-
P � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Podstawy wnioskowania statystycznego
Wojciech Zieliński
http:\\wojtek.zielinski.statystyka.info
http:\\biostatystykanzc.wum.edu.pl
WZ WUM Wnioskowanie 1
S � � S � � : nauka poświęcona metodom ba-dania (analizowania)
zjawisk masowych; polega nasystematyzowaniu obserwowanych cech
ilościowychi jakościowych oraz przedstawianiu wyników w po-staci
zestawień tabelarycznych, wykresów, itp.; po-sługuje się rachunkiem
prawdopodobieństwa.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA: działmatematyki stosowanej oparty na
rachunku praw-dopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów
napodstawie znajomości własności ich części.
Encyklopedia Popularna PWN, Warszawa 1982
BIOSTATYSTYKA (biometria): nauka z pogra-nicza biologii i
statystyki, adaptacja metod staty-stycznych na potrzeby prac
badawczych w dziedziniebiologii, związanych przede wszystkim z
medycyną,genetyką, fizjologią, antropologią, ekologią i
rolnic-twem.
WZ WUM Wnioskowanie 2
-
.
.....
.....
.....
.....
.....
..........................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
.....
.....
.....
................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
.......................................
............................................................................................................................................................................................................
.......................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..........................................
.......................................
Populacja
Próba
Wnioski
o populacji
Wnioskiz próby
WZ WUM Wnioskowanie 3
F F F F F5 2 4 1 527 29 12 8 33
M M M F F8 8 6 6 840 52 33 38 22
M M F M M9 10 7 11 935 73 30 50 67
M M F M M14 12 8 14 1168 75 40 64 69
F F M M M9 8 11 10 1554 40 51 55 66
Próba 1: 5 2 4 1 5 Średnia z próby: 3.40Próba 2: 8 8 6 6 8
Średnia z próby: 7.20Próba 3: 9 10 7 11 9 Średnia z próby:
9.20Próba 4: 14 12 8 14 11 Średnia z próby: 11.80Próba 5: 9 8 11 10
15 Średnia z próby: 10.60
Średnia populacji: 8.44
WZ WUM Wnioskowanie 4
-
�
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...................
..................
8.44
Pytania
Czy mając do dyspozycji tylko jedną próbę możnaocenić na ile
dobrze średnia z tej próby przybliżaprawdziwą średnią?
Co zrobić, by być „pewniejszym” wyniku?
WZ WUM Wnioskowanie 5
� � � � � � � � �
Zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami)
PróbaWybrana część populacji podlegająca badaniu
CechaWielkość losowa charakteryzująca obiekty danej
po-pulacji
Cecha jakościowaCecha przyjmująca wartości nie będące liczbami
(np.kolor, płeć, smakowitość)
Cecha (ilościowa) skokowaCecha przyjmująca pewne wartości
liczbowe i nieprzyjmująca wartości pośrednich (np. ilość
bakterii,ilość pracowników, ilość pasażerów). Cechy te nazy-wane są
również dyskretnymi.
Cecha (ilościowa) ciągłaCecha przyjmująca wartości z pewnego
przedziałuliczbowego (np. wzrost, waga, plon)
WZ WUM Wnioskowanie 6
-
J � � � � �
wnioskowania statystycznego
Oceniamy parametr θ cechy na podstawie próbyX1, X2, . . . , Xn.
Niech θ̂(X1, X2, . . . , Xn) będzie „ja-kąś” oceną parametru θ
NieobciążonośćJeżeli średnia wartość oceny θ̂ jest równa
wartościparametru θ, to ocenę θ̂ nazywamy nieobciążoną
Minimalna wariancja
Z dwóch różnych nieobciążonych ocen θ̂ oraz ˆ̂θ tegosamego
parametru θ za lepszą uznajemy tę, która„średnio” przyjmuje
wartości bliższe parametrowi θ
Minimalny błąd średniokwadratowyJeżeli ocena θ̂ nie jest
nieobciążona, to wówczas jakomiernik jakości stosuje się błąd
średniokwadratowy.Jest to „uśrednienie” obciążenia oraz
wariancji
WZ WUM Wnioskowanie 7
R � � � � ! ! " # $ # % � & � " '
Zmienna losowa X ma rozkład D(p), jeżeli
P{X = 1} = p = 1− P{X = 0}
EX = p D2X = p(1− p)
Doświadczenie BernoulliegoWykonujemy dwuwynikowe doświadczenie.
Wynikinazywane są umownie sukces oraz porażka. Praw-dopodobieństwo
sukcesu wynosi p (porażki: 1 − p).Niech zmienną losową X będzie
uzyskanie sukcesu.
Zmienna losowa X ma rozkład D(p).
Przykłady.
Płeć osoby.Wadliwość produktu.
WZ WUM Wnioskowanie 8
-
( ) * + , - / / 0 1 2 3 - 4 ) 0 5
Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p), jeżeli
Pn,p{X = k} =(
n
k
)
pk(1− p)n−k, k = 0, 1, . . . , n.
EX = np D2X = np(1− p)
Schemat BernoulliegoZmienną losową o rozkładzie D(p) obserwujemy
nkrotnie w sposób niezależny. Niech zmienną losowąX będzie ilość
sukcesów.
Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p).
Przykłady.
Ilość nasion, z których wzeszły rośliny.Ilość wadliwych
produktów.„Popularność” danej osobistości publicznej.
WZ WUM Wnioskowanie 9
6 7 8 9 : ; < = 7 > ? ; @ = A
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ2)o wartości średniej
µ i wariancji σ2, jeżeli jej funkcjagęstości wyraża się wzorem
fµ,σ2(x) =1
σ√2πe−
1
2 ( x−µσ )2
, −∞ < x
-
B C D E G H I K C L M H N K O
µ = 0
µ = −1 µ = 1µ = 1
σ = 0.5σ = 1.0σ = 2.0
WZ WUM Wnioskowanie 11
Q T U wo trzech sigm
P{|X − µ| < σ} = 0.68268 ≈ 0.68
P{|X − µ| < 2σ} = 0.95450 ≈ 0.95
P{|X − µ| < 3σ} = 0.99730 ≈ 0.997
µ..............................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...←−−−−−−−−−−−−− 0.997 −−−−−−−−−−−−−→
µ− 3σ µ+
3σ................................................................................................................................................................................................................................
..................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...................
..................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.←−−−−−−−− 0.95 −−−−−−−−→
µ− 2σ µ+
2σ............................................................................................................................................................
..................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....................
..................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....←−− 0.68 −−→
µ− σ µ+
σ.......................................................................................
..................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......................
..................
WZ WUM Wnioskowanie 12
-
V W X Y Z [ \ ] [ ^ [ _ [ Z ` X _ a b
rozkładu cechy
Estymujemy parametr θ rozkładu cechy XPróba: X1, X2, . . . ,
Xn
Estymator (punktowy) jest funkcją próby
θ̂ = θ̂(X1, X2, . . . , Xn)
przybliżającą wartość parametru θ
Przedział ufności (estymator przedziałowy)jest przedziałem o
końcach zależnych od próby, któryz pewnym z góry zadanym
prawdopodobieństwempokrywa nieznaną wartość parametru θ
P{θ ∈ (θ(X1, . . . , Xn), θ(X1, . . . , Xn))} = 1− α
Poziom ufności: prawdopodobieństwo 1− α
Co wpływa na długość d przedziału ufności?1. Liczność próby
(nր=⇒ dց)2. Poziom ufności (1− αր=⇒ dր)3. Wariancja cechy (σ2 ց=⇒
dց)
WZ WUM Wnioskowanie 13
c d e f g h i j d k l h m j n
Estymacja parametrówPróba (prosta): X1, X2, . . . , Xn
Estymator średniej µ — średnia arytmetyczna
X̄ =1n
n∑
i=1
Xi =X1 + · · ·+Xn
n
Estymator wariancji σ2 — wariancja próbkowa
S2 =1n− 1
n∑
i=1
(Xi − X̄)2
Suma kwadratów odchyleń od średniej
varX =n∑
i=1
(Xi − X̄)2 =n∑
i=1
X2i − nX̄2
Estymator odchylenia standardowego σ
S =√S2
WZ WUM Wnioskowanie 14
-
o p q r dział ufności dla średniej
Wariancja σ2 jest nieznana
Poziom ufności: 1− α
(
X̄ − t(α;n− 1) S√n, X̄ + t(α;n− 1) S√
n
)
t(α;n− 1): wartość krytyczna rozkładu t (Studenta)z ν stopniami
swobody
Długość przedziału: d = 2t(α;n− 1) S√n
Przedziały jednostronne
(−∞, X̄ + t(2α;n− 1) S√n)
(X̄ − t(2α;n− 1) S√n, ∞)
WZ WUM Wnioskowanie 15
s t u v kład.
Na podstawie próby 1.1, 1.2, 0.8, 0.9, 1.2, 1.3, 1.0,0.7, 0.8,
1.0 oszacować wartość średnią rozkładu ob-serwowanej cechy.
x̄ =1.1 + 1.2 + · · ·+ 1.0
10= 1.0
varX = (1.1− 1.0)2 + · · ·+ (1.0− 1.0)2 = 0.36
s2 =0.3610− 1 = 0.04, s =
√s2 = 0.2
Poziom ufności 1− α = 0.95, czyli α = 0.05.
t(0.05; 9) = 2.2622
t(0.05; 9)s√n= 2.2622
0.2√10= 0.14
(1− 0.14, 1 + 0.14) = (0.86, 1.14)
Wniosek. Średnia wartość cechy jest jakąś liczbąz przedziału
(0.86, 1.14). Zaufanie do tego wnioskuwynosi 95%.
WZ WUM Wnioskowanie 16
-
w x y z kład.Oszacować przeciętną ilość punktów uzyskiwanychna
klasówce.
n = 300∑
xi = 176.566∑
x2i = 107.845302
Populacja:Słuchacze podstawowego kursu statystyki
Cecha X:ilość punktów zdobytych na klasówce
Założenie:cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ2)
Zadanie: oszacować parametr µ
Technika statystyczna:przedział ufności dla średniejpoziom
ufności 1− α = 0.95
WZ WUM Wnioskowanie 17
{ | } ~ ~
x̄ =1n
∑
xi =176.566300
= 0.589
varX =∑
x2i −1n
(
∑
xi
)2
= 107.845302− 176.5662
300= 3.92679
s2 =3.92679300− 1 = 0.01313, s =
√s2 = 0.11460
t(0.05; 299) ≈ 1.96
t(0.05; 299)s√n= 1.96
0.11460√300
= 0.01297
(0.589− 0.013, 0.589 + 0.013) = (0.576, 0.602)
Odpowiedź: µ ∈ (0.576, 0.602)
Wniosek. Przeciętna liczba punktów zdobywana naklasówce jest
liczbą z przedziału (0.576, 0.602). Za-ufanie do tego wniosku
wynosi 95%.
WZ WUM Wnioskowanie 18
-
dział ufności dla wariancji
Średnia µ jest nieznana
Poziom ufności: 1− α
(
varXχ2(
α2 ;n− 1
) ,varX
χ2(
1− α2 ;n− 1)
)
χ2 (α;n− 1) jest stablicowaną wartością krytycznąrozkładu
chi–kwadrat z ν stopniami swobody.
Przedziały jednostronne
(
0,varX
χ2 (α;n− 1)
)
(
varXχ2 (1− α;n− 1) , ∞
)
WZ WUM Wnioskowanie 19
kład.
Na podstawie próby 1.1, 1.2, 0.8, 0.9, 1.2, 1.3, 1.0,0.7, 0.8,
1.0 oszacować zróżnicowanie rozkładu ob-serwowanej cechy.
x̄ =1.1 + 1.2 + · · ·+ 1.0
10= 1.0
varX = (1.1− 1.0)2 + · · ·+ (1.0− 1.0)2 = 0.36
s2 =0.3610− 1 = 0.04, s =
√s2 = 0.2
Poziom ufności 1− α = 0.95, czyli α = 0.05.
χ2(α
2;n− 1
)
= χ2 (0.025; 9) = 19.0228
χ2(
1− α2;n− 1
)
= χ2 (0.975; 9) = 2.7004(
0.3619.0228
,0.362.7004
)
= (0.019, 0.133)
Wniosek. Wariancja cechy jest jakąś liczbą z prze-działu (0.019,
0.133). Zaufanie do tego wniosku wy-nosi 95%.
WZ WUM Wnioskowanie 20
-
dział ufności dlaodchylenia standardowego
Średnia µ jest nieznana
Poziom ufności: 1− α(√
varXχ2(α2 ;n− 1)
,
√
varXχ2(1− α2 ;n− 1)
)
Przedziały jednostronne
(0,
√varX
χ2 (α;n− 1)
)
(√varX
χ2 (1− α;n− 1) ,∞)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Przykład (cd).
Przedział ufności dla odchylenia standardowego:
(√0.019,
√0.133) = (0.136, 0.365)
WZ WUM Wnioskowanie 21
kład.Oszacować zróżnicowanie ilości punktów uzyskiwa-nych na
klasówce.
n = 300∑xi = 176.566
∑x2i = 107.845302
Populacja:Słuchacze podstawowego kursu statystyki
Cecha X:ilość punktów zdobytych na klasówce
Założenie:cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ2)
Zadanie: oszacować parametr σ
Technika statystyczna:przedział ufności dla odchylenia
standardowegopoziom ufności 0.95
WZ WUM Wnioskowanie 22
-
x̄ = 0.589 varX = 3.92679
χ2(α2;n− 1
)= χ2 (0.025; 299) = 348.79420
χ2(1− α2;n− 1
)= χ2 (0.975; 299) = 252.99251
(√3.92679348.79420
,
√3.92679252.99251
)= (0.10610, 0.12458)
Odpowiedź: σ ∈ (0.10610, 0.12458)
Wniosek. Odchylenie standardowe liczby punktówzdobywanych na
klasówce jest liczbą z przedziału(0.106, 0.125). Zaufanie do tego
wniosku wynosi 95%.
WZ WUM Wnioskowanie 23
¡ ¢ £ £ ¤ ¥ ¦ ¥ § ¨ ¤ ©
Estymacja parametru
p — frakcja, wskaźnik struktury
Próba: X1, . . . , Xn (Xi = 0 lub = 1)
k =∑ni=1Xi — ilość jedynek (sukcesów)
Estymator punktowy:
p̂ =k
n
Przedział ufności na poziomie ufności 1− α(p1
(1− α2; k, n− k
), 1− p1
(1− α2;n− k, k
))
Jednostronne przedziały ufności
(p1 (1− α; k, n− k) , 1)
(0, 1− p1 (1− α;n− k, k))
WZ WUM Wnioskowanie 24
-
ª « ¬ kład.Wśród 20 zbadanych detali znaleziono dwa braki.Ocenić
na tej podstawie wadliwość produkcji.
Cecha X — jakość detalu (dobry, zły).Sukces — detal
wybrakowanyPytanie: p =?
n = 20, k = 2 =⇒ p̂ = 2/20 = 0.1
Poziom ufności 1− α = 0.9, czyli α = 0.1
p1
(1− α2; k, n− k
)= p1(0.95; 2, 18) = 0.0123
p1
(1− α2;n− k, k
)= p1(0.95; 18, 2) = 0.6830
(0.0123, 1− 0.6830) = (0.0123, 0.3170)
Wniosek. Wadliwość produkcji wyraża się liczbąz przedziału
(1.23%, 31.70%). Zaufanie do wnioskuwynosi 90%.
WZ WUM Wnioskowanie 25
® ¯ ° ± bliżony przedział ufności
(p̂− u1−α/2
√p̂(1− p̂)n, p̂+ u1−α/2
√p̂(1− p̂)n
)
uα jest kwantylem rzędu α rozkładu N(0, 1).. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .Przykład. (cd)
n = 200, k = 20 =⇒ p̂ = 20/200 = 0.1
Poziom ufności 1− α = 0.9, czyli α = 0.1
u1−α/2 = u0.95 = 1.6449
0.1− 1.6449√0.1(1− 0.1)200
= 0.0651
0.1 + 1.6449
√0.1(1− 0.1)200
= 0.1349
Wniosek. Wadliwość produkcji wyraża się liczbąz przedziału
(6.51%, 13.49%). Zaufanie do wnioskuwynosi 90%.
WZ WUM Wnioskowanie 26
-
² ³ ´ µ kład.Oszacować odsetek ocen dostatecznych otrzymywa-nych
na klasówce.
n = 300 k = 88
Populacja:Słuchacze podstawowego kursu statystyki
Cecha X:ocena dostateczna z klasówki
Założenie:cecha X ma rozkład D(p)
Zadanie: oszacować parametr p
Technika statystyczna:przybliżony przedział ufności dla
prawdopodobień-stwapoziom ufności 0.95
WZ WUM Wnioskowanie 27
¶ · ¸ ¹ º » ¼ ½ ¹ ¾
p̂ =88300= 0.29
u1−α/2 = u0.975 = 1.96
0.29− 1.96√0.29(1− 0.29)
300= 0.2387
0.29 + 1.96
√0.29(1− 0.29)
300= 0.3413
Odpowiedź: p ∈ (0.2387, 0.3413)
Wniosek.Odsetek ocen dostatecznych zdobywanych na kla-sówce jest
liczbą z przedziału (23.87%, 34.13%). Za-ufanie do tego wniosku
wynosi 95%.
WZ WUM Wnioskowanie 28
-
¿ À Á Â Ã Ä Å Ä Æ Ç È Ã Â É Ê
rozkładów normalnych
Założenia:1. X1 ∼ N(µ1, σ21), X2 ∼ N(µ2, σ22)2. X1, X2 są
niezależne
Ocena µ1 − µ2 oraz σ21/σ22 .
Próby: X11, . . . , X1n1 ; X21, . . . , X2n2
X̄1, varX1, s21 =varX1n1 − 1
X̄2, varX2, s22 =varX2n2 − 1
WZ WUM Wnioskowanie 29
Ë Ì Í Î Ï Ð Ñ Ò Î Ó Ì Ô Õ Ó Ö × Ø Ô Ù Ð Í × Î Ó Õ Ó µ1 − µ2
Ocena punktowa: X̄1 − X̄2
Przedział ufności (poziom ufności 1− α)
1. Założenie σ21 = σ22
(X̄1 − X̄2−t(α;n1 + n2 − 2)sr,X̄1 − X̄2 + t(α;n1 + n2 −
2)sr)
s2e =varX1 + varX2n1 + n2 − 2
, s2r = s2e
(1n1+1n2
)
2. Bez założenia σ21 = σ22
(X̄1 − X̄2−V (α;n1 − 1, n2 − 1, c)sr,X̄1 − X̄2 + V (α;n1 − 1, n2
− 1, c)sr)
s2r =(s21n1+s22n2
)c =
s21/n1s21/n1 + s
22/n2
V (α;n1 − 1, n2 − 1, c) — wartość krytyczna
testuBehrensa–Fishera
WZ WUM Wnioskowanie 30
-
Ú Û Ü Ý kład. Ocenić różnicę między średnimi wyni-kami klasówki
pań i panów.Panowie:n1 = 138,
∑x1i = 82.833, varx1 = 1.65841
Panie:n2 = 162,
∑x2i = 93.733, varx2 = 2.23348
Populacja 1:Słuchacze podstawowego kursu statystykiPopulacja
2:Słuchaczki podstawowego kursu statystyki
Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce
Założenie:cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ1, σ21)cecha X ma
w populacji 2 rozkład N(µ2, σ22)σ21 = σ
22
Zadanie: oszacować różnicę µ1 − µ2Technika
statystyczna:przedział ufności t dla różnicy średnichpoziom ufności
0.95
WZ WUM Wnioskowanie 31
Þ ß à á â ã ä å á æ
x̄1 = 0.60024, x̄2 = 0.57860,
s2r =1.65841 + 2.23348138 + 162− 2
(1138+1162
)
= 0.000175255
t(0.05; 298) ≈ 1.96; t(0.05; 298)sr =
0.02595(0.60024−0.57860±0.00034) = (−0.00431, 0.04759)
Odpowiedź: µ1 − µ2 ∈ (−0.00431, 0.04759)
Wniosek.Różnica średnich ilości punktów zdobywanych naklasówce
przez panie i panów jest liczbą z przedziału(−0.00431, 0.04759).
Zaufanie do tego wniosku wy-nosi 95%.
Sugestia. Ponieważ przedział „obejmuje” zero, więcmożna uznać,
że µ1 = µ2.
WZ WUM Wnioskowanie 32
-
ç è é ê ë ì í î ï ë ð ñ ò ë ï ì ë ê è ó ì σ21/σ22
Ocena punktowa: S21/S22
Przedział ufności (poziom ufności 1− α)
(S21S22·F(1− α2;n1 − 1, n2 − 1
),
S21S22· F(α2;n1 − 1, n2 − 1
))
F (α;u, v) jest stablicowaną wartością krytyczną roz-kładu
F–Snedecora (Fishera–Snedecora)
F (1− α;u, v) = 1F (α; v, u)
WZ WUM Wnioskowanie 33
ô õ ö ÷ kład. Porównać zróżnicowanie ocen wynikówklasówek pań i
panów.Panowie:n1 = 138,
∑x1i = 82.833, varx1 = 1.65841
Panie:n2 = 162,
∑x2i = 93.733, varx2 = 2.23348
Populacja 1:Słuchacze podstawowego kursu statystykiPopulacja
2:Słuchaczki podstawowego kursu statystyki
Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce
Założenie:cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ1, σ21)cecha X ma
w populacji 2 rozkład N(µ2, σ22)
Zadanie: oszacować iloraz σ21/σ22
Technika statystyczna:przedział ufności dla ilorazu
wariancjipoziom ufności 0.90
WZ WUM Wnioskowanie 34
-
ø ù ú û ü ý þ ÿ û O
s21 =1.65841138− 1 = 0.01211, s
22 =2.23348162− 1 = 0.01387,
F (0.05; 137, 161) = 1.30936
F (0.95; 137, 161) =1
F (0.05; 161, 137)
=1
1.31386= 0.76111
(0.012110.01387
· 0.76111, 0.012110.0138
· 1.30936)
= (0.66415, 1.14255)
Odpowiedź: σ21/σ22 ∈ (0.66415, 1.14255)
Wniosek.Iloraz wariancji ilości punktów zdobywanych naklasówce
jest liczbą z przedziału (0.66415, 1.14255).Zaufanie do tego
wniosku wynosi 90%.
Sugestia. Ponieważ przedział „obejmuje” jedynkę,więc można
uznać, że σ21 = σ
22 .
WZ WUM Wnioskowanie 35
P � � � � � � � � � � � �
rozkładów dwupunktowych
Założenia:1. X1 ∼ D(p1), X2 ∼ D(p2)2. X1, X2 są niezależne
Ocena p1 − p2.
Próby: X11, . . . , X1n1 ; X21, . . . , X2n2 (Xij = 0 lub 1)
k1 =n1∑
i=1
X1i k2 =n2∑
i=1
X12
p̂1 = k1/n1 p̂2 = k2/n2 p̂ = (k1 + k2)/(n1 + n2)
Przedział ufności (poziom ufności 1− α)
p̂1 − p̂2 − u1−α2
√
p̂(1− p̂)(1n1+1n2
),
p̂1 − p̂2 + u1−α2
√
p̂(1− p̂)(1n1+1n2
)
WZ WUM Wnioskowanie 36
-
� � � kład.Oszacować różnicę między „niezaliczalnością”
kla-sówki ze statystyki przez panie i panów. Na pod-stawie
dotychczasowych danych wiadomo, że na 162pań nie zaliczyło klasówki
46 pań oraz na 138 panów30 uzyskało ocenę negatywną.
Populacja 1:Słuchacze podstawowego kursu statystykiPopulacja
2:Słuchaczki podstawowego kursu statystyki
Cecha X: uzyskanie z klasówki oceny negatywnej
Założenie:cecha X ma w populacji 1 rozkład D(p1)cecha X ma w
populacji 2 rozkład D(p2)
Zadanie: oszacować różnicę p1 − p2
Technika statystyczna:przybliżony przedział ufności dla różnicy
prawdopo-dobieństwpoziom ufności 0.95: u0.975 = 1.96
WZ WUM Wnioskowanie 37
� � � � � � � � � �
n1 = 162 k1 = 46 n2 = 138 k2 = 30
p̂1 =k1n1=46162= 0.2840 p̂2 =
k2n2=30138= 0.2174
p̂ =(k1 + k2)(n1 + n2)
=(46 + 30)(162 + 138)
= 0.2533
1.96 ·√0.2533(1− 0.2533)
300
(1162+1138
)= 0.0987
(0.2840− 0.2174− 0.0987, 0.2840− 0.2174 + 0.0987)
(−0.0321, 0.1653)
Wniosek. Różnica prawdopodobieństw jest liczbąz przedziału
(−0.0321, 0.1653).
Sugestia. Ponieważ przedział „obejmuje” zero, więcodsetki pań i
panów niezaliczających klasówki możnatraktować jako
porównywalne.
WZ WUM Wnioskowanie 38
-
W � � � � � � � � �
hipotez statystycznych
Hipotezą statystyczną nazywamy dowolne przy-puszczenie dotyczące
rozkładu prawdopodobieństwacechy w populacji.Oznaczenie H0
Testem hipotezy statystycznej nazywamy postępo-wanie mające na
celu odrzucenie lub nie odrzuceniehipotezy statystycznej.
Statystyką testową nazywamy funkcję próby napodstawie której
wnioskuje się o odrzuceniu lub niehipotezy statystycznej.
Rzeczywistość: Wniosek o hipotezie H0hipoteza H0 nie odrzucać
odrzucićprawdziwa prawidłowy nieprawidłowynieprawdziwa
nieprawidłowy prawidłowy
WZ WUM Wnioskowanie 39
B ! " # $ % & ' " ( ) * + nazywamy błąd
wnioskowaniapolegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w
rzeczywi-stości jest ona prawdziwa.
Błędem II rodzaju nazywamy błąd wnioskowaniapolegający na
nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczy-wistości jest ona
fałszywa.
Poziomem istotności nazywamy dowolną liczbęz przedziału (0, 1)
określającą prawdopodobieństwopopełnienia błędu I
rodzaju.Oznaczenie: α
Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo od-rzucenia testowanej
hipotezy, gdy jest ona niepraw-dziwa, czyli prawdopodobieństwo nie
popełnieniabłędu II rodzaju.Oznaczenie: 1− β
WZ WUM Wnioskowanie 40
-
R , - . / 0 1 2 , 3 4 0 5 2 6
Porównanie z normą
H0 : µ = µ0
Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ2)Średnia µ oraz wariancja σ2
są nieznane
Test Studenta (poziom istotności α)
Próba: X1, . . . , XnStatystyka testowa
temp =X̄ − µ0S
√n .
Wartość krytyczna t(α;n− 1)
Jeżeli |temp| > t(α;n − 1), to hipotezę H0 : µ =
µ0odrzucamy.
WZ WUM Wnioskowanie 41
7 8 9 : kład. Przypuszczenie: maszyna pakująca kost-ki masła
nastawiona na jednostkową masę 250 g ule-gła po pewnym czasie
rozregulowaniu. W celu wery-fikacji tego przypuszczenia z bieżącej
produkcji po-brano próbę otrzymując wyniki 254, 269, 254, 248,263,
256, 258, 261, 264, 258. Czy można na tej pod-stawie sądzić, że
maszyna uległa rozregulowaniu?
Populacja:paczkowane kostki masła
Cecha X:masa kostki masła
Założenie:cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ2)
Formalizacja:Rozregulowanie maszyny może być interpretowanejako
odejście od nominalnej wagi. Zatem należy zba-dać, czy średnia µ
wynosi 250, czyli weryfikujemyhipotezę H0 : µ = 250
WZ WUM Wnioskowanie 42
-
T ; < = > ? @ A C D A D E C D E < F > A G
test Studenta (test t)poziom istotności α = 0.05
Obliczenia
x̄ = 258.5, s2 = 36.05, temp = 4.47
Wartość krytyczna: t(0.05; 9) = 2.2622
Odpowiedź: hipotezę odrzucamy
Wniosek: maszyna uległa rozregulowaniu
WZ WUM Wnioskowanie 43
M H I J K L J N
Moc testu = 1− P{błąd II rodzaju}Moc testu = P{odrzucenie
nieprawdziwej H0}
Moc testu Studenta hipotezy H0 : µ = µ0
M(µ) = P{|temp| > t(α;n− 1)|X ∼ N(µ, σ2)}
M(µ0) = α
n = 10n = 20n = 30
WZ WUM Wnioskowanie 44
-
Q S U V dział ufności a test hipotezy H0 : µ = µ0
Cecha X ∼ N(µ, σ2)
H0 : µ = µ0
H0 nie odrzucamy na poziomie istotności α
m|temp| < t(α;n− 1)
m
−t(α;n− 1) < X̄ − µ0S
√n < t(α;n− 1)
m
µ0 ∈(X̄ − t(α;n− 1) S√
n, X̄ + t(α;n− 1) S√
n
)
mµ0 należy do przedziału ufności
na poziomie ufności 1− α
WZ WUM Wnioskowanie 45
X 0 : σ2 = σ20
Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ2)Średnia µ oraz wariancja σ2
są nieznane
Test chi–kwadrat (poziom istotności α)
Próba: X1, . . . , XnStatystyka testowa
χ2emp =varXσ20
Wartości krytyczneχ2
(
1− α2 ;n− 1)
oraz χ2(
α2 ;n− 1
)
Jeżeli
χ2emp < χ2(
1− α2 ;n− 1)
lub
χ2emp > χ2(
α2 ;n− 1
)
,
to hipotezę H0 : σ2 = σ20 odrzucamy.
WZ WUM Wnioskowanie 46
-
Y Z [ \ kład. Na podstawie obserwacji prowadzonychprzez długi
okres czasu stwierdzono, że dzienny udójuzyskiwany w pewnym stadzie
krów jest wielkościąlosową, zaś przeciętny dzienny udój mleka
wyrażasie liczbą z przedziału (900, 1200). Rachunek finan-sowy
pokazał, że produkcja mleka jest opłacalna, je-żeli całkowity
dzienny udój będzie wynosił nie mniejniż d = 700 lmleka przez co
najmniej 280 dni w roku.W jaki sposób można zbadać, czy produkcja
mlekajest opłacalna?
Populacja:
Cecha:całkowity dzienny udój
Założenia:Cecha X ma rozkład N(µ, σ2)µd = 900 ≤ µ ≤ µg =
1200
WZ WUM Wnioskowanie 47
] ^ _ ` a b c d a e f a g _ ^ h b i ` j
P{X ≥ d} ≥ p = 280350
P{X ≥ d} = 1− F(d− µσ
)≥ 1− F
(d− µdσ
)
1− F(d− µdσ
)≥ 1− p⇒ F
(d− µdσ
)≤ 1− p
d− µdσ
≤ F−1(1− p) = u1−p
d, µd oraz p są ustalone, więc
σ2 ≥ σ20 =(d− µdu1−p
)2= 56472
Produkcja mleka jest opłacalna, jeżeli wariancja σ2
dziennych udojów jest większa niż σ20 = 56472.
H0 : σ2 ≤ 56472
WZ WUM Wnioskowanie 48
-
k l m n o p q q r s t s u n v l r w
Porównanie z normą
H0 : p = p0
Cecha X ma rozkład D(p)Próba: X1, . . . , Xn (Xi = 0 lub =
1)Test przybliżony (poziom istotności α)Przypadek: n „duże”
Statystyka testowa
uemp =Y − np0√np0(1− p0)
Wartość krytyczna u1−α/2
Jeżeli |uemp| > u1−α/2, to H0 : p = p0 odrzucamy
WZ WUM Wnioskowanie 49
x y z { kład. W swojej ofercie sprzedaży stawu ryb-nego jego
właściciel podaje, iż w stawie żyje co naj-mniej tysiąc karpi.
Potencjalny nabywca zaintereso-wany jest sprawdzeniem prawdziwości
tego twierdze-nia. W tym celu wyłowiono sto karpi i po
zaobrącz-kowaniu ich wpuszczono je z powrotem do stawu. Pojakimś
czasie ponownie odłowiono sto ryb i stwier-dzono, że wśród nich
jest piętnaście zaobrączkowa-nych. Czy w świetle uzyskanych wyników
można re-klamę uznać za prawdziwą?
Populacja:ryby w stawie
Cecha:zaobrączkowanie ryby
Założenia:Cecha X ma rozkład D(p)
WZ WUM Wnioskowanie 50
-
| } ~ ~ }
Jeżeli w stawie żyje co najmniej N ryb, to
odsetekzaobrączkowanych jest co najwyżej 100/N . Zgodniez
twierdzeniem właściciela, N ≥ 1000, czyli odsetekryb
zaobrączkowanych nie przekracza 0.1.
Technika statystycznaPrzybliżony test hipotezy H0 : p ≤
0.1Poziom istotności: α = 0.05
Obliczenia
Y = 15 n = 100
uemp =Y − np0√np0(1− p0)
=15− 10√100 · 0.1 · 0.9
= 1.6667
Wartość krytyczna: u1−0.05 = 1.6449
Odpowiedź: hipotezę odrzucamy
Wniosek: należy uznać, że ogólna liczb ryb w stawiejest mniejsza
niż podana w ofercie
WZ WUM Wnioskowanie 51
rozkładów normalnych
Założenia:1. X1 ∼ N(µ1, σ21), X2 ∼ N(µ2, σ22)2. X1, X2 są
niezależne
Czy µ1 = µ2?
Czy σ21 = σ22?
Próby: X11, . . . , X1n1 ; X21, . . . , X2n2
X̄1, varX1, s21 =varX1n1 − 1
X̄2, varX2, s22 =varX2n2 − 1
WZ WUM Wnioskowanie 52
-
0 : µ1 = µ2
Założenie σ21 = σ22
Test Studenta (poziom istotności α)
Statystyka testowa
temp =X̄1 − X̄2Sr
Sr =
√
S2e
(1n1+1n2
), S2e =
varX1 + varX2n1 + n2 − 2
Wartość krytyczna t(α;n1 + n2 − 2)
Jeżeli |temp| > t(α;n1 + n2 − 2),to hipotezę H0 : µ1 = µ2
odrzucamy
WZ WUM Wnioskowanie 53
kład. Porównać przeciętne osiągnięcia punk-towe pań i panów na
klasówce ze statystykiPanowie:n1 = 138,
∑x1i = 82.833, varx1 = 1.65841
Panie:n2 = 162,
∑x2i = 93.733, varx2 = 2.23348
Populacja 1:Słuchacze podstawowego kursu statystykiPopulacja
2:Słuchaczki podstawowego kursu statystyki
Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce
Założenia:cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ1, σ21)cecha X ma
w populacji 2 rozkład N(µ2, σ22)σ21 = σ
22
Zadanie: zweryfikować hipotezę H0 : µ1 = µ2
Technika statystyczna:test tpoziom istotności 0.05
WZ WUM Wnioskowanie 54
-
¡ ¢ £
x̄1 = 0.60024 x̄2 = 0.57860
s2r =1.65841 + 2.23348138 + 162− 2
(1138+1162
)
= 0.000175255
temp =0.60024− 0.57860√0.000175255
= 1.634
Wartość krytyczna t(0.05; 298) ≈ 1.96
Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy
Wniosek.Średnie ilości punktów uzyskiwane przez panie i pa-nów
można traktować jako porównywalne.
WZ WUM Wnioskowanie 55
¤ ¥ ¦ § dział ufności a test hipotezy H0 : µ1 = µ2
Cecha X1 ∼ N(µ1, σ21), X2 ∼ N(µ2, σ22), σ21 = σ22
H0 : µ1 = µ2
H0 nie odrzucamy na poziomie istotności α
m|temp| < t(α;n1 + n2 − 2)
m
−t(α;n1 + n2 − 2) <X̄1 − X̄2Sr
< t(α;n1 + n2 − 2)
m0 ∈
(
X̄1 − X̄2 ± t(α;n1 + n2 − 2)Sr)
m0 należy do przedziału ufności
na poziomie ufności 1− α
WZ WUM Wnioskowanie 56
-
¨ 0 : σ21 = σ22
Test F (poziom istotności α)
Statystyka testowa
Femp =S21S22
Wartości krytyczneF(1− α2;n1 − 1, n2 − 1
)
F(α2;n1 − 1, n2 − 1
)
JeżeliFemp < F
(1− α2;n1 − 1, n2 − 1
)
lubFemp > F
(α2;n1 − 1, n2 − 1
)
to hipotezę H0 : σ21 = σ22 odrzucamy
WZ WUM Wnioskowanie 57
© ª « ¬ «
F (1− α;u, v) = 1F (α; v, u)
Reguła: większa wariancja do licznika.
Jeżeli S21 > S22 , to wyznaczana jest statystyka
Femp =S21S22
i hipoteza jest odrzucana, gdy
Femp > F(α2;n1 − 1, n2 − 1
)
Jeżeli zaś S21 < S22 , to wyznaczana jest statystyka
Femp =S22S21
i hipoteza jest odrzucana, gdy
Femp > F(α2;n2 − 1, n1 − 1
)
WZ WUM Wnioskowanie 58
-
® ¯ ° kład. Dla sprawdzenia stabilności pracy ma-szyny pobrano
dwie próbki: pierwszą w początko-wym okresie eksploatacji oraz
drugą po miesięcznymokresie pracy tej maszyny. Wykonano pomiary
wylo-sowanych produktów i otrzymano wyniki: n1 = 25,x̄1 = 3.24, s21
= 0.1447 oraz n2 = 19, x̄2 = 3.19,s22 = 0.1521. Zbadać na tej
podstawie czy maszynanie rozregulowała się w trakcie pracy.
Populacja 1produkcja maszyny w początkowym okresie
Populacja 2produkcja maszyny po miesiącu eksploatacji
Cecha Xpomiar produktu
Założeniacecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ1, σ21)cecha X ma w
populacji 2 rozkład N(µ2, σ22)
WZ WUM Wnioskowanie 59
± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ µ ¹ º µ
Stabilność pracy maszyny może być mierzona podo-bieństwem
wytwarzanych produktów: im własnościproduktów są do siebie bardziej
zbliżone, tym bar-dziej stabilna jest praca maszyny. Podobieństwo
ta-kie jest wyrażane wariancją cechy. Zatem stabilnośćpracy można
wyrazić liczbowo jako wariancję inte-resującej cechy produktu, a
problem stabilności jakozagadnienie weryfikacji hipotezy H0 : σ21 =
σ
22
Technika statystycznaTest F (poziom istotności α = 0.10)
Obliczenia
Femp =s22s21= 1.051
Wartość krytyczna F (0.05; 19, 24) = 2.114
Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy
Wniosek: można uznać że maszyna nie rozregulo-wała się w trakcie
pracy
WZ WUM Wnioskowanie 60
-
» ¼ ½ ¾ ¿ À Á À Â Ã Ä ¿ ¾ Å Æ
rozkładów dwupunktowych
Założenia:1. X1 ∼ D(p1), X2 ∼ D(p2)2. X1, X2 są niezależne
H0 : p1 = p2
Test przybliżony (poziom istotności α)
p̂1 =k1n1, p̂2 =
k2n2, p̂ =
(k1 + k2)(n1 + n2)
Statystyka testowa
uemp =p̂1 − p̂2√
p̂(1− p̂)( 1n1 +1n2)
|uemp| ≥ u1−α/2 =⇒ H0 : p1 = p2 odrzucamy
WZ WUM Wnioskowanie 61
Ç È É Ê kład. Celem badania było porównanie przy-gotowania z
matematyki kandydatów na studia bę-dących absolwentami liceów oraz
techników. W tymcelu spośród kandydatów zdających matematykę
wy-losowano 400 absolwentów liceów oraz 600 absol-wentów techników.
W wylosowanej grupie stwier-dzono, że 385 absolwentów liceów oraz
501 absolwen-tów techników rozwiązało test wstępny. Czy możnana tej
podstawie sądzić, że przygotowanie w obu gru-pach absolwentów jest
jednakowe?
Populacja 1:absolwenci liceów zdający egzamin wstępnyPopulacja
2:absolwenci techników zdający egzamin wstępny
Cecha X: umiejętność rozwiązania testu (tak/nie)
Założenia:cecha X ma w populacji 1 rozkład D(p1)cecha X ma w
populacji 2 rozkład D(p2)
FormalizacjaWeryfikacja hipotezy H0 : p1 = p2
WZ WUM Wnioskowanie 62
-
Ë Ì Í Î Ï Ð Ñ Ò Ó Ô Ò Ô Õ Ó Ô Õ Í Ö Ï Ò
Test przybliżony (poziom istotności α = 0.05)
Obliczenia
n1 = 400 k1 = 385 p̂1 = 385/400 = 0.9625
n2 = 600 k2 = 501 p̂2 = 501/600 = 0.8350
p̂ = (385 + 501)/(400 + 600) = 0.886
uemp =0.9625− 0.8350√
0.886(1− 0.886)(
1400 +
1600
)
= 6.215.
Wartość krytyczna u0.975 = 1.96
Odpowiedź: hipotezę H0 : p1 = p2 odrzucamy
Wniosek:przygotowanie absolwentów liceów i techników z
ma-tematyki nie jest takie same.
WZ WUM Wnioskowanie 63
× Ø Ù Ú Û Ü Ý Ü Þ ß Û Þ ß à á
rozkładów normalnych
Założenia:1. Xi ∼ N(µi, σ2i ), i = 1, . . . , k2. X1, . . . , Xk
są niezależne
Czy µ1 = · · · = µk?
Czy σ21 = · · · = σ2k?
Próby: Xi1, . . . , Xini , i = 1, . . . , k
X̄i, varXi, s2i =varXini − 1
; i = 1, . . . , k
WZ WUM Wnioskowanie 64
-
â 0 : µ1 = · · · = µk
Założenie σ21 = · · · = σ2kTest F (poziom istotności α)
Statystyka testowa
Femp =S2aS2e
S2a =1k − 1
k∑
i=1
ni(X̄i − X̄)2
S2e =1N − k
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X̄i)2
X̄i =1ni
ni∑
j=1
Xij , X̄ =1N
k∑
i=1
ni∑
j=1
Xij
N =k∑
i=1
ni
WZ WUM Wnioskowanie 65
ã ä å ä æ ç Femp > F (α; k − 1, N − k),to hipotezę H0 : µ1 =
· · · = µk odrzucamy.
Wniosek praktyczny:przynajmniej jedna ze średnich µ1, . . . , µk
jest innaod pozostałych
Model analizy wariancji
Xij = µi + εij
Błąd losowy εij ∼ N(0, σ2)
PrzykładyPlenność kilku odmian pewnej rośliny uprawnejWydajność
pracowników kilku zakładów pracyZarobki kilku grup społecznych
Czynnik: odmiana, zakład, grupaPoziomy czynnika: badane odmiany,
badane za-kłady, badane grupy
WZ WUM Wnioskowanie 66
-
è é ê ë ì í î í ì ï ð ñ ò í ó ï í î ô õ ï
Xij = µ+ ai + εij
ai — efekt i–tego poziomu czynnika:∑ki=1 ai = 0
H0 : a1 = · · · = ak = 0, H0 :k∑
i=1
a2i = 0
Tabela analizy wariancji
Źródło Stopnie Sumy Średnie Femp
zmienności swobody kwadratów kwadraty
Czynnik k − 1 varA S2a = varAk−1 S2a/S2eBłąd losowy N − k varE
S2e = varEN−kOgółem N − 1 varT
varA =k∑
i=1
ni(X̄i− X̄)2, varE =k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X̄i)2,
varT =k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X̄)2,
varA+ varE = varT
WZ WUM Wnioskowanie 67
ö ÷ ø ù ú û ü ý þ ÿ ÷ ÿ ý þ ü — podzbiory średnich, któremożna
uznać za takie same
Procedury porównań wielokrotnych — postę-powanie statystyczne
zmierzające do podzieleniazbioru średnich na grupy jednorodne
Procedury: Tukeya, Scheffégo, Bonfferroniego, Dun-cana,
Newmana–Kuelsa i inne.
Ogólna idea procedur porównań wielokrotnych(n1 = · · · = nk)
NIR — najmniejsza istotna różnica
Jeżeli |X̄i − X̄j | < NIR, to uznajemy, że µi = µj .
Jeżeli|X̄i − X̄j | < NIR|X̄i − X̄l| < NIR|X̄l − X̄j | <
NIR,to uznajemy, że µi = µj = µl.
Badając w ten sposób wszystkie pary średnich prób-kowych
otrzymujemy podział zbioru średnich na gru-py jednorodne.
WZ WUM Wnioskowanie 68
-
P � � cedura Tukeya
Założenie: n1 = · · · = nk = n
NIR = t(α; k,N − k)Se√1n
t(α; k,N − k) — wartość krytyczna studentyzowa-nego rozstępu
Przypadek nierównolicznych próbJedna z modyfikacji procedury
Tukeya
NIRij = t(α; k,N − k)Se
√12
(1ni+1nj
)
WZ WUM Wnioskowanie 69
� � � � kład. Przeprowadzić analizę porównawczą wy-ników
punktowych klasówki w grupach studenckich.
PopulacjeMożemy wyodrębnić dziesięć populacji indeksowa-nych
numerami grup studenckich
Cecha XIlość punktów uzyskanych na klasówce
Założeniacecha X ma w i–tej populacji rozkład N(µi, σ2i )(i = 1,
. . . , 10)σ21 = · · · = σ210
Formalizacjaweryfikacja hipotezy H0 : µ1 = · · · = µ10
Techniki statystyczna• Jednoczynnikowa analiza wariancji•
Porównania szczegółowePoziom istotności 0.05
WZ WUM Wnioskowanie 70
-
O � � � � � �
i ni∑xi
∑x2i
1 30 18.230 11.3759502 30 16.672 9.5967903 30 14.292 7.0874584
30 18.879 12.0696555 30 18.200 11.3559826 30 19.568 13.1728847 30
16.522 9.4209608 30 19.134 12.5148749 30 18.548 11.94596410 30
16.521 9.304785
300 176.566 107.845302
i ni x̄i ni(x̄i−x̄)2 varxi1 30 0.607667 0.010960 0.2981872 30
0.555733 0.032315 0.3316043 30 0.476400 0.377351 0.2787494 30
0.629300 0.049809 0.1891005 30 0.606667 0.009843 0.3146496 30
0.652267 0.121782 0.4093307 30 0.550733 0.042911 0.3217448 30
0.637800 0.072757 0.3112099 30 0.618267 0.026486 0.47835410 30
0.550700 0.042986 0.206670
N=300 x̄=0.588553 varA=0.787199 varE=3.139595
varT = 107.845302− 176.5662/300 = 3.926794
WZ WUM Wnioskowanie 71
T � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
Źródło Stopnie Sumy Średnie Femp
zmienności swobody kwadratów kwadraty
Grupa 9 0.787199 0.087467 8.079
Błąd losowy 290 3.139595 0.010826
Ogółem 299 3.926794
Wartość krytyczna
F (0.05; 9, 290) = 1.912
Odpowiedź:hipotezę H0 : µ1 = · · · = µ10 odrzucamy
Wniosek:przynajmniej jedna grupa uzyskała inną średnią licz-bę
punktów niż pozostałe
WZ WUM Wnioskowanie 72
-
W � � � � � � � � � ! " # $ % � & � ' " ' & � � � (
Procedura Tukeya (α = 0.05)
Wartość krytyczna: t(0.05; 10, 290) = 4.474
NIR = 4.474 ·√0.010826 ·
√130= 0.084990
i x̄i3 0.476400 ∗10 0.550700 ∗ ∗7 0.550733 ∗ ∗2 0.555733 ∗ ∗ ∗5
0.606667 ∗ ∗ ∗1 0.607667 ∗ ∗ ∗9 0.618267 ∗ ∗ ∗4 0.629300 ∗ ∗ ∗8
0.637800 ∗ ∗6 0.652267 ∗
WZ WUM Wnioskowanie 731 ) * + , - . / 0 1 2
••
•
• ••
•• •
•............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................···
·
·
·
··
·
···
·
···········
·
··
·
··
··
·
··
·
·······
·
·
·
···
····
·
·
·
·
··
··
·
··
···
··
·····
·······
·
··
·
···
··
·
···
·····
······
··
·······
··
··
·
· ·
··
·
·····
···
··
···
····
·
··
·
····
·
·
·
········
·
··
··
·
·
·
·····
··
··
···
·
·
·
··
··
·
··
···
·
·
·
······
·
··
·
···
·
··
··
·
·
············
·
·
···
·
··
·
··
·
··
·
·
··
·
·
·
··
·
···
·
·····
·
·
·
·
·
·
·
·
·
···
·
··
···
····
········
··
·
·
··
··
·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
••
•
• ••
•• •
•......................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
... ......................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
WZ WUM Wnioskowanie 74