Bo stjan Frelih UP FAMNIT & UP IAM 22. oktober 2014matematicni-izleti.famnit.upr.si/sl/resources/files/program-1415/sport/izleti201415...Katera od osmih teka skih prog je \najhitrej

Matematika v sportu

Bostjan FrelihUP FAMNIT & UP IAM

22. oktober 2014

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Statistika

Pomen (sportne) statistike:

rangiranje oz. primerjava ekip oz. sportnikov,

belezenje rekordov,

napovedovanje rezultatov (sportne stave),

priprava na nasprotnika,

. . .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Statistika

“Statistika je podobna bikiniju, ki veliko odkriva, najvaznejse paohrani skrito.” (Aaron Levenstein)

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Statistika

Nogomet: Poljska - Nemcija (nedelja, 12.10.2014)

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Statistika

Kosarka: Union Olimpija - Partizan 87:58 (nedelja, 19.10.2014)

http://en.wikipedia.org/wiki/Player efficiency rating

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Statistika

Je res vse v sportu glede matematike omejeno na statisticnobelezenje, zbiranje in preracunavanje podatkov oz. rezultatov?

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Nogomet

Roberto Carlos - prosti strel:

https://www.youtube.com/watch?v=3ECoR tJNQ

Oblikovanje nogometne zoge. Uporaba racunske dinamike tekocin -proucevanje ucinka aerodinamike v nogometu s pomocjonumericnih metod in algoritmov za resevanje in analiziranjeproblemov, ki vkljucujejo tokove tekocin - v konkretnem primerutokov zraka okoli nogometne zoge.

Razlicne zoge za svetovna prvenstva v nogometu:

http://www.soccerballworld.com/HistoryWCBalls.htm

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Atletika

Zakaj se na standardnih stadionih svetovne atletske zveze dosegajoboljsi rezultati kot na stadionu, ki ima enako dolzino ravnih delovkot zavojev, ali na stadionu, ki so ga uporabljali na olimpijskihigrah leta 1895 v Atenah?

Katera od osmih tekaskih prog je “najhitrejsa”?

Matematicni modeli za proucevanje vpliva vetra in nadmorskevisine na razlicne proge in glede na razlicne atletske stadione priteku na 400 metrov - uporaba navadnih diferencialnih enacb.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Atletika

Standarden stadion po merilih svetovne atletske zveze. Merjeno poprvi - notranji progi sta ravninska dela dolga vsak po 115, 6 m, delav zavoju pa vsak po 84, 4 m. Sirina ene proge je 1, 22 m.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Atletika

Stadion, ki ima enako dolzino ravnih delov kot zavojev - vsak delpo 100 m.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Atletika

Stadion, ki so ga uporabljali na olimpijskih igrah leta 1895 vAtenah. Merjeno po prvi - notranji progi sta ravninska dela dolgavsak po 180 m, dela v zavoju pa vsak po 20 m.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Kosarka

Ekipa na kosarkarski tekmi manj kot minuto do konca tekmezaostaja za 4 tocke. Naj trener svojim igralcem naroci najpoizkusijo zadeti kos za 3 tocke ali za 2, ki ga je navadno lazjezadeti?

Priprava strategije oz. matematicnega modela na podlagistatistike, verjetnosti in teorije iger.

Ko vsaka vnaprej pripravljena strategija odpove . . . ReprezentancaJugoslavije je v polfinalu svetovnega prvenstva leta 1986 protiSovjetski Zvezi 50 sekund pred koncem tekme vodila za 9 tock,nato pa prejela 3 trojke, dala pa nobenega kosa in tekma je sla vpodaljsek, ki ga je Jugoslavija izgubila . . .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Tloris igrisca za ameriski nogomet:

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Sportna zgodba: V finalu studentske lige v ameriskem nogometuleta 1950 med ekipama California in Ohio State je trener slednjeekipe namerno prisluzil kazen 5 yardov, da je svojemu strelcuprostega strela omogocil boljsi kot strela na gol. Je bilo v trenerjudovolj matematicnega znanja, da je imel prav pri tej svoji odlocitvi?

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Matematicni problem: Za katero tocko T na dani premici l(x) jekot ∠GTG ′ na sliki najvecji?

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Odgovor: Naj bosta tocki K na premici l(x) in Y na premici l , kije simetrala daljice GG ′, taki, da je YK = YG . Kot ∠GTG ′ bonajvecji natanko tedaj, ko je T = K .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Naloga 1: Na spodnjo sliko vpeljimo koordinatni sistem, tako, danam premica skozi tocki G in G ′ predstavlja x-os, premica l y -os,tocka K pa naj ima koordinati (x , y). Glede na prejsnji odgovorpoiscite enacbo krivulje, na kateri lezijo vse te tocke K na premicil(x) za vsak x ≥ g (oz. x ≤ −g), kjer je g prva koordinata tockeG (oz. −g prva koordinata tocke G ′).

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Omejitve, ki jih se nismo upostevali:

prosti strel se izvaja znotraj pasu, ki je na spodnji slikioznacen z navpicnima crtkanima crtama (“Inbounds line”),

prosti strel se izvaja 7 yardov dlje, kot je bila koncana zadnjaakcija,

goli so postavljeni 10 yardov za koncno crto igrisca.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Nas problem se zaradi omejitve, da se prosti strel izvaja znotrajpasu, ki je na spodnji sliki oznacen z navpicnima crtkanima crtama(“Inbounds line”), zreducira na premice l(x) za g ≤ x ≤ h (oz.−h ≤ x ≤ −g).

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Vprasanje: V katerih primerih je smiselno pomakniti prosti strelnazaj za 5 yardov? V katerih primerih je kot Θ∗ vecji od kota Θ?

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Izracunamo kota Θ∗ in Θ ter s pomocjo racunalnika narisemonivojske krivulje razlike a(x , y) = Θ∗ −Θ za g ≤ x ≤ h in y ≥ 0.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Za konkretne podatke iz finalne tekme leta 1950 dobimo nivojskekrivulje na sliki, ki jih ustrezno interpretiramo.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Zgornja krivulja ustreza a(x , y) = 0, srednja krivulja ustrezaa(x , y) = 1◦, spodnja krivulja pa ustreza a(x , y) = 2◦. V vsakemprimeru vidimo, da te krivulje padejo izven obmocja za izvajanjeprostega strela, kar pomeni, da trener ni bil najboljsi matematik.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Ameriski nogomet

Se je za tako majhno spremembo kota, ce bi bila mogoca, splohsmiselno obremenjevati s tem, ali prestaviti prosti strel ali ne?

Nekaj podatkov o finalu ameriske nogometne lige v letu 2014 -Super Bowl XLVIII:

Stevilo gledalcev na stadionu v New Yorku: 82,529.

Stevilo gledalcev pred TV ekrani v ZDA: 111 milijonov.

Skupno stevilo gledalcev pred TV ekrani: 167 milijonov.

Vrednost 30 sekundne reklame med prenosom tekme: 4milijone ameriskih dolarjev.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Razporeditev tekem na sportnih tekmovanjih - turnirjih

Locimo vec sistemov:

sistem na izpadanje,

dvojni sistem na izpadanje,

krozni sistem (“round-robin”)

. . .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Osnovne omejitve:

imamo 2n ekip (ali tekmovalcev),

vsaka ekipa odigra natanko eno tekmo z vsako drugo ekipo,

v vsakem igralnem dnevu (krogu) odigra vsaka ekipa natankoeno tekmo (stevilo tekem v enem igralnem dnevu je zatonatanko n).

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Primer za 4 ekipe (oznacimo jih 1,2,3,4):

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Primer za 6 ekip (oznacimo jih 1,2,3,4,5,6):

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Primer za 8 ali vec, recimo 2n, ekip?

Iskanje z “golimi rokami” oz. svincnikom in papirjem bi biloenostavno predolgo in prevec komplicirano, zato uporabimometodo, ki vkljucuje grafe.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Graf

mnozica tock,

mnozica povezav (ki predstavljajo neko dvomestno relacijomed tockami).

Primer polnega grafa K6, polnega dvodelnega grafa K3,3 in grafaG .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Turnir 2n ekip po kroznem sistemu lahko upodobimo s polnimgrafom K2n.

En krog turnirja lahko upodobimo s podgrafom grafa K2n, kimu recemo 1-faktor grafa.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”)

Pogosto uporabljen in najbolj popularen sistem za dolocanjerazporeda tekem na turnirju je tako imenovani “Kirkmanov turnir”,ki ga je leta 1846 odkril britanski matematik Thomas Kirkman.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Kirkmanov turnir - konstrukcija za 2n ekip

2n − 1 tock razporedimo z enakimi razdaljami po kroznici injim zaporedoma damo oznake 1, 2, 3, . . . 2n − 1.

Ena tocka z oznako ∞ predstavlja sredisce te kroznice.

Narisemo povezave 1 ∼ ∞, 2 ∼ 2n − 1, 3 ∼ 2n − 2, . . .,n ∼ 2n − n + 1 in s tem dobimo 1-faktor polnega grafa K2n

oz. razporeditev tekem v prvem krogu.

Opazimo, da je nosilka povezave 1−∞ pravokotna na vseostale povezave (torej so le-te med seboj vzporedne).

Razporeditev v drugem krogu dobimo tako, da rotiramopovezave okrog tocke ∞ v smeri urinega kazalca za kot2π/(2n − 1).

Ta zadnji korak ponavljamo, da dobimo razporeditev tekem zacel turnir.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Kirkmanov turnir - konstrukcija za 8 ekip

Na sliki so prikazani prvi trije krogi turnirja osmih ekip in s temtudi ideja za celotni turnir osmih ekip.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Konstrukciji Steinerjevega turnirja

Se en turnir, ki se po razporeditvi tekem po kolih razlikuje odKirkmanovega.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Izomorfnost turnirjev

Kdaj sta dva turnirja “enaka” ali bolje receno izomorfna?

Turnirja T1 in T2 sta izomorfna, ce lahko tocke enega turnirja,recimo T1, preimenujemo in po potrebi spremenimo vrstni redposameznih igralnih dni, da dobimo turnir T2.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Izomorfnost turnirjev

Zakaj sta Kirkmanov turnir in Steinerjev turnir neizomorfna?

Ce vzamemo poljubna dva 1-faktorja (poljubna dva kroga)Kirkmanovega turnirja in povezave teh dveh 1-faktorjev narisemo vskupen graf, dobimo cikel dolzine 8. Prva dva kroga Steinerjevegasistema pa nam data dva disjunktna cikla dolzine 4.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Izomorfnost turnirjev

Problem dolocanja izomorfnosti turnirjev je precej tezak.

Za 4 in 6 ekip obstaja do izomorfizma natanko samo en turnir, za8 ekip je takih turnirjev 6, za 10 ekip jih je 396, za 12 ekip jih je526,915,620 . . .

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Krozni sistem (“round-robin”) - dodatna omejitev

Za doloceno tekmo i − j na turnirju recemo, da je ekipa i domaca,ekipa j pa gostujoca.

Dodatna omejitev: zelimo, da bi bila vsaka ekipa po igralnih dnehizmenicno enkrat domaca in drugic tuja. Je to mogoce?

Za turnirje z 2n ekipami je odgovor ne.

Najboljse, kar lahko dosezemo, npr. v Kirkmanovemu turnirju, je,da 2 ekipi zadostita omejitvi, za vsako od ostalih ekip pa velja, dase tekom turnirja zgodi natanko enkrat, da je ta ekipa v dvehzaporednih kolih bodisi domaca, bodisi gostujoca.

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Literatura, ki je bila uporabljena, je dosegljiva na spletni strani:

http://mathaware.org/mam/2010/essays/

Bostjan Frelih Matematika v sportu

Najlepsa hvala za prisotnost inpozornost!

Bostjan Frelih Matematika v sportu