2011-12 Güz Temel Bilgiler 1 1-1 Haberleşme Sistemlerinde Temel Bilgiler Güz 2011-12 Tuncay ERTAŞ 1. Hafta Temel Bilgiler Bölüm I Sinyaller ve Sistemler • Sinyaller ve Sınıflandırılması • Güç ve Enerji • Fourier Serileri • Fourier Transformu ve Özellikleri • Dirac Delta Fonksiyonu
21
Embed
Bölüm I Sinyaller ve Sistemler - Assoc. Prof. Dr. Murat BEKEN · 2020. 11. 3. · sinyal: Zamanda sınırlı olmalıdır. Bant genişliği sonlu olmalıdır. Zamanda sürekli olmalıdır.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-1
Haberleşme Sistemlerinde
Temel BilgilerGüz 2011-12
Tuncay ERTAŞ
1. Hafta
Tem
el B
ilgile
r
Bölüm I Sinyaller ve Sistemler
• Sinyaller ve Sınıflandırılması• Güç ve Enerji• Fourier Serileri• Fourier Transformu ve Özellikleri• Dirac Delta Fonksiyonu
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-2
Tem
el B
ilgile
rSinyaller
Bir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudurGerilim v(t) veya akım i(t) olabilir
Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için, sinyal :
Zamanda sınırlı olmalıdır.Bant genişliği sonlu olmalıdır.Zamanda sürekli olmalıdır.Aldığı değerler sonlu olmalıdır.Gerçel değerli olmalıdır.
Tem
el B
ilgile
r
Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller
Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyaldenir.
Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük değerine sinyalin temel periyodu denir.
tTtgtg o ∀+= , )( )(
0T
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-3
Tem
el B
ilgile
rGüç: Anlık ve Normalize
Bir devrede Anlık Güç :
Ohm kanunundan,
Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:
g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t)sinyalinin anlık normalize gücü:
olarak yazılır.
)()()( titvtp =
RtiR
tvtp )()()( 22
==
)()()( 22 titvtp ==
)()( 2 tgtp =
Tem
el B
ilgile
r
Ortalama Normalize GüçBir sinyalin ortalama normalize gücü anlık normalize gücünün zaman ortalaması alınarak bulunur:
burada zaman ortalaması operatörüdür.
∫−
∞→==
2/
2/
22 )(1lim)(T
TT
dttgT
tgP
⋅
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-4
Tem
el B
ilgile
rGüç Sinyalleri
Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyale güç sinyali denir
Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri sonsuzdur!
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.
∞<< P0
Tem
el B
ilgile
r
Enerji SinyalleriBir sinyalin normalize enerjisi
olarak tanımlanır.
Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallereenerji sinyali denir. Öyle ki,
Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!
∫−
∞→=
2/
2/
2 )(limT
TT
dttgE
∞<< E0
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-5
Tem
el B
ilgile
rSinyallerin Sınıflandırılması
Bir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır
Güç Sinyali:Enerji Sinyali:
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir
Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.
∞<< E0∞<< P0
Sinyaller
EnerjiGüç
AperiyodikPeriyodik
Tem
el B
ilgile
r
Periyodik Sinyallerin GücüPeriyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü, bir periyot boyunca anlık normalize gücünün ortalamasıdır.
Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark ediniz!
∫−
=2/
2/
2 )(1 o
o
T
To
dttgT
P
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-6
Tem
el B
ilgile
rÖrnek
Aşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.
∫− ==1
11
21
1 WattdtP
02− 11− 2
1
sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.)2cos( 0tfA π
WattAdttfTA
dttfAT
P
T
T
22)4cos(1
)2(cos1
2
0
02
00
22
=+
=
=
∫
∫π
π 0/1 fT =
Tem
el B
ilgile
r
Bazı Önemli Sinyaller
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
TtTt
Tt
Tt
if0 if1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π
2 if0
2 if1
Tt
Tt
Ttrect
Tt
( )x
xxππ )sin(sinc =
-5 0 5
1
4321-4 -3 -2 -1x
sinc(x)
t
1
-T 0 T
Λ(t/T)
t
1
T/2-T/2
Π(t/T)
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-7
Tem
el B
ilgile
rFourier Serisi
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
222n o
no
nop Tntb
Tntaatg ππ sincos)(
dttgT
aT
Tp∫−=
2/
2/00
0
0
)(1
L.,,,,cos)(/
/32121 2
2 00
0
0
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫− ndt
Tnttg
Ta
T
Tpn
π
L.,,,,sin)(/
/32121 2
2 00
0
0
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫− ndt
Tnttg
Tb
T
Tpn
π
Periyodu olan bir sinyali için, )(tg p0T
Tem
el B
ilgile
r
Kompleks Fourier Serisi( ) ( ) ( )∑
∞
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
1
22
n onn
onnop T
ntjjbaT
ntjjbaatg ππ expexp
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+=>−
=0,0,0,
njbananjba
c
nn
o
nn
n
( ) ∑∞
∞−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n onp T
ntjctg π2exp
L,,,,exp)(/
/21021 2
2 00
0
0
±±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫− ndt
Tntjtg
Tc
T
Tpn
π
Genel olarak, nc katsayıları komplekstir. Dolayısı ile, ( )[ ]c c j cn n n= exp arg
Gerçel Değerli Sinyaller için, *nn cc =− , dolayısı ile de
c cn n− = ve ( ) ( )arg argc cn n− = −
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-8
Tem
el B
ilgile
rÖrnek
( )⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤−=
için kalanıperiyodun ,022
, TtTAtg p
A
t
2T
−2T
0T
)(tg p
0T−
dtT
ntjAT
cT
Tn ∫− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2 00
0
0
21 /
/exp π
,....,,,sin 210 ±±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= n
TTn
nA
o
ππ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
oo TnT
TTA sinc
( )ncaçı
π
π−0/Tn
Faz spektrumu
DİKKAT!Spektrum ayrıkDarbe parametrelerinin etkisiFaz tek, genlik ise çift simetriye sahip
nc
T3
0/1 T
T1
T2
T3
−T1
−T2
−
2.00
=TT0/TAT
00/Tn
Genlik spektrumu
Tem
el B
ilgile
r
Sinyal ve Frekans Spektrumu
Zaman
Genlik
Frekans
Frekans Ortamı
Zaman Ortamı
Fourier Dönüşümü
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-9
Tem
el B
ilgile
rFourier Transformu
Bir aperiyodik g(t) sinyali için
Fourier Transformu genellikle komplekstir:Gerçel değerli bir sinyal için: Dolayısı ile,
çift simetri
tek simetri
( ) ( ) ( )[ ]G f G f j f= exp θ( ) ( )G f G f= −*
( ) ( )G f G f− =
( ) ( )θ θ− = −f f
( ) ( )g t G f←→ ( )[ ] ( )F g t G f= ( )[ ] ( )F G f g t− =1
( )∫∞
∞−−= dtftjtgfG π2exp)()(
( )∫∞
∞−= dfftjfGtg π2exp)()(
Fourier Transformu
Ters Fourier Transformu
g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.
Tem
el B
ilgile
r
Örnek
g(t)
t
A
T/2-T/2T2
T2
−T3
T1
−T3
−T10
f
|G(f)|AT
∏ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
TtA
TtrectAtg )( ( )∫− −=
2
22
/
/exp)(
T
TdtftjAfG π
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
fTfTAT
ππsin
( )fTATsinc =
( )fTATTtA sincrect ⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-10
Tem
el B
ilgile
rÖrnek
( ) ( ) ( )g t t u t= −exp
( )∫∞
∞−−−= dtftjtfG π2exp)exp()(
( )[ ]∫∞
+−=0
21 dttfj πexp
=+
11 2j fπ
( ) ( )exp − ⇔+
t u tj f1
1 2π
( ) ( ) ( )g t t u t= −exp
( )∫∞
∞−−= dtftjtfG π2exp)exp()(
( )[ ]∫ ∞−−=
021 dttfj πexp
=−
11 2j fπ
( ) ( )exp t u tj f
− ⇔−
11 2π
t
g(t)
1
0
g(t)
t
1
0
Tem
el B
ilgile
r
Doğrusallık Özelliği( ) ( ) ( ) ( )ag t bg t aG f bG f1 2 1 2+ ⇔ +
( )( )
exp − ⇔+
tf
2
1 22
π
fjtg
π211)(1 +
⇔
( )fj
tgπ21
12 −
⇔( )G fj f j f
=+
+−
11 2
11 2π π
( ) )()(exp)( 21 tgtgttg +=−=
g(t)=exp(-|t|)
t0
1
( ) ( ) ( )tuttg −= exp1( ) ( ) ( )tuttg −= exp2
2011-12 Güz
Temel Bilgiler 1 1-11
Tem
el B
ilgile
rGenleştirme Özelliği
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇔
afG
aatg 1
[ ] ( )∫∞
∞−−= dtftjatgatgF π2exp)()(
yazarakat=τ
[ ] ∫∞
∞− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= dt
afjg
aatgF τπτ 21 exp)()(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
afG
a1
Örnek
( )
( )
g t
at t
tt
=
− >
=
<
⎧
⎨⎪
⎩⎪
exp ,
,,
012
00 0
( ) ( )G fa j f a
=+
11 2π /
Tem
el B
ilgile
r
Dualite Özelliği( ) ( )fgtG −⇔
( )∫∞
∞−−=− dfftjfGtg π2exp)()( ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,