Billares Introducción. Cuando pensamos en billares, inmediatamente recurrimos al juego situado en una mesa de billar con bolas de billar, dicha mesa tiene bordes para permitirse los rebotes de las bolas impulsadas estas por un taco. Sin embargo, en el sentido matemático, cuando se estudian los billares se entiende como un sistema dinámico. Un sistema dinámico es un sistema físico cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los billares tienen muchas aplicaciones dentro del área de la física, una de ellas, por ejemplo, es la de describir la dinámica de las partículas de los gases al estar éstas bajo una presión. Pensaremos el billar matemático como el movimiento de una masa puntual (un punto en el plano) que se encuentra dentro de una región acotada (un subconjunto de ℝ 2 ) que sigue una trayectoria inicial dada (velocidad). Podemos considerar este punto como el movimiento de una partícula. Cabe mencionar que existen algunas suposiciones sobre la idea del movimiento de la partícula: la primera es que “no hay fricción”, esto es, la partícula nunca se detiene, la trayectoria se sigue indefinidamente con la rapidez inicial constante; y la segunda suposición es que los “rebotes” con la frontera son elásticos, es decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Los ángulos los mediremos en radianes, salvo que haya necesidad de hablar de ellos en grados. Cuando la partícula choca contra la frontera ésta entra con cierto ángulo y su rebote se sigue del mismo ángulo con la que entró formado éste con la tangente a la curva. Definición. Sea ⊆ ℝ 2 un conjunto abierto acotado y conexo, llamaremos a este conjunto mesa del billar. Ejemplos de mesas de billar: Billar cuadrado Billar circular Billar elíptico En general, una mesa de billar puede ser cualquier polígono regular, o cualquier curva cerrada que se pueda construir siempre que su frontera sea la unión finita de curvas compactas y suaves.
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Billares
Introducción.
Cuando pensamos en billares, inmediatamente recurrimos al juego situado en una mesa
de billar con bolas de billar, dicha mesa tiene bordes para permitirse los rebotes de las
bolas impulsadas estas por un taco. Sin embargo, en el sentido matemático, cuando se
estudian los billares se entiende como un sistema dinámico. Un sistema dinámico es un
sistema físico cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los billares tienen muchas
aplicaciones dentro del área de la física, una de ellas, por ejemplo, es la de describir la
dinámica de las partículas de los gases al estar éstas bajo una presión.
Pensaremos el billar matemático como el movimiento de una masa puntual (un punto en
el plano) que se encuentra dentro de una región acotada (un subconjunto de ℝ2) que
sigue una trayectoria inicial dada (velocidad). Podemos considerar este punto como el
movimiento de una partícula. Cabe mencionar que existen algunas suposiciones sobre la
idea del movimiento de la partícula: la primera es que “no hay fricción”, esto es, la
partícula nunca se detiene, la trayectoria se sigue indefinidamente con la rapidez inicial
constante; y la segunda suposición es que los “rebotes” con la frontera son elásticos, es
decir, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Los ángulos los mediremos en
radianes, salvo que haya necesidad de hablar de ellos en grados.
Cuando la partícula choca contra la frontera ésta entra con cierto ángulo y su rebote se
sigue del mismo ángulo con la que entró formado éste con la tangente a la curva.
Definición. Sea 𝑄 ⊆ ℝ2 un conjunto abierto acotado y conexo, llamaremos a este
conjunto mesa del billar.
Ejemplos de mesas de billar:
Billar cuadrado Billar circular Billar elíptico
En general, una mesa de billar puede ser cualquier polígono regular, o cualquier curva
cerrada que se pueda construir siempre que su frontera sea la unión finita de curvas
compactas y suaves.
Más ejemplos:
Estadio: Este billar es
una “combinación” del
billar cuadrado y del
billar circular.
Billar triangular
Billar en un polígono
hexagonal
Dinámica.
Denotaremos por 𝑞0 = (𝑢0, 𝑣0) ∈ 𝑄 como la posición inicial de la partícula con velocidad
𝑣 ∈ ℝ2.
Se mencionó los rebotes elásticos, entonces sea cualquier billar con curvas fronteras
suaves, al menos 𝐶2, y supongamos cualquier vector velocidad inicial 𝑣0 , la actualización
del vector velocidad, osea 𝑣1, viene siendo determinada por la siguiente fórmula
𝑣1 = 𝑣0 − 2⟨𝑣0, 𝑛(𝑞)⟩𝑛(𝑞)
Donde 𝑛(𝑞) es un vector normal a la curva frontera en el punto de incidencia, (donde la
partícula rebota). Esto se describe con el siguiente esquema.
La formula se obtiene de la siguiente manera:
𝑞0
𝑣0
𝑛(𝑞)
𝑣1
𝑙3Tangente a la
curva
Dado que 𝑛 es un vector normal a la curva, sea 𝜇 un vector perpendicular a 𝑛
entonces 𝜇 es el vector direccional de la recta tangente a la curva.
Como 𝜇 𝑦 𝑛 son perpendiculares, podemos escribir como combinación lineal a
𝑣0 = 𝛼𝜇 + 𝛽𝑛 … … … … … … … (1)
con 𝛼, 𝛽 constantes.
Cuando ocurre el rebote, se obtiene que 𝜇 se conserva y 𝛼 cambia de sentido ya que por
hipótesis los ángulos de reflexión son iguales a los de incidencia por lo tanto podemos
escribir a 𝑣1 en términos de 𝜇 𝑦 𝑛 de la siguiente forma:
𝑣1 = 𝛼𝜇 − 𝛽𝑛 … … … … … … … (2)
Hacemos producto punto la ecuación (1) con 𝑛
⟨𝑛. 𝑣0⟩ = 𝛼⟨𝜇. 𝑛⟩ + 𝛽⟨𝑛. 𝑛⟩
⟹ ⟨𝑛. 𝑣0⟩ = 𝛽 … … … … … … … (3)
La ultima igualdad se obtiene de tener a 𝑛 como un vector normal.
Reescribimos la ecuación (2)
𝑣1 = 𝑣0 − 2𝛽𝑛
Y sustituimos la ecuación (3) en la igualdad de arriba
𝑣1 = 𝑣0 − 2⟨𝑛. 𝑣0⟩𝑛 … … … … … (4
Ahora analicemos algunos billares en mesas particulares.
Billar cuadrado.
El billar cuadrado es considerado uno de los más simples y con el que muchos artículos
empiezan describiendo.
Cuando la partícula llega a un vértice la trayectoria termina, esto se debe a que en ese
punto no es posible determinar una tangente con la cual podamos decir cómo se
comportara la partícula después del rebote. En general supondremos que la posición
inicial de la partícula está sobre alguna curva frontera.
Este billar presenta algunas propiedades muy interesantes. La longitud de los lados del
cuadrado puede variar (puede ser un rectángulo) pero simplificaremos el caso a un
cuadrado unitario.
Sea 𝑄 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1}
Tenemos trayectorias muy interesantes, resulta que desde cualquier punto 𝑞0 ∈ 𝑄 si el
vector velocidad es de la forma (±1, 0) ó (0, ±1) entonces se obtiene una “orbita
periódica de periodo dos”. Esto se ilustra a continuación:
La posición inicial es 𝑞0 = (1
5,
1
2) y 𝑣0 =
(1, 0), aunque no es notable el punto
inicial porque la trayectoria se sigue
indefinidamente por las hipótesis ya
mencionadas.
Aquí tenemos la partícula con la misma
posición inicial pero con 𝑣0 = (0, 1)
𝜋
2
𝜋
2
La actualización del vector velocidad viene dada por la ecuación (4).
Entonces sea 𝑣0 = (𝑎, 𝑏) el vector inicial, con el billar cuadrado, usemos como vectores
normales (±1, 0) ó (0, ±1) a cada frontera vertical y horizontal respectivamente. Si
suponemos que la trayectoria se dirige hacia un lado vertical; 𝑛(𝑞) = (1, 0)ó (−1, 0) y
𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2⟨(1, 0). (𝑎, 𝑏)⟩(1, 0)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2𝑎(1, 0)
⟹ 𝑣1 = (−𝑎, 𝑏)
O en otro caso
𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2⟨(−1, 0). (𝑎, 𝑏)⟩(−1, 0)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) + 2𝑎(−1, 0)
⟹ 𝑣1 = (−𝑎, 𝑏)
Análogamente, para los rebotes con las fronteras horizontales usamos;
𝑛(𝑞) = (0, 1) ó (0, −1) y
𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2⟨(0, 1). (𝑎, 𝑏)⟩(0, 1)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2𝑏(0, 1)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, −𝑏)
O en otro caso
𝑣1 = (𝑎, 𝑏) − 2⟨(0, −1). (𝑎, 𝑏)⟩(0, −1)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, 𝑏) + 2𝑏(0, 1)
⟹ 𝑣1 = (𝑎, −𝑏)
Por lo tanto denotamos 𝑣𝑡 = ((−1)𝑛𝑎, (−1)𝑚𝑏), donde 𝑛 es el número de rebotes con
las fronteras verticales y 𝑚 es el número de rebotes con las fronteras verticales. El
subíndice 𝑡 es debido a que la posición de la partícula y su velocidad dependen del
tiempo.
Si consideramos las orbitas que no se dirigen hacia un vértice y cuya velocidad es distinta
a las anteriores, obtenemos orbitas como se ilustran en seguida.
𝑞0 = (0.6, 0.1) 𝑦 𝑣0 = (1
2,
1
4). Se
muestran 5 rebotes.
Se mantienen constantes dos ángulos
que no necesariamente son iguales,
excepto en el caso de las orbitas
periódicas de periodo dos en el que los
ángulos son de 𝜋
2.
Más propiedades
Proposición: Sea 𝑣0 = (𝑎, 𝑏)
1. Si la trayectoria inicial tiene pendiente racional, es decir, si 𝑏/𝑎 ∈ ℚ entonces es
periódica.
2. Si la trayectoria inicial tiene pendiente irracional, es decir, si 𝑏/𝑎 ∉ ℚ, entonces es
densa.
Denso
La trayectoria se vuelve densa cuando ésta no es periódica, no se cierra y termina
“llenando todo el cuadro” si prolongáramos indefinidamente todos sus rebotes
marcándolas con líneas. Una muestra de esto se da a continuación.
𝑞0 = (0.6, 0.1) 𝑦 𝑣0 = (0.5, 𝜋) .
Se muestran 300 rebote.
𝜋
0.5∉ 𝑄
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝛽
𝛼
𝛽
El desdoblamiento (unfolding)
La trayectoria de la partícula dentro del billar cuadrado puede obtenerse con un
procedimiento muy usado en algunos billares poligonales- el desdoblamiento (unfolding)-
que consiste en continuar la trayectoria en línea recta como si la frontera desapareciera
momentáneamente. Haciendo además cuadrados adyacentes al cuadrado original. Los
rebotes de la partícula con las líneas verticales y horizontales que lo delimitan, son