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Effet d'accrochage et mthode d'valuation du frottement
ngatif
O. COMBARIEU Ingnieur
Laboratoire rgional de Rouen
Prsentation F. BAGUELIN
Chef de la section des fondations Laboratoire central
/
L se produit du frottement ngatif sur un pieu, ou un groupe de
pieux, lorsque les couches suprieures de sol tassent et tendent
ainsi, par frottement, entraner le pieu vers le bas. Il en rsulte
une charge verticale parasite dans le ft du pieu, qui
rduit d'autant la valeur disponible en tte du pieu pour
supporter la superstructure.
Les situations dans lesquelles se produit du frottement ngatif
sont assez bien connues et sont indiques au dbut du paragraphe du
dossier FOND 72 * qui traite de ce problme. Dans le domaine
routier, un cas trs frquent est celui de cules d'ouvrages d'art
comportant un remblai mis en place sur des alluvions
compressibles.
G&'a&t$*teTerram naturel y
>Sol mou-.
SuDsiraium
Exemple de frottement ngatif. La prvision de l'amplitude de la
charge parasite est plus incertaine. Les diverses mthodes de calcul
sont rappeles brive-ment par M. Combarieu dans le prsent article :
si l'on met part la mthode propose par M. Mnard, on peut dire que
les mthodes actuelles, qui utilisent un schma trs simplifi, donnent
certainement une estimation par excs de la valeur de la charge
para-site. Dans son tude, M. Combarieu prcise l'effet d'accrochage
introduit notamment par Zeevaert et montre qu'en ralit il est plus
important que ne le prvoit cet auteur. Bien que des incertitudes
demeurent, notamment quant aux valeurs adopter pour le coefficient
d'accrochage -, Introduit, l'tude de M. Combarieu devrait permettre
de mieux estimer la valeur du frottement ngatif s'exerant sur une
fondation sur pieux et donc de dterminer, sans trop de pessimisme,
la charge qu'elle peut recevoir de la superstructure.
* Chapitre 5-3 Calcul pratique d'une fondation dans le cas gnral
, p. 42-50.
9 3
Bull. Liaison Labo. P. et Ch . - 71 - mai-juin 1974 - Rf.
1459
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I. INTRODUCTION ET RAPPEL L e mcanicien des sols est trs souvent
confront aux problmes poss par les frottements nga-tifs. L e u r
estimation est fort dlicate et ds le dpart l ' on bute, dans bien
des cas, sur la dtermina-t ion de l a por t ion de pieu sollicite
par de tels efforts parasites. L e sol , soumis aux contraintes
extrieures (souvent des remblais) tasse autour du pieu ; ce dernier
s'enfonce galement sous l 'ac t ion simultane des charges qu i l u
i sont transmises en tte, et le long du ft par frottement ngatif. I
l apparat que la dtermination du point neutre, o les tassements du
sol et du pieu sont les mmes et o le frottement change de signe se
rvle dans b ien des cas fort complexe. Pour le dimensionnement, on
se retranchera tout lgitimement, vers l a scurit ; on peut penser
que le surdimensionnement ainsi introduit restera faible, dans le
cas de figure relativement courant o, traversant une paisseur d 'a
l luvions trs compressibles, les pieux s'ancrent dans u n sol
rsistant ; le point neutre se situe alors fort bas.
I l reste alors prvoir l'intensit des efforts engendrs :
l'unanimit semble faite sur le caractre long terme du phnomne d
'appar i t ion du frottement ngatif ; on fait donc appel l a not
ion de contrainte intergranulaire :
S i o-'v reprsente la contrainte effective au niveau z le long
du p ieu, le frottement ngatif unitaire f vaudra :
f = Ko tg S a 'v , o 8 reprsente l 'angle de frottement sol-pieu
et Ko le coefficient de pousse des terres. L ' app l i ca t i on un
pieu de rayon R traversant un sol de poids spcifique y', supportant
l u i -mme une surcharge uniforme q 0 , conduit , aprs intgration,
l 'expression b ien connue :
F = 2 x R Ko tg 8 (qQ z + y ' -
o F reprsente l'effort parasite ngatif sur la hauteur z de sol
compressible.
O n se rend compte immdiatement de l ' insuffisance d 'un tel
rsultat qu i ne permet videmment pas de fixer le niveau z o le
frottement ngatif cesse d'agir. E n part icul ier, si qo = 0, F n
est manifestement nu l , et l a hauteur d 'act ion z introduire
ci-dessus doit tre nul le . Cette dernire est donc bien lie q 0 et
impl ic i tement aux tassements de la couche compressible. L e
Service d'tudes techniques des routes et autoroutes ( S E T R A )
et les Laborato ires des Ponts et Chausses ( L P C ) ont donn [1]
des rgles pratiques d 'appl icat ion, tenant compte de cette
carence et indiquant l 'ordre de grandeur de l a hauteur d 'act ion
z du frottement ngatif en fonct ion de l'paisseur des couches
compressibles et de l 'ampl i tude du tassement dont elles seront
le sige.
Zeevaert [2] a incontestablement amlior les aspects l a fois
qualitati f et quantitatif du phno-mne en introduisant l'effet de
rduction du frottement ngatif d la prsence de plusieurs pieux. Nous
verrons que les rsultats de Zeevaert apparaissent comme un cas l
imite et trs par-t icul ier du modle qu i sera propos plus l o in
.
U n e deuxime est imation de frottement ngatif propose par L .
Mnard [3] fait tout simplement appel la pression l imite d
'expansion d'une cavit cy l indr ique. P o u r le sol susceptible
de pro-duire les efforts de frottement, le taux unitaire de
frottement est fourni par la figure 1. t (bar)
Fig. 1
0 5 1 B i e n souvent, et chacun a p u le constater, les
discordances entre les deux modes d'valuation qu i viennent d'tre
voqus apparaissent vite, les carts entre rsultats croissant
rapidement avec l a hauteur sur laquel le agit le frottement : cela
se c om-prend aisment puisque dans le premier cas cette hauteur
intervient sous une forme d u second degr, alors qu'el le n'est que
d u
premier degr dans le second. O n peut noter i c i que pour le
frottement positif, en revanche, si les deux thories utilises mnent
aux mmes discordances, l a p lupart des mcaniciens des sols
semblent plutt avoir adopt l'hypothse de l a . linarit qu i rend
mieux compte des rsultats exprimentaux et pour laquel le certaines
justifications thoriques voient actuellement le jour [4] ; on est
tout naturel lement conduit se poser quelques questions sur cet
aspect contradictoire.
10 15 P (bar)
L ' examen qu i suit s'efforce, par une approche thorique, de
pal l ier les insuffisances actuelles.
94
-
II. COMPORTEMENT D'UN GROUPE DE PIEUX INFINIMENT ETENDU
1. - O n considre un ensemble de pieux rgulirement espacs
s'tendant l ' in f in i et traversant un sol compressible et
homogne (fig. 2). Ce sol est uniformment charg par u n rembla i . O
n appel-lera 2R le diamtre du pieu, q 0 l a surcharge, H , y '
et
-
E n part icul ier , quand S tend vers l ' in f in i (cas du p
ieu isol) (2 bis) se rduit :
^ - y ' soit q(z) = q + Y ' Z
Si dans l 'expression ( 1 ) du b i lan des forces, on remplace
q(z) par l a solut ion gnrale, on a l'galit :
Q u a n d S tend vers l ' in f in i , le dveloppement limit
conduit :
F = TCR2 d(z) = 2 x R Ko tg S ^ q 0 z + Y ' qu i , pour le p ieu
isol, reprsente le frottement ngatif
sur l a hauteur z ; c'est l a valeur classique bien connue. L '
imper fec t ion d'une telle f o rmulat ion a dj t cite ; elle
apparat quand on examine le cas o q 0 tend vers une valeur nul le
.
Ce rsultat parat d'autre part quelque peu paradoxa l . Dans le
cas du pieu isol, comme o n vient de le voir , l a contrainte
verticale vaut uniformment q 0 + Y ' Z ; cela signifie que les
charges induites par q 0 et le so l lui-mme, se transmettent
intgralement tout niveau. O n conoit ma l cette possibilit ; en
effet, pu isqu ' i l y a transmission d'efforts dans le pieu
(apparit ion du frotte-ment ngatif), ce mcanisme ne peut
s'effectuer corrlativement sans une d iminut ion d'efforts au sein
mme du sol entourant le ft ; plus on s'loigne du ft, moins l a
transmission des charges se trouve affecte, l ' influence du pieu
se faisant moins sentir. Ces rflexions montrent qu ' i l y a
ncessairement variation de q(z, x) avec la distance au p ieu du
fait mme de la manifestation du frottement ngatif. L a forme
mathmatique de l a solut ion de l'quation (2 bis) rend compte
effec-tivement d'une rduction de l a contrainte verticale par
rapport la contrainte init iale q 0 + Y ' Z . M a i s cette
rduction n'est que globale et constante sur S. E l l e amliore de
manire trs sensible l 'aspect quantitati f du phnomne, mais ne
peut, notre avis, en rendre compte de faon trs satisfaisante, et ce
d'autant moins que l ' on se rapproche du cas du pieu isol. L a so
lut ion de Zeevaert doit en fait tre considre comme un cas l imite
d'une solut ion plus gnrale. L e pessi-misme de la so lut ion de
cet auteur a d'ai l leurs conduit ce dernier introduire, dans le
cas du pieu seul, l'hypothse d'une transmission de charge 45
conduisant l a not ion de surface d'influence. U n exemple numrique
dvelopp part ir de cette thorie [5] montre dans ce cas prcis que
cette considration ne conduit qu' une rduction ngligeable de F. A i
n s i pour le pieu caisson d'acier expriment en Norvge [5 et 6], l
a valeur maximale F, m du frottement ngatif, calcule part ir de l a
rpartition uni forme en profondeur q 0 + Y ' Z atteint l a valeur
de 649 tonnes. L ' a p p l i -cat ion de l'hypothse introduite par
Zeevaert ne rduit ce chiffre qu' 646,4 tonnes ; cette rduction est
donc ngligeable et en dsaccord avec la valeur de F = 460 tonnes
mesure en fin de conso-l idat ion.
L 'ensemble de ces considrations nous a conduits introduire la
not ion d'accrochage du matriau autour du ft qu i mne une
amlioration dans l ' expl icat ion du processus. E l l e consiste,
sous une forme simple, faire intervenir le phnomne de d iminut ion
de contraintes verticales part ir du ft. Nous sommes convenus de
reprsenter cette fonct ion q(z, x), introduite ci-avant, par une
expression mathmatique nous ayant paru susceptible, par son
adaptation l a formulat ion des phnomnes transitoires, de
reprsenter le phnomne rel.
L 'express ion choisie est l a suivante :
r T r X X R n * q ( z , x ) q ( z , R ) = qo + Y'z q ( z , R ) 1
e R (3)
* On voit immdiatement que l'expression choisie ne peut
reprsenter parfaitement la variation de q(z, x). L'ensemble des
conclusions qui suivent restant cependant les mmes. E n effet, si
d'une manire plus gnrale, on pose
q(z, x) q(z, R) = j^q0 + y'z q(z, R) j ^1 * ~R~" ) ] I a f n c n
o n < P ^ ~ i - ) doit possder les proprits suivantes:
elle dcrot constamment avec x, pour x = b, d
-
E l l e fait apparatre le coefficient X, sans dimension,
traduisant l 'ampl i tude de l 'accrochage autour d u pieu.
Quand X devient trs grand, l a fonct ion q(z, x) tend devenir
discontinue au contact d u pieu (x = R ) ; pour X = oo, q(z, R ) =
q 0 + r ' z pour x > R et q (z, R ) = 0 pour x = R . O n
retrouve d'ai l leurs ces rsultats en faisant le b i l an des
forces verticales en prsence. Dans ce cas, l 'accro-chage est n u l
, le p ieu n'est pas surcharg.
Quand X devient trs petit, l 'accrochage devient excellent. L e
cas X = 0 correspond au cas l imite d 'un accrochage parfait ; dans
ce cas q(z, x) = q(z, R ) , fonct ion de z seul, et l a solut ion
est prci-sment fournie par l'quation (2 bis) de Zeevaert. C'est le
cas l imite qu i conduit au frottement ngatif max ima l . L a
figure 4 montre l 'a l lure des courbes thoriques.
1 i j n. 4-
-
Coefficient d'accrochage X Fig. 5
K 0 tg6 m (X,b)
2. - Hauteur maximale d'action du frottement ngatif
L 'express ion de q (z, R) montre qu t le terrain en place le
long du p ieu subit u n dchargement progressif, en compara ison
avec le cas de l a transmission intgrale de q 0 en profondeur. P o
u r une certaine profondeur h, l a contrainte induite q ( h c , R)
galera l a contrainte y ' hc init ia le. Au-del de cette mme
profondeur, que nous appellerons hauteur maximale d'action du
frottement ngatif, ce dernier cessera de se manifester et en ce
point , on a l'galit :
m (X, b) + [ q ~ i p ) ] m (X, b) hc _ y , h c
soit . m ( X , b ) h c _ m (X, b) hc 1
m (X, b) -S i _ 1 (6)
Valeurs de m 7
4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
L a dtermination de h c peut se faire gra-phiquement de manire
simple, par inter-section de l a fonct ion exponentiel le et d'une
droite de pente var iable (fig. 6). E n part icul ier , si qo est
nul (pas de charge-ment), hc est galement nul et i l n 'y a pas
appar i t ion d'effort parasite.
Dans le cas o h c est infrieur l'pais-seur H d 'a l luvions
compressibles, sur cette hauteur h c l a valeur de F atteindra
:
2*R Ko tg S
^n /-\ u\ M0 m (X, b)
(6 bis)
Fig. 6 - Calcul de la hauteur critique h c .
q u i s 'annule b ien pour q 0 = 0.
F est donc proport ionne l q 0 .
S i h c > H , on appl iquera l 'expression (5 bis).
9 8
-
3. - Influence de la surcharge pralable
C o m m e h . et F n augmentent avec qo, i l sera dans b ien des
cas, souhaitable, dans l 'opt ique d'une rduction du frottement
ngatif, de prvoir l 'avance tout ou partie des remblais d'apport,
l'ex-cut ion des fondations n' intervenant qu'aprs une consol idat
ion partiel le du sol compressible.
S i pour une surcharge q 0 prvue, l'excution des pieux a l ieu
aprs transmission d'une fraction 6q (0 < 6 < 1) de cette
surcharge, lors de l a mise en place de l a fraction (1 6) q 0
restante, l 'expression de l a contrainte q (z, R ) est toujours
donne en (5). L a hauteur h c sera modifie et telle que :
m (X, b)
^ U M . 1 m (X , b) 0 ^ soit e - m f c b ) h . = m ( > , b )
h c _ - l + jr ( ? )
m ( X , b ) - ^ _ l m ( X , b ) -511 Y V
L a dtermination de h c reste galement simple ; elle se traduit
sur l a figure 6 par l ' intersection de la mme fonct ion
exponentiel le et d'une droite parallle celle du cas prcdent. O n
peut vo i r d 'ai l leurs que l'effet du prchargement conduit b ien
une d iminut ion trs sensible de h c , donc de F. Sur hc, F n
atteint l a valeur :
2 R Ko tg 8
F - = m ( X , b ) ( 1 - 9 ) q ( 7 b i s )
et si 8 = 1 (surcharge q 0 mise l 'avance et totalement
consolide), F = 0.
4. - Evolution du frottement ngatif avec la consolidation
L ' examen de l 'augmentation progressive du frottement ngatif
en fonct ion de l a consol idat ion est ais. A l ' instant t, o le
degr de consol idat ion atteint U (0 < U < 1), l a contrainte
intergranulaire pour z = 0 vaut Uqo. L a hauteur maximale
correspondante h c est donc dfinie par (6) o q 0 est
remplac par U q 0 ; F (U) atteint donc - - U q 0 . F est donc
proport ionne l U . A titre m (X, b)
d'exemple, l 'essai d 'un pieu mtallique, ralis par Bozo zuk
[7], justifie trs correctement ce rsultat.
I l s'agissait d 'un pieu de 0,30 m de diamtre et de 40 m de
longueur, flottant, fich dans une argile marine, sur lequel on a
enregistr, en fonct ion d u temps, les valeurs de F ci-contre :
Temps (anne) F (tonne)
0,1 * 37 0,5 65 1 80 3 117 5 140
Si o n admet qu 'au bout de c inq ans, le degr de consol idat
ion est de 95 %>, auquel correspond u n facteur temps T Y de
1,13 on trouve, en admettant la proportionnalit entre U et F, les
rsultats suivants :
F . (tonne)
U Temps (anne)
140 1,13 0,95 5 117 0,55 0,79 2,5
80 0,238 0,54 1,05 65 0,150 0,44 0,6 37 0,049 0,25 0,2
L a comparaison entre les temps
thoriques et mesurs est donc
fort honorable, compte tenu en
part icul ier des variations possi-
bles de C v (coefficient de conso-
l idation) avec U .
5. - In f luence de l a compressibilit d u so l
E n admettant, tout lgitimement, qu'une augmentation de Y '
correspond une d iminut ion de l a compressibilit, l a figure 6
montre, en supposant toutes choses gales par ail leurs, que si Y '
aug-mente, he d iminue, mais que F n'est pas modifi.
99
-
6. - Influence du coefficient d'accrochage X sur la hauteur h
.
Cette influence est d'autant plus importante que l 'espacement
entre pieux crot. P o u r en juger, i l nous a paru plus simple de
choisir un exemple numrique ; cet effet, o n a pris des p ieux de
rayon R = 0,26 m avec Ko tg 8 = 0,26 et on trace (fig. 7), en fonct
ion de X, les valeurs de h c pour diverses valeurs de q 0/' et deux
couples b/R (oo et 5). O n note particulirement que pour les
espacements faibles qu i sont les cas les plus courants (groupe de
pieux) , l ' influence de X reste faible.
Coefficient d'accrochage X
40 50 Hauteur critique h. (m)
V
300 Effort (t) (courbe B) 500 600 700
Courbe A 9s. - 10 , hauteur critique. I en fonction de X
Courbe B : Effort ngatif sur le pieu pour _44 m d'argile,en
fonction de X_
Fig. 7 - Calcul de la hauteur critique. Influence de l'entre-axe
des pieux (b/R). Coefficient d'accrochage X.
R = 0,26 m, K 0 tg o? = 0,26.
D / R = oo (pieu isol). b/R = 5.
js 0.30 u o 8 0,25 TD
| 0,15
-
Nous part irons de cette valeur X = 0,1 et examinerons prsent le
cas de figure d 'un grand nombre de pieux traversant cette mme
couche d'argile, et tel que b/R = 5.
O n aura (fig. 5) Ro
m (X,b) = 0,104 Ko tg 9
soit m (X, b) = 0,113
L a hauteur d 'act ion h c est alors telle que (fig. 6) m h c =
1,045 et hc = 9,25 m. L e frottement F ne se dveloppera donc que
sur cette paisseur de sol mou , sa valeur
_ , 2 T C R K O te ?
tant F = . , f q 0 = 40 tonnes. m (X, b)
I l est intressant d 'examiner ce que pourrai t donner l a
thorie pressiomtrique dans ce cas. L a cohsion non draine mesure au
scissomtre est de l 'ordre de 3 t/m z ; nous estimerons qu'el le
correspond une pression l imite de l 'ordre de 1,8 bar. L ' app l i
ca t i on de la mthode donnerait u n frottement ngatif unitaire de
0,13 bar, soit, sur 44 m : F = 95 tonnes. L e rsultat est trs loign
des 460 tonnes mesurs sur le p ieu isol, mais en revanche, b ien
plus proche de ce lui calcul ci-dessus pour u n grand nombre de
pieux. Les cas de figure les plus frquents de groupe de pieux tant
intermdiaires entre ces deux tats, mais tout de mme plus proches du
second, l a valeur de 95 tonnes moyennes par pieu peut paratre
acceptable. L e rsultat n'est cependant pas satisfaisant pour
autant, puisque l 'appl icat ion de cette dernire thorie aurait
conduit une valeur de F double pour une paisseur double de sol
compressible, le chiffre de 40 tonnes n'tant vi-demment pas modifi.
L ' exp l i ca t i on rside bien sr dans l'incapacit de fixer, avec
le pressiomtre, la longueur d u pieu sur laquelle agit F.
U n e autre srie d'essais concernant le frottement ngatif a t
ralise aux Pays-Bas [8]. I l s'agis-sait, pour des sites diffrents,
de sept pieux mouls en place, type V i b r o , un pieu tube acier
et trois pieux V i b r o , comprenant des dispositifs de rduction
de frottement ngatif (bitume ou ben-tonite). L es pieux
traversaient 20 25 m de sols susceptibles de tassement et taient
fichs dans des sables trs rsistants. Les surcharges en tte,
uniformment rparties, atteignaient en moyenne 9 t/m 2 (4,50 m). L a
valeur de F tait mesure par des appareillages situs lgrement
au-dessus de l a couche rsistante ; l'interprtation que nous avons
faite des mesures effectues concerne les efforts finaux mesurs et
on a admis que l a distance tte de pieu-cel lule de mesure
reprsente h c * .
Pour chaque pieu, connaissant donc h c , F, q 0 , R , on peut,
sans difficult, calculer X l 'aide de la figure 5, puis aprs
quelques ttonnements, calculer Ko tg S.
Pour les onze pieux tests, on a reprsent sur l a figure 9 le
graphique donnant X en fonct ion de Ko tg S ; le point figuratif de
l 'essai de Norvge y a t report et s ' inscrit trs correctement sur
la courbe. L 'ensemble des rsultats est, sur le p lan qualitatif,
parfaitement logique.
Coefficient d'accrochage X ' ,5
1,0
0,5
L Pieu 7 biti m
*^ ieu8^ aentonite
" l 1 1 I 1 1 1 1
11 bentonite
Pieu 9 I I 1 1
Pieu 10 bton
acier 5 I I I I
3ieux bton
ftT" Pi - *
et 6 3 et 4 I I I I
>u Norvge acier
I I I Fig. 9 - Relation entre X et K 0 tg .
K tg
8. - Chemisage des pieux
Choisissons u n cas de figure o l a hauteur d 'act ion du
frottement F atteigne h c . O n sera tent, au n iveau du
dimensionnement, de rduire F, ce qu i conduit souvent, dans l a
pratique, prvoir un chemisage perdu efficace dispos sur l a hauteur
h c des pieux. Nous supposerons, et c'est ce quo i on cherche
parvenir, que cette chemise est idalement efficace, ce qu i revient
assigner au coefficient X l a valeur oo. A u c u n effort n'est
donc transmis au pieu le long de cette chemise ;
* Ce n'est qu'une hypothse, non vrifiable. Une exploitation
complte aurait ncessit plusieurs niveaux de mesure de l'effort le
long du pieu.
101
-
dans ces condit ions, b ien entendu, l a pro fondeur h c au sein
d u sol , l a contrainte verticale vaut uniformment q 0 + y'hc. O n
en conclut donc que d u frottement ngatif apparatra ce niveau et se
dveloppera sur une hauteur h'c. La. chemise prvue ne peut donc se
rvler totalement efficace et i l y a l i eu de s'inquiter de
l'intensit des efforts transmis en une partie plus basse d u p ieu.
O n montre aisment que l a nouvel le hauteur d 'act ion h ' c
(compte part ir du niveau infrieur chemis) est donne par :
e m (X, b) h'c =
de forme identique (7).
Quant l a contrainte q (z, R ) , elle est reprsente entre h c et
h'c par :
( Z ' R ) = m - ( b ) + ( * + ^ - "m 1 ) e ~ m ( Z _ h c )
M a i s si o n doit, vis--vis d u p ieu, considrer l 'ensemble q
9 + y ' h c comme l a surcharge, le terme r'hc joue le rle d'une
surcharge pralable.
L a seule f ract ion agissante de l a surcharge est donc q 0 et
on en dduit (7 bis) que F' = F * .
C e rsultat est important et tend montrer que le chemisage idal
est en fait inuti le s ' i l n'est pas prvu sur toute l a hauteur H
de sol compressible. I l est cependant ncessaire de nuancer
lar-gement l a porte d'une telle conc lus ion. Nous n'avons, en
effet, jamais fait intervenir au cours de cette tude, les notions
de charge en tte de p ieu et de dplacement relatif sol-pieu, qu i
peuvent modif ier trs largement le comportement qu i vient d'tre
dcrit. O n se rapprochera probablement assez sensiblement d 'un tel
comportement dans le cas de p ieux reposant au travers de sols
compres-sibles, sur u n substratum pratiquement indformable. Dans l
a mesure o h c est trs largement infrieur H , et si les condit ions
de chargement imposent l ' annih i la t ion d u frottement ngatif,
i l sera ncessaire de prvoir le chemisage efficace souhait sur l a
hauteur totale H . P a r contre, dans le cas de p ieux flottants, i
l en sera tout autrement.
III. LE FROTTEMENT NEGATIF SUR UN GROUPE LIMIT DE PIEUX
Nous avons, jusqu' prsent, raisonn sur u n mai l lage de p ieu
suppos inf ini , avec, de mme, une surcharge q 0 uni forme et
indfinie. L a ralit est diffrente et nous admettrons, dans u n
premier stade, que l a surcharge q 0 reste indfinie, mais que le
groupe de pieux, ceux-c i tant rgulirement
espacs, reste fini. On est amen rechercher, comme dans le
cha-pitre II, l'lment de vo lume (relatif u n p ieu quelconque d u
groupe), l'intrieur duquel on pour ra dterminer le comportement
mcanique d u systme sol-pieu.
Pour le p ieu isol, cet lment est l 'ensemble g lobal indfini. P
o u r deux pieux, i l est constitu du demi-espace indfini limit par
l 'axe
y de symtrie des deux p ieux (fig. 10).
Fig. 1 0 P o u r quatre pieux, disposs suivant u n carr, c'est
le quart de l 'espace g lobal (fig. 11).
Lorsque le nombre des pieux est trs grand, pour les p ieux
centraux, le comportement est analogue au cas d u groupe indfini. P
o u r ceux de l'extrieur, le comportement sera perturb. O n est
tout naturel le-ment amen chois ir pour lment le vo lume dlimit
autour de chaque pieu par l a surface, l i eu des points situs
mi-distance des pieux. I l y a donc, par exemple, pour le cas de l
a figure 12, trois types de p ieux : deux pieux centraux, quatre
pieux d'angle, et
Fig. n six pieux extrieurs.
102
- Choisissons u n pieu quelconque. Nous appellerons
-
1,5
1,0
0,5
\
\, \ x ( X d \ R ; \
I I I I I I I I I I I I I I I I 0,5 1.0 1,5 X d
et K v = o (X d/R).
Application numrique
O n considre des groupes successifs de pieux, traversant une trs
forte paisseur H de so l compres-sible (telle que h c , pour un
pieu isol, soit infrieur H ) . Les paramtres du problme sont :
Ko tg 8 = 0,282 ; y ' = 1 t/m 2 ; R = 0,26 m ; ^ = 5 (soit ^- =
4,4), X = 0,1 ; q 0 = 10 t/m 2 . R R
L e ca lcu l de F (1), F (2) et F (3) donne respectivement F (1)
= 10 tonnes ; F (2) = 28 tonnes ; Fn (3) = 115 tonnes. Ces trois
valeurs permettent de calculer F pour des groupes successifs de
pieux.
Schma du Groupe V a l e u r de F
par type de pieu
F n moyen par p i eu (tonne)
(1) Fn = 4 F (3) = 460 t 460
(1) 1 (1) Fn = 2 F , (3) + 2 F (2) = 286 t 286
(1) 1 (2) ! (1) p ieu pieu 1 Fn = 2 F (3) + 2 F (2) = 2 F = 4 F
(2) = 112 t
286 t 228
(1) 1 (2) 1 (1) p ieu 1 Fn = Fn (1) + 2 Fn (2) + Fn (3) = 180 t
145 (1) 1 (2) 1 (1) p ieu 2 Fn = 2 F . (1) + 2 Fn (2) = 76 t (1) 1
(2) 1 (2) (3) 1 (1) 1 (2) 1
(1) (2) (1)
pieu p ieu pieu
1 Fn = 180 t 2 F = 76 t 3 Fn = 40 t
118
IV. LE FROTTEMENT NEGATIF INDUIT SUR UN GROUPE LIMITE DE PIEUX
PAR UNE CHARGE DE GOMTRIE QUELCONQUE
O n convient de dfinir les lments de vo lume relatifs chaque
pieu, de manire identique celle expose au chapitre III.
O n appelle : q 0 i r (z, p, 9 ) l a contrainte induite par le
rembla i en l 'absence de pieux,
q (z, 0, 9 ) l a contrainte verticale dans le sol , en prsence
du frottement ngatif.
104
-
E n outre, o n choisit une l o i de var iat ion de cette
contrainte, de type :
R
q (z, p, 9 ) q (z, R, 9 ) = [q , (z, p, 9 ) + Y z q (z, p, 9 ) ]
1 e R X
L e dveloppement des calculs, avec l'hypothse d'une contrainte
radiale uni forme dans le p ieu (mais variant avec 9 ) , conduit
l'quation diffrentielle :
n, e 1 P ~ R ) R l J ( z > P , ? ) e l * p d p
m [X, b ( 9 ) ] q (z, R , 9 ) + ^ (z, R , 9 ) = y ' + q ( 1 0
)
8 z -b -x p ~ R e R pdp
soit m [X, b ( 9 ) ] q (z, R , 9 ) + ^ (z, R , 9 ) = Y ' + q 0 F
(z, 9 )
E n intgrant cette quation diffrentielle entre 0 et z, on
obtient :
ou
$0 q ( z'R'* } d z + iTIxW [q ( z'R' ?)Jo = + ^ S F ( Z'? ) d
Z
^ q (z, R , 9 ) dz = m ^ |V z q (z, R , 9 ) + q , (0, R , 9 ) +
q . ^ F (z, 9 ) d z j S i pour chaque gnratrice du pieu l a hauteur
d 'act ion maximale du frottement ngatif h c est atteinte,
c'est--dire si v 'z = q (z, R, 9 ) , alors q est proportionnel au
premier membre, qui , l u i -mme, reprsente, un facteur prs, et une
intgration de 0 2 TC prs, le frottement ngatif le long du pieu.
I l sera videmment souvent impossible, mme pour des
distributions simples de l a charge sur le so l , d 'obtenir sous
forme analytique simple l 'expression de l a fonct ion F (z, 9 ) et
mme dans ce cas, de rsoudre l'quation diffrentielle qu i l a
contient. O n pourra rechercher pour l 'expression de o-r (z, p, 9
) des formes analytiques approches simples pouvant conduire une
solut ion aise de l'quation diffrentielle.
Exemp l e d ' app l i ca t i on ( f ig . 15)
O n considre un demi-rembla i inf ini , recouvrant un ensemble
infiniment tendu de pieux rguli-rement espacs. O n s'intresse un p
ieu situ en dehors de l 'emprise de la surcharge. L a contrainte en
un point P de l 'axe du pieu, situ l a distance L d u rembla i et l
a cote z vaut :
o-r (P) = f arc tg -y- + m ^ L L 2 + z 2
O n admettra, pour une surface S relativement peu tendue (cas le
plus souvent rencontr pour les espacements courants entre pieux)
que pour toute cel le-ci , l a contrainte 0-,, la cote z, conserve
l a mme valeur.
D 'autre part, comme ^ ne se prte pas l'intgration de l'quation
diffrentielle, on a chois i
4 z
de l a reprsenter par l a fonct ion approche s imple 5i e * L .
TtL
L a so lut ion est alors fournie par : _ 4 z
m ( X , b ) q ( z , R ) + - ^ ( z , R ) = y ' + ^ e
4 z
/ n \ Y ' Y ' 2q0 \ m z 2q0 ~ ~ ^ f soit q (z, R ) = + M ; e + ^
- e L
m \ m TC m L 4 / TC m L 4 h c , hauteur maximale d 'act ion de F
, est dtermine par q (hc, R ) = y ' h c . O n dmontre aisment
105
-
F (t)
Fig. 15
40 t 4 0 -
q = 10 t / m ' , I
^ 2 0 30 L (m)
, * * 4 4 4 illlilii1111i , I ^ 2 0 30 L (m)
0
5 -
9,25 m 10
(m) Fig. 16
que cette quation a toujours deux racines en h c , dont la
premire vidente hc = 0. L a seconde qu i nous intresse, tend vers 0
si q0 0 quelle que soit L (racine double pour q 0 = 0) et de mme
tend vers 0 si L oo quel que soit q 0 .
Sur une hauteur de pieu z, F atteindra :
2 % R Ko te 8 [ , Y Z Fn (Z ) = m (X, b) q ( z , R ) + f ( l
4_z_N
E n part icul ier , pour z = hc, 4hc
2 R K S / ^ F n (hc) = ( i " ~2~ \^ e ^ j> qu i s'annule bien
pour q 0 = 0 et pour L co.
Si par contre, on choisit un pieu, situ sous l 'emprise d u
rembla i , la contrainte q (z, R ) vaut alors :
4 z
q ( z , R ) = ^ + U o + q o | - - 4 - ^ i e - m Z m \ i m L 4 m
2qo
7t m L 4 1L
L a solut ion q (hc, R ) = Y ' h c n'admet, dans ce cas, qu'une
seule racine et
2 7 c R K t g S q o / * Fn (hc) = ,. . . p - ~ 1 + e T C L
m (X, b) 2 \
O n voit que pour L = 0, les deux expressions de F n conduisent
Fn = 2 T : R Ko tg 8 qo
m ( X , b ) T
O n a reprsent sur l a figure 16, l a var iat ion de h c et de F
n avec L pour un pieu (R = 0,26 m)
d 'un groupe rgulier dfini par = 5 (entre-axe entre pieux d =
1,15 m) ; les autres caract-R
ristiques sont q 0 = 10 t/m 2 , Y ' = 1 t/m 3 , Ko tg 8 = 0,26
et X = 0,1.
O n a dj vu en II.7, que pour ce mme pieu avec un rembla i
indfini, F = 40 t et h c = 9,25 m .
C O N C L U S I O N
L ' imper fec t ion actuelle des mthodes de ca lcu l du
frottement ngatif nous a conduits introduire la not ion
d'accrochage du sol soumis aux tassements autour du ft d u pieu. L
' appar i t i on mme du phnomne de frottement ngatif, entranant des
contraintes dans les lments de l a fondat ion, ne peut en effet se
manifester sans un dchargement du sol immdiatement autour du pieu.
L e coefficient d'accrochage X, variant de zro l ' in f in i ,
dtermine le degr plus ou moins fort de l 'accrochage. I l conduit ,
tout naturellement, l a dfinition de l a hauteur maximale d 'act
ion d u
* L reprsente la valeur absolue de l'abscisse du centre du pieu
sur l'axe orient O L ; h c dans un cas ou l'autre dpend 4
videmment de la valeur algbrique de L. L'quation diffrentielle
(11) admet une solution particulire pour L = , les conclusions
concernant h c et F n restant inchanges.
106
-
frottement ngatif. O n a p u montrer, part ir de rsultats
d'essais en vraie grandeur, l 'a l lure de la relat ion l iant X au
terme Ko tg 8. D'autres essais pourront permettre de mieux prciser
les valeurs de ces coefficients en vue des applications
pratiques.
En f in , le ca lcu l prvoit l a proportionnalit entre
frottement ngatif engendr et degr de conso-l idat ion de l a charge
transmise au sol , prvision qu i a p u tre vrifie lors d 'un essai
effectu au Canada .
B I B L I O G R A P H I E
[1] Service d'tudes techniques des routes et auto-routes et
Laborato ire des Ponts et Chausses, Fondations courantes d'ouvrages
d'art, F O N D . 72, oct. 72.
[2] Z E E V A E R T , Rduction de la capacit portante des pieux
due au frottement ngatif, F i r s t pan ame-r i can confrence of
soils mechanics, Mexico, sept. 1959.
[3] Rgles d'utilisation des techniques pressiom-triques pour le
calcul des fondations, Brochure D/60/67, oct. 1967.
[4] G R E S I L L O N J . -M. , Etude des fondations profondes
en milieu pulvrulent, Fac . des Sciences de l'Universit de
Grenoble, sept. 1970.
[5] D E B E E R E . et W A L L A Y S , Quelques problmes
que posent les fondations sur pieux dans les zones portuaires,
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[6] J O H A N N E S S E N et B J E R R U M L., Measurement of
the compression on a steel pi le de rock due to settlement of the
surrounding clay, Norwegian Geotechnical Institute, Oslo 1965.
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Frotte-ment ngatif et tassements des fondations sur pieux, T Congr.
Int. Mec. Sols Trav . Fond . , Mexico 1969. Sance spciale.
107