Bloque Analisis Bachiller

7/23/2019 Bloque Analisis Bachiller

1/99

MATEMTIQUES II TEMA 1: LMITS CONTINUTAT I DERIVABILITAT Pgina. 0

BBLLOOCC II::AANNLLIISSII

TEMA 1: LMITS. CONTINUTAT I DERIVABILITAT

TEMA 2 : APLICACIONS DE LA DERIVADA

TEMA 3: CLCUL INTEGRAL

MA

TEMTI

QUES2n

BATXILLERAT

IESCOTESBA

IXES


2/99


TEMA 1.- LMITS. CONTINUTAT I DERIVABILITAT

NDEX

1.1 LMIT D'UNA FUNCI EN UN PUNT. LMITS LATERALS

1.2 LMITS EN L'INFINIT

1.3 CLCUL DE LMITS

1.4 CONTINUTAT

1.5 DISCONTINUTATS.TIPUS1.5.1 DISCONTINUTAT EVITABLE

1.5.2 DISCONTINUTAT DE SALT FINIT O DE PRIMERA ESPCIE1.5.3 DISCONTINUTAT ASIMPTTICA1.5.4 DISCONTINUTAT DE SEGONA ESPCIE1.5.5 DISCONTINUTAT DE SALT INFINIT

1.6 TEOREMES DE CONTINUTAT1.6.1 TEOREMA DE BOLZANO1.6.2 CONSEQNCIES

1.6.2.1 TEOREMA DE DARBOUX1.6.2.2 TEOREMA DE WEIERSTRASS

1.7 MESURA DE LA VARIACI D'UNA FUNCI EN UN INTERVAL: TAXA DE

VARIACI MITJANA. INTERPRETACI GEOMTRICA

1.8 LA FUNCI DERIVADA

1.9 RELACI CONTINUTAT I DERIVABILITAT

1.10 CLCUL DE LES RECTES TANGENT I NORMAL A UNA CORBA EN UNPUNT

1.11 CLCUL DE LMITS UTILITZANT LES DERIVADES: REGLA DE LHPITAL1.11.1 TEOREMA DE LHPITAL1.11.2 OBSERVACIONS1.11.3 APLICACIONS DEL TEOREMA DE LHPITAL AL CLCUL DE

LMITS

1. 12 TEOREMES FONAMENTALS DE LES FUNCIONS DERIVABLES1.12.1 TEOREMA DE ROLLE1.12.2 TEOREMA DEL VALOR MITJ O DE LAGRANGE1.12.3 TEOREMA DE CAUCHY


3/99


1.1 LMIT D'UNA FUNCI EN UN PUNT. LMITS LATERALS

Qu entenem per lmit d'una funci en un punt?

Siga f(x)= x2. Qu li passa a la funci quan ens apropem al valor x=1? Observa la taula i lagrfica de la funci.

1)(lim11)(lim

1

1)(lim

1

xfxxf

x

xf

x

Conclussi: Perqu existisca el lmit d'unafunci en un punt, han d'existir els seus lmitslaterals i coincidir. A ms si hi ha el lmit de lafunci en un punt este s nic

DEF:Direm que:

L)x(fa,ax/00L)x(fax

lim

1.2 LMITS A L'INFINIT

Qu li passa a la funci quan ens apropem a valors molt grans o molt xicotets?

Observa la grfica de la funci h(x) =x

1x

Calcula

)x(hlim

)x(hlim

x

x

x f(x)0 0

0,9 0,810,990,999

11,0011,011,1


4/99


1.3 CLCUL DE LMITS

En general per a calcular el valor del lmit duna funci en un punt substituirem la x pelpunt a qu ens apropem. Si obtenim com resultat un valor concret, + o-, eixe serel valor del lmit. En cas contrari estarem davant d'una indeterminaci que cal resoldre.Les indeterminacions possibles sn:

0010

0

0 0

A ms hem de tindre en compte les segents propietats de la suma, el producte i elquocient de les funcions.

SUMA:

Lim f(x) A A + - +

Lim g(x) + - + - -

Lim(f(x)+g(x)) + - + - Indeterminaci

PRODUCTE:

Lim f(x) A0 0

Lim g(x)

Lim(f(x)g(x)) Indeterminaci

QUOCIENT:

Lim f(x) A0 A 0

Lim g(x) 0 A 0

Lim(f(x)/g(x)) 0 Indeterminaci Indeterminaci


5/99


CLCUL DE LMITS. RESOLUCI DINDETERMINACIONS.

A-FUNCIONS POLINMIQUES: P(x)

A.1 )x(Plimax

,aR Substituirem x per a.

Exemple: 5322)3x2(lim 222x

A.2

)x(Pli m

)x(Pli m

x

x El lmit coincideix amb el lmit del monomi de major grau.

Exemple:

33

x

3

x

33

x

3

x

)(3x3lim)1x3(lim

3x3lim)2x3(lim

B-FUNCIONS RACIONALS:P(x)/Q(x)

B.1)x(Q

)x(Pli m

ax,a R Substituirem x per a

a) Si Q(a) 0)a(Q

)a(P

)x(Q

)x(Plim

ax

Exemple:

6

11

6

38

x3

3x2lim

2

2x

b) Si Q(a)= 0 i P(a)=0 Estem davant la indeterminaci 0/0. Per a resoldre-la simplificarem la fracci descomposant el numerador i el denominador

Exemple: 6)3x(lim3x

)3x)(3x(lim

0

0

3x

9xlim

3x3x

2

3x

c) Si Q(a)= 0 i P(a) 0 Estem davant la indeterminaci K/0 per a resoldre-la

calcularem els lmits laterals obtenint valors de + i -

Exemple:No existeix1x

1lim

1x ja que no concideixen els lmits laterals:

1x

1lim

1x

1lim

0

1

1x

1lim

1x

1x

1x


6/99


B.2)x(Q

)x(Plim

x i

)x(Q

)x(Plim

x substituint ens apareixeran les indeterminacions:

a) La resoldrem dividint numerador i denominador per la mxima potnciadx en tota lexpressi:Exemple:

04

02232

4

523

lim22324

523

lim22324

523lim

32

32

333

3

333

2

3

2

xx

xxx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

xxx

Tamb la podrem resoldre estudiant el grau del numerador i del denominadorde manera que:

1) Si el grau del numerador > grau del denominador el lmit ser .2) Si el grau del numerador< grau del denominador el lmit ser 0.

3) Si el grau del numerador = grau del denominador El valor del lmit ser elquocient dels coeficients que acompanyen a la incgnita del dit grau.

Exemple:

0

1

x4

xlim

22x32x4

1xlim

3

4

x3

4

x

b) - La resoldrem fent loperaci, mcm, i calculant el valor del lmit:

Exemple:

xx

x

x

xx

x

xxxx

x

xxx

xx

xxx

2lim2

lim

2172lim

2)12()2)(13(lim)(

21213lim

2

222

C-FUNCIONS IRRACIONALS

Hem de tindre en compte les propietats segents:

nax

n

axax

n

x

nn

x

n

)x(flim)x(flimso)x(flimSi3

xlim-2

axlimaSi1

Exemple: 124lim4lim2

4

2

4

xx

xx


7/99


Ens podem trobar dos tipus dindeterminacions:

a) 0/0 Multiplicarem i dividirem per lexpressi conjugada de larrel

Exemple:

2)x11(limx

)x11(xlim

)x1(1

)x11(xlim

)x1()1(

)x11(xlim

x11)x11(

)x11(xlim

0

0

x11

xlim

0x0x0x

220x0x0x

b) - Multiplicarem i dividirem per lexpressi conjugada de larrel

Exemple:

0

2

2

2lim

2

2lim

2

22

lim)(2lim

xxxx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

D-INDETERMINACI DEL TIPUS 0

Es resoldr transformant-la en una indeterminaci del tipus

0

0o

Exemple:

2

1

4

1

3x4

49x14xlim

3x4

)7x(lim0

3x4

1)7x(lim

2

2

x2

2

x2x

E-INDETERMINACI DEL TIPUS 1

NOTA : Recordem que el nombre ees definia com ex

11lim

x

x

.A partir desta

expressi resoldrem la indeterminaci 1.

1 Per a resoldre-la utilitzarem la definici del nmero e o b la propietat

)x(g)1)x(f(lim)x(g

ax

axe)1()x(flim


8/99


Exemples:

e1ex2

11

x2

11lim)1(

x2

11lim)1

3x2

x

3x2

x

3)3x(

x3lim)3x(

x3)3x(

x

)3x(

)3x(x3

x

x3

x

x3

x

ee)3x(

11lim

)3x(

11lim

)3x(11limdivisilaFent1

3x2xlim)2

x

1eeeee)1(1x

4xlim)3 01x

x10limx2

1x

5limx2

1x

1x4xlimx21

1x

4xlimx2

2

2

x

2x2x2

22

x2

2

x

F- INDETERMINACI 00I 0

Vorem com resoldre-les ms endavant fent s de la Regla de lHpital

1.4 CONTINUTAT

DEF:Una funci f(x)s continua en un puntx = asi:

afxfax

L

Lxf

ax

Lxf

ax

af

Lxfax

)(lim3

lim

lim

2

1

lim

s a dir: Si afxfa,ax/00


9/99


Exemple:Donada la funci:

2xsi2

2x0si1x2

0xsi12x

xf , s continua en x = 0? I en x = 2?

Estudi de la continutat en x=0:

0en xcontinuas

112

0

lim

0

lim

112

0

lim

0

lim

11200

xf

x

x

xf

x

x

x

xf

x

f

Estudi de la continutat en x=2:

2en xcontinuasno

22

2

lim

2

lim

512

2

lim

2

lim

51222

xf

x

xf

x

x

x

xf

x

f

PROPIETATS

Donades les funcions xf i xg continues en un puntx = aes compleix:

1- xgf continua enx = a



4- Rxfk ki s continua enx = a

5- 0agixg

f

s continua enx = a

CONSEQNCIES

1- La funci f(x)= x s continua en R aleshores totes les funcions polinmiquessn contnues en R.

2- Tota combinaci lineal de funcions contnues sn contnues.

3- Les funcions racionals sn contnues excepte en els punts on sanulla eldenominador.

4- Si xf s continua en x = a i xg s continua en af xfg s continua en

x = a


10/99


1.5 DISCONTINUITATS.TIPUS

Quan una funci no s continua direm que s discontinua. Anem a vorer els diferentstipus de discontinuitats.

1.5.1 DISCONTINUITAT EVITABLE

Diferenciarem dos casos:

afxf

limaxaf

Lxflimax)a

(Existeix el lmit, s finit, per no

coincideix amb el valor de la funci en el punt)

afno

Lxflimax)b (No existeix el valor de la funci en el punt)

1.5.2 DISCONTINUITAT DE SALT FINIT O DE PRIMERA ESPCIE

xf

limax

noMxflim

ax

Lxflim

ax

(Existeixen els lmits laterals, sn finits

per no coincideixen aleshores no existeix el lmit)

1.5.3 DISCONTINUITAT ASIMPTTICA

xflim

ax

xflim

ax (Els lmits laterals sn infinits no necessriament

iguals)


11/99


1.5.4 DISCONTINUITAT DE SEGONA ESPCIE

Quan un dels lmits laterals no existeix i laltre s infinit.

1.5.5 DISCONTINUITAT DE SALT INFINIT

Quan un dels lmits laterals s finit i laltre infinit.

Exemple:Estudia la continuitat i classifica, si s el cas, els punts de discontinuitat dela funci:

3xis72x

3xsi1

3x1si1x

1xsi1x

1

)x(f


12/99


1. Per a x


13/99


1.6 TEOREMES DE CONTINUITAT

1.6.1 TEOREMA DE BOLZANO

Si f(x) s una funci continua en un interval [ a , b ] i signe f(a)signe f(b) ,

aleshores existix c ( a , b ) tal que f(c)=0s a dir si xf s una funci continua en [ a , b ] i

0/,0 cfbacbfaf

Interpretaci geomtrica:

NOTA:El valor de c no t per qu ser nic; pot o no ser-ho. El teorema noms ensassegura lexistncia dalmenys un punt.

La hiptesi de continutat s necessria, s a dir, si la funci no s continua pot serque canvie de signe en els extrems sense que hi haja una arrel o soluci.

Exemple: Aplicantel Teorema de Bolzano, demostra que lequaci x3+x-3=0 t unaarrel entre 1 i 2.

Definim f(x)= x3+x-3 que s una funci polinmica aleshores continua en tots elsnombres reals,en particular a linterval [1,2]

f(1)= -1 f(2)= 7

Aleshores podem concloure que existeix c ( 1 , 2 ) tal que f(c)=0


14/99


1.6.2 CONSEQNCIES

1.6.2.1 TEOREMA DELS VALORS INTERMITJOS (DARBOUX)

Si f(x) s una funci continua en un interval [ a , b ] aleshores pren tots els valorsintermitjos entre af i bf . s a dir:

Si f(x) s una funci continua en [ a , b ] kcf/b,ac)b(f),a(fk

Dem:

Considerem la funci g (x) = f (x )k

g ( x ) s continua en [a , b] ja que f ( x ) s continua i k s constant

g (a) = f (a)k 0

Aplicant el teorema de Bolzano 0/, cgbac f ( c ) k = 0 f (c ) = k

CONSEQNCIA

Si f(x) i g(x) sn funcions continues en un interval [ a , b ] i agaf i bgbf

)c(gcf/b,ac .

Dem:

Considerem la funci h (x) = f (x )g (x)

h ( x ) s continua en [a , b] ja que f ( x ) i g ( x ) sn contnues


15/99


h (a ) = f (a)g (a) 0

Aplicant el teorema de Bolzano 0/, chbac f ( c ) g ( c ) = 0 f (c ) = g (c)

Exemple: Demostra que les grfiques de les funcions f(x)=lnx i g(x)=e-xes tallen enalgun punt de linterval [1,3].

Aplicant la consequncia del teorema de Darboux ; les dues funcions sn contnues alinterval[1,3] i a ms a ms f(1)=0g(3)=e-3 )c(gcf/3,1c

1.6.2.2.TEOREMA DE WEIERSTRASS

Si f(x) s una funci continua en un interval [ a , b ] aleshores t un mxim i un mnim

absolut en eixe interval. s a dir, dfxfcf/b,ad,cb,ax

1.7 MESURA DE LA VARIACI D'UNA FUNCI EN UN INTERVAL: TAXA DEVARIACI MITJANA. INTERPRETACI GEOMTRICA

Exemple:Llancem una pilota cap amunt, de manera que l'altura aconseguida per la

mateixa segueix la llei:

a(t) = 5 + 30t - 5t2, sent a(t) l'altura en metres a qu es troba en l'instant tsegons

1.-Quan tornar a estar al nivell del sl?

a(t)=0 s a dir quan -5t2+30t+5=0 ; t=6,16 s t= -0,16 s per tant al cap de 6,16segons

2.-Quina s l'altura mxima que aconseguix?

TAXA DE VARIACI MITJANA:

En general, definim la taxa de

variaci mitjana d'una funci f(x)

en l'interval [a,b]

com:

x

xf

ab

afbfTM

)()()(


16/99


En el vrtex de la parbola que descriu el moviment V(vx,vy) on vx= 32

a

bi vy=50

aleshores laltura mxima ser 50 metres

3.- Quina s la velocitat mitjana entre el primer i tercer segon?(recorda que vm= e/t)

s/m102

3050

13

)1(a)3(avm

4.- I entre el primer i el segon?

s/m151

3045

12

)1(a)2(avm

5.- I entre 1 i 1'5 segons?

s/m17

5,0

3075,38

15,1

)1(a)5,1(avm

6.- Quina ser la velocitat que porte a l'instant t = 1 segon?

Esta velocitat instantnia la podem calcular de la forma:h

)1(a)h1(alimv

0h1

200520h

)h520(hli m

h

h5h20li mh

30h5h2030li mh

)h(a)h1(al imv

30151305)1(a

h5h2030)hh21(5h30305)h1(5)h1(305)h1(a

0h

2

0h

2

0h0h1

2

222

s a dir la velocitat instantnia en el moment t = 1 segon ser de 20 m/seg.

Realment, el que hem fet s calcular la derivada de la funci a(t) en el punt t = 1.

DEF:Anomenarem derivada d'una funci f(x) en el punt x=a ,i ho escriurem f'(a), allmit, si existeix:

ax

)a(f)x(flim)a(f

h

)a(f)ha(flim

ax0h

La derivada d'una funci en un punt s el lmit de la taxa de variaci instantnia quanlincrement de la variable tendeix a zero.


17/99


Exemple:Siga 6x52x3xf . Calcula f(2) i f(-1)

77h30h

limh

h72h3

0hlim

h

88h72h3

0hlim

861012625432f

8h72h36h5102h3h1212

6h5102hh4436h252h23h2f

h

2fh2f

0hlim2'f

118x3

1xlim

1x

8x31x

1xli m

1x

8x52x3

1xli m

1x

146x52x3

1xlim

)1(x

1fxf

1xlim1'f

NOTA :

Si el lmit existeix direm que la funci s derivable en el punt x = a Direm que una funci s derivable en un interval I quan siga derivable en

cada punt de linterval I. La derivada duna funci en un punt s un nombre real

Per a notar la derivada duna funci en un punt x = a utilitzarem diferentsnotacions:

adx

dfaDfafay ;;';'

La derivada duna funci es defineix a partir dun lmit, per tant, podem considerarlexistncia dels lmits laterals. Amb estos lmits laterals definirem les derivadeslaterals:

Anomenem derivada per lesquerrade la funci f en el punt x = a al valor del lmit:

ax

)a(f)x(flim

h

afhaflim)a('f

ax0h -

---

Anomenem derivad a per la dretade la funci f en el punt x = a al valor del lmit:

ax

)a(f)x(flim

h

afhaflim)a(f

ax0h

'

-

--

Aleshores , direm que una funci f(x) s der ivab leen el punt x = a si ho s per la dreta

i per lesquerra deixe punt i els valors dels lmits coincideixen.


18/99


Exemple:Sigala funci

3 xsix2

3xsi3xxf . s derivable en x=3? I en x = 4?

3'fNo

13x

63x

3xlim

3x

3fxf

3x

lim3'f

23x

6x2

3xlim

3x

3fxf

3x

lim3'f

lateralslmitselsfaremfunci,decanvide,conflictiupuntuns3x

14'14

73lim

4

4lim4'

44

4

fx

x

x

fxff

xx

x

En x=4 f(x) s derivable

INTERPRETACI GEOMTRICA DE LA DERIVADA

Siga la recta secant s, que talla a la corba y =f(x) en els punts A i P. Si considerem el

triangle rectangle ABP observem que h)a(f)ha(f

AB

PB

tg

i recordem que ms= tgsent msel pendent de la recta s.

Si el punt Pes va acostant al punt A, fins a confondre's amb ell, la recta secant s, estransforma en la recta tangent ti l'angle es transforma en l'angle , s a dir:

tg = mt= )a(fh

)a(f)ha(flmtglim

0h

Aleshores la derivada d'una funci en un punt s el pendent de la recta tangent a lagrfica de f(x) en eixe punt.

)(xfy


19/99


1.8 LA FUNCI DERIVADA

DEF: Fins ara hem treballat amb la definici de derivada en un punt x = a, pertamb podem calcular-la en un punt genric x .

Si una funci f s derivable en el seu domini, s possible definir una nova funci demanera que a cada nombre real del domini li associe la derivada de la funci en eixepunt. La funci definida aix sanomenar funci derivadao simplement derivada.

Ser el valor del lmit:

hxfhxflimx'f

0h

Ho escriurem: y = f ( x ) D f ( x )

dx

dy

dx

df

Exemple:Calcula, fent s de la definici, la derivada de la funci constant i de la

funci identitat.1) Funci constant

000h

limh

kk

0hlim

h

xfhxf

0hlimx'f

0x'fkxf

2) Funci identitat

1h

h

0hlim

h

xhx

0hlim

h

xfhxf

0hlimx'f

1x'fxxf


20/99


REGLES DE DERIVACI

SUMA )()( xgxfy )(')('' xgxfy

DIFERNCIA )()( xgxfy )(')('' xgxfy PRODUCTE

)()( xgxfy )(')()()('' xgxfxgxfy

QUOCIENT)(

)(

xg

xfy 2))((

)(').()().(''

xg

xgxfxgxfy

CONSTANT PER FUNCI )(xfky )('' xfky FUNCIN COMPOSTA ))(( xgfy )('))(('' xgxgfy

DERIVADES DE FUNCIONS ELEMENTALS

TIPUS FUNCI DERIVA DA

FUNCI CONSTANT ky 0'y

FUNCI POTENCIAL kxy 1' kxky

F.LOG. NEPERI xy ln x

y1

'

F. LOGARITME xy alog ax

yln

11'

F. ARREL N-SSIMA n xy )1

,.(1

1'

n

kpo tencialf

n nxny

F. EXPONENCIAL xey xey'

F. EXPONENCIAL xay aay x ln' F. SINUS xy sin xy cos'

F. COSINUS xy cos xy sin'

F. TANGENT xy tg x

xy2

2

cos

1)tg1('

F. COTANGENT gxy cot xxgy

2

2

sin

1)cot1('

F. ARCSINUS xy arcsin 21

1'x

y

F. ARCCOSINUS xy arccos 21

1'

xy

F. ARCTANGENT xy arctg 2

1

1'

xy

F. ARCCOTANGENT gxarcy cot 2

1

1'

xy


21/99


DERIVADES DE FUNCIONS COMPOSTES

TIPUS FUNCI DERIVA DA

FUNCI POTENCIAL n

xfy ))(( )('))(('1

xfxfny

n

F.LOG NEPER))(ln( xfy

)(

)(''

xf

xfy

F. LOGARITME)(log xfy a

axf

xfy

ln

1

)(

)(''

F. ARREL N-SSIMAn xfy )(

n nxfn

xfy

1))((

)(''

F. EXPONENCIAL )(xfey )('' )( xfey xf

F. EXPONENCIAL )(xfay axfay xf ln)('' )(

F. SINUS ))(sin( xfy )('))(cos(' xfxfy

F. COSINUS ))(cos( xfy )('))(sin(' xfxfy

F. TANGENT ))(tg( xfy )('

))((cos

1

)(')))((tg1('

2 xf

xf

xfxfy

F. COTANGENT ))((cot xfgy )(')))((cot1(

)('))((sin

1'

2

2

xfxfg

xfxf

y

F. ARCSINUS ))(arcsin( xfy )('))((1

1'

2xf

xfy

F. ARCCOSINUS ))(arccos( xfy )('))((1

1

' 2 xfxfy

F. ARCTANGENT ))(arctg( xfy )('))((1

1'

2 xf

xfy

F. ARC- COTANGENT ))((cot xfgarcy )('))((1

1'

2 xf

xfy

F. POTENCIAL -EXPONENCIAL

)()( xgxfy Aplicar logaritmes i derivar


22/99


DERIVACI LOGARTMICA

De vegades s molt ms fcil calcular la derivada del logaritme duna funci que de lafunci en s. Les funcions de la forma xgxf)x(h poden derivar-se utilitzant laderivaci logartmica, que consisteix en agafar logaritmes neperians, aplicar lespropietats, derivar i allar:

Exemple:

1xlnxx'y1xlny'yx1xxln1y'yDerivem

xlnxylnpropietatsApl iquem

xxlnylnlogaritmesAgafem

xxy

1.9 RELACI CONTINUITAT I DERIVABILITAT

Si f (x) s una funci derivable en un punt x = a aleshores f ( x ) s continua en x = a.

Dem:

Sabem que f ( x ) s derivable en x = a i hem de demostrar que f (x) s continua

en x = a,

s a dir: ?)a(f)x(fax

lim

00a'f)ax(ax

lima'f

)ax(ax

limax

)a(f)x(fax

lim)ax(ax

)a(f)x(fax

lim))a(f)x(f(ax

lim

0))a(f)x(f(ax

lim)a(f)x(fax

lim

Aleshores:

)x(f)a(f)x(fax

lim

s continua enx = a

Si f (x) s una funci continua en un punt x = a aleshores f ( x ) no necessriament sderivable en x=a.


23/99


Dem:

Ho demostrarem mitjanant un exemple

Siga xxf )( s continua? s derivable?

0si

0si)(

xx

xxxf

x = 0

continuas

00

lim)(

0

lim

00

lim)(

0

lim

00

xx

xf

x

xx

xf

x

f

derivablesNo

110

lim0

0

0lim0'

110

lim0

0

0lim0'

xx

x

xf

xx

x

xf

Per tant podem concloure:

CONTINUA DERIVABLE

DERIVABLE CONTINUA

NOTA: Quan la funci s continua en x=a, existeixen les derivades laterals en x=a ino sn iguals, direm que el punt x = a s un punt anguls. Per tant en un puntanguls la funci mai s derivable.

Grficament:


24/99


1.10 CLCUL DE LES RECTES TANGENT I NORMAL A UNA CORBA ENUN PUNT

Sabem que la derivada duna funci en un punt s el pendent de la recta tangent a lacorba en dit punt

Lequaci de la recta tangent a la corba en el punt 0xf,0xP ser:

0xx0x'f0xfy

Hem de recordar que tgx'ftm 0

Anem a vorer la recta normal, esta s la recta perpendicular a la recta tangent en elpunt 0xf,0xP .

Recordem que si dos rectes sn perpendiculars el producte entre les seues pendentss 1, aleshores:

0x'f1

nm

s el pendent de la recta normal. Per tant:

Lequaci de la recta normal ser:

0xx0

x'f1

0xfy

Si 00x'f no podem aplicar la frmula dabans, per en dit punt la tangent s

parallela a leix dabscisses i la normal s parallela a leix dordenades, lequaci sersimplement 0xx


25/99


1.11 CLCUL DE LMITS UTILITZANT LES DERIVADES: REGLA DELHPITAL

1.11.1 TEOREMA DE LHPITALSiguen gif dos funcions que verifiquen:

1- Sn derivables en un entorn del punt a, excepte, pot ser en el propi punta.

2- 0)x(gax

lim)x(fax

lim

3- Existeix: Lx'gx'f

axlim

Aleshores: xgxf

axli m

= Lx'gx'f

axlim

Exemple:

2

1

4

2

2

22

2lim

42

22

2lim

:HpitalL'aplicant,0

0

42

22

2lim

x

x

xx

xx

x

x

xx

x

1.11.2 OBSERVACIONS

Lenunciat del teorema de LHpital segueix siguent vlid quan:

)x(gax

li m

)x(fax

li m

El teorema de LHpital es formula de manera anloga quan as .

Exemple:

66

x4e64

x

lim

x6

x4e16

x

lim

2x3

4x4e

x

lim

3x

x4e

x

lim

:hpitalL'aplicant,3x

x4e

xlim


26/99


Si no existeix x'gx'f

axli m

no podem dir res de xgxf

axlim

De fet pot existir xgxf

axlim

i no x'gx'f

axlim

Exemple:

0x/1xsensenx

x

0xlim

senx

x/1sen2x

0xlim

xg

xf

0xlim

Per

xcos

x/1cosx/1xsen2

0xlim

x'g

x'f

0xlim

, este lmit no existeix ja que

no existeix x/1cos0x

lim

.

La regla de LHpital no sempre s vlida.

Exemple:tgx

xsec

2x

li m

Resolent directament: 1senx

1

2x

lim

xcos

senxxcos

1

2x

limtgx

xsec

2x

lim

Per LHpital: ......xsec

tgx

2x

limx2sec

tgxxsec

2x

limtgx

xsec

2x

lim

Ens donaria

sempre la mateixa indeterminaci.


27/99


1.11.3 APLICACIONS DEL TEOREMA DE LHPITAL AL CLCUL DE LMITS

Indeterminacions del tipus -

Supusem que tenim dues funcions gif tals que:

=)x(gxlimi=)x(f

xlim

Esta indeterminaci la podem passar a una del tipus0

0

xgxf1

xf

1

xg

1

xlimxgxf

xgxf

xgxf

xlimxgxf

xlim

Exemple:

02

0

xsenxxcosxcos

senx

0x

lim0

0

xcosxsenx

1xcos

0x

lim0

0

xsenx

xsenx

0x

lim

senx

1

x

1

0xlim)a

Indeterminacions del tipus 0

Suposem que tenim dues funcions gif tals que:

)x(gax

lim y0)x(fax

lim

Esta indeterminaci la podem passar a una del tipus0

0

0

0

xg

1

xf

axlimxgxf

axlim

xf

1

xg

axlimxgxf

axlim


28/99


Exemple:

0x

0x

lim

2x1

x1

0x

lim

x1

xln

0x

lim

0xlnx

0x

lim)a

121

2cos

0lim

2cos

1

21

1

0lim

2cot

21

21

1

0lim

.'

cot

10lim

0cot0

lim)

x

x

x

x

x

x

xg

xsen

x

xHL

gx

arcsenx

x

gxarcsenxx

b

Indeterminacions del tipus 00, 1, 0

No acaben de ser de LHpital per sn els tipus de lmits que haviemcomentat a lapartat 1.3.F i haviem dit que els voriem ms endavant.

Sn lmits de la forma:

xgxflim

Recordem que una funci continua commuta amb loperaci del lmit

Com la funci logaritme neperi s continua apliquem la propietat i tenim:

Siga L = xg

xflim

xf)lnx(glimxgxflnlimxgxflimlnLln

Si eLLln (recorda yexyxln )


29/99


Exemples:

xsenx0x

limL

00xsenx0x

lim)a

10eL0Lln

0xcos

senx2xxcosx2

0xlim

senx

xcos2x

0xlim

2x1

senxxcos

0xlim

H'Lx1senxln

0xlimsenxlnx

0xlimLln

H'L

3eL3Lln

31

3

xx2e

1x2e2

0xlim

1xx2e

1x2e2

0xlim

H'Lx

xx2eln

0xlimxx2eln

x

1

0xlimLln

x

1

xx2e0x

limLind1x

1

xx2e0x

lim)b

10eL0Lln

0x

2x

0xlim

2x/1

x1

0xlim

H'Lx/1

xln

0xlimxlnx

0xlimLln

xx0x

limL

00xx

0x

lim)c

1. 12 TEOREMES FONAMENTALS DE LES FUNCIONS DERIVABLES

1.12.1 TEOREMA DE ROLLE

Siga b,a:f

bfaf

b,aenderivablef

b,aencontinuaf

Existeix almenys un punt 0c'f/b,ac


30/99


Inter pr etaci geomtri ca:

Com la derivada duna funci en un punts el pendent de larecta tg a la corba en dit punt. El teoremade Rolle afirma que si la funci scontinua en b,a , derivable en b,a i bfaf existeix almenys un punt

b,ac en el que sanulla la derivada,s a dir existeix almenys un punt on elpendent de la recta tangent a la corba szero i per tant s horitzontal

Demostraci:

Si f(x) s continua en [a,b], el Teorema de Weierstrass ens assegura que alcana elsseus extrems absoluts (mxim i mnim) en [a,b].

Si dits extrems absoluts salcancen tots dos en a i b:

ba,xf(a)f(x)f(b)oba,x)b(f)x(f)a(f

Per si f(a)=f(b) f(x) es constant f(x)=0 b,ax

Si algun dels extrems absoluts salcancen en x0 ]a,b[ , com a ms a ms s mximrelatiu sabrem que

f(x)=0

Exemple:

Siga la funci f(x) = x2

x2 comprova que es verifica el Teorema de Rolle a linterval[-1,2] i calcula els punts que satisfan dit Teorema

a) Comprovaci

1. Com s una funci polinmica s continua en R, i concretament en [-1,2]

2. Com s una funci polinmica s derivable en R, i concretament en (-1, 2)3. f(-1) = 0 ; f(2) = 0

Aleshores podem concloure que existeix un punt c (a, b) tal que f(c) = 0:

b) Clcul dels punts on f(x)=0

f(x) = 2x 1; 2x1 = 0; x = Aleshores el punt c=


31/99


CONSEQNCIA : Relaci Teorema de Rolle i de Bolzano per a determinar arrels

Si una funci continua t dos arrels reals ai b, aleshores la seua derivada t,almenys, una arrel c entre elles. s a dir, 0c'f/b,ac

Exemple:

Demostra que la equaci xxexf t una nica arrel.Demostrem primer laexistncia aplicant el teorema de Bolzano i desprs la unicitat amb el teorema de Rolle

EXISTNCIA

Considerem linterval 0,1 xf es continua per ser suma de continues

011e1f

01010 f

Pel teorema de Bolzano existeix almenys una arrel de xf a linterval 0,1

UNICITAT

Suposem que ( )xf t dos arrels diferents a linterval 0,1 per la

conseqncia del teorema de Rolle, la derivada 1' xexf tindr almenys

una arrel entre elles. Per 1xe sempre s positiva i per tant mai t ningunaarrel

# Per tant t una nica arrel a linterval.

1.12.2 TEOREMA DEL VALOR MITJ O DE LAGRANGE

s una generalitzaci del teorema de Rolle

Siga b,a:f

b,aenderivablef

b,aencontinuafExisteix almenys un punt

ab

afbfcfbac

'/,


32/99


Inter pr etaci geomtri ca:

Si una funci f verifica les hiptesis del

teorema, aleshores existeix almenys unpunt bac , on la recta tangente sparallela a la corda que uneix els punts

afaA , i bfbB ,

Demostraci:

Definim una funci a la que podem aplicar-li el Teorema de Rolle, siga mxxfxg ,agafem m de manera que la funci xg pren el mateix valor en els extrems delinterval, s a dir:

ab

afbfmmbbfmaaf

mbbfbg

maafagbgag

continua en ,

derivable en , , / ' 0 '( ) 0. .

' 0 '

g a b

g a b c a b g c f c mT Rol

g a g b

f b f af c f c b a f b f a

b a

Exemple:

Siga la funci f(x)=x2+3. Es compleix el Teorema de Lagrange a l interval [0,2]?Quinpunt el verifica?

a) Verificaci del Teorema

1. f(x) s una funci polinmica aleshores continua en tot R , en particular a linterval[0,2]

2. f(x) s una funci polinmica aleshores dervable en tot R , en particularalinterval]0,2[

Aleshores podem afirmar que existix almenys un punt 02

0f2fc'f/2,0c

b) Clcul del punt que verifica el Teorema

f(x)= 2x ; f(2)=7 i f(0)=3 22

4

02

372

x 1x


33/99


CONSEQNCIA

Una funci f definida en un interval ba, s constant si i noms si

baxxf ,0'

Demostraci:

Si la funci s constant a linterval ba, , aleshores la seua derivada sanullaentot punt bax ,

Si baxxf ,0' aplicant el teorema del valor mitj obtenim que per aqualsevol

bazy ,, 0'/, zycfzfyfbac zfyf bazy ,,

Per tant f s constant en tot linterval

1.12.3 TEOREMA DEL VALOR MITJ DE CAUCHY

Siguen f i gdos funcions definides en un interval ba,

b,aenderivablesgif

b,aencontinuesgif afbfcgagbgcfbac ''/,

Suposem que tamb es compleix que:

b,ax0x'g xi gxy fagbg '' no sanullen simultniament en cap punt

bax ,

Aleshores podem escriure:

cgcf

agbg

afbf

'

'


34/99


Demostraci:

Siga la funci: bgagxfbfafxgxH

Anomenem: bgag'kibfafk

Anem a vore que H(x) verifica les hiptesis del teorema de Rolle

H(x) continua ja que f i g ho sn per hiptesis, i per tant tamb ho sn kg(x)i kf(x)

H(x) derivable ja que f i g ho sn per hiptesis i, per la linealitat de laderivada kg(x) i kf(x) .tamb ho sn.

Vegam que bHaH bHaH)a(g)b(f)a(f)b(gbgagbfbfafbgbH

)b(g)a(f)b(f)a(gbgagafbfafagaH

Aplicant el teorema de Rolle: bgagx'fbfafx'gx'H

Fent

0x'H , obtenim el resultat demanat.

Exemple:

Aplica si s possible el Teorema de Cauchy a les funcions f(x)=3x+1 I g(x)=ex

enlinterval [1,5]i en cas afirmatiu calcula el punt on es compleix.

a) Verificaci del Teorema

1. f(x) s un funci polinmica aleshores continua en tot R i en particular alinterval [1,5]g(x) s una funci exponencial aleshores contnua en tot el seu domini enparticular en [1,5]

2. f(x) s un funci polinmica aleshores derivable en tot R i en particular alinterval ]1,5[g(x) s una funci exponencial aleshores derivable en tot el seu domini enparticular en ]1,5[

3. g(x)=exno sanulla mai a linterval ]1,5[

4. f(x)=3 i g(x)=ex no sanullen simultniament en cap punt de linterval ]1,5[g(1)=e g(5)=e5

Aleshores existir z'gz'f

1g5g

)1(f)5(f/5,1z


35/99


b) Clcul del punt que verifica el Teoremaf(5)=16 ; f(1)=4 ; g(1)=e i g(5)=e5

6,342,36lnz42,36e

12

)ee(3e)ee(3e12

e

3

ee

416 z5

z5zz5


36/99


EXERCICIS DE CLCUL DE LMITS (FULL1)

)6x52x(2x

lim)1

)1x2x(

x

lim)2

)25x2x(x

lim)3

)1x2x(x

lim)4

1x1x

1xlim)5

1x

12x

4xlim)6

1x1

1xlim)7

1x 1x21xlim8)

4x8x62x

4xlim)9

1x14x

1xlim)10

12x

13x

1xlim)11

1x32x33x

1x22x

1xlim)12

1x1

x

0x

lim)13

3x21x

3xlim14)

1x1x

1xlim)15

x1x1

0xlim)16

22x

6x62xx

lim)17

12

x

14x

x

lim)18

2x

12x1x

lim)19

17x

15xx

lim)20

2x

42x

42x

2x

2xli m)21

xx1x1

0xlim)22

x

2x11

0x

li m)32

416x

39x

0xlim)24

11

11

1

lim)25

xx

xx

x

x1xx

lim)26

xx1x

lim)27

283x32x

2x52x

21x

lim)

102x3x

4x72x2

4xlim)29

9x62

x

52x

3x

lim)30

x223x)31(

52x33x2

xlim)13

3x3x45x2

2x53x

xlim)32

9x22x3

1x23x4

xlim)33

8x

6x42x

5xlim)34

6x23x5102x43x3

xlim)53

x6x25

x5x2x3

xlim)36

3x24x4

x52x2x5

1x23x3xlim37)

454x28x3

313x56x2

xlim)38

23x1x21x2

33x1x

3xlim)39

14x

13x

1xlim40)

42x2x

42x

2xlim)14

9x82

x

27x122x

9xlim)42

4x82x113x3

4x122x93x2

2xlim)43

x

24x

0xlim)44

h

xhx

0hlim)54

34x

10x2

5xlim)46

x

x2

1x4

xlim)47

x2

1x

2x

xlim)48

x

22x

12x

xlim)49

x

1x

1x

xlim)50

72x

x52x3x

lim)51

13x7

2x35xx

lim)25

x53x

1x2x5x lim)53

x3

4x2x

xlim)45

2x

x52x143x72x7x

lim)55

32x

3x

3xlim)65

n529n-3n

nlim)57

1x3x22x

1xlim)58

x42x1x52xx

lim)59

5x31

2x

2xlim)60


37/99


SOLUCIONS: 1) 0 2) + 3) - 4) + 5) 0 6) 17/5 7) No 8) No 9) 2 10) 4 11) 3/2 12) No 13) -2 14) 1/4

15) 1/2 16) -1/2 17) 1 18) + 19) 1 20) 0 21)15/4 22)1 23) 0 24) 4/3 25) 1 26) - 27) 0

28) 1/5 29) 0 30)+ 31)31

2

32) 0 33)- 34) No 35)53 36)

2553 37) 3/20 38)

4 3

3 2

39) 0 40) -3/4 41) 1/ 2 42)5

3 43 ) 3/7 44) 1/ 4 45)

x2

1 46) 12 47) + 48) e-6 49) 1 50) e 51)3

52) + 53)14 54) e6 55) 5 56)32

1 57)5/ 6 58) 4 59) 9 /2 60)2/3


38/99


EXERCICIS DE LMITS I CONTINUITAT (FULL 2 )

1- Calcula els valors del parmetre k per a que es verifiquen les segents igualtats:

a) 153x10

1x53kx3

x lim

b) 2x1kx2

xx lim

2- Donada la funci:

7,5xsix

7xsi3

5,3xsi1x

5x

3,0xsix5

x32x

0xsi2

)x(f. ,calcula:

a) f(0), f(7), f(3), f(5)

b) els lmits de f(x) quan x tendeix a: 3+, 3-, 5+,5-, 0-, 7+, 7-i 2.

3- Estudia la continuitat de les funcions:

1xsi1x

1xisx

1

)x(f)b2xsi6x2

2xsi2x2)x(f)a c)

2

1xsi

3

5

2

1xsi

2x52x2

2x32x2

)x(f

2x

12x

)x(f)gx

x)x(f)f

x

x)x(f)e5x42x)x(f)d

4- Calcula el valor de a de manera que la funci siga continua:

1xsi2ax3

1xsi1x)x(f

5- Quines funcions sn continues en un entorn del punt zro?

a) x2)x(f b) 0xsi2xln 0xsix)x(f

6- Calcula ai bper a que les segents funcions siguen contnues.

a)

1xsi2

1x0sibax

0xsi1x22x

)x(f b)

2xsixcos

2x

2sibasenx

2xsi

x4

)x(f


39/99


c)

0xsibax2x

0xsisenx)x(f d)

1xsiax

2

1xsi2ax3)x(f

e)

1xsix2

b

1x0si22ax0xsia

xe

)x(f f)

2xsi16x11

2x1-sibx3ax1xsi0

)x(f

7- Calcula el valor de k de manera que la funci2x32x

5kx2x)x(f

tinga en x = 2 una

discontinuitat evitable. Existeix algn valor de k per al que la funci s continua? Raona la resposta

8- Calcula el valor de kper a que la funci siga continua:

0xsi2

0xsi4kx

4x45x)x(f

9- La funci1x

ax2x3x)x(f

no est definida en el punt x = 1. Calcula el valor del parmetre a

per a que siga possible definir el valor de )1(f de forma que )x(f siga continua.

10- Sabent que la funci

5x2si1xb

2x0siax2x)x(f s continua en l interval 5,0 i a

ms a ms verifica 5f)0(f . Calcula a i b..

11- Estudia el valor de t per a que f(x) siga contnua en x=1 on

1x10tx

1x2x3)x(f

12- Estudia la continutat de la funci

13- Probar que existeix un nombre x que compleix que: 2x-1=cos x

14- Aplicant el Teorema de Bolzano, demostra que lequaci x3

+x-3=0 t una arrel o soluci entre els

nombres 1 i 2

15- Justifica que x3+x+1=0 t soluci a linterval [-1,0]

16- Pots afirmar que la funci h(x)=x2-1 alcana el seu valor mxim o mnim a linterval [-1,1]? I la funci

g(x)= 1/(x-1) a linterval [2,5]? Raona la teua resposta.

17- Demostra que lequaci 2x3-6x+1=0 t una soluci real en linterval ]0,1[. Enuncia tots els teoremesque utilitzes

18- f(x)=tgx pren valors de signe diferents en els extrems de linterval

4

3,

4i no sanulla en dit

interval. Contradiu el teorema de Bolzano?

1

1

xsix

xsiexf

x

ln)(


40/99


SOLUCIONS: 1) a) 10/ 3 b) 4 2) 2; 3; no existe; 0; 2 ; 9; 5; 0; no existe; 3; 7; 10/3

3 a) cont b) x=0 asimpttica x=1salt finit c) x=2 asimpttica d) cont e) x=0 salto finit f) x=0 asimpttica g) cont

4) a=1 5) a) cont b) x=0 salt infinit 6) a) a=3 b=-1 b) a= -1/ 4 b=1/4 c) a cualquier n real b= 0 d) a=2 a=1

e) a=1 b=6 f) a=1 b=-1 7)k= -9/2 NO 8) k= -2 9) a=-3 i f(1)=6 10) a= -5/2 b = -2 11)t=11 12)x=1 disc. Salt finit16)Si / Si 18) No


41/99


EXERCICIS DE DERIVADES (FULL 3)

1- a) Calcula mirant la grfica f(3); f(14) i f(9)

b) Troba dos punts on la derivada siga positiva i altres dos on la derivada siga negativa

c) Troba un punt on la derivada sanulle

2- Una poblaci de 2.000 bacteris creix d'acord amb la funci f(t) = 1000(1 + et). On t expressa eltemps en dies. Troba: a) El nombre de bacteris transcorreguts 2 dies. b) La taxa de creixementde la dita poblaci al cap de 2 dies. c) L'instant en qu la taxa de creixement s de 54598'15bacteris/dia.(es necessita lHpital)

3- El nombre de persones atacades cada dia per una determinada malaltia ve donada per la

funci f(x) = -x2+ 40x + 84, onxrepresenta el nombre de dies transcorreguts des de que esva descobrir la malaltia. Calcula:

a) El nombre de dies que han de transcrrer perqu desaparega la malaltia.

b) La taxa de propagaci de la malaltia al cap de 5 dies.

c) El moment en qu la malaltia deixa de crixer.

d) El nombre de dies que han de passar perqu la malaltia s'extingisca a ra de 32 persones

per dia.

4- Utilitzant la definici de derivada, calcula les derivades de les segents funcions en els puntsque sindiquen:

a) x1xf en x = 2 b) xxxf 22 en x =2 c) 2 12

xxf en x = 3

d) 2x5

1xf

en lorigen de coordenadas e) 1xxf en x = 8

5- Aplicant la definici calcula la funci derivada de les segents funcions

a) 1xxf b) 22xxg c) 44xxf


42/99


6- Aplicant la definici estudia la continuitat i la derivabilitat en x = 0 de la funci

0xsi2x

0xsi2)x(f

7- Siga la funci

2xsix1

2xsix)x(f . s continua en x = 2? s derivable en x = 2?. Escriu la

funci derivada

8- Siga la funci 1x2xf estudia la derivabilitat en x=-1/2

9- Siga la funci 42x)x(f

a. Demostra que s continua i no derivable en x = 2b. Representa grficamente la funci

10- Siga la funci

x2si16x11

2x1sibx3ax

1xsi0

)x(f

a) Calcula a ibper a que la funci siga continuab) Analitza la seua derivabilitat en x=-1 i x=2

11- Siga la funci

1xsi1x1xsix)x(g i les funcions: xg1x)x(1f i xg

21x)x(2f .

Estudiar la derivabilitat de les funcions )(

1

xf y )(2

xf en el punt x = 1.

12- Donada la funci

1xsi1x32x

1x1si21xsi5x3

)x(f

a) Estudia la seua continuitatb) La seua derivabilitat en x=-1; x=1 i x=3

SOLUCIONS:

1) a)5/3; 1; -3/4 b) (+) x=5 i x=15 (-) x=9 i x=6 c) x=3 2)a) f(2)=1000(1+e2) b) 500(e2-1) c) 4 dies

3)a) 42 b) 35 c) 20 d) 20 4) a)-1/4 b) -6 c) 3 d)-5/4 e) 1/6 5) a) 1 b) 2x c) 4x3

6) En x=0 no continua i no derivable 7)En x=2 no continua i no derivable 8)f continua en R per no derivable en x = -1/2

9)

2xsix2

2x2-six2

2xsix2

)x('f 10- a = 1 b = -1 f es derivable en R{-1} 11) f1 no deriv en x= 1 f2derivab en R

12) f cont per no deriv en x= -1 f no cont i no deri en x = 1


43/99


EXERCICIS DE CLCUL DE DERIVADES 1 (FULL 4)

3y)1

5xy)2

7xy)3

3x6xy)4

4x2y)5

baxy)6

2x5y)7

5ay)8

cbx2axy)9

)1x(xy)10

)1x)(1x(y)11

dcx2bx3axy)21

5x42x3xy)13

2x53x44xy)14

1x63x2y)15

22x54xy)16

5x62x33x2y)17

x83x3

25x5

1y)18

x12x3y)19

1x23x2x

1y)20

2)1a(xy)12

21aay)22

xlog25y)23

x5log35y)24

xcos4xsinxln2y)25

5x1xy)26

xsinxy)27

xln3xy)28

x1

x1y)29

xsin

x3y)30

x

xlny)13

xcos1

xsiny)32

xcos3xy)33

xtgxy)34

721)35 xy )xln(siny)63

)xsin(lny)37

1x2xlny)38

xelny)39

212xlny)40

xcos1

xsin1

y)41

xcosxsin

xcosxsiny)42

xcosxxsin1x32xy)43

xsinxcosxy)44

xlnxsinxy)45

)xsin(lnxy)46

x2ln2xlny)74

3xlny)48

12x

x2siny)49

x2ey)50

x3y)51

xxey)52

xexey)53

x4xy)54

xe3x32xy)55

xcossenxxey)56

xcos

xey)57

x

1y)58

3)21(559) xxy

axy)60

xln

3xy)16

12xxlny)62

xarcsinxy)63

x1

x1arctgy)64

12xlnarctgxy)65

2x1xarcsiny)66

12xxy)67


44/99


2x22xlny)68

xsin2xey)69

gxcoty)70

xsecy)71

ecxcosy)72

x2siny)73

xsiny)74

3 xsiny)75

xsincosy)76

tgxcosy)77

12xlncosy)78

xcoscoscosy)79

312xcosy)80

xlncosy)81

3 2xx

3

x2x

1xxy)28

4 3x5

xx24 x2x3y)83

xcosxsenx2xy)48

tgxx

1xln3xy)85

xlnarcsinxarcsinln)y86

xarcsinx4y)87

3x

xlnxy)88

xcosxexy)89

3arctgxxy)90

3xarcsin5

2x1y)91

31x2

1y)92

x32sinx3siny)93

3xcosx3cosy)94

2x1arcsiny)95

3

x5cosx5sin

x5cosx5siny)96

2x11arccosy)79

x1

x1arctgy)98

2x

12xarcsiny)99

xe1arcsiny)100

6x

1

e5xy)101

x

1arcsin8y)102

x2cos1

x2cos1lny)103

2x1

xarcsin)y104

2xx2x1arcseny)105

a

xaxa)y

arcsin22106

a

xarcsin2a2x2ax)y107

4xsin1

xsin1lny)108

xsin12x)y109

xe)x(cosy)110

)111 xxy

x2sinxcosy112)

arctgxxarcsiny)113

3x21x22xy114)

xx11y115)


45/99

)1x

1-)

x

11(ln(

x)

x

11('y)115

)

)1x22

x

6x102

x4)1x2

2xln(2(

1x2)1x2

2x('y)114)

)2

x1(xarcsin

arctgxxarcsinln

2x1

1)(xln(arcsinarctgx'y)113

)xcos

sinxsin2x-)xln(cosx2cos2(

x2sin)x(cos'y)112)1x(ln

xx'y111)tgxxcosln

xe

xe

xcos'y)110

12

x

x2xsin1

2xlnxcos

xsin1

2x'y)109

xcos2

1'y)108

2x

2a2'y)107

2x2a

xa'y)106

x

x2'y)105

3)

2x1(

xarcsinx2

x1'y)104

x

4

cos1

x2sin'y)103

12

xx

8lnx

1arcsen

8'y)1022

x

645x

6x

e'y)101

x2e

xe2

xe

'y)100

12

x2x

2'y)99

2x12

1'y)98

12

xx

1'y)974x5cosx5sin

2x5cosx5sin60'y)96

2x1

1'y)95

2x3

3xsinxsinx

2cos3'y)94x3sin21x3cos3'y)9341x2

x6'y)92

2x13xarcsinx10x

2arcsin

42

x1'y)91

2x1

x3arctgxx

2arctg'y)90xsinxxcosxxcos

xe'y)894x

xln3x21'y)88

2x1

1xarcsin4ln

x4'y)87

x

1

x2

ln1

1

2x1

1

xarcsin

1'y)86

x2

cosx

1-

xx2

tgx2xxln

2x3'y)85xcos

x2

12xxsinxx2'y)84

4 x10

3x

10

9'y)83

3 2x

2x

5

x3

x2

5x

2

3'y)82

x2

)xsin(ln'y)81x

21

2x

31

2xsin6'y)80

xsinxcossinxcoscossin'y)7912x

x2)12

xln(sin

'y)78x2cos

)tgxsin('y)77xcos)xsin(sin'y)76

3x

2sin3

xcos'y)75

xsin2

xcos'y)74

x3

sin

xcos2'y)73

x2sin

xcos'y)72

x2cos

xsin'y)71

x2sin

1'y)70

senx2xexcosxxsin2x'y)69

2x22x

2x2'y)68

12x

12x2'y)67

x1

x1'y)662x1

x21'y)652x1

1'y)64

x1

x2

1xarcsin'y)63

12x

1'y)62

x2ln

1xln32x'y)16

1aax'y)6052x11

22x14

x'y)59xx2

1'y)58

x2cos

xcosxsinxe'y)57

xcosx

e2'y)56x

ex2x'y)55x

44lnx1'y)54x

ex

e'y)53x

e1x'y)523lnx

3'y)51x2

e2'y)50

212x

x2sinx2x2cos12x2

'y)49x

3'y)48

x

xln12'y)47xlncosxlnsin'y)46xsinxlnxcosxxlnxsin'y)45

xsinxxcos2'y)44xcos2x32xxsin3x'y)43x2sin1

2'y)422xcos1

xcosxsin1'y)41

12x

x4'y)40

1'y)391x2x

1x2'y)38

x

xlncos'y)37gxcot'y)36

62x1x14'y)35x2

tg1xtgxx2cos

xcosxsinx'y)34

xsinxxcos32

x'y)331xcos

1'y)322x

xln1'y)31

x2sin

xcosxxsin3'y)302x1

2'y)29

xln312

x'y)82xcosxxsin'y)274

x1x61'y)26xsin4xcosx

2'y)25

3lnx

5'y)24

2lnx

5'y)230'y)22

2)1a('y)214x

3x22

x2

'y)203x

x6

'y)1982

x24

x'y)186x62

x6'y)17x103

x4'y)16

62

x6'y)15x102

x123

x4'y)144x22

x3'y)13cbx22

ax3'y)12x2'y)111x2'y)10

bax2'y)90'y)85'y)7a'y)63x8'y)52x35x6'y)46x7'y)31'y)20'y)1

:SOLUCIONS


46/99


EXERCICIS CLCUL DE DERIVADES (FULL 5)

x

12x3y)1

1x2x3

2x3y)2

xcos4xsinxln2y)3

5x1xy)4

)xsin(lny)5

xelny)6

xcosxxsin1x32xy)7

xsinxcosxy)8

xlnxsinxy)9

)xsin(lnxy)10

12x

x2siny)11

x2ln2xlny)12

xln

3xy)13

x5log35y)14

xarcsinxy)15

1

1)61

x

xarctgy

x32xey)17

2xey)18

12xxy)91

2x22xlny)02

xsin2xey)21

12lncos)22 xy

xcoscoscosy)23

xcosxexy)24

3xarcsin52x1y)25

12xxlny)26

xcosxexsinxey)27

3 2xx

3xxy)28

3x

xlnxy)29

xex

xexy)30

xex

xexy)31

tgxarc1x

y)32

dcx

baxy)33

xy sin5lg)34

xx

xxy

cossin

cossin)35

6x

1

e5xy)36

3xxlny)37

x2lny)38

xexcos)y39

xsin12x)y40

41)

senxx3

logy

42) xtgxsenxy cos

xxxey )43

xcos3xy)44

x3siny)45

xsin1xsin1lny)46

axcos

axsin

3y)47

x2

1x2lny)48

x2cossiny)49

3xcos

xlny)50

tgx3

xln2y)51

x 21xy)52

3 x2xsiny)53

xsinxy)54

xxxy)55

56) senxxcosy

3cos3cos)57 xxy

x1

x1arctgy)58


47/99


x

x

11y)59

xsin2y)60

x2arctgxy)61

xe1arcseny)26

12ln)63 xarctgxy

2x1xarcsiny)64

2xx2x1arcsiny)65

xarcsinx4y)66

2cos1

2cos1ln)76

x

xy

4sin1

sin1ln)68

x

xy

x

1arcsin8y)69

2x1

xarcsin)y70

xxsiny)71

axexay)72

arctgxarctgy)73

3

arctgxxy)74

xlnarcsinxarcsinln)y75

2x

12xarcsiny)76

31x21

y)77

2x1arcsiny)78

tgxx

1xln3xy)79

x2cosxarcsiny)80

arctgx-x1x1arctgy)81

2x-14

x+xarcsin

4

1

2

2x=y)82


48/99

MATEMTIQUES II TEMA 3: CLCUL INTEGRAL Pgina. 47

SOLUCIONS

1)3

x

x6'y

2)

21x

2x3

5x122

x9'y

3) xsin4xcos

x

2'y 4) 4x1x61'y 5)

x

xlncos'y 6) 1'y

7) xcos2x32xxsin3x'y 8) xsinxxcos2'y 9) xsinxlnxcosxxlnxsin'y 10) xlncosxlnsin'y

11)2

12x

x2sinx2x2cos12x2

'y

12)

x

xln12'y

13)

x2ln

1xln32x'y

14)

3lnx

5'y 15)

x1

x

2

1xarcsin'y

16)2x1

1'y

17) 3x2e2'y 18)

2x2

2xe'y

19) 2x33xsinxsinx2cos3'y 20)

2x22x

2x2'y

21) xsin2xxexcosxxsin2'y 22) 12x

12

xlnsinx2

'y

23) xsinxcossinxcoscossin'y

24) xsenxxcosxxcosxe'y 25) 2x13xarcsinx10x2arcsin4

2x1'y

26)

12x

1'y

27) xcosxe2'y

28)3 2

x2

x

5x

2

3'y 29) 4x

xln3x21'y

30)

2x

ex

1xxe2'y

31)

2x

ex

1xxe2'y

32)

2arctgx12

x1x2

x2arctgx12

x1

'y

33) 3dcxbax2

bcad'y

34)

xsinx5ln2

xcos'y

35)

x2sin1

2'y

36)

2x

645x

6xe'y

37) x2

xxlnx13'y

38)x

2ln2

2ln'y 39) tgxxcoslnxex

excos'y

40)

12

sin21

2lncos

sin1

2'

x

xxxx

x

xy

41) xsinx3lnxcos1

'y

42) 2sin' xy 43)

xx

xe2

1xxexe'y

44) xln3sinx-1xcos3'y 45) xcosx2sin3'y 46)xcos

1'y 47) 213ln3' aaxtgtgaxy

48) ln2-1x2

1'y

49) 2lnx2x2sin

xcos2cos'y

50)

3 x4cos2xlnx3

xsinxlnxxcos'y

51)tgx3x

3lnx2

tg1x2lnxln2

'y

52) x

1xln

1-x

1x

x 21x2'y

53)

2lnx

2xsinx

2xcos

32

x2xsin3

1'y

54)x

xsinxlnxcosxsinx'y

55) xxlnx2

xxx'y 56)

cos

2sin

)ln(coscossin

)(cos'

x

xxx

xxy

57) 2x33xsinxsinx2cos3'y 58) 2x12

1'y

59)

1x

1

x

1xln

x

x

1x'y

60) 2lnxcosxsin2'y

61) arctgx2x1

x2arctgxln2x2arctgx'y

62)x2exe2

xe

'y

63)

2x1

x21'y

64)

x1

x1'y

65)

2x-2x

x'y


49/99


66)

2

x1

1xarcsin4lnx4'y 67)

x4

cos1

x2sin'y

68)

xcos2

1'y

69)

12xx

8lnx

1arcsin

8'y

70)3

)2

x1(

xarcsinx2

x1'y

71) gxcotx)xln(sinxxsin'y 72) aaln

axexa'y

73)

2x1x2arctg1

1'y 74)

2x1

x3arctgxx2arctg'y 75)

x

1

x2

ln1

1

2x1

1

xarcsin

1'y

76)

12

x2x

2'y

77) 41x2

6'y

78)

2x1

1'y

79)

x2

cosx

1-

xx2

tgx2xxln2x3'y

80)

2

x1xarcsin

x2

cosxarcsinlnx2senx

2cosxarcsin'y 81) 0'y 82) xarcsinx'y


50/99


EXERCICIS DAPLICACI DE LA DERIVADA. TEOREMES DEDERIVABILITAT ( FULL 6)

1- Calcula lequaci de la recta tangent a la parbola y=x2-4x+3 en el punt x=4.

2- Calcula el pendent de la parbola y=x2-7x+12 en x=2.

3- En quin punt de la corba y=3x2-5x+1 tindr una recta tangent parallela a la recta dequaci y=7x-3?

4- Calcula el valor del parmetre a per a que la corba y=2x3-3x2+a i la recta y=12x-1 siguentangents. Quin s el punt de tangncia?

5- Donada la funci polinmica y=4-x2, es demana:

a) obtindre el punt P de la corba la tangent de la qual s perpendicular a la recta dequaci x+y=0 b) Les rectes que passen pel punt P(-2,1) i sn tangents a la corba y=4-x 2, i obtindre elspunts detangencia.

6- Determina lequaci de la recta que passa pel punt A(1,2) i per B(3,n) sent n el valor de laderivada de la funci y=3x2-6x-1 en el punt dabscissa x=1.

7- Calcula lequaci de la recta tangent i normal a la corba 13x

6

3xy en x=2.

8- Determina el punt de la corba xexxlny -- en el que la tangent s parallela a la bisectriu del

segon quadrant. Calcula lequaci de la recta tangent i normal a la corba en eixe punt .

9- Troba si en la grfica de la funcix

2y existeix algn punt on la seua recta tangent tinga per

pendent -2.

10- Calcula el valor de apara que la grfica de la funcin

a3x

a3xy

tinga pendent 1 en el punt

dabscissa. x = 1

11- Calcula les coordenades dels punts de la grfica de la funci x3xy les tangents de lesquals siguen paral.leles a la recta 01yx13 . Calcula tamb les equacions de dites rectes.

12- Comprova que la funci 2x2x

1xf verifica l equaci 3'y2x''y3x .

13- Calcula la tangent a la circumferncia 08y4x62y2x en el punt 0,2P .

14- Calcula les coordenades del punt de la grfica de la funci x52xf on la recta tangent sparal.lela a la recta 04yx5 .

15- Estudia per a quins valors da, b ic,la recta que uneix els punts 1,1A i 3,1B s tangent enel punt B a la grfica de la funci f(x)= aln(1+x2)-bx+c i el punt (0,-2) s un punt de la funci f(x)

16- Troba si la grfica de la funcix

y2

t algn punt on la seua recta tangent t per pendent -2

17- Calcula les coordenades dels punts de la grfica de la funci xxy 3

on les tangents siguen

paralleles a la recta 0113 yx . Escriu tamb les equacions de dites rectes.

18- Comprova que la funci 221 xx

xf verifica lequaci 3'2

''3 yxyx

19- En el pla es t la corba y =x2 +2x - 1. Trobeu raonadament les equacions de les rectes quepassen pel punt (2, 3) i sn tangents a lesmentada corba


51/99


20- Resol els lmits segents

)12x-2x-1-42(lim)184-212-2lim)17)(sin

0lim)16

ln

0lim)15

3)(ln2

lim)14

2-

cos

2lim)13

4x-2

4-3

lim)128-

3

65-2

2lim)11)

1-x

1-

e-(

1lim)10

3x-

22

1-x-sin

0lim)9

2)-(

)2

ln(sin

lim)8)ln-1(

1)(lnlim)7

)2-(2

lim)63sin-3

2-

-

-0

lim)5)

2ln (

)ln(sin0

lim)4

25

2-cos2-2

0lim)3

cos-2sin

cossin-1

2lim)2

12

6sin

0lim)1

xxx

x

x

xx

x

tgxx

x

ctgx

x

xxx

x

xx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

e

e

x

x

xe

xx

x

x

xx

x

tgxxxxx

x

x

e

x

exx

xx

x

xx

xxx

xx

xx

x

x

21- Se sap que la funci f5,0 , donada per

5x2si1xc

2x0siax2bx)x(f

s derivable en linterval (0, 5) i a ms a ms verifica que 5f)0(f . Calcula el valor da, b i c

22- Calcula els valors dels parmetres a i b per a que la segent funci siga continua i derivableen el punt 0.

0xsibax2x

0xsiabx)x(f .

23- La funci

0xsix

)x1ln(0xsicbxx

)x(f

2

s derivable en el puntx = 0. Calcula quant valen

les constants bi c.

24- Trobeu les constants reals a i b perqu

0xsix

)xsin(0xsib

0xsiaxlnx

)x(f , siga continua per a tot

valor real.

25- Comprova que la funci f(x) = -x2 + 2x + 5 compleix les condicions del Teorema de Rolle alinterval [-1,3]

26- Justifica que f(x)=4-x2compleix el teorema de Rolle en linterval [-2,2]. Troba el valor de c


52/99


27- Justifica que f(x)=x2-3x+2 compleix el teorema de Rolle en linterval [ -2,K]. Troba el valor de K ide c

28- Troba un interval [a,b] on la funci2x1

x2)x(f

compleix el teorema de Rolle .

29- Troba el valor de K i c per al que es verifica el teorema de Rolle en la funci f(x)=x2+k en linterval[-1,1]

30- Comprova si les funcions f(x)=x3+1 i g(x)=2x2compleix el teorema de Cauchy en linterval [1,3] icalcula el valor que el verifica

31- Comprova si la funci f(x)=-x2+2+6x verifica el teorema de Lagrange en linterval [1,8] i calcula elvalor que el verifica

32- Comprova si la funci f(x)= 2x+sinx verifica el teorema de Lagrange en linterval [0,] i calcula elvalor que el verifica

33- Comprova si la funci f(x)=lnx verifica el teorema de Lagrange a linterval [1,e] i calcula el valorque el verifica

SOLUCIONS:

1) y=4x-13 2)m=-3 3)P(2,3) 4)a=19 P(2,23) / a=-8 P(-1,-13) 5)a) P(-1/2 , 15/4) b) Punts tangncia(-3,5) i (-1,3) Rectes: y=6x+13 y= 2x+5

6)y=-x+3 7) 3y=7x-5 ; 7y=-3x+27 8) P(e,-e) Recta tangent: y=-x recta normal y=x-2e 9)

2,1;2,1 10) 32 11) 16x13y10,2;16x13y10,2 13) 2x2

1y

14)

52,5

1 15) 8.-a=0; b=-1 i c= -2 16).-x=1; x=-1 17).- a=-23 19)y-3=6(x-2) 20)- 1) 2) 1

3) 0 4)1/2 5) 2/27 6) 2 7)1 8) -1/8 9) 10)-1/2 11) -1/12 12) 13) -1 14) 1/2 15) 0 16) 117) e-2 18) 3

21) a = -3/ 2 b = 1/ 2 c = -2 22) La condici a complir s que ab = 1/ 2 i2

1ba 23)b=-1/2 i c=1

24) a=b= 26) c=0 27)k=5 c=3/2 28) a=1/2 b= 2 (Moltes solucions ab=1) 29) Qualsevol valor de K i c=030)c=13/6

31) c=9/2 32) c=/2 33)c=e-1


53/99

MATEMTIQUES II TEMA 3: CLCUL INTEGRAL Pgina. 52

TEMA 2: APLICACIONS DE LA DERIVADA

NDEX

2.1 INTERVALS DE MONOTONIA EN FUNCIONS DERIVABLES.

2.2 CLCUL DE MXIMS I MNIMS DE FUNCIONS.

2.3 INTERVALS DE CURVATURA EN FUNCIONS DERIVABLES. PUNTSDINFLEXI

2.4 PROBLEMES DOPTIMITZACI

2.5 REPRESENTACI GRFICA DE FUNCIONS


54/99

MATEMTIQUES II TEMA 2: APLICACIONS DE LA DERIVADA Pgina 53

2.1 INTERVALS DE MONOTONIA EN FUNCIONS DERIVABLES.

DEFINICI: Direm que una funci s monotonaquan s creixent o decreixent, estrictament o no.

CREIXEMENT I DECREIXEMENT LOCAL

Considerem una funci f definida en un domini D i un punt a D.

Direm que f s creixent en x=a si existeix un entorn de a, ]a-;a+[, de maneraque:

si x a, x Df(x) f(a)si x a, x Df(x) f(a)

Direm que f s decreixent en x=a si existeix un entorn de a, ]a-;a+[, de manera

que:

si x a, x Df(x) f(a)si x a, x Df(x) f(a)

Cal observar que quan les desigualtats sn estrictes parlem de funcions estrictament creixents idecreixents.

TEOREMA 1: Siga f una fun ci derivable en x=a.a) Si f(x) s cre ix en t en x=a f(a)0b) Si f(x) s dec reix ent en x=a f(a)0

Demostraci:a) Com )(xf s creixent, aleshores: si x a, x Df(x) f(a), per tant:f(a)=

0a-x

f(a)-f(x)lim

ax .

b) Com )(xf s decreixent, aleshores: si x a, x Df(x) f(a), per tant:f(a)=

0a-x

f(a)-f(x)lim

ax .

TEOREMA 2: Siga f una fun ci derivable en x=a.

a) Si f (a)>0

f(x ) s est ric tam ent c reix ent en x =ab ) Si f (a)0 0>a-x

f(a)-f(x)lim

ax, per tant 0>

a-x

f(a)-f(x)si x ]a-;a+[,entorn de a. Pot

passar: xf(a), per tant:

f ser estrictament creixent en x=a.

b) Demostraci anloga a lanterior.


55/99


DEFINICI: Si f(x) s una funci definida en un domini D i a D, direm que x=a s un punts ingularsi f(a)=0.

Exemple : Estudia la monotonia de la funci y = xex

1) Clcu l de la primer a deriv adaxxey )1(1 xexeey xxx

2) Clcu l dels pu nt sin gu lars :y=0 0)1( xex

01

0

x

ex

s sempre major que zro, per tant l'nica soluci possible s'obt de l'equaci; 1+ x=0x= -1

3) Estud i del sign e de la prim era derivada

El domini de la funci donada s R per tractar-se del producte d'una exponencial (dedomini R) i una polinmica (de domini tamb R).

Dividint el domini pel punt1 s'obtenen dos intervals i

- (-) -1 (+) +

Estudiem el signe de la derivada en un punt qualsevol de cada interval:

. Per a x = -2, 0

1

)1.(

1

)21()2( 222

eeey (negativa)

. Per a x = 0, 01)01()0(0 ey (positiva)

4) Intervals de mo noto nia:Estric. Creixent: (-1,+) i Estric. Decreixent: (-,-1)

2.2 CLCUL DE MXIMS I MNIMS DE FUNCIONS.

DEFINICI: Siga f(x) una funci i a un punt del domini de la funci. Direm que:

f(x) t un mxim rela ti uen a si f(x) f(a) per a tot x ]a-;a+[ f(x) t un mnim re lat iuen a si f(x) f(a) per a tot x ]a-;a+[

Lextrem relatiu (mxim o mnim) s f(a) i salcana en el punt a.

NOTA:Hem de diferenciar entre extrems relatius i absoluts duna funci. Els extremsabsoluts duna funci sn els valors mxims o mnims que alcana una funci en tot elseu domini, mentres que els extrems relatius sn els valors mxims o mnimsalcanats per la funci en un entorn de dits punts. Lextrem relatiu implica canvi demonotona, labsolut no necessriament.

xe

)1,( ),1(


56/99


TEOREMA:Condici necessria, per no suficient, dextrem relatiu

Si una funci f alcana un extrem relatiu en un punt a i a ms a ms s derivable endit punt, aleshores la seua derivada sanulla en a, s a dir:

Si f presenta un extrem relatiu en x = a 0' af Demostraci:Considerem que )(xf t un mxim (si s un mnim la demostraci s anloga) en x = c

on ( ) ?0=)(', cfbac

00 cfhcfh ( ) ( ) 0)c('+f0hcfh+cf

+0hlim

00 cfhcfh ( ) ( ) 0)c('f0h

cfh+cf

0-hlim -

Com )(xf s derivable en x = c 0)(')('- cfcf

Nota:Hem de tenir en compte que si laderivada sanulla no necessriament es tractadunextrem relatiu.

Per exemple la funci 3x=)x(f verifica que

0=)0('f , ja que f(x)=3x2 per no presenta capextrem relatiu, ja que s una funci creixent entot el seu domini.

Condici suficient dextrem relatiu

Teorema 1: Criteri del canvi de signe de la primera derivada

Siga f una funci continua en un entorn del punt a, ]a-;a+[ i tamb derivable . Diremque:

Si per a tot x ]a-,a[ f(x) s decreixent i per a tot x ]a,a+[ f(x) screixent f presenta un mnim relatiu en x=a

Si per a tot x ]a-,a[ f(x) s creixent i per a tot x ]a,a+[ f(x) sdecreixent f presenta un mxim relatiu en x=a

Per tant necessitarem estudiar els intervals de monotonia de la funci per taldobservar els punts on hi ha un canvi de monotonia i averiguar els extrems relatius


57/99


Teorema 2:Criteri del signe de la segona derivada

Siga f una funci dos vegades derivable i la segona derivada continua en un punt x=ade manera que 0)(' af . Aleshores:

Si 0)(' af i faf 0)('' presenta un mnim relatiu enx = a

Si 0)(' af i faf 0)('' presenta un mxim relatiu enx = a En el cas en qu 0)('' af no podem afirmar res i utilitzarem altre

mtode ( Intervals de monotonia)

Exemple:Calcula els extrems relatius de la funci f(x)=x4-4x2+3 (Utilitzant el canvi de signe dela primera derivada)

1) Clcul de la primera derivada: f(x)= 4x3-8x

2) Clcul dels punts singulars: f(x)=0 4x3-8x=0 x(4x2-8)=0 x=0 i x= 2 3) Estudi del signe de la primera derivada:

- (-) - 2 (+) 0 (-) 2 (+) +

x=-2 f(-2)=-160

4) Extrems relatius: x=- 2 mnim relatiux=0 maxim relatiu

x= 2 mnim relatiu

Exemple: Calcula els extrems relatius de la funci f(x)= x2+x-6 (utilitzant el criteri de lasegona derivada)

f(x) s un funci polinmica per tant compleix les tesis del teorema

1) Clcul dels extrems relatius: f(x)= 2x+1 0=2x+1 x=-1/2 (Possible mx-min)

2) Verificaci dels extrems relatius: f(x)= 2 f(-1/2)=2 > 0 x=-1/2 s un mnim relatiu

MXIMS I MNIMS EN UN INTERVAL TANCAT

Si fem un estudi duna funci continua en un interval tancat, el Teorema deWeierstrass assegura lexistncia almenys dun mxim i un mnim absoluts en ditinterval. Per tal de fer lestudi complet cal fer el tractament de la segent manera:

1. Analitzar els mxims i mnims quan la funci s derivable (punts singulars).2. Analitzar els punts on la funci no s derivable(funcions a trossos, punts de

canvi)3. Calcular els valors de la funci en els extrems de linterval.


58/99


Exemple:Estudiar els extrems relatius i absoluts de la funci

NOTA:Per tal de trobar els extrems duna funci haurem destudiar:

1. Els punts singulars de la funci.2. Els punts on la funci no s derivable.

3. Els extrems dels intervals de definici de la funci, si est definida en un interval.

2.3 INTERVALS DE CURVATURA EN FUNCIONS DERIVABLES. PUNTSDINFLEXI

TEOREMA: Siga f(x) una funci derivable en a D, La funci f(x) s cncava en x=a si i noms si la recta tangent a f en el punt

(a,f(a)) queda sota la funci en un entorn de dit punt. La funci f(x) s convexa en x=a si i noms si la recta tangent a f en el punt

(a,f(a)) queda per dalt de la funci en un entorn de dit punt.

CONCAVITAT CONVEXITAT

TEOREMA: CONDICI SUFICIENT DE CURVATURASiga f(x) una funci dues vegades derivable en un interval (a;b). Aleshores:

Si b,ax0>)x(''f )x(f s cncava en ( )b,a

Si ( )b,ax0


59/99


TEOREMA: CRITERI DE LA TERCERA DERIVADA

Siga f(x) tres vegades derivable . Si )('' af = 0 i 0)(''' af aleshores x=a s un puntdinflexi.

Exemple: Calcula els intervals de curvatura i els punts dinflexi de la funci 2- 2

2

1)(

x

exf

1)Clcul de la primera derivada: 2x- 2

2

1-)(' exxf

2) Clcul dels punts que anullen la segona derivada: f (x)= 0)-1(2

1- 22-x2

xe

11101

0

22

2/2

xxxx

e x

-

#-

3) Estudi del signe de la segona derivada: El domini de la funci donada s R per tractar-sed'una exponencial (de domini R). .

Dividint el domini pel punt +1 i 1 s'obtenen tres intervals : (- - -1 1 +

Estudiem el signe de la segona derivada en un punt qualsevol de cada interval:

. Per a x = -2, 0>)2(-2)-1(2(-2)-

e2

1-=

2

(-2)"f

(positiva)

. Per a x = 0, 0


60/99


2.4 PROBLEMES DOPTIMITZACI

Anem a resoldre problemes en els que optimitzem una funci.

Els pasos a seguir sn:1- Determinar la funci de la que es vol calcular el mxim o el mnim.

Normalment tindrem vries variables.

2- Mitjanant les dades que aparixen en les condicions, expressarem lafunci amb una nica variable.

3- Calcularem els possibles extrems.

4- Comprovarem si els valors calculats sn mxims o mnims tant relatiuscom absoluts.

5- Calcularem el valor de les altres variables, si s el cas, i interpretarem elsresultats.

6- Donarem la soluci al problema.

Exempl e 1:Entre tots els rectangles de permetre 12 cm. Qui ns el que t la diagonalmenor?.

1-Funci a minimitzar:222

dyx 22 yxd

2 -Condici : 12=y2+x2 6=y+x x-6=y

Funci a optimitzar: 2222 )6()( xxyxxd [ ]6;0x,36+x12x2=)x(d 2 -

3- Clcul dextrems:3612-2

6-2

3612-22

12-4)(

22

xx

x

xx

xxd =0 resolent l'equaci

resultant s'obt x = 3

4- Comprovaci:3612-2

)6-2.(3612-22

6-4-3612-22

)(2

2

2

xx

xxx

xxx

xd

03

2

3.2

3.22

3636-3.2

0-3636-3.22)3(

2

2

2

2

d mnim relatiu. s absolut?

Per tal de com prov ar si s abso lut h em d e calcular el valor de la func i en els extrems delinterval de definici:

d(0)=6 i d(6)=6

Com d(3)= qu e evid entm ent s m enor qu e d(0) i d(6) x=3 m nim abso lutSoluci: x=3 i y=3 ( s un quadrat)

y

x


61/99


Exemple 2: Un full de paper ha de contindre 18 cm2de text imprs. Els marges superior iinferior han de tindre 2 cm. cada un, i els laterals 1 cm. Troba les dimensions del full perqu elcost de paper siga mnim.

x

y1- Funci a minimitzar: S=xy

2- Condici:18 cm2de text imprs, s a dir,

4-x

18=2-y

4-x

x2+10=y

Funci a optimitzar: Superficie =4-x

x2+x10=

4-x

x2+10.x=y.x

2, s a dir,

4-

210 2

x

xxS

,

Com xy=18 x=18/y i y>2 x < 9 i a ms a ms x>4 aleshores 4< x < 9

3- Clcul dextrems: Derivant2

2

)4x(

40x16-x2=S

-

-. Si fem S = 0 tenim 0=40-x16-x2 2

020-8-2 xx =2

128=

2

1448=x 10 i -2. La soluci negativa no t sentit

4- Comprovaci:4

22

)4-x()40-x16x2)(4-x(2)4-x)(16-x4(=)x(S --

;

0>6

0-36.24=)10(S

4Per a x = 10 Mnim relatiu.

Per tal de com prov ar si s abso lut h em d e calcular el valor de la func i en els extrems delinterval de definici:

S(4) no est def in itS(10)=50, per tan t x=10 ,el m in im r elatiu , s un mnim abso lu t.S(9) no est def in it.

2.6 REPRESENTACI GRFICA DUNA FUNCI

Donada una funci )(xf intentarem fer la seva representaci grfica. Per fer-hoseguirem els passos segents:

1.DOMINI

Sn els punts on t sentit estudiar la funci: )( xfyyfDx

2.SIMETRIAVeurem si la funci s parell o imparell:

)(xf s parella si Dxxfxf )()( ( Simetria respecte a leix OY )

)(xf s imparella si Dxxfxf )()( (Centre de simetria lorigen )

18)2)(4( yx


62/99


3.PERIODICITATUna funci s peridica si:

)x(f=)T+x(f T= perode

Si una funci s peridica ser suficient estudiar-la en un interval de longitudigual al perode. (Les funcions trigonomtriques sn peridiques).

4.PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS

a) Punts de tall amb leix OX 0=y . Sn punt del tipus )0,ix(

b) Punts de tall amb leix OY 0=x . Sn punt del tipus )iy,0(

5.ASMPTOTESa) Asmptotes vert icals

Direm que ax s una asmptota vertical si es compleix una de les

condicions segents:

)(xflim

ax

)(xflim

ax

)(xflimax

(Aquests lmits sempre els calcularem quan la x tendeix als punts que nopertanyen al domini )

b) Asmp totes hor itzont als

Direm que by s una asmptota horitzontal si es compleix:

bxflimx

)(

c ) Asmpto tes oblqesDirem que la recta nmxy s una asmptota obliqua si:

x

)x(f

xlim=m

, mR-{0}

mxxflimnx

)(

NOTA:Cal recordar que si una funci t alguna asmptota obliqua no t asmptoteshoritzontals.

6.MONOTONIAa) Intervals de creixement i de decreixement

Estudiarem el signe de la primera derivada:

Si )x(f0>)x('f s estrictament creixent.

Si )x(f0


63/99


en els que: 0)(' xf . Com classificar-los ?

Si ( )( )af,a0>)a(''fi0=)a('f s un MNIM.

Si ( )( )af,a0


64/99


Signe de f(x)

-1 0 1Creixement: ( Decreixement(-1;0)

(0;1)

Mnim relatiu en A(1,2)Mxim relatiu en B(-1, -2)La funci no presenta extrems absoluts degut a que f(x) pren valors infinits tant positius comnegatius

7. Curvatura.

Com , no t soluciNo hi ha punts dinflexi.Concavitat i convexitat: Encara que no hi haja punt dinflexi s possible que la la curvaturacanvie en el punt que no s del domini.

Signe de f(x)0

Concavitat: ( Convexitat: (- 8. Grfica

PROBLEMES RESOLTS

1.- Calcu lar a, b i c perqu la func i f(x) = x3+ax2+bx +c tin ga un mxim en x= -4, un mnim en x = 0 i pren ga el valo r 1 en x = 1

Per ser x=-4 un mxim f(-4)=0Per ser x=0 un mnim f(0) = 0i f(1) = 1

Plantejant el sistema: f(x) = 3x2+ 2ax + b

f(-4) = 3(-4)2+ 2a(-4) + b=0 488a + b = 0 a = 48/8 = 6f(0) = 30 + 2a0 + b =0 b = 0 b = 0f(1) = 13+ a12+ b1 + c=1 1 + a + b + c = 1 c = - 6

Solu ci: a=6 b=0 i c=-6

2- Estudia el creixement i decreixement de les segents funcions en els punts

que s'indiquen:


65/99


a)x

xf 2

)( en x = - 1; b)12

45

x

xxf )( en x = 1

a) 122

)( xx

xf ;2

2 22)(x

xxf

021

2

)1(

2)1(

2

f La funci s decreixent en x = -1

b)12

45)(

x

xxf

222 )12(

13

)12(

810510

)12(

)45(2)12(5)(

xx

xx

x

xxxf

09

13

)11.2(

13)1(

2

f La funci s creixent en x = 1

3.- Trob a els valor s de a i b en la func i f(x) = x

2

+ ax + b sabent qu e passa pelpun t P(-2, 1) i tun extrem relatiu en el p unt d'absc issa x = -3

Si passa pel punt (-2, 1)f(-2)=1

Com t un extrem per a x = -3 f(-3)=0 Donat que f(-3)=

a = 6I substituint en l'equaciab = -3 s'obt el valor de b b = -3

Soluc i: a=6 i b=-3

4.- Trob a a, b i c en l a func i f(x) = ax3+ bx2+ cx + d sabent q ue el pun t P(0,4)s un mxim i el punt Q (2,0) un m nim .

La funci passa per (0,4), per tant 4000 23 dcba d = 4

La funci passa per (2,0), per tant, 0222 23 dcba D'altra banda, el punt P(0, 4) s un mxim el que indica que la seua derivada s'anulla per a x =

0, s a dir, cbxaxxf 23)( 2 ; 00.20.3)0( 2 cbaf c = 0Com el punt Q(2,0) s un mnim, la seua derivada s'anulla per a x = 2: f(2)=0

02.22.3 2 cba 0=+4+12 cba

Formant un sistema amb les 4 equacions obtingudes resulta:

0412

0

0248

4

cba

c

dcba

d

0412

448

ba

ba

03

12

ba

ba

03

12

ba

ba

a = 1; b = -3

Soluc i: a=1 i b=-3

1)2()2( 2 ba 3 baaxxf 2)( 0)3(2 a

36 b

0248 dcba


66/99


5.- Trob a les dimensi on s d el rectan gle d 'rea mxima in sc rit en u na c irc um fernc iade 10 cm. de radi.

1.- Funci a maximitzar: rea = xy

2.- Condici;

40022 yx 2400 xy ; aleshores la funci a optimitzar;

2400 xxA amb0


67/99


unix les c iutats A i B i que l i permet anar a una veloc i ta t de 100 Km /h, mentres que peldes ert l a vel oc itat s d e 60 Km /h. Saben t q ue l a di stnc ia ms c ur ta d e P a la c arret eraqu e un ix les ciu tats A i B s d e 300 Km ., determin a la rut a qu e haur d'u til itzar p er a anarde A a P en el menor temps po ssib le .

1.- Funci a minimitzar; el temps per anar dA fins a P utilitzant la ruta AMP.

Aplicant Pitgores en el triangle ACP s'obt: 400300500 22 AC

En el triangle MCP s'obt que 22 300 xMP

I el temps que tarda l'autombil a recrrer la distncia AM + MP:60

300

100

400 22

xxt on

0 x 400

2.- Clcul dextrems: Derivant,2222 30060100

1

3002

2

60

1

100

1

x

x

x

xt

Si fem 0t , 0300601001

22

x

x 100

1

30060 22

x

x

s a dir, 22 300610 xx 222 300.3636100 xx 22 300.3664 x 64300.36 22 x

225x La soluci negativa no t sentit.

175225400 AM . L'autombil deixa la carretera a 175 Km. de la ciutat A.

3.- Comprovaci:

)300(60

300

60)300(60

)300(60

3002

2.6030060.1

222

22

22

222

2222

x

x

xx

x

x

xx

t

22222

22

300)300(60

60)300(60

xx

xxt . Per a x = 225, 0)225( t (mnim relatiu)

4.- s mnim absolut?t(0)= 9 segons

t(400) =500 segonst(225)=7,5385 segons s el mnim relatiu iabsolute.

5.- Soluci:Recorrerem 175 m per la carretera recta i la resta pel desert.

7.- Un dipsit obert d e llaut amb base qu adrada i capacitat per a 4000 li tres, quines


68/99


dim ensi on s ha de tin dre p erqu la seua fabri caci siga el ms econ mic a po ss ible?

1.- Funci a maximitzar: A=x2+4yx

2.- Condici:

V=x2y=4000 aleshores allant Aleshores la funci a optimitzar ser:

12 16000 xxA ; x>0

3.- Clcul dextrems:2

3

22 16000216000216000.12

x

x

xxxxA

Si fem 0A , 0160002 3 x 80003 x 20x

4.-Comprovaci:3

3

4

322 320002)160002(2.6

x

x

x

xxxxA

Per ax = 20, 020

3200020.2)20(

3

3

A per ax = 20la superfcie s mnima.

Six = 20, 10204000

2 y

5.- Soluci: La caixa ha de tindre 20 dm. de costat i 10 dm. d'alria.

8.- Es desit ja con struir u na llanda de cons erva en forma de cil ind re circular recte d'reatotal 150 cm2i v olum mxim . Determina la seua g eneratr iu i el seu radi.


69/99


1.- Funci a optimitzar: El volum del cilindre s igual a l'rea de la base per l'alria, per tant,V=x2y

2.- Condici:L'rea total d'un cilindre s: rea= generatriuradi2 + l'rea de les dos bases

s a dir,

I d'ac, 75...2 xyx

x

xy

275

La funci a maximitzar i la seua acotaci seria:

32

22 .7575

xxx

xxyxV

x >0

3.- Clcul dextrems:

2.375 xV Si fem 0V , 0.3752 x

25

3

752 x

5x

4.- Comprovaci:

xV .6 Substituint 030.305

.65

V

Per a un radi:

5x el

Bloque Analisis Bachiller

Documents