BILANGAN REAL - acenale.files.wordpress.com  · Web viewPada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat aljabar penting sistem bilangan real. Dalam uraiannya terlebih dahulu akan dibahas

BILANGAN REAL

Pada tulisan ini akan dibahas sifat-sifat aljabar penting sistem bilangan real. Dalam

uraiannya terlebih dahulu akan dibahas sifat-sifat dasar yang berkaitan dengan bilangan

real dan dilanjutkan dengan menunjukkan bagaimana sifat-sifat lainnya dapat dideduksi

dari sifat-sifat dasar tersebut.

Untuk selanjutnya, R menyatakan himpunan semua bilangan real dan bilangan real

dinyatakan sebagai unsur di R.

A. Sifat-sifat Aljabar

Pada bagian ini akan dibahas tentang struktur aljabar dari sistem bilangan real. Dimulai

dengan menguraikan sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian pada bilangan real. Sifat

dasar ini merupakan dasar bagi semua sifat aljabar yang penting dari bilangan real. Ini

berarti bahwa semua sifat aljabr yang lainnya dapat dideduksi sebagai teorema-teorema.

Dalam istilah alajabar abstrak, sistem bilangan real mempunyai field terhadap operasi

penjumlahan atau perkalian bias ditulis dengan notasi ( R , + , . ) merupakan field.

Pada R terhadap dua operasi biner masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian

yang biasa dinyatakan dengan “ + “ dan “ . “ . kedua operasi ini memenuhi sifat-sifat

berikut.

( J1 ) Sifat komutatif penjumlahan

a + b = b + a untuk semua a dan b di R.

( J2 ) Sifat assosiatif penjumlahan

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c untuk semua a, b, c di R.

1

( J3 ) Eksistensi unsur nol

Ada 0 di R sehingga a + 0 = a untuk semua a di R.

( J4 ) Eksistensi unsur-unsur negative

Untuk setiap a di R ada –a di R sehingga a + ( -a ) = 0

( K1 ) Sifat komutatif perkalian

a . b = b . a untuk semua a dan b di R.

( K2 ) Sifat assosiatif perkalian

a . ( b . c ) = ( a . b ) . c untuk semua a, b, c di R.

( K3 ) Eksistensi unsur satuan

Ada 1 di R sehingga a . 1 = a untuk setiap a di R.

( K4 ) Eksistensi unsur-unsur balikan

Untuk setiap a di R , a 0 , ada di R sehingga

( D ) Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Untuk semua a, b, c di R berlaku

a . ( b + c ) = a . b + a . c dan ( a + b ) . c = a . c + b . c

Ke-9 sifat di atas dikenal sebagai aksioma filed. Untuk itu R dengan operasi penjumlahan

dan perkalian yang memenuhi aksioma tersebut di atas dikatakan merupakan sebuah field

( lapangan ).

Berikut ini akan dibahas sifat-sifat aljabar bilangan real lainnya. Pertama tentang

ketunggalan unsur nol dan unsur satuan.

2

Teorema 1. ( i ) Jika z dan a adalah unsur-unsur di R sehingga z + a = a, maka z =0

( ii ) Jika u dan adalah unsur-unsur di R sehingga u . b = b, maka

u = 1.

Bukti .

( i ) Diberikan z , a sebarang dua unsur di R yang memenuhi z + a = a . Menurut ( J4 )

ada –a di R sehingga a + ( -a ) = 0 dan bila –a ditambahkan pada kedua ruas z + a

= a diperoleh ( z + a ) = a + ( -a ). Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) pada

ruas kiri akan diperoleh

Pada ruas kanan dengan memakai ( J4 ) diperoleh

Jadi, dapat disimpulkan bahwa z = 0

( ii ) Latihan !!!

Berikut ini dibahas tentang ketunggalan unsur negatif dan unsur balikan bilangan real.

Teorema 2. ( i ) Jika a dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka b -a

( ii ) Jika dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a . b = 1, maka

Bukti.

( i ) Diberikan a dan b sebarang dua unsur di R yang memenuhi a + b = 0. Berarti ada

–a di R sehingga bila ditambahkan pada kedua ruas akan diperoleh

( -a ) + ( a + b ) = ( -a ) + 0

Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) pada ruas kiri diperoleh

dan memakai ( J3 ) pada ruas kanan diperoleh (-a)+0=-a jadi

b = -a.

3

( ii ) Latihan !!!

Berikut dibahas tentang eksistensi dan ketunggalan solusi suatu persamaan yang

berkaitan dengan bilangan real.

Teorema 3. Diketahui a, b sebarang dua unsur di R.

( i ) Persamaan a + x = b memiliki solusi tunggal x = (-a) + b

( ii ) Jika persamaan a . x = b memiliki solusi tunggal

Bukti. Diberikan a, b sebarang dua unsur di R.

( i ) Dengan memakai ( J2 ), ( J4 ) dan ( J3 ) diperoleh a+((-a)+b) = (a+(-a))+b

= 0+b = b yang mengakibatkan x=(-a)+b merupakan solusi persamaan

.

Untuk menunjukkan bahwa solusi tersebut tunggal, misalkan saja bahwa

merupakan solusi lainnya. Ini berarti akan memenuhi persamaan .

Bila ditambahkan pada kedua ruas diperoleh

.Dengan memakai (J2), (J4) dan (J3) pada ruas diperoleh :

Jadi

(ii) Latihan !

4

Sifat-sifat lain unsur nol dan unsur satuan negatif.

Teorema 4. Jika a adalah suatu unsur di R, maka

(i) a.0 = 0

(ii) (-1) .a = -a

(iii) –(-a) = a

(iv) (-1).(-1) = 1

Bukti.

(i) Dari (K3) diketahui a.1 = a sehingga

a + a.0 = a.1 + a.0 = a. (1 + 0) = a.1 = a

Menurut Teorema 1 (i) disimpulkan bahwa

(ii) Dengan memakai (D), (K3) dan (i) diperoleh

Menurut Teorema 2. dapat disimpulkan bahwa

(iii) Dari (J4) diketahui bahwa karena itu menurut Teorema 2

dapat disimupulkan bahwa

(iv) Pada (ii) disubstitusikan diperoleh

Selanjutnya, menurut (iii) akan diperoleh 11

Jadi

5

Sifat lain unsur balikan

Teorema 5. Diketahui a, b, c merupakan unsur-unsur di R

(i) Jika , maka dan

(ii) Jika dan , maka b = c

(iii) Jika , maka atau

Bukti.

(i) Diberikan merupakan unsur di R, akibatnya ada di R

Jika akan berakibat ini bertentangan dengan

(K3).

Jadi haruslah

Selanjutnya, karena dan Teorema 2 berakibat

(ii) Diberikan a, b, c merupakan unsur-unsur di R dan

Berarti ada di R dan bila dikalikan pada kedua ruas akan

diperoleh

6

Jadi b = c

(iii) Cukup diasumsikan bahwa jika maka

Karena dengan memakai (ii) untuk

Disimpulkan bahwa

Operasi lain di R

Pengurangan didefinisikan oleh untuk a, b di R

Pembagian didefinisikan oleh untuk a, b di R dengan

Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi

dua bilangan bulat dengan pembagi tak nol. Berikut ini dibahas tentang eksistensi

bahwa himpunan bilangan rasional merupakan bagian dari himpunan bilangan

real.

Teorema 6. Tidak ada bilangan rasional r sehingga r2 = 2 ( Tugas )

Bukti.

Diandaikan ada bilangan rasional dengan p, q bilangan bulat dan

Dimisalkan pula bahwa p, q bilangan positif dan tidak memiliki faktor

persekutuan bilangan bulat selain 1. Karena berarti dan dari

pengertian genap diperoleh bahwa p2 merupakan bilangan genap, akibatnya p juga

bilangan genap (sebab jika ganjil maka

7

juga ganjil ).

Karena itu p dan q tidak memiliki faktor persekutuan 2 dan akibatnya q mesti

berupa bilangan ganjil.

p genap maka p = 2m untuk suatu bilangan asli m.

Karena diperoleh yang berarti genap dan dengan argumen

serupa seperti di atas disimpulkan bahwa q merupakan bilangan genap.

Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa tidak ada bilangan asli yang genap dan

sekaligus ganjil. Dengan demikian teorema terbukti.

B. Sifat Urutan

Di dalam R terdapat suatu himpunan tak kosong, katakanlah P yang memenuhi

sifat-sifat berikut :

i. Jika a,b P, maka a + b P

ii. Jika a,b P, maka a,b P

iii. Jika a R, maka di antara berikut ini hanya satu yang berlaku :

a P , a = 0 , -a P ( Sifat Trichotomi)

Unsur-unsur di P biasa disebut sebagai bilangan real positif dan akan

didefinisikan sebagai bilangan real yang lebih dari 0 seperti berikut ini :

Definisi 1.

a P , dikatakan bahwa a adalah bilangan real positif dan ditulis a > 0

-a P , dikatakan bahwa a adalah bilangan real negative dan ditulis a < 0

Definisi 2. Diberikan a,b R

i. Jika a – b P , maka a > b atau b > a

8

ii. Jika a – b P , maka a b atau b

Teorema 3. Diberikan a,b,c R

(i) Jika a > b dan b > c , maka a > c

(ii) Tepat satu yang berlaku : a > b , a = b , a < b

(iii) Jika a b dan b a , maka a = b

Bukti.

(i) a > b dan b > c berarti a – b P dan b – c P sehingga diperoleh

a – c = ( a – b ) + ( b – c ) P ( menurut sifat bilangan positif )

Jadi a > c

(ii) Diberikan a,b R akibatnya a – b = a + (-b) R dan menurut sifat

Trichotomi hanya satu yang satu berlaku di antara berikut ini,

a – b P , a – b = 0 atau b – a = - ( a – b ) R

Jadi a > b , a = b , a < b

(iii) Diberikan a b dan b a

Jika a b maka a – b 0 dan menurut (ii) berarti

a – b P atau b – a P

Diperoleh a > b atau b > a hal ini bertentangan dengan yang diberikan

di atas. Dengan demikian haruslah a = b

Teorema 4. i. Jika a R dan a 0 , maka > 0

9

ii. 1>0

iii. Jika n N , maka n > 0

Bukti. (i) Menurut sifat Trichotomi, jika a 0 maka a P atau -a P

Untuk a P menurut sifat bilangan positif berlaku bahwa

Untuk -a P akan berlaku pula bahwa (-a).(-a) P dan

= berarti bahwa

Jadi

(ii) Karena 1 = dari (i) di atas diperoleh bahwa 1 > 0

(iii) Menggunakan induksi matematika

Untuk n = 1 , jelas berlaku 1 > 0

Jika untuk n = k berlaku bahwa k > 0 , maka berarti k P

Dan karena 1 maka diperoleh bahwa k + 1 P

Jadi n > 0 untuk setiap n N

Teorema 5. Diberikan a,b,c,d R

(i) Jika a > b , maka a + c > b + c

(ii) Jika a > b dan c > d , maka a + c > b + d

(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ca > cb

Jika a > b dan c < 0, maka ca < cb

(iv)Jika a > 0 , maka 1/a > 0

10

Jika a < 0, maka 1/a < 0

Bukti.

(i) Dari fakta a – b P diperoleh bahwa (a + c) – (b+c) = a – b

(ii) dan berakibat bahwa

Jadi >

(iii) dan berakibat bahwa

Jadi c.a > c.b

dan berakibat bahwa

Jadi c.a < c.b

(iv) Untuk > 0 berarti bahwa sehingga

Jika < 0 maka < 0 bertentangan dengan fakta bahwa 1

> 0 ini berarti haruslah > 0

Untuk < 0 berarti bahwa sehingga

Jika > 0 maka < 0 bertentangan dengan fakta bahwa 1

> 0 ini berarti haruslah < 0

11

Teorema 6. Jika a dan b di R dan a > b, maka a> >b

Bukti.

Karena a > b menurut Teorema 5.(i), berlaku > a + b dan a + b >

b+ b = 2b atau dengan kata lain 2a > a + b > 2b

Karena 2 > 0 diperoleh bahwa > 0

Jadi > >

Sifat-sifat elementer dari urutan yang telah diuraikan telah cukup memperlihatkan bahwa

tidak ada bilangan real positif terkecil. Seperti yang akan dinyatakan berikut ini.

Teorema 7. Jika a di R dan a > 0, maka a > a > 0

Bukti. Dengan menerapkan teorema 6. dan mengganti

Untuk membuktikan suatu bilangan tak negatif a adalah 0, cukup ditunjukkan bahwa

bilangan a tersebut kurang dari bilangan positif sebarang. Seperti dinyatakan dalam

teorema berikut.

Teorema 8. Jika R sehingga 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0 di R , maka a = 0

Bukti.

Diandaikan a > 0 sehingga menurut teorema 7 berlaku a > > 0

12

Selanjutnya bila diambil akan diperoleh bahwa > > 0. Hal ini

bertentangan dengan pernyataan bahwa 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0 di R

Ini berarti pengandaian a > 0 diatas merupakan pernyataan salah. Dengan

demikian haruslah a = 0

Teorema 9. Diberikan a, b unsur-unsur di R

Jika a > b – ε untuk setiap bilangn real ε > 0, maka a ≥ b

Bukti.

Diandaikan a < b dan diambil sehingga > 0

Diperoleh bahwa dan diketahui bahwa

a < < b. Karena itu berarti bahwa a < b – ε. Hal ini bertentangan dengan

peryataan bahwa a > b – ε untuk setiap bilangan real ε > 0 jadi haruslah a ≥ b

Hasilkali dua bilangan real positif adalah bilangan real positif. Kepositifan hasilkali dua

bilangan real tidak berarti bahwa kedua bilangan real tersebut positif. Tetapi yang benar

adalah bahwa kedua bilangan real tersebut bertanda sama. Seperti yang dinyatakan dalam

teorema berikut ini.

Teorema 10. Jika ab > 0, maka i. a > 0, b > 0 atau

ii. a < 0, b < 0

Bukti.

Diberikan ab > 0 berakibat dan b 0 (ini disebabkan jika atau ,

maka )

13

Dari sifat Trichotomi diperoleh a > 0 atau a < 0

Untuk a > 0 maka > 0 dan karena itu diperoleh

> 0

Untuk a < 0 maka < 0 dan karena itu diperoleh

< 0

Akibat 11. Jika ab < 0, maka i. a < 0 , b > 0 atau

ii. a > 0 , b < 0

Bukti. Diberikan ab < 0 berakibat a 0 dan b 0 (ini disebabkan jika a = 0 atau b = 0,

maka ab = 0 )

Dari sifat Trichotomi diperoleh a < 0 atau a > 0

Untuk a < 0 maka < 0 sehingga diperoleh :

b = 1.b =

Untuk a > 0 maka sehingga diperoleh

Contoh penggunaan sifat-sifat urutan dalam menyelesaikan ketaksamaan

14

1. Tentukanlah A merupakan himpunan semua bilangan real yang memenuhi

Penyelesaian:

Jadi A={x R | x≤ }

2. Tentukan B = {x R| > 2 }

Penyelesaian:

> 2 > 0 > 0

((x + 2) > 0 dan x – 1 > 0 ) atau ( x + 2 < 0 dan x – 1 < 0 )

( x > -2 dan x > 1 ) atau ( x < -2 dan x < 1 )

x > 1 atau x < -2

Jadi B = { x R| x > 1 atau x < -2 }

3. Tentukan C = { x R | < 1 }

Penyelesaian:

< 1

< 0

< 0

< 0

15

( x -1 < 0 dan x + 2 > 0 ) atau ( x – 1 > 0 dan )

( x < 1 dan x > -2 ) atau ( x > 1 dan x < -2 )

Jadi C = { x R | }

Selanjutnya, berikut ini disajikan contoh-contoh yang menggambarkan pemakaian

sifat-sifat urutan didalam membuktikan ketaksamaan. Perikasalah langkah-langkah

dalam argumen dengan mengenali sifat-sifat yang dipakai.

4. Diberikan: dan

Maka berlaku:

Bukti:

Pandang kasus dan

Diperoleh

Diketahui dan berarti

Akibatnya

Begitu pula jika maka

Jadi

Selanjutnya, dan berakibat dan

Karena dan

Diperoleh bahwa

16

2. Jika a dan b merupakan bilangan real positif, maka rata-rata hitung dan rata-rata

ukurnya masing-masing adalah dan serta berlaku

Kesamaan terjadi jika dan hanya jika a = b

Untuk membuktikannya, perlu diingat bahwa jika dan maka ,

dan .

Dari Teorema 4(i), berlaku

Selanjutnya, diperoleh

Karena itu berlaku

Jika a = b maka

Untuk dan

Diperoleh bahwa

Sehingga

Yang berakibat a = b

3. Ketaksamaan Bernoulli

Jika maka untuk semua bilangan asli n. Buktinya

menggunakan induksi matematika untuk n = 1 maka ( 1 + x )1 = 1 + x

Selanjutnya jika untuk n = k berlaku

Maka diperoleh

17

Jadi untuk semua

Nilai Mutlak

Dari Sifat Trichotomi diketahui bahwa jika R dan maka hanya satu diantara

berikut ini yang berlaku :

positif atau positif.

Nilai mutlak 0 didefinisikan merupakan salah satu diantara bilangan positif

tersebut. Nilai mutlak 0 didefinisikan merupakan 0.

Secara formal dinyatakan sebagai berikut :

Definisi 12. Diberikan R. Nilai mutlak a, ditulis dengan didefinisikan oleh :

Contoh : , .

Dari definisi tampak bahwa untuk semua R.

Berikut ini beberapa sifat dasar.

Teorema 13. (i) jika dan hanya jika a = 0

(ii)

(iii)

(iv) Jika maka jhj

(v) Untuk semua R,

18

Bukti.

(i) Jika maka

Jika berarti juga , akibatnya

Jadi maka

(ii) Untuk maka

Untuk maka sehingga

Untuk maka sehingga

(iii) Untuk atau , maka

Untuk maka sehingga

Untuk maka sehingga

Untuk maka sehingga

Untuk maka sehingga

(iv) Dimisalkan , berarti dan

Sehingga diperoleh dan yang berarti

Dimisalkan berarti dan

Sehingga diperoleh dan yang berarti

(v) Untuk pada (iv) diperoleh

Berikut ini sifat nilai mutlak untuk jmlah dan bilangan real yang lebih dikenal dengan

istilah Ketaksamaan Segitiga.

Teorema 14.

19

Untuk semua di R ,

Bukti.

R maka dan

Sehingga diperoleh

atau

yang berarti

Akibat 15.

Untuk setiap a,b di R, berlaku :

(i)

(ii)

Bukti.

(i) Diberikan a,b di R . Dapat ditulis

Dengan Ketaksamaan Segitiga ,

Mengurangkan pada kedua ruas diperoleh

Begitu pula dan atau

Jadi .

(ii)

20

Dengan memanfaatkan induksi matematika, Ketaksamaan Segitiga dapat diperluas

untuk sejumlah berhingga unsur-unsur di R.

Akibat 16. Untuk setiap di R ,

Contoh pemakaian sifat-sifat nilai mutlak.

1. Tentukan himpunan penyelesaian

Jawab.

Jadi himpunan penyelesaian :

2. Tentukan himpunan penyelesaian

Jawab.

Cara pertama, dengan membagi menjadi tiga kasus

(i) Untuk , maka dan akibatnya -1 < 0

Berarti merupakan penyelesaian.

(ii) Untuk , maka akibatnya

Berarti merupakan penyelesaian.

(iii) Untuk maka berakibat 1 < 0

21

Berarti tidak merupakan penyelesaian.

Dari (i), (ii), dan (iii) disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian adalah

Cara lain untuk menyelesaikan soal ini adalah didasarkan pada fakta bahwa

bilamana .

Dengan demikian,

Jadi himpunan penyelesaian :

3. Diketahui untuk

Dicari konstanta sehingga untuk

Penyelesaian :

Untuk diperoleh

Untuk diperoleh

Karena itu

Dengan demikian dapat dipilih bahwa

22

Meskipun demikian bukan berarti bahwa merupakan bilangan terkecil

sehingga .

Garis Real

Interpretasi geometri yang cocok untuk sistem bilangan real adalah garis real. Dalam

interpretasi ini , nilai mutlak dari unsur a di R dipandang sebagai jarak a ke titik 0.

Secara umum, jarak antara a dan b di R adalah .

Berikut ini akan dibahas pengertian bilangan-bilangan real yang dekat dengan bilangan

real tertentu. Jika a sebuah bilangan real, maka dikatakan bahwa bilangan real x yang

dekat dengan a diartikan sebagai , yaitu jarak keduanya adalah cukup kecil.

Konteks agar ide dapat dibicarakan diberikan istilah Persekitaran (neighborhoods).

Seperti yang didefinisikan berikut ini.

Definisi. Diberikan R dan

Persekitaran dari a adalah himpunan

x di berarti atau

Teorema 17. Diberikan R, jika untuk setiap , termuat di dalam persekitaran

, maka

Bukti. x termuat di dalam untuk setiap , berarti untuk setiap .

Menurut Teorema 8. berlaku . Karena itu x = a.

23

Contoh.

1. Diketahui

Jika dan dipilih sebagai bilangan terkecil di antara dan , maka

termuat di dalam U.

Dengan demikian setiap bilangan di U memiliki persekitaran yang termuat di

dalam U.

2. Diketahui

Untuk setiap , tidak termuat di dalam I sebab tetapi .

3. Jika dan , maka akan diperoleh

Artinya, jika dan , maka .

Tentukan yang tak termuat di dalam ( 0 , 1 ).

Soal – soal latihan

1. Jika maka buktikanlah hal-hal berikut ini :

i. iii. ,

ii. iv. ,

2. Jika , , , maka . Buktikan !

24

3. Jika x dan y bilangan rasional, maka buktikanlah bahwa dan juga bilangan

rasional !

4. Buktikan

5. Jika maka , untuk semua . Buktikan !

6. Jika dan , maka . Buktikan !

7. Jika maka dan . Buktikan !

8. Carilah bilangan real x yang memenuhi ketaksamaan berikut :

i. iii.

ii. iv.

9. Jika dan , tunjukkanlah bahwa

10. Jika tunjukkan bahwa jika dan hanya jika

11. Carilah bilangan real yang memenuhi ketaksamaan berikut :

i. iii.

ii. iv.

C. Sifat Kelengkapan R

Sifat kelengkapan R menjamin eksistensi unsur-unsur di R di bawah hipotesis tertentu.

Sistem bilangan rasional, Q memenuhi dua sifat terdahulu yaitu sifat aljabar dan sifat

urutan, tetapi telah terbukti bahwa tidak dapat disajikan sebagai bilangan rasional.

25

Karena itu tidak termuat di dalam Q . Observasi ini menunjukkan bahwa perlu suatu

sifat tambahan untuk mengetahui karakteristik sistem bilangan real. Sifat ini tak lain

adalah Sifat Kelengkapan ( Sifat Supremum) yang merupakan sifat esensial dari R.

Terdapat beberapa versi berbeda sifat sifat kelengkapan. Di sini diuraikan metode yang

efisien, yaitu dengan menganggap bahwa setiap himpunan terbatas yang tak kosong di R

memiliki Supremum.

Berikut ini dikenalkan pengertian sebuah batas atas suatu himpunan bilangan real.

Definisi 1. Diberikan H merupakan himpunan bagian dari R.

(i). Sebuah bilangan R dikatakan merupakan batas atas H apabila untuk

semua H.

(ii). Sebuah bilangan R dikatakan merupakan batas bawah H apabila untuk

semua H.

Sebuah bilangan p bukan batas atas H jika dan hanya jika terdapat suatu H sehingga

.

Sebuah bilangan q bukan batas bawah H jika dan hanya jika terdapat suatu H

sehingga .

Perlu dicatat bahwa himpunan bilangan real biasa tidak memiliki batas atas, contohnya :

R. Karena itu jika H memiliki batas atas, maka H akan memiliki tak terhingga batas atas

sebab jika u merupakan batas atas H maka setiap bilangan w yang lebih besar dari u akan

merupakan batas atas H juga.(Hal ini berlaku juga untuk batas bawah).

Suatu himpunan biasa hanya memiliki batas atas saja atau batas bawah saja. Contoh

H1 = dan H2 = .

Sebuah himpunan di R dikatakan terbatas di atas apabila himpunan tersebut memiliki

batas atas. Begitu pula sebuah himpunan di R memiliki batas atas dan batas bawah maka

dikatakan bahwa himpunan tersebut terbatas.

26

Himpunan di R dikatakan tak terbatas apabila himpunan tersebut tidak memiliki batas

atas atau batas bawah.

Definisi 2.

(i). Jika H terbatas di atas, maka suatu batas atas H, misal saja u dikatakan merupakan

supremum (batas atas terkecil) H apabila tidak ada batas atas H yang lain yang

kurang dari u.

(ii). Jika H terbatas di bawah, maka suatu batas bawah H, misal saja w dikatakan

merupakan infimum (batas bawah terbesar) H, apabila tidak ada batas bawah H

lain yang lebih dari w.

Definisi di atas dapat dirumuskan kembali agar lebih operasional.

Lemma 3.

Sebuah bilangan u adalah supremum himpunan bilangan real H jika dan hanya jika

u memenuhi dua syarat : (1) untuk semua H

(2) Jika v < u, maka ada H sehingga v < k.

Untuk bukti Lemma 3 silahkan mencoba sendiri menguraikannya. Selanjutnya

tulis/rumuskan kembali untuk definisi infimum. Supremum suatu himpunan bilangan real

H adalah tunggal. Untuk menunjukkan ketunggalan supremum, misalkan saja u1 dan u2

merupakan supremum H.

27

Berarti u1 dan u2 merupakan batas atas H.

Jika u1 < u2 maka hipotesis bahwa u2 merupakan supremum H mengakibatkan u1 bukan

batas atas H. Begitu pula jika u2 < u1 hipotesis bahwa u1 merupakan supremum H

mengakibatkan u2 bukan batas atas H. Karena itu haruslah u1 = u2.

Untuk selanjutnya apabila supremum atau infimum himpunan H ada, akan dinyatakan

masing-masing dengan supH dan infH. Jika u merupakan suatu batas atas H, maka supH

atau jika untuk semua H, maka supH .

Kriteria berikut bermanfaat untuk menguji bahwa suatu batas atas himpunan

adalah/merupakan supremum.0

Lemma 4.

Suatu u batas atas himpunan tak kosong H (di R ) adalah supremum H jika dan

hanya jika untuk setiap terdapat H sehingga .

Bukti.

Dimisalkan u = SupH dan diambil sebarang . Karena berarti

bukan batas atas H. Akibatnya terdapat suatu H sehingga .

Dimisalkan u merupakan batas atas H yang memenuhi syarat pada Lemma.Jika

, diambil maka , karena itu ada H sehingga

berarti v bukan batas atas H.

Karena v merupakan bilangan sebarang yang kurang dari u disimpulkan

bahwa u = SupH.

Contoh.

1. Jika suatu himpunan tak kosong H1 memiliki sejumlah berhingga unsur, maka

dapat ditunjukkan bahwa H1 memiliki unsur terbesar u dan unsur terkecil w dan

u = SupH1 dan w = InfH1.

28

2. Himpunan H2 = .

Di sini jelas bahwa 1 merupakan batas atas H2.

Untuk menunjukkan bahwa 1 = SupH2, dilakukan hal berikut :

Jika v < 1, terdapat H2 sehingga v < h.

Karena itu v berarti bukan batas atas H2 dan karena v merupakan sebarang

bilangan yang kurang dari 1, disimpulkan bahwa SupH2=1.

Begitupula, dapat ditunjukkna bahwa InfH2 = 0. di sini supH2 dan InfH2

keduanya termuat di H2.

3. Himpunan H3 =

Jelas 1 merupakan batas atas H3 dan dengan argumen yang sama seperti 2

diperoleh SupH3 = 1 dan InfH3 = 0.

Di sini SupH3 dan InfH3 keduanya tak termuat di H3.

Berikut ini dinyatakan sifat supremum atau disebut juga sifat kelengkapan R .

Dengan demikian R adalah suatu field terurut yang lengkap.

Sifat supremum R .

Teorema 5. Setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan memiliki batas

atas memiliki supremum di R.

Sifat Infimum R.

Setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan memiliki batas

bawah memiliki infimum di R.

29

Berikut ini contoh-contoh yang menggambarkan tehnik bekerja dengan supremum

dan infimum.

1. Diberikan H suatu himpunan bilangan real yang tak kosong dan terbatas diatas

serta a sebuah bilangan real. Didefinisikan himpunan a+H = .

Akan ditunjukkan bahwa Sup (a+H) = a + SupH.

Pertama, dimisalkan bahwa u = SupH, sehingga karena untuk setiap

maka diperoleh untuk setiap .

Berarti a+u merupakan batas atas a+H.

Selanjutnya, jika v merupakan batas atas a+H berarti untuk setiap

diperoleh untuk setiap .

Berarti v – a merupakan batas atas H. Akibatnya u = SupH atau

. Jadi Sup (a+H) = a + u = a + SupH.

2. Diketahui f dan g merupakan dua fungsi dengan domain

dan

Masing-masing merupakan himpunan terbatas.

(i). Jika untuk setiap maka Sup Sup

Buktinya.

untuk setiap berakibat Sup untuk setiap

.

Berarti Sup merupakan batas atas . Sehingga berakibat Sup

Sup .

(ii). Jika untuk setiap , maka Sup Inf .

30

Bukti.

Pertama, untuk setiap berlaku untuk setiap .

Ini berarti bahwa merupakan batas atas dan akibatnya Sup

untuk setiap . Artinya Sup merupakan batas

bawah jadi Sup Inf .

Sifat Archimedean

Akibat penting sifat supremum adalah bahwa himpunan semua bilangan asli tidak

terbatas di atas R . Ini berarti untuk setiap bilangan real x terdapat bilangan asli n

(bergantung pada x) sehingga x < n. Dalam pembuktiannya memakai sifat supremum.

Sifat Archimedean (Teorema 6). Jika , maka ada sehingga .

Bukti. Diberikan

Jika tidak ada sehingga berarti untuk setiap , , dengan

kata lain x merupakan batas atas N.

Menurut sifat supremum, N memiliki supremum. Tulis u = SupN.

Karena , maka menurut Lemma 4. ada sehingga .

Tetapi dan karena , berarti u bukan batas atas N.

Ini bertentangan dengan u merupakan batas atas N. Jadi haruslah ada

sehingga .

Akibat 7.

Diberikan y dan z dua bilangan real positif, maka

(i) Ada sehingga z < ny

31

(ii) Ada sehingga

(iii) Ada sehingga

32