒ at + C1 = x⇒ x− at = C1.

−a dtdx− 1 = 0⇒ −a dt

dx= 1⇒ −at + C2 = x⇒ x+ at = C2.

60

Сделаем замену переменных: ξ = x − at и η = x + at и выразим частныепроизводные по x и t через производные по ξ и η

ξ = x− at⇒ ∂ξ

∂x= 1;

∂ξ

∂t= −a;

η = x+ at⇒ ∂η

∂x= 1;

∂η

∂t= a;

∂u

∂t=∂u

∂ξ

∂ξ

∂t+∂u

∂η

∂η

∂t= −a∂u

∂ξ+ a

∂u

∂η;

∂u

∂x=∂u

∂ξ

∂ξ

∂x+∂u

∂η

∂η

∂x=∂u

∂ξ+∂u

∂η;

∂2u

∂t2= −a ∂

∂t

(∂u

∂ξ

)+ a

∂

∂t

(∂u

∂η

)= −a

(∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂t+

∂2u

∂ξ∂η

∂η

∂t

)+

+a

(∂2u

∂ξ∂η

∂t

∂η+∂2u

∂η2

∂η

∂t

)= −a

(−∂

2u

∂ξ2a+

∂2u

∂ξ∂ηa

)+

+a

(− ∂2u

∂ξ∂ηa+

∂2u

∂η2a

)= a2

(∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2

);

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u

∂ξ+∂u

∂η

)=∂2u

∂ξ2

∂ξ

∂x+

∂2u

∂ξ∂η

∂η

∂x+

∂2u

∂ξ∂η

∂ξ

∂x+

+∂2u

∂η2

∂η

∂x=∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2.

Подставляя найденные выражения в уравнение колебания струны, по-лучаем:

a2

(∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2

)− a2

(∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2

)= 0,

откуда

(72.9)∂2u

∂ξ∂η= 0.

Уравнение (72.9) является канонической формой уравнения колебанияструны.

Это уравнение легко интегрируется. При помощи двух последователь-ных интегрирований по переменным ξ и η получаем: u(ξ, η) = F (ξ) + Ф(η).Сделав обратную подстановку ξ = x− at, η = x+ at, получаем общее реше-ние уравнения свободных колебаний.

(72.10) u(t, x) = F (x− at) + Ф(x+ at).

72.2.2. Уравнение параболического типаЕсли в области D уравнение (72.1) параболического типа, то оно имеет

одно семейство вещественных характеристик: ϕ(x, y) = C. Сделаем замену


переменных ξ = ϕ(x, y), другую функцию можно выбрать произвольно, но

так, чтобы якобиан замены не равнялся нулю:

∣∣∣∣ϕ′

x ϕ′y

ψ′x ψ′

y

∣∣∣∣ 6= 0, например

можно взять η = y.Поскольку ϕ(x, y) является решением уравнения (72.6), коэффициент

при∂2u

∂ξ2в (72.3) равен нулю:

A

(∂ξ

∂x

)2

+ 2B∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ C

(∂ξ

∂y

)2

= 0.

Отсюда, поскольку B2 − AC = 0 (уравнение параболического типа),следует, что B =

√AC и значит:

0 = A

(∂ξ

∂x

)2

+ 2B∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ C

(∂ξ

∂y

)2

= A

(∂ξ

∂x

)2

+ 2√A√C∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+

+C

(∂ξ

∂y

)2

=

(√A∂ξ

∂x+√C∂ξ

∂y

)2

, т.е.

(72.11)√A∂ξ

∂x+√C∂ξ

∂y= 0.

Коэффициент при∂u2

∂η2в (72.3) равен C, так как:

η = y ⇒ ∂η

∂x= 0,

∂η

∂y= 1⇒ A

(∂η

∂x

)2

+ 2B∂η

∂x

∂η

∂y+ C

(∂η

∂y

)2

= C.

Коэффициент при∂2u

∂ξ∂ηв (72.3) равен нулю, так как:

A∂ξ

∂x

∂η

∂x+ B

(∂ξ

∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ C

∂ξ

∂y

∂η

∂y= A

∂ξ

∂x0 +B

(∂ξ∂x

1+

+∂ξ

∂y0)

+ C∂ξ

∂y1 = B

∂ξ

∂x+ C

∂ξ

∂y=√A√C∂ξ

∂x+√C√C∂ξ

∂y=

=√C

(√A∂ξ

∂x+√C∂ξ

∂y

)= 0, (с учетом (72.11)).

Подставляя найденные значения коэффициентов, получаем, что урав-нение (72.3) приобретает вид:

C∂2u

∂η2+ F1

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0. Окончательно получаем

(72.12)∂2u

∂η2= Ф1

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

62

Уравнение (72.12) называется канонической формой уравнения парабо-лического типа. Если u(ξ, η) — решение уравнения (72.12), то u(ϕ(x, y), y)— решение уравнения (72.1).

Замечание 72.1. Если в качестве замены переменных взять ξ = x иη = ϕ(x, y), то уравнение (72.1) приводится к виду

∂2u

∂ξ2= Ф2

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

),

который тоже является канонической формой уравнения параболическоготипа.

Пример 72.3. Привести к каноническому виду уравнение

x2∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2∂

2u

∂y2+ 2x

∂u

∂x= 0 и решить его.

Р е ш е н и е: ЗдесьA = x2,B = −xy, C = y2 ⇒ B2−AC = (xy)2−x2y2 == 0⇒ уравнение параболического типа при любых x и y.

Составим характеристическое уравнение (72.6):

x2

(dy

dx

)2

+ 2xydy

dx+ y2 = 0 или

(xdy

dx+ y

)2

= 0.

Разрешая относительно производной, получаемdy

dx= −y

x⇒ xy = C —

общий интеграл.Сделаем замену переменных: ξ = xy, η = y ⇒

∂ξ

∂x= y;

∂ξ

∂y= x;

∂η

∂x= 0;

∂η

∂y= 1.

Аналогично тому, как это сделано в примере 72.2, найдем выражения

для:∂u

∂x;∂u

∂y;∂2u

∂x2;∂2u

∂x∂y;∂2u

∂y2.

∂u

∂x=∂u

∂ξy;

∂u

∂y=∂u

∂ξx+

∂u

∂η;

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2y2;

∂2u

∂x∂y=∂2u

∂ξ2xy +

∂2u

∂ξ∂ηy +

∂u

∂ξ;

∂2u

∂y2=∂2u

∂ξ2x2 + 2

∂2u

∂ξ∂ηx +

∂2u

∂η2.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

x2∂2u

∂ξ2y2 − 2xy

(∂2u

∂ξ2xy +

∂2u

∂ξ∂ηy +

∂u

∂ξ

)+

+y2

(∂2u

∂ξ2x+ 2

∂2u

∂ξ∂ηx+

∂2u

∂η2

)+ 2x

∂u

∂ξy = 0.


Приводя подобные члены, получим∂2u

∂η2= 0.

Получившееся уравнение легко интегрируется:

∂

∂η

(∂u

∂η

)= 0⇒ ∂u

∂η= F (ξ)⇒ u =

∫F (ξ)dη + Ф(ξ) = ηF (ξ) + Ф(ξ).

Возвращаясь к переменным x и y, получаем общее решение исходногоуравнения: u = yF (x, y) + Ф(x, y) .

72.2.3. Уравнение эллиптического типаЕсли в области D уравнение (72.1) эллиптического типа, то характе-

ристическое уравнение распадается на два уравнения (72.7), правые частикоторых являются сопряженными комплексными числами, их общие ин-тегралы будут также комплексно сопряженными: ϕ(x, y) + iψ(x, y) = C1

и ϕ(x, y) − iψ(x, y) = C2. Можно показать, что заменами ξ = ϕ(x, y) иη = ψ(x, y) уравнение (72.1) приведется к виду:

(72.13)∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2= Ф

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

).

Уравнение (72.13) называется канонической формой уравнения эллип-тического типа.

Пример 72.4. Привести к канонической форме уравнение:

∂2u

∂x2− 2

∂2u

∂x∂y+ 2

∂2u

∂y2= 0.

Р е ш е н и е: Здесь A = 1, B = −1, C = 2⇒ B2 −AC = −1 < 0. Урав-нение эллиптического типа при любых x и y. Составим характеристическоеуравнение (72.6):

(dy

dx

)2

+ 2dy

dx+ 2 = 0 или

dy

dx= −1± i.

Интегрируя, получим два семейства комплексных характеристик:x+ y + ix = C1 и x+ y − ix = C2.

Здесь ϕ(x, y) = x + y, ψ(x, y) = x. Произведем замену переменных:

ξ = x+ y, η = x⇒ ∂ξ

∂x= 1,

∂ξ

∂y= 1,

∂η

∂x= 1,

∂η

∂y= 0.

Аналогично тому, как это сделано в предыдущих примерах, найдем вы-ражение для производных:

∂u

∂x=∂u

∂ξ+∂u

∂η;

∂u

∂y=∂u

∂ξ;

∂2u

∂η2=∂2u

∂ξ2;

64

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2;

∂2u

∂x∂y=∂2u

∂ξ2+

∂2u

∂ξ∂η.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем, что онопринимает вид:

∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2− 2

(∂2u

∂ξ2+

∂2u

∂ξ∂η

)+ 2

∂2u

∂ξ2= 0.

После сокращения получим:∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2= 0 — уравнение, называемое

уравнением Лапласа.

72.3. Постановка дифференциальных задачдля уравнений второго порядка

Уравнения гиперболического и параболического типа возникают обыч-но при изучении процессов, протекающих во времени (переменная t). Такиеуравнения, как уже отмечалось в лекции 69, относятся к уравнениям эволю-ционного типа. Пространственные переменные обозначаются, как правило,x, y, z. Характер многих физических процессов таков, что они симметрич-ны относительно некоторой плоскости. Для упрощения решения задач вэтом случае рассматривают двумерные уравнения эволюционного типа спеременными x, y и t. В уравнениях, описывающих одномерные физиче-ские процессы, участвуют одна пространственная координата x и времяt.

Основным уравнением математической физики гиперболического типаявляется волновое уравнение:

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

В двухмерном случае (например, колебание волн на поверхности моря) вол-новое уравнение имеет вид:

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

).

Для одномерных процессов (например, колебание стержня, струны, про-дольные колебания воды в трубе и т.д.) это уравнение принимает следую-щий вид:

(72.14)∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2

и называется уравнением свободных колебаний струны.


Физический смысл входящих в него переменных может быть, напри-мер, следующий: t — время, x — пространственная координата (расстояниеот одного из концов струны), u(x, t) — отклонение струны от положенияравновесия в момент времени t в точке с пространственной координатой x.Параметр a определяется физическими характеристиками струны.

Основным уравнением математической физики параболического типаявляется уравнение теплопроводности:

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

В двухмерном случае (например, температура воздуха на поверхности зем-ли) уравнение теплопроводности имеет вид:

∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

).

В одномерном случае (например, зависимость температуры воды в море отглубины погружения) это уравнение имеет вид:

(72.15)∂u

∂t= a2∂

2u

∂x2.

Физический смысл входящих в него переменных обычно следующий: t— время, x — пространственная координата (расстояние вдоль стержня),u(x, t) — температура стержня в момент t в точке x. Параметр a опреде-ляется физическими характеристиками стержня.

Основным уравнением математической физики эллиптического типа яв-ляется уравнение Лапласа:

(72.16)∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0.

Физический смысл входящих в него переменных обычно тот же, что идля уравнения теплопроводности. В этом случае уравнение Лапласа опи-сывает распределение температуры в пространственном теле, если процессне изменяется во времени, т.е. является стационарным.

Поскольку общее решение уравнений в частных производных зависитот произвольных функций, количество которых зависит от порядка уравне-ния, для однозначного определения характера физических процессов необ-ходимо задать дополнительные условия. Для рассмотренных уравненийони разделяются на начальные и краевые (граничные).

Как уже отмечалось в первом разделе, начальные условия состоят в за-дании дополнительных условий в какой-либо момент времени t = t0. Чащевсего изучение процессов эволюционного типа начинают с момента време-ни t = 0. Для однозначного решения задачи количество начальных условий

66

должно совпадать с порядком уравнения по временной координате t. Эти-ми условиями являются значения искомой функции u и ее производной по t(для волнового уравнения) или только значений функции u или ее скоростиизменения по времени (для уравнения теплопроводности). Для уравненияЛапласа начальные условия не задаются, поскольку время в него не входит.

Краевые (граничные) условия для этих задач заключаются в том, чтоуказываются значения неизвестной функции u или ее производных в каж-дой точке на границе области изменения пространственных координат x,y, z. Это могут быть концы струны или стержня, края мембраны, границатела. Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения x (бес-конечная струна, стержень), то краевые условия не задаются и получаетсязадача только с начальными условиями. Такая задача, как отмечалось впервом разделе, называется задачей Коши.

Если задаются и начальные, и краевые условия, то задача называетсясмешанной.

Для уравнения Лапласа задаются только краевые условия, т.е. указыва-ется поведение неизвестной функции на границе области. Это может бытьзадача Дирихле, если заданы значения самой функции, или задача Ней-мана, если заданы значения нормальной производной искомой функции. Вслучае задания на границе линейной комбинации функции и ее нормальнойпроизводной задача называется смешанной.

Напомним, что дополнительные условия (начальные и краевые) долж-ны выбираться из физических соображений так, чтобы получить един-ственное решение задачи, отвечающее характеру изучаемого процесса. Кро-ме этого, на практике функции, входящие в начальные и краевые условия,определяются из экспериментальных данных лишь приближенно. Поэтомунеобходимо быть уверенным в том, что малые изменения исходных данныхзадачи вызывают лишь малые изменения в ее решении для рассматривае-мой области, т.е. задача должна быть устойчивой относительно начальныхи краевых условий. Если задача математической физики имеет единствен-ное решение, устойчивое относительно исходных данных, говорят, что этазадача поставлена корректно (является корректной).

Перейдем теперь к рассмотрению дифференциальных задач, описывае-мых уравнением теплопроводности.

72 Практика – Квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка 67

72. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениеквазилинейных дифференциальныхуравнений первого порядка

Решение всех типовых примеров данной темы подробно разобрано влекции 69.


Найдите общий интеграл квазилинейного уравнения первого порядка:

Пример 72.1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z.

Пример 72.2. y∂u

∂y− x∂u

∂x= −u.

Пример 72.3. ex∂u

∂x+ y2∂u

∂y= uex.

Пример 72.4. (x2 + y2)∂u

∂x+ 2xy

∂u

∂y= −u2.

Пример 72.5. (x+ y)∂u

∂x− (x− y)∂u

∂y= ux+ uy.

Пример 72.6. (x+ y)∂u

∂y+ (x− y)∂u

∂x= 0.

Найдите решение уравнения (написанного слева), удовлетворяющееуказанным условиям (написанным справа):


∂x− y∂z

∂y= 0;

{z = 2x,y = 1,

Пример 72.8. x2 ∂z

∂x− y2 ∂z

∂y= 0;

{z = x2,y = 1.

Пример 72.9. y∂z

∂x+ x

∂z

∂y= 2xy;

{z = 0, 5y2,x = 1.

Пример 72.10. yz∂z

∂x+ xz

∂z

∂y= −xy;

{x2 + y2 = 4,z = 0.

Пример 72.11. xz∂z

∂x+ (xz + y)

∂z

∂y= z;

{x+ y = 2z,xz = 1.

68


∂x+ z

∂z

∂y= y;

{y = 2z,x+ 2y = z.

Решить уравнение переноса:

Пример 72.13.∂u

∂x+ (2ex − t)∂u

∂t= 2x; u(x, 0) = x2 − e2x.

Пример 72.14.1

t− x∂u

∂x+

1

x

∂u

∂t=

1

2x; u(x, 0) = lnx.

73. ЛЕКЦИЯ – Вывод уравнениятеплопроводности и понятия о рядахФурье

Вывод уравнения теплопроводности. Постановка задач для уравне-ния теплопроводности. Уравнение Лапласа. Постановка задач Ди-рихле и Неймана. Ряды Фурье. Условие Дирихле. Теорема Дирихле.Разложение функций в ряд Фурье. Ряды Фурье для четных и нечет-ных функций.

73.1. Вывод уравнения теплопроводностиРассмотрим в пространстве неравномерно нагретое тело. Температура

в каждой точке P (x, y, z) тела в момент t является функцией u(x, y, z, t).Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет эта функ-ция.

n

grad U

dS v

Рис. 73.1

Выделим в теле произвольный объем V , ограниченный замкнутой по-верхностью S (рис. 73.1). Двумя способами подсчитаем количество тепла,проходящее за время dt через поверхность S. При этом договоримся счи-тать поток тепла положительным, если данный участок тела теряет тепло,и отрицательным, если приобретает. Подсчет будем производить на основеследующих известных законов:

- количество тепла dQ1, которое необходимо сообщить телу объема dV ,чтобы повысить его температуру на du:

73 Лекция – Вывод уравнения теплопроводности 69

(73.1) dQ1 = −cρdV du;- количество тепла dQ2, которое проходит через поверхность S за время

dt:

(73.2) dQ2 = −k∂u∂ndSdt.

Здесь c — удельная теплоемкость тела, ρ — плотность тела, k — коэффи-циент теплопроводности, ∂u/∂n — производная от температуры u(x, y, z, t)в направлении внешней нормали n, dS — элемент поверхности S, ограни-чивающей объем V .

Предполагается, что все физические величины, характеризующие свой-ства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопровод-ности), постоянны.

Знак минус в (73.1) поставлен потому, что если du < 0, то тело отдаеттепло и, согласно договоренности, dQ1 должно быть положительным.

Знак минус в (73.2) поставлен потому, что если ∂u/∂n < 0, то в направ-лении внешней нормали температура убывает, т.е. участок dS теряет теплои, согласно договоренности, dQ2 должно быть положительным.

Поскольку производная скалярного поля по направлению равна про-екции градиента на это направление, для нормальной производной ∂u/∂nполучаем:

∂u

∂n= Prn gradu = n · gradu.

С учетом этого формулу (73.2) можно переписать в виде:

dQ2 = −kn gradu · dS · dt.Полное количество тепла Q2, проходящее через замкнутую поверхность

S, равно интегралу по этой поверхности:

Q2 =

∫∫

S

©dQ = −kdt∫∫

S

© n · gradudS.

Применяя формулу Остроградского-Гаусса (лекция 58), получим далее:

(73.3) Q2 = −kdt∫∫

S

© n · gradudS = −kdt∫∫∫

V

div(gradu)dV .

С другой стороны, полное количество тепла, отдаваемое или получаемоетелом объема V , можно подсчитать на основе формулы (73.1) как тройной

70

интеграл:

Q1 =

∫∫∫

V

dQ = −cρ∫∫∫

V

du · dV.

Поскольку частный дифференциал du температуры выражается через

частную производную по времени формулой du =∂u

∂tdt, получаем:

(73.4) Q1 = −cρ∫∫∫

V

du · dV = −cρdt∫∫∫

V

∂u

∂tdV.

Предполагаем, что все тепло, проходящее через поверхность S, идет нанагрев тела. Приравнивая правые части (73.3) и (73.4), получаем:

−cρdt∫∫∫

V

∂u

∂tdV = −k · dt

∫∫∫

V

div(gradu)dV.

Сократив на dt и перенеся оба выражения в одну часть, получим равен-ство:

∫∫∫

V

(k · div(gradu)− cρ∂u

∂t

)dV = 0,

верное для произвольного объема V . Отсюда следует, что подынтегральнаяфункция тождественно равна нулю:

k · div(gradu) = cρ∂u

∂t, или

∂u

∂t=

k

cρ· div(gradu).

Поскольку gradu =∂u

∂xi+

∂u

∂yj+

∂u

∂zk, то div(gradu) =

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2,

поэтому получившееся уравнение можно переписать в виде:

(73.5)∂u

∂t= a2

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

), где a2 =

k

cρ.

Или в виде∂u

∂t= a2∆u, где ∆ =

∂

∂x2+

∂

∂y2+

∂

∂z2называется опера-

тором Лапласа или лапласианом. Полученное уравнение (73.5) называетсяуравнением теплопроводности.

В одномерном случае, когда рассматриваемое тело представляет собойтонкий однородный стержень с теплоизолированной боковой поверхностью,расположенный вдоль оси x (рис. 73.2), уравнение для распределения тем-пературы u = u(x, t) принимает вид (72.15).


Для нахождения единственного решения уравнения теплопроводностинеобходимо задать начальные и граничные условия. Рассмотрим задачутеплопроводности для стержня.

Начальное условие имеет вид:

(73.6) u(x, t)|t=0 = ϕ(x)

и задает начальное распределение температур вдоль стержня.Если стержень ограничен, то на его концах при x = 0 и x = l задаются

граничные условия. Так, например, если на концах стержня задано изме-нение со временем температуры, то граничные условия имеют следующийвид:

u(x, t)|x=0 = ψ1(t), u(x, t)|x=l = ψ2(t).

Если, в частности, на концах стержня поддерживается нулевая темпе-ратура, то получатся нулевые граничные условия:

(73.7) u(x, t)|x=0 = 0, u(x, t)|x=l = 0.

Рассмотрим случай, когда концы стержня теплоизолированы, т.е. теп-лообмен на концах стержня отсутствует:

dQ|x=0 = dQ|x=l = 0.

Поскольку количество тепла определяется формулой (73.2)

dQ = −k∂u∂ndS · dt, то

∂u

∂n

∣∣∣∣x=0

=∂u

∂n

∣∣∣∣x=l

= 0.

На концах стержня направление нормали или совпадает, или противо-положно направлению оси x (см. рис. 73.2), поэтому

∂u

∂n

∣∣∣∣x=0

= − ∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0;

∂u

∂n

∣∣∣∣x=l

=∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0

x

n

l

n

0

Рис. 73.2

и условия теплоизолированности концов стержня принимают вид:

(73.8)∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0,∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0.

Если на конце стержня поддерживается заданный поток тепла, то

72

(73.9) k∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= q1(t), −k∂u∂x

∣∣∣∣x=l

= q2(t).

При этом, если значение функции qi > 0, то происходит приток теплачерез торец стержня, а если qi < 0 — отток.

Если на конце стержня происходит конвективный теплообмен, то

(73.10) α(u− uср)|x=0 = q1(t), α(u− uср)|x=l = q2(t),

где α — коэффициент теплообмена, зависящий от теплофизических харак-теристик и скорости движения охлаждающей среды; ucp — температураокружающей среды.

Возможны также задачи с разными граничными условиями на концахстержня, например с теплоизолированным левым и правым торцами, под-держиваемыми при нулевой температуре:

(73.11)∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0, u|x=l = 0.

Для полубесконечного стержня задается лишь одно граничное условиена левом конце стержня.

Для бесконечного стержня задача ставится следующим образом:Необходимо решить дифференциальное уравнение (72.15) с начальными

условиями (73.6).В случае двумерной (плоской) задачи теплопроводности рассматрива-

ется распределение температуры u = u(x, y, t) на площадке (мембране) σ,ограниченной кривой L. Граничные условия в этом случае задаются кривойL.

Для трехмерной (пространственной) задачи теплопроводности гранич-ные условия задаются на поверхности S, ограничивающей тело V .

Если температура u не зависит от времени t, т.е. распределение темпе-ратуры в теле стационарно, то ∂u/∂t = 0, и уравнение (73.5) примет вид:

(73.12) ∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0.

Уравнение (73.12) называется, как уже отмечалось, уравнением Лапла-са, а функция, удовлетворяющая этому уравнению, называется гармониче-ской функцией.

Для однозначного определения гармонической функции задаются толь-ко граничные условия, которые в пространственном случае могут иметьвид:

(73.13) u(x, y, z)∣∣S

= ψ(x, y, z),


где ψ(x, y, z) — заданная функция, определяющая распределение темпера-туры на границе S рассматриваемого тела.

Задача нахождения решения уравнения Лапласа (73.12), удовлетворя-ющего заданному для функции u граничному условию (73.13), называетсязадачей Дирихле.

Отметим, что уравнение (73.5) описывает и некоторые другие физиче-

ские процессы, в частности, диффузию:∂c

∂t= D∆c, где c = c(x, y, z) —

искомая функция, являющаяся концентрацией диффундирующего веще-ства, D — коэффициент диффузии. Начальные и граничные условия по-добны рассматриваемым соответствующим условиям в задачах теплопро-водности. Одним из классических методов решения задач математическойфизики является метод Фурье, основанный на нахождении решения в ря-дах Фурье.

73.2. Ряд ФурьеДля решения многих задач часто приходится раскладывать периодиче-

ские функции в ряды Фурье.

Определение 73.1. Функциональный ряд

(73.14)a0

2+

∞∑

n=1

(an cosnx+ bn sinnx)

называется рядом Фурье.

Числа a0, a1, b1, · · · , an, bn, · · · — называются коэффициентами Фурье.Все члены ряда (73.14) являются периодическими функциями с перио-

дом2π

n. Общий период этих коэффициентов равен 2π. Следовательно, если

ряд Фурье сходится на отрезке [−π, π], то он сходится на всей действитель-ной оси (−∞,∞), a функция

(73.15) f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

(an cosnx+ bn sinnx)

является периодической с периодом 2π. Приведем некоторые формулы, ко-торые понадобятся для вывода коэффициентов Фурье.

74

(73.16)

sinx sin y =1

2(cos(x− y)− cos(x+ y)) ; sin2 x =

1

2(1− cos 2x);

cosx cos y =1

2(cos(x− y) + cos(x+ y)) ; cos2 x =

1

2(1 + cos 2x);

sinx cos y =1

2(sin(x− y) + sin(x+ y)) ; sinx cosx = 1

2sin 2x.

Используя формулы (73.16), легко вычислить следующие интегралы.Если n и k – натуральные числа и n 6= k, то имеют место следующиеравенства:

(73.17)

π∫−π

cosnx cos kx dx = 0,π∫

−π

sinnx sin kx dx = 0,

π∫−π

sinnx cos kx dx = 0,π∫

−π

sinnx dx = 0,π∫

−π

cosnx dx = 0,

если же n = k, то

(73.18)π∫

−π

cos2 kx dx = π,π∫

−π

sin2 kx dx = π,π∫

−π

sin kx cos kx dx = 0.

Предположим, что функциональный ряд (73.15) правильно сходится наотрезке [−π, π]. Выведем формулы для коэффициентов ряда Фурье. Таккак правильно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, то проин-тегрируем выражение (73.15) в пределах от −π до π. Получаем

π∫

−π

f(x) dx =

π∫

−π

a0

2dx+

∞∑

n=1

an

π∫

−π

cosnx dx+ bn

π∫

−π

sinnx dx

.

Используя формулы (73.17) и то, чтоπ∫

−π

a0

2dx = a0π, получаем

a0 =1

π

π∫−π

f(x) dx.

Умножим правую и левую часть выражения (73.15) на cos kx, где k ∈ N ,и проинтегрируем полученное выражение:

π∫−π

f(x) coskx dx =a0

2

π∫−π

cos kx dx+

+∞∑

n=1

(an

π∫−π

cosnx cos kx dx+ bnπ∫

−π

sinnx cos kx dx

).

Согласно формулам (73.17,73.18 ) в правой части данного выражениявсе слагаемые, кроме одного при n = k, равны нулю. Ненулевое слагаемое


ak

π∫−π

cos2 kx dx = akπ. В результате вместо суммы бесконечного количества

слагаемых получаемπ∫

−π

f(x) coskx dx = akπ.

Откуда ak =1

π

π∫−π

f(x) coskx dx.

Аналогично, умножая обе части уравнения (73.15) на sin kx и интегри-руя полученное выражение в пределах от −π до π, используя формулы(73.17, 73.18), найдем выражение для коэффициентов bk:

bk =1

π

π∫

−π

f(x) sinkx dx.

Таким образом, если периодическая функция f(x) с периодом 2π явля-ется суммой правильно сходящегося ряда Фурье (73.15) на отрезке [−π, π],то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

(73.19)

a0 =1

π

π∫

−π

f(x) dx, an =1

π

π∫

−π

f(x) cosnx dx, bn =1

π

π∫

−π

f(x) sinnx dx.

Формулы (73.19) выведены в предположении, что ряд Фурье сходитсяправильно. Приведем без доказательства достаточное условие сходимостиряда Фурье. Дадим некоторые определения, необходимые для формулиров-ки основной теоремы.

Определение 73.2. Функция f(x) называется кусочно-монотонной наотрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить на конечное число от-резков, внутри каждого из которых функция монотонна.

Определение 73.3. Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихлена отрезке [a, b], если:1) функция непрерывна на отрезке [a, b] или же имеет на нем конечноечисло точек разрыва I рода;2) функция кусочно-монотонна на отрезке [a, b].

Теперь сформулируем теорему Дирихле, дающую достаточные условияразложимости функции f(x) в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая функция f(x) с периодом2π удовлетворяет на любом отрезке условиям Дирихле. В таком случае

76

ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точкахчисловой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f(x)сумма ряда S(x) равна значению функции в этой точке. В каждой точкеx0 разрыва функции сумма ряда равна среднеарифметическому предельныхзначений функции при x→ x0 слева и справа, т.е.

(73.20) S(x0) =1

2

(lim

x→x0−f(x) + lim

x→x0+f(x)

).

Пример 73.1. Разложить на области x ∈ (−π, π] в ряд Фурье функциюf(x) = x.

Р е ш е н и е: Данная функция не является периодической. Но, учи-тывая, что в нашу задачу входит разложение функции только на ин-тервале (−π, π], мы можем раскладывать в ряд Фурье другую функцию

f1(x) = f(x− Int

( x2π

)2π), где функция Int(x) вычисляет целую часть

аргумента по обычным арифметическим правилам. Новая функция f1(x)полностью удовлетворяет условиям Дирихле и, кроме того, равна исход-ной функции на исследуемой области (−π, π]. Применяя формулы (73.19),найдем коэффициенты Фурье:

a0 =1

π

π∫−π

x dx =1

π

x2

2

∣∣∣π

−π= 0;

an =1

π

π∫−π

x cosnx dx =1

πn

π∫−π

xd sinnx =1

nπ

(x sinnx

∣∣∣π

−π−

−∫ π

−πsinnx dx

)=

1

πn2cosnx

∣∣∣π

−π=

1

πn2

(cosnπ − cos(−nπ)

)= 0;

bn =1

π

π∫−π

x sinnx dx = − 1

πn

π∫−π

xd cosnx = − 1

nπ

(x cosnx

∣∣∣π

−π−

−π∫

−π

cosnx dx

)= − 1

πn

(π cosnπ + π cos(−nπ)− 1

nsinnx

∣∣∣π

−π

)=

= − 2

ncosnπ = −2(−1)n

n.

Таким образом, a0 = a1 = · · · = an = · · · = 0; bn =2(−1)n−1

n. Следова-

тельно

f1(x) = 2

(sinx

1− sin 2x

2+

sin 3x

3− sin 4x

4+ · · ·+ (−1)n−1

nsinnx+ . . .

).


Или в более краткой форме

f1(x) = 2

∞∑

n=1

(−1)n−1 sinnx

n.

73.3. Ряд Фурье для четных и нечетныхфункций

Если исследуемая функция обладает свойствами четности или нечет-ности, то формулы для ряда Фурье и коэффициентов Фурье существенноупрощаются. Для четной функции ϕ(x) выполняется условие ϕ(−x) = ϕ(x),поэтому

(73.21)

π∫−π

ϕ(x) dx =0∫

−π

ϕ(x) dx+π∫0

ϕ(x) dx =π∫0

ϕ(−x) dx+π∫0

ϕ(x) dx =

=π∫0

ϕ(x) dx+π∫0

ϕ(x) dx = 2π∫0

ϕ(x) dx.

Аналогично для нечетной функции ϕ(−x) = −ϕ(x). Поэтому

(73.22)

π∫−π

ϕ(x) dx =0∫

−π

ϕ(x) dx+π∫0

ϕ(x) dx =π∫0

ϕ(−x) dx+π∫0

ϕ(x) dx =

= −π∫0

ϕ(x) dx+π∫0

ϕ(x) dx = 0.

Рассмотрим теперь разложение в ряд Фурье нечетной функции f(x).В этом случае подынтегральные функции для коэффициентов Фурье a0

и ak являются нечетными, а для коэффициентов bk — четными. Поэтомуформулы для коэффициентов Фурье принимают вид

(73.23) a0 = 0, an = 0, bn =2

π

π∫

0

f(x) sinnx dx.

Тогда формула для ряда Фурье принимает вид

(73.24) f(x) =

∞∑

n=1

bn sinnx.

Аналогично для четной функции

78

(73.25) a0 =2

π

π∫

0

f(x)dx, an =2

π

π∫

0

f(x) cosnxdx, bn = 0.

Тогда формула для ряда Фурье принимает вид

(73.26) f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx.

Из формул (73.24) и (73.26) видно, что нечетная функция раскладыва-ется только по синусам, а четная функция — только по косинусам.

73.4. Разложение в ряд Фурье функций спериодом 2l.

Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом 2l. Введем новую

переменную z =π

lx. Тогда функция f(

l

πz) будет периодической с периодом

2π. Ее можно разложить в ряд Фурье (73.15) на отрезке x ∈ [−π, π]:

f( 1

πz)

=a0

2+

∞∑

n=1

(an cosnz + bn sinnz) ,

где коэффициенты Фурье имеют вид:

a0 =1

π

π∫−π

f( lπz)dz, an =

1

π

π∫−π

f( lπz)

cosnzdz,

bn =1

π

π∫−π

f( lπz)

cosnzdz.

Теперь произведем обратную замену x =l

πz, z = x

π

l, dz =

π

ldx.

При z = −π, x = −l, при z = π, z = l.Получаем коэффициенты Фурье для периодической функции f(x) с пе-

риодом 2l.

(73.27)a0 =

1

l

l∫−l

f(x)dx, an =

1

l

l∫−l

f(x) cos(nπlx)dx,

bn =1

l

l∫−l

f(x) sin(nπlx)dx.

И ряд Фурье принимает вид

73 Практика – Классификация уравнений второго порядка 79

(73.28) f(x)

=a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

lx+ bn sin

nπ

l

).

Для нечетной периодической функции f(x) с периодом 2l коэффициен-ты Фурье принимают вид

(73.29) a0 = an = 0; bn =2

l

l∫

0

f(x) sin(nπlx)dx.

Ряд Фурье примет достаточно простой вид

(73.30) f(x)

=∞∑

n=1

(bn sin

nπ

l

).

Для четной периодической функции f(x) с периодом 2l коэффициентыФурье принимают вид

(73.31) a0 =2

l

l∫

0

f(x)dx, an =2

l

l∫

0

f(x) cosnπ

lx dx, bn = 0.

Ряд Фурье примет достаточно простой вид

(73.32) f(x)

=a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

nπ

lx).

73. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ –Классификация уравнений второгопорядка

Решение всех типовых примеров данной темы подробно разобрано влекции 72.


Определить тип дифференциальных уравнений, найти их характери-стики и привести их к каноническому виду:


∂x2+ 2

∂2u

∂x∂y+ 2

∂2u

∂y2= 0.

80


∂x2− 4

∂2u

∂x∂y+ 4

∂2u

∂y2=∂u

∂y.


∂x2− 8

∂2u

∂x∂y+ 12

∂2u

∂y2= 3

∂u

∂x− 5

∂u

∂y.

Определить тип и найти характеристики уравнений:

Пример 73.4. x2∂2u

∂x2− y2∂

2u

∂y2+ 3x

∂u

∂x− y3∂u

∂y= 0.

Пример 73.5.1

x2

∂2u

∂x2+

1

y2

∂2u

∂y2= xy

∂u

∂x− xy∂u

∂y.


∂x2+ 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2∂

2u

∂y2= 0.

Пример 73.7. x∂2u

∂x2− y∂

2u

∂y2− y3∂u

∂x− x∂u

∂y.

Пример 73.8.1

x

∂2u

∂x2+ y

∂2u

∂y2= xy

∂u

∂y.


∂x2+ x

∂2u

∂y2= x+ y.


∂x2+ 2xy

∂2u

∂x∂y− 3y2∂

2u

∂y2= 2x

∂u

∂x+ y.

74. ЛЕКЦИЯ – Решение краевых задачтеплопроводности с однороднымиграничными условиями методом Фурье

74.1. Расщепление уравнениятеплопроводности

Ранее была сформулирована задача теплопроводности для конечногостержня длины l. Математически она сводится к нахождению решенияуравнения теплопроводности (72.15), удовлетворяющего начальным усло-виям (73.6) и заданным граничным условиям при x = 0 и x = l.

Задачу будем решать методом Фурье, т.е. будем искать решение в виде:

(74.1) u(x, t) = X(x)T (t).

Подставим это решение в уравнение (72.15):

∂u

∂t= X(x) · T ′(t),

∂2u

∂x2= X ′′(x) · T (t)⇒ X(x)T ′(t) = a2X ′′(x)T (t),

74 Лекция – Решение задач теплопроводности 81

откуда:T ′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x).

Поскольку левая часть получившегося равенства не зависит от x, а пра-вая – от t, они не зависят ни от x, ни от t и, следовательно, эти отношенияпостоянны:

(74.2)T ′(t)

a2T (t)=X ′′(x)

X(x)= C.

Отсюда получаем два уравнения:

(74.3)

{T ′(t)− a2CT (t) = 0,X ′′(x)− CX(x) = 0.

Первое из них имеет общее решение T (t) = BeCa2t и, поскольку приt→∞ температура u(x, t) не может неограниченно возрастать, заключаем,что C < 0. Обозначим C = −λ2, тогда решение первого из уравнений (74.3)примет вид:

(74.4) T (t) = Be−λ2a2t.

С учетом того, что C = −λ2, второе из уравнений (74.3) X ′′(x) ++λ2X(x) = 0 имеет общее решение:

(74.5) X(x) = C1 cosλx + C2 sinλx,

так как его характеристическое уравнение s2 + λ2 = 0 имеет чисто мнимыекорни s1,2 = ±λi.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения теплопровод-ности в виде произведения двух функций

u(t, x) = Be−λ2a2t(C1 cosλx+ C2 sinλx).

Осталось найти константы интегрирования. Для определения константC1 и C2 используются граничные условия на торцах стержня.

74.2. Постоянная температура на торцахстержня

Рассмотрим прежде всего задачу с нулевой температурой на торцах.В этом случае граничные условия (73.7) с учетом (74.1) принимают вид

X(0)T (t) = 0, X(l)T (t) = 0.

Так как эти равенства справедливы для любых функций T (t), отсюда сле-дует, что

(74.6) X(0) = X(l) = 0.

82

Найдем частное решение X(x), удовлетворяющее граничным условиям(74.6). Подставим (74.6) в (74.5):

{X(0) = 0X(l) = 0

⇒{C1 = 0C1 cosλl + C2 sinλl = 0

⇒{C1 = 0C2 sinλl = 0

⇒

⇒ sinλl = 0⇒ λl = kπ, k ∈ Z ⇒ λk =kπ

l⇒ Xk(x) = Ck sin

kπx

l,

так как Ck — произвольная константа и с ее помощью можно выбиратьзнак, будем считать, что k = 1, 2, 3, . . .

Величины λk = kπ/l называется собственными числами, а функцииsin(kπx/l) — собственными функциями второго из уравнений (74.3). Соот-ветствующие решения первого уравнения из системы (74.3) Tk(t) определя-ются по формуле (74.4) при значениях

λk =kπ

l; Tk(t) = Bke

−λ2ka2t.

Подставляя функции Xk(x) и Tk(t) в формулу (74.1), получаем решениеuk(x, t) уравнения (72.15), удовлетворяющее граничным условиям (73.7):

(74.7) uk(x, t) = BkCke−λ2

ka2t sinkπx

l= bke

−λ2ka2t sin

kπx

l,

где bk = BkCk.Решение u(x, t) уравнения (72.15), удовлетворяющее кроме граничных

условий (73.7) еще и начальным условиям (73.6), будем искать в виде ряда:

(74.8) u(x, t) =∞∑

k=1

uk(x, t) =∞∑

k=1

bke−(kπ/l)2a2t sin

kπx

l.

В силу линейности и однородности уравнения (72.15) функция (74.8)также будет его решением, поскольку оно является суммой решений uk(x, t)этого уравнения.

Кроме того, очевидно, что u(x, t) удовлетворяет граничным условиям(73.7). Подберем произвольные константы bk(k = 1, 2, . . . ) так, чтобы вы-полнялось начальное условие (73.6):

u(x, 0) =

∞∑

k=1

bk sinkπx

l= ϕ(x).

Таким образом, величины bk являются коэффициентами разложенияфункции ϕ(x) заданной на (0, l) в ряд Фурье по синусам:

(74.9) bk =2

l

l∫

0

ϕ(x) sinkπx

ldx.


Следовательно, решение уравнения теплопроводности (72.15) с началь-ным условием (73.6) и нулевой температурой на концах дается рядом (74.8),где коэффициенты bk определяются по формулам (74.9).

Пусть теперь температура на концах стержня постоянна и отлична отнуля, т.е. граничные условия имеют вид:

(74.10) u|x=0 = h0, u|x=l = h1,

то заменой неизвестной функции u(x, t) на w(x, t):

u(x, t) = w(x, t) + γ1x+ γ0,

в соответствии с подбором коэффициентов γ0 и γ1 можно свести эту за-дачу к задаче теплопроводности относительно новой неизвестной функцииw(x, t), с другими начальными условиями и нулевой температурой на кон-цах.

Действительно, используя предлагаемую замену и граничные условия,для коэффициентов γ0 и γ1 получаем систему двух уравнений:

u|x=0 = w|x=0 + γ0, u|x=0 = h0; w|x=0 = 0⇒ h0 = γ0;

u|x=l = w|x=l + γ1l + γ0, u|x=l = h1; w|x=l = 0⇒ h1 = γ1l + γ0.

Решая эту систему, находим γ1 и γ0:

γ0 = h0; γ1 =h1 − h0

l.

Откуда

(74.11) u(x, t) = w(x, t) +h1 − h0

lx+ h0.

Поскольку∂u

∂t=

∂w

∂t;

∂2u

∂x2=

∂2w

∂x2, то функция w(x, t) также удо-

влетворяет уравнению теплопроводности (72.15), как и функция u(x, t).Начальные условия (73.6) для функции u(x, t) заменяются на начальныеусловия для функции w(x, t):

(74.12) w(x, t)|t=0 = ϕ(x)− h1 − h0

lx− h0,

а граничные условия (74.10) — на нулевые граничные условия:

(74.13) w|x=0 = 0; w|x=l = 0.

Решая уравнение теплопроводности с начальными условиями (74.12) инулевыми граничными условиями (74.13), находим решение w(x, t). Реше-ние u(x, t) исходной задачи с начальными условиями (74.10) определяетсязатем по формуле (74.11).

84

74.3. Торцы стержня теплоизолированыРассмотрим теперь задачу, в которой концы стержня теплоизолирова-

ны. Как показано в предыдущей лекции, граничные условия в этом случаеимеют вид (73.8).

Задачу будем решать методом Фурье, т.е. будем искать решение в ви-де (74.1). Подставив это решение в уравнение (72.15), получим равенство(74.2) и два уравнения (74.3). В начале данной лекции уже доказывалось,что значение константы C в (74.2) и (74.3) должно быть отрицательным:C = −λ2, и решение второго из уравнений (74.3) имеет вид (74.4). Общеерешение второго из уравнений (74.3) имеет вид (74.5).

Граничное условие (73.9) с учетом (74.1) принимает вид:

X ′(0)T (t) = 0, X ′(l)T (t) = 0.

Поскольку эти равенства справедливы для любых функций T (t), отсюдаследует, что:

(74.14) X ′(0) = X ′(l) = 0.

Найдем частное решение X(x), удовлетворяющее граничным условиям(74.14), для чего найдем X ′(x) и подставим в полученное выражение гра-ничные условия (74.14), определяем:

(74.15) X ′(x) = −λC1 sinλx+ λC2 cosλx.

X ′(0) = 0⇒ λC2 = 0⇒ C2 = 0.

X ′(l) = 0⇒ λ(−C1 sinλl + C2 cosλl) = 0⇒ sinλl = 0⇒

⇒ λl = kπ, k ∈ Z ⇒ λk =kπ

l⇒ Xk(x) = Ck cos

kπx

l.

Выбирая знак с помощью произвольной константы Ck, будем считать,что k = 0, 1, 2, 3, . . . . Здесь добавляется собственное число k = 0, так каксобственными функциями теперь являются косинусы, а cos 0 = 1 6= 0. Соот-ветствующие собственным числам λk = kπ/l решения Tk(t) определяютсяпо формуле (74.3):

Tk(t) = Bke−λ2

ka2t.

Подставляя функции Xk и Tk(t) в формулу (74.1), получаем решениеuk(x, t) уравнения (72.15), удовлетворяющее граничным условиям (73.9):

(74.16) uk(x, t) = BkCke−λ2

ka2t coskπx

l= ake

−λ2ka2t cos

kπx

l,

где ak = BkCk, k = 1, 2, 3 . . .

Обозначим B0C0 =a0

2⇒ u0(x, t) =

a0

2.


Решение uk(x, t) уравнения (72.15), удовлетворяющее кроме граничныхусловий (73.9), еще и начальным условиям (73.6), будем искать в виде ряда:

(74.17) u(x, t) =∞∑

k=0

uk(x, t) =a0

2+

∞∑

k=1

ake−(kπ/l)2a2t cos

kπx

l,

где слагаемое a0/2 соответствует собственному числу λ0 = 0. Как и в преды-дущем случае, убеждаемся, что эта функция является решением уравнения(72.15), удовлетворяющим граничным условиям (73.8). Подберем констан-ты так, чтобы выполнялось начальное условие (73.6):

a0

2+

∞∑

k=1

ak coskπx

l= ϕ(x).

Таким образом, величины ak являются коэффициентами разложенияфункции ϕ(x), заданной на (0, l) в ряд Фурье по косинусам

(74.18) ak =2

l

l∫

0

ϕ(x) coskπx

ldx.

Следовательно, решение уравнения теплопроводности (72.15) с началь-ным условием (73.6) и теплоизолированными торцами дается рядом (74.17),где коэффициенты ak определяются по формулам (74.18).

Пример 74.1. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой по-верхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная тем-пература постоянна по стержню: ϕ(x) = u0 при 0 6 x 6 l. Найти рас-пределение температуры u(x, t) в любой момент времени.

Р е ш е н и е: Решение задачи с теплоизолированными торцами даетсярядом (74.17), где коэффициенты определяются по формулам (74.18):

ak =2u0

l

l∫

0

coskπx

ldx =

{2u0 при k = 00 при k > 0

.

По формуле (74.17) получаем решение u(x, t) = a0/2 = u0.Полученный результат очевиден, так как при полной теплоизоляции

стержня постоянная начальная температура сохраняется в нем при всехt > 0.

86

74.4. Смешанные однородные граничныеусловия

В заключение данной лекции рассмотрим задачу, в которой один конец(например, левый) теплоизолирован, а другой (правый) — поддерживаетсяпри нулевой температуре. В этом случае граничные условия имеют вид(73.11).

При решении задачи методом Фурье получаем такие же уравнения(74.2), их общие решения (74.3), (74.4). Граничные условия (73.10) с учетом(74.1) принимают вид:

(74.19) X ′(0) = 0, X(l) = 0.

Найдем частное решение X(t), удовлетворяющее граничным условиям(74.19), для чего в выражение (74.15) для X ′(x) подставим x = 0, получимX ′(0) = 0 ⇒ λC2 = 0 ⇒ C2 = 0. В выражение (74.5) подставим x = l,получим X(l) = 0⇒ C1 cosλl+C2 sinλl = 0⇒ C1 cosλl = 0⇒ cosλl = 0⇒⇒ λl =

π

2+ kπ, k ∈ Z ⇒ λk =

(2k + 1)π

2l⇒ Xk(x) = Ck cos

(2k + 1)πx

2l.

Выбирая знак с помощью произвольной константы Ck, считаем, чтоk = 0, 1, 2, . . . . Соответствующие собственным числам λk = (2k + 1)π/(2l)решения Tk(t) определяются по формуле (74.4). Подставляя функции Xk(x)и Tk(t) в формулу (74.1), получаем решение уравнения (72.15), удовлетво-ряющее граничным условиям (73.11):

(74.20) uk(x, t) = BkCke−λ2

ka2t cos(2k + 1)πx

2l= ake

−λ2ka2t cos

(2k + 1)πx

2l,

где ak = BkCk, k = 0, 1, 2, 3, . . . .Решение uk(x, t) уравнения (72.15), удовлетворяющее кроме граничных

условий (73.11) еще и начальным условиям (73.6), будем искать в виде ряда:

(74.21) u(x, t) =

∞∑

k=0

uk(x, t) =

∞∑

k=0

ake−((2k+1)π/2l)2a2t cos

(2k + 1)πx

2l.

Как и раньше, легко убедиться, что эта функция является решениемуравнения (72.15), удовлетворяющим граничным условиям (73.11). Подбе-рем константы ak, (k = 0, 1, 2, . . . ) так, чтобы выполнялось начальное усло-вие (73.6):

(74.22)∞∑

k=0

ak cos(2k + 1)πx

2l= ϕ(x).


Студентам предлагается самостоятельно показать, что система функ-

ций cos(2k + 1)πx

2lортогональна на (0, l). То есть, доказать равенства:

(74.23)

l∫

0

cos(2k + 1)πx

2lcos

(2n+ 1)πx

2ldx =

{l/2 при k = n0 при k 6= n

.

Как и при получении формул для коэффициентов ряда Фурье, домно-

жая обе части равенства (74.22) на cos(2k + 1)πx

2lи интегрируя на (0, l), с

учетом (74.23) получаем формулу для коэффициентов:

(74.24) ak =2

l

l∫

0

ϕ(x) cos(2k + 1)πx

2ldx.

Решение уравнения теплопроводности (72.15) с начальным условием(73.6) и граничными условиями (73.11) дается рядом (74.21), где коэффи-циенты определяются по формулам (74.24).

Пример 74.2. В конечном стержне длины l левый конец теплоизоли-рован, а правый поддерживается при нулевой температуре. Найти рас-пределение температуры в стержне в произвольный момент t > 0, еслидано начальное распределение температуры: u|t=0 = l − x.

Р е ш е н и е: Имеем смешанную задачу для уравнения теплопровод-ности с граничными условиями:

(74.25)∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= u|x=l = 0.

и начальным условием u|t=0 = l − x.Решение дается рядом (74.21), где коэффициенты ak определяются по

формулам (74.24):

ak =2

l

l∫

0

(l − x) cos(2k + 1)πx

2ldx =

4

(2k + 1)π(l − x) sin

(2k + 1)πx

2l

∣∣∣∣l

0

+

+4

(2k + 1)π

l∫

0

sin(2k + 1)πx

2ldx =

4

(2k + 1)π(l − x) sin

(2k + 1)πx

2l

∣∣∣∣l

0

−

− 8l

(2k + 1)2π2cos

(2k + 1)πx

2l

∣∣∣∣l

0

= − 8l

(2k + 1)2π2

(cos

(2k + 1)π

2− 1

)=

88

=8l

(2k + 1)2π2.

Решение в соответствии с (74.21) имеет вид

(74.26) u(x, t) =8l

π2

∞∑

k=0

1

(2k + 1)2e−a2(2k+1)2π2t/4l2 cos

(2k + 1)πx

2l.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1xm

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

0,6

0,4

0,2

0,8

1

m

m

m

m

m

m

Рис. 74.1

Проведем исследование данного решения. В задаче левый торец тепло-изолирован, а правый поддерживается при нулевой температуре, т.е. поме-щен в термостат, например в очень большой сосуд с таящим льдом. Приt → ∞ очевидно, что температура во всех точках стержня выровняется истанет равной температуре в термостате, т.е. равной нулю. Из граничныхусловий очевидно, что в любой момент времени (даже сколь угодно малый)температура принимает на правом торце нулевое значение, а на левом ка-сательная к графику функции ее распределения параллельна оси Ox. Нарис. 74.1 представлены кривые u(x) для различных моментов времени t,рассчитанные по формуле (74.26).

Решением примера 74.2 является функция двух переменных, представ-ленная в виде ряда. Для построения графика данной функции необходимодля фиксированного значения временной переменной t найти сумму рядав фиксированных точках xm, m = 0, 1, · · ·M по пространственной перемен-ной x, а затем построить график. Такую трудоемкую работу вручную, илидаже с калькулятором, выполнять не очень интересно и очень долго. Т.е.необходимо применить компьютер. Эту задачу удобнее решать средствами

74 Лабораторная – Разложение функций в ряд Фурье 89

пакета MathCad. Более того, при использовании этого пакета нет необхо-димости вручную вычислять коэффициенты ak.

74.5. Сводные формулы решения однородныхзадач теплопроводности методом Фурье

Для удобства использования полученных в данной лекции результатов,выпишем отдельно решения уравнения теплопроводности

∂u

∂t= a2∂

2u

∂x2

с начальными условиями u|t=0 = ϕ(x) для трех типов однородных гранич-ных условий.

1) u|x=0 = u|x=l = 0. u(x, t) =∞∑

k=1

bke−(kπ/l)2a2t sin

kπx

l,

где bk =2

l

l∫

0

ϕ(x) sinkπx

ldx, k = 1, 2, . . .

2)∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

=∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0. u(x, t) =a0

2+

∞∑

k=1

ake−(kπ/l)2a2t cos

kπx

l,

где ak =2

l

l∫

0

ϕ(x) coskπx

ldx, k = 0, 1, 2, . . .

3)∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= ux=l = 0. u(x, t) =∞∑

k=0

ake−λ2

ka2t cosλkx,

где ak =2

l

l∫

0

ϕ(x) cosλkxdx, λk =(2k + 1)π

2l.

74. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА – Разложениефункций в ряд Фурье

74.1. Разложение функций в ряд Фурье сиспользованием пакета MathCad

Процесс разложения функций в ряд Фурье является достаточно одно-образным и трудоемким. Первая трудность состоит в вычислении инте-гралов. В большинстве практических случаев интегралы аналитически невычисляются. Для их вычисления необходимо применять численные мето-ды. Еще более трудоемкой задачей является вычисление суммы ряда Фурье

90

и построение графика полученной функции. С такой задачей достаточнопросто можно справиться при помощи пакета MathCad.

Рассмотрим пример разложения произвольной функции в ряд Фурье спомощью макета MathCad.

Пример 74.1. Разложить в ряд Фурье на отрезке [−1, 1] функциюy = x4.

Данная функция является четной. Но для общности решения задачиФурье, мы не будем учитывать свойство четности данной функции и разло-жим ее по общим формулам (73.27,73.28). Приведем MathCad - программурешения данной задачи.

ORIGIN := 0 TOL := 0.00001 L := 1 A := 3 B := 3N := 30 n := 0..N f(x) := x4

an :=1

L·

L∫−L

f(x) · cos(n · π · x

L

)dx

bn :=1

L·

L∫−L

f(x) · sin(n · π · x

L

)dx

F (x,K) :=a0

2+

K∑n=1

(an · cos

(n · π · xL

)+ bn · sin

(n · π · xL

))

На рис. 74.1 представлены графики частичных сумм при K = 1, K = 2,и K = 30. Мы видим, что разложение в ряд Фурье достаточно быстро

сходится к периодической функции f1(x) = f(x−Int

( x

2 · L)2 ·L

), где Int —

функция, округляющая аргумент по стандартным правилам округления,принятым в математике.

0 2 31-1-2-3

xA B

-0,13

-0,5

0,25

0,63

1

F(x,30)

F(x,2)

F(x,1)

Рис. 74.1

Таким образом, подставляя вместо функции f(x) любую функцию, удо-влетворяющую условиям Дирихле, по приведенной программе можно по-лучить разложение в ряд Фурье. Параметры A и B задают область для

75 Лекция – Решение задачи теплопроводности 91

построения графика функции F (x,K). K указывает, сколько слагаемыхв разложении ряда Фурье необходимо учитывать. Параметр N показыва-ет, сколько коэффициентов Фурье необходимо вычислять. Следовательно,параметр K нельзя задавать больше, чем параметр N . Для того чтобы по-смотреть значения коэффициентов Фурье, необходимо ввести оператор a иподать команду вычислить F9.

Задание: Разложить в ряд Фурье функции, заданные в Вашем вариан-те типового расчета по дифференциальным уравнениям, представленномв учебном пособии [2].

75. ЛЕКЦИЯ – Решение задачитеплопроводности в бесконечном стержне

Интеграл Фурье. Решение задачи теплопроводности в бесконечномстержне с использованием интеграла Фурье. Решение задачи Кошидля полубесконечного стержня

75.1. Интеграл Фурье и задачатеплопроводности в бесконечном стержне

Чтобы решить уравнение теплопроводности для бесконечного и полу-бесконечного стержня нам понадобится новое понятие — интеграл Фурье,являющийся некоторым обобщением понятия ряда Фурье.

Ниже будет показано, что если функция f(x) удовлетворяет условиям

Дирихле на любом конечном интервале и1

l

∞∫−∞|f(x)|dx сходится (говорят,

что f(x) абсолютно интегрируема), то функцию f(x) можно в этом случаепредставить интегралом Фурье, т.е. во всех точках непрерывности

(75.1) f(x) =

∞∫

0

(A(α) cosαx +B(α) sinαx)dα,

а в точках разрыва выполняется:

f(x− 0) + f(x+ 0)

2=

∞∫

−∞

(A(α) cosαx+ B(α) sinαx)dα.

92

Коэффициенты A(α) и B(α) определяются по формулам:

(75.2)A(α) =

1

π

∞∫−∞

f(τ) cosατdτ ;

B(α) =1

π

∞∫−∞

f(τ) sinατdτ.

В случае ряда Фурье частоты слагаемых образуют, как говорят, дис-

кретный спектр:π

l,2π

l, . . . ,

kπ

l, . . . .

В случае интеграла Фурье частоты образуют непрерывный спектр, при-нимая все неотрицательные значения:

α ∈ [0,+∞) .

Аналогично тому, как это делалось в лекции 73 для коэффициентов Фурье,можно показать, что для случая четной функции f(x) коэффициенты A(α)и B(α) определяются по формулам:

(75.3) A(α) =2

π

∞∫

0

f(τ) cosατdτ, B(α) = 0,

и, следовательно интеграл Фурье примет вид:

(75.4) f(x) =

∞∫

0

A(α) cosαxdx.

Для случая нечетной функции f(x) соответствующие формулы прини-мают вид:

(75.5) A(α) = 0, b(α) =2

π

∞∫

0

f(τ) sinατdτ,

(75.6) f(x) =

∞∫

0

B(α) sinαxdx.

Заметим, что интеграл Фурье можно представить в более коротком ви-де.

Подставив в формулу (75.1) выражения (75.2) для коэффициентов по-лучим:

f(x) =

∞∫

0

1

π

∞∫

−∞

f(τ)(cosατ cosαx + sinατ sinαx)dτdα.


Это выражение с учетом известной тригонометрической формулы

cosα(τ − x) = cosατ cosαx+ sinατ sinαx

можно переписать в виде:

(75.7) f(x) =1

π

∞∫

0

dα

∞∫

−∞

f(τ) cosα(τ − x)dx.

Можно показать, что представление функции в виде интеграла Фурьеполучается предельным переходом из разложения этой функции в ряд Фу-рье при l →∞.

Ранее (см. с. 72) была сформулирована задача теплопроводности длябесконечного стержня. Математически она сводится к нахождению реше-ния уравнения теплопроводности (72.15), удовлетворяющего начальнымусловиям (73.6). Так как стержень бесконечный, граничные условия не за-даются.

Задачу будем решать методом Фурье, т.е. будем искать решение в видепроизведения двух функций одного переменного: u(x, t) = X(x)T (t).

По аналогии с использованием метода Фурье для конечного стержнячастное решение уравнения (72.15), соответствующее определенному λ, по-лучается в следующем виде:

uλ(x, t) = (A(λ) cosλx+ B(λ) sinλx)e−λ2a2t.

При решении методом Фурье задачи для конечного стержня в подразде-ле 74.1 получалось, что для удовлетворения заданных граничных условийнеобходимо, чтобы параметр λ принимал значения, образующие некоторуюпоследовательность λk (собственные числа), а решение, удовлетворяющееначальным условиям, искалось в виде ряда.

В рассматриваемой сейчас задаче граничных условий нет и параметр λможет принимать любые положительные значения. Решение, удовлетворя-ющее начальным условиям (73.6), естественно искать в виде соответствую-щего интеграла по параметру λ, т.е. в виде интеграла Фурье:

(75.8) u(x, t) =

∞∫

0

(A(λ) cosλx+ B(λ) sinλx)e−λ2a2tdλ.

Можно показать, что эта функция также является решением уравне-ния (72.15). Функции A(λ) и B(λ) подберем так, чтобы решение (75.7) удо-влетворяло условию (73.6). Подставив в выражение (75.8) значение t = 0,

94

получим:

u|t=0 = ϕ(x)⇒∞∫

0

(A(λ) cosλx+ B(λ) sinλx)dλ = ϕ(x).

Это есть разложение функции ϕ(x) в интеграл Фурье, в соответствии сформулами (75.2) получаем для коэффициентов A(λ) и B(λ) формулы

(75.9)A(λ) =

1

π

∞∫−∞

ϕ(τ) cosλτdτ ;

B(λ) =1

π

∞∫−∞

ϕ(τ) sinλτdτ.

Подставляя выражения (75.9) в формулу (75.8), получаем решение урав-нения теплопроводности в виде интеграла Фурье, при этом воспользуемсяформулой (75.7):

(75.10) u(x, t) =1

π

∞∫

0

dλ

∞∫

−∞

ϕ(τ) cosλ(τ − x)e−λ2a2tdτ.

Запишем получившееся решение в виде так называемого интегралаПуассона, для чего примем без доказательства следующую формулу:

(75.11)

∞∫

0

cosλ(τ − x)e−λ2a2tdλ =1

2a

√π

te−(τ−x)2/(4a2t).

Поменяв в (75.10) порядок интегрирования и использовав формулу(75.11), получим:

u(x, t) =1

π

∞∫

−∞

ϕ(τ)

∞∫

0

cosλ(τ − x)e−λ2a2tdλ

dτ =

=1

2a√πt

∞∫

−∞

ϕ(τ)e−(τ−x)2/(4a2t)dτ.

Последний интеграл носит название интеграла Пуассона.Таким образом, решение уравнения теплопроводности (72.15) для бес-

конечного стержня с заданными начальными условиями (73.6) получилосьв виде интеграла Пуассона:

(75.12) u(x, t) =1

2a√πt

∞∫

−∞

ϕ(τ)e−(τ−x)2/(4a2t)dτ.


Пример 75.1. Начальное распределение температуры бесконечноготеплоизолированного стержня задается соотношениями

u(x, t)|t=0 =

0, при x < x1

u0, при x1 6 x 6 x2

0, при x > x2.

Найти распределение температуры в любой момент t > 0.

Р е ш е н и е: Искомое распределение дается интегралом Пуассона(75.12):

u(x, t) =u0

2a√πt

x2∫

x1

e−(τ−x)2/(4a2t)dτ.

Полученный интеграл легко выражается через известную функцию Ла-пласа Ф(z):

Ф(z) =1√2π

x∫

0

e−S2/2dS,

значения которой приведены в конце книги. Кроме того, во многих пакетахкомпьютерных программ имеются встроенные функции для вычисленияфункции Лапласа. Напомним, что функция Лапласа является нечетнойФ(−z) = −Ф(z), монотонно возрастающей на всей числовой оси. Крометого, Ф(−∞) = −0, 5,Ф(∞) = 0, 5. Сделаем замену переменных :

τ − xa√

2t= S ⇒ dτ = a

√2tdS ⇒ u(x, t) =

u0

2a√πt

x2−x

a√

2t∫

x1−x

a√

2t

e−S2/2a√

2tdS =

=u0√2π

x2−x

a√

2t∫

0

e−S2/2dS +

0∫

x1−x

a√

2t

e−S2/2dS

=

= u0

1√2π

x2−x

a√

2t∫

0

e−S2/2dS − 1√2π

x1−x

a√

2t∫

0

e−S2/2dS

⇒

(75.13) u(x, t) = u0

(Ф

(x2 − xa√

2t

)−Ф

(x1 − xa√

2t

)).

96

Отметим, что аргументыx2 − xa√

2tиx1 − xa√

2tпри x < x1 и при x > x2 имеют

одинаковые знаки, а при x1 < x < x2 — разные. А так как функция Ф(z)является нечетной и Ф(∞) = 0, 5, имеем, что при t = 0 правая часть вформуле (75.13) при x < x1 и x > x2 обращается в нуль, а при x1 < x < x2

равна u0, т.е. начальные условия удовлетворяются.Если в примере 75.1 задать конкретные значения a, x1 и x2, например

a = 1, x1 = 1, x2 = 3, тогда формула (75.13) примет вид :

u(x, t) = u0

{Ф

(3− x√

2t

)−Ф

(1− x√

2t

)}.

В заключение, не останавливаясь подробно на выводе формул, приведемконечные результаты, позволяющие решать уравнение теплопроводностидля полубесконечного стержня, когда распределение температуры u(x, t),кроме уравнения (72.15) и начального условия (73.6) должно удовлетворятьграничному условию при x = 0. В частности, если в точке x = 0 поддержи-вается нулевая температура, граничное условие имеет вид: u(0, t) = 0. Длярешения этой смешанной задачи воспользуемся формулами, полученнымидля бесконечной области. Для этого продолжим функцию Ф(x), задаю-щую начальную температуру, на отрицательную полуось x < 0 нечетнымобразом. Решение полученной задачи найдется по формуле (75.12), котораяпосле несложных преобразований с учетом нечетности Ф(x) примет вид:

(75.14) u(x, t) =1

2a√πt

∞∫

0

f(τ)

(e−

(τ−x)2

4a2t − e−(τ+x)2

4a2t

)dτ.

Решение смешанной задачи для полубесконечного стержня, когда левый

конец теплоизолирован, т.е. граничные условия имеют вид:∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0,

получается по формуле (75.12), если начальное условие — функцию Ф(x)продолжить на отрицательную полуось четным образом. Можно показать,что в этом случае решение примет вид:

(75.15) u(x, t) =1

2a√πt

∞∫

0

f(τ)

e

−(τ − x)2

4a2t + e−

(τ + x)2

4a2t

dτ.

75 Практика – Решение задач теплопроводности 97

75. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениезадач теплопроводности аналитическимиметодами

Теория по данному практическому занятию приведена в лекциях 74, 75.


Решить краевую задачу теплопроводности с однородными граничнымиусловиями:

Пример 75.1. u∣∣∣x=0

= u∣∣∣x=L

= 0,

u∣∣∣t=0

=

{x− L/2, x ∈ (0, L/2),0, x /∈ (0, L/2).

.


∂x

∣∣∣x=0

, u∣∣∣x=L

= 0,

u∣∣∣t=0

= 100L

(L− x), x ∈ [0, L].


∂x

∣∣∣x=0

=∂u

∂x

∣∣∣x=L

= 0,

u∣∣∣t=0

=

{100, x ∈ (0, L/2],20, x ∈ (L/2, L].

Пример 75.4. Решить уравнение теплопроводности на бесконечной об-ласти x ∈ (−∞,+∞) с заданными начальными условиями:

u∣∣∣t=0

=

100(1− x/10), x ∈ [0, 10],100(1 + x/10), x ∈ [−10, 0),0, |x| > 10.

Решить уравнение теплопроводности на полубесконечной областиx ∈ (0,+∞) с заданными граничными и начальными условиями:

Пример 75.5. u∣∣∣x=0

= 0, u∣∣∣t=0

=

{U0, x ∈ [2, 10],0, x ∈ (0, 2) ∪ (10,∞).


∂x

∣∣∣x=0

= 0, u∣∣∣t=0

=

{U0, 0 < x < L,0, x ≥ L.

98

76. ЛЕКЦИЯ – Решение задачтеплопроводности методом сеток

Решение задач теплопроводности методом сеток. Явная и неявнаясхемы. Исследование устойчивости конечно-разностных схем длякраевых задач описываемых уравнением теплопроводности

76.1. Решение задач теплопроводностиметодом сеток

Основные понятия метода сеток изложены в лекциях 70 и 71, посвя-щенных уравнениям в частных производных первого порядка. Поэтому вданной лекции общие вопросы метода сеток рассматриваться не будут. Вдобавление к рассмотренным в этих лекциях вопросам необходимо вывестиформулы, связанные с присутствием в дифференциальном уравнении про-изводной второго порядка по пространственной переменной x. Хотя, какмы уже отмечали, метод сеток применим к задачам различного типа, втом числе и нелинейным, для простоты и конкретности рассмотрим следу-ющую краевую задачу для уравнения теплопроводности.

(76.1)∂u

∂t− a2∂

2u

∂x2= 0.

Найти решение уравнения теплопроводности в прямоугольной области0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T при начальном условии

(76.2) u(0, x) = ϕ0(x),

а граничные условия запишем в более общем виде:

(76.3)

α0u∣∣∣x=0

+ α1∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= γ1(t);

β0u∣∣∣x=l

+ β1∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= γ2(t).

Прежде всего остановимся на аппроксимации второй производной в уз-ле сетки (n,m). Для этого необходимо привлечь не менее трех узлов. Ис-пользуем самую простейшую аппроксимацию. Сложив третье и четвертоеуравнения (70.7) и выразив из этой суммы вторую производную, получим:

(76.4)

(∂2u

∂x2

)n

m

=un

m+1 − 2unm + un

m−1

h2+ O(h2).

76 Лекция – Решение задач теплопроводности методом сеток 99

(n,m) (n,m+1)(n,m-1)

(n+1,m)

h h

τ

(a)

(n,m)

(n+1,m)

τh h

(n+1,m-1) (n+1,m+1)

(b)

Рис. 76.1

Рассмотрим две схемы, представленные на рис. 76.1.

76.1.1. Явная схема

Явная схема (вторая производная

(∂2u

∂x2

)n

m

расписывается по узлам n-

ого слоя, рис. 76.1,a).

(76.5)

un+1m − un

m

τ− a2

unm+1 − 2un

m + unm−1

h2= 0,

m = 1, 2, 3, . . . ,M − 1,n = 0, 1, 2, . . . , N − 1

u0m = ϕ0(xm), m = 0, 1, 2, . . . ,M,

α0un+10 + α1

un+11 − un+1

0

h= γ1(t

n+1), n = 0, 1, . . . , N − 1,

β0un+1M + β1

un+1M − un+1

M−1

h= γ2(t

n+1), n = 1, 2, . . . , N − 1.

Уравнение (76.5) представляет собой замкнутую систему(N + 1) · (M + 1) линейных алгебраических уравнений. Введем параметрr = τa2/h2 и перепишем эту систему в следующем виде(76.6)

u0m = ϕ0(xm), m = 0, 1, 2, . . . ,M, (a)

un+1m = (1− 2r)un

m + r(unm−1 + un

m+1),m = 1, 2, . . . ,M − 1,n = 1, 2, . . . , N − 1,

(b)

un+10 =

−α1/h

α0 − α1/hun+1

1 +γ1(t

n+1)

α0 − α1/h, n = 0, 1, 2, ..., N − 1, (c)

un+1M =

β1/h

β0 + β1/hun+1

M−1 +γ2(t

n+1)

β0 + β1/h, n = 0, 1, 2, ..., N − 1. (d)

Алгоритм решения краевой задачи теплопроводности по явной схеме:(1) n = 0. По формуле (76.6,a) находим решение на нулевом временном

слое при t = 0

100

(2) По формулам (76.6,b) получаем значение сеточной функции u вовсех внутренних узлах (m = 1, 2, . . . ,M − 1) n + 1-го временногослоя при t = (n+ 1)τ .

(3) Подставляем граничные условия на левой (76.6,c) и правой (76.6,d)границе области при t = (n+ 1)τ .

(4) n = n+ 1(5) Если n < N , переход на пункт 2.(6) Печать результатов расчета.

76.1.2. Неявная схемаНеявная схема (вторая производная в точке (n+1, m) расписывается по

узлам n+ 1-ого слоя, рис. 76.1,b).

(76.7)un+1

m − unm

τ− a2u

n+1m+1 − 2un+1

m + un+1m−1

h2= 0,

m = 1, 2, . . .n = 1, 2, . . .

Начальные и граничные условия остаются такими же как и для явнойсхемы.

В этой схеме значения u в каком-либо узле n + 1-ого слоя не могутбыть определены независимо от соответствующих значений в других точ-ках этого слоя. Для разрешения получаемой на n+1-ом слое системы алге-браических трехточечных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу,наибольшее распространение нашел метод прогонки, известный студентампо решению краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравне-ний. Повторим изложение метода прогонки для решения системы алгебра-ических уравнений, записанных для рассчитываемого n+1-ого слоя. Пустьнам известны все значения функции u с индексом n. Тогда для неизвест-ных un+1

1 , un+12 , . . . , un+1

M−1 получим из (76.7) следующую систему линейныхуравнений :

(76.8) am · un+1m−1 + bm · un+1

m + cm · un+1m+1 = fm, m = 1, 2, . . . ,M − 1,

где am = cm = −r, bm = 1 + 2r, fm = unm.

Разработаем алгоритм определения сеточной функции u на n + 1-омвременном слое. Введем еще одно обозначение ym = un+1

m и перепишемсистему уравнений (76.8), (76.6,c), (76.6,d) в виде:

(76.9)

amym−1 + bmym + cmym+1 = fm, m = 1, 2, . . . ,M − 1;y0 = L0y1 +K0;

yM = LMyM−1 + KM ,

где

(76.10) L0 =−α1/h

α0 − α1/h; K0 =

γ1(tn+1)

α0 − α1/h;

76 Лекция – Решение задач теплопроводности методом сеток 101

(76.11) LM =β1/h

β0 + β1/h; KM =

γ2(tn+1)

β0 + β1/h.

Решение системы (76.9) будем искать методом прогонки.По аналогии с формулами для y0, будем искать решение во внутренних

точках в виде

(76.12) ym = Lmym+1 +Km, m = 1, 2, . . . ,M − 1.

Подставив это выражение при m = m−1 в уравнение (76.9,a), получим:

am(Lm−1ym +Km−1) + bmym + cmym+1 = fm, m = 1, 2, . . . ,M − 1.

или

ym =−cm

amLm−1 + bmym+1 +

fm − amKm−1

amLm−1 + bm, m = 1, 2, . . . ,M − 1.

Следовательно,

(76.13) Lm =−cm

amLm−1 + bm; Km =

fm − amKm−1

amLm−1 + bm, m = 1, 2, . . . ,M − 1.

Коэффициенты Km, Lm называются прогоночными коэффициентами ивычисляются по рекуррентным формулам (76.13)

Рассмотрим теперь граничные условия при x = l. Составим системудвух уравнений (76.9,c) и (76.12) при m = M − 1

{yM = LMyM−1 + KM ;yM−1 = LM−1yM +KM−1.

Решая ее, получим

yM =LMKM−1 + KM

1− LMLM−1

.

После подстановки вместо LM и KM их значений (76.10, 76.11), получаем

(76.14) yM =β1KM−1 + hγ2(t

n+1)

β0h+ β1 − β1LM−1

.

Рассмотрим теперь алгоритм определения решения ym, m = 0, 1, . . . ,Mметодом прогонки.

Прямой ход метода прогонки.(1) m = 0. Вычисление прогоночных коэффициентов L0, K0 по фор-

мулам (76.10)(2) m = m + 1. Вычисление прогоночных коэффициентов Lm, Km по

формулам (76.13)(3) Если m < M , то переход на пункт 2.

Обратный ход метода прогонки.

102

(4) По формуле (76.14) вычисляется yM .(5) Вычисление ym по формулам (76.12). m = m− 1.(6) Если m > 0, переход к пункту 5.(7) Выход.

Отметим, что описанный метод прогонки для решения системы трех-точечных алгебраических уравнений на n + 1 - ом временном слое (76.8)в рассматриваемой задаче слабо чувствителен к малым возмущениям, таккак условие его устойчивости |bm| > |am|+ |cm| выполняется всегда.

Алгоритм решения краевой задачи теплопроводности по неявной схеме.

(1) n = 0. По формуле (76.6,a) находим решение на нулевом временномслое при t = 0.

(2) Применяем алгоритм решения метода прогонки для получения ре-шения на n+ 1-ом временном слое при t = (n+ 1)τ .

(3) n = n+ 1.(4) Если n < M , переход на пункт 2.(5) Печать результатов расчета.

Очевидно, что алгоритм решения по явной схеме проще, чем по неяв-ной. Порядок аппроксимации у этих схем одинаков и равен O(τ) + O(h2).Однако с точки зрения устойчивости неявная схема предпочтительнее, чтомы покажем с помощью принципа Неймана.

Запишем уравнение возмущений соответственно для явной (76.5) и неяв-ной (76.7) схем:

(76.15)δun+1

m − δunm

τ− a2 δu

nm+1 − 2δun

m + δunm−1

h2= 0.

(76.16)δun+1

m − δunm

τ− a2 δu

n+1m+1 − 2δun+1

m + δun+1m−1

h2= 0.

После подстановки в них δunm = λneiwh и сокращения на λneiwh получим

характеристические уравнения, которые затем исследуем.1) Явная схема (76.5).

(76.17)λ− 1

τ− a2 e

iwh − 2 + e−iwh

h2= 0.

Учитывая, что eiwh+e−iwh = 2 coswh и 1−coswh = 2 sin2wh/2, получаемeiwh − 2 + e−iwh = 2(coswh− 1) = −4 sin2wh/2 и, следовательно, из (76.17)

(76.18) λ = 1− 4τa2

h2sin2 wh

2.

Ясно, что для любого соотношения шагов τ/h2 величина λ 6 1, но можетоказаться λ < −1, в таком случае условие Неймана не будет выполняться.

76 Лабораторная – Решения задач теплопроводности 103

Возьмем самые опасные частоты, для которых sin2wh/2 = 1, тогда условиеНеймана выполняется, если

λ = 1− 4ra2> −1,

отсюда

(76.19) r 61

2a2.

Итак, для того, чтобы явная схема (76.5) была бы устойчивой, на отно-шение шагов по t и x должно быть наложено жесткое условие (76.19).

2) Неявная схема (76.7)

(76.20)λ− 1

τ− a2λ

(eiwh − 2 + e−iwh

)

h2= 0.

После выкладок, подобных проведенным для явной схемы найдем

(76.21) λ =1

1 + 4ra2 sin2wh/2.

Очевидно, что |λ| 6 1 при любом r схема абсолютно устойчива.

76. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА — Решенияоднородных задач теплопроводности наMathCad

76.1. Решение краевых однородных задачтеплопроводности

Теоретический материал для данной лабораторной работы приведен влекциях 74 и 75. Практическое занятие 75 посвящено аналитическому ре-шению однородных задач теплопроводности с простейшими начальнымиусловиями. Аналитические решения данных задач являются достаточнотрудоемкими, и при этом решение получается в виде ряда Фурье. Следова-тельно для визуализации полученного решения необходимо использованиеЭВМ. Поэтому решение задач подобного рода можно сразу решать на ЭВМ,используя пакет MathCad.

На базе примера 74.2 напишем программу для решения более общейкраевой задачи с граничными условиями (74.25) и начальными условиями

u∣∣∣t=0

= f(x). В качестве функции f(x) возьмем функцию примера 74.2.

104

ORIGIN := 0 TOL := 0.00001 L := 1 Tmax := 1 K := 100N := 5 M := 10 A := 1

k := 0..K n := 0..N m := 0..M f(x) := L− x

ak :=2

L·

L∫0

f(x) · cos((2 · k + 1) · π · x

2 · L)dx

u(x, t) =K∑

k=0

ak · e

−

0

@

(2 · k + 1) · π2 · L ·A

1

A

2

·t· cos

((2 · k + 1) · π · x2 · L

)

h :=L

Mτ :=

Tmax

Nxm := h ·m tn := τ · n

Um,n := u(xm, tn)

Далее строим график функции u(x, t) для шести значений временнойкоординаты t. Результаты решения по данной программе представлены нарис. 74.1.

Для решения задачи с другими начальными условиями необходимо вме-сто приведенной выше функции f(x) ввести новую и подать команду Вы-числить, нажав клавишу F9.

Для решения задач с другими типами однородных граничных условийнеобходимо по другим формулам вычислять коэффициенты ak и функциюu(x, t) по формулам5. Для решения краевой задачи теплопроводности с гра-ничными условиями в виде теплоизолированных торцов (73.8) при вычис-лении коэффициентов ak используются формулы (74.9), а для вычисленияфункции u(x, t) — формула (74.8). Для решения краевой задачи теплопро-водности со смешанными однородными граничными условиями (73.11), длявычисления коэффициентов ak используются формулы (74.24), а для вы-числения функции u(x, t) — формула (74.21).

76.2. Решение задач теплопроводности набесконечной области

Рассмотрим теперь решение задач теплопроводности на бесконечной об-ласти. Теория по данной задаче рассматривалась в лекции 75.

В качестве примера решения задачи теплопроводности на бесконечнойобласти средствами пакета MathCad рассмотрим задачу 75.1, решенную влекции 75. При этом примем u0 = 100, a = 1, x1 = 1, x2 = 3, x ∈ [A,B],A = −3, B = 7.

5соответствующим рассматриваемым граничным условиям

76 Лабораторная – Решения задач теплопроводности 105

TOL := 0.0001 ORIGION := 0 N := 5 M := 100 a := 1

A := −3 B := 7 n := 0..N m := 0..M h :=B −AM

t0 := 0 t1 := 0.1 t2 := 0.4 t3 := 1t4 := 5 t5 := 20 xm := A+ h ·mΨ(x) :=

∣∣∣0 if x < 1 ∨ x > 3∣∣∣100 otherwise

u(x, t) :=∣∣∣Ψ(x) if t < 0.0001∣∣∣∣∣∣∣

1

2 · a ·√π · t

3∫1

Ψ(τ) · e−

(τ − x)2

4 · a2 · t dτ otherwise

Um,n := u(xm, tn)

Результаты расчета представлены на рис. 76.1.С помощью пакета программ MathCad можно построить график рас-

пределения температуры по стержню в последующие моменты времени (см.рис. 76.1). На рисунке приведены значения функции температур стержняu(x, t) для шести значений временной координаты:t = {0; 0, 1; 0, 4; 1; 5; 20}.

U <0>

U

U <2>

U <3>

U <4>

<1>

U <5>

-3 -1 1 3 5 70

20

40

60

80

100

A Bx

Рис. 76.1

Из графиков видно, что со временем тепло переходит от более нагре-тых участков стержня к менее нагретым. При этом площадь между графи-

106

ком функции U(x, tn) и осью абсцисс остается постоянной. Температура встержне постепенно выравнивается и при t→∞ очевидно, что температурав любой точке стержня u→ 0. Этот пример дает наглядное представлениео процессе распространения тепла по стержню.

Задание: Решить средствами пакета MathCad задание 9,a и 10,a Ва-шего варианта типового расчета по уравнениям в частных производныхиз учебного пособия [3].

77. ЛЕКЦИЯ – Вывод волнового уравнения

Вывод волнового уравнения. Задача колебания струны. Задача о про-дольных колебаниях стержня. Задача о крутильных колебаниях ва-ла. Решение задачи о свободных колебаниях бесконечной струны ме-тодом Даламбера

Рассмотрим три физические задачи, приводящие к одномерному волно-вому уравнению (72.14).

77.1. Задача колебания струныРассмотрим задачу о колебании струны. Если вывести струну из по-

ложения равновесия (оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнетколебаться. При выводе будет сделан ряд естественных предположений, незатрагивающих существо процесса.

Предположение 1. Будем предполагать, что все точки струны движут-ся перпендикулярно ее положению равновесия, причем в каждый моментструна находится в одной и той же плоскости, т. е. рассматриваем плоскиепоперечные колебания.

Выберем в плоскости колебания струны систему координат xOu, гдеu означает отклонение струны от положения равновесия, а x — расстоя-ние вдоль струны. Требуется найти зависимость u от x и t, т.е. функциюu(x, t). В каждый фиксированный момент времени, т.е. при t = const, гра-фик u(x, t) представляет форму струны в момент t, u′x(x, t) — угловой ко-эффициент касательной в точке x, т.е. tgα при x = const. Функция u(x, t)дает закон движения точки струны с абсциссой x вдоль оси Ou, u′t(x, t) —скорость этого движения, u′′tt(x, t) — ускорение.

Предположение 2. Считаем струну абсолютно гибкой, т.е. не сопротив-ляющейся изгибу: если удалить часть струны, лежащую по одну сторонуот любой точки (на рис. 77.1 левее точки M ), то сила натяжения T , за-меняющая действие удаленной части, всегда направлена по касательной кструне.

77 Лекция – Вывод волнового уравнения 107

U

x+dxx

M

MM

M T

T

1

11

α

α1

x

Рис. 77.1

Предположение 3. Струна предполагается упругой и подчиняющейсязакону Гука; согласно этому закону, изменение величины силы натяженияпропорционально изменению длины струны.

Предположение 4. Считаем струну однородной, т.е. ее линейная плот-ность (предел отношения массы данного участка к его длине, когда по-следняя стремится к нулю) постоянна и равна ρ.

Предположение 5. Силами сопротивления среды, в которой колеблетсяструна, пренебрегаем.

Предположение 6. Будем рассматривать только малые колебания стру-ны, при которых величины u(x, t) и u′x(x, t) настолько малы, что можнопренебречь их квадратами. Тогда cosα ≈ 1, tgα ≈ sinα ≈ α, где α — уголкасательной к струне с осью 0x.

Из сделанных предположений вытекает два следствия.Следствие 1. Можно пренебречь изменением длины любого участка

струны, т.е. |MM1| = |M ′M ′1|. Действительно, как известно, длина дуги

|MM1| определяется по формуле:

|MM1| =x1∫

x

√1 + u′x

2dx.

Согласно предположению 6, можно пренебречь величиной u′x2 по срав-

нению с единицей. Получаем:

|MM1| ≈x1∫

x

dx = x1 − x = |M ′M ′1|.

Следствие 2. Величину силы натяжения T можно считать постоянной,т.е.: |T | = |T1| = T .

108

Действительно, по закону Гука, натяжение струны остается неизмен-ным, т.к. по следствию 1 можно пренебречь изменением длины любогоучастка.

Перейдем теперь к выводу уравнения колебания струны. Будем учи-тывать внешние силы, действующие на струну в плоскости параллельнооси 0u. Обозначим g(x, t) — линейную плотность внешних сил (предел от-ношения величины равнодействующей этих сил, приложенных к данномуучастку, к его длине, когда последняя стремится к нулю). Найдем все силы,действующие на участок MM1, и применим к нему второй закон Ньютона.Так как колебания поперечные (предположение 1), достаточно ограничить-ся составляющими сил по оси 0u.

Сумма проекций на ось 0u сил натяжения равна (см. рис. 77.1):

F1 = |T 1| sinα1 − |T | sinα = T (sinα1 − sinα) = T (tgα1 − tgα).

Здесь мы воспользовались предположением 6 и следствием 2.Далее, поскольку tgα = u′x(x, t), tgα1 = u′x(x+ dx, t),F1 = T (u′x(x+ dx, t)− u′x(x, t)).Заменяя частное приращение производной u′x(x, t) частным дифферен-

циалом du′x(x, t) = u′′xx(x, t)dx, получаем:

F1 = T∂2u

∂x2dx.

Проекция равнодействующей внешних сил на ось 0u с учетом следствия1 равна :

F2 = g(x, t)|MM1| = g(x, t)|M ′M ′1| = g(x, t)dx.

Масса рассматриваемого участка⌣

MM1 согласно предположению 4 иследствию 1 равна: dm = ρ|MM1| = ρdx.

Ускорение для всех точек участка MM1 в силу его малости можно счи-тать одинаковым и равным u′′tt(x, t).

По второму закону Ньютона, произведение массы рассматриваемогоучастка на ускорение равно сумме проекций на ось 0u всех действующихна него сил :

dm∂2u

∂t2= F1 + F2 или ρdx

∂2u

∂t2= T

∂2u

∂x2dx+ g(x, t)dx.

Разделив обе части на ρdx, получим

∂2u

∂t2=T

ρ

∂2u

∂t2+g(x, t)

ρ,


откуда, обозначив T/ρ = a2, g(x, t)/ρ = F (x, t), получаем уравнение колеба-ния струны :

(77.1)∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2+ F (x, t).

Если внешние силы отсутствуют, т.е. g(x, t) = 0⇒ F (x, t) = 0, то урав-нение (77.1) называется уравнением свободных колебаний струны :

(77.2)∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2.

Так, например, если на струну действует только одна сила тяжести, анатяжение струны T велико, можно пренебречь величиной F (x, t) в (77.1)и рассматривать колебания струны как свободные.

Если внешние силы присутствуют, т.е. g(x, t) 6= 0 ⇒ F (x, t) 6= 0, тоуравнение (77.1) называется уравнением вынужденных колебаний струны.

Как уже отмечалось, для однозначного определения требуемого реше-ния дифференциального уравнения в частных производных необходимо до-полнительно задать начальные и граничные условия.

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струнав момент начала колебания при t = 0. Начальное положение точек стру-ны задается условием: u(x, t)|t=0 = ϕ(x), а начальная скорость условиемu′t(x, t)|t=0 = ψ(x), где ϕ(x) и ψ(x) — заданные функции.

В другой записи эти условия выглядят так:

(77.3) u(x, 0) = ϕ(x), u′t(x, 0) = ψ(x).

Граничные или краевые условия показывают, что происходит на кон-цах струны во время колебаний. Например, если струна ограничена с двухсторон, имеет длину l и ее концы закреплены в точках x = 0 и x = l, тограничные условия имеют вид:

(77.4) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

К уравнению (77.1) приводят также задачи, связанные с продольными икрутильными колебаниями стержня (вала), электрическими колебаниямии т.д. Рассмотрим первые две из них.

77.2. Задача о продольных колебанияхстержня

Рассмотрим однородный стержень цилиндрической (может быть, в частно-сти, призматической) формы, для растяжения или сжатия которого нужно при-ложить усилие. Считаем, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое

110

поперечное сечение перемещается поступательно только вдоль оси (это предпо-ложение оправдывается, если поперечные размеры стержня малы по сравнениюс длиной, а силы вдоль оси относительно невелики).

Практически продольные колебания чаще всего возникают тогда, когда стер-жень предварительно растягивается (сжимается), а затем отпускается. В этомслучае в нем возникают продольные колебания. Выведем уравнение этих коле-баний, для чего применим второй закон Ньютона к малому участку стержня.

Рассмотрим произвольное сечение стержня σ (рис. 77.2); x — его абсциссав состоянии покоя. Смещение этого сечения в момент t есть функция u(x, t).Вычислим силы, действующие на участок между σ и σ1. Для этого найдем отно-сительное удлинение участка между сечениями σ и σ1 с точностью до бесконечномалых высшего порядка по сравнению с dx:

u(x+ dx, t) − u(x, t)dx

= u′x(x, t).

x0 x =x+dx l

σ σ

1

1

Рис. 77.2

Считая, что силы, вызывающие это удлинение, подчиняются закону Гука,определим величину силы натяжения T в сечении σ, которая должна быть про-порциональна относительному удлинению участка и площади поперечного сече-ния: T = ESu′x(x, t), где S — площадь поперечного сечения; E — модуль упруго-сти (модуль Юнга).

Аналогично определяется величина силы натяжения T1 в сечении σ1: T1 =ESu′x(x+ dx, t).

Выражая частное приращение первых производных через производную вто-рого порядка, получаем, что результирующая этих сил равна:

T1 − T = ES{u′x(x+ dx, t)− u′x(x, t)

}= ES(∂2u/∂x2)dx.

Считая выделенный участок материальной точкой с массой ρSdx, где ρ —объемная плотность стержня, применим к этому участку второй закон Ньютона:

ρSdx∂2u

∂t2= ES

∂2u

∂x2dx, отсюда

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2,

где a2 = E/S.Получили уравнение (77.2) свободных колебаний стержня.Рассмотрим практически наиболее интересный случай, когда один конец

стержня закреплен, а другой свободен.Если считать закрепленный конец стержня с абсциссой x = 0, то

u|x=0 = 0.


На свободном конце стержня внешние силы отсутствуют, поэтому равнанулю и сила натяжения T , действующая в сечении, x = l, т.е. ESu′x(l, t) = 0,откуда:

∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0.

Таким образом, граничные условия имеют вид:

(77.5) u|x=0 = 0,∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0.

Начальные условия, задающие начальные смещения и начальные скороститочек стержня, имеют вид (77.3).

Заметим, что математически данная задача отличается от задачи колебанияструны с закрепленными концами (77.2), (77.3), (77.4) только вторым граничнымусловием (77.5).

Если стержень находился в состоянии покоя без внешних сил, а в начальныймомент t = 0 и в последующем к его свободному концу приложена вдоль оси силаQ, то сила натяжения T , действующая в сечении x = l, равна

Q = ESu′x(l, t), откуда∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

=Q

ES.

Таким образом, в данном случае граничные условия имеют вид:

(77.6) u∣∣x=0

= 0,∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

=Q

ES,

а начальные условия имеют вид (77.3).Рассмотрим теперь случай, когда стержень был растянут силой P , приложен-

ной к свободному концу, а в начальный момент t = 0 действие силы прекрати-лось. Здесь сила натяжения T , действующая в момент t = 0, равна P :

ESu′x(x, 0) = P ⇒ u′(x, 0) =P

ES⇒

⇒x∫

0

u′x(x, 0)dx =P

ESx⇒ u(x, 0) − u(0, 0) =

P

ESx.

Поскольку u(0, 0) = 0, т.к. левый конец закреплен, получаем: u(x, 0) =

= u|t=0 =P

ESx.

Поскольку начальные скорости точек стержня равны нулю, получаем другоеначальное условие:

u′t|t=0 = 0.

Таким образом, в данном случае начальные условия имеют вид:

(77.7) U |t=0 =P

ESx, u′t|t=0 = 0,

а граничные условия - вид (77.5).

112

77.3. Задача о крутильных колебаниях валаБудем предполагать, что кручение круглого вала можно представить как ре-

зультат сдвигов, вызванных поворотом поперечных сечений дуг относительнодруг друга без искривления, причем все повороты совершаются вокруг оси ва-ла. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные на-пряжения, действующие в плоскости сечения, а нормальные напряжения равнынулю. Поскольку касательные напряжения симметричны относительно центрапоперечного сечения, то они приводятся к паре сил, момент которой называетсякрутящим моментом. Поскольку нас будут интересовать только относительныеповороты сечений, то любое из них можно принять за неподвижное; будем счи-тать, что неподвижен (закреплен) левый конец вала. В результате закручиваниясечение σ повернется относительно неподвижного сечения на угол Θ, сечение σ1

— на угол Θ + dΘ (рис. 77.3).

x0 x =x+dx l

σ σ

1

1

θ θ

K

L

rr dθ

dσ

K

Рис. 77.3

lR

L

K K K

Lx

γ

θ α

Рис. 77.4

Для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет уголΘ(x, t), применим второй закон Ньютона к вращательному движению вокруг осиучастка тела между сечениями σ и σ1. Произведение момента инерции участкана угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно оси вращения.

Момент внешних сил есть разность крутящих моментов, приложенных к сече-ниям σ и σ1. Вычислим крутящий момент, приложенный к сечению σ. Для этоговыделим элемент dσ этого сечения, расположенный на расстоянии r от центра, иопределим величину напряжения τ , вызванного сдвигом элементарного волокнаKK ′ в положении KL′.

При этом считаем, что напряжение подчиняется закону Гука:

τ = G · L′KK ′, где G — постоянный коэффициент, определяемый физическимисвойствами вала (модуль сдвига).


Как всегда, рассматриваем малые колебания. Тогда в некоторый фиксиро-ванный момент времени имеем:

L′KK ′ = tg L′KK ′ = |L′K ′|/dx.

С другой стороны, |K ′L′| ≈ |⌣

K ′L′ | = rdΘ, поэтому

L′KK ′ ≈ rdΘ/dx.Таким образом, для величины напряжения τ получаем :

τ = GrdΘ

dx.

Следовательно, сила, приложенная к элементу dσ, направлена перпендику-лярно радиусу, и ее величина равна

τdσ = GrdΘ

dxdσ.

Элементарный крутящий момент dMx, приложенный к элементу dσ, получа-ем равным

dMx = rτdσ = Gr2dΘ

dxdσ.

Полную величину крутящего момента Mx найдем, интегрируя это выражениепо σ:

(77.8) Mx =

∫∫

σ

Gr2dΘ

dxdσ = G

dΘ

dx

∫∫

σ

r2dσ = GΘ′x(x, t)J0,

где J0 =∫∫σr2dσ — полярный момент инерции сечения вала. Момент внешних

сил, т.е. разность моментов Mx+dx и Mx, приложенных к сечениям σ1 и σ, теперьравен

Mx+dx −Mx = G{Θ′

x(x+ dx, t) −Θ′x(x, t)

}J0 ≈ G

∂2Θ

∂x2dxJ0.

Здесь частное приращение Θ′x(x+ dx, t)−Θ′

x(x, t) заменено частным диффе-ренциалом (∂2Θ/∂x2)dx.

Если обозначить величину момента инерции вала, приходящуюся на единицудлины K, то момент инерции участка между σ1 и σ будетK ·dx, угловое ускорениеэтого участка ∂2Θ/∂t2. Применяя второй закон Ньютона, получаем:

Kdx∂2Θ

∂t2= Mx+dx −Mx = G

∂2Θ

∂x2dxJ0,

откуда

∂2Θ

∂t2= a2∂

2Θ

∂x2,

где a2 =GJ0

K.

114

Таким образом, свободные крутильные колебания вала также описываютсяуравнением колебаний (77.2) с искомой функцией Θ(x, t). Рассмотрим началь-ные и граничные условия для случая, когда один конец вала длины l закреплен,а другой свободен. В начальный момент правый конец вала закручивается намалый угол α и отпускается без начальной скорости. Из малости угла α и, сле-довательно, угла γ аналогично вычислению момента Mx получим для моментаt = 0 (рис. 77.4):

γ ≈ tg γ ≈ |K′L′|x

из ∆KK ′L′, |K ′L′| ≈ |⌣

K ′L′ | = RΘ⇒ γ =RΘ

x;

γ ≈ tg γ ≈ |K′′L′′|x

из ∆KK ′′L′′, |K ′′L′′| ≈ |⌣

K ′′L′′ | = Rα⇒ γ =Rα

l.

Приравнивая эти значения γ, получим, что при t = 0 выполняется соотноше-ние

RΘ

x=Rα

l, откуда Θ|t=0 = α

x

l.

Из условия отсутствия начальной скорости следует:

∂Θ

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0.

Левый конец вала закреплен, поэтому Θ|x=0 = 0.На правом конце вала крутящий момент Ml, определяемый формулой (77.8),

равен нулю:

Ml = 0⇒ GJ0∂Θ

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0⇒ ∂Θ

∂t

∣∣∣∣x=l

= 0.

Таким образом, получились начальные условия:

(77.9) Θ|t=0 = αx

l,

∂Θ

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0.

и граничные условия :

(77.10) Θ|x=0 = 0,∂Θ

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0.

Математически такая задача совпадает с задачей о продольных колебанияхстержня (77.2), (77.3), (77.5).

Рассмотрим теперь случай, когда один конец вала закреплен, а на другой ко-нец насажен массивный диск, момент инерции которого относительно оси равенJ1. Как и в предыдущем случае, в начальный момент диск закручивается намалый угол α и отпускается без начальной скорости.

Начальные условия этой задачи такие же, как и в предыдущей, и имеют вид(77.9).

Левый конец вала закреплен, поэтому Θ|x=0 = 0.


Граничное условие на правом конце будет другое; т.к. на правом конце нужноприравнять к нулю сумму крутящего момента Ml, определяемого по формуле

(77.8), и момента силы инерции диска J1 =∂2Θ

∂t2

∣∣∣∣x=l

, то:

GJ0∂Θ

∂x

∣∣∣∣x=l

+ J1∂2Θ

∂t2

∣∣∣∣x=l

= 0.

Таким образом, для вала с диском начальные условия имеют вид (77.9), аграничные —

Θx=0 = 0, GJ0∂Θ

∂x

∣∣∣∣x=l

+ J1∂2Θ

∂t2

∣∣∣∣x=l

= 0.

77.4. Решение задачи о свободных колебанияхбесконечной струны методом Даламбера

Свободные колебания струны описываются уравнением (77.2). Еслиструна бесконечная, то начальные условия (77.3) задаются при всех x :−∞ < x < ∞, а граничные условия отсутствуют. Полученная дифферен-циальная задача называется задачей Коши. В подразделе 72.2.1 было по-казано, что в характеристических переменных ξ = x − at и η = x + atуравнение свободных колебаний (77.2) имеет канонический вид:

(77.11)∂2u

∂ξ∂η= 0,

решением которого является суперпозиция двух произвольных дваждыдифференцируемых функций u(ξ, η) = F (ξ) + Ф(η).

Откуда, возвращаясь к переменным x и t, получим:

(77.12) u(x, t) = F (x− at) + Ф(x+ at).

Полученное решение имеет наглядную физическую интерпретацию.Действительно, график функции F (x−at) получается из графика функцииF (x) сдвигом его вправо на величину at, т.е. перемещением его вправо соскоростью a; график функции Ф(x + at) получается из графика функцииФ(x) сдвигом его влево со скоростью a. Если в начальный момент (приt = 0) возмущение струны описывается функцией u = F (x) + Ф(x), то вдальнейшем это возмущение распространяется вдоль струны в виде двухволн, одна из которых F (x − at) распространяется со скоростью a вправо(прямая волна) , а другая Ф(x+ at) распространяется с той же скоростьювлево (обратная волна), как показано на рис. 77.5.

Подберем функции F и Ф так, чтобы удовлетворялись начальные усло-вия (77.3). Из первого начального условия

u(x, 0) = F (x) + Ф(x) = ϕ(x).

116

(x+at)ΦF(x-at)+

(x+at)ΦF(x-at)+

(x+at)ΦF(x-at)+

U

x

(x+at)Φ Φ(x)

F(x) F(x-at)

Рис. 77.5

Для второго начального условия найдем производную:

u′t(x, t) = −aF ′(x− at) + aФ′(x+ at),

откуда: u′t(x, 0) = −aF ′(x) + aФ′(x) = ψ(x).Интегрируя последнее равенство от 0 до x, получаем (в подынтеграль-

ных функциях аргумент обозначен z в отличие от верхнего предела x):

x∫

0

ψ(z)dz = −ax∫

0

F ′(z)dz + a

x∫

0

Ф′(z)dz = −a(F (x)− F (0)

)+

+a(Ф(x)−Ф(0)) = a (Ф(x)− F (x))− aC, где C = Ф(0)− F (0).

Отсюда :

Ф(x)− F (x) =1

a

x∫

0

ψ(z)dz + C.

Таким образом, для определения F (x) и Ф(x) имеем систему уравнений:

Ф(x) + F (x) = ϕ(x)

Ф(x)− F (x) =1

a

x∫0

ψ(z)dz + C.

Решая эту систему, находим:

Ф(x) =1

2ϕ(x) +

1

2a

x∫0

ψ(z)dz + C2

F (x) = 12ϕ(x)− 1

2a

x∫0

ψ(z)dz − C2.


Полученные равенства справедливы при любых значениях x, в частно-сти — если вместо x подставить x+ at и x− at:

Ф(x+ at) = 12ϕ(x+ at) + 1

2a

x+at∫0

ψ(z)dz + C2

F (x− at) = 12ϕ(x− at)− 1

2a

x−at∫0

ψ(z)dz − C2.

Подставляя эти равенства в 77.12, получаем общее решение уравнения(77.2):

(77.13) u(x, t) =ϕ(x− at) + ϕ(x+ at)

2+

1

2a

x+at∫

x−at

ψ(z)dz.

Формула (77.13) дает искомый закон колебания и называется решениемДаламбера или формулой Даламбера задачи Коши для уравнения свобод-ного колебания струны.

Пример 77.1. Решить задачу Коши для уравнения колебания струны:

∂2u

∂t2= 4

∂2u

∂x2, u(x, 0) = 0, u′t(x, 0) = U0 arctg x.

Р е ш е н и е: Воспользовавшись формулой (77.13) и используя инте-грирование по частям, получим:

u(x, t) =U0

4

x+at∫

x−at

arctg zdz =U0

4

z arctg z

∣∣∣x+at

x−at−

x+at∫

x−at

zdz

1 + z2

=

=U0

4

(z arctg z − 1

2ln(1 + z2)

)∣∣∣∣x+at

x−at

=U0

4

((x+ at) arctg(x+ at)−

−(x− at) arctg(x− at) +1

2ln

1 + (x− at)2

1 + (x+ at)2

).

С помощью метода Даламбера можно решить смешанную задачу дляуравнения колебания полубесконечной струны.

Рассмотрим случай, когда струна в начальном положении располагает-ся по положительной полуоси x и ее конец, находящийся в начале коорди-нат, неподвижно закреплен:

(77.14) u(0, t) = 0.

118

Начальные условия заданы только при x > 0. Если функции ϕ(x) иψ(x) доопределены каким-то образом при x < 0, то выражение для u(0, t),полученное по формуле (77.13), будет иметь вид :

u(0, t) =ϕ(−at) + ϕ(at)

2+

1

2a

at∫

−at

ψ(z)dz.

Чтобы u(0, t) = 0, т.е. выполнялось заданное граничное условие, доста-точно доопределить ϕ(x) и ψ(x) нечетным образом:

ϕ(−x) = −ϕ(x), ψ(−x) = −ψ(x),

Тогда :

ϕ(−at) = −ϕ(at),ϕ(−at) + ϕ(at)

2= 0,

at∫

−at

ψ(z)dz = 0,

как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно 0 ин-тервалу.

Таким образом, продолжив начальные условия (77.3) на левую полуосьнечетным образом, для решения задачи (77.2), (77.3), (77.4) можно исполь-зовать формулу Даламбера для бесконечной струны. Поскольку продол-женные начальные условия различны для случая x > 0 и x < 0, то ирешение задается различными формулами при x − at > 0 (t < x/a) иx− at < 0 (t > x/a):

(77.15) u(x, t) =

ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)2

+1

2a

x+at∫x−at

ψ(z)dz,

при 0 < t 6x

a,

ϕ(x+ at)− ϕ(x− at)2

+1

2a

x+at∫−(x−at)

ψ(z)dz,

приx

a< t <∞.

Рассмотрим теперь смешанную задачу для полубесконечной струны сосвободным концом:

(77.16) u′x(0, t) = 0.

Начальные условия (77.3) заданы при x > 0. В этом случае можнопоказать, что начальные условия необходимо продолжить на левую полуосьчетным образом:

ϕ(−x) = ϕ(x), ψ(−x) = ψ(x).

77 Практика – Решения задачи теплопроводности 119

По формуле Даламбера находится решение получившейся задачи длябесконечной струны, которое в этом случае можно записать в виде:(77.17)

u(x, t) =

ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)2

+1

2a

x+at∫x−at

ψ(z)dz, при 0 < t 6x

aϕ(x+ at) + ϕ(at− x)

2+

1

2a

(x+at∫0

ψ(z)dz +at−x∫0

ψ(z)dz

),

приx

a< t <∞

77. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Вычислительная программа для решениязадачи теплопроводности методом сеток

77.1. Решение задачи теплопроводности врамках табличного процессора Excel безиспользования программирования

На конкретном примере рассмотрим решение краевой задачи теплопро-водности методом сеток. Теория для данной задачи приведена в лекции76.

Пример 77.1. Решить одномерное уравнение теплопроводности (72.15)

с начальными условиями u∣∣∣t=0

= 100 · e−x и граничными условиями

u∣∣∣x=0

= 100 · e−4t,

(∂u

∂x+ u

) ∣∣∣x=L

= 20− 30 · e−7t.

Заменяя дифференциальное уравнение (72.15), начальные и граничныеусловия данного примера их конечно-разностными аналогами, получаем

u0m = 100 · e−xm, m = 0, 1, 2, ...,M ;

un+10 = 100 · e−4tn+1

, n = 0, 1, 2, ..., N − 1;

un+1M =

un+1M−1 + h ·

(20− 30 · e−7tn+1)

1 + h.

Ограничимся решением задачи при L = 1, a = 1, r = 0.5. В качествешага сетки по пространственной координате h возьмем значение 0,1. То-гда параметр τ равен r · h2. Для решения поставленной задачи по явнойсхеме входим в текстовый процессор Excel и проделываем такие же дей-ствия, как и для решения задачи переноса. Переименуем любой рабочий

120

лист в ЯвнаяСхема. В первой строке пишем заглавие работы. В ячей-ках B2 и D2 записываем значения параметров сетки r и h. Заполняем те-перь третью строку. В ячейку A3 записываем текст t/x. Далее получаеммассив абсцисс xm. Для этого в ячейку B3 пишем число 0. В ячейку C3пишем формулу = D2. В ячейку D3 вводим формулу = C3 + $D$2. Этуформулу продолжаем до ячейки L3. Для заполнения массива координатузлов по временной координате t проделаем аналогичные действия. В ячей-ку A4 пишем значение начального времени — 0. В ячейку A5 - формулу= $B$2 ∗ $D$2^2. В ячейку A6 - формулу = A5 + A$5 и продолжаем еедо ячейки A204. В ячейках B4 : L4 подставляем начальные условия. Дляэтого в ячейки B4 пишем формулу = 100 ∗EXP (−B3) и продолжаем ее доячейки L4. Теперь вычисляем решение на первом временном слое. В ячейкуB5 вводим формулу для вычисления граничных условий на левом торце:= 100∗EXP (−4∗A5). Для получения решения во внутренних точках сеткииспользуем вторую формулу (76.6). Поэтому в ячейку C5 вводим следую-щую формулу: = $B$2∗D4+(1−2∗$B$2)∗C4+$B$2∗B4 и продолжаем еевлево до ячейки K5. Теперь осталось заполнить ячейку L5, в которой необ-ходимо подставить граничное условие на правом торце. В данную ячейкувводим формулу = (K5 + $D$2 ∗ (20− 30 ∗ EXP (−7 ∗ $A5)/(1 + $D$2))).

Решение на первом временном слое получено. Для получения решенияна втором, третьем, ... , двухсотом слое (t = 1) выделяем область B5 : L5и продолжаем ее до строки номер 204. В результате поставленная задачарешена и осталось исследовать поведение решения в зависимости от про-странственной координаты и времени. Для этого построим графики значе-ний температур на различных временных слоях. На одной диаграмме по-строим графики для шести временных слоев при t = 0; 0.1; 0.2; 0.4; 0.6 и 1.0.Для этого скроем все строки, кроме 3, 4, 24, 44, 84, 124 и 204, и при помо-щи мастера диаграмм построим графики точно так же, как и для решениязадачи переноса. Результаты решения при помощи табличного процессо-ра Excel полностью совпадают с результатами, полученными средствамипрограммирования на Visual Basic. Поэтому здесь графики не приводим.

Для решения задачи теплопроводности по явной схеме с использова-нием программирования на алгоритмическом языке Visual Basic напишемпрограмму, аналогичную программе УравнениеПереноса(), представ-ленную в разделе 71.1. Для построения графиков используем подпрограммуПостроитьГрафики, используемую для построения графиков задачи пе-реноса. Программа для решения задачи теплопроводности по явной схемеснабжена достаточным объемом комментариев, поэтому приводим ее бездополнительных пояснений.

Sub ТеплопроводностьЯвнаяСхема()




Dim L As Double, hPr As Double, tauPr As Double

Dim nn As Long, mm As Long, MPr As Long, Tmax As Double


Dim t As Double, rr As Double



a = 1 ’ Это коэффициент в уравнении теплопроводности



r = 0.5 ’Параметр сетки tau=r*h^2/2

tau = r * h ^ 2 / 2 ’Это шаг по временной координате


hPr = 0.1


’Через столько точек выводить результаты по оси Ox

MPr = CLng(hPr / h)



ReDim x(mm), y(mm), ynp1(mm) ’Размерность используемых массивов

For m = 0 To mm

x(m) = h * m ’абсциссы узловых точек


y(m) = 100 * Exp(-x(m))

Next m



NameSh = "Явнаясхема"


Cells.Clear ’Очистить рабочий лист от предыдущих данных

Cells(1, 1) = "t\x"

Cells(2, 1) = "t=0"

’Номер текущего графика, ординаты которого будут выводится

ngr = 1

’Вывод решения на 0-ом временном слое(Два знака после запятой)




’Выделить цветом область вывода абсцисс

122


Next m

rr = 1 - 2 * r

’Обход по временным слоям с 1-го по nn

For n = 1 To nn

t = tau * n ’Значение временной координаты

’Вычисление во внутренних узлах временного слоя по формулам

For m = 1 To mm - 1

ynp1(m) = r * (y(m + 1) + y(m - 1)) + rr * y(m)

Next m

’Подстановка граничных условий

Call ГраничныеУсловия(ynp1, t, h, mm)

’Переписать полученное решение на n+1-ом временном слое в y

For m = 0 To mm

y(m) = ynp1(m)

Next m

’Записать решение на данном временном слое в строки

’рабочего листа. Записываются с шагом tauPr


ngr = ngr + 1

’Заглавие линии графика (Легенда)


For m = 0 To mm Step MPr ’Значение ординат для графика


Next m

End If

Next n

’Выделить цветом область вывода заглавия графиков


RGB(220, 90, 220)


NameDiagr = "Теплопроводность. Явная схема"

Call ПостроитьГрафики(ngr, CInt(mm / MPr), NameSh, NameDiagr, _

0, 1, 0, 100)

End Sub

Sub ГраничныеУсловия(y() As Double, t As Double, h As Double, _

mm As Long)

y(0) = FunHamma1(t) ’Левая граница

’Правая граница

y(mm) = (y(mm - 1) + h * FunHamma2(t)) / (1 + h)


End Sub

Function FunHamma1(t As Double) As Double

FunHamma1 = 100 * Exp(-4 * t)

End Function

Function FunHamma2(t As Double) As Double

FunHamma2 = 20 - 30 * Exp(-7 * t)

End Function

На рис. 77.1 представлены результаты решения примера (77.1), полу-ченные в рамках алгоритмического языка Visual Basic.

t\x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

t = 0 100 90,5 81,9 74,1 67,0 60,65 54,88 49,66 44,93 40,66 36,79t = 0, 2 44,9 49,8 53,0 54,7 55,1 54,45 52,95 50,83 48,29 45,48 42,53t = 0, 4 20,2 25,4 29,7 33,1 35,7 37,52 38,50 38,76 38,36 37,36 35,81t = 0, 6 9,07 13,0 16,6 19,7 22,2 24,25 25,74 26,70 27,14 27,09 26,58t = 0, 8 4,08 6,9 9,51 11,9 13,9 15,71 17,15 18,25 19,03 19,49 19,64t = 1, 0 1,83 3,87 5,8 7,6 9,24 10,72 12,01 13,12 14,03 14,75 15,29

Теплопроводность. Явная схема

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t=0t=0,2t=0,4t=0,6t=0,8t=1,0

100

80

60

40

20

Рис. 77.1

При решении задачи теплопроводности в рамках пакетаMathCad, даже по явной схеме, необходимо применять программирова-ние. Приведем программу на MathCad, решающую пример (77.1) по явнойсхеме. Алгоритм решения, используемый в данной программе, такой же,как и в программе на Visual Basic. Поэтому комментарии в приведеннойMathCad-программе не приведены.

ORIGIN := 0 TOL := 0.00001 L := 1 a := 1 Tmax := 1

r := 0.5 M := 20 h :=L

Mτ := r ·

(ha

)2

N :=Tmax

τ

τPr := 0.2 hPr := 0.1 MPr :=hPr

hMhPr :=

L

hPr

124

U :=∣∣∣for m ∈ 0..M∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣xm ← m · hym ← 100 · e−xm

k ← 0for m ∈ 0,MPr..M∣∣∣∣Uk,0 ← ym

k ← k + 1ngr ← 1rr ← 1− 2 · rfor n ∈ 1..N∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t← n · τfor m ∈ 1..M − 1

ynp1m ← r · (ym−1 + ym+1) + rr · ym

ynp10 ← 100 · e−4·t

ynp1M ←ynp1M−1 + h ·

(20− 30 · e−7·t)

1 + hy ← ynp1

if∣∣ngr · τPr − t

∣∣ < τ

10∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


k ← k + 1ngr ← ngr + 1

U

m := 0..MhPr xm := m · hPr

Далее строим графики решения, сохраненного в шести столбцах дву-мерного массива U . Результаты решения примера (77.1) с использованиемпакета MathCad, естественно, должны совпадать с результатами, получен-ными при помощи пакета Excel, поэтому мы их не выводим.

Решение задачи теплопроводности по явной схеме обладает важным до-стоинством: алгоритм решения достаточно простой. Однако при решенииуравнения теплопроводности по явной схеме необходимо следить за тем,чтобы конечно-разностная схема была устойчивой. Это достигается, еслисоотношения между шагами сетки удовлетворяют условию τ 6 0, 5 · (a ·h)2,т.е. шаг по временной координате пропорционален квадрату шага по про-странственной координате. Поэтому уменьшение шага сетки по оси Ox в


десять раз приводит к стократному увеличению количества временных сло-ев. Для получения более точного результата, особенно при сложных гра-ничных условиях, предпочтительнее использовать неявную схему.

Алгоритм решения задачи по неявной схеме является более сложным.Для решения по неявной схеме первый метод с использованием пакета Excelбез применения программирования, не подходит, т.к. на каждом временномслое необходимо выполнить прямой и обратный ход метода прогонки.

Ниже приведена программа, реализующая решение уравнения тепло-проводности по неявной схеме. Эта программа построена по аналогии спрограммой решения данной задачи по явной схеме.

Sub ТеплопроводностьНеявнаяСхема()



Dim hPr As Double, tauPr As Double, Tmax As Double

Dim nn As Long, mm As Long, MPr As Long, L As Double


Dim t As Double, beta1 As Double

Dim alpha0 As Double, alpha1 As Double, beta0 As Double

alpha0 = 1: alpha1 = 0: beta0 = 1: beta1 = 1



a = 1 ’ Это коэффициент в уравнении теплопроводности



r = 1 ’Параметр сетки tau=r*h^2/2

tau = r * h ^ 2 / 2 ’Это шаг по временной координате


hPr = 0.1

’ Это шаг вывода графиков по временной координате

tauPr = 0.2

MPr = CLng(hPr / h)



ReDim x(mm), y(mm), ynp1(mm) ’Размерность используемых массивов

For m = 0 To mm

x(m) = h * m


y(m) = 100 * Exp(-x(m))

Next m


126


NameSh = "Неявнаясхема"



Cells(1, 1) = "t\x"

Cells(2, 1) = "t=0"

’Номер текущего графика, ординаты которого будут выводиться

ngr = 1





Next m

’Обход по временным слоям

For n = 1 To nn

t = tau * n

Call МетодПрогонки(y, t, r, h, mm, alpha0, alpha1, _

beta0, beta1)

’ Записать решение на данном временном слое


If Abs(ngr * tauPr - t) < tau / 10 Then

ngr = ngr + 1




Next m

End If

Next n


RGB(220, 90, 220)


NameDiagr = "Теплопроводность. Неявная схема"


NameDiagr, 0, 1, 0, 100)

End Sub

Sub МетодПрогонки(y() As Double, t As Double, r As Double, _

h As Double, mm As Long, alpha0 As Double, alpha1 As Double, _

beta0 As Double, beta1 As Double)

Dim L() As Double, k() As Double

Dim m As Long, am As Double, bm As Double, cm As Double


ReDim L(mm), k(mm), s As Double

’Коэффициенты уравнения

am = -r: cm = -r: bm = 1 + 2 * r

’ Прямой ход метода прогонки

’ Вычисление прогоночных коэффициентов L(m), K(m)

s = alpha0 - alpha1 / h

L(0) = -alpha1 / (h * s): k(0) = FunHamma1(t) / s

For m = 1 To mm - 1

s = bm + am * L(m - 1)

L(m) = -cm / s

k(m) = (y(m) - am * k(m - 1)) / s

Next m

’Обратный ход метода прогонки

’Подстановка граничных условий на правой границе

y(mm) = (beta1 * k(mm - 1) + h * FunHamma2(t)) / _

(beta0 * h + beta1 - beta1 * L(mm - 1))

For m = mm - 1 To 0 Step -1

y(m) = L(m) * y(m + 1) + k(m)

Next m

End Sub

Естественно, результаты работы программы по неявной схеме совпа-дают с результатами по явной схеме. Приведем теперь программу реше-ния задачи теплопроводности по неявной схеме с использованием пакетаMathCad.


r := 1 M := 100 h :=L

Mτ := r ·

(ha

)2

N :=Tmax

τ

τPr := 0.2 hPr := 0.1 MPr :=hPr

hMhPr :=

L

hPr

128

γ1(t) := 100 · e−4·t γ2(t) := 20− 30 · e−7·t

α0 := 1 α1 := 0 β0 := 1 β1 := 1

am := −r bm := 1 + 2 · r cm := −rU :=∣∣∣for m ∈ 0..M∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣xm ← m · hym ← 100 · e−xm

k ← 0ngr ← 1for m ∈ 0,MPr..M∣∣∣∣Uk,0 ← ym

k ← k + 1for n ∈ 1..N∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t← n · τs← α0− α1

h

L0 ←−α1

h · s

K0 ←γ1(t)

sfor m ∈ 1..M − 1∣∣∣∣∣∣∣∣

s← bm+ am · Lm−1

Lm ←−cms

Km ←ym − am ·Km−1

s

yM ←β1 ·KM−1 + h · γ2(t)

β0 · h+ β1− β1 · LM−1

for m ∈M − 1..0ym ← Lm · ym+1 +Km

if∣∣ngr · τPr − t

∣∣ < τ

10∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


k ← k + 1ngr ← ngr + 1

U

m := 0..MhPr xm := m · hPrПосле отладки программы строим графики решения по сохраненным

в массиве U временным слоям. Графики полученных результатов не при-

78 Лекция – Решение краевых задач методом Фурье 129

водим, т.к. они совпадают с результатами по явной схеме, полученными сиспользованием программирования на Visual Basic, рис. 77.1.

78. ЛЕКЦИЯ – Решение краевых задач дляволнового уравнения методом Фурье

Решение задачи о колебаниях струны с закрепленными концами ме-тодом Фурье. Решение задачи о продольных колебаниях стержня ме-тодом Фурье. Решение задачи о крутильных колебаниях вала мето-дом Фурье. Решение задачи о свободных колебаниях струны

78.1. Решение задачи о колебаниях струны сзакрепленными концами методом Фурье

Займемся решением уравнения (77.2) свободного колебания струны дру-гим методом — методом Фурье или, как его еще называют, методом разде-ления переменных. Рассмотрим смешанную задачу колебания струны с за-крепленными концами. Как показано в 77.1, математически задача состоитв решении уравнения (77.2) с начальными условиями (77.3) и граничнымиусловиями (77.4).

Решение будем искать в виде :

(78.1) u(x, t) = X(x)T (t).

Поставив функцию (78.1) в уравнение (77.2), получим

T ′′(t)

a2T (t)=X(x)

X(x)= C.

Поскольку левая часть получившегося равенства не зависит от x, а пра-вая — не зависит от t, следовательно, эти отношения постоянны. Обозначимэту постоянную C.

Отсюда получаем два уравнения :

(78.2) T ′′(t)− Ca2T (t) = 0;

(78.3) X ′′(x)− CX(x) = 0.

С учетом (78.1) краевые условия (77.4) можно записать следующим об-разом :

u(0, t) = X(0)T (t) = 0, u(l, t) = X(l)T (t) = 0.

130

Поскольку мы ищем решение u(x, t), не равное нулю тождественно, от-сюда следует, что T (t) 6= 0, и, следовательно:

(78.4) X(0) = 0, X(l) = 0.

В результате для отыскания функции X(x) получили следующую кра-евую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения: найти ре-шение уравнения (78.5), удовлетворяющее граничным условиям (78.4). Со-ставим для (78.3) характеристическое уравнение s2 − C = 0 и рассмотримтри случая.

1. C = λ2 > 0 ⇒ s1,2 = ±λ — корни действительные, различные, общеерешение уравнения (78.3) имеет вид: X(x) = C1e

λx + C2e−λx.

Из граничных условий (78.4) следует:

C1 + C2 = 0, C1eλl + C2e

−λl = 0.

Эта система имеет единственное решение C1 = C2 = 0, откуда следует:X(x) = 0⇒ u(x, t) = 0 при всех x, t.

Разобранный случай интереса не представляет.2. C = 0 ⇒ s1,2 = 0 — корни действительные, одинаковые, общее реше-

ние уравнения (78.3) имеет вид:

X(x) = C1 + C2x.

Из граничных условий (78.4) следует:

C1 = 0, C1 + C2l = 0,

откуда : C1 = C2 = 0⇒ X(x) = 0⇒ u(x, t) = 0 при всех x, t.Разобранный случай также интереса не представляет.3. C = −λ2 ⇒ s1,2 = ±λi — корни комплексно-сопряженные, общее

решение уравнения (78.3) имеет вид:

X(x) = C1 cosλx + C2 sinλx.

Из граничных условий (78.4) следует: C1 = 0, C2 sinλl = 0.Чтобы получить не равное нулю решение, необходимо, чтобы C2 6= 0,

поэтому из последнего равенства заключаем, что

sinλl = 0⇒ λl = πk (k = ±1,±2, . . . )⇒ λ =kπ

l.

Решение уравнения (78.3), отвечающее некоторому фиксированному k,обозначим Xk(x):

(78.5) Xk(x) = Ck sinkπx

l,

где Ck — произвольная константа.


Поскольку знак Ck в нашем распоряжении, можно считать, чтоk = 1, 2, . . . . Таким образом, каждому значению λk = kπ/l соответству-ет бесчисленное множество решений, отличающихся постоянным множи-телем. Величины λk = kπ/l называются собственные числа, а функцииsin(kπx/l) — собственными функциями краевой задачи (78.3), (78.4).

Легко показать, что система найденных собственных функций ортого-нальна на (0, l).

Теперь найдем T (t). Каждому λk = kπ/l соответствует своя функцияTk(t), определяемая уравнением (78.2) при

T ′′k (t) +

(kπa

l

)2

Tk(t) = 0.

Составляем характеристическое уравнение:

s2 +

(kπa

l

)2

= 0 и

находим его корни s1,2 = ±kπali.

Общее решение уравнения (78.2) имеет вид:

(78.6) Tk(t) = Ak coskπat

l+ Bk sin

kπat

l,

где Ak и Bk — произвольные константы.Подставляя выражения (78.5), (78.6) в формулу (78.1), получаем част-

ные решения уравнения (77.2), удовлетворяющие граничным условиям(77.4):

uk(x, t) = Ck sinkπx

l·(Ak cos

kπat

l+ Bk sin

kπat

l

).

Обозначив CkAk = ak, CkBk = bk, запишем uk(x, t) в виде:

(78.7) uk(x, t) =

(ak cos

kπat

l+ bk sin

kπat

l

)· sin kπx

l.

Решения uk(x, t) называются собственными функциями задачи, а соот-ветствующие им колебания — собственными колебаниями.

Найдем теперь решение уравнения (77.2), удовлетворяющее кроме гра-ничных еще и начальным условиям (77.3). Для этого рассмотрим сумму ре-шений (78.7), которая в силу линейности и однородности уравнения (77.2)также будет являться его решением (читателям предлагается самостоятель-но проверить этот факт для суммы конечного числа слагаемых):

(78.8) u(x, t) =

∞∑

k=1

(ak cos

kπat

l+ bk sin

kπat

l

)· sin kπx

l.

132

Ясно, что функция u(x, t) удовлетворяет граничным условиям (77.4),поскольку им удовлетворяет каждая из функций (78.7). Подберем произ-вольные константы ak и bk так, чтобы функция (78.8) удовлетворяла на-чальным условиям:

u(x, 0) =

∞∑

k=1

ak sinkπx

l= ϕ(x).

Для второго начального условия найдем производную:

u′t(x, t) =∞∑

k=1

kπa

l

(−ak sin

kπat

l+ bk cos

kπat

l

)sin

kπx

l,

u′t(x, 0) =

∞∑

k=1

kπa

lbk sin

kπx

l= ψ(x).

Таким образом, величины ak иkπa

lbk являются коэффициентами раз-

ложения функций ϕ(x) и ψ(x), заданных на (0, l) в ряд Фурье по синусам(73.23). Откуда:

(78.9)ak =

2

l

l∫0

ϕ(x) sinkπx

ldx;

bk =2

kπa

l∫0

ψ(x) sinkπx

ldx.

Таким образом, решение поставленной задачи дается рядом (78.8), гдекоэффициенты ak и bk определяются по формулам (78.9).

Выясним физический смысл собственных функций uk(x, t), для чего пе-репишем их в виде:

(78.10) uk(x, t) = Fk sinkπx

lsin

(kπa

t+ ϕk

),

где Fk =√a2

k + b2k, tgϕk = ak/bk.Из формулы (78.9) видно, что все точки струны совершают гармони-

ческие колебания с одной частотой ωk =kπa

l, называемой собственной

частотой струны и фазой ϕk; амплитуда колебаний зависит от x и рав-

на Fk sinkπx

l. Такие колебания называются стоячими волнами. В стоячей

волне uk(x, t) имеется (k + 1) неподвижная точка на (0, l):

sinkπx

l= 0⇒ x = 0,

l

k,2l

k, . . . ,

(k − 1)l

k, l.


Эти точки называются узлами; между ними расположены точки, в кото-рых отклонения достигают максимума — пучности. При колебании струнаиздает звук с собственной частой wk , определяющей высоту звука; самыйнизкий звук будет, когда частота равна ω1 — основной тон, остальные тоны,соответствующие частотам ωk(k > 2), называются обертоны или гармони-ки. Звук, издаваемый струной, складывается из основного тона и оберто-нов, причем характер звучания (тон, сила звука, тембр) будет зависеть отсоотношения между амплитудами отдельных гармоник. Обычно Fk быстроубывают с ростом k и основной тон выделяется среди остальных; обертоныпридают лишь окраску звуку — тембр звука.

Пример 78.1. Методом Фурье решить смешанную задачу для волно-вого уравнения:

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2.

u|t=0 =

4hx

3lпри x ∈

[0;

3l

4

];

4h(l − x)l

при x ∈(

3l

4; l

].

u′t|t=0 = 0, u|x=0 = u|x=l = 0.

Эти условия означают следующее: струна длиной l закреплена на кон-цах (u|x=0 = u|x=l = 0), в начальный момент она имеет вид ломаной на рис.78.1 (смотри первое начальное условие) и отпущена без начальной скорости(u′t|t=0 = 0).

Р е ш е н и е:

3l

4

B

AU

h

0x

l

Рис. 78.1

Решение данной задачи имеет вид (78.8), где коэффициенты определя-ются по формулам (78.9):

ak =2

l

3l4∫

0

4hx

3lsin

kπx

ldx+

l∫

3l4

4h(l − x)l

sinkπx

ldx

=

32h

3(kπ)2sin

3kπ

4.

Интегралы берутся по частям.

134

bk = 0, т.к. ψ(x) = 0 в данном примере.Решение в соответствии с (78.8) имеет вид:

u(x, t) =32h

3π2

∞∑

k=1

sin(3kπ/4)

k2cos

kπat

lsin

kπx

l=

=32h

3π2

(1√2

sinπx

lcos

πat

l− 1

4sin

2πx

lcos

2πat

l+

+1

9√

2sin

3πx

lcos

3πat

l+

1

25√

2sin

5πx

lcos

5πat

l+ · · ·

).

Здесь основной тон

u1(x, t) =32h

3π2√

2sin

πx

lsin

πat

l

имеет максимальную амплитуду F1 =32h

3π2√

2в точке x =

l

2и частоту

ω1 = πa/l. Первым обертоном является u2(x, t) = − 8h

3π2sin

2πx

lsin

2πat

l,

который имеет в4√2

меньшую максимальную амплитуду F2 = 8h/3π2, но

уже в точке x = l/4 и частоту в 2 раза большую. Второй обертон

u3(x, t) =12h

27√

2sin

3πx

lcos

3πat

l

имеет в 3 раза большую частоту, а максимальную амплитуду в 9 раз мень-шую, чем у основного тона, но уже в точке x = l/6. Амплитуда третьегообертона равна нулю. Четвертый обертон имеет уже максимальную ам-плитуду в 25 раз меньшую, чем у основного тона. Относительно сложныйхарактер колебаний струны вызван несимметричным ее отклонением отположения равновесия в начальный момент времени.

78.2. Решение задачи о продольныхколебаниях стержня методом Фурье

В 77.2 была сформулирована задача о продольных колебаниях стержня с за-крепленным левым концом. Математически задача состоит в решении уравнения(77.2) с начальными условиями (77.3) и граничными условиями (77.5). Для реше-ния применим метод Фурье, т.е. будем искать решение в виде: u(x, t) = X(x)T (t).Подставив эту функцию в граничные условия (77.5), получим, чтоX(0) = X ′(l) =0. Подставляя эту же функцию в уравнение (77.2) и разделяя переменные, по-лучаем (как и в 78.1 здесь также можно показать, что в силу краевых условий


для определения ненулевого решения постоянная в правой части получаемогосоотношения должна быть отрицательной) :

T ′′(t)a2T (t)

=X ′′(t)X(x)

= −λ2.

Данное уравнение распадается на два :

(78.11) X ′′(x) + λ2X(x) = 0 и T ′′(t) + (λa)2T (t) = 0.

Общее решение первого уравнения имеет вид :

X(x) = C1 cosλx+ C2 sinλx,

т.к. характеристическое уравнение s2 + λ2 = 0 имеет комплексные корни: s1,2 =±λi.

Из граничных условий получаем:

X(0) = C1 = 0, X ′(l) = C2λ cosλl = 0.

Нулевые решения будут получаться при cosλl = 0, т.е. при

λk =(2k + 1)π

2l, k = 0, 1, 2, . . .

Каждому из этих собственных чисел λk соответствует функция Xk(x) == Ck sin((2k + 1)πx/(2l)).

Читателям рекомендуется самостоятельно доказать, что система собственных

функций sin(2k + 1)πx

2lортогональна на (0; l):

l∫

0

sin(2k + 1)πx

2lsin

(2n+ 1)πx

2ldx =

{l/2, k = n0, k 6= n

.

Общее решение второго уравнения (78.11) имеет вид:

Tk(t) = Ak cos(2k + 1)πat

2l+Bk sin

(2k + 1)πat

2l,

поэтому частным решением uk(x, t) = Xk(x)Tk(t), соответствующим собственно-му числу λk, будет:

uk(x, t) =

(ak cos

(2k + 1)πat

2l+ bk sin

(2k + 1)πat

2l

)sin

(2k + 1)πx

2l.

Здесь ak = AkCk, bk = BkCk.Для нахождения решения u(x, t), удовлетворяющего кроме граничных еще и

начальным условиям, составим ряд:

(78.12) u(x, t) =∞∑

k=0

(ak cos

(2k + 1)πat

2l+ bk sin

(2k + 1)πat

2l

)sin

(2k + 1)πx

2l

136

и подберем коэффициенты ak и bk так, чтобы выполнялись начальные условия(77.3):

(78.13)

u|t=0 =∞∑

k=0

ak sin(2k + 1)πx

2l= ϕ(x),

u′t|t=0 =∞∑

k=0

(2k + 1)πa

2lbk sin

(2k + 1)πx

2l= ψ(x).

Таким образом, ak и(2k + 1)πx

2lbk являются коэффициентами в разложе-

нии в ряд Фурье функции ϕ(x) и ψ(x) по ортогональной системе функций

sin(2k + 1)πx

2l. Аналогично тому, как получались формулы для коэффициентов

ряда Фурье, в данном случае имеем (чтобы вывести формулы для коэффициен-

тов ak обе части первого из равенств (78.13) сначала умножим на sin(2k + 1)πx

2l,

а затем проинтегрируем на (0; l). Из второго равенства (78.13) аналогично полу-чаем формулы для bk):

(78.14)

ak =2

l

l∫0

ϕ(x) sin(2k + 1)πx

2ldx;

bk =4

(2k + 1)πa

l∫0

ψ(x) sin(2k + 1)πx

2ldx.

Таким образом, искомое решение задачи (77.2), (77.3), (77.5) дается рядом(78.12), где коэффициенты ak и bk определяются по формулам (78.14).

Пример 78.2. Однородный продольный стержень плотности ρ, длины l,закрепленный при x = 0, рястянут силой P , приложенной к другому концустержня. В момент t = 0 действие силы прекратилось. Найти продольныеколебания стержня.

Р е ш е н и е: Как было показано в (77.2), эта задача сводится к решениюуравнения (77.2) при начальных условиях (77.7) и граничных условиях (77.5).Определяя по формулам (78.14) коэффициенты ak и bk, получаем:

ak =2P

lES

l∫

0

x sin(2k + 1)πx

2ldx =

8Pl(−1)k

π2ES(2k + 1)2, bk = 0.

Решение задачи дается рядом (78.12):

u(x, t) =8l

π2ES

∞∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)2cos

(2k + 1)πat

2lsin

(2k + 1)πx

2l.

В закрепленном конце стержня (при x = 0) всегда будет узел, т.к. u(x, t)|x=0 =

0, в свободном конце (при x = l) — пучность, т.к. sin (2k+1)πl2l =

= (−1)k.


78.3. Решение задачи о крутильныхколебаниях вала методом Фурье

В 77.3 была сформулирована задача о крутильных колебаниях вала длиной lс закрепленным левым концом и диском на правом. Математически она сводит-ся к нахождению решения Θ(x, t) уравнения (77.2), в котором u(x, t) = Θ(x, t),удовлетворяющего начальным условиям (77.9) и граничным условиям (77.10).

Будем искать решение в виде Θ(x, t) = X(x)T (t). Подставляя функцию Θ(x, t)вместо u(x, t) в уравнение (77.2) и разделяя переменные, получаем систему двухуравнений (78.11). Из первого граничного условия (77.10) следует: X(0) = 0.

Второе граничное условие перепишем в виде:

Θ′′tt|x=l = −b2Θ′

t|x=l, где b2 = GJ0/J1

и подставим сюда Θ(l, t) = X(l)T (t). Получим:

T ′′(t)X(l) = −b2T (t)X ′(l).

Учитывая, что из второго уравнения (78.11) следует

T ′′(t) = −a2λ2T (t),

получаем второе граничное условие в виде:

T ′′(t)X(l) = −b2T (t)X ′(l)⇒ −a2λ2T (t)X(l) =

= −b2T (t)X ′(l)⇒ b2X ′(l)− a2λ2X(l) = 0.

Таким образом, граничные условия для функции X(x) имеют вид:

(78.15) X(0) = 0, b2X ′(l)− a2λ2X(l) = 0.

Как и в предыдущем подразделе, общее решение первого уравнения (78.11)имеет вид :

X(x) = C1 cosλx+ C2 sinλx.

Из условий (78.15) определим значения C1 и C2:

X(0) = 0⇒ C1 = 0⇒ X(x) = C2 sinλx,

b2X ′(l)− a2λ2X(l) = 0⇒ λ(b2 cosλl − a2λ sinλl)C2 = 0⇒⇒ b2X ′(l)− a2λ sinλl = 0⇒ ctg λl = λa2/b2.

Таким образом, для определения собственных чисел получим уравнение:

(78.16) ctg λl =a2

b2λ,

не решаемое аналитически. Графически легко показать (рис. 78.2), что уравне-ние (78.16) имеет бесчисленное множество корней λk, причем каждому положи-тельному корню λk соответствует равный ему по абсолютной величине отрица-тельный. Как обычно, выбирая знак константы C2, можем рассматривать толькоположительные значения λk.

Каждому значению λk соответствует функция

Xk(x) = Ck sinλkx.

138

2πl

y=ab λ

22

y=ctg( l)λ

lπ λ

λλ 0

1

1

2

2λλ

Рис. 78.2

Общее решение второго уравнения (78.11), соответствующее данному λk, име-ет вид Tk(t) = Ak cosλkat + Bk sin λkat, поэтому частным решением Θk(x, t), со-ответствующим собственному числу λk, будет:

Θk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = (ak cosλkat+ bk sin λkat) sin λkx,

где ak = AkCk, bk = BkCk.Решение, удовлетворяющее начальным условиям, ищем в виде суммы:

(78.17) Θ(x, t) =∞∑

k=1

(ak cosλkat+ bk sinλkat) sin λkx

и подбираем коэффициенты ak и bk так, чтобы выполнялись начальные условия:

(78.18)

Θ′t|t=0 =

∞∑k=1

λkbk sinλkx = 0⇒ bk = 0,

Θ|t=0 =∞∑

k=1

ak sinλkx = αx

lk = 1, 2, 3, . . .

Из условия (78.18) найдем ak. Следует заметить, что функции sinλkx не ор-тогональны на (0; l), поэтому коэффициенты ak нельзя найти с помощью формулФурье; однако легко доказать, что их производные, т.е. cosλkx, ортогональны науказанном интервале:

l∫

0

cosλkx cosλnxdx =

{l2 + sin(2λkl)

4λk, k = n

0, k 6= n.

Продифференцируем обе части (78.18) по x:

∞∑

k=1

akλk cosλkx =α

l.

Чтобы получить формулы для коэффициента ak, обе части последнего ра-венства умножим на cosλnx и проинтегрируем на (0; l). В силу ортогональности

78 Практика – Аналитическое решение волновых задач 139

системы функций cosλkx, получаем:

akλk

l∫

0

cos2(λkx)dx =α

l

l∫

0

cosλkxdx,

откуда, беря интегралы, окончательно имеем:

(78.19) ak =α sin λkl

λ2kl

(l

2+

sin(2λkl)

4λk

) .

Таким образом, искомое решение дается рядом:

(78.20) Θ(x, t) =

∞∑

k=1

ak cosλkt sin λkx,

где коэффициенты ak определяются по формулам (78.19).Численные значения корней λk уравнения (78.16) можно найти в специальных

таблицах или вычислить известными методами (метод деления отрезка пополам,метод Ньютона и т.п.).

На этом мы завершим рассмотрение примеров решения краевых задач для

волнового уравнения по методу Фурье. Было видно, что решение даже специаль-

но подобранных примеров является очень громоздким, а более сложные задачи

уже не поддаются решению по методу Фурье. Как уже отмечалось в предыдущих

частях данного методического пособия, более общим методом решения краевых

задач является метод сеток.

78. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ –Аналитическое решение простейшихволновых задач

В лекции 77 была выведена формула Даламбера (77.2) для решения за-дачи о свободных колебаниях бесконечной струны. Для случая полубеско-нечной струны x ∈ [0,∞) были выведены две формулы: (77.15) для закреп-ленного конца струны и (77.17) для свободного конца струны. В лекции78 были выведены формулы для решения краевых задач о колебаниях соднородными граничными условиями трех типов.


78.1. Решение задачи о свободных колебанияхструны

Решить следующие задачи при t > 0:

140


∂t2=∂2u

∂x2, u∣∣∣t=0

= x2,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= 0, x ∈ (−∞,+∞).


∂t2= 4

∂2u

∂x2, u∣∣∣t=0

= 0,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= x, x ∈ (−∞,+∞).


∂t2= a2∂

2u

∂x2, u∣∣∣t=0

= sin 2x,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= ex, u∣∣∣x=0

= 0,

x ∈ (0,+∞).


∂t2=∂2u

∂x2, u∣∣∣t=0

= 0,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= chx,∂u

∂x

∣∣∣x=0

= 0,

x ∈ (0,+∞).

78.2. Решение однородных краевых задачРешить краевые задачи для одномерного волнового уравнения на обла-

сти x ∈ [0, L] при заданных начальных и граничных условиях:

Пример 78.5. u∣∣∣t=0

= 0,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= 100x,

u∣∣∣x=0

= 0, u∣∣∣x=L

= 0.


= 0,∂u

∂t

∣∣∣t=0

= 2x,

u∣∣∣x=0

= 0,∂u

∂x

∣∣∣x=L

= 0.


= sinπx

2L,

∂u

∂t

∣∣∣t=0

= 0,

u∣∣∣x=0

= 0,∂u

∂x

∣∣∣x=L

= 0.


= sinπx

L,

∂u

∂t

∣∣∣t=0

= 0,

u∣∣∣x=0

= 0, u∣∣∣x=L

= 0.

79. ЛЕКЦИЯ – Метод сеток для решениякраевых задач, описываемых волновымуравнением

Вывод конечно-разностного уравнения для решения краевых за-дач, описываемых волновым уравнением. Исследование устойчиво-сти конечно-разностной явной схемы “Крест”. Неявные схемы.

79 Лекция – Метод сеток для решения волнового уравнения 141

m=0n=0

1 2 3

12

h

n

t

xm M

τ

(a)

(n+1,m)

(n,m)(n,m-1) (n,m+1)

(n-1,m)

(b)

Рис. 79.1

В волновое уравнение входит вторая производная по времени, для ап-проксимации которой необходимы три временных слоя. Кроме того, произ-водная входит и в начальные условия, входящие в соответствующие диффе-ренциальные задачи. Для конкретности рассмотрим следующую краевуюдифференциальную задачу:

Найти решение волнового уравнения в полосе 0 6 x 6 l, t > 0 призаданных начальных (t = 0) и краевых (x = 0, x = l) условиях.

(79.1)

∂2u

∂t2− a2∂

2u

∂x2= 0, 0 6 x 6 l, t > 0,

u(0, x) = ϕ0(x),u′t(0, x) = ϕ1(x),

α0u∣∣∣x=0

+ α1∂u

∂x

∣∣∣∣x=0

= γ1(t),

β0u∣∣∣x=0

+ β1∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= γ2(t).

Введем прямоугольную сетку tn = nτ , xm = mh, n = 0, 1, 2, . . . , N ,m = 0, 1, 2, . . . , M = l/h (рис. 79.1,a).

79.1. Явная схема “Крест”Рассмотрим вначале две возможные схемы, отличающиеся друг от друга

аппроксимацией начальных условий, имеющие один и тот же явный пяти-точечный трехслойный шаблон, изображенный на рис. 79.1,b ("Крест").

142

(79.2)

un+1m − 2un

m + un−1m

τ 2−

−a2un

m+1 − 2unm + un

m−1

h2= 0

,n = 1, 2, . . . , N − 1;m = 1, 2, . . . ,M − 1;

u0m = ϕ0(mh), m = 0, 1, . . .M ;u1

m − u0m

τ= ϕ1(mh), m = 0, 1, . . . ,M ;

α0un+10 + α1

un+11 − un+1

0

h= γ1(t

n+1), n = 0, 1, . . . , N − 1,

β0un+1M + β1

un+1M − un+1

M−1

h= γ2(t

n+1), n = 0, 1, . . . , N − 1.

(79.3)

un+1m − 2un

m + un−1m

τ 2−

−a2un

m+1 − 2unm + un

m−1

h2= 0

,n = 1, 2, . . . , N − 1;m = 1, 2, . . . ,M − 1;

u0m = ϕ0(mh), m = 0, 1, . . . ,M ;u1

m − u0m

τ= ϕ1(mh) +

τa2

2ϕ′′

0(mh), m = 0, 1, . . . ,M ;

α0un+10 + α1

un+11 − un+1

0

h= γ1(t

n+1), n = 0, 1, . . . , N − 1,

β0un+1M + β1

un+1M − un+1

M−1

h= γ2(t

n+1), n = 1, 2, . . . , N − 1.

Граничные условия для волнового уравнения совпадают с граничнымиусловиями для уравнения теплопроводности (76.5 c,d). В схеме (79.2) диф-ференциальное уравнение аппроксимируется со вторым порядком по τ и h,а начальное условие с первым порядком — по τ , следовательно, порядокаппроксимации всей схемы будет второй по h и первый по τ . Схема (79.3)отличается от (79.2) аппроксимацией производной в начальном условии. Вэтой схеме производная ∂u(0, x)/∂t аппроксимируется со вторым порядкомпо τ и, следовательно, вся схема будет иметь второй порядок как по h, так ипо τ . Получим апроксимационное выражение ∂u(0, x)/∂t в схеме (79.3) приусловии, что ϕ0(x) имеет ограниченные производные. Значения u1

m можнополучить по формуле Тейлора

u1m = u0

m +∂u(0, x)

∂tτ +

1

2

∂2u(0, x)

∂t2τ 2 + O(τ 3).

Откуда на основании дифференциального уравнения

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2= a2d

2ϕ0(x)

dx2


имеем∂u(0, x)

∂t=u1

m − u0m

τ− a2

2

d2ϕ0(x)

dx2τ +O(τ 2),

а, следовательно, на основании второго начального условия (79.1)

u1m − u0

m

τ= ϕ1(mh) +

τ

2a2ϕ′′

0(mh) + O(τ 2).

Отсюда

(79.4) u1m = u0

m + τϕ1(mh) +τ 2

2a2ϕ′′

0(mh).

Зная u0m и определив u1

m из (79.4) расчет значений и на последующихслоях проводится по формуле:

(79.5) un+1m = 2un

m − un−1m + a2 τ

2

h2(un

m+1 − 2unm + un

m−1), n = 1, 2, . . . , N − 1.

Рассмотрим теперь алгоритм решения краевой задачи для волновогоуравнения по явной схеме:

(1) По формуле u0m = ϕ0(mh), m = 0, 1, 2, · · ·M находим решение на

нулевом временном слое при t = 0.(2) n = 1. По формуле u1

m = u0m+τϕ0(mh) или по более точной формуле

(79.4) получаем решение на первом временном слое при t = τ .(3) По формулам (79.5) получаем значение сеточной функции u во

всех внутренних узлах (m = 1, 2, . . . ,M − 1) n + 1-го временногослоя при t = (n+ 1)τ .

(4) Подставляем граничные условия на левой (76.5 c) и правой (76.5d) границе области при t = (n+ 1)τ .

(5) n = n+ 1(6) Если n < N , переход на пункт 3.(7) Вывод результатов расчета.

79.1.1. Устойчивость конечно-разностной схемы "Крест"Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости введенной явной схемы

"Крест". Подставляя возмущение δunm = λneiwmh в уравнение для возмуще-

нийδun+1

m − 2δunm + δun−1

m

τ 2− a2 δu

nm+1 − 2δun

m + δunm−1

h2= 0,

после некоторых преобразований получим характеристическое уравнение

(79.6) λ2 − 2

(1− 2r2a2 sin2 wh

2

)λ+ 1 = 0.

144

Корни данного характеристического уравнения согласно теореме Виетасвязаны соотношением λ1λ2 = 1. Поэтому, если они действительные и одинменьше единицы, то другой больше единицы. Поэтому устойчивость можетбыть лишь при комплексных корнях, которые являются сопряженными ипо модулю равными единице. Из (79.6) имеем:

(79.7) λ = 1− 2r2a2 sin2 wh

2± 2ra sin

wh

2

√r2a2 sin2 wh

2− 1.

Следовательно r2a2sin2(wh/2) < 1, |λ| = 1 и при r2a2 sin2(wh/2) = 1.Если взять самые опасные частоты, для которых sin2(wh/2) = 1, имеем,что схема "Крест"устойчива при r2a2 6 1, т.е.

(79.8) r =τ

h6

1

a.

Напомним, что область зависимости решения волнового уравнения влюбой заданной точке (tn+1, xm) охватывается характеристиками x− at == C1 и x + at = C2, приходящими в эту точку (пунктир на рис. 79.2). Об-ласть же зависимости для разностной схемы определяется шаблоном. Со-гласно условию КФЛ, для того, чтобы разностная схема была устойчивой,необходимо, чтобы область зависимости решения в любой точке (tn+1, xm)конечно-разностной схемы охватывала бы область зависимости дифферен-циального уравнения, т.е. для схемы "Крест"

τ

h6 a, что совпадает с усло-

вием устойчивости этой схемы, полученным по признаку Неймана. Однакотакое совпадение бывает не всегда. Напомним, что признак КФЛ являетсялишь необходимым признаком сходимости.

(n,m)

(n-1,m)

(n,m+1)

(n+1,m)

(n,m-1)

x+at=Cx-at=C 1 2

h

τ

Рис. 79.2

79.2. Неявные схемыПерейдем теперь к рассмотрению простейших неявных схем для волно-

вого уравнения. В трехслойной разностной схеме вторая производная по tрасписывается в центральной точке (n,m). Таким образом, и производнаяпо x должна расписываться также в этой точке. Два простейших неявных


(n+1,m)

(n,m)

(n-1,m)

(n+1,m-1) (n+1,m+1)

(n-1,m+1)(n-1,m-1)

(a)

(n+1,m)

(n,m)

(n-1,m)

(n+1,m-1) (n+1,m+1)

(n-1,m+1)(n-1,m-1)

(n,m-1) (n,m+1)

(b)

Рис. 79.3

шаблона, для которых можно удовлетворить этому условию, представленына (рис. 79.3,a и 79.3,b)

Разностные схемы, определяемые этими шаблонами, могут быть запи-саны одним выражением

(79.9)

un+1m − 2un

m + un−1m

τ 2− a2

σ(un+1m+1 − 2un+1

m + un+1m−1)

h2−

−a2(1− 2σ)(un

m+1 − 2unm + un

m−1) + σ(un−1m+1 − 2un−1

m + un−1m−1)

h2= 0,

которое при σ = 1/2 соответствует семиточечной неявной разностной схеме,рис. 79.3, а при σ = 1/4 — девятиточечной неявной разностной схеме, рис.79.3,b. Кстати, при σ = 0 разностная схема (79.9) совпадает с явной схемой"Крест".

Характеристическое уравнение для (79.9) после преобразований будетиметь вид:

(79.10)

(1 + 4σr2a2 sin2(wh/2)

)λ2 − 2

(1− 2(1− 2σ)r2a2 sin2(wh/2)

)λ+

+1 + 4σ2r2a2 sin2(wh/2) = 0.

Откуда при σ = 1/2 и σ = 1/4 получим, что |λ| = 1, т.е. обе эти схемыабсолютно устойчивы, однако решение краевой задачи по уравнениям (79.9)получить сложнее, чем по явной схеме (79.5), т.к. для разрешения системытрехточечных уравнений на рассчитываемом n+1 -ом слое необходимо, каки для неявной схемы в уравнении теплопроводности, использовать методпрогонки.

146

79. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениеволнового уравнения в рамках пакетаMathCad

79.1. Решение задачи ДаламбераВ лекции 77 выведены формулы Даламбера для решения волнового

уравнения на бесконечной и полубесконечной области. Формулы получи-лись достаточно простые, однако для получения решения необходимо вы-числять интеграл от функции ψ(x), задающей скорость точек струны вначальный момент времени. Часто эта функция является достаточно слож-ной и для вычисления интеграла необходимо применять численные мето-ды. Кроме того, для исследования поведения решения необходимо строитьграфики решений при фиксированных значениях временной координаты иисследовать характер решения. Поэтому для исследования решения задачиДаламбера удобнее использовать пакет MathCad.

В качестве примера решения задачи Даламбера с использованием паке-та MathCad рассмотрим решение рассмотренной в лекции 77 задачи 77.1.Ниже приведена достаточна простая, но универсальная программа реше-ния данной задачи.

ORIGIN := 0 TOL := 0.00001 N := 5 M := 100 a := 2

P := 100 n := 0..N m := 0..M A := −5 B := 5 h :=B − AM

τ := 0.25 tn := τ · n xm := A+ h ·mϕ(x) := 0 ψ := P · atan(x)

u(x, t) :=P

2· (ϕ(x− a · t) + ϕ(x+ a · t)) +

P

2 · a ·x+a·t∫x−a·t

ψ(z)dz

Um,n := u(xm, tn)

На рис. 79.1 представлены результаты, полученные в MathCad. Приt = 0 график решения совпадает с осью Ox.

79.2. Решение краевой однородной задачи дляволнового уравнения

Аналитическое решение краевой задачи для волнового уравнения с од-нородными граничными условиями трех типов подробно рассматривалосьв лекции 78. Рассмотрим решение рассмотренного в лекции 78 примера78.1 в рамках пакета MathCad. Ниже представлена MathCad – программарешения примера 78.2.

79 Практика – Решение волнового уравнения в MATHCAD 147

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

60

100

20

-20

-60

-100

xm-5 -3 -1 1 3 5

BA

m

m

m

m

m

m

Рис. 79.1

N := 5 TOL := 0.00001 ORIGIN := 0 M := 100 K := 20

n := 0..N m := 0..M k := 0..K L := 1 h :=L

Ma := 1

tn := 0.2 · n xm := h ·m P := 100

Ψ(x) :=

∣∣∣∣4 · P · x

3 · L if 0 6 x ∧ x 63 · L

4∣∣∣∣4 · P · (L− x)

Lotherwise

Ak :=2

L·

L∫0

Ψ(x) · sin(k · π · xL

)dx

u(x, t) :=K∑

k=1

(Ak · cos

(k · π · a · t

L

)· sin

(k · π · xL

))

Um,n := u(xm, tn)

На рис. 79.2 представлены графики решения данного примера для ше-сти значений временной координаты t.

Ниже представлена MathCad – программа решения данного примера.

148

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

60

100

20

-20

-60

-100

m

m

m

m

m

m

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

O Lxm

Рис. 79.2

N := 5 TOL := 0.00001 ORIGIN := 0 M := 100 K := 20

n := 0..N m := 0..M k := 0..K L := 1 h :=L

Ma := 1 P := 100

tn := 0.25 · n xm := h ·m E := 1 S := 1

Ψ(x) :=P · xE · S Ak :=

2

L·

L∫0

Ψ(x) · sin(

(2 · k + 1) · π · x2 · L

)dx

u(x, t) :=K∑

k=0

(Ak · cos

((2 · k + 1) · π · a · t

2 · L

)·

· sin(

(2 · k + 1) · π · x2 · L

))

Um,n := u(xm, tn)

Рассмотрим теперь пример более сложных начальных условий, при ко-торых коэффициенты рядов Фурье аналитически не вычисляются, а в рам-ках пакета MathCad сложность программы не изменяется.

Пример 79.1. Методом Фурье решить смешанную задачу для волно-вого уравнения с начальными условиями

u∣∣∣t=0

= x · (L− x) · ex2

,∂U

∂t

∣∣∣t=0

= 0.1 · sin2 4 · π · xL

и однородными граничными условиями: u∣∣∣x=0

= u∣∣∣x=L

= 0.

79 Практика – Решение волнового уравнения в MATHCAD 149

Р е ш е н и е: Решение данной задачи имеет вид (78.8), где коэффициен-ты определяются по формулам (78.9). Представим программу для решенияданного примера на MathCad.

N := 5 TOL := 0.00001 ORIGIN := 0 M := 100 K := 20

n := 0..N m := 0..M k := 0..K L := 1 h :=L

Ma := 1

tn := 0.25 · n xm := h ·m

Φ(x) := x · (L− x) · ex2Ψ(x) := 0.1 ·

(sin

(4 · π · xL

))2

Ak :=2

L·

L∫0

Φ(x) · sin(k · π · xL

)dx

Bk :=2

π · a · k ·L∫0

Ψ(x) · sin(k · π · xL

)dx p :=

π · aL

u(x, t) :=K∑

k=0

(Ak · cos(k · p · t) + Bk · sin(k · p · t)) · sin(k · π · x

L

)

Um,n := u(xm, tn)

На рис. 79.3 представлены графики решения данного примера для ше-сти значений временной координаты t.

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

m

m

m

m

m

m

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

O Lxm

-0,4

-0,2

0,2

0,4

Рис. 79.3

150

80. ЛЕКЦИЯ – Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа и задача Дирихле для круговой области. Реше-ние задачи Дирихле для круговой области методом Фурье. Методсеток для решения задачи Дирихле и Неймана на прямоугольныхобластях

80.1. Уравнение Лапласа и задача Дирихледля круга

Пусть требуется найти решение u(x, y) двумерного уравнения Лапласа:

(80.1)∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

заданного в области σ; решение должно удовлетворять граничному усло-вию на контуре L, ограничивающем σ:

(80.2) u(x, y)|L = ψ(x, y).

Такая задача называется плоской задачей Дирихле. Мы ограничимсярешением этой задачи для случая, когда область σ есть круг радиуса R сцентром в начале координат. В этом случае задачу удобно решать в поляр-ных координатах. Сделаем замену переменных:

{x = r cosϕy = r sinϕ

⇒ u(x, y) = u(r cosϕ, r sinϕ).

С помощью правила дифференцирования сложной функции найдем∂2u

∂x2

и∂2u

∂y2:

∂u

∂x=∂u

∂r

∂r

∂x+∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂x;

∂u

∂y=∂u

∂r

∂r

∂y+∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂y;

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u

∂x

)=

∂

∂x

(∂u

∂r

∂r

∂x

)+

∂

∂x

(∂u

∂ϕ

∂ϕ

∂x

)=

=

(∂2u

∂r2

∂r

∂x+

∂2u

∂r∂ϕ

∂ϕ

∂x

)∂r

∂x+∂u

∂r

∂2r

∂x2+

(∂2u

∂ϕ∂r

∂r

∂x+∂2u

∂ϕ2

∂ϕ

∂x

)∂ϕ

∂x+

+∂u

∂ϕ

∂2ϕ

∂x2=∂2u

∂r2

(∂r

∂x

)2

+ 2∂2u

∂r∂ϕ

∂r

∂x

∂ϕ

∂x+∂2u

∂ϕ2

(∂ϕ

∂x

)2

+

80 Лекция – Уравнение Лапласа 151

+∂u

∂r

∂2r

∂x2+∂u

∂ϕ

∂2ϕ

∂x2.

Аналогично получается :

∂2u

∂y2=∂2u

∂r2

(∂r

∂y

)2

+ 2∂2u

∂r∂ϕ

∂r

∂ϕ

∂ϕ

∂y+∂2u

∂ϕ2

(∂ϕ

∂y

)2

+

+∂u

∂r

∂2r

∂y2+∂u

∂ϕ

∂2ϕ

∂y2.

Далее, поскольку r =√x2 + y2; ϕ = arctg(y/x), находим:

∂r

∂x=

x√x2 + y2

=x

r=r cosϕ

r= cosϕ;

∂r

∂y=

y√x2 + y2

=y

r= sinϕ;

∂2r

∂x2=

y2

(x2 + y2)3/2=r2 sin2 ϕ

r3=

sin2 ϕ

r;

∂2r

∂y2=

x2

(x2 + y2)3/2=r2 cos2 ϕ

r3=

cos2 ϕ

r;

∂ϕ

∂x=

(−y/x2)

1 + (y/x)2= − y

x2 + y2= −r sinϕ

r2= −sinϕ

r;

∂ϕ

∂y=

1/x

1 + (y/x)2=

cosϕ

r;

∂2ϕ

∂x2=

2xy

(x2 + y2)2=

2 sinϕ cosϕ

r2;

∂2ϕ

∂y2= −2 sinϕ cosϕ

r2.

С учетом этих формул выражения для∂2u

∂x2и∂2u

∂y2приобретают вид:

∂2u

∂x2=∂2u

∂r2cos2 ϕ− 2

∂2u

∂r∂ϕ

sinϕ cosϕ

r+∂2u

∂ϕ2

sin2 ϕ

r2+

+∂u

∂r

sin2 ϕ

r+∂u

∂ϕ

2 sinϕ cosϕ

r2;

∂2u

∂y2=∂2u

∂r2sin2 ϕ + 2

∂2u

∂r∂ϕ

sinϕ cosϕ

r+∂2u

∂ϕ2

cos2 ϕ

r2+

+∂u

∂r

cos2 ϕ

r− ∂u

∂ϕ

2 sinϕ cosϕ

r2.

152

Подставляя эти выражения в уравнение (80.1), после очевидных упро-щений получаем уравнение Лапласа в полярных координатах:

(80.3)∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂ϕ2= 0.

Искомая функция u(r, ϕ), кроме уравнения (80.3), должна удовлетво-рять также граничным условиям

u(r, ϕ)|r=R = ψ(R cosϕ,R sinϕ) = f(ϕ),

где f(ϕ) — заданная функция, определенная во всех точках окружности L:r = R. Для решения уравнения (80.3) применим метод Фурье, т.е. будемискать решение в виде:

u(r, ϕ) = R(r)Ф(ϕ).

Подставив это решение в уравнение (80.3), получим :

Ф(ϕ)R′′(r) +1

rФ(ϕ)R′(r) +

1

r2R(r)Ф′′(ϕ) = 0.

Откуда

−rR′(r) + r2R′′(r)

R(r)=

Ф′′(ϕ)

Ф(ϕ)= C.

Можно показать, что для получения ненулевого решения необходимо,чтобы константа C была отрицательна:

C = −λ2.

Уравнение распадается на два:

(80.4) Ф′′(ϕ) + λ2Ф(ϕ) = 0,

(80.5) r2R′′(r) + rR′(r)− λ2R(r) = 0.

Общее решение уравнения (80.4) имеет вид:

Ф(ϕ) = A cos(λϕ) +B sin(λϕ).

Заметим, что увеличение ϕ на 2π возвращает точку с координатами(r, ϕ) в исходное положение, значит все рассматриваемые функции от ϕдолжны иметь период 2π. Таким образом: λ = 1, 2, 3, . . . (собственные чис-ла); соответствующие собственные функции Фk(ϕ) определяются по фор-мулам:

Фk(ϕ) = Ak cos(kϕ) + Bk sin(kϕ), k = 1, 2, 3, . . .

Отрицательные значения λ отбрасываем, т.к. знак λ влияет только назнак произвольной постоянной Bk.

Решение уравнения (80.5) (уравнение Эйлера) будем искать в виде:R(r) = rm. Находим производные: R′(r) = mrm−1, R′′(r) = m(m − 1)rm−2


и подставляем в (80.5): r2m(m − 1)rm−2 + rmrm−1 − λ2rm = 0, откуда:m2 − λ2 = 0 ⇒ m1,2 = ±λ. Два полученных решения уравнения (80.5):R1(r) = rλ и R2(r) = r−λ составляют, как легко проверить, фундамен-тальную систему. Однако решение R2(r) = r−λ неограниченно при r → 0,поэтому его отбрасываем. Следовательно, решение уравнения (80.5) име-ет вид: R(r) = Crλ, а его решение, соответствующее собственным числамλ = k, имеет вид:

Rk(r) = Ckrk.

Окончательно получаем, что решение uk(r, ϕ) уравнения (80.3) имеетвид :

uk(r, ϕ) = Rk(r)Фk(ϕ) = (Ak cos(kϕ) + Bk sin(kϕ))Ckrk =

= (ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ))rk, k = 1, 2, 3, . . .

Обозначим u0(r, ϕ) = a0/2; непосредственной подстановкой проверяется,что функция эта также является решением уравнения (80.3).

В силу линейности и однородности уравнения Лапласа сумма этих ре-шений u(r, ϕ) также будет решением уравнения (80.3):

(80.6) u(r, ϕ) =a0

2+

∞∑

k=1

(ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ))rk.

Коэффициенты ak и bk найдем из граничного условия:

u(r, ϕ)|r=R =a0

2+

∞∑

k=1

(akRk cos(kϕ) + bkR

k sin(kϕ)) = f(ϕ),

откуда коэффициенты определяются по формулам Фурье:

a0 =1

π

π∫

−π

f(ϕ)dϕ, akRk =

1

π

π∫

−π

f(ϕ) cos(kϕ)dϕ,

bkRk =

1

π

π∫

−π

f(ϕ) sin(kϕ)dϕ, k = 1, 2, 3, . . .

Окончательно получаем формулы для коэффициентов :

(80.7)a0 =

1

π

π∫−π

f(ϕ)dϕ, ak =1

Rkπ

π∫−π

f(ϕ) cos(kϕ)dϕ,

bk =1

Rkπ

π∫−π

f(ϕ) sin(kϕ)dϕ, k = 1, 2, 3, . . .

Таким образом, решение задачи Дирихле для круга дается рядом (80.6),где коэффициенты ak и bk определяются по формулам (80.7).

154

Пример 80.1. Дана однородная круглая пластинка радиуса R, причемна верхней половине ограничивающей окружности поддерживается тем-пература 10C, а на нижней — 00C. Найти распределение температуры напластинке.

Р е ш е н и е: Нужно решить задачу Дирихле для круга с граничнымусловием вида:

f(ϕ) =

{1, при 0 6 ϕ 6 π0, при π < ϕ < 2π.

По формулам (80.7) находим коэффициенты:

a0 =1

π

π∫

0

1dϕ+

2π∫

π

0dϕ

= 1, ak =

1

πRk

π∫

0

1 cos(kϕ)dϕ = 0.

bk =1

πRk

π∫

0

1 sin(kϕ)dϕ =1− (−1)k

πRkk⇒ b2n = 0, b2n−1 =

2

πR2n−1(2n− 1).

Согласно (80.6) получаем решение:

u(r, ϕ) =1

2+

2

π

∞∑

n=1

( rR

)2n−1 sin((2n− 1)ϕ)

2n− 1.

Замечание 80.1. Решение задачи Дирихле для круга можно такжепредставить в виде интеграла Пуассона:

u(r, ϕ) =1

2π

2π∫

0

f(τ)R2 − τ 2

R2 − 2Rτ cos(τ − ϕ) + τ 2dτ.

В заключение отметим, что полученное решение задачи Дирихле длякруга позволяет также решать соответствующую задачу для бесконечногокругового однородного цилиндра, ось которого совпадает с 0z. Считая, чтотемпература внутри цилиндра установилась, требуется найти закон распре-деления температур при условии, что на границе цилиндра поддерживаетсязаданная температура. Рассматривается случай, когда распределение тем-пературы на поверхности во всех поперечных сечениях цилиндра одинако-во. В этом случае задача для цилиндра сводится к решению плоской задачиДирихле для круга.


80.2. Метод сеток решения задачи Дирихледля уравнения Лапласа

Пусть область D, в которой ищется, например, решение задачи Дирихле,представляет собой прямоугольник со сторонами, равными a и b (рис. 80.1).Разобьем его на M частей по оси x и на N — по оси y. Шаги сетки попеременным x и y обозначим hx и hy.

a

b

0

y

x

m,n

Рис. 80.1

Аппроксимируем производные∂2u

∂x2и∂2u

∂y2в точке (m,n) по схеме

"Крест".Тогда получим следующую конечно-разностную схему

(80.8)

um+1,n − 2um,n + um−1,n

h2x

+um,n+1 − 2um,n + um,n−1

h2y

= 0,

n = 1, 2, . . .N − 1; m = 1, 2, . . . ,M − 1,um,0 = ϕ(xm, 0), m = 0, 1, . . . ,M,um,N = ϕ(xm, b), m = 0, 1, . . . ,M,u0,n = ϕ(0, yn), n = 1, 2, . . . , N − 1,uM,n = ϕ(a, yn), n = 1, 2, . . . , N − 1.

Уравнение Лапласа не является эволюционным. В нем нет какой-либопредпочтительной переменной, x и y — переменные по пространству и ониравноправны. Это равноправие мы отмечаем тем, что оба индекса сеточнойфункции U ставим внизу. Получаемая в результате замены дифференци-альной задачи Дирихле для уравнения Лапласа система алгебраическихуравнений (80.8) содержит (N + 1)(M + 1) неизвестных и может быть ре-шена обычным методом исключения лишь при небольших значениях N иM .

При большом числе узлов решение системы (80.8) представляет значи-тельные трудности. Наибольшее распространение получили итерационныеметоды решения таких систем.

156

Простейший итерационный процесс может заключаться в следующем.Выразим из первого уравнения (80.8) um,n и снабдим его верхним итераци-онным индексом (p+1), значения u в остальных узлах — соответствующиминдексом (p).

(80.9) u(p+1)m,n =

(u

(p)m+1,n + u

(p)m−1,n + r

(u

(p)m,n+1 + u

(p)m,n−1

))/ (2(r + 1)) ,

где параметр сетки r = (hx/hy)2. Задавая какие-либо значения u во всех

узлах области, кроме значения в граничных точках, которые известны, сле-дующие приближения будем определять по формуле (80.9).

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока два последовательныхприближения для um,n не станут отличаться друг от друга меньше, чемна заданную величину ε, т.е. во всех узлах сетки будет удовлетворятьсянеравенство

(80.10) |u(p+1)m,n − u(p)

m,n| < ε.

Установлено, что, если итерационную формулу (80.9) заменить на фор-мулу

(80.11) u(p+1)m,n =

ω

2(r + 1)(u

(p)m+1,n +u

(p)m−1,n + r(u

(p)m,n+1 +u

(p)m,n−1))+(1−ω)u(p)

m,n,

то можно выбором параметра ω добиться значительного сокрашения чис-ла итераций, необходимого для сходимости решения (выполнения условия(80.10)) числа итераций. Выбор наиболее оптимального параметра ω дляконкретной задачи можно осуществить на грубой сетке, а затем с выбран-ным параметрам ω выполнить более точный расчет уже на мелкой сетке.

При решении задачи итерационным методом очень важно правильноподобрать нулевое приближение u(0). При плохом выборе нулевого прибли-жения число итераций, необходимых для достижения заданной точности,существенно увеличивается и даже может возникнуть такая ситуация, чтоитерационный процесс может расходиться. Для правильного подбора нуле-вого приближения рекомендуется использовать граничные условия.

Итерационный метод (80.9) можно трактовать как выход на стационар-ный режим решения краевой задачи для некоторого эволюционного уравне-ния с двумя пространственными переменными при заданных произвольныхначальных условиях в области D :

(80.12)∂u

∂t= A

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

).

80 Практика – Решение волнового уравнения 157

Для исследования устойчивости разностных схем, аппроксимирующихуравнение (80.12), также могут быть применены признаки КФЛ и Неймана,но в отличие от рассмотренных нами схем для одномерных по простран-ству уравнений в случае (80.11) вводится сетка в трехмерном пространстве(t, x, y).

(80.13)

tn = nτ, n = 0, 1, 2, . . .xm = mh, m = 0,±1,±2, . . .yk = kl, k = 0,±1,±2, . . .u(tn, xm, yk) = Un

m,k.

И для исследования устойчивости по Нейману разностной схемы, ап-проксимирующей (80.12), рассматриваются возмущения специального вида

(80.14) δUnm,k = λn · etw1mh · etw2kl.

Необходимое условие Куранта, Фридрихса, Леви в многомерном слу-чае формулируется точно так же, как и для одномерных эволюционныхуравнений.

Мы рассмотрели наряду с аналитическими методами решения задач ма-тематической физики и основные понятия разностных методов решениядифференциальных уравнений в частных производных и примеры иссле-дования аппроксимации и устойчивости некоторых разностных схем дляпростейших линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Разуме-ется, что особое внимание исследованию свойств схемы должно уделятьсяпри создании и использовании новых разностных схем. Однако и все те, ктоиспользует уже известные разностные схемы решения дифференциальныхзадач, должны быть в какой-то степени знакомы с такими чрезвычайноважными понятиями теории разностных схем, как аппроксимация, устой-чивость, сходимость, чтобы суметь разобраться в полученных результатахрасчета и правильно оценить их точность.

80. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решениеволнового уравнения методом сеток

80.1. Постановка задачиНа конкретном примере рассмотрим решение краевой задачи для вол-

нового уравнения методом сеток.

Пример 80.1. Методом сеток решить смешанную задачу для волно-вого уравнения (72.14) с начальными условиями

158

u∣∣∣t=0

= sin πx,∂u

∂t

∣∣∣∣t=0

= 0, 5 · cosπx

2и граничными условиями

u∣∣∣x=0

= 0,

(u+

∂u

∂x

) ∣∣∣x=L

= 0, 1 sin 2πt.

Заменяя начальные и граничные условия их конечно-разностными ана-логами, получаем

u0m = sinπxm, m = 0, 1, 2, ...,M ;u1

m − u0m

τ= 0, 5 · cos

πxm

2, m = 0, 1, ...,M ;

un+10 = 0, n = 0, 1, 2, ..., N − 1;

un+1M +

un+1M − un+1

M−1

h= 0, 1 · sin 2πtn+1, n = 0, 1, ..., N − 1.

После несложных преобразований получим: решение на нулевом вре-менном слое

(80.1) u0m = sin πxm.

Решение на первом временном слое

(80.2) u1m = u0

m + τ · cos(0, 5πxm).

Решение на левом крае

(80.3) un+10 = 0.

Решение на правом крае

(80.4) un+1M =

(un+1

M−1 + h · 0.1 · sin(2πtn+1))/(1 + h).

80.2. Решение волнового уравнения в рамкахтабличного процессора Excel безиспользования программирования

В качестве шага сетки по пространственной координате h возьмем зна-чение 0, 05. Тогда параметр τ равен r · h. Конечно-разностная схема дляволнового уравнения сходится, если выполняется условие r 6 1. Выбираемзначение r=1.

Для решения поставленной задачи по явной схеме входим в текстовыйпроцессор Excel и проделываем такие же действия как и для решения за-дачи теплопроводности. Переименуем любой рабочий лист на Волновое-Уравнение. В первой строке пишем заглавие работы. В ячейках B2 , D2и F2 записываем значения параметров сетки r, h и τ : 1, 0,05 и формулу


= B2 ∗D2, соответственно. Заполняем теперь третью строку. В ячейку A3записываем текст t/x. Далее записываем массив абсцисс xm. Для этого вячейку B3 пишем число 0. В ячейку C3 пишем формулу = D2. В ячейку D3формулу = C3+$D$2. Эту формулу продолжаем до ячейки V 3 (x = 1). Длязаполнения массива координат узлов по временной координате t проделаеманалогичные действия. В ячейку A4 пишем значение начального времени –0. В ячейку A5 - формулу = $F$2. В ячейку A6 — формулу = A5 + $F$2 ипродолжаем ее до ячейки A24. В ячейках B4 : V 4 подставляем начальныеусловия на нулевом временном слое (80.1). Для этого в ячейки B4 пишемформулу = sin(3, 14159 ∗ B$3) и продолжаем ее до ячейки L4. Теперь вы-числяем решение на первом временном слое (80.1). В ячейку B5 вводимформулу: = C4 + $F$2 ∗ cos(1, 5708 ∗ C$3).

Для получения решения во внутренних точках сетки используем фор-мулу (79.5). В ячейку C6 вводим следующую формулу:=2* C5-C4+(\$F\$2/\$D\$2)\^2* (D5-2* C5+B5) и продолжаем ее влево доячейки U6. Подставим теперь граничные условия на левом (80.3) и правомкрае (80.4) области. В ячейку B6 вводим формулу = 0. Теперь осталосьзаполнить ячейку V 5, в которой необходимо подставить граничное условиена правом торце. В данную ячейку вводим формулу = (U6 + $D$2 ∗ 0, 1 ∗∗sin(6, 28∗$A5)/(1+$D$2)). Теперь для получения решения на других вре-менных слоях, выделяем область A6 : V 6. И продолжаем ее до 24 строки. Врезультате поставленная задача решена и осталось исследовать поведениерешения в зависимости от пространственной координаты и времени.

Построим графики значений температур на различных временных сло-ях. На одной диаграмме построим графики на шести временных слоях приt = 0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8 и 1.0. Для этого скроем все строки, кроме 3, 4, 8, 12,16, 20 и 24, и при помощи мастера диаграмм построим графики решений науказанных временных слоях. Результаты, полученные в рамках табличногопроцессора Excel, полностью совпадают с результатами, полученными попрограмме, написанной на алгоритмическом языке Visual Basic и MathCadи приводятся ниже.

80.3. Решение волнового уравнения сиспользованием программирования наVisual Basic

Для решения волнового уравнения с использованием программирова-ния на алгоритмическом языке Visual Basic напишем программу, анало-гичную программе для решения задачи теплопроводности. Для построенияграфиков используем подпрограмму ПостроитьГрафики, используемуюдля построения графиков задачи переноса. Приведенная ниже программа

160

снабжена достаточным объемом комментариев, поэтому приводим ее бездополнительных предварительных пояснений.

Sub ВолновоеУравнениеЯвнаяСхема()

Dim x() As Double, y() As Double, ynp1() As Double, ynm1() As Double


Dim hPr As Double, tauPr As Double, Tmax As Double, L As Double

Dim nn As Long, mm As Long, MPr As Long, a1 As Double, a2 As Double


Dim t As Double, rr As Double, pi As Double

pi = Atn(1) * 4


L = 1

a = 1 ’ Это скорость распространения волны

Tmax = 0.5 ’ Верхняя граница временной координаты


r = 1 ’Параметр сетки

tau = r * h ’Это шаг по временной координате

hPr = 0.1 ’Шаг для вывода значений сеточной функции по координате x


’NPr = CLng(Tmax / tauPr) + 1 ’Число графиков

MPr= CLng(hPr/h) ’Через столько точек выводить результаты по оси Ox

mm = CLng(L/h) ’ Количество ячеек сетки по оси Ox

nn = CLng(Tmax/tau) ’Количество ячеек сетки по оси Ot

ReDim x(mm), y(mm), ynp1(mm), ynm1(mm) ’Размерность массивов

For m = 0 To mm

x(m) = h * m


’Нулевой временной слой

ynm1(m) = Sin(pi * x(m))

’Первый временной слой

y(m) = ynm1(m) + tau * 0.5 * Cos(0.5 * pi * x(m))

Next m

Dim NameSh As String ’Имя листа для вывода результатов и графиков

NameSh = "ВолновоеУравнение"



Cells(1, 1) = "t\x"

Cells(2, 1) = "t=0"

ngr = 1 ’Номер текущего графика



Cells(ngr + 1, m \ MPr + 2) = CDbl(Format(ynm1(m), "#0.00"))



Next m

a1 = 2 * (1 - r ^ 2)

a2 = r ^ 2

For n = 2 To nn

t = tau * n

For m = 1 To mm - 1

ynp1(m) = a1 * y(m) + a2 * (y(m + 1) + y(m - 1)) - ynm1(m)

Next m

Call ГраничныеУсловияВолновое(ynp1, t, h, mm)

’Переставить активные временные слои для следующей итерации

For m = 0 To mm

ynm1(m) = y(m)

y(m) = ynp1(m)

Next m

’Записать решение на данном временном слое а



ngr = ngr + 1




Next m

End If

Next n


RGB(220, 90, 220)


NameDiagr = "Волновое уравнение"


NameDiagr, 0, 1, 0, 1)

End Sub

Sub ГраничныеУсловияВолновое(ynp1() As Double, _

t As Double, h As Double, mm As Long)

Dim pi As Double

pi = Atn(1) * 4

ynp1(0) = 0 ’Левая граница

’Правая граница

ynp1(mm) = (ynp1(mm - 1) + h * _

0.1 * Sin(2 * pi * t)) / (1 + h)

End Sub

На рис. 80.1 приведены результаты, полученные по представленной вы-ше программе для значений временной переменной в диапазоне от 0 до 0,5с шагом 0,1.

162

t\x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0t = 0 0 0,31 0,59 0,81 0,95 1 0,95 0,81 0,59 0,31 0

t = 0, 20 0 0,34 0,61 0,82 0,95 0,99 0,94 0,80 0,58 0,30 0,27t = 0, 40 0 0,30 0,57 0,75 0,86 0,89 0,84 0,71 0,51 0,54 0,53t = 0, 60 0 0,23 0,44 0,61 0,69 0,70 0,66 0,55 0,67 0,74 0,72t = 0, 80 0 0,14 0,27 0,38 0,46 0,46 0,42 0,62 0,78 0,84 0,81t = 1, 00 0 0,04 0,08 0,11 0,15 0,17 0,42 0,64 0,79 0,85 0,82

Волновое уравнение

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

t=0t=0,2t=0,4t=0,6t=0,8t=1,0

0,6

0,4

0,2

0,8

1

Рис. 80.1. Волновое уравнение

80.4. Решение волнового уравнения в рамкахпакета MathCad

Представим решение примера (80.1) средствами математического паке-та MathCad. Алгоритм решения задачи и наименование переменных такиеже, как и для решения волнового уравнения с использованием алгоритми-ческого языка Visual Basic. Поэтому в программе на MathCad комментарииполностью отсутствуют.


r := 1 M := 100 h :=L

Mτ := r ·

(ha

)N :=

Tmax

τ

τPr := 0.2 hPr := 0.1 MPr :=hPr

hMhPr :=

L

hPra1 := 2 ·

(1− r2

)a2 := r2

m := 0..MhPr xm := m · hPr


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1xm

(U )<0>

(U )

(U )<2>

(U )<3>

(U )<4>

<1>

(U )<5>

0,6

0,4

0,2

0,8

1m

m

m

m

m

m

Рис. 80.2. Волновое уравнение MathCad

U := |for m ∈ 0..M∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

xm ← m · hynm1m ← sin(π · xm)ym ← ynm1m + τ · 0.5 · cos(0.5 · π · xm)

k ← 0ngr ← 1for m ∈ 0,MPr..M∣∣∣∣Uk,0 ← ynm1m

k ← k + 1for n ∈ 2..N∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t← n · τfor m ∈ 1..M − 1

ynp1m ← a1 · ym + a2 · (ym−1 + ym+1)− ynm1m

ynp10 ← 0

ynp1M ←ynp1M−1 + h · 0.1 · sin(2 · π · t)

1 + hynm1← yy ← ynp1if∣∣ngr · τPr − t

∣∣ < 0.1 · τ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


k ← k + 1ngr ← ngr + 1

U

164

m := 0..MhPr xm := m · hPrНа рис. 80.2 приведены графики изменения функции U(x, t), получен-

ные по представленной выше программе в рамках пакета MathCad. Нарис. 80.3 представлена таблица сеточной функции в узлах вывода значе-ний искомой функции. Сравнивая полученные результаты по программе,написанной на Visual Basic, и программе MathCad мы видим идеальноесовпадение.

0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0,309 0,3446 0,3002 0,2299 0,1404 0,04012 0,5878 0,6092 0,5745 0,4406 0,27 0,07883 0,809 0,8177 0,7496 0,6146 0,379 0,11494 0,9511 0,9494 0,8578 0,688 0,4595 0,14725 1 0,9911 0,8878 0,7027 0,4563 0,17496 0,9511 0,9384 0,836 0,656 0,4181 0,41867 0,809 0,796 0,7066 0,5514 0,6184 0,64348 0,5878 0,5773 0,5114 0,669 0,7768 0,79419 0,309 0,3032 0,5396 0,7367 0,8446 0,853910 0 0,2713 0,5285 0,7153 0,8138 0,8159

Рис. 80.3

81 Лекция — Введение вариационное исчисление 165

XII ГЛАВА

Элементы вариационногоисчисления и теории

оптимизации

81. ЛЕКЦИЯ — Введение в теориювариационного исчисления

Происхождение экстремальных задач. Классическая изопериметри-ческая задача. Задача Дидоны. Задача о брахистохроне. Задача огеодезических линиях, транспортная задача и задачи о рационе ибыстродействии. Формализация экстремальных задач

81.1. Происхождение экстремальных задачЕсли нам приходится выбирать из нескольких возможностей, то вполне есте-

ственным является желание выбрать среди них оптимальную. Слово оптималь-ный происходит от латинского optimus, что значит “наилучший”, “совершенный”.Чтобы найти оптимальную возможность, нужно решать задачи на отысканиемаксимума или минимума, т.е. наибольших и наименьших значений некоторыхвеличин. Оба эти понятия объединяются одним термином экстремум (от латин-ского extremum, что значит "крайнее"). Поэтому задачи на нахождение макси-мума или минимума называют экстремальными задачами.

Методы решения и исследования различного рода экстремальных задач обра-зуют специальные разделы математического анализа. Почти тот же смысл вкла-дывается в название задачи оптимизации, в нем более отчетливо видна связь спрактическими приложениями математики.

Прежде чем переходить к формальному последовательному изложению это-го раздела математики, обратимся к прошлому, чтобы лучше понять причины,побуждающие ставить и решать экстремальные задачи в их прикладном аспекте,т.е. как задачи оптимизации.

81.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Зада-ча Дидоны

Еще в античности впервые были сформулированы задачи отыскания наиболь-ших и наименьших величин. Одной из древнейших экстремальных задач являет-ся классическая изопериметрическая задача. Уже Аристотель использовал как

166

известный тот факт, что окружность имеет наибольшую "вместимость" средивсех замкнутых кривых одной и той же длины, то есть было доказано до Ари-стотеля, что окружность является решением такой экстремальной задачи: средиплоских замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охваты-вающую наибольшую площадь.

Легендарную мотивировку той же изопериметрической и некоторых близкихк ней задач можно найти в "Энеиде" Вергилия. Финикийская царевна Дидо-на вместе с небольшим отрядом жителей города Тира покинули свою родину,спасаясь от преследований тирана – брата Дидоны, и отправились на корабляхна запад вдоль берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском побережьеудобное место, Дидона и ее спутники решили основать поселение. Местные жите-ли не хотели этого, но Дидоне удалось уговорить их предводителя продать клочокземли, "который можно окружить бычьей шкурой". Разрезав шкуру на тонкиеполоски и связав их в один длинный ремень, Дидона окружила им значительнуютерриторию и заложила на ней город Карфаген. В память об этой истории кар-фагенская цитадель получила название Бирса (шкура). Все эти события легендаотносит к IX веку до н. э.

Анализируя ситуацию, можно обнаружить несколько возможных постановокзадачи оптимизации.

1. Указать оптимальную форму участка земли, который при заданной длинепериметра L имеет наибольшую площадь S.

Ясно, что это классическая изопериметрическая задача, сформулированнаявыше. Ее решением является круг. Еще одна реальная ситуация, приводящая ктой же задаче, описана в рассказе Л.Н. Толстого “Сколько человеку земли нуж-но”, где мужику пообещали отвести столько земли, сколько он сможет обежатьот восхода до заката солнца.

2. Другие постановки получаются, если, как это естественно считать, Дидонахотела сохранить выход к морю. В отличие от классической изопериметрическойзадачи, такие задачи называют задачами Дидоны. Для простоты можно рассмот-реть случай прямолинейного берега.

Первая задача Дидоны. Среди всех дуг длины L, лежащих в полуплоско-сти, ограниченной прямой l, и имеющих концы A, B ∈ l, найти такую, котораявместе с отрезком [AB] ограничивает фигуру наибольшей площади S.

Решение этой задачи легко получить, отразив произвольную (допустимую)дугу относительно прямой l, т.е. искомая дуга – полуокружность, опирающаясяна диаметр [AB]. С точностью до сдвига вдоль прямой решение единственно.

3. В предыдущей задаче положение концов A и B искомой дуги на прямой lбыло произвольным. Что случится, если эти концы будут заданы?

Вторая задача Дидоны. Среди всех дуг длины L, лежащих в полуплос-кости, ограниченной прямой l, и имеющих заданные концы A, B ∈ l, найтитакую, которая вместе с отрезком [AB] ограничивает фигуру наибольшей пло-щади S.

Эта задача ненамного сложнее, чем предыдущая. Ее решение может бытьполучено аналогично и представляет собой дугу окружности, для которой [AB]


является хордой.Две разобранные задачи имеют следующее различие. В первой задаче Ди-

доны кривых существенно больше, так как положение точек A и B не задано.Без ограничения общности одну из них можно считать фиксированной. Тогдаположение точки B определяется дополнительным условием: найденная дуга непросто некоторая дуга окружности, как во второй задаче Дидоны, но это по-луокружность. Последнее равносильно следующему: в своих граничных точкахискомая дуга подходит к прямой l под прямым углом. Как мы увидим позже,в этом проявляется общий принцип: предоставляя концам искомой кривой неко-торую свободу, мы должны потребовать, чтобы в них выполнялись некоторыеусловия, называемые условиями трансверсальности. Форма же искомой кривойв обеих задачах одинакова, она определяется некоторым уравнением (уравнениемЭйлера), которое должно выполняться вдоль кривой. В нашем случае искомаякривая должна иметь одну и ту же кривизну во всех точках кривой.

4. Задача Дидоны усложняется, если берег не является прямой линией. Пред-положим, что положение концов A и B фиксировано. Нетрудно видеть, что еслимежду точками A и B берег мало отличается от прямой, то решением остаетсята же дуга окружности, что и раньше.

Однако если искомая кривая должна охватить некоторую узкую и длиннуюбухту (как в Севастополе или Балаклаве) и граница города должна проходитьпо суше, то решение остается прежним, пока крайняя точка бухты C находитсявнутри охватываемой площади. В противном случае решением является кривая,составленная из двух дуг окружностей AC и CB. В предельном случае |AC| +|CB| = L решением является ломаная ACB, а при |AC| + |CB| > L решение несуществует.

Рассмотренный вариант можно было бы назвать задачей Дидоны с фазовымиограничениями.

5. Рассмотрим еще один вариант задачи Дидоны. Пусть по каким-то сообра-жениям стены города нельзя вести более чем под углом 45◦ к линии берега. Такаязадача уже является задачей оптимального управления. Ее решение может бытьнайдено с помощью принципа максимума Понтрягина. В типичном случае еерешение состоит из двух отрезков, отходящих от берега под предельным углом,и некоторой дуги окружности, касающейся этих отрезков в граничных точках.

81.1.2. Задача о брахистохронеВ 1696 г. Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал мате-

матикам решить задачу о линии наискорейшего ската – брахистохроне. В этойзадаче требуется определить линию, соединяющую две заданные точки A и B,не лежащие на вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что матери-альная точка под действием силы тяжести скатится по этой линии из точки A вточку B за кратчайшее время.

Легко видеть, что линией наискорейшего ската не будет прямая, соединяю-щая точки A и B, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точкамиA и B, так как движение по прямой будет равноускоренным и скорость будет

168

нарастать сравнительно медленно. Если же мы возьмем кривую, спускающую-ся около точки A более круто вниз, то хотя путь и удлинится, его значительнаячасть будет пройдена с большей скоростью и время движения из точки A в точкуB уменьшится. Решение задачи о брахистохроне было дано самим И. Бернулли,а также Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Кривая наи-скорейшего спуска или брахистохрона оказалась циклоидой. В дальнейшем мырассмотрим эту задачу.

81.1.3. Задача о геодезических линияхНайти линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки на неко-

торой поверхности ϕ(x, y, z) = 0 (рис. 81.1). Такие кратчайшие линии называютсягеодезическими.

Рис. 81.1. Иллюстрация к задаче о геодезических линиях

Это вариационная задача на так называемый связанный или условный экс-тремум. Необходимо найти минимум функционала

l =

x1∫

x0

√1 + y′2 + z′2dx,

причем гладкие функции y(x) и z(x) подчиняются условию ϕ(x, y, z) = 0. Функ-ционалом называют отображение, которое любой функции, принадлежащей неко-торому множеству, ставит в соответствие некоторое числовое значение.

Первое решение задачи о геодезических линиях было получено в 1698 годуЯкобом Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан в работахЛ. Эйлера и Ж. Лагранжа.

81.1.4. Транспортная задача и задача о рационеПредположим, что запасы некоторого продукта распределены по нескольким

базам и этот продукт должен быть доставлен нескольким магазинам. Стоимость


перевозки единицы продукта от каждой базы до каждого магазина известна, итакже известно, сколько продукта должно быть доставлено в каждый магазин.Транспортная задача заключается в составлении оптимального в этой ситуа-ции плана перевозок, т.е. в указании того, какое количество данного продуктанадо перевезти из каждой базы в каждый магазин, чтобы суммарная стоимостьперевозки была минимальной.

Похожая задача о рационе состоит в составлении рациона, удовлетворяющегопотребностям человеческого организма с минимальными денежными затратамипри определенном ассортименте продуктов, заданном содержании в каждом изних питательных веществ и известной стоимости единицы каждого продукта.

Подобные задачи повсеместно встречаются в конкретной экономике. Обе упо-мянутые задачи относятся к разделу, называемому линейным программировани-ем. Теория линейного программирования была построена сравнительно недавно– в сороковые-пятидесятые годы ХХ века.

81.1.5. Задача о быстродействииПриведем простейший пример экстремальной задачи с "техническим" содер-

жанием. Пусть имеется тележка, движущаяся по горизонтальным рельсам пря-молинейно и без трения. Тележка управляется внешней силой, изменяющейся вопределенных пределах. Требуется остановить тележку в определенном положе-нии в кратчайшее время. Это задача называется простейшей задачей о быстро-действии.

Особенность постановок экстремальных задач техники состоит в том, что дей-ствующие силы делятся на две части. Одна из них – это силы природы (например,сила тяжести), другая (скажем, сила тяги) регулируется человеком. При этом,естественно, возникают ограничения на управляющие действия, обусловленныетехническими возможностями. Теория такого рода задач была построена в концепятидесятых годов ХХ века. Она называется теорией оптимального управления.

Приведенные примеры показывают, что экстремальные задачи возникают какв естествознании, экономике и технике, так и диктуются потребностями самойматематики. Поэтому теория экстремальных задач и ее практический аспект –теория оптимизации – приобрели в наши дни особую актуальность.

81.2. Формализация экстремальных задач81.2.1. Основные определения

Каждая из сформулированных выше задач записана в терминах той частнойобласти, в которой она возникла. Если мы хотим использовать преимущества ана-литического подхода, то нам необходимо "перевести" задачу с содержательногоязыка на формальный язык математического анализа. Такой перевод называетсяформализацией.

Точно поставленная экстремальная задача содержит следующие элементы:функционал f : X −→ R, определенный на некотором множестве X, и ограниче-ние, т.е. подмножество C ⊆ X. Символом R обозначена расширенная веществен-

170

ная прямая – совокупность всех вещественных чисел, пополненная значениями−∞ и +∞. Множество X называется классом допустимых элементов, а точкиx ∈ C – допустимыми по ограничению.

Сама экстремальная задача формулируется так: найти экстремум (т.е. ниж-нюю inf или верхнюю sup грань) функционала f при условии, чтоx ∈ C. При этом используется стандартная запись

(81.1) f(x) −→ inf(sup); x ∈ C.

Таким образом, для точной постановки надо описать X, f и C.ЕслиX = C, то задача (81.1) называется задачей без ограничений. Точку x бу-

дем называть решением задачи (81.1), минималью (или, соответственно, макси-малью) или абсолютным минимумом (максимумом), еслиf(x) > f(x) (соответственно f(x) 6 f(x)) для всех x ∈ C.

Как правило, все задачи будем записывать как задачи минимизации, заменяязадачу f(x) −→ sup, x ∈ C задачей f(x) −→ inf, x ∈ C, где f(x) = −f(x). В темслучаях, когда мы хотим подчеркнуть, что нам безразлично, рассматривается лизадача минимизации или максимизации, мы будем писать f(x) −→ extr.

Множество X должно быть наделено топологией, т.е. в нем должно бытьвведено понятие близости элементов. Это можно сделать, например, задав в Xнабор окрестностей (как это стандартно делается в Rn или в нормированном про-странстве). В дальнейшем мы приведем соответствующие строгие определения изфункционального анализа. Если X – топологическое пространство, то x называ-ется локальным минимумом, если существует окрестность U точки x, такая, чтоx – решение задачи f(x) −→ inf, x ∈ C ∩U . Аналогично определяется локальныймаксимум.

81.2.2. Формализация классической изопериметрическойзадачи

Эта задача является одной из известнейших экстремальных задач, но ока-зывается едва ли не самой трудной для полного исследования. Процедура ееформализации может быть выполнена по-разному. Выбор удачной формализа-ции представляет собой самостоятельную проблему, и успех при решении задачив многом зависит от того, насколько удачно будет проведена формализация.

Пусть длина кривой равна L, а сама кривая задана параметрически функци-ями x(s), y(s), причем в качестве параметра взята длина дуги s, отсчитываемаявдоль кривой от некоторой ее точки. Тогда в любой точке кривой выполняется

соотношение x′2(s)+ y′2(s) = 1 (так как дифференциал дуги ds =√dx2 + dy2) и,

кроме того, x(0) = x(L), y(0) = y(L), так как кривая замкнута.Для большей определенности в расположении искомой кривой можно так-

же потребовать, чтобы ее центр тяжести попал в начало координат, т.е. чтобы

имели место равенстваL∫0

x(s)ds =L∫0

y(s)ds = 0. Площадь S кривой, заданной па-


раметрически (x(s), y(s)) равнаL∫0

xy′ds. Таким образом, получается следующая

формализация:

S[x(s), y(s)] =

L∫

0

xy′ds −→ sup; x′2(s) + y′2(s) = 1,(81.2)

L∫

0

x(s)ds =

L∫

0

y(s)ds = 0, x(0) = x(L), y(0) = y(L).

Эту задачу можно формализовать иначе. Допустим, пилот получил задачуоблететь за заданное время возможно большую площадь и вернуться на свойаэродром. Если максимальная скорость самолета не зависит от направления по-лета, то данная задача имеет следующую естественную формализацию.

Предположим, что траектория полета описывается параметрически как функ-ция времени: x = x(t), y = y(t). Тогда скорость самолета имеет две составляющиеu = x′(t), v = y′(t). Условие того, что охватываемая площадь должна быть мак-симальна, приводит к соотношению

(81.3) S[x(t), y(t)] =1

2

T∫

0

(x(t)v(t) − y(t)u(t))dt −→ sup .

Условие, что максимальная скорость самолета равна V , дает ограничение

(81.4) u2 + v26 V.

И, наконец, условие возвращения самолета на свой аэродром приводит к со-отношениям

(81.5) x(0) = x(T ), y(0) = y(T ).

Таким образом, формализация задачи приобретает вид (81.3), (81.4), (81.5).

81.2.3. Формализация задачи о брахистохронеТребуется найти кривую, соединяющую заданные точки A и B, при движении

по которой материальная точка скатится из точки A в точку B за кратчайшеевремя (трение и сопротивление среды отсутствуют).

Введем в плоскости систему координат (x, y), так что ось Ox направленагоризонтально, а ось Oy – вертикально вниз. Пусть начало координат совпадаетс точкой A, т.е. ее координаты (0, 0). Предположим, что координаты точки Bесть (x1, y1), где x1 > 0, y1 > 0, а y = y(t) – функция, задающая уравнениекривой, соединяющей точки A и B. В отсутствие трения и сопротивления средыскорость движения материальной точки под действием силы тяжести не зависит

от формы кривой y = y(x), а зависит только от ординаты точкиds

dt=√

2gy,

172

откуда находим время t, необходимое для перемещения материальной точки изположения A(0, 0) в положение B(x1, y1) :

(81.6) t[y(x)] =1√2g

x1∫

0

√1 + y′2√y

dx −→ inf; y(0) = 0, y(x1) = y1.

81.2.4. Формализация задачи о быстродействииФормализация простейшей задачи о быстродействии может быть проведена

аналогично. Пусть масса тележки m, ее начальная координата x0, а начальнаяскорость v0. Внешнюю силу (силу тяги) обозначим через f , а текущую координа-ту тележки через x(t). Тогда по второму закону Ньютона mx = f . Ограничениена тягу зададим в таком виде: f ∈ [f1, f2]. Отсюда получим задачу оптимизацииуправления, необходимого для того, чтобы остановить тележку за кратчайшеевремя T

T −→ inf, mx = f, f ∈ [f1, f2],(81.7)

x(0) = x0, x(0) = v0, x(T ) = x(T ) = 0.

Отметим одно важное обстоятельство. На самом деле мы "недоформализова-ли" еще наши задачи. Например, в формализации (81.6) не указана точно областьопределения функционала t[y(x)] и, следовательно, пока неизвестно, на какомклассе кривых рассматривалась задача (т.е. не определено множество X из п.81.2.1). Чтобы быть точными и правильно решать задачи, необходимо всякийраз указывать, в каком классе объектов ищется решение.

81.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи орационе

Рассмотрим вначале транспортную задачу. Введем следующие обозначения:

ai – количество единиц продукта, находящегося на i-той базе,1 6 i 6 m;bj – потребность (в тех же единицах) j-того магазина, 1 6 j 6 n;cij – стоимость перевозки единиц продукта из i-той базы в j-тый мага-зин;xij – планируемое количество единиц продукта для перевозки из i-тойбазы в j-тый магазин.

Тогда стоимость перевозки равнаm∑

i=1

n∑j=1

cijxij , и ее нужно минимизировать.

Естественные ограничения при этом следующие:

(1) xij ∈ R+ (очевидное ограничение на величину перевозки);

(2)n∑

j=1xij 6 ai (нельзя вывести больше того, что есть);

81 Лабораторная – Решение задачи Дирихле методом сеток 173

(3)m∑

i=1xij = bj (нужно перевести ровно столько, сколько необходимо).

В итоге получается следующая формализация:

(81.8)m∑

i=1

n∑

j=1

cijxij −→ inf,n∑

j=1

xij 6 ai,m∑

i=1

xij = bj, xij ∈ R+.

Задача о рационе формализуется столь же просто. Пусть имеется n продуктов(мука, крупы, мясо, овощи и т.п.). Допустим, что для полноценного питаниянеобходимо bj единиц j-го вещества. При этом aij есть содержание j-го веществав единице i-го продукта, а ci – цена единицы i-го продукта.

Обозначив через xi потребление i-го продукта, получаем задачу

(81.9)

n∑

i=1

cixi −→ inf,

n∑

i=1

aijxi > bj , xi > 0.

81. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА –Вычислительная программа для решениязадач, описываемых уравнением Лапласа

81.1. Вычислительная программа для решениязадач, описываемых уравнением Лапласа

Рассмотрим решение задач, описываемых уравнением Лапласа, методом се-ток. В качестве области решения задачи возьмем прямоугольную область с пря-моугольным вырезом, рис. 81.1.

D

A

C

B

E

F G

H

x

y

Рис. 81.1

Введем обозначения:

• a — ширина прямоугольника;• b — высота прямоугольника;• av — ширина выреза;• bv — высота выреза;

174

• O(xv0, yv0) — координаты центра выреза.

Предполагаем, что вырез EFGH может находиться в произвольном местепрямоугольника ABCD. Для решения задачи методом конечных разностей разо-бьем прямоугольник ABCD на M одинаковых интервалов длины hx по стороне

AB и N одинаковых интервалов длины hy по стороне AD. При этом hx =a

M,

hy =b

N. Обозначим через M1, M2, N1, N2 номера узлов, ближайших к левой,

правой, нижней, верхней границам выреза. Предусмотрим четыре качественноразличных случая.

(1) Выреза нет. В этом случае av = 0, bv = 0. N1 = N2 = M1 == M2 = 0.

(2) Центр выреза находится внутри прямоугольника. av > 0, bv > 0. 0 <N1 < N2 < N , M1 < M2 < M .

(3) Центр выреза находится в любой вершине прямоугольника. Например,в точке C. av > 0, bv > 0. Это в случае, если прямые DC и BC являютсяплоскостями симметрии. Тогда 0 < N1 < N , N2 = N , 0 < M1 < M ,M2 = M .

(4) Центр выреза находится на любой стороне прямоугольника. Например,на стороне AD. av > 0, bv > 0. Это в случае, если прямая AD являетсяплоскостью симметрии. В этом случае M1 = 0. На стороне CD – N2 =N .

Для решения поставленной задачи методом сеток необходимо разработатьвычислительную программу РешениеУравненияЛапласа. Для того чтобырешать более широкий класс задач, необходимо по возможности делать болееуниверсальную постановку задачи. Рассмотрим прямоугольную область ABCDс прямоугольным вырезом EHGF , рис. 81.1. Введем обозначения: |AB| = a,|AD| = b, |EF | = av, |EH | = bv, O(xv0, yv0) — координаты центра выреза.

Для решения задачи методом конечных разностей разобьем прямоугольникABCD на N одинаковых интервалов по стороне AD и на M одинаковых интер-валов по стороне AB. При этом обозначим через N1, N2, M1, M2 номера узлов,соответствующих границам выреза.

В исходных данных будем задавать параметры a, b, av, bv — длины сторонAB, AD, EF , EH , a также координаты центра выреза xv0, yv0. При отсутствиивыреза av = bv = xv0 = yv0 = 0.

Разработаем теперь алгоритм расчета и вычислительную программу. Внутрипрограммы при помощи операторов присваивания задаем начальные условия. ВVisual Basic строчные и прописные буквы в именах переменных считаются оди-наковыми, поэтому в программе вместо математической переменной N вводимидентификатор nn, а вместо переменной M – mm. Затем вычисляем парамет-ры сетки: hx, hy, r, массив узловых координат по оси Ox – xm, массив узловыхкоординат по оси Oy – ym, m1,m2, n1, n2.

Далее вызываем подпрограмму ГраничныеУсловияДляНулевогоПри-ближения в которой задаем решение на нулевой итерации. Во всех внутренних


точках области на нулевой итерации задаем усредненную температуру равную 75.Для упрощения алгоритма учета выреза во всех внутренних точках находящихсявнутри выреза, мы задаем значение температуры ниже абсолютного нуля равное-1000. Затем в этой же подпрограмме задаем граничные условия для нулевогоприближения во всех граничных точках области.

После получения нулевого приближения начинается итерационный процесс.В двумерном цикле

For n = 1 To nn - 1

For m = 1 To mm - 1

..............

Next m, n

происходит обход по всем внутренним точкам области. ОператорIf Not (u(m, n) < -273 Or ((n >= n1 And n <= n2) And ...

задает точки, входящие во внутреннюю области решения, пропуская граничныеточки и точки, входящие в вырез.

В подпрограмме происходит подстановка граничных условий на границе об-ласти для ненулевых итераций.

Выход из итерационного цикла происходит в случае, когда либо достигнутазаданная точность

Loop Until (Emax <= Eps),

либо когда параметр цикла itn превысил максимально допустимое значениеItmax

If itn > Itmax Then

MsgBox ("Итерационный процесс не сошелся за " & itn & _

" итераций" & " Emax=" & Emax)

Exit Sub

End If

Далее происходит вывод результатов расчета. Результаты расчета выводятсяна два рабочих листа: NameShZ = УравнениеЛапласаЗначения и NameShG =УравнениеЛапласаИзотермы. На первый лист выводится значения сеточнойфункции u во всех узлах сетки. На второй рабочий лист выводятся карта изотермрешения. Диапазон полученных температур разбивается на NIZOL поддиапа-зонов, и каждому из них присваивается очередное значение и некоторый цвет.Ячейки рабочего листа, соответствующие узловым точкам xm, ym, закрашивают-ся различными цветами, соответствующими уровню температур. Для вывода начерно-белые документы можно подобрать серые и белые полосы.

Ниже представлены распечатки основной программы и всех подпрограмм,вызывающихся этой программой.

Sub РешениеУравненияЛапласа()

Dim u() As Double, x() As Double, y() As Double

Dim a As Double, b As Double, av As Double, bv As Double

Dim xv0 As Double, yv0 As Double, Eps As Double

176

Dim hx As Double, hy As Double, r As Double, omega As Double

Dim NameShZ As String, NameShG As String, rr As Double

Dim itn As Integer, mm As Integer, nn As Integer, n As Integer

Dim m As Integer, Itmax As Integer, Emax As Double

Dim n1 As Integer, n2 As Integer, m1 As Integer, m2 As Integer

Dim x1 As Double, x2 As Double, y1 As Double, y2 As Double

Dim Uw As Double, Ep As Double, s As String

’Имена рабочих листов для вывода числовых результатов и изотерм

NameShZ = "УравнениеЛапласаЗначения"

NameShG = "УравнениеЛапласаИзотермы"

Sheets(NameShZ).Select

Cells.Select

Selection.Clear


a = 15: b = 10: mm = 60: nn = 60: av = 5

bv = 5: xv0 = 12.5: yv0 = 2.5

omega = 1.75: Eps = 0.01: Itmax = 500

itn = 0: n1 = nn: n2 = nn: m1 = mm: m2 = mm

’Определение размера используемых массивов

ReDim u(mm, nn), x(mm), y(nn)

hx = a / mm ’Размер сетки по оси Ox

hy = b / nn ’Размер сетки по оси Oy

r = (hx / hy) ^ 2

For m = 0 To mm

x(m) = m * hx ’Координаты сетки по оси Ox

Next m

For n = 0 To nn

y(n) = n * hy ’Координаты сетки по оси Oy

Next n

If av > a / mm Then ’Наличие выреза

If Abs(xv0 + yv0) < hx / 2 Then

’ Симметричный вырез

m1 = CInt((a - av) / (2 * hx))

m2 = mm - m1

n1 = CInt((b - bv) / (2 * hy))

n2 = nn - n1

Else

’ Несимметричный вырез

x1 = xv0 - av / 2

x2 = xv0 + av / 2

y1 = yv0 - bv / 2

y2 = yv0 + bv / 2

m1 = CInt(x1 / hx)

m2 = m1 + CInt((x2 - x1) / hx)


n1 = CInt(y1 / hy)

n2 = n1 + CInt((y2 - y1) / hy)

End If

If nn - n2 <= 1 Then n2 = nn

If mm - m2 <= 1 Then m2 = mm

End If

Call ГраничныеУсловияДляНулевогоПриближения(u, nn, mm, n1, _

n2, m1, m2)

’Организация итерационного процесса

itn = 0: rr = 2 * r + 2

Do

itn = itn + 1

Emax = 0

For n = 1 To nn - 1

For m = 1 To mm - 1

If Not (u(m, n) < -273 Or ((n >= n1 And n <= n2) And _

(m >= m1 And m <= m2))) Then

Uw = omega / rr * (r * (u(m, n + 1) + u(m, n - 1)) + _

(u(m + 1, n) + u(m - 1, n))) + (1 - omega) * u(m, n)

Ep = Abs(Uw - u(m, n))

If Ep > Emax Then Emax = Ep

u(m, n) = Uw

End If

Next m, n

’ Подстановка граничных условий на текущей итерации

Call ГраничныеУсловияЛаплас(u, hx, hy, nn, mm, n1, n2, m1, m2)

If itn > Itmax Then

MsgBox ("Итерационный процесс не сошелся за " & itn & _

" итераций" & " Emax=" & Emax)

Exit Sub

End If

Loop Until (Emax <= Eps)

s = "Итерационный процесс сошелся за " & itn & " итераций" & _

" Emax=" & Emax

Call ВыводРезультатов(u, x, y, nn, mm, NameShG, NameShZ, s)

End Sub

Sub ГраничныеУсловияДляНулевогоПриближения(u() As Double, _

nn As Integer, mm As Integer, n1 As Integer, n2 As Integer, _

m1 As Integer, m2 As Integer)

Dim m As Integer, n As Integer

’Задание нулевого приближения внутри области

For m = 1 To mm - 1

For n = 1 To nn - 1

u(m, n) = 75

178

Next n, m

’ В узлах выреза температура ниже абсолютного нуля

For m = m1 To m2

For n = n1 To n2

u(m, n) = -1000

Next n, m

’На границе AD x=0

For n = 0 To nn

u(0, n) = 100

Next n

’На границе DC y=b

For m = 0 To mm

u(m, nn) = 100

Next m

’На границе AE y=0

For m = 0 To m1

u(m, 0) = 75

Next m

’На границе EH x=xv0-av/2

For n = 0 To n2

u(m1, n) = 20

Next n

’На границе HG y=hy*n2

For m = m1 To m2

u(m, n2) = 20

Next m

’На границе GC x=a

For n = n2 To nn

u(mm, n) = 100

Next n

End Sub

Sub ГраничныеУсловияЛаплас(u() As Double, _

hx As Double,hy As Double, nn As Integer, _

mm As Integer,n1 As Integer, n2 As Integer, _

m1 As Integer, m2 As Integer)

Dim n As Integer, m As Integer

’На границе AD x=0

For n = 0 To nn

u(0, n) = u(1, n) + 4 * hx

Next n

’На границе DC y=b

For m = 0 To mm

u(m, nn) = 100

Next m


’На границе AE y=0

For m = 0 To m1

u(m, 0) = u(m, 1)

Next m

’На границе EH x=xv0-av/2

For n = 0 To n2

u(m1, n) = (3 * u(m1 - 1, n) - 40 * hx) / (3 + 2 * hx)

Next n

’На границе HG y=hy*n2

For m = m1 To m2

u(m, n2) = (3 * u(m, n2 + 1) + 40 * hy) / (3 + 2 * hy)

Next m

’На границе GC x=a

For n = n2 To nn

u(mm, n) = u(mm - 1, n)

Next n

End Sub

Sub ВыводРезультатов(u() As Double, x() As Double, _

y() As Double,nn As Integer, mm As Integer, _

NameShG As String, NameShZ As String, s As String)

Dim Umax As Double, Umin As Double, HU As Double

Dim n As Integer, m As Integer, col As Integer

Dim masColor As Variant, k1 As Integer, Nizol As Integer

Dim alph As String

alph = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyz"

Nizol = 10 ’ Число изолиний

Sheets(NameShZ).Select

Cells.Select

Selection.Clear

Selection.ColumnWidth = 4

Selection.RowHeight = 12

Cells(1, 1) = "y\x"

For m = 0 To mm ’Вывод координат x

Cells(1, m + 2) = CDbl(Format(x(m), "#0.00"))

Cells(1, m + 2).Interior.Color = RGB(220, 90, 220)

Next m

For n = 0 To nn ’Вывод координат y

Cells(nn - n + 2, 1) = CDbl(Format(y(n), "#0.00"))

Cells(nn - n + 2, 1).Interior.Color = RGB(220, 100, 220)

Next n

’Вывод значения температур

For m = 0 To mm

For n = 0 To nn

If u(m, n) > -272 Then ’Если точка не принадлежит вырезу

180

Cells(nn - n + 2, m + 2) = CDbl(Format(u(m, n), "#0.00"))

Else

Cells(nn - n + 2, m + 2).Interior.Color = RGB(40, 40, 40)

End If

Next n, m

Sheets(NameShG).Select ’ Выделить рабочий лист

Cells.Select ’Выделить все ячейки рабочего листа

Selection.Clear ’Очистить выделенные ячейки

Selection.ColumnWidth = 1.1 ’ Установить ширину столбцов

Selection.RowHeight = 8 ’Высота строки

Selection.Font.Size = 6 ’Размер шрифта

’Поиск диапазона изменения температур [Umin, Umax]

Umax = -272 ’ Максимальная температура

Umin = 1E+20 ’ Минимальная температура

For m = 0 To mm ’Обход по всем узловым точкам

For n = 0 To nn

If u(m, n) > -273 Then ’Если не вырез

If u(m, n) > Umax Then Umax = u(m, n)

If u(m, n) < Umin Then Umin = u(m, n)

End If

Next n, m

HU = (Umax - Umin) / Nizol

Range("a" + Trim(Str(nn + 3)) + ":cz" + Trim(Str(nn + 5))).Select

With Selection

.RowHeight = 16 ’ Высота строки

.Font.Size = 10 ’Размер шрифта

End With

Cells(nn + 3, 1) = "Среднее значение температур в изотермах"

’Выбор палитры цветов (подберите самостоятельно)

masColor = Array(&HE1C171, &HE1B171, &HD1C171, &H11B1C1, _

&HB19141, &HC19161, &H810151, &H714161, &H210161, _

&H8181C1, &H4101D1)

’Вывести значение и цвет изотерм

For n = 0 To Nizol

For k1 = 1 To 5

Cells(nn + 4, 5 * n + k1).Interior.Color = masColor(n)

Next k1

Cells(nn + 4, 5 * n + 1) = n & " - " & _

Format(Umin + HU * (n + 0.5), "#0.00")

Next n

Cells(nn + 5, 1) = s

’Заполнить нужным цветом ячейки сетки. Т.е. вывести изолинии

For m = 0 To mm

For n = 0 To nn


’ Номер цвета текущей ячейки

col = CLng((u(m, n) - Umin) / HU)

If col >= 0 And col <= Nizol Then ’Если не вырез

’{\it Заполнить цветом ячейку}

Cells(nn - n + 1, m + 1).Interior.Color = masColor(col)

Cells(nn - n + 1, m + 1) = col ’ Номер изотермы

End If

Next n, m

End Sub

В качестве примера применения разработанной программы рассмотрим дву-мерную задачу о переносе тепла теплопроводностью для бруса прямоугольногосечения (30x20см) с квадратным (10x10см), рис. 81.1. На двух параллельных по-верхностях бруса поддерживается температура U = 1000C, а на двух другихзадан тепловой поток q = −60вт/см2. Внутри полости бруса движется охлажда-ющая жидкость с температурой среды Uср = 200C. Коэффициент теплоотдачипринимается равным α = 10вт/(см2K), коэффициент теплоотдачи материалабруса K = 15вт/(смK). Требуется найти температурное поле полого бруса.

Поставленная плоская задача имеет две линии симметрии, что дает возмож-ность рассматривать только четвертую часть области, рис. 81.2. По линиям CGи AE можно поставить симметричные граничные условия. Очевидно, вследствиесимметрии задачи, по этим линиям не происходит переход тепла. Поэтому наэтих линиях поставим следующие граничные условия

q = −K ∂u

∂n

∣∣∣∣Г

= 0, или∂u

∂n

∣∣∣∣Г

= 0.

Сформулируем граничные условия для поставленной задачи по всей границе.

U |DC = 100; −15∂u

∂n

∣∣∣∣AD

= −60, или∂u

∂x

∣∣∣∣AD

= −4;

∂u

∂x

∣∣∣∣CG

= 0;∂u

∂y

∣∣∣∣AE

= 0;

15∂u

∂x

∣∣∣∣EH

= 10(u− 20); 15∂u

∂y

∣∣∣∣HG

= 10(u− 20).

Замечание 81.1. При подстановке граничных условий учтено, что на ли-ниях AD, EH, AE и HG направление нормали противоположно направлениюкоординатных осей.

Для того, чтобы применить разработанную программу, рассмотрим односвяз-ную область AEHGCD. Будем ее считать прямоугольником ABCD с прямо-угольным вырезом в углу B. Центр выреза в точке O. Начало декартовых коор-динат выберем в точке A, а оси направим по сторонам AB (ось Ox) и AD (осьOy). Тогда координаты центра выреза O(12, 5; 2, 5). Значения числовых парамет-ров области av = 2, 5, bv = 2, 5, a = 15, b = 10.

182

A

D C

GH

E

O

Рис. 81.2

Сформулируем теперь конечно-разностные граничные условия для постав-ленной задачи.

u1m − u0m

hx= −4⇒ u0m = u1m + 4hx (m = 0, 1, . . . ,M); (AD);

uNm − uN−1m

hx= 0⇒ uNm = uN−1m

(m = M2,M2 + 1, . . . ,M − 1); (CG);

un1 − un0

hy= 0⇒ un0 = un1 (n = 1, 2, . . . , N1); (AE);

unM = 100 (n = 0, 1, 2, . . . , N); (DC);

−15uN1m − uN1−1m

hx= 10(uN1m − 20)⇒

uN1m =3uN1−1m − 40hx

3 + 2hx, (m = 0, 1, . . . ,M2); (EH);

15unM2+1 − unM2

hy= 10(unM2 − 20)⇒

unM2 =3unM2+1 + 40hy

3 + 2hy, (n = N1 + 1, . . . , N); (EF ).

В приведенной выше программе РешениеУравненияЛапласа подставленыкак раз граничные условия данной задачи.

На рис. 81.3 приведено решение данной задачи в виде карты изотерм. Учиты-вая, что печать учебного пособия черно-белая, изотермы напечатаны при помощидвух цветов, светло-серого и белого, которые чередуются через один. Значениетемператур можно узнать из напечатанного в каждой ячейке номера изолинии.Максимальные значения температур получаются на внешней границе области,где задана температура 1000C (DC) и приток тепла (AD). Во внутренней частипрямоугольного бруса, где происходит конвективное охлаждение, температурапринимает минимальное значение.

82 Лекция — Элементы функционального анализа 183

Среднее значение температур в изотермах0-7,9 1-19,1 2-30,3 3-41,6 4-52,8 5-64,0 6-75,2 7-86,4 8-97,6 9-108,8Итерационный процесс сошелся за 237 итераций Emax=9,973

Рис. 81.3

82. ЛЕКЦИЯ — Элементы функциональногоанализа

Нормированные и банаховы пространства. Пространство Rn. Определениеи примеры банаховых пространств. Произведение пространств. Некоторыетеоремы из геометрии и функционального анализа. Теоремы Вейерштрас-са о достижении максимума и минимума. Основные теоремы дифференци-ального исчисления в нормированных пространствах. Теорема о среднем.Формула Тейлора

Теория экстремальных задач, а также изучение основных разделов вариаци-онного исчисления и оптимального управления требуют рассмотрения в норми-рованных и банаховых пространствах. Важнейшие элементы теории могут бытьпроиллюстрированы в евклидовом пространстве Rn. Ниже мы дадим сводку всехнеобходимых сведений из функционального анализа, уделяя преимущественноевнимание простейшему, конечномерному случаю.

184

82.1. Нормированные и банаховыпространства

82.1.1. Пространство Rn

Пространство Rn — пространство n-мерных векторовRn = {x = (x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}. Векторы из Rn можноскладывать (по правилу: x = (x1, . . . , xn), x

′ = (x′1, . . . , x′n) ⇒ x1 + x′1 =

= (x1 + x′1, . . . , xn + x′n)) и умножать на вещественные числа (по правилу:x = (x1, . . . , xn), λ ∈ R ⇒ λx = (λx1, . . . , λxn)). Вектор 0 = (0, . . . , 0) на-зывается нулевым вектором. Это превращает Rn в линейное пространство.

В пространстве Rn обычно вводят расстояние следующим образом:

x = (x1, . . . , xn), x′ = (x′1, . . . , x

′n) ⇒

⇒ ρ(x, x′) =

(n∑

i=1

(xi − x′i)2)1/2

.

Это расстояние называют евклидовым. Его можно выразить через евклидову нор-му:

|x| :=(

n∑

i=1

x2i

)1/2

по формуле ρ(x, x′) = |x− x′|.

Евклидова норма, как это нетрудно проверить, удовлетворяет таким соотно-шениям:

а) |x| > 0 для всех x ∈ Rn и |x| = 0 ⇒ x = 0;б) |αx| = |α| · |x| для любого x из Rn и любого α из R;в) |x + x

′| 6 |x| + |x′| для любых x и x′ из Rn.

Функции, обладающие подобными свойствами, называют нормами, а линей-ные пространства, оснащенные нормами, называют нормированными простран-ствами (точные определения в следующем пункте). Нормы в Rn можно опреде-лять по-разному. Например, по формуле

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

(1 6 p <∞)

или по формуле

‖x‖∞ = maxi6i6n

|xi|.

Введение нормы дает возможность найти расстояние по формулеρ(x, x′) = ‖x − x

′‖, определить, что такое открытые и замкнутые множества,сходимость и т.п.


82.1.2. Определение и примеры банаховых пространствЛинейное пространство X называется нормированным, если на X определен

функционал ‖x‖ : X → R, называемый нормой и удовлетворяющий условиям:

а) ‖x‖ > 0 ∀x ∈ X и ‖x‖ = 0 ⇒ x = 0;б) ‖αx‖ = |α|‖x‖ ∀α ∈ R, ∀x ∈ X;в) ‖x1 + x2‖ 6 ‖x1‖+ ‖x2‖ ∀x1, x2.

Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно на X, пишем ‖x‖X .Две нормы в X ‖x‖1 и ‖x‖2 называются эквивалентными, если существуют такиеположительные константы C1 и C2, что

C1‖x‖1 6 ‖x‖2 6 C2‖x‖1 ∀x ∈ X.

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в немввести расстояние ρ(x1, x2) = ‖x1 − x2‖.

Последовательность {xn} точек метрического пространства X называетсяфундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.е. если для любогоε > 0 существует такое число Nε, что ρ(xn′ , xn′′) < ε для всех n′ > Nε, n

′′ > Nε.Полное нормированное метрическое пространство называется бонаховым.Рассмотрим некоторые примеры банаховых пространств.

(1) Конечномерное пространство lnp , состоящее из векторов

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, с нормой ‖x‖p =

(n∑

i=1|xi|p

)1/p

, 1 6 p 6∞.

(2) Пространство C(K, Rn) непрерывных вектор-функций x(t) : K →→ Rn, заданных на компакте K, с нормой ‖x(t)‖0 = max

t∈K|x(t)|.

Напомним, что множество A в метрическом пространстве называетсякомпактом , если из всякой последовательности элементов из A можновыбрать сходящуюся к элементу из A подпоследовательность или (рав-носильное определение) если из всякого покрытия A открытыми множе-ствами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкну-тое подмножество конечномерного пространства является компактом.

(3) Пространство Cr([t0, t1], Rn) r раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций x(t) : [t0, t1]→ Rn, заданных ка конечном отрезке [t0, t1] ⊂ R,с нормой

‖x(t)‖r = max{‖x(t)‖0, . . . , ‖x(r)(t)‖0}.

(4) Пространство l2, состоящее из последовательностей

x = (x1, . . . , xn, . . . , ), для которых∞∑i=1

x2i < ∞, с нормой, задаваемой

формулой ‖x‖ =

( ∞∑i=1

x2i

)1/2

.

186

82.1.3. Произведение пространствПусть X и Y — нормированные пространства. Декартово произведение X×Y

можно превратить в нормированное пространство, введя норму

‖(x, y)‖X×Y = max{‖x‖X , ‖y‖Y }(легко проверить, что все аксиомы выполняются). Возможны и другие эквива-лентные нормировки.

Отметим очевидное утверждение: декартово произведение банаховых про-странств банахово.

82.2. Некоторые теоремы из геометрии ифункционального анализа

82.2.1. Теоремы Вейерштрасса о достижении максиму-ма и минимума

Чаще будет использована следующая основная

Теорема 82.1. (Теорема Вейерштрасса). Непрерывная функция на непустомограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства дости-гает своих абсолютных максимума и минимума.

Выделим простое следствие из этой теоремы, которое часто будем использо-вать.

Следствие. Если функция f непрерывна на Rn и lim|x|→∞

f(x) = +∞ ( lim|x|→∞

f(x) =

−∞), то f достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом за-мкнутом подмножестве .

82.3. Определения производныхДля вещественных функций одного вещественного переменного два опреде-

ления — существование конечного предела

(82.1) limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

и возможность асимптотического разложения при h→ 0

(82.2) F (x + h) = F (x) + F ′(x)h+ o(h),

где j(h) — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с h, приводятк одному и тому же понятию дифференцируемости. Но уже для функций двухи большего числа переменных существует несколько различных подходов к по-нятию дифференцируемости (гладкости). Определение (82.1) ведет к понятиямпроизводной по направлению, вариации по Лагранжу и производной по Гато.Определение (82.2) ведет к понятиям производной Фреше и строгой дифферен-цируемости.


82.4. Основные теоремы дифференциальногоисчисления в нормированныхпространствах

82.4.1. Теорема о среднемХорошо известно, что для числовых функций одного переменного справед-

лива теорема Лагранжа, называемая также теоремой о среднем значении, илиформулой конечных приращений (часть I, лекция 17):если функция f : [a, b]→ R

непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то суще-ствует точка c ∈ (a, b), такая, что

(82.3) f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Нетрудно убедиться, что формула (82.3) остается справедливой и для числовыхфункций f(x), аргумент которых принадлежит произвольному нормированномупространству. В этом случае

[a, b] = {x : x = a+ t(b− a), 0 6 t 6 1},

аналогично определяется интервал (a, b), а дифференцируемость можно пони-мать в смысле Гато. Полагая ϕ(t) = f(a + t(b − a)), сводим доказательство кслучаю одного вещественного переменного.

Для векторнозначных функций формула (82.3) не имеет места.Отметим, что в анализе, как правило, используется не сама формула (82.3),

а вытекающая из нее оценка |f(b) − f(a) 6 M(b− a), гдеM = sup

x∈(a,b)|f ′(x)|. Покажем сейчас, что в этом более слабом виде утверждение

распространяется уже на случай произвольных нормированных пространств. Потрадиции оно сохраняет название "теорема о среднем", хотя, конечно, его следо-вало бы именовать "теоремой об оценке конечного приращения".

Теорема 82.2. (Теорема о среднем). Пусть X, Y — нормированные про-странства и открытое множество U ⊂ X содержит отрезок [a, b]. Если отоб-ражение f : U → Y дифференцируемо по Гато в каждой точке x ∈ [a, b], то

‖f(b)− f(a)‖ 6 supc∈(a,b)

‖f ′Γ(c)‖ · ‖b− a‖.

82.4.2. Формула ТейлораФормула Тейлора. (см. часть I, лекция 19) Если f (n)(x) существует, то

f(x+ h) = f(x) + f ′(x)[h] + (1/2)f ′′(x)[h, h] + . . .

· · · + (1/n!)f (n)[h, . . . , h] + r(h),

где ‖r(h)‖ = o(‖h‖n) при h→ 0 .

188

83. ЛЕКЦИЯ – Метод вариаций в задачах снеподвижными границами

Вариация функционала и ее свойства. Необходимое условие экстремума.Основная лемма вариационного исчисления (Лемма Лангранжа). Уравне-ние Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера

83.1. Вариация функционала и ее свойстваНаряду с задачами нахождения максимума и минимума функций

z = f(x) в задачах физики, механики и т.д. возникает необходимость нахождениямаксимума и минимума некоторой величины, называемой функционалом.

Определение 83.1. Функционал — это отображение, которое любой функ-ции, принадлежащей некоторому множеству, ставит в соответствие неко-торое числовое значение.

Пример 83.1. Длина l дуги плоской кривой, соединяющей две заданные точ-ки, является функционалом (рис. 83.1). Величина l может быть вычислена,если задано уравнение кривой y = y(x) (часть II, лекция 48, формула 48.9):

l[y(x)] =

x1∫

x0

√1 + y′2 dx.

Здесь предполагается, что дуга является гладкой, т.е. функцияy = y(x) непрерывно дифференцируема.

Рис. 83.1. Плоская кривая с заданными граничны-

ми точками

Пример 83.2. Площадь некоторой поверхности является функционалом,определяемым выбором функции z = z(x, y), задающей эту поверхность (часть

83 Лекция — Метод вариаций 189

II, лекция 54, формула 54.2)

S[z(x, y)] =

∫∫

σ

√

1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

dx dy,

где σ – проекция поверхности на плоскость XY .

Пример 83.3. Моменты инерции, статические моменты, координаты цен-тра тяжести некоторой поверхности или кривой являются функционалами,зависящими от формы поверхности (кривой). Их значения определяются вы-бором кривой или поверхности, т.е. выбором функций, входящих в уравнениеэтой кривой или поверхности (см. часть II, лекция 54, формула 54.8, 54.9).

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить макси-мальные и минимальные значения функционалов.

Вариационными задачами называются задачи исследования функционала намаксимум или минимум.

Проведем аналогию между методами решения задач на максимум и минимумдля функций и аналогичным исследованием для функционалов.

1. a) Переменная величина z называется функцией аргумента x: z=f(x), еслилюбому x из некоторой области D соответствует некоторое z ∈ E : x 7−→

f(x)z (см.

часть I, лекция 3).1. b) Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функ-

ции y(x), что обозначается v = v[y(x)], если каждой функции y(x) из некоторогокласса функций соответствует числовое значение v: y(x) 7−→ v.

2. a) Приращением ∆x аргумента x функции f(x) называется разность∆x = x − x1. Если x – независимая переменная, то дифференциал x совпада-ет с приращением dx = ∆x (см. часть I, лекция 16).

2. b) Вариацией δy аргумента y(x) функционала v[y(x)] называется разностьмежду двумя функциями δy = y(x) − y1(x). При этом предполагается, что y(x)меняется произвольно в некотором классе функций.

3. a) Функция f(x) непрерывна, если малому изменению x соответствует ма-лое изменение функции f(x) (см. часть I, лекция 9).

3. b) Функционал v[y(x)] непрерывен, если малому изменению y(x) соответ-ствует малое изменение функционала v[y(x)].

Уточним последнее определение. Что значит малое изменение функции y(x)?Какие кривые y(x) и y1(x) считать близкими?

Казалось бы, можно считать близкими функции y(x) и y1(x), если модульих разности |y(x) − y1(x)| мал для любого x. Однако если v[y(x)] явным обра-зом зависит от производной функции y′, как, например, функционал v[y(x)] =x1∫x0

F (x, y, y′(x)) dx, часто встречающийся в приложениях, то при таком определе-

нии близости кривых функционал v[y(x)], вообще говоря, не будет непрерывным(из-за наличия y′ под интегралом). В ряде случаев также нужно учитывать мо-дули разности более высоких производных.

190

Определение 83.2. Кривые y = y(x) и y1 = y1(x) близки в смысле близостинулевого порядка, если |y(x) − y1(x)| мал.

Определение 83.3. Кривые y(x) и y1(x) близки в смысле близости 1-огопорядка, если малы модули разностей |y(x)−y1(x)| и |y′(x)−y1′(x)|, или, точнее,

‖y(x)− y1(x)‖ < ε; ‖y′(x) − y1′(x)‖ < ε,

где

‖y − y1‖ = maxx∈[a,b]

|y − y1|.

Определение 83.4. Кривые y(x) и y1(x) близки в смысле близости k-огопорядка, если

‖y(x)− y1(x)‖ < ε, . . . , ‖y(k)(x)− y1(k)‖ < ε.

На рис. 83.2 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого по-рядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, так как их ординатыблизки, а наклоны касательных не близки. На рис.83.3 изображены кривые, близ-кие в смысле близости первого порядка.

Рис. 83.2 Рис. 83.3

Кривые близкие в смысле близости нулевогопорядка (слева) и первого порядка (справа)

Из определения известно, что если y(x) и y1(x) близки в смысле близостиk-ого порядка, значит они близки и в смысле близости меньшего порядка. Такимобразом, мы можем дать более точное определение непрерывности функционала.

3. a) Функция f(x) ∈ C(x0)⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ = δ(x0) : ∀x : |x− x0| < δ ⇒⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.

3. b) Функционал v[y(x)] непрерывен при y = y0(x) в смысле близости k-гопорядка, если ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀y(x) ∈ Y , такого, что

‖y(x)− y0(x)‖ < δ. . . . . .

‖y(k)(x) − y(k)0 (x)‖ < δ

выполнено неравенство


|v[y(x)] − v[y0(x)]| < ε.

Можно определить расстояние ρ(y1, y2) между кривыми y = y1(x) и y = y2(x)(x ∈ [x0, x1]):

‖y1 − y2‖ = ρ(y1, y2) = maxx∈[x0,x1]

|y1(x)− y2(x)|,

т. е. близость нулевого порядка по метрике пространства C0, тогда мы приходимк понятию близости нулевого порядка. Если считать

||y1 − y2|| = ρ(y1, y2) =

k∑

p=1

maxx∈[x0,x1]

|y(p)1 (x) − y(p)

2 |

(предполагается, что y1 и y2 ∈ Ck), то близость кривых понимается в смыслеблизости k-го порядка.

4. a) Линейной функцией (см. часть I, лекция 4) называется функция l(x),удовлетворяющая условиям:1) l(Cx) = Cl(x) (∀C),2) l(x1 + x2) = l(x1) + l(x2).Линейная функция имеет вид:l(x) = kx, где k = const.

4. b) Линейным функционалом L[y(x)] называется функционал, удовлетворя-ющий условиям:1) L[Cy(x)] = CL[y(x)] (∀C),2) L[y1(x) + y2(x)] = L[y1(x)] + L[y2(x)].

Пример: L[y(x)] =x1∫x0

[p(x)y + q(x)y′(x)]dx.

5. a) Если приращение функции ∆f = f(x + ∆x) − f(x) можно представитьв виде ∆f = A(x)∆x + β(x,∆)∆x, где A(x) не зависит от ∆x, а β(x,∆x) −→

∆x→00, то функция называется дифференцируемой, а линейная часть приращения(A(x)∆x) называется дифференциалом: df = A(x)∆x. Деля на ∆x и переходя кпределу, имеем: df = f ′(x)∆x (часть I, лекция 16).

5. b) Если приращение функционала ∆v = v[y(x) + δy]− v[y(x)] можно пред-ставить в виде ∆v = L[y(x), δy] + β(y(x), δy)||δy||, где L[y(x), δy] линейный поотношению к δy функционал, а β(y(x), δy) −→

||δx||→00, то линейная по отношению к

δy часть приращения функционала (L[y(x), δy]) называется вариацией функцио-нала δv.

Определение 83.5. Вариация функционала — это главная, линейная по от-ношению к вариации аргумента часть приращения функционала.

Вариация играет ту же роль, что и дифференциал. Можно дать другое (почтиэквивалентное) определение дифференциала функции и вариации функционала.

Рассмотрим f(x+α∆x) при фиксированных x и ∆x и изменяющемся пара-метре α. При α = 1 получим значение функции f(x + ∆x), при α = 0 получимисходное значение функции f(x). Производная от f(x + α∆x) по α при α = 0

192

равна дифференциалу f(x) в точке x. Действительно

∂

∂αf(x+ α∆x)

∣∣α=0

= f ′(x+ α∆x)∆x∣∣α=0

= f ′(x)∆x = df(x).

Аналогично для функции нескольких переменныхz = f(x1, x2, . . . , xn) дифференциал можно получить путем дифференцированияфункции f(x1 + α∆x1, x2 + α∆x2, . . . , xn + α∆xn) по α и полагая затем α = 0.Получим:

∂

∂αf(x1 + α∆x1, x2 + α∆x2, . . . , xn + α∆xn)

∣∣α=0

=n∑

i=1

∂f

∂xi∆xi ≡ df.

Аналогично для функционалов вида v[y(x)], или более сложных, зависящихот нескольких неизвестных функций или от функций нескольких переменных,можно определить вариацию как производную функционала v[y(x) + αδy(x)] поα при α = 0.

Действительно, если функционал имеет вариацию в смысле главной линейнойчасти приращения, то его приращение имеет вид

∆v = v[y + αδy] − v[y] = L(y, αδy) + β(y, αδy)α‖δy‖.Производная от v[y(x) + αδy(x)] по α при α = 0 равна:

lim∆α→0

∆v

∆α= lim

α→0

∆v

α= lim

α→0

L(y, αδy) + β(y, αδy)|α| ‖δy‖α

=

= limα→0

L(y, αδy)

α+

= 0

limα→0

β(y, αδy)|α| ‖δy‖α︸︷︷︸

= L(y, δy) ,

т.к. в силу линейности L(y, αδy) = αL(y, δy).Таким образом, если существует вариация в смысле главной линейной части

приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной попараметру при начальном значении параметра, и эти определения эквивалентны.

Второе определение вариации несколько шире первого, поскольку существу-ют примеры функционалов, для которых нельзя из приращения выделить глав-ную линейную часть, однако вариация в смысле второго определения существует.

6. a) Дифференциал функции равен: df =∂

∂αf(x+ α∆x)

∣∣α=0

.

6. b) Вариация функционала v[y(x)] равна: δv =∂

∂αv[y(x) + αδy]

∣∣α=0

.

Определение 83.6. Функционал v[y(x)] достигает на кривой y == y0(x) максимума, если значения функционала v[y(x)] на любой близкой кy = y0(x) кривой не больше, чем v[y0(x)], т.е. ∆v =v[y(x)]−v[y0(x)]6 0.

Если ∆v 6 0, причем ∆v = 0 только при y = y0(x), то говорят, что на кривойy = y0(x) достигается строгий максимум. Аналогично определяется и криваяy = y0(x), на которой достигается минимум. В этом случае ∆v > 0 для всехкривых, близких к кривой y = y0(x).


Теорема 83.1. (теорема Ферма, часть I, лекция 17). Если дифференцируе-мая функция f(x) достигает max или min во внутренней точке x = x0 областиопределения, то в этой точке

df = 0.

Теорема 83.2. Если функционал v[y(x)], имеющий вариацию, достигаетmax или min при y = y0(x), где y0(x) – внутренняя точка определения функ-ционала, то при y = y0(x)

δv = 0.

Доказательство теоремы для функционалов. Если y0(x) и δy фиксированы,то функционал v[y0(x) + αδy] = ϕ(α) является функцией α, которая при α = 0по предположению достигает максимума или минимума, следовательно,

ϕ′(α) = 0 =⇒ ∂

∂αv[y0(x) + αδy]

∣∣∣∣α=0

= 0,

т.е. δv = 0. Таким образом, на кривых, где достигается экстремум функционала,его вариация равна нулю.

Понятие экстремума нужно уточнить. Имелись ввиду наибольшие и наимень-шие значения функционала только по отношению к близким кривым, следова-тельно, нужно учитывать какого порядка близость имелась в ввиду.

Если функционал v[y(x)] достигает на кривой y = y0(x) максимума (миниму-ма) по отношению ко всем кривым, для которых ‖y(x)−y0(x)‖ < ε (т. e. близкимв смысле нулевого порядка), то максимум (минимум) называется сильным.

Если функционал v[y(x)] достигает на кривой y = y0(x) максимума (миниму-ма) лишь по отношению к кривым близким к y = y0(x) в смысле близости 1-гопорядка, то максимум (минимум) называется слабым.

Очевидно, если на y = y0(x) существует сильный максимум, следовательно,существует слабый максимум, так как любая кривая, близкая в смысле перво-го порядка близка и по нулевому порядку. Однако если на кривой y = y0(x)достигается слабый максимум (минимум), то сильный может не достигаться.

Замечание 83.1. Если на y = y0(x) достигается экстремум, то не только∂

∂αv[y0(x) + αδy]∣∣α=0

= 0, но и ∂∂αv[y(x, α)]

∣∣α=0

= 0, где y(x, α) — любое семей-ство допустимых кривых, причем при α = 0 и α = 1 функция y(x, α) должнасоответственно превращаться в y0(x) и y0(x) + δy. Действительно, v[y(x, α)]является функцией α, так как задание α определяет семейство y = y(x, α), и,следовательно, значение функционала v[y(x, α)].

Эта функция, по предположению, достигает экстремума при α = 0, следова-тельно, производная этой функции равна нулю при α = 0 (при этом подразу-мевается, что α может принимать любые близкие к α = 0 значения и ∂v

∂α

∣∣α=0

существуют).Таким образом, ∂

∂αv[y(x, α)]∣∣α=0

= 0, однако эта производная, вообще говоря,уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет, как покажем после,

194

обращаться в нуль одновременно с δv на кривых, реализующих экстремумыфункционала.

Замечание 83.2. Все определения и основная теорема о вариации функцио-нала почти без всяких изменений переносятся на функционалы, зависящие отнескольких неизвестных функций:

v[y1(x), y2(x), . . . , yn(x)],

или зависящих от одной или нескольких функций многих переменных:

v[z(x1, x2, . . . , xn)],

или

v[z1(x1, x2, . . . , xn), z2(x1, x2, . . . , xn), . . . , zm(x1, x2, . . . , xn)].

Например, вариация δv функционала v[z(x, y)] может быть определена иликак главная линейная по отношению к δz часть приращения

∆v = v[z(x, y) + δz]− v[z(x, y)],или как производная по параметру при нулевом значении параметра

∂

∂αv[z(x, y) + α δz]

∣∣α=0

,

причем, если при z = z(x, y) функционал v достигает экстремума, то при z =z(x, y) вариация δv = 0, так как ∆v = v[z(x, y) + α δz] есть функция от α,которая при α = 0, по предположению, достигает экстремума, следовательно,

производная этой функции по α при α = 0 равна нулю, откуда∂

∂αv[z(x, y) +

α δz]∣∣α=0

= 0 или δv = 0.

83.2. Уравнение ЭйлераИсследуем на экстремумы функционал

(83.1) v[y(x)] =

x1∫

x0

F (x, y(x), y′(x))dx,

причем граничные точки допустимых кривых закреплены: y(x0) = y0 и y(x1) = y1(рис. 83.4). Будем предполагать, что F (x, y, y′) ∈ C3.

Известно, что необходимое условие экстремума — это обращение в нуль ва-риации функционала. Покажем, как эта теорема применяется к функционалу(83.1).

Предположим, что экстремум достигается на кривой y = y(x) ∈ C2. Возьмемкакую-нибудь близкую к y = y(x) допустимую кривую y = y(x) и образуемоднопараметрическое семейство кривых

y(x, α) = y(x) + α(y(x) − y(x)) = y(x) + α δy, δy = y(x) − y(x).Очевидно, что y(x, 0) = y(x), y(x, 1) = y(x) (рис.83.5). Как мы уже знаем,

разность y(x)− y(x) называют вариацией функции y(x) и обозначают δy.


Рис. 83.4. Допустимые кривые с закрепленными

граничными точками

Рис. 83.5. Семейство допустимых кривых с закреп-

ленными граничными точками

Вариация δy в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли при-ращения аргумента ∆x в задачах на исследование экстремума функции f(x).Вариация δy = y(x) − y(x) есть функция от x, которую можно дифференциро-вать один или несколько раз, причем

(δy)′ = y′(x)− y′(x) = δy′ ⇒(δy)(n) = y(n)(x) − y(n)(x) = δy(n).

Вывод: производная вариации равна вариации производной.Итак, семейство y = y(x, α) содержит кривую y = y(x) и некоторую близкую

кривую y = y(x), называемую кривой сравнения. Если рассматривать значенияфункционала (83.1) только на кривых семейства y = y(x, α), то он превращаетсяв функцию от α:

v[y(x, α)] = ϕ(α),

так как значения параметра α определяют кривую семейства y = y(x, α) и, следо-вательно, определяют значения функционала v[y(x, α)]. Эта функция достигаетэкстремума при α = 0, так как при α = 0 получаем y = y(x) и функционалдостигает экстремума по сравнению с любой допустимой близкой кривой и, вчастности, по отношению к близким кривым семейства y = y(x, α).

Необходимое условие экстремума функции ϕ(α) при α = 0 есть

196

ϕ′(0) = 0. Так как

ϕ(α) =

x1∫

x0

F (x, y(x, α), y′x(x, α))dx,

то

ϕ′(α) =

x1∫

x0

[Fy

∂

∂αy(x, α) + Fy′

∂

∂αy′(x, α)

]dx,

где

Fy =∂

∂yF (x, y(x, α), y′(x, α)), Fy′ =

∂

∂y′F (x, y(x, α), y′(x, α)),

или, так как

∂

∂αy(x, α) =

∂

∂α[y(x) + αδy] = δy,

∂

∂αy′(x, α) =

∂

∂α[y′(x) + αδy′] = δy′,

получим

ϕ′(α) =

x1∫

x0

[Fy(x, y(x, α), y′(x, α))δy + Fy′(x, y(x, α), y′(x, α))δy′]dx;⇒

⇒ ϕ′(0) =

x1∫

x0

[Fy(x, y(x), y′(x))δy + Fy′(x, y(x), y′(x))δy′]dx.

Как уже указывалось ранее, ϕ′(0) есть вариация функционала и обозначаетсяδv. Необходимое условие экстремума функционала v состоит в равенстве нулюего вариации: δv = 0. Из последнего равенства следует, что для функционала(83.1) это условие имеет вид:

x1∫

x0

[Fyδy + Fy′δy′]dx = 0.

Проинтегрируем второе слагаемое по частям с учетом того, что δy′ == (δy)′. Получим

δv = [Fy′δy]∣∣x1

x0+

x1∫

x0

(Fy −d

dxFy′)δydx.

Так как границы зафиксированы, имеем

δy∣∣x=x0

= y(x0)− y(x0) = 0, δy∣∣x=x1

= y(x1)− y(x1) = 0,


поэтому δv =

x1∫

x0

(Fy −d

dxFy′)δy dx и необходимое условие экстремума принимает

вид:

(83.2)

x1∫

x0

(Fy −

d

dxFy′

)δy dx = 0,

причем первый множитель Fy −d

dxFy′ на кривой y(x), реализующей экстремум,

является заданной непрерывной функцией, а второй множитель δy, ввиду про-извольности выбора функции сравнения y = y(x), является произвольной функ-цией, удовлетворяющей условиям δy

∣∣x=x0

= δyx=x1 = 0, непрерывной и диффе-

ренцируемой один или несколько раз, и δy или δy и δy′ малы по абсолютнойвеличине.

Докажем следующую лемму.

83.2.1. Основная лемма вариационного исчисления (лем-ма Лагранжа)

Если для каждой непрерывной функции η(x)x1∫

x0

Φ(x) η(x) dx = 0,

где Φ(x) ∈ C[x0, x1], то Φ(x) ≡ 0, x ∈ [x0, x1].

Замечание 83.3. Утверждение леммы и ее доказательство не изменяют-ся, если на функцию η(x) наложить ограничения:

η(x0) = η(x1) = 0, η(x) ∈ Cp[x0, x1],∣∣η(s)(x)

∣∣ < ε,

(s = 0, 1, ...q; q 6 p).

Доказательство: (от противного).Пусть в точке x = x ∈ [x0, x1], Φ(x) 6= 0. Тогда из непрерывности Φ(x) следует,

что, если Φ(x) 6= 0, то существует окрестность точки x, в которой Φ(x) сохра-няет знак. Выберем η(x) также сохраняющей знак в этой окрестности и равнойнулю вне ее при x /∈ [ x0, x1 ]. Тогда произведение Φ(x)η(x) сохраняет знак, когда

x ∈ [x0, x1] и равно нулю вне этого отрезка. Следовательно,x1∫x0

Φ(x)η(x) dx 6= 0.

Полученное противоречие доказывает, что Φ(x) ≡ 0.Функцию η(x) можно выбирать, например, так:

η(x) =

{0, x /∈ [ x0, x1 ];k(x− x0)

2n(x− x1)2n, x ∈ [ x0, x1 ],

где n ∈ N и k — постоянный множитель, за счет которого функция η(x) можетбыть сделана сколь угодно малой вместе со всеми производными.

198

Замечание 83.4. Точно так же доказывается лемма для функции Φ(x, y) ∈C [D] на плоскости (x, y), когда∫ ∫

D

Φ(x, y)η(x, y) dxdy = 0 при произвольном выборе η(x, y), удовлетворяющей

аналогичным условиям. Вообще, эта лемма верна и для n-кратных интегралов.

Применим лемму Лагранжа для упрощения необходимого условия (83.2) экс-тремума простейшего функционала (83.1).

Все условия леммы выполнены: множитель (Fy −d

dxFy′) непрерывен на кри-

вой, реализующей экстремум, а δy — произвольная функция, на которую наложе-

ны лишь общие ограничения. Следовательно, Fy−d

dxFy′ ≡ 0 на кривой y = y(x),

реализующей экстремум функционала. Следовательно, y = y(x) является реше-нием дифференциального уравнения второго порядка

(83.3) Fy −d

dxFy′ = 0,

или в развернутом виде:

(83.4) Fy − Fxy′ − Fyy′y′ − Fy′y′y′′ = 0

Уравнение (83.3) называется уравнением Эйлера (1744 год). Интегральныекривые уравнения Эйлера y = y(x,C1, C2) называются экстремалями. Экстре-мум функционала (83.1) может достигаться только на экстремалях. Чтобы найтикривую, реализующую экстремум функционала (83.1), нужно проинтегрироватьуравнение (83.3) и определить две произвольные постоянные, входящие в общеерешение этого уравнения, из условий на границах y(x0) = y0; y(x1) = y1. Од-нако, чтобы установить, реализуется ли действительно экстремум (и определитьего тип), нужно использовать достаточные условия экстремума.

Замечание 83.5. Краевая задача

Fy −d

dxFy′ = 0, y(x0) = y0, y(x1) = y1

не всегда имеет решение или оно может быть неединственным.

Замечание 83.6. Во многих вариационных задачах экстремальное реше-ние очевидно из физического или геометрического смысла. Если решение уравне-ния Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта един-ственная экстремаль, как правило, будет решением рассматриваемой задачи.

Уравнение Эйлера интегрируемо далеко не всегда. Рассмотрим простейшиеслучаи интегрируемости уравнения Эйлера.

1) F не зависит от y′ : F = F (x, y) Уравнение Эйлера имеет вид: F ′y(x, y) = 0,

т.к. F ′y′ ≡ 0.

Это уравнение конечное (не дифференциальное), его решение не содержитэлементов произвола, и, следовательно, не удовлетворяет требуемым условиям


y(x0) = y0 и y(x1) = y1, решение вариационной задачи, вообще говоря, не суще-ствует. Оно может существовать лишь в исключительных случаях, когда криваяF ′

y(x, y) = 0 проходит через граничные точки (x0, y0) и (x1, y1).

Пример 83.4. Решить вариационную задачу

v[y(x)] =

x1∫

x0

y2 dx; y(x0) = y0 ; y(x1) = y1.

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера имеет вид: Fy = 0, что в рассматриваемомслучае равносильно y = 0.

Экстремаль y = 0 проходит через граничные точки y0 и y1 только при y0 = 0и y1 = 0 (рис. 83.6). Если y0 = 0 и y1 = 0, то, очевидно, функция y = 0 реализует

минимум функционала v[y(x)] =x1∫x0

y2 dx, т.к. v[y(x)] > 0, причем v = 0 при y = 0.

Рис. 83.6. Экстремаль с нулевыми граничными условиями

Если же хотя бы одно из значений y0 и y1 не равно 0, то минимум функциона-ла на непрерывных функциях не достигается, так как можно брать непрерывныефункции yn(x) вида, изображенного на рис. 83.7, графики которых состоят издуг, все более круто спускающихся из граничных точек, и отрезка оси абсцисс,почти совпадающим со всем отрезком (x0, x1).

Рис. 83.7. Кривые, приближающиеся к экстрема-

лям с нулевыми граничными условиями

200

Рис. 83.8. Разрывная экстремаль

Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционаласколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значенийфункционала равна нулю, однако эта нижняя грань не может быть достигнутана непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой y = y(x), такой

что y(x) 6≡ 0 v[y(x)] =x1∫x0

y2 dx > 0. Эта нижняя грань достигается на разрывной

функции вида, изображенного на рис. 83.8.2) Рассмотрим случай, когда F линейно зависит от y′:

F (x, y, y′) = M(x, y) +N(x, y)y′;

v[y(x)] =

x1∫

x0

[M(x, y) +N(x, y)

dy

dx

]dx.

Уравнение Эйлера имеет вид:

∂M

∂y+∂N

∂y· y′ − d

dxN(x, y) = 0,

или∂M

∂y+∂N

∂y· y′∂N

∂x− ∂N

∂y· y′ = 0,

или∂M

∂y− ∂N

∂x= 0.

Это вновь конечное, а не дифференциальное уравнение. Кривая∂M

∂y− ∂N∂x

=

0, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, ва-риационная задача не имеет решений в классе непрерывных функций. Если же∂M

∂y− ∂N

∂x≡ 0, то Mdx+Ndy = du - полный дифференциал и функционал

v =

x1∫

x0

[M +N

dx

dy

]dx =

x1∫

x0

M dx+N dy


не зависит от пути интегрирования, его значение постоянно на допустимых кри-вых. Вариационная задача не имеет смысла.


v[y(x)] =

1∫

0

(y2 + x2y′) dx, y(0) = 0, y(1) = a.

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера имеет вид∂M

∂y− ∂N∂x

= 0 что в нашем случае

дает y − x = 0. Первое граничное условие y(0) = 0 удовлетворяется, но второеусловие может быть удовлетворено только при a = 1. Если a 6= 1, то экстремума,удовлетворяющего граничным условиям, не существует.

3) F зависит лишь от y′: F = F (y′)Уравнение Эйлера имеет вид F ′′

y′y′ · y′′ = 0, так как F ′y = F ′′

xy′ = F ′′yy′ = 0.

Отсюда

(1) либо y′′ = 0, тогда y = C1x + C2 - двупаметрическое семейство, экстре-мали - всевозможные прямые линии. y = C1x+ C2;

(2) либо Fy′y′(y′) = 0 и если это уравнение имеет один или несколько дей-ствительных корней y′ = ki, то y = kix+C и мы получаем однопаметри-ческое семейство прямых y = kix + C2, которое содержится в двупара-метрическом семействе y = C1x+C2. Таким образом, в рассматриваемомслучае экстремали - всевозможные прямые линии y = C1x+ C2.

Например, длина дуги кривой

l[y(x)] =

x1∫

x0

√1 + y′2 dx

имеет экстремали в виде прямых линий y = C1x+ C2.4) Подынтегральная функция F зависит лишь от x и y′: F = F (x, y′).Уравнение Эйлера имеет вид:

d

dxFy′(x, y′) = 0,

следовательно, существует первый интеграл Fy′(x, y′) = C1, а так как полученноеуравнение первого порядка Fy′(x, y′) = C1 не содержит y, то его можно интегри-ровать или путем разрешения относительно y′ или путем введения параметра.

5) Подынтегральная функция F зависит лишь от y и y′: F = F (y, y′).Уравнение Эйлера имеет вид

F ′y − F ′′

yy′y′ − Fy′y′y′′ = 0,

так как F ′′xy′ = 0.

Умножим его на y′. Получим F ′yy

′ − Fyy′y′2 − Fy′y′y′y′′ = 0, а это полная

производная от F − y′Fy′ :d

dx(F − y′Fy′).

202

Действительно,

d

dx(F − y′Fy′) = y′F ′

y + F ′y′y′′ − y′′Fy′ − F ′′

yy′y′2 − Fy′y′y′y′′ =

= y′(F ′y − F ′′

yy′y′ − Fy′y′y′′).

Следовательно, существует первый интеграл F − y′ · Fy′ = C1, причем этоуравнение первого порядка не содержит явно x и поэтому его можно проинте-грировать, разделив переменные или введя параметр.

82. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Уравнение Эйлера

Пример 82.1. На каких кривых может достигать экстремума функционал:

v[y(x)] =

π2∫

0

((y′)2 − y2) dx; y(x) = 0, y(π

2

)= 1 ?

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера имеет вид: y′′ + y′ = 0, его общее решениеy = C1 cosx+ C2 sinx. Из граничных условий получаем C1 = 0; C2 = 1, т.е. еслиэкстремум существует, то только на синусоиде y = sin x.

Пример 82.2. На каких кривых может достигать экстремума функционал:

v[y(x)] =

1∫

0

[y′2 + 12xy] dx y(0) = 0, y(1) = 1 ?

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера имеет вид: y′′ − 6x = 0, откудаy = x3 + C1x+ C2. Из граничных условий находим C1 = C2 = 0; следовательно,экстремум может достигаться лишь на кубической параболе y = x3.


v[y(x)] =

x1∫

x0

(y + xy′) dx⇐⇒ v[y(x)] =

x1∫

x0

y dx+ xdy.

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 ≡ 1.Подынтегральное выражение является полным дифференциалом, следовательно,v = const. Значит на допустимых кривых вариационная задача теряет смысл.

Пример 82.4. Найти минимальное время, затрачиваемое на перемещениепо некоторой кривой y = y(x) из точки A(x0, y0) в точку B(x1, y1), если ско-

ростьds

dt= v(y′) зависит только от наклона кривой.

82 Практика — Уравнение Эйлера 203

Р е ш е н и е: Время перемещения — это функционал t[y(x)] вида

t[y(x)] =

x∫

x0

√1 + y′2

v(y′)dx ,

так какds

dt= v(y′); dt =

ds

v(y′)=

√1 + y′2

v(y′)dx, следовательно, экстремали есть

прямые линии.

Пример 82.5. Найти минимальное время t, затрачиваемое на перемещениепо некоторой кривой y = y(x) из точки A(x0, y0) в точку B(x0, y0), если ско-рость v = x.

Р е ш е н и е: Время перемещения есть функционал

t[y(x)] =

x∫

x0

√1 + y′2

xdx,

поскольку если dsdt = x, то dt = ds

x . Первый интеграл уравнения Эйлера F ′y′ = C1

имеет видy′

x ·√

1 + y′2= C1.

Это уравнение наиболее просто интегрируется, если мы введем параметр y′ =tg t; тогда

x =1

C1

y′√1 + y′2

=1

C1sin t

или x = C1 sin t, где C1 =1

C1. Имеем

dy

dx= tg t; dy = tg t dx = tg t C1 cos t dt = C1 sin t dt;

интегрируя, получаем

y = −C1 sin t+ C2 ⇒ x = C1 sin t; y − C2 = −C1 cos t.

Исключая t, получим x2+(y−C2)2 = C2

1 - семейство окружностей с центрамина оси ординат.


Пример 82.6. Найти экстремали функционала v[y(x)] =x1∫x0

√1+y′2

y dx.

Пример 82.7. Исследовать на экстремум функционал

v[y(x)] =x1∫x0

(y2 + 2xyy′) dx; y(x0) = y0; y(x1) = y1.

204


v[y(x)] =1∫0

(xy + y2 − 2y2y′) dx; y(0) = 1; y(1) = 2.

Пример 82.9. Найти экстремали функционала

v[y(x)] =x1∫x0

y′(1 + x2y) dx.


Пример 83.1. Задача о наименьшей поверхности вращения. Найти кривуюс заданными граничными точками, при вращении которой вокруг оси абсциссобразуется поверхность наименьшей площади.

Р е ш е н и е: Площадь поверхности вращения есть функционал

S[y(x)] = 2π

x∫

x0

y

√1 + y′2 dx.

Подынтегральная функция зависит лишь от y и y′, и, следовательно, первыйинтеграл уравнения Эйлера имеет вид

F − y′Fy′ = C1 ,

или в данном случае

y

√1 + y′2 − yy′2

y√

1 + y′2= C1.

После упрощений получаемy

y ·√

1 + y′2= C1.

Сделаем подстановку: y′ = sh t, тогда y = C1 ch t. Получим

dx =dy

y′=C1 sh t dt

sh t= C1 dt, x = C1t+ C2.

Таким образом, искомая поверхность образуется вращением линии, уравнениекоторой в параметрической форме имеет вид:

y =

{x = C1t+ C2

y = C1 · ch t .

После исключения t будем иметь: y = C1 chx− C2

C1- семейство цепных линий,

от вращения которых образуются поверхности, называемые катеноидами. Посто-янные C1 и C2 определяются из условия прохождения линии через точки A иB. В зависимости от расположения A и B может существовать одно, два или ниодного решения.


Пример 83.2. Задача о брахистохроне. Найти кривую, соединяющую точкиA и B, при движении по которой материальная точка скатится из A в B закратчайшее время (трение и сопротивление среды отсутствуют).

Р е ш е н и е: Пусть начало координат совпадает с точкой A, ось Ox направ-лена горизонтально, ось Oy — вертикально. Скорость движения материальной

точкиds

dt=√

2gy, откуда время t перемещения из A(0, 0) в B(x1, y1) равно

t[y(x)] =1√2g

x1∫

0

√1 + y′2√y

dx

при условии что y(0) = 0, y(x1) = y1.Уравнение Эйлера имеет первый интеграл:

F − y′Fy′ = C,

которой в рассматриваемом случае записывается в виде√

1 + y′2√y

− y′2√y(1 + y′2)

= C.

После упрощений получим

1√y(1 + y′2)

= C =⇒ y(1 + y′2) = C1.

Можно разрешить это уравнение относительно y′, однако удобнее ввести па-раметр t, полагая y′ = ctg t; тогда получим

y =C1

1 + ctg2 t= C1sin t

2 =C1

2(1− cos 2t);

dx =dy

y′=

2C1 sin t cos tdt

ctg t= 2C1sin t

2dt = C1(1− cos 2t)dt;

x = C1(t−sin 2t

2) + C2 =

C1

2(2t− sin 2t) + C2;

x− C2 =C1

2(2t− sin 2t); y =

C1

2(1− cos 2t).

Можно преобразовать параметр подстановкой 2t = t1, и, учитывая, что C2 = 0(так как кривая проходит через точку x = 0, y = 0), получим уравнение семействациклоид в виде {

x = C12 (t1 − sin t1)

y = C12 (1− cos t1),

где C12 радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения

циклоиды через точку (x1, y1).Таким образом брахистохрона есть циклоида.

206



v[y(x)] =

x1∫

x0

(y′2 + 2yy′ − 16y2) dx.


v[y(x)] =

x1∫

x0

(xy′ + y′2) dx.


v[y(x)] =

1∫

0

(y2 + y′2 − 2y sinx) dx.

84. ЛЕКЦИЯ – Функционалы, зависящие отнескольких функций, старшихпроизводных и функций многихпеременных

Функционалы, зависящие от нескольких функций. Уравнения Эйлера.Функционалы, зависящие от старших производных. Уравнения Эйлера-Пуассона. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимыхпеременных. Уравнение Остроградского. Приложения вариационного ме-тода

84.1. Функционалы, зависящие от несколькихфункций

Для того чтобы получить необходимые условия экстремума функционала

v[y1, . . . , yn] =

x1∫

x0

F (x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y

′n)dx

при заданных граничных условиях

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0,

y1(x1) = y11, y2(x1) = y21, . . . , yn(x1) = yn1,

будем варьировать одну из функций yj(x)(j = 1, . . . , n), оставляя все остальныебез изменения.

84 Лекция — Функционалы, зависящие от функций 207

Тогда функционал, зависящий от n функций y1, . . . , yn, превратится в функ-ционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции, например от yi(x) :v[y1, y2, . . . , yn] = v[yi], который был рассмотрен выше, и, следовательно, функ-ция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера:

Fyi −d

dxFy′

i= 0 (i = 1, . . . , n).

Здесь i = 1, . . . , n, так как это верно для любого yi.Таким образом, мы получаем систему n дифференциальных уравнений второ-

го порядка. Эта система определяет 2n-параметрическое семейство интегральныхкривых в пространстве x, y1, y2, . . . , yn - семейство экстремалей рассматриваемойвариационной задачи.

Если функционал зависит лишь от двух функций y(x) и z(x)

v[y(x), z(x)] =

∫

x0

x1F (x, y, z, y′, z′)dx

y(x0) = y0, y(x1) = y1, z(x0) = z0, z(x1) = z1,

т.е. определяется выбором пространственной кривой{y = y(x),z = z(x),

то получается система двух уравнений Эйлера:{Fy − d

dxFy′ = 0,

Fz − ddxFz′ = 0.

Пример 84.1. Найти дифференциальные уравнения распространения света воптически неоднородной среде, в которой скорость распространения света естьзаданная функция координат v(x, y, z).

Согласно принципу Ферма, свет распространяется из одной точки A(x0, y0) вточку B(x1, y1) по кривой, для которой время T его прохождения будет наимень-шим.

Если уравнение искомой кривой есть y = y(x) и z = z(x), то

T =

x1∫

x0

√1 + y′2 + z′2

v(x, y, z)dx.

Система уравнений Эйлера для этого функционала имеет вид

∂v∂y

√1+y′2+z′2

v2 + ddx

y′

v√

1+y′2+z′2= 0

∂v∂z

√1+y′2+z′2

v2 + ddx

z′

v√

1+y′2+z′2= 0

и будет системой, определяющей линии распространения света.

208

84.2. Функционалы, зависящие от старшихпроизводных

Исследуем на экстремум функционал

(84.1) v[y(x)] =

x1∫

x0

F (x, y, y′, . . . , y(n))dx,

где F ∈ Cn+2. Будем предполагать, что граничные условия имеют вид

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y(n−1)(x0) = y

(n−1)0 ,(84.2)

y(x1) = y1, y′(x1) = y′1, . . . , y(n−1)(x1) = y

(n−1)1 .

Таким образом, в граничных точках заданы не только функция, но и ее про-изводные до (n− 1)-го порядка включительно.

Предположим, что экстремум достигается на кривой y = y(x) ∈ C2n и y(x) -кривая сравнения - также принадлежит классу C2n.

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций

y(x, α) = y(x) + α[y(x) − y(x)] или y(x, α) = y(x) + αδy.

При α = 0 y(x, α) = y(x), при α = 1 y(x, α) = y(x). Если рассматривать значениефункционала v[y(x)] только на кривых семейства y = y(x, α), то функционал пре-вратится в функцию параметра α, достигающую экстремума при α = 0, следова-

тельно,∂

∂αv[y(x, α)]α=0 = 0. Эта производная в соответствии с ранее сказанным

называется вариацией функционала v и обозначается δv:

δv =∂

∂α

x1∫

x0

F (x, y(x, α), . . . , y(n)(x, α))dx

∣∣∣∣∣∣α=0

=(84.3)

=

x1∫

x0

[Fyδy + Fy′δy′ + Fy′′δy′′ + . . .+ Fy(n)δy(n)

]dx.

Проинтегрируем второе слагаемое в правой части по частям один раз:

x1∫

x0

Fy′δydx = [Fy′δy′]∣∣∣x1

x0

−x1∫

x0

d

dxFy′δydx,

третье слагаемое — 2 раза:

x1∫

x0

Fy′′δy′′dx =[Fy′δy

] ∣∣∣x1

x0

−[d

dxFy′′δy

]∣∣∣∣x1

x0

+

x1∫

x0

d2

dx2Fy′′δydx,


и т.д., последнее (n+ 1)-ое слагаемое - n раз:

x1∫

x0

Fy(n)δy(n)dx =[Fy(n)δy(n−1)

]x1

x0

−[d

dxFy(n)δy(n−2)

]x1

x0

+ . . .

+(−1)nx1∫

x0

dn

dxnFy(n)δydx.

Так как границы закреплены и при x = x0 и x = x1 вариации δy = δy′ == . . . = δy(n−1) = 0, получим

δv =

x1∫

x0

(Fy −

d

dxFy′ +

d2

dx2Fy′′ + . . . + (−1)n

dn

dxnFy(n)

)δydx.

Поскольку на экстремали вариация δv = 0, то в силу произвольности δy инепрерывности первого множителя, по лемме Лагранжа имеем

Fy −d

dxFy′ +

d2

dx2Fy′′ + . . .+ (−1)n

dn

dxnFy(n) ≡ 0.

Таким образом, функция y = y(x), реализующая экстремум функционала(84.2), должна быть решением уравнения Эйлера-Пуассона:

(84.4) Fy −d

dxFy′ +

d2

dx2Fy′′ + . . .+ (−1)n

dn

dxnFy(n) = 0.

Это дифференциальное уравнение порядка 2n, его решения являются экстре-малями рассматриваемой вариационной задачи. Они должны удовлетворять 2nграничным условиям (84.2).

Пример 84.2. Определить экстремаль функционала

v[y(x)] =

l∫

−l

(1

2µy′′2 + ρy)dx,

удовлетворяющую граничным условиям:

y(−l) = 0, y′(−l) = 0, y(l) = 0, y′(l) = 0.

К этой задаче приводит нахождение оси изогнутой упругой цилиндрическойбалки, заделанной на концах. Если балка однородна, то ρ = const и µ = const, иуравнение Эйлера-Пуассона имеет вид

ρ+d2

dx(µy′′) = 0 или yIV = − ρ

µ,

откуда получим

y = − ρ

24µx4 + C1x

3 + C2x2 + C3x+ C4.

210

Из граничных условий легко находим, что

y =−ρ24µ

(x4 − 2l2x2 + l4) или y = − ρ

24µ(x2 − l2)2.

Если функционал имеет вид

v[y(x), z(x)] =

x∫

x0

F (x, y, y′, . . . , y(n), z, z′, . . . , zm)dx,

то, варьируя только функцию y(x) и считая z(x) фиксированной и наоборот,получим, что функции y(x) и z(x), на которых реализуется экстремум, должныудовлетворять системе двух уравнений

Fy′ − d

dxFy′ + . . . + (−1)n

dn

dxnFy(n) = 0

Fz′ −d

dxF ′

z′ + . . .+ (−1)mdm

dxmFz(m) = 0.

Аналогично выписывается система уравнений для любого функционала, за-висящего от m функций:

v[y1, . . . , ym] =

x1∫

x0

F (x, y1, . . . , y(n1)1 , . . . , ym, . . . , y

(nm)m )dx.

Для этого функционала, варьируя одной функцией yi(x) и сохраняя осталь-ные неизменными, получим необходимые условия экстремума в виде

Fyi −d

dxFy′

i+ . . .+ (−1)ni

dni

dxniF

y(ni)i

= 0, i = 1, . . . ,m .

84.3. Функционалы, зависящие от функцийнескольких независимых переменных

Рассмотрим функционал

v[z(x, y)] =

∫∫

D

F

(x, y, z,

∂z

∂x,∂z

∂y

)dxdy,

причем на границе C области D значения функции z(x, y) заданы, т.е. задан

пространственный контур C, через который должны проходить все допустимые

поверхности (рис. 84.1). Для сокращения записи обозначим∂z

∂x= p;

∂z

∂y= q.

Предположим, что F ∈ C3(D), z ∈ C2(D).Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей

z(x, y, α) = z(x, y) + αδz,

где δz = z(x, y)− z(x, y), так что при α = 0 имеем поверхность z = z(x, y), на ко-торой реализуется экстремум, а при α = 1 — некоторую допустимую поверхностьz = z(x, y).


Рис. 84.1. Допустимая поверхность с заданной границей

Вновь, как и раньше, на функциях семейства z(x, y, α) функционал v превра-щается в функцию параметра α, которая должна иметь экстремум при α = 0,

следовательно,∂

∂αv[z(x, y, α)]

∣∣α=0

= 0 - это вариация функционала δv (согласно

первой лемме). Для нее имеем

δv =∂

∂α

∫∫

D

F (x, y, z(x, y, α), p(x, y, α), q(x, y, α))dxdy

∣∣∣∣∣∣α=0

=

=

∫∫

D

[Fzδz + Fpδp+ Fqδq]dxdy,

где

z(x, y, α) = z(x, y) + αδz,

p(x, y, α) =∂

∂xz(x, y, α) = p(x, y) + αδp,

q(x, y, α) =∂

∂xz(x, y, α) = q(x, y) + αδq.

Так как

∂

∂x[Fpδz] =

∂

∂x[Fp]δz + Fpδp,

∂

∂y[Fqδz] =

∂

∂y[Fq]δz + Fqδq,

то после подстановки получим:∫∫

D

(Fpδp+ Fqδq)dxdy =

∫∫

D

[∂

∂x{Fpδz}+

∂

∂y{Fqδz}

]dxdy−

−∫∫

D

[∂

∂x{Fp}+

∂

∂y{Fq}

]δzdxdy,

где∂

∂x{Fp} — так называемая полная частная производная по x, т.е. при ее

вычислении считается, что y = const, но зависимость функций z, p, и q от x

212

учитывается:

∂

∂x{Fp} = Fpx + Fpz

∂z

∂x+ Fpp

∂p

∂x+ Fpq

∂q

∂x,

и аналогично для полной частной производной по y имеем

∂

∂y{Fq} = Fqy + Fqz

∂z

∂y+ Fqp

∂p

∂y+ Fqq

∂q

∂y.

По формуле Грина получим∫∫

D

(∂N

∂x+∂M

∂y

)dx dy =

∮

C

N dy −M dx,

откуда∫∫

D

[∂

∂x{Fpδz}+

∂

∂y{Fqδz}

]dx dy =

∮

Γσ

(Fp dy − Fq dx)δz = 0.

Последний интеграл равен нулю, так как на контуре C вариация δz=0 (вседопустимые поверхности проходят через один и тот же пространственный контурC). Следовательно,

∫∫

D

[Fpδp+ Fqδq] dx dy = −∫∫

D

[∂

∂x{Fp}+

∂

∂y{Fq}

]δz dx dy,

откуда следует, что необходимое условие экстремума∫∫

D

(Fzδz + Fpδp+ Fqδq) dx dy = 0

имеет вид: ∫∫

D

(Fz −∂

∂x{Fp} −

∂

∂y{Fq})δz dx dy = 0.

Так как δz произвольна (на δz наложены лишь ограничения общего харак-тера относительно непрерывности и дифференцируемости, δz

∣∣C= 0 и т.д.), то по

основной лемме Лагранжа на поверхности z = z(x, y), реализующей экстремум,

Fz −∂

∂x{Fp} −

∂

∂y{Fq} ≡ 0.

Следовательно, z(x, y) является решением уравнения:

Fz −∂

∂x{Fp} −

∂

∂y{Fq} = 0.

Это уравнение в частных производных второго порядка — уравнение Остро-градского (1834).


Пример 84.3. Рассмотрим функционал

v[z(x, y)] =

∫∫

σ

[(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2]dx dy,

у которого на границе Γσ области σ заданы значения функции z, так что на Γσ

z = f(x, y).

Для этого функционала уравнение Остроградского имеет вид:

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0.

или в краткой записи∆z = 0,

т.е. является известным уравнением Лапласа, для которого надо найти непрерыв-ное в области σ решение, принимающее заданные значения на границе. Это однаиз основных задач математической физики, так называемая задача Дирихле.

Пример 84.4. Рассмотрим функционал

v[z(x, y)] =

∫∫

σ

[(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

+ 2zf(x, y)

]dx dy,

у которого на Γσ функция z задана.

Уравнение Остроградского для этого функционала имеет вид:

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= f(x, y),

или в краткой записи∆z = f(x, y)

Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также часто встречается вуравнениях математической физики; например, оно описывает стационарное рас-пределение электрического поля, индуцированного зарядом с плотностью f(x, y).

84.4. Приложения вариационного методаПринцип наименьшего действия Гамильтона является основным вариаци-

онным принципом в механике: среди возможных, т.е. совместимых со связями,движений системы материальных точек в действительности осуществляется дви-жение, дающее стационарное значение (т.е. такое, при котором вариация функ-ционала равна нулю) интегралу:

t∫

t0

(T − U) dt,

где T — кинетическая, а U — потенциальная энергия системы. Применим этотпринцип к нескольким задачам механики.

214

Пример 84.5. Дана некоторая система материальных точек с массамиmi (i = 1, ..., n) и координатами (xi, yi, zi) на которую действуют силы Fi, об-ладающие силовой функцией (потенциалом), зависящей только от координат:

Fix = −∂U∂xi

; Fiy = −∂U∂yi

; Fiz = −∂U∂zi

,

где Fix, Fiy, Fiz - проекции на координатные оси силы Fi, действующей на ма-териальную точку (xi, yi, zi). Нужно найти дифференциальное уравнение дви-жения системы.

Кинетическая энергия системы имеет вид:

T = 0.5n∑

i=1

mi(xi2 + yi

2 + zi2),

а потенциальная энергия равна U .

Система уравнений Эйлера для интегралаt∫

t0

(T − U) dt имеет вид:

−∂U∂xi− d

dt

∂T

∂xi= 0; −∂U

∂yi− d

dt

∂T

∂yi= 0; −∂U

∂zi− d

dt

∂T

∂zi= 0,

или:

mixi − Fix = 0; miyi − Fiy = 0; mizi − Fiz = 0 (i = 1, ..., n).

Если движение материальных точек подчинено дополнительно некоторой си-стеме независимых связей

ϕj(t, x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn, z1, z2, . . . , zn) = 0,

j = 1, 2, . . . ,m, m < 3n,

то с помощью уравнений связей можно исключить m переменных и получить s =3n−m независимых переменных (не считая времени t), называемых обобщеннымикоординатами:

q1, q2, . . . , qs,

через которые (а также их производные и время t) выражаются T и U .В этом случае T − U называется функцией Лагранжа L = L(q, q, t), а соот-

ветствующий интеграл

S =

t1∫

t0

L(q, q, t) dt

называется действием по Лагранжу. На реальных движениях материальных то-чек он должен достигать минимума.

Принцип наименьшего действия формулируется так:

δS = δ

t1∫

t0

L(q, q, t) dt = 0.


Тогда из уравнений Эйлера для S следуют уравнения Лагранжа:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0, i = 1, 2, . . . , s.

Пример 84.6. Дифференциальное уравнение свободных колебаний струны.

Совместим один из концов струны с началом координат. В состоянии покояструна под действием силы натяжения расположена вдоль некоторой прямой,по которой направим ось абсцисс. Отклонение струны от положения равновесияu = u(x, t) является функцией абсциссы x и времени t.

Потенциальная энергия U некоторого элемента струны пропорциональна рас-тяжению струны. С точностью до бесконечно малых высшего порядка участокструны dx в деформированном состоянии имеет длину

ds =

√1 + ux

′2dx,

тогда удлинение рассматриваемого элемента равно

(

√1 + ux

′2 − 1)dx.

По формуле Тейлора имеем (√

1 + ux′2− 1) ≈ 1

2ux′2. Считая u′x малым и пре-

небрегая членами высшего порядка, найдем, что потенциальная энергия элементаравна

dU =1

2kux

′2dx,

где k — некоторый размерный множитель, тогда потенциальная энергия всейструны равна

U =1

2

l∫

0

kux′2 dx.

Кинетическая энергия струны равна

T =1

2

l∫

0

ρut′2 dx,

где ρ - плотность струны.

В данном случае интегралt1∫t0

(T − U) dt = v[u(x, t)] принимает вид

v[u(x, t)] =

t1∫

0

l∫

0

[1

2ρut

′2 − 1

2kux

′2]dx dt.

Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функци-онала v[u(x, t)]:

∂

∂t(ρut

′)− ∂

∂x(kux

′) = 0.

216

Если струна однородна, то есть ρ = const и k = const, то для колебанийструны уравнение упрощается:

ρ∂2u

∂t2− k∂

2u

∂x2= 0.

Если на струну действует еще и внешняя сила f(x, t), которая перпендику-лярна струне в ее положении равновесия и рассчитана на единицу массы, то этасила имеет силовую функцию ρf(x, t)udx и интеграл Гамильтона принимает вид

t1∫

t0

l∫

0

[1

2ρut

′2 − 1

2kux

′2 + ρf(t, x)u

]dx dt,

а уравнение вынужденных колебаний струны

∂

∂t(ρu′t)−

∂

∂x(ku′x)− ρf(x, t) = 0,

или, если струна однородна,

∂2u

∂t2=k

ρ

∂2u

∂x2+ f(x, t).

Аналогично можно получить уравнение колебаний мембраны.



v[y(x), z(x)] =

π2∫

0

(y′2 + z′2 + 2yz)dx,

y(0) = 0, y(π

2

)= 1, z(0) = 0, z

(π2

)= −1.

Р е ш е н и е: Система уравнений Эйлера имеет вид:

y′′ − z = 0, z′′ − y = 0.

Исключая одну из неизвестных функций, например z, получим

yIV − y = 0.

Проинтегрировав это линейное уравнение с постоянными коэффициентами,будем иметь

y = C1ex + C2e

−x + C3 sinx+ C4 cos x;

z = C1ex + C2e

−x − C3 cosx− C4 sinx.

Из граничных условий найдем: C1 = 0, C2 = 0, C3 = 0,C4 = 1, следовательно, экстремали имеют вид

y = sinx, z = − sinx.



v[y(x), z(x)] =

x1∫

x0

F (y′, z′)dx.

Р е ш е н и е: Система уравнений Эйлера имеет вид:{Fy′y′y′′ + Fy′z′z

′′ = 0;Fy′z′y

′′ + Fz′z′z′′ = 0,

откуда при Fy′y′Fz′z′ − (Fy′z′)2 6= 0 получим y′′ = 0 и z′′ = 0, т.е. экстремали{y = C1x+ C2,z = C3x+ C4,

образуют семейство прямых в пространстве.

Пример 84.3. Найти экстремаль функционала

v[y(x)] =

1∫

0

(1 + y′′2)dx,

с граничными условиями

y(0) = 0, y′(0) = 1, y(1) = 1, y′(1) = 1.

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид d2

dx2 (2y′′) = 0 или yIV = 0;его общее решение есть

y = C1x3 + C2x

2 + C3x+ C4.

Из граничных условий найдем:

C1 = 0, C2 = 0, C3 = 1, C4 = 0,

поэтому экстремум может достигаться на прямой y = x.

Пример 84.4. Определить экстремаль функционала

v[y(x)] =

π2∫

0

(y′′2 − y2 + x2)dx,

удовлетворяющую условиям

y(0) = 1, y(π

2) = 0, y′(0) = 0, y′

(π2

)= −1.

Р е ш е н и е: Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид yIV − y = 0. Его общеерешение

y = C1ex + C2e

−x + C3 cosx+ C4 sinx.

218

Используя граничные условия, получим

C1 = 1, C2 = 0, C3 = 1, C4 = 0,

поэтому экстремум может достигаться лишь на косинусоиде y = cosx.

Пример 84.5. Задача о поверхности минимальной площади, натянутой наконтур Γ, сводится к исследованию на минимум функционала (часть II, лекция54, формула 54.2):

S[z(x, y)] =

∫∫

σ

√

1 +

(∂z

∂x

)2

+

(∂z

∂y

)2

dx dy,

где σ — область на плоскости XY , ограниченная проекцией контура Γ на этуплоскость.

Р е ш е н и е: Уравнение Остроградского имеет вид:

∂

∂x

(p√

1 + p2 + q2

)+

∂

∂y

(q√

1 + p2 + q2

)= 0

или∂2z

∂x2

[1 +

(∂z

∂y

)2]− 2

∂z

∂x

∂z

∂y

∂2z

∂x∂y+∂2z

∂y2

[1 +

(∂z

∂x

)2]

= 0,

то есть средняя кривизна в любой точке поверхности равна нулю.



v[y(x)] =

x1∫

x0

(16y2 − y′′2 + x2) dx.


v[y(x), z(x)] =

x1∫

x0

(2yz − 2y2 + y′2 − z′2) dx.

Пример 84.8. Написать уравнение Остроградского для функционала

v[z(x, y)] =

∫∫

D

[(∂z

∂x

)2

−(∂z

∂y

)2]dx dy.

Пример 84.9. Написать уравнение Остроградского для функционала

v[u(x, y, z)] =

∫∫∫

D

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

+

(∂u

∂z

)2

+ 2uf(x, y, z)

]dx dy dz.

85 Лекция — Задачи с подвижными границами 219

85. ЛЕКЦИЯ – Вариационные задачи сподвижными границами

Простейшая задача с подвижными границами. Задачи с подвижными гра-ницами для функционалов, зависящих от двух функций.

85.1. Простейшая задача с подвижнымиграницами

Ранее при исследовании функционала

(85.1) v[y(x)] =

x1∫

x0

F (x, y(x), y′(x))dx

предполагалось, что граничные точки (x0, y0) и (x1, y1) заданы. Допустим теперь,что одна или обе граничные точки могут перемещаться. Тогда класс допустимыхкривых расширяется, поэтому, если на какой-либо кривой y = y(x) достигаетсяэкстремум в задаче с подвижными точками, то он тем более достигается по отно-шению к более узкому классу кривых. Следовательно, должно быть выполненоосновное необходимое условие — уравнение Эйлера для функционала (85.1):

Fy −d

dxFy′ = 0,

т.е. кривые, на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными гранич-ными условиями, должны быть экстремалями.

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольных постоянных,для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвиж-ными точками это были условия y(x0) = y0 и y(x1) = y1. Ныне они отсутствуют,и недостающие условия должны быть получены из основного необходимого усло-вия экстремума δv = 0. Так как в задаче с подвижными границами экстремумдостигается лишь на решениях y = y(x,C1, C2) уравнения Эйлера, то далее мож-но рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства.При этом функционал v[y(x,C1, C2)] превращается в функцию параметров C1

и C2 и пределов интегрирования x0 и x1, а вариация функционала совпадает сдифференциалом этой функции.

Для простоты будем считать, что одна из граничных точек, например (x0, y0),закреплена, а другая (x1, y1) может перемещаться и переходит в точку (x1 +∆x1, y1 + ∆y1), или, как принято в вариационном исчислении, в точку (x1 +δx1, y1 + δy1).

Допустимые кривые y = y(x) и y = y(x)+ δy считаются близкими, если малымодули вариаций δy и δy′, и модули приращений δx1 и δy1 (приращения δx1 и δy1

обычно называют вариациями предельных значений x1 и y1).

220

Экстремали, проходящие через точку (x0, y0), образуют пучок экстремалейy = y(x,C1). Функционал v[y(x,C1)] на кривых этого пучка превращается в функ-цию C1 и x. Если кривые пучка y = y(x,C1) в окрестности рассматриваемой экс-тремали не пересекаются, то v[y(x,C1)] можно рассматривать как однозначнуюфункцию x1 и y1, так как задание x1 и y1 определяет экстремаль пучка (рис.85.1) и тем самым определяет значение функционала.

Рис. 85.1. Пучок экстремалей

Вычислим вариацию функционала v[y(x,C1)] на экстремалях пучка y =y(x,C1) при перемещении граничной точки из (x1, y1) в положение (x1 + δx1, y1 +δy1). Так как функционал v на кривых пучка превращается в функцию x1 и y1,то его вариация совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из при-ращения ∆v главную линейную по отношению к δx1 и δy1 часть:

∆v =

x1+δx1∫

x0

F (x, y + δy, y′ + δy′) dx−x1∫

x0

F (x, y, y′) dx =

=

x1+δx1∫

x1

F (x, y + δy, y′ + δy′) dx+

x1∫

x0

[F (x, y + δy, y′ + δy′)− F (x, y, y′)] dx.(85.2)

Первое слагаемое в (85.2) преобразуем по теореме о среднем значении (частьII, лекция 47, свойство 7):

x1+δx1∫

x1

F (x, y + δy, y′ + δy′) dx = F∣∣x=x1+θδx1

δx1, где 0 < θ < 1.

Так как функция F непрерывна, то

F∣∣x=x1+θδx1

= F (x, y, y′)∣∣x=x1

+ε1,

где ε1 → 0 при δx1 → 0 и δy1 → 0.Таким образом, для первого слагаемого в (85.2) получим

x1+δx1∫

x1

F (x, y + δy, y′ + δy′) dx = F (x, y, y′)∣∣x=x1

δx1 + ε1δx1.


Второе слагаемое в (85.2) преобразуем с помощью формулы Тейлора (частьI, лекция 19):

x1∫

x0

[F (x, y + δy, y′ + δy′)− F (x, y, y′)] dx =

=

x1∫

x0

[Fy(x, y, y′)δy + Fy′(x, y, y′)δy′] dx+R1,

где R1 - бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с δy и δy′.Линейную часть преобразуем, интегрируя по частям:

x1∫

x0

(Fyδy + Fy′δy′) dx = [Fy′δy]∣∣x1

x0+

x1∫

x0

(Fy −

d

dxFy′

)δy dx.

Так как значения функционала берутся на экстремалях, то уравнение Эйлеравыполнено тождественно

Fy −d

dxFy′ ≡ 0.

Так как точка (x0, y0) закреплена, δy∣∣x=x0

= 0. Итак:

x1∫

x0

(Fyδy + Fy′δy′) dx = [Fy′δy]∣∣x=x1

.

Заметим,что δy∣∣x=x1

не равно δy1 — приращению y1, так как δy1 - это прира-

щение y1 при перемещении граничной точки в положении (x1 ++δx1, y1 + δy1), а δy

∣∣x=x1

— это приращение ординаты в точке x1 при переходе от

экстремали, проходящей через точки (x0, y0) и (x1, y1), к экстремали, проходящейчерез точки (x0, y0) и (x1 + δx1, y1 + δy1) (рис. 85.2).

Рис. 85.2. Вариация и приращение в граничной точке

Из рис. 85.2 видно, что BD = δy∣∣x=x1

, FC = δy1, и при этом

EC ≈ y′(x1)δx1, BD = FC −EC,

222

следовательно,

δy∣∣x=x1≈ δy1 − y′(x1)δx1

(это равенство верно до бесконечно малых высшего порядка малости).Итак, подведем итоги:

x1+δx1∫

x1

F dx ≈ F |x=x1δx1;

x1∫

x0

[F (x, y + δy, y′ + δy′)

]dx ≈ Fy′

∣∣x=x1

(δy1 − y′(x1)δx1),

где приближенные равенства справедливы с точностью до членов, порядок кото-рых выше первого относительно δx1 и δy1 . Таким образом, из (85.2) получаем:

δv = F∣∣x=x1

δx1 + Fy′

∣∣x=x1

(δy1 − y′(x1)δx1) =

= (F − y′Fy′)∣∣x=x1

δx1 + Fy′

∣∣x=x1

δy1,

или

dv(x1, y1) = (F − y′Fy′)∣∣x=x1

dx1 + Fy′

∣∣x=x1

dy1 .

Здесь v(x1, y1) — функция, в которую превратился функционал v на экстре-малях y = y(x1, C1), а dx1 = ∆x1 = δx1, dy1 = ∆y1 = δy1 — приращения вграничной точке. Таким образом, необходимое условие экстремума δv = 0 имеетвид:

(85.3) (F − y′Fy′)∣∣x=x1

δx1 + Fy′

∣∣x=x1

δy1 = 0.

Если вариации δx1 и δy1 независимы, то

(85.4) (F − y′Fy′)∣∣x=x1

= 0 и Fy′

∣∣x=x1

= 0.

Рассмотрим случай, когда вариации δx1 и δy1 зависимы. Пусть, например,правая граничная точка (x1, y1) может перемещаться по некоторой кривой y1 =ϕ(x1), тогда δy1 ≈ ϕ′(x1)δx1, а значит условие (85.3) принимает вид:

[F − y′Fy′ + Fy′ϕ′]∣∣x1δx1 = 0,

а так как δx1 произвольно, то

(85.5) [F + (ϕ′ − y′)Fy′

∣∣x=x1

= 0.

Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами ϕ′

и y′ в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности. Условиетрансверсальности вместе с условием y1 = ϕ(x1) позволяют, вообще говоря, опре-делить одну или несколько экстремалей пучка y = y(x,C1), на которых можетдостигаться экстремум.


Если граничная точка (x0, y0) может перемещаться по некоторой кривойy0 = ψ(x0), то аналогично для точки (x0, y0) можно получить условие транс-версальности

[F + (ψ′ − y′)Fy′ ]x=x0 = 0.

Замечание 85.1. Если (x1, y1) может перемещаться лишь по вертикали,то δx1 = 0 и условие (85.3) переходит в условие Fy′

∣∣x=x1

= 0.

Замечание 85.2. Если граничная точка (x1, y1) в задаче об экстремумефункционала (85.1) может перемещаться лишь по горизонтальной прямойy = y1, то δy1 = 0 и условие трансверсальности (85.3) принимает вид

[F − y′Fy′ ]x=x1 = 0.

85.2. Задачи с подвижными границами дляфункционалов, зависящих от двухфункций

Если при исследовании на экстремум функционалов

(85.6) v =

x1∫

x0

F (x, y, z, y′, z′)dx

одна из граничных точек закреплена, а другая неподвижна (или обе подвиж-ны), то экстремум может достигаться лишь на интегральных кривых системыуравнений Эйлера

F ′y −

d

dxFy′ = 0; F ′

z −d

dxFz′ = 0,

так как если экстремум достигается на некоторой кривой C с подвижными гра-ницами, то среди них также находятся кривые, у которых границы фиксированы(т.е. класс кривых с границами вложен в класс кривых с подвижными граница-ми). Следовательно, на C должны удовлетворяться необходимые условия экстре-мума с неподвижными границами.

Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольныепостоянные. Если точка A(x0, y0, z0) неподвижна, можно, вообще говоря, исклю-чить две произвольные постоянные, а для определения двух других нужно иметьеще два уравнения, которые должны быть получены из условия δv = 0, причемпри вычислении вариации мы будем рассматривать функционал лишь на реше-ниях системы уравнений Эйлера. Тогда функционал v превращается в функциюΦ(x1, y1, z1) координат точки B(x1, y1, z1), и вариация превращается в дифферен-циал этой функции.

224

Вариация функционала v может быть вычислена аналогично предыдущему.Для этого запишем приращение ∆v в виде

∆v =

x1+δx1∫

x0

F (x, y + δy, z + δz, y′ + δy′, z′ + δz′)dx−

−x1∫

x0

F (x, y, z, y′, z′)dx =

x1+δx1∫

x1

F (x, y + δy, z + δz, y′ + δy′, z′ + δz′)dx+

+

x1∫

x0

[F (x, y + δy, z + δz, y′ + δy′, z′ + δz′)dx− F (x, y, z, y′z′)]dx.

Применим теорему о среднем к первому интегралу, а во втором выделим главнуюлинейную часть по формуле Тейлора. После преобразований, аналогичных тем,что проведены выше, получим

δv = [F − y′Fy′ − z′Fz′ ]∣∣x=x1

δx1 + Fy′

∣∣x=x1

δy1 + Fz′∣∣x=x1

δz1 = 0.

Если вариации δx1, δy1, δz1 независимы, то из условия δv = 0 следует:

(85.7) [F − y′Fy′ − z′Fz′]∣∣x=x1

= 0, Fy′

∣∣x=x1

= 0, Fz′∣∣x=x1

= 0.

Если граничная точка B(x1, y1, z1) может перемещаться по некоторой кривойy1 = ϕ(x1), z1 = ψ(x1), то δy1 = ϕ′(x1)δx1 и δz1 = ψ′(z1)δx1 и условие (85.7)переходит в условие

[F + (ϕ′ − y′)Fy′ + (ψ′ − z′)Fz′ ]x=x1δx1 = 0,

и в силу произвольности δx1 получим

(85.8) F + (ϕ′ − y′)Fy′ + (ψ′ − z′)Fz′ = 0.

Это так называемое условие трансверсальности в вариационной задаче дляфункционала (85.6). Условие (85.8) вместе с уравнениями y1 = ϕ(x1) и z1 = ψ(x1)дают недостающие уравнения для определения координат точки B(x1, y1, z1) и,следовательно, двух произвольных постоянных в общем решении системы урав-нений Эйлера.

Если граничная точка B(x1, y1, z1) может перемещаться по поверхности z1 =ϕ(x1, y1), то δz1 = ϕ′

x1δx1 + ϕ′

y1δy1, где δx1 и δy1 произвольны. Условие δv = 0

(см. (85.7)) дает

[F − y′Fy′ − z′Fz′ + ϕ′xFz′ ]δx1 + [Fy′ + Fz′ϕ

′y]δy1 = 0.

Так как вариации δx1 и δy1 независимы, то

F − y′Fy′ + (ϕ′x − z′)Fz′ ]x=x1 = 0, [Fy + Fz′ϕ

′y]x=x1 = 0.

Эти два условия вместе с уравнением поверхности z1 = ϕ(x1, y1), вообщеговоря, дают возможность определить две произвольных постоянных в общемрешении системы уравнений Эйлера.

85 Практика — Задачи с подвижными границами 225

Аналогичные условия могут быть получены в точке A(x0, y0, z0), если онаподвижна.

Применяя всю эту технику к функционалу

v =

x1∫

x0

F (x, y1, y2, ..., yn, y′1, y

′2, ..., y

′n)dx,

для подвижной точки B(x1, y11, y21, . . . , yn1) получим следущие условия:

(85.9)

(F −

n∑

i=1

y′iFy′i

)∣∣∣∣∣x=x1

δx1 +

n∑

i=1

Fy′i

∣∣∣∣∣x=x1

δyi1 = 0.

85. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ –Вариационные задачи с подвижнымиграницами

Пример 85.1. Найти условие трансверсальности для функционалов вида

v =

x1∫

x0

A(x, y)

√1 + y′2 dx.

Р е ш е н и е: В данном случае условие трансверсальностиF + Fy′(ϕ′ − y′) = 0 имеет вид:

A(x, y)

√1 + y′2 +

A(x, y)y′√1 + y′2

(ϕ′ − y′) = 0⇒ A(x, y)(1 + ϕ′y′)√1 + y′2

= 0;

предполагая, что A(x, y) 6= 0 в граничной точке, получим 1 + y′ϕ′ = 0 или y′ =− 1

ϕ′ , т.е. условие трансверсальности свелось к условию ортогональности кривой

y = ϕ(x1) и экстремали.


x1∫

0

√1 + y′2

ydx

при наличии граничных условий y(0) = 0, y1 = x1 − 5.

Р е ш е н и е: Проинтегрируем уравнение Эйлера

−√

1 + y′2

y2− d

dx

(y′

y√

1 + y′2

)= 0.

226

Получим

√1 + y′2

y2+

−y′2

y2√

1 + y′2+

1

y

√1 + y′2 − y′2√

1+y′2

(√

1 + y′)2y′′ = 0;

1

y2√

1 + y′2+

1

y

y′′

(1 + y′2)32

= 0;

(1 + y′2) + yy′′ = 0, y′ = p(y), y′′ = pdp

dy;

1 + p2 + ypdp

dy= 0,

pdp

1 + p2= −dy

y;

ln (1 + p2) = −2 ln y + C21 , 1 + p2 =

C21

y2, p =

√C2

1 − y2

y;

ydy√C2

1 − y2= dx,

√C2

1 − y2 = −x+ C2.

Таким образом, интегральными кривыми уравнения Эйлера являются окруж-ности

(x− C2)2 + y2 = C2

1 .

Из первого граничного условия y(0) = 0 следует C1 = C2. Условие транс-версальности сводится к условию ортогональности, поэтому прямая y1 = x1 − 5должна быть диаметром окружности, следовательно, центр окружности долженнаходиться в точке (0, 5), откуда получаем уравнение кривой, на которой можетдостигаться экстремум:

(x− 5)2 + y2 = 25.

Пример 85.3. Рассмотреть ситуацию, когда в задаче о брахистохроне леваяграничная точка закреплена, а правая может перемещаться вертикально.

Р е ш е н и е: Экстремалями функционала

x1∫

0

√1 + y′2√y

dx

являются циклоиды, у которых y(0) = 0. Поэтому их уравнения имеют вид{x = C1(t− sin t),y = C1(1− cos t).

Для определения C1 используем условие Fy′

∣∣x=x1

= 0, из которого получим

y′√y√

1 + y′2

∣∣∣∣∣x=x1

= 0,


следовательно, y′(x1) = 0, т.е. искомая циклоида должна пересекать прямуюx = x1 под прямым углом и, значит, точка x = x1, y = y1 является вершинойциклоиды. Вершине соответствует значение t = π, поэтому x1 = C1π и, значит,

C1 =x1

π. Таким образом, экстремум может быть достигнут только на циклоиде

{x = x1

π (t− sin t),y = x1

π (1− cos t).

Пример 85.4. Найти условия трансверсальности для функционала

v =

x1∫

x0

A(x, y, z)

√1 + y′2 + z′2dx ,

если z1 = ϕ(x1, y1).

Р е ш е н и е: Условия трансверсальности

[F − y′Fy′ + (ϕ′x − z′)Fz′ ]x=x1

= 0 и [Fy′ + Fz′ϕ′y]x=x1

= 0

имеют вид: 1 + ϕ′xz

′ = 0 и y′ + ϕ′yz

′ = 0 при x = x1, что равносильно

1

ϕ′x

=y′

ϕ′y

=z′

−1при x = x1,

т.е. являются условиями параллельности вектора касательной к искомой экстре-мали в точке (x1, y1, z1) и вектора нормали к поверхности z = ϕ(x, y) в той жеточке. Следовательно, условие трансверсальности становится условием ортого-нальности экстремали к поверхности z = ϕ(x, y).

Пример 85.5. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностя-ми z = ϕ(x, y) и z = ψ(x, y).

Р е ш е н и е: Для решения задачи необходимо найти экстремум интеграла

l =

x1∫

x0

√1 + y′2 + z′2dx

при условии, что координаты граничных точек (x0, y0, z0) и (x1, y1, z1) удовлетво-ряют уравнениям z0 = ϕ(x0, y0) и z1 = ψ(x0, y0), соответственно.

Так как подынтегральная функция зависит только от y′ и z′, то экстремалямиявляются прямые линии. Данный функционал есть частный случай функционалаиз предыдущего примера, следовательно, условие трансверсальности переходитв условие ортогональности и поэтому экстремум может достигаться лишь на пря-мых, ортогональных одновременно поверхности z = ϕ(x, y) в точке (x0, y0, z0) иповерхности z = ψ(x, y) в точке (x1, y1, z1).

228


v =

x1∫

x0

(y′2 + z′2 + 2yz)dx ,

причем y(0) = 0, z(0) = 0, а точка (x1, y1, z1) принадлежит плоскости x = x1.

Р е ш е н и е: Система уравнений Эйлера имеет вид:{z′′ − y = 0,y′′ − z = 0,

откуда yIV − y = 0.Интегрируя эти уравнения, получаем экстремали

{y = C1chx+ C2shx+ C3 cosx+ C4 sinx,z = C1chx+ C2shx− C3 cosx− C4 sin x.

Из граничных условий y(0) = 0, z(0) = 0 находим C1 + C3 = 0 и C1 − C3 == 0, следовательно, C1 = C3 = 0. Условие в подвижной граничной точке

(F − y′Fy′ − z′Fz′)∣∣x=x1

δx1 + Fy′

∣∣x=x1

δy1 + Fz′δz1 = 0

переходит в условия

Fy′

∣∣x=x1

= 0 и Fz′∣∣x=x1

= 0,

так как δx1 = 0, а δy1 и δz1 произвольны.В рассматриваемом примере Fy′ = 2y′ и Fz′ = 2z′, следовательно,

y′(x1) = 0 и z′(x1) = 0

или {C2 chx1 + C4 cosx1 = 0,C2 chx1 − C4 cosx1 = 0.

Если cos x1 6= 0, то C2 = C4 = 0 и экстремум — прямая y = 0; z = 0. Если жеcos x1 = 0, т.е. x1 = π

2 + πn, n ∈ Z, то C2 = 0, C4 — произвольная постоянная,

y = C4 sinx, z = −C4 sin x.

Можно проверить, что в этом случае при любом C4 функционал v = 0.


Пример 85.7. Написать условие трансверсальности для функционала

v[y(x)] =

x1∫

x0

A(x, y)earctgy′√

1 + y′2 dx, A(x, y) 6= 0.


Пример 85.8. Пользуясь основным необходимым условием экстремума δv =0, найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала

v[y(x)] =

1∫

0

(y′′2 − 2xy) dx; y(0) = y′(0) = 0;

y(1) =1

120; y′(1) не задано.

230

XIII ГЛАВА

Теория вероятностей иматематическая статистика

86. ЛЕКЦИЯ — Случайные события

Предмет теории вероятностей. Случайные события. Операции надними. Относительная частота и ее свойства. Статистическое опреде-ление вероятности.

86.1. Предмет теории вероятностей.Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономер-

ности в случайных явлениях. Раздел теории вероятностей — математическая ста-тистика, занимается оценкой характеристик этих закономерностей на основаниинаблюдений.

Рассмотрим пример. Очевидно, что при однократном бросании монеты невоз-можно точно предсказать, как она упадет — орлом или решкой на верхней сто-роне. Однако было давно отмечено, что если много раз бросать симметричнуюмонету, орел выпадет в 50% случаев, причем, чем больше число опытов, темближе (в определенном смысле) реальный результат к предсказанному.

Подобные “статистические” закономерности наблюдаются всегда, когда име-ют дело с большим количеством однородных случайных явлений. Проявляющие-ся при этом закономерности оказываются независимыми от индивидуальных осо-бенностей отдельных случайных явлений, которые как бы взаимно погашаютсяи усредненный результат оказывается практически не случайным. Эта подтвер-жденная опытом устойчивость массовых случайных явлений служит основой дляприменения вероятностных методов исследования. Методы теории вероятностейпредназначены для предсказания среднего, суммарного результата случайныхявлений и не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явле-ния, который остается неопределенным, случайным.

Цель применения вероятностных методов состоит в том, чтобы, не изучая от-дельное случайное явление, что сложно и иногда невозможно, установить законы,проявляющиеся в массе этих явлений. Так, в примере с бросанием монеты вме-сто описания траектории движения отдельной монеты средствами механики, чтоочень сложно или практически невозможно, изучают долю случаев, в которыхвыпадает орел.

86 Лекция — Случайные события 231

Начало систематического исследования задач, относящихся к случайным яв-лениям, приходится на середину XVII века, хотя отдельные задачи рассматрива-лись и раньше. Теория вероятностей зарождалась на задачах из области азарт-ных игр, представляющих собой хорошую модель случайных явлений. Известназадача Шевалье де Мере, поставленная им перед знаменитым французским уче-ным Б. Паскалем (1623 — 1662). В современной постановке эта задача звучиттак: сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы вероятность того,что пара шестерок появится хотя бы один раз, превысила бы 0, 5? Б. Паскаль в1654 году завязал по этому поводу переписку с известным итальянским матема-тиком П. Ферма (1601 — 1665) и они вдвоем установили некоторые из основныхположений теории вероятностей. В дальнейшем в развитии теории вероятностейпринимали участие такие знаменитые зарубежные ученые, как К. Гюйгенс (1629— 1695), Я. Бернулли (1654 — 1705), А. Муавр (1667 — 1754), П. Лаплас (1749 —1827), К. Гаусс (1777 — 1855), С. Пуассон (1781 — 1840), а также русские мате-матики П.Л. Чебышев (1821 — 1894), А.А. Марков (1856 — 1922), А.М. Ляпунов(1857 — 1918), А.Н. Колмогоров (1903 — 1987 ), А.Я. Хинчин (1894 — 1959), Н.В.Смирнов (1900 — 1966), В.С. Пугачев (1911 — 1998) и др.

Во второй половине XX века зародились методы прикладной теории вероят-

ностей, связанные с ее использованием в военном деле и в технике. Речь идет

о таких дисциплинах, как теория информации, теория массового обслуживания,

теория надежности и проч.

86.2. Случайные события. Операции над нимиОпределение 86.1. Явление, которое может произойти или не про-

изойти при осуществлении некоторого комплекса условий, называетсяслучайным событием. Случайные события будем обозначать большимилатинскими буквами: A,B,C,. . . Всякое осуществление комплекса условий,при которых изучается случайное событие, будем называть испытанием.

Пример 86.1. Испытание: бросание монеты.События:

• A — выпадение "орла",• B — выпадение "решки".

Пример 86.2. Испытание: бросание игральной кости (кубика с прону-мерованными от 1 до 6 гранями).События:

• C — выпадение числа 2,• D — выпадение четного числа,• E — выпадение нечетного числа,• F — выпадение числа, меньшего 10,• G — выпадение числа, большего 8.

232

Пример 86.3. Испытание: розыгрыш тиража лотереи.События:

• H — на данный билет выпал выигрыш,• K — данный билет без выигрыша.

Пример 86.4. Испытание: проверка работоспособности электрическойлампочки.События:

• L — лампочка работоспособная,• M — лампочка бракованная.

Пример 86.5. Испытание: вынимание шара из урны с возвращением.В урне (непрозрачный ящик) имеются шары пронумерованные или раз-

ных цветов, например — белые и черные. Случайным образом вынимаетсяшар, который после осмотра возвращается или не возращается в урну.События:

• N — вынутый шар белый,• Р — вынутый шар черный.

Определение 86.2. Событие называется достоверным (в дальнейшемU), если оно обязательно появится, и невозможным ( в дальнейшем V),если оно никогда не появится в результате испытания.

События A и B называются несовместными, если они не могут по-явиться в одном испытании. Если событий больше двух, они могут бытьпопарно несовместными, если любые два из них несовместны.

Противоположным событию А называется событие A, состоящее внепоявлении А.

В приведенных примерах событие F является достоверным, G — невоз-можным, события A и B несовместны, также, как H и K. Событие В явля-ется противоположным к А: B = A.

Очевидно, что события А и A несовместны.

Определение 86.3. Суммой двух событий A+B называется событие,состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий A · B называется событие, состоящее внаступлении каждого из этих событий.

Аналогично определяется сумма и произведение для случая, когда чис-ло слагаемых или сомножителей больше двух.

Пример 86.6. Испытание: из колоды случайным образом извлекаетсяодна карта.События:


• R — появление дамы,• S — появление карты пиковой масти.

Тогда событие R ·S — появление пиковой дамы, R+S — появление картыили пиковой масти, или любой дамы, в том числе — пиковой дамы:

Операции над событиями обладают следующими свойствами, выводи-мыми из определений:

A+ B = B + A, A · B = B · A,A+ (B + C) = (A+ B) + C = A+B + C,

A · (B · C) = (A · B) · C = A · B · C,A · (B + C) = A ·B +A · C,A+ U = U, A · U = A,

A+ V = A, A · V = V,

A+A = U, A · A = V,

A+ B = A · B, A · B = A+B.

Замечание 86.1. В соответствии с определением 86.2 события A иB несовместны ⇐⇒ A · B = V . Заметим также, что в группе попарнонесовместных событий одновременное наступление любых из этих собы-тий невозможно, т.е. они несовместны.

Определение 86.4. Несколько событий A1, A2, . . . , An составляютполную группу, если в результате испытания обязательно появится одноиз них:

n∑

i=1

Ai = U.

Очевидно, что события A и A несовместны и образуют полную группу.

86.3. Относительная частота и ее свойстваРассмотрим n одинаковых испытаний, в каждом из которых может по-

явиться некоторое событие A.

Определение 86.5. Пусть в n испытаниях событие A появилось mраз. Относительной частотой или просто частотой события A в даннойсерии испытаний называется отношение числа испытаний, в которыхсобытие A появилось, к общему числу испытаний:

(86.1) P ∗(A) =M

N.

234

Пример 86.7. Если игральная кость бросалась 10 раз (N = 10), ашестерка выпадала 3 раза (M = 3), то частота события A (появленияшестерки) равна 3/10.

Относительная частота P ∗(A) обладает следующими свойствами:

(1) 0 6 P ∗(A) 6 1,(2) P ∗(U) = 1 P ∗(V ) = 0,(3) Для несовместных событий A и B.

(86.2) P ∗(A+ B) = P ∗(A) + P ∗(B).

Выведем эти свойства.Свойства 1 и 2 получаются непосредственно из определения 86.5.Для доказательства свойства 3 обозначим M — число появлений собы-

тия A, L — число появлений события B, N — общее число проведенных

испытаний. Тогда: P ∗(A) =M

N, P ∗(B) =

L

N, P ∗(A+ B) =

M + L

N, если

события A и B несовместны. Отсюда следует свойство 3:

P ∗(A+ B) = P ∗(A) + P ∗(B).

Замечание 86.2. Свойство 3 иногда называют теоремой сложениячастот. В общем виде, для любых событий A и B относительная ча-стота суммы двух событий равна сумме их частот минус частота ихпроизведения:

(86.3) P ∗(A+ B) = P ∗(A) + P ∗(B)− P ∗(A · B).

Доказательство. Пусть событие A появилось в M , а событие B в L испыта-ниях из N , а одновременно события A и B (т.е. A·B) в K испытаниях. Очевидно:

P ∗(A+B) =M + L−K

N=M

N+L

N− K

N= P ∗(A) + P ∗(B) − P ∗(A ·B).

В некоторых случаях возникает необходимость рассматривать несколь-ко событий в их взаимосвязи, например, когда необходимо определить каквлияет появление или непоявление одного события на частоту другого. Вэтом случае, кроме частоты события A во всей серии испытаний, вычис-ляют также частоту события A, учитывая только те испытания, в кото-рых появилось другое интересующее нас событие B. Иными словами, пе-ред определением частоты события A учитывают только те испытания, вкоторых кроме A появилось и B. Эта характеристика называется условнойчастотой события A при условии появления B и обозначается P ∗(A/B)или P ∗

B(A).

Определение 86.6. Условной частотой события A при условии по-явления B P ∗(A/B) = P ∗

B(A) называется отношение числа испытаний, в


которых появились оба события A и B, к числу испытаний, в которыхпоявилось событие B.

Если в N испытаниях событие B появилось L раз, а событие A появи-лось совместно с событием B K раз, то

P ∗(A/B) =K

L,(86.4)

P ∗(B) =L

N,(86.5)

P ∗(AB) =K

N.(86.6)

Из формул (86.4) — (86.6) вытекает следующая теорема:

Теорема 86.1 (умножения частот). Относительная частота произ-ведения двух событий равна произведению условной частоты одного изних при условии появления другого на относительную частоту другогособытия:

(86.7) P ∗(AB) = P ∗(B) ∗ P ∗(A/B).

Если сомножителей больше двух, то:

(86.8)P ∗(A1 · A2 · · ·Ak) = P ∗(A1) · P ∗(A2/A1) · P ∗(A3/A1 ·A2) · · ·

· · ·P ∗(Ak/A1 · A2 · · ·Ak−1).

Сравнивая условные частоты P ∗(A/B) и P ∗(A/B), можно судить о вза-имосвязи событий A и B. Если

(86.9) P ∗(A/B) = P ∗(A/B) = P ∗(A) ,

то частота события A не зависит от того, произошло или не произошлособытие B. Это будет справедливо для так называемых “независимых со-бытий” A и B, для которых условные частоты (86.9) равны частоте P ∗(A),которую можно назвать безусловной.

Для независимых событий формула (86.7) примет вид

(86.10) P ∗(AB) = P ∗(A) · P ∗(B) ,

а вместо (86.8) имеем формулу:

(86.11) P ∗( k∏

i=1

Ai

)=

k∏

i=1

P ∗(Ai).

236

86.4. Статистическое определение вероятности

При небольшом числе испытаний частота может сильно колебаться иявляется поэтому плохой характеристикой случайного события. Однако помере увеличения числа испытаний частота постепенно стабилизируется, т.е.принимает значения, мало отличающиеся от некоторого вполне определен-ного числа. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связатьнекоторое число, около которого группируются частоты и которое являет-ся мерой объективной возможности появления данного события. Это числоназывается вероятностью события.

Определение 86.7. Вероятностью случайного события называетсяпредел его относительной частоты при неограниченном увеличении числаиспытаний, т.е.

(86.12) P (A) = limn→∞

P ∗(A).

Это определение вероятности называется статистическим.Свойство устойчивости частот, многократно проверенное эксперимен-

тально и подтверждающееся всем опытом практической деятельности лю-дей, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых вслучайных явлениях.

Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придатьэтому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем отно-сительная частота события при большом числе испытаний. Свойства так опре-деленной вероятности должны быть аналогичны приведенным в пункте 86.2свойствам относительной частоты. Численная оценка степени возможности со-бытия посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, чтоболее вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные.

Проверить такое предположение мы можем только для таких событий, веро-ятности которых можно вычислить другим путем (непосредственно).

Многочисленные опыты, производившиеся со времен возникновения теории

вероятности, подтверждают это предположение. Так, при большом n частота по-

явления, например, цифры 6 на верхней грани игральной кости, близка к 1/6, а

частота появления "орла"при бросании монеты близка к 1/2.

В следующей лекции будет дано другое определение вероятности слу-чайного события, позволяющее вычислять вероятность для большого клас-са задач. Естественно, что определенная другим способом вероятность бу-дет обладать такими же свойствами.

86 Практика — Алгебра событий 237

86. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Алгебрасобытий. Относительная частота

Пример 86.1. Событие A означает, что хотя бы один из шести про-веряемых двигателей неисправен, событие B - все двигатели исправны.Что означают события A+ B,AB?

Р е ш е н и е: Здесь событие A означает, что все двигатели исправны,т.е. A = B. Следовательно, A и B представляют собой противоположныесобытия, для которых A+B = U,AB = V .

Пример 86.2. Пусть событие A - при аварии сработал первый сигна-лизатор, событие B - сработал второй сигнализатор. Опишите события:

A+ B, AB, AB, AB, AB + AB, A+ B − AB.Р е ш е н и е: Сумма событий A + B означает, что при аварии срабо-

тал либо первый сигнализатор, либо - второй, либо - оба. Событие AB -сработали оба сигнализатора одновременно; AB означает, что первый сиг-нализатор сработал, а второй нет; AB - не сработали оба сигнализатора.AB + AB - сработал один сигнализатор, первый или второй. A+B −AB -сработал не более чем один сигнализатор.

Пример 86.3. Доказать, что : a) A+ B = AB, б) AB = A+ B.

Р е ш е н и е: a) Событие AB означает непоявление событий A и B.Противоположное событие AB состоит в том, что хотя бы одно из событийA или B имеет место, а это и есть сумма событий A + B; следовательноA · B = A+ B.

б) СобытиеAB состоит в совместном появлении событий A и B; событиеAB состоит в непоявлении хотя бы одного из этих событий A,B или впоявлении хотя бы одного из событий A, B, а это равносильно A+ B.

Пример 86.4. Событие A состоит в том, что хотя бы один из имею-щихся десяти цехов не выполняет план; событие B состоит в том, чтоцехов, не выполняющих план, среди них не менее двух. Описать события: а) A и B, б)A+B, в)AB, г)AB.

Р е ш е н и е: а) A - все цеха выполняют план, B - цехов, не выполня-ющих план, один или нет ни одного; б) так как B ⊆ A, то A + B = A; в)один цех не выполняет план; г) AB = V , т.к. события A и B несовместны.

Пример 86.5. Производится три выстрела по мишени. Событие A —попадание в мишень при первых двух выстрелах, событие B — промах притретьем выстреле. Что означают события: A+B, AB, AB, AB, AB?

238

Р е ш е н и е: Событие A + B — или произошло попадание при двухвыстрелах, или произошел промах при третьем выстреле, либо то и другое.AB — два первых выстрела попали в мишень, третий —нет. AB — произо-шло попадание при всех трех выстрелах. AB — при всех трех выстрелахпромах. AB — два первых выстрела промах, третий — попадание.

Пример 86.6. Из множества супружеских пар наудачу выбираетсяодна. Событие A — мужу больше 30 лет, событие B — муж стар-ше жены, событие C — жене больше 30 лет. Что означают события:ABC, AB, ABC?

Р е ш е н и е: ABC — оба супруга старше 30 лет, причем муж старшежены. AB — мужу больше 30 лет, но он не старше своей жены. ABC — обасупруга старше 30 лет, но муж не старше своей жены.

Пример 86.7. Пусть A,B,C - три произвольных события. Что озна-чают следующие события :

а) A+ B + C, б) AB +AC +BC, в) ABC, г) ABC,д) ABC, е) ABC, ж) ABC + ABC + ABC,з) ABC +ABC + ABC, и) A+ B + C −ABC ?

Р е ш е н и е: 1) Произошло по крайней мере одно из трех событий; 2)произошли по крайней мере два события из трех; 3) произошли все три со-бытия; 4) произошли A и B, а событие C не произошло; 5) произошло A, асобытия B и C не произошли; 6) ни одно событие не произошло; 7) произо-шло только одно событие; 8) произошли только два события; 9) произошлоне более двух событий.

Если рассматривать событие A как попадание в область A, событие Aкак непопадание в область A и ввести аналогичные обозначения для собы-тий B и C, то рассмотренные события можно представить, как попаданиев области, заштрихованные на рис.86.1

Пример 86.8. Доказать, что события A, AB,A+ B образуют полнуюгруппу попарно несовместных событий.

Р е ш е н и е: Учитывая, что A+ B = AB, будем рассматривать событияA, AB, AB. Их сумма

A+ AB + AB = A+ A(B + B) = A+ AU = A+ A = U,

а произведения

A · AB = (AA) ·B = V B = V, A · AB = (AA)B = V B = V,

AB · AB = (AA)(BB) = AV = V.

События с данными свойствами по определению образуют полную группупопарно несовместных событий.

86 Практика — Алгебра событий 239

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

B

C

A

B

C

A

B

CA

B

C

A

B

C

A

B

C A

B

C

A

B

C

A

B

C

A1)

4)

7)

2)

5)

8)

3)

6)

9)

Рис. 86.1

Пример 86.9. Резцом обточено 120 поршней. При проверке оказалось,что только 105 поршней имеют размеры, лежашие в пределах допуска.Найти относительную частоту изготовления годных поршней.

Р е ш е н и е: Согласно формуле (86.1), частота изготовления годногопоршня равна:

P ∗(A) =M

N=

105

120=

7

8.

Ответ: P ∗(A) = 7/8.

Пример 86.10. Брошены 100 раз две игральные кости. При этом совпа-дение числа очков было 15 раз, а шестерка на обеих гранях костей выпала4 раза. Определить условную частоту выпадения шестерок в случае сов-падения числа очков.

Р е ш е н и е: Обозначим: событие A - появление шестерок на обеихгранях, событие B - совпадение числа очков. Тогда событие A появилосьK = 4 раза, а событие B произошло L = 15 раз. Согласно формуле (86.4),условная частота появления двух шестерок равна:

P ∗(A/B) =K

L=

4

15.

Ответ: P ∗(A/B) = 4/15.

Пример 86.11. Из 300 произведенных изделий 20 обладают дефектомα, причем 5 из них имеют также дефект β. Найти относительную ча-стоту появления изделия с обоими дефектами.

240

Р е ш е н и е: Пусть событие A - появление дефекта β, а событие B -дефекта α. Тогда по формуле (86.7) относительная частота произведенияэтих двух событий определится как

P ∗(AB) =20

300· 5

20=

1

60.

Ответ: P ∗(AB) = 1/60.


Пример 86.12. В электрическую цепь последовательно подсоединеныдва выключателя. Каждый из них может быть как включен, так ивыключен. Рассмотрим события: A — включен первый выключатель, Bвключен второй выключатель, C — по цепи идет ток. Как эти три со-бытия связаны между собой? Найдите событие C.

Пример 86.13. В группе студентов несколько человек являются от-личниками; группа делится также по цвету волос на шатенов, брюнетови блондинов. Из группы наудачу отобраны два человека с разным цветомволос. Пусть событие A — выбран шатен, событие B — выбран брюнет,событие C — выбран отличник. Опишите события: AC, AB, ABC.

Пример 86.14. По аналогии с задачей 86.3 доказать, что

а) A1A2...An = A1 +A2 + ...+An,б) A1A2...An = A1 + A2 + ...An.

Пример 86.15. Доказать, что (A+ B)(A+ C) = A+ BC.

Пример 86.16. Событие A - первый узел автомобиля работает безот-казно, событие B - второй узел автомобиля работает безотказно. Опи-шите события: A и B, A+B, AB, AB, AB, AB+ AB; как и в задаче 1.8,сделайте рисунки.

Пример 86.17. Процент выполнения задания предприятием в течение10 дней соответственно равняется

107, 111, 109, 116, 115, 105, 112, 114, 121, 124.

Какова относительная частота дней, в которые задание было выполненоболее чем на 110 процентов?

87 Лекция — Классическое определение вероятности 241

87. ЛЕКЦИЯ — Классическое определениевероятности

Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.Понятие об аксиоматике теории вероятностей

87.1. Классическое определение вероятности.Наряду со статистическим определением вероятности 86.7, существу-

ет другое определение 87.2, называемое классическим, позволяющее легковычислять вероятности интересующих нас событий в ряде примеров.

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарнымисходом. Например, при бросании монеты возможны два элементарных ис-хода: выпадение "орла"и выпадение "решки"; при бросании игральной ко-сти возможны 6 элементарных исходов: выпадение числа 1, числа 2 и т.д.до 6; при однократном розыгрыше тиража лотереи элементарных исходовстолько, сколько билетов лотереи участвует в тираже.

Определение 87.1. Элементарные исходы, в которых интересующеенас событие наступает, назовем исходами, благоприятствующими это-му событию.

Так, при бросании игральной кости событию D: “выпало четное числоoчков” благоприятствуют 3 элементарных исхода — выпадение 2,4 или 6очков.

Таким образом, событие D наблюдается, если в испытании наступаетодин из элементарных исходов, благоприятствующих ему; в этом смыслесобытие D "подразделяется"на несколько элементарных событий, сами жеэлементарные события не подразделяются на другие события.

Будем рассматривать равновозможные элементарные события, образу-ющие полную группу попарно несовместных событий.

Определения последних двух терминов приведены в лекции 86, что жекасается равновозможности, то, как правило, это свойство элементарныхсобытий очевидно вытекает из их "равноправности". Так, например, еслиигральная кость симметричная, то выпадение любого числа очков от 1 до6 равновозможно.

Описанная схема носит название схемы случаев, а сами элементарныесобытия, обладающие перечисленными свойствами, называются случаями.Классическое определение верно только для схемы случаев, которая не при-менима, например, если число возможных исходов бесконечно.

242

Определение 87.2. Вероятностью события A называют отношениечисла благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всехисходов данного испытания:

(87.1) P (A) =m

n.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.Вероятность случайного события заключена между 0 и 1:

(87.2) 0 6 P (A) 6 1.

Действительно, для любого события 0 6 m 6 n, поэтому: 0 6 m/n 6 1Вероятность достоверного события равна единице:

(87.3) P (U) = 1.

Действительно, в случае достоверного события m = n и P (U) = n/n = 1.Вероятность невозможного события равна нулю:

(87.4) P (V ) = 0.

Действительно, в случае невозможного события m = 0 и P (V ) = 0/n = 0.

Замечание 87.1. Заметим, что обратные утверждения, вообще го-воря, не всегда справедливы. То есть события с нулевыми вероятностямине обязательно невозможны, а события с вероятностью, равной единице,не обязательно достоверны. Так, например, если производить стрельбу помишени, то при каждом выстреле пуля попадает в какую-то точку (раз-мер пули не учитывается). Поэтому событие A (попадание пули в даннуюточку) есть возможное событие. Однако число точек в мишени, в кото-рые может попасть пуля при выстреле, настолько велико, что частотапопадания в одну и ту же точку стремится к нулю. А это значит, чтовероятность P (A) = 0.

Следующее очень важное свойство называется: "Теорема сложения ве-роятностей для несовместных событий".

Теорема 87.1. Вероятность суммы двух несовместных событий рав-на сумме их вероятностей :

(87.5) P (A+ B) = P (A) + P (B), если A · B = V.

Действительно, обозначим m — число исходов, благоприятствующих событиюA, l — число исходов, благоприятствующих событию , n — общее число исходовданного испытания. Тогда:

P (A) =m

n, P (B) =

l

n, P (A+B) =

m+ l

n,


если события несовместны. Отсюда следует равенство (87.5):

P (A+ B) = P (A) + P (B).

Непосредственным следствием этой теоремы является следующая тео-рема:

Теорема 87.2. Вероятность противоположного к A события равнаединице минус вероятность события A:

(87.6) P (A) = 1− P (A).

Действительно, событие A и A несовместны, а их сумма есть достовер-ное событие: A · A = V, A+ A = U . Поэтому:

1 = P (A+A) = P (A) + P (A) =⇒ P (A) = 1− P (A).

С помощью классического определения вероятности можно вычислитьвероятности в тех задачах, где применима схема случаев.

Пример 87.1. Найти вероятность того, что при бросании игральнойкости выпадает четное число очков.

Р е ш е н и е: В соответствии с классическим определением вероятностиP (A) =

m

n. В данном примере общее число возможных исходов n = 6,

количество исходов, благоприятствующих наступлению события A, m = 3(это выпадение 2, 4 и 6 очков). Окончательно

P (A) =3

6=

1

2.

Ответ: P (A) =1

2.

Пример 87.2. Шифрзамок состоит из 3-х колесиков по 10 цифр накаждом. Найти вероятность открыть замок с первой попытки при слу-чайном наборе шифра.

Р е ш е н и е: Общее число возможных комбинаций из 3-х цифр n = 103

— все числа от 000 до 999. Благоприятствующих исходов — один, m = 1.

Ответ : P (A) =1

103= 0, 001.

Пример 87.3. Найти вероятность того, что при случайном выборекарты из колоды в 36 карт появится дама.

Р е ш е н и е: Общее число возможных исходов n = 36, благоприятству-ющих исходов — четыре: m = 4.

P (A) =4

36=

1

9.

244


9.

Для решения более сложных задач познакомимся с некоторыми элемен-тами комбинаторики.

87.2. Элементы комбинаторикиОпределение 87.3. Факториалом натурального числа n называется

произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 · 2 · . . . · n (n!читается "эн факториал"). Факториал нуля считается равным единице:0! = 1.

Определение 87.4. Перестановками называются различные способыупорядочивания n различных предметов (пронумерованных карточек) приих расположении слева направо.

Можно доказать, что число перестановок

(87.7) Pn = n!.

Действительно, первый из этих n предметов можно расположить на любом из

n мест (n возможных способов расположения), для второго остается n−1 свобод-

ное место. Каждый способ расположения первого предмета может сочетаться с

одним из способов расположения второго, значит эти два предмета можно распо-

ложить n(n−1) способами. Повторяя это рассуждение, получим формулу (87.7).

Пример 87.4. Найти вероятность того, что при случайном раскладекарточек с буквами Р И М получится слово "МИР".

Р е ш е н и е: Общее число возможных исходов n = 3! = 6, число бла-гоприятных исходов m = 1. В соответствии с классическим определением

вероятности P (A) =m

n=

1

6.


6.

Пример 87.5. Найти вероятность того, что при случайном раскладекарточек с буквами А А П П получится слово "ПАПА".

Р е ш е н и е: Поскольку, в отличие от примера 87.4, здесь имеютсякарточки с одинаковыми буквами, пронумеруем их: А1 А2 П1 П2 . Об-щее число возможных исходов n = 4! = 24, благоприятными будут исходы,в которых буква А стоит на 2-м и 4-м местах (таких исходов 2! = 2), абуква П стоит на 1-м и 3-м местах (таких исходов тоже 2! = 2). Каждыйспособ расположения букв А может сочетаться с любым способом распо-ложения букв П (перечислите их самостоятельно). Таким образом, число


благоприятных исходов m = 2! · 2! = 4. Окончательно:

P (A) =4

24=

1

6.


6.

Определение 87.5. Размещениями из n по m называются различныеспособы выбора m предметов из n, отличающиеся самими предметамиили порядком их расположения в выборке.

Можно доказать, что число размещений из n по m, обозначаемое Amn ,

определяется по формуле:

(87.8) Amn = n(n− 1) · . . . · (n−m+ 1) =

n!

(n−m)!.

Доказательство проведем для A3n. Первый из n предметов можно разместить

на любом из n мест, т.е. n способами, для второго остается (n−1) способ размеще-ния и, поскольку каждый способ размещения первого предмета может сочетатьсяс любым способом размещения второго, первые два предмета можно разместитьn(n − 1) способами. Для третьего предмета остается (n-2) места, поэтому всего3 предмета можно разместить n(n − 1)(n − 2) способами: A3

n = n(n − 1)(n − 2).Несложными преобразованиями доказывается и вторая из формул (87.8):

n!

(n− 3)!=n(n − 1)(n− 2)(n− 3) · . . . · 1

(n − 3) · . . . · 1 = n(n − 1)(n− 2).

endsmallРазмещения обладают следующими свойствами:

Ann = n! = Pn, A0

n = 1, A1n = n.

Действительно, число способов размещения n различных предметов наn местах (An

n) равно числу различных способов их упорядочивания, т.е.равно числу перестановок (Pn). 0 предметов можно разместить на n местахединственным способом ("ничего не размещать"), а 1 предмет — n спосо-бами (или на 1-м месте, или на 2-м и т.д.). Указанные свойства вытекаюттакже из формулы (87.8).

Пример 87.6. На карточках написаны буквы: А Б Д Е О П Най-

ти вероятность того, что при случайном выборе 4-х из этих карточеки расположении слева направо получится слово: "ОБЕД".

Р е ш е н и е: Общее число возможных исходов n = A46 = 6 ·5 ·4 ·3 = 360,

т.к. порядок букв в слове наряду с их количеством определяет его смысл.

Число благоприятных исходов m = 1. Окончательно P (A) =1

360.

246


360.

Определение 87.6. Сочетаниями из n по m называются различныеспособы выбора m предметов из n, отличающиеся самими предметами.

Можно доказать, что число сочетаний из n по m определяется по фор-муле:

(87.9) Cmn =

n!

m!(n−m)!.

Действительно, число размещений из n по m (Amn ) в m! раз больше чис-

ла сочетаний Cmn , т.к. в сочетаниях не учитываются различные перестановки m

предметов на занимаемых ими местах (порядок расположения предметов длясочетаний несущественен):

Amn = Cm

n ·m! =⇒ Cmn =

Amn

m!=

n!

m!(n−m)!.

Сочетания обладают следующими свойствами:

(1) Cmn = Cn−m

n ,(2) C0

n = Cnn = 1, C1

n = Cn−1n = n,

(3)n∑

i=0

C in = 2n.

Первое и второе свойства непосредственно вытекают из формулы 87.9 илиопределения 87.6 (сделайте это самостоятельно).

Для доказательства третьего свойства напомним формулу бинома Ньютона:

(87.10) (a+ b)n =n∑

i=0

Cina

ibn−i.

Полагая a = b = 1, получаем свойство 3.

Пример 87.7. Найти вероятность того, что при случайном выборе 5шаров из урны, содержащей 10 шаров, из которых 3 белых и 7 красных,среди выбранных окажется 2 белых и 3 красных.

Р е ш е н и е: Запишем условия кратко:

10ш = 3б + 7кр,5ш = 2б +3кр .

Будем предполагать, что шары в урне пронумерованы от 1 до 10, причемшары с 1 по 3 — белые, а с 4 по 10 — красные. Общее число возможныхисходов n равно числу способов, которыми из 10 шаров можно выбрать 5:

n = C510 =

10!

5! · (10− 5)!=

10!

5! · 5!= 252.


Число благоприятствующих исходов m равно числу способов, которымииз 3 белых шаров можно выбрать 2 белых, а из 7 красных шаров можновыбрать 3 красных. Так как каждый способ выбора белых шаров можетсочетаться с любым способом выбора красных, получаем:

m = C23 · C3

7 =3!

2! · 1!· 7!

3! · 4!= 105.

Окончательно: P (A) =m

n=C2

3 · C37

C510

=105

252≈ 0, 4 .

Ответ: P (A) ≈ 0, 4 .

Замечание 87.2. Аналогично получается общая формула так называ-емого гипергеометрического распределения:

K = L + (K − L),

k = l + (k − l),

P (A) =C l

L · Ck−lK−L

CkK

.(87.11)

87.3. Понятие об аксиоматике теориивероятностей

Как отмечалось в начале п. 87.1, классическое определение вероятности при-менимо только для схемы случаев, что не позволяет использовать его, например,для нахождения вероятности попадания в определенную область плоскости. Так,например, если площадь центральной области мишени составляет 10% от пло-щади всей мишени и промахнуться мимо мишени невозможно, то очевидно, чтовероятность попасть в центральную область равна отношению ее площади к пло-щади всей мишени, т.е. 0,1. Однако свести эту задачу к подсчету равновозможныхэлементарных событий, образующих полную группу, не удается. В первой поло-вине XX в. нашим соотечественником А. Н. Колмогоровым было предложенострогое аксиоматическое построение теории вероятностей. Теория вероятностейстроится на основании ряда аксиом, некоторые из которых приведены ниже.

(1) Вводится понятие случайных событий и операций над ними, включаясумму бесконечного числа случайных событий.

(2) P (A) > 0.(3) Для достоверного события U P (U) = 1.(4) Для попарно несовместных событий A1, . . . , An, . . ., вероятность суммы

(конечной или бесконечной) равна сумме вероятностей:

p

(∑

i

Ai

)=∑

i

p(Ai).

(5) Вводится понятие "условной вероятности", которое в нашем курсе будетвведено в следующей лекции.

248

Из этих аксиом выводятся уже известные нам свойства:

0 6 p(A) 6 1, p(A) = 1− p(A)

и все остальные теоремы теории вероятностей.Для схемы случаев вычисление вероятности сводится к уже известному опре-

делению 87.3. Однако такое построение позволило получить строгий математи-ческий подход и решать любые задачи, относящиеся к сфере действия теориивероятностей.

Замечание 87.3. Попытки решения некоторых задач неприменимыми кним методами теории вероятностей привели в конце XVIII века к дискредита-ции среди ученых методов теории вероятностей. Так, например, вычисляласьвероятность того, что завтра взойдет солнце при условии, что оно ежедневновсходило на протяжении последних 2000 лет. Методы теории вероятностейпозволяют это сделать и в результате получается число очень близкое, новсе же меньшее единицы. На основании этого делается вывод о том, что су-ществует вероятность того, что солнце может не взойти. Ошибка данногорассуждения состоит в том, что вращение Земли и связанное с ним видимоедвижение солнца по небосводу подчиняется законам механики, а не теории ве-роятностей.

87. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Вычисление вероятностей

Решение задач непосредственно по формуле (87.1) часто сводится копределению отдельно числителя и знаменателя.

Пример 87.1. В партии из 80 деталей 11 нестандартных. Взятые дляконтроля 5 деталей оказались стандартными. Определить вероятноститого, что взятая затем деталь будет: а) стандартной, б) нестандарт-ной.

Р е ш е н и е: Здесь после первой проверки остались 64 стандартных и 11нестандартных деталей. Число всех деталей перед второй проверкой n = 75.а) Число благоприятствующих исходов - появлений стандартной детали(событие A) m = 64. Тогда P (A) = 64/75. б) Число благоприятствующихисходов для этого случая - число появлений нестандартной детали (событиеB) m = 11 и P (B) = 11/75.

Пример 87.2. Бросаются три игральные кости. Найти вероятноститого, что: а) сумма очков на выпавших гранях равна 4, б) на всех граняхвыпадает одинаковое число очков, в) на всех гранях выпадает различноечисло очков.

Р е ш е н и е: Игральная кость представляет собой куб, на гранях ко-торого нанесены 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Каждый из исходов бросания одной

87 Практика — Вычисление вероятностей 249

кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй и третьей,поэтому общее число возможных исходов испытания n = 63. a) Здесь бла-гоприятствующих событию A - появлению на трех костях суммы очков,равной 4, будет m = 3 исхода: 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1. Тогда

P (A) = 3/63 = 1/72.

б) В этом случае число благоприятствующих исходов будет равно числуграней, т.е. 6. Следовательно,

P (B) = 6/63 = 1/36.

в) Число исходов, когда на трех гранях выпадает различное число очков,равно числу размещений A3

6 = 4 · 5 · 6 и

P (C) = 4 · 5 · 6/63 = 5/9.

Ответ: P (A) = 1/72; P (B) = 1/36; P (C) = 5/9.

Пример 87.3. В коробке имеются десять букв: А, А, А, В, И, К, М, О,Т, Т. Найти вероятность того, что если наудачу вынимать одну буквуза другой, то можно сложить слово АВТОМАТИКА.

Р е ш е н и е: Число всех исходов равно всевозможным перестановкамиз 10 букв, т.е. 10! В числителе формулы для вероятности мы должныучесть, что букву А можно расположить на трех местах 3! способами, абукву Т 2! способами. Сочетая каждое расположение букв А с каждымрасположением букв Т, найдем:

P (A) = 3! · 2!/10! = 1/302400.

Ответ: P (A) = 1/302400.

Пример 87.4. В цехе из 80 рабочих не выполняют норму выработки 5человек. По списку случайно отбирается 3 человека. Какова вероятностьтого, что эти рабочие: а) выполняют норму, б) не выполняют норму?

Р е ш е н и е: Количество всех возможных исходов равно числу спосо-бов, которыми можно отобрать 3 человека из 80, т.е. числу сочетаний C3

80.а) Благоприятствующими будут те исходы, когда 3 человека отбираютсятолько из тех рабочих, которые выполняют норму, т.е. из 80-5=75 рабочих;их число равно C3

75. Вероятность данного события A

P (A) =C3

75

C380

=75!

3!72!· 3!77!

80!=

73 · 74 · 75

78 · 79 · 80≈ 0, 822.

б) Здесь вычислим вероятность того, что трое рабочих выбираются имен-но из тех пяти, которые не выполняют норму (событие B). Число таких

250

случаев равно C35 ; тогда

P (B) =C3

5

C380

=3 · 4 · 5

78 · 79 · 80=

1

5056.

Ответ: P (A) ≈ 0, 82;P (A) = 1/5056.

Пример 87.5. В партии из N = 100 изделий имеются M = 12 бра-кованных. Из партии наудачу выбираются n = 10 изделий. Определитьвероятность того, что среди этих 10 изделий будет ровно m = 2 брако-ванных.

Р е ш е н и е: Всех равновозможных случаев здесь будет C10100. Обозна-

чим через A событие - появление 2 бракованных изделий среди выбранныхнаудачу 10 изделий. Так как всех бракованных изделий 12, то число спосо-бов, которыми можно вынуть 2 бракованных изделия, равно C2

12. Но каж-дый из этих способов может дополняться любой группой изделий из числаспособов, которыми можно вынуть оставшиеся 10-2 годных из общего чис-ла годных 100-12 изделий. Число таких групп равно C10−2

100−12 = C888. Таким

образом, всех случаев, благоприятствующих событию A, будет C212 · C8

88 ивероятность

P (A) =C2

12 · C888

C10100

≈ 0, 245.

Здесь была использована формула гипергеометрического распределения(87.11).

Ответ: P (A) ≈ 0, 25.

Пример 87.6. Телефонный номер состоит из семи цифр. Найти веро-ятность того, что все цифры различны.

Р е ш е н и е: Будем считать, что числа изменяются от 0 до 9. Тогдаколичество всех номеров будет 107, а число номеров с различными цифрамиравно числу размещений A7

10 = 10!/3!. Следовательно,

P (A) = 10!/(3! · 107) = 189/55 ≈ 0, 061.

Ответ: P (A) ≈ 0, 06.

Пример 87.7. В автобусе находятся 5 пассажиров, причем каждыйиз них с одинаковой вероятностью выходит на любой из оставшихся 7остановок автобуса. Найти вероятность того, что: а) все пассажирывыйдут на одной остановке, б) все выйдут на четвертой остановке, в)все выйдут на разных остановках, г) на одной остановке выйдут три, ана другой два.

87 Практика — Вычисление вероятностей 251

Р е ш е н и е: Общее число случаев n = 75.а) Здесь m = 7, т.е. числу всех остановок; тогда P (A) = 1/74; б)

m = 1, P (B) = 1/75; в) m = C57 = 21, P (C) = 21/75 = 3/74; г) чис-

ло способов, которыми можно выбрать одну остановку, на которой сойдуттри пассажира, равно C1

7 = 7; кроме того, мы должны учесть C35 способов,

которыми можно выбрать этих трех пассажиров из пяти; число способов,которыми можно выбрать остановку, где сойдут оставшиеся два пассажира,равно C1

6 = 6; таким образом,

m = C35 · C1

7 · C16 и P (D) = 60/74.

Ответ: P (A) = 1/74; P (A) = 1/75; P (A) = 3/74; P (A) = 60/74.

Пример 87.8. Из шести карточек с буквами А, В, Д, З, К, О выби-раются наудачу в определенном порядке пять. Найти вероятность того,что при этом получится слово ЗАВОД.

Р е ш е н и е: Заметим, что здесь, в отличие от примера 87.3, произво-дится выборка пяти букв из шести и в нужной последовательности. Тогдавероятность

P (A) = 1/A56 = 1/720.

Ответ: P (A) = 1/720.

Пример 87.9. Восемь студентов садятся в аудитории случайно наодин ряд. Найти вероятность того, что три определенных студента ока-жутся рядом.

Р е ш е н и е: Всех комбинаций здесь будет n = 8!. Трех определенныхстудентов можно посадить подряд шестью способами (начиная с 1-го места,со 2-го и т.д., с 6-го), причем нужно учесть, что внутри тройки 3! комбина-ций; пятерых оставшихся студентов можно разместить 5! способами. Такимобразом,

m = 6 · 3! · 5! и P (A) = 6 · 3! · 5!/8! =3

28.

Ответ: P (A) = 338

.


Пример 87.10. В ящике “Спортлото” находится 36 шаров, помечен-ных номерами от 1 до 36. Какова вероятность того, что вынутый шарокажется с номером, кратным 3?

Пример 87.11. Найдите вероятность того, что взятое наудачу дву-значное число кратно 5.

252

Пример 87.12. Буквы, составляющие слово РАКЕТА, написаны по од-ной на шести карточках; карточки перемешаны и положены в пакет.а) Чему равна вероятность того, что, вынимая четыре буквы, получимслово РЕКА? б) Какова вероятность сложить слово КАРЕТА при выни-мании всех букв?

Пример 87.13. В цех сборки привезли 25 карбюраторов, из которых 20изготовлены Московским заводом. Найти вероятность того, что среди10 взятых наудачу карбюраторов окажутся: а) все карбюраторы Москов-ского завода, б) 7 карбюраторов Московского завода.

Пример 87.14. Из 36 номеров лотереи 5 выигрышных. Зачеркиваетсяв одном билете наудачу 5 номеров. a) Какова вероятность того, что 3из них будут выигрышными? b) Какова вероятность того, что 4 из нихбудут выигрышными? c) Какова вероятность того, что 5 из них будутвыигрышными?

Пример 87.15. Полная колода содержит 52 карты, разделяющиеся на4 различные масти по 13 карт в каждой. Взяли 5 карт. Найти вероят-ность того, что среди этих карт будет шестерка трефовой масти.

Пример 87.16. Бригада, состоящая из 20 мужщин и 4 женщин делит-ся наудачу на два равных звена. Найти вероятность того, что в каждомзвене окажется по две женщины.

Пример 87.17. Четыре пассажира случайным образом рассаживаютсяпо шести вагонам. Определить вероятность того, что в первых четырехвагонах окажется по одному пассажиру.

Пример 87.18. Группа, состоящая из 8 человек, занимает место закруглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что приэтом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

Пример 87.19. В студенческой лотерее выпущено 100 билетов, из ко-торых 15 выигрышных. Куплено три билета. Какова вероятность того,что один из них выигрышный?

Пример 87.20. Из колоды в 52 карты наудачу выбирается четыре.Найти вероятность того, что среди них окажется одна десятка.

Пример 87.21. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимают3 шара. Найти вероятность того, что все они будут черными.

Пример 87.22. Десять книг на одной полке расставлены наудачу.Определить вероятность того, что при этом три определенные книгиокажутся поставленными рядом.

88 Лекция — Основные теоремы теории вероятностей 253

Пример 87.23. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают три карты.Какова вероятность того, что среди них окажется две дамы?

Пример 87.24. В конверте среди 80 фотокарточек находится одна ра-зыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 20 карточек. Найти веро-ятность того, что среди них окажется нужная.

Пример 87.25. Полная колода карт (52 листа) делится пополам. Най-ти вероятность того, что число черных и красных карт в обеих пачкахбудет одинаковым.

Пример 87.26. В лифте имеются 5 пассажиров, которые случайнымобразом сходят на семи этажах. Определить вероятность того, что напервых пяти этажах сойдет ровно по одному пассажиру.

88. ЛЕКЦИЯ — Основные теоремы теориивероятностей

Теорема сложения вероятностей. Теорема произведения вероятно-стей. Формулы полной вероятности и Бейеса

88.1. Теорема сложения вероятностейКак было доказано в пункте 87.1 (теорема 87.1) вероятность суммы

двух несовместных событий равна сумме их вероятностей (формула 87.5).Из этой теоремы следует очевидное следствие:

Следствие 88.1. Вероятность суммы n попарно несовместных собы-тий равна сумме их вероятностей:

(88.1) P (A1 + . . .+An) = P (A1) + . . .+ P (An), если AiAj = V при i 6= j.

В общем случае верна следующая теорема:

Теорема 88.1 (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммыдвух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их про-изведения:

(88.2) P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB).

Доказательство. Обозначим n — общее число возможных элементар-ных исходов, m1 — число исходов, благоприятствующих событию А, m2

— число исходов, благоприятствующих событию В, m — число исходов,благоприятствующих одновременному наступлению событий А и В (см.рис. 88.1).

254

m

m

m

A

B

1

2

Рис. 88.1

Как видно из рис. 88.1, количество исходов, благоприятствующих собы-тию A+B, равно m1 +m2 −m.

Следовательно:

P (A+ B) =m1 +m2 −m

n=m1

n+m2

n− m

n= P (A) + P (B)− P (AB).

Пример 88.1. Найти вероятность появления карты пиковой мастиили туза при однократном вынимании карты из колоды в 36 карт.

Р е ш е н и е: Обозначим A — появление карты пиковой масти, B —появление туза и найдем вероятность P (A+ B) . Очевидно:

P (A) =1

4, P (B) =

1

9, P (A ·B) =

1

36.

В соответствии с формулой (88.2), получаем:

P (A+B) =1

4+

1

9− 1

36=

1

3.

88.2. Теорема произведения вероятностейОпределение 88.1. Условной вероятностью P (A/B) = PB(A) назы-

вают вероятность события A, вычисленную в предположении того, чтособытие B уже наступило.

Пример 88.2. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вы-нимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятностьпоявления белого шара при втором испытании (событие A) при условии,что в первом испытании появился черный шар (событие В).

Р е ш е н и е: После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них3 белых. Искомая вероятность равна:

P (A/B) = 3/5.

Отметим, что безусловная вероятность события A меньше условной:

P (A) =3

6,


т.к. в последнем случае отсутствует информация относительно исхода пер-вого испытания.

Теорема 88.2 (Теорема произведения вероятностей). Вероятностьпроизведения двух событий равна произведению вероятности одного изних на условную вероятность другого, вычисленную в предположении,что первое событие уже наступило:

(88.3) P (AB) = P (A) · P (B/A).

Доказательство. Обозначим n — общее количество возможных элемен-тарных исходов, m1 — число исходов, благоприятствующих событию A, m— число исходов из числа m1, благоприятствующих событию B (рис. 88.1).

Очевидно: P (A) = m1/n, P (A · B) = m/n, P (B/A) = m/m1.Таким образом:

P (AB) =m

n=m1

n· mm1

= P (A) · P (B/A).

Следствие 88.2. Вероятность совместного появлениянескольких событий равна произведению вероятностей одного из них наусловные вероятности всех остальных:

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) . . .

. . . P (An/A1A2 . . . An−1).

Определение 88.2. Событие B называют независимым от событияA, если появление события A не изменяет вероятность события B:

(88.4) P (B/A) = P (B).

Легко показать, что свойство независимости событий взаимно. Действи-тельно, в соответствии с (88.3) и с учетом формулы (88.4): P (A · B) == P (A) · P (B/A) = P (A) · P (B). С другой стороны, P (A · B) = P (B ·A) == P (B) · P (A/B), откуда, P (A) · P (B) = P (B) · P (A/B) и P (A/B) = P (A),т.е. в этом случае событие A независимо от события B и их называют неза-висимыми.

Для независимых событий, с учетом определения 88.2, теорема произ-ведения вероятностей 88.3 принимает следующий вид.

Теорема 88.3. Вероятность произведения двух независимых событийравна произведению их вероятностей.

(88.5) P (A · B) = P (A) · P (B).

Определение 88.3. Несколько событий называют независимыми в со-вокупности, если каждое событие независимо со всеми возможными про-изведениями остальных.

256

Отметим, что если каждые два события в группе независимы, это ещене означает их независимости в совокупности. В этом смысле требованиенезависимости в совокупности сильнее требования попарной независимо-сти.

С учетом следствия 88.2 получаем следующее утверждение:

Следствие 88.3. Вероятность совместного появлениянескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению ве-роятностей:

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2) . . . P (An).

Теорема 88.4. Вероятность появления хотя бы одного из событийA1, A2, . . . , An, независимых в совокупности, равна разности единицы ипроизведения вероятностей противоположных событий A1, A2, . . . , An :

P (A) = 1− P (A1)P (A2) . . . P (An).

Доказательство. Обозначим A — противоположное к A событиe, со-стоящее в ненаступлении ни одного из событий A1, A2, . . . , An:

A = A1A2 . . . An.

В силу независимости событий A1, A2, . . . , An, события A = A1A2 . . . An

будут так же независимы в совокупности и

P (A) = P (A1)P (A2) . . . P (An), откуда

P (A) = 1− P (A) = 1− P (A1)P (A2) . . . P (An).

Следствие 88.4. Если события A1, A2, . . . , An независимы в совокуп-ности и имеют одинаковую вероятность появления p, то вероятностьпоявления хотя бы одного из этих событий (событие A) равна:

(88.6) P (A) = 1− (1− p)n.

Пример 88.3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелокпопадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стре-лок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы одинраз.

Р е ш е н и е: Обозначим A — событиe: “при n выстрелах стрелок попа-дает в цель хотя бы один раз”. В силу независимости отдельных попаданийприменима формула (88.6):

P (A) = 1− (1− 0, 4)n.

Приняв во внимание условие P (A) > 0, 9, получаем неравенство:1− 0, 6n > 0, 9, откуда: n lg 0, 6 6 lg 0, 1 и, т.к. lg 0, 6 < 0, получаем:n > lg 0, 1/ lg 0, 6. Поскольку lg 0, 1/ lg 0, 6 ≈ 4, 5 получаем: n > 5.


88.3. Формулы полной вероятности и БейесаТеорема 88.5 (Формулa полной вероятности). Вероятность события

A, которое может наступить только вместе с одним из попарно несов-местных событий H1, H2 . . . Hn, равна сумме произведений вероятностейкаждого из этих событий на соответствующую условную вероятностьсобытия A:

(88.7) P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) + P (Hn)P (A/Hn).

Доказательство. По условию, появление события A означает осуще-ствление одного из попарно несовместных событий: H1A, H2A, . . . , HnA.Пользуясь следствием 88.1 из теоремы сложения и теоремой произведениявероятностей, получаем:

P (A) = P (H1A+ · · ·+HnA) = P (H1A) + · · ·+ P (HnA) =

= P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) + · · ·+ P (Hn)P (A/Hn).

Пример 88.4. Пять экзаменаторов принимают экзамен. Известно,что вероятность сдать экзамен двум из них ("строгим") равна 0,6, атрем остальным ("нестрогим") 0,8 . Найти вероятность сдать экзаменпроизвольному экзаменатору.

Р е ш е н и е: Обозначим A — событие "экзамен сдан". Экзамен мо-жет быть сдан либо "строгому"экзаменатору (событие H1), либо "нестро-гому"(событие H2):

P (H1) = 2/5 = 0, 4; P (H2) = 3/5 = 0, 6.

Условные вероятности сдать экзамен:

P (A/H1) = 0, 6; P (A/H2) = 0, 8.

Искомая вероятность определяется по формуле полной вероятности:

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) = 0, 72.

Теорема 88.6 (Формулa Бейеса). В условиях формулы полной вероят-ности для i = 1, . . . , n:

(88.8) P (Hi/A) =P (Hi)P (A/Hi)

P (H1)P (A/H1) + · · ·+ P (Hn)P (A/Hn).

Доказательство. По теореме произведения вероятностей:

P (Hi · A) = P (A)P (Hi/A) = P (Hi)P (A/Hi),

258

откуда с использованием формулы полной вероятностей для P (A) получа-ем:

P (Hi/A) =P (Hi)P (A/Hi)

P (A)=

P (Hi)P (A/Hi)n∑

k=1

P (Hk)P (A/Hk).

Формула Бейеса позволяет пересчитывать вероятности гипотез послетого, как становится известным результат испытания, в итоге которого про-изошло событие .

Пример 88.5. В условиях примера 88.4 известно, что студент сдалэкзамен. Найти вероятность того, что он сдавал "нестрогому"экзаменатору.

Р е ш е н и е: По формуле Бейеса:

P (H2/A) =P (H2) · P (A/H2)

P (H1) · P (A/H1) + P (H2) · P (A/H2)=

0, 6 · 0, 80, 4 · 0, 6 + 0, 6 · 0, 8 =

2

3.

Заметим, что получившаяся вероятность несколько больше "априор-ной"вероятности P (H2) = 3/5, т.к. осуществившееся событие (“экзаменсдан”) говорит скорее в пользу гипотезы H2, чем H1.

88. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Теоремысложения и умножения вероятностей

Пример 88.1. В экскурсионную группу включены 16 рабочих, 6 техни-ков и 8 инженеров. По списку случайно вызывается один человек. Опре-делить вероятность того, что это техник или инженер.

Р е ш е н и е: Обозначим: событие A - “вызван техник”, событие B - “вы-зван инженер”, причем эти события несовместные. Вся группа составляет30 человек. Тогда по теореме сложения вероятностей

P (A+B) = P (A) + P (B) =6

30+

8

30=

7

15.

Ответ: P (A+ B) = 7/15.

Пример 88.2. При приемке партии из 40 болтов, среди которых 3 бра-кованных, проверяются наудачу 20 болтов. Определить вероятность то-го, что партия будет принята, если условиями приема допускается бра-кованных болтов не более одного из двадцати.

Р е ш е н и е: Обозначим через A событие - “при проверке не обнару-жено ни одного бракованного болта”, а через B событие - “обнаружен одинбракованный болт”. Искомая вероятность P = P (A+B); так как события Aи B несовместны, то P = P (A)+P (B). Из 40 болтов 20 можно выбрать C20

40

88 Практика — Теоремы сложения и умножения 259

способами, а из 37 небракованных болтов 20 можно выбрать C2037 способами,

поэтомуP (A) = C20

37/C2040 .

С другой стороны,P (B) = C1

3 · C1937/C

2040 .

Таким образом,

P =1

C2040

(C2037 + C1

3 · C1937 ) = 0, 5.

Ответ: P (A) = 0, 5.

Пример 88.3. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобыпоявление трех очков имело вероятность, большую 0,75?

Р е ш е н и е: Вероятность того, что на любой грани появится числоочков, не равное трем, будет равна при одном бросании 5/6, а при n броса-ниях −(5/6)n. Вероятность появления трех очков равна 1 − (5/6)n. Такимобразом, необходимо, чтобы 1− (5/6)n > 0, 75. Отсюда (5/6)n < 0, 25,

n ln5

6< ln

1

4, n >

ln 4

ln 1, 2≈ 7, 6.

Следовательно, n > 8.Ответ: n > 8.

Пример 88.4. В коробке 11 зеленых, 5 синих и 9 красных карандашей.Из коробки наудачу берут три карандаша. Какова вероятность того, чтовсе они будут зелеными? Рассмотреть случаи, когда карандаши: а) воз-вращаются в коробку, б) не возвращаются в коробку.

Р е ш е н и е: Всего в коробке находится 25 карандашей. а) В этомслучае каждый из трех опытов будет независимым. По теореме умножения

P (A1A2A3) = P (A1) · P (A2) · P (A3)

найдем вероятность появления трех зеленых карандашей:

P1 = (11/25)3 ≈ 0, 085.

б) Вероятность того, что первый вынутый карандаш будет зеленым, равна11/25; для следующих двух карандашей она соответственно будет равна10/24 и 9/23. По теореме умножения вероятностей для трех зависимыхсобытий

P (A1A2A3) = P (A1) · P (A2/A1) · P (A3/A1A2)

вероятность появления трех зеленых карандашей

P2 =11

25· 10

24· 9

23≈ 0, 072.

260

Ответ: P1 ≈ 0, 09; P2 ≈ 0, 07.

Пример 88.5. Деталь последовательно изготовляется тремя авто-матами. Первый автомат допускает брак с вероятностью 0,05, второй- 0,03, третий - 0,02. Найти вероятности получения: а) годной детали,б) бракованной детали.

Р е ш е н и е: Вероятности получения бракованной детали соответ-ственно равны: p1 = 0, 05; p2 = 0, 03; p3 = 0, 02, а вероятности противопо-ложного события, т.е. получения годной детали, будут равны qi = 1 − pi

или q1 = 0, 95; q2 = 0, 97; q3 = 0, 98.а) Здесь P1 = q1q2q3 = 0, 95 · 0, 97 · 0, 98 = 0, 903.б) Деталь будет бракованной, если хотя бы один автомат допускает

брак. Тогда P2 = 1 − q1q2q3 = 0, 097. Заметим, что пример также можнорешить другим способом, если использовать формулу

P (A+B+C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (AB)−P (AC)−P (BC)+P (ABC)

для трех совместных событий A,B,C.Тогда вероятность получения бракованной детали

P = p1 + p2 + p3 − p1p2 − p1p3 − p2p3 + p1p2p3 = 0, 097.

Ответ: P1 ≈ 0, 90; P2 ≈ 0, 10.

Пример 88.6. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются четырекарты. а) Найти вероятность того, что все они будут разных мастей;б) решить ту же задачу, когда каждая карта после вынимания возвраща-ется в колоду; в) найти вероятность того, что среди вынутых четырехкарт будет хотя бы одна пиковая и одна бубновая.

Р е ш е н и е:

а) P (A) = 1 · 39

51· 26

50· 13

49≈ 0, 106;

б) P (B) = 1 · 39

52· 26

52· 13

52≈ 0, 094.

Обозначим C событие - нет ни пиковой, ни бубновой карты. Тогда

P (C) = 1− P (C) = 1− 26

52· 25

51· 24

50· 23

49≈ 0, 945.

Ответ: P (A) ≈ 0, 11; P (B) ≈ 0, 09; P (C) ≈ 0, 95.

Пример 88.7. Для первой бригады вероятность выполнить норму рав-на 0,8, для второй - 0,85 и для третьей - 0,9. Найти вероятности того,что норму: а) выполнит только одна бригада, б) выполнят только двебригады, в) выполнят все три бригады, г) выполнит вторая бригада, д) не

88 Практика — Теоремы сложения и умножения 261

выполнит третья бригада, е) не выполнят все три бригады, ж) выпол-нит по крайней мере одна бригада.

Р е ш е н и е: Здесь вероятности выполнения нормы p1 = 0, 8; p2 = 0, 85;p3 = 0, 9, а вероятности невыполнения нормы q1 = 0, 2; q2 = 0, 15; q3 = 0, 1.Аналогично тому, как это было сделано в примере 1.8 (п. ж), получаем:

P1 = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0, 056.

Затем найдем; б) P2 = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0, 363;в) P3 = p1p2p3 = 0, 612; г) P4 = q1p2q3 = 0, 017;д) P5 = p1p2q3 = 0, 068; е) P6 = q1q2q3 = 0, 003;ж) P7 = 1− q1q2q3 = 0, 997.Ответ: P1 ≈ 0, 06; P2 ≈ 0, 36; P3 ≈ 0, 61; P4 ≈ 0, 02; P5 ≈ 0, 07; P6 ≈ 0, 00;

P7 ≈ 1, 00.Поскольку в последнем случае события совместные (выполнение нормы

одной бригадой не исключает выполнение или невыполнение нормы двумядругими бригадами), то последний пункт примера можно также решить спомощью формулы, приведенной в примере 88.5.

Пример 88.8. Вероятность изготовления бракованного генератора дляавтомобильного двигателя p = 0, 0003. а) Определить вероятность то-го, что в изготовленной партии из 300 генераторов окажется хотя быодин бракованный. б) Из скольких генераторов должна состоять партия,чтобы вероятность наличия в ней хотя бы одного бракованного была неболее p1 = 0, 02?

Р е ш е н и е: а) По теореме о вероятности появления хотя бы одно-го события P = 1 − qn, где q = 0, 9997, n = 300. Вычисляя с помощьюлогарифмирования qn, получим P ≈ 0, 067.

б) Решая неравенство

1− 0, 9997n6 0, 02,

получим

0, 9997n> 0, 98, n · lg0, 9997 > lg0, 98, n 6

lg0, 98

lg0, 9997, n 6 88.

Заметим, что n здесь было вычислено по формуле

n 6 lg(1− p1)/lg(1− p).Ответ: P ≈ 0, 07; n 6 88.

Пример 88.9. Из двадцати изделий - три бракованных. Определить ве-роятность того, что из девяти взятых для проверки изделий, окажетсяхотя бы одно бракованное.

262

Р е ш е н и е: Согласно формуле P (A) = 1− P (A), имеем:

P (A) = 1− C917

C920

= 1− 11

76=

65

76.

Здесь противоположное событие A - не окажется ни одного бракованногоизделия.

Ответ: P (A) = 65/76.


Пример 88.10. Через данную остановку с одинаковым интерваломпроходят 39 автобусов, из них 14 автобусов маршрута N1, 12 автобусовмаршрута N2 и 13 автобусов маршрута N3. Какова вероятность того,что первый подходящий автобус будет иметь маршрут N1 или N3?

Пример 88.11. При каждом включении зажигания двигатель начина-ет работать с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что дви-гатель начнет работать при втором включении зажигания.

Пример 88.12. В лабораторию поступило два прибора, изготовленныхна одном заводе, и три прибора, изготовленных на другом заводе. Веро-ятность того, что прибор, поступивший с первого завода, имеет высшеекачество, равна 0,75, а со второго - 0,6. Найти вероятности того, что:а) все приборы имеют высшее качество, б) по крайней мере один из нихимеет высшее качество, в) все не имеют высшее качество.

Пример 88.13. Отдел технического контроля проверяет две партииизделий на стандартность. Вероятность того, что изделие из первойпартии стандартно, равна 0,92, а из второй - 0,96. Из каждой партииберутся по одному изделию. Найти вероятность того, что только одноиз них будет стандартно.

Пример 88.14. Из полной колоды карт наудачу вынимаются одна задругой три карты. Какова вероятность того, что в первый раз будетизвлечена семерка, во второй - девятка, в третий - десятка.

Пример 88.15. Из группы студентов в 12 человек каждый раз наудачуназначают дежурных по четыре человека. Найти вероятность того, чтопосле трех дежурств каждый студент отдежурил по одному разу.

Пример 88.16. Из 20 автомобилей, отправленных на ремонт, 6 тре-буют ремонта коробки передач. Найти вероятность того, что из трехвыбранных случайно автомобилей по крайней мере один требует ремонтакоробки передач.

89 Лекция — Испытание Бернулли 263

Пример 88.17. Вероятность изготовления подшипникового шариканиже третьего класса равна 0,0002. а) Определить вероятность того,что в партии из 400 шариков содержится хотя бы один ниже третьегокласса. б) Какой должен быть объем партии, чтобы вероятность нали-чия в ней хотя бы одного бракованного шарика была не более p1 = 0, 03?

Пример 88.18. В коробке лежат 20 галстуков, причем 12 из них крас-ные, остальные белые. Определить вероятность того, что из трех вы-нутых наудачу галстуков все они окажутся одного цвета.

Пример 88.19. Из двух наборов шахмат наудачу извлекают по однойфигуре или пешке. Какова вероятность того, что обе фигуры окажутсяладьями?

Пример 88.20. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона ипоэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что емупридется звонить не более, чем в три места. Как изменится вероят-ность, если известно, что последняя цифра нечетная?

Пример 88.21. В урне m белых и n черных шаров. Из урны вынимают-ся одновременно два шара. Определить вероятность того, что оба шарабудут: а) белыми, б) разных цветов.

Пример 88.22. В партии, состоящей из 30 деталей, имеются 5 бра-кованных. Из партии выбирается для проверки 10 деталей. Если средиконтрольных окажется более трех бракованных, партия не принимает-ся. Найти вероятность того, что данная партия не будет принята.

Пример 88.23. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Из урны в случай-ном порядке, один за другим, вынимают находящиеся в ней шары. Найтивероятность того, что третьим по порядку будет вынут черный шар.

Пример 88.24. Какова вероятность того, что в группе из 50 случайноотобранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же деньрождения?

Пример 88.25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных.Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того,что он выиграет хотя бы на один билет.

89. ЛЕКЦИЯ — Испытание Бернулли

Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события A.Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона. От-клонение частоты от вероятности

264

89.1. Формула БернуллиПредположим, что производится n независимых испытаний, в резуль-

тате каждого из которых может наступить или не наступить некотороесобытие A. Обозначим P (A) = p, P (A) = 1 − p = q и определим Pn(m) —вероятность того, что событие A произойдет m раз в n испытаниях.

Будем записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций буквA и A; например, запись AAAA означает, что событие A осуществилось в 1-м и 4-м испытаниях и не осуществилось во 2-ом и 3-м. Всякую комбинацию, вкоторой A встречается m раз, а A встречается n−m раз, назовем благоприятной.Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которымиможно выбрать m мест из n, чтобы разместить буквы A (буквы A на оставшихсяместах разместятся однозначно), т.е. числу сочетаний из n по m:

Cmn =

n!

m!(n−m)!.

Вероятности всех благоприятных комбинаций одинаковы, в каждой из нихсобытие A (также, как и A ) происходит одинаковое количество раз, поэтомупосчитаем вероятность комбинации B1 = AA . . . AAA . . . A, в которую A входитm раз, а A/n−m раз.

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний на основаниитеоремы умножения вероятностей, равна

P (B1) = pmqn−m,

также как и для остальных комбинаций:

P (B2) = · · · = P (Bk) = pmqn−m,

где количество комбинаций k = Cmn .

Все благоприятные комбинации являются несовместными, поэтому по теоре-ме сложения:

Pn(m) = P (B1 + · · ·+Bk) = P (B1) + · · · + P (Bk) = kpmqn−m = Cmn p

mqn−m.

Мы получили формулу Бернулли:

(89.1) Pn(m) = Cmn p

mqn−m,

где Cmn =

n!

m!(n−m)!.

Пример 89.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле рав-на 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

Р е ш е н и е: Здесь n = 8, m = 5, p = 0, 6, q = 1− 0, 6 = 0, 4.По формуле (89.1) имеем:

P8(5) =8!

5!(8− 5)!0.65 · 0.43 ≈ 0.28.


Пример 89.2. В условиях примера 89.1 найти вероятность того, чточисло попаданий будет не больше 5 и не меньше 3-х.

Р е ш е н и е: Обозначим искомую вероятность P8(3 6 m 6 5). Эта ве-роятность в соответствии с формулой (89.1) представляется в виде суммывероятностей попарно несовместных событий:

P8(3 6 m 6 5) = P8(3) + P8(4) + P8(5).

Находя по формуле Бернулли каждое слагаемое, получаем:

P8(3 6 m 6 5) = C38 · 0, 63 · 0, 45 +C5

8 · 0, 65 · 0, 43 ≈ 0, 12+ 0, 23 + 0, 28 = 0, 63.

Замечание 89.1. Формулу (88.6), полученную в предыдущей лекции,можно получить, используя формулу Бернулли. Действительно, при вы-воде этой формулы в следствии 88.4 по формуле Бернулли получим:

P (A) = C0np

0qn = (1− p)n =⇒ P (A) = 1− P (A) = 1− (1− p)n.

Пример 89.3. В условии примера 89.1 найти вероятность хотя быодного попадания в цель при 8 выстрелах.

Р е ш е н и е: Сначала найдем вероятность противоположного события,т.е. вероятность ни разу не попасть в цель при 8 выстрелах:

P (A) = (1− p)n = 0, 48 ≈ 0, 001 =⇒ P (A) ≈ 0, 999.

Замечание 89.2. Формула Бернулли обобщается на тот случай, ко-гда в результате каждого опыта возможны не два исхода A и A, анесколько. Пусть производится n независимых опытов в одинаковых усло-виях, в каждом из которых может произойти только одно из событийA1, A2, . . . , Am с вероятностями p1, p2, . . . , pm, причем

m∑

i=1

pi = 1.

Тогда вероятность того, что в k1 опытах появится событие A1, . . . , в

km опытах — событие Am

( m∑

j=1

kj = n), определяется формулой полино-

миального распределения

(89.2) Pn(k1, k2, . . . , km) =n!

k1!k2! . . . km!· pk1

1 · pk22 . . . pkm

m .

266

89.2. Наивероятнейшее число появлениясобытия A

Часто необходимо знать значение m, при котором вероятность Pn(m)максимальна; это значение m называется наивероятнейшим числом m∗ на-ступления события A в n испытаниях.

Можно показать, что

(89.3) (n+ 1)p− 1 6 m∗6 (n+ 1)p.

Если неравенству (89.3) удовлетворяют два целых значенияm∗, имеетсядва наивероятнейших числа.

Так, в примере 89.1 9 · 0.6 − 1 6 m∗ 6 9 · 0, 6. Этому неравенствуудовлетворяет единственное целое значение m∗ = 5.

Пример 89.4. Найти наивероятнейшее число выпадений орла при 11бросаниях монеты.

Р е ш е н и е: Здесь n = 1, p = 12. В соответствии с неравенством (89.3)

получаем:

12 · 12− 1 6 m∗

6 12 · 12.

Этому неравенству удовлетворяют два значения m∗ = 5 и m∗ = 6. В данномпримере два наивероятнейших значения с одинаковыми вероятностями:

P11(5) = P11(6) = C511

(1

2

)5(1

2

)6

= C611

(1

2

)6(1

2

)5

≈ 0, 23.

89.3. Локальная и интегральная теоремыЛапласа.

Вычисления по формуле Бернулли при больших n громоздки и при-водят к значительным погрешностям. Локальная теорема Лапласа даетасимптотическую формулу, позволяющую приближенно найти вероятностьпоявления события ровно m раз в n испытаниях, если n достаточно велико.

Теорема 89.1 (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность p по-явление события A в каждом из n независимых испытаний постояннаи отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(m) того, что со-бытие A появиться m раз в n испытаниях, приближенно равна (приn→∞, p ≈/ 0, p ≈/ 1):

(89.4) Pn(m) ≈ 1√npq

ϕ

(m− np√npq

), где ϕ(x) =

1√2πe−x

2

2 .


Значения функции ϕ(x) имеются в таблицах в учебниках по тео-рии вероятностей (см. приложение 1) и вычисляются в математическихи статистических программах для компьютеров (например, в ЕXCEL,MatCad, MatLab и прочих). В данном пособии таблицы ϕ(x) приведены для0 6 x 6 4. Пользуясь очевидными свойствами функции ϕ(x), можно найтиее значения при любых x:

ϕ(−x) = ϕ(x), ϕ(+∞) = ϕ(−∞) = 0.

Пример 89.5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле рав-на 0,6. Найти вероятность того, что 100 выстрелов дадут 50 попаданий.

Р е ш е н и е: По условию n = 100, m = 50, p = 0, 6. Воспользуемсялокальной теоремой Лапласа:

P100(40) ≈ 1√100 · 0, 6 · 0, 4 · ϕ

(50− 100 · 0, 6√100 · 0, 6 · 0, 4

)≈

≈ 0, 20 · ϕ(2, 04) = 0, 20 · 0, 05 = 0, 01.

Для вычисления суммарной ("интегральной") вероятности того, чточисло появлений события A находится в заданных пределах (см. пример89.2) при больших n также используется асимптотическая формула, позво-ляющая вычислять эту вероятность приближенно. Для пользования этойформулой познакомимся с функцией Лапласа.

Определение 89.1. Функцией Лапласа Φ(x) называется:

(89.5) Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2

2 dt.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

(1) Φ(x) непрерывная, возрастающая функция,(2) Ее область определения D(y) = (−∞; +∞),(3) Φ(0) = 0,(4) Φ(−x) = −Φ(x),(5) Φ(+∞) = 0, 5, Φ(−∞) = −0, 5.

Примем свойство 1 без доказательства. Для доказательства свойства 2 заме-тим, что

Φ(0) =1√2π

0∫

0

e−t2

2 dt = 0.

268

Для доказательства свойства 4 произведeм замену переменных в определенноминтеграле:

Φ(−x) =1√2π

−x∫

0

e−t2

2 dt =

⟨t = −udt = −du

⟩= − 1√

2π

x∫

0

e−u2

2 du = −Φ(x).

Свойство 4 вытекает из известного равенства для интеграла Пуассона:

+∞∫

−∞

e−t2

2 dt =√

2π =⇒ Φ(+∞) =1√2π

+∞∫

0

e−t2

2 dt =1√2π· 12

√2π =

1

2

( +∞∫

0

e−t2

2 dt =1

2

+∞∫

−∞

e−t2

2 dt в силу четности подынтегральной функции

).

Значения функции Лапласа также имеются в таблицах в учебникахпо теории вероятностей (см. приложение 2) и вычисляются в матема-тических и статистических программах для компьютеров (например, вEXCEL, MatCad, MatLab). В данном пособии таблицы Φ(x) приведены для0 6 x 6 5. Пользуясь приведенными свойствами Φ(x), можно найти еезначения при любых x.

Теорема 89.2 (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность pпоявления события A в каждом из n независимых испытаний постояннаи отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(m1 6 m 6 m2) того,что событие A появится не менее m1, но не более m2 раз в n испытанияхприближенно равна (при n→∞, p ≈/ 0, p ≈/ 1):

(89.6) Pn(m1 6 m 6 m2) ≈ Φ

(m2 − np√

npq

)− Φ

(m1 − np√

npq

),

где Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2

2 dt — функция Лапласа.

Теоремы 89.1 и 89.2 примем без доказательства.

89.4. Формула ПуассонаЕсли вероятность p появления события A в испытании Бернулли близка

к 0 или 1 , то теоремы 89.1 и 89.2 неприменимы. В этом случае следуетпользоваться приближенной формулой Пуассона для вычисления Pn(m)при больших n.

Теорема 89.3. Если вероятность p появления события A в каждомиз n независимых испытаний постоянна и близка к нулю, а n велико, то


вероятность Pn(m) того, что событие A появится m раз в n испытанияхприближенно равна (при n→∞, p→ 0, np→ a):

(89.7) Pn(m) ≈ (np)m

m!e−np.

Замечание 89.3. Случай, когда p ≈ 1, сводится к рассмотренному,если вместо Pn(m) вычислять равную ей вероятность Pn(n − m) появ-ления n − m раз противоположного события A, вероятность появлениякоторого в одном испытании q = 1− p ≈ 0.

Пример 89.6. Вероятность появления опечатки на одной страницекниги равна 0,01. Найти вероятность того, что в книге из 100 страницимеется более одной опечатки.

Р е ш е н и е: Найдем вероятность противоположного события, т.е. веро-ятность P (B) того, что в книге не более одной опечатки (0 или 1 опечатка).

Так как np = 100 · 0, 01 = 1, то

P (B) = P100(0) + P100(1) ≈ 10

0!e−1 +

11

1!e−1 ≈ 0, 74.

Искомая вероятность равна P (B) ≈ 1− 0, 74 = 0, 36.

89.5. Отклонение частоты от вероятностиПусть проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью p

появления события A в каждом из них; событие A появилось m раз в nиспытаниях. Найдем вероятность того, что отклонение относительной ча-стоты m

nот вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного

числа ε, т.е. найдем P

{∣∣∣∣m

n− p∣∣∣∣ 6 ε

}. Заменяя неравенство равносильным

и применяя интегральную теорему Лапласа, получим в условиях теоремы89.2:

P

{∣∣∣∣m

n− p∣∣∣∣ 6 ε

}= P

{− ε 6

m

n− p 6 ε

}= P

{np− nε 6 m 6 np+ nε

}≈

≈ Φ

(np+ nε− np√

npq

)− Φ

(np− nε− np√

npq

)=

= Φ

(ε

√n

pq

)− Φ

(− ε√

n

pq

)= 2Φ

(ε

√n

pq

).

В последнем равенстве мы воспользовались нечетностью функции Ла-пласа. Итак, мы получили, что при n→∞, p ≈/ 0, p ≈/ 1

(89.8) P

{∣∣∣∣m

n− p∣∣∣∣ 6 ε

}≈ 2Φ

(ε

√n

pq

).

270

Пример 89.7. Вероятность того, что лампочка бракованная p = 0, 1.Определить, сколько лампочек нужно отобрать для проверки, чтобы свероятностью 0,9544 можно было утверждать, что относительная ча-стота бракованных лампочек отличается от вероятности p по абсолют-ной величине не более, чем на 0,03.

Р е ш е н и е: Здесь p = 0, 1; q = 0, 9; ε = 0, 03;

P

{∣∣∣∣m

n− 0, 1

∣∣∣∣ 6 0, 03

}= 0, 9544.

Найдем n. По формуле (89.8):

2Φ

(0, 03

√n

0, 1 · 0, 9

)= 0, 9544 =⇒ Φ(0, 1 ·

√n) =

= 0, 4772 =⇒ 0, 1√n = 2 =⇒ n = 400.

Полученный результат означает, что в партии из 400 лампочек количе-ство m бракованных будет с вероятностью близкой к 1 заключено в преде-лах от 400 · 0, 1− 400 · 0, 03 = 28 до 400 · 0, 1 + 400 · 0, 03 = 52.

89. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Формулыполной вероятности и Бейеса

Метод решения задач на формулу полной вероятности сводится к сле-дующему. В условиях теоремы 89.1 обозначается событие A, вероятностькоторого нужно найти в примере. Затем обозначаются гипотезы Hi, и вы-числяются их вероятности P (Hi). Наконец, определяются условные веро-ятности события A, и по формуле полной вероятности (88.7) находитсяискомая вероятность события A.

Пример 89.1. На трех шлифовальных станках было обработано 120валов, причем первым, вторым и третьим станками было обработаносоответственно 50, 34 и 36 валов. Вероятность того, что первый ста-нок производит обработку отличного качества равна 0,96, второй - 0,93,третий - 0,95. Определить вероятность того, что случайно выбранныйвал имеет обработку отличного качества.

Р е ш е н и е: Пусть событие A состоит в том, что наудачу выбранныйвал обработан отлично. Гипотезами здесь будут: H1 - наудачу взятый валобработан первым станком, H2 - вторым, H3 - третьим. Их вероятностиравны:

P (H1) =50

12)=

5

12, P (H2) =

34

120=

17

60, P (H3) =

36

120=

3

10.

89 Практика — Формулы полной вероятности 271

Условные вероятности события A при этих гипотезах равны:

P (A/H1) = 0, 96, P (A/H2) = 0, 93, P (A/H3) = 0, 95.

По формуле полной вероятности

P (A) =5

12· 0, 96 +

17

60· 0, 93 +

3

10· 0, 95 = 0, 949.

Ответ: P (A) ≈ 0, 95.

Пример 89.2. В первом ящике содержится 30 деталей, из которых 25окрашенных, а во втором - 27, из которых 21 окрашена. При перевозке однадеталь из первого ящика выпала и ее положили во второй ящик. Затемдля работы из второго ящика извлекли деталь. Определить вероятностьтого, что она будет окрашена.

Р е ш е н и е: Событие A - появление окрашенной детали; гипотезы: H1

- переложена окрашенная деталь, H2 - переложена неокрашенная деталь.Вероятности гипотез будут равны:

P (H1) =25

30=

5

6, P (H2) =

5

30=

1

6,

а условные вероятности

P (A/H1) =22

28=

11

14, P (A/H2) =

21

28=

3

4.

Вероятность события A

P (A) =5

6· 11

14+

1

6· 34

=131

168.

Ответ: P (A) = 131/168.

Пример 89.3. В коробке находятся 20 новых резцов и 5 уже исполь-зованных. Из коробки наудачу берут три резца, которые после работывозвращают обратно. Назавтра из коробки снова берут три резца. Най-ти вероятность того, что эти три резца будут новыми.

Р е ш е н и е: Здесь гипотезы Hi, где i = 0, 1, 2, 3, - в первый деньработы берут i новых резцов; их вероятности определяются по формуле:

P (Hi) = C i20 · C3−i

5 /C325.

Событие A - на второй день взято три новых резца. Условные вероятностиэтого события P (A/Hi) = C3

20−i/C325. Следовательно,

P (A) =1

(C325)

3(C3

5 ·C320+C

120 ·C2

5 ·C319+C

220 ·C1

5 ·C318+C

320 ·C3

17) =3439

13225≈ 0, 260.

Ответ: P (A) ≈ 0, 26.

272

Пример 89.4. Работа двигателя контролируется двумя регулятора-ми. В течение определенного отрезка времени вероятность безотказнойработы первого регулятора равна 0,8, второго - 0,9. При отказе обоих регу-ляторов двигатель выходит из строя. При отказе одного из регуляторовдвигатель выходит из строя с вероятностью 0,7. Найти вероятностьбезотказной работы двигателя.

Р е ш е н и е: A событие - двигатель работает безотказно. Гипотезы:H1 - оба регулятора не отказали, H2 - один отказал, H3 - оба отказали.Вероятности гипотез равны:

P (H1) = p1p2 = 0, 8 · 0, 9 = 0, 72,P (H2) = p1q2 + p2q1 = 0, 8 · 0, 1 + 0, 9 · 0, 2 = 0, 26,P (H3) = q1q2 = 0, 2 · 0, 1 = 0, 02;здесь p1 = 0, 8, p2 = 0, 9, q1 = 1− p1 = 0, 2, q2 = 1− p2 = 0, 1.Условные вероятности данных гипотез следующие:

P (A/H1) = 1, P (A/H2) = 1− 0, 7 = 0, 3, P (A/H3) = 0.

Окончательно найдем:

P (A) = 0, 72 · 1 + 0, 26 · 0, 3 + 0, 02 · 0 = 0, 798.

Ответ: P (A) ≈ 0, 80.Пусть теперь событие A произошло. Тогда если до опыта вероятности

гипотез были P (Hi), то после опыта условные вероятности гипотез будутопределяться уже по формуле Бейеса (88.8).

Пример 89.5. Имеются три партии шатунов: в первой из них 5 рас-точенных резцом и 7 не расточенных; во второй - 8 расточенных и 6 нерасточенных; в третьей - 10 расточенных. Наудачу выбирается одна изпартий и из нее берется шатун. Этот шатун оказался расточенным.Найти вероятности того, что данный шатун взят из первой, второй итретьей партии.

Р е ш е н и е: Гипотезы Hi(i = 1, 2, 3) - выбор i-той партии; их вероят-ности ввиду равнозначности выбора P (Hi) = 1/3. У нас событие A - взятрасточенный шатун; условные вероятности этого события будут:

P (A/H1) = 5/12, P (A/H2) = 4/7, P (A/H3) = 1.

Искомые вероятности найдутся по формуле Бейеса

P (Hi/A) =1

3P (A/Hi)/

1

3

3∑

j=1

P (A/Hj) = P (A/Hi/

3∑

j=1

P (A/Hj).

89 Практика — Формулы полной вероятности 273

Тогда переоценка гипотез, сделанная после того, как событие A произошло,нам даст:

P (H1/A) =5/12

5/12 + 4/7 + 1=

35

167, P (H2/A) =

48

167, P (H3/A) =

84

167.

Заметим, что до опыта вероятности всех гипотез были одинаковы и равня-лись 1/3.

Ответ: P (H1/A) = 35/167; P (H2/A) = 48/167; P (H3/A) = 84/167.

Пример 89.6. В трех цехах завода производится соответственно40%, 35% и 25% всей однотипной продукции; причем брак каждого цехасоставляет 4%, 3% и 5% соответственно. а) Какова вероятность того,что изделие, выбранное случайно, будет бракованным? б) Пусть теперьслучайно выбранное изделие оказалось бракованным. Найти вероятноститого, что оно было сделано в первом, втором, третьем цехах.

Р е ш е н и е: а) Событие A - выбранное изделие браковано. ГипотезыH1, H2, H3 состоят в том, что изделие произведено соответственно в первом,втором, третьем цехах. Тогда

P (H1) = 0, 4, P (H2) = 0, 35, P (H3) = 0, 25,

а условные вероятности

P (A/H1) = 0, 04, P (A/H2) = 0, 03, P (A/H3) = 0, 05.

Полная вероятность

P (A) =3∑

i=3

P (Hi)P (A/Hi) = 0, 4 · 0, 04 + 0, 35 · 0, 03 + 0, 25 · 0, 05 = 0, 039.

Вероятности того, что бракованное изделие сделано в первом, втором, тре-тьем цехах, найдем по формуле Бейеса:

P (H1/A) =P (H1) · P (A/H1)

P (A)=

0, 4 · 0, 04

0, 039=

16

39,

P (H2/A) =P (H2) · P (A/H2)

P (A)=

7

26,

P (H3/A) =P (H3) · P (A/H3)

P (A)=

25

78.

Ответ: P (A) ≈ 0, 04; P (H1/A) = 16/39; P (H2/A) = 7/26;P (H3/A) = 25/78.

274

Пример 89.7. Станком обрабатываются детали, причем 95% дан-ной продукции удовлетворяет принятым допускам. Первоначальный кон-троль признает пригодным детали, находящиеся в пределах допуска, с ве-роятностью 0,97, а те, которые не удовлетворяют допуску, с вероятно-стью 0,08. Найти вероятность того, что деталь, прошедшая контроль(признанная годной), действительно удовлетворяет допуску.

Р е ш е н и е: Гипотеза H1 - деталь находится в пределах допуска, а H2

- не находится. По данным задачи P (H1) = 0, 95, P (H2) = 0, 05. СобытиеA - деталь при проверке находится в пределах допуска. Тогда

P (H1/A) = 0, 97, P (H2/A) = 0, 08.


P (H1/A) =P (H1) · P (A/H1)

P (A)=

0, 95 · 0, 97

0, 95 · 0, 97 + 0, 05 · 0, 08≈ 0, 9957.

Ответ: P (H1/A) ≈ 0, 996.


Пример 89.8. В цехе имеется 5 станков одного типа и 4 станка вто-рого типа. Вероятность того, что в течение рабочей смены станок пер-вого типа не выйдет из строя, равна 0,92, а второго типа - 0,96. Прово-дится проверка работы наудачу выбранного станка. Найти вероятностьтого, что этот станок в течение всей рабочей смены будет работать.

Пример 89.9. В первом трамвае из 36 пассажиров 2 не имеют биле-та; для второго и третьего - эти цифры соответсвенно равны: 27 и 1, 48и 3. Контролер выбирает наугад один из данных трамваев. Найти веро-ятности того, что: а) первый пассажир, которого проверяет контролер,не имеет билета; б) два проверенных пассажира имеют билеты.

Пример 89.10. В магазин поступили телевизоры с двух заводов. Про-дукция первого завода содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом,второго - 3%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, еслис первого завода поступило 60% всех телевизоров, имеющихся в магазине,а со второго - 40%?

Пример 89.11. В урну, содержащую 5 шаров, опущен белый шар, послечего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извле-ченный шар окажется белым, если все предположения о первоначальномсоставе шаров по цвету не отличаются друг от друга.

90 Лекция — Дискретные случайные величины 275

Пример 89.12. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цехдает 3% брака, второй - 5%. Для контроля отобраны 10 деталей из пер-вого цеха и 12 - из второго. Эти детали смешаны в одну партию и изнее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что онабракованная?

Пример 89.13. Два из трех студентов, сдавших экзамен, ответи-ли на “отлично”. Найти вероятность того, что ответили на “отлично”второй и третий студенты, если первый, второй и третий студентызнают соответственно 85%, 90% и 95% данного курса. Рекомендация: рас-смотреть гипотезы H1 - сдали на “отлично” первый и второй студенты,H2 - первый и третий, H3- второй и третий.

Пример 89.14. Цех производит приборы, причем 9% продукции име-ет какой-либо дефект. Вначале все приборы проверяются контролером,который обнаруживает дефект с вероятностью 0,96. Не забракованныеконтролером приборы поступают в отдел технического контроля завода,где дефект обнаруживается с вероятностью 0,98. Данный прибор ока-зался забракованным. Найти вероятности того, что он забракован: а)контролером, б) отделом технического контроля.

Пример 89.15. Партия изделий содержит 90% высококачественнойпродукции, 8% изделий низкого качества и 2% бракованных изделий. Ес-ли подвергнуть изделие испытанию, то все высококачественные изделияего выдерживают, из числа изделий низкого качества 60% проходят этоиспытание и 10% бракованных изделий также выдерживают испытание.Какова вероятность того, что наудачу выбранное изделие, прошедшее ис-пытание, относится к числу высококачественных?

90. ЛЕКЦИЯ — Дискретные случайныевеличины

Закон распределения. Математическое ожидание. Дисперсия

90.1. Закон распределенияКроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории веро-

ятностей нас обычно интересуют некоторые величины, связанные со слу-чайными событиями и называемые случайными величинами. Так, в азарт-ных играх, кроме вероятностей выигрыша, обычно интересуются размеромвыигрыша.

276

Определение 90.1. Случайной называют величину, которая в резуль-тате испытания принимает то или иное значение в зависимости отисхода испытания.

Пример 90.1. Число родившихся девочек среди 10 младенцев есть слу-чайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, . . . , 10.

Измеренная величина роста человека есть случайная величина, прини-мающая значения из некоторого (a; b). Например, можно считать, что,измеренная в метрах, эта величина находится в интервале (0, 3; 3).

Случайные величины будем изображать греческими буквами: ξ (кси),ζ (дзета), η (эта), θ (тета) и т.д., а их возможные значения строчнымилатинскими буквами: x, y, z и т.д.

Определение 90.2. Дискретной называют случайную величину, ко-торая принимает отдельные значения из конечного или бесконечногосчетного множества.

Т.е. все эти значения можно “пересчитать” — поставить им в со-ответствие натуральные числа. Так, в примере 90.1 число родившихсядевочек — дискретная случайная величина, а измеренный рост не являет-ся таковой.

Дискретная случайная величина полностью определяется своим зако-ном распределения — таблицей, в которой перечислены все значения, при-нимаемые случайной величиной и соответствующие им вероятности (см.табл. 90.1).

таблица 90.1

Закон распределенияξ x1 x2 . . . xn

p p1 p2 . . . pn

В таблице 90.1 для случайной величины ξ, принимающей n значенийx1, . . . , xn, перечислены вероятности pi = P{ξ = xi}.

Поскольку в данном испытании случайная величина ξ обязательно при-нимает одно из своих n значений, события ξ = x1, ξ = x2, . . . , ξ = xn об-разуют полную группу попарно несовместных событий. Применяя теоремусложения вероятностей (88.1), получаем, что сумма их вероятностей равнавероятности достоверного события, т.е. 1:

p1 + . . .+ pn = 1.

Пример 90.2. При бросании монеты игрок получает 1$ при выпаденииорла и платит 1$ при выпадении решки. Случайная величина ξ, равная


выигрышу в одной игре, задается законом распределения:

ξ 1 -1p 0,5 0,5

Пример 90.3. Случайная величина ξ задана законом распределения:

ξ 1 2 5 10p 0,1 0,3 0,2

Найти отсутствующую вероятность.

Р е ш е н и е: Из условия 0, 1 + p2 + 0, 3 + 0, 2 = 1 определяем: p2 = 0, 4.Ответ: p2 = 0, 4.Иногда удобно изобразить закон распределения графически: по оси аб-

сцисс отложить значение xi, а по оси ординат — соответствующие вероят-ности pi. Полученные точки соединяют отрезками прямых. Получивший-ся график называется многоугольником вероятностей. На рис. 90.1 изоб-ражен многоугольник вероятностей для дискретной случайной величиныиз примера 90.3.

Pi

xi

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 5 10

Рис. 90.1. Многоугольник вероятностей

90.2. Математическое ожиданиеЗакон распределения полностью определяет дискретную случайную ве-

личину. Однако иногда удобнее характеризовать ее с помощью несколькихчисловых характеристик, каждая из которых определяет одно из свойствэтой случайной величины. Одной из таких числовых характеристик явля-ется математическое ожидание.

278

Определение 90.3. Математическим ожиданием M(ξ) дискретнойслучайной величины ξ называется сумма произведений всех ее значенийна соответствующие вероятности:

(90.1) M(ξ) = x1p1 + x2p2 + . . .+ xnpn.

Замечание 90.1. Математическое ожидание случайной величины неявляется случайной величиной, это вполне определенное число.

Пример 90.4. Для случайной величины из примера 90.3 найти мате-матическое ожидание.

Р е ш е н и е: M(ξ) = 1 · 0, 1 + 2 · 0, 4 + 5 · 0, 3 + 10 · 0, 2 = 4, 4.Ответ: M(ξ) = 4, 4.Для определения вероятностного смысла математического ожидания

рассмотрим следующий пример.

Пример 90.5. Из 10 оценок данного студента 7 троек, 2 четверки и1 пятерка. Какова средняя оценка данного студента?

Р е ш е н и е: Простые вычисления дают результат:

7 · 3 + 2 · 4 + 1 · 510

= 3, 4.

Записав эти вычисления в виде

3, 4 = 3 · 7

10+ 4 · 2

10+ 5 · 1

10,

получим, что средняя оценка равна сумме произведений оценок на их от-носительную частоту. При неограниченном увеличении числа испытанийотносительная частота в соответствии с определением 87.1 стремится к ве-роятности. Из сказанного можно сделать вывод, что сумма произведенийзначений случайной величины на их соответствующие вероятности рав-на среднему значению этой величины. В этом заключается вероятност-ный смысл математического ожидания: математическое ожидание рав-но среднему значению случайной величины.

Замечание 90.2. Происхождение термина "математическое ожи-дание"объясняется тем, что на раннем этапе теория вероятностей восновном занималась азартными играми и игрока интересовал среднийожидаемый выигрыш.

Перечислим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание константы равно константе:

M(C) = C.


Доказательство. Так как константа задается следующим зако-ном распределения:

ξ Cp 1

,

ее математическое ожидание очевидно равно

M(C) = C · 1 = C.

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожи-дания:

M(C · ξ) = C ·M(ξ).

Доказательство. Если случайная величина ξ задана закономраспределения — таблицей 90.1, то случайная величина Cξ, оче-видно, задается следующей таблицей:

Cξ Cx1 Cx2 . . . Cxn

p p1 p2 . . . pn

и ее математическое ожидание равно:

M(Cξ) = Cx1p1 + Cx2p2 + . . .+ Cxnpn = C(x1p1 + . . .+ xnpn) = CM(ξ).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно суммематематических ожиданий этих величин:

M(ξ + ζ) = M(ξ) +M(ζ).

Замечание 90.3. Свойства 2 и 3 позволяют для любого конечного чис-ла случайных величин ξ1, . . . , ξn и чисел C1, . . . , Cn написать:

M(C1ξ1 + . . .+ Cnξn) = C1M(ξ1) + . . .+ CnM(ξn).

В частности: M(ξ − ζ) = M(ξ)−M(ζ).

Прежде чем сформулировать следующее свойство, дадим определениенезависимых случайных величин.

Определение 90.4. Две дискретные случайные величины называютсянезависимыми, если закон распределения каждой из них не зависит отзначений, принимаемых другой.

Если две независимые случайные величины ξ и ζ имеют законы распре-деления, определяемые таблицами 90.2 и 90.3, то их произведение будетиметь распределение, задаваемое таблицей 90.4.

таблица 90.2таблица 90.3

таблица 90.4 .

280

ξ x1 x2

p p1 p2,

ζ y1 y2

p g1 g2,

ξ · ζ x1y1 x1y2 x2y1 x2y2

p p1g1 p1g2 p2g1 p2g2

Действительно, в соответствии с (88.5), например, для первой вероят-ности из таблицы 90.4 имеем:

P{ξ · ζ = x1y1} = P{ξ = x1, ζ = y1} = P{ξ = x1} · P{ζ = y1} = p1g1.

Теперь мы можем сформулировать последнее свойство математическогоожидания:

4. Математическое ожидание двух независимых случайных величинравно произведению их математических ожиданий:

M(ξ · ζ) = M(ξ) ·M(ζ).

Доказательство для случайных величин, задаваемых таблица-ми 90.2, 90.3, 90.4, студентам рекомендуется провести самостоя-тельно.

Определение 90.5. Несколько дискретных случайных величин назы-ваются независимыми, если законы распределения любого их числа не за-висят от значений, принимаемых остальными.

Из свойства 4 можно легко вывести следующее следствие:

Следствие 90.1. Для n независимых случайных величин ξ1, . . . , ξn ма-тематическое ожидание их произведения равно произведению их матема-тических ожиданий.

M(ξ1 · . . . · ξn) = M(ξ1) · . . . ·M(ξn).

90.3. ДисперсияПоскольку рассматриваемые величины случайные, кроме среднего зна-

чения, полезно было бы знать характеристику степени их разброса во-круг среднего значения. В качестве такой характеристики нельзя рас-сматривать отклонение случайной величины от математического ожида-ния ξ − M(ξ), т.к. оно случайно. В среднем это отклонение равно нулю:M(ξ −M(ξ)) = M(ξ) −M(M(ξ)) = M(ξ) −M(ξ) = 0. Поэтому в качестве


характеристики разброса случайной величины вокруг ее среднего значениярассматривают математическое ожидание квадрата отклонения.

Определение 90.6. Дисперсией случайной величины называется ма-тематическое ожидание квадрата ее отклонения от математическогоожидания:

(90.2) D(ξ) = M(ξ −M(ξ))2.

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по фор-муле:

(90.3) D(ξ) =∑

i

(xi −M(ξ))2 · pi.

Из определения ясно, что дисперсия случайной величины сама являетсянеслучайной величиной.

Пример 90.6. Для случайной величины из примера 90.3 найти дис-персию.

Р е ш е н и е: В примере 90.4 было найдено ее математическое ожидание:M(ξ) = 4, 4. По формуле (90.3) определяем:

D(ξ) = (1− 4, 4)2 · 0, 1 + (2− 4, 4)2 · 0, 4 + (5− 4, 4)2 · 0, 3+

+(10− 4, 4)2 · 0, 2 ≈ 9, 84.

Иногда для вычисления дисперсии удобнее пользоваться другой форму-лой, которую выведем, пользуясь свойствами математического ожидания:

(90.4) D(ξ) = M(ξ2)− (M(ξ))2.

Действительно:

D(ξ) = M(ξ −M(ξ))2 = M(ξ2 − 2ξM(ξ) + (M(ξ))2

)=

= M(ξ2)− 2M(ξ)M(ξ) + (M(ξ))2 = M(ξ2)− (M(ξ))2.

Для дискретной случайной величины вычисление дисперсии по форму-ле (90.4) сводится к вычислению суммы:

(90.5) D(ξ) =∑

i

x2i pi − (M(ξ))2.

Самостоятельно убедитесь, что вычисление по формуле (90.5) в приме-ре 90.6 дает тот же результат.

Приведем свойства дисперсии.

(1) D(ξ) > 0.Действительно, все слагаемые в формуле (90.3) неотрицательны.

282

(2) D(C) = 0.Действительно: D(C) = M(C −M(C))2 = M(C − C)2 = M(0) = 0

(3) D(C · ξ) = C2 ·D(ξ).Доказательство.

D(C · ξ) = M(C · ξ −M(C · ξ))2 = M(C · ξ − C ·M(ξ))2 =

= M(C · (ξ −M(ξ))

)2= M

(C2 · (ξ −M(ξ))2

)=

= C2 ·M(ξ −M(ξ))2 = C2 ·D(ξ).

(4) Для независимых случайных величин ξ и ζ: D(ξ+ζ) = D(ξ)+D(ζ).Доказательство этого свойства получится из определения 90.6 по-сле несложных алгебраических преобразований. Проведите его са-мостоятельно.

Следствие 90.2. Для независимых случайных величин D(ξ −−ζ) = D(ξ) +D(ζ).


D(ξ − ζ) = D(ξ + (−1) · ξ

)= D(ξ) + (−1)2 ·D(ξ) = D(ξ) +D(ζ).

Свойство 4 распространяется на сумму любого числа независимыхслучайных величин.

Вероятностный смысл дисперсии заключается в том, что она характе-ризует степень рассеяния случайной величины около ее среднего значения(математического ожидания).

Однако, если среднее значение M(ξ) имеет ту же размерность, что и са-ма случайная величина, то D(ξ) имеет другую размерность, равную квад-рату размерности случайной величины. Это не всегда удобно, поэтому вве-ли другую характеристику рассеяния, имеющую ту же размерность, что исама случайная величина.

Определение 90.7. Средним квадратическим отклонением случайнойвеличины ξ называют квадратный корень из ее дисперсии:

(90.6) σ(ξ) =√D(ξ).

Заметим, что дисперсия выражается через σ(ξ) по формуле: D(ξ) == σ2(ξ).

В примере 90.6 была найдена D(ξ) = 9, 84. Найдем среднее квадрати-ческое отклонение этой случайной величины: σ(ξ) =

√9, 84 ≈ 3, 14.

Свойства среднего квадратического отклонения:

(1) σ(ξ) > 0;

90 Практика — Формула Бернулли 283

(2) σ(C) = 0;(3) σ(Cξ) = |C| · σ(ξ);(4) Для независимых случайных величин ξ и ζ σ(ξ+ζ) =

√σ2(ξ) + σ2(ζ).

Так же как и дисперсия, σ(ξ) характеризует степень рассеяния случай-ной величины около ее среднего значения (математического ожидания).

90. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — ФормулаБернулли

Пример 90.1. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказнойработы в течение определенного времени для каждого узла равна 0,98.Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятностьтого, что за данное время откажут ровно два узла.

Р е ш е н и е: Здесь n = 10, q = 0, 98, p = 1 − q = 0, 02, m = 2. Поформуле Бернулли (89.1)

P10(2) = C210 · p2 · q8 =

10!

2!8!· 0, 022 · 0, 988 ≈ 0, 015.

Ответ: P10(2) ≈ 0, 02.

Пример 90.2. Вероятность выпуска стандартного изделия на авто-матической линии равна 0,9. Определить вероятности того, что из пятинаудачу взятых изделий m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 окажутся стандартными

Р е ш е н и е: По формуле (89.1) при n = 5, m = 0, p = 0, 9, q =0, 1 найдем вероятность того, что среди пяти взятых изделий не окажетсястандартных

P5(0) = C05 · (0, 9)0 · (0, 1)5 = 10−5.

Как видим, это событие оказалось маловероятным. При других m будемиметь:

P5(1) = C15 · (0, 9)1 · (0, 1)4 =

5!

1!4!· 0, 9 · 10−4 ≈ 0, 0005,

P5(2) = C25 · (0, 9)2 · (0, 1)3 =

5!

2!3!· 0, 81 · 10−3 ≈ 0, 0081,

P5(3) = C35 · (0, 9)3 · (0, 1)2 =

5!

3!2!· 0, 729 · 10−2 ≈ 0, 0729,

P5(4) = C45 · (0, 9)4 · (0, 1)1 =

5!

4!1!· 0, 6561 · 0, 1 ≈ 0, 32805,

P5(5) = C55 · (0, 9)5 · (0, 1)0 ≈ 0, 59049.

284

Здесь сумма всех вероятностей5∑

m=0

P5(m) = 1.

Так как вероятность p = 0, 9 довольно высокая, то наиболее вероятнымоказался выпуск пяти стандартных изделий.

Пример 90.3. Продукция моторного завода содержит 7% брака. Най-ти вероятность того, что среди наудачу выбранных шести двигателей:а) не окажется ни одного бракованного, б) не более двух будут бракован-ными, в) более двух будут бракованными.

Р е ш е н и е: Здесь n = 6, p = 0, 07, q = 0, 93.а) Вероятность P1 того, что не окажется ни одного бракованного двигателя,найдем по формулле Бернулли

при m = 0, P6(0) = C06 · (0, 07)0 · (0, 93)6 ≈ 0, 647.

б) найдем сначала вероятности P6(1) и P6(2):

P6(1) = C16 · (0, 07)1 · (0, 93)5 ≈ 0, 292,

P6(2) = C26 · (0, 07)2 · (0, 93)4 ≈ 0, 055.

Тогда вероятность P2 того, что не более двух двигателей будут бракован-ными, определится как сумма

P2 = P6(0) + P6(1) + P6(2) ≈ 0, 994.

в) Так как6∑

m=0

P6(m) = 1,

то искомая вероятность P3 того, что более двух двигателей будут брако-ванными, определяется как сумма вероятностей:

P3 =6∑

m=3

P6(m) =6∑

m=0

P6(m)−2∑

m=0

P6(m) ≈ 1− 0, 994 = 0, 006.

Ответ: P1 ≈ 0, 647 P2 ≈ 0, 994 P3 ≈ 0, 006.

Пример 90.4. Рабочий производит с вероятностью 0,92 годное изде-лие, с вероятностью 0,06 - изделие с устранимым браком и с вероятно-стью 0,02 - с неустранимым браком. Произведено 50 изделий. Определитьвероятность того, что среди них будет три изделия с устранимым бра-ком и одно с неустранимым браком.


Р е ш е н и е: Применим для решения данной задачи формулу (89.2)полиномиального распределения. Здесь

n = 50, p1 = 0, 92, p2 = 0, 06, p3 = 0, 02,

k2 = 3, k3 = 1, k1 = n− k2 − k3 = 46.

Тогда

P50(46, 3, 1) =50!

46!3!1!· 0, 9246 · 0, 063 · 0, 021 =

47 · 48 · 49 · 50

6· 0, 02162 · 0, 000216 · 0, 02 ≈ 0, 086.

Здесь величину 0, 9246, а также все выражение можно, например, вычис-лить в Mathcad.

В примере 90.2 наиболее вероятное число выпуска стандартных изделийбыло определено только после вычисления всех вероятностей появленияэтих изделий. Однако наивероятнейшее число m∗ появления события A вn независимых испытаниях можно определить по формуле (89.3).

Пример 90.5. Заявки на получение инструмента поступают на складот восьми цехов ежедневно и независимо. Вероятность получения заявкиот каждого склада равна 0,6. Найти наивероятнейшее число заявок в деньи вероятность получения этого числа заявок.

Р е ш е н и е: Здесь n = 8, p = 0, 6, q = 0, 4. Тогда

(n+ 1)p− 1 6 m∗6 (n+ 1)p или 4, 4 6 m∗

6 5, 4.

Следовательно, наиболее вероятное число заявок m∗ = 5. Вероятность пятизаявок из восьми равна

P8(5) = C58 · (0, 6)5 · (0, 4)3 =

8!

3!5!· 0, 07776 · 0, 064 ≈ 0, 279.

Ответ: m∗ = 5, P8(5) ≈ 0, 28.

Пример 90.6. Вероятность получения в цехе изделий первого сортаравна 0,75. На контроль принята партия в 103 изделия. Какое число из-делий первого сорта в ней наиболее вероятно?

Р е ш е н и е: Обозначим p = 0, 75, q = 0, 25, n = 103. Тогда

0, 75 · 104− 1 6 m∗6 0, 75 · 104 или 77 6 m∗

6 78.

Так как здесь (n+ 1)p есть целое число, то существуют два наивероятней-ших числа: m∗ = 77, m∗ = 78.

Рассмотрим задачи с применением локальной и интегральной теоремЛапласа.

Ответ: m∗ = 77 и 78.

286

Пример 90.7. Вероятность того, что изделия некоторого производ-ства будут отнесены к первому сорту, равна 0,56. Чему равна вероят-ность того, что из 120 случайно взятых изделий производства 67 ока-жется первого сорта?

Р е ш е н и е: В данной задаче

n = 120, p = 0, 56, q = 0, 44, m = 67, npq = 29, 568.

Применим локальную теорему Лапласа. Так как

x =m− np√npq

=67− 120 · 0, 56√

29, 568≈ −0, 04,

ϕ(−0, 04) = ϕ(0, 04) = 0, 3986,

то:

P120(67) =ϕ(x)√npq

=0, 3986√29, 568

≈ 0, 073.

Нетрудно убедиться в том ,что наивероятнейшее число здесь m∗ = 67, од-нако вероятность появления m∗, как видим, сравнительно мала (≈ 0, 07).Это объясняется тем, что значения вероятности распределены от m = 0 доm = 120.

Ответ: P120(67) ≈ 0, 07.

Пример 90.8. В цехе находится 150 станков. Вероятность того, чтоодин станок в течение смены потребует к себе внимания, равна 0,2. Най-ти вероятности того, что: а) за смену 40 станков потребуют к себевнимания, б) от 25 до 35 станков потребуют к себе внимания.

Р е ш е н и е: а) В первом случае можно применить локальную теоремуЛапласа, так как n = 150, т.е. n > 100, а при p = 0, 2, q = 0, 8 величинаnpq = 24 > 20. Здесь m = 40,

x =m− np√npq

=40− 150 · 0, 2√

24=

5√6≈ 2, 04.

По таблице найдем ϕ(2, 04) = 0, 05 и, согласно (89.4), получим:

P150(40) ≈ 0, 05/√

24 ≈ 0, 010.

б) Во втором случае используем интегральную теорему (89.2). Здесьm1 = 25, m2 = 35,

x1 =m1 − np√

npq=

25− 30√24

≈ −1, 02,

x2 =m2 − np√

npq=

35− 30√24

≈ 1, 02.


С помощью (89.6) найдем

P150(25 6 m 6 35) = Φ(1, 02)− Φ(−1, 02) =

= 2Φ(1, 02) = 2 · 0, 346 = 0, 692.

Ответ: P150(40) ≈ 0, 01 P150(25 6 m 6 35) ≈ 0, 69.

Пример 90.9. Доля изделий продукции завода высшего качества со-ставляет 40%. Найти вероятности того, что из отобранных 300 изде-лий окажется высшего качества: а) от 110 до 140 изделий, б) не менее110 изделий, в) не более 109 изделий.

Р е ш е н и е: Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Здесьn = 300, p = 0, 4, q = 0, 6.

а) Найдем аргументы функции Лапласа при m1 = 110 и m2 = 140:

x1 =m1 − np√

npq=

110− 300 · 0, 4√72

= − 5

3√

2≈ −1, 18,

x2 =m2 − np√

npq=

140− 300 · 0, 4√72

=10

3√

2≈ 2, 36.

Тогда

P300(110 6 m 6 140) = Φ(2, 36)− Φ(−1, 18) = 0, 491 + 0, 381 = 0, 872.

Эта вероятность оказалась довольно высокой вследствие того, что былипросуммированы вероятности вблизи наивероятнейшего числа m∗ = 120.

б) В этой части задачи нужно положить m1 = 110, а m2 = 300. Значениеx1 было найдено в пункте а, другой параметр

x2 =300− 120√

72=

180

6√

2≈ 21.

Соответствующая вероятность

P300(110 6 m 6 300) = Φ(21)− Φ(−1, 18) = 0, 5 + 0, 381 = 0, 881.

в) Так как сумма вероятностей

P300(0 6 m 6 109) и P300(110 < m < 300)

равна 1, то

P300(0 6 m 6 109) = 1− P300(110 < m < 300) = 1− 0, 881 = 0, 119.

Ответ: P300(110 6 m 6 140) ≈ 0, 87; P300(110 6 m 6 300) ≈ 0, 88;P300(0 6 m 6 109) ≈ 0, 12.

Для случая, когда n велико и p мало (меньше 0,1) выражение (89.6)дает плохую оценку. В этом случае пользуются асимптотической формулойПуассона.

288

Пример 90.10. При перевозке автомобилей по железной дороге веро-ятность того, что один автомобиль в пути получит повреждение, равна0,003. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено три ав-томобиля, если их отправлено 200.

Р е ш е н и е: Поскольку n = 200, p = 0, 003, np = 0, 6, то при m = 3

P200(3) =0, 63 · e−0,6

3!≈ 0, 036

1, 8221≈ 0, 019.

Ответ: P200(3) ≈ 0, 02.

Пример 90.11. Вероятность остановки автобуса из-за поломки в те-чение смены равна 0,004. Найти вероятности того, что в течение сме-ны из 1000 машин, вышедших на линии, остановятся: а) две машины, б)пять машин, в) ни одна не остановится.

Р е ш е н и е: В данном случае n = 1000, p = 0, 004, np = 4, поэтомуможно применить формулу Пуассона.

а) Здесь m = 2 и

P1000(2) =42 · e−4

2!=

8

e4≈ 0, 147.

б) Так как m = 5, то

P1000(5) =45 · e−4

5!≈ 128

15 · 54, 6≈ 0, 156.

в) При m = 0

P1000(0) =1

e4≈ 1

54, 6≈ 0, 018.

Ответ: P1000(2) ≈ 0, 15; P1000(5) ≈ 0, 16; P1000(0) ≈ 0, 02.

Пример 90.12. Продукция некоторого производства содержит 1% бра-кованных изделий. Найти вероятность того, что среди 200 изделий ока-жется бракованных: а) ровно три, б) менее трех, в) более трех, г) хотябы одно.

Р е ш е н и е: Так как n = 200, p = 0, 01, то np = 2.а) Вероятность того, что три изделия будут бракованными,

P200(3) =23 · e−2

3!≈ 0, 180.

б) Вероятность того, что менее трех изделий будут бракованными, най-дется как сумма

P200(m < 3) = P200(0) + P200(1) + P200(2) =


=20 · e−2

0!+

21 · e−2

1!+

22 · e−2

2!≈ 0, 677.

в) Поскольку сумма200∑

m=0

P200(m) = 1,

то вероятность наличия более трех бракованных изделий

P200(m > 3) = 1−3∑

m=0

P200(m) = 1− (0, 677 + 0, 180) = 0, 143.

г) События “хотя бы одно изделие бракованное” и “ни одно изделиенебракованное” противоположные, поэтому искомая вероятность

P = 1− P200(0) = 1− e−2 ≈ 0, 865.

Ответ: P200(3) ≈ 0, 180; P200(m < 3) ≈ 0, 68; P200(m > 3) ≈ 0, 14.Если в условиях применимости интегральной теоремы Лапласа требу-

ется оценить отклонение относительной частоты появления события от со-ответсвующей вероятности, то используют приближенную формулу (89.8).

Пример 90.13. Вероятность появления события в каждом из 800независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что отно-сительная частота появления события отклонится от его вероятностипо абсолютной величине не более чем на 0,03.

Р е ш е н и е: Здесь n = 800, p = 0, 6, q = 0, 4, ε = 0, 03. Нужно найтивероятность

P (| m800− 0, 8| 6 0, 03).

По формуле (89.8) эта вероятность равна

2 · Φ(0, 03 ·√

800

0, 6 · 0, 4) ≈ 2 · Φ(1, 73).

По таблицам найдем Φ(1, 73) = 0, 458. Следовательно, искомая вероятностьравна 2 · 0, 458 = 0, 916.

Ответ: 0,92.


Пример 90.14. Определить вероятность того, что в семье, имеющейпять детей, будет два мальчика. Вероятность рождения мальчика при-нять равной 0,51, девочки — 0,49.

290

Пример 90.15. Вероятность изготовления бракованного изделия равна0,02. Из большой партии изделий отбирается 10 штук и проверяется ихкачество. Если среди них окажется два или более бракованных, то всяпартия не принимается. Определить вероятность того, что вся партиябудет отвергнута.

Пример 90.16. Вероятность того, что диаметр вала меньше допу-стимого, больше допустимого и в допустимых пределах, равны соответ-ственно 0,05, 0,08, 0,87. Из общей партии берутся для проверки 100 валов.Определить вероятность того, что среди них будет два вала с меньшимдиаметром и один вал с большим диаметром.

Пример 90.17. Брак выпускаемых цехом деталей составляет 6%.Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 500штук.

Пример 90.18. Вероятность появления события в каждом испыта-нии равна 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы наивероят-нейшее число появлений события равнялось 10?

Пример 90.19. Брак изделий цеха составляет 12%. Найти вероят-ность того, что из 300 изделий цеха будет забраковано 35.

Пример 90.20. Вероятность того, что деталь не прошла проверкуОТК, равна 0,25. Найти вероятность того, что среди 200 случайно ото-бранных деталей непроверенными окажутся от 40 до 50.

Пример 90.21. Вероятность, что изделие фабрики будет отличногокачества, равна 0,75. Найти вероятность того, что из 100 изделий фа-брики отличного качества будет: а) не менее 71 и не более 80 изделий, б)не менее 71 изделий, в) не более 70 изделий.

Пример 90.22. Вероятность брака при производстве деталей равна0,001. Найти вероятности того, что в партии из 5000 деталей окажет-ся: а) две бракованные детали, б) не менее двух бракованных деталей.

Пример 90.23. На факультете 1000 студентов. Вероятность того,что один студент заболеет в течение недели, равна 0,002. Найти веро-ятность того, что в течение недели заболеет более трех студентов.

Пример 90.24. Отдел технического контроля проверяет 625 изделийна брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,02. Найтис вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m бра-кованных изделий среди проверенных.

91 Лекция — Непрерывные случайные величины 291

91. ЛЕКЦИЯ — Непрерывные случайныевеличины

Функция распределения. Функция распределения непрерывной слу-чайной величины. Плотность распределения. Математическое ожи-дание и дисперсия непрерывных случайных величин

91.1. Функция распределенияКак было отмечено в предыдущей лекции, дискретная случайная ве-

личина полностью определяется своим законом распределения — таблицей90.1. Однако на ряду с дискретными случайными величинами, принимаю-щими отдельные значения, существуют другие, принимающие все значенияиз некоторого промежутка. Их невозможно задать перечислением всех при-нимаемых ими значений, поэтому был предложен универсальный способзадания случайной величины, пригодный во всех случаях.

Определение 91.1. Функцией распределения F (x) случайной величиныξ называется вероятность того, что ξ приняла значение меньшее :

(91.1) F (x) = P{ξ < x}.

Пример 91.1. Найти F (x) и построить ее график для случайной ве-личины из примера 90.3.

Р е ш е н и е: Проще всего решить эту задачу, находя значение F (x) вотдельных точках по формуле (91.1):

F (0) = P{ξ < 0} = 0; F (0, 5) = P{ξ < 0, 5} = 0;

F (1) = P{ξ < 1} = 0;F (2) = P{ξ < 2} = 0, 1;

F (1, 1) = P{ξ < 1, 1} = 0, 1; F (1, 9) = P{ξ < 1, 9} = 0, 1;

F (2, 1) = P{ξ < 2, 1} = P{ξ = 1 или ξ = 2} = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5;

F (4) = P{ξ < 4} = P{ξ = 1 или ξ = 2} = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5;

F (5) = P{ξ < 5} = P{ξ = 1 или ξ = 2} = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5;

F (6) = P{ξ < 6} = 0, 1 + 0, 4 + 0, 3 = 0, 8;

F (9) = P{ξ < 9} = 0, 1 + 0, 4 + 0, 3 = 0, 8;

F (10) = P{ξ < 10} = 0, 1 + 0, 4 + 0, 3 = 0, 8; и т.д.

292

Понятно, что F(x) имеет вид неубывающей ступенчатой функции, непре-рывной слева:

F (x) =

0 при x 6 1;0, 1 при 1 < x 6 2;0, 5 при 2 < x 6 5;0, 8 при 5 < x 6 10;1 при 10 < x.

Ее график изображен на рис. 91.1.

0,1

0,5

0,8

1,0

1 2 5 10 x

y

Рис. 91.1. Функция распределения дискретной слу-

чайной величины

Рассмотрим свойства функции распределения.

(1) 0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1;(2) P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1);(3) F (x) не убывает;(4) F (x) непрерывна слева;(5) Для дискретной случайной величины, задаваемой таблицей 90.1,

функция распределения ступенчатая с разрывами в точках xi и вы-сотой ступенек равной сумме всех вероятностей значений, не пре-восходящих данных (см. рис. 91.1).

Свойство 1 непосредственно вытекает из определения 91.1.Для доказательства свойства 2 запишем F (x2) = P{ξ < x2} в виде

суммы вероятностей несовместных событий:

F (x2) = P{ξ < x2} = P{ξ < x1 или x1 6 ξ < x2} = P{ξ < x1}++P{x1 6 ξ < x2} = F (x1) + P{x1 6 ξ < x2} ⇐⇒ F (x2) = F (x1)+

+P{x1 6 ξ < x2} ⇐⇒⇐⇒ P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1).


Свойство 3 немедленно вытекает из только что доказанного, т.к. дляx2 > x1 получаем:

F (x2)− F (x1) = P{x1 6 ξ < x2} > 0 =⇒ F (x2) > F (x1).

Свойство 4 примем без доказательства. Напомним, что функция F (x)называется непрерывной слева в точке x, если lim

x→a−F (x) = F (a). Как вид-

но из рис. 91.1, это свойство выполняется для функции распределения дис-кретной случайной величины. Для остальных рассмотренных в данной кни-ге случайных величин оно также будет выполнено, т.к. F (x) будет непре-рывна.

91.2. Функция распределения непрерывнойслучайной величины

Определение 91.2. Функция F (x) обладает кусочно непрерывной про-изводной, если ее производная F ′(x) непрерывна везде, кроме конечного(или бесконечного счетного) множества точек, в которых F ′(x) можетиметь разрывы 1-го рода.

В частности, если производная F ′(x) непрерывна, то она кусочно непре-рывна, т.к. множество точек разрыва пусто.

Определение 91.3. Случайная величина ξ называется непрерывной,если ее функция F (x) непрерывна и обладает кусочнонепрерывной произ-водной F ′(x).

Свойства функции распределения непрерывной случайной величины :(1) 0 6 F (x) 6 1, F (−∞) = 0, F (+∞) = 1;(2) P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1);(3) F (x) не убывает;(4) F (x) непрерывна;(5) P{ξ = a} = 0 для любого числа a.

Доказательства первых 3 свойств дословно повторяют приведенные впункте 91.1. Свойство 4 следует из определения 91.2. Докажем свойство5: P{a 6 ξ < a + ∆x} = F (a + ∆x) − F (a) при ∆x > 0 в соотвествии сосвойством 2. Отсюда, пользуясь свойством 4, получаем:

lim∆x→0+

P{a 6 ξ < a+ ∆x} =

= lim∆x→0+

(F (a+ ∆x)− F (a)

)= F (a)− F (a) = 0.

Но lim∆x→0+

P{a 6 ξ < a + ∆x} = P{a 6 ξ 6 a} = P{ξ = a}, откуда полу-

чаем свойство 5: непрерывная случайная величина принимает каждое своезначение с нулевой вероятностью.

294

График функции распределения рассматриваемых в данной книгенепрерывных случайных величин может иметь один из видов, представ-ленных на рис. 91.2.

x1 x2

F(x)

xax1 x2

F(x)

x

1

b

а бF(x)

x

1

ba

F(x)

x

1

в г

Рис. 91.2. Функция распределения непрерывной

случайной величины

Заметим, что для представленной на рис. 91.2,а функции распределенияслучайная величина с нулевой вероятностью принимает значения из проме-жутков, лежащих левее точки a: P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)−F (x1) = 0−0 = 0.Для функции распределения (рис. 91.2,б) случайная величина с нулевой ве-роятностью принимает значения из промежутков, лежащих правее точкиb: P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1) = 1− 1 = 0.

Для функции распределения рис. 91.2,в ненулевая вероятность попастьв заданный промежуток будет только для промежутков, принадлежащих(a; b).

Замечание 91.1. Свойство 2 означает, что вероятность того, чтослучайная величина попала в заданный промежуток, равна приращениюфункции распределения на этом промежутке: чем больше выросла функ-ция распределения, тем больше эта вероятность. Причем для непрерыв-ных случайных величин не имеет значения, строгое или нестрогое равен-ство, т.к. в соответствии со свойством 5 это не изменяет вероятностьпопадания в промежуток.

91.3. Плотность распределенияВ соответствии с только что сделанным замечанием вероятность попа-

дания случайной величины в заданный промежуток зависит от скоростироста функции распределения. Поэтому непрерывную случайную величи-ну задают, используя производную от функции распределения.


Определение 91.4. Плотностью распределения ϕ(x) (или дифферен-циальной функцией распределения) непрерывной случайной величины ξ на-зывают первую производную от ее функции распределения:

(91.2) ϕ(x) = F ′(x).

Замечание 91.2. Поскольку функция распределения дискретной слу-чайной величины имеет ступенчатую форму, для ее описания плотностьраспределения неприменима.

Свойства плотности распределения:

(1) ϕ(x) > 0;(2) ϕ(−∞) = ϕ(+∞) = 0;(3) ϕ(x) кусочно непрерывная функция;

(4) F (x) =

x∫

−∞

ϕ(t)dt;

(5) P{x1 6 ξ < x2} =

x2∫

x1

ϕ(x)dx;

(6)

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx = 1.

Первые 4 свойства являются непосредственным следствием определе-ния 91.3 и соответствующих свойств функции распределения (докажитеих самостоятельно).

Свойство 5 является по сути известной формулой Ньютона – Лейбница,т.к. F (x) — первобразная для ϕ(x):

P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1) =

x2∫

x1

ϕ(x)dx.

Отсюда немедленно вытекает свойство 6:

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx = P{−∞ < ξ < +∞} = 1.

Свойство 5 означает, что площадь криволинейной трапеции над проме-жутком [x1; x2) под графиком ϕ(x) равна вероятности попадания в этотпромежуток (см. рис. 91.3).

296

x1 x2

(x)ϕ

x

Рис. 91.3. Вероятность попадания в промежуток

Если x2 близко к x1, промежуток мал и площадь криволинейной трапе-ции можно заменить площадью прямоугольника. Мы получим, что вероят-ность попадания непрерывной случайной величины в интервал (x; x+∆x)приближенно равна ϕ(x) ·∆x.

Вероятностный смысл плотности ϕ(x) заключается в следующем. Плот-ность ϕ(x) непрерывной случайной величины ξ равна вероятности попада-ния в малый интервал (x; x+∆x), отнесенной к длине этого интервала.

Для функций распределения, представленных на рис. 91.2, плотностираспределения будут иметь вид, показанный рис. 91.4.

(x)ϕ

xa

(x)ϕ

b x

а б(x)ϕ

b xa

(x)ϕ

x

в г

Рис. 91.4. Плотность распределения

Пример 91.2. Плотность непрерывной случайной величины ξ заданаформулами:

ϕ(x) =

{C при x ∈ [0; 4];0 при x /∈ [0; 4].


Найти константу C и вычислить P{0 < ξ < 3}.Р е ш е н и е: На основании свойства 6 плотности распределения имеем:

4∫

0

Cdt = 1 =⇒ C · 4 = 1 =⇒ C =1

4.

Таким образом ϕ(x) =

{1/4 при x ∈ [0; 4];0 при x /∈ [0; 4].

Далее на основании свойства 5 плотности имеем:

P{0 < ξ < 3} =

3∫

0

1

4dt =

1

4t∣∣∣3

0=

3

4.

Ответ: C =1

4; P{0 < ξ < 3} =

3

4.

91.4. Математическое ожидание и дисперсиянепрерывных случайных величин

Распространим понятие математического ожидания и дисперсии нанепрерывные случайные величины. Допустим, что непрерывная случайнаявеличина ξ принимает все значения из некоторого [a; b]. Разобьем его на nмаленьких отрезков длиной ∆x1,∆x2, . . . ,∆xn и выберем в каждом из нихпроизвольную точку Ci (i = 1, 2, . . . , n). Считая, что случайная величи-на ξ может принимать только значение Ci с вероятностями Pi = ϕ(Ci)∆xi

(вероятности попадания в i-й отрезок), найдем математическое ожиданиеэтой дискретной случайной величины:

∑

i

Ciϕ(Ci)∆xi.

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из част-

ных отрезков, получим определенный интеграл

b∫

a

xϕ(x)dx.

Определение 91.5. Математическим ожиданием непрерывной слу-чайной величины ξ с плотностью распределения ϕ(x) называется:

(91.3) M(ξ) =

+∞∫

−∞

xϕ(x)dx.

298

Определение дисперсии как математического ожидания квадрата от-клонения полностью сохраняется на непрерывных случайных величинах:

D(ξ) = M(ξ −M(ξ)

)2.

Вычисление дисперсии непрерывной случайной величины с учетом (91.3)следует вести по следующей формуле:

(91.4) D(ξ) =

+∞∫

−∞

(x−M(ξ)

)2ϕ(x)dx.

Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные влекции 90, сохраняются в этом случае. Доказательства свойств дисперсии влекции 90 не были привязаны к формуле (90.1) и остаются справедливымидля непрерывных случайных величин.

Так, например, вычисление дисперсии удобнее проводить по формуле(90.4), которая для непрерывных случайных величин принимает вид:

(91.5) D(ξ) =

+∞∫

−∞

x2ϕ(x)dx−(M(ξ)

)2.

Наряду с дисперсией для характеристики разброса непрерывной слу-чайной величины вокруг ее среднего значения используется среднее квад-ратическое отклонение:

(91.6) σ(ξ) =√D(ξ).

Пример 91.3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднееквадратическое отклонение непрерывной случайной величины из примера91.1.

Р е ш е н и е: По формуле (91.3), поскольку плотность ϕ(x) отлична от

нуля только при x ∈ [0; 4], M(ξ) =

4∫

0

1

4xdx =

x2

8

∣∣∣∣∣

4

0

= 2.

По формуле (91.5), поскольку плотность ϕ(x) отлична от нуля толькопри x ∈ [0; 4], с учетом M(X) = 2, найденного в примере 91.1, получаем:

D(ξ) =

4∫

0

x2 · 14dx− (2)2 =

x3

12

∣∣∣∣∣

4

0

− 4 =16

3− 4 =

4

3.

По формуле (91.6) находим σ(x):

σ(ξ) =

√4

3=

2√3≈ 1, 2.

91 Практика — Дискретные случайные величины 299

Ответ: M(ξ) = 2, D(ξ) = 43, σ(ξ) ≈ 2√

3.

91. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Дискретные случайные величины

Пример 91.1. Дискретная случайная величина задана следующим за-коном распределения:

ξ 4 6 7 10 11p 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1

Построить многоугольник распределения.

Р е ш е н и е: Возьмем прямоугольную систему координат, причем пооси абсцисс будем откладывать возможные значения xi, а по оси ординат -соответсвующие вероятности pi. Нанесем точки

M1(4; 0, 1),M2(6; 0, 3),M3(7; 0, 2),M4(10; 0, 3),M5(11; 0, 1)

и соединим их отрезками прямых. С учетом боковых ординат получим за-мкнутый многоугольник.

4 6 7 10 11

Решение примера 6.1.

Пример 91.2. Случайная величина ξ - число появлений цифры 5 приоднократном бросании игральной кости. Найти ряд распределения этойслучайной величины.

Р е ш е н и е: Случайная величина ξ может принять значение 0, еслипри бросании игральной кости цифра 5 не появится, и 1, если цифра 5появится. Их вероятности

P{ξ = 0} = 1− 1

6=

5

6, P{ξ = 1} =

1

6.

Таблица распределения имеет вид:ξ 1 1p 5/6 1/6

Пример 91.3. В группе из 15 туристов 10 человек из Москвы. Наудачуотобраны 3 туриста. Составить закон распределения числа туристов изМосквы среди отобранных.

300

Р е ш е н и е: Дискретная случайная величина ξ - число туристов изМосквы среди отобранных принимает следующие возможные значения:

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.

Вероятности возможных значений ξ найдутся здесь по формуле гипергео-метрического распределения:

P{ξ = k} = Ckn · Cm−k

N−n/CmN ,

гдеN - общее число туристов, n - количество туристов из Москвы,m - числоотобранных туристов, k - число туристов из Москвы среди отобранных.Тогда

P{ξ = 0} =C0

10 · C35

C315

=2

91, P{ξ = 1} =

C110 · C2

5

C315

=20

91,

P{ξ = 2} =C2

10 · C15

C315

=45

91, P{ξ = 3} =

C310 · C0

5

C315

=24

91.

Закон распределения примет вид:ξ 0 1 2 3p 2/91 20/91 45/91 24/91

Здесь сумма вероятностей равна единице.

Пример 91.4. В коробке имеются 4 карточки с номерами от 0 до 3.Наудачу достали две карточки. Принять за случайную величину суммуномеров карточек. Построить ряд распределения.

Р е ш е н и е: Из четырех чисел можно составить всего шесть сумм:

0 + 1, 0 + 2, 0 + 3, 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3.

Вероятности получения каждой суммы одинаковы и равны 1/6, но сумма,определяемая числом 3, встречается два раза. Таким образом, получаемследующий ряд распредения для сумм:

ξ 1 2 3 4 5p 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6

Пример 91.5. На пути движения автомашины 4 светофора, каждыйиз которых либо разрешает дальнейшее движение автомобиля с вероят-ностью 0,3, либо запрещает с вероятностью 0,7. Пусть случайная ве-личина ξ - число пройденных машиной светофоров до первой остановки.Построить таблицу распределения вероятностей.

Р е ш е н и е: Случайная величина ξ может принимать следующие значе-ния: 0, 1, 2, 3, 4. Найдем вероятности, с которыми она принимает эти значе-ния. Здесь имеет место геометрическое распределение, где p = 0, 7, q = 0, 3.


P{ξ = 0} есть вероятность, что автомашина не пройдет ни одного свето-фора, т.е. остановится перед первым. Но эта вероятность, согласно усло-вию, равна 0,7. Итак, P{ξ = 0} = 0, 7. С другой стороны, P{ξ = 1} естьвероятность совмещения двух событий: машина пройдет первый светофори остановится перед вторым. Следовательно,

P{ξ = 1} = p · q = 0, 7 · 0, 3 = 0, 21.

Аналогично рассуждая, найдем, что

P{ξ = 2} = p · q2 = 0, 063, P{ξ = 3} = p · q3 = 0, 0189,

P{ξ = 4} = q4 = 0, 0081.

Таким образом, таблица распределения имеет вид:ξ 0 1 2 3 4p 0,7000 0,2100 0,0630 0,0189 0,0081

Пример 91.6. Автоматическая линия при нормальной настройке мо-жет выпускать годное изделие с вероятностью p. Переналадка линиипроизводится сразу же после выпуска первого бракованного изделия. Най-ти ряд распределения числа изделий, изготовленных между двумя пере-наладками линии.

Р е ш е н и е: Здесь будет также геометрическое распределение, таккак линия работает до тех пор, пока не появится бракованное изделие.Вероятность выпуска первого же изделия бракованным равна 1 − p = q,т.е. P{ξ = 1} = q. Линия выпустит два изделия, если первое изделие будетгодным, а второе бракованным. Тогда по теореме умножения P{ξ = 2} == p · q. Аналогично

P{ξ = 3} = p2 · q, ..., P{ξ = m} = pm−1 · q, ...Окончательно таблица распределения имеет вид:

ξ 1 2 3 ...p q pq p2q ...

По сравнению с обычной записью геометрического распределения p и qв данном случае поменялись местами.

Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин.

Пример 91.7. Случайная величина ξ определяется следующим рядомраспределения:

ξ 1,2 1,6 2,3 3,2 4,5p 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич-ное отклонение данной случайной величины.

302

Р е ш е н и е: Математическое ожидание равно сумме произведенийвсех ее возможных значений на их вероятности:

M(ξ) =

n∑

i=1

xi · pi

или

M(ξ) = 1, 2 · 0, 2 + 1, 6 · 0, 4 + 2, 3 · 0, 1 + 3, 2 · 0, 2 + 4, 5 · 0, 1 = 2, 2.

Для нахождения дисперсии по формуле

D(ξ) = M(ξ2)−M(ξ)2

сначала найдем M(ξ2):M(ξ2) = 1, 22 ·0, 2+1, 62 ·0, 4+2, 32 ·0, 1+3, 22 ·0, 2+4, 52 ·0, 1 = 1, 44 ·0, 2+

+ 2, 56 · 0, 4 + 5, 29 · 0, 1 + 10, 24 · 0, 2 + 20, 25 · 0, 1 = 5, 914.Таким образом, дисперсия

D(ξ) = 5, 914− 2, 22 = 1, 074.

Среднее квадратичное отклонение найдем как корень квадратный из дис-персии:

σ(ξ) =√D(ξ) =

√1, 074 ≈ 1, 036.

Ответ: M(ξ) = 2, 2; D(ξ) = 1, 074; σ(ξ) ≈ 1, 036.

Пример 91.8. Найти математическое ожидание случайной величиныζ, если

ζ = 4ξ + 3η, M(ξ) = 11, M(η) = 8.

Р е ш е н и е: Поскольку математическое ожидание суммы случайныхвеличин равно сумме математических ожиданий этих величин и постоян-ный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то

M(ζ) = M(4ξ + 3η) = M(4ξ) +M(3η) =

= 4 ·M(ξ) + 3 ·M(η) = 4 · 11 + 3 · 8 = 68.

Ответ: M(ξ) = 68.

Пример 91.9. Случайные величины ξ и η независимы. Найти диспер-сию случайной величины ζ = 5ξ − 6η, если D(ξ) = 3, D(η) = 2.

Р е ш е н и е: С учетом того, что дисперсия разности независимыхслучайных величин равна сумме дисперсий слагаемых и что постоянныймножитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, по-лучим:

D(ζ) = D(5ξ − 6η) = D(5ξ) +D(6η) =

= 25 ·D(ξ) + 36 ·D(η) = 25 · 3 + 36 · 2 = 147.

Ответ: D(ξ) = 147.


Пример 91.10. Дискретная случайная величина ξ принимает три воз-можных значения: x1 с вероятностью p1; x2 = 5 с вероятностью p2 = 0, 4и x3 = 4 с вероятностью p3 = 0, 5. Найти x1 и p1, зная, что математи-ческое ожидание M(ξ) = 6.

Р е ш е н и е: Так как в любом законе распределения сумма вероятностейравна 1, то p1 = 1− p2 − p3 = 0, 1. Подставляя в равенство

M(ξ) = x1p1 + x2p2 + x3p3

числовые данные, получим 6 = x1 · 0, 1 + 5 · 0, 4 + 4 · 0, 5. Отсюда найдемx1 = 20.

Ответ: x1 = 20; p1 = 0, 1.

Пример 91.11. Возможные значения дискретной случайной величиныравны: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 6. Кроме того, известны математическиеожидания этой величины и ее квадрата: M(ξ) = 4, 4;M(ξ2) = 22. Найтивероятности p1, p2, p3, соответствующие значениям x1, x2, x3.

Р е ш е н и е: С учетом заданных условий можно составить системуследующих трех уравнений:

p1 + p2 + p3 = 12 · p1 + 5 · p2 + 6 · p3 = 4, 422 · p1 + 52 · p2 + 62 · p3 = 22.

Решив эту систему, найдем искомые вероятности:

p1 = 0, 3 p2 = 0, 4, p3 = 0, 3.

Ответ: p1 = 0, 3; p2 = 0, 4; p3 = 0, 3.

Пример 91.12. В ящике лежит n изделий, из которых одно брако-ванное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока небудет вынуто бракованное изделие. Составить ряд распределения числавынутых изделий. Найти M(ξ) и D(ξ) этой случайной величины ξ.

Р е ш е н и е: Вероятность того, что первое вынутое изделие будетбракованным, равна p1 = 1/n. Вероятность того, что первое изделие будетгодным, а второе бракованным, по теореме умножения равна

p2 =n− 1

n· 1

n− 1=

1

n.

Если два первых изделия годные, а третье - нет, то

p3 =n− 1

n· n− 2

n− 1· 1

n− 2=

1

n

и т.д. Таким образом, получаем закон распределения

304

ξ 1 2 3 ... np 1/n 1/n 1/n ... 1/n

Для решения задачи воспользуемся известными суммами:

1 + 2 + 3 + ...+ n =n(n+ 1)

2,

12 + 22 + 32 + ...+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Тогда

M(ξ) =

n∑

i=1

xipi =1

n(1 + 2 + 3 + ...+ n) =

n+ 1

2.

M(ξ2) =n∑

i=1

x2i pi =

1

n(12 + 22 + 32 + ...+ n2) =

(n+ 1)(2n+ 1)

6,

D(ξ) =(n+ 1)(2n+ 1)

6− (

n+ 1

2)2 =

n2 − 1

12.

Ответ: M(ξ) = n+12

; D(ξ) = n2−112

.

Пример 91.13. Брошены три игральные кости. Найти математиче-ское ожидание и дисперсию суммы числа очков, которые выпадут на всехтрех гранях.

Р е ш е н и е: Обозначим через ξi дискретную случайную величину -число очков, выпавших на грани i-ой кости, а через ξ - сумму числа очков,которые выпадут на всех гранях. Тогда ξ = ξ1 + ξ2 + ξ3 и

M(ξ) = M(ξ1 + ξ2 + ξ3) = M(ξ1) +M(ξ2) +M(ξ3).

Кроме того, поскольку случайные величины ξi независимы, то

D(ξ) = D(ξ1 + ξ2 + ξ3) = D(ξ1) +D(ξ2) +D(ξ3).

Случайные величины ξi имеют одинаковое распределение, а следовательно,и одинаковые числовые характеристики. С учетом этого получим:

M(ξ) = 3 ·M(ξ1), D(ξ) = 3 ·D(ξ1).

Вероятности выпадения любого числа очков равны, поэтому закон распре-деления для ξ1 имеет вид:

ξ1 1 2 3 4 5 6p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6


Так как математическое ожидание

M(ξ1) =1

6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =

7

2,

то M(ξ) = 3 · (7/2) = 21/2.Математическое ожидание для квадрата одной случайной величины

M(ξ21) =

1

6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) =

91

6,

а соответствующая дисперсия

D(ξ1) = M(ξ21)−M2(ξ1) =

91

6− (

7

2)2 =

35

12.

Дисперсия суммы числа очков на всех гранях D(ξ) = 3 · 35/12 = 35/4.Ответ: M(ξ) = 21/2; D(ξ) = 35/4.


Пример 91.14. Дискретная случайная величина задана следующим за-коном распределения:

ξ 2 5 6 10 12p 0,1 0,2 0,4 0,1 0,2

Построить многоугольник распределения.

Пример 91.15. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4.Вынули три шара. Случайная величина ξ - сумма номеров шаров. Найтиряд распределения случайной величины ξ.

Пример 91.16. В лаборатории имеются 15 приборов, среди которых 4требуют ремонта. Студент случайным образом берет 3 прибора, не зная,какие из них пригодны к работе. Составить ряд распределения случайногочисла непригодных к работе приборов, содержащихся в выборке.

Пример 91.17. На пути движения автомашины три светофора. Ве-роятность, что светофор запрещает дальнейшее движение автомашины0,4, а что разрешает 0,6. Пусть случайная величина ξ - число светофоров,пройденных машиной. Составить таблицу распределения вероятностей.

Пример 91.18. Дискретная случайная величина ξ задана следующимзаконом распределения:

ξ 4 6 10 12p 0,4 0,1 0,2 0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическоеотклонение.

306

Пример 91.19. Возможные значения дискретной случайной величи-ны равны: -2, 1, 4. При условии, что заданы математическое ожиданиеM(ξ) = 1, 9, а также M(ξ2) = 7, 3, найти вероятности p1, p2, p3, которыесоответствуют дискретным значениям случайной величины.

Пример 91.20. Брошены три игральные кости. Найти математиче-ское ожидание суммы квадратов числа очков, которые выпадут на всехгранях.

Пример 91.21. Найти закон распределения дискретной случайной ве-личины ξ, которая может принимать только два значения: x1 с вероят-ностью p1 = 0, 1 и x2, причем x1 < x2. Математическое ожидание M(ξ)и дисперсия D(ξ) известны: M(ξ) = 3, 9, D(ξ) = 0, 09.

92. ЛЕКЦИЯ — Виды распределений

Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Гипергео-метрическое и геометрическое распределения. Равномерное распре-деление. Экспоненциальное распределение

92.1. Биномиальное распределениеПусть проведено n независимых испытаний с вероятностью p появления

события A в каждом испытании (испытания Бернулли). Обозначим ξ —случайную величину, равную числу появлений события A в n испытаниях.По формуле Бернулли

(92.1) P{ξ = m} = P (m) = Cmn p

mqn−m, где q = 1− p, m = 0, 1, . . . , n.

Определение 92.1. Распределение дискретной случайной величины,задаваемое формулой Бернулли (92.1), называется биномиальным.

Написав биномиальный закон распределения в виде таблицы, получим:

ξ 0 1 2 . . . k . . . np qn npqn−1 C2

np2qn−2 Ck

npkqn−k pk

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами n и p.Докажем, что сумма всех вероятностей равна 1.Действительно, в соответствии с биномом Ньютона:

(p+ q)n =n∑

m=0

Cmn p

mqn−m.

92 Лекция — Виды распределений 307

Но, с другой стороны: (p+ q)n =(p+ (1− p)

)n= 1.

Найдем математическое ожидание и дисперсию такой случайной вели-чины. Для этого представим ξ в виде суммы n независимых случайныхвеличин ξi (i = 1, 2, . . . , n), таких, что ξi = 1, если в i-м испытании по-явилось событие A, и ξi = 0, если в i-м испытании появилось событие A.Очевидно, что

(92.2) ξ = ξ1 + . . .+ ξn.

В этой сумме столько единиц, сколько раз появилось событие A в nиспытаниях; остальные слагаемые равны нулю.

Распределение каждой из случайных величин ξi задается таблицей:

ξi 1 0p p 1− p

Очевидно, что

M(ξi) = 1 · p+ 0 · (1− p) = p,

D(ξi) = M(ξ2i )−

(M(ξi)

)2=

= 12 · p+ 02 · (1− p)− p2 = p− p2 = p(1− p) = p · q.Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, полу-

чаем два независимых слагаемых в формуле (92.2):

M(ξ) = M(ξ1) + . . .+M(ξn) = n · p,D(ξ) = D(ξ1) + . . .+D(ξn) = n · p · q.

Итак, для биномиально распределенной случайной величины ξ полу-чим:

(92.3) M(ξ) = np; D(ξ) = npq.

Пример 92.1. Монета брошена 4 раза. Написать закон распределения,найти математическое ожидание и дисперсию числа выпадений орла.

Р е ш е н и е: Найдем вероятности выпадения орла по формуле Бернуллипри n = 4, p = 0, 5:

P4(0) = 0, 54 ≈ 0, 06; P4(1) = 4 · 0, 5 · 0, 53 ≈ 0, 25;

P4(2) = C24 · 0, 52 · 0, 52 ≈ 0, 38; P4(3) = p4(1) ≈ 0, 25;

P4(4) = p4(0) ≈ 0, 06.

Искомый закон распределения задается таблицей:

308

ξ 0 1 2 3 4p 0,06 0,25 0,38 0,25 0,06

По формулам (92.3) находим:

M(ξ) = n · p = 4 · 0, 5 = 2; D(ξ) = nqp = 4 · 0, 5 · 0, 5 = 1.

Ответ: M(ξ) = 2, D(ξ) = 1.

92.2. Распределение ПуассонаПусть в испытаниях Бернулли n → ∞, p → 0, так, что np → a. Тогда,

как отмечалось в п. 89.4, вероятность Pn(m) приближенно определяется спомощью формулы Пуассона:

(92.4) P{ξ = m} =am

m!e−a, a > 0.

Определение 92.2. Распределение дискретной случайной величины,задаваемое формулой (92.4), называется распределением Пуассона илипуассоновским распределением.

Запишем закон распределения Пуассона в виде таблицы:

ξ 0 1 2 . . . m . . .

p e−a ae−a a2

2!e−a am

m!e−a

Распределение Пуассона определяется одним параметром a.Докажем, что сумма всех вероятностей равна 1.Действительно, используя разложение в ряд Тейлора для ea, получим:

∞∑

m=0

am

m!e−a = e−a

∞∑

m=0

am

m!= e−a · ea = 1.

Найдем математическое ожидание и дисперсию такой случайной вели-чины.

M(ξ) =∞∑

m=0

mam

m!e−a =

∞∑

m=1

mam

m!e−a =

∞∑

m=1

am

(m− 1)!e−a =

= a · e−a

∞∑

m=1

am−1

(m− 1)!= a · e−a

∞∑

k=0

ak

k!= a · e−a · ea = a.

Примем без доказательства, что D(ξ) = a.


Итак, для случайной величины, имеющей распределение Пуассона, по-лучим:

(92.5) M(ξ) = D(ξ) = a.

Подчеркнем еще раз, что биномиальное и пуассоновское распределенияявляются распределениями дискретных случайных величин. Далее рас-смотрим некоторые распределения непрерывных случайных величин.

92.3. Гипергеометрическое и геометрическоераспределения

С гипергеометрическими распределениями мы встречались в лекции 2(замечание 2.2).

Таблица распределения имеет вид:

ξ 0 1 2 . . . L

pC0

LCkK−L

CkK

C1LCk−1

K−L

CkK

C2LCk−2

K−L

CkK

. . .Cl

LC0K−L

CkK

Сумма всех вероятностей равна единице.Типичное толкование: случайная величина ξ равна числу белых шаров,

попавших в выборку без возвращения k шаров из урны, содержащей Kшаров, из которых L белых.

M(ξ) = k · LK.

Дискретная случайная величина ξ имеет геометрическое распределение,если таблица распределения имеет вид:

ξ 0 1 2 3 . . .p p p(1− p) p(1− p)2 p(1− p)3 . . .

Легко доказывается то, что сумма всех вероятностей равна единице(проделайте это самостоятельно).

Типичное толкование: ξ равна количеству непоявлений события A виспытаниях Бернулли до первого появления события A, если p = p(A) вкаждом испытании. Можно доказать, что:

M(ξ) =1− pp

, D(ξ) =1− pp2

.

310

92.4. Равномерное распределениеОпределение 92.3. Распределение непрерывной случайной величины

называется равномерным на [a; b], если плотность распределения посто-янна и отлична от 0 на этом отрезке и равна нулю вне его:

ϕ(x) =

{C при x ∈ [a; b],0 при x /∈ [a; b].

Используя 6 свойство плотности распределения (п. 91.3), найдем кон-станту C.

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx = 1 =⇒b∫

a

Cdx = 1 =⇒

=⇒ Cx∣∣∣b

a= 1 =⇒ C(b− a) = 1 =⇒ C =

1

b− a.

Итак, плотность равномерно распределенной на [a; b] случайной вели-чины определяется по формуле:

(92.6) ϕ(x) =

{ 1

b− a при x ∈ [a; b],

0 при x /∈ [a; b].

С помощью свойства 4 плотности (п. 91.3) найдем функцию распреде-ления:

F (x) =

x∫

−∞

ϕ(t)dt.

При x < a F (x) =

x∫

−∞

0dt = 0;

при a 6 x 6 b F (x) =

a∫

−∞

0dt+

x∫

a

1

b− adt =x− ab− a ;

при x > b F (x) =

a∫

−∞

0dt+

b∫

a

1

b− adt+

x∫

b

0dt =b− ab− a = 1.

Итак, мы получили функцию распределения равномерно распределен-ной на [a; b] случайной величины:


(92.7) F (x) =

0 при x < a,x− ab− a при a 6 x 6 b,

1 при b < x.

Равномерное распределение определяется двумя параметрами a и b.Графики плотности и функции распределения равномерной на [a;b] слу-чайной величины представлены на рис. 92.1.

(x)ϕ

xa b xa b

1

F(x)

Рис. 92.1. Плотность и функция распределения

равномерного закона

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

M(ξ) =

+∞∫

−∞

xϕ(x)dx =

b∫

a

x

b− adx =1

b− adx ·x2

2

∣∣∣∣a

b

=

=(b− a)2

2 · (b− a) =a+ b

2

D(ξ) =

+∞∫

−∞

x2ϕ(x)dx− (a+ b)2

4=

b∫

a

x2

b− adx−(a+ b)2

4=

=1

b− a ·x3

3

∣∣∣∣a

b

− (a+ b)2

4=

(b− a)3

3 · (b− a) −(a+ b)2

4=

=4 · (a2 + ab+ b2)− 3 · (a+ b)2

12=

(b− a)2

12.

Итак, для равномерно распределенной на [a; b] случайной величины по-лучим:

(92.8) M(ξ) =a+ b

2; D(ξ) =

(b− a)2

12.

312

Замечание 92.1. Найдем P{x 6 ξ < x+ ∆x} при условии, чтоa 6 x < x+∆x 6 b. Пользуясь свойством 5 плотности (п. 91.3), получаем:

P{x 6 ξ < x+ ∆x} =

x+∆x∫

x

ϕ(x)dt =

=

x+∆x∫

x

1

b− adt =x+ ∆x− x

b− a =∆x

b− a.

Как видим, эта вероятность не зависит от x, т.е. от положения проме-жутка внутри [a; b], а только от длины промежутка ∆x. Этим объяс-няется название распределения — равномерное. Вероятность распределе-на “равномерно” по отрезку [a; b] (плотность постоянна). Очевидно, что вэтом случае среднее значение случайной величины равно середине отрезка:M(ξ) = a+b

2.

Пример 92.2. Плотность распределения постоянна на отрезке [0; 4] иравна нулю вне его. Найти плотность и функцию распределения, мате-матическое ожидание и дисперсию.

Р е ш е н и е: В соответствии с определением 92.3 эта случайная вели-чина имеет равномерное на [0; 4] распределение. Следовательно:

ϕ(x) =

{1

4при x ∈ [0; 4],

0 при x /∈ [0; 4],F (x) =

0 при x < 0,x

4при 0 6 x 6 4,

1 при x > 4,

M(ξ) = 2; D(ξ) =(4− 0)2

12=

4

3.

Ответ M(ξ) = 2; D(ξ) =4

3.

92.5. Экспоненциальное распределениеОпределение 92.4. Распределение непрерывной случайной величины

называется экспоненциальным (показательным), если плотность распре-деления имеет вид:

(92.9) ϕ(x) =

{λe−λx при x > 0,0 при x < 0, где λ > 0.

Экспоненциальное распределение определяется одним параметром λ > 0.


Найдем функцию распределения:

при x > 0 F (x) =

x∫

−∞

ϕ(t)dt =

x∫

0

λe−λtdt = −e−λt∣∣∣x

0= 1− e−λx;

при x < 0 F (x) =

x∫

−∞

ϕ(t)dt =

x∫

−∞

0dt = 0.

Итак, функция распределения имеет вид:

(92.10) F (x) =

{1− e−λx при x > 0,0 при x < 0.

Графики плотности и функции экспоненциального распределения пред-ставлены на рис. 92.2.

(x)ϕ

x x

1

F(x)λ

Рис. 92.2. Плотность и функция экспоненциального

распределения

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

M(ξ) =

+∞∫

−∞

xϕ(x)dx =

+∞∫

0

xλe−λxdt = λ

+∞∫

0

xe−λxdx =

=

[u = x du = dx

dv = e−λx v = −1

λe−λx

]=

= −xe−λx

∣∣∣∣∞

0

+

+∞∫

0

e−λxdx = −1

λe−λx

∣∣∣∣∞

0

=1

λ.

314

Самостоятельно проведите выкладки и докажите, что:

D(ξ) =

+∞∫

−∞

x2ϕ(x)dx− 1

λ2=

+∞∫

0

x2λe−λxdx− 1

λ2=

1

λ2.

Итак, для экспоненциально распределенной случайной величины полу-чим:

(92.11) M(ξ) =1

λ; D(ξ) =

1

λ2.

Замечание 92.2. Можно доказать, что если через независимые слу-чайные промежутки времени ξ1, ξ2, ξ3, . . ., имеющие экспоненциальное рас-пределение с параметром λ, происходит какое-либо событие (например,поступает вызов на телефонную станцию или приходит покупатель вмагазин), то количество этих событий, произошедших за любой проме-жуток времени t, является случайной величиной, имеющей пуассоновскоераспределение с параметром a = λt.

92. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Функцияраспределения и плотность случайныхвеличин

Дискретную случайную величину можно определить с помощью функ-ции распределения.

Пример 92.1. Случайная величина ξ - число очков, выпавших при одно-кратном бросании игральной кости. Найти функцию распределения F (x)и построить ее график.

Р е ш е н и е: Возможные значения данной случайной величины -числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом, вероятность того, что ξ примет любое изэтих значений, одна и та же и равна 1/6. Таблица распределения имеет вид:

ξ 1 2 3 4 5 6p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

При x 6 1 функция F (x) = 0, так как ξ не принимает значений, мень-ших единицы. Если 1 < x 6 2, то F (x) = P (ξ < x) = P (ξ = 1) = 1/6.Если 2 < x 6 3, то событие, заключающееся в том, что случайная величи-на ξ удовлетворяет неравенству ξ < x, можно представить как сумму двухнесовместных событий: ξ < 2 и 2 6 ξ < 3. Поэтому по теореме сложенияимеем:

F (x) = P (ξ < x) = P{(ξ < 2) + (2 6 ξ < 3)} =

= P (ξ < 2) + P (2 6 ξ < 3).

92 Практика — Функция распределения и плотность 315

Но P (ξ < 2) = 1/6, а P (2 6 ξ < 3) также равно 1/6, так как полуинтервалу2 6 x < 3 принадлежит только одно возможное значение, принимаемое ξ,а именно 2. Таким образом, если 2 < x 6 3, то F (x) = 1/6 + 1/6 = 1/3.Аналогично, если 3 < x 6 4, то

F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < 3) + P (3 6 ξ < 4) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

Для 4 < x 6 5

F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < x) + P (4 6 ξ < 5) = 1/2 + 1/6 = 2/3,

а для 5 < x 6 6 F (x) = 2/3 + 1/6 = 5/6. Наконец, если x > 6, то

F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < 6) + P (6 6 ξ < x) = 5/6 + 1/6 = 1.

График этой функции F (x) оказывается ступенчатой ломаной со скачкамив точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, равными 1/6.

F (x) =

0, при x 6 1,1/6, при 1 < x 6 2,1/3, при 2 < x 6 3,1/2, при 3 < x 6 4,2/3, при 4 < x 6 5,3/6, при 5 < x 6 6,1, при 6 < x.

1 2 3 4 5 6

5/6

1/62/63/64/6

1

F(x)

x

Решение примера 92.1

Используя определение функции распределения (91.1), рассмотрим рядзадач и на непрерывные случайные величины.

316

Пример 92.2. Случайная величина ξ задана функцией распределения

F (x) =

0 при x 6 −2,(x+ 2)2 при − 2 < x 6 −1,1 при x > 1.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина ξ при-мет значение, заключенное в интервале (−3/2,−1).

Р е ш е н и е: Вероятность того, что ξ примет значение, заключенноев интервале (-3/2, -1), равна приращению функции распределения на этоминтервале:

P (−3/2 < ξ < −1) = F (−1)− F (−3/2) = (−1 + 2)2 − (−3/2 + 2)2.

Ответ: 3/4.

Пример 92.3. Непрерывная случайная величина ξ задана плотностьюраспределения ϕ(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервалаϕ(x) = 0. Найти вероятность того, что ξ примет значение, принадле-жащее интервалу (π/4, π/3).

Р е ш е н и е: Применим формулу

P (a < ξ < b) =

∫ b

a

ϕ(x)dx.

По условию, a = π/4, b = π/3, ϕ(x) = cosx. Следовательно, данная веро-ятность

P (π

4< ξ <

π

3) =

∫ π/3

π/4

cosxdx = sinx|π/3π/4 =

√3−√

2

2.

Ответ: (√

3−√

2)/2.

Пример 92.4. Дана функция распределения непрерывной случайной ве-личины ξ

F (x) =

0 при x 6 1,(x− 1)2 при 1 < x 6 2,1 при x > 2.

Найти плотность распределения ϕ(x).

Р е ш е н и е: Плотность распределения равна первой производной отфункции распределения:

ϕ(x) = F ′(x) =

0 при x 6 1,2(x− 1) при 1 < x 6 2,0 при x > 2.


Пример 92.5. ξ - непрерывная случайная величина с плотностью рас-пределения ϕ(x), заданной следующим образом:

ϕ(x) =

0, если x 6 0,332

(4x− x2), если 0 < x 6 4,0, если x > 4.

Найти: а) вероятность неравенства 1 < ξ < 2; б) функцию распределенияF (x).

Р е ш е н и е: а) Вероятность

P (1 < ξ < 2) =

∫ 2

1

ϕ(x)dx =

∫ 2

1

3

32(4x− x2)dx =

3

32(2x2 − x3

3)|21 =

11

32.

б) Функция распределения F (x) для непрерывной случайной величины да-ется формулой

F (x) =

∫ x

−∞ϕ(t)dt.

Если −∞ < x 6 0, то

F (x) =

∫ x

−∞0dt = 0;

если 0 < x 6 4, то

F (x) =

∫ 0

−∞ϕ(t)dt+

∫ x

0

ϕ(t)dt =6x2 − x3

32;

если, наконец, x > 4, то

F (x) =

∫ 0

−∞0dt+

∫ 4

0

3

32(4t− t2)dt+

∫ x

0

0dt = 1.

Ответ: P (1 < ξ < 2) = 11/32, F (x) =

0, если x 6 0,6x2−x3

32, если 0 < x 6 4,

1, если x > 4.

Пример 92.6. Случайная величина ξ имеет на всей числовой оси плот-ность распределения ϕ(x) = a/(1+x2) (закон Коши). Найти коэффициентa и функцию распределения F (x).

Р е ш е н и е: Так как ∫ +∞

−∞ϕ(x)dx = 1,

то ∫ +∞

−∞

a

1 + x2dx = a · arctgx|+∞

−∞ = a(π

2− (−π

2)) = aπ = 1.

318

Отсюда найдем, что a = 1/π, а плотность распределения ϕ(x) = 1/π(1+x2).Функция распределения

F (x) =

∫ x

−∞ϕ(t)dt =

∫ x

−∞

dt

π(1 + t2)=

1

2+

1

πarctgx.

Ответ: a = 1/π, F (x) = 0, 5 = arctg(x)/π.

Пример 92.7. Случайная величина ξ задана плотностью распределе-ния ϕ(x) = x/8 в интервале (0, 4); вне этого интервала ϕ(x) = 0. Найтиматематическое ожидание и дисперсию величины ξ.

Р е ш е н и е: Поскольку плотность равна 0 вне (0,4),

M(ξ) =

∫ +∞

−∞xϕ(x)dx =

∫ 4

0

xϕ(x)dx.

Подставив ϕ(x) = x/8, получим

M(ξ) =1

8

∫ 4

0

x2dx =1

8· x

3

3

∣∣∣∣4

0

=8

3.

Дисперсия

D(ξ) =

∫ b

a

x2ϕ(x)dx−M2(ξ)

или

D(ξ) =1

8

∫ 4

0

x3dx−(

8

3

)2

=1

8· x

4

4

∣∣∣∣4

0

− 64

9=

8

9.

Ответ: M(ξ) = 8/3, D(ξ) = 8/9.

Пример 92.8. График плотности вероятности случайной величины ξизображен на рисунке (закон Симпсона). Найти математическое ожи-дание и дисперсию.

ϕ( x)

-1 0 1

1

x

График плотности распределения


Р е ш е н и е: Из графика ϕ(x) видно, что плотность вероятностиопределяется уравнениями:

ϕ(x) =

x+ 1 при x ∈ (−1, 0),−x+ 1 при x ∈ (0, 1),0 при x 6 −1, x > 1.

Поскольку ϕ(x) задана на интервале (−1, 1) двумя аналитическими выра-жениями, то

M(ξ) =

∫ +∞

−∞xϕ(x)dx =

∫ 0

−1

x(x+ 1)dx+

∫ 1

0

x(−x+ 1)dx = 0.

Далее, учитывая, что M(ξ) = 0, найдем дисперсию

D(ξ) =

∫ 0

−1

x2(x+ 1)dx+

∫ 1

0

x2(−x+ 1)dx =1

6.

Ответ: M(ξ) = 0, D(ξ) = 1/6.

Пример 92.9. Плотность вероятности распределения Лапласа имеетвид: ϕ(x) = (λ/2) · exp(−λ|x|) (λ > 0). Найти математическое ожидание,дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ.

Р е ш е н и е: Математическое ожидание

M(ξ) =

∫ +∞

−∞x

1

2λe−λ|x|dx =

1

2λ

∫ 0

−∞xeλxdx+

1

2λ

∫ ∞

0

xe−λxdx.

Проводя интегрирование по частям, получим M(ξ) = 0. Этот результатможно было получить сразу, поскольку подынтегральная функция нечет-ная.

Аналогично найдем дисперсию

D(ξ) =

∫ +∞

−∞x2 · 1

2λe−λ|x|dx =

2

λ2.

Среднее квадратическое отклонение σ(ξ) =√D(ξ) =

√2/λ.

Ответ: M(ξ) = 0, D(ξ) = 2/λ2, σ(x) = 2/λ.

Пример 92.10. Случайная величина эксцентриситета детали харак-теризуется функцией распределения Рэлея:

F (x) =

{0 при x < 0,

1− exp(− x2

2σ2 ) при x ≥ 0.

Найти плотность вероятности ϕ, моду и медиану распределения.

320

Р е ш е н и е: Плотность вероятности

ϕ(x) = F ′(x) =

{0 при x < 0,x2

2σ2 · exp(− x2

2σ2 ) при x > 0.

Модой распределения M0(ξ) называется значение аргумента, при которомплотность вероятности достигает максимума. Здесь

ϕ′(x) =1

σ2exp(− x2

2σ2) · (1− x2

σ2)

и так как x > 0, то ϕ′(x) = 0 только при x = σ. Поскольку ϕ′(x) меняетзнак с плюса на минус при переходе через точку x = σ, то ϕ в этой точкебудет иметь максимум. Следовательно, мода M0(ξ) = σ.

Медианой распределения Me(ξ) называют величину x, определяемую изравенства F (x) = 1/2. В данной задаче

1/2 = 1− exp(−x2/2σ2), 1/2 = exp(−x2/2σ2).

Отсюда найдем x = σ√

2 · ln2 или Me(ξ) = σ√

2 · ln2.


Пример 92.11. Дискретная случайная величина задана законом рас-пределения

ξ 3 5 6 9p 0,3 0,4 0,2 0,1

Найти функцию распределения F (x) и начертить ее график.

Пример 92.12. Случайная величина ξ задана на всей оси ОX функциейраспределения F (x) = 1/2 + arctg(x)/π. Найти вероятность того, что врезультате испытания величина ξ примет значение, заключенное в ин-тервале (0,

√3).

Пример 92.13. Плотность распределения непрерывной случайной ве-личины ξ в интервале (0, π) задана как ϕ(x) = (2/π) sin2 x; вне этого ин-тервала ϕ(x) = 0. Найти вероятность того, что ξ примет значение,принадлежащее интервалу (π/3, 2π/3).

Пример 92.14. Дана функция распределения непрерывной случайнойвеличины ξ

F (x) =

0 при x 6 0,1/2− (1/2) cos 3x при 0 < x 6 π/3,1 при x > π/3.

Найти плотность распределения ϕ(x).

93 Лекция — Нормальное распределение 321

Пример 92.15. Функция распределения непрерывной случайной величи-ны ξ задана выражением

F (x) =

0 при x 6 0,ax3 при 0 < x 6 4,1 при x > 4.

Определить: коэффициент a, плотность распределения ξ, вероятностьпопадания ξ в интервал (2, 3).

Пример 92.16. Плотность распределения случайной величины ξ имеетвид:

ϕ(x) =

{0, если x 6 0или x > π,(1/2) sinx, если 0 < x 6 π.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

Пример 92.17. Случайная величина ξ имеет плотность вероятностиϕ(x) = (2/π) · cos2 x при x ∈ (−π/2, π/2) и ϕ(x) = 0 вне указанного интер-вала. Найти среднее квадратическое отклонение величины ξ.

93. ЛЕКЦИЯ — Нормальное распределение

Плотность и функция распределения. Вероятность заданного откло-нения. Стандартная нормальная случайная величина

93.1. Плотность и функция распределенияРассмотрим еще одно распределение непрерывной случайной величины,

имеющее большое теоретическое и прикладное значение.

Определение 93.1. Случайная величина ξ имеет нормальное распре-деление с параметрами a и σ, если ее плотность распределения имеетвид:

(93.1) ϕ(x) =1√2πσ

e−(x−a)2

2σ2 .

Этот факт будем записывать так: ξ ∼ N(a; σ).Нормальное распределение определяется двумя параметрами a и σ.

322

Докажем, что

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx = 1. Действительно:

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx =

+∞∫

−∞

1√2πσ

e−(x−a)2

2σ2 dx =

[(x−a)

σ= t =⇒ x = σt+ adx = σdt

]=

=

+∞∫

−∞

1√2πσ

e−t2

2 σdt =1√2π

+∞∫

−∞

e−t2

2 dt.

Используя несобственные двойные интегралы можно доказать, что

(93.2)

+∞∫

−∞

e−t2

2 dt =√

2π.

Этот интеграл называется интегралом Пуассона. Подставив этот ре-

зультат в последнее выражение, получим

+∞∫

−∞

ϕ(x)dx = 1.

Найдем функцию распределения:

F (x) =

x∫

−∞

ϕ(t)dt =1√2πσ

x∫

−∞

e−(t−a)2

2σ2 dt.

Выразим функцию распределения нормального закона F (x) через функ-цию Лапласа, введенную в п. 89.3 (формула 89.5), для чего сделаем заменупеременных:

F (x) =1√2πσ

x∫

−∞

e−(t−a)2

2σ2 dt =

[(t−a)

σ= z =⇒ z = σz + a

dt = σdz

]=

=1√2πσ

x−aσ∫

−∞

e−z2

2 dz ==1√2π

0∫

−∞

e−z2

2 dz +1√2π

x−a0∫

0

e−z2

2 dz =

= 0, 5 + Φ

(x− aσ

).


Здесь использовался тот факт, что из четности подынтегральной функ-ции в интеграле Пуассона следует:

0∫

−∞

e−z2

2 dz =

+∞∫

0

e−z2

2 dz =

√2π

2.

Итак, для функции распределения нормального закона получим выра-жение:

(93.3) F (x) = 0, 5 + Φ

(x− aσ

).

Найдем математическое ожидание нормально распределенной случай-ной величины.

M(ξ) =

+∞∫

−∞

x1√2πσ

e−(x−a)2

2σ2 dx =

[(x−a)

σ= t =⇒ x = σσt+ a

dx = σt

]=

=1√2π

+∞∫

−∞

(σt+ a)e−t2

2 dt =σ√2π

+∞∫

−∞

te−t2

2 dt+a√2π

+∞∫

−∞

e−t2

2 dt =

= − σ√2πe−

t2

2

∣∣∣∣+∞

−∞= 0 + a = a.

Самостоятельно докажите, что дисперсия равна σ2, т.е.

D(ξ) =

+∞∫

−∞

x2 1√2πe−

(x−a)2

2σ2 dx− a2 = σ2.

Итак, для случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение,параметры a и σ имеют простой вероятностный смысл:

(93.4) M(ξ) = a; D(ξ) = σ2; σ(ξ) = σ.

Графики плотности и функции распределения нормального закона при-ведены на рис. 93.1. График плотности нормального распределения иногданазывают кривой Гаусса.

324

(x)ϕ

a+σa- σ

2π σ1

xa

1

0,5

x

F(x)

a

Рис. 93.1. Плотность и функция распределения

нормального распределения

В соответствии со свойством 2 функции распределения (п. 91.1) получа-ем формулу для вычисления вероятности попадания нормальной случай-ной величины в заданный интервал:

P{x1 6 ξ < x2} = F (x2)− F (x1) =

(0, 5 + Φ

(x2 − aσ

))−

−(

0, 5 + Φ(x1 − a

σ

))= Φ

(x2 − aσ

)− Φ

(x1 − aσ

),

(93.5) P{x1 6 ξ < x2} = Φ(x2 − a

σ

)− Φ

(x1 − aσ

).

В частности, если интервал полубесконечный, учитывая тот факт, чтоΦ(+∞) = 0, 5, Φ(−∞) = −0, 5, получаем:

P{ξ < x2} = Φ(x2 − a

σ

)+ 0, 5,

P{x 6 ξ} = 0, 5− Φ(x1 − a

σ

).

93.2. Вероятность заданного отклонения длянормального распределения

Пользуясь формулой (93.5), можно получить формулу для вычисле-ния вероятности заданного отклонения нормальной случайной величиныот математического ожидания:

P{|ξ − a| < ε} = P{−ε < ξ − a < ε} = P{a− ε < ξ < a+ ε} =

= Φ(a+ ε− a

σ

)− Φ

(a− ε− aσ

)= Φ

( εσ

)− Φ

(− ε

σ

)= 2Φ

( εσ

).

Окончательно имеем:

(93.6) P{|ξ − a| < ε} = 2Φ( εσ

).


Замечание 93.1. Познакомившись с нормальным распределением, за-метим, что локальная и интегральные теоремы Лапласа дают прибли-жения для вероятностей биномиально распределенной случайной величи-ны через соответствующие вероятности нормально распределенной слу-чайной величины. Аналогично, с помощью формулы (93.5) получаетсяприближенная формула (89.7) для вероятности отклонения частотыот вероятности в испытаниях Бернулли.

Пример 93.1. ξ ∼ N(20; 10). Найти P{|ξ − 20| < 3} и P{|ξ − 10| < 3}.

Р е ш е н и е: По формуле (93.5) определяем

P{|ξ − 20| < 3} = 2Φ( 3

10

)≈ 2 · 0, 1179 = 0, 2358.

Значение Φ(0, 3) = 0, 1179 находим по таблице приложения 2.Для нахождения P{|ξ−10| < 3} нельзя применить формулу (93.5), т.к.

a = 20 6= 10. Эту вероятность найдем по формуле (93.4):

P{|ξ − 10| < 3} = P{−3 < ξ − 10 < 3} = P{7 < ξ < 13} =

= Φ(13− 20

10

)− Φ

(7− 20

10

)= Φ(1, 3)− Φ(0, 7) ≈

≈ 0, 4032− 0, 2580 = 0, 1452.

Ответ: P{|ξ − 20| < 3} ≈ 0, 236; P{|ξ − 10| < 3} ≈ 0, 145.Применим формулу (93.5) для вычисления вероятности отклонения при

ε = 3σ.

P{|ξ − a| < 3σ} = 2Φ(3σ

σ

)= 2Φ(3) ≈ 2 · 0, 49865 = 0, 9973.

Мы получили известное в технике “правило трех сигм”: для нормальнораспределенной случайной величины практически невозможно ее отклоне-ние от математического ожидания по абсолютной величине более трехσ.

На практике в менее ответственных случаях можно также применятьаналогичное “правило двух сигм”, т.к.

P{|ξ − a| < 2σ} ≈ 0, 9544.

93.3. Стандартная нормальная случайнаявеличина

Теорема 93.1. Если ξ ∼ N(a; σ), то ζ = kξ + b ∼ N(ka+ b; |k| σ).

326

Доказательство. Найдем функцию распределения Fζ(x) случайной ве-личины ζ при k > 0:

Fζ(x) = P{ζ < x} = P{kξ + b < x} = P{ξ <

x− bk

}=

= 0, 5 + Φ

( x−bk− aσ

)= 0, 5 + Φ

(x− (ka+ σ)

kσ

).

Таким образом, доказано, что ζ ∼ N(ka + σ; kσ) при k > 0. Проведеманалогичные выкладки при k < 0:

Fζ(x) = P{ζ < x} = P{kξ + b < x} = P{ξ >

x− bk

}=

= 1− P{ξ <

x− bk

}= 1− 0, 5− Φ

( x−bk− aσ

)=

= 0, 5− Φ(x− (ka+ b)

kσ

)= 0, 5 + Φ

(x− (ka+ b)

−kσ),

т.е. при k < 0 ζ ∼ N(ka + σ; −kσ). Обобщая эти два вывода, получимутверждение теоремы.

Теорема 93.2. Если ζ ∼ N(a; σ), то ξст =ξ − aσ∼ N(0; 1).

Действительно, так как ξст =ξ

σ− a

σ, то по теореме 93.1 для k =

1

σ,

b = − aσ, получаем, что ξст имеет нормальное распределение с параметрами

1

σ· a− a

σ= 0 и

1

σ· σ = 1.

Определение 93.2. Случайная величина, имеющая нормальное рас-пределение с параметрами a = 0 и σ = 1, называется стандартной(нормированной) нормальной случайной величиной , а ее распределение —стандартным (нормированным) нормальным.

Плотность и функция стандартного нормального распределения даютсяформулами:

(93.7) ϕ(x) =1√2πe−

x2

2 ; Fст(x) =1√2π

x∫

−∞

e−t2

2 dt = 0, 5 + Φ(x).

93 Практика — Виды распределений 327

93. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Видыраспределений

Вначале рассмотрим два дискретных закона распределения.

Пример 93.1. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 0,8.Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной вели-чины ξ - числа попаданий в мишень при трех выстрелах.

Р е ш е н и е: Данная случайная величина имеет следующие возможныезначения: 0 (стрелок не попал в мишень ни разу), 1 (попал один раз), 2(попал два раза), 3 (ни разу не промахнулся). Здесь p = 0, 8, q = 1−p = 0, 2,n = 3. По формуле Бернулли (7.1) найдем:

P (0) = C03 · (0, 8)0 · (0, 2)3 =

1

125, P (1) = C1

3 · (0, 8)1 · (0, 2)2 =12

125,

P (2) = C23 · (0, 8)2 · (0, 2)1 =

48

125, P (3) = C3

3 · (0, 8)3 · (0, 2)0 =64

125.

Ряд распределения примет вид:ξ 0 1 2 3p 1/125 12/125 48/125 64/125

Пример 93.2. Вероятность того, что изделие окажется бракован-ным, равна 0,02. Производится выборка 120 изделий. Записать закон рас-пределения числа бракованных изделий в выборке.

Р е ш е н и е: Здесь n = 120 и p = 0, 02. Поскольку первая величинабольше 100, а вторая - меньше 0,1, то для решения задачи можно применитьформулу Пуассона (92.4). Параметр a = np = 120 · 0, 02 = 2, 4; из таблицынайдем, что e−2,4 = 0, 0907. Тогда

P{ξ = 0} =2, 40 · e−2,4

0!= 0, 0907,

P{ξ = 1} =2, 41 · e−2,4

1!= 0, 2177,

P{ξ = 2} = 0, 2612, P{ξ = 3} = 0, 2090, ...

Здесь наибольшая вероятность при k = 2. Распределение Пуассона можнозаписать следующим образом:

ξ 0 1 2 3 ... k ...p 0,0907 0,2177 0,2612 0,2090 ... 2, 4k · e−2,4/k! ...

Пример 93.3. В диспетчерской автопредприятия среднее число за-явок, поступающих в одну минуту, равно 2. Найти вероятности того,что за одну минуту: не поступит вызова, поступит 1, 2, 3, ... вызовов.

328

Р е ш е н и е: Количество вызовов ξ, поступивших за время t, имеетраспределение Пуассона:

Pt{ξ = k} =(λt)k · e−λt

k!,

где λ - среднее число событий в единицу времени (интенсивность). В данномслучае λ = 2, t = 1. Следовательно,

P1{ξ = 0} =20 · e−2

0!≈ 0, 135, P1{ξ = 1} =

21 · e−2

1!≈ 0, 271,

P1{ξ = 2} =22 · e−2

2!≈ 0, 271, P1{ξ = 3} =

23 · e−2

3!≈ 0, 180, ...

Ответ:ξ 0 1 2 3 ...p 0,135 0,271 0,271 0,180 ...

Пример 93.4. На складе 20% приборов являются неточными. Взяты5 приборов для проверки. Составить таблицу распределения случайнойвеличины ξ - числа точных приборов среди проверенных. Определить ма-тематическое ожидание M(ξ) и D(ξ).

Р е ш е н и е: Вероятность отбора неточного прибора q = 0, 2, а точногоприбора p = 1− q = 0, 8. В данной задаче имеем биномиальное распределе-ние. Запишем ряд распределения:

ξ 0 1 2 3 4 5p 0, 25 C1

50, 80, 24 C250, 820, 23 C3

50, 830, 22 C450, 840, 2 0, 85

Согласно формулам (92.3), математическое ожидание

M(ξ) = np = 5 · 0, 8 = 4, а дисперсия D(ξ) = npq = 5 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 8.Ответ: M(ξ) = 4, D(ξ) = 0, 8.Из непрерывных законов на этом занятии изучим равномерное и экспо-

ненциальное распределения.

Пример 93.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1.Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти ве-роятность того, что при снятии показаний прибора будет сделана ошиб-ка, превышающая 0,03.

Р е ш е н и е: Ошибку округления до ближайшего целого деления мож-но рассматривать как случайную величину ξ, которая распределена равно-мерно между двумя целыми делениями. Плотность равномерного распре-деления находим по формуле (92.6), где длина интервала b − a в даннойзадаче равна 0,1. Ошибка отсчета превысит 0,03, если она будет заключенав интервале (0,03; 0,07). По формуле

93 Практика — Виды распределений 329

P (a < ξ < b) =∫ b

aϕ(x)dx, ϕ(x) =

{1

b−aпри x ∈ [0; 0, 1],

0 при x /∈ [0; 0, 1].найдем:

P (0, 03 < ξ < 0, 07) =

∫ 0,07

0,03

10 dx = 0, 4.

Ответ: 0,4.

Пример 93.6. Найти математическое ожидание и дисперсию случай-ной величины ξ, распределенной равномерно в отрезке [1,9].

Р е ш е н и е: Математическое ожидание и дисперсия определяются вданном случае выражениями (92.8). Так как a = 1, b = 9, то сразу найдем

M(ξ) =1 + 9

2= 5, D(ξ) =

(9− 1)2

12=

16

3.

Ответ: M(ξ) = 5, D(ξ) = 16/3.

Пример 93.7. Случайная величина ξ распределена равномерно сM(ξ) = 9/2 и D(ξ) = 25/12. Найти функцию распределения случайнойвеличины ξ.

Р е ш е н и е: Функция распределения в формуле (92.7) зависит от пара-метров a и b. Используя (92.8), для определения a и b составим следующиеуравнения:

a+ b

2=

9

2,

(b− a)2

12=

25

12.

Отсюда, с учетом того, что b > a, получим a = 2, b = 7. Функция распре-деления окончательно примет вид:

F (x) =

0 при x 6 2,x−2

5при x ∈ (2, 7],

1 при x > 7.

Пример 93.8. Для какого значения a функция ϕ(x) = ae−λx при x ≥ 0и ϕ(x) = 0 при x < 0 является функцией плотности показательногозакона?

Р е ш е н и е: Так как ϕ(x) = 0 при x < 0, то∫ ∞

0

ϕ(x)dx =

∫ ∞

0

ae−λxdx = 1.

Отсюда

−aλe−λx

∣∣∣∞

0= 1 ⇒ a/λ = 1⇒ λ = a.

Ответ: a = λ.

330

Пример 93.9. Непрерывная случайная величина распределена по экспо-ненциальному закону (92.9) с параметром λ = 0, 07. Найти математи-ческое ожидание и вероятность того, что в результате испытания ξпопадет в интервал (2, 10).

Р е ш е н и е: С учетом (92.11) математическое ожидание M(ξ) == 1/λ = 1/0, 07 = 100/7. С другой стороны, используя выражение (92.10)для функции распределения, искомую вероятность найдем как приращениеэтой функции на интервале (2, 10):

P (2 < ξ < 10) = F (10)− F (2) = 1− e−0,7 − 1 + e−0,14 ≈≈ 0, 869− 0, 497 = 0, 373.

Эту же вероятность можно вычислить как

P (2 < ξ < 10) =

∫ 10

2

0, 07e−0,07tdt = −e−0,07t|102 ≈ 0, 372.

Ответ: 0,372

Пример 93.10. Время безотказной работы элемента распределено поэкспоненциальному закону ϕ(x) = 0, 03 · e−0,03t(t > 0). Найти вероятностьтого, что элемент проработает безотказно в течение 200 часов.

Р е ш е н и е: Длительность времени безотказной работы элемента име-ет экспоненциальное распределение, у которого функция распределенияF (t) = 1 − e−λt. Тогда вероятность безотказной работы t (так называемаяфункция надежности) имеет вид:

R(t) = 1− F (t) = e−λt,

где λ - интенсивность отказов или среднее число отказов в единицу времени.В данном примере интенсивность отказов λ = 0, 03. Искомая вероятность

R(200) = e−0,03·200 = e−6 ≈ 0, 003.


Пример 93.11. Вероятность того, что расход горючего одним авто-мобилем в день не будет превышать нормы равна 0,9. Найти вероятностьтого, что из четырех машин автобазы расход горючего за день будет внорме для k автомобилей (k = 0, 1, 2, 3, 4).

Пример 93.12. В цехе находится четыре станка. Вероятность того,что каждый из них будет остановлен в течение определенного отрезкавремени для смены деталей, равна 0,3. Определить вероятности того,

94 Лекция — Предельные теоремы теории вероятностей 331

что за это время будут остановлены 0, 1, 2, 3, 4 станка. Найти мате-матическое ожидание и дисперсию числа остановившихся станков.

Пример 93.13. Завод отправил на базу 300 изделий. Вероятность по-вреждения изделия в пути равна 0,01. Составить ряд распределения числаповрежденных изделий в пути. Воспользоваться законом Пуассона.

Пример 93.14. Брак продукции цеха составляет 4%. Определить ма-тематическое ожидание и дисперсию числа забракованных изделий цехаиз 150 проверенных.

Пример 93.15. Вероятность того, что любой абонент позвонит накоммутатор в течение часа, равна 0,005. Телефонная станция обслужи-вает 400 абонентов. Чему равны дисперсия и среднее число абонентов,которые позвонят на коммутатор в течение часа? Воспользоваться за-коном Пуассона.

Пример 93.16. Интервал движения трамвая 6 минут. Найти веро-ятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидатьтрамвай менее 4 минут.

Пример 93.17. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной стан-ции является случайной величиной ξ, распределенной по показательномузакону со средним временем ожидания, равным 10 минут. Найти веро-ятности того, что: а) 5мин < ξ <15мин, б) ξ > 20 мин.

94. ЛЕКЦИЯ — Предельные теоремы теориивероятностей

Законы больших чисел. Центральная предельная теорема. Началь-ные и центральные моменты. Распределения, используемые в стати-стике

94.1. Законы больших чиселВ данной лекции мы познакомимся с разделом теории вероятностей,

посвященным получению приближенных формул для вероятностей суммыбольшого числа случайных величин.

С некоторыми из этих приближенных формул мы уже познакомилисьв лекции 89.

332

Теорема 94.1. (Неравенство Чебышева) Для случайной величины ξпри ∀ ε > 0 верно неравенство:

P{|ξ −M(ξ)| < ε} > 1− D(ξ)

ε2.

Доказательство проведем для непрерывной случайной величины ξ сплотностью ϕ(x), хотя теорема верна и для дискретных случайных вели-чин. Оценим вероятность противоположного события:

P{|ξ −M(ξ)| > ε} = P{ξ > M(ξ) + ε или ξ 6 M(ξ)− ε} =

= P{ξ 6 M(ξ)− ε}+ P{ξ > M(ξ) + ε} =

M(ξ)−ε∫

−∞

ϕ(x)dx+

+

+∞∫

M(ξ)+ε

ϕ(x)dx 6

M(ξ)−ε∫

−∞

(x−M(ξ)

)2

ε2ϕ(x)dx+

+

+∞∫

M(ξ)+ε

(x−M(ξ)

)2

ε2ϕ(x)dx 6

M(ξ)∫

−∞

(x−M(ξ)

)2

ε2ϕ(x)dx+

+

+∞∫

M(ξ)

(x−M(ξ)

)2

ε2ϕ(x)dx =

1

ε2

+∞∫

−∞

(x−M(ξ)

)2ϕ(x)dx =

D(ξ)

ε2.

Первое неравенство в этой цепочке объясняется тем, что подынте-

гральные функции умножили на выражение

(x−M(ξ)

)2

ε2, которое больше

или равно 1, т.к. в области интегрирования x удовлетворяет неравенству|x −M(ξ)| > ε. Второе неравенство верно, т.к. при увеличении интервалаинтегрирования интеграл от неотрицательной функции не уменьшается.

Из полученного неравенства: P{|ξ − M(ξ)| > ε} 6D(ξ)

ε2; переходя к

вероятности противоположного события, получаем неравенство Чебышева.

Пример 94.1. В партии 10 лампочек вероятность отказа каждой изкоторых 0,05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина от-клонения числа отказавших ламп от математического ожидания мень-ше одного.


Р е ш е н и е: Пусть ξ — число отказавших лампочек; эта случайнаявеличина имеет биномиальное распределение с параметрами n = 10,p = 0, 05.

M(ξ) = np = 0, 5; D(ξ) = npq = 0, 475.

По теореме 94.1 имеем:

P{|ξ − 0, 5| < 1} > 1− 0, 475

1.

Другими словами: P{|ξ − 0, 5| < 1} > 0, 525.

Замечание 94.1. Неравенство Чебышева используется при доказа-тельстве ряда теорем (иногда его называют лемма Чебышева), однакооно дает довольно грубую оценку для приведенной вероятности. Так, впримере 94.1, раскрывая модуль, мы получили неравенство:

P{−0, 5 < ξ < 1, 5} > 0, 525.

Однако приведенный интервал может быть заведомо уменьшен, т.к.ξ > 0:

P{−0, 5 < ξ < 1, 5} = P{0 6 ξ < 1, 5}.Теорема 94.2 (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если

ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . — независимые случайные величины с равномерно огра-

ниченными дисперсиями(D(ξi) 6 C, i = 1, 2, . . .

), то для ∀ ε > 0 будет:

limn→∞

P

∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ξi

n−

n∑

i=1

M(ξi)

n

∣∣∣∣∣∣< ε

= 1.

Доказательство. Обозначим ζn =

n∑

i=1

ξi

n. Пользуясь свойствами мате-

матического ожидания и дисперсии, получаем:

M(ζn) =

n∑

i=1

M(ξi)

n, D(ζn) =

n∑

i=1

D(ξi)

n26n · Cn2

=C

n.

На основании неравенства Чебышева для ζn получаем:

P{|ζn −M(ζn)| < ε} > 1− D(ζn)

ε2⇐⇒

⇐⇒ 1 6 P

∣∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ξi

n−

n∑

i=1

M(ξi)

n

∣∣∣∣∣∣< ε

> 1− C

n.

334

Переходя к пределу при n → ∞, поскольку пределы левой и правойчастей равны 1, получаем утверждение теоремы.

Закон больших чисел в форме Чебышева утверждает, что для большо-го числа независимых случайных величин практически невозможны зна-чительные отклонения их среднего арифметического от среднего арифме-тического их математических ожиданий.

Следствие 94.1. Если в условиях теоремы 94.2 M(ξ1) = M(ξ2) =. . . == a, то для ∀ ε > 0 будет:

limn→∞

P

{∣∣∣∣∣

∑ξin− a∣∣∣∣∣ < ε

}= 1.

Действительно, в этом случае M(ζn) =

n∑

i=1

M(ξi)

n=na

n= a.

Замечание 94.2. На практике закон больших чисел в форме Чебы-шева применяют, например, в теории ошибок. Следует отметить, чторезультат любого измерения есть случайная величина. При этом разли-чают грубые ошибки измерения, которые можно устранить, основываясьна физической природе измеряемого объекта, Так, если в ряду измеренияроста группы людей встретилось значение 17,8 м. — это, очевидно, гру-бая ошибка измерения. Данный результат следует изъять, если нельзяего уточнить. Далее, бывают систематические ошибки измерения. Этиошибки, как правило, вызываются неисправностью измерительного при-бора; они не являются случайными и их можно устранить, проверив при-бор и внеся поправку в измерения. Так, например, если часы спешат на5 минут, то от измеренной величины нужно отнять 5 минут, что-бы получить верное время. Наконец, все остальные ошибки — случайныеошибки измерения, вызываются множеством различных факторов: дро-жание стрелки прибора, неточное считывание показаний (“косо взглянул”на стрелку), отклонения в условиях измерения и проч. Таким образом, ре-зультат измерения можно считать случайной величиной, равной суммебольшого числа других случайных величин. В соответствии с теоремой94.2 для уточнения результата нужно произвести n независимых из-мерений и усреднить их результат. Следует, однако, заметить, что всеравно результат будет получен с точностью, не превышающей точностисамого измерительного прибора, которая обычно указывается в техниче-ской документации на него.


Теорема 94.3 (Закон больших чисел в форме Бернулли). В незави-симых испытаниях Бернулли с вероятностью p появления события A вкаждом для ∀ ε > 0 будет:

limn→∞

P

{∣∣∣∣m

n− p∣∣∣∣ < ε

}= 1,

здесь m — число появлений события A в n испытаниях.

Доказательство. Представим относительную частотуm

nв виде отно-

шения ξ1+...+ξn

n, где случайная величина ξi = 1, если в i-м испытании появи-

лось событие A (см. п. 92.1). Для случайных величин ξ1, ξ2, . . . , ξn выпол-няется следствие 94.1, т.к. M(ξ1) = M(ξ2) = . . . = p, D(ξ1) = D(ξ2) = . . . == pq 6 1. На основании следствия 94.1 получаем утверждение теоремы94.3.

Теорема 94.3 дает теоретическое обоснование статистическому опре-делению вероятности, т.к. утверждает, что при большом числе независи-мых испытаний практически невозможны значительные отклонения отно-сительной частоты события A от вероятности p его появления в каждомиспытании.

Из законов больших чисел не следует, что при n→∞ предел последо-вательности случайных величин равен какому-то числу (среднему арифме-тическому математических ожиданий). Обычное понятие предела не при-менимо к последовательности случайных величин.

Определение 94.1. Последовательность случайных величинξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . сходится по вероятности к числу a, если для ∀ ε > 0будет:

limn→∞

P{|ξn − a| < ε} = 1.

Итак, закон больших чисел в форме Чебышева утверждает, что привыполнении определенных условий среднее арифметическое n независимыхслучайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическомуих математических ожиданий при n→∞.

Самостоятельно сформулируйте закон больших чисел в форме Бернул-ли, используя сходимость по вероятности.

94.2. Центральная предельная теоремаИзвестно, что нормальные случайные величины широко распростране-

ны на практике, что и объясняет их название. В чем причина этого? Ответна этот вопрос дает следующая теорема, доказанная русским математикомА.М. Ляпуновым.

336

Теорема 94.4 (Центральная предельная теорема). Если случайная ве-личина ζn является суммой большого числа n независимых случайных ве-личин, удовлетворяющих условию Ляпунова, то ξn имеет распределение,близкое к нормальному:

limn→∞

P

{ζn −An

Bn

< x

}= 0, 5 + Φ(x),

где ζn = ξ1 + . . .+ ξn, An = M(ζn) =n∑

i=1

M(ξi) =n∑

i=1

ai,

B2n = D(ζn) =

n∑

i=1

D(ξi) =n∑

i=1

b2i , Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−t2

2 dt.

Условие Ляпунова заключается в следующем:(1) Все случайные величины ξ1, ξ2, . . . имеют одинаковое распределе-

ние.(2) Все дисперсии D(ξ1), D(ξ2), . . . конечны и отличны от нуля.

(3) Для ∀ δ > 0 limn→∞

n∑

i=1

M∣∣ξi −M(ξi)

∣∣2+δ

(∑ni=1D(ξi)

) 2+δ2

= 0.

Условия Ляпунова приводят к тому, что в суммеζn − An

Bn

каждое сла-

гаемое оказывает на сумму малое влияние. Мы примем эту теорему бездоказательства.

94.3. Начальные и центральные моментыОпределение 94.2. Центральным моментом k-го порядка случайной

величины ξ называется:

(94.1) µk = M(ξ −M(ξ)

)k.

Заметим, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю,а второго порядка есть дисперсия:

µ1 = M(ξ −M(ξ)

)= M(ξ)−M

(M(ξ)

)= M(ξ)−M(ξ) = 0,

µ2 = M(ξ −M(ξ)

)2= σ2.

Определение 94.3. Начальным моментом k-го порядка случайной ве-личины ξ называется

(94.2) νk = M(ξk).


Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:ν1 = M(ξ).

Между начальными и центральными моментами существует связь:

µ2 = ν2 − ν21 ,

т.к. D(ξ) = M(ξ2)−(M(ξ)

)2,

µ3 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν31 .

Действительно, пользуясь свойствами математического ожидания, по-лучаем:

µ3 = M(ξ −M(ξ)

)3= M

(ξ3 − 3ξ2M(ξ) + 3ξ

(M(ξ)

)2 −(M(ξ)

)3)=

= M(ξ3 − 3ξ2ν1 + 3ξν21 − ν3

1) = M(ξ3)− 3ν1M(ξ2) + 3ν21M(ξ)− ν3

1 =

= ν3 − 3ν1ν2 + 3ν1ν1 − ν31 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν3

1 .

Аналогично доказываются остальные соотношения:

µ4 = ν4 − 4ν3ν1 + 6ν2ν21 − 3ν4

1 и т.д.

Аналогично тому, как коэффициенты ряда Тейлора дают все более точ-ное приближение для функции, моменты случайной величины все болееточно определяют ее распределение.

Определение 94.4. Коэффициентом асимметрии распределения слу-чайной величины ξ называется:

A =µ3

µ3/22

=M(ξ −M(ξ)

)3√D(ξ)

3 .

Асимметрия положительна, если “длинная часть” кривой плотностираспределения расположена справа от математического ожидания и отри-цательна, если — слева (см. рис. 94.1).

ϕ ϕ(x) (x)

M M(ξ) (ξ)x x

A>0 A<0

Рис. 94.1. Асимметрия

338

Определение 94.5. Эксцессом распределения случайной величины ξназывается:

E =µ4

µ22

− 3 =M(ξ −M(ξ)

)4(D(ξ)

)2 − 3.

Для нормального распределения E = 0; если E > 0, то плотность рас-пределения имеет более высокую и “острую” вершину по сравнению с кри-вой Гаусса; если E < 0, то более низкую и “плоскую” (см. рис. 94.2)

(x)ϕ(x)ϕ

xx

E>0E<0

Рис. 94.2. Эксцесс

94.4. Распределения, используемые встатистике

В заключение этой лекции познакомимся с некоторыми непрерывнымираспределениями, которые применяются в математической статистике.

Распределение χ2 (хи-квадрат).Пусть имеется n независимых стандартных нормальных случайных ве-

личин ξ1, ξ2, . . . , ξn, ξi ∼ N(0; 1), i = 1, . . . , n.

Определение 94.6. Распределение случайной величины χ2n =

n∑

i=1

ξ2i на-

зывается χ2—распределением с n степенями свободы.

Очевидно, что случайная величина χ2n > 0.

Плотность этого распределения имеет вид:

ϕ(x) =

xk2−1

Γ(

k2

)2

k2

e−x2 при x > 0,

0 при x < 0.


Здесь Γ(x) =∞∫0

tx−1 · e−tdt — гамма функция, являющаяся обобщением

понятия факториала: Γ(x) = (x− 1)! при x > 1.

Замечание 94.3. Если случайные величины ξ1, . . . , ξn связаны какой-нибудь зависимостью, например ξ1 + . . . + ξn = n · x, то число степеней

свободы уменьшается, случайная величинаn∑

i=1

ξ2i будет иметь распреде-

ление χ2n−1.

Распределение Стьюдента.Пусть имеется n + 1 независимая стандартная случайная величина

ζ, ξ1, . . . , ξn.

Определение 94.7. Распределение случайной величины

t =ζ√n∑

i=1

ξ2i

n

называется распределением Стьюдента с n степенями свободы.

Плотность этого распределения имеет вид:

ϕ(x) =

(1 + x2

2

)n+12

2n−1

2 Γ(

n2

)√πn.

Поскольку распределение симметрично относительно нуля (плотность —четная функция), математическое ожидание равно нулю.

Стьюдент — псевдоним английского статистика Госсета.F—Распределение Фишера—Снедекора.

Пусть имеется n+ k независимых стандартных величин: ξ1, . . . , ξn;ζ1, . . . , ζk; ξi ∼ N(0; 1), i = 1, . . . , n; ζi ∼ N(0; 1), j = 1, . . . , k.

Определение 94.8. Распределение случайной величины

Fn,k =

n∑

i=1

ξ2i

n

k∑

j=1

ζ2j

k

называется F—распределением Фишера—Снедекора (распределением Фи-шера или F—распределением) с n, k степенями свободы.

340

Очевидно, что случайная величина Fn,k > 0.Плотность этого распределения имеет вид:

ϕ(x) =

Γ(m+ k

2

)

Γ(n

2

)· Γ(k

2

)(nk

)n2 · xn

2−1(1 +

n

kx)−n+k

2при x > 0,

0 при x < 0.

Для всех этих распределений имеются таблицы плотности и функциираспределения; их можно также вычислить с помощью прикладных про-грамм на ЭВМ (таких, как Excel, Mathcad и проч.).

94. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Нормальное распределение

Пример 94.1. Написать плотность вероятности нормально распре-деленной случайной величины ξ, зная, что M(ξ) = 4, D(ξ) = 25.

Р е ш е н и е: Так как математическое ожидание a = 4, а среднееквадратическое отклонение σ =

√D(ξ) =

√25 = 5, то по формуле (93.1)

получаем плотность распределения

ϕ(x) =1

5√

2πe−(x−4)2/50.

Пример 94.2. Случайная величина ξ подчиняется нормальному законураспределения вероятностей с параметрами a = 0, σ = 1. Определить: а)P (−2 < ξ < 3), б) P (ξ < 1), в) P (ξ > 3).

Р е ш е н и е: а) Применим формулу (93.5), полагаяa = 0, σ = 1, x1 = −2, x2 = 3. Тогда

P (−2 < ξ < 3) = Φ(3− 0

1)− Φ(

−2− 0

1) = Φ(3)− Φ(−2) =

= Φ(3) + Φ(2) ≈ 0, 499 + 0, 477 = 0, 976.

Значения Φ(3) и Φ(2) найдены из таблицы, Φ(−2) = Φ(2).б) P (ξ < 1) = P (−∞ < ξ < 1) = Φ(1−0

1)− Φ(−∞−0

1) = Φ(1) + Φ(+∞).

P = 0, 226 + 0, 500 = 0, 726.

в) P (ξ > 3) = P (3 < ξ < +∞) = Φ(∞−01

)− Φ(3−01

) = Φ(+∞)− Φ(3) == 0, 500− 0, 499 = 0, 001.

94 Практика — Нормальное распределение 341

Пример 94.3. Случайная величина ξ подчиняется нормальному законураспределения с параметрами a = 3, σ = 2. Найти: а) P (2 < ξ < 3), б)P (|ξ − 3| < 0, 1).

Р е ш е н и е: а) По формуле (93.5) имеем:

P (2 < ξ < 3) = Φ(3− 3

2)− Φ(

2− 3

2) = Φ(0)− Φ(0, 5) =

= Φ(0) + Φ(0, 5) = 0 + 0, 192 = 0, 152,

б) Так как a = 3, то для нахождения вероятности неравенства |ξ− 3| << 0, 1, применим формулу (93.6), где ε = 0, 1. В этом случае

P (|ξ − 3| < 0, 1) = 2Φ(0, 1

2) = 2Φ(0, 05) = 2 · 0, 02 = 0, 04.

Пример 94.4. Вычислить вероятность того, что случайная величинаξ, подчиненная нормальному закону, при трех испытаниях хотя бы одинраз окажется в интервале (4, 6), если M(ξ) = 3, 8, σ(ξ) = 0, 6.

Р е ш е н и е: Сначала найдем вероятность того, что случайная величинаξ будет заключена в интервале (4, 6):

P (4 < ξ < 6) = Φ(6− 3, 8

0, 6)− Φ(

4− 3, 8

0, 6) =

= Φ(3, 67)− Φ(0, 33) = 0, 500− 0, 129 = 0, 371.

Тогда вероятность попадания вне интервала (4, 6) будет равна 1 − 0, 371 == 0, 629. Вероятность того, что случайная величина ξ при трех испытанияхвсе три раза окажется вне интервала (4, 6), найдется по теореме умноже-ния независимых событий как 0, 62943 ≈ 0, 2489. Следовательно, искомаявероятность p = 1− 0, 249 = 0, 751.

Ответ: 0,75.

Пример 94.5. Длина изготовляемых болтов является нормально рас-пределенной случайной величиной ξ с математическим ожиданиемa = 8, 46. Вероятность того, что наудачу взятый болт имеет размерот 8,40 до 8,43, равна 0,25. Чему равна вероятность того, что размернаудачу взятого болта будет в пределах от 8,49 до 8,52 см?

Р е ш е н и е: Поскольку кривая плотности нормального распределе-ния симметрична относительно математического ожидания a, то в данномслучае

P (8, 49 < ξ < 8, 52) = P (8, 40 < ξ < 8, 43) = 0, 25.

342

Пример 94.6. Длина детали представляет собой случайную величинуξ, распределенную по нормальному закону и имеющую поле допуска от 78до 84 см. Известно, что брак по заниженному размеру (длина деталейменьше 78 см) составляет 4%, а брак по завышенному размеру (длинадеталей больше 84 см) 6%. Найти средний размер детали a и среднееквадратическое отклонение σ.

Р е ш е н и е: Поле допуска находится от 78 до a и от a до 84. Ве-роятность попадания в первый интервал 0, 5 − 0, 04 = 0, 46, а во второй:0, 5− 0, 06 = 0, 44. Поскольку

P (78 < ξ < a) = Φ(0)− Φ(78− aσ

) = 0, 46,

P (a < ξ < 84) = Φ(84− aσ

)− Φ(0) = 0, 44

и функция Лапласа Φ(0) = 0, то

Φ(78− aσ

) = −0, 46, Φ(84− aσ

) = 0, 44.

Из таблицы найдем: (78− a)/σ = −1, 75, (84− a)/σ = 1, 28.Из последних уравнений получим: σ = 1, 98, a = 81, 47.

Пример 94.7. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, пред-ставляет собой случайную величину ξ, распределенную по нормальномузакону с a = 15 мм и σ = 0, 4 мм. Найти вероятность брака P при усло-вии, что разрешается допуск для диаметра подшипника ±0, 8 мм. Какуюточность диаметра подшипника можно гарантировать с вероятностью0,92?

Р е ш е н и е: Так как здесь отклонение ε = 0, 8, то, согласно (93.6),

P (|ξ − 15| < 0, 8) = 2 · Φ(0, 8

0, 4) = 2 · Φ(2) = 2 · 0, 477 = 0, 954.

Отсюда вероятность брака найдется как вероятность противоположногособытия: P = 1− 0, 954 = 0, 046.

Во второй части задачи, наоборот, задана вероятность P (|ξ − a| < ε) инужно найти отклонение ε. Подставим известные данные в формулу (93.6).Тогда 0, 92 = 2 ·Φ(ε/0, 4), Φ(ε/0, 4) = 0, 46. Из таблицы найдем, что ε/0, 4 == 1, 75 или ε = 0, 7 мм.

Ответ: P ≈ 0, 05, ε = 0, 7.

Пример 94.8. Размер диаметра втулок считается нормально распре-деленным с a = 2, 5 см и σ = 0, 01 см. В каких границах можно прак-тически гарантировать размер диаметра втулки ξ, если за вероятностьпрактической достоверности принимается 0,9973?

94 Практика — Нормальное распределение 343

Р е ш е н и е: Согласно правилу “3σ” (трех сигм):

P (|ξ − a| < 3σ) = 0, 9973.

Отсюда получим: |ξ − a| < 3σ, a− 3σ < ξ < a+ 3σ,2, 5− 0, 03 < ξ < 2, 5 + 0, 03 или 2, 47 < ξ < 2, 53.

Ответ: ξ ∈ (2, 47; 2, 53).

Пример 94.9. Найти для нормальной случайной величины ξ ее цен-тральные моменты третьего и четвертого порядков.

Р е ш е н и е: Согласно (94.1), для нормально распределенной случайнойвеличины с математическим ожиданием a центральный момент порядка kопределяется как

µk = M(ξ − a)k =

∫ ∞

−∞(x− a)kϕ(x)dx.

После подстановки сюда плотности распределения (93.1) получим:

µk =1

σ√

2π

∫ ∞

−∞(x− a)ke−

(x−a)2

2σ2 dx.

После подстановки t = (x− a)/(σ√

2) центральный момент

µk =(σ√

2)k

√π

∫ ∞

−∞tke−t2dt.

Здесь при k = 1, 3, 5, ... подынтегральная функция будет нечетной и инте-грал обратится в нуль. Это означает, что центральные моменты нечетногопорядка данного распределения равны нулю. Так как асимметрия пропор-циональна µ3, то, в частности, для нормального закона она рана нулю.

Предполагая, что k четно, и применяя интегрирование по частям, мож-но придти к простому рекуррентному соотношению: µk = (k − 1)σ2µk−2.Отсюда, учитывая, что µk = σ2, получим: µ4 = 3σ4, µ6 = 15σ6 и т. д. Сучетом первого равенства отношение µ4/σ

4 = 3σ4/σ4 = 3. Следовательно,эксцесс нормального распределения E = µ4/µ

22 − 3 = 0.

Пример 94.10. Найти абсциссы точек перегиба кривой распределенияϕ(x) нормального закона.

Р е ш е н и е: Продифференцируем функцию (93.1). Тогда

ϕ′(x) = − x− aσ3√

2πe−

(x−a)2

2σ2 .

Дифференцируя последнее выражение как произведение, получим:

ϕ′′(x) =(x− a)2 − σ2

σ5√

2πe−

(x−a)2

2σ2 .

344

Правая часть будет равна нулю, если (x − a)2 = σ2. Тогда x = a ± σ. Этоозначает, что точки перегиба графика плотности распределения отстоят навеличину σ от математического ожидания.


Пример 94.11. Случайная величина ξ подчиняется нормальному зако-ну распределения с параметрами a = 1, σ = 0, 2. Определить:а) P (−1 < ξ < 1), б) P (0 < ξ < 3), в) P (|ξ − 1| < 0, 1).

Пример 94.12. Процент выполнения задания (норма выработки) ра-бочего является случайной величиной, подчиненной нормальному законураспределения с математическим ожиданием 110% и средним квадрати-ческим отклонением 2%. Определить вероятность того, что: а) выпол-нение нормы выработки одним рабочим окажется в пределах от 101 до105%, б) выполнение нормы выработки хотя бы одним из трех наудачувзятых рабочих окажется в пределах от 107 до 111%.

Пример 94.13. Размер гайки задан полем допуска 90-95 мм. На ОТКзавода средний размер детали оказался 92,7 мм, а среднее квадратическоеотклонение 1,2 мм. Считая, что размер гайки подчиняется нормальномузакону, определить отдельно вероятность брака по: а) заниженному, б)завышенному размерам. (В случае а нужно искать вероятность того,что ξ < 90, а в случае б — вероятность того, что ξ > 95).

Пример 94.14. Длина изготавливаемой на станке детали представ-ляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону.Ее среднее значение равно 30 см, а σ = 0, 25 см. Какую точность длиныдетали можно гарантировать с вероятностью 0,95?

Пример 94.15. Производится взвешивание драгоценного металла безсистематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчиненынормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 10 мг.Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой,не превосходящей по абсолютной величине 5 мг.

Пример 94.16. Случайная величина ξ имеет нормальное распределениес параметрами a = 0, 3, σ = 0, 5. В каких границах должна изменять-ся величина ξ, чтобы вероятность неравенства |ξ − 0, 3| < ε была равна0,9642?

Пример 94.17. Наблюдения показали, что внешний диаметр подшип-ников данного типа является нормально распределенной случайной вели-чиной ξ со средним значением a = 100 мм и средним квадратическим

95 Лекция — Двумерные случайные величины 345

отклонением σ = 0, 001 мм. В каких границах можно практически гаран-тировать внешний диаметр подшипника, если за вероятность практи-ческой достоверности принять 0,9973.

95. ЛЕКЦИЯ — Двумерные случайныевеличины

Дискретные двумерные случайные величины. Двумерная функцияраспределения и плотность. Регрессия. Коэффициент корреляции.Прямые среднеквадратической регрессии

95.1. Дискретные двумерные случайныевеличины.

Кроме одномерных случайных величин, рассмотренных в предыдущихлекциях, изучают двумерные, трехмерные и т.д. случайные величины.

Будем рассматривать точку на плоскости со случайными координатами(ξ; ζ). Сначала рассмотрим случай, когда обе составляющие — дискретныеслучайные величины.

Определение 95.1. Законом распределения дискретной двумернойслучайной величины называют перечень возможных значений этой вели-чины, т.е. пар чисел (xi; yj), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, и их вероятностейpij = P{ξ = xi; ζ = yi}.

Закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл.95.1), в которой указывают все значения xi, yi и вероятности Pij.

ξ\ζ y1 . . . yj . . . ym

x1 p11 . . . p1j . . . p1m

......

. . ....

. . ....

xi pi1 . . . pij . . . pim...

.... . .

.... . .

...xn pn1 . . . pnj . . . pnm

346

таблица 95.1

Распределение двумерной дискретной случайной величины

ξ\ζ y1 . . . yj . . . ym P{ξ = xi}x1 p11 . . . p1j . . . p1m p1·...

.... . .

.... . .

......

xi pi1 . . . pij . . . pim pi·...

.... . .

.... . .

......

xn pn1 . . . pnj . . . pnm pn·P{ζ = yi} p·1 . . . p·j . . . p·m 1

Так как события {ξ = xi, ζ = yi}, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m попарнонесовместны и в сумме дают достоверное событие, сумма всех вероятностейравна 1.

Зная двумерный закон распределения, можно найти закон распределе-ния каждой составляющей (но не наоборот). Действительно:

(95.1)P{ξ = xi} = P{ξ = xi, ζ = y1}+ P{ξ = xi, ζ = y2}+ . . .

. . .+ P{ξ = xi, ζ = ym} =m∑

j=1

pij = pi·.

Аналогично

(95.2) {ζ = yi} =n∑

i=1

pij = p·j.

Итак, сложив вероятности “по строкам” и записав их в последний стол-бец, мы получим распределение составляющей ξ (первый и последний стол-бец таблицы 95.1). Сложив вероятности по столбцам и записав их в послед-нюю строчку, мы получим распределение составляющей (первая и послед-няя строки таблицы 95.1).

Зная распределение составляющих, можем найти числовые характери-стики каждой из них:

(95.3) M(ξ) =n∑

i=1

xipi·, M(ζ) =m∑

j=1

yip·j.

Определение 95.2. Точка с координатами(M(ξ);M(ζ)

)называется

центром распределения.

Отметим, что таблица 95.1, кроме информации о распределении каж-дой составляющей, содержит также информацию об их взаимном влиянии.


Найдем, например, условные вероятности P{ζ = yi/ξ = xi} и P{ξ == xi/ζ = yi}. Из формулы (88.3) следует, что

(95.4) P (B/A) =P (A · B)

P (A).

Поэтому

(95.5) P{ζ = yj/ξ = xi} =P{ξ = xi, ζ = yj}

p{ξ = xi}=pij

Pi·.

Аналогично:

(95.6) P{ξ = xi/ζ = yj} =pij

p·j.

Очевидно, чтоm∑

j=1

P{ζ = yj/ξ = xi} = 1 для i = 1, . . . , n, так же, как и

n∑i=1

P{ξ = xi/ζ = yj} для j = 1, . . . , m (докажите самостоятельно).

Вероятности P{ζ = yj/ξ = xi} для j = 1, . . . , m образуют условноераспределение случайной величины ζ при фиксированном значении ξ. Вчастности, можно найти условное математическое ожидание ζ при фикси-рованном значении ξ:

(95.7) M(ζ/ξ = xi) =

m∑

j=1

yj·P{ζ = yj/ξ = xi} для i = 1, . . . , n

и условное математическое ожидание ξ при фиксированном значении ζ:

(95.8) M(ξ/ζ = yj) =n∑

i=1

xiP{ξ = xi/ζ = yj} для j = 1, . . . , m.

Пример 95.1. Дискретная двумерная случайная величина задана та-блицей 95.2.

таблица 95.2

Условие примера 95.1

ξ\ζ 1 3 51 0,1 0,2 0,32 0,0 0,3 0,1

Найти безусловное и условное математическое ожидание ζ при усло-вии ξ = 2, а также безусловное и условное математическое ожидание ξпри условии ζ = 1.

348

Р е ш е н и е: Сначала найдем безусловные распределения ξ и ζ, сум-мируя вероятности по строкам и столбцам таблицы 95.2, и допишем их втаблицу распределения (в последний столбец и строку) (см. табл. 95.3).

таблица 95.3

Решение примера 95.1

ξ\ζ 1 3 5 P{ξ = xi}1 0,1 0,2 0,3 0,62 0,0 0,3 0,1 0,4

P{ζ = yi} 0,1 0,5 0,4 1

Искомые безусловные математические ожидания получатся как обычнодля дискретных распределений:

M(ξ) = 1 · 0, 6 + 2 · 0, 4 = 1, 4,

M(ζ) = 1 · 0, 1 + 3 · 0, 5 + 5 · 0, 4 = 3, 6.

Далее, по формулам (95.5) и (95.6) найдем условные распределенияP{ζ = yi//ξ = 2} и P{ξ = xi/ζ = 1}:

P{ζ = yi/ξ = 2} =P{ζ = yi, ξ = 2}

P{ξ = 2} =P{ζ = yi, ξ = 2}

0, 4,

P{ξ = xi/ζ = 1} =P{ξ = xi, ζ = 1}

P{ζ = 1} =P{ξ = xi, ζ = 1}

0, 1.

Результаты представлены в таблицах 95.4.таблица 95.4

Условные распределенияζ 1 3 5

P{ζ = yi/ξ = 2} 0 3/4 1/4ξ 1 2

P{ξ = xi/ζ = 1} 1 0

Найдем теперь условные математические ожидания по формулам (95.7),(95.8) для данных из таблицы 95.4.

M(ξ/ζ = 1) = 1 · 1 + 2 · 0 = 1,

M(ζ/ξ = 2) = 1 · 0 + 3 · 34

+ 5 · 14

= 3, 5.

Как видим, условные и соответствующие безусловные математическиеожидания различаются.

Ответ: M(ξ) = 1, 4; M(ζ) = 3, 6; M(ξ/ζ = 1) = 1; M(ζ/ξ = 2) = 3, 5.


95.2. Двумерная функция распределения иплотность

Приводимое ниже определение 95.3 функции распределения справедли-во для любой двумерной случайной величины. Заметим, однако, что дис-кретная случайная величина полностью определяется таблицей 95.1, ра-ботать с которой удобнее, чем с функцией распределения двумерной дис-кретной случайной величины.

Определение 95.3. Функцией распределения двумерной случайной ве-личины (ξ; ζ) называют

(95.9) F (x; y) = P{ξ < x; ζ < y}.Двумерная функция распределения обладает следующими свойствами:

(1) 0 6 F (x; y) 6 1;(2) F (−∞; y) = F (x;−∞) = F (−∞;−∞) = 0 F (+∞; +∞) = 1;(3) F (x; y) есть неубывающая функция по каждому аргументу;(4) Функции распределения каждой составляющей получаются пре-

дельным переходом:

Fξ(x) = P{ξ < x} = F (x; +∞),

Fζ(y) = P{ζ < y} = F (+∞; y);

(5) Вероятность попадания в прямоугольник выражается через функ-цию распределения по формуле:

(95.10)P{x1 6 ξ < x2; y1 6 ζ < y2} =

=(F (x2; y2)− F (x2; y1)

)−(F (x1; y2)− F (x1; y1)

).

Доказательства 1, 2 свойств непосредственно следуют из определения95.3 (проведите их самостоятельно). Доказательство свойства 3 аналогичнодоказательству свойства 3 функции распределения F (x) в п. 91.1.

Свойство 4 очевидно: F (x; +∞) = P{ξ < x; ζ < +∞} = P{ξ < x} == Fξ(x).

Для доказательства свойства 5 заметим, что согласно определению 95.3F (x2; y2) есть вероятность попадания двумерной случайной величины вугол ACE, F (x2; y1) — в угол FDE; следовательно

(F (x2; y2) − F (x2; y1)

)

есть вероятность попадания в полуполосу ACDF (рис. 95.1). Аналогич-но(F (x1; y2)−F (x1; y1)

)есть вероятность попадания в полуполосу ABGF .

Следовательно, разность этих вероятностей есть вероятность попадания впрямоугольник BCDG.

Определение 95.4. Двумерная случайная величина (ξ; ζ) называетсянепрерывной, если ее функция распределения F (x; y) непрерывна и имеет

350

B

G

H

C

D

E

A

F

xx

y

y1

1x

2

2

y

Рис. 95.1. Вероятность попадания в прямоугольник

x

y

∆y

∆x

G

Рис. 95.2. Вероятность попадания в область

непрерывные частные производные второго порядка всюду (за исключени-ем быть может, конечного числа кривых).

Определение 95.5. Плотностью распределения двумерной непрерыв-ной случайной величины (ξ; ζ) называется вторая смешанная частнаяпроизводная функции распределения:

(95.11) ϕ(x; y) =∂2F (x; y)

∂x∂y.

Двумерная плотность распределения обладает следующими свойства-ми:

(1) ϕ(x; y) > 0;(2) ϕ(−∞; y) = ϕ(x;−∞) = ϕ(+∞; +∞) = 0;

(3) F (x; y) =x∫

−∞

y∫−∞

ϕ(s; t)dsdt;


(4) Вероятность попадания двумерной случайной величины (ξ; ζ) в об-ласть G равна:

P{(ξ; ζ) ∈ G} =

∫∫

G

ϕ(x; y)dxdy;

(5)

+∞∫∫

−∞

ϕ(x; y)dxdy = 1.

Свойство 1 есть следствие свойства 3 F (x; y): производная от неубыва-ющей функции неотрицательна. Свойство 2 вытекает из свойства 2 F (x; y),т.к. производная константы равна нулю.

Свойство 3 следует из определения 95.5, поскольку F (x; y) являетсяпервообразной для ϕ(x; y).

Для доказательства свойства 4 область G следует разбить на множествопрямоугольников со сторонами ∆x и ∆y (рис. 95.2). Вероятность попада-ния в i-й из них определяется с помощью свойства 5 функции распределе-ния F (x; y). Применим к правой части этого равенства формулу Лагранжа:

(95.12)P{x1i 6 ξ < x2i; y1i 6 ζ < y2i} =

(F (x2i; y2i)− F (x2iy1i)

)−

−(F (x1i; y2i)− F (x1iy1i)

)= F ′′

xy(si; ti)∆x∆y = ϕ(si; ti)∆x∆y,

где точка (si; ti) находится внутри i-го прямоугольника.Очевидно, что вероятность попадания в область G приближенно равна

сумме вероятностей попадания в эти прямоугольники:

P{(ξ; ζ) ∈ G} ≈n∑

i=1

ϕ(si; ti)∆x∆y.

Переходя к приделу при ∆x → 0, ∆y → 0 (n → ∞), получим свойство4 плотности ϕ(x; y).

Теперь свойство 5 очевидно, т.к. вероятность попасть во всю плоскость с

одной стороны равна+∞∫∫−∞

ϕ(x; y)dxdy, а с другой стороны — есть достоверное

событие.Плотности распределения составляющих двумерной непрерывной слу-

чайной величины получаются из ее плотности ϕ(x; y) по формулам (95.13):

(95.13) ϕξ(x) =

+∞∫

−∞

ϕ(x; y)dy; ϕζ(y) =

+∞∫

−∞

ϕ(x; y)dx.

352

Действительно, поскольку F (x; y) =x∫

−∞

y∫−∞

ϕ(s; t)dsdt, получаем Fξ(x) =

= F (x; +∞) =x∫

−∞

+∞∫−∞

ϕ(s; t)dsdt. Продифференцировав обе части этого ра-

венства, получим:

ϕξ(x) =

dFξ(x)

dx=

d

dx

( x∫

−∞

+∞∫

−∞

ϕ(s; t)dsdt

)=

+∞∫

−∞

ϕ(x; t)dt.

Из равенства (95.12) следует, что вероятностный смысл двумернойплотности состоит в том, что ϕ(x; y) равна вероятности попадания случай-ной точки в прямоугольник с вершиной (x; y), с малыми сторонами ∆x,∆y,отнесенной к площади этого прямоугольника.

Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной ве-личины, найдем условную плотность составляющей ζ при фиксированнойвеличине ξ и наоборот.

Определение 95.6. Условной плотностью ϕ(y/ξ = x) распределенияζ при условии, что ξ = x, называется:

(95.14) ϕ(y/ξ = x) =ϕ(x; y)

ϕξ(x)

.

Условной плотностью ϕ(x/ζ = y) распределения ξ при условии, чтоζ = y, называется:

(95.15) ϕ(x/ζ = y) =ϕ(x; y)

ϕζ(y).

Заметим, что формулы (95.14), (95.15) соответствуют формуле (95.4),если учесть вероятностный смысл плотности. Так, например:

ϕ(x; y)∆x∆y

ϕξ(x)∆x

=ϕ(x; y)∆y

ϕξ(x)

= ϕ(y/ξ = x)∆y.

Определение 95.7. Условным математическим ожиданием ζ приусловии, что ξ = x, называется:

(95.16) M(ζ/ξ = x) =

+∞∫

−∞

yϕ(y/ξ = x)dy.


Условным математическим ожиданием ξ при условии, что ζ = y,называется:

(95.17) M(ξ/ζ = y) =

+∞∫

−∞

ϕ(x/ζ = y)dx.

Заметим, что M(ζ/ξ = x) есть функция от x: M(ζ/ξ = x) = fζ/ξ(x).Аналогично M(ξ/ζ = y) является функцией от y: M(ξ/ζ = y) = ψξ/ζ(y).

Определение 95.8. Функцию fζ/ξ(x) называют регрессией ζ на ξ. Дру-гими словами, регрессией ζ на ξ называется условное математическоеожидание ζ при фиксированном ξ = x. Аналогично ψξ/ζ(y) называется ре-грессией ξ на ζ.

Пример 95.2. Плотность ϕ(x; y) определяется формулой:

ϕ(x; y) =

{C при x2 + y2 < R2,0 при x2 + y2 > R2.

Определить константу C и функции регрессии ζ на ξ и ξ на ζ.

Р е ш е н и е: Для определения константы C воспользуемся свойством5 плотности:

+∞∫∫

−∞

ϕ(x; y)dxdy = 1 =⇒∫∫

x2+y2<R

C dxdy = 1 =⇒ C

∫∫

x2+y2<R

dxdy = 1.

Воспользуемся тем, что∫∫

x2+y2<R

dxdy равен объему цилиндра с основанием,

площадь которого πR2, и высотой равной 1.

C · πR2 = 1 =⇒ C =1

πR2.

Определим теперь плотности составляющих по формулам (95.13): при|x| > R ϕ

ξ(x) = 0; при |x| < R

ϕξ(x) =

√R2−x2∫

−√

R2−x2

1

πR2dy =

2√R2 − x2

πR2.

Окончательно:

(95.18) ϕξ(x) =

2√R2 − x2

πR2при |x| < R,

0 при |x| > R.

354

Аналогично:

(95.19) ϕζ(y) =

2√R2 − y2

πR2при |y| < R,

0 при |y| > R.

Теперь по формулам (95.14), (95.15) определяем:

ϕ(y/ξ = x) =

1

2√R2 − x2

при x2 + y2 < R,

0 при x2 + y2 > R;,

ϕ(x/ζ = y) =

1

2√R2 − y2

при x2 + y2 < R,

0 при x2 + y2 > R.

Наконец, по формулам (95.16), (95.17) найдем уравнения регрессии:

M(ζ/ξ = x) =

√R2−x2∫

−√

R2−x2

y1

2√R2 − x2

dy = 0,

M(ξ/ζ = y) =

√R2−y2∫

−√

R2−y2

x1

2√R2 − y2

dx = 0.

95. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Примерный вариант контрольной работыПример 95.1. Прибор состоит из трех последовательно соединенных

блоков. Отказ прибора наступает в случае отказа хотя бы одного блока.Блоки отказывают независимо, вероятность отказа первого блока равна0,1; второго — 0,2; третьего — 0,5. Найти вероятность того, что приборисправен.

Пример 95.2. В ящике среди 100 деталей находится одна бракованная.Из ящика наудачу извлечены 10 деталей. Найти вероятность того, чтосреди них окажется одна бракованная.

Пример 95.3. В коробке 5 одинаковых изделий, причем три из нихокрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, чтосреди двух извлеченных изделий окажется хотя бы одно окрашенное из-делие.

95 Практика — Контрольная работа 355

Пример 95.4. Два станка производят детали, поступающие на общийконвейер. Вероятность брака на первом станке равна 0,04, на втором —0,06. Производительность первого станка втрое больше производитель-ности второго. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвей-ера деталь небракованная.

Пример 95.5. Найти M(ξ), D(ξ), σ(ξ) случайной величины ξ, дописавпредварительно недостающую вероятность.

ξ 0,2 0,4 0,7 0,8 1,0P 0,10 0,25 0,20 0,30

Пример 95.6.

F (x) =

0 при x ≤ 0,k · x при 0 < x ≤ 5,1 при 5 < x.

Найти k, φ(x), M(ξ), D(ξ). Построить графики φ(x), F (x).

Пример 95.7. Случайная величина ξ имеет нормальное распределениес параметрами: a = 2, σ = 1. Найти ε, если P {|ξ − 2| < ε} = 0, 67.

Решение примерного варианта контрольной работы

Пример 95.1.

Р е ш е н и е: Обозначим A — событие, состоящее в исправности прибо-ра. A1, A2, A3 — соответственно исправность 1-го, 2-го и 3-го блоков. ТогдаA = A1 · A2 · A3. По теореме произведения вероятностей для независимыхсобытий получаем:

P (A) = P (A1 ·A2 · A3) = P (A1) · P (A2) · P (A3) =

= (1− 0, 1)(1− 0, 2)(1− 0, 5) = 0, 36

Пример 95.2.

Р е ш е н и е: С помощью формулы (87.6) лекции 87 имеем:

100д = 1б + 99н.б.

10д = 1б + 9н.б.P (A) =

C11 · C9

99

C10100

=1 · 99! · 10! · 90!

9! · 90! · 100!= 0, 1

356

Пример 95.3.

Р е ш е н и е: Найдем сначала вероятность противоположного событияA — среди двух извлеченных ни одного окрашенного. Аналогично преды-дущему примеру получаем:

5изд = 3о + 2н.о.

2изд = 0о + 2н.о.P (A) =

C22

C25

=1! · 2! · 3!

5!=

12

120= 0, 1

P (A) = 1− P (A) = 1− 0, 1 = 0, 9

Пример 95.4.

Р е ш е н и е: Задача решается по формуле полной вероятности:

P (A) = PH1(A) · P (H1) + PH2(A) · P (H2),

где A — событие, заключающееся в том, что наудачу взятая деталь небра-кованная, H1 — выбранная деталь поступила с первого станка, H2 — совторого. Поскольку первый станок в единицу времени производит втроебольше деталей, чем второй, P (H1) = 3

4, P (H2) = 1

4. Поскольку дано, что

PH1(A) = 0, 04, PH2(A) = 0, 06, заключаем, что PH1(A) = 1 − 0, 04 = 0, 96;PH2(A) = 1− 0, 06 = 0, 94. Окончательно имеем:

P (A) = 0, 96 · 34

+ 0, 94 · 14≈ 0, 955.

Пример 95.5.

Р е ш е н и е: Из условия:n∑

i=1

Pi = 1 находим недостающую вероятность

P2 : 0, 10 + P2 + 0, 25 + 0, 20 + 0, 30 = 1⇒ P2 = 0, 15.

M(ξ) = 0, 2 · 0, 1 + 0, 4 · 0, 15 + 0, 7 · 0, 25 + 0, 8 · 0, 20 + 1, 0 · 0, 30 = 0, 715

D(ξ) = 0, 22 · 0, 1 + 0, 42 · 0, 15 + 0, 72 · 0, 25+

+0, 82 · 0, 20 + 1, 02 · 0, 30− 0, 7152 = 0, 067

σ(ξ) =√D(ξ) ≈ 0, 259.

95 Практика — Контрольная работа 357

Пример 95.6.

Р е ш е н и е: Поскольку функция распределения непрерывной случай-ной величины непрерывна, заключаем, что

F (5) = 1⇒ k · 5 = 1⇒ k = 0, 2

Найдем плотность φ(x) = F ′(x).

φ(x) =

{0, при x ≤ 0 и при x>5,0, 2 при 0 < x ≤ 5

.

Графики F (x) и ϕ(x) представлены на рис. 95.1

1

50 x

F(x)

x

(x)ϕ

0,2

50Рис. 95.1. Графики F (x) и ϕ(x) к примеру 95.6

Найдем остальные характеристики.

M(ξ) =

+∞∫

−∞

xφ(x)dx =

5∫

0

0, 2xdx = 0, 1x2∣∣50

= 2, 5

D(ξ) =

+∞∫

−∞

x2φ(x)dx− 2, 52 =

5∫

0

0, 2x2dx− 2, 52 =

=0, 2x3

3

∣∣∣∣5

0

− 2, 52 ≈ 2, 08

σ(ξ) =√D(ξ) ≈ 1, 44.

Пример 95.7.

Р е ш е н и е: Пользуясь формулой (93.6) лекции 93, получаем:

P {|ξ − 2| < ε} = 2Ф( εσ

)⇒ 2Ф

(ε1

)= 0, 67⇒ Ф(ε) = 0, 335.

По таблицам функции Лапласа (приложение 2) по значению Ф(ε) находимаргумент ε ≈ 0, 97.

358


Решите вариант контрольной работы

Пример 95.8. Проводятся 5 независимых испытаний. Какова вероят-ность того, что событие A появится не менее, чем в двух испытаниях,если вероятность появления события A в каждом испытании равна 0,9.

Пример 95.9. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Каковавероятность того, что среди них окажется 2 туза.

Пример 95.10. При изготовлении детали заготовка должна пройтитри операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях со-бытиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартнойдетали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02, на второй— 0,01, на третьей — 0,03.

Пример 95.11. На сборку попадают детали с трех автоматов. Из-вестно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй — 0,2% и третий— 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали,если с первого поступило 1000, со второго — 2000 и с третьего — 2500деталей.

Пример 95.12. Найти M(ξ), D(ξ), σ(ξ) случайной величины ξ, дописавпредварительно недостающую вероятность

ξ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5P 0,3 0,2 0,15 0,25

Пример 95.13.

F (x) =

0 при x ≤ 0,k · x при 0 < x ≤ 3,0 при 3 < x.

Найти k, F (x), M(ξ), D(ξ). Построить графики ϕ(x), F (x).

Пример 95.14. Случайная величина ξ имеет нормальное распределениес параметрами: a = 1, σ = 3. Найти P {|ξ − 1| < 2}.

96. ЛЕКЦИЯ — Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции. Прямые среднеквадратической регрес-сии. Двумерное нормальное распределение

96 Лекция — Коэффициент корреляции 359

96.1. Коэффициент корреляции.Теорема 96.1. Для независимости случайных величин ξ и ζ необхо-

димо и достаточно, чтобы F (x; y) = Fξ(x) · F

ζ(y).

Доказательство. Из определения 88.1, теорем 88.2 и 88.3 с очевидно-стью следует, что события A и B независимы тогда и только тогда, когдаP (A · B) = P (A) · P (B). Если в качестве события A взять A = {ξ < x}, а вкачестве события B выбрать B = {ζ < y}, получим утверждение теоремы.

Следствие 96.1. Для независимости непрерывных случайных величинξ и ζ необходимо и достаточно, чтобы ϕ(x; y) = ϕ

ξ(x) · ϕ

ζ(y).

Доказательство. Если ξ и ζ независимы, то по теореме 96.1

F (x; y) = Fξ(x) · F

ζ(y) =⇒ ϕ(x; y) =

∂2F (x; y)

∂x∂y=

=∂

∂y

(F ′

ξ(x) · F ′

ζ(y)

)= F ′

ξ(x) · F ′

ζ(y) = ϕ

ξ(x) · ϕ

ζ(y).

Если ϕ(x; y) = ϕξ(x) · ϕ

ζ(y), то

F (x; y) =

x∫

−∞

y∫

−∞

ϕ(s; t)dsdt =

x∫

−∞

y∫

−∞

ϕξ(s) · ϕ

ζ(t)dsdt =

=

x∫

−∞

ϕξ(s)ds

y∫

−∞

ϕζ(t)dt = F

ξ(x) · F

ζ(y) =⇒

ξ и ζ независимы по теореме 96.1.

Пример 96.1. Установить, будут ли зависимы составляющие ξ и ζпримера 95.2.

Р е ш е н и е: Как было установлено в примере 95.2, плотности равны:

ϕ(x; y) =

{1

πR2при x2 + y2 < R,

0 при x2 + y2 > R;,

ϕξ(x) =

2√R2 − x2

πR2при |x| < R,

0 при |x| > R;,

ϕζ(y) =

{2√R2 − y2 при |y| < R,

0 при |y| > R..

360

Поскольку ϕ(x; y) 6= ϕξ(x) · ϕ

ζ(y), случайные величины ξ и ζ зависимы.

Этот факт следует также из того, что ϕ(x/ζ = y) 6= ϕξ(x) и ϕ(y/ξ = x) 6=

6= ϕζ(y).

Ответ: ξ и ζ зависимы.Для описания зависимости между двумя случайными величинами ξ и

ζ введенные ранее числовые характеристики M(ξ), D(ξ),M(ζ), D(ζ) непри-менимы. Введем понятие корреляционного момента и коэффициента кор-реляции.

Определение 96.1. Корреляционным моментом µξζ

случайных вели-чин ξ и ζ называют:

µξζ

= M((ξ −M(ξ)

)(ζ −M(ζ)

)).

Легко убедиться, что корреляционный момент можно также вычислятьпо формуле:

(96.1) µξζ

= M(ξ · ζ)−M(ξ) ·M(ζ).

Действительно, пользуясь свойствами математического ожидания, по-лучаем:

µξζ

= M(ξ −M(ξ)

)(ζ −M(ζ)

)= M

(ξζ − ξM(ζ)− ζM(ξ)+

+M(ξ) ·M(ζ))

= M(ξζ)−M(ξ)M(ζ)−M(ζ)M(ξ)+

+M(ξ)M(ζ) = M(ξζ)−M(ξ)M(ζ).

Вычисление корреляционного момента по формуле (96.1) для дискрет-ных случайных величин сводится к вычислению суммы:

µξζ

=m∑

j=1

n∑

i=1

pijxiyj −M(ξ) ·M(ζ),

а для непрерывных — интеграла:

µξζ

=

+∞∫∫

−∞

xyϕ(xy)dxdy −M(ξ) ·M(ζ).

Теорема 96.2. Для независимых случайных величин корреляционныймомент равен нулю.

Действительно, пользуясь свойствами математического ожидания изформулы (96.1), получаем для независимых ξ и ζ:

µξζ

= M(ξ · ζ)−M(ξ) ·M(ζ) = M(ξ) ·M(ζ)−M(ξ) ·M(ζ) = 0.

Теорема 96.3. Модуль корреляционного момента не превышает про-изведения среднеквадратических отклонений: |µ

ξζ| 6 σ

ξσ

ζ.


Доказательство. Рассмотрим D(σζ· ξ − σ

ξ· ζ) > 0. Учитывая (96.1), а

также: σ2ξ

= M(ξ2)−M2(ξ), σ2ζ

= M(ζ2)−M2(ζ), получаем:

D(σζ· ξ − σ

ξ· ζ) = M(σ

ζ· ξ − σ

ξ· ζ)2 −

(M(σ

ζ· ξ − σ

ξ· ζ))2

=

= M(σ2ζ· ξ2 − 2σ

ξσ

ζ· ξ · ζ + σ2

ξ· ζ2)−

(σ

ζM(ξ)− σ

ξM(ζ)

)2=

= σ2ζM(ξ2)− 2σ

ξσ

ζM(ξζ) + σ2

ξM(ζ2)− σ2

ζM2(ξ)+

+2σξσ

ζM(ξ)M(ζ)− σ2

ξM2(ζ) = σ2

ζ

(M(ξ2)−M2(ξ)

)+

+σ2ξ

(M(ζ2)−M2(ζ)

)− 2σ

ξσ

ζ

(M(ξζ)−M(ξ)M(ζ)

)=

= σ2ζσ2

ξ+ σ2

ξσ2

ζ− 2σ

ξσ

ζµ

ξζ= 2σ2

ξσ2

ζ− 2σ

ξσ

ζµ

ξζ.

Из неравенства 2σ2ξσ2

ζ− 2σ

ξσ

ζµ

ξζ> 0 получаем: µ

ξζ6 σ

ξσ

ζ. Аналогично,

рассмотрев D(σζξ + σ

ξζ) > 0, получим: µ

ξζ> −σ

ξσ

ζ. Объединяя два нера-

венства, получим: −σξσ

ζ6 µ

ξζ6 σ

ξσ

ζ.

На практике пользуются безразмерной характеристикой — коэффици-ентом корреляции.

Определение 96.2. Коэффициентом корреляции rξζ

случайных вели-чин ξ и ζ называется

(96.2) rξζ

=µ

ξζ

σξσ

ζ

=M(ξζ)−M(ξ)M(ζ)

σξσ

ζ

.

Пример 96.2. Определить коэффициент корреляции случайных вели-чин из примера 95.2.

Р е ш е н и е: Поскольку плотности составляющих ξ и ζ, определяемые поформулам (95.18), (95.19), являются четными функциями, математическиеожидания составляющих равны нулю:

M(ξ) =

R∫

−R

x · 2√R2 − x2

πR2dx = 0

как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно 0 ин-тервалу. Аналогично:

M(ζ) =

R∫

−R

y2√R2 − y2

πR2dy = 0.

362

Найдем M(ξ · ζ):

M(ξ · ζ)+∞∫∫

−∞

x · yϕ(xy) dxdy =1

πR2

+R∫

−R

xdx

√R2−x2∫

−√

R2−x2

dy =

=1

πR2

+R∫

−R

x · 2√R2 − x2dx = 0 по той же причине.

Итак:

µξζ

= M(ξ · ζ)−M(ξ) ·M(ζ) = 0 =⇒ rξζ

=µ

ξζ

σξσ

ζ

= 0.

Ответ: rξζ

= 0.Перечислим свойства коэффициента корреляции.

(1) Для независимых ξ и ζ коэффициент корреляции равен нулю:r

ξζ= 0,

(2) |rξζ| 6 1,

(3) |rξζ| = 1 ⇐⇒ ζ = kξ + b или ξ = kζ + b.

Свойство 1 является следствием определения 96.2 и теоремы 96.2.Свойство 2 немедленно следует из теоремы 96.3:

rξζ

=µ

ξζ

σξσ

ζ

=⇒ −1 6 rξζ

6 1.

Свойство 3 будет доказано в следующем пункте.

Замечание 96.1. Из равенства нулю коэффициента корреляции неследует независимость случайных величин.

Действительно, в примере 96.2 определено, что коэффициент корреля-ции случайных величин из примера 95.2 равен нулю, а в примере 96.1установлено, что эти случайные величины зависимы.

Определение 96.3. Случайные величины ξ и ζ называются некорре-лированными, если их коэффициент корреляции равен нулю: r

ξζ= 0.

Из свойства 1 и замечания 96.1 следует связь между независимостьюи некоррелированностью:

независимость =⇒ некоррелированность;некоррелированность =⇒/ независимость;

коррелированность =⇒ зависимость;зависимость =⇒/ коррелированность.


96.2. Прямые среднеквадратической регрессииРассмотрим двумерную случайную величину (ξ; ζ). Поставим задачу:

“наилучшим образом” приблизить случайную величину ζ функцией g(ξ).“Наилучшим образом” будет пониматься в смысле минимизации средне-квадратического отклонения, т.е. M

(ζ−g(ξ)

)2должно принимать наимень-

шее возможное для данного класса функций g(ξ) значение.

Определение 96.4. Функция y = g(x) такая, что M(ζ−g(ξ)

)2прини-

мает наименьшее возможное для данного класса функций g(ξ) значение,называется среднеквадратической регрессией ζ на ξ. Если наименьшее зна-чение ищется в классе линейных функций g(x) = kx+ b, то регрессия на-зывается линейной среднеквадратической регрессией ζ на ξ; ее графикомявляется, очевидно, прямая.

Теорема 96.4. Линейная среднеквадратическая регрессия ζ на ξ имеетвид:

(96.3) y = M(ξ) + rξζ

σζ

σξ

(x−M(ξ)

).

Доказательство. Для g(x) = kx+ b получим:

Φ(k; b) = M(ζ − g(ξ)

)2= M(ζ − kξ − b)2 =

M(ζ2 + k2ξ2 + b2 − 2kξζ − 2ζb+ 2kbξ) =

= M(ξ2) + k2M(ξ2) + b2 − 2kM(ξζ)− 2bM(ζ) + 2kbM(ξ).

Для нахождения значений коэффициентов k и b, обеспечивающих минимумэтой функции, приравняем к нулю частные производные:

∂Φ

∂k= 0

∂Φ

∂b= 0

⇐⇒

2kM(ξ2)− 2M(ξζ) + 2bM(ξ) = 0,

2b− 2M(ζ) + 2kM(ξ) = 0;⇐⇒

⇐⇒

b = M(ζ)− kM(ξ),

k =M(ξζ)−M(ξ)M(ζ)

M(ξ2)−M2(ξ).

Учитывая, что σ2ξ

= M(ξ2)−M2(ξ),M(ξζ)−M(ξ)M(ζ)

σξσ

ζ

, получаем:

(96.4) k = rξζ

σζ

σξ

, b = M(ζ)− kM(ξ).

364

Окончательно получаем функцию (96.3):

y = rξζ

σζ

σξ

+M(ζ)− rξζ

σζ

σξ

·M(ξ).

Можно доказать, что найденные таким образом из необходимого усло-вия экстремума функции Φ(k; b) значения k и b обеспечивают на самом делеее минимум. Примем это без доказательства.

Подставив найденные значения коэффициентов k и b из (96.4) в функ-цию Φ(k; b), получим ее минимальное значение:

(96.5) σ2ζ(1− r2

ξζ),

которое называют остаточной дисперсией. Она характеризует величинуошибки, которую мы допускаем при замене ζ функцией g(ξ) = kξ + b.

Замечание 96.2. При |rξζ| = 1 остаточная дисперсия σ2

ζ(1− r2

ξζ) = 0,

что означает, что нет ошибки при замене ζ функцией g(ξ), т.е. приr

ξζ= ±1 ζ = kξ + b.Верно также обратное утверждение: если ζ = kξ+ b, то остаточная

дисперсия σ2ζ(1− r2

ξζ) = 0 =⇒ r2

ξζ= 1 =⇒ r

ξζ= ±1. Тем самым доказано

свойство 3 коэффициента корреляции.

Замечание 96.3. Чем ближе значение rξζ

к 0, тем больше остаточ-ная дисперсия, т.е. ошибка при замене зависимости ζ = g(ξ) линейной.Чем ближе |r

ξζ| к 1, тем меньше эта ошибка. Отсюда следует вероят-

ностный смысл коэффициента корреляции: коэффициент корреляции по-казывает близость зависимости между двумя случайными величинами клинейной. Чем ближе |r

ξζ| к 1, тем "ближе"зависимость между ξ и ζ к

линейной.

Замечание 96.4. Аналогично можно получить уравнение прямойсреднеквадратической регрессии ξ на ζ:

(96.6) x = M(ξ) + rξζ

σξ

σζ

(y −M(ζ)

).

Обе прямые регрессии (96.3) и (96.5) проходят через точку(M(ξ);M(ζ)

)

— центр распределения.Обе прямые совпадают, если r

ξζ= ±1.

Коэффициент rξζ

σζ

σξ

называется коэффициентом регрессии ζ на ξ(r

ξζ

σζ

σξ

— коэффициент регрессии ξ на ζ). Знак коэффициента регрессии

совпадает со знаком коэффициента корреляции rξζ

. Так, например, при


rξζ> 0 линейная среднеквадратическая регрессия ζ на ξ возрастает, при

rξζ< 0 — убывает.

96.3. Двумерное нормальное распределениеОпределение 96.5. Двумерным нормальным распределением (нор-

мальным законом распределения на плоскости) называют распределениенепрерывной двумерной случайной величины (ξ; ζ) с плотностью:

(96.7)

ϕ(x; y) =1

2πσξσ

ζ

√1− r2

ξζ

·

·e− 1

2(1− r2ξζ

)

((x− a

ξ)2

σ2ξ

+(y − a

ζ)2

σ2ζ

− 2rξζ

(x− aξ)

σξ

(y − aζ)

σζ

)

.

Можно доказать, что его параметры имеют следующий вероятностныйсмысл: a

ξ= M(ξ), a

ζ= M(ζ), σ2

ξ= D(ξ), σ2

ζ= D(ζ), r

ξζ— коэффициент

корреляции ξ и ζ.

Замечание 96.5. Используя формулы (95.13), можно доказать, чтосоставляющие ξ и ζ имеют нормальное распределение с параметрамиξ ∼ N(a

ξ; σ

ξ) ζ ∼ N(a

ζ; σ

ζ) соответственно.

Теорема 96.5. Если составляющие двумерной нормальной случайнойвеличины некоррелированы, то они независимы.

Доказательство. Если rξζ

= 0, то из (96.7) следует, что

ϕ(x; y) =1

σξ

√2π· e−

(x− aξ)2

2σ2ξ · 1

σζ

√2π· e−

(y − aζ)2

2σ2ζ = ϕ

ξ(x) · ϕ

ζ(y).

Т.е. двумерная плотность равна произведению плотностей составляю-щих, что в соответствии со следствием 96.1 означает их независимость.

Итак, для нормального распределения двумерной случайной величиныпонятие некоррелированности и независимости составляющих равносиль-ны.

Определение 96.6. Если обе функции регрессии ζ на ξ (т.е. y == M(ζ/ξ = x)) и ξ на ζ (т.е. x = M(ξ/ζ = y)) линейны, то говорят,что ξ и ζ связаны линейной корреляционной зависимостью.

Можно доказать, что в этом случае эти функции регрессии совпадают спрямыми среднеквадратической регрессии (96.3) и (96.5) соответственно.

366

Теорема 96.6. Составляющие двумерной нормальной случайной вели-чины связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доказательство. Обозначив u =x− a

ξ

σξ

, v =y − a

ζ

σζ

, запишем плот-

ность (96.7) в виде:

ϕ(x; y) =1

2πσξσ

ζ

√1− r2

ξζ

· e− 1

2(1− r2ξζ

)

(u2 + v2 − 2r

ξζu · v

)

.

Плотность распределения составляющей ξ в соответствии с замечанием96.5 имеет вид:

ϕξ(x) =

1

σξ

√2πe−

u2

2 .

Найдем условную плотность распределения ζ при фиксированной ξ:

ϕ(y/ξ = x) =ϕ(x; y)

ϕξ(x)=

1√

2πσξ

√1− r2

ξζ

· e− 1

2(1− r2ξζ)

(v − rξζu)2

=

=1

√2π(σξ

√1− r2

ξζ

) · e

−

(y − aζ

σζ

− rξζx− aξ

σξ

)2

2(σξ

√1− r2

ξζ

)2

=

=1

√2π(σξ

√1− r2

ξζ

)2 · e

−

(y −

(aζ + rξζ

σζ

σξ

(x− aξ)))2

2(σξ

√1− r2

ξζ

)2

.

Как видим, полученное условное распределение нормально с математи-ческим ожиданием (функцией регрессии ζ на ξ):

M(ζ/ξ = x) = aζ+ r

ξζ

σζ

σξ

(x− aξ)

и дисперсией σ2ζ(1− r2

ξζ).

Аналогично можно получить функцию регрессии ξ на ζ:

M(ξ/ζ = y) = aξ+ r

ξζ

σξ

σζ

(y − aζ).

96 Практика — Двумерные случайные величины 367

Так как обе функции регрессии линейны, утверждение теоремы дока-зано.

Заметим, что эти функции совпадают с линейной среднеквадратическойрегрессией (96.3) и (96.5).

96. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Двумерные случайные величины

Пример 96.1. Задана дискретная двумерная случайная величина (ξ, ζ):

ξ\ζ 4 7 83,4 0,05 0,11 0,155,1 0,32 0,13 0,24

Найти законы распределения составляющих ξ и ζ, безусловное и услов-ное математическое ожидание ξ при условии ζ = 7, а также безусловноеи условное математическое ожидание ζ при ξ = 5, 1.

Р е ш е н и е: Сложив вероятности по строкам, получим закон распре-деления составляющей ξ:

ξ 3,4 5,1p 0,31 0,69

Если сложим вероятности по столбцам, то придем к закону распреде-ления составляющей ζ:

ζ 4 7 8p 0,37 0,24 0,39

С помощью последних таблиц легко найдем безусловные математиче-ские ожидания:

M(ξ) = 3, 4 · 0, 31 + 5, 1 · 0, 69 = 4, 573,

M(ζ) = 4 · 0, 37 + 7 · 0, 24 + 8 · 0, 39 = 6, 280.

Вероятность P (ζ = 7) = 0, 11 + 0, 13 = 0, 24. Согласно (95.6), условныевероятности

P (ξ = 3, 4|ζ = 7) = 0, 11/0, 24 = 11/24,

P (ξ = 5, 1|ζ = 7) = 0, 13/0, 24 = 13/24.

Условный закон распределения ξ примет вид:

ξ 3,4 5,1P (ξ = xi|ζ = 7) 11/24 13/24

Соответствующее условное математическое ожидание

M(ξ|ζ = 7) = 3, 4 · 11/24 + 5, 1 · 13/24 ≈ 4, 321.

368

Вероятность P (ξ = 5, 1) = 0, 32 + 0, 13 + 0, 24 = 0, 63. По формуле (95.5)

P (ζ = 4|ξ = 5, 1) = 0, 32/0, 69 = 32/69,

P (ζ = 7|ξ = 5, 1) = 0, 13/0, 69 = 13/69,

P (ζ = 8|ξ = 5, 1) = 0, 24/0, 69 = 24/69.

По условному закону распределения ζζ 4 7 8

P (ζ = yi|ξ = 5, 1) 32/69 13/69 24/69найдем математическое ожидание

M(ζ|ξ = 5, 1) = 4 · 32/69 + 7 · 13/69 + 8 · 24/69 ≈ 5, 957.

Ответ: 4,321; 5,957.

Пример 96.2. Задана функция распределения двумерной случайной ве-личины

F (x, y) =

{cosx · cos y при 0 6 x 6 π/2, 0 6 y 6 π/2,0 в противном случае.

Найти вероятность попадания случайной точки (ξ, ζ) в прямоугольник,ограниченный прямыми x = π/4, x = π/2, y = 0, y = π/4.

Р е ш е н и е: Используем формулу (95.11):

P (x1 < ξ < x2, y1 < ζ < y2) = (F (x2, y2)− F (x2, y1))−−(F (x1, y2)− F (x1, y1)).

Положив x1 = π/4, x2 = π/2, y1 = 0, y2 = π/4, получим

P = (cosπ

2· cos

π

4− cos

π

2· cos 0)− (cos

π

4· cos

π

4− cos

π

4· cos 0) =

√2− 1

2.


F (x, y) =

{(1− e−ax)(1− e−by) при x > 0, y > 0,0 в противном случае.

Найти двумерную плотность вероятности (ξ, ζ).

Р е ш е н и е: Согласно (95.12), плотность вероятности есть втораясмешанная частная производная функции распределения. Производная поy отличной от нуля части равна:

∂F (x, y)

∂y= b(1− e−ax)e−by.


Дифференцируя это выражение по x, получим

ϕ(x, y) = abe−ax−by

при x > 0, y > 0 и, кроме того, ϕ(x, y) = 0 при x < 0 или y < 0.

Ответ: ϕ(x, y) =

{abe−ax−by при x > 0, y > 0,0 в противном случае.

Пример 96.4. Задана двумерная плотность вероятности системыдвух случайных величин: ϕ(x, y) = (1/2) cos(x+ y) в квадрате −π/4 6 x 6

6 π/4, −π/4 6 y 6 π/4; вне этого квадрата ϕ(x, y) = 0. Найти функциюраспределения системы (ξ, ζ).

Р е ш е н и е: Для решения задачи воспользуемся формулой:

F (x, y) =

∫ x

−π/4

∫ y

−π/4

ϕ(x, y)dxdy.

Тогда: a) при −π4

6 x 6π4, −π

46 y 6

π4

F (x, y) =1

2

∫ x

−π/4

dx

∫ y

−π/4

cos(x+ y)dy =

=1

2(cos(x− π/4) + cos(y − π/4)− cos(x+ y)).

б) при x < −π4

или y < −π4

F (x, y) =

∫ x

−∞dx

∫ y

−∞0dy = 0.

в) при x > π4, −π

46 y 6

π4

F (x, y) =1

2

∫ π/4

−π/4

dx

∫ y

−π/4

cos(x+ y)dy =

=1

2(1 + cos(y − π/4)− cos(y + π/4)).

г) при −π4

6 x 6π4, y > π

4

F (x, y) =1

2(1 + cos(x− π/4)− cos(x+ π/4)).

д) при x > π4

и y > π4

F (x, y) = 1.

370

Пример 96.5. Задана двумерная плотность вероятности ϕ(x, y) == a/(x2 + y2 + 2)4 системы двух случайных величин (ξ, ζ). Найти посто-янную a.

Р е ш е н и е: Воспользуемся свойством 5 плотности вероятности:∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞ϕ(x, y)dxdy = 1.

Для вычисления интегралов удобнее перейти к полярным координатам.Тогда

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

a

(x2 + y2 + 2)4dxdy = a

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

0

1

(r2 + 2)4rdr = 1.

После вычисления независимых интегралов по ϕ и r получим: πa/24 = 1 ⇒⇒ a = 24/π.

Ответ: a = 24/π.

Пример 96.6. Система случайных величин (ξ, ζ) имеет плотностьвероятности ϕ(x, y) = a/((1 + x2)(4 + y2)). Определить коэффициент a;найти функцию распределения F (x, y); вычислить вероятность попада-ния случайной точки (ξ, ζ) в прямоугольник G : x ∈ [0, π/4], y ∈ 0, π/2];установить, являются ли величины ξ и ζ зависимыми.

Р е ш е н и е: Коэффициент a найдем также с помощью свойства 5плотности:

a

∫ +∞

−∞

dx

1 + x2

∫ +∞

−∞

dy

4 + y2= 1, a · [arctgx]+∞

−∞ · [1

2arctg

y

2]+∞−∞ = 1,

a · (π2

+π

2) · (π

4+π

4) = 1, a · π

2

2= 1, a =

2

π2.


ϕ(ξ, ζ) =2

π2(1 + x2)(4 + y2).

Согласно свойству 3 двумерной плотности, функция распределения

F (x, y) =2

π2

∫ x

−∞

dx

1 + x2

∫ y

−∞

dy

4 + y2=

=2

π2· (arctgx +

π

2) · (1

2arctg

y

2+π

4).

Вероятность попадания в прямоугольник G определим с помощью найден-ной функции распределения:

P ((ξ, ζ) ∈ G) = F (π

4,π

2)− F (0,

π

2)− (F (

π

4, 0)− f(0, 0)) =


=2

π2{(arctgπ

4+π

2) · (1

2arctg

π

4+π

4)− π

2(1

2arctg

π

4+π

4)−

−((arctgπ

4+π

2)π

4− π

2

π

4)} =

1

π2.

Заметим, что эту же вероятность можно непосредственно найти с помощьюплотности распределения согласно ее свойству 4.

Плотности распределения составляющих найдем по формулам (95.13):

ϕξ(x) =

∫ +∞

−∞ϕ(x, y)dy =

2

π2(1 + x2)

∫ +∞

−∞

dy

4 + y2=

1

π(1 + x2).

Аналогично найдем, что

ϕζ(y) =2

π(4 + y2).

Поскольку здесь ϕ(x, y) = ϕξ(x) ·ϕζ(y), то делаем вывод о том, что случай-ные величины ξ и ζ независимы.

Пример 96.7. Плотность распределения вероятностей двумерной слу-чайной величины ϕ(x, y) = a(x2+xy) при 0 6 x 6 2, 0 6 y ≤ 2 и ϕ(x, y) = 0вне указанного квадрата. Вычислить значение постоянной a и матема-тические ожидания составляющих или центр распределения.

Р е ш е н и е: Постоянную a найдем из условия∫ 2

0

∫ 2

0

ϕ(x, y)dxdy = 1.

Тогда

a

∫ 2

0

dx

∫ 2

0

(x2 + xy)dy = 1

и после интегрирования по y получим:

a

∫ 2

0

(2x+8

3)dx = 1.

Вычисляя определенный интеграл, придем к уравнению: a·28/3 = 1. Отсю-да получим значение a = 3/28. Таким образом, отличное от нуля значениеплотности распределения будет ϕ(x, y) = (3/28)(x2 + xy). Математическиеожидания случайных величин ξ и ζ определятся как

M(ξ) =

∫ 2

0

∫ 2

0

xϕ(x, y)dxdy =3

28

∫ 2

0

xdx

∫ 2

0

(x2 + xy)dy =10

7,

M(ζ) =

∫ 2

0

∫ 2

0

yϕ(x, y)dxdy =3

28

∫ 2

0

dx

∫ 2

0

y(x2 + xy)dy =8

7.

Таким образом, центром распределения является точка (10/7; 8/7).

372

Пример 96.8. Плотность распределения непрерывной двумерной слу-чайной величины (ξ, ζ)

ϕ(x, y) =1

πe−(x2+2xy+2y2).

Найти плотности распределения составляющих и условные плотностираспределения этих составляющих.

Р е ш е н и е: Плотности распределения составляющих определяютсяформулами (95.14). Тогда

ϕξ(x) =

∫ +∞

−∞ϕ(x, y)dy =

1

πe−x2/2

∫ +∞

−∞e−2(y+x/2)2dy =

1√2πe−x2/2.

Здесь интеграл по y был вычислен с помощью интеграла Пуассона∫ +∞

−∞e−t2dt =

√π и подстановки t =

√2(y + x/2).

Во втором случае

ϕζ(y) =

∫ +∞

−∞ϕ(x, y)dy =

1

πe−y2

∫ +∞

−∞e−(x+y)2dx =

1√πe−y2

.

Условная плотность распределения ζ при условии, что ξ = x

ϕ(y/ξ = x) =ϕ(x, y)

ϕξ(x)=

√2

πe−(1/2)(x+2y)2 .

Условная плотность распределения ξ при условии, что ζ = y

ϕ(x/ζ = y) =ϕ(x, y)

ϕζ(y)=

1√πe−(x+y)2.

Пример 96.9. Непрерывная двумерная случайная величина (ξ, ζ) рас-пределена равномерно внутри прямоугольного треугольника с вершинамиO(0, 0), A(0, 6), B(6, 0). Найти плотность системы и плотности состав-ляющих двумерной величины.

Р е ш е н и е: Распределение двумерной непрерывной случайной ве-личины называют равномерным, если в области, которой принадлежат всевозможные значения (x, y), плотность вероятности сохраняет постоянноезначение, т.е. ϕ(x, y) = a. Уравнение прямой AB есть y = 6 − x. Постоян-ную a найдем с помощью свойства 5 двумерной плотности. Тогда

∫ 6

0

dx

∫ 6−x

0

ady = 1, a

∫ 6

0

(6− x)dx = 1,


18a = 1, a = 1/18, ϕ(x, y) = 1/18 внутри треугольника; вне этой областиплотность равна нулю.

Согласно (95.14), плотности составляющих двумерной величины будутравны:

ϕξ(x) =

∫ 6−x

0

1

16dy =

3

8− 1

16x (0 < x < 6),

ϕζ(y) =

∫ 6−y

0

1

16dx =

3

8− 1

16y (0 < y < 6).

Вне указанных интервалов эти функции равны нулю.

Пример 96.10. Дана плотность двумерной случайной величины

ϕ(x, y) =

{ln2 4 · 4−x−y при x ≥ 0, y ≥ 0,0 при x < 0 или y < 0.

Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Р е ш е н и е: В данном случае

M(ξ) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

x · ϕ(x, y)dxdy =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

x · ln2 4 · 4−x−ydxdy =

= x ln 4

∫ ∞

0

x · 4−xdx =1

ln 4.

Здесь последний интеграл по x был вычислен по частям. Аналогично най-дем

M(ζ) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

y · ϕ(x, y)dxdy =1

ln 4.

Дисперсия

D(ξ) =

∫ ∞

0

∫ ∞

0

x2 · ϕ(x, y)dxdy −M2(ξ).

Подставляя сюда значение плотности вероятности и проводя два раза инте-грирование по частям, получим: D(ξ) = 1/ ln2 4. Очевидно, D(ζ) = 1/ ln2 4.


Пример 96.11. Задана дискретная двумерная случайная величина (ξ, ζ):

ξ\ζ 9 11 12 152 0,01 0,08 0,21 0,124 0,07 0,15 0,23 0,04

Найти математические ожидания M(ξ), M(ζ).

374


F (x, y) =

{1 + 5−x−y при x > 0, y > 0,0 при x < 0 или y < 0.

Найти вероятность попадания случайной точки (ξ, ζ) в прямоугольник,ограниченный прямыми x1 = 2, x2 = 3, y1 = 1, y2 = 2.

Пример 96.13. Дана функция распределения системы двух случайныхвеличин

F (x, y) = k(1− e−x2

)(1− e−y2

), (x > 0, y > 0);

Вне первой четверти F (x, y) равняется нулю. Найти выражение дляплотности вероятности и коэффициент k. Определить вероятность по-падания случайной точки в область D, которая представляет собой чет-верть круга радиуса R (x > 0, y > 0).

Пример 96.14. Двумерная случайная величина (ξ, ζ) имеет плотность

ϕ(x, y) =a

1 + x2 + y2 + x2y2.

Найти коэффициент a и одномерные плотности случайных величин ξ иζ.

Пример 96.15. Плотность распределения вероятностей двумернойслучайной величины имеет следующий вид:

ϕ(x, y) =

{a(x+ y) при 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x,0 вне указанной области.

Определить константу a и вычислить центр распределения.

Пример 96.16. Дана плотность вероятности двумерной случайной ве-личины (ξ, ζ):

ϕ(x, y) =

{12sin(x+ y), x ∈ [0, π

2], y ∈ [0, π

2],

0 вне этой области.

Определить функцию распределения системы и математические ожи-дания величин ξ и ζ.

Пример 96.17. Двумерная случайная величина распределена равномер-но внутри квадрата со стороной a и диагоналями, совпадающими с осямикоординат. Найти выражение для плотности вероятности ϕ(ξ, ζ).

97 Лекция — Основные понятия статистики 375

97. ЛЕКЦИЯ — Основные понятияматематической статистики

Предмет математической статистики. Генеральная совокупность ивыборка. Эмпирическая функция распределения и гистограмма. Чи-словые характеристики статистического распределения

97.1. Предмет математической статистикиМатематическая статистика — это наука, которая методами теории ве-

роятностей на основании результатов наблюдений изучает закономерностив массовых случайных явлениях. Математическая статистика (не путать состатистикой — разделом экономической теории) указывает способы сбораи группировки статистических данных (результатов наблюдений), разра-батывает методы их обработки для оценки характеристик распределения,для установления зависимости случайной величины от других, для провер-ки статистических гипотез о виде распределения или значениях его пара-метров. Математическая статистика возникла и развивалась параллельнос теорией вероятностей.

97.2. Генеральная совокупность и выборкаЗначительная часть математической статистики связана с необходимо-

стью описать большую совокупность объектов. Ее называют генеральной.Если генеральная совокупность слишком многочисленна, или ее объектытруднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучитьвсе объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов. Эта выбран-ная для полного изучения часть называется выборкой. Необходимо, чтобывыборка наилучшим образом представляла генеральную совокупность, т.е.была репрезентативной (представительной). Если генеральная совокуп-ность мала или совсем неизвестна, не удается предложить ничего лучшего,чем чисто случайный выбор.

Пример 97.1. Пусть необходимо оценить качество изделий, выпускае-мых определенным цехом машиностроительного предприятия. Для этоговыбирают партию изделий и подвергают их контролю с целью дефекти-рования. Доля бракованных изделий для выбранной партии распространя-ется затем на всю продукцию цеха. Здесь генеральная совокупность — всеизделия, выпускаемые цехом, выборка — отобранные для проверки изделия.

Пример 97.2. Пусть необходимо оценить будущий урожай пшеницы.Для этого выбирают небольшой участок поля, например один квадратный

376

метр, и подсчитывают число зерен во всех колосках и их массу. Прибли-женно весь урожай равен площади поля в метрах, умноженной на массузерен, собранную с данного участка. Здесь генеральная совокупность - весьожидаемый урожай, а выборка - урожай, собранный с одного квадратногометра. Если выбрать "плохой"участок (например, близко к краю поля),то оценка урожая будет заниженной. Если же участок имеет преиму-щества перед другими (например, лучше освещается солнцем), то оценкаурожая будет завышенной.

Пример 97.3. Производится социологическое исследование с цельюпрогноза результатов предстоящих выборов мэра города. Здесь генераль-ная совокупность — все избиратели города, а выборка — число опрошенныхреспондентов. Большое значение имеет способ, которым получена выбор-ка. Ошибки при выборе способа отбора приводят к тому, что выборкастановится нерепрезентативной. Если в качестве респондентов взять,например, сто первых встречных с 10 до 12 часов дня, то социологи узна-ют мнение не всех слоев населения, а только домохозяек, направляющихсяв это время за покупками.

Будем проводить испытания и в каждом из них фиксировать значе-ния, которые приняла случайная величина ξ. В результате m испытанийполучим выборку n значений, образующих простую статистическую сово-купность наблюдений.

Определение 97.1. Количество наблюдений n называется объемомвыборки.

При большом числе наблюдений (сотни, тысячи) простая статистиче-ская совокупность перестает быть удобной формой записи статистическогоматериала — она становится слишком громадной. Для более экономичнойзаписи наблюдаемые значения группируют.

Пусть в выборке значение x1 наблюдалось n1 раз, x2 — n2 раз, . . .,

xk — nk раз иk∑

i=1

ni = n — объем выборки.

Определение 97.2. Наблюдаемые значения xi называют вариантами,а их последовательность, записанная в возрастающем порядке — вариа-ционным рядом. Числа наблюдений n1, n2, . . . , nk называют частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень варианти соответствующих им частот — табл. 97.1.


таблица 97.1

Статистическое распределениеварианты xi x1 . . . xk

частоты ni n1 . . . nk

97.3. Эмпирическая функция распределения игистограмма

С каждым испытанием, в котором наблюдается некоторая случайнаявеличина ξ, можно связать случайное событие ξ = xi, но иногда удобнеерассматривать событие ξ < xi.

Определение 97.3. Эмпирической (статистической) функцией рас-пределения случайной величины ξ называется функция F ∗(x), которая прикаждом x равна относительной частоте события ξ < x, т.е. отношениюnx — числа наблюдений меньших x к объему выборки n:

F ∗(x) = P ∗(ξ < x) =nx

n.

Пример 97.4. Построить эмпирическую функцию распределения дляданной выборки:

Варианты xi 1 4 6 7 8 10Частоты ni 5 10 15 5 10 5

Р е ш е н и е: Объем выборки n равен 5+10+15+5+10+5=50. Наимень-шая варианта равна 1, следовательно F ∗(x) = 0 при x 6 1. Значение x < 3,а именно x = 1 наблюдалось 5 раз, следовательно F ∗(x) = 5

50= 0, 1 при

1 < x 6 4. Значения x < 6, а именно x = 1 и x = 4 наблюдались 5+10=15раз, следовательно F ∗(x) = 15

50= 0, 3 при 4 < x 6 6. Аналогично получаем

F ∗(x) = 3050

= 0, 6 при 6 < x 6 7 и т.д. Так как 10 — наибольшая варианта,F ∗(x) = 1 при x > 10.

F ∗(x) =

0 при x 6 1,0, 1 при 1 < x 6 4,0, 3 при 4 < x 6 6,0, 6 при 6 < x 6 7,0, 7 при 7 < x 6 8,0, 9 при 8 < x 6 10,1 при x > 10.

378

F (x)*

1 4 7 1086

0.6

1

0.1

0.3

0.7

0.9

x

Рис. 97.1. Эмпирическая функция распределения

График найденной функции представлен на рис. 97.1.Из определения F ∗(x) вытекают ее свойства:

1) 0 6 F ∗(x) 6 1;2) F ∗(x) — ступенчатая неубывающая функция;3) если x1 — наименьшая, а xk — наибольшая варианты, то F ∗(x) = 0

при x 6 x1 и F ∗(x) = 1 при x > xk.

Гистограмма представляет выборку более наглядно. Для построениягистограммы разделим весь диапазон наблюдений на s интервалов вида(aj−1; aj] и определим количество наблюдений mj, попавших в j-й интер-вал. Относительная частота наблюдений, попавших в j-й интервал равнаP ∗

j =mj

n(m1 + . . .+ms = n), сумма всех частот, очевидно, равна единице.

Для построения гистограммы по оси ординат откладываются значенияP ∗

j

∆aj

=mj

n · (aj − aj−1). Полученная фигура, состоящая из прямоугольников,

называется гистограммой относительных частот. Площадь каждого прямо-угольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в данныйинтервал. Для данных примера 97.4 получаются следующие значения:

N п/п aj−1 aj mj P ∗j =

mj

n

P ∗j

∆aj

1 0 3 5 0.1 1/302 3 6 25 0.5 5/303 6 9 15 0.3 3/304 9 12 5 0.1 1/30


Получившаяся гистограмма представлена на рис. 97.2.

303

130

530

6 x12930

Рис. 97.2. Гистограмма относительных частот

Другим наглядным способом представления распределения являетсяполигон относительных частот. Для его построения по оси абсцисс откла-дываются варианты, а по оси ординат — относительные частоты (рис. 97.3),и полученные точки соединяются ломаной линией.

*Pi

1 4 7 1086 x

0.3

0.1

0.2

Рис. 97.3. Полигон относительных частот

Для выборки из генеральной совокупности значений непрерывной слу-чайной величины гистограмма является статистическим аналогом плотно-сти распределения, а для дискретной случайной величины полигон отно-сительных частот является статистическим аналогом многоугольника ве-роятностей. При увеличении объема выборки эти статистические харак-теристики в определенном смысле приближаются к своим теоретическиманалогам.

380

Замечание 97.1. Наряду с гистограммой и полигоном относительныхчастот иногда рассматривают соответственно гистограмму и полигончастот, отличающиеся масштабом по оси ординат — все значения пооси ординат умножаются на n — объем выборки. Понятно, что формуполучаемых фигур это не изменяет.

97.4. Числовые характеристикистатистического распределения

Статистическая функция распределения и гистограмма являются пол-ными характеристиками результатов наблюдения случайной величины вданной серии испытаний. Однако иногда целесообразно ограничиться бо-лее простой, хотя и неполной характеристикой распределения.

Простейшей характеристикой распределения является выборочное сред-нее, которое для простой статистической совокупности вычисляется поформуле:

(97.1) x =1

n

n∑

i=1

xi.

Если данные сгруппированы, то:

(97.2) x =1

n

k∑

i=1

ni · xi.

Иными словами, выборочное среднее представляет собой среднее взве-шенное значение, причем веса равны соответствующим частотам.

Для характеристики разброса значений случайной величины относи-тельно ее среднего значения используется выборочная дисперсия

(97.3) S2 =1

n

n∑

i=1

(xi − x)2 = (x− x)2

для простой совокупности и

(97.4) S2 =1

n

k∑

i=1

ni(xi − x)2

для сгруппированного распределения.Очевидно, выборочная дисперсия имеет ту же размерность, что и квад-

рат случайной величины. Практически удобно пользоваться величиной,имеющей ту же размерность, что и данная случайная величина.

Для этого достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень.


Эта величина

(97.5) S =√S2

называется выборочным средним квадратическим отклонением (СКО).На практике вместо формулы (97.3) бывает удобнее применять другую:

(97.6) S2 =1

n

n∑

i=1

x2i − (x)2 = x2 − x2

для простой совокупности и

(97.7) S2 =1

n

k∑

i=1

nix2i − (x)2

для сгруппированного распределения.Докажем формулу (97.6):

S2 =1

n

n∑

i=1

(xi − x)2 =1

n

n∑

i=1

(x2i − 2xix+ x2) =

1

n

n∑

i=1

x2i − 2x

1

n

n∑

i=1

xi + x2 =

= x2 − 2x · x+ x2 = x2 − x2.

Пример 97.5. Покажем, как построить гистограмму и эмпириче-скую функцию распределения, вычислить числовые характеристики ста-тистического распределения с помощью программы на Mathcad. Сформи-руем массив x выборки N = 100 с помощью датчика случайных чисел.

ORIGIN := 1 n := 100 Объем выборкиМассив значенийx := rnorm(n, 145, 15) + rnd(1) · 25

xT =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

144.6 145.2 166.2 137.9 143.4 155.8 118.5 154.1 161.0 110.6Построим вариационный ряд, расположив значения по возрастанию. В

таблице представлены первые 10 вариант. Сортируем выборку по возрас-танию:

x := sort(x)

xT =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

110.6 115.1 118.5 118.7 122.5 122.6 122.8 123.4 124.6 129.6

Для построения гистограммы весь диапазон полученных значений отXmin до Xmax разобьем на 10 интервалов одинаковой длины ∆ и посчитаемчисло наблюдений hm, попавших в m–й интервал:

Xmin := min(x) Xmax := max(x) Диапазон изменения значений.Xmin = 110.56 Xmax = 184.49

382

M := 10 ∆ := Xmax−Xmin

M∆ = 7.392 Длина интервала.

m := 1..M i := 1..M + 1 Ti = Xmin + ∆ · (i− 1) Границы интервалов.T1 := Xmin − ∆

1000TM+1 := TM+1 + ∆

1000

tm := Xmin + ∆ ·m− ∆2

Середины интервалов.h := hist(T, x) Вычисление значений ординат гистограммы.Ниже представлены график гистограммы, значения hm, границы Tm и

середины tm интервалов.

t

h

100 110 130120 140 150 160 170 180 190 200

10

20

Рис. 97.4. График гистограммы

hT =1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 7 2 11 22 19 16 12 6 3

T T =1 2 3 4 5 6 7 8 9

110.56 117.96 125.35 132.74 140.13 147.53 154.92 162.31 169.70

tT =1 2 3 4 5 6 7 8 9

114.26 121.65 129.05 136.44 143.83 151.22 158.61 166.01 173.40

Найдем значения эмпирических значений функции распределения F (x)для значений x с шагом ∆ и построим ее график:

j := 2..M F1 := h1 Fj := Fj−1 + hj

F T =1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 9 11 22 44 63 79 91 97 100

Найдем также некоторые числовые характеристики данной выборки:Mx := mean(x) Mx = 150.115 Выборочное среднее.s2 := n

n−1· var(x) s2 = 232.727 Несмещенная выборочная дисперсия.

S :=√s2 S = 15.255 Выборочное среднее квадратическое отклонение.


1

0.5

Fn

T100 120 140 160 180

Рис. 97.5. График эмпирической функции распределения

median(x) = 149.515 Медиана — значение варианты, для которого ко-личество элементов находящихся слева и справа, одинаково.

Центральные выборочные моменты

µ3 :=1

n·

n∑

i=1

(xi −Mx)3 µ3 = −793.175.

µ4 :=1

n·

n∑

i=1

(xi −Mx)4 µ4 = 1.513 · 105.

E :=µ4

s22− 3 E = −0.206 Выборочный эксцесс.

A :=µ3

S3A = −0.223 Выборочный коэффициент асимметрии.

97.5. Точечные оценки параметровраспределения

Выборочное среднее, выборочная дисперсия и СКО являются примера-ми точечных оценок параметров распределения.

Определение 97.4. Точечной оценкой an неизвестного параметра aраспределения случайной величины ξ называется функция от наблюдений:

an = a(x1, . . . , xn).

Для изучения свойств этой оценки ее рассматривают как функцию от nнезависимых случайных величин ξ1, . . . , ξn, имеющих такое же распределе-ние, что и ξ; x1, . . . , xn в этом случае рассматриваются как наблюдения над

384

этими случайными величинами: x1 — полученное значение ξ1, x2 — наблю-денное значение ξ2 и т.д. Сама оценка an в этом случае является случайнойвеличиной.

Перечислим свойства точечной оценки an, которые могут считаться “хо-рошими”.

Определение 97.5. Оценка an называется состоятельной, если приn→∞ она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a:

limn→∞

P{|an − a| < ε} = 1 для ∀ ε > 0.

Определение 97.6. Оценка an называется несмещенной, если ее ма-тематическое ожидание равно оцениваемому параметру a:

M(an) = a.

Иногда точечные оценки обладают более слабым свойством: их смеще-ние M(an) − a стремится к нулю при n → ∞. Такие оценки называютсяасимптотически несмещенными.

Определение 97.7. Оценка an называется эффективной, если ее дис-персия наименьшая по сравнению с другими оценками.

На практике оценка не всегда удовлетворяет всем этим требованиямодновременно.

Пример 97.6. Доказать, что выборочное среднее x является несме-щенной и состоятельной оценкой для математического ожидания (гене-рального среднего) случайной величины.

Р е ш е н и е: Обозначим M(ξ) = a, D(ξ) = σ2. Рассматривая x какслучайную величину, найдем ее математическое ожидание. При этом, какбыло отмечено ранее, считаем M(ξ1) = . . . = M(ξn) = a, D(ξ1) = . . . == D(ξn) = σ2.

M(ξ) = M

n∑

i=1

ξi

n

=

n∑

i=1

M(ξi)

n=na

n= a.

Несмещенность выборочного среднего доказана. Оценим теперь диспер-сию выборочного среднего:

D(ξ) = D

n∑

i=1

ξi

n

=

n∑

i=1

D(ξi)

n2=nσ2

n2=σ2

n.


В соответствии с неравенством Чебышева (теорема 94.1) получаем для∀ ε > 0:

1 > P{∣∣ξ −M(ξ)

∣∣ < ε}

> 1− σ2/n

ε2.

Заменяя M(ξ) = a и переходя к пределу при n→∞, получаем

1 > limn→∞

P{∣∣ξ − a

∣∣ < ε}

> 1,

откуда получаем:lim

n→∞P{∣∣ξ − a

∣∣ < ε}

= 1.

Это равенство и означает состоятельность оценки x.

Замечание 97.2. Можно доказать, что выборочное среднее будет эф-фективной оценкой математического ожидания в случае, когда случайнаявеличина имеет нормальное распределение.

Аналогично доказывается, что выборочная дисперсия S2 является со-стоятельной и смещенной оценкой дисперсии σ2:

(97.8) M(S2) =n− 1

nσ2.

Примем это без доказательства.При малых объемах выборки n для оценки дисперсии σ2 используют

исправленную выборочную дисперсию S∗2:

(97.9) S∗2

=n

n− 1S2 =

1

n− 1

n∑

i=1

(xi − x)2.

Оценка S∗2является несмещенной, состоятельной оценкой дисперсии

σ2.Формула (97.9) позволяет вычислять S∗2

для простой совокупности.Для сгруппироaванных данных используют аналогичную формулу (97.10):

(97.10) S∗2

=1

n− 1

k∑

i=1

mi(xi − x)2.

Замечание 97.3. Исправленное СКО S∗ является смещенной оценкойСКО S.

97.6. Интервальные оценки параметровраспределения

Наряду с рассмотренными точечными оценками, определяемыми однимчислом, используют интервальные оценки неизвестных параметров, опре-деляемые двумя числами — концами интервала, дающими вероятностнуюоценку сверху и снизу неизвестного параметра распределения.

386

Интервальные оценки целесообразно применять при малом объеме вы-борки, когда дисперсия точечной оценки велика и она может сильно отли-чаться от оцениваемого параметра.

Определение 97.8. Доверительным интервалом для несмещенногопараметра a называют интервал (a1; a2) со случайными границами, за-висящими от наблюдений: a1 = a1(x1, . . . , xn),a2 = a2(x1, . . . , xn), накрывающий неизвестный параметр с заданной ве-роятностью γ: P{a ∈ (a1; a2)} = γ. Вероятность γ называется довери-тельной вероятностью или надежностью доверительного интервала.

Обычно γ задают равным 0,95; 0,99 и более.Доверительный интервал для неизвестного математического ожида-

ния нормального распределения при известной дисперсии имеет вид:

(97.11)(x− τ γ

2

σ√n

; x + τ γ2

σ√n

),

где величина τ γ2

определяется из уравнения:

(97.12) Φ(τ γ2

) =γ

2

по таблицам функции Лапласа или с помощью компьютера, а x — выбо-рочное среднее.

Замечание 97.4. При возрастании объема выборки n, как видно из(97.11), доверительный интервал уменьшается. При увеличении надеж-ности γ, как следует из (97.12), τ γ

2

увеличивается, а вместе с ним уве-

личивается и доверительный интервал. При увеличении надежности γувеличивается величина τ γ

2

, т.к. функция Лапласа в (97.12) возрастаю-

щая; следовательно, увеличивается и доверительный интервал (97.11).

Для получения доверительного интервала (97.11) заметим, что еслинезависимые случайные величины ξi ∼ N(a; σ), i = 1, . . . , n, то среднееарифметическое ξ = (ξ1 + . . . ξn)/n тоже распределено нормально с пара-метрами:

(97.13) M(ξ) = a, σ(ξ) =σ√n.

Формулы (97.13) были получены в примере 97.1. Будем искать дове-рительный интервал для a в виде:

(97.14) P{|ξ − a| < ε} = γ,


где γ — заданная доверительная вероятность. Для определения ε восполь-зуемся формулой (93.5), которая в данном случае с учетом (97.13) прини-мает вид:

P{|ξ − a| < ε} = 2Φ( ε

σ/√n

).

Найдем ε из уравнения:

2Φ( ε

σ/√n

)= γ ⇒ Φ

( ε

σ/√n

)=γ

2⇒ ε

σ/√n

= τ γ2

⇒ ε = τ γ2

· σ√n.

С учетом полученной величины ε доверительный интервал (97.14) прини-мает вид (97.11).

Пример 97.7. Найти доверительный интервал для неизвестного ма-тематического ожидания a нормально распределенной случайной величи-ны со средним квадратическим отклонением σ = 2 по выборке объемаn = 64 с выборочным средним x = 5, 2. Надежность доверительного ин-тервала γ = 0, 95.

Р е ш е н и е: Из уравнения (97.12) по таблице приложения 2 нахо-дим для γ

2= 0, 475 τ γ

2

= 1, 96. Подставляя найденное значение в (97.11),

получаем (4,71;5,69).Ответ: (4,71;5,69).Доверительный интервал для неизвестного математического ожида-

ния нормального распределения при неизвестной дисперсии имеет вид:

(97.15)(x− tγ

S∗√n

; x + tγS∗√n

),

где величина tγ определяется по таблице приложения 3 критических точекраспределения Стьюдента для α = 1 − γ и k = n − 1 или с помощьюкомпьютера из уравнения для функции распределения Стьюдента Fst(x) cn− 1 степенью свободы:

(97.16) Fst(tγ) =1 + γ

2,

где x и S∗ — соответственно выборочное среднее и исправленное СКО.Для получения доверительного интервала (97.15) примем без доказа-

тельства, что если независимые случайные величины ξi ∼ N(a; σ),i = 1, . . . , n, то случайная величина

(97.17) t =ξ − aS∗/√n

имеет распределение Стьюдента с n− 1 степенью свободы (см п. 94.4).

388

Обозначим tγ значение, при котором с вероятностью γ выполняется сле-дующее неравенство:

(97.18) P{|t| < tγ} = γ.

С учетом четности плотности распределения Стьюдента ϕst(t) (см.п. 94.4) значение tγ определяется из условия:

P{|t| < tγ} = γ ⇔ P{|t| > tγ} = 1− γ ⇒ P{t > tγ} =1− γ

2⇔

⇔ 1− Fst(tγ) =1− γ

2⇐⇒ Fst(tγ) =

1 + γ

2

Подставляя в (97.18) выражение (97.17), получаем:

P

{∣∣∣∣ξ − aS∗/√n

∣∣∣∣ < tγ

}= γ ⇐⇒ P

{− tγ <

ξ − aS∗/√n< tγ

}= γ,

откуда получаем для a доверительный интервал в виде (97.15).

Замечание 97.5. В некоторых пакетах прикладных программ дляЭВМ, например в Excel, под распределением Стьюдента понимается1 − Fst(x). Поэтому, задавая значение 1 − γ и число свободы, с помощьюобратной функции можно сразу получить значение tγ для двустороннегоинтервала (без использования (97.16)). Указанные особенности можноузнать из инструкций к программам.

Пример 97.8. Найти доверительный интервал для неизвестного ма-тематического ожидания a нормально распределенной случайной величи-ны с выборочным средним x = 10, 5 и исправленным СКО S∗ = 1, 6 повыборке объема n = 16. Надежность доверительного интервала γ = 0, 99.

Р е ш е н и е: По таблице приложения 3 для числа степеней свободыk = n−1 = 15 и α = 1−γ = 0, 01 находим tγ = 2, 98. Подставляя полученноезначение в (97.15), получаем: (9, 308; 11, 692).

Ответ: (9,308;11,692)

97. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Коэффициент корреляции

Пример 97.1. В продукции завода брак вследствие дефекта A состав-ляет 5%, а вследствие дефекта B - 2%. Годная продукция составляет94%. Пусть ξ - случайная величина, равная 1 в зависимости от того,обладает или не обладает взятое изделие дефектом A, а ζ - дефектомB. Составить закон распределения двумерной случайной величины (ξ, ζ).Найти коэффициент корреляции дефектов A и B.

97 Практика — Коэффициент корреляции 389

Р е ш е н и е: Случайная величина ξ принимает значение 1, если взятоеизделие обладает дефектом A, и равна 0, если не обладает. Аналогично ве-личина ζ равна 1 или 0 в зависимости от того, обладает или нет это изделиедефектомB. Таким образом, x1 = 1, x2 = 0; y1 = 1, y2 = 0.Обозначим веро-ятности pij = P{ξ = xi, ζ = yj}. Вероятность p22 = P{ξ = 0, ζ = 0} = 0, 94.При x2 = 0 y1 = 1 или y2 = 0; тогда по теореме сложения вероятностей име-ем P (x2) = p21+p22. Так как P (x2) = 0, 95 и p22 = 0, 94, то p21 = P (x2)−p22 == 0, 01. Аналогично найдем, что p12 = P (y2) − p22 = 0, 98 − 0, 94 = 0, 04.Поскольку P (x1) = 1 − P (x2) = 0, 05, то из уравнения P (x1) = p11 + p12

определим p11 = 0.01.Искомое распределение можно записать в виде таблицы:

ζ\ξ 1 01 0,0 0,010 0,04 0,94

Распределения составляющих двумерной случайной величины равны:

ξ 1 0 ζ 1 0p 0,05 0,95 p 0,02 0,98

Отсюда найдем, чтоM(ξ) = 0, 05, M(ξ2) = 0, 05, D(ξ) = 0, 0475, M(ζ) == 0, 02, M(ζ2) = 0, 02, D(ζ) = 0, 0196.

С помощью таблицы распределения величины (ξ, ζ) напишем закон рас-пределения для произведения ξ · ζ:

ξ · ζ 0 1p 0,04+0,01+0,94=0,99 0,01

и найдем математическое ожидание M(ξ · ζ) = 0, 01. По формуле (96.2)определим коэффициент корреляции

rξζ =0, 01− 0, 001√0, 0475 · 0, 0196

≈ 0, 009

0, 0305≈ 0, 295.

Пример 97.2. Плотность вероятности двумерной случайной величи-ны (ξ, ζ) равна:

ϕ(x, y) =

{12cos(x− y) при x ∈ [0, π

2], y ∈ [0, π

2],

0 при x /∈ [0, π2] или y /∈ [0, π

2].

Найти коэффициент корреляции случайных величин ξ и ζ.

Р е ш е н и е: Поскольку здесь система случайных величин являетсянепрерывной, то математические ожидания величин ξ и ζ определим по

390

формулам:

M(ξ) =

+∞∫∫

−∞

xϕ(x, y)dxdy, M(ζ) =

+∞∫∫

−∞

yϕ(x, y)dxdy.

Тогда вычисляя интеграл по x по частям, найдем

M(ξ) =1

2

∫ π/2

0

xdx

∫ π/2

0

cos(x− y)dy =π

4.

Из симметрии плотности вероятности относительно ξ и ζ (функцияcos(x− y) четная) следует, что M(ζ) = M(ξ) = π/4. Дисперсия

D(ξ) =

+∞∫∫

−∞

x2ϕ(x, y)dxdy −M2(ξ).

или

D(ξ) =1

2

∫ π/2

0

x2dx

∫ π/2

0

cos(x− y)dy − (π

4)2 =

π2

16+π

2− 2.

Здесь интеграл по x вычисляли два раза по частям. ДисперсияD(ζ) = D(ξ).Кроме того, необходимо найти математическое ожидание произведенияслучайных величин. Тогда в общем случае

M(ξ · ζ) =

+∞∫∫

−∞

xyϕ(x, y)dxdy,

а при данной плотности вероятности

M(ξ · ζ) =1

2

∫ π/2

0

xdx

∫ π/2

0

y cos(x− y)dy =π2

8− π

2+ 1.

Последний интеграл по x и по y вычисляли по частям. Подставляя найден-ные значения в формулу (96.2), определим коэффициент корреляции:

rξζ = (π2

8− π

2+ 1− π2

16)/(

π2

16+π

2− 2) =

π2 − 8π + 16

π2 + 8π − 32.

Пример 97.3. Система двух независимых случайных величин (ξ, ζ)подчинена нормальному закону распределения с параметрами

M(ξ) = 2, M(ζ) = −5, D(ξ) = 9, D(ζ) = 4.

Написать выражения для плотности вероятности и функции распреде-ления системы (ξ, ζ).


Р е ш е н и е: Поскольку здесь случайные величины некоррелирова-ны, то положим в формуле (96.7) rξζ = 0. Тогда получим при заданныхпараметрах следующую плотность распределения:

ϕ(x, y) =1

12πe−

12((x−2)2

9+

(y+5)2

4).

Здесь учли, что σξ = 3, σζ = 2. Поскольку функция распределения системы

F (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞ϕ(x, y)dxdy,

то

F (x, y) =1

12π

∫ x

−∞e−

(x−2)2

18 dx ·∫ y

−∞e−

(y+5)2

8 dy =

1

12π(

∫ 0

−∞e−

(x−2)2

18 dx+

∫ x

0

e−(x−2)2

18 dx) · (∫ 0

−∞e−

(y+5)2

8 dy +

∫ y

0

e−(y+5)2

8 dy).

Первые интегралы в квадратных скобках найдем с помощью интегралаПуассона ∫ 0

−∞e−x2

dx =

∫ +∞

0

e−x2

dx =

√π

2.

Вторые интегралы выразим через функцию Лапласа

xΦ(x) =1√2π

∫ x

0

e−z2

2 dz.

Для этого введем новые переменные: u = (x− 2)/3, v = (y + 5)/2. Тогда∫ x

0

e−(x−2)2

18 dx = 3 ·∫ x−2

3

0

e−u2

2 du = 3√

2πΦ(x− 2

3),

∫ y

0

e−(y+5)2

8 dy = 2 ·∫ y+5

2

0

e−v2

2 dv = 2√

2πΦ(y + 5

2).

Следовательно, функция распределения

F (x, y) =1

12π

(√18π

2+ 3√

2πΦ(x− 2

3)

)·(√

2π + 2√

2πΦ(y + 5

2)

)=

=

(1

2+ Φ(

x− 2

3)

)·(

1

2+ Φ(

y + 5

2)

).

Пример 97.4. Двумерная случайная величина (ξ, ζ) подчинена законураспределения с плотностью ϕ(x, y) = axy в области G и ϕ(x, y) = 0 внеэтой области. Область G - треугольник, ограниченный прямыми x+ y−− 1 = 0, x = 0, y = 0. Найти величину a и коэффициент корреляции rξζ .

392

Р е ш е н и е: Параметр a найдем из условия+∞∫∫

−∞

ϕ(x, y)dxdy = 1.

Тогда

a

∫ 1

0

dx

∫ 1−x

0

xydy = 1 ⇔ a · 1

24= 1 ⇔ a = 24.

Математическое ожидание

M(ξ) =

+∞∫∫

−∞

xϕ(x, y)dxdy = 24

∫ 1

0

x2dx

∫ 1−x

0

ydy =2

5.

Аналогично найдем, что M(ζ) = 2/5. Дисперсия

D(ξ) =

+∞∫∫

−∞

x2ϕ(x, y)dxdy = 24

∫ 1

0

∫ 1−x

0

x3ydy − (2

5)2 =

1

5− 4

25=

1

25.

Можно показать также, что D(ζ) = 1/25. Для математического ожиданияпроизведения случайных величин ξ · ζ получим:

M(ξ · ζ) =

+∞∫∫

−∞

xyϕ(x, y)dxdy = 24

∫ 1

0

x2dx

∫ 1−x

0

y2dy =2

15.

По формуле (96.2) коэффициент корреляции численно определится как

rξζ = (2

15− 2

5· 25)/(

1

5· 15) = −2

3.

Пример 97.5. Случайные величины ξ и ζ независимы и распределенынормально с параметрами M(ξ) = M(ζ) = 0, σ(ξ) = σ(ζ) = 1. Найтивероятность того, что случайная точка (ξ, ζ) попадет в круг G радиусаR = 2 с центром в начале координат.

Р е ш е н и е: Так как ξ и ζ независимы, то их совместная плотностьраспределения ϕ(x, y) = ϕξ(x) · ϕζ(y). По условию

ϕξ(x) =1√2πe−x2/2, ϕζ(y) =

1√2πe−y2/2.

Следовательно,

ϕ(x, y) = ϕξ(x) · ϕζ(y) =1

2πe−

12(x2+y2).


Искомая вероятность

P =

∫∫

G

ϕ(x, y)dxdy =1

2π

∫∫

G

e−12(x2+y2)dxdy.

Вычисляя двойной интеграл в полярных координатах, получим:

P =1

2π

∫∫

G

e−12r2

rdrdϕ =1

2π

∫ 2π

0

dϕ

∫ 2

0

e−12r2

rdr =

= 1− e−2 ≈ 1− 0, 135 = 0, 865.

Пример 97.6. Случайные величины ξ и ζ независимы и распределенынормально с параметрами M(ξ) = M(ζ) = 0, σ(ξ) = σ(ζ) = 1. Найтирадиус круга R с центром в начале координат, вероятность попадания вкоторый случайной точки (ξ, ζ) равна 0,9.

Р е ш е н и е: Согласно предыдущей задаче, данная вероятность

P =

∫ R

0

e−12r2

rdr = −e− 12r2 |R0 = 1− e− 1

2R2

.

Для определения R получим уравнение: 1 − e−R2/2 = 0, 9. Отсюда найдем,что R = 2, 145.

Пример 97.7. Случайная величина (ξ, ζ) подчиняется нормальномураспределению с параметрами M(ξ) = M(ζ) = 0, σξ, σζ , rξζ = 0. Вычис-лить вероятность попадания случайной точки в область G, ограничен-ную эллипсом с полуосями a = kσξ, b = kσζ .

Р е ш е н и е: Уравнение эллипса x2/(kσξ)2 + y2/(kσζ)

2 = 1, а искомаявероятность

P ((ξ, ζ) ∈ G) =

∫∫

G

ϕ(x, y)dxdy,

где плотность

ϕ(x, y) =1

2πσξσζ

e− 1

2( x2

σ2ξ

+ y2

σ2ζ

)

.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к обобщенной полярной си-стеме координат, где x = σξr cosϕ, y = σζr sinϕ, а якобиан этого преобра-зования I = σξσζr. После подстановки вероятность

P ((ξ, ζ) ∈ G) =1

2π

∫ 2π

0

∫ k

0

re−r2/2dr = 1− e−k2/2.

394


Пример 97.8. Изготавливаемые детали цилиндрической формы сорти-руются по отклонению их длины от определенного размера на 0,4; 0,5; 0,6мм и по разбросу их диаметра на 0,12; 0,14 мм. Совместное распределениеотклонений длины ξ и диаметра ζ задано таблицей

ζ\ξ 0,4 0,5 0,60,12 0,05 0,2 0,150,14 0,15 0,25 0,2

Найти математические ожидания случайных величин ξ и ζ и коэффици-ент корреляции между ними.

Пример 97.9. В продукции предприятия брак вследствие дефекта αсоставляет 3%, а вследствие дефекта β - 4, 5%. Годная продукция состав-ляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов α и β.

Пример 97.10. Задана плотность совместного распределения непре-рывной двумерной случайной величины (ξ, ζ): ϕ(x, y) = (1/4) sinx sin y вквадрате 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 π; вне квадрата ϕ(x, y) = 0. Найти диспер-сии составляющих и корреляционный момент.

Пример 97.11. Система случайных величин (ξ, ζ) подчинена законураспределения с плотностью

ϕ(x, y) =

{12sin(x+ y) при x ∈ [0, π

2], y ∈ [0, π

2],

0 при x /∈ [0, π2] или y /∈ [0, π

2].

Найти средние квадратические отклонения σξ, σζ , а также коэффициенткорреляции rξζ .

Пример 97.12. Система случайных величин подчинена закону распре-деления с плотностью

ϕ(x, y) =

{a2 − x2 − y2 при x2 + y2 6 a2(a > 0),0 при x2 + y2 > a2.

Найти коэффициент a, дисперсии составляющих, а также коэффициенткорреляции.

Пример 97.13. Система двух случайных величин (ξ, ζ) подчиняетсянормальному закону с плотностью вероятности

ϕ(x, y) = ae−(x+1)2

7− (y−4)2

2 .

Найти коэффициент a.

98 Лекция — Регрессионный анализ 395

Пример 97.14. Случайная точка на плоскости XY распределена понормальному закону с центром распределения (M(ξ),M(ζ)) = (0, 1) и сред-неквадратическими отклонениями σξ = 1, σζ = 2. Вычислить вероят-ность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами (-1,1),(2,1), (2,3), (-1,3).

Пример 97.15. Плотность распределения двумерной случайной вели-чины (ξ, ζ) задана формулой

ϕ(x, y) =5

8πe−

2532

((x−2)2−(6/5)(x−2)(y+3)+(y+3)2).

Найти коэффициент корреляции величин ξ, ζ.

Пример 97.16. Случайные величины ξ и ζ независимы и нормальнораспределены с M(ξ) = M(ζ) = 0, D(ξ) = D(ζ) = 1. Найти вероятность

того, что случайная точка попадет в кольцо 2 6√x2 + y2 6 3.

98. ЛЕКЦИЯ — Регрессионный анализ

Метод наименьших квадратов. Выборочный коэффициент корреля-ции. Выборочные уравнения прямых среднеквадратической регрес-сии

98.1. Метод наименьших квадратов (МНК)Разберем один из методов получения эмпирической зависимости для

ряда наблюдений независимой переменной x и значений функции y.Пусть в результате эксперимента получена таблица значений функции

y для ряда значений независимой переменной x (табл. 98.1).

таблица 98.1

Эмпирические значенияx x1 . . . xn

y y1 . . . yn

Требуется подобрать функцию y = f(x), как можно лучше описываю-щую зависимость y от x.

396

Метод наименьших квадратов (МНК) заключается в выборе такойфункции из некоторого класса функций, для которой сумма квадратов от-клонений значений функции f(xi) от соответствующих наблюдаемых зна-чений yi была бы наименьшей:

(98.1) Φ =n∑

i=1

(f(xi)− yi

)2 → min .

Геометрически это условие означает минимизацию суммы квадратоврасстояний от наблюдаемых точек (xi; yi) до расчетных с той же абсциссой:(xi; f(xi)

).

Рассмотрим применение МНК для нахождения линейной зависимости:f(x) = ax+ b.

Для нахождения значений a и b, обеспечивающих минимум функцииΦ, воспользуемся необходимым условием экстремума: приравняем к нулючастные производные по a и по b функции Φ. Можно доказать, что найден-ные таким образом значения a и b обеспечат минимум функции Φ.

Найдем частные производные:

∂Φ

∂a= 2

n∑

i=1

(axi + b− yi)xi = 2a

n∑

i=1

x2i + 2b

n∑

i=1

xi − 2

n∑

i=1

xi · yi;

∂Φ

∂b= 2

n∑

i=1

(axi + b− yi) = 2a

n∑

i=1

xi + 2nb− 2

n∑

i=1

yi.

Приравнивая их к нулю, получим систему:

∂Φ∂a

= 0,

∂Φ∂b

= 0,

⇐⇒

2a∑x2

i + 2b∑xi − 2

∑xiyi = 0,

2a∑xi + 2nb− 2

∑yi = 0.

После небольших преобразований получаем систему :

(98.2)

an∑

i=1

x2i + b

n∑i=1

xi =n∑

i=1

xiyi,

an∑

i=1

xi + nb =n∑

i=1

yi,⇐⇒

a

∑x2

i

n+ b

∑xi

n=

∑xiyi

n,

a

∑xi

n+ b =

∑yi

n

или, обозначив:∑xi

n= x,

∑yi

n= y,

∑x2

i

n= x2,

∑xiyi

n= xy,

получим систему (98.3) для определения коэффициентов a и b:

(98.3)

{ax2 + bx = xy,ax + b = y.


Пример 98.1. В таблице 98.2 приведены значения y при различныхзначениях x. Полагая, что зависимость между x и y имеет вид y = kx+b,найти методом наименьших квадратов k и b.

таблица 98.2

N 1 2 3 4 5 6 7 8xi 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5yi -1.08 0.24 1.64 2.98 4.26 5.62 7.04 8.3

Р е ш е н и е: Система (98.3) для данного примера принимает вид:{

8, 875k + 2, 750b = 13, 496,2, 750k + b = 3, 625,

откуда находим: k = 2, 687; b = −3, 765. Найденная линейная зависимостьимеет вид: y = 2, 687x− 3, 765.

Посчитаем значения f(xi) и найдем значение функции Φ по формуле(98.1). Результаты вычислений сведены в таблицу 98.3.

таблица 98.3

N 1 2 3 4 5 6 7 8xi 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5yi −1.08 0.24 1.64 2.98 4.26 5.62 7.04 8.30

f(xi) −1.08 0.27 1.61 2.95 4.30 5.64 6.98 8.33(f(xi)− yi

)20 0.0007 0.0010 0.0008 0.0013 0.0004 0.0032 0.0007

Просуммировав значения в последней строке табл. 98.3, получим ми-нимальное значение функции Φ: Φmin = 0.0081. Полученное значение даетпредставление о накопленной ошибке при замене значений yi на f(xi).

Ответ: y = 2, 687x− 3, 765.Аналогичным образом получается система для определения коэффици-

ентов a, b, c для квадратичной зависимости f(x) = ax2 + bx+ c:

(98.4)

ax4 + bx3 + cx2 = x2y,

ax3 + bx2 + cx = xy,

ax2 + bx+ cn = y.

Пример 98.2. Покажем использование МНК с применением програм-мы Mathcad.

Линейная зависимостьORIGIN := 1 n := 12Массив абсцисс: i := 1 . . . n xi := 0.5 + i · 0.5

398

Массив ординат:y := ( −1.79 − 0.47 1.74 3.87 4.36 6.56 7.94

8.32 9.34 11.68 13.45 12.87 )T

Решим систему (98.3), представленную в матричном виде: S · A = Q.Здесь A — матрица искомых коэффициентов, S — матрица системы и Q —столбец свободных членов.

Формирование системы линейных алгебраических уравнений

S :=

n∑i=1

(xi)2

n∑i=1

xi

n∑i=1

xi n

S :=

S

nQ :=

n∑i=1

xi · yi

n∑i=1

yi

Q :=

Q

n

Решение системы S · A = Q:

A := lsolve(S,Q) S =

(17.0417 3.75

3.75 1

), Q =

(32.59966.4892

),

A =

(2.7743−3.9146

)

Получаем уравнения сглаживающей прямой линии:Y (x) := A1 · x+A2.Находим сумму квадратов отклонений теоретического и эксперимен-

тальных значений исследуемой функции (минимальное значение функцииФ):

Фmin :=n∑

i=1

(yi − Y (xi))2 Фmin = 5.4591.

Графики данной зависимости и сглаживающей прямой приведены начертеже.

Y(x )i

yi

-2

1

4

7

10

13

16

1 2 3 4 5 6 7xi

Квадратичная зависимостьn := 10 i := 1 . . . nМассив абсцисс: xi := −2 + i


Массив ординат:y := ( −2.98 − 2.02 1.17 3.03 2.57 1.75 2.74 5.78 8.92 14.76 )T

S :=

n∑i=1

(xi)4

n∑i=1

(xi)3

n∑i=1

(xi)2

n∑i=1

(xi)3

n∑i=1

(xi)2

n∑i=1

xi

n∑i=1

(xi)2

n∑i=1

(xi)1 n

Q :=

n∑i=1

(xi)2 · yi

n∑i=1

xi · yi

n∑i=1

yi

S :=S

nQ :=

Q

nS =

877.3 129.5 20.5129.5 20.5 3.520.5 3.5 1

Q =

171.97425.3823.572

A := lsolve(S,Q) A =

0.16270.4227−1.2416

Получаем уравнение сглаживающей параболы:

Y (x) := A1 · x2 + A2 · x+ A3

Фmin :=

n∑

i=1

(yi − Y (xi))2 Фmin = 28.8735

Полиномиальная зависимостьM := 3 (Кубическая зависимость)n := 10 i := 1 . . . nМассив абсцисс: xi := −2 + iМассив ординат:y := ( −2.98 − 2.02 1.17 3.03 2.57 1.75 2.74 5.78 8.92 14.76 )T

400

yi

xi

Y(x )i

12

15

9

6

3

-3

0

-1 0.5 2 3.5 5 6.5 8

S :=∣∣∣∣∣∣∣∣A

fori ∈ 1 . . .M + 1forj ∈ 1 . . .M + 1

Ai,j ←n∑

k=1

(xk)(2·M+2−i−j)

Q :=∣∣∣∣∣∣B

fori ∈ 1 . . .M + 1

Bi ←n∑

k=1

(xk)(M+1−i) · yk

S :=S

nQ :=

Q

nA := lsolve(S,Q) A =

0.0873−0.7542.3519−0.5083

Y (x) :=M+1∑

m=1

Am · xM+1−m

Фmin :=n∑

i=1

(yi − Y (xi))2 Фmin = 5.335

yi

xi

12

15

9

6

3

-3

0

-1 0.5 2 3.5 5 6.5 8

Y(x )i


98.2. Выборочный коэффициент корреляцииРассмотрим выборку объема n из генеральной совокупности значений

двумерной случайной величины (ξ; ζ), т.е. n пар наблюдений (xi; yi). По-скольку многие значения в этой выборке могут повторяться, их заносят втак называемую корреляционную таблицу (табл. 98.4). В первом столбцеэтой таблицы перечислены значения xi, во втором — yi в виде вариацион-ных рядов. На пересечении i–й строки

таблица 98.4

Корреляционная таблицаξ\ζ y1 y2 ys ni·x1 n11 n12 n1s n1·x2 n21 n22 n2s n2·

xk nk1 nk2 nks nk·n·j n·1 n·2 n·s n

и j–го столбца — соответствующая частота nij, т.е. количество раз, кото-рое наблюдение (xi; yj) встретилось в выборке. При обработке корреляци-онной таблицы в последнем столбце указывают сумму частот по строкам

ni· =s∑

j=1

nij, а в последней строке — сумму частот по столбцам n·j =k∑

i=1

nij.

Сумма всех элементов последнего столбца или строки даст объем выборки

n =

k∑

i=1

s∑

j=1

nij =

k∑

i=1

ni· =

s∑

j=1

n·j.

Первый и последний столбцы корреляционной таблицы образуют ста-тистическое распределение выборки случайной величины ξ, а первая и по-следняя строки образуют выборку случайной величины ζ. Обработав их,как описано в п. 97.4. предыдущей лекции, получим числовые характери-стики

x =

k∑

i=1

ni·xi

n, x2 =

k∑

i=1

ni·x2i

n, S2

x = x2 − x2,

y =

s∑

j=1

n·jyj

n, y2 =

s∑

j=1

n·jy2j

n, S2

y = y2 − y2.

402

Определение 98.1. Выборочным коэффициентом корреляции r∗xy на-зывается:

r∗xy =xy − x · ySx · Sy

, где(98.5)

xy =

k∑

i=1

s∑

j=1

nijxiyj

n.(98.6)

Выборочный коэффициент корреляции является статистической оцен-кой коэффициента корреляции, рассмотренного в 96 лекции, и обладаетследующими свойствами, которые мы приведем без доказательства:

1) rxy = ryx;2) Выборочный коэффициент корреляции находится в пределах от −1

до 1: −1 6 r∗xy 6 1;3) |r∗xy| = 1 тогда и только тогда, когда между значениями X и Y имеет-

ся линейная зависимость. Чем ближе r∗xy к нулю, тем хуже эта зависимостьаппроксимируется линейной.

Определение 98.2. Условным средним yx называют среднее арифме-тическое значений ζ при фиксированном значении ξ = x.

Для корреляционной таблицы 98.4 условное среднее yx получаетсяусреднением значений ζ по строке, соответствующей ξ = x. Так, напри-

мер, yx1 =

S∑j=1

yjn1j

n1

. Аналогично определяется условное среднее xy.

В лекции 95 было введено понятие регрессии ζ на ξ: M(ζ/ξ = x) == fζ/ξ(x) и ξ на ζ: M(ξ/ζ = y) = Ψξ/ζ(y) и получены формулы (96.2) и(96.4) для прямых среднеквадратической регрессии. Ниже будут введеныих статистические аналоги.

98.3. Выборочные уравнения прямыхсреднеквадратической регрессии

По данным наблюдений над двумерной случайной величиной, представ-ленных в корреляционной таблице 98.4, найдем методом наименьших квад-ратов выборочное уравнение прямой линии среднеквадратической регрес-сии ζ на ξ:

yx = ρ∗ζ/ξ · x+ b∗.


В соответствии с этим методом коэффициенты подбираются так, чтобы

обеспечить минимум функции Φ(ρ∗ζ/ξ

; b) =n∑

i=1

(ρ∗ζ/ξ·xi+b−yi)

2, выражающей

сумму квадратов отклонений yi от f(xi). Приравняв к нулю частные про-

изводные∂Φ

∂ρ∗ζ/ξ

и∂Φ

∂b∗, получим систему линейных уравнений (98.3) для

нахождения коэффициентов ρ∗ζ/ξ и b∗, обеспечивающих минимум даннойфункции:

∂Φ

∂ρ∗ζ/ξ

= 0,

∂Φ

∂b∗= 0,

⇐⇒

ρ∗ζ/ξx2 + b∗x = xiyi,

ρ∗ζ/ξx+ b∗n = yi,

⇐⇒

(98.7) ⇐⇒

ρ∗ζ/ξ

=xy − x · yx2 − x2

,

b∗ = y − ρ∗ζ/ξx.

Коэффициент ρ∗ζ/ξ

называется выборочным коэффициентом регрессииζ на ξ. Он выражается через выборочный коэффициент корреляции поформуле:

(98.8) ρ∗ζ/ξ

= r∗xy

Sy

Sx

.

Таким образом, уравнение прямой получилось следующим:

(98.9) yx = r∗xy

Sy

Sx

(x− x) + y .

Определение 98.3. Уравнение (98.9) называется выборочным урав-нением прямой регрессии ζ на ξ.

Заметим, что знак коэффициента регрессии совпадает со знаком коэф-фициента корреляции: если r∗xy > 0, то линейная функция регрессии ζ на ξвозрастает, если r∗xy < 0 — убывает.

Аналогично можно получить выборочное уравнение прямой регрессииξ на ζ:

(98.10) xy = r∗xy

Sx

Sy

(y − y) + x.

404

Оба уравнения допускают следующую симметричную форму записи:

yx − y = r∗xy

Sy

Sx

(x− x) ,

xy − x = r∗xy

Sx

Sy

(y − y) .

Обе прямые проходят через точку (x; y), называемую центром распре-деления.

Обе прямые совпадают тогда и только тогда, когда |r∗xy| = 1. В этомслучае, как уже упоминалось, между значениями xi и yi имеется линейнаязависимость. Прямая регрессии и является этой зависимостью.

Пример 98.3. Найти выборочные уравнения прямых регрессии и по-строить их график для данных корреляционной таблицы:

ξ\ζ 40 60 80 ni·60 5 — 3 880 — 2 19 21100 7 6 — 13120 14 4 — 18n·j 26 12 22 60

Р е ш е н и е: Объем выборки n = 60. По формулам (97.2), (97.4),(98.5) определяем характеристики выборки:

x =5620

60≈ 93, 7; y =

3520

60≈ 58, 6;

x2 =552400

60≈ 9206, 7; y2 =

225600

60≈ 3760;

S2x ≈ 433, 2; S2

y ≈ 318, 2;

Sx ≈ 20, 8; Sy ≈ 17, 8; xy =317600

60≈ 5293, 3;

r∗xy =xy − x ySx Sy

≈ −0, 55; ρ∗ζ/ξ

= r∗xy ·sy

sx

≈ −0, 47;

ρ∗ξ/ζ

= r∗xy ·sx

sy≈ −0, 64.

Выборочные уравнения прямых регрессии находим по формулам (98.9),(98.10):

a)yx = −0, 47x+ 102, 3,

b)xy = −0, 64y + 131, 3.


Их графики приведены на рис. 98.1

0

58,7

93,7 x

y

ab

Рис. 98.1. Прямые регрессии

Замечание 98.1. Аналогично методом наименьших квадратов мож-но найти коэффициенты квадратичной регрессии ζ на ξ, т.е. подобратькоэффициенты квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + c так, чтобы

обеспечить минимум функции Φ =n∑

i=1

(ax2i + bxi + c− yi)

2. Значения коэф-

фициентов выборочной квадратичной регрессии определяются из системы(98.4).

Аналогичным образом можно определить коэффициенты параболиче-ской корреляции третьего (т.е., f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d) и более высокихпорядков, что, впрочем, используется редко.

Иногда на практике приходится исследовать для данной трехмернойвыборки зависимость z = f(x; y) такую, что значения z∗i = f(xi; yi), вычис-ленные для наблюдаемых значений xi и yi, близки в смысле минимума сум-мы квадратов отклонений к наблюдаемым выборочным значениям zi (такназываемая множественная регрессия). В простейшем случае определяют-ся коэффициенты линейной зависимости z = ax+by+c. Метод наименьшихквадратов в этом случае дает следующие формулы для коэффициентов:

a =r∗xz − r∗yz · r∗xy

1− r∗2

xy

· Sz

Sx, b =

r∗yz − r∗xz · r∗xy

1− r∗2

xy

· Sz

Sy,

c = z − ax− by.

406

Пример 98.4. Найдем выборочные уравнения прямых регрессии с по-мощью программы Mathcad. Во избежение путаницы с переменными вуравнениях регрессии обозначим наблюдения большими буквами X и Y .

Корреляционная таблица дана для 4-х значений Xj и 3-х значений Yi:ORIGIN := 1 nx := 4 ny := 3i := 1 . . . nx j := 1 . . . ny Xi := 40 + 20 · i Yj := 20 + 20 · jXT = ( 60 80 100 120) Y T = ( 40 60 80 )Соответствующие частоты mi,j приведены в матрице m:

m :=

5 0 30 2 197 6 014 4 0

Найдем объем выборки n и суммы по строкам nj и по столбцам ni:n :=

∑

j

∑

i

mi,j n = 60

nji :=

ny∑

j=1

mi,j nj =

8211318

nij :=

nx∑

i=1

mi,j ni =

261222

Найдем выборочные средние:

Mx :=1

n·∑

i

nji ·Xi Mx = 93.667

My :=1

n·∑

j

nij · Yj My = 58.667

и выборочные средние квадратические отклонения:

Sx2 :=1

n·∑

i

nji(Xi −Mx)2

Sx2 = 433.222 Sx :=√Sx2 Sx = 20.814

Sy2 :=1

n·∑

j

nij(Yj −My)2

Sy2 = 318.222 Sy :=√Sy2 Sy = 17.839

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

xy :=1

n·∑

i

∑

j

Xi · Yj ·mi,j

98 Практика — Точечные и интервальные оценки 407

xy = 5.293 · 103 R :=xy −Mx ·My

Sx · Sy R = −0.543

ρζξ :=R · SySx

ρξζ :=R · SxSy

ρζξ = −0.466 ρξζ = −0.634

и выборочные уравнения прямых регрессии:

yx(x) := ρζξ · (x−Mx) +My xy(y) := ρξζ · (y −My) +Mx

Построим их графики:

100 130 160 190 220

50

41.67

33.33

25

16.67

8.33

yx(x)xy(y)

Рис. 98.2. Прямые регрессии для примера 98.4

98. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Точечные и интервальные оценкипараметров распределения

Пример 98.1. Выборка задана в виде распределения частот:

xi 3 5 8 10 11ni 20 25 30 15 10

Найти распределение относительных частот.

Р е ш е н и е: Здесь объем выборки

n = 20 + 25 + 30 + 15 + 10 = 100.

Найдем относительные частоты:

P ∗1 = 20/100 = 1/5, P ∗

2 = 25/100 = 1/4, P ∗3 = 30/100 = 3/10,

P ∗4 = 15/100 = 3/20, P ∗

5 = 10/100 = 1/10.

Тогда распределение относительных частот примет вид:

xi 3 5 8 10 11P ∗

i 1/5 1/4 3/10 3/20 1/10

408

Из этой таблицы нетрудно убедиться, что5∑

i=1

P ∗i = 1.

Пример 98.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn = 80:

xi 0,9 1 1,2 1,4 1,5ni 10 25 20 15 10

Найти несмещенную оценку генерального среднего, математического ожи-дания, выборочную дисперсию, а также выборочное среднее квадратиче-ское отклонение.

Р е ш е н и е: Несмещенной оценкой генерального среднего являетсявыборочное среднее. Тогда по формуле (97.2) найдем:

x =1

80(10 · 0, 9 + 25 · 1 + 20 · 1, 2 + 15 · 1, 4 + 10 · 1, 5) = 1, 175.

Если xi являются целыми числами, а x - нет, то для нахождения диспер-сии в данном случае лучше воспользоваться формулой (97.7) вместо (97.4).Тогда

S2 =1

80(10 · 0, 92 + 25 · 12 + 20 · 1, 22 + 15 · 1, 42 + 10 · 1, 52)−

(1, 175)2 ≈ 1, 4225− 1, 3806 ≈ 0, 042.

Заметим, что отличная от нуля дисперсия является всегда положительнойвеличиной. Выборочное среднее квадратическое отклонение S =

√0, 042 ≈

≈ 0, 205.

Пример 98.3. По выборке объема n = 50 найдена смещенная оценкаS2 = 9, 8 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсиигенеральной совокупности.

Р е ш е н и е: Согласно (97.9), исправленная выборочная дисперсия,являющаяся в то же время несмещенной оценкой

S∗2 =n

n− 1· S2 =

50

49· 9, 8 = 10.

Пример 98.4. Найти доверительный интервал для оценки с надежно-стью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормального рас-пределения, если среднее квадратическое отклонение σ = 3, выборочноесреднее x = 32 и объем выборки n = 36.


Р е ш е н и е: В данном примере воспользуемся выражением (97.11).Поскольку здесь γ = 0, 99, то параметр τ γ

2найдем с помощью равенства:

Φ(τ γ2) =

γ

2=

0, 99

2= 0, 495.

Отсюда по таблицам функции Лапласа определим τ γ2

= 2, 57. Здесь леваяграница интервала

x− τ γ2· σ√

n= 32− 2, 57 · 3

6= 32− 1, 285 = 30, 715.

Правая граница определится как 32 + 1, 285 = 33, 285. Таким образом, ис-комый доверительный интервал для математического ожидания a будет

30, 715 < a < 33, 285.

Пример 98.5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn = 16:

xi 3,5 4,1 4,7 5,4 5,6 6,2ni 2 3 2 4 3 2

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормальнораспределенной случайной величины по выборочному среднему с помощьюдоверительного интервала.

Р е ш е н и е: В данном случае дисперсия неизвестна и доверительныйинтервал определяется по формуле (97.15). Выборочное среднее вычислимпо формуле (97.2):

x =1

16(2 · 3, 5 + 3 · 4, 1 + 2 · 4, 7 + 4 · 5, 4+

+3 · 5, 6 + 2 · 6, 2) ≈ 4, 969.

Выборочную дисперсию удобнее искать с помощью выражения (97.7):

S2 =1

15

6∑

i=1

nix2i − 4, 9692 ≈ 2, 426.

Согласно (97.9), исправленная выборочная дисперсия

S∗2 =16

15· 2, 426 = 2, 587.

Отсюда находим исправленное СКО S∗ ≈ 1, 608. При α = 1 − γ = 0, 05 ичисле степеней свободы n − 1 = 15 из таблицы приложения 3 определим

410

tγ = 2, 15 и границы интервала

x− tγ ·S∗√n≈ 4, 104, x+ tγ ·

S∗√n≈ 5, 833.

Таким образом, искомый доверительный интервал будет:

4, 1042 < a < 5, 8333.

Покажем, как найти доверительный интервал с использованием про-граммы на Mathcad.

Пример 98.6. Найти доверительный интервал для математическогоожидания, для приведенной выборки из нормального распределения с на-дежностью 0,95.

Р е ш е н и е: ORIGIN := 1 k := 12 i := 1 . . . kЗначения вариант приведены в массиве x:

x := (904.3 910.2 916.6 928.8 935941.2 947.4 953.6 959.8 966 972.2 978.4 )T

Значения частот приведены в массиве m:m := (3 1 2 7 8 10 4 2 4 1 1 1 )T

Найдем объем выборки: n :=∑i

mi n = 44

Найдем выборочное среднее: Mx :=1

n·∑

i

mi · xi

Mx = 938.693

и выборочную дисперсию: S2 :=1

n− 1·∑

i

mi ·(xi−Mx)2 S2 = 282.988

для нахождения границ доверительного интервала с надежностью 0.95,найдем tγ из уравнения (97.16):

t := qt

(1− 0.05

2, n

)t = 2.015,

где qt — обратная к функции распределения Стьюдента.

Найдем радиус доверительного интервала: ε := t ·√S2

nε = 5.111

а также левую xLeft и правую xRight границы интервала:xLeft := Mx− ε xRight := Mx + εxLeft = 933.582 xRight = 943.804



В таблице 98.5 даны 30 вариантов заданий. По данным в таблице ре-зультатам измерений найти доверительные интервалы для оценки неизвест-ного математического ожидания a нормального распределения с заданнойнадежностью γ.

Указание. Выборочное среднее и исправленное выборочное СКО нахо-дить соответственно по формулам (97.1) и (97.9), доверительный интервалпо формуле (97.15).

412

Таблица 98.5Исходные данные для самостоятельной работы

вар.\изм. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10надеж-ность γ

1 4,50 4,51 4,52 4,53 4,54 4,49 4,54 4,47 4,49 4,46 0,952 4,43 4,41 4,39 4,45 4,40 4,35 4,42 4,40 4,37 4,38 0,993 30,10 30,40 30,30 30,00 29,45 29,65 30,05 30,15 29,90 30,00 0,9994 80,20 80,10 80,30 79,70 79,80 79,80 80,10 80,00 79,70 80,30 0,955 5,40 5,41 5,40 5,42 5,39 5,38 5,38 5,37 5,35 5,40 0,996 14,28 14,26 14,27 14,30 14,31 14,32 14,31 14,29 14,30 14,26 0,9997 20,12 20,11 20,10 20,10 19,98 19,97 20,02 20,03 20,02 20,10 0,9998 36,41 36,42 36,44 36,45 36,48 36,49 36,46 36,45 36,42 36,38 0,999 14,46 14,45 14,41 14,40 14,42 14,48 14,50 14,42 14,45 14,44 0,9510 80,30 80,30 80,20 80,30 80,20 79,80 79,80 79,70 79,90 80,50 0,9511 15,38 15,40 15,41 15,42 15,43 15,37 15,36 15,36 15,34 15,33 0,9912 16,06 16,20 16,16 16,00 16,15 16,05 16,01 16,03 16,02 16,02 0,99913 5,90 5,88 5,97 5,95 5,93 5,85 5,88 5,87 5,87 5,90 0,9514 7,71 7,73 7,70 7,72 7,68 7,67 7,65 7,63 7,70 7,71 0,9915 15,21 15,28 15,25 15,24 15,17 15,18 15,20 15,19 15,26 15,22 0,999

98

Пра

кт

ика

—Точеч

ные

иинт

ервальные

оцен

ки

413

Таблица 98.5Исходные данные для самостоятельной работы

вар.\изм. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10надеж-ность γ

16 2,58 2,50 2,57 2,49 2,49 2,51 2,55 2,53 2,53 2,55 0,9517 4,38 4,40 4,37 4,42 4,35 4,40 4,39 4,45 4,43 4,41 0,9918 14,41 14,45 14,46 14,40 14,48 14,42 14,50 14,45 14,42 14,44 0,99919 10,25 10,23 10,24 10,18 10,17 10,18 10,19 10,20 10,19 10,17 0,99920 5,97 5,88 5,90 5,93 5,95 5,88 5,85 5,87 5,90 5,87 0,9921 16,02 16,03 16,02 16,05 16,01 16,15 16,00 16,16 16,20 16,06 0,9522 42,80 42,72 42,75 42,90 42,98 42,85 42,07 42,93 42,77 42,83 0,9523 3,44 3,47 3,38 3,39 3,46 3,49 3,39 3,47 3,46 3,45 0,9924 36,40 36,70 36,90 36,80 36,30 36,70 36,90 36,90 36,40 36,00 0,99925 8,35 8,40 8,38 8,44 8,45 8,44 8,37 8,39 8,36 8,42 0,9526 15,28 15,25 15,21 15,24 15,18 15,17 15,20 15,19 15,26 15,22 0,9927 27,90 27,30 26,90 27,30 27,40 27,50 27,00 27,60 27,70 27,40 0,99928 7,71 7,72 7,70 7,73 7,67 7,68 7,65 7,63 7,71 7,70 0,9529 5,41 5,40 5,42 5,40 5,39 5,38 5,37 5,38 5,35 5,40 0,9930 28,70 28,30 28,80 28,80 28,00 28,10 27,90 28,70 28,10 28,20 0,999

414

99. ЛЕКЦИЯ — Проверка статистическихгипотез

Основные понятия. Проверка гипотезы о значимости выборочногокоэффициента корреляции. Сравнение двух математических ожида-ний. Сравнение математического ожидания с заданным значением.Сравнение вероятности с заданным значением

99.1. Основные понятия проверкистатистических гипотез

Определение 99.1. Статистической называется гипотеза о видераспределения или о значениях его параметров.

Гипотезы будем обозначать H0, H1, H2, . . . .Различают проверяемую или основную гипотезу H0 и альтернативную

или конкурирующую H1, которая должна противоречить основной.

Пример 99.1. Проверяемая гипотеза H0 состоит в том, что мате-матическое ожидание случайной величины X равно заданному значениюa0. H0 : M(X) = a0. Альтернативная H1 : M(X) > a0.

Для проверки статистической гипотезы на основании выборки x1, x2,. . ., xn вычисляют значение критерия, зависящего от наблюдений:

T = T (x1, x2, . . . xn).

Все множество значений критерия делится на так называемую крити-ческую область, при попадании в которую критерия проверяемая гипотезаотвергается и область принятия гипотезы.

При принятии решения о справедливости гипотезы H0, возможны сле-дующие ошибки:

— гипотеза H0 отвергается, хотя на самом деле она верна (ошибкапервого рода) ;

— гипотеза H0 принимается, хотя на самом деле она не верна, а спра-ведлива гипотеза H1 (ошибка второго рода) .

Наряду с этим возможны следующие правильные решения:

— гипотеза H0 принимается и она действительно верна;— гипотеза H0 отвергается и на самом деле справедлива гипотеза H1.

Определение 99.2. Вероятность ошибки первого рода называетсяуровнем значимости критерия и обычно обозначается α.

99 Лекция — Проверка статистических гипотез 415

Вероятность правильно отвергнуть проверяемую гипотезу называетсямощностью критерия и обычно обозначается β. Заметим, что вероятностьошибки второго рода равна 1− β.

Одновременно уменьшить вероятности ошибок первого и второго родаможно только увеличив объем выборки n. При фиксированном n обычнозадают допустимый уровень ошибки первого рода α и стараются мини-мизировать вероятность ошибки второго рода 1− β, т.е. максимизироватьмощность критерия β.

На практике при проверке статистической гипотезы на основании на-блюдений вычисляют наблюдаемое значение критерия Tнабл и по заданномууровню значимости α определяют границы критической области — крити-ческие точки.

Если критическая область правосторонняя, т.е. (tкр2; +∞), при выпол-нении условия Tнабл > tкр2 делают вывод: проверяемая гипотеза H0 от-вергается с уровнем значимости α; если это условие не выполняется, т.е.Tнабл 6 tкр2, делают более осторожный вывод: нет оснований для того,чтобы отвергнуть гипотезы H0.

Если критическая область левосторонняя, т.е. (−∞; tкр1), гипотеза H0

отвергается при выполнении условия Tнабл < tкр1. В случае двустороннейкритической области вида (−∞; t1) ∪ (tкр2; +∞) гипотеза H0 отвергаетсяпри выполнении условия Tнабл < tкр1 или Tнабл > tкр2.

99.2. Проверка гипотезы о значимостивыборочного коэффициента корреляции

Пусть на основании данных корреляционной таблицы по выборкеобъема найден выборочный коэффициент корреляции r∗xy, который ока-зался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, возникаетвопрос о том, будет ли отличен от нуля теоретический коэффициент кор-реляции rξζ , к которому сходится выборочный коэффициент при n→∞.

Необходимо при заданном уровне значимости α проверить гипотезу H0 :rξζ = 0 при альтернативной гипотезе H1 : rξζ 6= 0.

ЕслиH0 отвергается, это означает, что выборочный коэффициент корре-ляции значимо отличается от нуля, а случайные величины X и Y коррели-рованы, т.е. в той или иной степени связаны линейной зависимостью. ЕслиH0 принимается, это означает, что выборочный коэффициент корреляциинезначимо отличается от нуля, а случайные величины X и Y некоррелиро-ваны, т.е. не связаны линейной зависимостью.

416

В качестве критерия для проверки H0 выбирается случайная величина

(99.1) T = r∗xy

√n− 2√

1− r∗xy2,

где r∗xy вычисляется по формуле (98.5). При справедливости гипотезы H0

величина T имеет так называемое распределение Стьюдента с n − 2 сте-пенями свободы. Критическая область для рассматриваемой гипотезы H1

будет двусторонней, tкр1 = −tкр2. Критическая точка tкр2 определяется позаданным уровню значимости α и числу степеней n−2 по специальным та-блицам (приложение 3) или с помощью обратной к функции распределенияСтьюдента степени свободы, имеющейся, например, среди статистическихфункций Excel для α/2 и n − 2 степеней свободы. По формуле (99.1) дляданных наблюдений определяем значение критерия Tнабл.

Если |Tнабл| > tкр2, гипотеза H0 отвергается с уровнем значимости α,если |Tнабл| < tкр2 — нет оснований отвергнуть H0.

Пример 99.2. С уровнем значимости α = 0, 1 проверить гипотезу означимости выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в при-мере 98.2.

Р е ш е н и е: Для n = 60 и α = 0, 1 по таблице приложения 3 для двусто-ронней критической области находим tкр2 = 1, 67. Вычисляем наблюдаемоезначение критерия по формуле (99.1) для r∗xy = −0, 55:

Tнабл = −0, 55 ·√

58√1− 0, 552

≈ −5, 02.

Поскольку |Tнабл| > 1, 67, делаем вывод: гипотеза H0 отвергается с уровнемзначимости α = 0, 1. Другими словами, можно довольно уверенно заявить,что коэффициент корреляции отличен от нуля.

99.3. Сравнение двух математическихожиданий

Пусть имеются две независимые выборки объемов n и m из нормальныхсовокупностей с известными дисперсиями σ2

1 и σ22. Требуется по найденным

выборочным средним x и y с уровнем значимости α проверить нулевуюгипотезу H0 о равенстве теоретических математических ожиданий:

H0 : M(ξ) = M(ζ).

Заметим, что в силу несмещенности оценок x и y следует, что нулевуюгипотезу можно записать и так:

H0 : M(x) = M(y).


Другими словами, требуется проверить значимо или нет отличаютсямежду собой выборочные средние. В качестве критерия проверки гипотезыпримем величину:

(99.2) Z =x− y√σ2

1

n+σ2

2

m

.

Для изучения ее свойств рассмотрим соответствующую случайную ве-личину:

Z =ξ − ζ√σ2

1

n+σ2

2

m

, где ξ =

n∑i=1

ξi

n, ζ =

m∑i=1

ζi

m.

Если верна гипотеза H0, т.е. ξi ∼ N(a; σ1), ζi ∼ N(a; σ2), то Z ∼ N(0; 1).Действительно, Z является линейной комбинацией нормально распре-

деленных случайных величин и поэтому сама распределена нормально. Еематематическое ожидание и дисперсия равны:

M(Z) =(M(ξ)−M(ζ)

)/√σ2

1

n+σ2

2

m=

=

( n∑

i=1

M(ξi)/n−m∑

i=1

M(ζi)/m

)/√σ2

1

n+σ2

2

m=

=(nan− ma

m

)/√σ2

1

n+σ2

2

m= 0,

D(Z) =(D(ξ)−D(ζ)

)/(σ21

n+σ2

2

m

)=

=

( n∑

i=1

D(ξi)/n2 −

m∑

i=1

D(ζi)/m2

)/

/(σ21

n+σ2

2

m

)=

(nσ2

1

n2+mσ2

2

m2

)/(σ21

n+σ2

2

m

)= 1.

Поэтому, в зависимости от конкурирующей гипотезы, решающее прави-ло выглядит следующим образом:

• H0 : M(ξ) = M(ζ), H1 : M(ξ) 6= M(ζ).Критическая область двусторонняя с вероятностью α/2 попа-

дания в каждую половину в случае справедливости H0. Из урав-нения Fст(Zкр) = 1 − α/2, где Fст(Z) — функция распределения

418

стандартного нормального закона, находим значение Zкр, вычис-ляем по данным наблюдениям значение критерия Zнабл и если|Zнабл| > Zкр, то отвергаем гипотезу H0 с уровнем значимости α.Если |Zнабл| < Zкр, у нас нет оснований отвергнуть гипотезу H0 впользу данной гипотезы H1.

На практике уравнение Fст(Zкр) = 1 − α/2 решают или с по-мощью ЭВМ (например, Excel), или по таблице приложения 2 иуравнения (99.3) т.к.

Fст(Zкр) = Φ(Zкр) + 0, 5 =⇒ Fст(Zкр) = 1− α

2⇐⇒

⇐⇒ Φ(Zкр) + 0, 5 = 1− α

2⇐⇒

(99.3) Φ(Zкр) =1

2− α

2;

• H0 : M(ξ) = M(ζ), H2 : M(ξ) > M(ζ).Критическая область правосторонняя с вероятностью α попа-

дания в нее в случае справедливости H0. Из уравнения Fст(Zкр) == 1−α находим значение Zкр, вычисляем по формуле (99.2) Zнабл

и если Zнабл > Zкр, то отвергаем гипотезу H0 с уровнем значи-мости α. Если Zнабл < Zкр, то нет оснований отвергнуть гипотезуH0. На практике Zкр находят или с помощью ЭВМ или по таблицеприложения 2, из уравнения (99.4) т.к.

Fст(Zкр) = 1− α ⇐⇒ Φ(Zкр) + 0, 5 = 1− α ⇐⇒

(99.4) Φ(Zкр) =1

2− α;

• H0 : M(ξ) = M(ζ), H3 : M(ξ) < M(ζ).Критическая область левосторонняя с вероятностью α попада-

ния в нее в случае справедливости H0. Из уравнения Fст(Z′кр) = α

находим значение Z ′кр.

В силу симметрии нормального распределения относительнонуля на практике находят значение Zкр из уравнения (99.4) и берутZ ′

кр = −Zкр. Если Zнабл < −Zкр, гипотезу H0 отвергают с уровнемзначимости α, если Zнабл > −Zкр, то нет оснований отвергнуть H0.

Замечание 99.1. Если независимые выборки достаточно большие,указанный критерий можно применять для случая неизвестных диспер-сий и не обязательно нормального распределения совокупностей. В этом


случае вместо формулы (99.2) для вычисления критерия используют фор-мулу (99.5):

(99.5) Z =x− y√S∗2

1

n+S∗2

2

m

.

99.4. Сравнение математического ожидания сзаданным значением

Пусть имеется выборка объема n нормальной совокупности с извест-ной дисперсией σ2. Требуется по найденной выборочной средней с уровнемзначимости α проверить гипотезу H0 о равенстве неизвестного математи-ческого ожидания M(ξ) заданному значению a0:

H0 : M(ξ) = a0.

В силу несмещенности оценки x заключаем, что нулевую гипотезу мож-но записать и так:

H0 : M(x) = a0.

Другими словами, требуется проверить, значимо или нет отличаетсявыборочное среднее от заданного значения. В качестве критерия выберемвеличину

(99.6) U =x− a0

σ/√n

=x− a0

σ·√n.

Аналогичному тому, как это сделано в п. 99.3, можно доказать (сде-лайте это самостоятельно), что соответствующая случайная величинаU = (ξ − a0) ·

√n/σ имеет стандартное нормальное распределение. Поэто-

му в зависимости от конкурирующей гипотезы, решающее правило будетследующим:

• H0 : M(ξ) = a0; H1 : M(ξ) 6= a0.Из уравнения (99.3) по таблице приложения 2 (или с помощью

ЭВМ) определяем Zкр, по формуле (99.6) находим Uнабл для име-ющихся наблюдений.

Если |Uнабл| > Zкр, гипотезу H0 отвергаем с уровнем значимо-сти α, если |Uнабл| < Zкр, то нет оснований отвергнуть гипотезу H0

в пользу данной гипотезы H1.• H0 : M(ξ) = a0; H2 : M(ξ) > a0.

Из уравнения (99.4) определяем Zкр, по формуле (99.6) на-ходим Uнабл. Если Uнабл > Zкр, гипотезу H0 отвергаем с уровнемзначимости α, если Uнабл < Zкр, то нет оснований отвергнуть H0.

420

• H0 : M(ξ) = a0; H3 : M(ξ) < a0.Из уравнения (99.4) определяем Zкр, по формуле (99.6) нахо-

дим Uнабл. Если Uнабл < −Zкр, гипотезу H0 отвергаем с уровнемзначимости α, если Uнабл > −Zкр, то нет оснований отвергнуть H0.

Если в условиях п. 99.4 дисперсия неизвестна, в качестве критерия сле-дует выбрать величину

(99.7) T =x− a0

S∗/√n

=x− a0

S∗ ·√n.

Можно доказать (мы не будем этого делать), что соответствующая слу-чайная величина T = (ξ − a0) ·

√n/S∗ имеет распределение Стьюдента с

n − 1 степенью свободы. Решающее правило в зависимости от конкуриру-ющей гипотезы будет следующим:

• H0 : M(ξ) = a0; H1 : M(ξ) 6= a0.Критическая область в данном случае будет двусторонней; кри-

тическая точка t2 определяется по заданным α и n−1 по специаль-ным таблицам (приложение 3) или с помощью функции обратнойк функции распределения Стьюдента, имеющейся, например, сре-ди статистических функций Excel. По формуле (99.7) определяемTнабл.

Если |Tнабл| > t2, гипотеза H0 отвергается с уровнем значимо-сти α, если |Tнабл| < t2, то нет оснований отвергнуть H0 в пользуданной гипотезы H1.

При конкурирующих гипотезах H2 : M(ξ) > a0 и H3 : M(ξ) < a0 стро-ят соответственно правостороннюю и левостороннюю критические области(см. [ ]).

99.5. Сравнение вероятности с заданнымизначением

Пусть проведено n независимых испытаний Бернулли с неизвестной ве-роятностью p появления события A в каждом. По результатам испытанийнайдена относительная частота m/n, где m — число появлений события Aв n испытаниях. Требуется по величине m/n с уровнем значимости α про-верить нулевую гипотезу H0 о том, что неизвестная вероятность p равназаданному значению p0:

H0 : p = p0.

Заметим, что в силу несмещенности оценкиm/n для p нулевую гипотезуможно записать и так:

H0 : M(mn

)= p0.

99 Практика — Метод наименьших квадратов 421

Другими словами, требуется проверить, значимо или нет отличаетсячастота от значений p0. В качестве критерия проверки гипотезы примемвеличину

(99.8) U =mn− p0√p0q0

·√n, где q0 = 1− p0.

Соответствующая случайная величина при справедливости гипотезыH0

имеет стандартное нормальное распределение. При этом рассуждения ана-логичны приведенным в п. 99.4 для случая известной дисперсии, с учетом

того, что M(mn

)= p0, D

(mn

)=p0q0n

.

В зависимости от конкурирующей гипотезы решающее правило будеттаким же, как в п. 99.4 для случая известной дисперсии, но значение Uнабл,конечно, следует вычислять по формуле (99.8)

99. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Методнаименьших квадратов

Пример 99.1. Для данных, представленных в таблице 99.1, методомнаименьших квадратов найти коэффициенты квадратичной зависимостиy = ax2 + bx+ c.

таблица 99.1

Исходные данные примера 99.1i 1 2 3 4 5xi -1 0 1 2 3yi 1,286 0,424 0,296 -0,698 -0,986

Р е ш е н и е: Для получения системы (98.4) найдем коэффициенты y,

x, xy, x2, x2y =

n∑

i=1

x2i yi

n, x3 =

n∑

i=1

x3i

n, x4 =

n∑

i=1

x4i

n. Результаты вычислений

приведены в таблице 99.2, в последне строке которой указаны средниезначения по столбцам.

Таким образом, система (98.4) для данного примера принимает вид:

19, 8a+ 7b+ 3c = −2, 1352,7a+ 3b+ c = −1, 1872,3a+ b+ 5c = −0, 0540.

422

таблица 99.2

Решение примера 99.1i xi yi xiyi x2

i x2i yi x3

i x4i

1 -1,00000 1,28600 -1,28600 1,00000 1,28600 -1,00000 1,000002 0,00000 0,42400 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000003 1,00000 -0,29600 -0,29600 1,00000 -0,29600 1,00000 1,000004 2,00000 -0,69800 -1,39600 4,00000 -2,79200 8,00000 16,000005 3,00000 -0,98600 -2,95800 9,00000 -8,87400 27,00000 81,00000

1,00000 -0,05400 -1,18720 3,00000 -2,13520 7,00000 19,80000

Решая эту систему (методом Крамера, Гаусса с помощью калькулятораили эвм), находим: a = 0, 17385; b = −0, 81751; c = 0, 04839. Таким образом,искомая зависимость имеет вид:

y = 0, 17385x2− 0, 81751x+ 0, 04839.

Посчитаем значение f(xi) и найдем значения суммы квадратов отклоне-ния, чтобы оценить величину расхождения между данными значениями иполученными с помощью подобранной квадратичной функции. Результатывычислений сведены в таблицу 99.3.

таблица 99.3

Решение примера 99.1i xi yi f(xi) ∆2

i

1 -1,00000 1,28600 1,03975 0,0606392 0,00000 0,42400 0,04839 0,1410833 1,00000 -0,29600 -0,59527 0,0895634 2,00000 -0,69800 -0,89123 0,0373385 3,00000 -0,98600 -0,83949 0,021465

0,350087

В последнем столбце таблицы указаны значения квадратов отклонений∆2

i = (f(xi)− yi)2, а в последней строке этого столбца — их сумма, т.е.

минимальное значение функции Φ : Φmin ≈ 0, 35. Полученное значениедает представление о накопленной ошибке при замене значений yi на f(xi).

Ответ: y = 0, 17385x2− 0, 81751x+ 0, 04839.


Пример 99.2. По приведенным в таблице 99.4 исходным данным най-ти методом наименьших квадратов линейную зависимость y = ax + b(см. пример 98.1 лекции 98).

99 Практика — Метод наименьших квадратов 423

Пример 99.3. По приведенным в таблице 99.5 исходным данным най-ти методом наименьших квадратов квадратичную зависимость y == ax2 + bx+ c.

таблица 99.4

Исходные данные примера 99.2i 1 2 3 4 5 6 7 8

вариант\xi -2 -1 0 1 2 3 4 51 -6,68 -4,15 -1,83 0,72 3,02 5,63 7,90 10,472 -7,30 -3,35 0,40 4,39 8,12 12,30 15,88 19,863 -8,68 -6,30 -3,45 -1,32 1,46 3,69 6,43 8,824 -3,235 -2,198 -1,814 -1,200 -0,759 -0,759 -0,217 0,2655 1,87 -1,30 -4,31 -7,69 -10,42 -13,93 -16,68 -19,976 4,92 3,21 1,92 0,15 -1,16 -3,02 -4,31 -6,007 -5,41 -4,20 -2,62 -1,51 0 1,11 2,39 3,878 -7,96 -5,31 -3,25 -0,41 1,63 4,36 6,52 9,129 -4,27 -3,53 -2,31 -1,82 -0,69 0,01 1,00 1,7510 0,80 -0,88 -2,28 -4,18 -5,41 -7,31 -8,61 -10,4011 -14,30 -10,31 -5,42 -1,51 3,02 7,04 11,75 15,8012 -11,47 -7,59 -4,32 -0,41 3,01 6,91 10,12 14,0813 1,42 -1,30 -3,59 -6,48 -8,71 -11,79 -13,98 -16,7814 2,80 3,81 4,43 5,63 6,17 7,49 8,03 9,1015 -4,32 -2,72 -0,80 0,71 2,62 4,05 6,01 7,58

yi 16 -11,10 -8,02 -4,17 -1,30 2,41 5,36 9,02 12,2117 -10,24 -6,91 -4,03 -0,48 2,31 5,82 8,61 12,0218 -5,74 -4,41 -3,72 -2,16 -1,42 0 0,78 2,1019 -6,05 -4,01 -2,32 0,02 1,62 3,92 5,53 7,6720 -1,00 1,22 3,03 5,49 7,55 7,72 11,53 13,7021 -3,61 -2,62 -2,01 0,89 -0,03 0,82 1,41 2,4122 5,40 3,81 1,88 0,38 -1,52 -2,98 -4,97 -6,5023 -8,40 -6,01 -3,29 -1,03 1,81 4,05 6,68 9,1024 1,76 2,71 3,32 4,44 5,07 6,12 6,74 7,7125 -6,04 -4,65 -3,02 -1,80 0,08 1,18 2,82 4,1826 -9,28 -6,81 -3,98 -1,60 1,21 3,52 6,41 8,9227 0,30 -0,63 -1,38 -2,61 -3,18 -4,27 -4,98 -6,0228 4,50 3,51 2,18 1,32 -0,10 -0,88 -2,20 -3,2029 7,12 5,52 3,48 1,95 0 -1,61 -3,60 -5,2030 -11,96 -9,87 -7,18 -5,25 -2,51 -0,62 2,02 4,14

424

таблица 99.5

Исходные данные примера 99.3i 1 2 3 4 5

вариантов\xi -1 0 1 2 31 6,20 2,92 1,29 2,13 4,602 8,34 3,19 0,66 1,54 5,063 6,43 2,56 1,97 3,72 8,234 -1,06 -6,47 -8,32 -7,71 -3,465 8,55 3,20 1,09 3,01 -8,156 0,22 6,02 8,08 5,61 -0,507 2,30 -2,62 -3,87 -2,38 2,908 -4,11 1,42 3,17 1,85 -3,319 1,17 -3,28 -3,02 0,84 9,2910 2,40 -3,32 -5,72 -5,55 -2,0111 5,71 0,28 -2,22 -1,09 2,9112 -0,20 3,69 4,38 2,98 -1,8013 1,05 5,36 6,02 4,01 -1,5514 -9,85 -3,17 0,71 0,66 -2,2515 -6,18 0,38 2,81 1,99 -3,06

yi 16 -3,71 3,21 5,52 4,26 -1,6917 9,58 4,98 0,81 -1,71 -3,7818 -2,25 2,99 5,01 4,79 1,3519 6,43 2,12 -1,48 -3,49 -4,9320 -2,28 3,81 7,29 9,03 8,2021 5,20 0 -3,68 -6,66 -8,0222 2,34 -3,71 -6,66 -7,67 -5,4923 7,84 0,89 -3,85 -5,55 -5,0524 2,62 -2,89 -4,16 -2,37 3,5425 -3,15 2,44 5,26 6,27 4,4126 8,26 2,58 -2,03 -4,90 -6,7627 -1,97 5,81 7,02 2,56 -8,5228 -5,42 -0,94 0,89 -0,73 -5,0229 -4,61 -0,71 0,52 -1,77 -6,5930 7,15 0,37 -4,44 -6,29 -6,13

100 Лекция — Критерии согласия 425

100. ЛЕКЦИЯ — Критерии согласия

Геометрический метод определения вида распределения. КритерийПирсона. Критерий χ2

Определение 100.1. Критериями согласия называют критерии дляпроверки гипотез о виде закона распределения случайной величины.

100.1. Геометрический метод определениявида распределения

Рассмотрим сначала наглядный, но не строгий метод определения ви-да распределения. Предположим, что теоретическая функция распределе-ния F (x) зависит от двух неизвестных параметров α и β; чтобы подчерк-нуть это, обозначим ее F (x, α, β): F (x) = F (x, α, β). Общий вид функцииy = F (x, α, β) считается известным, необходимо оценить значения неиз-вестных параметров α и β. Основная идея графического метода состоит ввыборе такой замены координат u = u(x), v = v(x), чтобы график функ-ции распределения y = F (x, α, β) в новых координатах (u; v) стал прямойлинией V = k · u+ b с коэффициентами k и b, зависящими от неизвестныхпараметров α и β: k = ϕ(α, β), l = ψ(α, β). Другими словами, уравнениефункции распределения y = F (x, α, β) в координатах (u; v) должно при-нять вид:

(100.1) v = k · v + b или v = ϕ(α, β) · u+ ψ(α, β).

Поскольку эмпирическая функция распределения y = Fэ(x) при доста-точно большом объеме статистики лежит вблизи от теоретической функциираспределения y = F (x, α, β), то после замены переменных график эмпири-ческой функции распределения в координатах (u; v) должен лежать вблизипрямой (100.1). Новая система координат (u; v) с нанесенными соответству-ющими значениями (x; y) называются вероятностной бумагой .Построивв координатах (u; v) график эмпирической функции распределения, прово-дят прямую так, чтобы по обе стороны от нее находилось примерно оди-наковое количество “ступенек” графика функции y = Fэ(x); затем опреде-ляют k-величину тангенса угла, образованного этой прямой с осью Ou иb-координату пересечения с осью Ov. Приравняв полученные величины ких теоретическим значениям ϕ(α, β) и ψ(α, β), находят оценки неизвестных

426

параметров α и β из системы уравнений:{k = ϕ(α, β)b = ψ(α, β)

Если неизвестный параметр один, для нахождения оценки достаточноодного уравнения.

Для нормального закона распределения:

F (x,m, σ) = Φ(x−m

σ

)+ 0, 5,

где: Φ(x) =1√2π

x∫

0

e−z2

2 dz — функция Лапласа, использует следующую

замену координат:

(100.2) u = x, v = Φ−1(y − 0, 5),

где x = Φ−1(y) — функция, обратная к функции Лапласа. В новых коор-динатах (u; v) уравнение функции распределения y = Φ(x−m

σ) + 0, 5 примет

следующий вид:

v = Φ−1(y − 0, 5) = Φ−1

(Φ(x−m

σ

)+ 0, 5− 0, 5

)=

= Φ−1

(Φ(x−m

σ

))=x−mσ

=u−mσ

.

Получившееся уравнение:

(100.3) v =u−mσ

есть уравнение прямой линии вида (100.1), где

ϕ(m; σ) =1

σ, ψ(m; σ) = −m

σ.

Оценив по графику эмпирической функции распределения (100.3) величи-ны k (угловой коэффициент) и b (пересечение с осью Ov), значения m и bполучим из системы:

(100.4)

k =1

σ,

b = −mσ,

⇐⇒

σ =1

k,

m = − bk.

Для удобства построения графика эмпирической функции распределе-ния (100.3) можно воспользоваться обычной миллиметровой бумагой или


специальной “нормальной вероятностной бумагой” с нелинейным масшта-бом по вертикальной оси, где около значений v = Φ−1(y − 0, 5) отмечаютсясоответствующие значения y.

Пример 100.1. На рис. 100.1 для приведенных в табл. 100.1 — 100.3данных в координатах (u, v) (формулы (100.2)) изображены графики эм-пирических функций распределения (ступенчатые функции I — III) и ап-проксимирующие их графики теоретических распределений (непрерывныелинии). Для наглядности значения Fэ(x) в табл. 100.2 приведены в ви-де простых дробей, в табл. 100.1, 100.3 эти же значения приведены ввиде десятичных дробей. Параметры m и σ оцениваются с помощью со-отношения (100.4) исходя из величин k и b, которые определяются пографикам в координатах (u, v) с учетом масштаба по осям Ou и Ov.

Для распределения (I): k = 1, 0; b = −1, 8⇐⇒ m = 1, 8; σ = 1, 0;для распределения (II): k = 1, 4; b = −5, 7⇐⇒ m = 4, 1; σ = 0, 71;

график распределения (III) имеет заметную искривленность, что говорит отом, что теоретическая функция распределения (III) не является нормаль-ной.

Вариационные ряды наблюдений

i123456789101112131415

Таблица 100.1 (I)xi y = F э(x)

0,48 0,070,55 0,130,76 0,200,83 0,271,34 0,331,39 0,401,39 0,471,94 0,532,05 0,602,24 0,672,52 0,732,71 0,802,81 0,873,44 0,934,52 1,00

Таблица 100.2 (II)xi y = F э(x)

2,98 1/153,03 2/153,17 3/153,22 4/153,57 5/153,59 6/153,95 7/153,96 8/154,03 9/154,16 10/154,35 11/154,47 12/154,54 13/154,96 14/155,01 1

Таблица 100.3 (III)xi y = F э(x)

1,68 0,071,83 0,132,29 0,202,46 0,274,02 0,334,19 0,406,54 0,476,64 0,537,17 0,608,30 0,6710,08 0,7311,46 0,8012,21 0,8717,78 0,9318,60 1,00

Для экспоненциального распределения:

y = F (x, λ) =

{1− e−λx x > 0,0 x < 0

428

y v

2,0

1,0

-1,0

-2,0

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

III

II

I

k=1,4

Φ

u=x

k=1,0b=-1,8

b=-5,7

0,70

0,60

0,50

0,80

0,90

0,95

0,99

0,30

0,20

0,10

0,05

0,01

0,40

−1v= (y-0,5)

Рис. 100.1. Вероятностная бумага для нормального

распределения

используют следующую замену координат:

(100.5) u = x, v = − ln(1− y)В новых координатах уравнение теоретической функции распределения

y = F (x, λ) примет следующий вид:

v = − ln(1− y) = − ln(1− F (x, λ)

)= − ln

(1− (1− e−λx)

)=

= − ln(e−λx) = λx = λu.

Получившееся уравнение v = λ · u и есть уравнение прямой линии вида(100.1), где k = λ, b = 0; неизвестный параметр λ равен тангенсу угланаклона аппроксимирующей прямой.

Пример 100.2. На рис. 100.2 для приведенных в табл. 100.3 данныхизображены графики эмпирической функции распределения и аппроксими-рующей прямой в координатах (u; v) (формулы (100.5)). Из графика вид-но: k = 0, 12 ⇐⇒ λ = 0, 12. Для удобства построения графиков на вер-


тикальной оси Ov нанесены соответствующие v значения y по формуле:v = − ln(1− y).

III

0,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,20,30,4

0,5

0,7

0,9

0,61,0

2,0

k=0,12

v = -ln (1-y)

u = x

vy

Рис. 100.2. Вероятностная бумага для экспоненци-

ального распределения

100.2. Критерий Пирсона проверки гипотезы овиде закона распределения

Пусть имеется случайная выборка, состоящая из n–элементов. Требует-ся найти закон распределения изучаемой случайной величины ξ (или, какусловились говорить, генеральной совокупности), определить его парамет-ры и оценить согласие выборки с принятым законом распределения.

На основании статистического материала проверяется гипотеза H0, со-стоящая в том, что случайная величина ξ подчиняется некоторому зако-ну распределения. Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу H0,рассматривается величина U — степень расхождения теоретического и ста-тистического распределения. За U принимают сумму квадратов (с неко-торыми коэффициентами) отклонений теоретических вероятностей Pi отсоответствующих частот P ∗

i (критерий χ2).Схема расчетов с помощью критерия Пирсона (критерия χ2) следую-

щая.

430

(1) На основании выборки выбираем в качестве предполагаемого какой–то закон распределения изучаемой величины (например, с помо-щью вероятностной бумаги) и оцениваем его параметры, как опи-сано в 97, 98 лекциях.

(2) Все множество наблюдений разбиваем на s интервалов вида (aj−1; aj]и подсчитываем эмпирические частоты — количество наблюденийmj, попавших в j–ый интервал (см. п. 97.3). Относительная частота

наблюдений, попавших в j–ый интервал, равна P ∗j =

mj

n, (m1 +

+ . . .+ms = n), сумма всех частот, очевидно, равна единице.(3) Определяем теоретические частотыm′

j для j–го интервала (aj−1; aj]:

m′j =

(F (aj)− F (aj−1)

)· n,

где F (x) – теоретическая функция распределения, найденная наэтапе 1.

(4) Вычисляем критерий χ2набл (критерий Пирсона):

(100.6) χ2набл =

S∑

j=1

(mj −m′j)

2

m′j

.

Из этого выражения видно, что χ2набл равно нулю лишь при

совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретическихчастот:mi = m′

i (i = 1, 2, . . . , l). В противном случае χ2набл отлично

от нуля и тем больше, чем больше расхождение между частотами.Величина χ2, определяемая равенством 100.6, является случайной,и имеет χ2 — распределение с k степенями свободы (принимаетсябез доказательства).

(5) Определяем число степеней свободы k случайной величины χ2:

(100.7) k = s− 1− r,где r — число параметров закона распределения (для нормальногозакона распределения r = 2), s — число интервалов.

(6) По заданному уровню значимости α и числу степеней свободы kпо таблице критических точек распределения χ2 (таблица при-ложения 4) находим критическую точку χ2

кр(α; k). Если χ2набл <

< χ2кр(α; k) — нет оснований отвергнуть гипотезу о принятом (нор-

мальном) законе распределения. Если χ2набл > χ2

кр(α; k) — гипотезуотвергают с уровнем значимости k.

Пример 100.3. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу онормальном распределении выборки, представленной в таблице 100.2 при-мера 100.1.


Р е ш е н и е: Разобьем все множество значений выборки табл. 100.2 на6 интервалов, границы которых занесены во второй столбец табл. 100.2.

таблица 100.4

Решение примера 100.2j aj mj F (aj) m′

j

0 2,5 1 0,0155 0,9691 3,0 3 0,0800 2,6592 3,5 4 0,2573 4,2463 4,0 4 0,5404 3,9484 4,5 2 0,8036 2,1375 5,0 1 0,9460 0,6736 5,5 0,9909

В третий столбец табл. 100.2 заносим колличество наблюдений mj, по-павших в j-ый интервал. По формулам (97.2), (97.10), (97.5) определяемпараметры нормального распределения x и S∗ для выборки из табл. 100.2:

x = 3, 933; S∗ = 0, 664

и находим значения теоретической функции распределения F (aj). В дан-

ном примере F (aj) = Φ(aj − x

S∗

)+ 0, 5. В пятый столбец заносим теорети-

ческие частоты m′j, вычисляемые, как указано выше.

По формуле (100.6) находим значение χ2набл = 0, 228. По таблице при-

ложения 4 для α = 0, 05 и k = 6 − 1 − 2 = 3 находим критическую точкуχ2

кр(0, 05; 3) = 7, 8. Поскольку χ2набл < χ2

кр(0, 05; 3), нет оснований отвергатьгипотезу H0 о нормальном распределении выборки из таблицы 100.2. За-метим, что этот результат хорошо согласуется с данными вероятностнойбумаги (график I на рис. 100.1).

Покажем использование критерия Пирсона с применением программыMathcad.

Пример 100.4. Для исследования вида некоторой зависимости произ-ведено 100 испытаний. Результаты полученных испытаний разбили на 9диапазонов, границы которых записаны в массив a:

a := ( 69.2 69.8 70.4 71.0 71.6 72.2 72.8 73.4 74.0 74.6 )T

В массиве m представлено количество наблюдений, попавших в соот-ветствующий диапазон.

m := ( 1 4 11 21 27 22 10 3 1 )T

С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу H0 о нормальномраспределении выборки с уровнем значимости α = 0, 05.

432

Р е ш е н и е:ORIGIN := 1 s := 9 j := 1 . . . s n :=

∑j

mj n = 100

Найдем координаты середин интервалов (массив U):

Uj :=aj + aj+1

2Найдем выборочную среднюю Mx, исправленную выборочную диспер-

сию S2:

Mx :=1

n·∑

j

mj · Uj Mx = 71.876

S2 =n

n− 1·[

1

n·∑

j

mj · (Uj)2 −Mx2

]

и исправленное среднее квадратическое отклонение S:S2 = 0.8066909 S :=

√S2 S = 0.8981597.

Функцию Лапласа Ф(x) :=1√2π·

x∫

0

e−z2

2 dz

получаем, используя встроенную функцию нормального распределенияpnorm(x,Mx, σ), при значении математического ожидания Mx = 0 и сред-неквадратическом отклонении σ = 1

Ф := pnorm(x, 0, 1)− 0.5Получаем теоретические частотыm1j для каждого интервала. При этом

в первый интервал включаем промежуток от −∞ до X2, а в последнийинтервал — от Xs до +∞

Pj := Ф

(aj+1 −Mx

S

)−Ф

(aj −Mx

S

),

P1 := Ф

(a2 −Mx

S

)−Ф

(−∞−Mx

S

)

Ps := Ф

(∞−Mx

S

)−Ф

(as −Mx

S

)m1j := n · Pj

∑

j

m1j = 100

P T = (0.01041 0.03975 0.11454 0.21461 0.261540.20735 0.10693 0.03585 0.00902)

m1T = (1.0406 3.9748 11.4545 21.4611 26.154320.7354 10.6927 3.5848 0.9019)

Определяем число степеней свободы k для данной зависимостиk := s− 1− 2 α := 0.05

100 Практика — Обработка совокупности 433

Найдем теперь значение χ2 наблюдаемое (χ2 набл).

χ2набл :=∑

j

(mj −m1j)2

m1j

χ2набл = 0.2850892

Используя встроенную функцию qchisq для χ2 распределения, получаемкритическое значение χ2кр:

χ2кр := qchisq(1− α, k) χ2кр = 12.5915872

Так как χ2набл < χ2кр, то нет основания отвергать поставленную ги-потезу H0 с уровнем значимости α = 0, 05.

100. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Обработка простой статистическойсовокупности

Пусть в результате опытов получены n значений двумерной случайнойвеличины (ξ, ζ), не подвергнутые из-за небольшого объема выборки пред-варительной группировке:

(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn).

Для характеристики такой простой статистической совокупности чащевсего используют оценки математических ожиданий и дисперсий компо-нент ξ и ζ, выборочного коэффициента корреляции и уравнения регрессии.Средние выборочные определяются как

x =

n∑

i=1

xi/n, y =

n∑

i=1

yi/n.

Выборочные дисперсии

S2x =

n∑

i=1

(xi − x)2/n, S2y =

2∑

i=1

(yi − y)2/n.

Выборочный коэффициент корреляции

r∗xy =(xy − xy)SxSy

.

Выборочное уравнение прямой регрессии y на x имеет вид:

yx − y = r∗xy

Sy

Sx

(x− x),

где yx - среднее арифметическое значений ζ при фиксированном значенииξ = x.

434

Аналогично определяется регрессия ξ на ζ:

xy − x = r∗xy

Sx

Sy

(y − y).

Найдем все эти характеристики с помощью программы на Mathcad. Воизбежание путаницы с переменными в уравнениях регрессии обозначим на-блюдения большими буквами X и Y .

ORIGIN := 1Объем выборки: n := 10Наблюдаемые значения случайных величин:X := ( 1.42 1.83 1.59 1.90 1.64 1.36 1.24 1.60 1.82 1.57 )T

Y := ( 3.12 3.42 2.94 3.63 3.18 2.90 3.71 3.15 3.42 3.33 )T

Найдем выборочные средние: i := 1 . . . n

Mx :=1

n·∑

i

Xi Mx = 1.597 My :=1

n·∑

i

Yi My = 3.28

Найдем выборочные средние квадратические отклонения:

Sx2 :=1

n

∑

i

(Xi −Mx)2 Sy2 :=1

n

∑

i

(Yi −My)2

Sx2 = 0.041 Sy2 = 0.066

Sx :=√Sx2 Sy :=

√Sy2 Sx = 0.203 Sy = 0.257

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

xy :=1

n·∑

i

Xi · Yi R :=xy −MxMy

Sx · Sy R = 0.251

Найдем выборочные уравнения прямых регрессии и построим их гра-фики:

Y x(x) :=R · SySx

· (x−Mx) +My Xy(y) :=R · SxSy

· (y −My) +Mx

-20 -10 0 10 20

5

2.5

0

-2.5

-5

Yx(x)

Xy(y)

Рис. 100.1. Прямые регрессии к практическому за-

данию 100

100

Пра

кт

ика

—О

бра

бот

ка

совокупност

и435

Сам

ост

оятел

ьная

работа

Втаблице

100.1приведены

исходные

данные

длятридцати

вариантов.Т

ребуетсянайти

оценкиосновны

хчисловы

ххарактеристик:

матем

атиче-ских

ожиданий,

дисперсий,коэф

фициента

корреляциии

эмпирические

ли-нии

регрессииζ

наξ

иξ

наζ.

Таблица 100.1N xi, yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 xi 1,42 1,83 1,59 1,90 1,64 1,36 1,24 1,60 1,82 1,57yi 3,12 3,42 2,94 3,63 3,18 2,90 3,71 3,15 3,42 3,33

2 xi 6,21 5,18 4,13 3,52 3,02 2,64 2,03 1,28 1,93 0,44yi 6,42 7,77 6,18 5,43 5,67 4,64 3,91 2,13 1,43 0,35

3 xi 6,13 5,22 4,45 3,43 3,18 2,73 2,08 1,36 0,92 0,37yi 0,12 3,42 5,12 6,16 8,33 7,34 9,93 10,24 12,30 13,46

4 xi 1,80 1,64 1,90 1,84 1,80 1,82 1,68 1,85 1,82 1,62yi 72 74 83 79 90 83 74 85 79 63

5 xi 1,00 1,08 1,22 1,34 1,39 1,48 1,62 1,73 1,82 1,90yi 2,01 2,53 2,91 3,67 3,96 4,44 4,87 5,61 6,08 6,71

6 xi -2,00 -1,70 -1,57 -1,32 -1,08 -0,92 -0,63 -0,31 -0,10 0,12yi 12,41 10,17 9,01 6,14 3,77 1,81 -0,18 -1,88 -3,02 -4,11

7 xi 5,16 6,38 7,77 8,34 9,03 10,83 12,44 15,20 18,32 25,12yi 31,72 25,43 26,48 28,13 20,74 18,49 12,30 8,83 10,55 7,18

8 xi 1,02 1,27 1,41 1,58 1,83 1,99 2,22 2,44 2,59 2,83yi 5,04 5,47 4,48 4,82 4,36 3,74 2,41 2,64 1,93 1,36

9 xi 3,18 3,42 3,81 4,18 6,10 6,53 10,12 12,30 18,53 20,00yi 2,39 4,03 4,16 5,63 4,83 5,78 8,34 9,41 12,18 14,36

10 xi 0,25 0,32 0,40 0,48 0,74 0,92 1,12 1,44 1,62 2,10yi 3,12 2,42 2,22 1,08 2,57 2,98 3,32 2,64 1,42 3,78

436

Таблица 100.1N xi, yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 xi 1,34 1,79 1,63 1,88 1,66 1,38 1,36 1,63 1,84 1,60yi 2,99 3,33 2,90 3,60 3,21 2,50 3,83 3,16 3,52 3,41

12 xi 5,43 5,32 4,00 3,96 3,18 2,73 2,13 1,36 0,82 0,40yi 6,18 7,24 6,22 5,42 6,03 4,54 4,44 2,10 1,40 0,30

13 xi 6,43 5,18 4,23 3,45 3,12 2,84 2,11 1,48 0,93 0,27yi 0,83 2,13 5,48 6,18 10,32 8,36 9,90 11,43 12,75 15,28

14 xi 0,83 0,94 0,93 0,90 0,60 0,73 0,82 0,88 1,00 0,87yi 4,21 4,48 2,12 4,30 4,83 3,53 4,13 4,00 5,00 3,12

15 xi 21,2 26,0 28,3 31,0 35,2 36,3 38,2 40,8 42,3 44,5yi 63,0 68,3 70,1 69,3 70,14 72,0 75,4 80,3 85,1 90,3

16 xi 2,13 4,18 7,33 10,48 11,18 14,73 15,32 17,32 19,60 22,40yi 3,06 7,23 10,45 7,68 17,88 20,30 25,08 27,12 25,93 31,35

17 xi 0,24 0,38 0,45 0,56 0,60 0,63 0,68 0,72 0,74 0,75yi 2,63 2,41 2,10 1,90 1,77 1,78 1,60 1,49 1,52 1,40

18 xi 1,02 2,10 2,92 4,08 4,98 6,00 7,14 8,22 9,09 9,90yi 2,12 3,37 4,23 4,25 6,18 7,16 8,20 8,02 10,13 11,43

19 xi 1,43 3,01 3,30 3,41 4,20 5,02 5,89 6,14 7,22 1,90yi 2,57 1,79 2,64 3,85 2,36 3,60 3,58 4,55 4,63 4,57

20 xi 1,50 1,62 2,78 3,10 4,05 4,15 4,63 5,35 5,90 6,88yi 4,74 3,51 2,87 2,95 2,90 2,60 0,96 2,88 0,63 0,75

100

Пра

кт

ика

—О

бра

бот

ка

совокупност

и437

Таблица 100.1N xi, yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

21 xi 0,97 1,83 2,23 3,10 2,63 4,80 5,20 5,89 6,02 7,00yi 2,03 2,00 3,17 2,75 4,55 3,41 4,96 2,94 4,80 6,50

22 xi 0,90 1,32 2,09 2,42 3,20 3,86 4,17 5,50 0,75 8,08yi 6,13 4,30 5,21 3,00 4,34 3,16 2,10 2,92 1,85 1,82

23 xi 11,00 11,22 23,64 24,73 32,75 38,10 44,03 48,11 53,46 56,19yi 1,12 2,43 1,48 3,81 3,92 5,93 4,50 6,20 7,56 6,23

24 xi 9,21 11,80 21,13 22,48 24,50 34,49 33,18 44,12 53,17 57,18yi 8,53 2,64 7,50 6,08 4,42 4,10 6,25 3,06 4,36 2,54

25 xi 44,50 53,71 57,16 61,00 62,37 77,30 78,18 82,11 91,73 98,10yi 3,26 4,18 2,41 7,18 4,36 7,15 4,67 8,36 6,15 6,08

26 xi 13,43 20,08 27,19 29,36 37,10 39,12 40,08 44,38 50,76 60,00yi 7,54 5,46 7,05 5,63 7,64 5,46 3,75 4,52 4,83 3,92

27 xi 1,23 2,17 3,03 4,23 4,55 5,60 7,23 5,98 9,13 6,81yi 3,58 2,11 4,67 6,18 4,03 7,83 4,96 8,54 8,77 6,65

28 xi 0,103 0,235 0,243 0,330 0,405 0,483 0,475 0,550 0,610 0,863yi 1,67 1,08 2,85 4,87 2,77 4,06 5,83 3,48 5,43 6,96

29 xi 1,02 1,25 3,27 3,68 5,02 5,12 6,18 6,53 7,73 7,95yi 6,16 4,30 5,42 3,85 2,66 4,53 3,17 0,82 1,85 3,83

30 xi 0,10 1,26 2,44 2,95 4,62 5,36 6,08 0,50 7,00 8,63yi 1,05 3,08 1,73 3,86 3,95 6,12 5,55 6,88 5,25 6,94

438

101. ЛЕКЦИЯ — Дисперсионный анализ

Общая постановка задачи. Сравнение двух дисперсий. Однофактор-ный дисперсионный анализ

101.1. Общая постановка задачиПусть случайные величины ξ1, . . . , ξk имеют нормальное распределение

с одинаковой дисперсией. Математические ожидания и дисперсия случай-ных величин неизвестны. Имеются наблюдения над каждой из этих слу-чайных величин. Требуется при заданном уровне значимости проверитьнулевую гипотезу H0 : M(ξ1) = . . . = M(ξk) о равенстве всех математи-ческих ожиданий при альтернативной гипотезе H1 о том, что не все этиматематические ожидания равны.

Другими словами, требуется установить, значимо ли отличаются выбо-рочные средние. Следует сразу отвергнуть как неэффективную идею по-парного сравнения математических ожиданий с помощью критерия, изло-женного в лекции 99 (п. 99.4), т.к. с возрастанием числа k сравниваемыхсредних возрастает и наибольшее различие между ними (накапливаетсяошибка). Поэтому для проверки нулевой гипотезы используют метод, осно-ваный на сравнении дисперсий, что и объясняет его название.

На практике дисперсионный анализ применяют при проверке несколь-ких выборок на однородность: если все выборки имеют одинаковое нор-мальное распределение с одинаковой дисперсией и будет установлено ра-венство их математических ожиданий, все их можно считать наблюденияминад одной случайной величиной и объединить.

Другая область применения дисперсионного анализа — проверка значи-мости влияния некоторого фактора на наблюдаемую случайную величинуξ. Пусть некоторый фактор F (например — название изучаемого студен-тами предмета) имеет k уровней F1, F2, . . . , Fk (студенты изучают k пред-метов). Случайная величина ξ (успеваемость студентов) наблюдается прикаждом значении фактора F (имеются данные успеваемости студентов покаждому предмету). На основании этих данных требуется установить, зна-чимо ли влияет фактор F на среднее значение случайной величины ξ илиразница наблюдений обусловлена случайными колебаниями (одинакова лиуспеваемость по различным предметам). Если установлено, что влияниефактора существенно, дальнейшее исследование может проводиться в на-правлении выявления наиболее влияющего уровня фактора F путем по-парного сравнения выборок, как описано в п. 99.3 (выявление предмета ссамой низкой успеваемостью).

101 Лекция — Дисперсионный анализ 439

В изложенной постановке задача называется однофакторным дисперси-онным анализом.

Иногда приходится исследовать влияние нескольких факторов на слу-чайную величину — многофакторный дисперсионный анализ. Например —влияние предмета, преподавателя и года набора студентов на успеваемость.

Прежде чем перейти к изложению однофакторного дисперсионного ана-лиза, рассмотрим еще один критерий проверки статистической гипотезы —критерий Фишера.

101.2. Сравнение двух дисперсий (критерийФишера)

Пусть по независимым выборкам объемов n1 и n2 из нормальных сово-купностей найдены исправленные выборочные дисперсии S∗2

1 и S∗2

2 , причемS∗2

1 обозначена большая из них. Требуется при заданном уровне значимостиα проверить нулевую гипотезу H0 о равенстве теоретических дисперсий:

H0 : σ21 = σ2

2.

Заметим, что в силу несмещенности оценок S∗2

1 и S∗2

2 нулевую гипотезуможно записать и так:

H0 : M(S∗2

1 ) = M(S∗2

2 ).

В качестве критерия проверки гипотезы примем отношение большейисправленной дисперсии к меньшей:

F =S∗2

1

S∗2

2

.

Известно, что при условии справедливости нулевой гипотезы, величина Fимеет распределение Фишера–Снедекора (см. п. 94.4) со степенями свободыk1 = n1 − 1, k2 = n2 − 1. Решающее правило зависит от конкурирующейгипотезы.

• H0 : σ21 = σ2

2, H1 : σ21 > σ2

2.В этом случае строят правостороннюю критическую область, ис-ходя из того, что при справедливости H0 (σ2

1 = σ22) вероятность

больших значений F мала: P{F > t2(α; k1; k2)} = α. Критическуюточку t2(α; k1; k2) находят по таблице критических точек распре-деления Фишера–Снедекора (приложение 5) или, например, с по-мощью обратной функции F–распределения среди статистическихфункций Excel. Если Fнабл > t2(α; k1; k2), гипотезу H0 отвергают суровнем значимости α.

440

• H0 : σ21 = σ2

2, H2 : σ21 6= σ2

2.В этом случае строят двустороннюю критическую область так, что-бы вероятности попадания в левую и правую половину были быравны α/2:

P{F < t1

(α/2; k1; k2

)}= P

{F > t2

(α/2; k1; k2

)}=α

2.

Критическую точку t2(α/2; k1; k2) находят по таблице приложения5 или с помощью ЭВМ. ЕслиFнабл > t2(α/2; k1; k2), гипотезу H0 отвергают с уровнем значимо-сти α.

• H0 : σ21 = σ2

2, H3 : σ21 < σ2

2.Поскольку S∗2

1 > S∗2

2 , без дополнительного исследования ясно, чтопри конкурирующей гипотезе H3 гипотеза H0 предпочтительнее.Этот случай очевиден.

Пример 101.1. По двум независимым выборкам из нормальных гене-ральных совокупностей, объемы которых равны n1 = 12 и n2 = 15, найденыисправленные выборочные дисперсии S∗2

1 = 10, S∗2

2 = 5, 5. С уровнем зна-чимости α = 0, 05 проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсийH0 : σ2

1 = σ22 при конкурирующей гипотезе H1 : σ2

1 > σ22.

Р е ш е н и е: В данном примере k1 = 12 − 1 = 11, k2 = 15 − 1 = 14,

Fнабл =S∗2

1

S∗2

2

= 1, 82. Выбираем среди статистических функций Excel обрат-

ное F–распределение и находим t2(0, 05; 11; 14) = 2, 56. Так как Fнабл << t2(α; k1; k2), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстведисперсий.

Вернемся теперь к задаче дисперсионного анализа.

101.3. Однофакторный дисперсионный анализПусть имеется n наблюдений xij (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k) над каждой

из k нормальных случайных величин ξ1, . . . , ξk, с одинаковой дисперсией,соответствующих k уровням F1, . . . , Fk фактора F (см. табл. 101.3). Тре-буется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу оравенстве всех математических ожиданий: H0 : M(ξ1) = . . . = M(ξk) приальтернативной гипотезе H1 о том, что не все из них равны.


таблица 101.1

Данные однофакторного дисперсионного анализаномер на-блюдения

F1 F2 Fk

1 x11 x12 . . . x1k

2 x21 x22 . . . x2k...

......

. . ....

n xn1 xn2 . . . xnk

групповыесредние

xгр1xгр2

. . . xгрk

Определим выборочные средние xгрjдля каждого столбца наблюдений

(j = 1, . . . , k) и x — выборочную среднюю всех наблюдений:

(101.1) xгрj=

n∑i=1

xij

n; x =

k∑j=1

n∑i=1

xij

kn.

Найдем суммы квадратов отклонений. Общая сумма квадратов откло-нений наблюдений xij от общей средней определяется формулой:

(101.2)∑

общ=

k∑

j=1

n∑

i=1

(xij − x)2.

Факторная сумма квадратов двух отклонений групповых средних xгрj

от общей средней x определяется формулой:

(101.3)∑

факт= n

k∑

j=1

(xгрj− x)2.

Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдений xij от групповыхсредних xгрj

определяется формулой:

(101.4)∑

ост=

k∑

j=1

n∑

i=1

(xij − xгрj)2.

Можно доказать, что:

(101.5)∑

общ=∑

факт+∑

ост.

Примем это без доказательства.Убедимся, что

∑факт характеризует влияние фактора F . Действитель-

но, если фактор существенно влияет на ξ1, . . . , ξk, то групповые средние

442

xгрjзначительно отличаются друг от друга и они тем сильнее разбросаны

вокруг общей средней x, чем существеннее влияние фактора F .Заметим, что

∑общ характеризует разброс всех наблюдений вокруг об-

щей средней, определяемый как воздействием фактора F , так и случайны-ми причинами.

В силу равенства (101.5) можно сделать вывод, что∑

ост характеризу-ет влияние случайных причин на величины ξ1, . . . , ξk. Действительно, т.к.∑

факт зависит от влияния фактора, а∑

общ определяется и влиянием фак-тора, и случайными причинами, на долю

∑ост остается разброс, вызванный

случайными причинами.Разделив суммы квадратов отклонений (101.2)— (101.4) на соответству-

ющее число степеней свободы, получим соответствующие дисперсии:

(101.6) S∗2

общ =

∑общ

nk − 1; S∗2

факт =

∑факт

k − 1; S∗2

ост =

∑ост

k(n− 1).

Если нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий H0 :M(ξ1) = . . . = M(ξk) справедлива, то все эти дисперсии являются несме-щенными оценками теоретической дисперсии и отличаются незначительно.Сравнив по критерию Фишера (см. п. 101.2) факторную и остаточную дис-персии, мы проверим тем самым гипотезу H0. Если критерий покажет ра-венство факторной и остаточной дисперсий при конкурирующей гипотезео том, что факторная дисперсия больше, то гипотезу H0 следует принять,в противном случае — отвергнуть.

Итак, получаем следующее решающее правило для решения задачи од-нофакторного анализа с одинаковым числом наблюдений на каждом уровнефактора.

• Если S∗2

факт < S∗2

ост, нет оснований отвергнуть гипотезу H0, т.к. вэтом случае очевидно, что гипотеза о равенстве дисперсий предпо-чтительнее, чем гипотеза о том, что факторная дисперсия большеостаточной.• Если S∗2

факт > S∗2

ост, то вычисляем

(101.7) Fнабл =S∗2

факт

S∗2

ост

,

по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора(приложение 5) или с помощью ЭВМ находим t2(α; k1; k2), где k1 == k − 1; k2 = k(n − 1) и если Fнабл > t2(α; k1; k2), то гипотезу H0

отвергаем с уровнем значимости α. Если Fнабл < t2(α; k1; k2), то нетоснований отвергнуть гипотезу H0 (см. п. 101.2).


Пример 101.2. Для приведенных в табл. 101.3 данных рейтинга сту-дентов по различным предметам проверить гипотезу об одинаковой успе-ваемости по этим предметам. В таблице 101.3 приведены данные успева-емости (рейтинг) студентов по четырем предметам. Следует с уровнемзначимости α = 0, 1 проверить гипотезу о значимом отличии среднегозначения рейтинга по этим предметам.

Tаблица 101.2

Исходные данные примера 101.2

Рейтинг успеваемости по предметам

NФамилиястудента

Матем.анализ

Англ.язык

Линейнаяалгебра

Дискрет.математ.

1 ПОТ 0,05 -2,16 0 -1,842 ЯНИ -1,22 -8,31 0 03 ПОЛ -1,74 -7,16 -1 -1,584 СЕМ -1,97 -6,58 -1 3,115 ЕГО -1,92 -7,16 -1 -1,696 КОР -2,76 -6,42 -0,58 0,427 МОГ -1,17 -8,16 -1 -1,698 ГЛА -0,01 -8,42 0 0,849 ЕДА -81,9 -10,3 -1 -1,1110 ЛЕО -81,2 -8,89 -1 0,5811 АБР -81,8 -7,16 -2 0,5812 ЕЛК -82,2 -2,42 0 -1,1613 ВДО -82,1 -1,74 -0,58 -2,4214 РЯБ -82,0 -4,26 0 -1,1615 ШИТ -82,4 -7,74 -1 -1,5816 ЗЕЛ -83,5 -4,84 -3 -3,2617 КОП -84,9 -8,89 -2,16 -1,2618 ИВА -83,6 -8,89 -1,58 -2,5319 БЯК 4,50 -11,0 0 -3,6920 АНТ -81,6 -6,84 -1,58 -3,69

xгрj-45,672 -6,867 -0,924 -1,1565

Общая S∗2

общ, факторная S∗2

факт и остаточная S∗2

ост дисперсии находитсяпо формулам (101.6). Здесь n = 20, k = 4, x = −13, 655.

444

Получаем следующие значения:∑

общ= 61138, 08, S∗2

общ = 733, 8998,∑

факт= 27789, 12, S∗2

факт = 9263, 041,∑

ост= 33348, 96, S∗2

ост = 438, 8021.

Проверка:∑

общ=∑

факт+∑

ост= 27789, 12 + 33348, 96 = 61138, 08.

Проверим по критерию Фишера нулевую гипотезу о равенстве фактор-ной и остаточной дисперсий, для чего найдем наблюдаемое значение кри-терия:

Fнабл =S∗2

факт

S∗2

ост

=9263, 04

438, 80= 21, 11.

Учитывая, что число степеней свободы факторной дисперсии равно k1 == k− 1 = 3, число степеней свободы остаточной дисперсии k2 = k(n− 1) == 76, по уровню значимости α = 0, 01 и числам степеней свободы находимс помощью обратного F—распределения (статистические функции Excel)критическую точку Fкр распределения Фишера–Снедекора:

Fкр(0, 1; 3; 76) = 2, 105.

Так как Fнабл > Fкр, то нулевую гипотезу о равенстве математическихожиданий рейтинга по данным предметам отвергаем с уровнем значимостиα = 0, 1. То есть групповые средние (успеваемость) в целом различаютсязначимо.

101. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Проверка статистических гипотез

Пример 101.1. По выборке объема n = 20, извлеченной из двумернойнормальной генеральной совокупности (ξ, ζ), найден выборочный коэффи-циент корреляции r∗xy = 0, 15. Требуется при уровне значимости 0,05 про-верить нулевую гипотезу H0: rξζ=0 о равенстве нулю теоретического ко-эффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H1 : rξζ 6= 0.

Р е ш е н и е: Найдем наблюдаемое значение критерия по формуле(99.1):

Tнабл = 0, 15 ·√

20− 2√1− 0, 152

≈ 0, 64.

101 Практика — Проверка статистических гипотез 445

Так как конкурирующая гипотеза H1 : r∗xy 6= 0, то поэтому критиче-ская область двусторонняя. По таблице критических точек распределенияСтьюдента при уровне значимости α = 0, 05 и числу степеней свободыk = 20− 2 = 18 находим tкр(0, 05; 18) = 2, 10.

Так как Tнабл < Tкр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу оравенстве нулю теоретического коэффициента корреляции. Это означает,что выборочный коэффициент корреляции незначимо отличается от нуля,т.е. ξ и ζ некоррелированы.

Пример 101.2. По двум независимым выборкам, объемы которых n =60 и m = 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей,найдены выборочные средние x = 25 и y = 23. Соответствующие гене-ральные дисперсии σ2

1 = 5, σ22 = 4. Требуется при уровне значимости 0,01

проверить нулевую гипотезу H0 : M(ξ) = M(ζ) при конкурирующей гипо-тезе H1 : M(ξ) 6= M(ζ).


Zнабл =25− 23√

5/60 + 4/50≈ 4, 95.

Так как конкурирующая гипотеза M(ξ) 6= M(ζ), то критическая областьдвусторонняя. Согласно (99.3), правую критическую точку найдем из ра-венства:

Φ(Zкр) = (1− α)/2 = (1− 0, 01)/2 = 0, 495.

По таблице функции Лапласа находим Zкр = 2, 58. Так как |Zнабл| > Zкр,то нулевую гипотезу отвергаем. Это означает, что выборочные средние от-личаются значимо.

Пример 101.3. Из нормальной генеральной совокупности с известнойдисперсией σ2 = 16 извлечена выборка объема n = 80, и по ней найдена вы-борочная средняя x = 13, 12. Требуется при уровне значимости 0,05 про-верить нулевую гипотезу H0 : a = a0 = 12 при конкурирующей гипотезеH1 : a 6= 12.


Uнабл =13, 12− 12

4·√

80 ≈ 2, 50.

Так как конкурирующая гипотеза a 6= a0, то критическая область двусто-ронняя. Критическую точку найдем из равенства:

Φ(Zкр) = (1− α)/2 = (1− 0, 05)/2 = 0, 475.

446

По таблице функции Лапласа находим Zкр = 1, 96. Так как Uнабл > Zкр, тонулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная и гипотетиче-ская генеральные средние различаются значимо.

Пример 101.4. Партия изделий принимается, если вероятность того,что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайноотобранных 500 изделий оказалось 20 бракованных. Будет ли эта партияпринята?

Р е ш е н и е: Нулевая гипотеза H0 : p = p0 = 0, 03, а относительнаячастота брака m/n = 20/500 = 0, 04. Примем в качестве конкурирующейгипотезы H1 : p > 0, 03 и уровень значимости α = 0, 05. С учетом того,что q0 = 1 − p0 = 0, 97, по формуле (99.8) найдем наблюдаемое значениекритерия:

Uнабл =(0, 04− 0, 03) ·

√500√

0, 03 · 0, 97≈ 1, 31.

Так как конкурирующая гипотеза состоит в том, что p > p0, то крити-ческая область правосторонняя. Критическую точку найдем из равенства:

Φ(uкр) = (1− 2α)/2 = (1− 2 · 0, 05)/2 = 0, 45.

По таблице функции Лапласа находим uкр = 1, 645. Так как Uнабл < uкр, тонет оснований отвергнуть гипотезу о том, что вероятность брака в партиине превышает 0,03. Следовательно, партия может быть принята.

Пример 101.5. Произведено n = 100 измерений некоторой случайнойвеличины. Вся совокупность элементов выборки разбита на интервалы.В итоге имеется следующий статистический ряд.

N интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9интервалы 69,2 69,8 70,4 71,0 71,6 72,2 72,8 73,4 74,0

69,8 70,4 71,0 71,6 72,2 72,8 73,4 74,0 74,6частоты mj 1 4 11 21 27 22 10 3 1

Найти закон распределения данной случайной величины ξ.

Р е ш е н и е: Как видим из таблицы, длина интервала ∆aj = 0, 6.Для выдвижения гипотезы о виде распределения на рис. 101.1 построимгистограмму данного вариационного ряда.

Поскольку распределение симметрично и имеет максимум в середине,то можно выдвинуть нулевую гипотезу H0 о том, что изучаемая величинаподчиняется нормальному закону. Вследствие этого нужно сделать оценкидля каждого из неизвестных параметров нормального распределения.


0

1/3

1/2

h

69,2 71,0 72,8 74,6 x

i

j

1/6

Рис. 101.1. Гистограмма вариационного ряда

Для расчетов возьмем середины интервалов ui = (xj−1 + xj)/2,(j = 1, 2, ..., s), где s - число интервалов. Тогда выборочное среднее и дис-персия определятся по формулам:

x =s∑

i=1

miui/n, S2 =s∑

i=1

miu2i /n− x2.

Исправленная дисперсия S∗2 = nS2/(n − 1). В результате вычислений по-лучим: x = 71, 876, S∗ = 0, 8982.

Вероятность попадания случайной величины ξ в определенный интер-вал (xj−1, xj) можно найти с помощью функции распределения, как этоуказано в лекции, или для нормальной случайной величины по формуле

Pj = P (xj−1 < ξ < xj) = Φ(xj − xS∗ )− Φ(

xj−1 − xS∗ ).

Здесь значения функции Лапласа можно найти по таблицам. Тогда теоре-тические частоты определятся какmj = Pj ·n. В итоге вместо эмпирическихчастот получим следующие приближенные значения теоретических частотm′

i:

N интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9m′

j 0,91 4,01 11,55 21,23 26,23 20,79 10,69 3,55 0,77

448

После этого последовательно находимmi−m′i, (mi−m′

i)2, (mi−mi)

2/m′i, а

затем сумму последних значений. Согласно (15.6), критерий χ2набл = 0, 332.

Учитывая, что здесь количество интервалов s = 9, определяем числостепеней свободы k по формуле (15.7): k = 9 − 1− 2 = 6. Зададимся уров-нем значимости α = 0, 05. Тогда с числом степеней свободы 6 по табли-це критических точек распределения χ2 (приложение 4) находим значениекритерия

χ2кр(α, k) = χ2

кр(0, 05; 6) = 12, 6.

Так как χ2набл < χ2

кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормаль-ном распределении. Другими словами, расхождение эмпирических и теоре-тических частот незначимо. Следовательно, опытные данные согласуются сгипотезой о нормальном распределении изучаемой случайной величины ξ.


Пример 101.6. По выборке объема n = 30 найден выборочный коэффи-циент корреляции r∗xy = 0, 35. При уровне значимости 0,1 проверить ги-потезу о равенстве нулю теоретического коэффициента корреляции приконкурирующей гипотезе rξζ 6= 0.

Пример 101.7. По выборке объема n = 100, извлеченной из двумернойнормальной генеральной совокупности, составлена корреляционная та-блица.

Tаблица 101.1

Исходные данные примера 101.7ζ\ξ 4 6 8 10 125 4 2 - - -10 - 6 7 -15 - - 40 5 -20 - 2 12 14 8

Найти выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости0,1 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю теоретического коэф-фициента корреляции при конкурирующей гипотезе rξζ 6= 0.

Пример 101.8. По выборке объема n = 100 найден средний вес деталейx = 210 г, изготовленных на первом станке; по выборке объема m = 90найден средний вес y = 208 г деталей, изготовленных на втором станке.Генеральные дисперсии известны: σ2

1 = 80, σ22 = 70. Предполагается, что

случайные величины ξ и ζ распределены нормально и выборки независимы.


При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу H0 : M(ξ) = M(ζ) приконкурирующей гипотезе M(ξ) 6= M(ζ).

Таблица 101.2N

вариантаn1 n2 x1 x2 σ2

1 σ22 α

1 13 17 51.4 55.0 4.38 1.29 0.012 12 16 81.66 85.00 29.96 12.97 0.053 11 15 35.40 30.30 9.84 3.90 0.014 10 14 25.65 23.55 2.08 0.98 0.055 9 13 4.40 4.00 0.0295 0.008 0.016 8 12 80.53 82.40 21.34 7.34 0.057 7 11 14.31 12.21 17.82 3.70 0.018 6 10 16.62 13.34 13.32 4.47 0.059 5 9 32.12 30.10 18.92 3.45 0.0110 10 8 7.20 5.15 10.52 3.18 0.0511 13 17 8.81 5.85 11.68 4.62 0.0112 12 16 5.03 6.21 5.22 2.90 0.0513 11 15 4.64 4.02 6.73 2.39 0.0114 10 14 13.33 16.22 8.94 4.52 0.0515 9 13 16.08 13.11 7.35 2.02 0.0116 13 10 28.43 30.50 11.22 2.38 0.0117 12 11 80.34 78.10 24.35 11.71 0.0518 11 12 45.78 40.32 18.43 7.84 0.0519 10 13 25.31 22.84 8.51 3.04 0.0120 9 14 23.46 25.81 12.38 5.87 0.0521 8 15 16.38 18.21 11.64 3.66 0.0122 7 16 17.64 15.32 10.52 4.52 0.0523 6 17 5.32 7.55 4.32 1.38 0.0124 5 8 4.38 4.01 2.35 0.75 0.0525 10 9 19.23 17.34 7.48 1.82 0.0126 13 13 8.32 6.29 4.35 8.25 0.0127 12 14 12.48 10.31 19.38 8.25 0.0128 11 15 23.45 20.81 17.25 8.50 0.0529 10 16 20.44 23.00 13.11 4.54 0.0130 9 17 13.25 11.49 10.12 6.98 0.05

Пример 101.9. В таблице 101.2 даны варианты заданий. Для каждоговарианта приведены две независимые выборки объемами n1 и n2, найде-ны выборочные средние x1, x2 и известны дисперсии σ2

1, σ22. Нужно про-

верить при заданном уровне значимости α равенство математическихожиданий при конкурирующей гипотезе об их неравенстве.

450

Пример 101.10. Задана выборка объема n = 120 из нормальной сово-купности с известным средним квадратическим отклонением σ = 5 ивыборочной средней x = 23, 54. Необходимо при уровне значимости 0,01проверить нулевую гипотезу H0 : a = a0 = 23 при конкурирующей гипо-тезе H1 : a 6= 23.

Пример 101.11. Фирма рассылает рекламные каталоги торговым ор-ганизациям. Вероятность того, что организация, получившая каталог,закажет рекламируемое изделие, равна 0,12. Фирма разослала 400 новыхулучшенных каталогов и получила 60 заказов. Можно ли считать, чтоновые каталоги значимо лучше старых?

Указание. Принять нулевую гипотезу H0 : p = p0 = 0, 12; конкурирую-щую - H1 : p > 0, 12; уровень значимости α = 0, 05.

Пример 101.12. В таблице 101 даны 30 вариантов заданий. По резуль-татам измерений вычислить выборочное среднее и исправленную диспер-сию. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0, 05 про-верить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральнойсовокупности ξ с заданным эмпирическим распределением.

101

Пра

кт

ика

—П

ровер

ка

стат

ист

ическ

их

гипот

ез451

9.18 9.24 9.30 9.36 9.42 9.48 9.54 9.60 9.66 9.70вар.\интер. 9.24 9.30 9.36 9.42 9.48 9.54 9.60 9.66 9.70 9.76

1 5 9 18 40 49 43 26 8 2 02 2 3 8 34 40 38 19 3 2 13 2 5 9 20 24 22 13 4 1 04 4 6 16 68 80 76 38 6 4 25 1 3 10 21 25 23 12 4 1 0

34.5 39.5 42.0 44.5 47.0 49.5 52.0 54.5 57.0 59.5вар.\интер. 39.5 42.0 44.5 47.0 49.5 52.0 54.5 57.0 59.5 62.0

6 4 8 20 43 49 40 24 10 1 17 1 2 3 18 38 40 34 9 3 28 4 6 37 75 80 69 17 6 4 29 1 3 10 21 26 22 11 4 1 110 2 5 9 19 24 21 13 4 2 1

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16вар.\интер. -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20

11 2 8 16 33 53 60 64 30 11 312 4 8 16 30 50 65 60 24 10 313 5 10 20 30 50 75 40 15 10 514 5 10 16 22 80 70 37 14 5 115 4 6 18 66 82 87 32 12 5 1

452

Таблица 101.166.5 69.5 72.5 75.5 78.5 81.5 84.5 87.5 90.5 93.5 96.5 99.5

вар.\интер. 69.5 72.5 75.5 78.5 81.5 84.5 87.5 90.5 93.5 96.5 99.5 102.516 3 6 8 17 39 48 42 19 10 5 2 117 2 8 19 31 49 64 60 53 37 17 7 318 4 12 39 58 74 63 50 42 16 12 8 219 3 4 6 10 16 20 18 13 8 6 5 120 1 4 6 9 18 28 15 10 5 3 1 0

0.21 0.23 0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.35 0.37 0.39 0.41 0.43вар.\интер. 0.23 0.25 0.27 0.29 0.31 0.33 0.035 0.37 0.39 0.41 0.43 0.45

21 3 8 19 37 53 60 64 49 31 17 7 222 6 12 20 39 58 74 63 50 42 16 12 823 1 5 6 8 17 20 18 15 10 9 7 424 2 6 10 12 30 40 32 10 4 2 1 1

4.500 4.504 4.508 4.512 4.516 4.520 4.524 4.528 4.532 4.536 4.540 4.544вар.\интер. 4.504 4.508 4.512 4.516 4.520 4.524 4.528 4.532 4.536 4.540 4.544 4.548

26 1 2 5 10 19 42 48 39 17 8 6 327 1 4 6 10 15 18 28 9 5 3 1 028 3 8 21 35 43 50 44 39 20 9 5 329 0 1 12 30 40 32 12 10 6 2 1 130 1 2 3 10 44 76 78 64 10 6 4 2

102 Лекция — Случайные процессы 453

102. ЛЕКЦИЯ — Случайные процессы

Основные понятия. Математическое ожидание и дисперсия. Корре-ляционная функция. Взаимная корреляционная функция. Комплекс-ные случайные процессы

102.1. Основные понятияОпределение 102.1. Случайной функцией ξ(t) называют случайную

величину, зависящую от неслучайного параметра t. Если параметр t ин-терпретируется как время, случайная функция называется случайнымпроцессом.

Мы, в основном, будем иметь дело со случайными процессами, однаковсе изложенное справедливо для любых случайных функций.

Пример 102.1. ξ(t) = ζ ·sin t, где t > 0, ζ ∼ N(2; 1) случайная величина,имеющая нормальное распределение, является случайным процессом.

Определение 102.2. Сечением случайного процесса называют случай-ную величину, получающуюся при фиксированном значении параметра t.Реализацией (траекторией) случайного процесса называют неслучайнуюфункцию аргумента t, получающуюся в результате наблюдения (испы-тания) над случайным процессом в течение длительного времени.

Если на практике наблюдают случайный процесс (например, записы-вают его график с помощью самописца), то в действительности получа-ют одну из возможных его реализаций. При повторении опыта будет на-блюдаться другая реализация. Реализацию процесса ξ(t) будем обозначатьстрочными латинскими буквами: x(t).

Если в примере 102.1 фиксировать момент времени t = 1, получимсечение ξ(1) = ζ · sin 1. Если в примере 102.1 случайная величина ζ впервом испытании приняла значение 2, а во втором −3, то получим двереализации: x1(t) = 2 sin t; x2(t) = 3 sin t.

Заметим, что сечение является случайной величиной, реализация —неслучайной функцией.

102.2. Математическое ожидание и дисперсияОпределение 102.3. Математическим ожиданием случайного про-

цесса называют неслучайную функцию m(t), которая при каждом t равнаматематическому ожиданию соответствующего сечения:

mξ(t) = M

(ξ(t)

).

454

Геометрически m(t) является кривой, занимающей “среднее положение”среди всех реализаций случайного процесса. Если ξ(t) — случайный про-цесс, а f(t) — неслучайная функция, то m(t) обладает следующими оче-видными свойствами (докажите их самостоятельно на основании свойствматематического ожидания):

(1) M(f(t)

)= f(t),

(2) M(f(t) · ξ(t)

)= f(t) ·M

(ξ(t)

),

(3) M(ξ1(t)± ξ2(t)

)= M

(ξ1(t)

)±M

(ξ2(t)

).

Определение 102.4. Дисперсией случайного процесса называют неслу-чайную функцию σ2(t), которая при каждом t равна дисперсии соответ-ствующего сечения:

σ2ξ(t) = D

(ξ(t)

).

Дисперсия характеризует степень рассеяния реализаций случайногопроцесса вокруг его математического ожидания.

Наряду с дисперсией рассматривается также среднее квадратическое

отклонение случайного процесса: σξ(t) =

√D(ξ(t)

).

Очевидны свойства дисперсии σ2ξ(t):

(1) σ2ξ(t) > 0,

(2) D(f(t)

)= 0,

(3) D(f(t) · ξ(t)

)= f 2(t) ·D

(ξ(t)

),

(4) D(ξ(t)± f(t)

)= D

(ξ(t)

).

102.3. Корреляционная функцияДля определения связи между различными сечениями случайного про-

цесса используется корреляционная функция.

Определение 102.5. Корреляционной функцией случайного процессаназывают неслучайную функцию двух аргументов Kξ(t1; t2), равную кор-реляционному моменту сечений ξ(t1) и ξ(t2):

Kξ(t1; t2) = M((ξ(t1)−m(t1)

)·(ξ(t2)−m(t2)

)).

Если ввести понятие центрированного случайного процесса

(102.1) ξ◦

(t) = ξ(t)−m(t),

то определение 102.5 запишется короче:

Kξ(t1; t2) = M(ξ◦

(t1) · ξ◦

(t2)).


Пример 102.2. Для случайного процесса из примера 102.1 найтиmξ(t),

σ2ξ(t), Kξ(t1; t2).

Р е ш е н и е: Пользуясь свойствами математического ожидания и дис-персии, поскольку ζ ∼ N(2; 1), получаем:

mξ(t) = M

(ξ(t)

)= M(ζ · sin t) = M(ζ) · sin t = 2 sin t,

σ2ξ(t) = D

(ξ(t)

)= D(ζ · sin t) = D(ζ) · sin2 t = sin2 t,

Kξ(t1; t2) = M((ζ · sin t1 − 2 sin t2) · (ζ · sin t2 − 2 sin t2)

)=

= M((ζ − 2)2 sin t1 sin t2

)= D(ζ) sin t1 sin t2 = sin t1 sin t2.

Ответ: mξ(t) = 2 sin t; σ2

ξ(t) = sin2 t; Kξ(t1; t2) = sin t1 · sin t2.

Перечислим свойства корреляционной функции случайного процесса.(1) Kξ(t1; t2) = Kξ(t2; t1) (см. определение 102.5),(2) Kξ(t; t) = σ2

ξ(t) (см. определение 102.5),

(3) |Kξ(t1; t2)| 6 σξ(t1) · σξ

(t2) (см. теорему 96.3).Еще два свойства корреляционной функции будут приведены в п. 102.4.Наряду с корреляционной функцией случайного процесса рассматрива-

ется нормированная корреляционная функция:

(102.2) ρξ(t1; t2) =

Kξ(t1; t2)

σξ(t1) · σξ

(t2).

Свойства нормированной корреляционной функции аналогичны свой-ствам коэффициента корреляции (см. п. 96.1):

(1) ρξ(t1; t2) = ρ

ξ(t2; t1),

(2) ρξ(t; t) = 1,

(3) |ρξ(t1; t2)| 6 1.

102.4. Взаимная корреляционная функцияОпределение 102.6. Взаимной корреляционной функцией двух слу-

чайных процессов ξ(t) и ζ(t) называется неслучайная функция двух аргу-ментов Rξζ(t1; t2), равная корреляционному моменту сечений ξ(t1) и ζ(t2):

Rξζ(t1; t2) = M(ξ◦

(t1) · ζ◦

(t2)).

Два случайных процесса ξ(t) и ζ(t) называют некоррелированными, еслиRξζ(t1; t2) ≡ 0 для ∀ t1, t2.

Свойства Rξζ(t1; t2) непосредственно вытекают из определения 102.6 исвойств корреляционного момента (см. лекцию 96):

(1) Rξζ(t1; t2) = Rζξ(t2; t1),(2) |Rξζ(t1; t2)| 6 σ

ξ(t1) · σζ

(t2),

456

(3) Rξξ(t1; t2) = Kξ(t1; t2).Добавим к перечисленным в п. 102.3 свойствам корреляционнойфункции Kξ(t1; t2) еще два:

(4) Если ξ(t) = ξ1(t) + ξ2(t), то

Kξ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) +Rξ1ξ2(t1; t2) + Rξ2ξ1(t1; t2).


Kξ(t1; t2) = M(ξ◦

(t1) · ξ◦

(t2))

= M((ξ◦

1(t1) + ξ◦

2(t1))·(ξ◦

1(t2) + ξ◦

2(t2)))

=

= M(ξ◦

1(t1) · ξ◦

1(t2))

+M(ξ◦

2(t1) · ξ◦

2(t2))

+M(ξ◦

1(t1) · ξ◦

2(t2))

+M(ξ◦

2(t1) · ξ◦

1(t2))

=

= Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) + Rξ1ξ2(t1; t2) +Rξ2ξ1(t1; t2).

(5) Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случай-ных процессов равна сумме их корреляционных функций:

Kξ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2).

Это свойство является непосредственным следствием предыдуще-го, т.к. для некоррелированных процессов ξ1(t) и ξ2(t)Rξ1ξ2(t1; t2) ≡≡ 0, Rξ2ξ1(t1; t2) = Rξ1ξ2(t2; t1) ≡ 0 при ∀ t1; t2.

102.5. Комплексные случайные процессыОпределение 102.7. Комплексной случайной величиной называют

ζ == ξ1 + ξ2i, где ξ1 и ξ2 — действительные случайные величины, i — мни-мая единица. Комплексным случайным процессом называют комплекснуюслучайную величину ζ(t) такую, что:

(102.3) ζ(t) = ξ1(t) + ξ2(t)i,

где ξ1(t) и ξ2(t) — действительные случайные процессы, i — мнимая еди-ница (i2 = −1).

Определим числовые характеристики комплексного случайного процес-са так, чтобы сохранялись их основные свойства, которые мы изучали длядействительных случайных процессов.

Определение 102.8. Математическим ожиданием комплексного слу-чайного процесса ζ(t) = ξ1 + ξ2(t)i называется неслучайная комплекснаяфункция:

mξ(t) = M

(ξ1(t)

)+M

(ξ2(t)

)i.

Заметим, что при ξ2(t) ≡ 0 получаем математическое ожидание действи-тельного случайного процесса ξ1(t), введенное в п. 102.2. Самостоятельно


докажите, что все свойства математического ожидания, перечисленные вп. 102.2, остаются справедливыми для комплексного случайного процесса.

Определение 102.9. Дисперсией комплексного случайного процесса(102.3) называют математическое ожидание квадрата модуля центри-

рованного процесса ζ◦

(t) = ξ(t)−mξ(t):

σ2ζ(t) = M

(|ζ◦

(t)|2).

Заметим, что при ζ2(t) ≡ 0 получается дисперсия действительного слу-чайного процесса, введенная в п. 102.2. Все четыре перечисленные там свой-ства дисперсии остаются справедливыми (докажите это самостоятельно).Кроме того, добавляется пятое:

5. σ2ξ(t) = σ2

ξ1(t) + σ2

ξ2(t).

Действительно, пользуясь определением модуля комплексного числа(|ζ◦

(t)| =√ξ◦21(t) + ξ

◦22(t)), получаем:

σ2ζ

= M(|ζ◦

(t)|2)

= M(ξ◦21(t) + ξ

◦22(t))

=

= M(ξ◦21(t))

+M(ξ◦22(t))

= σ2ξ1

(t) + σ2ξ2

(t).

Другими словами, дисперсия комплексного случайного процесса равна сум-ме дисперсий его действительной и мнимой частей.

Определение 102.10. Корреляционной функцией комплексного слу-чайного процесса (102.3) называют корреляционный момент его сечений

ζ◦

(t1) = ξ1(t1) + ξ2(t1)i и ζ◦(t2) = ξ1(t2)− ξ2(t2)i

Kζ(t1; t2) = M(ζ◦

(t1) · ζ◦(t2)).

Самостоятельно убедитесь в справедливости трех свойств корреляцион-ной функции, перечисленных в п. 102.3. В частности: Kζ(t; t) = M

(ζ◦

(t) ·· ζ◦ (t)

)= M

(|ζ◦

(t)|2)

= σ2ζ(t).

Пользуясь свойствами 4 и 5 корреляционной функции, приведенными вп. 102.4, получаем для комплексного случайного процесса ζ(t):

Kζ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) +(Rξ2ξ1(t1; t2)− Rξ1ξ2(t1; t2)

)i.

Если составляющие ξ1(t) и ξ2(t) некоррелированны, то корреляционнаяфункция комплексного случайного процесса равна сумме корреляционныхфункций составляющих:

Kζ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2).

458

102.6. Стационарный случайный процессОпределение 102.11. Случайный процесс ξ(t) называется стацио-

нарным (стационарным в широком смысле), если его математическоеожидание m

ξ(t) постоянно (не зависит от t), а корреляционная функция

Kξ(t1; t2) зависит только от разности аргументов:

mξ(t) = m, K

ξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1).

Замечание 102.1. В данном курсе будут рассматриваться толькостационарные в широком смысле случайные процессы. В теории вероятно-стей, однако, рассматриваются стационарные в узком смысле случайныепроцессы, все характеристики которых, включая многомерные плотно-сти распределения сечений, зависят не от значений аргументов, а толь-ко от их взаимного расположения. Очевидно, что из стационарности вузком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Из определения 102.11 следует, что корреляционная функция стацио-нарного процесса есть функция одного аргумента:

(102.4) Kξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1) = k

ξ(τ), где τ = t2 − t1.

Перечислим свойства корреляционной функции стационарного случай-ного процесса (ССП):

(1) Корреляционная функция ССП четная:

kξ(−τ) = k

ξ(τ).

Действительно, на основании свойства 1 Kξ(t1; t2) (см. п. 102.3):

kξ(t1; t2) = k

ξ(t2; t1) ⇒ k

ξ(−τ) = k

ξ(t1 − t2) = K

ξ(t2; t1) =

= Kξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1) = k

ξ(τ).

(2) Дисперсия ССП постоянна и равна значению корреляционнойфункции в нуле:

σ2ξ(t) = k

ξ(0) = σ2

ξ.

Действительно, на основании свойства 2 Kξ(t1; t2) (см. п. 102.3):

σ2ξ(t) = K

ξ(t; t) = k

ξ(t− t) = k

ξ(0) = const.

(3) Модуль корреляционной функции не превышает ее значения в ну-ле:

|kξ(τ)| 6 k

ξ(0).


Действительно, на основании свойства 3 Kξ(t1; t2) (п. 102.3):

|Kξ(t1; t2)| 6

√K

ξ(t1; t1) ·Kξ

(t2; t2) ⇒ |kξ(τ)| 6

√k

ξ(0) · k

ξ(0) ⇒

⇒ |kξ(τ)| 6 k

ξ(0) ⇐⇒ |k

ξ(τ)| 6 σ2

ξ.

Нормированная корреляционная функция ССП ρξ(τ) в соответствии с

п. 102.3 получится равной (см. определение 102.3).

ρξ(τ) =

kξ(τ)

kξ(0)

=k

ξ(τ)

σ2ξ

.

Заметим, что |ρξ(τ)| 6 1, ρ

ξ(0) = 1.

102.7. Спектральная плотностьРассмотрим случайный процесс

(102.5) ζ(t) = ξ1 · coswt+ ξ2 sinwt,

где: ξ1 и ξ2 — случайные величины, w — константа, M(ξ1) = M(ξ2) = 0,D(ξ1) = D(ξ2) = σ2, M(ξ

◦

1 · ξ◦

2) = 0.Найдем корреляционную функцию этого случайного процесса, заметив,

что M(ζ(t)

)= M(ξ1) · coswt+M(ξ2) · sinwt = 0 ⇒ ζ(t) = ζ

◦

(t):

Kξ(t1; t2) = M

(ζ◦

(t1) · ζ◦

(t2))

= M(ζ(t1) · ζ(t2)

)=

= M((ξ1 coswt1 + ξ2 sinwt1)(ξ1 coswt2 + ξ2 sinwt2)

)=

= M(ξ21) coswt1 coswt2 +M(ξ2

2) sinwt1 sinwt2 = σ2 · cosw(t2 − t1).Мы доказали, что процесс (102.5) стационарный:

M(ζ(t)

)= 0; K

ξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1).

Рассмотрим теперь случайный процесс

(102.6) ζ(t) =n∑

j=1

(ξ1j coswjt+ ξ2j sinwjt),

где: M(ξ1j) = M(ξ2j) = 0, wj — константы, D(ξ1j) = D(ξ2j) = σ2j , M(ξ

◦

1j ·· ξ2k) = 0, при ∀ j, k, M(ξ

◦

1j · ξ◦

1k) = M(ξ◦

2j · ξ◦

2k) при j 6= k.

Заметив, что M(ζ(t)

)= 0 ⇒ ζ(t) = ζ

◦

(t), слагаемые в (102.6) некорре-лированны, на основании формулы для корреляционной функции процес-са (102.5) и свойства 5 (п. 102.3) получаем:

Kξ(t1; t2) =

n∑

j=1

σ2j coswj(t2 − t1).

460

Таким образом, получили, что процесс (102.6) также стационарный.

Замечание 102.2. Случайный процесс (102.5) можно представить в

виде гармонического колебания со случайной амплитудой A =√ξ21 + ξ2

2,

случайной фазой ϕ = arctg(

ξ1ξ2

)и частотой w:

ζ(t) = ξ1 coswt+ ξ2 sinwt =

=√ξ21 + ξ2

2

( ξ1√ξ21 + ξ2

2

coswt+ξ2√ξ21 + ξ2

2

sinwt+)

=

=√ξ21 + ξ2

2(sinϕ coswt+ cosϕ sinwt) = A sin(wt+ ϕ).

Отсюда заключаем, что случайный процесс (102.6) можно представитьв виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами Aj =√ξ21j + ξ2

2j , случайными фазами ϕj = arctg(

ξ1j

ξ2j

)и частотами wj:

(102.7) ζ(t) =n∑

j=1

Aj sin(wjt+ ϕj).

Мы доказали, что если случайный процесс представим в таком виде, тоон стационарный.

Определение 102.12. Спектральным разложением стационарногослучайного процесса называется его представление в виде (102.7).

Найдем дисперсию одного слагаемого (одной гармоники) разложения(102.7):

D(Aj sin(wjt+ ϕj)

)= D(ξ1j coswjt+ ξ2j sinwjt) =

= D(ξ1j cos2 wjt) +D(ξ2j) sin2 wjt = σ2j (cos2 wjt+ sin2 wjt) = σ2

j .

Дисперсия случайного процесса ζ(t) будет равна их сумме в силу некор-релированности слагаемых:

D(ζ(t)

)=

n∑

j=1

σ2j .

Определение 102.13. Дискретным спектром стационарного случай-ного процесса (102.6) называют совокупность дисперсий σ2

j составляю-щих его гармоник. Такой дискретный спектр называется линейчатымспектром, а ординаты σ2

j — спектральными линиями, соответствующи-ми частотам wj.


2σj

ω ω ω ω ω 1 2 3 4 nω

Рис. 102.1. Линейчатый спектр

Спектр можно изобразить графически (см. рис. 102.1).Рассмотрим теперь спектральное разложение, в котором равноотстоя-

щие частоты и число слагаемых бесконечно:

(102.8) ζ(t) =

∞∑

j=0

(ξ1j coswjt+ ξ2j sinwjt),

где wj = jπ

T, j = 0, 2, . . ., T — положительное число.

В прежних условиях получим: M(ζ(t)

)= 0, K

ζ(t1; t2) =

∞∑j=0

σ2j coswj(t2−

− t1), т.е. случайный процесс (102.8) — стационарный.Обозначив t2 − t1 = τ , получим:

(102.9) kζ(τ) =

∞∑

j=0

σ2j coswjτ, где wj = j

π

T, j = 0, 2, . . .

Рассматривая (102.9) как разложение четной периодической с перио-дом 2π функции k

ζ(τ) в ряд Фурье, получим формулы для коэффициентов

Фурье:

(102.10) σ2j =

2

T

T∫

0

Kζ(τ) coswjτ dτ.

Спектр случайного процесса (102.8) линейчатый с бесконечным чис-лом равноотстоящих спектральных линий . Расстояние между соседнимилиниями по частоте равно ∆w =

π

T.

462

Перейдем теперь к пределу при T → ∞ (∆w → 0) в выражениях(102.9), (102.10). Предварительно вместо σ2

j введем среднюю плотностьдисперсии:

(102.11) Sζ(wj;T ) =

σ2j

∆w, j = 0, 1, . . .

Выразив из (102.11) σ2j = S

ζ(wj;T ) ·∆w = S

ζ(wj;T ) · π

T, подставим ее в

(102.9) и (102.10).Получим:

Kζ(τ) =

∞∑

j=0

Sζ(wj;T ) coswjτ∆w,(102.12)

Sζ(wj;T ) =

2

π

T∫

0

kζ(τ) coswjτ dτ.(102.13)

Определение 102.14. Спектральной плотностью Sζ(wj) стационар-

ного случайного процесса ζ(t), соответствующей частоте wj, называетсяпредел средней плотности дисперсии (102.11), когда ∆w → 0:

Sζ(wj) = lim

∆w→0

σ2j

∆w, j = 0, 1, . . .

Перейдя к пределу при T →∞ (∆w→ 0), из (102.12), (102.13) получимвыражения, связывающие корреляционную функцию k

ζ(τ) и спектральную

плотность Sζ(w):

kζ(τ) =

∞∫

0

Sζ(w) coswτ dw,

Sζ(w) =

2

π

∞∫

0

kζ(τ) coswτ dτ.

Вместо дискретного спектра мы получили непрерывный, в которомкаждой частоте w > 0 соответствует неотрицательная ордината S

ζ(w).

Хотя отрицательные частоты w физического смысла не имеют, дляупрощения математических выкладок иногда целесообразно считать, чточастоты изменяются в интервале (−∞; +∞), и рассматривать спектраль-ное разложение случайного процесса в комплексной форме. Соответству-ющие формулы для спектральной плотности и корреляционной функцииполучаются аналогично. Для этого в спектральном разложении (102.8)


тригонометрические функции выражают через экспоненциальную функ-цию комплексного аргумента по формулам Эйлера:

coswjτ =eiwjτ + e−iwjτ

2; sinwjτ =

eiwjτ − e−iwjτ

2i.

Далее, переходя к пределу при T → ∞ (∆w → 0), получают выражения,связывающие корреляционную функцию k

ζ(τ) и спектральную плотность

S∗ζ(w), определяемую для любого w ∈ (−∞; +∞) формулой:

S∗ζ(w) = S

ζ(|w|)/2.

kζ(τ) =

+∞∫

−∞

S∗ζ(w) eiwτdw,(102.14)

S∗ζ(w) =

1

2π

+∞∫

−∞

kζ(τ) e−iwτdτ.(102.15)

Формулы (102.14), (102.15) (формулы Винера — Хинчина) представ-ляют собой взаимно обратные преобразования Фурье. Их действительнаяформа (102.16), (102.17) — взаимно обратные косинус—преобразованияФурье:

kζ(τ) = 2

∞∫

0

S∗ζ(w) coswτ dw,(102.16)

S∗ζ(w) =

1

π

∞∫

0

kζ(τ) coswτ dτ.(102.17)

Перечислим свойства спектральной плотности S∗ζ(w).

(1) S∗ζ(w) > 0,

(2) S∗ζ(−w) = S∗

ζ(w),

(3) D(ζ(t)

)=

+∞∫−∞

S∗ζ(w) dw = 2

∞∫0

S∗ζ(w) dw.

Свойства 1, 2 вытекают из определения 102.13 и того факта, чтоS∗

ζ(w) = S

ζ(|w|)/2 (докажите самостоятельно). Свойство 3 следует из фор-

мулы (102.16), поскольку D(ζ(t)

)= k

ζ(0) =

+∞∫−∞

S∗ζ(w) dw.

Замечание 102.3. Комплексная форма записи (102.16), (102.17) при-меняется и в тех случаях, когда случайный процесс ζ(t) (а следовательно,

464

его корреляционная функция kζ(τ) и спектральная плотность S

ζ(w)) дей-

ствительный.

Пример 102.3. Найти корреляционную функцию и дисперсию действи-тельного случайного процесса со спектральной плотностью S∗

ζ(w):

S∗ζ(w) =

{S0 при |w| 6 w0,0 при |w| > w0.

Р е ш е н и е: По формуле (102.16) получаем:

kζ(τ) = 2S0

w0∫

0

coswτ dw =2S0 sinw0τ

τ.

Искомая дисперсия находится из свойства 3:

D(ζ(t)

)= 2S0

w0∫

0

dw = 2S0w0.

Пример 102.4. Найти спектральную плотность действительногослучайного процесса с корреляционной функцией k

ζ(τ) = σ2e−α|τ |, α > 0.

Р е ш е н и е: По формуле (102.15) получаем:

Sζ(w) =

σ2

2π

+∞∫

−∞

e−α|τ | · e−iwτdτ =σ2

2π

( 0∫

−∞

e(α−iw)τdτ +

∞∫

0

e−(α+iw)τdτ

)=

=σ2α

π(α2 + w2).

Пример 102.5. Найти спектральную плотность действительногостационарного случайного процесса, корреляционная функция которого ли-нейно убывает по мере удаления от начала координат:

kζ(τ) =

{1− 1

τ0|τ | при |τ | 6 τ0

0 при |τ | > τ0, τ0 > 0.

Р е ш е н и е: По формуле (102.17):

S∗ζ(w) =

1

π

τ0∫

0

(1− τ

τ0

)coswτ dτ =

=

u = 1− τ

τ0du = −dτ

τ0

dv = coswτ dτ v =sinwτ

w

=

1

πτ0w2

(1− coswτ0

).


102.8. Стационарный белый шумОпределение 102.15. Дельта–функцией δ(t) называется предел по-

следовательности функций δε(t):

δ(t) = limε→0

δε(t), где: δε(t) =

{1

2εпри |t| 6 ε,

0 при |t| > ε.

График функции δε(t) изображен на рис. 102.2. Можно доказать, чтоδ(t) обладает следующими свойствами:

(1) δ(t) =

{∞ при t = 0,0 при t 6= 0,

,

(2)

+∞∫

−∞

δ(t− t0)f(t) dt = f(t0) для ∀ t ∈ D(f),

(3)

+∞∫

−∞

δ(t) dt = 1,

(4) δ(t) =1

2π

+∞∫

−∞

eiwtdw.

ε−ε

y

2ε1

t

Рис. 102.2. График функции δε(t)

Определение 102.16. Белым шумом называют стационарный слу-чайный процесс ζ(t), спектральная плотность которого постоянна:S∗

ζ(w) = S0 для w ∈ (−∞; +∞).

466

Найдем корреляционную функцию белого шума по формуле (102.14):

(102.18) kζ(τ) =

+∞∫

−∞

S0eiwτdw = 2πS0δ(τ).

Здесь мы воспользовались свойством 4 дельта-функции.

Определение 102.17. Коэффициент 2πS0 называется интенсивно-стью белого шума.

Формула (102.18) означает в соответствии со свойством 1 дельта-функции некоррелированность любых двух его сечений ζ(t1) и ζ(t2) приt1 6= t2. Белый шум — математическая абстракция, неосуществимая напрактике, т.к. невозможно реализовать случайный процесс, в котором оди-наково были бы представлены все гармоники, а любые два как угодноблизких сечения были бы некоррелированны. На практике довольствуют-ся случайными процессами со спектральной плотностью, рассмотренной впримере 102.3 при больших w0.

102.9. Статистические оценки характеристикслучайного процесса

Пусть над случайным процессом ζ(t) произведено n наблюдений для kсечений (k моментов времени) и в результате получено n · k значений xi(tj)i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k. По этим наблюдениям находятся

• оценки математического ожидания mζ(tj) в k точках:

(102.19) mζ(tj) =

n∑

i=1

xi(tj)

n, j = 1, . . . , k;

• дисперсии S2ζ(tj) в k точках:

S2ζ(tj) =

n∑

i=1

xi(tj)

n −(m

ζ(tj))2

n

n− 1, j = 1, . . . , k

• корреляционной функции kζ(t1j; t2l) в k2 точках:

(102.20)k

ζ(t1j; t2l) =

n∑

i=1

xi(t1j) · xi(t2l)

n − mζ(t1j) · mζ

(t2l)

n

n− 1,

j = 1, . . . , k, l = 1, . . . , k.


После этого строится зависимость mζ(t), S2

ζ(t), K

ζ(t1; t2). При этом, если

нужно, эти функции апроксимируются аналитически.Однако существует класс стационарных случайных процессов, для оцен-

ки характеристик которых достаточно усреднения по времени только однойреализации.

Определение 102.18. Стационарный случайный процесс ζ(t) называ-ется эргодическим, если его характеристики (математическое ожиданиеи корреляционная функция), найденные усреднением множества реализа-ций (102.18), (102.19), совпадают с соответствующими характеристи-ками, полученными усреднением по времени одной реализации x(t), кото-рая наблюдалась на достаточно большом интервале (0;T ).

Достаточным условием эргодичности стационарного случайного про-цесса относительно математического ожидания и корреляционной функ-ции является стремление к нулю его корреляционной функции k

ζ(τ) при

τ →∞: limτ→∞

kζ(τ) = 0.

Для эргодических ССП в качестве оценок его характеристик принимаютусредненное по времени значение:

mζ

=1

T

T∫

0

x(t) dt, kζ(τ) =

1

T − τ

T−τ∫

0

x◦

(t)x◦

(t+ τ) dt,

где x◦

(t) = x(t)− mζ.

На практике интегралы вычисляют приближенно, например по форму-ле прямоугольников. Для этого (0;T ) делят на n одинаковых интерваловдлиной ∆t = T/n каждый и выбирают в каждом из них точку ti, например— середину. В этом случае оценки характеристик такого процесса примутвид:

mζ

=1

n

n∑

i=1

x(ti);(102.21)

kζ(j∆t) =

1

n− j

n−j∑

i=1

x(ti) · x(ti+j)− (mζ)2, j = 0, 1, . . . , n− 1.(102.22)

Оценка (102.21) является несмещенной, оценка (102.22) — асимпто-тически несмещенной. Оценка для дисперсии получится из (102.22) приj = 0. Заметим, что при значениях j близких к n (τ близко к T ) точностьоценки k

ζ(τ) снижается (дисперсия растет, т.к. уменьшается n− j).

468

102. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ —Дисперсионный анализ

Пример 102.1. По двум независимым выборкам n1 = 10 и n2 = 15 изнормальных совокупностей получены s2

1 = 0, 98 и s22 = 0, 56. Определить,

являются ли различия вычислительных параметров существенными илислучайными при уровне значимости 0, 05.

Р е ш е н и е: Найдем

Fнабл =S∗

12

S∗22 =

0, 98

0, 56= 1, 75.

с числами степеней свободы k1 = n1 = 10 − 1 = 9, k2 = n2 − 1 = 15 − 1 == 14. По таблице критических точек распределения F Фишера—Снедекора(приложение 5) по уровню значимости α = 0, 05 и числам степеней свободыFкр = 2, 65.

Так как Fкр < Fнабл, дисперсии практически не отличаются друг отдруга.

Пример 102.2. Произведено по пять испытаний на каждом из че-тырех уровней фактора F (см. таблицы 102). Например, это можетбыть текущая успеваемость пяти студентов по четырем предметам,рассматриваемая по тридцатибальной системе. Методом дисперсионно-го анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о ра-венстве групповых средних xгр j. Предполагается, что выборки извлеченыиз нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результатыиспытаний приведены в таблице.

Таблица 102.1

Уровни фактораN F1 F2 F3 F4

1 21 17 20 162 23 19 24 183 25 20 25 234 26 22 27 255 28 24 28 26xгрj

24,6 20,4 24,8 21,6

Р е ш е н и е: Здесь n = 5, k = 4. Групповые средние в табл. 71.1 былиопределены по первой формуле (101.2). По второй формуле найдем

x = 457/(4 · 5) = 22, 85.

102 Практика — Дисперсионный анализ 469

Согласно (101.2), общая сумма квадратов отклонений∑

общ = 246, 55.По формуле (101.3) найдем факторную сумму квадратов отклонений∑

факт =

= 72, 15, а по (101.4) остаточную сумму∑

ост = 174, 4. Как видим, сло-жение факторной и остаточной сумм приводит к общей сумме. Выражения(101.4) дают возможность определить факторную и остаточную дисперсии:

S∗2факт =

72, 15

4− 1= 24, 05, S∗2

ост =174, 4

4 · (5− 1)= 10, 9.

Наблюдаемое значение критерия Fнабл = 24, 05/10, 9 ≈ 2, 21. Числа степе-ней свободы k1 = k − 1 = 4 − 1 = 3, k2 = k(n − 1) = 4(5 − 1) = 16. Приуровне значимости α = 0, 05 находим критическую точку распределенияФишера-Снедекора (приложение 5)

Fкр(0, 05; 3, 16) = 3, 24.

Поскольку Fнабл < Fкр, то нулевую гипотезу о равенстве групповыхсредних не отвергаем. Это означает, что различие групповых среднихнезначимое.


Пример 102.3. Проведена текущая аттестация студентов по двадца-тибальной системе. Для контроля взят рейтинг десяти студентов попяти предметам. Методом дисперсионного анализа при уровне значимо-сти 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве средней успеваемостипо отдельным предметам. Исходные данные приведены в табл. 102.3

Таблица 102.2Исходные данные примера 102.3

N Философия Ин. язык Математика Химия Черчение1 20 17 20 18 202 19 14 12 14 123 20 17 20 19 144 20 14 12 12 145 17 14 16 14 206 20 14 15 14 147 16 14 16 14 208 20 14 16 17 209 20 14 16 14 2010 20 14 15 17 20xгр 19,2 14,6 15,8 15,3 17,4

470

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1Таблица значений функции φ(x) =

1√2πe−x2/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 0.3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 39730.1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 39180.2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 38250.3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 36970.4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 35380.5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 33520.6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 31440.7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 29200.8 2897 2874 2850 2827 2803 7802 2756 2732 2709 26850.9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1.0 0.2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 22031.1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 19651.2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 17361.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 15181.4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 13151.5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 11271.6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 09571.7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 08041.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 06691.9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2.0 0.0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 04492.1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 03632.2 0355 0347 0339 0332 0325 0217 0310 0303 0297 02902.3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 02292.4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 01802.5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 01392.6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 01072.7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 00812.8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 00612.9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0045

102 Приложение 1 471

Продолжение таблицыприложения 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 93.0 0.0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 00343.1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 00253.2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 00183.3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 00133.4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 00093.5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 00063.6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 00043.7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 00033.8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 00023.9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

472

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции Ф(x) =1√2π

x∫

0

e−z2/2dz

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,33150,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,33400,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,33650,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,33890,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,34130,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,34380,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,34610,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,34850,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,35080,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,35310,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,35540,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,35770,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,35990,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,36210,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,36430,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,36650,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,36860,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,37080,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,37290,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,37490,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,37700,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,37900,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,38100,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,38300,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,38490,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,38690,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,38830,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,39070,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,39250,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,39440,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,32640,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289



x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,49381,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,49411,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,49451,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,49481,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,49511,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,49531,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,49561,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2,64 0,49591,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,49611,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,49631,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,49651,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,49671,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,49691,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,49711,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,49731,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,49741,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,49761,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,49771,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,49791,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,49801,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,49811,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,49821,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,49841,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,49851,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,49861,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,498651,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,499311,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,499661,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,4998411,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,4999281,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,4999681,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,4999971,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997

474


Критические точки распределения Стьюдента

Число Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)степенейсвободы k 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001

1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,02 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,63 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,94 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,615 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,866 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,967 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,408 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,049 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,7810 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,5911 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,4412 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,3213 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,2214 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,1415 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,0716 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,0117 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,9618 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,9219 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,8820 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,8521 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,8222 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,7923 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,7724 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,7425 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,7226 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,7127 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,6928 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,6629 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,6630 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,6540 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,5560 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37∞ 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29



Критические точки распределения χ2

Число Уровень значимости αстепенейсвободы k 0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99

1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,000162 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,0203 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,1154 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,2975 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,5546 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,8727 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,248 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,659 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,0910 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,5611 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,0512 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,5713 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,1114 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,6615 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,2316 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,8117 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,4118 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,0119 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,6320 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,2621 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,9022 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,5423 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,224 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,925 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,526 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,227 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,928 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,629 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,330 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

476

ПР

ИЛ

ОЖ

ЕН

ИЕ

5К

ритические

точки

распределенияF

Фиш

ера

—С

недекора

(k

1 −число

степенейсвободы

большей

дисперсии,k

2 −число

степенейсвободы

меньш

ейдисперсии

)

Уровень значимости α = 0, 01k2\k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4052 4999 5403 5625 5764 5889 5928 5981 6022 6056 6082 61062 98,49 99,01 90,17 99,25 99,33 99,30 99,34 99,36 99,36 99,40 99,41 99,423 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,054 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,54 14,45 14,375 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,45 10,27 10,15 10,05 9,96 9,896 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,727 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 7,00 6,84 6,71 6,62 6,54 6,478 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,19 6,03 5,91 5,82 5,74 5,679 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,62 5,47 5,35 5,26 5,18 5,1110 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,21 5,06 4,95 4,85 4,78 4,7111 9,86 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,88 4,74 4,63 4,54 4,46 4,4012 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,65 4,50 4,39 4,30 4,22 4,1613 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,9614 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,8015 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,6716 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,61 3,5517 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,45

102

Прилож

ение

5477


Уровень значимости α = 0, 05k2\k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 2442 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19,37 19,38 19,39 19,40 19,413 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,744 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,915 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,686 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,007 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,578 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,34 3,31 3,289 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,0710 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,9111 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,7912 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,6913 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,6014 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,5315 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,4816 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,4217 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38

478

Ответы

82.6 Экстремалями являются окружности (x−C1)2 +y2 = C2

2 . 82.7 Ин-теграл не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача не имеетсмысла. 82.8 В классе непрерывных функций экстремум не достигается.82.9 Экстремалями являются гиперболы y = C1

x+ C2.

83.3 y = C1 sin(4x − C2). 83.4 y = −x2

4+ C1x + C2. 83.5 y = C1e

x +

C2e−x +

1

2sinx. 83.6 y = C1e

2x + C2e−2x + C3 cos 2x+ C4 sin 2x.

84.4 y = (C1x + C2) cosx + (C3x + C4) sinx, z = 2y + y′′, откуда легко

найти z. 84.5∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2= 0. 84.6

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0.

85.7ϕ′ − y′1 + y′ϕ′ = 1, т.е. экстремали должны пересекать кривую y1 =

ϕ(x1), по которой скользит граничная точка, под угломπ

4. 85.8 y =

x5

120+

1

24(x2 − x3).

86.12 C = AB C = A + B. 86.13 AC — выбранный шатен являетсяотличником, AB — выбрано два блондина, ABC — выбранные блондин ибрюнет являются отличниками. 86.17 P ∗ = 0, 7. 86.20 P ∗(A) = 0, 7

87.10 P = 1/3. 87.11 P = 0, 2. 87.12 а) P = 1/360; б) P = 1/360.

87.13 а) P = 13/230; б) P = 60/253. 87.14 181

, 12,432

, 1376992

. 87.15C4

51·C11

C552

.

87.16C2

4 ·C1020

C1224

. 87.17 P = 4!64 = 1

54. 87.18 P = 2/7. 87.19 P =

C115·C2

85

C3100

= 3575390

.

87.20C1

4 ·C348

C452

. 87.21C3

15

C325

= 91/460. 87.22 8·7!·3!10!

= 1/15. 87.23C1

4 ·C132

C336

. 87.24C1

1 ·C1979

C2080

= 1/4. 87.25C13

26 ·C1326

C2652≈ 0, 22. 87.26 5!/75 = 120/16807.

88.10 P = 9/13. 88.11 P = 0, 0475. 88.12 а) 0, 1215; б) 0, 966; в) 0, 004.88.13 P = 0, 1136. 88.14 43

52·51·50 ≈ 0, 00048. 88.15 7/42768. 88.16 194/285.88.17 а) 0, 088; б) n 6 132. 88.18 23/95. 88.19 1/64. 88.20 0, 3; 0, 6. 88.21

а) m(m−1)(m+n)(m+n−1)

; б) frac2mn(m+ n)(m+ n− 1). 88.23 P = 1/3. 88.24 P =

1− A50365

36550 ≈ 0, 9724. 88.25 1− Ckn−m

Ckn

.89.8 211/225. 89.9 а) 0, 0517; б) 0, 8980. 89.10 0, 958. 89.11 7/12. 89.12

9/220. 89.13 513/989. 89.14 а) 0, 961; б) 0, 039. 89.15 0, 9474.90.14 P = 5/16. 90.15 P = 0, 0162. 90.16 P = 0, 00013. 90.17 m∗ = 470.

90.18 n = 14. 90.19 P = 0, 07. 90.20 P = 0, 9498. 90.21 а) 0, 6766; б) 0, 8212;в) 0, 1788. 90.22 а) 0, 0837; б) 0, 9598. 90.23 0, 1429. 90.24 6 6 m 6 13.

ответы 479

91.15ξ 6 7 8 9p 1/4 1/4 1/4 1/4

91.16ξ 0 1 2 3p 33/91 44/91 66/455 4/455

91.17ξ 0 1 2 3p 0,4 0,24 0,144 0,216

. 91.18 M(ξ) = 7, 8; D(ξ) = 12, 36; σ(ξ) =

3, 5157. 91.19 p1 = 0, 1; p2 = 0, 5; p3 = 0, 4. 91.20 M(ξ) = 45, 5. 91.21ξ 3 4p 0,1 0,9

.

92.11 F (x) =

0 приx 6 3,0, 3 при 3 < x 6 5,0, 7 при 5 < x 6 6,0, 9 при 6 < x 6 9,1 приx > 9.

. 92.12 P (0 < ξ <√

3) = 1/3. 92.13

P (π/3 <

< ξ < 2π/3) = 13

+√

32π

. 92.14 ϕ(x) =

0 приx 6 0,32Sin(3x) при 0 < x 6 π/3,

0 приx > π3.

. 92.15

α = 1/64, ϕ(x) =

{364x2 приx ∈ (0; 4),

0 приx /∈ (0; 4).P (2 < ξ < 3) = 19/64. 92.16

M(ξ) = π/2, D(ξ) = π2

4− 2. 92.17 σ(ξ) =

√π2

12− 1

2.

93.11ξ 0 1 2 3 4p 0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561

.

93.12ξ 0 1 2 3 4p 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081

M(ξ) = 1, 2, D(ξ) = 0, 84.

93.13ξ 0 1 2 3 4 . . .p 0,0498 0,1494 0,2241 0,2241 0,1681 . . .

. 93.14 M(ξ) = 6,

D(ξ) = 5, 76. 93.15 M(ξ) = 2, D(ξ) = 2. 93.16 P (2 < ξ < 6) = 23. 93.17 а)

P = exp−1/2− exp−3/2 ≈ 0, 1356; б) P = exp−2 ≈ 0, 1353.94.11 а) P = 0, 5; б) P = 1; в) P = 0, 3830. 94.12 а) P = 0, 3085; б)

P = 0, 9470. 94.13 а) P ≈ 0, 0122; б) P ≈ 0274. 94.14 ε = 0, 49 см. 94.15ε = 0, 3830 см. 94.16 −0, 75 < ξ < 1, 40. 94.17 (99, 997; 100, 003).

95.8 ≈ 0, 99954. 95.9 16/595 ≈ 0, 027. 95.10 ≈ 0, 94. 95.11 ≈ 0, 003. 95.12M(ξ) = 0, 295; D(ξ) ≈ 0, 024. 95.13 k = 0, 5; M(ξ) ≈ 1, 33; D(ξ) ≈ 0, 22;σ(ξ) ≈ 0, 47. 95.14 ≈ 0, 4972.

96.11 M(ξ) = 2, 98; M(ζ) = 11, 74. 96.12 P = 1655 = 0, 00512. 96.13

k = 1, F (x, y) = 4xy exp−x2−y2, x > 0, y > 0, P = 1− (1 + R2) exp−R2

. 96.14

480

a = 1π2 , ϕ(x) =

1

π(1 + x2), ϕ(y) = 1

π(1+y2). 96.15 a = 2, (3/4, 5/12). 96.16

F (x, y) = 12[sin x+ sin y − sin(x+ y)], M(ξ) = M(ζ) = π

4. 96.17 ϕ(x, y) =

=

{ 1a2 при |x|+ |y| 6 a√

2,

0 при |x|+ |y| > a√2.

.

97.8 M(ξ) = 0, 515, M(ζ) = 0, 132, rxy = −0, 112. 97.9 rξζ = 0, 669. 97.10

D(ξ) = D(ζ) = π2 − 4, Mξζ = 0. 97.11 σξ = σζ =√π2 + 8π − 32/4, rξζ =

8π−16−π2

π2+8π−32≈ −0, 2454. 97.12 a = 4

√2/π, D(ξ) = D(ζ) = 1

3√

2π, rξζ = 0. 97.13

a = 1π√

14. 97.14 0, 279. 97.15 rξζ = 0, 6. 97.16 P = exp−2− exp−4,5 ≈ 0, 1242.

101.5 tкр = 1, 70, Tнабл = 2, 54. Нулевую гипотезу отвергаем. 101.6r∗xy = 0, 714, tкр = 1, 66, Tнабл = 10, 1. Нулевую гипотезу отвергаем. 101.7zнабл = 1, 59, Zкр = 1, 96. Нулевая гипотеза не отвергается. Средний весдеталей различается незначимо. 101.9 zкр = 2, 58, Uнабл = 1, 18. Нет осно-ваний отвергнуть нулевую гипотезу. 101.10 Uнабл = 1, 85, uкр = 1, 645. Ну-левая гипотеза отвергается. Новая форма рекламы значимо эффективнеепрежней.

Предметный указатель

F–распределение, 436F—Распределение Фишера—Снедекора,

340

Абсолютно гибкая, 103Аппроксимация, 29Асимметрия, 338Биномом Ньютона, 309Бонахово пространство, 185Бумага вероятностная, 422Вариация функционала, 190Векторные линии, 7Векторные трубки, 7Величина случайная, 277Величина случайная дискретная, 278Величина случайная двумерная, 345Величина случайная непрерывная, 295Величина случайная стандартная нор-

мальная, 327Величины случайные независимые, 281Верхняя грань, 27Вероятность события, 243Вероятность условная, 256Волновое уравнение, 103Выборка, 375Выборка репрезентативная, 375Выборочное среднее, 379Вынужденные колебания, 106Гамма—функция, 339Гармоники, 130Гармоническая функция, 71Геодезическая линия, 176Гипотеза статистическая, 411Гистограмма, 378Граничные условия, 13Дельта–функция, 461

Дифференциальная задача, 6Дисперсия, 282Дисперсия остаточная, 362Дисперсия выборочная, 380Дополнительные условия, 13Евклидова норма, 183Задача колебания струны, 103Задача Дидоны, 174Задача Дирихле, 65, 71Задача Дирихле для круга, 147Задача Коши, 13, 65Задача Неймана, 65Закон больших чисел Бернулли, 335Закон больших чисел Чебышева, 333Закон Гука, 104Интеграл Пуассона, 92Интеграл уравнения, 5Интеграл Фурье, 89Интенсивность белого шума, 461Интервал доверительный, 385Испытание, 233Исход элементарный, 243Каноническая форма уравнений, 58Квазилинейное уравнение, 4Конвективный теплообмен, 71Компакт, 184Корректная задача, 6Коэффициент корреляции, 358Коэффициент корреляции выборочный,

399Коэффициент регрессии, 364Коэффициенты Фурье, 73Краевые условия, 13Критерий согласия, 422Критерий Фишера, 435

481

482 Предметный указатель

Критерий χ2, 426Критерий Пирсона, 426Крутильные колебания вала, 109Левый неявный уголок, 23Лемма Лагранжа, 196Линейное уравнение, 4Малые колебания, 104Метод Даламбера, 112Метод конечных разностей, 17Метод наименьших квадратов, 394Метод непосредственного интегрирова-

ния, 5Метод прогонки, 98Метод сеток, 18Метод Фурье, 71, 79, 126Момент центральный, 336Начальные условия, 13Невязка, 28Необходимое условие экстремума функ-

ционала, 192Непрерывность функционала, 189Неравенство Чебышева, 332Неявная схема, 23, 97Нормированное пространство, 184Обертон, 130Область критическая, 411Обратная волна, 113Общее решение, 6Общие интегралы, 57Oбщий интеграл, 9Объем выборки, 376Однородная плотность, 104Основной тон, 129Отклонение среднее квадратическое, 284Отклонение выборочное среднее квадра-

тическое, 380Оценка несмещенная, 383Оценка состоятельная, 383Оценка точечная, 383Оценка эффективная, 383Ошибка первого рода, 411Ошибка второго рода, 411Первые интегралы, 8Перестановка, 246Плоская задача Дирихле, 147Плоские поперечные колебания, 103Плотность распределения, 296

Плотность распределения двумерной слу-чайной величины, 350

Плотность спектральная, 458Полигон относительных частот, 378Полубесконечная струна, 115, 116Порядок уравнения, 4Правило решающее, 414Правый неявный уголок, 23Принцип наименьшего действия Гамиль-

тона, 214Продольные колебания стержня, 106Процесс случайный, 444Процесс случайный стационарный, 454Процесс случайный стационарный эрго-

дический, 463Прямая волна, 113Разложение спектральное, 456Размещение, 247Разностная схема, 18Разностная задача, 18Распределение χ2, 427Распределение χ2 (хи-квадрат), 338Распределение биномиальное, 308Распределение геометрическое, 310Распределение гипергеометрическое, 249,

310Распределение нормальное, 322Распределение нормальное двумерное,

364Распределение равномерное, 310Распределение экспоненциальное, 313Распределение Фишера–Снедекора, 435Распределение Пуассона, 309Распределение Стьюдента, 339Распределения Стьюдента, 387Расстояние между кривыми, 190Реализация случайного процесса, 445Регрессия среднеквадратическая, 362Регрессия среднеквадратическая линей-

ная, 362Решение уравнения, 4Решение Даламбера, 114Ряд вариационный, 376Ряды Фурье, 73Свободные колебания стержня, 107Сетка, 18Сеточная функция, 18

Предметный указатель 483

Сечение случайного процесса, 445Сильный максимум (минимум), 193Слабый максимум (минимум), 193Слой, 19Случай, 243Смешанная задача, 13, 65Смешанная задача Коши, 13Собственная частота, 129Собственные функции, 81, 127Собственные колебания, 128Собственные числа, 81, 127Событие достоверное, 234Событие противоположное, 234Событие случайное, 233События несовместные, 234События независимые, 257События попарно несовместные, 234События противоположное, 234Совокупность генеральная, 376Сочетание, 247Спектр дискретный, 456Сравнение сеточных функций, 27Стационарные уравнения, 64Стоячие волны, 129Строгий максимум, 192Сходимость по вероятности, 335Сходимость решения, 28Теорема центральная предельная, 336Теорема сложения вероятностей, 244Теорема Вейерштрасса, 185Теорема Дирихле, 75Теорема Лапласа интегральная, 268Теорема Лапласа локальная, 268Теорема о среднем, 186Точка критическая, 412Транспортная задача, 177, 181Узловые точки, 18Уравнение гиперболического типа, 57,

58Уравнение Лапласа, 64, 147Уравнение Лапласа в полярных коорди-

натах, 148Уравнение Остроградского, 213Уравнение параболического типа, 57, 59Уравнение переноса, 15Уравнение свободных колебаний стру-

ны, 63

Уравнение теплопроводности, 64, 67Уравнения характеристик, 57Уравнение эволюционного типа, 63Уравнения эволюционного типа, 12Уравнение Эйлера, 194Уравнение Эйлера–Пуассона, 209Уравнение эллиптического типа, 57, 62Условие Дирихле, 75Условие Куранта, Фридрихса, Леви, 32Условие Неймана, 34, 35Условное среднее, 400Уравнение прямой регрессии выбороч-

ное, 400Уравнения характеристик, 8Фаза, 129Факториал, 246Формула Бейеса, 259Формула Бернулли, 266Формула Даламбера, 114Функция корреляционная взаимная, 447Функция Лапласа, 269Формула полной вероятности, 259Формула Пуассона, 270Формула Тейлора, 186Функция распределения, 293Функция случайная, 443Функция случайного процесса корреля-

ционная, 446Функционал, 186Характеристики уравнений, 57Характеристическая система, 8Центр распределения, 346Частота относительная, 235Частота условная, 236Шаг сетки, 18Шум белый, 461Экстремаль, 197Экстремальная задача, 173Эксцесс, 337Явная схема, 96


Список литературы1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управле-

ние. -М.: Наука, 1979.2. Араманович Н.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.

-М.: Наука, 1969.3. Берков Н.А. Применение MathCad для решения задач вычислитель-

ной математики и математической физики. -М: МГИУ, 2001.4. Берков Н.А. Программирование на Visual Basic: Учебное пособие. -М.:

МГИУ, 1999. - 132 с.5. Берков Н.А. Сборник типовых расчетов по курсу “Практикум на

ЭВМ”. -М.: ГИНФО, 2000. - 160 с.6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные

приложения. -М.: Наука, 1988. - 480 с.7. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных

задач. -М.: МГУ, 1989.8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей

и математической статистике. -М.: Высшая школа, 1979. - 400 с.9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -

М.: Высшая школа, 1998. - 479 с.10. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию.

-М.: Наука, 1977.11. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Часть II. - М.: Высшая школа, 1986. - 415 с.12. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 8 PRO в математике,

физике и Internet. -М.: Нолидж, 1999. - 512 с.13. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б. Курс

высшей математики. Под ред. В.Б.Миносцева, Учебное пособие: части I иII, -М.: МГИУ, 2001. - 980 с.

14. Плис А.И., Сливина Н.А. Matcad: математический практикум дляэкономистов и инженеров: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика,1999. - 656 с.

15. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979. - 496 с.

16. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Подред. А.В.Ефимова -М.: Наука, 1984. - 608 с.

17. Сборник типовых расчетов по курсу высшей математики. Под ред.В.Б.Миносцева, Учебное пособие: -М.: МГИУ, 2001. - 486 с.

18. Шмидт В. Visual Basic 5.0. -М.: АБФ, 1997. - 688 с.19. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-

числение. -М.: Наука, 1969.

содержание 485

Содержание

XI ГЛАВА. Дифференциальные уравнения в частных производных 369. ЛЕКЦИЯ – Решение дифференциальных уравнений первого

порядка 369. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Контроль остаточных знаний

за первый курс 1970. ЛЕКЦИЯ – Метод сеток 2270. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решение дифференциальных

уравнений первого порядка 3271. ЛЕКЦИЯ – Дифференциальные и разностные операторы 3371. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решение задач переноса

методом сеток 5172. ЛЕКЦИЯ – Дифференциальные уравнения второго порядка 7072. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Классификация линейных

дифференциальных уравнений 8573. ЛЕКЦИЯ – Вывод уравнения теплопроводности и понятия о

рядах Фурье 8673. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Классификация

дифференциальных уравнений второго порядка 10174. ЛЕКЦИЯ – Решение краевых задач теплопроводности с

однородными граничными условиями методом Фурье 10274. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА – Разложение функций в ряд

Фурье 11475. ЛЕКЦИЯ – Решение задачи теплопроводности в бесконечном

стержне 11675. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решение задач

теплопроводности аналитическими методами 12476. ЛЕКЦИЯ – Решение задач теплопроводности методом сеток 12576. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА — Решения однородных задач

теплопроводности на MathCad 13277. ЛЕКЦИЯ – Вывод волнового уравнения 13577. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Вычислительная программа

для решения задачи теплопроводности методом сеток 15378. ЛЕКЦИЯ – Решение краевых задач для волнового уравнения

методом Фурье 16578. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Аналитическое решение

простейших волновых задач 17979. ЛЕКЦИЯ – Метод сеток для решения краевых задач,

описываемых волновым уравнением 18079. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решение волнового уравнения


в рамках пакета MathCad 18780. ЛЕКЦИЯ – Уравнение Лапласа 19280. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Решение волнового уравнения

методом сеток 202

XII ГЛАВА. Элементы вариационного исчисления и теорииоптимизации 211

81. ЛЕКЦИЯ — Введение в теорию вариационного исчисления 21181. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА — Вычислительная программа

для решения задач, описываемых уравнением Лапласа 22382. ЛЕКЦИЯ — Элементы функционального анализа 23683. ЛЕКЦИЯ – Метод вариаций в задачах с неподвижными

границами 24282. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Уравнение Эйлера 26283. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Уравнение Эйлера 26584. ЛЕКЦИЯ – Функционалы, зависящие от нескольких функций,

старших производных и функций многих переменных 26884. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Уравнение Эйлера 28285. ЛЕКЦИЯ – Вариационные задачи с подвижными границами 28685. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ – Вариационные задачи с

подвижными границами 295

XIII ГЛАВА. Теория вероятностей и математическая статистика 30186. ЛЕКЦИЯ — Случайные события 30186. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Алгебра событий.

Относительная частота 31087. ЛЕКЦИЯ — Классическое определение вероятности 31687. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Вычисление вероятностей 32688. ЛЕКЦИЯ — Основные теоремы теории вероятностей 33288. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Теоремы сложения и

умножения вероятностей 33989. ЛЕКЦИЯ — Испытание Бернулли 34789. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Формулы полной вероятности

и Бейеса 35690. ЛЕКЦИЯ — Дискретные случайные величины 36390. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Формула Бернулли 37291. ЛЕКЦИЯ — Непрерывные случайные величины 38391. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Дискретные случайные

величины 39392. ЛЕКЦИЯ — Виды распределений 40392. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Функция распределения и

содержание 487

плотность случайных величин 41393. ЛЕКЦИЯ — Нормальное распределение 42293. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Виды распределений 42994. ЛЕКЦИЯ — Предельные теоремы теории вероятностей 43594. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Нормальное распределение 44695. ЛЕКЦИЯ — Двумерные случайные величины 45395. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 46596. ЛЕКЦИЯ — Коэффициент корреляции 47096. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Двумерные случайные

величины 48197. ЛЕКЦИЯ — Основные понятия математической статистики 49197. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Коэффициент корреляции 50998. ЛЕКЦИЯ — Регрессионный анализ 51798. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Точечные и интервальные

оценки параметров распределения 53299. ЛЕКЦИЯ — Проверка статистических гипотез 53999. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Метод наименьших

квадратов 548100. ЛЕКЦИЯ — Критерии согласия 553100. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Обработка простой

статистической совокупности 563101. ЛЕКЦИЯ — Дисперсионный анализ 569101. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Проверка статистических

гипотез 577102. ЛЕКЦИЯ — Случайные процессы 588102. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — Критерий Пирсона 607ПРИЛОЖЕНИЯ 610Ответы 618

Список литературы 622

Содержание 624

Book 3

Documents

ym1 ym1

lm1 bm

2u 2u 2u

2b

2u 2u

xn xn

a3 a1 a2

fy fz