1 BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörler kabaca iki farklı şekilde tanımlanır; bunlardan birincisi, uzayda noktalara karşılık gelen bir koordinat sistemindeki noktalar veya büyüklük ve yönü olan nesneler. Bu kısımda, neden iki vektör tanımının bulunduğu açıklanacak ve iki kavram ilişkilendirilmeye çalışılacaktır. Vektörler genellikle büyüklük ve yöne sahip doğru parçaları olarak görülür; ötelemeler, yer değiştirmeler, hızlar, kuvvetler, ivme, momentum vb. niceliklerde kullanılır. Bu şekilde tanımlanan vektörlere serbest vektörler denir. Dolayısıyla bu tanımla bir vektör, paralel yönlendirilmiş doğru parçalarının sonsuz bir kümesidir. Örneğin x-ekseninde pozitif yönde(sağ taraf) bir uçtan diğer uca üç birim ve y-ekseninde bir birim pozitif yönde (yukarı) öteleme ele alınsın. Bu öteleme, (0,0) noktasına uygulandığında (3,1) noktasına gider ve (5,7) noktası ise (8,8) noktasına gider ve diğer her nokta benzer şekilde ötelenir. Bunu göstermek için diyagramlar çizilebilir. Aynı öteleme vektörüyle düzlemin tüm noktalarını aynı anda taşınabilir. Bu nedenle serbest vektör bir öteleme ile aynı şey olarak düşünülebilir. Şekil 1: serbest vektörler ve öteleme Şekildeki yönlendirilmiş doğru parçalarının her biri aynı vektörü temsil eder. Her durumda vektör belirli bir noktadan başlar, daha sonra 2 birim sola, 5 birim yukarı hareket eder. Tanım: Başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıtlama olmayan vektöre serbest vektör denir. Genellikle belirli bir taşımayı temsil etmek üzere sonsuz elemanlı kümeden tek bir doğru parçası seçilir. Pratikte tüm kümeyi temsil etmek için neden tek bir temsilcinin seçildiği sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir ve bu yer değiştirme sembolü OA vektörü olarak adlandırılır. Eğer A noktasından C noktasına doğru hareket devam ederse, toplam yer değiştirme bu iki yer değiştirmenin vektörel OA AC + toplamıdır ve OC yönlü doğru parçasına eşittir.
14
Embed
BÖLÜM 1: VEKTÖRLERkisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/cebir_2019/Cebir Vektörler_2019.pdf · Matematikte noktalar ve uzaylar (mekan, yer, boşluk) temel soyut kavramlar olarak düşünülür
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörler kabaca iki farklı şekilde tanımlanır; bunlardan birincisi, uzayda noktalara karşılık
gelen bir koordinat sistemindeki noktalar veya büyüklük ve yönü olan nesneler. Bu kısımda,
neden iki vektör tanımının bulunduğu açıklanacak ve iki kavram ilişkilendirilmeye
çalışılacaktır.
Vektörler genellikle büyüklük ve yöne sahip doğru parçaları olarak görülür; ötelemeler, yer
değiştirmeler, hızlar, kuvvetler, ivme, momentum vb. niceliklerde kullanılır. Bu şekilde
tanımlanan vektörlere serbest vektörler denir. Dolayısıyla bu tanımla bir vektör, paralel
yönlendirilmiş doğru parçalarının sonsuz bir kümesidir. Örneğin x-ekseninde pozitif
yönde(sağ taraf) bir uçtan diğer uca üç birim ve y-ekseninde bir birim pozitif yönde (yukarı)
öteleme ele alınsın. Bu öteleme, (0,0) noktasına uygulandığında (3,1) noktasına gider ve (5,7)
noktası ise (8,8) noktasına gider ve diğer her nokta benzer şekilde ötelenir. Bunu göstermek
için diyagramlar çizilebilir. Aynı öteleme vektörüyle düzlemin tüm noktalarını aynı anda
taşınabilir. Bu nedenle serbest vektör bir öteleme ile aynı şey olarak düşünülebilir.
Şekil 1: serbest vektörler ve öteleme
Şekildeki yönlendirilmiş doğru parçalarının her biri aynı vektörü temsil eder. Her durumda
vektör belirli bir noktadan başlar, daha sonra 2 birim sola, 5 birim yukarı hareket eder.
Tanım: Başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıtlama olmayan vektöre serbest vektör denir.
Genellikle belirli bir taşımayı temsil etmek üzere sonsuz elemanlı kümeden tek bir doğru
parçası seçilir. Pratikte tüm kümeyi temsil etmek için neden tek bir temsilcinin seçildiği
sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA
sembolü ile gösterilir
ve bu yer değiştirme sembolü OA
vektörü olarak adlandırılır. Eğer A noktasından C
noktasına doğru hareket devam ederse, toplam yer değiştirme bu iki yer değiştirmenin
vektörel OA AC+
toplamıdır ve OC
yönlü doğru parçasına eşittir.
2
Ancak O belirlenmiş sabit bir nokta olarak dikkate alındığında, OA
vektörü, aynı yön ve
büyüklüğe sahip serbest vektörlerin oluşturduğu kümeden seçilen bir yönlü doğru parçasıdır
ve konum vektörü olarak adlandırılır. Diğer bir ifadeyle, konum vektörleri hakkında
konuşurken, vektörün başlangıç ve son noktası belirtilmektedir.
Koordinat sisteminin başlangıcını tanımlayan ve konum vektörlerinin kullanılabilmesine
olanak sağlayan özel bir vektör vardır. Bu vektör sıfır vektörüdür ve n uzayında
(0,0, 0)=0 ifadesi ile tanımlanır. Sıfır vektörü sonsuz sayıda doğrultu ve yöne sahiptir.
Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre sıfır vektörü denir.
Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre konum (yer) vektörü denir.
Tanım: Kartezyen sisteminde başlangıç (0,0, 0)=0 noktasını bir A noktasına birleştiren
OA
vektörüne A noktasının konum vektörü adı verilir.
Matematikte noktalar ve uzaylar (mekan, yer, boşluk) temel soyut kavramlar olarak düşünülür
ve bir koordinat sistemi kullanarak bir uzay modeli oluşturulur. Üç boyutlu bir koordinat
sistemi, basitçe gerçek sayıların ( , , )x y z sıralı üçlülerinin sonsuz bir kümesidir ve her nokta,
noktanın koordinatları olarak adlandırılan bu sıralı üçlülerden birine karşılık gelir. Her serbest
vektöre (veya öteleme için), o öteleme altında orijin ile ilişkili bir konum vektörü karşılık
gelir. Böylece konum vektörleri uzayda noktalar olarak tanımlanır ve her bir P konum
vektörüne, eşsiz (tek, yegane) bir OP
vektörü karşılık gelir.
Bir koordinat sistemi seçildiğinde, uzaydaki aynı yön ve büyüklüğü tanımlayan serbest
vektörler kümesinden bir vektör, belirlenen koordinat sistemindeki bir noktayı temsil eder.
Eğer A noktasının uzaydaki yeri, seçilen koordinat sistemi ile ( , , )a a ax y z şeklinde belirlenmiş
ise, konum vektörü ( , , )a a ax y z=a sıralı üçlüsü ile tanımlanır. Sonuç olarak A noktası,
konum vektörü a ve serbest vektörler kümesi arasındaki ilişki açıkça görülebilir.
Serbest vektörler ile konum vektörleri arasında kavramsal bir ayrım söz konusuysa da, her iki
türü de birbirinin yerine kullanmak mümkündür. Ancak tanımlar hakkında net bilgi yoksa bu
karışıklığa neden olabilir.
3
Sonuç olarak grafiksel anlamda, vektörler yönlendirilmiş doğru parçaları ile temsil edilir.
Doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğüdür ve doğru parçasının yönü vektörün
yönüdür. Bununla birlikte serbest vektörler, niceliğin ya da hareketin uygulandığı yer
hakkında herhangi bir bilgi vermediğinden, aynı uzunluk ve yöne sahip herhangi bir
yönlendirilmiş doğru parçası aynı vektörü temsil edebilecektir. Bu nedenle çalışmalarda
genellikle konum vektörleri tercih edilir.
Tanım: Matematik, istatistik, mekanik gibi çeşitli bilim dallarında uzunluk, alan, hacim,
yoğunluk, kütle, elektriksel yük gibi büyüklükler, cebirsel kurallara göre ifade edilirler. Bu tür
çokluklara skaler büyüklükler denir.
Tanım: Hareket, hız, kuvvet vs. gibi hem yönü, hem doğrultusu, hem de büyüklüğü olan
çokluklara vektörel büyüklükler denir.
1.1 VEKTÖRLERİN TOPLAMI VE SKALERLE ÇARPIMI Önceki bölümlerde vektörlerin ne olduğu ve nasıl gösterildiği hakkında bilgiler verilmişti. Bu
kısımda ise cebirde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin vektörler üzerinde
nasıl uygulanacağı tanıtılacaktır.
1.1.1 Vektör Toplamı Vektörlerin toplamı için iki temel yaklaşım mevcuttur. Bunlar; analitik yaklaşım ve geometrik
yaklaşımdır. Gösterim ve kullanım açısından farklı uygulamalara sağladığı yararlar nedeniyle
her ikisinden de kısaca bahsedilecektir.
Analitik Yaklaşım
Her bir vektör eksenlerde en az bir bileşene sahip olduğundan, analitik olarak
toplamından bahsedilebilir. 1v ve 2v bileşenlerine sahip iki boyutlu bir v vektörü ele alınsın.
v vektörünün sütun vektörü cinsinden gösterimi 1
2
vv
=
v biçimindedir. Satır vektör
cinsinden gösterimi ise ( )1 2,v v=v şeklindedir. Benzer şekilde bir 1
2
ww
=
w vektörü
tanımlansın. Bu durumda v ve w vektörlerinin toplamı, karşılıklı bileşenlerin toplamı olarak
ifade edilir. Diğer bir ifadeyle, birinci vektörün ilk bileşeni ile diğer vektörün ilk bileşeni
toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün birinci bileşeni olur. Benzer şekilde ilk vektörün
ikinci bileşeni ile diğer vektörün ikinci bileşeni toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün
ikinci bileşeni olur. Aşağıda sütun ve satır vektör cinsinden toplamlar sırasıyla gösterilmiştir.
4
1 1 1 1
2 2 2 2
v w v wv w v w
+ = + = +
v + w
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ,v v w w v w v w+ = + = + +v w
Bu toplam n boyutta yapılırsa;
1 2 nv = v + v +…+ v olmak üzere,
( )11 21 mnn1 1n 2nv = v + v + v , v + v +…, …+ v…+
yine bir vektör olur.
Geometrik Yaklaşım
Düzlemde vektörlerin toplanması geometrik kurallara göre olur. Yaygın olarak kullanılan
yöntemler: uç uca ekleme ve paralel kenar yöntemidir.
Uç Uca Ekleme (çokgen) Metodu: Uç uca ekleme metoduna göre, vektörlerin doğrultusu,
yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden, birinin bitiş noktasına diğerinin başlangıç noktası gelecek
şekilde uç uca eklenir. Daha sonra ilk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş
noktasına çizilen vektör, toplam vektörünü (bileşke vektör) verir.
Şekil 2: Uç uca ekleme metodu
Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde
yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün bitim noktası ile birleştiren
vektör toplam ya da bileşke vektör olarak adlandırılır.
Paralel Kenar Metodu: Paralel kenar metodu ile iki vektörü toplamak için, bu iki vektörün
başlangıç noktaları aynı olacak şekilde bir noktaya taşınır ve bir paralel kenar oluşturulur.
Oluşan paralel kenarın köşegeni toplam vektörü verir.
Şekil 3: Paralel kenar metodu ile toplama işlemi
5
Vektörlerde çıkarma işlemi de benzer biçimde yapılmaktadır.+ işleminin tersi − olduğundan
( )− = + −v u v u bağıntısı kullanılabilir. Dolayısıyla −v u vektörünü bulmak için u
vektörünü ters çevrilip yukarıda sözü geçen metotlar kullanılarak istenilen sonuç elde
edilebilir. Örneğin paralel kenar metodunun geometrisi aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.
Şekil 4: Paralel kenar metoduyla çıkarma ve toplama işlemleri
1.1.2 Vektörlerin bir Skaler ile Çarpımı Bir vektörün bir skaler ile çarpımı, vektörün doğrultusunu değiştirmeyen bir işlemdir. Fakat
skalerin büyüklüğü ve işareti, çarpılan vektörün yönünü ve büyüklüğünü değiştirir.Örneğin;
1
2
vv
=
v
vektörü için sırasıyla 2c = ve 1c = − skalerleriyle (reel sayı) çarpılırsa;
1 1
2 2
22 ,
2v vv v
− = − = −
v v olur.
Bir vektörün bir skaler ile çarpımının sonucu, yine bir vektördür. Vektörlerin bir skaler ile
çarpımın en temel örneği, doğru denklemlerinin elde edilmesidir. Aşağıdaki başlıkta bu konu
incelenmiştir.
6
Doğru Denklemi ve Vektörler
Vektörler ile doğru denklemi arasında bir ilişki
vardır. Vektörler kullanılarak doğru denklemleri
oluşturulur. İki boyutlu vektörleri kullanarak bir
doğru denklemi yazılsın: Öncelikli olarak keyfi bir
başlangıç noktası belirlenmelidir. Kolaylık
açısından başlangıç noktası O(0,0) olsun.
Düzlemde çizilen keyfi bir doğru ele alınsın ve bu
doğruya paralel olan bir doğrultman vektör ise
[ , ]d a b=
olsun. Doğru üzerinde belirlenen
( , )A x y ve 0 0( , )B x y noktaları olsun. A noktasının
doğru üzerinde hareketli bir nokta olduğu ve B noktasının ise sabit olduğu varsayılsın.
Düzlemde ( , )A x y ve 0 0( , )B x y noktalarının belirlediği AB
vektörü, AB OA OB= −
biçiminde yazılabilir. Ayrıca ||d AB
bağıntısı mevcuttur. Tüm bu bilgilerden yola çıkarak;
( ) ( )0 0
0 0
0 0
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
,( , ) ( , )
( )
AB OA OBA x y O B x y O
A x y B x yx x y y
= −
= − − −
= −
= − −
Aynı zamanda ||d AB
olduğundan ve doğrultman olması nedeniyle k∈ için kd AB=
yazılabilir. Dolayısıyla,
( ) ( ) ( )0 0, , ,AB x x y y k a b ka kb= − − = =
.
Sıralı ikililerin tanımından,
0
0
x x kay y kb= += +
olup doğrunun parametrik denklemi elde edilmiş olur. Denklemdeki parametre k reel
sayısıdır. Dikkat edilirse bu sayı değiştikçe doğrunun rastgele seçilen A(x, y) noktaları elde
edilecek ve AB
vektörünün boyu, bu parametreye bağlı olarak değişecektir. Şimdi de elde
edilen bu parametrik denklemde k parametresi her bir eşitlikte yalnız bırakılırsa, koordinatlar
arasında
0 0x x y yka b− −
= =
7
bağıntısı elde edilir. Buna doğrunun Kartezyen denklemi denir. Bu doğrunun denklemi
genellikle d ile gösterilir ve aşağıdaki biçimde yazılır.
0 0: x x y yda b− −
= .
Benzer biçimde üç boyutlu uzayda da doğru denklemi elde edilebilir.
Tanım: u ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve büyüklükleri eşit ise eşit vektörlerdir.
u = v Eğer k −∈ ise elde edilen –ku vektörü, u vektörü ile aynı doğrultuda fakat zıt yöndedir.
Tanım: u ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan vektör
-u
ile gösterilir.
Tanım: Bir u vektörünün ku çarpımında k=-1 ise, (-1)u vektörüne, u vektörünün toplamaya
göre tersi denir:
u+(-u)=0
Tanım: u ve v herhangi iki vektör ise bunların farkı, vektörlerin karşılıklı elemanlarının
cebirsel farkı ile elde edilen vektördür:
u+(-v)=u-v=w
( )1 1, , n nu v u v= − −w
temsilin başlangıç ve son noktaları göz önüne alındığında, bir vektörün nasıl
oluşturulacağından bahsedilmelidir.
Verilen 1 2 3( , , )A a a a= ve 1 2 3( , , )B b b b= iki nokta olsun. AB
doğru parçasını temsil eden
vektör,
( )1 1 2 2 3 3, ,v b a b a b a= − − −
.
Yukarıdaki vektör, A'dan başlayan ve B'de biten vektördür. B'den başlayan ve A'da sonlanan
vektör, diğer bir deyişle temsili BA
olan vektör;
( )1 1 2 2 3 3, ,w a b a b a b= − − −
olur.
Bu iki vektör farklıdır. Bu nedenle hangi noktanın başlangıç noktası ve hangi noktanın bitiş
noktası olduğuna dikkat edilmelidir. İki nokta arasındaki vektörü belirlerken, başlangıç
noktası her zaman bitiş (terminal, uç) noktasından çıkartılır.
w fark vektörü u ve v vektörlerinin tanımladığı paralelkenarın diğer köşegenidir.
Vektör toplamları ve skaler ile çarpımları için aşağıdaki şekiller incelenebilir.
8
Vektörler sadece büyüklük ve yön verir. Niceliğin uygulandığı yer hakkında herhangi bir bilgi
vermezler. Bu bilgi, vektörler ile ilgili daima hatırlanması gereken önemli bir bilgidir.
1.2 VEKTÖRLERİN UZUNLUĞU VE BİRİM VEKTÖR Üç boyutlu konum vektörünün uzunluğunun
karesi; 2 2 2 2
r OA OC CA= = +
2 2 2
OB BC CA= + +
2 2 2x y z= + +
Uzunluk,
2 2 2zxr y= + +
Tanım: Bir u vektörünün uzunluğu vektör elemanlarının karelerinin toplamının kareköküdür ve u
ile tanımlanır:
22 2 2
1 nu u u= + + +u
Tanım: Uzunluğu ya da salt değeri 1’e eşit olan vektörlere birim vektör denir. Bir u vektörü,
=ueu
işlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir u vektörü, birim vektör ve uzunluğu cinsinden
yazılabilir:
=u u e
9
Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, uzunluğunun bir birim olacak şekilde
ölçeklenmesidir. Bu amaçla vektörün tüm bileşenleri, vektörün uzunluğuna bölünür.
1 2( , , ), nuu u …=u
22 2 2
1 nu u u= + + +u
ise normalize edilmiş vektör
1 2 ,, , nN
uu u =
…
uu u u
Tanım: Üç boyutlu kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O (0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0)
ve (0,0,1) noktalarına birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin birim vektörleri
denir. i, j, k ile gösterilirler:
(1,0,0)=i , (0,1,0)=j , (0,0,1)=k
n- boyutlu uzayın birim vektörleri de benzer biçimde tanımlanmaktadır. Bu birim vektörler
( )( )( )
( )
2
3
,0
,0
1,0,0,0,
0,1,0,0,
0,0,1,0,
0,0,0,
,
10,
0
,n
=
=
=
=
…
…
…
…
1e
e
e
e
biçimde ifade edilir.
Teorem: Üç boyutlu uzaydaki herhangi bir 1 2 3,( , )u u u=u vektörü, i, j, k birim vektörlerinin
doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir:
2 31u u u= + +u i j k
Bu ifadeye u vektörünün analitik gösterimi denir.
Teorem: ( )2 31 1 2 3, ,u u u uu u= + + =u i j k , ( )2 31 1 2 3, ,v v v vv v= + + =v i j k ve k∈ olmak
üzere,
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v= + + + + +u + v i j k
( )1 1 1 1 2 3, ,k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k