BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA … · adalah graf yang tiap-tiap titiknya berderajat dua. Sedangkan, graf yang terbentuk dari dengan menghilangkan sebuah sisinya

i

BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA

PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Aurelia Utari

153114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

CHROMATIC NUMBER OF GRAPH PRODUCT AND ITS

APPLICATION IN GRAPH COLORING GAME

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By:

Aurelia Utari

153114023

DEPARTEMEN OF MATHEMATICS

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

2019





vi

MOTTO

ACHIEVING GOALS IN

SILENCE


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk orang tua tercinta,

Adha Yuwanto dan Asteria Arimurti.

Serta adik-adik saya tersayang,

Flavia Acitya Danastri, Maura Sekar Cantya, dan Egidia Rena Rahajeng.



ix

ABSTRAK

Teori graf memiliki banyak pembahasan, diantaranya operasi graf dan bilangan

kromatik. Kedua pembahasan tersebut sangat menarik untuk dibahas bersama.

Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi graf lingkaran

dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi

korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf hasil operasi, yaitu

(𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚), akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik permainan dari graf

tersebut.

Kata kunci: graf, operasi graf, bilangan kromatik, bilangan kromatik permainan.


x

ABSTRACT

Graph theory offers a diverse of topic discussions, for example graph product

and chromatic number. These two objects of study attract researchers to investigate

in one study. In this paper the chromatic number in graph product of cycle graph

and path graph using the tensor product (𝐺 ⊗ 𝐻) and the corona product (𝐺 ⊙

𝐻) will be discussed. The chromatic number of one of the graph product, i.e.

(𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚), will be used to find the game chromatic number of the graph.

Key words: graph, graph product, chromatic number, game chromatic number.


xi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena berkat kasih-Nya yang

melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang berjudul

“BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA

PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF” disusun sebagai salah satu syarat

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematia, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa selama mengerjakan skripsi, penulis melibatkan

banyak pihak yang terlibat membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena

itu, penulis mengucapkan banya terima kasih kepada:

1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.

3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kaprodi Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.

Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Bapak

Ricky Aditya, M.Sc. selaku dosen Prodi Matematika yang telah

memberi banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Orang tua, adik-adik dan keluarga yang selalu memberi dukungan dan

semangat kepada penulis.

7. Guntur, Cynter, Jessica, Ririn, Alve, Intan, Puspa, Fika, Tama, Argha,

Fira dan Anin yang telah membantu penulis, memberikan semangat dan

menemani penulis dalam mengerjakan skripsi.



xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v

MOTTO ................................................................................................................ vi

HALAMAN PERSEMBAHAN.......................................................................... vii

LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. viii

ABSTRAK ............................................................................................................ ix

ABSTRACT ........................................................................................................... x

KATA PENGANTAR .......................................................................................... xi

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah..................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................... 3

C. Tujuan Penulisan................................................................................................. 3

D. Manfaat Penulisan .............................................................................................. 3

E. Batasan Masalah ................................................................................................. 4

F. Metode Penulisan................................................................................................ 4

G. Sistematika Penulisan ......................................................................................... 4

BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF ...................... 6

A. Graf....................................................................................................................... 6

B. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan .................................................................. 12

C. Operasi Darab Tensor....................................................................................... 13

D. Operasi Korona ................................................................................................. 20

E. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik ....................................................... 30

BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN

BILANGAN KROMATIK PERMAINAN ....................................................... 35

A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf Lintasan

dengan Graf Lingkaran .................................................................................... 35


xiv

B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Korona dari Graf Lingkaran dengan

Graf Lintasan ........................................................................................... 46

C. Bilangan Kromatik Permainan .................................................................. 66

BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 72

A. Kesimpulan ................................................................................................ 72

B. Saran .......................................................................................................... 80

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 81


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Teori graf merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yaitu matematika

diskret. Pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Ketika

itu, Euler mencoba membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati

tepat satu kali setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh

jembatan di atas sungai Pregel, Konigsberg, Rusia.

Gambar 1 Jembatan di atas sungai Pregel

Graf merupakan pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak

kosong dari titik-titik, ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛} dan 𝐸 adalah

himpunan sisi yang menghubungkan satu atau dua titik pada graf tersebut, ditulis

dengan 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑚}. Graf memiliki bermacam-macam jenis, dan yang

akan dibahas dalam tulisan ini adalah graf lingkaran dan graf lintasan. Graf

lingkaran 𝐶𝑛 adalah graf yang tiap-tiap titiknya berderajat dua. Sedangkan, graf

yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf lintasan

𝑃𝑚.

Dua buah graf dapat dioperasikan dengan bermacam-macam operasi, antara

lain operasi joint (𝐺 + 𝐻), darab Cartesius (𝐺 × 𝐻), darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻),

darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻), komposisi (𝐺[𝐹]), dan Amalgamation. Salah satu aplikasi

yang menggunakan operasi graf adalah model jaringan.


2

Teori graf memiliki berbagai macam pembahasan selain pengoperasian dua

buah graf, salah satunya yaitu pewarnaan graf. Ada tiga macam pewarnaan graf,

yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan titik. Pewarnaan peta adalah

pemberian warna pada setiap daerah dimana dua daerah yang saling bertetangga

diberi warna yang berbeda. Pewarnaan sisi adalah pemberian warna pada setiap sisi

pada suatu graf dimana dua sisi yang bertetangga diberi warna yang berbeda.

Pewarnaan titik adalah pemberian warna pada setiap titik pada suatu graf dimana

dua titik yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Sedangkan jumlah warna

minimum yang digunakan dalam pewarnaan titik pada suatu graf disebut bilangan

kromatik.

Dalam kehidupan sehari-hari, pewarnaan graf dan bilangan kromatik dapat

digunakan dalam penjadwalan, permainan sudoku, pembuatan peta, pengaturan

lampu lalu lintas dan lain sebagainya. Selain dalam kehidupan sehari-hari bilangan

kromatik dapat diaplikasikan pada teori lain, salah satunya bilangan kromatik

permainan. Bilangan kromatik permainan dapat membantu mengetahui siapa

pemenang dari permainan pewarnaan graf dimana dua pemain secara bergantian

memberi warna yang tepat pada titik dalam suatu graf. Pemain pertama dianggap

menang jika semua titik dalam graf diberi warna yang tepat. Sedangkan pemain

kedua akan memenangkan jika terdapat titik yang tidak dapat diberi warna dengan

tepat.

Beberapa pembahasan dalam teori graf tersebut sangat menarik untuk dibahas

bersama-sama. Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi

graf lingkaran dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗

𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf

hasil operasi yaitu (𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚) akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik

permainan dari graf tersebut.


3

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah yang akan

dibahas adalah:

1. Bagaimana hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf

lingkaran dengan graf lintasan?

2. Bagaimana pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab

korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?

3. Berapa bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab

korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?

4. Berapa bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf

lingkaran dengan graf lintasan?

C. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini

adalah sebagai berikut:

1. Mendapatkan hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf

lingkaran dengan graf lintasan.

2. Medapatkan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan

darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.

3. Mendapatkan bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan

darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.

4. Mendapatkan bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf

lingkaran dengan graf lintasan.

D. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Penulis mendapatkan pengetahuan baru selama penulisan tugas akhir ini.

2. Memperluas wawasan pembaca tentang bilangan kromatik dan bilangan

kromatik permainan pada hasil operasi graf lingkaran dengan graf


4

lintasan.

3. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti yang lain.

E. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini, akan dibahas bilangan kromatik hasil operasi graf

lingkaran dengan graf lintasan. Graf yang digunakan adalah graf tak berarah dengan

operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan

kromatik permainan hanya akan dibahas untuk graf hasil operasi darab korona

antara graf lingkaran dengan graf lintasan (𝐶𝑛⊙ 𝑃𝑚).

F. Metode Penulisan

Metode penulisan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka yaitu

dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan

dengan pengoperasian dua graf dan bilangan kromatik.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Tujuan Penulisan

D. Manfaat Penulisan

E. Batasan Masalah

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF

A. Graf, Graf Lingkaran dan Graf Lintasan


5

B. Operasi Darab Tensor

C. Operasi Korona

D. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik

BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN

PERMAINAN PEWARNAAN GRAF

A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor Graf Lingkaran

dengan Graf Lintasan

B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona Graf Lingkaran

dengan Graf Lintasan

C. Permainan Pewarnaan Graf

BAB IV KESIMPULAN

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


6

BAB II

GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF

Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang sudah menyumbang

banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pembuatan peta, penjadwalan dan

pengaturan lampu lalu lintas. Teori graf memiliki banyak pembahasan diantaranya

operasi graf dan pewarnaan graf.

A. Graf

Pada tahun 1736, teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler

yang mempublikasikan penyelesaian suatu teka-teki. Ketika itu, Euler

membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati tepat satu kali pada

setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas

sungai Pregel, Konigsberg, Rusia. Untuk menyelesaikan teka-teki tersebut, Euler

menerjemahkannya ke dalam masalah teori graf.

Teori graf memiliki penerapan yang luas dalam berbagai bidang. Bebereapa

diantaranya, yaitu masalah penetapan frekuensi radio selular, masalah jaringan

makanan dan masalah pengaturan lalu lintas.

Definisi 2.1.1 (Epp, 2011)

Graf 𝐺 terdiri dari dua himpunan berhingga, yaitu himpunan tak kosong 𝑉(𝐺)

dari titik-titik dan himpunan 𝐸(𝐺) dari sisi-sisi, dimana setiap sisi menghubungkan

satu atau dua titik yang disebut titik ujung dari sisi tersebut.

Anggota dari himpunan titik dapat ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛} dan

anggota himpunan sisi 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑛}. Selanjutnya, untuk graf 𝐺 dengan

himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 dinotasikan dengaan 𝐺 (𝑉, 𝐸).


7

Contoh 2.1.1

Misal 𝐴 adalah graf sebagai berikut,

Gambar 2 Graf A

Himpunan titik dari graf A tersebut 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6} dan himpunan

sisinya 𝐸 = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7}. Titik ujung dari setiap sisi dalam graf 𝐴, yaitu

Sisi Titik Ujung

𝑒1 𝑣1, 𝑣2

𝑒2 𝑣1, 𝑣3

𝑒3 𝑣1, 𝑣3

𝑒4 𝑣2, 𝑣3

𝑒5 𝑣5, 𝑣6

𝑒6 𝑣5

𝑒7 𝑣6


Sebuah sisi dengan satu titik ujung disebut loop, dan dua atau lebih garis

berbeda yang memiliki himpunan titik ujung yang sama disebut sisi ganda.


8

Contoh 2.1.2

Dalam contoh 2.1.1, diketahui bahwa graf 𝐴 memiliki dua buah loop yaitu sisi

𝑒6 dengan titik ujung 𝑣5 dan sisi 𝑒7 dengan titik ujung 𝑣6. Graf 𝐴 juga memiliki sisi

ganda yaitu sisi 𝑒2 dan sisi 𝑒3 dengan titik ujung keduanya adalah 𝑣1 dan 𝑣3 .


Dua titik yang terhubung dengan suatu sisi dikatakan bertetangga dan suatu

sisi dikatakan bersisian dengan setiap titik ujungnya.

Contoh 2.1.3

Dari contoh 2.1.1, dapat dilihat beberapa contoh titik yang bertetangga dari graf

A seperti, 𝑣1 bertetangga dengan 𝑣3, 𝑣5 bertetangga dengan 𝑣6. Sisi 𝑒1, 𝑒2 dan 𝑒3

bersisian dengan 𝑣1.


Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop dan sisi ganda.

Dalam graf sederhana, sebuah sisi dengan titik ujung 𝑣 dan 𝑤 dinotasikan dengan

{𝑣, 𝑤}.

Contoh 2.1.4

Misal 𝐵 adalah graf sebagai berikut,

Gambar 3 Graf B


9

Graf B merupakan graf sederhana karena tidak memiliki loop maupun sisi

ganda. Sisi-sisi dalam graf sederhana tersebut yaitu sisi 𝑒1 yang dapat ditulis dengan

{𝑣1, 𝑣2}, sisi 𝑒2 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣2, 𝑣3}, sisi 𝑒3 yang dapat

dinotasikan dengan {𝑣3, 𝑣4}, sisi 𝑒4 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣4, 𝑣5} dan sisi

𝑒5 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣1, 𝑣5}.


Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah

jalan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah suatu barisan tak kosong bergantian dari titik-titik

bertetangga dan sisi-sisi dari 𝐺. Jadi jalan memiliki susunan

𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, … , 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛, 𝑣𝑛

dengan 𝑣𝑖 menyatakan titik dan 𝑒𝑖 menyatakan sisi, 𝑣0 = 𝑣, 𝑣𝑛 = 𝑤, dan untuk

semua 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛, 𝑣𝑖−1 dan 𝑣𝑖 adalah titik ujung dari 𝑒𝑖.


Misal G adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah

jejak dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jalan dari 𝑣 ke 𝑤 yang tidak memiliki sisi yang

berulang.


Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah

lintasan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jejak yang tidak memiliki titik yang berulang.

Panjang lintasan terpendek antara 𝑣 dan 𝑤 pada graf terhubung dinotasikan dengan

𝑑𝐺(𝑣, 𝑤).


10

Contoh 2.1.5

Ditunjukkan graf C sebagai berikut,

Gambar 4 Graf C

Graf tersebut memiliki beberapa lintasan dari 𝑣6 ke 𝑣4. Lintasan pertama yaitu

𝑣6, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒4, 𝑣4, lintasan kedua 𝑣6, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒3, 𝑣3, 𝑒4, 𝑣4 dan lintasan ketiga

𝑣6, 𝑒7, 𝑣2, 𝑒5, 𝑣4. Panjang lintasan pertama, kedua dan ketiga secara berurutan

adalah 3, 3 dan 2. Jadi, panjang lintasan terpendek dari 𝑣6 ke 𝑣4 (𝑑𝐶(𝑣6, 𝑣4)) adalah

2.


Misal 𝐺 adalah sebuah graf. 𝐺 dikatakan graf terhubung, jika dan hanya jika,

untuk setiap dua titik v dan w dalam 𝐺, terdapat jalan dari 𝑣 ke 𝑤.

Contoh 2.1.6

Ditunjukkan graf 𝐷 sebagai berikut,

Gambar 5 Graf D

Graf diatas merupakan graf terhubung yang memiliki jalan

𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣2, 𝑒3, 𝑣3. Jalan tersebut merupakan sebuah jejak karena tidak


11

memiliki sisi yang berulang. Namun, jalan tersebut bukan merupakan lintasan

karena ada titik yang berulang yaitu 𝑣2.


Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 adalah titik dalam G. Derajat dari 𝑣,

dinotasikan dengan deg(𝑣), merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan 𝑣,

dengan sebuah sisi yang merupakan loop menyumbang dua atas derajat titik

tersebut.

Derajat terbesar antara titik-titik dari 𝐺 disebut derajat maksimum dari 𝐺,

dinotasikan dengan ∆(𝐺). Sedangkan derajat minimum dari 𝐺 dinotasikan dengan

𝛿(𝐺).

Contoh 2.1.7

Misal 𝐸 adalah graf sebagai berikut dan akan dihitung derajat setiap titiknya,

Gambar 6 Graf E

deg(𝑣1) = 0, karena tidak ada sisi yang bersisian dengan 𝑣1 (𝑣1 terisolasi).

deg(𝑣2) = 2, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣2.

deg(𝑣3) = 4, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣3 dan loop 𝑒3 juga

bersisian dengan 𝑣3 (dan berkontribusi 2 untuk derajat dari 𝑣3).


12

Definisi 2.1.10 (Wilson, 1998)

Sebuah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama disebut graf

reguler. Jika setiap titik berderajat 𝑟, graf tersebut dikatakan 𝑟- reguler.

B. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan

Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam kelompok, yaitu

berdasarkan jumlah titik dan sisi, ada tidaknya sisi ganda dan loop, atau berdasarkan

orientasi arah pada sisi graf. Dalam tulisan ini, akan digunakan dua jenis graf

berdasarkan jumlah titik dan sisinya, yaitu graf lingkaran dan graf lintasan.

Definisi 2.2.1 (Wilson, 1998)

Graf lingkaran adalah graf terhubung 2-reguler. Graf tersebut dinotasikan

dengan 𝐶𝑛, bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥

3. Graf yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf

lintasan. Graf tersebut dinotasikan dengan 𝑃𝑛, bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota

himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥ 2.

Contoh 2.2.1

Ditunjukkan graf lingkaran 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶8, sebagai berikut

Gambar 7 Graf 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶8


13

Contoh 2.2.2

Ditunjukkan graf lintasan 𝑃6, sebagai berikut

Gambar 8 Graf 𝑃6

C. Operasi Darab Tensor

Operasi graf merupakan salah satu pembahasan dalam teori graf. Salah satu

operasi yang sering dibahas adalah operasi darab tensor.

Definisi 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014)

Misal 𝐺1(𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2(𝑉2, 𝐸2) merupakan dua buah graf. Darab tensor dari

𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺 = 𝐺1⨂𝐺2 adalah graf yang memiliki himpunan titik

𝑉 = 𝑉1 × 𝑉2. Dua titik (𝑣,𝑤) dan (𝑣′, 𝑤′) dalam 𝑉 akan bertetangga dalam graf

hasil operasi darab tensor 𝐺1⨂𝐺2 jika 𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2.

Teorema 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014)

Sisi-sisi 𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika 𝑑𝐺1(𝑣, 𝑣′) = 1 dan

𝑑𝐺2(𝑤, 𝑤′) = 1.

Bukti

𝑣𝑣′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika antara titik 𝑣 dan titik 𝑣′ serta antara

titik 𝑤 dan titik 𝑤′ dihubungkan oleh sebuah sisi jika dan hanya jika panjang

lintasan terpendek dari titik 𝑣 ke titik 𝑣′ serta dari titik 𝑤 ke titik 𝑤′ adalah 1 jika

dan hanya jika menurut definisi 2.1.7, 𝑑𝐺1(𝑣, 𝑣′) = 1 dan 𝑑𝐺2(𝑤,𝑤′) = 1. ∎


14

Akan ditunjukkan beberapa contoh pengoperasian dua buah graf dengan

operasi darab tensor. Operasi tersebut akan dilakukan pada graf lintasan 𝑃3 dan graf

lingkaran 𝐶3, dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6, dua buah graf lingkaran yaitu

𝐶3 dan 𝐶4, dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3, dua buah graf lingkaran yaitu

𝐶3 dan 𝐶5 dan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4.

Contoh 2.3.1

Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, sebagai

berikut

Gambar 9 Graf 𝑃3 dan 𝐶3

Graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝐶3. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab

tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 tersebut, yaitu

Gambar 10 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3


15

Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota

sebanyak |𝑉| = 3 × 3 = 9 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3),

(b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab

tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},

{(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)},

{(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)}}.

Contoh 2.3.2

Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut

Gambar 11 Graf 𝐶4 dan 𝐶6

Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶6. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab

tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 4 × 6 = 24 dengan himpunan

titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4),

(b,5), (b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}.

Titik-titik tersebut akan diberi nama pengganti yang lebih sederhana agar

mempermudah dalam membaca graf. Titik (a,1) dengan A, (a,2) dengan B, (a,3)

dengan C, (a,4) dengan D, (a,5) dengan E, (a,6) dengan F, (b,1) dengan G, (b,2)

dengan H, (b,3) dengan I, (b,4) dengan J, (b,5) dengan K, (b,6) dengan L, (c,1)

dengan M, (c,2) dengan N, (c,3) dengan O, (c,4) dengan P, (c,5) dengan Q, (c,6)

dengan R, (d,1) dengan S, (d,2) dengan T, (d,3) dengan U, (d,4) dengan V, (d,5)

dengan W, dan (d,6) dengan X.


16

Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{A,H},

{A,L}, {A,T}, {A,X}, {B,G}, {B,I}, {B,S}, {B,U}, {C,H}, {C,J}, {C,T}, {C,V},

{D,I}, {D,K}, {D,U}, {D,W}, {E,J}, {E,L}, {E,V}, {E,X}, {F,G}, {F,K}, {F,S},

{F,W}, {G,N}, {G,R}, {H,M}, {H,O}, {I,N}, {I,P}, {J,O}, {J,Q}, {K,P}, {K,R},

{L,M}, {L,Q}, {M,T}, {M,X}, {N,S}, {N,U}, {O,T}, {O,V}, {P,U}, {P,W},

{Q,V}, {Q,X}, {R,S}, {R,W}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor

dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 tersebut, yaitu

Gambar 12 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⨂𝐶6

Contoh 2.3.3






17


titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2),

(c,3), (c,4)}.

Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸=

{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,4)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,4)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},

{(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)},

{(a,4),(b,1)}, {(a,4),(b,3)}, {(a,4),(c,1)}, {(a,4),(c,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,4)},

{(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,1)}, {(b,4),(c,3)}}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu

𝐶3 dan 𝐶4 tersebut, yaitu


Contoh 2.3.4

Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3, sebagai berikut,



18




titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1),

(d,2), (d,3)}.


{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,1),(d,2)}, {(a,1),(d,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},

{(a,2),(d,1)}, {(a,2),(d,3)}, {(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(d,1)}, {(a,3),(d,2)},

{(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)},

{(c,1),(d,2)}, {(c,1),(d,3)}, {(c,2),(d,1)}, {(c,2),(d,3)}, {(c,3),(d,1)}, {(c,3),(d,2)}}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu

𝐶4 dan 𝐶3 tersebut, yaitu


Contoh 2.3.5




19




titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5),

(c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor

dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 tersebut, yaitu



{{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,5)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,5)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)},

{(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)},

{(a,4),(b,3)}, {(a,4),(b,5)}, {(a,4),(c,3)}, {(a,4),(c,5)}, {(a,5),(b,1)}, {(a,5),(b,4)},

{(a,5),(c,1)}, {(a,5),(c,4)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,5)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)},

{(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,3)}, {(b,4),(c,5)}, {(b,5),(c,1)}, {(b,5),(c,4)}}.

Contoh 2.3.6

Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,

Gambar 19 Graf 𝑃3 dan 𝑃4


20

Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝑃4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab


titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2),

(c,3), (c,4)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua graf lintasan

𝑃3 dan 𝑃4 tersebut, yaitu

Gambar 20 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝑃4

Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah

𝐸 ={(a,1),(b,2)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)},

{(a,4),(b,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)},

{(b,4),(c,3)}}.

D. Operasi Darab Korona

Selain operasi darab tensor masih banyak lagi operasi graf lain, salah satunya

adalah operasi darab korona. Operasi darab korona merupakan salah satu operasi

graf yang juga sering dibahas.

Definisi 2.4.1 (Nada, et al, 2017)

Misal 𝐺1(𝑉1, 𝐸1) dan 𝐺2(𝑉2, 𝐸2) merupakan dua buah graf. Operasi darab

korona dari 𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺(𝑉, 𝐸) = 𝐺1⊙ 𝐺2 didefinisikan sebagai


21

graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah salinan 𝐺1 dan |𝑉1| salinan dari 𝐺2

dan titik ke-i dari salinan graf 𝐺1 dihubungkan oleh sebuah sisi dengan setiap titik

pada salinan ke-i dari 𝐺2.

Dari definisi 2.4.1, graf hasil operasi darab korona memiliki banyak anggota

himpunan titik |𝑉| = |𝑉 1| + |𝑉 1||𝑉2| = |𝑉 1|(1 + |𝑉2|) dan banyak anggota

himpunan sisi |𝐸| = |𝐸1| + |𝑉1| × |𝐸2| + |𝑉1| × |𝑉2|.

Contoh 2.4.1


berikut,


Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab

korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan

himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3),

(b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}.

Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah

anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 4) + (3 × 4) = 26 dengan himpunan sisinya

adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)},

{(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,(b,4)},

{(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)},

{c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}.


22

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf

lingkaran 𝐶4, yaitu

Gambar 22 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶4

Contoh 2.4.2


berikut


Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab


himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),

(c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki

jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 3) = 20 dengan himpunan

sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},


23

{(a,1),(a,3)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,1),(b,2)},

{(b,1),(b,3)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},

{(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari

graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, yaitu

Gambar 24 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝐶3

Contoh 2.4.3

Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 , sebagai

berikut,

Gambar 25 Graf 𝐶3 dan 𝑃3

Graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3

dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab


24


himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),

(c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari tersebut adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)},

{a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)},

{(b,1),(b,2)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},

{(c,2),(c,3)} dengan jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 2) + (3 × 3) = 18.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona tersebut, yaitu

Gambar 26 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3

Contoh 2.4.4



Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dinotasikan

dengan 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶4. Himpunan titik graf hasil operasi tersebut memiliki anggota


25

sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1),

(a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)} dan himpunan

sisinya memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 4) + (3 × 4) = 27

dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)},

{a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)},

{b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)},

{(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)},

{(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}. Graf tersebut tersebut ditunjukkan sebagai berikut

Gambar 28 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝐶4

Contoh 2.4.5




26


dengan 𝐺 = 𝐶4⊙ 𝐶6. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut

memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 4(1 + 6) = 28 dengan himpunan titiknya adalah

𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5),

(b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan

𝐶6, yaitu




adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)},

{a,(a,5)}, {a,(a,6)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,6)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)},

{(a,4),(a,5)}, {(a,5),(a,6)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)},

{b,(b,6)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,6)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)},

{(b,5),(b,6)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)}, {c,(c,6)},


27

{(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,6)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}, {(c,5),(c,6)},

{d,(d,1)}, {d,(d,2)}, {d,(d,3)}, {d,(d,4)}, {d,(d,5)}, {d,(d,6)}, {(d,1),(d,2)},

{(d,1),(d,6)}, {(d,2),(d,3)}, {(d,3),(d,4)}, {(d,4),(d,5)}, {(d,5),(d,6)}}.

Contoh 2.4.6

Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5, sebagai berikut,





𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2),

(c,3), (c,4), (c,5)}.



adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {a,(a,5)},

{(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,5)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {(a,4),(a,5)}, {b,(b,1)},

{b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,5)}, {(b,2),(b,3)},

{(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)},

{(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,5)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua buah graf lingkaran

𝐶3 dan 𝐶5 ditunjukkan pada Gambar 32.


28


Contoh 2.4.7

Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut,





𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2),

(d,3)}.



adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},


29

{(a,1),(a,3)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,1),(b,2)},

{(b,1),(b,3)}, {(b,2),(b,3)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {(c,1),(c,2)},

{(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan

𝐶3, yaitu


Contoh 2.4.8

Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,

Gambar 35 Graf 𝑃3 dan 𝑃4

Graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dinotasikan

dengan 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝑃4. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona

tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉| = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan


30

titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4),

(c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}.

Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki

jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 4) = 23 dengan

himpunan sisinya adalah 𝐸 = {{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)},

{a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)},

{b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)},

{c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)} {(c,1),(c,2)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}.

Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan

𝑃4, yaitu

Gambar 36 Graf 𝐺 = 𝑃3⊙ 𝑃4

Dari contoh 2.4.2 dan 2.4.3, dapat dilihat bahwa 𝑃3⊙ 𝐶3 ≠ 𝐶3⊙ 𝑃3.

Dengan kata lain, operasi korona memiliki sifat tidak komutatif, yaitu

𝐺1⊙ 𝐺2 ≠ 𝐺2⊙ 𝐺1

E. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik

Masalah pewarnaan pada graf pertama kali tercatat pada 1852. Saat itu, A. De

Morgan menulis kepada Sir William Hamilton tentang masalah yang diajukan

kepadanya oleh muridnya, Francis Guthrie yang merupakan mahasiswa University


31

College London. Francis Guthrie mencoba mewarnai peta wilayah Inggris dan dia

melihat bahwa hanya diperlukan empat warna untuk memastikan bahwa untuk

setiap provinsi yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Pewarnaan pada graf

merupakan kasus khusus dari pelabelan graf. Berdasarkan domainnya, pewarnaan

graf dibedakan menjadi tiga, yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan

titik.

Pewarnaan titik adalah penempatan warna pada titik, satu warna pada setiap

titik, sehingga titik yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. Warna yang

digunakan dapat berupa elemen dalam himpunan apapun, seperti himpunan warna

sesungguhnya (merah, kuning, hijau, biru, dan lain sebaginya) yang sering

digunakan ketika hanya diperlukan sejumlah kecil warna atau himpunan bilangan

bulat positif {1, 2, … , 𝑘} yang bisa juga melambangkan warna dalam jumlah

banyak. Jumlah minimun warna yang digunakan dalam pewarnaan titik disebut

bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan 𝜒 (𝐺).

Pewarnaan titik dapat dilakukan dengan berbagai macam pendekatan, salah

satunya adalah algoritma greedy. Algoritma tersebut dilakukan langkah demi

langkah sehingga menghasilkan pewarnaan titik dalam graf secara optimal.

Meskipun algoritma greedy mungkin tidak menghasilkan warna minimum,

algoritma ini dapat memberikan batas atas untuk bilangan kromatik dari graf

tersebut.

Definisi 2.5.1 (Chartrand, Lesniak, & Zhang, 2011)

Algoritma pewarnaan greedy. Misalkan titik-titik dalam graf 𝐺 terdaftar dalam

urutan 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛.

1. Titik 𝑣1 diberi warna 1.

2. Setelah titik 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗 telah diberi warna, dimana 1 ≤ 𝑗 < 𝑛, titik

𝑣𝑗+1 diberi warna terkecil yang tidak diberikan pada titik yang

bertetangga dengan 𝑣𝑗+1 dalam himpunan {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗}.


32

Contoh 2.5.1

Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.3.1 diketahui

graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dengan

himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2),

(c,3)}, sebagai berikut

Gambar 37 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3

Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor diatas.

Pertama-tama dipilih titik pertama yaitu (𝑎, 1) dan diberi warna pertama, yaitu

merah. Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu (𝑎, 2) dan diberi warna dengan urutan

terkecil dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang

bertetangga. Karena titik (𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) tidak bertetangga, titik (𝑎, 2) diberi

warna merah. Begitu juga dengan titik (𝑎, 3) yang tidak bertetangga dengan titik

(𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) sehingga diberi warna merah. Titik (𝑏, 1) adalah titik yang

bertetangga dengan titik (𝑎, 2) dan titik (𝑎, 3) sehingga tidak bisa diberi warna

merah, maka titik (𝑏, 1) diberi warna kedua yaitu hijau. Begitu seterusnya hingga

(𝑏, 2) dan (𝑏, 3) diberi warna hijau dan (𝑐, 1), (𝑐, 2) dan (𝑐, 3) diberi warna merah.

Dapat disimpulkan bahwa pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut hanya

menggunakan 2 warna.


33

Gambar 38 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂𝐶3

Contoh 2.5.2

Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.4.3

diketahui graf hasil operasi korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3

dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3),

(c,1), (c,2), (c,3)}, sebagai berikut

Gambar 39 Graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3


34

Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi korona diatas. Pertama-

tama dipilih titik pertama yaitu 𝑎 dan diberi warna pertama, yaitu merah.

Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu 𝑏 dan diberi warna dengan urutan terkecil

dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang bertetangga.

Karena titik 𝑎 dan titik 𝑏 bertetangga, titik 𝑏 diberi warna kuning. Karena titik 𝑐

bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik 𝑏 sehingga titik 𝑐 diberi warna hijau.

Karena 𝑎 diberi warna merah, maka titik (𝑎, 1) diberi warna kuning.

Sedangkan titik (𝑎, 2) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 1) diberi warna

hijau. Titik (𝑎, 3) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 2) diberi warna

kuning. Begitu seterusnya hingga titik (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna

merah, titik (𝑏, 2) diberi warna hijau dan titik (𝑐, 2) diberi warna kuning. Jadi

pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut hanya menggunakan 3 warna, sebagai

berikut

Gambar 40 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝐶3⊙ 𝑃3


35

BAB III

BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN

PERMAINAN PEWARNAAN GRAF

Pembahasan mengenai jenis-jenis graf, operasi graf dan bilangan kromatik

telah dibahas dalam bab II. Ketiga pembahasan tersebut akan dibahas menjadi satu

pembahasan dalam bab ini, yaitu bilangan kromatik graf hasil operasi darab tensor

dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan. Selain itu, akan dicari

bilangan kromatik permainan dari salah satu graf hasil operasi darab korona.

A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf

Lintasan dengan Graf Lingkaran

Operasi darab tensor yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf

lintasan, yaitu (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚). Dari ketiga pengoperasian

tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing hasil operasi.

Teorema 3.1.1

Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf

lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥

3 adalah

𝜒 (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) = 2

Bukti

Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =

{𝑥𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 dan himpunan sisi 𝐸 =

{𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,𝑚𝑥𝑖−1,1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪

{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖−1,𝑗+1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤


36

𝑚 − 1} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 2𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 =

(𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛⊗

𝐶𝑚) = 2. ∎

Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari

graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan

bilangan kromatiknya.

Contoh 3.1.1

Dalam contoh 2.3.1 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan

𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3, sebagai berikut

Gambar 41 Graf 𝑃3⊗𝐶3


37

Menurut teorema 3.1.1, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab

itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}.

Titik (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna merah. Sedangkan titik

(b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna hijau.

Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3

dan graf lingkaran 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil

operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut

Gambar 42 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3⊗𝐶3

Teorema 3.1.2

Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛

dengan 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 3 adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil

2 untuk lainnya

Bukti

Graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =



38

{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 2 ≤ 𝑗 ≤

𝑚 } ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤

𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥1,1𝑥𝑛,𝑚; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑛,1𝑥1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚.

Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu

1. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap mempunyai

bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.

2. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap

mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.

3. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil

mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 2.


39

4. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) =

{

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 = 𝑚

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil mempunyai

bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) = 3. ∎

Akan ditunjukkan beberapa contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab

tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai

dengan bilangan kromatiknya. Contoh 3.1.2 merupakan graf hasil operasi dua buah

graf lingkaran dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.

Contoh 3.1.2

Dalam contoh 2.3.2 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf

lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut

Gambar 43 Graf 𝐶4⊗𝐶6


40



Titik A, B, C, D, E, F, M, N, O, P, Q dan R diberi warna merah. Sedangkan titik G,

H, I, J, K, L, S, T, U, V, W dan X diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf

hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dapat dilakukan hanya

dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat

ditunjukkan dalam graf sebagai berikut

Gambar 44 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4⊗𝐶6

Contoh 3.1.3 merupakan graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran

dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.

Contoh 3.1.3

Dalam contoh 2.3.3 diketahui graf hasil darab operasi tensor dari dua buah graf

lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 yang ditunjukkan pada Gambar 45.


41




Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Sedangkan titik

(a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari

graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan

hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat




42

Contoh 3.1.4




Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Misalkan

dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan

(c,3) diberi warna merah, sedangkan titik (a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4)

diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah

graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf

tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut



43

Contoh 3.1.5





itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning,

hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Titik (a,2),

(b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik

(𝑎, 5), (𝑏, 5) dan (𝑐, 5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil

operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya

dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat




44

Contoh 3.1.4 diatas merupakan graf hasil operasi darab tensor dengan 𝑛 genap

dan 𝑚 ganjil, sedangkan contoh 3.1.5 dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.

Teorema 3.1.3

Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf

lintasan 𝑃𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah

𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚) = 2

Bukti

Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =


{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤

𝑗 ≤ 𝑚 } dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚),

yaitu

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛⊗

𝑃𝑚) = 2. ∎

Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari

graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lintasan 𝑃𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan



45

Contoh 3.1.6


lintasan 𝑃3 dan 𝑃4, sebagai berikut

Gambar 51 Graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4



Titik (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (c,1), (c,2), (c,3) dan (c,4) diberi warna merah.

Sedangkan titik (b,1), (b,2), (b,3) dan (b,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik

dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf l graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dapat

dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor

tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut

Gambar 52 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4


46

B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona dari Graf

Lingkaran dengan Graf Lintasan

Operasi darab korona yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf

lintasan, yaitu (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚). Dari

keempat pengoperasian tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing

hasil operasi.

Teorema 3.2.1

Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf

lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥

3 adalah

𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑚 genap

4 untuk 𝑚 ganjil

Bukti

Graf (𝑃𝑛⨀𝐶𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =

{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan himpunan sisi 𝐸 =

{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑦𝑖,1𝑦𝑖,𝑚; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan

|𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛 − 1. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚), yaitu

1. Untuk 𝑚 genap

𝑓(𝑥𝑖) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil

2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

a. Untuk 𝑖 ganjil

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


47

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑚 genap mempunyai

bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 3.

2. Untuk 𝑚 ganjil

𝑓(𝑥𝑖) = {


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) =

{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

Pewarnaan titik graf hasil operasi tersebut tidak dapat dilakukan

dengan kurang dari 4 warna karena untuk 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil pasti


48

memiliki satu titik dengan dua titik bertetangga yang memiliki warna

berbeda, sehingga diperlukan sebuah warna lagi untuk mewarnai titik

tersebut, dengan kata lain salinan 𝐶𝑚 memerlukan 3 warna. Jika salinan

ke-𝑖 dari 𝐶𝑚 memerlukan paling sedikit 3 warna dan titik ke-𝑖 dari 𝑃𝑛

memerlukan satu warna lagi yang berbeda, maka 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 4. ∎

Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari

graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan

bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.1 merupakan graf hasil operasi graf lintasan dan

graf lingkaran dengan 𝑚 genap.

Contoh 3.2.1

Dalam contoh 2.4.1, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan

𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4, sebagai berikut

Gambar 53 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4


49

Menurut teorema 3.2.1, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki

bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan

himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1) dan (b,3) diberi warna

merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna kuning. Sedangkan titik

(a,2), (a,4), (b,2), (b,4), (c,2) dan (c,4) diberi warna hijau.

Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab korona dua buah graf lintasan

𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi

darab korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut

Gambar 54 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4

Contoh 3.2.2 merupakan graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛

dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil.

Contoh 3.2.2

Dalam contoh 2.4.2, diketahui graf hasil operasi korona graf lintasan 𝑃3 dan

graf lingkaran 𝐶3 yang ditunjukkan pada Gambar 55.


50

Gambar 55 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3


bilangan kromatik 4. Dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru, hijau}, titik

a, c dan (b,1) diberi warna merah, titik b, (a,1),sdan (c,1) diberi warna kuning, titik

(a,2), (b,2), dan (c,2) diberi warna biru dan titik (a,3), (b,3), dan (c,3) diberi warna

hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 4

warna, dengan pewarnaan graf sebagai berikut

Gambar 56 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3


51

Teorema 3.2.2

Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf

lintasan 𝑃𝑛. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2

adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3

Bukti

Graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =


{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤

𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚.

Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu

1. Untuk 𝑛 genap

𝑓(𝑥𝑖) = {


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) dengan 𝑛 genap mempunyai

bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3.


52

2. Untuk 𝑛 ganjil

𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚1, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

c. Untik 𝑖 = 𝑛

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) dengan 𝑛 ganjil mempunyai

bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. ∎


dua buah graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf lintasan 𝑃𝑛 dengan jumlah warna yang sesuai

dengan bilangan kromatiknya.


53

Contoh 3.2.3

Dalam contoh 2.4.3, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf

lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3, sebagai berikut

Gambar 57 Graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3

Menurut teorema 3.2.2, graf hasil operasi korona tersebut memiliki bilangan

kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut, yaitu

Gambar 58 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3


54

Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna 𝑤 =

{𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Titik 𝑎, (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna

merah. Titik 𝑏, (𝑎, 1), (𝑎, 3) dan (𝑐, 2) diberi warna kuning. Sedangkan titik 𝑐,

(𝑎, 2) dan (𝑏, 2) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi korona

dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.

Teorema 3.2.3

Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑛 dan graf

lingkaran 𝐶𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥

3 adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑚 genap

4 untuk 𝑚 ganjil

Bukti

Graf graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =

{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan

himpunan sisi 𝐸 = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛.

Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), yaitu


𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


55

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

c. Untuk 𝑖 = 𝑛

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap

mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 3.


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap



56


𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛



{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚



{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil



57


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap



{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil

mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = 4. ∎


dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan

bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.4 merupakan graf hasil operasi korona dua buah

graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.

Contoh 3.2.4

Dalam contoh 2.4.4, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf



58

Gambar 59 Graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4


bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut dapat


Gambar 60 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4

Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna 𝑤={merah, kuning, hijau}.

Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,2) dan


59

(c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik c, (a,2), (a,4), (b,2) dan (b,4) diberi

warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran

𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.

Contoh 3.2.5 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran

dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.

Contoh 3.2.5

Dalam contoh 2.4.5, diketahui graf hasil operasi korona dari dua graf lingkaran

𝐶4 dan 𝐶6, sebagai berikut




himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1), (b,3), (b,5), (d,1), (d,3)

dan (d,5) diberi warna merah. Titik b, d, (a,1), (a,3), (a,5), (c,1), (c,3) dan (c,5)


60

diberi warna kuning. Sedangkan titik (a,2), (a,4), (a,6), (b,2), (b,4), (b,6), (c,2),

(c,4), (c,6), (d,2), (d,4) dan (d,6) diberi warna hijau.

Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶4 dan

𝐶6 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab

korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut



dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.

Contoh 3.2.6




61



bilangan kromatik 4. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat




62

Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru,

hijau}. Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3),

(c,2) dan (c,4) diberi warna kuning. Titik c, (a,2), (a,4) dan (b,5) diberi warna biru.

Sedangkan titik (a,5) , (b,2), (b,4) dan (c,5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik

graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya

dengan 4 warna.


dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil.

Contoh 3.2.7







63

himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, 𝑏𝑖𝑟𝑢, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Titik 𝑎, 𝑐, (𝑏, 1) dan (𝑐, 1)

diberi warna merah. Titik 𝑏, 𝑐, (𝑎, 1) dan (𝑐, 1) diberi warna kuning. Titik (𝑎, 2),

(𝑏, 2), (𝑐, 2) dan (𝑑, 2) diberi warna biru. Sedangkan titik (𝑎, 3) , (𝑏, 3), (𝑐, 3) dan

(𝑑, 3) diberi warna hijau.

Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶4 dan

𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab

korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut


Teorema 3.2.4

Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari dua buah graf lintasan 𝑃𝑛

dan 𝑃𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah

𝜒(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3

Bukti

Graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =



64

{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 1. Fungsi pewarnaan

titik pada graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu

𝑓(𝑥𝑖) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

1. Untuk 𝑖 ganjil

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

2. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) mempunyai bilangan kromatik

𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. ∎


dua buah graf lintasan 𝑃𝑛 dan 𝑃𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan


Contoh 3.2.8


lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 yang ditunjukkan pada Gambar 67.


65

Gambar 67 Graf 𝑃3 ⊙ 𝑃4


bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat


Gambar 68 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝑃4

Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, hijau}.

Titik a, c, (b,1) dan (c,1) diberi warna merah. Titik b, c, (a,1) dan (c,1) diberi warna

kuning. Titik (a,2), (b,2), (c,2) dan (d,2) diberi warna biru. Sedangkan titik (a,3) ,

(b,3), (c,3) dan (d,3) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab

korona dari graf lingkaran 𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna.


66

Setelah diketahui bilangan kromatik graf hasil operasi darab tensor dan darab

korona dari graf lingkaran dan graf lintasan, selanjutnya akan dicari bilangan

kromatik permainan dari graf hasil operasi darab korona 𝐶𝑛 dan 𝑃𝑚.

C. Permainan Pewarnaan Graf

Permainan pewarnaan graf 𝐺 dilakukan pada graf sederhana dengan himpunan

warna {1, 2, 3, … , 𝑘}. Dua pemain, pemain A dan pemain B, secara bergantian

memberi warna titik yang belum diberi warna sedemikian sehingga tidak ada titik

bertetangga yang memiliki warna yang sama. Misalkan pemain A mendapat

kesempatan pertama untuk memberi warna pada salah satu titik. Pemain A

dianggap memenangkan permainan apabila semua titik sudah diberi warna dengan

benar, jika sebaliknya pemain B yang di anggap memenangkan permainan.

Bilangan kromatik permainan dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝜒𝑔(𝐺) adalah

banyak warna paling sedikit dimana pemain yang mendapat kesempatan pertama

untuk memberi warna pada salah satu titik dapat memenangkan permainan. Pemain

yang mendapat kesempatan pertama tersebut selalu memenangkan permainan jika

banyak warna lebih besar dari derajat maksimum dari 𝐺.

Teorema 3.3.1

Batas bawah untuk bilangan kromatik permainan adalah 𝜒𝑔(𝐺), yaitu

𝜒(𝐺) ≤ 𝜒𝑔(𝐺).

Bukti

Diketahui bahwa 𝜒(𝐺) adalah jumlah minimun warna yang digunakan dalam

pewarnaan graf 𝐺. Dalam permainan pewarnaan graf, jika warna yang disediakan

kurang dari 𝜒(𝐺), maka ada titik dalam 𝐺 yang tidak dapat diberi warna. Sehingga

haruslah 𝜒(𝐺) ≤ 𝜒𝑔(𝐺). ∎


67

Teorema 3.3.2

Untuk sebarang bilangan bulat 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2,

𝜒𝑔(𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) = 4.

Bukti

Ditunjukkan graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚, sebagai berikut

Gambar 69 Graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚

Strategi kemenangan pemain B dengan 3 warna, yaitu

1. Kasus 1

Misalkan pemain A melakukan langkah pertamanya dengan memainkan

warna 1 di salah satu titik dari 𝐶𝑛, katakan 𝑥1. Kemudian pemain B melakukan

langkah pertama dengan memainkan warna 2 pada tiitik 𝑥3. Dalam langkah

keduanya pemain A akan memainkan warna 3 di titik 𝑥2 karena langkah


68

tersebut merupakan satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman terhadap

titik tersebut. Pemain B dalam langkah keduanya memainkan warna yang tepat

antara titik 𝑥5, 𝑥7, 𝑥9, … , masing-masing memaksa pemain A untuk memainkan

warna yang tepat di titik 𝑥4, 𝑥6, 𝑥8, …. Selanjutnya, pemain B memainkan

langkah terakhirnya menurut dua situasi berikut:

a. Jika n merupakan bilangan genap maka langkah diatas berhenti pada titik

𝑥𝑛−1. Pemain B kemudian memainkan warna apapun di titik 𝑦𝑛,𝑗 yang

berbeda dengan titik 𝑥1 dan titik 𝑥𝑛−1. Pemain A tidak dapat menghalangi

ancaman pada titik xn, dengan begitu pemain B memenangkan permainan.

b. Jika 𝑛 merupakan bilangan ganjil maka langkah diatas berhenti pada titik

𝑥𝑛−2. Kemudian pemain B pada langkah sebelum langkah terakhirnya

memainkan warna pada salah satu titik 𝑏𝑛,𝑗, yang berbeda dengan 𝑥1.

Sebagai tanggapan, pemain A dipaksa untuk memberi warna di titik 𝑥𝑛−1

karena ini adalah satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman terhadap

titik ini. Dengan memainkan warna yang berbeda untuk 𝑥1 dan 𝑥𝑛−1 pada

sembarang titik 𝑏𝑛,𝑗, Bob dapat berhasil menetapkan tiga warna berbeda

di tetangga dari titik 𝑎𝑛.

2. Kasus 2

Pemain A membuat gerakan pertamanya dengan memainkan warna 1 di

salah satu titik 𝑦𝑖,𝑚, katakanlah 𝑦1,1. Sebagai tanggapan, pemain B memainkan

warna 2 pada titik 𝑦2,1. Dalam langkah keduanya pemain A harus bermain

warna 2 di titik 𝑥1 karena ini adalah satu-satunya cara dia bisa menghalangi

ancaman terhadap titik ini. Dalam gerakan selanjutnya, pemain B bermain di

titik alternatif 𝑥3, 𝑥5, 𝑥7, … , masing-masing, memaksa pemain A untuk

bermain di titik 𝑥2, 𝑥4, 𝑥6, … . Selanjutnya, pemain B memainkan langkah

terakhirnya menurut kasus 1.

Oleh karena itu 𝜒𝑔(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) ≥ 4.


69

Strategi kemenangan pemain A dengan 4 warna:

Graf 𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚 memiliki 𝑛𝑚 + 𝑛 titik. Pemain A, dalam strateginya memberikan

warna pada titik 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 dan akibatnya menghalangi ancaman terhadap

simpul-simpul tersebut. Karena pemain A harus memulai permainan, misalkan dia

membuat gerakan pertamanya dengan memainkan warna 1 di titik 𝑥1. Sebagai

tanggapan, pemain B dapat memainkan game dalam dua cara berikut:

1. Kasus 1

Pemain B bermain di titik-titik dalam 𝐶𝑛, katakana 𝑥𝑖, untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

Pemain A menanggapi dengan memainkan warna apapun dari himpunan warna

di titik yang belum diberi warna dalam 𝐶𝑛.

2. Kasus 2

Pemain B bermain di titik 𝑦𝑖,𝑗, lalu pemain A memberikan warna yang

sesuai di titik 𝑥𝑖. Pemain B hanya bisa menang jika ia berhasil menetapkan 4

warna berbeda ke 4 titik yang bertetangga dengan salah satu titik lainnya.

Tetapi setiap kali dia bermain di titik 𝑦𝑖,𝑗, pemain A memberikan warna yang

tepat di 𝑥𝑖.

Dengan cara ini pemain A dapat mewarnai semua titik dalam graf dan dia

memenangkan permainan.

Dari kedua strategi ini tersebut, dapat disimpulkan bahwa

𝜒𝑔(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) = 4.

∎

Dalam contoh 3.3.1 akan ditunjukkan permainan pewarnaan graf pada graf

(𝐶𝑚⨀ 𝑃𝑛) dengan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau} dan{Merah, Kuning,

Hijau, Hitam}


70

Contoh 3.3.1

Dalam contoh 2.4.3, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf

lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3, sebagai berikut

Gambar 70 Graf 𝐶3⨀ 𝑃3

1. Jika diberikan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau}

Gambar 71 Strategi pemain B memenangkan permainan

Pertama, pemain A memberi warna merah pada titik (𝑎, 1). Sebagai

tanggapan, pemain B memberi warna kuning pada titik (𝑏, 1). Pada langkah


71

keduanya, pemain A memberi warna kuning pada titik 𝑎 karena ini merupakan

satu-satunya cara untuk menghalangi ancaman pada titik tersebut. Selanjutnya,

pemain B memberi warna merah pada titik (𝑐, 1). Langkah tersebut membuat

pemain A harus memberikan warna merah pada titik 𝑏. Pemain B kemudian

memberi warna hijau pada titik (𝑐, 2) sehingga pemain A tidak dapat

memberikan warna yang tepat pada titik 𝑐. Dapat disimpulkan bahwa pemain

B memenangkan permainan.

2. Jika diberikan himpunan warna {Merah, Kuning, Hijau, Hitam}

Pertama, pemain A memberi warna merah pada titik 𝑎. Sebagai tanggapan,

pemain B memberi warna kuning pada titik (𝑏, 2). Pemain A memberi warna

hijau pada titik 𝑏 karena ini merupakan satu-satunya cara untuk menghalangi

ancaman pada titik tersebut. Pemain B kemudian memberi warna hijau pada

titik (𝑐, 1) dan pemain A menanggapi dengan memberi warna hitam pada titik

𝑐. Selanjutnya, pemain B memberi warna di titik manapun tidak dapat memberi

ancaman terhadap pemain A. Dengan demikian semua titik dapat diberi warna

yang sesuai dan pemain A memenangkan permainan.

Gambar 72 Strategi pemain A memenangkan permainan


72

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Operasi tensor dan korona dalam tulisan ini dilakukan antara graf lingkaran

dengan graf lintasan. Graf hasil operasi tensor tersebut, yaitu (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚),

(𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) dan (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚). Graf operasi darab korona yang dicari dalam tulisin ini,

yaitu (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) dan(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚).

Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =


{𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,𝑚𝑥𝑖−1,1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪

{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖−1,𝑗+1; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤

𝑚 − 1} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 2𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚)

untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 𝜒 (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚) = 2. Fungsi pewarnaan titik pada graf

𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap

Graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =


{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 2 ≤ 𝑗 ≤

𝑚 } ∪ {𝑥1,𝑗𝑥𝑛,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤

𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥𝑖,1𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥1,1𝑥𝑛,𝑚; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑛,1𝑥1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚.

Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 3 adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil

2 untuk lainnya


73

Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛⊗𝐶𝑚), yaitu


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) =

{

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 = 𝑚

Graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =


{𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗−1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤

𝑗 ≤ 𝑚 } dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), untuk

𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚) = 2. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 =

(𝑃𝑛⊗𝑃𝑚), yaitu

𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


74

Graf (𝑃𝑛⨀𝐶𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =


{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑦𝑖,1𝑦𝑖,𝑚; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan

|𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛 − 1. Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 2

dan 𝑚 ≥ 3 adalah

𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑚 genap

4 untuk 𝑚 ganjil

Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚), yaitu

1. Untuk 𝑚 genap

𝑓(𝑥𝑖) = {


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

2. Untuk 𝑚 ganjil

𝑓(𝑥𝑖) = {


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap


75



{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

Graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =


{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤

𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚.

Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2 adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu

1. Untuk 𝑛 genap

𝑓(𝑥𝑖) = {


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


76

2. Untuk 𝑛 ganjil

𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚1, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

c. Untik 𝑖 = 𝑛

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {


2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

Graf graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 =

{𝑥𝑖; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan

himpunan sisi 𝐸 = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1𝑥𝑛; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛.

Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 3 adalah

𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚) = {

3 untuk 𝑚 genap

4 untuk 𝑚 ganjil


77

Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚), yaitu


𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

b. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap


78


𝑓(𝑥𝑖) =

{


2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap

3, 𝑖 = 𝑛



{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚



{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil

2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚


𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 ganjil

2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑖 genap


79



{

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

b. Untuk 𝑖 genap


{

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap

4, 𝑗 = 𝑚

Graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 =


{𝑥𝑖𝑥𝑖+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗𝑦𝑖,𝑗+1; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖,𝑗; 1 ≤

𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉| = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 1. Bilangan kromatik

dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), untuk 𝑛,𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒(𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚) = 3. Fungsi

pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚), yaitu

𝑓(𝑥𝑖) = {

1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

1. Untuk 𝑖 ganjil

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

2. Untuk 𝑖 genap

𝑓(𝑦𝑖,𝑗) = {

1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝


80

Permainan pewarnaan graf hasil operasi darab korona antara graf lingkaran

dengan graf lintasan memiliki bilangan kromatik permainan 𝜒𝑔(𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) = 4,

untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2. Misalnya dilakukan permainan pewarnaan graf oleh dua

pemain, yaitu pemain A dan pemain B. Jika diberikan 4 warna untuk melakukan

permainan perwarnaan graf pada graf (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) maka dapat dipastikan pemain A

memenangkan permainan. Sedangkan, jika (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚) ≤ 3 maka dapat dipastikan

pemain B memenangkan permainan.

B. Saran

Tulisan ini hanya membahas bilangan kromatik pada graf hasil operasi tensor

dan operasi korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan. Selain pembahasan

tersebut, dibahas juga aplikasi bilangan kromatik dalam teori lain, yaitu bilangan

kromatik permainan dari graf (𝐶𝑛⨀ 𝑃𝑚). Oleh karena itu, tulisan ini dapat

dikembangkan lebih lanjut seperti bilangan kromatik pada graf hasil operasi

lainnya, bilangan kromatik permainan dari graf lainnya atau aplikasi pada

kehidupan nyata.


81

DAFTAR PUSTAKA

Acharya, U. P., & Mehta, H. S. (2014). 2-Tensor Product of Graph. International

Journal of Mathematics and Scientific Computing, 4, 21-24.

Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P. (2011). Graphs & Digraphs (Fifth

Edition). Boca Raton: CRC Press.

Epp, S. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (Fourth Edition).

Boston: Brooks/Cole.

Nada, S., Elrokh, A., Elsakhawi, E. A., & Sabra, D. E. (2017). The Corona

between Cycles and Paths. Journal of Egyptian Mathematical Society, 25,

111-118.

Susilo, F. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Syed Ahtsham Ul Haq Bokhary, T. I. (2018). Game Chromatic Number of

Cartesian and Corona Product Graphs. Journal of Algebra Combinatorics

Discrete Structures and Applications, 5, 129-136.

Wilson, R. J. (1998). Introduction to Graph Theory. Essex: Addison Wesley

Longman Limited.


BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA … · adalah graf yang tiap-tiap titiknya berderajat dua. Sedangkan, graf yang terbentuk dari dengan menghilangkan sebuah sisinya

Documents