Biomatematika 1 Többváltozós függvények, parciális deriváltak 1 Dr. Bugyi Beáta 2019
Biomatematika 1Többváltozós függvények, parciális deriváltak 1
Dr. Bugyi Beáta2019
Egyváltozós függvények - derivált
-
fix )= x'
8
m=8dfl × )
= flex ) = 2x1 dx
# MEREDEKSEG-
# f ( x ) VAUD 2h51 SEBESS 'EGEm=4 4
1 X VA'
LTOZIK
-
HOGYVALTOZIK fcx )
f' (21--212)=4
f'
(41--214)=8
Többváltozós függvények - parciális derivált
Egyszerűsítsük a problémát!Hogyan változik f(x,y), ha csak az egyik független változó változik, míg a másik konstans (állandó)?
1.
X VAILTOZIK y = ALLAN Db80
20 y =
TO20 -10=2
1060 f ( x
, y ) =
201-2×+40
> 2
At LTALAINOSAN
X VAILTOZIK y = At LLANDO'
f ( x, g) = 20 t 2X thy
→ riOflag ) d(20t2xt4y )
= = 2ox
Oxy Y
PARCIALIS DERNA 'LT ( d )
802. y
VAILTOZIK X = At LLANDO'
X
-1040 f ( x
, g) = 20
t20t4ys 4
40
To' 4 At LTALAINOSAN
1040
Y VAILTOZIK X = At LLANDO'
f ( x, g) = 20 t 2X thy
go
go,
4
Jfk, y ) d(20t2xt4y )= = 4dy
xOY
x
PARCIA 'Ll 's DERNA 'LT ( d )
Parciális derivált - szemléltetése, hőmérséklet eloszlás egy szobábanT ( x
, y ) = 20+2×+4 y
> x
2
YA 'LL AND -0
4 21-4=6
vX - At LLANDO
'
Ydfcxiy )
=
d
(201-2×1-49)=2oxOx
y Y
I fcxiy )=
d(20t2xt4y )= ydy
x OY x
Teljes differenciál
T ( x, y ) = 20+2×+4 y
i. dfcxiy )y = ALLAN Db X VAILTOZIK fix , y ) VA 'LT02A 's A = 2
oxy
DX df ( x, y )=2dX
2. dfcxiy )X = At LLANDO
'
yVAILTOZIK fcxiy ) VA 'LT02A 's A = 4OY x
dy dfcx , y ) = 4 dy
X VAILTOZIK ( dx ) yVAILTOZIK ( dy )
fcx , y ) VA 'LT02A 's A = dfcx , y ) = Zdxt 4dg TEWES DIFFERENCE 1dL
dfcxiy )=df(" Y ) d×+dfC4Y) dyox
y OY x
PARC IA 'Ll S DERNA'
LT
yMELYIK Fit GGVENYT
dfcxiy )
d X ly ← MELYIK VA'
LTO 2b ( K ) At LLANDO'
DERNA 'LJAK I
may ,µ v ALTO 2b SZERINT
TELTES DIFFERENCE IA 't
f- ( x , y ) VALTOZDISA
| fCSAK X VA
'
LTOZA 'S A MIAIT
. dfcxiy )=df(" Y )dx +
OfHis ) dyd x OY x
f- CxiylVALTOZAISA Y
X ES Y VA'
LTOZA 's A MIAIT I [CSAKYVA 'LT02A 's A MIAIT
f ( x , y ) VALTOZDISA
Ideális gáz
pv =n RT n=1 mob R= 8.31it
mock
PCV ,T ) -
MRT
V
1
T = 273k V=1m3
8.31 - 273= 2268.63P ( V
,T ) =
1 -
^
NO"
tHA T VALTOZA 's A 0.07 Es V=A 'LL AND 'D
T =273.001KV=1m3 v p VA 'LT02A 's A0.008311- 8.31.273.001p ( V
,T ) =-2268.63831a
^
T )
,
= YR off ( T . 273 ,V=t)=t '
f.
31=8.3170
T )
,
= YR 817/1=273 ,V=t)=t '
f.31=8.31
PARCIAILIS DERNA"
LT
T VA 'LT02A 's A AEGYSEG p VALTOZA 's A 8.31 EGYSEG
: 1000£0.001EGYSEG 8.31 . 0.001=0.00831= 0.00831
DT EGYSEG 8.31 IT
2
T = 273k V=1m3
8.31 - 273= 2268.63P ( V
,T ) =
1 -
^CS O KKENHAVVALTOZA 's A 0.01
'EST = At LLANDO'
T = 273KV =1.01ms-
p VA 'LT02A'SA -
2.266361- 8. 31.273
p ( V,
T ) = =2266.36<1.001DPCYT)= - MRT
1
§P ( 1=273 ,V=t)= - 1.8.31 . 273 42 =
d V V2 vT
= -
2268.6350MRT f = NRT ft fa )
DP ( YT )= - MRT
1gdp ( 1=273 ,V=t)= - 1.8.31 . 273 for = - 2268.63
d V V2 vT
PARCIAILIS DERNA'
LT
V VA 'LT02A 's A AEGYSEG p VALTOZA 's A
-2268.63EGYSEIG
: 1000 f 0.001EGYSEG
- 2268.63 .0.001=-2.26863~ - 2.26636
DV EGYSEG - 2268.63 DV
Teljes differenciál
dfcxiy )=df(" Y ) d×+dfC4Y) dyox
y OY x
dpc YT ) Opt YT )dpc Vit ) =
TDT t DV
d orV T
=MR
dttf- MRT11 DV✓ v 2
A PELDAIBAN
dpc VIT ) =
t
;8.31DT t ( - 1.8.31 . 273 ta )dV
dp( V,
T ) = 8.31DTtf - 2268.63 )dV
A belső energia, mint teljes differenciálParciális deriváltak, mint fizikai mennyiségek
ENTRO'
PIA
1 FETE TEL .OU = OQ - OW
TETSZBLEGESENKISVALtoza.gr A O , ddS= IF → dQ=TdS
MUNK A
du = da - dw dW=pdV
# du = Tds -
p DV
U VALTOZA 's A ~ S,
V VALTOZAISA : U ( s,
V )
# U MINT TELTES DIFFERENCE IA 't
du = off yds tOU
DVOV
s
du = T DS - p DV*
au . on ÷ :c:
Mutassuk meg, hogy ha p = állandó, akkor dH = dQ.
🙂
ENTALPIA
HE Utpv
dH=d( Utpv ) ( ftg ) '=f' t g'
= dutdcpv ) ( f- g)'
= f' gtfg'
= dutdpvtpdv du - DQ - pdv
=dQ - pdvtdpvtpdv p - ALLANDO'
dp=0=D
dH=dQ
TETS LEGES OX Gf( x )=f( x tox ) - f( x )Ofk ) A' TLAGOS aox
Ofcx ) dfcx )OX > O lion = PILLANATNYI d
ox→O OX DX
Ofcxiy )=
dfcxiy )ox > O him
0×-0 OX Ox ly -_ a u.
t y-_ A 'Ll
.
PARCIA 'Ll 's @
Oy> O himOff " 't )
=
dfcxiy )
Oy - oOydy/x=au .X=A'Ll
.
dfcx ,y)=df%H1ydXtdff×y't)/×dy TELJESDIFFERENCIA 't