BİLDİRİ TAM METİNLERİ e–KİTABI - stat.metu.edu.trstat.metu.edu.tr/system/files/IGS Bildiriler Kitabi.pdf · 4 dogrusal olmayan regresyonda bazi parametre aralik 25-34 tahminleme

VII. İSTATİSTİK GÜNLERİ SEMPOZYUMU

28 – 30 Haziran 2010

Orta Doğu Teknik Üniversitesi

Ġstatistik Bölümü

BİLDİRİ TAM METİNLERİ e–KİTABI

Editörler H. Öztaş AYHAN Ceylan TALU YOZGATLIGİL

Yayın: Ankara, Mart 2011

VII. ĠSTATĠSTĠK GÜNLERĠ SEMPOZYUMU BĠLDĠRĠLER KĠTABI 2010

ORTA DOĞU TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ, FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ, ĠSTATĠSTĠK BÖLÜMÜ | i

ÖNSÖZ

7. Ġstatistik Günleri Sempozyumu, 28 – 30 Haziran 2010 tarihleri arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen

ve Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü tarafından, Ankara‟da ODTÜ Kültür ve Kongre Merkezi salonlarında

gerçekleĢtirilmiĢtir. Sempozyumda, 4 adet davetli bildiri ve 68 adet katkılı bildiri baĢarı ile sunulmuĢtur.

Sempozyumda sunulan bildirilerin bir bölümü bilimsel hakemlik süreci sonunda bu elektronik Sempozyum Bildirileri

Kitabı‟nda yayınlanmıĢtır. Sunulan bildirilerin diğer bir bölümü ise, Ġstatistik AraĢtırma Dergisi‟nin bu sempozyum

için planlanan özel sayısında yayınlanmak amacı ile bilimsel hakemlik sürecine tabi tutulmuĢlardır. Bizlere bu olanağı

sağlayan TÜĠK BaĢkan Vekili sayın Ömer TOPRAK‟a ve dergi editorü Profesör Fetih YILDIRIM ve editor yardımcısı

Yardımcı Doçent Özlem ĠLK‟e teĢekkür ederim.

Sempozyum Bildiriler Kitabı‟nda yayınlanmak üzere sunulan bildiri tam metinleri konunun uzmanı olan

hakemler tarafından değerlendirilmiĢ ve gerekli düzeltmeler elektronik ortamda gerçekleĢtirilmiĢtir. Hakemlik

sürecinde yardımlarını esirgemeyen değerli bilim insanlarına teĢekkür ederiz.

Sempozyum bilimsel programının çok renkli olmasını çok özel olan davetli konuĢmacılarımıza borçluyuz.

Kendi özel bilimsel çalıĢma alanlarında dünyada ve ülkemizde önemli söz sahibi olan Profesör Orhan GÜVENEN,

Profesör Ġ. Burhan TÜRKġEN, Profesör Ġsmihan BAYRAMOĞLU ve Profesör Fikri AKDENĠZ‟e sempozyuma

yaptıkları katkılar nedeniyle Ģükranlarımı sunarım. Sempozyumda oturum baĢkanı olarak, sempozyum bildirilerine

katkıda bulunan tüm meslektaĢlarıma da teĢekkürlerimi sunarım.

Bu sempozyumun gerçekleĢmesinde değerli desteklerini esirgemeyen Rektörümüz Profesör Ahmet ACAR‟a

Ģükranlarımızı sunarız. Ayrıca, bu sempozyumun gerçekleĢmesinde değerli görüĢleriyle katkıda bulunan Sempozyum

Onur Kurulu ve Sempozyum Bilimsel DanıĢma Kurulu üyelerine teĢekkür ederim. Sempozyum hazırlık ve

uygulamasının tüm aĢamalarında yer alan değerli çalıĢma arkadaĢlarıma ve özverili çalıĢmalarından dolayı

Sempozyum Düzenleme Kurulu ve Bölümümüzün tüm idari personeline teĢekkür ederim. Sempozyumun baĢarılı bir

Ģekilde sonuçlanmasına katkıda bulunan ODTÜ‟nin tüm çalıĢanlarına ayrıca teĢekkür ederim.

Sempozyumun gerçekleĢmesinde önemli mali desteklerini esirgemeyen Türkiye Halk Bankası Genel Müdür

Yardımcısı Osman ARSLAN ve Tanıtım ve Halkla ĠliĢkiler Dairesi BaĢkanı Yalçın KAYA‟ya Ģükranlarımı sunuyorum.

Sempozyum düzenlemenin tüm aĢamalarındaki desteklerinden dolayı ETĠX Organizasyon ġirketi yönetici ve

çalıĢanlarına teĢekkür ederim. Sempozyumun, kapanıĢ yemeğinin düzenlenmesinde yaptıkları özverili çalıĢmaları

nedeniyle, Hacettepe Üniversitesi Genel Sekreteri Profesör Turhan MENTEġ ve Beytepe Akademik Kafeteryası

yöneticilerine teĢekkür ederim.

Ġstatistik bilim insanlarının bir araya geldiği bu tür sempozyumlar, tecrübeli istatistikçiler ile genç

akademisyen ve araĢtırmacılarımızın birlikteliğini sağlamakta ve gençlerin motivasyonunu artıran önemli bir toplantı

olmaktadır. Gelecek yıllarda, bu sempozyumun sürekliliğinin, istatistikçiler için önemli bir bilimsel buluĢma ortamı

olmaya devam etmesini diliyorum.

Profesör H. ÖztaĢ AYHAN

ODTÜ Ġstatistik Bölümü BaĢkanı

7. ĠGS 2010 Düzenleme Kurulu adına


ORTA DOĞU TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ, FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ, ĠSTATĠSTĠK BÖLÜMÜ | ii

SEMPOZYUM ONUR KURULU

Prof. Dr. Ahmet Acar, Orta Doğu Teknik Üniversitesi Rektörü

Prof. Dr. Cüneyt Can, ODTÜ Fen ve Edebiyat Fakültesi Dekanı

Prof. Dr. Canan Özgen, ODTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

SEMPOZYUM DANIġMA KURULU

Prof. Dr. Fikri Akdeniz, Çukurova Üniversitesi

Prof. Dr. Soner Gönen, Gazi Üniversitesi

Prof. Dr. Hüseyin Tatlıdil, Hacettepe Üniversitesi

Prof. Dr. Serdar Kurt, Dokuz Eylül Üniversitesi

Prof. Dr. Ömer L. Gebizlioğlu, Ankara Üniversitesi

Doç. Dr. Mehmet Ali Cengiz, Ondokuz Mayıs Üniversitesi

SEMPOZYUM DÜZENLEME KURULU

Prof. Dr. H. ÖztaĢ Ayhan

Prof. Dr. AyĢen Dener Akkaya

Doç. Dr. Ġnci Batmaz

Doç. Dr. BarıĢ Sürücü

Yard.Doç. Dr. Zeynep Kalaylıoğlu

Yar.Doç. Dr. Özlem Ġlk

Yar.Doç. Dr. B. Burçak BaĢbuğ Erkan

Yar.Doç.Dr. Ceylan Talu Yozgatlıgil

Yar.Doç.Dr. Vilda Purutçuoğlu

Dr. Ayça Dönmez

ArĢ.Gör. Sipan Aslan

ArĢ.Gör. Sibel Balcı

ArĢ.Gör. Könül Bayramoğlu

ArĢ.Gör. Elçin Kartal

ArĢ.Gör. Gül Ġnan

ArĢ.Gör. Tuğba Erdem

ArĢ.Gör. Özgür Asar

ArĢ.Gör. Ceyda Yazıcı

ArĢ.Gör. Olcay Öztürk


ORTA DOĞU TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ, FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ, ĠSTATĠSTĠK BÖLÜMÜ | iii

ĠÇĠNDEKĠLER

NO MAKALE ADI SAYFA

1 AĞIRLIKLI HEDEF PROGRAMLAMA VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ 1-8

ĠLE TÜRKĠYE‟DEKĠ ĠLLERĠN BAġARIM DEĞERLENDĠRMESĠ

H.Hasan ÖRKÇÜ, Hasan BAL

2 ANKARA HAVA KĠRLĠLĠĞĠ ZAMAN SERĠSĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠNDE KLASĠK 9-15

VE BULANIK ZAMAN SERĠLERĠ YAKLAġIMLARININ KARġILAġTIRILMASI

Erol EĞRĠOĞLU, Ufuk YOLCU, Ç.Hakan ALADAĞ, V.Rezan USLU

3 BURR XII DAĞILIMININ PARAMETRELERININ ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA 16-24

SANSÜRLEMEYE DAYALI GÜVEN ARALIKLARI VE GÜVEN BÖLGELERI

CoĢkun KUġ, Yunus AKDOĞAN

4 DOGRUSAL OLMAYAN REGRESYONDA BAZI PARAMETRE ARALIK 25-34

TAHMiNLEME YONTEMLERiNiN KIYASLANMASI

Atıf EVREN

5 ESENBOĞA, ATATÜRK VE LONDON CITY HAVAALANLARINDAKĠ MEVSĠMSEL 35-43

HAREKETLĠLĠĞĠN GÖSTERMELĠK DEĞĠġKEN YÖNTEMĠYLE TESPĠT EDĠLMESĠ

Deniz KONAK, Vilda PURUTÇUOĞLU

6 GAUSS RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUNUN MOMENTLERĠ ĠÇĠN 44-52

YAKLAġIK FORMÜLLER

Fikri GÖKPINAR, Tahir KHANĠYEV

7 ĠLERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI ĠLE ÖNGÖRÜ ĠÇĠN GĠZLĠ TABAKA 53-58

SAYISI ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA

Faruk ALPASLAN, Ebrucan TĠRĠNG, Erol EĞRĠOĞLU

8 ĠSTATĠSTĠK'TE ENTROPĠYE DAYALI UYUM ÖLÇÜLERĠNĠN DĠĞER UYUM 59-68

ÖLÇÜLERĠ ĠLE KIYASLANMASI

Atıf EVREN

9 L-SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ KULLANILARAK YIĞIN ORTALAMASININ 69-79

TAHMĠN EDĠLMESĠ

Nilay AKINCI, Yaprak Arzu ÖZDEMĠR

10 ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN TAHMĠN EDĠCĠLERĠ VE GÜVEN 80-88

ARALIKLARI

Ümit YAMAN, Yunus AKDOĞAN, Ahmet PEKGÖR, CoĢkun KUġ

11 ONDOKUZ MAYIS ÜNĠVERSĠTESĠ TIP FAKÜLTESĠ BEYĠN CERRAHĠSĠ 89-94

POLĠKLĠNĠĞĠNDE SĠMÜLASYON YARDIMIYLA HASTA BEKLEME

SÜRESĠNĠN AZALTILMASI

Faruk ALPASLAN, Özge CAĞCAĞ, Erol EĞRĠOĞLU

12 PARETO MÜDAHALELĠ YARI-MARKOV RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜREÇĠ ĠÇĠN 95-100

ASĠMPTOTĠK SONUÇLAR

Rovshan ALIYEV, Tülay KESEMEN, Ġhsan ÜNVER

13 RCMARS-SAĞLAMCMARSYÖNTEMĠVESAYISAL BĠRUYGULAMA 101-108

AyĢe ÖZMEN, Gerhard-Wilhelm WEBER, Ġnci BATMAZ

14 SARIMA MODELĠ VE ELMAN YAPAY SĠNĠR AĞININ MELEZ YAKLAġIMI ĠLE 109-114

ANKARAHAVA KALĠTESĠ VERĠLERĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠ

ÇağdaĢ Hakan ALADAĞ, Ufuk YOLCU, Erol EĞRĠOĞLU

15 SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ TASARIMINDA YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN 115-122

HĠPOTEZTESTĠ

Yaprak Arzu ÖZDEMĠR, Fikri GÖKPINAR

16 TLDOLAR DÖVĠZ KURU VERĠLERĠNĠN BULANIK ZAMAN SERĠSĠ YAKLAġIMLARI 123-129

ĠLE ÖNGÖRÜSÜ

Cem KOÇAK, Erol EĞRĠOĞLU, Ufuk YOLCU, ÇağdaĢ Hakan ALADAĞ

17 HETEROJEN VARYANS DURUMUNDA ORTALAMALARIN EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN YENĠDEN 130-140

ÖRNEKLEME TEKNĠKLERĠNE DAYALI BĠR ÇALIġMA Esra YĠĞĠT, Hamza GAMGAM

18 UYARLANMIġ DURBĠN TESTĠ ĠÇĠN PERMÜTASYON TESTĠ VE BĠR SĠMÜLASYON 141-147

ÇALIġMASI

Fikri GÖKPINAR, Hülya BAYRAK


ORTA DOĞU TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ, FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ, ĠSTATĠSTĠK BÖLÜMÜ | 1

AĞIRLIKLI HEDEF PROGRAMLAMA VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ

ĠLE TÜRKĠYE‟DEKĠ ĠLLERĠN BAġARIM DEĞERLENDĠRMESĠ

H.Hasan ÖRKCÜ* Hasan BAL

**

ÖZET

Bu çalıĢmada, Türkiye‟deki 81 ilin baĢarım değerlendirmesi klasik veri zarflama analizi

(CCR modeli) ve ağırlıklı hedef programlama veri zarflama analizi yöntemleri ile

incelenmiĢtir.Elde edilen sonuçlar ağırlıklı hedef programlama veri zarflama analizi

yönteminin klasik veri zarflama analizi yöntemine göre daha iyi bir alternatif olduğunu

göstermiĢtir.

Anahtar Kelimeler: Veri zarflama analizi, hedef programlama, illerin etkinliği.

EVALUATION FOR PERFORMANCES OF COUNTRIES IN TURKEY BY

WEIGHTED GOAL PROGRAMMING DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

ABSTRACT

In this study, the efficiency evaluation of 81 countries in Turkey was examined by classical

data envelopment analysis (CCR model) and weighted goal programming data envelopment

analysis methods. The obtained results show that weighted goal programming data

envelopment analysis method is a better alternative according to classical data envelopment

analysis method.

Keywords: Data Envelopment Analysis, goal programming, efficiency of countries.

GĠRĠġ

Karar verme birimlerinin (KVB) göreli etkinliklerinin ölçülmesi amacı ile geliĢtirilmiĢ olan

Veri Zarflama Analizinin (VZA) uygulamaları geliĢtikçe yeni problemler de ortaya çıkmıĢtır

(Adler vd., 2002). Birbirine bağlı olan bu problemler zayıf ayırt edilebilme gücü problemi,

gerçekçi olmayan ağırlık dağılımı problemi ve etkin KVB‟ler için ağırlıkların çoklu optimal

çözümlere sahip olması problemidir. Zayıf ayırt edilebilme gücü problemi, çok fazla sayıda

birimin etkin olarak değerlendirilmesidir.

*AraĢ.Gör.Dr., Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 0650 Ankara, [email protected]

** Prof.Dr., Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 0650 Ankara, [email protected]

mailto:[email protected]




Türkiye farklı topoğrafya ve iklim özelliklerinin meydana getirdiği en geneli ile yedi coğrafi

bölgeden oluĢmakta ve bu bölgeler arasında ekonomik, sosyal ve kültürel açıdan göreli

geliĢmiĢlik farklar bulunmaktadır. Göreli olarak az geliĢmiĢ yörelerin geliĢmiĢlik düzeylerinin

yükseltilerek, bölgelerarası geliĢmiĢlik farkların azaltılması, ülke genelinde ekonomik

büyüme ile birlikte sağlıklı bir sosyal ve kültürel geliĢmenin ve refah dağılımının sağlanması,

temel bir hedef olarak ele alınmıĢtır. Bu hedefe yönelik olarak izlenen ekonomik ve sosyal

politikalar ile uygulanan teĢvik tedbirlerine ve gösterilen çabalara karĢın geliĢmedeki

bölgelerarası dengesizlikler önemini korumaktadır.Bu amaçlarla Devlet Planlama TeĢkilatı

(DPT) iller ve bölgeler seviyesinde performans araĢtırmaları yapmaktadır. Bu araĢtırmalar bir

çok değiĢkenli istatistiksel analiz yöntemi olan temel bileĢenler analizi ile yapılmaktadır.

Bu çalıĢmada, klasik VZA yöntemindeki zayıf ayırt edilebilme problemine seçenek olarak

önerilen ağırlıklı hedef programlama modeli ile ülkemizdeki 81 ilin sosyo-ekonomik baĢarım

değerlendirmesi ele alınmıĢtır.

Önerilen ağırlıklı hedef programlama modeli ile illerin gerçek baĢarımları ortaya çıkartılması

hedeflenmektedir.

VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ

VZA ilk olarak Charnes vd. (1978) tarafından, ürettikleri mal veya hizmet açısından

birbirlerine benzer KVB‟lerin göreli etkinliklerinin ölçülmesi amacı ile geliĢtirilmiĢ

parametrik olmayan bir tekniktir.Bu yöntemin sahip olduğu özellikleri kısaca özetlersek; her

KVB‟deki etkinsizlik miktarını ve kaynaklarını tanımlayabilmesi, her bir KVB‟nin etkinlik

değeri diğerlerine göre hesaplandığından hesaplanan etkinliklerin göreli etkinlikler olması ve

değiĢkenler üzerinde herhangi bir fonksiyonel varsayım öne sürmemesidir.

VZA‟ da herhangi bir birimin etkinliği CCR modeli olarak bilinen temel etkinlik modeli ile

ölçülür (Cooper vd., 2000). Girdi yönlü CCR modeli (1) ile verilmektedir.

1

maxs

p r rp

r

z u y

Kısıtlar:

1

1m

i ip

i

v x

1 1

0s m

r rj i ij

r i

u y v x

, 1, . . . , j n

0ru , 1, . . . , r s

0iv , 1, . . . , i m

(1)



Burada, p indisi etkinliği hesaplanacak KVB‟ni, x girdileri, y çıktıları, z ilgili birimin

etkinlik değerini, n KVB sayısını, m girdi sayısını, s çıktı sayısını simgelemektedir. (1)

modelinde * 1pz ise pKVB etkin olarak değerlendirilir. Etkinlik puanı 1‟in altında olan her

birim de etkin olmayan olarak değerlendirilecektir.

Klasik VZA modeli olarak da adlandırılan CCR modeli çok sayıda birimi etkin olarak

değerlendirir.Bu durum birimlerin birbirleri ile karĢılaĢtırılmalarını, etkin olmayan birimler

için etkinliklerini geliĢtirici politikalar üretmelerini sağlayacak ve bu birimlerin referans

olarak alabilecekleri birimleri seçmelerini zorlaĢtırmaktadır. Önerilen hedef programlamaya

dayalı VZA yaklaĢımı Li ve Reeves (1999) tarafından önerilen çok ölçütlü VZA yaklaĢımına

dayanmaktadır ve bu model ile Türkiye‟deki 81 ilin sosyo-ekonomik baĢarımları

incelenmektedir.

AĞIRLIKLI HEDEF PROGRAMLAMA VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ

Li ve Reeves (1999) üç farklı etkinlik ölçütlerine göre yeni bir etkinlik modeli önermiĢtir. Bu

etkinlik ölçütleri ilgili birime ait etkinlikten sapmanın minimum yapılması (etkinliğin

maksimum yapılması), etkinlikten sapmalar toplamının minimum yapılması ve en büyük

etkinlik sapmasının minimum yapılmasıdır.Ağırlıklı hedef programlama etkinlik modelinde

bütün etkinlik ölçütlerinin aynı öneme sahip olduğu ağırlıklı hedef programlama yöntemi ele

alınmaktadır.Ağırlıklı hedef programlama modeli ile daha birimlerin klasik CCR modeline

göre daha makul bir sıralamaları yapılabilmektedir.

Ağırlıklı hedef programlama VZA yöntemi (AGHPVZA) model (2) ile verilmektedir.

1 1 2 3min + j ja d d d d d

Kısıtlar:

1 1

1

1m

i ip

i

v x d d

2 2

1

1s

r rp

r

u y d d

1 1

0 , 1, 2, . . . , s m

r rj i ij j

r i

u y v x d j n

3 3 0 , 1, 2, . . . , j j jM d d d j n

0, 1,2, . . . ,ru r s

0, 1,2, . . . ,iv i m

0, 1, 2, . . . , jd j n

(2)



1 1 2 2 3 3, , , , , 0 , 1, 2, . . . , j jd d d d d d j n

Bu modelde, ele alınan KVB için, 1d ve

1d değiĢkenleri girdilerin toplamının bir olması

hedefinden sırasıyla istenmeyen ve istenen sapmaları, 2d değiĢkeni ağırlıklı çıktı toplamı

hedefinin bir etkinlik değerinden istenen sapmasını, +

2d değiĢkeni ağırlıklı çıktı toplamı

hedefinin bir etkinlik değerinden istenmeyen sapmasını, 3 jd değiĢkenleri M en büyük

sapmayı simgelemek üzere 0 , 1, 2, . . . , jM d j n hedefinden istenmeyen sapmaları

ve 3 jd değiĢkenleri 0 , 1, 2, . . . , jM d j n hedefinden istenen sapmaları

simgelemektedir.

1 1 2 3 +j jd d d d d baĢarı fonksiyonunda istenmeyen sapmalara eĢit ağırlık

verilmektedir. Bu modelde amaçlanan bütün istenmeyen sapma değiĢkenlerine aynı ağırlığı

vererek 1d , 2d

, ve 3 jd sapmalarını minimum yapmaktır (Bal ve Örkcü, 2007; Bal vd.

2010).

ĠLLERĠN ETKĠNLĠK DEĞERLENDĠRMESĠ

Bu bölümde ülkemizdeki 81 ilin sosyo-ekonomik performansı klasik CCR modeli ve önerilen

ağırlıklı hedef programlama VZA yöntemleri ile incelenmiĢtir. Modellerin çözümünde

WINQSB programından yararlanılmıĢtır. VZA‟ da değiĢkenlerin girdi ve çıktı olarak

ayrılması gerekir. DeğiĢkenlerin, girdi ve çıktı olarak ayrılması birim üzerindeki etkilerine

bağlıdır.Retzlaff-Roberts (1997), girdi ve çıktı değiĢkenleri yerine birimler üzerinde pozitif ve

negatif etkili değiĢkenler kavramını kullanmayı uygun bulmuĢtur. ArtıĢı birimin daha iyi

olarak değerlendirilmesini sağlayan değiĢkenlerin pozitif etkili, tersine düĢüĢü birimin daha iyi

olarak değerlendirilmesini sağlayan değiĢkenlerin ise negatif etkili olarak alınmasını

önermiĢtir. Çıktı (pozitif etkili) değiĢkenler ve girdi (negatif etkili) değiĢkenler, aĢağıda

listelenmiĢtir. Veriler DPT veri tabanından alınmıĢtır (DPT, 2008).

Çıktılar:

1y : ġehirleĢme oranı,

2y : Tarım sektöründe çalıĢan nüfusun toplam nüfusa oranı,

3y : Okur-yazar nüfus oranı,

4y : KiĢi baĢına düĢen milli gelir.

Girdiler

1x : Bebek ölüm oranı,

2x : KiĢi baĢına belediye harcamaları,

3x : KiĢi baĢına yatırım harcamaları.



Klasik CCR modeli ile 50 il etkin bulunmuĢtur (Adana, Adıyaman, Ağrı, Ankara, Antalya, . .

. , Tekirdağ, Tokat, Kırıkkale, Kilis, Osmaniye). Buradan illerin %61‟inin CCR modeli ile

etkin olarak değerlendirildiği söylenebilir. Ağırlıklı hedef programlama yaklaĢımı ile sadece 4

il etkin bulunmuĢ ve illerin daha makul sıralamaları ve ayrımları sağlanmıĢtır.

Her iki model ile de elde edilen etkinlik sonuçları ġekil 1‟de özetlenmiĢtir.

SONUÇ

Elde edilen sonuçlardan, illerin sosyo-ekonomik baĢarımlarının değerlendirilmesinde ağırlıklı

hedef programlama yaklaĢımının klasik CCR modeline göre çok daha iyi bir seçenek olduğu

söylenebilir. CCR modeli 81 ilin yarısından fazlasını etkin olarak değerlendirmiĢ ve iller

sosyo-ekonomik baĢarımları bakımından birbirinden sağlıklı bir biçimde ayrılamamıĢlardır.

Ağırlıklı hedef programlamaya yaklaĢımı ise sadece dört ili etkin olarak değerlendirmiĢ ve

diğer illere de makul etkinlik değerleri atamıĢtır. Ağırlıklı hedef programlamanın etkin olarak

değerlendirdiği illerin Ankara, Bursa, Ġstanbul, Ġzmir olması dikkat çekicidir.



CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Adan

a

Adıyam

an

Afy

on

Ağrı

Am

asya

Ankara

Antaly

a

Artv

in

Aydın

Balık

esir

Bilecik

Bingöl

Bitlis

Bolu

Burd

ur

Bursa

Çanakkale

Çankırı

Çorum

Den

izli

Diyarb

akır

Edirn

e

Elazığ

Erzin

can

Erzu

rum

Eskişeh

ir

Gazian

tep

Giresu

n

Gümüşhane

Hak

kari

Hatay

Isparta

Mersin

İstanbul

İzmir

Kars

Kastam

onu

Kay

seri

Kırk

lareli

Kırşeh

ir

Kocaeli

İller (Adana-Kocaeli)

Etk

inli

k D

eğer

i

CCR

AGHPVZA



ġekil 1.CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri

CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Ko

ny

a

Kütah

ya

Malaty

a

Man

isa

K.M

araş

Mard

in

Muğla

Muş

Nevşeh

ir

Niğde

Ord

u

Rize

Sak

arya

Sam

sun

Siirt

Sin

op

Siv

as

Tekird

ağ

To

kat

Trab

zon

Tu

nceli

Şanlıu

rfa

Uşak

Van

Yo

zgat

Zo

ng

uld

ak

Ak

saray

Bay

bu

rt

Karam

an

Kırık

kale

Batm

an

Şırn

ak

Bartın

Ard

ahan

Iğdır

Yalo

va

Karab

ük

Kilis

Osm

aniy

e

Düzce

İller (Konya-Düzce)

Etk

inli

k D

eğer

i

CCR

AGHPVZA



TEġEKKÜR

Bu çalıĢma TÜBĠTAK Bilimsel ve Teknolojik AraĢtırma Projelerini Destekleme Programı

kapsamında (proje no: 109T337) ve Gazi Üniversitesi Bilimsel AraĢtırma Projeleri Birimi

tarafından (proje no: 05/2009–36) ve kısmen desteklenmiĢtir.

KAYNAKLAR

ADLER, N., FRIEDMAN L. ve SINUANY-S.Z. (2002), Review of ranking methods in the data

envelopment analysis context, European Journal of Operational Research, 140, 249–265.

BAL, H. ve ÖRKCÜ, H.H. (2007), A goal programming approach to weight dispersion in Data

Envelopment Analysis, G.U. Journal of Science, 20(4), 117–125.

BAL, H., ÖRKCÜ, H.H. ve ÇELEBĠOĞLU, S. (2010), Improving the discrimination power and

weight dispersion in the Data Envelopment Analysis, Computers and Operations Research,

37(1), 99–107.

CHARNES, A., COOPER ve W.W., RHODES, E. (1978), The efficiency of decision making

units, European Journal of Operational Research, 2, 429-444.

COOPER, W.W., SEIFORD, L.M. ve TONE, K. (2000), Data Envelopment Analysis, Boston

USA, Kluwer Academic Publishers.

DPT, Uluslar arası Ekonomik Göstergeler, 2008.

EriĢim: http://www.dpt.gov.tr, 20 Mart 2010.

LI, X.B. ve REEVES, G.R. (1999), A multiple criteria approach to data envelopment analysis,

European Journal of Operational Research, 115, 507-517.

RETZLAFF-ROBERTS, D.L. (1997), A Data Envelopment Analysis approach to Discriminant

Analysis ,Annals of Operations Research,73, 299-321.



ANKARA HAVA KĠRLĠLĠĞĠ ZAMAN SERĠSĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠNDE KLASĠK VE

BULANIK ZAMAN SERĠLERĠ YAKLAġIMLARININ KARġILAġTIRILMASI

Erol Eğrioğlu* Ufuk Yolcu

** Ç. Hakan Aladağ

*** V. Rezan Uslu

****

ÖZET

Bulanık zaman serileri yaklaĢımları, son yıllarda oldukça yoğun çalıĢılmaktadır. Gerçek hayatta

karĢılaĢılan bazı zaman serilerinin, gözlemlerindeki belirsizlik nedeniyle bulanık zaman serisi

olarak ele alınması daha doğrudur. Örneğin hava kirliliği verileri gün içindeki çeĢitli

zamanlardaki ölçümlerde farklı değerlere sahip olmasına rağmen, bir zaman serisi olarak ele

alındığında sadece günlük ortalama değerler dikkate alınmaktadır. Oysa böyle bir zaman

serisinin gözlemleri birçok değeri içerebilen bir bulanık küme olarak alınabilir. Bu durumda

gözlemleri bulanık küme olan zaman serilerinin öngörülmesi problemi ortaya çıkmaktadır.

Literatürde bulanık zaman serilerinin öngörülmesi için birçok yöntem önerilmiĢtir. Bu çalıĢmada

mevsimsel bulanık zaman serilerinin öngörülmesinde kullanılan bazı bulanık zaman serisi

yaklaĢımları, klasik mevsimsel zaman serisi yaklaĢımlarından elde edilen sonuçlarla

karĢılaĢtırılmıĢtır. KarĢılaĢtırma Ankara hava kirliliği verileri üzerinden yapılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: Öngörü, Bulanık Zaman Serileri, Mevsimsellik

A COMPARISON OF TRADITIONAL AND FUZZY TIME SERIES APPROACHES IN

ANALYSING THE TIME SERIES OF SULPHUR DIOKSITE VALUES IN ANKARA

ABSTRACT

Many researchers have recently been working fuzzy time series approaches with an increasingly

interest. It is possible to concern some time series data as fuzzy time series since they include

some type of uncertainty. Often the data of air pollution is generated as daily averages; however

the measurements are changing during the day. Then we consider the air pollution data as fuzzy

time series data by allocating as if each observation is actually a fuzzy set. In this study we

introduce a seasonal fuzzy time series approach. Since the data of air pollution in Ankara also

contains seasonal behavior it is analyzed by using this approach and the results are discussed

comparatively.

Keywords: Forecasting, Fuzzy time series, Seasonality.

* Doç. Dr., Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun,

[email protected](HaberleĢme Adresi)

** AraĢtırma Görevlisi, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun,

[email protected]

***Öğretim Görevlisi Doktor, Hacettepe Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06800 Ankara,

[email protected]

****Doç. Dr., Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun, [email protected]



GĠRĠġ

Bu çalıĢma uygulamalı bir çalıĢma olup, geleneksel yöntemlerden SARIMA (mevsimsel

otoregresif bütünleĢik hareketli ortalama) ve Winter Çarpımsal Üstel Düzeltme tekniği ile

mevsimsel bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından Song (1999)„un ve Eğrioğlu vd (2009)‟nin

önerdiği yaklaĢımlardan elde edilen öngörü performansları karĢılaĢtırılmak istenmiĢtir. Ayrıca

mevsimsel bulanık zaman serisi yaklaĢımları içerisinde Eğrioğlu vd (2009) önerdiği yöntemin

öngörü performansını arttırdığını vurgulamayı amaçlamaktadır.

Bulanık küme teorisinin Zadeh (1965)‟de ortaya atılması birçok bilim alanında yeni ve etkin

yöntemlerin önerilmesine sebep olmuĢtur.Genel olarak istatistik analiz yöntemlerinde de bulanık

küme teorisinin bulanık regresyon, bulanık kümeleme, bulanık zaman serisi gibi uygulamaları

son yıllarda literatürde yoğun olarak çalıĢılmaktadır. Geleneksel zaman serileri analizindeki

doğrusallık, en az 50 gözlem, model varsayımı gibi kısıtlamalar araĢtırmacıları alternatif zaman

serileri yaklaĢımlarına yöneltmektedir. Son 10 yıl içinde yapay sinir ağları ve bulanık zaman

serisi yaklaĢımları getirdikleri birçok avantaj ve klasik zaman serisi kısıtlamalarına sahip

olmamaları bu yöntemleri daha da cazip hale getirmektedir. Özellikle gözlemleri belirsizlik

içeren veya bir zaman birimi içinde birden fazla değere sahip olan borsa, sıcaklık, okullara kayıtlı

öğrenci sayısı, hava kirliliği gibi verilerin çözümlenmesinde bulanık zaman serileri yöntemleri

tercih edilebilir.

Ġlk olarak Song ve Chissom (1993a, 1993b) bulanık zaman serisi yöntemini önermiĢlerdir. Chen

(1996), daha kolay hesaplamalar içeren bulanık mantık iliĢki tablolarına dayalı bir yöntem

önermiĢtir. Huarng ve Yu (2006) bulanık iliĢkilerin yapay sinir ağları ile belirlendiği bir yöntem

önermiĢleridir.Literatürde önerilen bir çok yöntem birinci dereceden bulanık zaman serisi öngörü

modellerini içermektedir. Ancak birçok zaman serisini, içerdikleri yüksek dereceli iliĢkiler

nedeniyle, birinci dereceden modellerle çözümlemek yetersiz kalabilir.Bu nedenle, Chen (2002),

yüksek dereceli bulanık zaman serisi öngörü modelini çözümleyen yeni bir yöntem önermiĢtir.

Chen (2002) tarafından önerilen bu yöntemde tüm gecikmeli değiĢkenler mevcuttur. Mevsimsel

zaman serileri için, bu yöntemde, model derecesinin periyot kadar olması gerektiği açıktır.

Ancak bu durum katkısız gecikmeli değiĢkenleri modele dâhil ederek, modeldeki girdi sayısını

gereksiz Ģekilde arttıracaktır. Bununla birlikte, Song (1999), periyodu m olan bir mevsimsel

zaman serisini çözümlemede, F(t-m) gecikmeli değiĢkeninin girdi ve F(t)‟ nin ise çıktı olarak

alındığı yeni bir yöntem önermiĢtir. Bu yöntem de, daha karmaĢık iliĢkiler içeren mevsimsel

zaman serilerini çözümlemede yetersiz kalacaktır.

Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntem ise, yukarıda belirtilen yetersizlikleri ortadan

kaldırmayı hedeflemektedir.Model derecesi Box-Jenkins SARIMA yöntemi ile belirlenir.

Böylelikle kısmi yüksek dereceli, iki değiĢkenli bulanık zaman serisi modeli oluĢturulur. Bu

yöntemde bulanık iliĢkilerin belirlenmesi ise yapay sinir ağları ile gerçekleĢtirilir. Bu modelin

avantajları Ģöyle sıralanabilir;



Yüksek dereceli mevsimsel bulanık zaman serisi modeli ortaya koyar.

Model derecesi sistematik olarak belirlenir

Literatürde MA terimi içeren ilk bulanık zaman serisi yöntemidir.

Öngörü performansını arttırır.

YÖNTEM

Bu bölümde uygulamada kullanılan ve Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntemin

temelini oluĢturan SARIMA modelleri ve yapay sinir ağları ile birlikte temel bulanık zaman

serisi tanımları verilecektir.

SARIMA Modelleri

tZ , ortalamalı bir zaman serisi olsun. Bu durumda model;

t

s

t

Dsds aBBZBBBB )()()()1()1)(()( (1)

Ģeklindedir. sQ)D,q)(P,d,SARIMA(p, ile ifade edilen, mevsimsel otoregresif bütünleĢik hareketli

ortalama modeli (SARIMA) için ilk olarak Box-Jenkins (1976) bir yöntem önermiĢtir. SARIMA

modelleri ve Box-Jenkins yöntemi için ayrıntılı bilgi, Box-Jenkins (1976)‟dan elde edilebilir.

Yapay Sinir Ağları

Yapay sinir ağları,biyolojik sinir ağlarını taklit eden sentetik ağlardır. Yapay sinir ağları ve

biyolojik sinir ağları arasında hem mimarileri hem de yetenekleri yönünden büyük farklılıklar

vardır (Zurada,1992). Yapay sinir ağları matematiksel bir model oluĢturur ve genel bir fonksiyon

yaklaĢtırıcı olarak bilinir (Zhang,1998).Yapay sinir ağlarının iĢleyiĢini yönlendiren 3 bileĢen

mevcuttur, ki bunlar, Mimari yapı, öğrenme algoritması ve aktivasyon fonksiyonudur.

Bulanık Zaman Serileri

Ġlk olarak Song ve Chissom (1993a, 1993b) tarafından önerilen bulanık zaman serisi yaklaĢımı

ile ilgili temel kavramlar Ģöyle verilebilir;

Tanım 1. ,...2,1,0...,,)( ttY reel değerli zaman serisi olsun. Zaman serisine uygun evrensel

küme tanımı ve parçalanması yapıldıktan sonra her bir reel gözlemin jA bulanık kümlerine

dönüĢtürülmesi sonucu elde edilen yeni zaman serisi )(tF ‟ye bulanık zaman serisi adı verilir.

Tanım 2.Bulanık zaman serisi )(tF mevsimsellik içerdiğinde, birinci dereceden bulanık zaman

serisi öngörü modeli,

)()( tFmtF (2)

Ģeklindedir. Burada, m periyodu ifade eder.



Tanım 3.Bulanık zaman serisi )(tF , F(t-1), F(t-2), … ,F(t-n) gecikmeli zaman serilerinden

etkilenmekte ise bulanık mantık iliĢki;

)()1(),2(,),( tFtFtFntF (3)

Ģeklinde ifade edilir ve n. dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli olarak adlandırılır.

EĞRĠOĞLU vd. (2009) Tarafından Önerilen YaklaĢım

Eğrioğlu vd (2009) da önerdiği model yapısı ile ilgili olarak aĢağıdaki tanım verilebilir.

Tanım 4.Ġki bulanık zaman serisi )(tF ve )(tG , olsun. Eğer )(tF , bulanık zaman serisi

)(),(,...,)(),(),(,...,)( 1111 llkk ntGntGntGmtFmtFmtF gecikmeli bulanık zaman

serilerinden etkileniyor ise, bulanık mantık iliĢki;

)()(),(),...,(),(),(),...,( 1111 tFntGntGntGmtFmtFmtF llkk (4)

ile ifade edilir ve girdileri SARIMA modeli tarafından belirlenen, (k,l)‟ıncı dereceden kısmi iki

değiĢkenli bulanık zaman serisi öngörü modeli olarak adlandırılır. Burada, im ),..,2,1( ki ve

jn ),..,2,1( lj tamsayılar olup kmm ...1 1

, , lnn ...1 1 Ģeklindedir.

Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen bu melez yaklaĢımın algoritması Ģu Ģekilde özetlenebilir.

Adım 1.Zaman serisi için Box-Jenkins (1976) prosedürüne göre uygun SARIMA modeli

belirlenir.SARIMA modelinden elde edilen artıklar )( ta hesaplanır.

Adım 2.Zaman serisi ve SARIMA‟dan elde edilen artıklar için evrensel kümeler ve alt aralıklar

tanımlanır. minD vemaxD sırasıyla, elimizdeki orijinal verinin en küçük ve en büyük gözlemleri

olmak üzere Evrensel küme; 2max1min , DDDDU , Ģeklinde tanımlanabilir. Burada 1D ve

2D pozitif iki sayıdır.

Adım 3.Evrensel küme ve alt aralıklara bağlı olarak bulanık kümeler belirlenir.

U ve V evrensel kümeleri ve parçalanmalarına dayalı olarak 1

,...,, 21 kAAA ve 2

,...,, 21 kBBB dilsel

değiĢkenleri zaman serisi ve artıklar için aĢağıdaki gibi tanımlanır.

111

11

11

/...//

/...//

/...//

1212111

12121112

12121111

nnk

nn

nn

uauauaA

uauauaA

uauauaA

222

22

22

/...//

/...//

/...//

1212111

12121112

12121111

nnk

nn

nn

vbvbvbB

vbvbvbB

vbvbvbB

(5)



Burada ija ,

iu parçalanmalarının üyelik değerleridir, 1,0ija , 11 ki , ve 11 nj

Ģeklinde tanımlanır. Benzer Ģekilde ijb ,

iv parçalanmalarının üyelik değerleridir, 1,0ijb ,

21 ki , ve 21 nj Ģeklinde tanımlanır.

Adım 4.Zaman serileri bulanıklaĢtırılır.

Bulanık zaman serisi F(t), SARIMA dan elde edilen bulanık artıklar serisi ise G(t) ile temsil

edilir.

Adım 5.SARIMA modelinin girdilerine göre modelin derecesi ),( lk ve kmm ,...,1

ve lnn ,...,1

‟nin değerleri belirlenir. Örneğin, modelin derecesi 5k ve 2l olsun. O halde model,

)()12(),1(),14(),13(),12(),2(),1( tFtGtGtFtFtFtFtF (6)

Ģeklindedir. Burada 12,1,14,13,12,2,1 2154321 nnmmmmm olmaktadır ve

)(tF , bulanıktX ve )(tG , bulanık

ta dir.

Adım 6.Bulanık iliĢkiler belirlenir.

Bulanık zaman serisine ait )(),(),...,( 11 kk mtFmtFmtF ve bulanık hatalara ait

)(),(),...,( 11 ll ntGntGntG , gecikmeli değiĢkenler girdi, hedef değeri ise )(tF , olarak

kullanılarak bulanık iliĢkiler oluĢturulur. Bu aĢamada, ileri beslemeli yapay sinir ağı, verilen girdi

ve hedef değerlerine göre eğitilir.

Adım 7.Öngörüler elde edilir.

Verilen modelde yapay sinir ağın eğitilmesi sonucunda, ağın girdileri,

)(),(),...,( 11 kk mktFmktFmktF , )(),(),...,( 11 ll nktGnktGnktG

ve hedef )(tF

olduğunda ağın çıktısı olarak elde edilen )(ˆ ktF bulanık öngörü olacaktır.

Adım 8.DurulaĢtırma iĢlemi merkezileĢtirme yöntemi ile uygulanır

UYGULAMA

Yukarıda adım adım verdiğimiz yöntem, Ankara il merkezine göre yapılan ölçümlerde Mart

1994 ile Nisan 2006 yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit (SO2) miktarları zaman serisi

(ANSO) üzerine uygulanmıĢtır. Uygulamada Eğrioğlu vd (2009) da önerilen yöntemde, gizli

tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Evrensel küme parçalanmasındaki aralık

uzunlukları ise zaman serisi için 5, 10, 5, 20 ve artık zaman serisi için 0.10, 0.15, 0.20, 0.25

olarak alınıp 192 farklı durumda çözümleme yapılmıĢtır.Çözümlemede öngörü performansı hata



Tablo 1.Klasik ve bulanık zaman serisi yaklaĢımları ile elde edilen öngörüler.

Tarih Test Verisi SARIMA WMES Song (1999) Egrioglu vd. (2009)

Temmuz 2005 21 22,93 15,40 41,6666 20 Ağustos 2005 27 22,35 16,11 27,5000 30

Eylül 2005 25 23,61 17,77 41,6666 20

Ekim 2005 28 28,81 25,12 41,6666 30

Kasım 2005 38 46,97 41,11 41,6666 30 Aralık 2005 45 54,62 46,12 46,7857 50

Ocak 2006 38 58,13 49,80 45,0000 40 ġubat2006 36 46,99 44,24 46,7857 30

Mart 2006 24 37,85 31,96 46,7857 30

Nisan 2006 22 24,76 18,39 27,5000 20

HKOK 9,6248 7,1061 12,7409 4,5607

OMYH 0,0226 0,0035 0,02831 0,0013

DA 0,5555 0,6666 0,44444 1

WMES:Winters Multicaptive Exponential Smooting

kareler ortalamasının karakökü (HKOK) açısından en iyi sonuç, gizli tabaka birim sayısı 8, aralık

uzunluğunun zaman serisi için 10 artık zaman serisi için 0.20 olduğu durumda elde edilmiĢtir.

ANSO zaman serisinin (son 10 gözlemi) test kümesi için klasik ve bulanık zaman serileri

yaklaĢımlarından elde edilen öngörüler aĢağıdaki Tablo 1‟de özetlenmiĢtir. En iyi sonucun

Eğrioğlu vd. (2009)‟da önerilen bulanık zaman serisi yaklaĢımı ile elde edildiği görülmektedir.

TARTIġMA

Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntemde,iki değiĢkenli bulanık zaman serisi model

derecesi ve girdileri Box-Jenkins yöntemi yardımı ile belirlenmektedir.Böylelikle bazı bulanık

zaman serisi yaklaĢımlarındakinin aksine bu belirleme iĢlemi sistematik bir Ģekilde

yapılmaktadır.Ayrıca mevsimsel içerik taĢıyan zaman serileri için daha doğru öngörüler

verebileceği söylenebilir.

KAYNAKLAR

BOX, G. E. P., & JENKĠNS, G. M. (1976). Time series analysis: Forecasting and control. San

Francisco, CA: Holdan-Day.

CHEN, S. M. (1996), Forecasting enrollments based on fuzzy time-series, Fuzzy Sets and

Systems, 81, 311-319.

CHEN, S.M., Forecasting Enrollments based on high-order fuzzy time series, Cybernetics and

Systems An International Journal 33 (2002) 1-16.

EĞRĠOĞLU, E., ALADAĞ, Ç.H., YOLCU, U., BAġARAN, M.A., USLU, V.R. (2009), A new

hybrid approach based on SARIMA and partial high order bivariate fuzzy time series forecasting

model, Expert Systems with Applications, 36, 7424-7434.



HUARNG, K. and YU, H. K. (2006), The application of neural networks to forecast fuzzy time

series, Physica A, 363, 481-491.

SONG, Q. (1999). Seasonal forecasting in fuzzy time series. Fuzzy Sets and Systems,107, 235–

236.

SONG, Q. and CHISSOM, B.S. (1993a), Fuzzy time series and its models, Fuzzy Sets and

Systems, 54, 269-277.

SONG, Q. and CHISSOM, B.S. (1993b), Forecasting enrollments with fuzzy time series- Part I,

Fuzzy Sets and Systems, 54, 1-10.

ZADEH, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Inform and Control, 8, 338–353.

ZHANG, G. P., PATUWO, B. E., & HU, Y. M. (1998).Forecasting with artificial neural

networks: The state of the art. International Journal of Forecasting, 14, 35–62.

ZURADA, J. M. (1992). Introduction of artificial neural systems. St. Paul: West Publishing.



BURR XII DAĞILIMININ PARAMETRELERĠNĠN ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA

SANSÜRLEMEYE DAYALI GÜVEN ARALIKLARI VE GÜVEN BÖLGELERĠ

CoĢkun KUġ Yunus AKDOĞAN**

ÖZET

Bu çalıĢmada, Burr XII dağılımının parametrelerinin ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü

örnekleme dayalı güven aralıkları ve güven bölgeleri elde edilmiĢtir.Sonuçları değerlendirmek

üzere bir uygulama yapılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: Burr XII dağılımı, güven aralığı, ortak güven bölgesi, en çok olabilirlik

tahmin edicisi, ilerleyen tür ilk bozulma sansürleme.

CONFIDENCE INTERVAL AND CONFIDENCE REGION FOR THE PARAMETERS

OF BURR XII DISTRIBUTION BASED ON PROGRESSIVE FIRST FAILURE

CENSORED SAMPLE

ABSTRACT

In this study, confidence interval and confidence region for the parameters of Burr XII

distribution based on progressive first failure censored sample are obtained. Illustrative example

is also given.

Keywords: Burr XII distribution, confidence interval, confidence region, maximum likelihood

estimator, progressive first failure censoring

GĠRĠġ

Ġlk kez Burr (1942) tarafından önerilen ve ,BurrXII ile gösterilen iki parametreli Burr XII

dağılımı, stokastik olayları modellemede çok kullanıĢlı olması bakımından son 20 yıl içerisinde

özel bir ilgi görmüĢtür.Zimmer ve ark.(1998) Burr XII dağılımının güvenilirlik analizinde

kullanılması hakkında geniĢ bilgi vermiĢ ve stokastik olayları modellemede çok kullanıĢlı

olduğuna dikkat çekmiĢlerdir.Burr XII dağılımının uygulama alanları ile ilgili yayımlanmıĢ bazı

makaleler; klinik denemeler Wingo (1983), aktüerya bilimi Klugman (1986) ve elektronik

bileĢenler Zimmer ve ark.(1998) olarak sıralanabilir.

,BurrXII dağılımına sahip bir X rasgele değiĢkeninin, sırasıyla, olasılık yoğunluk ve

dağılım fonksiyonu

* Doç.Dr., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]

** ArĢ.Gör., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, , 42031 Konya, [email protected]



0,0,0,1,;

11

xxxkcxf (1)

xkcxF 11,; (2)

Ģeklindedir.

Bu çalıĢmada, ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklemler ve bu örneklemlere dayalı Burr XII

dağılımının parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin edicileri, parametrelerin güven aralıkları

ve güven bölgeleri elde edildi. Son olarak elde edilen sonuçlarla ilgili uygulama yapıldı.

ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM

Ġlerleyen tür ilk bozulma sansürlenmiĢ model (Progressive first failure censoring model) Ģu

Ģekilde tanımlanmaktadır: k özdeĢ bileĢenli birbirinden bağımsız n grubun yaĢam testine tabi

tutulduğu düĢünülsün. Testte .i 1,2, , ,i m m n bozulma meydana geldiğinde, R

: : :i m n kX ,

bozulmanın meydana geldiği gruptaki bileĢenler ile bozulma meydana gelmeyen iR sayıda grup

testten rasgele çekilsin. Bu Ģekilde elde edilen m hacimli örnekleme ilerleyen tür ilk bozulma

sansürlü örneklem denir.Burada 1

m

iin m R

biçimindedir ve mRRR ,,, 21 R sansür

Ģeması olarak adlandırılır.1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R , olasılık yoğunluk fonksiyonu(oyf) f

ve dağılım fonksiyonu (df) F olan dağılımdan alınan ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem

olmak üzere 1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R nin ortak oyf‟unu

1: : : 2: : : : : :

1 2, , ,, ,...,

m n k m n k m m n kmX X X

f x x xR R R

1 1

1 2

1

1 ,i

mk Rm

i i m

i

ck f x F x x x x

, (3)

burada

11 1211 mRRRnRnnc m

Ģeklindedir. (3)‟de 0,,0R alnırsa ilk bozulma sansürlü örneklemin oyf‟si fonksiyonu, 1k =

alınırsa, ilerleyen tür sansürlü sıra istatistiklerinin oyf‟si, 1k = ve mn ,,0 R alınırsa

sağdan sansürlü sıra istatistiklerinin oyf‟si elde edilir (Wu ve KuĢ 2009).

1: : : 2: : : : : :, , ,m n k m n k m m n kX X XR R R aynı zamanda 1 1k

F x dağılımından alınmıĢ ilerleyen tür sağdan

sansürlü örneklem olarak düĢünülebileceğinden, ilerleyen tür sağdan sansürleme için elde edilen

sonuçlar kolaylıkla ilerleyen tür ilk bozulma sansürleme için geniĢletilebilir.

Ġlerleyen ilk bozulma sansürlü örnekleme, yaĢam zamanı analizlerinde veri elde etmede önemli

bir yöntemdir. ÇalıĢan parça diğer bir test için sistemden çekilip, deneyin maliyeti ve deney

süresi azaltılabilir. Ayrıntılı bilgi için Balakrishnan ve Aggarwala‟ya (2000) bakılabilir.



EN ÇOK OLABĠLĠRLĠK TAHMĠN EDĠCĠSĠ

1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R , ,BurrXII dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ ilerleyen tür

ilk bozulma sansürlü örneklem olmak üzere (1),(2) ve (3) kullanılarak sırasıyla olabilirlik ve log-

olabilirlik fonksiyonu aĢağıdaki gibi elde edilir ( Ali Mousa ve Jaheen 2002):

1

11

, exp 1 log 11

m mmm i

i i

ii i

xL ck k R x

x

1

1

, log log log1

mi

i i

xc m k kT

x

,

burada R

: : :i i m n kx x ,

m

i

ii xRT1

1log1 Ģeklindedir ve c , (3)‟de tanımlandığı gibidir. ve

parametreleri için olabilirlik denklemleri

/m kT (4)

1 1

1 1 loglog 0

1

m mi i i

i

i i i

k R x xmx

x

(5)

Ģeklindedir. (5) denkleminde parametresi yerine (4) denklemindeki eĢiti yazılırsa,

parametresine göre lineer olmayan bir denklem elde edilir. Elde edilen lineer olmayan denklem

Newton-Raphson yöntemiyle çözülebilir.Daha sonra parametresinin en çok olabilirlik tahmini

(4) denkleminde yerine konularak parametresinin en çok olabilirlik tahmini hesaplanabilir.

PARAMETRELERĠN ARALIK TAHMĠNĠ

Bu bölümde parametresi için güven aralığı, ve parametresi için de güven bölgesi elde

edilmiĢtir.1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R , ,BurrXII dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ

ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun.AĢağıdaki dönüĢüm tanımlansın.

R R

: : : : : :log 1 , 1,2, ,i m n k i m n kY k X i m

Görülebilir ki 1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kY Y Y R R R , 1Üstel dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ ilerleyen

tür sansürlü örneklem olur.

AĢağıdaki dönüĢümü ele alınsın:



1 1: : :

2 1 2: : : 1: : :

1 2 1 : : : 1: : :

1

1

m n k

m n k m n k

m m m m n k m m n k

nY

n R Y Y

n R R R m Y Y

R

R R

R R

(6)

Thomas ve Wilson (1972), (6)‟da tanımlanan genelleĢtirilmiĢ aralıkların (generalized spacing)

bağımsız ve 1Üstel dağılımına sahip olduğunu göstermiĢtir. Buradan

1 1: : :2 2 m n knY R

2

2 dağılımına,

: : : 1: : :

2 1

2 2 1m m

i i i m n k m n k

i i

R Y Y

R R

2

22 m dağılımına sahiptir. Aynı zamanda açıktır ki ve bağımsız rasgele değiĢkenlerdir. ve

rasgele değiĢkenleri

: : : 1: : :

1

1: : :

1

1 1

m

i i m n k m n k

i

m n k

R Y Y

m n m Y

R R

R

: : :

1

2 1m

i i m n k

i

R Y

R

Ģeklinde tanımlansın.

AĢağıdaki iki lemma, ve parametrelerinin güven aralığı ve güven bölgesi oluĢturmada

yardımcı olacaktır.

Lemma 1. , 2,22 mF dağılımına, ,

2

2m dağılımına sahiptir. Aynı zamanda ve

bağımsızdır.(Johnson ve ark. 1994).

Lemma 2.Varsayalım ki maa 10 v e 0, 1,2, ,iR i m olsun ve

1

1

1 log 1

log 1

m

i i

i

R a

a

fonksiyonu tanımlansın. 0 olmak üzere , nın ciddi artan fonksiyonudur (Wu ve ark.

2007).



21,F , sağ-kuyruk(right-tail) olasılıklı ve 1 ve 2 serbestlik dereceli F dağılımının

yüzdeliği ve R

1: : : 2: : : : : :X , , ,m n k m n k m m n kX X X R R R olsun.

Teorem 1.1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R , ,BurrXII dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ R

sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun. O zaman verilen 10 için

parametresinin %1100 lık güven aralığı aĢağıdaki gibidir:

2,222

2,222

1,,,

mmFF RR XX ,

burada t,RX ,

: : : 1: : :

1

1: : :

1 log 1 log 1

1 log 1

m

i i m n k m n k

i

m n k

R x n x

tn m x

R R

R

lineer olmayan denklemde ’nın çözümüdür.

Ġspat. Lemma 1‟den biliyoruz ki pivot

: : : 1: : :

1

1: : :

1

1

m

i i m n k m n k

i

m n k

R Y nY

n m Y

R R

R

: : : 1: : :

1

1: : :

1 log 1 log 1

1 log 1

m

i i m n k m n k

i

m n k

R X n X

n m X

R R

R

2,22 mF dağılımına sahiptir. 10 için

: : : 1: : :

1

1 2 2,2 2 2,22 2

1: : :

1 log 1 log 1

1 log 1

m

i i m n k m n k

i

m m

m n k

R X n X

F Fn m X

R R

R

olayı

2,222

2,222

1,,

mmFF RR XX

olayına denktir. Bu da ispatı tamamlar.



2

, sağ-kuyruk(right-tail) olasılıklı ve serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının yüzdeliği

olsun. ve parametrelerinin %1100 lık güven bölgesi aĢağıdaki teoremle verilmiĢtir.

Teorem 2.1: : : 2: : : : : :m n k m n k m m n kX X X R R R , ,BurrXII dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ R

sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun. O zaman verilen 10 için

ve parametrelerinin %1100 lık ortak güven bölgesi aĢağıdaki eĢitsizliklerden

belirlenir.

1 1 1 12 2,2 2 2,2

2 2

2 2

1 1 1 12 2

2 2

: : : : : :

1 1

X , X ,

2 1 log 1 2 1 log 1

m m

m m

m m

i i m n k i i m n k

i i

F F

k R X k R X

R R

R R

Burada t,RX , Teorem .’deki gibi tanımlıdır.

Ġspat. Lemma 1‟den pivot

: : : : : :

1 1

2 1 2 1 log 1m m

i i m n k i i m n k

i i

R Y k R X

R R

2

2m dağılımına sahiptir ve den bağımsızdır. 10 için

12,22

2

112,22

2

11mm

FFP

1

22

112

2

11mm

P

Ģeklindedir. Buradan



: : : 1: : :

1

1 2 2,2 2 2,22 2

1: : :

: : :1 1 1 12 212 2

1 log 1 log 1

1 log 1

, 2 1 log 1 1

m

i i m n k m n k

i

m m

m n k

m

i i m n km mi

R X n X

P F Fn m X

k R X

R R

R

R

Bu ise aĢağıdaki ifadeye denktir.

1 1 1 12 2,2 2 2,2

2 2

2 2

1 1 1 12 2

2 2

: : : : : :

1 1

X , X ,

2 1 log 1 2 1 log 1

m m

m m

m m

i i m n k i i m n k

i i

F F

k R X k R X

R R

R R

Bu da ispatı tamamlar.

UYGULAMA

Teorem 1 ve Teorem 2‟deki sonuçları örneklendirmek için 1,2BurrXII dağılımından 3k

için 0,0,0,2,0,1,0,0,0,1,0,1,0,1,0,2,0,1,1,0R sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü

örneklem Balakrishnan ve Sandhu‟nun (1995) algoritması kullanılarak üretildi. Üretilen

örneklem aĢağıdaki tablodadır.

Tablo 1. Üretilen ilerleyen tür tip-II sağdan sansürlü örneklem

0.1600 0.3352 0.4362 0.4621 0.4767 0.5683 0.6081 0.6240 0.6370 0.7013

0.7028 0.7264 0.7783 0.7985 0.8926 0.9208 1.0166 1.0219 1.2911 1.3675

(4) ve (5) denklemleri çözülerek ve parametrelerinin en çok olabilirlik tahminleri sırasıyla

3865.3ˆ ve ˆ 0.64 olarak bulunmuĢtur. parametresinin %95 ‟lik güven aralığını elde

etmek için gerekli olan yüzdelikler Minitab 13.1 paket programı kullanılarak aĢağıdaki gibi elde

edilmiĢtir.

4716.392,38025.0 F , 2456.02,38975.0 F ve 4694.192,3805.0 F



Teorem 1 kullanılarak parametresinin %95 ‟lik güven aralığı 2243.4,3223.1 Ģeklinde

bulunur.

ve parametrelerinin %95 ‟lik ortak güven bölgesini elde etmek için gerekli olan

yüzdelikler Minitab 13.1 paket programı kullanılarak aĢağıdaki gibi elde edilmiĢtir.

2128.782,380127.0 F , 2037.02,389873.0 F ve 9972.382,380253.0 F

5911.622

400127.0 ve 7139.222

409873.0

Teorem 2 kullanılarak ve parametrelerinin %95 ‟lik ortak güven bölgesi aĢağıdaki gibi elde

edilir.

20 20

:20:30:3 :20:30:3

1 1

1.2222 4.6075

22.7139 62.5911

2 3 1 log 1 2 3 1 log 1i i i i

i i

R X R X

R R

KAYNAKLAR

BALAKRISHNAN, N., AGGARWALA, R., (2000). Progressive Censoring:Theory, Methods

and Applications. Birkhauser, Boston

BALAKRISHNAN, N., SANDHU, R.A., (1995). A simple simulation algorithm for generating

progressively Type-II censored sample, American Statistician 49 (2) 229-230.

BURR, I. W., 1942. Cumulative frequency function, Annals Math. Stat., 13, 215-232.

JOHNSON, N.L., KOTZ, S., BALAKRISHNAN, N., (1994).Continuous Univariate

Distributions, Volume 1, 2nd

edition.Wiley, New York.

KLUGMAN, S.A., (1986). Loss distributions, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics:

Actuarial Mathematics, vol. 35, pp. 31-55.

KUġ, C., WU, S.-J. (2008). Statistical inference based on progressive first failure-censored

samples from Gompertz distribution, 2008 International Workshop on Applied Probability,

Université de Technologie de Compiègne, Compiègne, France, July 7-10, 2008.



THOMAS, D.R., WILSON W.M., (1972). Linear order statistics estimation for the two

parameter Weibull and Extreme Value distributions from Type-II progressively censored

samples. Technometrics 14, 679-691.

WANG. F. K., KEATS, J. B., ZIMMER, W. J., (1996). Maximum likelihood estimation of the

burr XII parameters with censored and uncensored data.Microelectron.Reliab., 36, 359-362.

WINGO, D. R., (1983). Maximum likelihood methods for fitting the Burr Type XII distribution

to life test data. Biometrical J., 25, 77-84.

WU,S.-J.,CHEN,Y.-J., Chang,C.-T. (2007). Statistical inference based on progressively

censored samples with random removals from the Burr type XII distribution. Journal of

Statistical Computation and Simulation,77(1),19-27.

WU, S.-J., KUġ, C. (2009).On the Estimation Based on Progressive First Failure-Censored

Sample, Computational Statistics and Data Analysis, 53 (10), 3659-3670.

ZIMMER, W.J., KEATS, J.B., WANG, F.K. (1998). The Burr XII distribution in reliability

analysis. J. Qual. Tech. 30, 386-394.



DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYONDA BAZI PARAMETRE ARALIK

TAHMĠNLEME YÖNTEMLERĠNĠN KIYASLANMASI

Atıf Evren*

ÖZET

Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametrelerin aralık tahminleri asimptotik normallik

varsayımına dayandırılmaktadır. Ancak bu varsayım çoğu durumda gerçekçi olmamaktadır.Bu

durumda örneklem hacminin dikkate değer bir biçimde büyük olması gerekmektedir. Bununla

birlikte doğrusal olmayan verinin elde edilmesi yorucu, zaman alıcı ve maliyetlidir. Çünkü bu tür

veriler genellikle laboratuvar ortamında elde edilmektedirler. Bu yüzden bootstrap, jackknife gibi

yöntemlerle aralık tahminlerine gidilmektedir. Bu yöntemlere ek olarak ÇebiĢev eĢitsizliği ya da

benzer eĢitsizlikler ile de aralık tahminlerine gidilebilir.

Anahtar Kelimeler: Doğrusal olmayan regresyon, parametrik olmayan aralık tahminleri,

ÇebiĢev eĢitsizliği,Bootstrap yöntemi, Jackknife yöntemi

A COMPARISON OF SOME INTERVAL ESTIMATION PROCEDURES IN

NONLINEAR REGRESSION

ABSTRACT

Confidence interval estimates for the parameters of nonlinear regression models are based on the

assumption of asymptotic normality. However this assumptions may not be not realistic all the

time because asymptotic normality requires larger sample sizes considerably. Large sample sizes

mean burdensome experiences for the scientists. Because most nonlinear data are generated

through expensive and time consuming experiments carried out generally in laboratory

conditions. For this reason other interval estimation procedures like bootstrapping and jackknife

are used quite often. Besides some probability inequalities including Chebyshev's Inequality can

also be used.

Keywords: Nonlinear regression, interval estimation, Chebyshev's Inequality, Bootstrap method,

Jackknife method

*Öğretim Üyesi, Yard. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, DavutpaĢa

Esenler, 34210, Ġstanbul, [email protected]



GĠRĠġ

Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametrelerin aralık tahminleri için benimsenen

asimptotik normallik yaklaĢımı çoğu zaman örnek büyüklüklerinin yetersiz olması nedeniyle

gerçekçi olmamaktadır. Bu çalıĢmada doğrusal olmayan modeller için Bootstrap yöntemi,

Jackknife yöntemi gibi parametrik olmayan aralık bulma yöntemlerini benimsemenin yanısıra

ÇebiĢev türü eĢitsizliklerden de yararlanılarak parametre aralıkların uzunluklarının

düĢürülmesine çalıĢılacaktır.

DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERĠ

Doğrusal olmayan bir regresyon modeli

iii XY f ),( (1)

Ģeklindedir. Burada i. açıklayıcı ya da bağımsız değiĢkenin gözlem değerleri vektörü

X

XX

X

iq

i

i

ixq ....2

1

(2)

p tane parametre vektörü

1

1

0

...

p

(3)

ve parametrelerin ilk tahmini değerleri vektörü

g

gg

g

p

px

1

1

0

1 ... (4)

olsun. Yine

gkkk

)0()0(

(5)



k

i

g

XfDik

),(

)0(

)0( (6)

ik

p

kikii DfY

)0(1

0

)0()0(

(7)

fYY iii

)0()0( (8)

denecek olursa Ģu doğrusallaĢtırılmıĢ regresyon modeli elde edilir.

ik

p

kiki DY

)0(1

0

)0()0( (9)

)0()0()0(

DY (10)

Bu kalıp doğrusal modeller için kullanılan kalıbın aynısıdır. D türev matrisi doğrusal hallerde X

matrisinin oynadığı rolü oynamaktadır. Dolayısıyla parametre tahminleri doğrusal hallerle analoji

kurularak aĢağıdaki gibi gerçekleĢtirilmektedir (Neter vd.,1985):

YDDDb)0()0(

1

)0( )0()0(

(11)

Doğrusal olmayan modellerde parametre tahmini iteratif yöntemlerle gerçekleĢtirilmektedir. Her

iterasyon sonucunda parametre tahminleri vektörü i=1,2,… için

bggi

k

i

k

i

k

)1()1()(

(12)

ile revize edilmekte ve ardıĢık parametre tahminleri arasındaki farklar ihmal edilebilir bir düzeye

gelince iterasyonlar sona erdirilmektedir. Hata terimleri ortalaması sıfıra, varyansı 2

‟ye eĢit

bağımsız normal değiĢkenler olarak kabul edildiğinde g „nin asimptotik örnekleme dağılımı da

yaklaĢık olarak normal dağılıĢtır.

)(gE (13)

DDs MSEg

12 (14)

ve (14) ile bulunan asimptotik varyans-kovaryans matrisi, aralık tahminleri ve hipotez testleri

için kullanılmaktadır (Huet vd., 1996) .

Doğrusal olmayan regresyonda doğrusal regresyondan farklı olarak dikkate alınması gereken

bazı noktalar bulunmaktadır. KarĢılaĢılan bazı sorunlar ve pratik çözüm önerileri için Motulsky

ve Christopoulos (2004)'e bakılabilir. Bu zorlukların bir kısmı Ģu Ģekilde sıralanabilir:



i) Doğrusal olmayan modeller için en küçük kareler (ya da en çok olabilirlik) fonksiyonu

genellikle birden fazla minimum (en çok olabilirlik için maksimum) noktasına sahiptir.

ii) Doğrusal modellerde kullanılan R-kare gibi uyum iyiliği ile ilgili istatistikler doğrusal

olmayan modeller için yanıltıcı olabilir. Sözgelimi doğrusal olan bir model için yeterli sayılan bir

R-kare değeri, doğrusal olmayan modeller için yetersiz kalmaktadır

iii)Doğrusal olmayan regresyonda parametrelerin baĢlangıç tahminlerini modele dıĢsal olarak

tanıtmak gerekmektedir. Farklı baĢlangıç değerleri, farklı (nihai) parametre tahmin değerleri

verebilir. Bu durumu nihai parametre tahminlerinin baĢlangıç değerlerine olan “aĢırı bağımlılığı”

Ģeklinde de ifade etmek mümkündür.

iv) Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametre tahminleyicileri gözlem değerlerinin

doğrusal bir fonksiyonu değildir. Dolayısıyla bağımlı değiĢkenin kitle dağılımının normal olması,

otomatik olarak parametre tahminleyicilerinin de normal dağılıma uyacağının garantisi

değildir. Öte yandan asimptotik normallik örnek büyüklüğünün fazla olmasını gerektirmektedir

(Seber ve Wild, 1989; Bates ve Watts,1988). Bu gibi durumlarda Bootstrap, Jackknife gibi

nonparametrik sayılabilecek yöntemlerin benimsenmesi daha “rasyonel” olacaktır (Davidson,R.,

Mackinnon, J.G.,1993). Yine parametrik olmayan aralık tahminlerinin gerçekleĢtirilmesinde

ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizlikler de yararlı olabilecektir.

ÇebiĢev ( Biénayme) EĢitsizliği

X bir rastlantı değiĢkeni olmak üzere )(XE , )(2

XVar olsun. k bir pozitif sabit olmak

üzere

2

11P X k

k (15)BaĢka Bazı Varyantlar

Bazı durumlarda ÇebiĢev eĢitsizliği ile elde edilen aralık çok geniĢ ve dolayısıyla her zaman

iĢlevsel olmamaktadır. Yine de bazen olasılık dağılımına yönelik bazı varsayımlarda bulunularak

aralığın uzunluğu daraltılabilir.Örneğin, X rastlantı değiĢkeni tek modlu ve sürekli olsun.

)(XE ve )(XVar ise

95.081/77)3( XP (DasGupta, 2008) .(16)

ÇebiĢev EĢitsizliği‟nin Çok DeğiĢkenli Biçimi

XXX m,...,,

21değiĢkenleri, ortalamaları sırası ile )(),...,(),

21( XXX m

EEE ; ve

varyansları da )()...,(),(21 XXX m

VarVarVar olan rastlantı değiĢkenleri olsunlar.

Yine kkk m;...;;

21 pozitif sabitler ve AAA m

,...,,21

olayları da örnek uzay S içerisinde



)()( XkXXXA jjjjjjVarE j=1,2,…,m Ģeklinde tanımlansınlar. Bu durumda

Boole EĢitsizliği”nden yararlanarak ÇebiĢev EĢitsizliğinin çok değiĢkenli versiyonu

m

jj

m

jj kAP

1

2

1

1 (Kotz vd. 2000). (17)

BaĢka Versiyonlar

XXX k,...,,

21rastlantı değiĢkenleri, ortalamaları sırası ile

k,...,,

21 olan ve

varyans-kovaryans matrisleri de ij olan k tane rastlantı değiĢkeni olsun.

ij„de

sözkonusu varyans-kovaryans matrisinin tersi olsun. bir sabit olmak üzere

k

XXk

jijjii

ijP

21,

21

olur (Wilks, 1962). (18)

Bootstrap ve Jackknife

Bootstrap yöntemi aralık tahminlerinde de kullanılan parametrik olmayan bir tekniktir. Doğrusal

olan ya da olmayan regresyon modellerinde normallik varsayımının gerçekçi olmadığı

durumlarda kullanılmaktadır. Birden fazla bootstrap yöntemi olmakla birlikte en çok kullanılan

bootstrap yöntemini özetlemek gerekirse, regresyon modelinden elde edilen artıklardan iadeli

örnekleme yöntemine göre belirli sayıda artık elde edilmekte ve bu değerler bağımlı değiĢkene

eklenmektedir. Daha sonra bağımlı değiĢkenin elde edilen yeni değerlerinden yararlanılarak aynı

matematiksel kalıba sahip regresyon modeli oluĢturulmakta ve yeni parametre tahmin değerleri

elde edilmektedir. Bu iĢlem çok sayıda tekrar edildiğinde, her denemede elde edilen parametre

tahminlerinin bir sıklık dağılımı oluĢmakta ve bu sıklık dağılımlarından hareketle, parametrelerin

aralık tahminleri yapılmaktadır (Money ve Duval, 1993).

Jackknife yöntemi ise daha çok regresyon denkleminin belirlenmesinde etkili gözlem

noktalarının ortaya çıkarılmasında kullanılmaktadır. Bu yönteme göre gözlem setinden her bir

denemede belirli sayıda gözlem noktası çıkarılmakta ve geri kalanlarla regresyon denkleminin

katsayıları tahmin edilmeye çalıĢılmaktadır. Bu iĢlem büyük sayılarda yinelendiğinde, parametre

tahmini değerlerinin bir sıklık dağılımı oluĢmakta ve bu sıklık dağılımından aralık tahminlerinin

oluĢturulmasında yararlanılmaktadır (Money ve Duval, 1993) .

UYGULAMA

Uygulama aĢamasında “http://itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml” adresinden Rat43 adlı

dosyadan alınan ve parametre tahmini zorluk derecesinin yüksek olduğu aĢağıdaki veri kümesi

kullanılmıĢtır.

http://itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml



Tablo 1: (X,Y) Değerleri

X Y X Y

1 16.08 9 590.03

2 33.83 10 651.92

3 65.80 11 724.93

4 97.20 12 699.56

5 191.55 13 689.96

6 326.20 14 637.56

7 386.87 15 717.41

8 520.53

Buradaki bağımlı değiĢken Y, kuru soğan tanesinin ağırlığı, bağımsız ya da açıklayıcı değiĢken X

de soğanın büyümesi için geçen süredir. Aynı dosyada veri için denenen modelin

Y=A/[{1+exp(B-CX)}^(1/D)] olduğu belirtilmektedir. Burada A,B,C ve D modelin parametreleri

olup, baĢlangıç değerleri olarak sırasıyla 700, 5, 0.75 ve 1.3 verilmiĢtir. Ayrıca yukarıdaki

denklemin incelenmesinden X büyük değerler aldıkça Y'nin A parametresine yakınsayacağı

öngörülebilir. Bu noktadan yola çıkılarak en büyük X değerine karĢılık gelen Y değerinin (717),

A'nın baĢlangıç tahmin değeri olarak verilmesi diğer B,C ve D parametrelerinin baĢlangıç

değerlerinin bir olarak alınması ve parametre tahminlerinin gerçekleĢtirildiği aralığın -1E 9 ile 1E

9 olarak seçilmesi halinde de web sitesindeki sonuçlara oldukça benzer sonuçlar NCSS (Number

Cruncher Statistical Systems) programı yardımı ile elde edilmiĢtir. Bu sonuçları kısaca Ģu Ģekilde

özetlemek olasıdır:

Tablo 2:Asimptotik normallik varsayımı altında parametrelerin nokta ve aralık tahminleri

Yöntem

Asimptotik

Normallik Parametre Tahmini Standart Hata. %95'lik Alt Sınır % 95'lik Üst Sınır

A 699 16.3 663.74 735.46

B 5.28 2.08 0.42 10.19

C 0.76 0.2 0.29 1.22

D 1.28 0.68 -0.28 2.86

NCSS çıktısı kalıntıların normal dağıldığını belirtse de örnek büyüklüğünün 15 olması nedeniyle

bu sonuç ihtiyatla karĢılanmalıdır.Ġkinci olarak Microsoft Excel Veri Analizi modülü ve NCSS

yardımıyla bootstrap yöntemi denenmiĢtir ( N= 100 ).Sonuçlar aĢağıdadır:



Tablo 3:Bootstrap yöntemi ile parametrelerin nokta ve aralık tahminleri

Yöntem

Bootstap Parametre Tahmini Standart Sapma. %95'lik Alt Sınır % 95'lik Üst Sınır

A 700.18 12.51 679.88 726.89

B 5.68 2.25 1.26 10.12

C 0.81 0.19 0.49 1.26

D 1.44 0.77 0.21 3.13

Üçüncü olarak veri kümesinden her bir denemede bir gözlem değeri atılarak Jackknife yöntemi

ile parametre tahminleri yeniden gerçekleĢtirilmiĢtir. Sonuçlar aĢağıdaki gibidir:

Tablo 4: Jackknife yöntemi ile parametrelerin nokta ve aralık tahminleri

Yöntem

Jackknife Parametre Tahmini Standart Sapma. %95'lik Alt Sınır % 95'lik Üst Sınır

A 699.74 6.64 693.21 712.62

B 5.35 0.67 4.39 6.6

C 0.76 0.06 0.67 0.88

D 1.3 0.21 0.99 1.68

Daha sonra ÇebiĢev yöntemi ile %95'lik aralık tahminleri gerçekleĢtirilmiĢtir(k=4.47) .

Tablo 5: ÇebiĢev eĢitsizliği ile parametrelerin %95 güvenle aralık tahminleri

Yöntem

ÇebiĢev Parametre Tahmini Standart Hata %95'lik Alt Sınır % 95'lik Üst Sınır

A 699 16.3 626.74 772.46

B 5.28 2.08 -4.01 14.57

C 0.76 0.2 -0.13 1.65

D 1.28 0.68 -1.76 4.32

Son olarak ÇebiĢev EĢitsizliği'nin her dört parametre için elde edilen aralık tahminlerinin sınır

noktaları, ilgili parametrelerin ilk tahmini değeri olarak NCSS'e tanıtılmıĢ ve bu noktalarda

model yeniden denenerek regresyon denkleminin katsayılarının bu yeni değiĢiklikler karĢısında

istikrarlı olup olmadığına bakılmıĢtır.



Tablo 6: ÇebiĢev eĢitsizliği ile oluĢturulan aralıkların kısıt olarak kullanılması ile elde

edilen parametre tahminleri (ve bu tahminlerin istikrarlı olup olmadığının sınanması)

Katsayılar Denenen Değerler

ÇebiĢev ile elde edilen alt

sınır ÇebiĢev ile elde edilen alt

sınır Sonuçlar

A 626 772 Benzer noktalara

yakınsama

B -4 15 Daha iyi çözüm elde

edilemedi.

C -0.13 1.65 Daha iyi çözüm elde

edilemedi.

D -1.76 4.32 Daha iyi çözüm elde

edilemedi.

Yukarıdaki tablodan hareketle B,C ve D parametrelerinin baĢlangıç tahmin değerleri ile fazla

oynanmaması gerektiği düĢünülmüĢ ve sözkonusu parametrelerin NCSS ile elde edilen tahmini

değerleri bu kez de modele birer sabit olarak sokulmuĢ ve aĢağıdaki çıktı elde edilmiĢtir. Buna

göre Y=A/[{1+exp(5.28-0.76X)}^(1/1.28)] modeli denenerek A parametresi için daha düĢük

standart hatalı bir model elde edilmiĢtir. Özet istatistikler Ģöyledir:

Tablo 8: Bazı parametrelere kısıtlamalar getirerek (ya da tahmini değerler vererek)

parametre uzayının boyutunun azaltılarak daha küçük standart hatalı tahmin edicilerin

aranması

Parametre Parametre Tahmini Asimptotik Standart Hata

%95'lik Alt Sınır %95'lik Üst Sınır

A 699.73 9.01 680.41 719.05

Bu durumda oluĢturulan model “Y= (699.7327)/((1+EXP(5.28-0.76*(X)))^(1/1.28))”

Ģeklindedir ve ilgili R-Kare değeri de 0.99 olarak bulunmuĢtur.

SONUÇLAR

1. Doğrusal olmayan regresyonda parametreler için aralık tahminleri asimptotik normalliğe

dayalıdır. Bu bakımdan aralık tahminine gidilmesinde asimptotik normallik varsayımı

yerine Bootstrap, Jackknife ,ÇebiĢev eĢitsizliği ve benzeri yaklaĢımları benimsemek

özellikle küçük örneklem hacmi için daha doğru olacaktır.

2. Bootstrap, Jackknife gibi yöntemler bilgisayarların yoğun olarak kullanıldığı ve zaman

alıcı yöntemlerdir. ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizlikleri kullanmak aralık tahminlerine

giderken kolaylık sağlamaktadır. Yine de bütün bu yöntemler birbirlerini destekler bir

Ģekilde kullanılmalıdır.



3. ÇebiĢev türü eĢitsizliklere dayalı aralık tahminlerinin geniĢ çıkmasında k değerlerinin

büyüklüğünün yanısıra standart hataların da büyüklüğü bir etken olabilir. Ancak yine de

bu gibi yöntemler hiç Ģüphesiz , Bootstrap, Jackknife gibi yöntemlere göre daha geniĢ

aralık tahminleri vermektedir.

4. Yine de ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizliklerden yararlanılarak elde edilen aralıkların uç

noktalarında modelin istikrarlı olup olmadığı (aynı parametre tahmini değerlerine

yakınsayıp yakınsamadığı) test edilebilir. Eğer bazı parametre değerleri bu tür bir

istikrarsızlığa neden oluyorsa, bu parametrelerin tahmini değerleri modele birer sabit

olarak dahil edilerek (alacakları değerlere kısıtlar konularak), daha düĢük standart hataya

sahip baĢka (ve daha yalın) modeller elde edilebilir.

5. Bunlara ek olarak ÇebiĢev eĢitsizliğinde, dağılıma iliĢkin ek varsayımlarda bulunarak

aralıkları daraltmak mümkündür.

6. Ayrıca literatürde ÇebiĢev eĢitsizliğinin çok değiĢkenli bazı versiyonları da mevcuttur.

Parametre tahmin edicilerinin aralarındaki korelasyonlar dikkate alınarak bazı aralıkların

uzunluklarını daraltmak da sözkonusu olabilir.

7. Son olarak e Jackknife yönteminin özellikle artık analizinde (etkili değerlerin

bulunmasında), Bootstrap yönteminin de parametre tahmincilerinin asimptotik varyans-

kovaryans matrisinin elde edilmesinde iĢlevsel olduğu, ÇebiĢev vb. eĢitsizliklerin ise her

zaman iĢlevsel olmadığı ama bununla birlikte bulunan parametre tahminlerinin ne kadar

istikrarlı olduğunun incelenmesinde ve almaĢık yöntemlerin denenmesinde yararlı

olabileceği de vurgulanmalıdır.

KAYNAKLAR

BATES D.M., WATTS D.G.(1988), Nonlinear Regression Analysis and Its Applications, New

York, John Wiley&Sons.

DASGUPTA, A.(2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer Texts in

Statistics, New York, Springer

DAVIDSON, R., MACKINNON, J.G.(1993), Estimation and Inference in Econometrics, New

York, Oxford University Press.

HUET,S., BOUVIER,A., GRUET,M., JOLIVET,E., (1996), Statistical Tools for Nonlinear

Regression: A Practical Guide with S-Plus Examples, Springer-Verlag, New York, Springer

Series in Statistics.

KOTZ,S., BALAKRISHNAN, N., JOHNSON,N.L.(2000), Continuous Multivariate

Distributions, Volume 1: Models and Applications, Second Edition, USA, Wiley series in

Probability and Statistics.



MOONEY,Z.M.,DUVAL,R.D.(1993),Bootstrapping A Nonparametric Approach to Statistical

Inference, Series: Quantitative Applications in the Social Sciences,a Sage University Paper, No

95.

MOTULSKY, H., CHRISTOPOULOS, A. (2004), Fitting Models to Biological Data Using

Linear and Nonlinear Regression: A Practical Guide to Curve Fitting, USA, Oxford University

Press

NETER J., WASSERMAN W., KUTNER M. H. (1985), Applied Linear Statistical Models,

second edition,Illinois, Richard D. Irwin.

SEBER G.A.F., WILD C.J.(1989), Nonlinear Regression, USA, John Wiley&Sons.

WILKS,S.S.(1962), Mathematical Statistics, Japan,John Wiley&Sons Inc.

http://itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml (Doğrusal olmayan regresyon modelleri ile ilgili

veriler içeren bir site. Siteye eriĢim tarihi Mayıs-Haziran 2010)



ESENBOĞA, ATATÜRK VE LONDON CITY HAVAALANLARINDAKĠ MEVSĠMSEL

HAREKETLĠLĠĞĠN GÖSTERMELĠK DEĞĠġKEN YÖNTEMĠYLE TESPĠT EDĠLMESĠ

Deniz KONAK* Vilda PURUTÇUOĞLU**

ÖZET

Göstermelik değiĢken yöntemi özellikle ekonomik verilerin analizinde kullanılan oldukça yaygın

bir yöntemdir.Bu yöntem, yapay değiĢkenler ekleyerek, gruplandırılmıĢ nitel verilerin regresyon

modelleriyle analizlerine olanak sağlar.Biz bu çalıĢmada göstermelik değiĢken yöntemini

Atatürk, Esenboğa ve London City Havaalanları için 2007-2009 yılları arasındaki aylık verileri

kullanarak olası mevsimsel etkileri bulmada ve anlamlı farkların gözlendiği aylar için sebeplerine

yönelik yorumları yapmada kullandık.Analizlerde Atatürk Havaalanında anlamlı aylık farkların

gözlenmediği, buna karĢın, Esenboğa ve London City Havaalanlarında, sırasıyla, eylül ve ekim

aylarında anlamlı farkın olduğunu bulduk.Bu sonuçların özellikle seçilen havaalanlarındaki hava

trafiğini planlamada faydalı olabileceğini düĢünmekteyiz.

Anahtar kelimeler: Mevsimsel etkiler, Göstermelik değiĢken yöntemi, Havaalanı hareketliliği

DETECTION OF SEASONAL EFFECTS IN ESENBOĞA, ATATÜRK, AND LONDON

CITY AIRPORTS BY THE DUMMY VARIABLE METHOD

ABSTRACT

The dummy variable method is one of the common techniques applied, in particular, in the

analysis of the economical data. This method enables the grouped qualitative data to be analyzed

in regression models by adding artificial variables. In this study we have implemented the

dummy variable technique to detect the possible seasonal effects in 2007-2009 monthly data of

the Atatürk, Esenboğa, and London City Airports, and to discuss the possible reasons of such

effects for the significantly different months. From the analysis we have found that there is not

any statistically significant month effect for the Atatürk Airport, whereas, there exists statistically

significant monthly effects in september and october for the Esenboğa and London City Airports,

respectively. We consider that our findings can be useful for the organization of the air control in

the selected airports.

Keywords: Seasonal effects, The dummy variable method, Aircraft movements

* Yüksek Lisans Öğrenci, Bilkent Üniversitesi, Ġktisadi ve Ġdari Bilimler Fakültesi, Ekonomi Bölümü, 06800,

Ankara, [email protected]

** Yardımcı Doçent Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06531

Ankara, [email protected](HaberleĢme Adresi)




GĠRĠġ

Göstermelik değiĢken yöntemi nitel değiĢkenlerin regresyon modeline eklenmesi için

kullanılan ve çok bilinen bir yöntemdir (Gujarati, 2003).Sık kullanımı, ekonomik verilerde

görülmektedir.Örneğin Gültekin ve Gültekin (1983) ve Chien ve ark.(2002) Menkul

Kıymetler Borsası için mevsimsel etkileri, Asteriou ve Kavetsos (2006) geliĢmekte olan

ekonomiler için ocak ayı etkisi konusunu incelemiĢlerdir.Koçak (2008), Ladiray (2006) ve

Atabek ve ark.(2009) ulusal hesaplar serileri gibi farklı ekonomik veriler için mevsimsel

etkileri ve takvim etkilerini ele almıĢlardır.Bahsedilen alanların dıĢında, bu yöntem aslında

anlamlı mevsimsel etkilerin görülebileceği bir çok farklı veri kümesinde de kullanılabilir

(Green ve Doll, 1974). Biz bu çalıĢmada göstermelik değiĢken yöntemini, 2007-2009

yılları arasındaki Esenboğa, Atatürk ve London City Uluslararası Havaalanlarındaki

uçakların hareketliliğini gösteren veri setleri üzerinde olası mevsimsel etkileri saptamak ve

etkilerin nedenlerini yorumlayabilmek için kullanmaktayız.

Bu amaçla öncelikle çalıĢmanın 2. Bölümünde, kullandığımız veri tanıtılmakta ve analizde

kullanılan yöntem anlatılmaktadır. 3. Bölümde uygulamada elde ettiğimiz sonuçlar

sunulmakta, son olarak 4. Bölümde elde edilen bulgular özetlenerek sonuçlar

yorumlanmaktadır.

VERĠ TANITIMI VE YÖNTEM

Zaman serisi verileri içinde yaygın olan bileĢenlerden birisi mevsimsel etkilerdir (Grenger,

1964; Thaler, 1987).ÇalıĢmamızda bu etkilere sahip olduğunu düĢündüğümüz Esenboğa,

Atatürk ve London City Havaalanlarına ait 2007-2009 yılları arasındaki aylık uçak

hareketliliklerini gösteren zaman serisi verileri regresyon analizi yardımıyla

modellenmektedir.ÇalıĢmada kullanılan Esenboğa ve Atatürk Havaalanlarına ait

verikümesi http://www.dhmi.gov.tr/istatistik.aspx, London City Havaalanına ait veriler ise

http://www.lcacc.org/statistics/index.html internet sitesinden elde edilmiĢtir.

Veri analizinde, hem verideki anlamlı mevsimsel etkinin olup olmadığını sınamada hem de

anlamlı bulunan etkinin nereden kaynaklandığını bulmada “göstermelik değiĢken yöntemi”

kullanılmıĢtır. Genel anlamda bu yöntemde, bağımlı değiĢken üzerinde etkisi bulunan her

bir nitel veri grubu için, regresyon modeline, ait olduğu grup için 1, ait olmadığı diğer

gruplar için 0 değeri alan bir yapay değiĢken ekleme mantığı yer almaktadır (Suits, 1957;

Asteriou, 2006, 195). Nitekim bu çalıĢmada aylık etkilerin analizinde her bir ay için

regresyon modelimize birer adet göstermelik değiĢken eklenmiĢtir.

Mevsimsel etkilerin analizi için bu yönteminin dıĢında, “Chow Test” adlı alternatif bir

yöntem de kullanılabilir. Bu yöntemde ise kısaca,göstermelik değiĢken metodunda olduğu

gibi tek bir regresyon modeli kullanmak yerine, hafta, ay veya 3 ay gibi her bir mevsimsel

süreç için ayrı regresyon denklemleri kurularak sonuçlar yorumlanır. Fakat burada her

model için farklı bağımlı değiĢkenlerin olması sebebiyle model parametrelerinin tahmini,

http://www.lcacc.org/statistics/index.html



hem daha karmaĢık hem de hesaplama süresi bakımından daha uzundur (Pursell, 1970;

Salkever, 1976).Göstermelik değiĢken yöntemi, Chow Test yöntemine göre daha kolay ve

hesaplama aĢamasında daha etkili olması sebebiyle mevsimsel etkilerin analizinde daha

çok tercih edilmektedir (Salkever, 1976; Pursell, 1970; Suits, 1957; Karafiath, 1988).

Modelin KuruluĢu

Göstermelik değiĢken yönteminde, göstermelik değiĢkenler herhangi bir regresyon

modeline iki farklı yolla eklenebilir. Gültekin ve Gültekin (1983), Jaffe (1989) ve Asteriou

ve Kavetsos (2006) tarafından desteklenen ilk yaklaĢımda, incelenen mevsimsel etkiler için

kesiĢim terimi olmayan ve Denklem (1) ile belirtilen regresyon modeli kurulur.

rtY = α1D1t + α2D2t + α3D3t +…+α12D12t+ Ut (1)

Denklem (1) ile tanımlanan modelde, Ut rassal hata terimini, Yrt ise r. ay için aylık

hareketliliği ifade etmektedir. Diğer yandan αr(r = 1, . . . , 12), r. ay için aylık toplam yolcu

sayısını ve Drt , r. ay için 1, diğer aylar için 0 değerini alan göstermelik değiĢkeni

göstermektedir.ÇalıĢmamızda uçuĢ hareketliliğindeki mevsimsel etkinin anlamlılığını

Denklem (1) ile değerlendirirken, her bir havaalanı için ayrı ayrı olmak üzere, “H0: α1=

α2=...= α12 =0” formunda kurduğumuz sıfır hipotezine karĢılık “H1 : En azından bir

αrdeğerinin farklı olması” alternatif hipotezini test etmekteyiz. Bu durumda modelimizdeki

her bir αrdeğeri aylık toplam hareketliliği ifade ederken kurduğumuz alternatif hipotezin

reddedilmesi, seçilen havaalanlarındaki uçakların hareketliliğinde dikkate değer bir

mevsimsel etkinin olduğu Ģeklinde yorumlanabilir. Ayrıca alternatif hipotezin reddedilmesi

herhangi bir ay için özel aylık etkinin varolduğunu da gösterir. Eğer böyle bir etkinin

olduğu sonucuna varılırsa, bu etkinin hangi ayda olduğu Denklem (2) olarak adlandırılan

aĢağıdaki regresyon modeli yardımıyla bulunabilir.

rtY C + 1

i. it

1

Dr

i

+ Ut (2)

Denklem (2) ile tanımladığımız modelde Ut, diğer modelde olduğu gibi 0 ortalama ve

σ2varyansa sahip hata terimini göstermektedir. C herhangi bir aya ait özel aylık etkiyi, Yrt

ise r. ay için aylık hareketliliği ifade etmektedir. Son olarak αr(r=1, . . . , 12) belirlenen ay

ile r. ay arasındaki farkı ve Drt , r. ay için 1 değerini alan göstermelik değiĢkeni

anlatmaktadır. Bu çalıĢmada Denklem (2)‟yi, aylık etkilerin bulunması durumunda bunun

hangi aylarda olduğuna bakarak uçuĢ hareketliliğindeki yoğunluğun aslında yaz tatilinde

mi, üniversitelerin dönem tatilleri, bayram tatilleri, yılbaĢı ya da kıĢ dönemde mi olduğunu

yorumlamada kullanmaktayız.



UYGULAMA

ÇalıĢmada Esenboğa, Atatürk ve London City Havaalanlarına ait, ġekil 1‟de de gösterilen

zaman serisi verileri, Denklem (1) ve (2)‟de verilen regresyon modelleri kullanılarak

tahmin edilmektedir. Model parametrelerinin tahmini genel en az kareler (generalized least

square) metoduyla ve analizleri Eviews 5.0 paket programı ile yapılmıĢtır. Bu programın

analizler için seçilme nedeni ise özelikle ekonomik verileri değerlendirmede kullanım

kolaylığından dolayı yaygın olarak tercih edilmesidir. Ancak bu programın, parametre

tahminlerinde ilgilenilen varyans-kovaryans matrisinin tersi gerektiği durumlarda

kullandığı algoritmalarla zaman zaman singülerlik problemiyle karĢılaĢtığı da

bilinmektedir.

Uçakların hareketliliğini gösteren verilerde, öncelikle, aylık anlamlı farklar olup olmadığını test

etmek için Denklem (1)‟deki model kullanılmıĢtır. Bu analiz için de klasik lineer regresyon

modeli varsayımları olan hata terimlerinin otokorelasyona ve ayrı varyanslılığa

(heteroscedasticity) sahip olmamaları durumunun bizim veri kümelerimizde uygun olup olmadığı

test edilmiĢtir. Bu testler temelde, hataların normal dağıldığı varsayımına dayanması sebebiyle

her üç havalanı için Jarque-Bera testi uygulanmıĢ, buna alternatif olarak da hataların çarpıklık

(skewness) ve basıklık (kurtosis) değerlerinin sırasıyla 0 ve 3‟e eĢit olup olmadıklarına

bakılmıĢtır. Test sonuçlarından normal dağılım varsayımının Esenboğa ve London City

Havaalanları için uygun olduğu gözlenmiĢtir. Atatürk Havaalanı için ise Temmuz 2008 verisinin

aykırı veri olduğu ve normallik Ģartını bozduğu bulunmuĢtur. Bu sebeple öncelikle gözlenen

aykırı verinin bulunduğu zamanda havalanındaki yoğunluğu etkileyecek özel bir olayın olup

olmadığı araĢtırılmıĢ, böylece aracılık (intervention) analizinin uygulanabilirliği

değerlendirilmiĢtir. Aracılık analizi, zaman serilerinde, sebebi belli olan tek gözleme veya

bulunan sebeple seride oluĢan yapısal kırılmanın (structural break) olduğu gözlemlerde

kullanılan ve bu noktaya/noktalara göre adım (step) veya pulse fonksiyon kullanarak yanıtı

(response) modellemeye çalıĢan bir yöntemdir (Wei, 2006). ÇalıĢmamızda, verimizin aracılık

analizine uygunluğunu belirlemek için öncelikle Atatürk Havaalanında belirlenen tarihte özel bir

olayın varlığı araĢtırılmıĢ ve yapılan araĢtırmada uçuĢ yoğunluğunu etkileyeck özel bir sebebe

rastlanmamıĢtır. Bu nedenle aykırı veriyi analizden çıkarmak yerine, bu tek gözlemin “kayıp

veri” olduğu varsayılmıĢ ve bu nokta için EM algoritmasıyla (SPSS 16.0 programı yardımıyla)

değer tahmini yapılmıĢtır. Bulunan değer daha sonra Atatürk Havalanı için yapılan tüm

analizlerde aykırı gözlem yerine kullanılmıĢtır. Nitekim kullanılan bu gözlem değeriyle veri

setinde normallik varsayımının da sağlandığı görülmüĢtür. Daha sonra her üç seri için de serilerin

otokorelasyon ve ayrı varyanslılık durumları değerlendirilmiĢtir. Seri korelasyonları için Breusch

Godfrey ve Durbin-Watson testleri (Asteriou, 2006) uygulanmıĢ, sağlam bir test tekniği olan

Breusch Godfrey ve Durbin- Watson‟nın farklı cevaplar verdiği durumlarda yaygın kullanımı

olan ve hata dağılımını göz önünde bulunduran Durbin-Watson test sonuçları dikkate alınmıĢtır.

Test sonuçları Tablo 1‟de gösterilmektedir. Ayrı varyanslılığı kontrol etmek için ise ARCH

LM(1) prosedürü (Asteriou, 2006) kullanılmıĢtır. Tablo 1‟de sunulan test istatistikleri, hataların



ġekil 1. Veri seti grafikleri

(a) Esenboğa Havaalanı

(b) Atatürk Havaalanı

(c) London City Havaalanı

Esenboğa ve London City Havaalanları için bu varsayımı da karĢılamadığını göstermektedir.

Hataların bu iki varsayımı sağlamaması serilerde beyaz gürültü (white noise) özelliğinin

bulunmadığı anlamına geldiği için serideki olası birim kare (unit root) durumu Phillips-Perron

testi ile kontrol edilmiĢtir. Sonuçlar üç serinin de durağan hatalara sahip olduğunu

göstermektedir. Bu sebeple Denklem (1)‟i kullanarak yaptığımız parametre tahminlerinde t-

istatistikleri, sadece otokorelasyon ve ayrı varyanslık özelliklerini göz önünde bulunduran

15000

20000

25000

30000

35000

40000

07:01 07:07 08:01 08:07 09:01 09:07

A

5000

6000

7000

8000

9000

07M01 07M07 08M01 08M07 09M01 09M07

M2



“Newey-West ayarlanmıĢ standard hatalar” (Asteriou, 2006; Asteriou ve Kavetsos, 2006)

kullanılarak yapılmıĢtır. Her ay için bulunan tahmin ediciler yine Tablo 1‟de sunulmaktadır.

Tabloda verilen katsayıların p-değerlerine bakıldığında ise Esenboğa ve London City

Havaalanlarında anlamlı aylık etkilerin olduğunu gözlenmiĢtir.

Son olarak bulunan modellerin sahte (spurious) regresyon olabileceğini kontrol etmek amacıyla

her havaalanı için bulunan R2‟ler Durbin-Watson test istatistikleriyle karĢılaĢtırılmıĢtır. Tablo

1‟de verilen R2

değerleri ile Durbin-Watson test istatistikleri serilerimizde bu problemin

gözlenmediğini, modelimizin bu durumda seri için uygun bir model olarak görülebileceğini

göstermektedir.

Analizin ikinci aĢaması ise bulunan anlamlı farkların, hangi aylarda gözlendiğini bulmaya

yöneliktir. Bu amaçla Esenboğa ve London City Havaalanları için Denklem (2) ile ayrı ayrı

modelleme yapılmıĢtır. Test istatistiklerinden Esenboğa ve London City Havaalanları için uçuĢ

hareketliliğindeki değiĢimin, eylül ve ekim aylarında olduğu gözlenmiĢtir. Tablo 2‟de verilen

parametre tahminlerinde C değeri her havaalanı için sadece istatistiksel olarak anlamlı

değiĢikliklerin gözlendiği aylar baz alınarak hesaplanmıĢ parametre tahminlerini vermektedir. Bu

sebeple Esenboğa ve London City Havaalanları için, C değeri, sırasıyla, eylül ve ekim aylarına

ait özel aylık etkileri göstermektedir. Ayrıca sonuçlardan, Ġstanbul‟un stratejik özelliğinden

dolayı Atatürk Havaalanının diğer havaalanlarına kıyasla her zaman çok daha yoğun bir uçuĢ

trafiğine sahip olduğu görülmüĢtür (ġekil 1). Bu havaalanındaki uçuĢ hareketliliğinin ise

istatistiksel olarak aylık fark göstermemesi tüm aylar için havaalanının uluslararası hava

trafiğindeki önemli bağlanti noktalarından biri olmasıyla açıklanabilir. Esenboğa ve London City

Havaalanları ise uluslararası uçuĢlara açık olsa da çoğunlukla yurtiçi seyahatlerinde kullanılması

sebebiyle, diğer aylara göre anlamlı yoğunluğun her iki ülkedeki yaz tatillerinin bittiği,

çoğunlukla okulların (üniversite/lise/ilköğretim) açıldığı dönemlerde olduğu

bulunmuĢtur.Analizlerde Denklem (1)‟de olduğu gibi t-istatistikleri Newey-West ayarlanmıĢ

standart hatalar kullanılarak hesaplanmıĢtır.

SONUÇ

Bu çalıĢmada Esenboğa, Atatürk ve London City Havaalanlarındaki uçakların hareketliliğinde

anlamlı bir mevsimsel etkinin var olup olmadığını göstermelik değiĢken yöntemi ile test ettik.

Seçilen yöntemin uygulaması literatürde oldukça yaygın olmasına rağmen uçuĢların

hareketliliğindeki mevsimsel etkinin saptanması için kullanılması yeni bir uygulama

alanıdır.Analizlerimiz sonucunda her havaalanı için de farklı dönemlerde aylık etkilerin

bulunduğunu gösterdik. ÇalıĢmamızın özellikle Türkiye‟nin en büyük iki havaalanındaki uçuĢ

trafiğine yönelik uzun dönem planlamalarda bir ön fikir verebileceğini düĢünmekteyiz.

TEġEKKÜR

Yazarlar, çalıĢmadaki yardımcı yönlendirmelerinden dolayı Yrd.Doç.Dr.Ceylan Yozgatlıgil‟e

teĢekkür etmektedir.



Tablo 1. Mevsimsel etkiler için test sonuçları

Atatürk Havaalanı

Esenboğa Havaalanı

London City Havaalanı

Değişken Katsayı t-istatistiği

Katsayı t-istatistiği

Katsayı t-istatistiği

1D 20128.67 67.42 4353.67 81.93 6878.67 22.65

2D 18527.33 31.73 4064.67 50.76 6748.33 25.18

3D 21382.67 33.20 4827.00 30.96 7609.00 44.95

4D 22776.67 51.97 5060.67 18.58 7516.00 13.00

5D 23989.00 50.02 5435.00 47.44 7858.33 12.82

6D 24516.33 55.04 5442.33 10.56 7844.00 14.12

7D 22739.00 7.47 6693.67 39.12 7509.00 11.68

8D 24661.67 20.53 6811.67 9.95 6500.67 9.05

9D 23411.67 37.82 4647.67 6.82 7597.33 13.20

10D 23829.33 32.96 5582.67 26.94 7847.00 11.00

11D 21882.67 36.96 5256.67 43.71 7321.67 11.72

12D 22111.00 29.49 4953.67 15.42 6080.00 14.94

Jarque-Bera (p-value)

0.50 0.66 0.55

ARCH LM(1) (p-value)

0.78 0.06 0.00

Durbin-Watson

1.08 2.31 0.32

Philippe-Peron (p-value)

0.82 0.63 0.43

2R 0.57 0.72 0.35



Tablo 2. Anlamlı aylık etkiler için test sonuçları

Esenboğa Havaalanı (Eylül)

London City

Havaalanı (Ekim)



C 0.12 1.85 C 7597.33 13.20

1D 4176.60 19.08 1D -718.67 -1.10

2D 3899.36 32.73 2D -849.00 -1.34

3D 4630.68 16.87 3D 11.67 0.02

4D 4854.85 34.54 4D -81.33 -0.10

5D 5213.96 33.28 5D 261.00 0.31

6D 5220.99 11.59 6D 246.67 0.36

7D 6421.43 17.19 7D -88.33 -0.14

8D 6534.63 18.88 8D -1096.67 -2.19

10D 5355.62 10.80 10D 249.67 0.50

11D 5042.88 14.34 11D -275.67 -0.42

12D 4752.20 10.81

12D -1517.33 -2.46

KAYNAKLAR

ASTERIOU, D. (2006), Applied Econometrics, New York: Palgrave Macmillan.

ASTERIOU, D. ve KAVETSOS, G. (2006), Testing for the existence of „January effect‟ in

transition economies, Applied Financial Economics Letters, 2, 375-381.

ATABEK, A., ATUK, O., ERDOĞAN, E. veSARIKAYA, C. (2009), Mevsimsel modellerde

çalıĢma günü değiskeni, TCMB Ekonomi Notları, 3.



CHIEN, C.-C., LEE, C.-F.ve WANG, A.M.L. (2002). A note on stock market seasonality:

The impact of stock price volatility on the application of dummy variable regression model,

The Quarterly Review of Economics and Finance, 42, 155-162.

GREEN, R.D. ve DOLL, J.P. (1974), Dummy variables and seasonality-A curio, The American

Statistician, 28, 60-62.

GUJARATI, D.N. (2003), Basic Econometrics, 4th

Edition, New York: Mc Graw Hill.

GÜLTEKĠN, M.N. ve GÜLTEKĠN, N.B. (1983), Stock market seasonality: International

evidence, Journal of Financial Economics, 12, 469–81.

JAFFE, J.F. ve WESTERFIELD, R. (1989), Is there a monthly effect in stock market

return?,Journal of Banking and Finance, 13, 237–44.

KARAFIATH, I. (1988), Using dummy variables in the event methodology, The Financial

Review, 23, 351-357.

KOÇAK, N.A. (2008), Takvim etkileri: Ulusal hesaplar uygulaması, 17. Ġstatistik AraĢtırma

Sempozyumu Bildiri Kitabı, TÜĠK, 154-168.

LADIRAY, D. (2006), Calender effects and seasonal adjustments, Proceeding of the

Eurostat Workshop.

SALKEVER, D.S. (1976), The use of dummy variables to compute predictions, prediction

errors and confidence intervals, Journal of the Econometrics, 4, 393-397.

SUITS, D.B. (1957), Use of dummy variables in regression equations, Journal of American

Statistical Association, 52, 548-551.

THALER, R.H. (1987), Anomalies: the January effect, Journal of Economic Perspectives,

1, 197–201.

WEI, W.W.S. (2006), Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, 2th

Edition, Pearson Education, Inc. USA.



GAUSS RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUMUNUN MOMENTLERĠ ĠÇĠN

YAKLAġIK FORMÜLLER

Fikri Gökpınar1

Tahir Khaniyev2

1. GĠRĠġ

X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal

dağılıma sahip olsun. Sn= X1+ ··· + Xn, (n=1,2,…) ve S0= 0 olmak üzere Gauss rasgele yürüyüĢ

(GRYS) sürecinin maksimumu M(β)= maks{Sn: n ≥ 0} olsun. Amacımız M(β)‟nın momentleri

için yaklaĢık formüller elde etmektir. Bu konuda yazılmıĢ birçok ilginç çalıĢmalar mevcuttur

(örneğin, Lotov (1996), Korshunov (1997), Khaniyev ve Mammadova (2006), Jannsen ve

Leewarden (2007a), Jannsen ve Leewarden (2007b) vb.).

Mβ‟ın dağılımı kuyruk teorisi, risk teorisi,stokastik finans, güvenirlik, matematiksel biyoloji,

çevre gibi alanlarda oldukça sık kullanılmaktadır. β=0 durumunda, Lotov (1996), GRY sürecinin

1. basamak yüksekliğinin ilk üç momenti için 3 terimli asimptotik açılım ortaya koymuĢlardır.

Korshunov (1996) Rassal yürüyüĢ sürecinin maksimumunun dağılımının kuyruk davranıĢları

üzerine çalıĢmıĢlardır. Janssen ve Leeuwarden (2007a) β↓0 için maksimum değerinin beklenen

değeri ve varyansı için zeta fonksiyonlar teorisini kullanarak açılımlar elde etmiĢlerdir.Ayrıca

Janssen ve Leeuwarden (2007b) çalıĢmasında sürecin maksimumun kümülantları için kesin ve

asimptotik sonuçlarını genellemiĢlerdir. Bununla beraber bu asimptotik formüller β‟nın çok dar

bir aralığında geçerlidir. Özellikle β>0.5 olduğunda asimptotik sonuçlar kesin değerlerden

oldukça uzaklaĢmaktadır. Bu nedenle bu çalıĢmada iki amaç gözetilmiĢtir. Birinci amaç, meta

modelleme yöntemi ile GRY sürecinin maksimumun ilk 4 momenti için yaklaĢık ifadeler elde

etmektir. Ġkinci amaç ise β0 iken Y(β)=2βMβ rasgele değiĢkeninin dağlımı için zayıf

yakınsama teoremini ispatlamaktır. ÇalıĢmada, limit dağılımın üstel bir dağılım olduğu

gösterilmiĢtir.

2. GAUSS RASGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUMUNUN DAĞILIMI

Jannsen ve Leewarden (2007b) GRW sürecinin maksimum değerinin tüm kümülantları için kesin

bir formül vermiĢtir. Bu formül aĢağıdaki teorem 1‟ de verilmiĢtir.

Yardımcı Teorem 1 (Jannsen ve Leewarden, 2007b): X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0 olmak

üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ

sürecinin maksimumu(M(β)) k.acı kümülantı (Jk(β)) için k=1,2,... iken aĢağıdaki kesin ifadeler

yazılabilir.

( ) ( ) ( ) ( )k k k kJ A D F .

________________

1Ġstatistik Bölümü, Gazi Üniversitesi, Ankara

2EndüstriMühendisliği bölümü TOBB-ETÜ, Ankara



Burada;

( ) ( 1)! 2k

kA k ,

1

2

0

11

1 12( ) 1 2

2 22

j

k jkj

k

j

k j

kD k j

j

,

1 2 1

0

1 ! 1 / 2 1/ 2

!(2 1)...(2 1)2

k r r k

k

r

kk k rF

j r r r k

,

0 2 ve(x), Reimann zeta fonksiyonunun x noktasındaki değerini ifade etmektedir.

Not: Yardımcı Teorem 1‟de verilen kümülantlardan faydalanarak GRW sürecinin

maksimumunun Momentleri de bulunabilir. ( )kJ deki formüldeki son terimi kaldırdığımızda

β0 iken asimptotik olarak

( ) ( ) ( ) k

k k kJ A D o

Ģeklinde elde edilebilir.

Bell polinomlarından yararlanarak GRY sürecinin maksimumunun Mβ n. baĢlangıç momentleri

için asimptotik sonuçlar elde etmek mümkündür. Bu Sonuçlar aĢağıdaki Teorem 1 de verilmiĢtir.

Teorem 1:X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı

normal dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin(GRYS) maksimumu M(β)'in

n.ncı momenti ( )nE M için aĢağıdaki asimptotik açılım yazılabilir.

1 2

1

(2 ) ( ), ( ),... ( )!( ) 1 2

(2 ) !

innn i i

ni

B D D DnE M o

i

n=1,2,3,....

Burada 1 2( ), ( ),... ( )i iB D D D {D1(β), D2(β),… Di(β)} kümesinin Bell polinomunu

göstermektedir.

Ġspat:

( ) ( 1)! 2k

kA k ikenJk(β)= Ak(β)+Dk(β)+o(βk) olarak ifade edilebilir. Bell

Polinomlarından faydalanarak, β‟ya bağlı olarak, kümülantlardan Momentlere

geçilebilmektedir(Comtet, 1974,s.160). Tam Bell polinomu Bn(x1,x2,…xn) olmak üzere

1 2

1 2

1 21 2

2 ... 1 2

!( , ,... ) ...

! !... ! 1! 2! !

n

n

jj j

nn n

j j nj n n

xx xnB x x x

j j j n

n=1,2,...

Ģeklinde ifade edilir(B0=1).



Burada Bell Polinomunun değerini;

1 2 3 4 5

1 2 3 4 1

1 2 3 2

1 2

1 2 3

1 4

1 1 1 1

1 2 3 4

2 2 21

1 2 3

3 30 1

1 2, ,..., det

40 0 1

1

0 0 0 1

0 0 0 0 1

n

n

n

n n

n

n

n

n n n nx x x x x x

n n nx x x x x

n nx x x x

B x x xn

x x x

x x

x

5

10 0 0 0 0 0 1 x

ifadesi kullanarak bulunabilir.

n.nci moment E(Mn(β)), 1‟den n‟e kadar tüm kümülantları Bell polinomunda kullanarak;

E(Mn(β))=Bn(J1(β), J2(β),… Jn(β))

Ģeklinde bulunur (Comtet,1974). Burada Jk(β)= Ak(β)+Dk(β)+o(βk) ifadesi kullanarak;

E(Mn(β)) =Bn(A1(β)+ D1(β), A2(β)+D2(β),…, An(β)+Dn(β))+o(1)

olarak elde edilir.

Comtet(1974)‟de Bell Polinomlarının herhangi iki {a1, a2,… an} ve {b1, b2,… bn} serisi için;

1 1 2 2 1 2 1 2

0

( , ,..., ) , ,..., , ,...,n

n n n n i i

i

nB a b a b a b B a a a B b b b

i

Ģeklinde ifade edilebilir olduğunu göstermiĢtir (Bell polinomumun binom özelliği). Burada

ai=Ai(β) ve bi= Di(β) alındığında

1 1 2 2

1 2 1 2

0

( ) , , 1

, ,..., ( ), ,..., 1

n

n n n

n

n i n i i i

i

E M B A D A D A D o

nB A A A B D D D o

i

elde edilir. Burada

1 2

1 2

1 21 2

2 ...( ) 1 2

( )( ) ( )( )!, ,..., ...

! !... ! 1! 2! ( )!

n i

n i

jj j

n in i n i

j j n i j n i n i

AA An iB A A A

j j j n i



1 2

1 22 ...( ) 1 2

( )! 1 1 1 1...

! !... ! 1 2 ( )2

n i

n i

jj j

n ij j n i j n i n i

n i

j j j n i

Collins(2001)‟de

1 2

1 22 ... 1 2

1 1 1 1... 1

! !... ! 1 2

n

n

j j j

j j nj n nj j j n

olarak verilmiĢtir. Buradan

1 2

( )!, ,...,

2n i n i n i

n iB A A A

olur. Bu ifade yerine konduğunda;

1 2

0

1 2

0

( )!( ) ( ), ,..., 1

2

( )!( ), ,..., 1

2

nn

i in ii

n

i in ii

n n iE M B D D D o

i

n n iB D D D o

i

açılımı elde edilir. Bu açılım aĢağıdaki Ģekilde yazabiliriz.

1 2

1

(2 ) , ,...!( ) 1

(2 ) !

ini in

ni

B D D DnE M

i

olarak bulunur. Bu da ispatı tamamlar.

Sonuç:Y(β)= 2βM(β) olmak üzere

1 2

1

(2 ) , ,...( ) ! 1

!

ini i

i

B D D DE Y n

i

dir.

Teorem 2: X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı

normal dağılıma sahip olsun. Bu taktirde, Y(β)= 2βM(β) rasgele değiĢkeninin dağılımı =1

parametreli üstel dağılıma zayıf yakınsar. Yani x>0 için 01 xP Y x e

olur.



Ġspat:

Y(β)‟nin karakteristik fonsiyonu;

( ) ( )itY

Y t E e

.

Ģeklindedir. Bu ifadeyi Taylor açılımını kullanarak açarsak (Feller,1971);

1 2

1 21 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ... (1)

1! 2! !

n

nit it itE M E M E M o

n

1 2

1 1! 2! ... ! (1)1! 2! !

nit it it

n on

|t|<1 iken bu geometrik seri;

( )

1( )

1Y t

it

olur. ( ) 1 (1 )o t it fonksiyonunun=1 parametreli üstel dağılımın karakteristik fonksiyonu

olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla Y(β)= 2βM(β) rasgele değiĢkeninin dağılımı =1 parametreli

üstel dağılıma zayıf yakınsar. Yani x>0 için 01 xP Y x e

olur.

3. GAUSS RASGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN ĠLK 4 MOMENTĠ ĠÇĠN YAKLAġIK

FORMÜLLER

Bu bölümde GRY sürecinin maksimum değerinin ilk 4 momenti için yaklaĢık bir formül

verilecektir. Jannsen ve Leeuwarden(2007b) maksimumun kümülantları için elde ettiği genel bir

formül sonsuz bir seriye dayalı olduğu için hesaplanmasının oldukça zor olduğu görülmektedir.

Ayrıca Jannsen&Leeuwarden(2007b) elde ettikleri asimptotik formüllerde β'ın çok küçük

değerleri (0<β<0.5) için geçerliliklerini korumaktadır. Fakat uygulamada çoğu zaman 0<β<3.3

aralığında değiĢebilmektedir. Bu da β>0.5 olduğunda yeni bir yaklaĢık formül elde etmeyi

gerektirmektedir. Bu amaçla çeĢitli Beta değerleri için MATLAB R2009a programını kullanarak

β‟nın hangi değer aralığı için kesin formülle asimptotik formülün aynı değeri alıp hangi değerden

sonra uzaklaĢtığını tespit ettik. Elde edilen sonuçlar tablo 1-4 de verildiği gibidir. Burada ( )E M

ve ( )E M ile sırasıyla M(β)'ın sırasıyla beklenen değerinin kesin ve asimptotik formülle hesaplanmasında

elde edile edilen sonuçları göstermektedir. Ayrıca ( ( )) ( ( ))E M E M mutlak hata;

( ( ))E M nispi hatayı göstermektedir.



Tablo 1. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen ( )E M için asimptotik ve kesin formüller ile verilen sonuçlar, nispi

ve oransal farkları

β 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090

( )E M 49,4199 24,4224 16,0915 11,9273 9,4298 7,7656 6,5776 5,6871 4,9951

( )E M 49,4199 24,4224 16,0915 11,9274 9,42990 7,7657 6,5777 5,6874 4,9955

0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0003

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

β 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900

( )E M 4,4420 1,9657 1,1553 0,7608 0,5321 0,3859 0,2865 0,2160 0,1647

( )E M 4,4424 1,9674 1,1591 0,7674 0,5424 0,4007 0,3067 0,2424 0,1980

0,0004 0,0017 0,0037 0,0066 0,0103 0,0149 0,0202 0,0264 0,0333

0,01 0,08 0,32 0,87 1,94 3,85 7,06 12,20 20,23

β 1,000 1,250 1,500 1,750 2,000 2,250 2,500 2,750 3,000

( )E M 0,1264 0,0662 0,0347 0,0179 0,0090 0,0044 0,0020 0,0009 0,0004

( )E M 0,1674 0,1299 0,1257 0,1406 0,167403 0,2021 0,2424 0,2867 0,3344

0,0410 0,0637 0,0910 0,1227 0,1584 0,1977 0,2404 0,2858 0,3337

32,47 96,25 262,12 683,92 1755,37 4513,19 11776,94 31493,33 86932,96

Tablo 2. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen 2 ( )E M için asimptotik ve

kesin formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları

β 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090

2 ( )E M 4942,0780 1221,2063 536,4701 298,2679 188,6793 129,5086 94,0461 71,1690 55,5800

2 ( )E M 4942,0785 1221,2071 536,4713 298,2695 188,6813 129,5109 94,0487 71,1721 55,5834

0,0004 0,0008 0,0012 0,0016 0,0020 0,0023 0,0027 0,0030 0,0034

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

β 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900

2 ( )E M 44,4974 9,8957 3,9087 1,9512 1,1060 0,6786 0,4391 0,2951 0,2038

2 ( )E M 44,5011 9,9022 3,9172 1,9611 1,1167 0,6896 0,4500 0,3054 0,2134

0,0037 0,0065 0,0085 0,0099 0,0107 0,0110 0,0108 0,0103 0,0096

0,01 0,07 0,22 0,51 0,97 1,62 2,46 3,50 4,70

β 1,000 1,250 1,500 1,750 2,000 2,250 2,500 2,750 3,000

2 ( )E M 0,1436 0,0634 0,0292 0,0136 0,0063 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002

2 ( )E M 0,1522 0,0691 0,0320 0,0141 0,0056 0,0025 0,0030 0,0063 0,0120

0,0086 0,0057 0,0028 0,0005 -0,0007 -0,0003 0,0018 0,0058 0,0118

6,00 9,01 9,50 3,51 -10,74 -11,23 145,52 1128,76 5760,05

Tablo 1-4‟teki verilen GRY sürecinin ilk dört momentinin maksimumu için asimptotik ve kesin

formüller ile verilen sonuçlar arası, mutlak ve Nisçi farklarına bakıldığında β=0.5-0.6 değerinden

sonra asimptotik ve kesin formüller arasındaki oransal fark %2‟yi geçmektedir. Özellikle, β>1

olduğunda nisbi hata %32'yi aĢmaktadır. Bu fark kabul edilebilir bir durum değildir. Kesin

formülde Kümülantların son terimi zeta ve gamma fonksiyonların sonsuz bir serisi oluĢturduğu

düĢünülürse bu ifadeyi momentlerde kullanmak oldukça zordur bunun yerine bu kesin değerlerle

asimptotik değerlerin fark değerleri üzerine eğri uydurarak daha rahat kullanılabilecek bir formül

oluĢturmak gerekir. Burada 4 fonksiyon farklı yapı gösterdiğinden her biri için farklı fonksiyon

uydurmak gerekecektir. 1. Moment için üstel 2. Moment için polinom, 3 ve 4.Moment için kesirli

polinom fonksiyon olarak uydurulmuĢtur.



Tablo 3. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen 3( )E M için asimptotik ve kesin

formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları

β 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090

3( )E M 741311,7786 91590,5402 26823,5767 11185,1167 5660,4476 3237,7823 2015,3396 1334,4852 926,3989

3( )E M 741311,8401 91590,6010 26823,6367 11185,1760 5660,5063 3237,8403 2015,3969 1334,5419 926,4549

0,0615 0,0608 0,0601 0,0594 0,0587 0,0580 0,0573 0,0566 0,0560

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

β 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900

3( )E M 667,5255 74,2732 19,5914 7,3581 3,3533 1,7263 0,9661 0,5743 0,3571

3( )E M 667,5808 74,3223 19,6349 7,3965 3,3870 1,7558 0,9918 0,5965 0,3761

0,0553 0,0491 0,0434 0,0384 0,0337 0,0295 0,0257 0,0222 0,0189

0,01 0,07 0,22 0,52 1,01 1,71 2,66 3,86 5,29

β 1,000 1,250 1,500 1,750 2,000 2,250 2,500 2,750 3,000

3( )E M 0,2299 0,0847 0,0342 0,0143 0,0061 0,0025 0,0010 0,0004 0,0002

3( )E M 0,2457 0,0933 0,0352 0,0065 -0,0132 -0,0321 -0,0543 -0,0825 -0,1187

0,0158 0,0085 0,0010 -0,0078 -0,0193 -0,0346 -0,0553 -0,0829 -0,1188

6,88 10,06 2,95 -54,72 -317,06 -1358,61 -5314,24 -20195,40 -76627,40

Tablo 4. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen 4 ( )E M için asimptotik ve kesin

formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları

β 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090

4 ( )E M 135764839,1000 8378420,7040 1634189,6810 510579,7870 206514,5648 98347,6735 52423,5983 30347,3428 18710,4473

4 ( )E M 135764851,4000 8378426,7800 1634193,6850 510582,7552 206516,9117 98349,6065 52425,2358 30348,7589 18711,6914

12,2960 6,0767 4,0041 2,9681 2,3469 1,9330 1,6375 1,4161 1,2441

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01

β 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900

4 ( )E M 12123,8336 670,0187 117,4003 33,0594 12,0898 5,2202 2,5286 1,3321 0,7479

4 ( )E M 12124,9402 670,5105 117,6916 33,2534 12,2276 5,3222 2,6061 1,3922 0,7951

1,1066 0,4918 0,2913 0,1940 0,1378 0,1020 0,0775 0,0601 0,0473

0,01 0,07 0,25 0,59 1,14 1,95 3,07 4,51 6,32

β 1,000 1,250 1,500 1,750 2,000 2,250 2,500 2,750 3,000

4 ( )E M 0,4410 0,1371 0,0488 0,0187 0,0073 0,0029 0,0011 0,0004 0,0001

4 ( )E M 0,4786 0,1589 0,0620 0,0268 0,0121 0,0045 -0,0019 -0,0108 -0,0251

0,0376 0,0218 0,0131 0,0081 0,0048 0,0017 -0,0030 -0,0112 -0,0253

8,52 15,93 26,87 43,31 65,34 57,53 -270,95 -2695,10 -16916,19

a) Birinci Moment için yaklaĢık formül

X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal dağılıma

sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 1.ncı momenti için yaklaĢık formül

1 1 1

1( ) ( )

2E M B D R

şeklindedir. Burada 1( )R 'in tahmini;

2 2

1 1 2 2 b / c /c

1 1 2ˆ ( )

bR a e a e

ve a1 =-0.03453, b1=0.6342, c1=1.512, a2=0.7545, b2=5.863, c2 =3.188 Ģeklindedir.



b) Ġkinci Moment için yaklaĢık formül

X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal

dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 2.ncı momenti

için yaklaĢık formül

2

2 1 1 2 1 2

22

(2 ) (2 ) ,2!( ) 1 ( )

(2 ) 1 2

B D B D DE M R

Ģeklindedir. Burada 2 ( )R 'in tahmini;

5 4 3 2

1 2 3 5 62 4ˆ ( ) p x p x p x p x p x pR

,

ve p1 =0.0002451, p2=-0.003714,p3=0.02304,p4=-0.05657, p5=0.04726,p6=-0.001659

Ģeklindedir.

c) Üçüncü Moment için yaklaĢık formül

X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal

dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β) 'in 3.ncı momenti


2 3

3 1 1 2 1 2 3 1 2 3

33

(2 ) (2 ) , (2 ) , ,3!1 ( )

(2 ) 1 2 6

B D B D D B D D DE M R

Ģeklindedir. Burada 3( )R 'in tahmini;

2 3 4 5

4 3 2

1

3

1

ˆ ( )p x p x p x p p

qR

x

x

ve p1=-0.01988, p2=0.0335, p3=0.02348, p4=-0.2144, p5=0.26225, q1=4.371 Ģeklindedir.

d) Dördüncü Moment için yaklaĢık formül

X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal

dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 4.ncı momenti


2 3 4

4 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4

14

(2 ) (2 ) , (2 ) , , (2 ) , , ,4!1 ( )

(2 ) 1 2 6 24

B D B D D B D D D B D D D DE M R

Ģeklindedir. Burada 4 ( )R 'in tahmini;

5 4 3 2

1 2 34

4 5 6

2

1 2

ˆ ( )Rp x p x p x p x p x p

x q x q

ve p1=-0.4135, p2=2.729, p3=-7.601, p4=12.54, p5=-14.52, p6=9.938, q1=67.88, q2=2.263

Ģeklindedir.



ˆkR ların değerleri ile kR nın kalan terimlerin değerleri arası nispi farkın %0.8‟in altında

olduğu görülmektedir. Dolayısıyla oluĢturulan fonksiyonlar bu artık değerleri için uygun olduğu

söylenebilir.Ayrıca yapılarının kolaylığı nedeniyle oldukça kolay bir biçimde

kullanılabilmektedir.

KAYNAKLAR

Comtet L., 1974, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite

Expansions, Reidel, Dordrecht, Holland.

Collins B., 2001,The role of Bell polynomials in integration, Journal of Computational and Applied

Mathematics, Volume 131, Number 1, 1 June 2001 , pp. 195-222(28)

Janssen, A. J. E. M.; van Leeuwaarden, J. S. H. On Lerch's transcendent and the Gaussian

random walk. Ann. Appl. Probab. 17 (2007), no. 2, 421- 439.

Janssen, A. J. E. M.; van Leeuwaarden, J. S. H. Cumulants of the maximum of the Gaussian

random walk. Stochastic Process.Appl. 117 (2007), no. 12, 1928 - 1959.

Lotov, V.I., 1996. On some boundary crossing problems for Gaussian random walks. Ann.

Probab. 24 4, pp. 2154–2171.

Khaniyev T.A., Mammadova Z.I., (2006), On the stationary characteristics of the extended

model of type (s,S) with Gaussian distribution of summands, Journal of Statistical

Computation and Simulation, Vol.76, No.10, p.861-874.

Khorsunov,1997, On distribution tail of the maximum of a random walk, Stochastic

Processes and their Applications 72 :97-103.



ĠLERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI ĠLE ÖNGÖRÜ ĠÇĠN GĠZLĠ TABAKA

SAYISI ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA

Prof.Dr.Faruk ALPASLAN1, ArĢ.Gör.Ebrucan TĠRĠNG

1, Doç.Dr.Erol EĞRĠOĞLU

1Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Ġstatistik Bölümü, Samsun

ÖZET

Son yıllarda, zaman serisi öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağları baĢarılı bir

Ģekilde uygulanmaktadır. Doğrusal olmayan yapı içeren zaman serilerinin modellenmesinde,

ARIMA, üstel düzleĢtirme gibi klasik doğrusal zaman serisi modelleri yetersiz kalmaktadır.

Zaman serisi analizi için birçok doğrusal olmayan zaman serisi modelleri bulunmasına rağmen

hepsinin belli bir model varsayımı gerektirmesi önemli bir engel oluĢturmaktadır. Ġleri beslemeli

yapay sinir ağlarının hem doğrusallık hem de model varsayımı gibi kısıtları yoktur. Literatürdeki

birçok çalıĢmada ileri beslemeli yapay sinir ağlarında, klasik zaman serisi yöntemlerinden daha

doğru öngörüler elde edilmiĢtir. Birçok avantaja rağmen yapay sinir ağları ile öngörü için yapay

sinir ağlarının bileĢenlerinin belirlenmesi problemi halen tam olarak sistematik değildir. Bu

çalıĢmada öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka

sayısının belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi üzerine, ĠMKB, Dolar ve Euro zaman

serisi kullanılarak bir araĢtırma yapılmıĢtır.

Anahtar kelimeler:Öngörü, Yapay sinir ağları, Gizli tabaka sayısı.

1. GiriĢ

Ġleri beslemeli yapay sinir ağları (ĠBYSA) birçok avantajı nedeniyle zaman serisi

çözümlemesinde sık kullanılmaya baĢlanmıĢtır.Ġleri beslemeli yapay sinir ağları ile zaman serisi

çözümlemesinde en önemli problem sistematik bir yaklaĢımın eksikliğidir. Ġleri beslemeli yapay

sinir ağları ile zaman serisi çözümlemesi için belirlenmesi gereken bileĢenler Gizli tabaka sayısı,

Çıktı tabakası birim sayısı, Gizli tabaka birim sayısı, Gizli tabaka aktivasyon fonksiyonu, Çıktı

tabakası aktivasyon fonksiyonu, Girdi birimlerinin seçimi, Test kümesi uzunluğunun

belirlenmesidir. BileĢenlerin belirlenmesi konusunda literatürde farklı uygulamalar vardır. 1998

yılına kadar mevcut literatürdeki farklı uygulamalar Zhang vd. (1998) çalıĢmasında

özetlenmiĢtir. Bu çalıĢmada gizli tabaka sayısının ve test kümesi uzunluğunun belirlenmesi

üzerine 3 gerçek zaman serisi üzerinden inceleme yapılmıĢtır. Bu problem üzerine literatür



aĢağıdaki gibi özetlenebilir. Cybenko (1989), Hornik vd. (1989) çalıĢmalarında tek gizli tabaka

kullanmıĢ ve tek gizli tabakanın yeterli olacağını savunmuĢtur.Baron (1994), Zhang (1994) iki

gizli tabakanın daha doğru öngörü sonuçları vereceğini savunmuĢtur. Lippmann (1987) ve

Cybenko (1988) ise ikiden fazla gizli tabakanın yararlı olmayacağını savunmuĢtur.

Test kümesi uzunluğunun belirlenmesi için literatürdeki çalıĢmalarda farklı oranlar alınsa da

Zhang vd. (1998) de literatürde genel olarak %10, %15 ve %20 olarak alınmaktadır.

Öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka sayısının

belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi, ĠMKB, Dolar ve Euro zaman serisi kullanılarak

araĢtırılmıĢtır.

2. Ġleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları

Ġleri beslemeli yapay sinir ağları birçok gerçek hayat probleminin çözümünde baĢarıyla

kullanılmaktadır.Ġleri beslemeli yapay sinir ağlarının önemli bir uygulama alanı da zaman

serilerinin öngörüsüdür.Ġleri beslemeli bir yapay sinir ağı genel olarak 3 kısımdan

oluĢmaktadır.Ġlk kısım girdi tabakası, ikinci kısım gizli tabaka veya tabakalar ve üçüncü kısım ise

çıktı tabakasıdır.Her tabaka nöron adı verilen elemanlara sahiptir. Tabaka içi nöronlar arası

bağlantı yoktur, ancak ardı ardına gelen tabakaların nöronları arasında tam bağlantı vardır.

Nöronlar arası bağlantıların gücü bu bağlantıların her biri ile eĢleĢen ağırlıklarla temsil

edilmektedir. Zaman serisi öngörü problemi için literatürde çıktı tabakasında 1 nöron

kullanılması ile yeterli sonuçlara ulaĢılmaktadır. Bir gizli tabakanın olduğu ĠBYSA mimarisi

ġekil 1a‟da, Ġki gizli tabakanın olduğu ĠBYSA mimarisi ġekil 1b‟de verilmiĢtir.

ġekil 1. Ġleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları Mimarileri



ĠBYSA ile zaman serisi çözümlemesinde ġekil 1 de verilen mimari kullanılırsa girdi

tabakasındaki nöron sayısı gecikmeli değiĢken sayısı kadar olmaktadır. Literatürde girdi

tabakasında kaç gecikmeli değiĢken kullanılacağı veya gizli tabakalarda kaç nöron olacağı

sorusuna deneme yanılma yolu ile karar verilmektedir. Yine kaç gizli tabaka kullanılacağı

konusunda da genel bir sonuç olamamasına rağmen iki gizli tabakadan fazlasını kullanmanın

gerekli olmadığı Zhang vd. (1998) çalıĢmasında savunulmaktadır. ĠBYSA ile zaman serilerinin

çözümlenmesi konusunda detaylı bilgi Günay vd. (2007) çalıĢmasından elde edilebilir.

3. ĠMKB, Dolar ve Euro Zaman Serilerinin ĠBYSA ile Çözümlenmesi

ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro döviz kuru gibi ekonomik zaman serileri eğrisel ve

doğrusal yapıları içeren verilerdir.Bu verilerin çözümlenmesinde klasik eğrisel ve doğrusal

zaman serisi yaklaĢımları yetersiz kalmaktadır. Bu tür ekonomik zaman serilerinin

çözümlenmesinde ĠBYSA kullanımı son yıllarda sık uygulanmaktadır. Ancak ĠBYSA ile zaman

serisi çözümünde bileĢenlerin belirlenmesi için hala sistematik bir yöntem önerilememiĢtir.Bu

çalıĢmada ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro döviz kuru zaman serileri ĠBYSA ile çözülerek

gizli tabaka sayısı ve test kümesi uzunluğunun etkisi araĢtırılmıĢtır. Her üç verinin

çözümlenmesinde tek gizli tabaka ve iki gizli tabakalı mimariler kullanılmıĢtır. Tek gizli tabaka

olduğu durumda gizli tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢ, girdi tabakasında

kullanılan gecikmeli değiĢkenlerin sayısı yine 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Böylece tek gizli

tabaka olması durumunda 144 farklı mimari incelenmiĢtir. Tek gizli tabaka olması durumunda,

uygulamada gizli tabaka nöronlarında lojistik, çıktı tabakası nöronlarında doğrusal aktivasyon

fonksiyonunun kullanıldığı model ( Model 1) ve gizli tabaka ve çıktı tabakası nöronlarında

lojistik aktivasyon fonksiyonunun kullanıldığı model ( Model 2) uygulanmıĢtır. Böylece tek gizli

tabaka durumunda 288 farklı ĠBYSA modeli her bir seri için denemiĢtir. Ġki gizli tabakalı mimari

kullanıldığında girdi tabakası nöron sayısı 1 ile 12 arasında, her iki gizli tabakadaki nöron sayısı

1 ile 3 arasında değiĢtirilerek toplam 108 farklı mimari incelenmiĢtir. Model 1 ve Model 2‟nin

ayrı ayrı uygulanmasıyla incelenen mimari sayısı 216 olmuĢtur. Her bir zaman serisi için

toplamda 504 farklı ĠBYSA mimarisi denemiĢtir. ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro zaman

serilerinin çözümlenmesinden elde edilen sonuçlar sırasıyla Tablo 1,2 ve 3 de verilmiĢtir.



Tablo 1.ĠMKB Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar

Test Kümesi Uzunluğu

Gizli Tabaka

Sayısı Modeller 10% 15% 20%

1 Model1 1188,546 [2-6-1] 1250,504 [1-2-1] 1018,396 [4-2-1]

Model2 1226,22 [6-1-1] 1300,48 [1-4-1] 1164,988 [1-6-1]

2 Model1 1182,279 [11-3-2-1] 1268,062 [5-2-2-1] 1184,535 [2-1-2-1]

Model2 1091,694 [4-2-2-1] 1309,879 [3-1-3-1] 1175,666 [12-2-2-1]

Tablo 2.TL/Dolar Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar


Gizli Tabaka


1 Model1 0,010989[1-8-1] 0,012329[1-8-1] 0,013721[1-8-1]

Model2 0,009616[1-11-1] 0,011297[1-7-1] 0,014058[3-1-1]

2 Model1 0,011409[8-3-2-1] 0,012517[1-1-2-1] 0,013596[10-1-3-1]

Model2 0,010957[1-3-1-1] 0,013538[1-3-1-1] 0,013538[1-3-1-1]

Tablo 3.TL/Euro Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar


Gizli Tabaka


1 Model1 0,026624[1-8-1] 0,023397[1-5-1] 0,021927[2-12-1]

Model2 0,027971[1-7-1] 0,023617[1-5-1] 0,0218113[1-7-1]

2 Model1 0,02985[1-3-3-1] 0,023849[1-3-3-1] 0,023506[1-2-3-1]

Model2 0,028418[1-3-2-1] 0,024005[1-3-2-1] 0,0221[1-3-2-1]



Tablo 1‟den görüleceği gibi % 10 test kümesi uzunluğunda, 2 gizli tabaka kullanılması daha

doğru öngörüler vermektedir. %15 test kümesi ve %20 test kümesi için tek gizli tabakanın daha

doğru öngörüler verdiği görülmektedir. ĠMKB zaman serisi için uzun dönem öngörü elde etmede

tek gizli tabakalı mimarilerin, kısa dönem öngörü için ise 2 gizli tabakalı mimariler seçilebilir.

Tek gizli tabaka kullanıldığında model 1‟in model 2‟den daha doğru öngörü sonuçları verdiği

görülmektedir. Ġki gizli tabaka durumunda ise Model 2‟nin %10 ve %20 test kümesi

uzunluğunda daha iyi sonuçlar verdiği görülmektedir. TL/Dolar zaman serisi için ise Tablo 2

incelenirse %10 ve %15 test kümesi uzunluğunda tek gizli tabakalı mimarinin daha iyi sonuç

verdiği %20 test kümesi uzunluğunda ise 2 gizli tabaka uzunluğunun daha iyi sonuçlar verdiği

söylenebilir. Ayrıca TL/Dolar serisi için Model 2‟nin Model 1‟e göre daha doğru öngörü

sonuçları verdiği söylenebilir. Tablo 3 incelenirse tek gizli tabaka ile daha doğru öngörü

sonuçlarına ulaĢıldığı açıkça görülmektedir.Tek gizli tabakada ise Model 1‟in model 2‟ye göre

daha doru öngörüler verdiği söylenebilir.

4. Sonuç ve TartıĢma

Bu çalıĢmada öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka

sayısının belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi üzerine, ĠMKB, TL/Dolar ve TL/Euro

zaman serisi kullanılarak bir araĢtırma yapılmıĢtır. Elde edilen bulgular aĢağıdaki iki maddede

özetlenebilir.

Tek gizli tabakanın genel olarak 2 gizli tabakadan daha iyi sonuçlar ürettiği

yönündedir.

Test kümesi uzunluğunun değiĢmesinin öngörü sonuçları üzerinde ciddi bir etkisinin

olduğu görülmektedir.

Her üç seride de test kümesi değiĢimi ile farklı mimari yapılardan iyi sonuçlar elde edilmiĢtir.

TL/Dolar ve TL/Euro zaman serilerinde girdi birim sayısı en iyi mimariler için daima 1 olduğu

da dikkati çekmektedir. Yine bazı mimari yapılar için en iyi sinir ağının aynı sayıda girdi ve gizli

tabaka birimi içermektedir. TL/Dolar ve TL/Euro zaman serisi iki gizli tabakanın ve model 2‟nin

kullanıldığı durumlarda aynı sayıda girdi ve gizli tabaka birimine sahip sinir ağları en iyi

sonuçları üretmiĢtir.



5. Kaynaklar

Barron, A.R., (1994). A comment on „„Neural networks: A review from a statistical

perspective‟‟. Statistical Science 9 (1), 33–35.

Cybenko, G., (1988). Continuous Valued Neural Networks with Two Hidden Layers are

Sufficient,Technical Report, Tuft University.

Cybenko, G., (1989). Approximation by superpositions of a sigmoi-dal function, Mathematical

Control Signals Systems 2, 303–314.

Hornik, K., Stinchcombe, M., White, H., (1989). Multilayer feedforward networks are universal

approximators,Neural Networks, 2, 359–366.

Lippmann, R.P., (1987). An introduction to computing with neural nets, IEEE ASSP Magazine,

April, 4–22.

Zhang, X., (1994).Time series analysis and prediction by neural Networks,Optimization Methods

and Software, 4, 151–170.

Zhang, G., Patuwo, B.E. and Hu, Y.M., (1998). Forecasting with artificial neural networks: The

state of the art,International Journal of Forecasting, 14, 35-62.



ĠSTATĠSTĠK'TE ENTROPĠYE DAYALI UYUM ÖLÇÜLERĠNĠN DĠĞER UYUM

ÖLÇÜLERĠ ĠLE KIYASLANMASI

Atıf Evren†

ÖZET

Ġstatistik'te bir olasılık ya da göreli sıklık dağılımının bir diğer dağılıma uygunluğunun test

edilmesinde kullanılan bazı ölçüler Kolmogorov-Smirnov istatistiği, olabilirlik oranı istatistiği,

ki-kare uyum iyiliği testi, entropiye dayalı ölçüler (Kullback-Leibler sapması, Jeffrey sapması),

Hellinger sapması, Bhattacharya sapması olarak sıralanabilir. Bu çalıĢmada ele alınan bazı

dağılımların birbirlerinden sapması bu ölçüler yardımı ile ele alınacak ve bu ölçüler arasında bir

kıyaslama yapılacaktır.

Anahtar Sözcükler: Uyum iyiliği ölçüleri, göreli entropi, Jeffrey sapması,Hellinger sapması

A COMPARISON BETWEEN GOODNESS OF FIT MEASURES THAT ARE BASED

AND THAT ARE NOT BASED ON ENTROPY MEASURES

ABSTRACT

Some widely used goodness of fit measures used in statistics especially for making comparisons

with a theoretical and an empirical distribution are Kolmogorov-Smirnov statistic, likelihood

ratio statistic, chi-square goodness-of-fit statistic, measures based on entropy (Kullback-Leibler

divergence, Jeffrey's divergence) , Hellinger divergence and Bhattacharya divergence. In this

study the convergence of some probability distributions to some others will be investigated

through these measures. Hence, a comparison between all these measures could be possible.

Keywords: Measures for goodness of fit, relative entropy, Jeffrey's divergence, Hellinger

divergence

GĠRĠġ

Uyum iyiliği ölçüleri , geçerli olduğu düĢünülen teorik bir olasılık dağılımı ile gözlenen verilerin

oluĢturacağı görgül (ampirik) bir dağılımın uyumunun saptanmasında da kullanılmaktadır. Bu

konuda önerilen ölçülerin bazıları ki-kare istatistiği, olabilirlik oranı istatistiği, Kolmogorov-

†Öğretim Üyesi, Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, DavutpaĢa Esenler, 34210

Ġstanbul, [email protected]



Smirnov D istatistiği, Cramer-Von Mises istatistiği, olabilirlik oranı , Kullback-Leibler sapması,

Jeffrey sapması, Bhattacharya Hellinger sapmalarıdır (Everitt, 2006).

1.1 Metrik Fonksiyonlar

),( yx fonksiyonu bütün (x,y) değerleri için aĢağıdaki koĢulları yerine getiriyorsa metrik olarak

adlandırılır:

1) 0),( yx , 2) ),(),( xyyx , 3) 0),( yx Sadece x=y için

4) ),(),(),( zxzyyx (Üçgen eĢitsizliği) (Cover & Thomas, 2006)

Uyum iyiliği için önerilen bazı istatistikler metrik olma özelliğini taĢımazlar. Bu bakımdan bu

özelliği tanımayan ölçülerin sapma (divergence) olarak nitelendirilmesi daha doğru olacaktır.

Bazı çok kullanılan metrikler ve kullanım alanları için DasGupta(2008)'e baĢvurulabilir.

1.2. Uyumun Ġyiliğinin Ki-Kare ve Olabilirlik Oranı Ġstatistikleri ile Test Edilmesi

)()(:00

xx FFH x bütün x değerleri için,

)()(:01

xx FFH x

verilmiĢ ve eldeki örneğin birbirini kategorik olarak dıĢlayan k tane kategoriye ait olduğu

düĢünülsün. H 0hipotezinin kabulü altında beklenen sıklıklar ei

, gözlenen sıklıklar da fi

(i=1,2,...,n) olsun. Pearson tarafından önerilen test istatistiği

k

i ie

ef ii

1

2

2

(1)

Ģeklindedir. Büyük n değerleri için bu istatistiğin k-1 serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına

uyduğu bilinmektedir (Cramér, 1999).Burada testin sağlıklı sonuç verebilmesi için 5ei

koĢulunun yerine gelmesi gerektiğini vurgulamak yerinde olur (Kanji, 1993).



Multinomial dağılan bir anakütlenin k kategorisinin H 0 hipotezi altında beklenen olasılıkları

k,...,,

21, gözlenen frekansları ise fff

k,...,,

21olsun. Olabilirlik fonksiyonu

k

ik i

fiL

121

),...,,( (2)

n

eH

i

i

0

0: i=1,2,..,k ve

n

fi

i olmak üzere olabilirlik oranı

k

ik

k

i

i

f

L

LT

i

121

00

2

0

1

ˆˆˆˆ

0

,...,,

,...,,

(3)

Ģeklindedir. -2lnT rastlantı değiĢkeninin olasılık dağılımı yaklaĢık olarak k-1 serbestlik dereceli

bir ki-kare dağılımıdır. Bazı istatistikçiler uyum iyiliğini belirlemek için olabilirlik oranı

istatistiği

nT

ffG

i

i

k

ii

lnln2ln20

1

2

(4)

tercih etmektedir. (4) ile (1)'in asimptotik olarak özdeĢ olduğunun ispatı için Gibbons&

Chakraborti (2003,s105-107) 'ye göz atılabilir. Agresti(2002) , H 0'ın yanlıĢ olması halinde ise

2

ile G2 nin n'deki artıĢa paralel olarak büyüdükleri ve büyük n değerleri için bile birbirine

benzer değerlere sahip olmayabileceklerini belirtmektedir. Agresti, k sabitken ve n artarken 2

'nin dağılımının G2'nin dağılımına oranla daha hızlı bir Ģekilde ki-kare dağılımına yakınsadığını

ve n/k<5 için G2

'nin bir ki-kare dağılımı ile temsil edilmesinin uygun olmadığını

vurgulamaktadır. Örnek büyüklüğünün bu istatistiklere etkisi için Agresti(2002, s395-396)'ya

baĢvurulabilir.



1.3. Kolmogorov-Smirnov Ġki Örneklem Testi

)()(:0

xx GFH nn , )()(: xx GFH nnA

ve test istatistiği de

)()( xxD GFMaks nnX

(5)

Sürekli dağılımların birbirine uygunluğu için kullanılan bu testin kritik değerleri özel tablolar

yardımı ile elde edilmektedir (Freund & Williams, 1966). Örnek büyüklüğünün küçük olması

halinde Kolmogorov-Smirnov testi , ki-kare testine tercih edilmektedir (Conover, 1999).

1.4. Bhattacharya Sapması

Olasılık fonksiyonları f ve g olan iki dağılım arasındaki Bhattacharya sapması

dxxgxfDB )()(.. cos

1 (6)

olarak tanımlanmıĢtır (Everitt, 2006). Ġki dağılım özdeĢ olduğunda bu ölçü 0'a eĢit olmaktadır.

1.5 Hellinger Sapması

dxxgxf

)()(. (7)

olsun. f ve g arasındaki Hellinger sapması )1(2 Ģeklinde hesaplanmaktadır.

1.6. Cramér-Von Mises Ölçüsü

)(0 0

2

)()( xn

U dFxFxF

(8)

Örnek değerleri xxx n,...,,

21küçükten büyüğe sıralandığında ( )(

0xF sürekli ise)



n

nxF

nnn 1

2

2

2

2

121

12

1

(9)

istatistiği elde edilebilir. Burada , x değerinden küçük ya da ona eĢit olan örnekteki birim

sayısı ve n

xF n

)( olur. Yine

nE

6

1)(

2 ve

n

nVar

3

2

180

34)(

oldukları

gösterilebilir. Örnekleme dağılımı )(0

xF 'dan bağımsız olan 2

'nin dağılım yasası Smirnov

tarafından incelenmiĢtir.Smirnov n için 2

n 'nın n'den bağımsız olarak belirli bir limit

dağılıma sahip olduğunu göstermiĢtir (Cramér (1999), s451).

1.7 Freeman-Tukey Ġstatistiği (T)

k

ieoo iii

T1

2

141 (12)

Ģeklindedir. Burada k, kategori sayısı, s modeldeki parametre sayısı, oii .kategoriden gelen

gözlem sayısı, ei , H 0

hipotezinde varsayılan modelden hareketle i. kategori için beklenen

gözlem sayısıdır. Bu durumda T istatistiği, asimptotik olarak k-s-1 serbestlik dereceli bir ki-kare

dağılımına uymaktadır (Everitt, 2006). Upton&Cook( 2005), (12 ) no'lu denklemin sol tarafını

T2ile ifade ediyorlar. Denklemin sağ tarafı ise (12)'de ifade edildiği gibidir. T

2istatistiğinin

H 0 doğru olduğunda yaklaĢık olarak k-s serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına uyduğunu

belirtiyorlar. Tanımlardaki bu farklılıkları belirtmek gerekiyor.

2. Entropi

Boltzman'a göre bir fiziksel sistemin entropisi , sistemdeki düzensizliğin (disorder) bir ölçüsüdür

( Rényi, 2007a). Bir istatistiksel deneyin entropisi , deneyin sonucu ile ilgili belirsizlik miktarının

bir ölçüsü olarak da kabul edilebilir (Renyi, 2007b). Entropi kavramının diğer bazı uygulama

alanları için Evren(2010) incelenebilir.



2.1 Kesikli Hallerde Entropi

Kesikli bir örnek uzayı S içinde X rastlantı değiĢkeninin xxx n,...,,

21değerlerini alma olasılıkları

sırası ile pppn

,...,,21

olsun.

ppi

n

ii

H log1

(13)

Ģeklinde tanımlanan Shannon entropisi bir istatistiksel deneyin belirsizliğinin bir ölçüsüdür. X‟in

entropisi , X sonucunu ortaya koyabilmek için gerekli olan minimum ortalama bit sayısı olarak

da görülebilir (Garcia, 1994). Örnek uzayı S içerisinde en büyük entropi, bütün

elemanter xiX i=1,2,…,n olaylarının Ģanslarının eĢit olması halinde karĢımıza çıkar.

UlaĢılabilecek maksimum entropi )log(nH maks olur. Öte yandan xk

X (k=1,2,...,n) için )

kesin olaysa H=0 olur. Dolayısıyla kesikli bir olasılık dağılımı için entropi 0 ile log(n) arasında

değer alır.

2.2. Sürekli Dağılımlar için Entropi

Sürekli değiĢken X‟in entropisi (diferansiyel entropi)

dxxfxfXH )())(log()(

(14)

Ģeklinde olur (Reza, 1994).

2.3. Kullback-Leibler enformasyonu ve göreli entropi

Göreli entropi )( qpD iki olasılık dağılımı arasındaki sapmanın bir ölçüsüdür. Kesikli

dağılımlar için Kullback-Leibler sapması (ya da göreli entropi)

xKL xq

xpxpqpD

)(

)(log)()( (15)



olarak tanımlanmıĢtır. Bu konunun daha ayrıntılı ele alınıĢı için Pardo ( 2006)'ya bakılabilir.

Sürekli haller için de bu sapma benzer Ģekilde tanımlanabilir. (15) ile (4) arasındaki paralellik

incelendiğinde Kullback-Leibler sapmasının dağılımının ki-kare dağılımı ile incelenebileceği

düĢünülebilir. Kullback-Leibler sapması metrik olmanın tüm koĢullarını sağlamamaktadır:

)()( pqqp DD KLKL (16)

2.4. Kullback-Leibler Sapmasının Simetrik Bir Versiyonu: Jeffrey Sapması

)()()( pqqpJ DDqpD KL

KL

(17)

biçimindedir (Everitt, 2006). Jeffrey sapması da metrik değildir ( Kullback, 1997).

3. Uyum Ġyiliği için “Power Divergence” Ġstatistiği

ni, i. gruba düĢen gözlem sayısı ,

ide bu gruba düĢmesi öngörülen gözlem sayısı olsun. Bu

durumda Cressie&Read tarafından önerilen sapma istatistiği( power divergence statistic)

1)1(

2...

i

iSDP

nni

(18)

biçimindedir. Burada sözgelimi 1 için 2

, için G2

, 2

1 için Freeman-Tukey

istatistiği, 1 için Kullback'ın minimum ayırıcı bilgi istatistiği türetilmektedir

(Agresti(2002),s112).



Uygulama

Tablo1: Uygulamadaki Kuramsal ve Görgül Dağılımlar (Snedecor&Cochran(1969) 'dan alınmıĢtır.)

Gruplar Gözlenen sıklık (oi) Beklenen sıklık (ei) Gruplar Gözlenen sıklık (oi) Beklenen sıklık (ei)

A 1 0.2 G 36 41

B 1 2 H 25 23.4

C 8 8.8 Ġ 16 8.8

D 25 23.4 J 4 2

E 39 41 K 0 0.2

F 45 49.2 Toplam 200 200

Tablo 2:Tablo 1‟deki veri içinUyum Ġyiliği Ġstatistikleri

Ki-Kare G-Kare Kolmogorov- Smirnov

Bhattacharya Hellinger Cramer-Von Mises

Freeman-Tukey

Kullback-Leibler

Jeffrey's

10.3 18.96 0.05 0.11 0.11 0 8.88 1.71 3.95

Tablo 3: Ġkinci Sıklık Dağılımı (Gözlenen ve Beklenen Sıklıklar)


A 40 0.2 G 36 41

B 32 2 H 25 23.4

C 18 8.8 Ġ 4 8.8

D 22 23.4 J 4 2

E 16 41 K 0 0.2

F 3 49.2 Toplam 200 200

Tablo 4: Tablo 3‟deki veri için Uyum Ġyiliği Ġstatistikleri

Ki-Kare G-Kare Kolmogorov-

Smirnov

Bhattacharya Hellinger Cramer-Von

Mises

Freeman-

Tukey

Kullback-

Leibler

Jeffrey's

570.64 39830.67 0.4 0.68 0.67 0.04 341.55 75.6 199.52



Tablo 5: Uyumun Çok Ġyi Olduğu Üçüncü Veri Setinin Gözlenen ve Beklenen Sıklıkları


A 0 0.2 G 42 41

B 2 2 H 22 23.4

C 9 8.8 Ġ 9 8.8

D 24 23.4 J 1 2

E 41 41 K 0 0.2

F 50 49.2 Toplam 200 200

Tablo 6: Tablo 5 ile Ġlgili Uyum Ġyiliği Ġstatistikleri

Ki-Kare G-Kare Kolmogorov-

Smirnov

Bhattacharya Hellinger Cramer-Von

Mises

Freeman-

Tukey

Kullback-

Leibler

Jeffrey's

1.56 2.26 0.01 0.05 0.05 4.9002E-05 0.78 0.02 0.36

SONUÇ

Genel olarak bütün istatistikler uyum iyiliği arttığında küçük sapma , uyum iyiliği

azaldığında büyük sapma değerleri vermektedir. Bununla birlikte sapmaların büyüklüklerinin

birbirlerinden bariz bir biçimde farklı olabildikleri gözlenmektedir. Bunun sebebinin

kullanılan ölçeklerin (logaritmik değerlerin, kareli değerlerin kullanılması gibi) farklı

olmasından kaynaklandığı düĢünülebilir. Göreli entropi, Jeffrey sapması, Freeman-Tukey, ki-

kare, olabilirlik oranı gibi istatistiklerin dağılım özellikleri literatürde incelenmiĢ

bulunduğundan , Hellinger sapması, Bhattacharya sapması gibi ölçülere oranla

avantajlıdırlar. Bütün bunlarla birlikte sürekli bir dağılımın kesikli hale getirilmesi halinde

farklı gruplandırma yöntemlerinin bu ölçüleri nasıl etkileyeceği de incelenmelidir.

KAYNAKLAR

AGRESTI, A.(2002), Categorical Data Analysis, Wiley Interscience (Second Edition), Hoboken,

New Jersey, s 24

CRAMER ,H.(1999), Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press,

Nineteenth Printing and First Paper Printing 1999, s416-419

CONOVER, W.J.(1999), Practical Nonparametric Statistics, Wiley Series in Probability and

Statistics, Third Edition, s 430

COVER, T.M.; THOMAS, J.A.(2006) Elements of Information Theory, Wiley Interscience

(Second Edition), Hoboken, New Jersey, s45



DASGUPTA, A.(2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer Texts in

Statistics, s20-21

EVERITT,B.S.( 2006); The Cambridge Dictionary of Statistics , Cambridge University Press

(Third Edition), Cambridge

EVREN, A.(2010), Entropinin Ġstatistik’teki Bazı Uygulamaları, II. Ulusal

Konya Ereğli Kemal Akman Meslek Yüksek Okulu Tebliğ Günleri, 13-14 Mayıs 2010

FREUND, J.E., WILLIAMS, F.J.(1966), Dictionary/Outline of Basic Statistics, Dover

Publications, NY

GARCIA, A.L.(1994), Probability and Random Processes for Electrical Engineering, Addison-

Wesley Longman (Second Edition), s169

GIBBONS, J.D., CHAKRABORTI, S. (2003), Nonparametric Statistical Inference, Statistics: A

Dekker Series of Textbooks and Monographs (Fourth Edition, Revised and Expanded),Marcel

Dekker Inc. ,s105-107

KANJI, G.(1993), 100 Statistical Tests, Sage Publications, reprinted 1995, s12

KULLBACK, S.(1996) , Information Theory and Statistics, Dover Publications, NY ,s6

PARDO, L.(2006), Statistical Inference Based on Divergence Measures,

Chapman&HALL/CRC, s1-34

RENYI, A(2007a), Probability Theory, Dover Publications, NY, s 554

RENYI, A.(2007b), Foundations of Probability, Dover Publications,NY, s23

REZA,F.M.(1994) ; An Introduction to Information Theory, Dover Publications, NY, s268

SNEDECOR, G.W., COCHRAN, W.G.(1969), Statistical Methods, The Iowa State University

Press, Sixth Edition (Third Printing), s16

UPTON, G.; COOK, I. (2006); Oxford Dictionary of Statistics, Oxford University Press (Second

edition), NY



L-SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ KULLANILARAK YIĞIN ORTALAMASININ

TAHMĠN EDĠLMESĠ

Nilay AKINCI* Yaprak Arzu ÖZDEMĠR

**

ÖZET

L-sıralı küme örneklemesi (LSKÖ), yığın ortalamasını tahmin etmek için önerilen sıralı küme

örneklemesi (SKÖ) tasarımlarından biridir. 2007‟de Al-Saleh tarafından önerilen LSKÖ ile,

özellikle veride bulunan uç değerlerden etkilenmeyen ve simetrik dağılımlar altında yansız bir

tahmin edicinin elde edilmesi mümkündür. Bu çalıĢmada, LSKÖ tasarımı ile elde edilen yığın

ortalamasına iliĢkin tahmin edicinin, çeĢitli dağılımlar ve farklı örnek çapları altında, bilinen

SKÖ tasarımından elde edilen tahmin ediciye göre etkinliği simülasyon çalıĢması ile

incelenmiĢtir.Ayrıca önerilen diğer SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicilerin de, SKÖ‟

ye göre etkinlikleri elde edilerek, LSKÖ tasarımının hangi dağılımlar altında daha etkin olduğu

saptanmaya çalıĢılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: L-tahmin edici, Sıralı Küme Örneklemesi, Medyan Sıralı Küme

Örneklemesi, Uç Sıralı Küme Örneklemesi, Yüzde Sıralı Küme Örneklemesi, Göreli Etkinlik

ESTIMATION OF POPULATION MEAN BY USING L RANKED SET SAMPLING

ABSTRACT

L-ranked set sampling (LRSS) is one of the ranked set sampling designs to estimate the

population mean. LRSS was proposed by Al-Saleh in 2007. It is seen that, especially when the

data contains outliers, it is possible to obtain an estimator using LRSS which is not affected by

outliers and unbiased in symmetric distributions. In this study, the efficiency of the population

mean estimators obtained by LRSS according to the ranked set sampling (RSS) is investigated

using simulation studies at various distributions and different sample sizes. Also, the relative

efficiencies of estimators obtained by other proposed RSS designs are calculated according to

classical RSS design and determined the distributions where LRSS design is more effective.

Keywords:L-estimator, Ranked set sampling, Percentile ranked set sampling, Extreme ranked

set sampling, Median ranked set sampling, Relative efficiency

*Öğrenci, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06 Ankara, [email protected]

** Yrd. Doç. Dr, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara,

[email protected](HaberleĢme Adresi)





1.GĠRĠġ

Sıralı Küme Örneklemesi (SKÖ), Basit Tesadüfi Örneklemeye (BTÖ) alternatif olarak 1952

yılında McIntyre tarafından önerilmiĢtir. SKÖ, özellikle ilgilenilen değiĢken kolay ölçülebilir

olmadığı zaman, fakat birimleri ilgilenilen değiĢken bakımından sıralamak daha kolay olduğunda

kullanılır. Bu sıralama görsel yolla veya bazı ucuz ölçüm metotları kullanılarak yapılabilir.

SKÖ ile örnek seçiminde öncelikle ilgili yığından seçilen 2n çaplı tesadüfî bir örnek, her biri n

çaplı n kümeye tamamen tesadüfî olarak paylaĢtırılır. Böylece birbirinden bağımsız n çaplı n tane

küme elde edilmiĢ olur. Her bir kümedeki elemanlar kendi içinde sıralanarak, kümelerin

birincisinden ilk sıradaki birim, ikincisinden ikinci sıradaki birim ve bu Ģekilde devam edilerek n.

kümeden n. sıradaki birim seçilir. SKÖ altında yığın ortalaması ‟nün yansız tahmin edicisi

,1

1 n

SKÖ i i ni

X Xn

(1)

Ģeklinde tanımlanır. Burada, :i i nX n büyüklüğündeki i. kümenin i. sıra istatistiğini ifade

etmektedir. Sıra istatistikleri bu örnekleme tasarımı altında birbirinden bağımsızdır.SKÖ

X , örnek

çapı n aynı kalmak üzere, yığın dağılımı ne olursa olsun BTÖ‟den elde edilen tahmin ediciden

daha etkin bir tahmin edicidir. Ancak yığının dağılımı biliniyorken, tahmin edicinin etkinliğini

artırmak amacıyla bilinen SKÖ ile örnek seçimi yerine farklı örnek seçimleri önerilmiĢtir.

Samawi ve diğerleri özellikle tekdüze dağılımın yığın ortalamasını tahmin etmek üzere uç

(extreme) SKÖ (USKÖ)‟ni önermiĢlerdir (Samawi ve diğ., 1996). USKÖ‟ de örnek seçimi n‟ in

çift ya da tek olmasına göre değiĢir.n çift ise; kendi içinde sıralanan n birimlik ilk (n/2) kümeden

1. sıradaki birim, kalan (n/2) kümeden ise n. sıradaki birim seçilir. n tek ise; kendi içinde

sıralanan n birimlik ilk ( 1) / 2n kümeden 1. sıradaki birim, ( 1/ 2n ). kümeden medyan değeri,

son ( 1) / 2n kümeden ise n. sıradaki birim seçilir. Örneğe çıkan birimler istenilen hassalıktaki

bir ölçümle ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı uç sıralı küme örneği elde edilir.

Bu tasarım özellikle tekdüze ve tek modlu olmayan simetrik dağılımlar altında SKÖ‟den daha

etkin sonuçlar vermektedir.

Muttlak, normal ve üstel dağılımlar için yığın ortalamasını tahmin etmek üzere medyan SKÖ

(MSKÖ)‟ni önermiĢtir (Muttlak,1998). MSKÖ tasarımında örnek seçimi n‟ in çift ya da tek

olmasına göre değiĢir.n çift ise; kendi içinde sıralanan n birimlik ilk (n/2) kümeden (n/2).

sıradaki birimler ve kalan (n/2) kümeden ((n/2)+1). sıradaki birimler seçilir. n tek ise; kendi

içinde sıralanan birimlerden medyan değerleri örneğe seçilir. Örneğe çıkan birimler istenilen

hassalıktaki bir ölçümle ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı medyan sıralı küme

örneği elde edilir.MSKÖ ile özellikle tek modlu simetrik dağılımlar altında SKÖ‟den daha etkin



sonuçlar elde edilmektedir. Muttlak ayrıca yüzde (percentile) SKÖ (YSKÖ)‟ni önermiĢtir

(Muttlak, 2003). Bu tasarımda öncelikle 0 1p ve q=1-p olmak üzere bir p değeri belirlenir ve

örnek seçim iĢleminde n çift ise ilk n/2 örneğin (p(n+1))‟inci sıradaki birimleri ve ikinci n/2

örneğin (q(n+1))‟inci sıradaki birimleri örneğe seçilir. n tek ise ilk (n–1)/2 örneğin (p(n+1))‟inci

sıradaki birimleri, son (n–1)/2 örneğin (q(n+1))‟inci sıradaki birimleri ve kalan örneğin medyanı

örneğe seçilir. YSKÖ yığın dağılımı simetrik olduğunda yığın ortalaması için yansız bir tahmin

edici vermektedir.Ayrıca belirlenen yığın dağılımı altında p değerine bağlı olarak SKÖ‟ ye göre

etkinliği değiĢmektedir.Bunun dıĢında yeni SKÖ, tesadüfî seçime dayalı yeni SKÖ, ağırlıklı SKÖ

ve L-SKÖ gibi tasarımlar da önerilmiĢtir (Bhoj, 2000; Li ve ark., 1999; Muttlak ve Abu-Dayyeh,

2004; Al-Nasser, 2007).Ayrıca son yıllarda, örnek seçim iĢleminin çok aĢamalı olarak

gerçekleĢtiği SKÖ tasarımları da önerilmiĢtir. Çift SKÖ, çok aĢamalı SKÖ, çok aĢamalı çeyrek

SKÖ bu tasarımlara örnek olarak verilebilir (Al-Saleh ve Al-Kadiri, 1999; Al-Saleh ve Al-Omari,

2002; Jemain ve Al-Omari,2007).

Bu çalıĢmada, Al-Nasser tarafından önerilen LSKÖ tasarımı tanıtılacaktır.Bu tasarım ile yığın

ortalaması için özellikle verideki uç değerlerden etkilenmeyen ve simetrik dağılımlar altında

yansız bir tahmin edicinin elde edilmesi mümkündür. LSKÖ nün SKÖ‟ ye göre etkinliğini

detaylı olarak incelemek amacıyla, çeĢitli dağılımlar ve örnek çapları altında yığın ortalamasına

iliĢkin tahmin edicinin ortalama hata kare(OHK) ve göreli etkinlik(GE) değeri simülasyon

yoluyla elde edilmiĢtir. Ayrıca diğer SKÖ tasarımlarından MSKÖ, USKÖ ve YSKÖ ile etkinlik

bakımından karĢılaĢtırma yapılarak LSKÖ nün hangi dağılımlar altında daha etkin olduğu

belirlenmeye çalıĢılmıĢtır.

2. L SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ ĠLE ÖRNEK SEÇĠMĠ VE YIĞIN

ORTALAMASININ TAHMĠNĠ

LSKÖ tasarımında örnek seçim iĢlemi aĢağıdaki adımlar izlenerek yapılır.

1) Her biri n büyüklüğünde, tesadüfî n örnek seçilir.

2) Görsel yolla veya ucuz metotlarla, ilgilenilen değiĢken göz önüne alınarak birimler sıralanır.

Bu sıralamanın hassas ölçümlü sıralama kadar iyi olduğu varsayılmaktadır.

3) 0 0.5 olmak koĢuluyla .k n LSKÖ katsayısı seçilir. Burada k, .n ‟ya eĢit veya .n

‟dan küçük olan tamsayı değerlerinin en büyüğünü ifade etmektedir.

4) Ġlk (k+1) küme için (k+1). sıradaki birimler, son (k+1) küme için (n-k). sıradaki birimler ve

j=k+2,...,n-k-1. küme için ise j. sıradaki birim seçilir.



5) Örneğe çıkan birimler SKÖ tasarımında olduğu gibi istenilen hassalıktaki bir ölçümle

ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı L-sıralı küme örneği elde edilir. Tablo 1 ve 2‟

de sırasıyla n=5 ve n=6 iken k=1 için seçilen LSKÖ örnekleri gösterilmektedir.

Tablo 1. n=5 ve k=1 için LSKÖ tasarımı ile örneğe seçilen birimler

Tablo 2. n=6 ve k=1 için LSKÖ tasarımı ile örneğe seçilen birimler

X1[1,6] X1[2,6] X1[3,6] X1[4,6] X1[5,6] X1[6,6]

X2[1,6] X2[2,6] X2[3,6] X2[4,6] X2[5,6] X2[6,6]

X3[1,6] X3[2,6] X3[3,6] X3[4,6] X3[5,6] X3[6,6]

X4[1,6] X4[2,6] X4[3,6] X4[4,6] X4[5,6] X4[6,6]

X5[1,6] X5[2,6] X5[3,6] X5[4,6] X5[5,6] X5[6,6]

X6[1,6] X6[2,6] X6[3,6] X6[4,6] X6[5,6] X6[6,6]

LSKÖ ile seçilen örnekten, yığın ortalamasının tahmin edicisi aĢağıdaki gibi tanımlanır.

1: : :1 1 1

1 k n k n

LSKÖ i k n i i n i n k ni i l i n k

X X X Xn

X1[1,5] X1[2,5] X1[3,5] X1[4,5] X1[5,5]

X2[1,5] X2[2,5] X2[3,5] X2[4,5] X2[5,5]

X3[1,5] X3[2,5] X3[3,5] X3[4,5] X3[5,5]

X4[1,5] X4[2,5] X4[3,5] X4[4,5] X4[5,5]

X5[1,5] X5[2,5] X5[3,5] X5[4,5] X5[5,5]



LSKÖX , simetrik dağılımlar altında yığın ortalamasının yansız bir tahmin edicisidir. Ancak

simetrik olmayan dağılımlar altında yanlı bir tahmin edici olduğundan LSKÖ

X ‟nün OHK‟si

2

( )LSKÖ LSKÖ LSKÖ

OHK X Var X E X

Ģeklinde tanımlanır.

3. SĠMÜLASYON ÇALIġMASI

Bu bölümde, USKÖ, MSKÖ, YSKÖ ve LSKÖ tasarımlarının SKÖ‟ye göre GE değerleri

simülasyon yoluyla incelenecektir. YSKÖ için p‟nin 0.20 ve 0.40 değerleri incelenmiĢtir. Ayrıca,

simetrik dağılımlardan Normal(0,1), Laplace(0,0.5) ve Tekdüze(0,1) dağılım ile simetrik

olmayan dağılımlardan Beta(2,9), Beta(9,2), Üstel(1) ve Log-normal(0,1) dağılımları ele

alınmıĢtır. Dağılımlar belirlenirken basıklık ve çarpıklık katsayıları dikkate alınmıĢtır. Matlab

paket programı kullanılarak, her bir tasarım için n=3,4,5,6,10 ve 11 çaplı örnekler seçilerek,

tahmin edicinin beklenen değeri, OHK‟ si ve SKÖ‟ ye göre GE değerleri 100000 tekrarlı

simülasyon çalıĢması ile hesaplanmıĢtır. GE değeri,

*

( )

( )

SKÖ

SKÖ

Var XGE

OHK X

Ģeklinde tanımlanmaktadır. Burada *( )SKÖ

OHK X , diğer SKÖ tasarımlarından (USKÖ, MSKÖ,

YSKÖ, LSKÖ) elde edilen tahmin edicinin OHK değerini ifade etmektedir. Elde edilen sonuçlar

Tablo 3-9 arasında verilmektedir. Ayrıca, LSKÖ‟ de n=3,4 için k=2, n=3,4,5,6 için k=3 değerini

alması mümkün olmadığından tablolarda ilgili kısımlar boĢ bırakılmıĢtır.



Tablo 3. Normal(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin

sapma ve GE değeri

Tablo 4. Tekdüze(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin

sapma ve GE değeri

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11

SAPMA GE SAPMA GE SAPMA GE SAPMA GE SAPMA GE SAPMA GE

USKÖ 0,00 1,00 0,00 1,24 0,00 1,21 0,00 1,56 0,00 2,18 0,00 1,97

MSKÖ 0,00 0,83 0,00 0,82 0,00 0,78 0,00 0,78 0,00 0,72 0,00 0,72

LSKÖ(k=1) 0,00 0,84 0,00 0,83 0,00 0,87 0,00 0,89 0,00 0,93 0,00 0,94

LSKÖ(k=2) - - - - 0,00 0,78 0,00 0,78 0,00 0,84 0,00 0,87

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,00 0,77 0,00 0,79

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,00 0,00 1,24 0,00 1,21 0,00 1,56 0,00 1,21 0,00 1,22

YSKÖ(p=0,40) 0,00 0,84 0,00 0,82 0,00 0,86 0,00 0,78 0,00 0,78 0,00 0,74

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,00 0,00 0,86 0,00 0,87 0,00 0,76 0,00 0,60 0,00 0,61

MSKÖ 0,00 1,16 0,00 1,18 0,00 1,27 0,00 1,28 0,00 1,37 0,00 1,42

LSKÖ(k=1) 0,00 1,16 0,00 1,17 0,00 1,18 0,00 1,17 0,00 1,14 0,00 1,15

LSKÖ(k=2) - - - - 0,00 1,28 0,00 1,26 0,00 1,24 0,00 1,24

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,00 1,32 0,00 1,33

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,00 0,00 0,86 0,00 0,87 0,00 0,75 0,00 0,97 0,00 0,97

YSKÖ(p=0,40) 0,00 1,16 0,00 1,18 0,00 1,19 0,00 1,28 0,00 1,31 0,00 1,38



Tablo 5. Laplace (0,0.5) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin

sapma ve GE değeri

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,01 0,00 0,69 0,00 0,69 0,00 0,52 0,00 0,36 0,00 0,36

MSKÖ 0,00 1,83 0,00 1,91 0,00 2,45 0,00 2,55 0,00 3,44 0,00 3,74

LSKÖ(k=1) 0,00 1,82 0,00 1,90 0,00 1,82 0,00 1,76 0,00 1,57 0,00 1,53

LSKÖ(k=2) - - - - 0,00 2,41 0,00 2,55 0,00 2,16 0,00 2,10

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,00 2,86 0,00 2,75

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,00 0,00 0,68 0,00 0,69 0,00 0,52 0,00 1,02 0,00 0,99

YSKÖ(p=0,40) 0,00 1,82 0,00 1,90 0,00 1,83 0,00 2,54 0,00 2,74 0,00 3,40

Tablo 6.Üstel(1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma

ve GE değeri

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,00 0,16 0,63 0,15 0,61 0,31 0,31 0,51 0,09 0,48 0,08

MSKÖ 0,17 1,35 0,17 1,29 0,21 1,03 0,22 0,88 0,25 0,39 0,26 0,32

LSKÖ(k=1) 0,17 1,35 0,17 1,29 0,15 1,20 0,13 1,15 0,09 1,07 0,08 1,07

LSKÖ(k=2) - - - - 0,22 1,02 0,22 0,88 0,16 0,71 0,15 0,69

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,22 0,48 0,21 0,46

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,00 0,17 0,62 0,15 0,61 0,31 0,31 0,07 0,87 0,07 0,83

YSKÖ(p=0,40) 0,17 1,35 0,17 1,29 0,15 1,19 0,22 0,88 0,21 0,51 0,25 0,35



Tablo 7. Beta(2,9) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma

ve GE değeri

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,00 0,01 0,81 0,01 0,80 0,02 0,53 0,03 0,19 0,03 0,18

MSKÖ 0,01 1,11 0,01 1,10 0,01 1,03 0,01 0,96 0,02 0,60 0,02 0,52

LSKÖ(k=1) 0,01 1,12 0,01 1,11 0,01 1,07 0,01 1,05 0,01 1,02 0,00 1,01

LSKÖ(k=2) - - - - 0,01 1,02 0,01 0,96 0,01 0,86 0,01 0,85

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,01 0,69 0,01 0,67

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,00 0,01 0,81 0,01 0,80 0,02 0,53 0,00 0,88 0,00 0,87

YSKÖ(p=0,40) 0,01 1,11 0,01 1,09 0,01 1,07 0,01 0,96 0,01 0,72 0,02 0,56

Tablo 8.Beta(9,2) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma

ve GE değeri

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,00 0,01 0,80 0,01 0,80 0,02 0,53 0,03 0,19 0,03 0,18

MSKÖ 0,01 1,12 0,01 1,10 0,01 1,03 0,01 0,96 0,02 0,61 0,02 0,52

LSKÖ(k=1) 0,01 1,12 0,01 1,09 0,01 1,07 0,01 1,06 0,01 1,03 0,00 1,01

LSKÖ(k=2) - - - - 0,01 1,03 0,01 0,96 0,01 0,86 0,01 0,84

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,01 0,70 0,01 0,67

YSKÖ(p=0,20) 0,00 1,01 0,01 0,80 0,01 0,80 0,02 0,53 0,00 0,89 0,00 0,86

YSKÖ(p=0,40) 0,01 1,11 0,01 1,10 0,01 1,07 0,01 0,96 0,01 0,72 0,02 0,56



Tablo 9. Log-normal(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin

sapma ve GE değeri

Tablo 3-9 incelendiğinde, sapma değerleri bakımından USKÖ, MSKÖ, YSKÖ ve LSKÖ

tasarımlarından elde edilen X tahmin edicisinin simetrik dağılımlar altında sapmasız iken,

simetrik olmayan dağılımlar altında sapmalı olduğu görülmektedir.

Tablo 3-9 dan görüldüğü gibi, incelenen simetrik tek modlu dağılımlarda GE değeri en yüksek

olan tasarım MSKÖ tasarımıdır. YSKÖ (p=0.40) ve LSKÖ (k=1) tasarımları da en az MSKÖ

tasarımı kadar etkindir. Simetrik tek modlu dağılımlar altında LSKÖ tasarımında k arttıkça

etkinlik artmaktadır. Bu çalıĢmada incelenen simetrik tek modlu dağılımlar altında MSKÖ

tasarımının en yüksek GE değerine sahip olduğu dağılım Laplace (0,0.5) dağılımdır. Laplace

(0,0.5) dağılımı incelenen simetrik tek modlu dağılımlar içinde basıklık katsayısı en yüksek olan

dağılımdır. Simetrik tek modlu olmayan Tekdüze(0,1) dağılımında ise en etkili tasarım USKÖ‟

dür.

Simetrik olmayan dağılımlar altında ise, en etkili tasarımın LSKÖ(k=1) tasarımı olduğu

görülmektedir. Simetrik olmayan dağılımlar altında LSKÖ tasarımında k arttıkça etkinlik

azalmaktadır. Ayrıca n=3,4 ve 5 değerleri için YSKÖ (p=0.40) ve MSKÖ tasarımlarının da etkin

olduğu söylenebilir. Bu çalıĢmada incelenen simetrik olmayan dağılımlar altında LSKÖ(k=1)

Örnek çapı

Tasarımlar

n=3 n=4 n=5 n=6 n=10 n=11


USKÖ 0,00 1,01 0,39 0,52 0,36 0,49 0,74 0,27 1,29 0,09 1,22 0,09

MSKÖ 0,40 2,57 0,40 2,33 0,49 1,71 0,50 1,48 0,56 0,67 0,58 0,56

LSKÖ(k=1) 0,39 2,59 0,40 2,35 0,36 2,03 0,33 1,99 0,24 1,75 0,23 1,72

LSKÖ(k=2) - - - - 0,50 1,71 0,49 1,49 0,40 1,15 0,38 1,12

LSKÖ(k=3) - - - - - - - - 0,50 0,81 0,48 0,77

YSKÖ(p=0,20) 0,00 0,99 0,40 0,51 0,37 0,49 0,74 0,27 0,07 1,72 0,08 1,63

YSKÖ(p=0,40) 0,40 2,59 0,40 2,34 0,37 2,01 0,49 1,49 0,49 0,85 0,55 0,61



tasarımının en yüksek GE değerine sahip olduğu dağılım Log-normal(0,1) dağılımdır. Log-

normal(0,1) dağılımı incelenen simetrik olmayan dağılımlar içinde basıklık katsayısı en yüksek

olan dağılımlardır. Dolayısıyla basıklık katsayısının GE değerini etkilediği ve basıklık katsayısı

yüksek olan dağılımlarda etkinliğin arttığı söylenebilir.

Simetrik olmayan dağılımlardan Beta(9,2) ve Beta(2,9) dağılımları sırasıyla sağa ve sola çarpık

dağılımlar olduğundan basıklık katsayıları aynı, çarpıklık katsayıları ise mutlak değerce

birbirinin aynısıdır. GE değerlerine bakıldığında ise sonuçların birbirine çok yakın olduğu

görülmektedir. Buradan da dağılımın çarpıklığının GE değeri üzerinde etkili olmadığı

söylenebilir.

Sonuç olarak, LSKÖ tasarımı özellikle simetrik olmayan dağılımlar altında, sapmalı bir tahmin

edici vermesine rağmen örnek çapı arttıkça SKÖ‟ ye göre daha etkin bir tahmin edici elde

edilmesine imkan vermektedir. Ayrıca simetrik tek modlu dağılımlar altında k arttıkça, simetrik

olmayan dağılımlarda ise k azaldıkça GE artmaktadır.

KAYNAKLAR

Al-Nasser, A. D. (2007). “L-Ranked Set Sampling: A generalization procedure for robust visual

sampling” . Communications in Statistics-Simulation and computation 36, 33–43.

Al-Saleh, M. F., and Al Kadiri, M. A:(2000). “Double ranked set sampling”, Statistics &

Probability Letters, 48: 205-212.

Al-Saleh M. F. and Al-Omari, A.I. (2002) “Multistage ranked set sampling”, Journal of

Statistical Planning And Inference, 102: 273-286.

Bhoj, D.S. (2000) “New ranked set sampling for one-parameter family of distributions”,

Biometrical Journal, 42:647-658.

Jemain, A. A. and Al-Omari A. I. (2007) “Multisatge quartile ranked set samples”, Pak.

J.Statist., 23(1): 11-22 .

Li, D., Sinha, B.K. and Perron,F. (1999). “Random selection in ranked set sampling and its

applications”, Journal of Statistical Planning and Inference,76:185-201.

Mclntyre, G.A. (1952). “A metod of unbiased selective sampling using ranked sets”. Australian

Journal of Agricultural Research,3. 385–390.



Muttlak,H.A. (1997). “Median ranked set sampling.”. Applied Statistical Science, 6(4), 245–255.

Muttlak, H.A. (2003). “Modified ranked set sampling”. Pakistan Journal of Statistics

19.3(4):315–323.

Muttlak,H. A., and Abu-Dayyeh,W. (2004). “Weighted modified ranked set sampling methods”,

Applied Mathematics and Computation, 151: 645-657.

Samawi, H. , Abu-Dayyeh, W.,Ahmed,M. S. (1996). “Estimating the population mean using

extreme ranked set sampling”. Biometrical Journal 38: 577–586.



ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN TAHMĠN EDĠCĠLERĠ VE GÜVEN

ARALIKLARI

Ümit YAMAN Yunus AKDOĞAN** Ahmet PEKGÖR*** CoĢkun KUġ****

ÖZET

Bu çalıĢmada, rasgele ve karma etkili modellerde ölçüm yeterlilik parametrelerinin tahmin

edicileri ve güven aralıkları Selçuk Stat programına monte edilmiĢtir. Ayrıca Selçuk Stat

yazılımının çıktıları, Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in sonuçları ile karĢılaĢtırılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: Güven aralıkları, ölçüm yeterlilik parametreleri, tekraredilebilirlik,

tekrarüretilebilirlik, varyans analizi modelleri.

ESTIMATORS AND CONFIDENCE INTERVALS FOR MEASUREMENT

CAPABILITY PARAMETERS

ABSTRACT

In this study, the estimators and confidence intervals of measurement capability parameters are

assembled to Selçuk Stat software under random and mixed effects models. Also outputs of

Selçuk Stat are compared with results of Dolezal, Burdick and Birch (1998).

Keywords: Analysis of variance models, confidence interval, measurement capability

parameters, repeatability, reproducibility.

GĠRĠġ

Ölçüm değiĢkenliğinin tespit edilmesi ürün ve süreç değiĢkenliğini doğru bir biçimde

gözlemlemek için gereklidir. Tekraredilebilirlik, operatörlerin ürünleri tekrar tekrar ölçtüğünde

hemen hemen aynı değerde ölçebilme kabiliyetini, Terkrarüretilebilirlik, operatörlerin birbiriyle

uyum kabiliyetini göstermek üzere Tekraredilebilirlik ve Terkrarüretilebilirlik

(Repeatability&Reproducibility, R&R) diğer bir deyiĢle ölçüm (Gauge, gage) analizi, ölçüm

prosedürünün yeterli olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Ölçüm prosedürü ile ilgili

değiĢim kaynakları, varyans analizi (Analysis of Variance, ANOVA) kullanılarak tespit

edilebilir. R&R analizinde genel olarak kullanılan ANOVA modeli, operatör ve parça olmak

üzere iki faktörden(etken) oluĢur. R&R analizinden önce operatörler ürünleri tekrar tekrar

ölçerler. Genellikle operatörler, operatörler kitlesinden rasgele seçildiği varsayıldığından

ANOVA modelindeki faktörler rasgele faktör (random effect) olarak ele alınır. Ne var ki süreç

*Öğrenci, Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]

** ArĢ.Gör., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, , 42031 Konya, [email protected]

***Öğr.Gör.Dr, Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]

****Doç.Dr., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]



çıktısı ürünleri ölçen operatörler özel seçimli (fix) faktör de olabilir. Örneğin bir fabrikadaki

üretilen parçaları ölçmek için önceden istihdam edilmiĢ üç operatöründe ölçüm yapması

durumunda operatör faktörü özel seçimli olarak ele alınmalıdır.

Ölçüm prosesinin yeterli olup olmadığını tespit etmek için Tekraredilebilirlik ve

Terkrarüretilebilirlik dıĢında kullanılan parametrelerden bazıları PTR(Precision-to-Tolerance

Ratio), (Burdick, Borror ve Montgomery, 2003), SNR(Signal-to-Noise Ratio), (AIAG, 1995,

Sayfa 32) ve DR(Discriminant Ratio), (Mader ve ark, 1999 ve Wheeler, 1992) olarak

sıralanabilir.

Minitab 15 ve NCSS 2007 yazılımları, R&R analizini uygulayabilmektedirler. Minitab 15, R&R

analizi için operatörlerin ve parçaların rasgele faktör olarak ele alındığı ANOVA modelini

kullanılmasına karĢın operatörlerin sabit olarak ele alınması durumunda karma model

kullanılması için bir seçenek bulunmamaktadır. Minitab 15 yazılımı, ölçüm değiĢkenlik

parametrelerinin tahmin değerlerini verirken, güven aralıklarını vermemektedir. Ayrıca yukarıda

bahsedilen PTR, SNR ve DR parametrelerinin güven aralıkları Minitab 15 yazılımında

hesaplanmamaktadır. NCSS 2007 yazılımında yukarıda bahsedilen güven aralıkları

verilmektedir.

Bu çalıĢmada, ölçüm sistemleri analizinde kullanılan ölçüm yeterlilik parametreleri ve bu

parametrelerin tahmin edicileri ve güven aralıkları tanıtılmıĢtır. Ayrıca Selçuk Stat paket

programına bu tahmin ediciler ve güven aralıkları eklenmiĢ olup Minitab 15 ve NCSS 2007

Yazılımlarına karĢı üstünlükleri tartıĢılmıĢtır.

ÖLÇÜM SĠSTEMLERĠ ANALĠZĠ

Tekraredilebilirlik ve Tekrarüretilebilirlik (Repeatability &Reproducibility, R&R) diğer bir

deyiĢle ölçüm (Gauge, gage) analizi ölçüm prosedürünün yeterliliğini belirlemek için kullanılır.

Tekraredilebilirlik, ölçüm aletinden kaynaklanan değiĢimi, tekrarüretilebilirlik, operatörlerin

ölçme yönteminden kaynaklanan değiĢimi temsil eder. Ölçüm prosedürü ile ilgili değiĢim

kaynaklarını elde etmek için iki yöntem kullanılır: Bunlardan ilki, uygun varyans bileĢenlerinin

tahmin değerinin kullanılmasıyla ANOVA yaklaĢımı, diğeri de ölçüm değiĢkenliğinin

bileĢenlerinin standart sapmalarının tahmin için geniĢlik metoduna dayalı çizelge algoritmadır.

Bu çalıĢmada, ANOVA yöntemi ele alınacaktır. R&R analizinde genel olarak kullanılan

ANOVA modeli, operatör ve parça olmak üzere iki faktörden oluĢur. Genellikle operatörler,

operatörler kitlesinden rasgele seçildiği varsayıldığından ANOVA modelinde rasgele faktör

(random effect) olarak ele alınır. Operatörler özel seçimli faktör olabilir. Örneğin bir fabrikadaki

üretilen parçaları ölçmek için önceden istihdam edilmiĢ üç operatöründe ölçüm yapması

durumunda operatör faktörü özel seçimli olarak düĢünülmelidir. Bu durumda ölçüm sistemleri

çalıĢmasında karma (mixed effect) model ele alınmalıdır. P , parça faktörü, O , operatör faktörü,

PO , etkileĢim faktörü ve hata terimi olmak üzere R&R analizi için ANOVA modeli

, , ijk i j ijkijY P O PO i = 1,2,... p, j = 1,2,...,o k = 1,2,...,r (1)



Ģeklinde verilir. Burada p , parça sayısı, o , operatör sayısı ve r , tekrar sayısıdır. Operatör

faktörünün rasgele veya özel seçimli olduğu durumlara göre (1) modeli rasgele etkili model veya

karma etkili model adını almaktadır.

Tablo 1 ve Tablo 2 de Rasgele ve Karma model için ANOVA tabloları verilmiĢtir.

Tablo 1. Rasgele etkili ANOVA modeli için ANOVA Tablosu

DeğiĢim Kaynağı Serbestlik D. H.K.0. Beklenen Kareler Ort. F Ġstatist.

Parça P 1p 2

PS 2 2 2

P PO Pr or /P POP KT KTF =

Operatör O 1o 2

OS 2 2 2

O PO Or pr /O POO KT KTF =

ParçaOp.

P O

1 1p o 2

POS 2 2

PO POr /PO EPO KT KTF =

Tekraredilebilirlik 1po r 2

ES 2

E

Tablo 2. Karma Etkili ANOVA modeli için ANOVA Tablosu

DeğiĢim Kaynağı Serbestlik D. H.K.0. Beklenen Kareler Ort. F Ġstatist.

Parça P 1p 2

PS 2 2 2

P P PO E= or +r + /P POP KT KTF =

Operatör O 1o 2

OS 2 21=

o2

O j PO

j=1

pr O +r +o -1

/O POO KT KTF =

ParçaOp.

P O

1 1p o 2

POS 2 2= + PO POr /PO EPO KT KTF =

Tekraredilebilirlik 1po r 2

ES 2

E

Ölçüm sistemleri analizi ile ilgili ayrıntılı bilgi için (AIAG, 1995, 2002), Horrell (1991) ve

Croarkin (2002) kaynaklarına bakılabilir.

BAZI ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠ VE TAHMĠN EDĠCĠLERĠ

Ölçüm R&R analizinin (Gauge R&R) amacı, ölçüm sisteminin değiĢkenliğinin ölçülen parçanın

değiĢkenliğine göre daha az olup olamadığını belirlemektir. Literatürde ölçüm sistemleri

çalıĢmasında adı geçen birçok parametre ve bu parametrelerin fonksiyonlarından elde edilmiĢ

parametreler vardır. Bu parametreler süreç ve ölçüm sistemi değiĢkenliği hakkında bilgi

vermektedir.

Rasgele etkili ANOVA modeli kullanılarak yapılan R&R analizinde tekraredilebilirlik ve

tekrarüretilebilirlik, sırasıyla,

2

1 ve 2 2

2 O PO

Ģeklinde tanımlanır. Bu durumda toplam ölçüm

2 2 2

1 2M O PO



ve toplam süreç varyansı 2 2 2 2

T P M P O PO biçiminde tanımlanır. Karma

ANOVA modeli ele alındığında yukarıdaki verilen tanımlarda 2

O yerine 21

1

o

j

j=1

Oo

alınmalıdır.PTR(Precision-to-Tolerance Ratio) parametresi,

%100MkPTR

USL LSL

Ģeklinde tanımlanır. Burada USL , üst spefikasyon limiti, LSL , alt spefikasyon limitidir. Ayrıca

5.15k veya 6k olarak alınır. Selçuk Stat 5.15k değerini ele almaktadır. Bu değerler

normal dağılım için sırasıyla kitlenin en az %99 unu barındıran %95 lik tolerans aralığı sınırları

arasındaki mesafe ve doğal tolerans aralığı arasındaki mesafedir. PTR parametresinin

yorumlanmasında faklı görüĢler vardır. Montgomery ve Runger (1993a) ölçüm sisteminin yeterli

olduğunu söyleyebilmek için PTR parametresinin %10 dan az olması gerektiğini

vurgulamıĢlardır. Bu öneri, AIAG Ölçüm Sistemleri Analizi El Kitabı (1995, sayfa 60) nın

önerisi ile tutarlıdır. Mader, Prins ve Lambe (1999), Wheeler ve Lyday (1989) ı referans vererek

PTR parametresi %20 den fazla olduğu durumda ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu ileri

sürmüĢlerdir. Son olarak Barrentine (1991, sayfa 10) PTR parametresi %30 dan fazla olduğu

durumda ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu söylemiĢtir. Bazı özel durumlarda Montgomery and

Runger (1993a) ve Mader (1999) PTR parametresinin ölçüm yeterliliği konusunda iyi bir katsayı

olamayacağını vurgulamıĢlardır. Örneğin yüksek yeterliliğe sahip teknoloji, ölçüm sisteminden

kaynaklanan değiĢkenliği tolere edebilir.

Parça hatasının, toplam ölçüm varyansına oranı 2 /P M Ģeklinde tanımlanır. Ölçüm

prosedürünün yeterliliği hakkında bilgi vermesi bakımından R&R analizinde parametresinin

önemli bir yeri vardır. Parça hatasının, toplam süreç hatasına oranı /P P T Ģeklinde

tanımlanır. Toplam ölçüm hatasının, toplam süreç hatasına oranı / 1M M T P Ģeklinde

tanımlanır.

Toplam ölçüm hatasının toplam süreç hatasına göre oranı %10 dan küçükse ölçüm sistemi yeterli

%10 ile %30 arasında ise Ģartlı yeterli %30 dan büyükse ölçüm sistemi tekrar gözden

geçirilmelidir (Kavi ve Elevli, 2008).

(AIAG, 1995, sayfa:32) SNR (Signal-to-Noise Ratio) parametresini veya P parametresine

dayalı olarak

2 / 1 2P PSNR

Ģeklinde tanımlamıĢtır. AIAG (1995) ölçüm sisteminin yeterli olduğunu söyleyebilmek için SNR

parametresinin 5 den çok olması gerektiğini söylemiĢtir. Bu parametre kategorilerin farklı

seviyelerinin sayısı(the number of distinct levels of categories) olarak da adlandırılır. Not etmek

gerekir ki AIAG (1990) ölçüm sisteminin yeterli olduğunu söyleyebilmek için SNR

parametresinin 3 den çok olması gerektiğini söylemiĢtir (Dolezal, Burdick, Birch, 1998). Ayrıca

burada not etmelidir ki SNR = olarak tanımlanmıĢtır.Minitab SNR yi 2 ve NCSS 2007

SNR yi olarak ele almaktadır.



Bir baĢka parametre Mader, Prins ve Lampe (1999) ve Wheeler (1992) tarafından önerilen

ayırma oranıdır (Discriminant Ratio) ve 1 / 1P PDR Ģeklinde tanımlanır. Mader,

Prins ve Lampe (1999), bu oranın dörtten büyük olmasının, ölçüm sisteminin yeterli olduğunu

iĢaret ettiğini ileri sürmüĢlerdir. Burada bahsedilen parametrelerin dıĢındaki parametreler için

Vardeman ve VanValkenburg (1999), van den Heuvel ve Trip (2002) ve Larsen (2002) e

bakılabilir.

ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN GÜVEN ARALIKLARI

Montgomery ve Runger (1993b), Conors, Merrill ve O‟Donnell (1995), Burdick ve Larsen

(1997), Vardeman ve VanValkenburg (1999), Hamada ve Weerahandi (2000) ve Chiang (2001),

ölçüm R&R analizinde güven aralıklarının önemini vurgulamıĢlarıdır. SNR parametresinin

tahmin değerinin 7 olması, parametrenin gerçek değerinin 7 olması anlamına gelmez. Bu

durumda, SNR parametresinin 5 den büyük olması ölçüm sisteminin yeterli olduğunu göstermesi

göz önüne alındığında SNR parametresinin tahmin değerinin(7) 5 den büyük olduğundan

güvenle ölçüm sistemi yeterlidir denilebilir mi? ĠĢte tam bu noktada güven aralığı kavramı önemi

ortaya çıkmaktadır. SNR parametresinin %95 lik güven aralığının alt sınırı 5 den büyük

olduğunda %95 güven seviyesinde ölçüm sistemi yeterli denilebilir.

Selçuk Stat‟da P M ve

2SNR katsayıları ve güven aralıklarının kodları Leiva ve Graybill

(1986) nın metoduna dayalı Chiang (2002) nin sonuçlarına göre yazılmıĢtır. Ġlgili güven aralıkları

için Burdick, Borror ve Montgomery (2003) sayfa 346-346‟ye bakılabilir. Selçuk Stat yazılımı

rasgele model durumunda 1 2, , , , , , , 1,P O M T SNR PTR parametrelerinin güven

aralıkları için Burdick ve Larsen (1997) in sonuçlarını kullanmaktadır. Yine rasgele modelde

,M P ve 2SNR parametrelerinin güven aralıkları için Chiang (2002) in sonuçlarını

kullanmaktadır. Karma model durumunda ise 1 2, , , , , , , 1P O M T SNR parametrelerinin

güven aralıkları için Dolezal, Burdick, Birch (1998) in sonuçlarını kullanmaktadır. AĢağıda

Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in kullandığı verilere dayalı kareler ortalamalarının

girilmesiyle elde edilen ölçüm yeterlilik analizi verilmiĢtir. Burada veri bölgesi kısmına gerçek

ölçümler girilmemiĢtir. ġekil 1 de Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 daki kareler

ortalamaları girilmiĢtir ve operatör ve parça rasgele faktör olarak ele alınmıĢtır. Verilerin orijinal

haline ulaĢılamadığından analiz kareler ortalamaları girilerek yapılmıĢtır.

ġekil 1. Selçuk Stat Ölçüm Yeterlilik Analizi Ara Yüzeyi

Selçuk Stat Program çıktısı ġekil 2 de verilmiĢtir. Varyans Analiz Tablosunda, Kareler Toplamı

(K.T.) sütunu ham verilerin yerine “1” yazılmasından dolayı “0” yazılmıĢtır. Varyans BileĢenleri

Tablosunda, tekraredilebilirlik, tekrarüretilebilirlik ve toplam ölçüm varyansı, operatör varyansı,



parça varyansı ve toplam süreç varyansı parametrelerinin tahmini ve %95 lik güven aralıkları

verilmiĢtir. Ölçüm yeterlilik parametreleri kısmında ise SNR, PTR ve DR parametrelerinin

tahmini ve %95 lik güven aralıkları verilmiĢtir. Burada M ve

P nin tahmin ve güven aralıkların

verilmesinin sebebi SNR1, SNR2 ve DR tahmin ve güven aralıklarının bu değerlere bağlı

olmasıdır. SNR1 tahmin değeri 1.861 iken %95 lik güven aralığı 0.475 ile 2.940 arasıdır. SNR1

değerinin 5‟den az olması, ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu gösterdiği göz önüne alındığında

SNR1 in tahminin 1.861 olması ilk bakıĢta ölçüm sisteminin yeterli olmadığını göstermektedir.

Diğer taraftan % 95 lik güven aralığının tüm değerleri 5‟den küçük olduğundan ölçüm sisteminin

yeterli olmadığı %95 güven ile söylenebilir. PTR alt ve üst tolerans değerleri girilmediğinden

ġekil 2‟ de verilen çıktıda yer almamıĢtır.

ġekil 2. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) Sayfa 166 da Verilen Kareler Ortalamaları için Selçuk

Stat Çıktısı

Tablo 3. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in Verdiği Parametre ve Ġlgili Güven Aralıkları

Ölçüm varyansları Rasgele model güven aralığı

2

O (0.011, 1.831)

1 (0.012, 1.837)

2 (0.089, 1.912)

(0.113, 4.323)

Tablo 3, Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟nin sayfa 167‟de verdiği parametre ve güven

aralıklarını göstermektedir. Tablo 3‟teki sonuçlar ile ġekil 2‟de verilen Selçuk Stat çıktısı ile

tutarlı olduğu gözükmektedir.



Karma Model Durumu

AĢağıda Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟in kullandığı verilere dayalı kareler ortalamalarının

girilmesiyle elde edilen ölçüm yeterlilik analizi verilmiĢtir. Burada veri bölgesi kısmına gerçek

ölçümler girilmemiĢtir. ġekil 3 de Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 daki kareler

ortalamaları (Bkz. Makalede Tablo 3‟teki kareler ortalamaları) girilmiĢtir ve operatör özel

seçimli ve parça rasgele seçimli faktör olarak ele alınmıĢtır.

Tablo 4. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in verdiği parametre ve ilgili güven aralıkları

Ölçüm varyansları Karma model güven aralığı

2

O (0.027, 0.086)

1 (0.027, 0.097)

2 (0.103, 0.175)

(0.861, 4.058)

Tablo 4, Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟nin sayfa 167‟de verdiği parametre ve güven

aralıklarını göstermektedir. Tablo 4‟teki değerler ile ġekil 3‟teki Selçuk Stat çıktısı ile tutarlı

olduğu gözükmektedir.

ġekil 3. Selçuk Stat Ölçüm Yeterlilik Analizi Ara Yüzeyi

ġekil 4. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 da verilen kareler ortalamaları için Selçuk

Stat Çıktısı



Yukarıda yapılan yorumlar burada da aynı Ģekilde yapılacağından yorum yapılmamıĢtır. Burada

vurgulanması gereken husus, Selçuk Stat‟da operatör faktörünün özel seçimli olması durumuyla

ilgili analiz yapılabilmesine karĢın, Minitab 15 ve NCSS 2007 de operatör faktörünün özel

seçimli olması durumuyla ilgili analiz yapılamamasıdır.

SONUÇ

Bu çalıĢmada, Minitab 15 ve NCSS 2007 yazılımlarında analizi yapılan Ölçüm R&R analizi,

literatürde son çıkan makalelere göre geliĢtirilerek Selçuk Stat yazılımına monte edilmiĢtir.

Selçuk Stat Analiz sonuçları Minitab 15, NCSS 2007 ve ilgili makalelerdeki sonuçlar

karĢılaĢtırılmıĢ ve Selçuk Stat analiz sonuçlarının doğruluğu kontrol edilmiĢtir. Minitab 15

sadece parametrelerin tahmin değerlerini verirken, Selçuk Stat, NCSS 2007 gibi ölçüm yeterlilik

parametrelerinin güven aralıklarını da vermektedir. Ayrıca, Minitab 15 yazılımı, operatör

faktörünün rasgele olması durumunu ele alırken, Selçuk Stat Operatör faktörünün özel seçimli

olması durumunu da ele almaktadır. Bu vesile ile Selçuk Stat yazılımı, ölçüm sistemleri

analizinde Minitab 15 ve NCSS 2007 ile yarıĢacak düzeye getirilmiĢtir.

KAYNAKLAR

Automotive Industry Action Group, (1995), Measurement Systems Analysis, 2nd cd. Detrait, MI.

Automotive Industry Action Group, (2002), Measurement Systems Analysis, 3rd cd. Detrait, MI.

BARRENTINE, L.B., (1991), Concepts for R&R Studies. ASQC Quality Prcss, Milwaukee, WI.

BURDICK, R.K., BORROR, C.M., MONTGOMERY, D.C., (2003), A Review of Methods for

Measurement Systems Capability Analysis, Journal of Quality Technology, 35, 342-354.

BURDICK, R.K., LARSEN, G.A., (1997), Confidence Intervals on Measures of Variability in

R&R Studies,Journal of Quality Technology, 29, 261-273.

CHIANG, A.K.L., (2001), A simple General Method for Constructing Confidence Intervals for

Functions of Variance Components, Technometrics 43, 356-367.

CHIANG, A.K.L., (2002), Improved Confidence Intervals for a Ratio in an R&R Study,

Communications in Statistics Simulation ve Computation, 31, 329-344.

CROARKIN, C., Editor (2002), Gauge R&R Studies, Section 2.4 of the Beta Version of the Nist

/Sematech Engineering Statistics Internet Handbook, Located at

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/

CONORS, M., MERRILL, K., O‟DONNELL, B., (1995), A Comprehensive Approach to

Measurement System Evaluation, ASA Proceedings of the Section on Physical and Engineering

Sciences, 136-138.

DOLEZAL, K.K., BURDICK, R.K., BIRCH, N.J. (1998), Analysis of a Two-Factor R&R Study

With Fixed Operators,Journal of Quality Technology, 30, 163-170.



HAMADA, M., WEERAHANDI, S., (2000), Measurement System Assessment Via Generalized

Inference, Journal of Quality Technology 32, 241-253.

HORRELL, K., (1991), Introduction to Measurement Capability Analysis, SEMATECH Report

91090709A-ENG.

KAVI U., ELEVLI S., (2008), Art-Craft Sofra Camı Üretim ĠĢletmesinde Ölçüm Sistem Analizi

Uygulaması, VII. Ulusal Ölçümbilim Kongresi

LARSEN, G., (2002), Measurement System Analysis, The Usual Metrics can be Noninformative,

Quality Engineering 15, 293 298.

LEIVA, R.A., GRAYBILL., F.A., (1986), Confidence Intervals for Variance Components in the

Balanced Two-Way Model with Interaction, Communications in Statistics Simulation and

Compulation 15, 301-322.

MADER, D.P., PRINS, J., LAMPE, R.E., (1999), The Economic Inpact of Measurement Error,

Quality Engineering 11, 563-574.

MONTGOMERY, D.C., VE RENGER, G.C., (1993a), Gauge Capability and Designed

Experiments Part f: Basic Methods, Quality Engineering 6, 115-135.

MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C., (1993b), Gauge Capability Analysis and Designed

Experiment, Part II. Experimental Desing Models and Variance Component Estimation, Quality

Engincering 6, 289-305.

VAN DEN HEUVEL , E.R., Trip., A., (2002), Evaluation of Measurement Systems with a

Small Number of Observers, Quality Engincering 15, 323-331.

VANDERMAN, S.B., VAN VALKENBURG, E.S., (1999), Two Way Random-Effects Analysis

via Gauge R&R Studies, Technometrics 41, 202-211.

WHEELER, D.J., (1992), Problems with Gauge R&R Studies, ASQC Quality Congress

Transactions, 179-185.

WHEELER, D.J., LYDAY, R.W., (1989), Evaluating the Measurement Process. SPC Press,

Knoxville, TN.

ONDOKUZ MAYIS ÜNĠVERSĠTESĠ TIP FAKÜLTESĠ BEYĠN CERRAHĠSĠ

POLĠKLĠNĠĞĠNDE SĠMÜLASYON YARDIMIYLA HASTA BEKLEME SÜRESĠNĠN

AZALTILMASI



Faruk ALPASLAN* Özge CAĞCAĞ

** Erol EĞRĠOĞLU

***

ÖZET

Son yıllarda sağlık sektöründe simülasyon uygulamaları ile ilgili çalıĢmalarda artıĢ

görülmektedir. Simülasyon yardımıyla, hastane yatak kapasitesi araĢtırmaları, hasta bekleme

sürelerinin azaltılması, hastane personel sayısı belirlenmesi, cerrahi malzeme dağıtım süreçleri

optimizasyonu gibi problemler çözümlenmektedir. Bu çalıĢmada Ondokuz Mayıs Üniversitesi

Tıp Fakültesi Beyin Cerrahisi Bölümünün simülasyonu gerçekleĢtirilerek, resmi muayene doktor

sayısının artırılması ve poliklinik çalıĢma saatinin artırılması ile hasta bekleme sürelerinin

azaltılması hedeflenmiĢtir. Doktor sayısı ve çalıĢma saatleri üzerine çeĢitli senaryolar üretilerek

simülasyon sonuçları elde edilmiĢ ve sonuçlar çeĢitli istatistiksel analizler ile değerlendirilmiĢtir.

Anahtar Kelimeler: Benzetim, Kuyruk modeli, Varyans Analizi

OPTIMIZATION OF PATIENT WAITING TIME IN ONDOKUZ MAYIS UNIVERSITY

DEPARTMENT OF BRAIN SURGERY BY SIMULATION

ABSTRACT

In recent years, there has been an extensive amount of simulation applied to the healthcare sector.

The many problems such as planning and management of bed capacities, decreasing of patient

waiting time, determine of personal number, distribution of surgical instruments processing can

be solvable by simulation. In this study, Ondokuz Mayis University department of brain surgery

is simulated for optimize patient waiting time. In the simulation processing, we increase number

of assistant doctorsand working time. We create various scenarios for number of doctors and

working time then we obtain results of simulation. Finally, the results of simulation have been

evaluated with some statistical analysis methods.

Keywords: Simulation, queuing model, analysis of variance.

_____________________

* Prof.Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]

** ArĢ.Gör., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]

*** Doç.Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]

GĠRĠġ

Hizmet sektörü değiĢen dünya Ģartlarına ayak uydurmak için günden güne geliĢme

göstermektedir. Bu geliĢim beraberinde planlama ve yönetim alanlarında çeĢitli problemleri






ortaya çıkarmaktadır. Oteller de, market, restoran,fabrika ve hastanelerde verilen hizmetler için

geliĢtirilen yöntemler artık literatürde üzerinde çalıĢılan konular arasında yer almaktadır.Bu

sektörler arsından üzerinde en fazla çalıĢma yapılan sağlık sektörüdür. Sağlık sektörü üzerinde

hızlı değiĢmelerin yaĢandığı bir sektördür. Sağlık sektöründe üzerine birçok çalıĢma yapılmıĢ ve

yayınlanmıĢtır. Bu çalıĢmalarda çeĢitli yöntemler kullanılmıĢtır. Ġlk benzetim uygulamaları

hastane sistemlerinde modeller oluĢturarak kullanılmıĢtır. Peter ve Thompson (1965)

çalıĢmasında Grace-New Haven Community hastanesinin simülayonunu yaparak, hastane yatak

ve diğer kaynakların kullanım oranlarını belirlemiĢ ve alternatifler üretmek suretiyle hastanenin

yönetim politikalarını oluĢturmaya çalıĢmıĢlardır. Smith ve Solomon (1966) hastane kullanım

oranını artırmak için Lexington U.S. Public Health Service hastanesinde hasta geliĢ oranlarının

inceleyerek hastaların aylık geliĢ oranlarından elde ettiği istatistiksel dağılıĢlardan yararlanarak

yönetim politikaları geliĢtirmeye çalıĢmıĢlardır. Dean (1974) insan kaynakları yönetimiyle

ilgilenerek benzetim metodunu kullanarak çalıĢanların, meslek grupları ve becerilerine göre

planlamasını ve hasta bekleme süresini kısaltmayı amaçlamıĢtır. Baesler ve Sepulveda (2001)

yaptıkları benzetim çalıĢmasında kanser tedavi merkezinde sistemle ilgili dört farklı hedef

belirlemiĢ ve kontrol değiĢkenlerinin en uygununu bulan modeli geliĢtirmiĢlerdir. Bu dört hedef

için oluĢturulan çözüm seçenekleri karĢılaĢtırılmıĢ ve %18 - %25 düzeyinde bir iyileĢme

sağlandığını ortaya koymuĢlardır. Çetinkaya vd. (2004) çalıĢmasında ise bir hastanenin

polikliniğinde, iĢ süreçleri yeniden tasarlanarak veznenin kullanımını arttırmak için vezne ile

randevu süreçleri birleĢtirilmiĢtir. Ve bu sayede hastanın sistemde kalma süresi azaltılmıĢ ve

doktorların hastaları beklerken kaybettikleri boĢa zamanda minimize edilmiĢtir. Kumari (2005)

benzetimin hastanede insan kaynaklarının kullanımının optimizasyonu ve cerrahi malzemelerin

hastane içinde dağıtım sürecinin daha verimli hale getirilmesine yardımcı olacağını ve diğer

benzer süreçler içinde kullanılabileceğini uyguladığı benzetim modeli ile belirtmiĢtir. Çin‟de

nüfusun fazla olması bazı hastanelerde uzun süreli bekleme kuyruklarını oluĢmasına neden

olduğu sorunu ortaya konmuĢtur. Bunun için Su ve Yao (2006) da var olan bu kuyrukları

azaltmak için benzetim modelini kullanarak bir hastanın hastaneye giriĢiyle baĢlayan iĢ akıĢını ve

iĢlem sürelerini analiz ederek, bu süreçleri yeniden tasarlayıp farklı yaklaĢımlarla

karĢılaĢtırmıĢlardır. Ve elde edilen sonuçlarda ortalama kayıt süresi 17.24 dakikadan 3.15

dakikaya indirilerek optimum kayıt süresi elde edilmiĢtir. Ontario da Ciprıono vd. (2007)

çalıĢmasında diz kalça ve protez ameliyatları için hastaların bekleme sürelerinin 6 aydan fazla

olduğu ve bu bekleme sürenin hastaları ameliyat sonrası iyileĢmelerini olumsuz etkilediği ortaya

konmuĢtur. ÇalıĢmada değiĢken olarak bölgeden gelen hasta oranları ve cerrah sayıları

belirlenmiĢtir. Cerrah sayıları %12 arttırıldığında 10 yıl içerisinde bekleme süresini azalacağı, bu

azalıĢla beraber her bir bölgedeki cerrahların daha etkin dağıtımı ile bekleme süresinin daha da

azalacağı saptanmıĢtır. VanBerkel ve Blake (2007) Kanada Nova Scota‟da Halifax Hastanesi

Cerrahi Kliniğinde benzetim modeli kullanılarak ve hasta bekleme sürelerinin analizi yapılarak

bölüm performansının yanı sıra yeni kapasite planları geliĢtirilmiĢtir. Oddoye vd. (2007)

çalıĢmasında simülasyon modelleri ile bir tıbbi değerlendirme ünitesinin sağlık planını

belirlemek için çalıĢma yapılmıĢtır. Bu tıbbi değerlendirme ünitesi gereksiz hasta giriĢlerini



engellemek, hızlı değerlendirme ve hastalara verilen tedavinin kalitesini artırmak için

kurulmuĢtur.

ONDOKUZ MAYIS ÜNĠVERSĠTESĠ TIP FAKÜLTESĠ BEYĠN CERRAHĠSĠ

BÖLÜMÜNÜN SĠMÜLASYONU

Doktorların tedavi sırasında harcadığı zaman ile hastaların sisteme geldikleri ve tedavi için

bekledikleri zamanın elde edilmesi için Beyin cerrahisi bölümü 30 gün gözlenip bilgi

toplanmıĢtır. Toplanan bilgilere görehastaların geliĢleri aĢağıda Tablo 1‟de verildiği gibi görgül

dağılımlıdır.

Tablo 1. GeliĢler arası sürenin dağılımı

Alt

sınır

Üst

sınır

Birikimli

frekans

2,00 6,42 0,61

6,42 10,85 0,77

10,85 15,28 0,87

15,28 19,71 0,90

19,71 24,14 0,96

24,14 28,57 0,97

28,57 33,00 1

Sisteme gelen hastalar sekreterliğe giriĢini yaptırdıktan sonra sistemde muayene olmak için

beklemeye baĢlamaktadırlar. Sistemde 6 tane özel doktor ve 1 tane asistan doktor görev

yapmaktadır. Hastalar duruma göre özel yada resmi muayeneyi tercih etmektedirler. Sisteme

gelen hastaların %30-u özel muayeneyi %70 ise resmi muayeneyi tercih etmektedirler. Ve bu

hastalardan özel muayeneyi tercih edenler %30 oranında 1. Özel doktora ,%30 oranında 2. Özel

doktora ve %10 oranında ise diğer 4 doktora muayene olmaktadırlar. Sistemin 30 günlük

incelenmesi sonucunda özel doktorlarının tümü için muayene süresinin 15.02 ortalama ve 5.81

standart sapma ile normal dağıldığı, asistan doktorun muayene süresinin ise 10.8 ortalama ve

4.45 standart sapma ile normal dağılım gösterdiği sonucuna ulaĢılmıĢtır. Beyin Cerrahisi

Bölümünde özel veya resmi muayeneyi bekleyen hastalar ayrı olarak kuyruk oluĢturmaktadır.

Eğer hasta özel muayeneyi tercih etmiĢse, muayene olmak istediği doktorun sırasında

kuyruğagirmektedir. Eğer hasta resmi muayeneyi seçtiyse, asistan doktorun sırasında kuyruğa

girmektedir. Beyin Cerrahisi Bölümündeki görevli doktorların bir gün içindeki toplam çalıĢma

süreleri 6 saat ile sınırlıdır. Beyin cerrahisi bölümünün genel iĢleyiĢi ġekil 1 de verilmiĢtir.



ġekil 1. Beyin Cerrahisi Servisi AkıĢ Diyagramı

SĠMÜLASYON SONUÇLARININ ĠSTATĠSTĠKSEL ANALĠZĠ

Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, hastaların sistemde ortalama

bekleme sürerli arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. F-testi

sonucunda p<0.001 olmaktadır. Beyin cerrahisi bölümündeki asistan doktor sayısının

artırılmasının sistemde ortalama bekleme süresinin düĢürdüğü sonucuna varılmaktadır. Çoklu

karĢılaĢtırma için Tamhane testi kullanıldığında sistemde 1 asistan, 2 asistan ve 3 asistan doktor

olması durumunda hastaların bekleme süresinin anlamlı bir Ģekilde farklılaĢtığı görülmektedir.

Beyin cerrahisi bölümünde 1 asistan doktor varken hastaların ortalama bekleme süresi 40 dakika

civarında iken, bu süre 2 asistan olduğunda 13 dakikaya ve 3 asistan olması durumunda ise 12

dakikaya düĢmektedir.

Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, hastaların kuyrukta ortalama

bekleme sürerli arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. F-testi

sonucunda p<0,001 olmaktadır. Beyin cerrahisi bölümündeki asistan doktor sayısının

artırılmasının kuyrukta ortalama bekleme süresinin düĢürdüğü sonucuna varılmaktadır. Çoklu

karĢılaĢtırma için Tamhane testi kullanıldığında sistemde 1 asistan, 2 asistan ve 3 asistan doktor

olması durumunda hastaların bekleme süresinin anlamlı bir Ģekilde farklılaĢtığı görülmektedir. 1

asistan doktor varken hastaların kuyrukta ortalama bekleme süresi 28 dakika civarında iken, bu

süre 2 asistan olduğunda 1,5 dakikaya ve 3 asistan olması durumunda ise 0,4 dakikaya

düĢmektedir.

Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, birinci asistanın ortalama boĢ kalma

süreleri arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. P<0.001

olduğundan sistemdeki asistan sayısını artırmanın ilk asistanın boĢ kalma süresi üzerinde olumlu

etki yaptığı söylenebilir. Sistemde 1 asistan doktor var iken ortalama boĢ kalma süresi 54,62



dakika iken, sistemde 2 asistan doktor bulunduğunda bu süre 164,93 dakikaya çıkmıĢtır. 3 asistan

doktorlu sistemde ise birinci asistanın ortalama boĢ kalma süresi 173,65 dakikadır. Tamhane

çoklu karĢılaĢtırma testine göre 1. senaryonun farklı durumlarında ortalama boĢ kalma süreleri

arasında önemli fark bulunmuĢtur.

Sistemin çalıĢma süresinin 360 dakikadan, 420, 480, 540 dakikaya artırılması ile beyin cerrahisi

bölümüne gelen hasta sayılarında fark olup olmadığı bir yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir.

F testi sonucunda p<0.001 olduğundan çalıĢma sürelerinin değiĢmesi hasta sayısında anlamlı bir

artıĢa neden olduğu söylenebilir. Levene Testi sonucunda grup varyansları farklı olduğundan

Tamhane testine göre çoklu karĢılaĢtırmalar yapılmıĢtır. Sonuç olarak tüm gruplardaki hasta

sayısının farklı olduğu görülmüĢtür. ÇalıĢma süresi 360 dakika olduğunda ortalama 46 hastaya

hizmet verilirken, bu süre 420‟ye çıktığında 53 hastaya, 480 dakika olduğunda 60 hastaya ve son

olarak süre 540 dakikaya çıkarıldığında 68 hastaya hizmet verilmektedir.

Sistemin çalıĢma süresinin 360 dakikadan, 420, 480, 540 dakikaya artırılması ile beyin cerrahisi

bölümündeki 1. Asistan doktorun boĢ kalma süreleri arasında fark olup olmadığı bir yönlü

varyans analizi ile test edilmiĢtir. P<0.001 olduğundan birinci asistanın boĢ kalma süresinin

sistemin çalıĢma süresinin artıĢı ile birlikte anlamlı bir Ģekilde arttığı söylenebilir.

SONUÇLAR

Ondokuz Mayıs Üniversitesi Tıp Fakültesi Beyin Cerrahisi polikliniğinde hastaların sistemde

ortalama bekleme süresi 35,92 dakika, kuyrukta ortalama bekleme süresi ise 23,92 dakikadır. Bu

sürelerin azaltılması hem hastalara verilen hizmetin kalitesini artıracak hem de hastanenin daha

fazla kar elde etmesini sağlayacaktır. Bu çalıĢmada mevut sistemdeki asistan doktor sayısı

artırıldığında sistemde ve kuyrukta bekleme sürelerinde anlamlı farklılıklar olduğu istatistiksel

analizler sonucunda bulunmuĢtur. Ayrıca asistan doktorların sayısı artırıldığında birinci asistanın

boĢ kalma süresinde de anlamlı bir farklılık meydana gelmiĢtir. Polikliniğin çalıĢma süresi

artırıldığında poliklinikte hizmet verilen hasta sayısında anlamlı bir artıĢ olacağı da görülmüĢtür.

Beyin Cerrahisi bölümünden alınan bilgilere göre bir hastanın ortalama maliyeti 122 TL

olmaktadır. Ayrıca bir asistan doktorun günlük ücreti ise 70 TL dir. Buna göre sistemde bir

asistan fazla çalıĢtırmanın maliyeti günlük 70 TL olacaktır. Bir asistan fazla çalıĢtırıldığında

sistemdeki ortalama bekleme süresi % 63 oranında azalacağından hizmet verilecek hasta

sayısının da en az %50 oranında artacağı düĢünülebilir. Sisteme ortalama 46 hastaya hizmet

verilir iken 69 hastaya hizmet verilebilecektir. Bu durumda günlük 2806-70=2736 TL kar

edilecektir. Benzer hesaplara göre sistemde 3 asistan olduğunda ise günlük 2666 TL kar

edilecektir. Bu durumda hem kar hem de bekleme süreleri bakımından 2 asistanlı sistem tercih

edilebilir. Sistemin çalıĢma süresi 420 dakikaya çıkarıldığında asistan doktorun ücreti 60 dakika

için 11.7 TL artacaktır. Poliklinik 420 dakika çalıĢırsa gelen hasta sayısı %15 (7 kiĢi) artacaktır.

Bu durumda yeni sistemin günlük karı 7*122-11.7=842 TL olacaktır. Benzer Ģekilde 480 dakika

çalıĢtığında kar 1684 TL, 540 dakika çalıĢtığında kar 2648 TL olacaktır.



KAYNAKLAR

KIDAK L.B. VE AKSARAYLI M., (2009), Bir genel cerrahi servisinde yatak kullanım

etkinliğinin Benzetim ile Optimizasyonu, 10. Ekonometri ve Ġstatistik Sempozyumu, Erzurum.

KUMARĠ A., SHĠM SJ, Optimal utilization of human resources in surgical instruments

distribution in hospitals, 18th International on Production Research, Italia, 2005.

ODDOYE J.P., JONES D.F., TAMĠZ M. AND SCHĠMĠDT P., Combining simulation and goal

programming for healthcare planning in a medical assesment unit, European Journal of Operation

Research, 193, 250-261, 2009.

PETER RB, TOMPHSON JD, The simulation of hospital admisson policy, Communications of

the ACM 1966, 9:5 362-365.

VANBERKEL PT, BLAKE JT, A Comprehensive simulation for wait time reduction and

capacity planing applied in general surgery, Healt Care Managment Science, 2007, 10 (4), 373-

385.

WHITE KP, A survey of data reseorcues for simulating patient flows in healtcare delivery

systems, Proceedings of the Winter Simulation Conference 200, 926-93



PARETO MÜDAHALELĠ YARI-MARKOV RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜREÇĠ ĠÇĠN

ASĠMPTOTĠK SONUÇLAR

Rovshan ALIYEV‡ Tülay KESEMEN

§ Ġhsan ÜNVER

**

ÖZET

Bu çalıĢmada, kesikli Ģans karıĢımlı bir yarı-Markov rastgele yürüyüĢ süreci (X(t)) ele alınmıĢtır.

Bu sürecin ergodik dağılımının ilk dört momenti için kesin formüller elde edilmiĢtir. Bundan

yararlanarak, müdahaleyi ifade eden 0n,n rastgele değiĢkenler dizisinin durağan dağılım

fonksiyonu ),( parametreli Pareto dağılımına sahip olan bir Markov zinciri olduğu durumda,

nE iken, sürecin ergodik dağılımının ilk dört momenti için asimptotik açılımlar elde

edilmiĢtir.

Anahtar Kelimeler: Yarı-Markov rastgele yürüyüĢ süreci, Pareto dağılımı, ergodik dağılım,

asimptotik açılım, basamak yüksekliği.

ASYMPTOTIC RESULTS FOR THE SEMI-MARKOVIAN RANDOM WALK WITH

PARETO DISTRIBUTED INTERFERENCE OF CHANCE

ABSTRACT

In this paper,a semi-Markovian random walk with a discrete interference of chance X(t) is

considered. Some exact formulas for the first moments of the ergodic distribution of this process

X(t) are obtained, It is assumed that the random variables 0n,n which describe the discrete

interference of chanceform an ergodic Markov chain with Pareto stationary distribution with

parameters ),( . Under this assumption,the asymptotic expansions for the first four moments of

the ergodic distribution of the process X(t) are derived, as nE .

Keywords: Semi-Markovian random walk; Pareto distribution; ergodic distribution; asymptotic

expansion; ladder variables.

‡ Karadeniz Teknik Üniversitesi, Ġstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Böl., 61080, Trabzon, [email protected]

§ Karadeniz Teknik Üniversitesi, Matematik Böl., 61080, Trabzon, [email protected]

**Karadeniz Teknik Üniversitesi, Matematik Böl., 61080, Trabzon, [email protected]



GĠRĠġ

Bir çok teorik ve uygulama problemlerinde, örneğin banka sistemlerinin veya sigorta

Ģirketlerinin çalıĢmasını ifade eden stokastik süreçlerin incelenmesinde bir bariyere sahip olan

rasgele yürüyüĢ süreçleri ile karĢılaĢılmaktadır. Bu çeĢit problemlerde, sistemi ifade eden

stokastik süreçler genellikle kesikli Ģans karıĢımlı rasgele yürüyüĢ süreçlerinden oluĢmaktadır.

Örnek için grafiği aĢağıda verilen bir stokastik modele göz atılsın:

Varsayalım ki, yukarda grafiği verilen sistem, baĢlangıç anında 0sz durumundadır.

n

1i inT , 1n rasgele anlarında sistem uygun olarak nSz ,

n

1i inS durumlarında

olabilsin. BaĢka bir deyiĢle sistemin değiĢimi bir yarı-Markov rasgele yürüyüĢ süreci yardımıyla

ifade edilsin. Süreç, s kontrol seviyesine ilk kez ulaĢana kadar bu doğal değiĢimini devam

ettirsin. Süreç, bu seviyeye ilk kez ulaĢtığında, dıĢarıdan müdahale edilsin. Müdahalenin

sonucunda, sistem 1 durumuna getirilmiĢ olsun. 1 bilinen bir dağılıma sahip pozitif değerli

rasgele bir değiĢkendir. Bu müdahaleden sonra süreç, 1 baĢlangıç durumundan baĢlayarak

birinci devreye benzer doğal değiĢimini devam ettirsin.

Bu çalıĢmada, müdahaleyi ifade eden 1 rasgele değiĢkeninin ),( parametreli Pareto

dağılımına sahip olduğu varsayılacaktır. Bu varsayım altında yukarıda tanımlanan sürecin

ergodik dağılımının ilk dört momentleri için, nE iken, asimptotik açılımlar elde

edilecektir.

Bunun için önce süreç matematiksel olarak kurulsun.

X(t)

s

t



SÜRECĠN MATEMATĠKSEL KURULUġU

,n 1n ve n , 1n bağımsız ve aynı dağılıma sahip rastgele değiĢkenlerden oluĢan

aynı bir P,, olasılık uzayında tanımlanmıĢ iki bağımsız dizi olsun. Ayrıca, n ‟ler pozitif

değerler, n ‟ler hem negatif hem de pozitif değerler alabilen rasgele değiĢkenler olsunlar.

Müdahaleyi ifade eden 0n,n rastgele değiĢkenler dizisi durağan dağılım fonksiyonu

),[z,z

1)z(

olan bir Markov zinciridir. }T{ n yenileme sürecini ve }S{ n rastgele

yürüyüĢ süreci

n

1i

inT ,

n

1i

inS , 0ST 00 , ,...2,1n

Ģeklinde ve tam değerli rastgele değiĢken dizisi }N{ n aĢağıdaki gibi tanımlansın:

;0N0 nN...NNkN...NN1N n21n211SS:1kinfN

, 0n , }inf{ .

Ayrıca 00 , n1 N...Nn T , 1n ve tT:0nmaxt n olsun. Bu çalıĢmada incelenen

stokastik sürecin analitik ifadesi matematiksel olarak aĢağıdaki gibidir:

1 2 n

ν t

n i

i N +N +...+N 1

X t =ζ

0 1 nn N N ... Nt(S S )

, eğer 1nn t , 0n .

X t „ye Pareto müdahaleye sahip yarı Markov rastgele yürüyüĢ süreci denir.

Bu çalıĢmanın temel sonuçları aĢağıdaki gibi verilsin.

TEMEL SONUÇLAR

Teorem 1. ven n rastgele değiĢkenler dizisi ek olarak aĢağıdaki koĢulları da

sağlasın:

1) 10 E( ) , 2)10 E( ) , 3) 1 aritmetik olmayan rastgele değiĢken,



4) ,E5

1 5) 1 rasgele değiĢkeni (s, ) aralığında ),( parametreli Pareto dağılımına

sahip olsun.

Bu durumda, 5 olduğunda, X(t) süreci ergodiktir ve sürecin ergodik dağılımının ilk dört

momentleri için kesin formüller, 1 rasgele değiĢkeni ve XNS sınır fonksiyonelinin

karakteristikleri yardımıyla aĢağıdaki gibi hesaplanabilir:

2112111

11

m2

1))(M(E

2

1))(M(E

))(M(E

1)X(E

;

))(M(E))(M(Em2

1))(M(Em

))(M(E

1)X(E 11

2

1122111121

11

2

6

m2m3))(M(E

3

1))(M(E 31

2

21

13121

,

3 3 2

1 1 1 1 2 1 1 3 1 4 1

1 1

1 3 1E(X ) E( M ( )) E( M ( )) E( M ( )) E(M ( ))

E(M ( )) 2 4

))(M(E))(M(E3))(M(E32

m1312111

2

121

2121111 A3))(M(E2

1))(M(EA3

,

4 4 3 2

1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1

1 1

1E(X ) E( M ( )) 2E( M ( )) 2E( M ( )) E( M ( ))

E(M ( ))

)(M(E

2

1))(M(E2))(M(E3))(M(E2m))(M(E

5

11413112

2

111

3

12115

))(M(E

3

1))(M(E))(M(EA6 1312111

2

11 ))(M(E))(M(E2A6 121112 .

Burada, 6

m2m3A 31

2

211

,

4

m

3

mm

12

mA

3

212131412 ve s)t(X)t(X ‟dır.

ġimdi de, bu çalıĢmanın diğer önemli sonucu verilsin.



Teorem 2. BaĢlangıç rasgele değiĢkenler 111 ,, , Teorem 1‟ deki koĢulları sağlamıĢ

olsunlar. Bu takdirde, )t(X sürecinin ilk dört momenti için nE iken üç terimli

asimptotik açılımlar aĢağıdaki gibi yazılabilir:

)X(E = ),1

(o1

6

)1(

)2(8

)1(

2

m

)2(4

)1(

)2(2

)1(31

2

212

3

2121

2

)X(E 2

21

2

21

2

)3(6

)1(m

)2(2

)1(

)3(3

)1(

12121

22

212

3

Am)2(4

)1(

)3(12

)1(+o(1),

2

21

2

21

33

)4(8

)1(m

)3(2

)1(

)4(4

)1()X(E

),(oA)2(2

)1(3m

)3(4

)1(

)4(16

)1(12121

22

212

3

3

21

2

2121

44

)5(10

)1()m(

)1(2

)4(3

)5(5

)1()X(E

)(o)m()4(4

)1(3)A2m2(

)3(

)1(

)5(20

)1( 22

2121211312121

2

212

3

burada

)))t(X((Elim)X(E k

t

k

, ,

6

m2m3A,s)t(X)t(X,4,1k 3121

1

);(Em k

1k k

k1 k 1 k 1m m m , E( ) , k1 k 1/ , 3,2k .



KAYNAKLAR

1. Aliyev, R.T, Kesemen, T., Khaniyev, T.A., (2010). Asymptotic expansions for the

moments of a semi-Markovian random walk with gamma distributed interference of

chance, Communications in Statistics- Theory and Methods, 1532-415X, 39, 1, 130-143.

2. Feller, W. (1971). Introduction to Probability Theory and Its Appl. II, J. Wiley, N.Y.

3. Khaniyev T.A., Kesemen T., Aliyev R.T., Kokangul A. (2008). Asymptotic expansions

for the moments of a semi-Markovian random walk with exponential distributed

interference of chance, Statistics and Probability Letters, 78, 6, 785-793.

4. Khaniyev T.A., Kesemen T., Kesemen O., Aliyev R.T., (2006). Some asymptotic results

for the stationary characteristics of the semi-Markovian random walk with barrier.

Automatic Control and Computer Sciences, No:1.- pp.31-43.



RCMARS-SAĞLAM CMARS YÖNTEMĠ VE SAYISAL BĠR UYGULAMA

AyĢe ÖZMEN* Gerhard-Wilhelm WEBER** Ġnci BATMAZ***

ÖZET

Çok değiĢkenli uyarlanabilir regresyon eğrileri (MARS) algoritmasına seçenek olarak geliĢtirilmiĢ

yeni bir yaklaĢım olan konik (konveks, sürekli) çok değiĢkenli uyarlanabilir regresyon eğrileri

(CMARS) algoritması, karmaĢık ve türdeĢ olmayan veri kümelerini baĢarı ile modelleyen bir

yöntemdir (Weber vd., 2009). Ancak bu iki yöntem de modellerinde kullandıkları bağımsız

değiĢkenlerin sabit olduğunu varsaymaktadır. Aslında yaĢam verilerinin tümünde, yani hem girdi

hem de çıktı değiĢkenlerinde, gürültü vardır ve optimizasyon probleminin çözümleri

değiĢkenlerindeki belirsizliklere karĢı kayda değer bir duyarlılık gösterebilmektedir. Bu nedenle

önceki çalıĢmalarımızdan birinden bağımsız değiĢkenlerin rastgele olduğu varsayılarak CMARS

modeline belirsizlik kavramı eklenmiĢ ve verilerdeki belirsizlikleri iĢleyebilen sağlam

optimizasyon tekniği ile CMARS model ve algoritması sağlamlaĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).

Diğer bir çalıĢmamızda ise çok düzlemli belirsizlik kümeleri kullanılarak, değiĢik belirsizlik

senaryoları altında Sağlam CMARS (RCMARS) modelinin duyarlılığı sınanmıĢtır (Özmen vd.,

2010b). Bu çalıĢmada ise RMARS modelinin belirsizlik kümelerinin sınırlarına olan duyarlılığı

göz önünde bulundurularak RCMARS algoritması bir veri kümesiüzerinde uygulanmaktadır.

Anahtar kelimeler: Regresyon, CMARS, Sağlam optimizasyon, Sağlamlılık, Konik karasel

programlama, Ġç nokta yöntemi, Tikhonov düzenlemesi, Veri belirsizliği, Veri madenciliği.

THE RCMARS METHOD AND A NUMERICAL EXAMPLE

ABSTRACT

CMARS, recently develped as an alternative method to MARS, is a powerful method for

handling complex and heterogeneous data (Weber et al., 2009). Both methods, however,

assumethat independent variables are of type fixed. In fact, real life data contain noise in both

output and input variables. Consequently, optimization problem‟s solutions may have a

remarkable sensitivity to perturbations in the parameters of the problem. By considering this fact,

in one of our previous studies, we include the existence of uncertainty in the future scenarios into

CMARS, and robustify it with the robust optimization technique (RMARS) that dealts with data

uncertainty (Özmen et al., 2010a). In other study, we present the results of the sensitivity

analysis on the parameter estimates and model performances of RCMARS under polyhedral

uncertainty setswith different uncertainty scenarios (Özmen et al., 2010b). In this study, we

implement this new

*Yüksek Lisans Öğrencisi, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, Bilimsel Hesaplama

Bölümü, 06531 Ankara, [email protected] (HaberleĢme Adresi)

**Öğretim Üyesi, Profesör Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, 06531

Ankara, [email protected] ***Öğretim Üyesi, Doçent Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü,

06531 Ankara, [email protected]






method on a new data set by considering the sensitivity of RCMARS model to the boundaries of

the uncertainty sets.

Keywords: Regression, CMARS, Robust Optimization, Robustness, Conic quadratic

programming, Interior point method, Tikhonov regularization, Data uncertainty, Data mining.

GĠRĠġ

Veri madenciliği ve tahmin teorisinde yaygın olarak kullanılan çok değiĢkenli uyarlanabilir

regresyon eğrileri (MARS) algoritması yüksek boyutlu doğrusal olmayan veri kümeleri için esnek

regresyon modelleri oluĢturmaktadır (Friedman, 1991). Bu nedenle MARS yöntemi özellikle çok

sayıda değiĢkenin karmaĢık iliĢkilerinin modellendiği ekonomi, teknoloji ve bilim alanlarında

baĢarı ile uygulanmaktadır. Bu uygulamalara örnek olarak elektrik üreten Ģirketler için talepin

tahminlenmesi, ürünlerin mühendislik spesifikasyonlarının müĢteri tatmini ile iliĢkilendirilmesi,

Cografi Bilgi Sisteminde (GIS) kullanılan varlık-yokluk modelleri verilebilir (MARS,2009).

MARS yöntemi regresyon modelini oluĢtururken ileriye ve geriye doğru adım algoritması diye

adlandırılan iki aĢamalı bir algoritma kullanmaktadır. MARS yöntemine seçenek olarak

geliĢtirilen CMARS yöntemi ise MARS algoritmasının geri doğru adım aĢamasını kullanmak

yerine, cezalı hata kareler toplamını (PRSS) esas alarak, MARS modelini bir Tikhonov

düzenlemesi (TR) (Aster vd., 2004) problemine dönüĢmekte ve bu problemi iç nokta yönteminin

kullanımına imkan veren konik karesel programlama (CQP) ile çözmektedir (Weber vd., 2009).

Gerçek yaĢam verilerinin tümümde, yani hem girdi hem de çıktı değiĢkenlerinde, gürültü

bulunmasına rağmen MARS ve CMARS yöntemleri bağımsız değiĢkenlerin sabit olduğunu

varsaymaktadır. Buna ek olarak veriler optimal deney tasarımının içindeki çeĢitliliklerden

kaynaklanan küçük değiĢimlere de maruz kalabilirler. Tüm bunlar amaç fonksiyonu ve olası

kısıtlarda da belirsizliklere neden olabilmektedir. Bu nedenler sonucunda optimizasyon

probleminin çözümleri problem değiĢkenlerindeki belirsizliklere karĢı kayda değer bir duyarlılık

gösterebilmektedir. Bu zorluğu aĢabilmek için CMARS modeli ve algoritması verilerdeki

belirsizlikleri ele alacak Ģekilde yeniden yapılandırılmıĢ; çok düzlemli ve elipsoidalbelirsizlik

kümeleri esas alınarak Aharon Ben-Tal ve Nemivoski (1998, 2002) ile Laurent El Ghaoui ve

Lebret (1997) tarafından geliĢtirilmiĢ sağlam optimizasyon yöntemi kullanılarak

sağlamlaĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).

Sağlam optimizasyon, verileri belirsiz (rasgele) olan ve aykırı gözlemler dıĢındakilerin sadece

bazı belirsizlik kümeleri içerisinde tanımlı olduğu optimizasyon problemlerini ele alan bir

yöntemidir (Bertsimas vd., 2008). Bu yöntemle verilerin belirsizlik içermesi durumunda tahmin

varyansı küçültülmeye çalıĢılmaktadır. Bilgisayar hesaplamalarında sağlamlaĢtırılan CMARS

modelimizin daha basit bir Ģekline gerek duyulduğundan “zayıf bir sağlamlaĢtırma” kavramı da

oluĢturulmuĢtur. Böylece hem Sağlam CMARS (RCMARS) hem de bunun değiĢtirilmiĢ hali olan

Zayıf Sağlam CMARS (WRCMARS)‟ın teorik olarak geliĢtirilmesi açıklanıp, yöntem tanıtılmıĢ

ve yöntemin duyarlılığı araĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010b).



RCMARS MODELĠ

Yukarıda da ifade edildiği gibi RCMARS yöntemi CMARS üzerinde yapılandırılmıĢtır. Bu

amaçla MARS‟ın ileri doğru algoritmasından edinilen temel fonksiyonlar üzerinde belirli

belirsizlik kümeleri içerisinde yeraldığı varsayılan verilerdeki belirsizlik, sağlam optimizasyon

tekniği uygulanarak CMARS model ve algoritması sağlamlaĢtırılmıĢtır.

CMARS yöntemi Salford MARS (2009) tarafından oluĢturulmuĢ en çok temel fonksiyon sayısı

max M ‟a sahip en büyük modeli kullanmaktadır. Y bağımlı değiĢkeni ile X 1 2( , ,..., ) T

pX X X

bağımsız değiĢkenleri arasındaki iliĢkiyi gösteren bu genel model aĢağıda ifade edildiği gibidir:

( ) .Y f X (1)

Burada ε rasgele hata terimi olup, belirli bir sapma ile ortalaması sıfır olan normal dağılıĢtan

geldiği varsayılmaktadır. CMARS‟ın aksine RCMARS modelinde bağımsız değiĢkenler de

normal dağılan rasgele değiĢkenler olarak kabul edilmektedir. Girdi ve çıktı değiĢkenlerinin

tümünün rasgele değiĢkenler olması, oluĢturulacak belirsizlik kümelerinin güven aralığına sahip

olduklarını kabul etmemize de olanak sağlamaktadır (Özmen vd., 2010a). Bu bağlamda

belirsizlik içeren veri kümesi ( , )i iyx ( 1,2,..., )i N ‟ne göre oluĢan MARS modelinin parçalı

doğrusal temel fonksiyonları aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir (Friedman, 1991):

( , ) ( ) , ( , ) ( ) .c x x c x x

Burada := max 0, , q q

:= max 0,q q

olup, N toplam gözlem sayısını, x‟ler gözlenen

değerleri ve τ temel fonksiyonların düğüm noktalarını göstermektedir.Böylece ileriki bölümlerde

tanımlanacak olan max

1 N M

U

ve 2 NU belirsizlik kümeleri, ( , )i iyx ( 1,2,..., )i N veri

kümesine dahil edilerekm. temel fonksiyonunçarpımsal Ģekli

1

( ) := ( ) for 1,2,..., m

m mj j

K

m i ij

x i N

x (2)

olarak ifade edilmektedir. Burada mK m. temel fonksiyonda çarpılan kesik (truncated) doğrusal

fonksiyonların sayısını, m

j ise m. temel fonksiyonun j. değiĢkenini göstermektedir. Bunun

yanısıra belirsizlik içeren CMARS modeli için PRSS yeniden düzenlenerek aĢağıdaki Ģekli

almıĢtır:

max

1 2

22 2 2

,

1 1 1 , ( ) ( , )

: ( ( )) [ ( )] .

T

MNm m

i m m r s m

i m r sr s V m

PRSS y f D d

ix t t

(3)

Burada V(m) : {m

j |j= 1,2,...,mK }m. temel fonksiyonla iliĢkili bağımsız değiĢkenleri

göstermektedir. (3)‟te yeralan yüksek boyutlu integralin bazı fonksiyonlar için hesaplanması güç



olduğundan, eĢitlikte yer alan integral kesikli hale getirilerek PRSS yaklaĢık olarak elde

edilmekte ve bazı düzenlemeler sonucunda aĢağıdaki Ģekle dönüĢmektedir (Weber vd., 2009):

2

2

22

( )PRSS y b L . (4)

Bazı değerleri için 2 kullanılarak 0 ceza parametresi ile PRSS Tikhonov

düzenlemesi(TR) problemine dönüĢür ve bu problem sürekli optimizasyon yöntemi olan ikinci

dereceden konik karesel programlama (CQP) (Ben-Tal, 2001) kullanılarak çözülür.

Girdi ve çıktı değiĢkenlerinin her ikisinede belirsizlik dahil ettiğimiz zaman (2)‟deki temel

fonksiyon ( )m mj ji

x

‟lar aĢağıdaki gibi yazılabilir:

( ) ( ) ( ( )) .m m m m m mj j j j j ji i i i

x x

(5)

Burada mji

herbir temel fonksiyondaki herbir girdi değiĢkenine güven aralığı içinde dahil

edilen belirsizliği (Bkz. ġekil 1.); mji

ise kontrol değiĢkenini göstermektedir. Kontrol

değiĢkeninin değeri 1 U belirsizlik kümesinin büyüklüğünü doğrudan etkilediği ve belirsizlik

kümelerimizin ne olduğu bilinmese bile sınırlı olması gerektiği için mji

kontrol değiĢkeni mji

değeri ile sınırlandırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).

Ayrıca ( )m i x ve ( )m i x temel fonksiyon değerlerini elde edebilmek amacı ile (5)‟deki

eĢitsizlik aĢağıdaki Ģekle dönüĢtürülür (Özmen vd., 2010a):

{1,... }1 1 {1,... }/

: ( ): ( )

( ) ( ) ( ) (( ) ) ( 1,2,..., ).m m

m m m mj j j j

m m

m im i

K K

ia a ib ibi iA Kj j a A b K A

x x x i N

xx

Burada simetri özelliği ile ( )m i x ve ( )m i x temel fonksiyon değerleri için sınır formları

oluĢturulduğunda aĢağıdaki eĢitsizlik elde edilir:

ˆ( ) ( )ˆˆ ˆ( ) ( ) max{ , }.

ˆ( ) ( )

m i m i im

m i m i im im

m i m i im

uu u

u

x xx x

x x

Böylece her bir temel fonksiyon için imu belirsizlik değerleriaĢağıdaki eĢitsizlikten bulunur

(Özmen vd., 2010a):



1

{1,..., } {1,..., }/

( ).m m

im

A

i ia ib ib

A K a A b K A

u

(6)

Burada değeri x ‟in güven aralığının yarı uzunluğu; A A kümesinin eleman sayısı; i ise

kontrol değiĢkenidir.i değeri aykırı gözlemlerin olmadığı durumlarda iki olarak kabul

edilebilir. Ancak aykırı gözlemler için bu kontrol değiĢkeni ikiden daha büyük bir değer olacaktır

(Özmen vd., 2010b). belirsizliği ve x için oluĢturulan güven aralığı ġekil 1‟de

gösterilmektedir.

ġekil 1. belirsizliğinin ve x ‟ın güven aralığı.

Sağlam optimizasyon problemimizin daha etkin bir Ģekilde çözülebilmesi için belirsizlik

kümelerinin ellipsoidal veya çokdüzlemligibi özel bir Ģekle sahip olması gerekmektedir. (Fabozzi

vd., 2007). Önceki çalıĢmalarda 1 2 ve U U belirsizlik kümeleri hem ellipsoidal hem de çok

düzlemli birbiçimde oluĢturuldu (Özmen vd., 2010a). Ancak ellipsoidal belirsizlik kümeleri

optimizasyon probleminin çözümünü zorlaĢtırdığı için, girdi ve çıktı değerleri için oluĢturulan

1 2 ve U U belirsizlik kümeleri çok düzlemli olarak seçilerek çalıĢma sürdürülmüĢtür (Özmen vd.,

2010b). Böylece çok düzlemli belirsizlik kümeleri temelinde sağlam optimizasyon modeli

aĢağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

1

2

2 2

2 2min max .

UU

Wz

z W L

Yukarıdaki sağlam optimizasyon modelimiz aĢığıda gösterildiği gibi bir sağlam CQP problemine

dönüĢtürülebilir (Özmen vd., 2010a, 2010b):



max2 2

1 1

,

1 22

2

min ,

subject to , ,

.

N M N

j ij i

j i

tt

t U U

M

W z

z W W z

L

Çok düzlemli belirsizlik kümesi kullanıldığındanyukarıda ifade edilen sağlamCQP problemi

standard bir CQP (Ben-Tal vd., 2001)problemi gibi sunularak, çözülebilir:

max

,

2

2

min ,

subject to ( 1,2,..., 2 , 1,2,..., 2 ),

.

t

N Mi j N

t

t i j

M

z -W

L

SAYISAL BĠR UYGULAMA

Daha önceki çalıĢmalarımızda MINITAB paket programının örnek veri kümelerinden üç

bağımsız değiĢkenli ve 20 gözlemli bir tanesi üzerinde RCMARS algoritması uygulanarak,

model parametreleri tahminlenmiĢ ve baĢarım ölçümleri elde edilmiĢtir. Bu amaçla Salford

MARS (2009) yazılımı kullanarak elde edilen en geniĢ modele, MATLAB ve MOSEK (2008)

programları yardımı ile çok amaçlı optimizasyon yaklaĢımı uygulanmıĢtır. RCMARS

algoritmasında bağımsız değiĢkenlerin normal dağılıĢtan geldiğini varsayılmaktadır. Bu nedenle

bu çalıĢmada, benzetim yöntemi kullanılarak herbiri normal dağılıĢtan gelen üç değiĢken ve 20

gözlemden oluĢan bir veri kümesi türetilmiĢ ve RCMARS modelinin belirsizlik kümelerinin

sınırlarına olan duyarlılığı da göz önünde bulundurularakRCMARS algoritması bu veri

kümesineuygulanmıĢtır. Sonuçta MARS yazılımıtarafından oluĢturulan aĢağıdaki en geniĢ model

(max 5M ) elde edilmiĢtir:

0 0 1 1 2 11

3 3 4 1 3

5 1 3

maks maks

maks maks maks

maks maks

( ) + = {0, 0.09608)} {0,0.09608 }

{0, 1.92906}+ {0, 0.09608} {0, +1.92906}

{0,0.09608 } {0, 1.92906} .

M

m mm

y x x

x x x

x x

x

Daha sonra, güven aralıkları göz önünde bulundurularak tüm girdi ve çıktı değiĢkenleri için

belirsizlikler hesaplanmıĢ; çok düzlemli belirsizlik kümeleri altında belirsizlik matrisleri ve

vektörleri elde edilmiĢtir. Girdi değerleri için oluĢturulan belirsizlik matrisi çok büyük

boyutludur. Bu matrisle çözüm yapabilecek bilgisayar kapasitesi yeterli olmadığından dolayı

zayıf sağlamlaĢtırma diye isimlendirilen kombinatoriyal yaklaĢım kullanarakher bir gözlem için

PRSS modeli, CQP problemi olarak yeniden düzenlenmiĢtir. Problemimizi çözmek için model

MOSEK formatına çevrildikten sonra herbir gözlem için 20 farklı zayıf RCMARS (WRCMARS)

altmodeli oluĢturulup, ayrı ayrı çözülmüĢtür. Bunlar içinden maksimum tdeğerine sahip MOSEK

modeli seçilerek0 1 2 3 4 5 , , , , , parametre tahminleri kaydedilmiĢtir (Bkz. Tablo 1). Sonuç



olarak seçilen MOSEK modeline iliĢkin bazı baĢarım ölçütlerinin (AAE: Ortalama mutlak hata,

RMSE: Hata kareler ortalamasının karekökü, r: korelasyon katsayısı) değerleri de Tablo 1‟de yer

almaktadır.

Tablo1. RCMARS modeli için parametre tahninleri ve baĢarım ölçütlerinin değerleri

SONUÇ

Bu çalıĢmada, verilerde varolan belirsizliklerin üstesinden gelebilmek amacı ile sağlam ve zayıf

sağlam olarak isimlendirilen kombinatoriyel yaklaĢım kullanılarak CMARS sağlamlaĢtırılmıĢtır.

Bu yaklaĢımla parametrelerin tahmin varyanslarının indirgenmesi amaçlanmaktadır. Bu amaçla

öncelikle teori ve yöntem geliĢtirilmiĢ, sayısal uygulamalarda kullanabilmek amacı ile MATLAB

programı oluĢturulmuĢtur. Bundan sonraki çalıĢmalarda CMARS modelinin kararlılığının

ölçümü ile ilgili çalıĢmalar yapılacaktır. Sağlam tahminleyiciler kullanılarak girdi ve çıktı

değerleri için yeni güven aralıkları oluĢturulacaktır.Veriler için normal dağılım dıĢında baĢka

dağılımlar kullanılarak RCMARS modeli yeniden düzenlenecektir. Bunların dıĢında zayıf

RCMARS modelini sağlamlaĢtırmak için diğer farklı yöntemler araĢtırılıp kullanılacaktır.

KAYNAKLAR

ASTER, R.C., BORCHERS B. ve THURBER, C. (2004), Parameter Estimation and Inverse

Problems, Elsevier Academic Press, USA.

BEN-TAL, A. ve NEMIROVSKI, A. (1998), Robust convex optimization, Math. Oper. Res., 23,

769–805.

BEN-TAL, A. ve NEMIROVSKI, A. (2001), Lectures on modern convex optimization: analysis,

algorithms, and engineering applications, MPR-SIAM Series on Optimization, SIAM,

Philadelphia.

BERTSIMAS, D., BROWN, D.B. ve CARAMANIS, C. (2008), Theory and Applications of

Robust Optimization, Working paper,Sloan School of Management and Operations Research

Center, MIT.

EL-GHAOUI, L. ve LEBRET, H. (1997), Robust solutions to least-square problems to uncertain

data matrices,SIAM J. Matrix Anal. Appl., 18, 1035–1064.

FRIEDMAN, J. H. (1991). Multivariate adaptive regression splines,The Annals of Statistics, 19

(1), 1-141.

α0 α1 α2 α3 α4 α5 AAE RMSE r

1.1076 -0.4316 -0.3866 -0.4262 0.0033 0.0000 0.4388 0.7221 0.8601



MARS, Salford Systems, 2009.EriĢim: http://www.salfordsystems.com/mars/phb, 25 Ağustos

2010.

MOSEK, Software for CQP, 2008. EriĢim: http://www.mosek.com, 5 Eylül 2008.

ÖZMEN, A., WEBER, G-W. ve BATMAZ, Ġ. (2010a), The new robust CMARS (RCMARS)

method, Preprint at IAM, METU, ISI Proceedings of 24th MEC - EurOPT 2010 - Continuous

Optimization and Information-Based Technologies In the Financial Sector, Ġzmir, June 23-26,

2010, 362-368; ISBN 978-9955-28-598-4.

ÖZMEN, A., WEBER, G-W., BATMAZ, Ġ. ve KROPAT E. (2010b), RCMARS:Robustification

of CMARS with Different Scenarios under Polyhedral Uncertainty Set, Preprint at IAM, METU,

to appear in the Proceedings 3rd Conference on Nonlinear Science and Complexity (NSC 3rd),

Ankara, Temmuz 28-31, 2010.

WEBER, G. -W., BATMAZ, Ġ., KÖKSAL G., TAYLAN P. ve YERLĠKAYA F. (2009),

CMARS: A New Contribution to Nonparametric Regression with Multivariate Adaptive

Regression Splines Supported by Continuous Optimization, Preprint at IAM, METU, submitted

for publication.

http://www.salfordsystems.com/mars/phb

http://www.mosek.com/



SARIMA MODELĠ VE ELMAN YAPAY SĠNĠR AĞININ MELEZ YAKLAġIMI ĠLE

ANKARA HAVA KALĠTESĠ VERĠLERĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠ

ÇağdaĢ Hakan Aladağ*, Ufuk Yolcu

**, Erol Eğrioğlu

***

ÖZET

Zaman serisi öngörüsünde, klasik yöntemlerin doğrusallık, en az 50 gözlem varsayımı ve belli bir

model kalıbına bağlı çalıĢmaları önemli kısıtlamalarıdır. Gerçek hayat zaman serilerinin birçoğu

eğrisel ve doğrusal yapıları birlikte içermektedir. Bu nedenle doğrusallık varsayımı oldukça

önemli bir sınırlama olmaktadır. Literatürde eğrisel zaman serilerinin çözümlenmesi için yapay

sinir ağları çok sık kullanılmaktadır. Zaman serisinin eğrisel bileĢenini yapay sinir ağları ile

modellemek mümkün olmasına rağmen hem eğrisel hem de doğrusal bileĢen içeren zaman

serilerinin modellenmesinde klasik zaman serisi yöntemleri ve yapay sinir ağlarının melez

yaklaĢımları daha doğru öngörü sonuçları verebilmektedir. Bu çalıĢmada klasik zaman serisi

olarak mevsimsel otoregresif bütünleĢik hareketli ortalama (SARIMA) modelinin, yapay sinir ağı

modeli olarak Elman geri beslemeli yapay sinir ağının kullanıldığı yeni bir melez yaklaĢım

önerilmiĢtir. Önerilen yöntem Ankara hava kalitesi verileri üzerinden literatürdeki diğer klasik

zaman serisi ve melez yaklaĢımlar ile karĢılaĢtırılmıĢtır.

Anahtar Kelimeler: Öngörü, SARIMA, Elman yapay sinir ağı.

ANALYZING AIR POLLUTION RECORDS IN ANKARA WITH A HYBRID METHOD

COMBINING SARIMA AND ELMAN ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS

ABSTRACT

In time series forecasting, there are some constraints such as linearity, 50 observations and

normal distribution when conventional methods are used. It is a well known fact that real life

time series generally includes both linear and nonlinear structures. Therefore, constraint of

linearity is a vital limitation for conventional methods. To solve real time series some methods

such as artificial neural networks have been used to obtain accurate forecasts in the literature.

Although it is possible to model both linear and non linear part of time series by using artificial

neural networks, the hybrid methods combining linear conventional methods and artificial neural

networks can produce better forecasts. In this study, a novel hybrid approach in which seasonal

autoregressive integrated moving average (SARIMA) model and Elman recurrent

*Öğretim Gör. Dr., Ġstatistik Bölümü, Hacettepe Üniversitesi, Ankara, [email protected]

(HaberleĢme Adresi) * *

ArĢ.Gör.., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun, [email protected] ***

Doç. Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun, [email protected]




neural networks are combined is proposed. The method proposed is applied to Air pollution

records in Ankara time series. The time series is also forecasted by using other methods available

in the literature and obtained results are compared.

Keywords: Forecasting, SARIMA, Elman Neural Networks.

GĠRĠġ

Hem eğrisel hem de doğrusal bileĢen içeren zaman serilerinin çözümlenmesinde klasik

zaman serisi yöntemleri ile yapay sinir ağlarının melez yaklaĢımı uygulanmaktadır. Bu tür melez

yaklaĢım ilk kez Zhang (2003)‟de önerilmiĢtir. Zhang (2003)‟de ARIMA modeli ve ileri

beslemeli yapay sinir ağı modelinin kullanıldığı bir melez yaklaĢım önermiĢtir. Aladağ vd.

(2009)‟da Zhang (2003)‟deki yaklaĢımı değiĢtirerek ileri beslemeli yapay sinir ağı modeli yerine

geri beslemeli modelin kullanıldığı bir yöntem önerilmiĢtir. Erilli vd. (2010)‟da Elman ile ileri

beslemeli yapay sinir ağlarının bir melez yaklaĢımı önerilmiĢtir. Bu çalıĢmada ise SARIMA

modeli ve Elman yapay sinir ağının melezlendiği bir yaklaĢım önerilmiĢtir. ÇalıĢmanın ikinci

bölümünde Elman yapay sinir ağları ile ilgili özet bilgi verilmiĢtir. Üçüncü bölümde yeni

önerilen melez yaklaĢım verilmiĢtir. 4. bölümde önerilen yöntemin Ankara il merkezlerine göre

yapılan ölçümlerde Mart 1994 ile Nisan 2006 yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit

(SO2) miktarları zaman serisine uygulanmasından elde edilen sonuçlar verilmiĢtir. Son bölümde

ise elde edilen bulgular tartıĢılmıĢtır.

ELMAN GERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI

Ġnsan sinir sisteminin bir taklidi olan yapay sinir ağları ileri ve geri beslemeli ağlar olarak

ikiye ayrılabilir. Geri beslemeli yapay sinir ağlarının önemli bir türü Elman (1990)‟da önerilen

Elman geri beslemeli yapay sinir ağıdır. Elman yapay sinir ağında girdi tabakası, gizli tabaka,

geri besleme tabakası ve çıktı tabakası bulunmaktadır. Ağın gizli tabaka çıktıları bir adım

gecikmeli olarak geri besleme mekanizması sayesinde tekrar ağa girdi olarak verilmektedir. Geri

besleme tabakası ikinci bir girdi tabakası olarak da düĢünülebilir (Mandic ve Chambers, 2001).

Geri besleme tabakasının ağılıkları, diğer tabakalardan farklı olarak eğitim esnasında

değiĢtirilmemekte ve daima 1 değerini almaktadır. Literatürde zaman serisi öngörü probleminde,

Elman sinir ağının ileri beslemeli sinir ağlarından daha doğru öngörü sonuçları verdiği birçok

çalıĢma vardır. Elman geri beslemeli sinir ağının mimarisi Ģekil 1 „de görüldüğü gibidir.



ġekil 1. Elman Geri Beslemeli Yapay Sinir Ağı

SARIMA VE ELMAN GERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞINA DAYALI

MELEZ YAKLAġIM

Mevsimsel zaman serileri öngörü problemi için literatürde en sık kullanılan modellerden biri

SARIMA modelleridir. Parametrelerin eğrisel bir fonksiyonu olarak yazılabilmesine rağmen,

gecikmeli değiĢkenlerin doğrusal bir bileĢimi olan SARIMA modeli doğrusal zaman serisi

modelidir. Birçok zaman serisinin çözümü için SARIMA modeli yeterli olabilmektedir. Ancak

gecikmeli değiĢkenler arası doğrusal dıĢı iliĢkiler içeren modeller ile çözümlenmesi gereken bazı

zaman serileri için SARIMA modelleri yetersiz kalabilmektedir. Bu tür zaman serilerinin

çözümlenmesinde yapay sinir ağları gibi eğrisel zaman sersi yöntemleri kullanılmaktadır. Gerçek

hayat zaman serileri genellikle eğrisel ve doğrusal yapıları birlikte içerebilirler. Bu nedenle

gerçek hayat zaman serilerinin çözümlenmesi için tek baĢına doğrusal zaman serisi modeli veya

tek baĢına eğrisel zaman serisi yönteminin kullanılması yerine her iki model veya yöntem

türünün birleĢtirildiği melez yaklaĢımlar kullanılabilir. Bir gerçek hayat zaman serisinde eğrisel

ve doğrusal yapının toplamsal olarak bulunduğunu varsayalım. Bu durumda zaman serisi

aĢağıdaki gibi yazılabilir.

Burada zaman serisindeki doğrusal bileĢeni, ise zaman serisindeki eğrisel bileĢeni

göstermektedir. Melez yaklaĢımlarda amaç eğrisel ve doğrusal bileĢenin ayrı modellenmesi ve

farklı modellerden elde edilen öngörülerin birleĢtirilmesidir. Bu çalıĢmada önerilen yöntem

SARIMA modeli ve Elman geri beslemeli yapay sinir ağının bir melezi olup aĢağıdaki

adımlardaki gibi uygulanır.

Adım 1. zaman serisine SARIMA modeli uygulanarak tahminler ve artıklar hesaplanır.

SARIMA modelinin uygulanmasında en uygun modelin belirlenmesinde otokorelasyon

fonksiyonundan aday modeller belirlenerek, en uygun model çeĢitli model seçim ölçütlerine göre

karar verilebilir. Bu adımda elde edilen artık serisinin eğrisel bileĢen ve rastgele bileĢenin

toplamı olarak düĢünülmektedir.



Adım 2. Ġkinci adımda SARIMA modelinde elde edilen artık serisi Elman geri beslemeli

yapay sinir ağı ile çözümlenerek tahminler elde edilir. En uygun Elman sinir ağı modelinin

belirlenmesinde model seçim ölçütlerinden yaralanılır.

Adım 3. Ġlk adımda zaman serisinin doğrusal kısmı SARIMA modeli ile tahmin edilerek

oluĢturulan doğrusal bileĢeni için tahmin serisi ve ikinci adımda zaman serisinin eğrisel kısmı

modellenerek oluĢturulan eğrisel bileĢen için tahmin serisi toplanarak melez yaklaĢımın

tahminleri elde edilir.

ÖNERĠLEN MELEZ YAKLAġIMIN UYGULAMASI

Önerilen yaklaĢım, Ankara il merkezlerine göre yapılan ölçümlerde Mart 1994 ile Nisan 2006

yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit (SO2) miktarları zaman serisine uygulanmıĢtır.

Zaman serisinin son 10 gözlemi test kümesi olarak ayrılmıĢ ve bu küme için elde edilen

tahminler üzerinden önerilen yaklaĢım literatürdeki diğer yaklaĢımlar ile karĢılaĢtırılmıĢtır.

Önerilen yöntemin uygulanması adımlar halinde verilmiĢtir.

Adım1. Zaman serisine en uygun SARIMA modeli SARIMA(1,0,0)(0,1,1)12 olarak

belirlenmiĢtir. SARIMA modelinin tahminleri ve artıklar „lar elde edilir.

Adım 2. SARIMA‟dan elde edilen artık serisine Elman geri beslemeli yapay sinir ağı yöntemi

uygulanmıĢtır. Elman yapay sinir ağının uygulanmasında aĢağıdaki bileĢenler kullanılmıĢtır.

Gizli tabaka birimlerinde lojistik aktivasyon fonksiyonu kullanılmıĢtır, çıktı tabakasında ise

doğrusal aktivasyon fonksiyonu kullanılmıĢtır. Aktivasyon fonksiyonları ile ilgili detaylı bilgi

Gunay vd. (2007)‟den elde edilebilir.

Elman geri beslemeli yapay sinir ağın eğitilmesinde Levenberg-Marquardt (LM) yöntemi

kullanılmıĢtır. Çözümlemeler Matlab Neural Network Toolbox yardımı ile yapılmıĢtır.

Girdi tabaka birim sayısı yani gecikmeli değiĢkenlerin sayısı 1 ile 12 arasında ve aynı

zamanda gizli tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Böylece, toplamda ortaya

çıkan 144 farklı Elman yapay sinir ağı mimarisi ele alınarak en uygun yapay sinir ağı

mimarisi, hata kareler ortalaması karekök (HKOK) değerine göre girdi sayısının 8, gizli

tabaka birim sayısının 3 olduğu mimari olarak bulunmuĢtur.



Adım 3. Bu adımda SARIMA modeli ve Elman geri beslemeli yapay sinir ağından elde edilen

tahminler toplanarak melez yaklaĢımın tahminleri elde edilmiĢ ve Tablo 1‟in son sütununda test

kümesi için elde edilen tahminler verilmiĢtir.

Zaman serisine ayrıca Winters çarpımsal üstel düzleĢtirme yöntemi, SARIMA modeli ve Zhang

(2003)‟de önerilen melez yaklaĢım da uygulanmıĢ ve test kümesine ait elde edilen sonuçlar Tablo

1‟de özetlenmiĢtir. Tablo 1‟de her bir yöntem için hatanın mutlak yüzdelik ortalaması (HMYO)

ve yön doğruluğu (YD) ölçütleri de hesaplanmıĢtır. Bu ölçütlerle ilgili detaylı bilgi Gunay vd.

(2007)‟den elde edilebilir.

Tablo 1. Tüm Yöntemlerden Test Kümesi için Elde Edilen Öngörü Sonuçları

Dönem Test

Verisi

SARIMA

(1,0,0)(0,1,1)

Winters

Çarpımsal

Üstel

DüzleĢtirme

Zhang (2003)

(6-6-1)

Önerilen

Yöntem

(8-3-1)

TEM 2005 21 22,9300 15,4000 23,0785 22,9237

AĞU 2005 27 22,3500 16,1100 22,2947 22,3245

EYL 2005 25 23,6100 17,7700 22,8370 23,4565

EKĠ 2005 28 28,8100 25,1200 28,6960 28,8349

KAS 2005 38 46,9700 41,1100 46,9328 34,9308

ARA 2005 45 54,6200 46,1200 43,7966 38,5152

OCA 2006 38 58,1300 49,8000 38,0002 41,9141

ġUB 2006 36 46,9900 44,2400 26,8608 41,8714

MAR 2006 24 37,8500 31,9600 17,7210 37,6352

NĠS 2006 22 24,7600 18,3900 4,6312 24,6493

HKOK 9,6249 7,1062 7,3314 5,6819

HMYO 0,0226 0,0036 0,0071 0,0024

YD 0,5556 0,6667 1,0000 0,6667

BULGULAR VE TARTIġMA

Birçok gerçek hayat zaman serisi hem doğrusal hem de eğrisel bileĢenleri içermektedir. Bu

nedenle, bu tip zaman serilerini çözümlemede, yalnızca doğrusal modelleme yapabilen SARIMA

ya da eğrisel modelleme yapabilen YSA gibi yöntemlerin tek baĢına kullanımı yeterli

olmayacaktır. Dolayısıyla bu tip zaman serilerini çözümlemede doğrusal ve eğrisel yöntemlerin

melezlendiği yaklaĢımların kullanılması daha doğru öngörü sonuçları verecektir. Bu çalıĢmada

SARIMA modeli ve Elman yapay sinir ağının melezlendiği bir yaklaĢım önerilmiĢ ve Tablo 1

incelendiğinde, önerilen yeni melez yaklaĢımın, hem HKOK değeri (5,6819) hem de HMYO

(0,0024) bakımından en iyi sonucu verdiği gözlemlenmektedir. Önerilen yaklaĢımın yalnızca yön

doğruluğu açısından Zhang (2003)‟de önerilen melez yaklaĢımdan kötü sonuç vermektedir. Elde

edilen tüm öngörü sonuçları Ģekil 1‟de verilmiĢtir.



ġekil 1. Tüm Yöntemlerden Elde Edilen Öngörülerin Gerçek Verileri Ġle Grafiği

KAYNAKLAR

ALADAĞ Ç.H., EĞRĠOĞLU E. AND KADĠLAR C., (2009). Forecasting nonlinear time series

with a hybrid methodology, Applied Mathematic Letters, 22, 1467-1470.

ERĠLLĠ N.A., EĞRĠOĞLU E., YOLCU U., ALADAĞ Ç.H., USLU V.R., (2010). Türkiye

Enflasyonunun Ġleri ve Geri Beslemeli Yapay Sinir Ağlarınıın Melez YaklaĢımı ile Öngörüsü,

DoğuĢ Üniversitesi Dergisi, 11 (1), 42-55.

GÜNAY S., EĞRĠOĞLU E. VE ALADAĞ Ç.H., 2007, Tek DeğiĢkenli Zaman Serileri analizi,

Hacettepe Üni. Yayınları, Ankara.

MANDĠC D.P. AND CHAMBERS J.A., (2001). Recurrent neural networks for prediction, John

Wiley& Sons, Ltd.

ZHANG, G., (2003). Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model,

Neurocomputing, 50, 159-175.

0

10

20

30

40

50

60

70Test VerisiARIMA (1,0,0)(0,1,1)Winters Çarpımsal Üstel DüzleştirmeZhang (2003) (6-6-1)Önerilen Yöntem (8-3-1)



SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ TASARIMINDA YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN

HĠPOTEZ TESTĠ

Yaprak Arzu ÖZDEMĠR Fikri GÖKPINAR

**

ÖZET

Sıralı küme örneklemesinde, örnek ortalaması istatistiğinin dağılımı teorik olarak elde

edilemediğinden, yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi için gerekli kritik değerler

belirlenememektedir. Bu çalıĢmada Monte Carlo yöntemi kullanılarak ortalamaya iliĢkin hipotez

testi için kritik değerler elde edilmiĢtir. Elde edilen bu kritik değerlerden yararlanılarak örnek

çapına bağlı bir kritik değer fonksiyonu önerilmiĢtir. Ayrıca sıralı küme örneklemesinin basit

tesadüfi örneklemeye göre I. tip hata ve testin gücü bakımından hangi durumlarda daha iyi sonuç

verdiği belirlenmeye çalıĢılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: Kritik Değer, Sıralı Küme Örneklemesi, Monte Carlo Simülasyonu.

ABSTRACT

In ranked set sampling, since the distribution of sample mean cannot be obtained theoretically,

the critical values for hypothesis tests about population mean cannot be also calculated. In this

study, the critical values for hypothesis tests about population mean is obtained by using Monte

Carlo methods. A critical value function based on sample size is formed using these critical

values. Also the ranked set sampling is compared to simple random sampling according to their

type I errors and powers of tests.

Keywords: Critical Value, Ranked Set Sampling, Monte Carlo Simulation.

1. GĠRĠġ

Sıralı küme örneklemesi (SKÖ), örnekleme birimlerini ölçmek zor, ancak bunları sıralamak daha

kolay olduğu durumda maliyet etkili bir örnekleme tekniğidir. SKÖ son yıllarda, çevre, ekoloji

ve tarım gibi alanlarda sıkça kullanılmaktadır. Bu tür alanlarda, birimlerin ilgilenilen değiĢken

bakımından ölçümlerinin yapılmasının maliyet, zaman veya diğer faktörler bakımından oldukça

zor olduğu durumlarla karĢılaĢılabilir. Bu gibi durumlarda, SKÖ kullanılarak örnek seçim iĢlemi,

basit tesadüfi örneklemeye(BTÖ) göre daha düĢük maliyetle ve daha kısa zamanda

gerçekleĢtirilir.

Yardımcı Doçent Doktor, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara

[email protected] **

Yardımcı Doçent Doktor, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara

[email protected]





Sıralı küme örneğini elde etmek için yığından seçilen n2 çaplı tesadüfi örnek, her biri n çaplı n

kümeye ayrılır. Her bir küme birer basit tesadüfi örnek olup, i-nci kümenin elemanları Xi1,

Xi2,…, Xin (i=1,2,…,n) olmak üzere, aynı F(x) dağılım fonksiyonuna ve f(x) yoğunluk

fonksiyonuna sahiptir. i.nci küme için sıra istatistikleri Y(i,1)Y(i,2)…Y(i,n) Ģeklinde tanımlanır.

i.nci kümeden i.nci sıra istatistiğinin görsel olarak veya maliyet gerektirmeyen yöntemler

yardımıyla belirlendiği varsayılırsa, n tane küme için i.nci kümeden i.nci sıra istatistiğinin

ölçülmesi ile Y(1:1), Y(2:2),…,Y(n:n) sıra istatistikleri sıralı küme örneğini oluĢtur. Burada Y(i:i); n

çaplı örnekte i. kümedeki i.sıra istatistiğine iliĢkin gözlemi ifade eder (McIntyre,1952). Sıralı

küme örneğinden elde edilecek yığın ortalamasına iliĢkin tahmin edici yığının dağılımı ne olursa

olsun sapmasızdır. Ancak, yığın dağılımı biliniyorken, bu tahmin edici, yığın ortalamasına iliĢkin

en küçük varyanslı tahmin edici olmayabilir. Bu durumda farklı SKÖ tasarımları kullanılarak

yığına iliĢkin ortalamanın yansız ve en küçük varyanslı tahmin edicisi bulunabilir. Bu konuda,

Sinha B.K ve diğ. (1996), normal ve üstel dağılım için yığın parametrelerini tahmin etmek üzere

en iyi SKÖ tasarımını belirlemeye çalıĢmıĢlardır. Al- Saleh(2003) SKÖ tasarımlarını yığın

ortalaması ve varyansı için sapmalı ve sapmasız tahmin edici ayrımı yapmaksızın hata kare

ortalamalarına göre simülasyon yoluyla karĢılaĢtırmıĢtır. Muttlak (1997) sıralamadaki hata

miktarını azaltmak ve tek modlu simetrik dağılımlar için etkinliği arttırmak üzere Medyan SKÖ

tasarımını (MSKÖ) önermiĢtir. Samawi ve diğ.(1996) tekdüze dağılım için yığın ortalamasını

tahmin etmek üzere uç SKÖ‟yü önermiĢlerdir. Ayrıca uç değerlere karĢı sağlam bir tahmin edici

elde edilmesine imkan veren L-SKÖ Al-Nasser (2007) tarafından önerilmiĢtir.

Yığın parametrelerinin tahmin edilmesinin yanı sıra, parametrelere iliĢkin hipotez testlerinde

BTÖ yerine birimlerin SKÖ ile elde edilmesi durumunda kullanılan test istatistiğine bağlı olarak,

daha yüksek güç değerlerine ulaĢıldığı Mutlak ve Abu Dayyeh (1998), Pan and Sien(2002) ve

Shen(1994)‟in yaptıkları çalıĢmalardan görülmektedir. Ayrıca Tseng ve Wu (2007) normal ve

üstel dağılımın yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi için MSKÖ ve SKÖ altında kritik değerleri

elde etmek üzere, göreli etkinlik değerlerine bağlı bir formül geliĢtirmiĢlerdir.

Bu çalıĢmada, SKÖ altında yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi incelenmiĢtir. SKÖ altında

örnek ortalaması istatistiğinin dağılımı teorik olarak bulunamadığından hipotez testi için gerekli

kritik değerlerin elde edilmesi mümkün olamamaktadır. Bu nedenle Monte Carlo yöntemi

kullanılarak ortalamaya iliĢkin hipotez testlerinde farklı örnek çapları için kritik değerler elde

edilmiĢtir. Ayrıca elde edilen kritik değerler için, örnek çapına bağlı bir fonksiyon önerilmiĢtir.

Bu fonksiyon kullanılarak, herhangi bir örnek çapı için kritik değer belirlenebilmektedir. Kritik

değerler kullanılarak, SKÖ nün BTÖ ye göre I. tip hata ve testin gücü bakımından

karĢılaĢtırmaları yapılmıĢ ve hangi durumlarda SKÖ nün daha iyi sonuç verdiği belirlenmeye

çalıĢılmıĢtır.

2. YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN HĠPOTEZ TESTĠNDE KRĠTĠK DEĞER

FONKSĠYONU

Bu bölümde normal dağılımdan elde edilen n çaplı sıralı küme örneği kullanılarak yığın

ortalamasına iliĢkin yığın varyansı biliniyorken ve bilinmiyorken hipotez testi ele alınacaktır.

Burada incelenecek alternatif hipotez çift yönlüdür. Yığın ortalamasına iliĢkin dikkate alınacak



hipotezler; 0 0:H ,

1 0:H olmak üzere, test istatistiği elde edilirken yığın dağılımının

normal olduğu varsayımı altında, SKÖ ile elde edilen n çaplı sıralı küme örneğinden

yararlanılacaktır.

1) Yığın Varyansı Biliniyorken: n çaplı sıralı küme örneğinden elde edilen örnek ortalaması

istatistiği ( : )

1

/n

i iSKÖ

i

Y Y n

olmak üzere, yığın varyansı 2 biliniyorken kullanılacak test

istatistiği;

0SKÖ

SKÖ

-Z =

/ n

Y

olarak tanımlanır. Bu test istatistiğinin kritik değerlerini elde etmek amacıyla H0‟ın doğruluğu

altında, 106 adet n çaplı sıralı küme örneği üretilmiĢtir. Bu değerler için ZSKÖ hesaplanarak

sıralanmıĢ ve alt ve üst %2.5luk kısma karĢılık gelen değer kritik değer olarak belirlenmiĢtir. Bu

aĢamada farklı örnek çapları için elde edilen kritik değerlerden yararlanarak bu değerler için

örnek çapına bağlı bir fonksiyon oluĢturulmaya çalıĢılmıĢtır. En uygun fonksiyonu elde etmek

üzere, Matlab 2009a programından yararlanılarak, farklı modeller için verinin çeĢitli ölçülerle

uygunluğu test edilmiĢ ve en uygun model elde edilmeye çalıĢılmıĢtır. Yığın varyansı

biliniyorken elde edilen fonksiyon aĢağıda verilmiĢtir.

2

1 2

3 2

1 2 3 4

( 1)

( )

p n p nC

q n q n q n q

Bu modelde, p1=0.0027, p2=0.1955, q1=0.00002, q2=0.0099, q3=0.2198, q4=0.3862 ve belirleme

katsayısı R2=0.99996‟dir. Modelin uygunluğunu test etmek üzere, Monte Carlo ile elde edilen

kritik değerler ile modelden elde edilen kritik değerler arasındaki mutlak fark ( ), oransal fark (

) ve uygunluk katsayısı (AP) kullanılmıĢtır. C C , ˆ ˆ/C C C , AP=1- olmak üzere,

örnek çapı n in farklı değerleri için C , C , , , ve AP değerleri Tablo1 de verilmiĢtir.

Tablo1 e bakıldığında incelenen tüm örnek çapları için, Monte Carlo kritik değer tahmin

değerleri ile modelden elde edilen yaklaĢık kritik değerler arasındaki uygunluk katsayısı

%99.75‟in üzerindedir. Ayrıca aralarındaki mutlak farkın 0.004‟ün altında olduğu görülmektedir.

Dolayısıyla bu modelden elde edilen kritik değerler oldukça yüksek güvenirliğe sahiptir.



Tablo 1.Yığın varyansı biliniyorken Monte Carlo( C ) ve model yardımıyla ( C ) elde edilen

kritik değerler

n C C (%) AP(%)

3 1.4183 1.4188 0.0004 0.0313 99.9687

5 1.1802 1.1782 0.0020 0.1678 99.8322

7 1.0304 1.0342 0.0038 0.3648 99.6352

9 0.9356 0.9353 0.0003 0.0283 99.9717

12 0.8318 0.8313 0.0005 0.0551 99.9449

15 0.7575 0.7572 0.0003 0.0374 99.9626

18 0.7010 0.7007 0.0003 0.0387 99.9613

21 0.6542 0.6556 0.0014 0.2107 99.7893

24 0.6182 0.6186 0.0004 0.0614 99.9386

28 0.5780 0.5780 0.0001 0.0112 99.9888

32 0.5444 0.5447 0.0003 0.0624 99.9376

36 0.5160 0.5167 0.0008 0.1522 99.8478

40 0.4928 0.4928 0.0000 0.0056 99.9944

45 0.4667 0.4673 0.0006 0.1262 99.8738

50 0.4462 0.4455 0.0007 0.1558 99.8442

2) Yığın Varyansı Bilinmiyorken: X rastgele değiĢkeni, beklenen değeri ve varyansı 2 olan

normal dağılıma sahip olmak üzere, 0 0:H 1 0:H hipotezinin test edilmesi için bu

dağılımdan n birimlik sıralı küme örneği elde edilsin. Yığın varyansının bilinmediği varsayımı

altında test iĢlemi için kullanılacak test istatistiği

0SKÖ

SKÖ

SKÖ

-=

S / n

YT

olmak üzere, yığın varyansı için SKÖ ile elde edilen yansız tahmin edici,

21

( : )2 :

2 21 1: :

ˆ1

n ni i bluei n

SKÖ

i n i n

YS n

Ģeklindedir. Burada

2

( : ) :

1

2

:

1

/

ˆ

1/

n

i i i n

blue n

i n

Y



olarak tanımlanmaktadır. Ayrıca :i n ve 2

:i n sırasıyla standart normal dağılımdan elde edilen n

çaplı örnekteki i. sıra istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını ifade etmektedir (Yu ve

diğ.,1996).

Önerilen test istatistiğinin kritik değerleri,

2

1 2

3 2

1 2 3 4

( )

( )

n p n pC

q n q n q n q

yaklaĢık formülü ile elde edilebilir. Bu modelde, p1= 0.0319, p2=-0.2172, q1=0.00015,

q2=0.0520, q3= 0.3502, q4= -0.8213 olarak elde edilmiĢtir. Modelin belirleme katsayısı

R2=0.99997 dir.

Önerilen modelin uygunluğunu test etmek üzere, Monte Carlo ile elde edilen kritik değerler ile

modelden elde edilen kritik değerler arasındaki mutlak fark ( ), oransal fark ( ) ve uygunluk

katsayısı (AP) kullanılmıĢtır. Bu değerler örnek çapı n in farklı değerleri için Tablo 2‟de

hesaplanmıĢtır.

Tablo 2. Yığın varyansı bilinmiyorken örnek çaplarına göre =0.05 iken Monte Carlo ( C ) ve

model yardımıyla ( C ) elde edilen kritik değerler

n C C (%) AP(%)

3 4.3773 4.3758 0.0015 0.0335 99.9665

5 2.4818 2.4812 0.0005 0.0218 99.9782

7 1.9731 1.9727 0.0004 0.0205 99.9795

9 1.7076 1.7083 0.0007 0.0404 99.9596

12 1.4727 1.4711 0.0016 0.1070 99.8930

15 1.3196 1.3194 0.0002 0.0129 99.9871

18 1.2095 1.2113 0.0017 0.1426 99.8574

21 1.1292 1.1291 0.0002 0.0164 99.9836

24 1.0642 1.0638 0.0003 0.0302 99.9698

28 0.9952 0.9947 0.0004 0.0451 99.9549

32 0.9385 0.9397 0.0012 0.1250 99.8750

36 0.8934 0.8944 0.0010 0.1166 99.8834

40 0.8569 0.8563 0.0006 0.0650 99.9350

45 0.8141 0.8162 0.0021 0.2615 99.7385

50 0.7825 0.7823 0.0001 0.0161 99.9839



4. SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ ĠLE BASĠT TESADÜFÎ ÖRNEKLEMENĠN

1.NCĠ TĠP HATA VE TESTĠN GÜCÜ BAKIMINDAN KARġILAġTIRILMASI

Bu bölümde, yığın ortalamasının hipotez testi için 1 0:H

alternatif hipotezi dikkate alınarak

BTÖ ve SKÖ tasarımları I. tip hata ve testin gücü bakımından karĢılaĢtırılmıĢtır. Öncelikle yığın

varyansının bilindiği durumda belirlenen n örnek çapı için, ortalaması 1 (0.0(0.1)1.5) ve

varyansı 2=1 olan normal dağılımdan 10

6 veri üretilerek, SKÖ ve BTÖ tasarımlarına uygun

olarak test istatistikleri elde edilmiĢtir. Buradan red oranları dikkate alınarak I. tip hata ve testin

gücü değerleri tahmin edilmiĢtir. Elde edilen değerler Tablo 3‟te verilmiĢtir.

Tablo 3.Varyans biliniyorken yığın ortalamasının çift yönlü testi için 1.nci tip hata ve testin gücü

değerleri

n

|1-

0|

3 5 7 9 12 15 18 21

0.0 SKÖ 0.0509 0.0515 0.0487 0.0508 0.0502 0.0507 0.0508 0.0488

BTÖ 0.0509 0.0495 0.0497 0.0500 0.0493 0.0516 0.0503 0.0509

0.1

SKÖ 0.0564 0.0664 0.0786 0.0973 0.1283 0.1668 0.2188 0.2777

BTÖ 0.0528 0.0566 0.0567 0.0592 0.0647 0.0664 0.0717 0.0750

0.2

SKÖ 0.0768 0.1159 0.1695 0.2374 0.3737 0.5165 0.6626 0.7833

BTÖ 0.0636 0.0741 0.0823 0.0920 0.1066 0.1223 0.1363 0.1520

0.3

SKÖ 0.1111 0.1995 0.3253 0.4706 0.6869 0.8539 0.9462 0.9843

BTÖ 0.0820 0.1029 0.1270 0.1450 0.1807 0.2120 0.2466 0.2808

0.4

SKÖ 0.1600 0.3169 0.5188 0.7098 0.9031 0.9805 0.9970 0.9998

BTÖ 0.1058 0.1445 0.1855 0.2248 0.2834 0.3410 0.3989 0.4485

0.5 SKÖ 0.2224 0.4598 0.7076 0.8819 0.9833 0.9988 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1411 0.2014 0.2640 0.3197 0.4117 0.4916 0.5633 0.6297

0.6 SKÖ 0.2980 0.6046 0.8531 0.9654 0.9986 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1789 0.2658 0.3576 0.4367 0.5460 0.6423 0.7204 0.7859

0.7 SKÖ 0.3892 0.7386 0.9391 0.9922 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2288 0.3433 0.4608 0.5547 0.6786 0.7744 0.8417 0.8942

0.8 SKÖ 0.4807 0.8464 0.9808 0.9988 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2839 0.4332 0.5637 0.6724 0.7929 0.8723 0.9239 0.9572

0.9 SKÖ 0.5805 0.9177 0.9945 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.3462 0.5195 0.6625 0.7702 0.8755 0.9353 0.9689 0.9849

1.0 SKÖ 0.6718 0.9605 0.9989 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.4096 0.6096 0.7549 0.8519 0.9339 0.9731 0.9890 0.9958

1.1 SKÖ 0.7502 0.9836 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.4771 0.6921 0.8285 0.9104 0.9678 0.9892 0.9964 0.9990

1.2 SKÖ 0.8198 0.9937 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.5476 0.7675 0.8877 0.9491 0.9859 0.9963 0.9990 0.9998

1.3 SKÖ 0.8763 0.9978 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.6157 0.8264 0.9310 0.9741 0.9944 0.9989 0.9998 1.0000

1.4 SKÖ 0.9179 0.9994 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.6807 0.8810 0.9600 0.9876 0.9979 0.9997 1.0000 1.0000

1.5 SKÖ 0.9483 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.7374 0.9181 0.9766 0.9944 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000

Tablo 3‟te |1-0| =0 iken elde edilen değerler I. tip hata değerlerini vermektedir. Tablodan

görüldüğü gibi her iki tasarımında da I. tip hata değerleri nominal (0.05) değerlerine oldukça



yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. 1-0 farkı arttıkça her iki tasarımda da testin güç değerleri

artmakla birlikte, SKÖ tasarımından elde edilen güç değerleri BTÖ den elde edilen güç

değerlerinden daha yüksektir. Özellikle 1-0 farkının 0.3 ile 0.8 arasında olması durumunda

örnek çapı arttıkça testin güçleri arasındaki farklılık artmaktadır. Örneğin; örnek çapı 18 iken 1-

0=0.3 olduğunda SKÖ ile elde edilen testin gücü 0,9462 iken, BTÖ ile elde edilen testin gücü

0,2466 olarak elde edilmiĢtir. Benzer Ģekilde, SKÖ nün en yaygın kullanıldığı küçük örnek

çaplarında bile testlerin güçleri arasındaki bu farklılık oldukça yüksektir.

Tablo 4. Varyans bilinmiyorken yığın ortalamasının çift yönlü testi için 1.nci tip hata ve testin

gücü değerleri

n

|1-

0|

3 5 7 9 12 15 18 21

0,0 SKÖ 0.0496 0.0483 0.0510 0.0496 0.0507 0.0517 0.0502 0.0520

BTÖ 0.0503 0.0502 0.0502 0.0506 0.0515 0.0502 0.0487 0.0510

0,1

SKÖ 0.0534 0.0605 0.0711 0.0859 0.1172 0.1544 0.2038 0.2558

BTÖ 0.0511 0.0534 0.0555 0.0577 0.0616 0.0648 0.0701 0.0734

0,2

SKÖ 0.0619 0.0925 0.1417 0.2037 0.3239 0.4630 0.6072 0.7377

BTÖ 0.0550 0.0642 0.0741 0.0834 0.0974 0.1122 0.1250 0.1414

0,3

SKÖ 0.0760 0.1458 0.2542 0.3894 0.6095 0.7963 0.9180 0.9721

BTÖ 0.0623 0.0823 0.1048 0.1238 0.1590 0.1915 0.2250 0.2587

0,4

SKÖ 0.0954 0.2222 0.4046 0.6051 0.8412 0.9584 0.9924 0.9992

BTÖ 0.0700 0.1075 0.1449 0.1865 0.2445 0.3045 0.3604 0.4172

0,5 SKÖ 0.1203 0.3116 0.5690 0.7861 0.9571 0.9952 0.9998 1.0000

BTÖ 0.0837 0.1397 0.2016 0.2623 0.3538 0.4373 0.5174 0.5898

0,6 SKÖ 0.1496 0.4183 0.7182 0.9062 0.9920 0.9997 1.0000 1.0000

BTÖ 0.0974 0.1783 0.2677 0.3547 0.4721 0.5791 0.6673 0.7447

0,7

SKÖ 0.1834 0.5290 0.8351 0.9662 0.9990 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1163 0.2290 0.3458 0.4549 0.5990 0.7114 0.8006 0.8615

0,8 SKÖ 0.2209 0.6316 0.9137 0.9897 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1353 0.2812 0.4300 0.5616 0.7141 0.8220 0.8932 0.9365

0,9 SKÖ 0.2572 0.7266 0.9585 0.9974 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1543 0.3395 0.5159 0.6578 0.8085 0.9005 0.9494 0.9742

1,0 SKÖ 0.3017 0.8038 0.9827 0.9995 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.1798 0.3990 0.5990 0.7460 0.8840 0.9486 0.9789 0.9914

1,1 SKÖ 0.3437 0.8666 0.9927 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2040 0.4641 0.6840 0.8207 0.9330 0.9776 0.9925 0.9976

1,2 SKÖ 0.3908 0.9112 0.9972 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2287 0.5309 0.7544 0.8839 0.9660 0.9907 0.9978 0.9994

1,3 SKÖ 0.4348 0.9427 0.9992 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2602 0.5935 0.8171 0.9267 0.9839 0.9966 0.9991 0.9998

1,4 SKÖ 0.4778 0.9657 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.2840 0.6560 0.8669 0.9565 0.9927 0.9988 0.9999 1.0000

1,5 SKÖ 0.5241 0.9805 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

BTÖ 0.3166 0.7107 0.9059 0.9754 0.9972 0.9997 1.0000 1.0000

Tablo 4‟ten görüldüğü gibi, her iki tasarımında I. tip hataları nominal (0.05) değerlerine oldukça

yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. Ayrıca yığın varyansının bilinmediği durumda beklendiği

gibi testin gücü değerleri yığın varyansının bilindiği Tablo 3‟teki değerlerden daha düĢüktür.

Ancak SKÖ tasarımından elde edilen güç değerleri BTÖ den elde edilen değerlerden daha

yüksektir.



KAYNAKLAR

Al-Saleh, M.F., (2004). On the totality of ranked set sampling. Applied Mathematics and

Computation. 47, 527-539.

McIntyre, G. A., (1952). A method of unbiased selective sampling, using ranked sets.

Australian Journal of Agricultural Research. 3: 385-390.

Mutlak, H. A.,Abu-Dayyeh, W.,(1998). Testing some hypothesis about the normal distribution

using ranked set sample: A more powerful test. Journal of Information and Optimization

Sciences. 19: 1-11.

Al-Nasser,A.D., (2007), L ranked set sampling: A generalization procedure for robust visual

sampling,Communication in Statistics:Simulation and Computation(36):33-43.

Pan, Y.J., Sien, W.H.,(2002). Tests for normal parameters based on a ranked set sample. Tunghai

Management review. 4:1-16.

Samawi H.,Abu-Dayyeh W.,Ahmed,M.S, (1996), Estimating the population mean using extreme

ranked set sampling. Biometrical Journal(38)577-586.

Shen, W.H.,(1994), Use of ranked set sampling for test of a normal mean. Calcutta Statistical

Association Bulletin. 44: 183-193.

Sinha, B.K., Sinha, B.K., S. Purkayasta,(1996). On some aspects of ranked set sampling for

estimation of normal and exponential parameters. Statistical Decisions 14: 223-240.

Muttlak, H.A.,(1997). Median ranked set sampling, Applied Statistical Science 6 (4) 245- 255.

Tseng, Y., Wu, S., (2007). Ranked- Set- Sample- based Tests for Normal and Exponential

Means. Communication in Statistics:Simulation and Computation.36: 761-782.

Yu, P.L.H., Lam, K., Sinha, B. K. (1996) Estimation of Variance Based on Balanced and

Unbalanced Ranked Set Samples, Research Report, Serial No. 112, Department of Statistics, The

University of Hong Kong, Hong Kong.



TL/DOLAR DÖVĠZ KURU VERĠLERĠNĠN BULANIK ZAMAN SERĠSĠ

YAKLAġIMLARI ĠLE ÖNGÖRÜSÜ

Cem Koçak1, Erol Eğrioğlu

2, Ufuk Yolcu

2 ve ÇağdaĢ Hakan Aladağ

3

1 Rektörlük Birimi, Hitit Üniversitesi, Çorum

2Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun

3Ġstatistik Bölümü, Hacettepe Üniversitesi, Ankara

ÖZET

Son yıllarda bulanık zaman serisi öngörü yöntemlerine olan ilgi oldukça fazladır. Özellikle döviz

kuru gibi gün içinde değeri sürekli değiĢen zaman serileri bulanık zaman serileri olarak ifade

edilebilmektedir. Gözlemlerinde belirsizlik olan bu tür zaman serilerinin bulanık zaman serisi

olarak ele alınması kuĢkusuz daha doğru olacaktır. Bu çalıĢmada 20.05.2008 - 29.09.2008

tarihleri arasındaki Amerikan Doları kuru (TL/Dolar) zaman serisi çeĢitli klasik ve bulanık

zaman serisi yöntemleri ile çözülerek elde edilen sonuçlar yorumlanmıĢtır. TL/Dolar zaman

serisi için en uygun zaman serisi çözümleme yöntemi belirlenmiĢtir.

Anahtar kelimeler: Öngörü, bulanık zaman serileri, döviz kuru.

1. GiriĢ

Bulanık zaman serisi ilk olarak Song ve Chissom (1993) tarafından, Zadeh (1965)‟in bulanık

küme teorisine dayalı olarak ortaya atılmıĢtır. Gözlemleri belirsizlik içeren zaman serilerinin,

bulanık zaman serileri olarak tanımlanması ve bulanık zaman serisi yaklaĢımları ile

çözümlenmesi gerektiği Song ve Chissom (1993)‟de belirtilmektedir. Bunun yanında, bulanık

zaman serisi yaklaĢımlarının klasik yaklaĢımlardaki doğrusallık ve gözlem sayısı gibi kısıtları

içermemesi, bu yaklaĢımlara olan ilgiyi giderek arttırmaktadır. Song ve Chissom (1993)‟de

Alabama Üniversitesi kayıt verileri için önerdikleri bulanık zaman serisi yaklaĢımının

literatürdeki klasik yaklaĢımlardan daha doğru öngörü sonuçları verdiğini göstermiĢtir.

Song ve Chissom (1993)‟de önerilen yöntem karmaĢık matris iĢlemleri içermektedir. Bu nedenle

Chen (1996) çalıĢmasın da Song ve Chissom (1993) çalıĢmasındaki karmaĢık bileĢke iĢlemlerine

gerek duymayan, bulanık mantık grup iliĢki tablolarının kullanıldığı bir yaklaĢım önerilmiĢtir.

Song ve Chissom (1993) ve Chen (1996) çalıĢmasın da önerilen yöntemler birinci dereceden

bulanık zaman serisi modelini kullanmaktadır. Chen (2002)‟de ise yine bulanık mantık grup iliĢki

tablolarını kullanan yüksek dereceli bir bulanık zaman serisi yaklaĢımı önerilmiĢtir. Chen (2002)

çalıĢmasında önerilen yöntem, bir çok bulanık mantık grup iliĢki tablosu elde edilmesini

gerektirdiğinden oldukça fazla iĢleme gerek duyan bir yöntemdir. Aladağ vd. (2009)‟da ise

bulanık iliĢkilerin ileri beslemeli yapay sinir ağları ile belirlendiği ve Chen (2002)‟ye göre daha

kolay hesaplamalar içeren yüksek dereceli bir bulanık zaman serisi yaklaĢımı önerilmiĢtir.

Literatürde döviz kuru verilerinin doğrusal dıĢı yapılar içerdiği ve klasik zaman serisi

yaklaĢımları ile çözümlenemediği belirtilmektedir (Kadılar, 2009). Döviz kuru verileri Giddy ve

Duffey (1975), Hakkio ve Rush (1986) çalıĢmalarında rastgele yürüyüĢ modeli ile, Baharumshah



ve Liew (2001), Brooks (1997) ve Palma ve Chan (1997) doğrusal olmayan zaman serisi

yaklaĢımları ile çözümlemiĢtir. Gradojevic ve Yang (2000), Kadilar vd. (2009)‟da ise yapay sinir

ağları ile döviz kuru verilerini çözümlemiĢtir.

Bu çalıĢmada 20.05.2008 - 29.09.2008 dönemine ait TL/USD döviz kuru (USD) zaman serisi

literatürde ile olarak bulanık zaman serisi yöntemleri ile çözümlenerek klasik yaklaĢımlar ile

bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından elde edilen sonuçlar karĢılaĢtırılmıĢtır. Veriye klasik

yaklaĢımlardan ARIMA ve Basit Üstel DüzleĢtirme yöntemleri ve bulanık zaman serisi

yaklaĢımlarından Chen (1996), Chen (2002) ve Aladağ vd. (2009) yöntemleri uygulanmıĢtır.

ÇalıĢmanın 2 bölümünde uygulamada kıllanılan yöntemler hakkında kısa bilgi verilmiĢtir.

Üçüncü bölümde tanıtılan yöntemlerin TL/Dolar zaman serisine uygulanmasının detayları ve

elde edilen sonuçlar verilmiĢtir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar tartıĢılmıĢtır.

2. Uygulamada Kullanılan Yöntemler

2.1. ARIMA Modelleri

ARIMA modelleri literatür de en iyi bilinen doğrusal zaman serisi yöntemleridir. ARIMA

modelleri verideki doğrusal yapıyı modellemeyi amaçlamaktadır. Yöntemin uygulanması için

Box ve Jenkins (1976)‟da bir algoritma verilmektedir. Box-Jenkins yöntemi olarak da bilinen bu

algoritma model belirleme, parametre tahmini, artık analizi ve öngörü aĢamalarından

oluĢmaktadır. (p,d,q). dereceden bir model sembolik olarak ARIMA(p,d,q) ile gösterilmekte ve

aĢağıdaki eĢitlikteki gibi yazılmaktadır.

ttd aBXBB )()1)(( (1)

Burada, p

p BBBB 2

211)( , q

q BBB 11)( , ptt

p XXB

olmaktadır. ARIMA(0,1,0) modeli rastgele yürüyüĢ modeli olarak da bilinmektedir.

2.2. Basit Üstel DüzleĢtirme

Bu yöntem literatür de birçok çalıĢmada kullanılmıĢ klasik zaman serisi yaklaĢımlarındandır.

Yöntemde her bir tahmin bir önceki dönemin gerçek değeri ile tahmininin ağırlıklı toplamıdır.

Yöntem döviz kuru gibi bir ortalama etrafında salınan zaman serileri için baĢarılı öngörü

sonuçları vermektedir. Basit üstel düzleĢtirme modelinde tahminler, α düzleĢtirme katsayısı

olmak üzere aĢağıdaki formül ile hesaplanır.

ttt XXX ˆ)1(ˆ1 (2)

Basit üstel düzleĢtirme yöntemi ile ilgili detaylar Kadılar (2003)‟den elde edilebilir.



2.3. Chen „in Birinci dereceden Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımı

Bulanık zaman serisi ilk olarak Song ve Chissom (1993) tarafından, Zadeh (1965)‟in bulanık

küme teorisine dayalı olarak ortaya atılmıĢtır. Chen (1996) çalıĢmasın da Song ve Chissom

(1993) çalıĢmasındaki karmaĢık bileĢke iĢlemlerine gerek duymayan, bulanık mantık grup iliĢki

tablolarının kullanıldığı bir yaklaĢım önerilmiĢtir. Chen (1996)‟da önerilen yöntem aĢağıda

algoritma olarak verilmiĢtir.

Adım 1. Evrensel küme )(U ve alt aralıkları ),...,2,1,( biui tanımlanır.

Evrensel kümenin baĢlangıç ve bitiĢ noktaları belirlenir. Bu noktalar zaman serisinin aldığı ve

alabileceği mümkün değerleri kapsayacak Ģekilde seçilir. Daha sonra uygun aralık uzunluğuna

göre evrensel küme alt aralıklara parçalanır. Bu yöntemde aralık uzunluğunun belirlenmesi

araĢtırmacıya bağlıdır. Belirlenecek aralık uzunluğunun alt aralık sayısı üzerinde etkili olduğu

unutulmamalıdır.

Adım 2. Evrensel küme ve parçalanmalara bağlı olarak bulanık kümeler tanımlanır.

biuufuufA bbAAi ii,...,2,1/)(/)( 11

Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir gözlemin bulunduğu alt aralık belirlenir. Belirlenen

alt aralığın en yüksek üyelik değerine sahip olduğu bulanık küme belirlenir. Gözlemin bulanık

değeri belirlenen bu bulanık kümedir.

Adım 4. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tablosu oluĢturulur. Örneğin, bulanık mantık iliĢkiler

311121 ,, AAAAAA Ģeklinde iken, bulanık mantık grup iliĢki 1321 ,, AAAA Ģeklinde

olmaktadır.

Adım 5. Öngörüler elde edilir.

Öngörü elde etmede birkaç durum söz konusudur. jAtF )1( olsun.

Durum 1. Bulanık grup iliĢki tablosundan sadece ji AA iliĢkisi var ise öngörü

jA .

Durum 2. Bulanık grup iliĢki tablosunda kjii AAAA ,...,, ise öngörü

kji AAA ,...,, .

Durum 3.Bulanık grup iliĢki tablosunda BoşAi ise öngörü iA ‟dir.

Adım 6. DurulaĢtırma iĢlemi uygulanır. DurulaĢtırmada merkezileĢtirme yöntemi kullanılır.

Adım 5 de belirtilen durum 1 ve 3 için bulanık öngörü jA olduğunda durulaĢtırılmıĢ öngörü,

jA

bulanık kümesinde en yüksek üyelik değerine sahip olan ju aralığının orta noktası olmaktadır.

Durum 2 için ise bulanık öngörü kji AAA ,...,, olduğunda durulaĢtırılmıĢ öngörü, her bir

kji AAA ,...,, bulanık kümelerinin en yüksek üyelik değerine sahip olan kji uuu ,...,, aralıklarının

orta noktalarının aritmetik ortalaması olarak elde edilir.



2.4. Chen‟nin Yüksek Dereceli Bulanık Zaman Serisi Yöntemi

Chen, 2002 yılında yaptığı çalıĢmada öngörü elde etmede yüksek dereceli bulanık zaman serisi

yaklaĢımını önermiĢtir. Chen (2002) tarafından verilen bu yöntemde yüksek dereceli modellerde

tüm gecikmeli bulanık değiĢkenler bulunmaktadır. Chen (2002) çalıĢmasında önerilen yüksek

dereceli bulanık zaman serisi yönteminin algoritması aĢağıdaki adımlardan oluĢur.

Adım 1. Evrensel küme ve alt aralıklar tanımlanır.

Adım 2.Evrensel küme ve belirlenen alt aralıklara bağlı olarak jA bulanık kümeleri tanımlanır.

Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir veri bulunduğu aralığın en büyük üyelik değerine

sahip olduğu bulanık küme ile eĢleĢtirilerek zaman serisi bulanıklaĢtırılır.

Adım 4. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tablosu oluĢturulur. n‟nci dereceden bulanık mantık

iliĢkiler,

jpiniin

jiniin

jiniin

AAAA

AAAA

AAAA

1)1(

21)1(

11)1(

,,,

,,,

,,,

Ģeklinde verilmiĢken, bulanık mantık grup iliĢkisi,

jpjjiniin AAAAAA ,,,,,, 211)1(

olarak elde edilir. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tabloları, elde edilen bu bulanık mantık

iliĢki ve grup iliĢkilerden oluĢur.

Adım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. n‟nci dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli için

bulanık öngörüler elde edilirken üç durum söz konusudur.

Durum 1. n‟nci dereceden bulanık mantık grup iliĢki tablosunda,

jiniin AAAA 1)1( ,,, iliĢkisi mevcut ise bulanık öngörü, jA olacaktır.


jpjjiniin AAAAAA ,,,,,, 211)1( iliĢkisi mevcut ise bulanık öngörüde belirsizlik söz

konusudur ve bulanık öngörünün elde edilebilmesi için belirsizlik giderilene kadar incelenen

derecenin bir üst derecesine bakılarak m>n olmak üzere,

jimiim AAAA 1)1( ,,, iliĢkisini veren

m aranır ve bu durumda bulanık öngörü, yine jA olacaktır.


BoşAAA iniin 1)1( ,,,



iliĢkisi mevcut ise reel öngörü, 1)1( ,,, iniin AAA

bulanık kümelerine bağlı olarak,

1)1( ,,, iniin uuu aralıklarının orta noktaları,

1)1( ,,, iniin mmm olmak üzere,

n

mnmm iniin

21

21 1)1(

ifadesi ile elde edilir.

Adım 6. DurulaĢtırma iĢlemi uygulanır.

DurulaĢtırmada merkezileĢtirme yöntemi kullanılır. Öngörülerin elde edilmesinde karĢılaĢılan

Durum 1. ve Durum 2. için bulanık öngörü jA olarak elde edilmiĢken, durulaĢtırılmıĢ öngörü,

jA bulanık kümesinde en yüksek üyelik değerine sahip olan ju aralığının orta noktası olacaktır.

Durum 3. için ise reel öngörünün, 1)1( ,,, iniin AAA bulanık kümelerine bağlı olarak nasıl elde

edildiği daha önce belirtilmiĢti.

2.5. Yapay Sinir Ağlarına Dayalı Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımı

Aladağ vd. (2009) çalıĢmasında bulanık iliĢkilerin ileri beslemeli yapay sinir ağları ile

belirlendiği yüksek dereceli bulanık zaman serisi öngörü modeline dayalı bir yöntem

önerilmiĢtir. Önerilen yöntem Chen (2002) yöntemindeki karmaĢık bulanık grup iliĢki tablolarına

gerek duymamaktadır. Aladağ vd. (2009) yöntemi aĢağıda algoritma halinde verilmiĢtir.

Adım 1. Evrensel küme ve alt aralıklar tanımlanır.

Adım 2. Evrensel küme ve belirlenen alt aralıklara bağlı olarak jA bulanık kümeleri tanımlanır.

Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir veri bulunduğu aralığın en büyük üyelik değerine

sahip olduğu bulanık küme ile eĢleĢtirilerek zaman serisi bulanıklaĢtırılır.

Adım 4. Ġleri beslemeli yapay sinir ağı kullanılarak bulanık mantık iliĢkiler belirlenir. Yapay

sinir ağının girdileri: gecikmeli değiĢkenlerden, çıktıları: öngörülerden ve hedef değerleri ise

gerçek verinin bulanık değerlerinden oluĢur. Yapay sinir ağı verilen girdi ve çıktılara göre

eğitilir. Girdi nöronlarının sayısı modelin derecesi olmaktadır. Gizli tabaka birim sayısına

deneme yanılma yöntemi ile karar verilmektedir. Çıktı birimindeki nöron sayısının ise bir olacağı

açıktır.

Adım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. Önceki adımda elde edilen yapay sinir ağı modeli

kullanılarak, yapay sinir ağının çıktıları hesaplanır. Hesaplanan çıktılar, öngörülerin ait olduğu

bulanık kümelerin numaralarıdır.

Adım 6. Bulanık öngörülere durulaĢtırma iĢlemi uygulanır.



3. TL/Dolar Zaman Serisinin Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımları ile Çözümlenmesi

20.05.2008 - 29.09.2008 tarihleri arasındaki Amerikan Doları kuru (TL/Dolar) zaman serisi

çeĢitli klasik ve bulanık zaman serisi yöntemleri ile çözümlenmiĢtir. Klasik yöntemlerden veriye

uygun olan ARIMA(0,1,0) (rastgele yürüyüĢ modeli) ve basit üstel düzleĢtirme yöntemleri

uygulanmıĢtır. Bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından Chen (1996) yönteminin uygulanmasında

aralık uzunluğu 0.01 olarak alınmıĢtır. Chen (2002) yönteminin uygulanmasında model derecesi

1 ile 5 arasında değiĢtirilerek ve aralık uzunluğu 0.01 alınarak incelenen beĢ modelden en uygun

model 3. Dereceden model olarak elde edilmiĢtir. Aladağ vd. (2009) yönteminin

uygulanmasından model derecesi 1 ile 5 ve gizli tabaka birim sayısı 1 ile 5 arasında değiĢtirildiği

25 modelden en uygun model 3. Dereceden ve 1 gizli tabaka biriminin bulunduğu aralık

uzunluğunun 0.01 olduğu model olarak bulunmuĢtur. Tüm yöntemlerden elde edilen öngörü

sonuçları Tablo 1‟de özetlenmiĢtir.

4. Sonuçlar ve TartıĢma

(TL/Dolar) zaman serisi için uygulanan yöntemlerin sonuçları incelenirse, bulanık zaman serisi

yaklaĢımlarının klasik yaklaĢımlardan daha iyi sonuç verdiği görülmektedir. En uygun bulanık

zaman serisi çözüm yöntemi ise Aladağ vd. (2009) çalıĢmasında önerilen yöntemdir. Bu

yöntemin öngörülerinin bir birimdeki ortalama hatası % 1 (HKOK=0.011), yüzdelik ortalama

hatası % 0,2 (HMYO=0,002) ve yön doğruluğu % 57 olmaktadır.

Tablo 1. Tüm Yöntemler Ġçin Öngörü Sonuçları

Dö

nem

US

D K

uru

AR

IMA

(0,1

,0)

Ba

sit

Üst

el

Dü

zleĢ

tirm

e

Ch

en (

19

96

)

Ch

en (

20

02

)

Ala

da

ğ v

d.

(20

09

)

09.09.2008 1,220 1,240 1,240 1,240 1,228 1,245

10.09.2008 1,220 1,240 1,240 1,225 1,230 1,225

11.09.2008 1,230 1,240 1,240 1,225 1,225 1,225

12.09.2009 1,250 1,240 1,240 1,240 1,231 1,235

15.09.2008 1,240 1,240 1,240 1,245 1,243 1,245

16.09.2008 1,260 1,240 1,240 1,240 1,247 1,245

17.09.2008 1,270 1,240 1,240 1,265 1,257 1,255

18.09.2008 1,260 1,240 1,240 1,275 1,267 1,255

19.09.2008 1,270 1,240 1,240 1,265 1,268 1,255

22.09.2008 1,250 1,240 1,240 1,275 1,272 1,255

23.09.2008 1,240 1,240 1,240 1,245 1,263 1,245

24.09.2008 1,230 1,240 1,240 1,240 1,253 1,235

25.09.2008 1,230 1,240 1,240 1,240 1,242 1,235

26.09.2008 1,230 1,240 1,240 1,240 1,237 1,235

29.09.2008 1,230 1,240 1,240 1,240 1,235 1,235

HKOK 0,017 0,017 0,012 0,013 0,011

HMYO 0,012 0,012 0,025 0,024 0,002

YD 0,429 0,429 0,429 0,429 0,571



5. Kaynaklar

1- Aladag, C.H., Basaran, M.A., Egrioglu, E., Yolcu, U., Uslu, V.R., (2009). Forecasting in

HighOrder Fuzzy Times Series by Using Neural Networks to Define Fuzzy Relations, Expert

Systems with Applications, 36, 4228-4231.

2- Chen, S.M. (1996). Forecasting enrollments based on fuzzy time-series. Fuzzy Sets and

Systems, 81, 311-319.

3- Chen, S.M., (2002). Forecasting enrollments based on high order fuzzy time series,

Cybernetics and Systems, 33:1-16.

4- Song, Q. and Chissom, B.S., (1993). Fuzzy time series and its models, Fuzzy Sets and

Systems, 54, 269-277.

5- Zadeh L.A., (1965). Fuzzy Sets, Inform and Control, 8 (1965) 338-353.



HETEROJEN VARYANS DURUMUNDA ORTALAMALARIN EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN

YENĠDEN ÖRNEKLEME TEKNĠKLERĠNE DAYALI BĠR ÇALIġMA

Esra YĠĞĠT* Hamza GAMGAM

**

*Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Ġstatistik Bölümü Teknikokullar Ankara, [email protected]

**Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Ġstatistik Bölümü Teknikokullar Ankara, [email protected]

ÖZET

Klasik varyans analizinde, varyansların eĢitlik varsayımının sağlanmaması en çok karĢılaĢılan

problemlerden biridir. Literatürde bu konuyla ilgili bir çok test istatistiği geliĢtirilmiĢtir. Bu

çalıĢmada GenelleĢtirilmiĢ F, Parametrik Bootstrap ve Permütasyon testleri tanıtılmıĢtır ve farklı

yığın parametreleri ve örnek hacimleri altında deneysel I.tip hata oranı ve testin gücü bakımından

karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır.

Anahtar kelimeler: GenelleĢtirilmiĢ F test, Parametrik Bootstrap test, Permütasyon test

A COMPARĠSON OF SEVERAL TESTS FOR ONE-WAY ANOVA UNDER UNEQUAL

VARIANCES

ABSTRACT

Heteroscedasticity is one of the major practical problems encountered in ANOVA problems. For

this problem a large number of tests are available in the literature. In this study we compare some

of tests which are Generalized F-test, Parametric Bootstrap test, Randomization test and Xu-

Wang test. The sizes and powers of the tests are calculated using a Monte Carlo simulation for

various combinations of variance, means, population number and sample size.

Key Words : Generalized F test, Parametric Bootstrap test, Randomization tests

1. GĠRĠġ

Klasik varyans analizi herbiri normal dağılıma sahip olan ikiden fazla yığının ortalamalarının

eĢitliği hipotezinin testi amacıyla kullanılır. Bunun için kullanılan klasik F testi bazı

varsayımları gerektirir. Bu varsayımlardan yığınların varyanslarının eĢitliği varsayımı

sağlanmıyor ancak heterojenlik çok az ise klasik F testi bundan çok az etkilenmektedir [Box,

1954]. Buna karĢın yığınların varyansları arasındaki fark arttıkça ve özellikle örnek hacimleri eĢit

değilse çok ciddi problemler ortaya çıkmaktadır [Bishop, 1976; Reed ve Stark, 1995]. Bu yüzden




bu varsayım en kritik varsayımdır. Böyle bir durumda klasik F testi sağlam (robust) bir test

değildir. Özellikle örnek hacmi ve yığın varyansı ters orantılı olduğunda klasik F testi için . tip

hata oranı nominal . tip hatadan oldukça büyük, doğru orantılı olduğu zaman ise oldukça

küçüktür [Krutchkoff ,1988; Lee ve Ahn, 2003].

Homojen varyans varsayımı sağlanmadığında yokluk hipotezinin reddini destekler nitelikte

önemli kanıtlar olsa bile bazen klasik F testi ile büyük hacimli örnekler durumunda bile yokluk

hipotezi reddedilemiyebilir. Birçok alanda, büyük hacimli örneklerin elde edilemeyeceği

düĢünülürse bu durum önemli bir sıkıntı doğurabilir. Büyük hacimli örnekleri elde etmenin zor

olduğu alanlardan biri biomedikal çalıĢmalardır. Böyle uygulamalarda her bir veri hayati öneme

sahip olabilir veya bu veriyi elde etmek çok pahalı olup zaman alabilir. Bu durumda yeterli örnek

hacmine sahip olunamamaktadır. Böylece küçük hacimli örneklerle çalıĢma zorunluluğu ortaya

çıkar. Böyle durumlarda klasik F testi oldukça kötü sonuçlar vermesinden dolayı alternatif testler

geliĢtirilmiĢtir. Bu test istatistiklerinin bazılarının dağılımı tam olarak bilinirken bazılarının da

dağılımı simülasyon yoluyla yaklaĢık olarak bulunmaktadır [Weerahandi, 1995; Weerahandi,

2004].

Bu çalıĢmada test istatistiklerinin dağılımları simülasyon yoluyla bulunan testlerden Weerahandi

(1995) tarafından önerilen GenelleĢtirilmiĢ F testi, Krishnamoorthy ve ark. (2006)‟nın önerdiği

Parametrik Bootstrap testi ve Manly (1995) tarafından geliĢtirilen permütasyon testleri

tanıtılmıĢtır. Ayrıca simülasyon yoluyla bu test istatistiklerinin, farklı örnek hacmi ve yığınların

farklı varyansları altında deneysel I. tip hata oranları ve testin gücü bakımından karĢılaĢtırmaları

yapılmıĢtır.

2. HOMOJEN OLMAYAN VARYANS VARSAYIMI ALTINDA ORTALAMALARIN

EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN TEST ĠSTATĠSTĠKLERĠ

Yığınların varyansları homojen olmadığı zaman, StandartlaĢtırılmıĢ Gruplar Arası Kareler

Toplamı ve StandartlaĢtırılmıĢ Hata Kareler Toplamı sırasıyla,



2

22 212 2

1 2 21 1

21

, , ,

ki i

k ki ii i i i

b b k eki iii i

i i

n X

n X n SS S S

n

(2.1)

olarak ifade edilir [Weerahandi, 1995]. Homojen varyans varsayımı sağlanmadığı zaman klasik F

test istatistiğinin dağılımı teorik olarak elde edilememektedir. Bu yüzden ortalamaların eĢitliği

hipotezini test etmek için F testine alternatif baĢka test istatistikleri kullanılmaktadır.

2.1. Weerahandi‟nin GenelleĢtirilmiĢ F Testi

Klasik yaklaĢımda test istatistiğinin dağılımının uç bölgesi kullanılırken genelleĢtirilmiĢ

yaklaĢımda ise test değiĢkeni için oluĢturulan örnek uzayının uç bölgesi kullanılır.

GenelleĢtirilmiĢ F testinin p değerinin hesaplanması için uç bölgedeki gözlenen örnek

noktalarının sayısı dikkate alınır. Yokluk hipotezinin doğruluğu altında bu bölgenin olasılığı bize

genelleĢtirilmiĢ p değerini vermektedir [Gamage ve Weerahandi, 1998]. Weerahandi, bu

yöntemde 2

i parametresinin ençok olabilirlik tahmin edicisi olan

22

1

1 in

i ij i

ii

S X Xn

istatistiğinin kullanımını önermiĢtir. Bj değiĢkeni, 2

2

i i

i

n S

istatistiğinin bir fonksiyonu olarak

aĢağıdaki gibi tanımlansın.

2

21

21

21

, 1, , 1

j

i i

i i

j j

i i

i i

n S

B j kn S

(2.2)

Buna göre Bj istatistiğinin dağılımı

1

1

( 1)( 1),

2 2

jji

j

i

nnB beta



olur [Weerahandi, 1995]. EĢ. 2.1 ve EĢ. 2.2 ile i. örnek için 2

2

i i

i

n S

rastgele değiĢkeni Bj

değiĢkenine bağlı olarak aĢağıdaki gibi elde edilir.

2 22

1 11 2 1 1 1 12 2 2

1

, 1 , 2, , 1, 1i i k ke k e i i k e k

i k

n S n Sn SS B B B S B B B i k S B

2

2

i i

i

n S

istatistiği için yapılan ayrıĢtırma bilinmeyen bir parametreye bağlı değildir. Bu yüzden 0H

hipotezinin kabul edilip edilmemesi bu ifadeyi etkilememektedir. Böylece genelleĢtirilmiĢ p

değerinin hasaplanması sağlanmaktadır

Bu durumda genelleĢtirilmiĢ p değeri aĢağıdaki gibi hesaplanır.

2 22 2

3 31 1 2 21,

1 2 1 1 2 1 2 3 1 1

1 , , , ,1 (1 ) (1 ) (1 )

k kk n k b

k k k k

n s n sn s n sn kp E H s

k B B B B B B B B B B

Burada 1,k n kH

, k-1 ve n-k serbestlik derecesine sahip F dağılımının kümülatif dağılım

fonksiyonudur. Buna göre p olduğunda yokluk hipotezi red edilir.

2.2. Parametrik Bootstrap YaklaĢımı

En az bir varsayım sağlandığında Krishnamoorthy ve ark. (2006) Parametrik Bootstrap

yöntemini, bu tek yönlü model yapısı için kullanmayı önermiĢlerdir. Parametrik Bootstrap

yönteminde, verilen örneklerden elde edilen istatistik değerleri parametre değerleri yerine

kullanılarak yeniden örnekler oluĢturulur ve bu da Parametrik Bootstrap örneği olarak

isimlendirilir. Buna göre Bootstrap örneğinin BiX ve 2

BiS istatistiklerinin dağılımları sırasıyla

2

0, iBi

i

SX N

n

, 2 2 2

1 1iBi i n iS S n



Ģeklindedir. EĢ. 2.1‟deki bS fonksiyonunda X ve 2

iS yerine Bootstrap örneğinden elde edilen

BiX ve 2

BiS değiĢkenlerinin dağılımları yazılırsa yeni bBS fonksiyonu

1

1

1

2

2212 2

21 1

2 21

1

1, ;

1

i

i

i

i

ki i i

ki i ni i

bB i n i ki i in

i i n

n Z n

SZ nS Z S

n n

S

(2.4)

elde edilir. Buna göre, 1

2 2, ;ibB i n i bP S Z s s

olduğunda yokluk hipotezi red edilir.

2.3. Permütasyon yöntemi

Manly (1995), homojen varyans varsayımı sağlanmadığında ikiden fazla yığının ortalamalarının

eĢitliği hipotezinin testi için veri dönüĢümü uygulayarak permütasyon yöntemini önermiĢtir.

Böylece oluĢturulan permütasyon dağılımına göre örnek ortalamalarının beklenen değeri

değiĢmemekte fakat örnek varyansları değiĢmektedir. Yapılan bu veri dönüĢümü permütasyon

yöntemini uygulamamızı sağlar. Buna göre elde edilen permütasyon testi (test 1) için algoritma

aĢağıdaki gibi verilebilir.

1) 2

2

1 1

ˆ ˆink

i ij i

i j

B x n

ve

1

1

ˆ

ˆˆ

k

i i i

i

k

i i

i

n x B

n B

denklemleri kullanılarak Bi ve µ değerleri

tahmin edilir.

2) Tahmin edilen Bi ve µ değerlerine bağlı olarak ˆ

ˆ ˆˆ

ij

ij

i

xu

B

değerleri bulunur.

3) Tahmin edilen U değerleri için klasik F testi uygulanarak F1 test istatistiğinin değeri

hesaplanır.

4) Tahmin edilen U değerleri rastgele olarak yerleĢtirilerek yeni örneklemler oluĢturulur ve bu

değerler için klasik F testi uygulanarak F2 test istatistiğinin değeri hesaplanır.

5) F2>F1 ise W=1 aksi halde W=0 olarak atanır.



6) 4 ve 5 adımlarında ifade edilenler R-1 kez tekrar edilerek p değeri 1

1

1

1

R

i

i

p WR

Ģeklinde

hesaplanır. Test 1 olarak tanımlanan bu testte alternatif diğer bir test ise Test 2‟dir ve algoritması

aĢağıdaki gibi verilebilir.

1‟) 4. adıma kadar iĢlemler aynı Ģekilde yapılır.

2‟) U değerleri rastgele yerleĢtirildikten sonra X değerlerine dönüĢtürülür. Bu X değerleri için Bi

ve µ değerleri tekrar tahmin edilir ve yeni U değerleri bulunur. Yeni hesaplanan bu U değerleri

için klasik F testi uygulanarak F2 test istatistiğinin değeri hesaplanır.

3‟) F2>F1 ise W=1 aksi halde W=0 olarak atanır.

4‟) 2‟ ve 3‟ adımlarında ifade edilenler R-1 kez tekrar edilerek p değeri 1

1

1

1

R

i

i

p WR

Ģeklinde

hesaplanır.

3. SĠMÜLASYON ÇALIġMASI

Simülasyon çalıĢmasında, Bölüm 2‟de tanıtılan Klasik F (KF), Weerahandi‟nin GenelleĢtirilmiĢ

F (GF), Parametrik Bootstrap (PB) ve Permütasyon testlerinin (PT1, PT2) deneysel I.tip hata

oranları ve güçleri bakımından karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır. Bunun için k=3 ve k=5 sayıdaki

yığınlar için, örnek hacimleri ve yığın varyanslarının çeĢitli kombinasyonları kullanılmıĢtır.

Örnek hacimleri eĢit ve yığın varyansları heterojen olduğu durum altında testleri incelediğimizde,

örnek hacimleri küçük olduğunda yığın varyanslarının heterojenliğinin artmasından KF ve PT1

testleri oldukça etkilenmiĢtir. GF, PT2 ve PB testlerinin ise deneysel I.tip hata oranlarının

nominal =0.05 değerine daha yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. Örnek hacimlerinin

artıĢıyla birlikte heterojenliğinin artmasından olumsuz etkilenen PT1 ve PT2 testleri için bu

oranın, nominal =0.05 değerinden oldukça farklılaĢtığı gözlenmiĢtir. Yığın sayısı arttığında,

örnek hacmi küçükken GF testi bu durumdan olumsuz etkilenirken örnek hacminin artmasıyla

durumun düzeldiği görülmektedir.



Çizelge 3.1. Nominal =0.05, k=3, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın varyansları için test

istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları

ni i

KF GF PT1 PT2 PB

(4,4

,4)

(1,1,1) 0.0494 0.0324 0.0127 0.0367 0.0412

(1,1.25,1.5) 0.0565 0.0363 0.0133 0.0313 0.0432

(1,2,4) 0.0798 0.0431 0.0220 0.0533 0.0498

(1,4,9) 0.0932 0.0652 0.0360 0.0693 0.0620

(10

,10

,10

) (1,1,1) 0.0498 0.0460 0.0473 0.0473 0.0492

(1,1.25,1.5) 0.0548 0.0482 0.0547 0.0587 0.0532

(1,2,4) 0.0730 0.0494 0.0693 0.0733 0.0504

(1,4,9) 0.0760 0.0478 0.1080 0.1080 0.0442

(30

,30

,30

) (1,1,1) 0.0474 0.0466 0.0527 0.0560 0.0484

(1,1.25,1.5) 0.0490 0.0464 0.0460 0.0487 0.0482

(1,2,4) 0.0694 0.0493 0.0747 0.0713 0.0505

(1,4,9) 0.0724 0.0510 0.1093 0.1047 0.0500

(3,5

,7)

(1,1,1) 0.0496 0.0390 0.0213 0.0453 0.0524

(1,1.25,1.5) 0.0336 0.0322 0.0273 0.0480 0.0486

(1,2,4) 0.0292 0.0406 0.0427 0.0653 0.0494

(1,4,9) 0.0332 0.0486 0.0513 0.0733 0.0542

(1.5,1.25,1) 0.0792 0.0448 0.0297 0.0520 0.0592

(4,2,1) 0.1852 0.0568 0.0280 0.0527 0.0676

(9,4,1) 0.2332 0.0734 0.0700 0.0967 0.0646

(1,1,1) 0.0486 0.0448 0.0453 0.0500 0.0498

7,1

0,1

3

(1,1.25,1.5) 0.0388 0.0426 0.0467 0.0540 0.0460

(1,2,4) 0.0300 0.0446 0.0687 0.0753 0.0488

(1,4,9) 0.0314 0.0524 0.1080 0.1073 0.0502

(1.5,1.25,1) 0.0816 0.0388 0.0413 0.0467 0.0524

(4,2,1) 0.1462 0.0526 0.0593 0.0667 0.0588

(9,4,1) 0.1688 0.0580 0.0827 0.0840 0.0510

(20

,25

,30

)

(1,1,1) 0.0494 0.0506 0.0507 0.0500 0.0522

(1,1.25,1.5) 0.0418 0.0502 0.0493 0.0487 0.0514

(1,2,4) 0.0386 0.0458 0.0713 0.0673 0.0456

(1,4,9) 0.0394 0.0492 0.1280 0.1267 0.0482

(1.5,1.25,1) 0.0694 0.0509 0.0587 0.0533 0.0502

(4,2,1) 0.1110 0.0486 0.0673 0.0653 0.0468

(9,4,1) 0.1248 0.0484 0.0893 0.0880 0.0454

Örnek hacimleri ile yığın varyanslarının doğru orantılı olduğu durum altında testleri

incelediğimizde, örnek hacimleri küçükken KF ve PT2 testlerinin deneysel I.tip hata oranlarının

nominal =0.05 değerinden uzaklaĢtığı, PT1, PB ve GF testlerinin ise yaklaĢtığı görülmektedir.

Örnek hacimleri artıĢından ise PT1 ve PT2 testlerinin olumsuz etkilendiği görülmektedir. Yığın

sayısı arttığında, örnek hacmi küçükken GF testi bu durumdan olumsuz etkilenirken örnek

hacminin artmasıyla durumun düzeldiği görülmektedir. Diğer testler ise yığın artıĢından fazla

etkilenmeyip aynı sonuçları verdiği gözlenmiĢtir.



Çizelge 3.2. Nominal =0.05, k=5, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın varyansları için test

istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları

ni i

KF GF PT1 PT2 PB

4,4

,4,4

,4 (1,1,1,1,1) 0.0486 0.0618 0.0200 0.0373 0.0322

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0638 0.0740 0.0227 0.0453 0.0470 (1,2,4,6,8) 0.0920 0.0936 0.0360 0.0667 0.0528

(1,4,9,13,18) 0.0978 0.1092 0.0527 0.0873 0.0580

10

,10

,10,1

0,1

0

(1,1,1,1,1) 0.0486 0.0586 0.0480 0.0593 0.0496

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0626 0.0610 0.0493 0.0540 0.0488 (1,2,4,6,8) 0.0852 0.0644 0.0847 0.0940 0.0488

(1,4,9,13,18) 0.0880 0.0684 0.1227 0.1313 0.0490

30

,30

,30,3

0,3

0

(1,1,1,1,1) 0.0494 0.0510 0.0587 0.0580 0.0484

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0582 0.0516 0.0547 0.0560 0.0488 (1,2,4,6,8) 0.0830 0.0542 0.0853 0.0867 0.0470 (1,4,9,13,18) 0.0854 0.050 0.142 0.1420 0.048

Çizelge 3.2. (devamı) Nominal =0.05, k=5, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın

varyansları için test istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları

ni i

KF GF PT1 PT2 PB

(3

,4,5

,6,7

)

(1,1,1,1,1) 0.0466 0.0656 0.0280 0.0493 0.0462

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0356 0.0650 0.0333 0.0547 0.0402 (1,2,4,6,8) 0.0380 0.0688 0.0347 0.0573 0.0480

(1,4,9,13,18) 0.0326 0.0790 0.0520 0.0833 0.0504

(2,1.75,1.5,1.25,1) 0.1088 0.0884 0.0260 0.0480 0.0600 (8,6,4,2,1) 0.2114 0.1000 0.0487 0.0700 0.0590 (18,13,9,4,1) 0.2236 0.1124 0.0753 0.1007 0.0582

(7,9

,11

,13

,15

)

(1,1,1,1,1) 0.0506 0.0608 0.0427 0.0473 0.0510

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0378 0.0584 0.0453 0.0500 0.0496 (1,2,4,6,8) 0.0426 0.0602 0.0747 0.0820 0.0514

(1,4,9,13,18) 0.0448 0.0702 0.1053 0.1153 0.0540

(2,1.75,1.5,1.25,1) 0.0926 0.0638 0.0380 0.0467 0.0484 (8,6,4,2,1) 0.1744 0.0724 0.0633 0.0673 0.0472 (18,13,9,4,1) 0.1832 0.0732 0.1053 0.1140 0.0486

(20

,23

,26

,29,3

2)

(1,1,1,1,1) 0.0486 0.0590 0.0333 0.0393 0.0564

(1,1.25,1.5,1.75,2) 0.0438 0.0524 0.0433 0.0473 0.0492 (1,2,4,6,8) 0.0466 0.0472 0.0827 0.0827 0.0448

(1,4,9,13,18) 0.0496 0.0556 0.1380 0.1427 0.0494

(2,1.75,1.5,1.25,1) 0.0778 0.0582 0.0473 0.0507 0.0476 (8,6,4,2,1) 0.1360 0.0518 0.0720 0.0747 0.0560 (18,13,9,4,1) 0.1310 0.0638 0.1413 0.1327 0.0558

Örnek hacimleri ile yığın varyanslarının ters orantılı olduğu durum altında testleri

incelediğimizde, örnek hacimleri küçükken KF testinin bundan oldukça olumsuz etkilendiği

görülmektedir. GF, PB ve PT2 testlerinin deneysel I.tip hata oranlarının nominal 0 05 .

değerine daha yakın sonuç vermektedir. Heterojenlik arttıkça bu oranların 0 05 . değerinden



uzaklaĢtığı görülmektedir. Örnek hacimleri arttığında ise GF ve PB testlerinin daha iyi sonuç

verdiği gözlenmiĢtir. Yığın sayısı arttığında, örnek hacmi küçükken GF ve PT2 testleri bu

durumdan olumsuz etkilenmiĢtir. Örnek hacminin artmasıyla GF testinin deneysel I.tip hata

oranın nominal =0.05 değerine daha yakın sonuç verdiği PT1 ve PT2 testleri için bu oranın

değerinden oldukça uzaklaĢtığı görülmektedir.

Nominal =0.05 olmak üzere testleri deneysel I.tip hata oranları bakımından genel olarak

karĢılaĢtırdığımızda PB testinin, örnek hacimleri arttığında bu teste ek olarak GF testinin oldukça

iyi sonuç verdiği görülmektedir. Testlerin güç değerleri k=3 için Çizelge 4.16 ve k=5 için

Çizelge 4.17‟de verilmiĢtir. Bu sonuçlarla ilgili yorumlar aĢağıda verilmiĢtir.

Çizelge 4.16. Nominal =0.05, k=3 iken test istatistikleri için güç değerleri

ni i

2 (1, 2, 3)

KF PT1 PT2

4,4,4

1,2,4

(-1.5,0,1.5) 0.250 0.127 0.224

(-3,0,3) 0.065 0.471 0.658

30,30,30 1,2,4

(-1.5,0,1.5) 0.947 0.999 0.999

(-3,0,3) 1.000 1.000 1.000

3,5,7

1,2,4

(-1.5,0,1.5) 0.105 0.149 0.199

(-3,0,3) 0.607 0.412 0.491

4,2,1 (-1.5,0,1.5) 0.424 0.313 0.392

(-3,0,3) 0.877 0.889 0.923

20,25,30

1,24 (-1.5,0,1.5) 0.895 0.997 0.997

(-3,0,3) 1.000 1.000 1.000

4,2,1 (-1.5,0,1.5) 0.958 0.987 0.990

(-3,0,3) 1.000 1.000 1.000

Çizelge 4.16. Nominal =0.05, k=5 iken test istatistikleri için güç değerleri

ni i

2 (1, 2, 3, 4, 5)

KF PT1 PT2

4,4,4,4,4 1,2,4,6,8 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.263 0.252 0.350

(-6,-3,0,3,6) 0.743 0.716 0.737

30,30,30,30,30 1,2,4,6,8 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.994 1.000 1.000

(-6,-3,0,3,6) 1.000 1.000 1.000

3,4,5,6,7

1,2,4,6,8 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.165 0.279 0.383

(-6,-3,0,3,6) 0.687 0.791 0.872

8,6,4,2,1 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.507 0.511 0.601

(-6,-3,0,3,6) 0.931 0.979 0.992

20,23,26,29,32

1,2,4,6,8 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.948 1.000 1.000

(-6,-3,0,3,6) 1.000 1.000 1.000

8,6,4,2,1 (-3,-1.5,0,1.5,3) 0.986 1.000 1.000

(-6,-3,0,3,6) 1.000 1.000 1.000



Testleri güç bakımından genel olarak değerlendirdiğimizde ortalamalar arasındaki fark ve örnek

hacmi arttığında testlerinde güç değerlerinde artıĢ olduğu gözlenmektedir. Yığın sayısı k=3 iken

diğer testlere göre GF ve PB testlerinin daha yüksek güç değerlerine sahip olduğu

görülmektedir. PT1 ve PT2 testlerinin örnek hacmi ve yığın varyanslarının ters orantılı olduğu

durumda doğru orantılı olduğu duruma göre daha yüksek güç değerlerine sahip olduğu

görülmektedir. Ayrıca yığın sayısının artıĢı testlerin güç değerlerini olumlu yönde etkilediği

gözlenmektedir.

5. SONUÇLAR

Testleri deneysel I.tip hata oranları bakımından karĢılaĢtırdığımızda tüm durumlar için herhangi

bir testin iyi olduğunu söylememiz mümkün değildir. Her durum altında testler farklılıklar

göstermektedir. GF testinin I.tip deneysel hata oranı tüm durumlar için örnek hacmi küçükken

nominal değerinden uzaklaĢırken örnek hacimlerinin artmasından etkilenerek bu değere daha

yakın sonuçlar vermiĢ olduğu görülmektedir. PB testi için bu oran doğru orantılı durum altında

örnek hacimlerinin her durumunda nominal değerine oldukça yakınlaĢırken ters orantılı

olduğu durumunda örnek hacimleri arttığında nominal değerine yaklaĢtığı görülmektedir. PT1

ve PT2 testlerinin hem doğru hem de ters orantılı olduğu durumundan çok fazla etkilenmediği

yalnız heterojenliğin arĢtının olumsuz yönde etkilediği gözlenmiĢtir. Hangi testin daha iyi

olduğunu anlamak için sadece deneysel I.tip hata oranlarına değil aynı zamanda güç değerlerine

de bakılması gerekir. Yığın varyansları heterojen olduğunda örnek hacimleri arttığında, KF

testinin deneysel I.tip hata oranları nominal =0.05 değerine daha yakın sonuçlar vermesine

rağmen diğer testlere göre daha düĢük güç değerleri vermiĢtir. Örnek hacimlerinin küçük olması

tüm testlerin güç değerlerini düĢürmüĢtür. Örnek hacimleri arttığında beklenildiği gibi testlerin

güç değerleri artmaktadır. Diğer bir ifadeyle yığından daha büyük hacimli örnek almanın

heterojenliğin etkisini azalttığı söylenebilir. Öyleki yığın ortalamaları arasındaki fark çok az

olduğunda bile testlerin güç değerleri 0.90 civarına yaklaĢtığı görülmektedir. Örnek hacimleri ve

yığın varyansları arasındaki iliĢkinin doğru ve ters orantılı olması testlerin güç değerlerini de

etkilediği görülmüĢtür. Ters orantılı olduğu durumunda güç değerlerinin daha da yükseldiği

görülmektedir. Ayrıca yığın sayısının artıĢının da güç değerlerini olumlu yönde etkilemiĢtir.



Testleri güç bakımından tüm durumlar altında incelediğimizde, PB ve özellikle GF testleri de

genel olarak diğer testlere göre daha yüksek güç değerlerine sahiptirler. Fakat genel olarak tüm

durumlar için herhangi bir testin iyi olduğunu söylemek mümkün değildir.

KAYNAKLAR

Bishop, T.A., “Heteroscedastic ANOVA, MANOVA and multiple comparasion”, Unpublished

Ph.D. thesis, The Ohio State University,1-50 (1976).

Gamage, J. ve Weerahandi, S., “Size performance of some tests in one-way ANOVA”,

Communications in Statistics Simulations, 27(3):625-640 (1998).

Krishnamoorthy, K., Lu, F., Thomas, M., “A parametric boostrap approach for ANOVA with

unequal variances: fixed and random models”, Computational Statistics and Data Analysis,

51:5731-5742 (2006).

Krutchkoff, R.G., “One-way fixed effects analysis of variance when the error variances may be

unequal”, J. Statist. Comput. Simulation, 30:259-271 (1988).

Lee, S., Ahn, C.H., “Modified ANOVA for unequal variances”, Communications in Statistics

Simulations, 32:987-1004 (2003).

Manly, B.F.J., “Randomization tests to compare means with unequal variation”,Sankhya, 200-

222, (1995).

Reed, J.F., Stark, D.B., “Robust analysis of variances: a simulation study”, Journal of Applied

Statistics, 22:87-104 (1995).

Weerahandi, S., “Exact statistical method for data analysis”, Springer-Verlag, New York, 2-50

(1995).

Weerahandi, S., “Generalized inference in repeated measures: Exact methods in MANOVA and

mixed models”, Wiley, New York (2004).



UYARLANMIġ DURBĠN TESTĠ ĠÇĠN PERMÜTASYON TESTĠ VE BĠR SĠMÜLASYON

ÇALIġMASI

Fikr Gökpınar1 Hülya Bayrak

1

1Ġstatistik Bölümü, Gazi Üniversitesi, Ankara

ÖZET

Durbin(1951), Dengeli TamamlanmamıĢ Blok Tasarımı için sıra sayıları testinin duyusal

analizde geniĢ bir uygulama alanı vardır. Dengeli TamamlanmamıĢ Blok Tasarımında

Durbin sıra sayıları testi, eĢdeğerli veri olduğunda, iyi sonuç vermez. Best ve ark.(2006)

Durbin testinin eĢ değerli veriler için uyarlanmıĢ hali olan bir test önermektedir. Bu

çalıĢmada, Durbin sıra sayıları testi, Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin

sıra sayıları testi verilmiĢ ve ayrıca uyarlanmıĢ Durbin sıra sayıları testinin permütasyon

versiyonu karĢılaĢtırılmıĢtır.

Anahtar Kelimeler: Durbin Sıra Sayıları Testi, Skilling-Mack Testi, Permutasyon testi

ABSTRACT

Durbin(1951) rank test is used in Balanced Incomplete Block Designs which have wide

application in sensory analysis. Durbins‟s rank test is failed for Balanced Incomplete Block

Design when ties occur. Best et. Al. (2006) gave an adjusted version of Durbin rank test for

tied data. In this Study, We compare Durbin rank test, Durbin rank test for tied data and

permutation version of Durbin rank test for tied data and Skilling and Mack(1981) tests in

sensory data.

Keywords: Durbin Rank Test, Skilling-Mack Test, Permutation test

1.GĠRĠġ

Friedman sıra sayıları testi, özellikle rasgele tamamlanmıĢ blok tasarımında iĢlem etkilerini test

etmek için oldukça yaygın olartak kullanılan bir testtir. Firedman tipi bir test olan Durbin sıra

sayıları testi Durbin(1951) tarafından tamamlanmamıĢ blok tasarımları için geliĢtirilmiĢtir.

Firedmann sıra sayıları testine dayalı bir baĢka test ise Skilling ve Mack(1981) tarafından

geliĢtirilmiĢtir. Bu test hem dengeli hem de dengesiz tamamlanmamıĢ blok düzenlerinde

kullanılabilmiektedir (Giesbrecht ve Gumbertz (2004), Hollander ve Wolfe(1999)).

Durbin sıra sayıları testi duyusal analizde oldukça yaygın biçimde kullanılmaktadır(Bi,(2006),

(2009), Meilgaard ve ark.(1991)). Özellikle panelistlerin test edecekleri iĢlem çok fazla iken

duyusal yorgunluktan kaynaklanan birçok sorun çıkmaktadır. Bu durumda tamamlanmamıĢ blok

tasasrımı yerine dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımı kullanılabilir. Dengeli tamamlanmamıĢ

blok tasarımı, kısaca t iĢlem ve b bloktan oluĢur. Her iĢlem tam olarak r bloktadır ve her blokta

tam olarak k iĢlem vardır. Her iĢlem çifti kez birlikte görünmektedir. Bu durumda Friedman

sıra sayıları testi yerine Durbin sıra sayıları testi veya Skilling ve Mack testi kullanılarak

panelistlerin kullanacağı iĢlem sayısını azaltmak daha doğru sonuçlar alınmasını sağlayacaktır.

Çok fazla iĢlem olduğunda özellikle Durbin sıra sayıları testi oldukça kullanıĢlıdır. Fakat bu



testler, iĢlemler aynı değeri aldığında hem birinci tip hata hemde testin gücü bakımından oldukça

kötü sonuçlar vermektedir. Best ve ark.(2006) Durbin testinin eĢ değerli veriler için uyarlanmıĢ

hali olan bir test önermektedir. Bu test istatistiği diğerlerine göre 1.nci tip hata ve testin gücü

bakımından daha iyi sonuçlar vermesine rağmen özellikle bloktaki tekrar sayısı az iken 1.nci tip

hata bakımından tatmin edici sonuçlar vermektedir(Gökpınar ve Bayrak(2010)).

Bu çalıĢmada, Durbin sıra sayıları testi, Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin

sıra sayıları testi verilmiĢ ve ayrıca uyarlanmıĢ Durbin sıra sayıları testinin permütasyon

versiyonu incelenmiĢtir. Bu 4 yöntem birinci tip hata ve testlerinin gücü bakımından

karĢılaĢtırılmıĢ ve sonuçlar yorumlanmıĢtır.

2. TEST ĠSTATĠSTĠKLERĠ

Bu Bölümde Durbin sıra sayıları testi, , Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin

sıra sayıları testi verilecektir.

2.1 Durbin Sıra Sayıları testi

Durbin Sıra sayıları testi tamamlanmamıĢ rasgele blok tasarımlarında kullanılan Friedman

testinin Dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımları için bir uzantısıdır(Avlo ve Cabilio,1998).

Durbin sıra sayıları testinde i.nci iĢlemin lineer etkisi Mi

k

j

iji jgNrt

tM

1

)(1

(1)

Ģeklinde ifade edilmektedir. Burada;

2

1

1

12)(

2

kj

kjg .

dir. Mi‟nin tanımına dikkat edildiğinde i.nci iĢlemin sıra sayılarının tekdüze dağıldığı varsayımı

altında beklenen değeri ile ortalama sıra sayısı arasındaki fark olduğu aĢikardır. Bu durumda

Durbin sıra sayıları test istatistiği,

t

i iMD1

2 (2)

Ģeklinde ifade edilmektedir. Dikkat edileceği üzere Durbin sıra sayıları testi iĢlemler arasında sıra

sayılarının ortalama farkıdır. Burada D istatistiği yaklaĢık olarak t-1 serbeslik dereceli Ki-kare

dağılımına sahiptir.



2.2 EĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ Durbin testi

Best ve Ark.(2006) aynı değerli gözlemlerin olduğu durumlar için Durbin sıra sayıları testine

dayalı uyarlanmıĢ bir test istatistiği oluĢturmuĢlardır. Eğer veriler arasında aynı değerli gözlemler

varsa D test istatistiği artık Ki-Kare dağılımına sahip değildir. Bu durumda lineer etki iM , g j

‟ye bağlı olan bir faktör tarafından düzeltilmeye ihtiyaç duyar(Best ve ark., 2006). Yokluk

hipotezinin doğruluğu altında, DüzeltilmiĢ Durbin sıra sayıları test istatistiği

2

1

t

i

i

AD M a

(3)

olarak ifade edilir ve yakalĢık oarak 1t serbestlik dereceli Ki-Kare dağılımına sahiptir.

Düzeltme faktörü olan a;

/a g Ug rt (4)

Ģeklindedir. Burada (1), (2),..., ( )g g g g k ve ijU U ‟nın (d,w) inci elemanı d ve w’ nin

aynı sıra sayılarının atandığı durumların sayısını verir. Eğer herhangi bir blok için d,...,d+m-1

iĢlemlerine aynı sıra sayıları atanmıĢ ise, U‟nun alt matrisine karĢılık gelen 2m hücrenin her

birine , i,j=d,...,d+m-1 için ijU elemanlarına , 1 m eklenir. Matris tüm bloklar üzerinden toplam

alınarak oluĢturulduğundan simetriktir. Aynı zamanda düzeltilmiĢ etki /iM a olarak alınabilir.

2.3 Skilling ve Mack Testi

Skilling ve Mack(1981) tamamlanmamıĢ blok tasarımlarında kullanılan bir test verilmiĢleridir.

Burada sadece dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımlarında olan durum dikkate alınacaktır. rij

j.nci blokta i.nci iĢlem var ise sıra sayısını aksi halde (k+1)/2 değerini alsın. Bu durumda i.nci

iĢlemin uyarlanmıĢ iĢlem etkisi,

1

12 1

1 2

b

i ij

j

kc r

k

. (5)

Ģeklindedir. ci(i=1,2,…,t) değiĢkenin varyansı ve ci ve cj (i≠j) arasındaki kovaryans;



( ) ( 1)iVar c t i=1,2,…t. (6)

( , )i jCov c c

i≠j=1,2,…t. (7)

Ģeklinde ifade edilir. c ci(i=1,2,…t) iĢlem etkileri için sütun vektörü olmak üzere c vektörünün

varyans-kovaryans matrisi;

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

( ) ( , ) ( , ) ( 1)

( , ) ( ) ( , ) ( 1)

( , ) ( , ) ( ) ( 1)

t

t

t t t

Var c Cov c c Cov c c t

Cov c c Var c Cov c c tG

Cov c c Cov c c Var c t

. (8)

ġeklinde tanımlanır. (5)-(8) ifadelerine dayalı test istatistiği T G c c Ģeklindedir. Burada G ,

G‟nin genelleĢtirilmiĢ tersidir. G‟in rankı t-1 Ģeklindedir. T test istatistiği H0‟ın doğruluğu altında

yaklaĢık olarak Ki-Kare dağılımına sahiptir.

4. SĠMULASYON ÇALIġMASI

Bu bölümde, Durbin, uyarlanmıĢ durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ durbin testinin

permutasyon versiyonu 1.nci tip hata ve testlerin gücü bakımından karĢılaĢtırılmıĢtır. Bu

karĢılaĢtırma için 2-(4u-1,2u-1,u-1) (u=2,3,4,5,6) paramametreli ve hadamard matrisinden elde

edilen simetrik tasarımlar kullanılmıĢtır. Bu karĢılaĢtırma amacıyla her iĢlem için n=9 ve

pi(i=1,2,…t) parametreli binom dağılımından sayı üretilmiĢ ve bu sayılar panelistlerin ürünlere

verdiği puanlar olarak düĢünülmüĢtür. Daha sonra bu sayılar kullanılarak test istatistikleri

hesaplanmıĢ ve bu iĢlem 5000 kez tekrar edilerek 1.nci tip hata ve testlerin gücü hesaplanmıĢtır.

Burada testin gücü değerleri iĢlemler 2 ve 3 gruba ayrılarak hesaplanmıĢtır.

Tablo 1: Durbin, uyarlanmıĢ Durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin ve

permutasyon versiyonuna ait 1.nci tip hatalar

2-(4u-1,2u-1,u-1) Durbin UyarlanmıĢ

Durbin

Skiling

ve Mack

UyarlanmıĢ

Durbin-PT

2-(7,3,1) 0.0005 0.0025 0.0005 0.0440 2-(11,5,2) 0.0055 0.0355 0.0185 0.0520 2-(15,7,3) 0.0045 0.0360 0.0195 0.0500 2-(19,9,4) 0.0120 0.0500 0.0270 0.0501 2-(23,11,5) 0.0135 0.0501 0.0280 0.0503



Tablo 1den görüldüğü gibi 1.nci tip hata bakımından Durbin ve Skilling ve Mack testlerinin 1.nci

tip hataları önceden verilen nominal 1.nci tip hataya yakın sonuçlar vermemiĢtir. Özellikle

Durbin testi nominal 1.nci tip hatadan oldukça uzak sonuçlar verdiği gözlemlenmiĢtir. EĢdeğerli

veriler için uyarlanmıĢ Durbin testinin 1.nci tip hatası ise her tasarımın parametreleri büyüdükçe

(diğer bir deyiĢle her blokta kullanılan iĢlem sayısı arttıkça) nominal 1.nci tip hataya oldukça

yakın sonuçlar vermektedir. buna rağmen bu yöntemin esas olarak kullanıldığı küçük

tasarımlarda nominal 1.nci tip hatadan uzak değerler almaktadır.

Tablo 2: ĠĢlemler iki gruba ayrılmıĢken Durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin

ve permutasyon versiyonun güç değerleri

2-(4u-1,2u-1,u-1) Ġki grubun

binom

olasılıkları

Durbin UyarlanmıĢ

Durbin

Skiling

ve Mack

UyarlanmıĢ

Durbin-PT 2-(7,3,1) 0.15-0.25 0.0005 0.0095 0.0005 0.0865

2-(11,5,2) 0.15-0.25 0.0360 0.1706 0.1046 0.2361

2-(15,7,3) 0.15-0.25 0.1381 0.4037 0.2861 0.4487

2-(19,9,4) 0.15-0.25 0.3240 0.6660 0.5430 0.6970

2-(23,11,5) 0.15-0.25 0.5788 0.8389 0.7734 0.8524

2-(7,3,1) 0.15-0.35 0.0005 0.0265 0.0015 0.2386 2-(11,5,2) 0.15-0.35 0.3042 0.6143 0.5503 0.7134

2-(15,7,3) 0.15-0.35 0.8779 0.9710 0.9640 0.9775

2-(19,9,4) 0.15-0.35 0.9940 0.9995 0.9995 0.9995

2-(23,11,5) 0.15-0.35 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

2-(7,3,1) 0.45-0.55 0.0005 0.0060 0.0010 0.0775 2-(11,5,2) 0.45-0.55 0.0250 0.1141 0.0735 0.1621

2-(15,7,3) 0.45-0.55 0.0775 0.2436 0.1801 0.2871

2-(19,9,4) 0.45-0.55 0.1770 0.4070 0.3440 0.4410

2-(23,11,5) 0.45-0.55 0.3527 0.5958 0.5448 0.6268

2-(7,3,1) 0.40-0.60 0.0005 0.0185 0.0010 0.1821 2-(11,5,2) 0.40-0.60 0.2256 0.4742 0.4082 0.5698

2-(15,7,3) 0.40-0.60 0.6923 0.8859 0.8649 0.9065

2-(19,9,4) 0.40-0.60 0.9590 0.9910 0.9900 0.9930

2-(23,11,5) 0.40-0.60 0.9980 1.0000 1.0000 1.0000

2-(7,3,1) 0.75-0.85 0.0005 0.0115 0.0010 0.1011 2-(11,5,2) 0.75-0.85 0.0255 0.1816 0.1101 0.2476

2-(15,7,3) 0.75-0.85 0.1271 0.4082 0.2761 0.4552

2-(19,9,4) 0.75-0.85 0.3447 0.6408 0.5168 0.6668

2-(23,11,5) 0.75-0.85 0.6568 0.8539 0.7649 0.8624

2-(7,3,1) 0.65-0.85 0.0010 0.0210 0.0010 0.2236 2-(11,5,2) 0.65-0.85 0.3232 0.6588 0.5908 0.7414

2-(15,7,3) 0.65-0.85 0.8709 0.9720 0.9580 0.9770

2-(19,9,4) 0.65-0.85 0.8709 0.9720 0.9580 0.9770

2-(23,11,5) 0.65-0.85 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000



Tablo 3: ĠĢlemler üç gruba ayrılmıĢken Durbin, Skilling-Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin ve

permutasyon versiyonun güç değerleri

2-(4u-1,2u-1,u-1) Üç grubun

binom olasılıkları Durbin

UyarlanmıĢ

Durbin

Skiling ve

Mack

UyarlanmıĢ

Durbin-PT 2-(7,3,1) 0.15-0.20-0.25 0.0005 0.0040 0.0005 0.0700

2-(11,5,2) 0.15-0.20-0.25 0.0205 0.1031 0.0650 0.1461 2-(15,7,3) 0.15-0.20-0.25 0.0585 0.2291 0.1506 0.2721 2-(19,9,4) 0.15-0.20-0.25 0.1501 0.4227 0.3262 0.4597

2-(23,11,5) 0.15-0.20-0.25 0.3157 0.6263 0.5308 0.6498 2-(7,3,1) 0.15-0.25-0.35 0.0005 0.0095 0.0015 0.1751

2-(11,5,2) 0.15-0.25-0.35 0.1736 0.4117 0.3437 0.5068 2-(15,7,3) 0.15-0.25-0.35 0.5548 0.8344 0.7799 0.8609 2-(19,9,4) 0.15-0.25-0.35 0.9075 0.9830 0.9815 0.9850

2-(23,11,5) 0.15-0.25-0.35 0.9950 0.9995 0.9995 0.9995 2-(7,3,1) 0.45-0.50-0.55 0.0005 0.0040 0.0015 0.0660

2-(11,5,2) 0.45-0.50-0.55 0.0245 0.0825 0.0565 0.1241 2-(15,7,3) 0.45-0.50-0.55 0.0350 0.1476 0.0905 0.1711 2-(19,9,4) 0.45-0.50-0.55 0.0880 0.2561 0.1971 0.2876

2-(23,11,5) 0.45-0.50-0.55 0.1641 0.3857 0.3142 0.4117 2-(7,3,1) 0.40-0.50-0.60 0.0005 0.0080 0.0005 0.1246

2-(11,5,2) 0.40-0.50-0.60 0.1211 0.3067 0.2556 0.3892 2-(15,7,3) 0.40-0.50-0.60 0.3867 0.6758 0.6283 0.7179 2-(19,9,4) 0.40-0.50-0.60 0.7584 0.8964 0.8988 0.9130

2-(23,11,5) 0.40-0.50-0.60 0.9658 0.9943 0.9934 0.9953 2-(7,3,1) 0.75-0.80-0.85 0.0000 0.0045 0.0010 0.0670

2-(11,5,2) 0.75-0.80-0.85 0.0125 0.1031 0.0540 0.1531 2-(15,7,3) 0.75-0.80-0.85 0.0580 0.2516 0.1641 0.3017 2-(19,9,4) 0.75-0.80-0.85 0.1681 0.4382 0.3092 0.4667

2-(23,11,5) 0.75-0.80-0.85 0.3642 0.6403 0.5048 0.6633 2-(7,3,1) 0.65-0.75-0.85 0.0005 0.0012 0.0010 0.1621

2-(11,5,2) 0.65-0.75-0.85 0.1561 0.4382 0.3742 0.5303 2-(15,7,3) 0.65-0.75-0.85 0.5633 0.8374 0.8159 0.8679 2-(19,9,4) 0.65-0.75-0.85 0.9336 0.9917 0.9806 0.9930

2-(23,11,5) 0.65-0.75-0.85 0.9970 1.0000 1.0000 1.0000

ĠĢlemler iki gruba ayrılmıĢken, özellikle küçük tasarımlarda eĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ

Durbin testinin permütasyon versiyonu diğer testlere göre oldukça yüksek testin gücü değerlerine

sahip olduğu görülmektedir. tasarımların parametreleri büyüdükçe bu fark azalmasına rağmen

her durumda diğer tüm testlerden yüksek güç değerlerine sahiptir. Bu tarz tasarımların

parametreleri düĢük iken daha kullanıĢlı olduğu düĢünülürse eĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ

Durbin testinin permütasyon versiyonu diğer üç teste göre oldukça üstündür denilebilir.



KAYNAKLAR

Avlo M. and Cabilo P. ,1998, Application of Hamming distance to the analysis of block designs.

Asymptotic methods in probability and statistics, Elsevier Science, Amsterdam, 787–800.

Bi, J., 2006, Sensory discrimination tests and measurements: Statistical principles, procedures and tables,

Blackwell Publishing, Ames, IA.

Bi,J., 2009, Computer-intensive methods for sensory data analysis, exemplified by Durbin‟s rank test ,

Food Quality and Preference, 20(3):195-202.

Best D. J., Brockhoff P. B. and Rayner J. C. W., 2006, Tests for balanced incomplete block ranked data

with ties 60(1):3-11

Durbin J., 1951, Incomplete blocks in ranking experiments, British Journal of Psychology (Statistical

Section) 4: 85–90.

Gisbrecht F.G. Gumbertz M.L.,2004, Planning, Construction and Statistical Analysis of Comparitive

Experimemts, Wiley, New York.

Gökpınar F., Bayrak H., 2010, A Comparatıve Study of Tests Used in Balanced Incomplete Block

Designs For Tied Data, Hacettepe Journal Of Mathematics and Statistics(Incelemede).

Hollander and Wolfe, 1999 M. Hollander and D.A. Wolfe, Nonparametric statistical methods (2nd ed.),

Wiley, New York.

M. Meilgaard, G.V. Civille and B.T. Carr, 1991, Sensory evaluation techniques (2nd ed.), CRC Press,

Inc., Boca Raton, FL.

Skillings and Mack, 1981 J.H. Skillings and G.A. Mack, On the use of a Friedman type statistic in

balanced and unbalanced block designs, Technometrics 23:171–177.

BİLDİRİ TAM METİNLERİ e–KİTABI - stat.metu.edu.trstat.metu.edu.tr/system/files/IGS Bildiriler Kitabi.pdf · 4 dogrusal olmayan regresyonda bazi parametre aralik 25-34 tahminleme

Documents