This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
A – LÝ thuyÕt1) §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc.
a nhá h¬n b, kÝ hiÖu lµ a < b, nÕu a – b < 0. a lín h¬n b, kÝ hiÖu lµ a > b, nÕu a – b > 0. a nhá h¬n hoÆc b»ng b, kÝ hiÖu lµ a b, nÕu a - b 0. a lín h¬n hoÆc b»ng b, kÝ hiÖu lµ a b, nÕu a - b 0.
+ TÝnh chÊt 1: a > b b < a.+ TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c a > c (tÝnh chÊt b¾c cÇu)+ TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c+ TÝnh chÊt 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d
+ TÝnh chÊt 5:
+ TÝnh chÊt 6: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd+ TÝnh chÊt 7: a > b > 0 an > bn víi mäi n ; a > b an > bn (n lÎ); an > bn (n ch½n)
Do (x - 1)2 0 víi mäi x (y - 1)2 0 víi mäi y (z - 1)2 0 víi mäi z => H 0 víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z . DÊu b»ng x¶y ra <=> x = y = z = 1.*) Bµi tËp 5: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta ®Òu cã : x4 + y4 xy3 + x3y Bµi lµm :
0VËy bÊt ®¼ng thøc ®· cho lµ ®óng . DÊu “ = “ x¶y ra khi x = y .
*) Bµi tËp 6: Cho c¸c sè d¬ng a , b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1
Chøng minh r»ng : ( 1 + )( 1 + ) 9 (1)
Bµi lµm :
Ta cã ( a + .)( b + ) 9 ó ab + a + b + 1 9 ab ( v× a,b >
0 )ó a + b + 1 8 ab ó 2 8 ab ó 1 4 ab ( v× a + b = 1 )
ó ( a + b )2 4 ab ó ( a – b )2 0 (2) BÊt ®¼ng thøc (2) ®óng, c¸c phÐp biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng. VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®îc chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b*) Bµi tËp 7: Cho a > 0, b > 0. Chøng minh r»ng : H íng dÉn :C¸ch 1 :
VËy
C¸ch 2 :
C¸ch 3 : V× a > 0, b > 0 nªn , do ®ã
Céng vÕ víi vÕ cña hai B§T cïng chiÒu => ®pcmC¸ch 4 : V× a > 0, b > 0 nªn Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = ¸p dông Py – ta – go tÝnh ®îc
ó 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) ó 9 4ab + 8 ó 1 4ab ó (a + b)2 4ab BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng . Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh .*) Bµi tËp 7 :
Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 4 Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3
Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 *) Bµi tËp 8 :
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :
; trong ®ã a > 0 ; b > 0
Gi¶i : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng : Víi a > 0 ; b > 0 => a + b > 0
ó .
ó a2 - ab + b2
ó 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2
ó 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2) 0 ó
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng ; suy ra :
DÊu “=” x¶y ra ó a = b*) Bµi tËp 9 :
Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab
*) Bµi tËp 1 : Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng:
Gi¶i ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c)
ó ó
T¬ng tù ta thu ®îc :
,
DÊu b»ng cña ba B§T trªn kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra , v× khi ®ã cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = 0 ( tr¸i víi gi¶ thiÕt a, b, c ®Òu lµ sè d¬ng ).
Tõ ®ã suy ra :
*) Bµi tËp 2 : Cho x , y lµ 2 sè thùc d¬ng tho¶ m·n :
Chó ý: Trong bµi nµy dÊu "=" kh«ng x¶y ra v× khi ®ã
a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nªn a + b + c = 0 (tr¸i víi gi¶ thiÕt a,
b, c > 0)*) Bµi tËp 9:
Cho a, b , c > 0; Chøng minh r»ng:
D = (a +
b) +
(a +
c) +
(b +
c)³ 3
2 c b a
Híng dÉn: Ta cã:
D2 =
(a +
b) +
(a +
c) +
(b +
c)
c b a
+ 2.
(
(a+b)
(a+c) +
(a + b)
(b+c) +
(c+a)(b +
c) )bc ac ab
¸p dông kÕt qu¶ bµi tËp 6, ta cã
a +
b +
a +
c +
b +
c ³ 6dÊu "=" Û a = b
= cc b a
MÆt kh¸c theo Bu –nhi – a- c«p – xki ta l¹i cã:
Hay:
(a + b)(c + a) ³ a + bc , t¬ng tù :
(a + b)(b + c) ³ b + ac
(b + c)(a + c) ³ c + ab
D2 ³ 6 +
2 (a +
bc +
b +
ac +c + ab )
bc ac ab
Û D2 ³ 6 + 2 + 2 +2 + 2( a
+
b
+
c
)
bc
a
c
a
b
mµ a +
b +
c ³ 3
bc ac ab
(theo c« - si)
Þ D2 ³ 12 + 2 . 3 Û D2 ³ 18 Û D ³ 3 2
DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi: a = b = c
5. Ph¬ng ph¸p 5: Dïng bÊt ®¼ng thøc vÒ ba c¹nh cña tam gi¸c a , b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c a < b + c (1) b < a + c (2) c < a + b (3)Tõ 3 bÊt ®¼ng thøc vÒ tæng hai c¹nh cña tam gi¸c ta suy ra ®îc 3 bÊt ®¼ng thøc vÒ hiÖu hai c¹nh a < b + c (1) (4) b < a + c (2) (5) c < a + b (3) (6)
*) Bµi tËp 1: Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña )
Chøng minh r»ng :
Gi¶i:Tríc hÕt ta chøng minh bµi to¸n :
Víi x, y > 0. Chøng minh r»ng . DÊu “=” x¶y ra ó x = y
(vËn dông kÕt qu¶ ë phÇn kiÓm tra bµi cò)
Ta cã : p - a =
T¬ng tù : p - b > 0 ; p - c > 0 ¸p dông bµi to¸n trªn ta cã:
T¬ng tù :
=> => ®iÒu ph¶i chøng minh .
DÊu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c ó a = b = c .Khi ®ã tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu .*) Bµi tËp 2: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abcGi¶i: BÊt ®¼ng thøc vÒ ba c¹nh cña tam gi¸c cho ta viÕt
Tõ ®ã
(a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)2(b + c - a)2(c + a - b)2
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abcV× a, b, c, lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a + b - c > 0 b + c - a > 0 c + a - b > 0 vµ abc > 0 VËy bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh *) Bµi tËp 3: Cho ®iÓm M n»m trong tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:
MA + MB + MC >
Gi¶i:XÐt tam gi¸c AMB; tam gi¸c AMC; tam gi¸c BMCTheo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c ta cã: MA + MB > AB MA + MC > AC MB + MC > BCCéng vÕ tr¸i víi vÕ tr¸i, vÕ ph¶i víi vÕ ph¶i cña ba bÊt ®¼ng thøc l¹i ta cã:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
MA + MB + MC > ( ®pcm)
*) Bµi tËp 4: Cho tam gi¸c ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.
Chøng minh: AM <
Gi¶i:Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao choMD = MA. DÔ dµng chøng minh ®îc
AMB = DMC (c.g.c) CD = AB (hai c¹nh t¬ng øng) (1)XÐt tam gi¸c ACD theo bÊt ®¼ng thøc ta cã: AC + CD > AD = 2AM mµ CD = AB ( theo (1) ) AC + AB > 2AM
AM < (®iÒu ph¶i chøng
minh).*) Bµi tËp 5:
M
CB
A
Cho ®iÓm I n»m trong tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: BI + IC < BA + ACGi¶i:KÐo dµi BI c¾t AC t¹i K.XÐt AKB cã BK < AB + AK (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)ó BI + IK < AB + AK ó BI < AB + AK - IK (1)
øng ) XÐt AMB cã BM < AB + AM (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)Do ®ã BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MKMÆt kh¸c MH < BM (Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc)Suy ra MH < MK. (§iÒu ph¶i chøng minh)
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 (®iÒu ph¶i chøng minh)*) Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng nÕu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y th× a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c. ( x, y, z lín h¬n 0)Gi¶i:Theo bµi ra ta cã:
a = y + z
b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =
c = x + y
Suy ra x = ; y = ; z =
V× x, y, z > 0 => > 0 ; > 0 ; > 0
=> a, b, c tho¶ m·n lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c.*) Bµi tËp 10: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tho¶ m·n a + b + c = 2.Chøng minh: ab + bc + ac > abc + 1Gi¶i:V× a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Suy ra : a + b > c b + c > a a + c > b mµ a + b + c = 2 suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1
A
a
c b
CB
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0 ó (ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0 ó abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc v× a + b + c = 2 => abc + 1 < ab + ac + bc (®iÒu ph¶i chøng minh)
6. Ph¬ng ph¸p 6 : Chøng minh ph¶n chøng .- KiÕn thøc : Gi¶ sö ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ®óng , ta h·y gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®ã sai , sau ®ã vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· biÕt vµ gi¶ thiÕt cña ®Ò bµi ®Ó suy ra ®iÒu v« lý .- §iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt, hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i ngîc nhau, tõ ®ã suy ra ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ ®óng .- Mét sè h×nh thøc chøng minh bÊt ®¼ng thøc :
+ Dïng mÖnh ®Ò ®¶o + Phñ ®Þnh råi suy ra ®iÒu tr¸i víi gi¶ thiÕt .+ Phñ ®Þnh råi suy ra tr¸i víi ®iÒu ®óng .+ Phñ ®Þnh råi suy ra hai ®iÒu tr¸i ngîc nhau .+ Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn .
*) Bµi tËp 1:Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng ; Ýt nhÊt cã mét bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai :
Tõ (1) vµ (2) suy ra v« lý .§iÒu v« lý ®ã chøng tá Ýt nhÊt mét trong 4 bÊt ®¼ng thøc cho trong ®Çu bµi lµ sai .*) Bµi tËp 2:Chøng minh r»ng kh«ng cã 3 sè d¬ng a, b, c nµo tho¶ m·n c¶ ba bÊt
®¼ng thøc sau : ; ;
Gi¶i Gi¶ sö tån t¹i 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n c¶ 3 bÊt ®¼ng thøc :
; ;
Céng theo tõng vÕ cña 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc :
VËy kh«ng tån t¹i 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n c¶ 3 bÊt ®¼ng thøc nãi trªn => ®pcm *) Bµi tËp 3: Cho a3 + b3 = 2 . Chøng minh r»ng : a + b 2 .Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( V× : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = 2 ) Chia c¶ hai vÕ cho sè d¬ng a + b ta ®îc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 (V« lý)VËy : a + b 2 7. Ph¬ng ph¸p 7: §æi biÕn sè - KiÕn thøc : Thùc hiÖn ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè nh»m ®a bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng ®¬n gi¶n h¬n, gän h¬n, d¹ng nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt c¸ch gi¶i *) Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× :
Gi¶i: §Æt : b + c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =
=> a = , b = , c =
Khi ®ã :
VT = =
= = VP
*) Bµi tËp 2:
Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chøng minh r»ng :
Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .
Chøng minh r»ng :
Ta chøng minh ®îc : (x + y + z)( (Theo bÊt ®¼ng thøc C«si )