-
Invariancia de Norma como principio dinámico, el
Modelo Estandard y la simetria de familias
Ezequiel Rodŕıguez Jáuregui
April 7, 2006
Resumen:En esta charla derivaremos una teoŕıa de las
interacciones fundamentales,
para esto usaremos la analoǵıa de esta con la electrodinámica
cuantica QED,usando como guia el principio de invariancia de norma
local de la teoŕıa,formulado por Yang-Mills.
Posteriormente estudiaremos la posibilidad de extender el Modelo
Es-tandard para incluir una simetria de familias que incorpore a
los nutrinoscon masa.
1 Invariancia de norma en las ecuaciones de Maxwell
Iniciaremos a partir del estudio de las leyes básicas del
electromagnetismo,conocidas como las leyes de Maxwell, en el
sistema de unidades naturales ,en el cual 6 h = c = 1, las leyes de
Maxwell son las siguientes:
∇ ·E = ρ Ley de Gauss. (1)
∇×E = −∂B∂t
Ley de Faraday Lenz. (2)
∇ ·B = 0 Ausencia de cargas magneticas. (3)
∇×B− ∂E∂t
= j Ley de Ampere modificada. (4)
1
-
En electomagnetismo clásico y en especial en mecánica
cuántica, es con-veniente introducir el potencial vectorial A(x) y
el escalar V para utilizarloen lugar de los campos E y B,
B = ∇×A, E = −∇V − ∂A∂t
(5)
estas ecuaciones definen el potencial vectorial A y el potencial
escalar V .
Con esta definición, las ecuaciones de Maxwell (2) y (3)
secumplen au-tomticamente
∇(∇×A) = 0 ∇×∇V = 0 (6)
Para mostrar que las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) se
satisfacen, esconveniente trabajar con las ecuaciones de Maxwell
escritas en forma covari-ante, por este y otros motivos cambiamos a
la notación tensorial siguiente:
Xµ : (t,X)
Aµ : (V,A) con V = φ
∂µ =∂
∂xµ:(∂
∂t,−∇
)(7)
Estamos trabajando en la métrica de Minkowski, y el tensor
métrico es;
gµν :
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
(8)este tensor nos permite subir y bajar indices,
Xµ = gµνXν :
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
txyz
= (t,−X) (9)
2
-
Las ecuaciones de Maxwell también se pueden escribir en forma
covari-ante si introducimos el tensor de estres Fµν del campo
electromagneticocomo el tensor antisimetrico siguiente:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (10)
cuyas componentes son:
F 0i = ∂0Ai − ∂iA0 = ∂Ai
∂t+∇iA0 = −Ei
F ij = ∂iAj − ∂jAi = −�ijkBk
(Fµν) =
0 −E1 −E2 −E3E1 0 −B3 B2E2 B3 0 −B1E3 −B2 B1 0
.Si definimos el tensor jµ de la cuadricorriente,
Jµ : (ρ, j) (11)
en esta notación, la ecuación de continuidad, (o de
conservacion de lacarga)
∂ρ
∂t+∇j = 0 (12)
se escribe de la manera siguiente,
∂µJµ = 0 (13)
Las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) restantes, se cumplen
con
∂µFµν = Jν (14)
La ley de Gauss se obtiene de la componente cero de esta
ecuación;
∂µFµ0 = ∂iF i0 = ∂iEi = J0
La ley de Ampere modificada se obtiene de las componentes
restantes
∂µFµ1 = ∂0F 01 + ∂2F 21 + ∂3F 31 = J1
∂µFµ2 = ∂0F 02 + ∂1F 12 + ∂3F 32 = J2
∂µFµ3 = ∂0F 03 + ∂1F 13 + ∂2F 23 = J3
3
-
El origen de la invariancia de norma en electromagnetismo
clásico estaen el echo que para E y B dados, los potenciales
vectorial A y escalar V noson únicos.
Se llaman transformaciones de norma a las transformaciones que
puedenexperimentar los potenciales vectorial A y escalar V , pero
que dejan in-variante a los campos f́ısicos E y B, y en
consecuencia a las ecuaciones deMaxwell, decimos por este motivo
que las ecuaciones de Maxwell son invari-antes de norma.
La transformación de norma esta dada por las ecuaciones
siguientes;
A → A′ = A +∇χ, V → V ′ = V − ∂χ∂t
(15)
estas ecuaciones expresan el echo de que un cambio local en el
potencialelectrostatico V se compensa por un cambio local en el
potencial vecto-rial magnetico A, de tal manera que quedan
invariantes las ecuaciones deMaxwell.
En notación tensorial, las ecuaciones de transformación de
norma tomanla siguiente forma:
Aµ → A′µ = Aµ + ∂µχ (16)
es claro que bajo esta transformacin el tensor de estres Fµν
cambia altensor primado .
Fµν → F ′µνF
′µν = ∂µA′ν − ∂νA′µ
F′µν = ∂µ(Aν + ∂νχ)− ∂ν(Aµ + ∂µχ)
F′µν = Fµν (17)
como el tensor de estress del campo electromagnetico Fµν es
invariante antela transformación de norma de la Ec.( 16), las
ecuaciones de Maxwell dadaspor las Ecs. (1)-(4) son invariantes de
norma.
4
-
Sustituyendo la Ec. (10), en la ecuacioón (14), esta se puede
escribir conel potencial vectorial Aµ de la manera siguiente,
∂µ∂µAν − ∂ν(∂µAµ) = jν (18)
de aqui vemos que las ecuaciones del cuadripotencial Aµ estan
acopladas.Si en la ecuación ( 16) escogemos a χ tal que Aµ
satisfaga la condición
invariante,
∂µAµ = 0 (19)
conocida como la condición de Lorentz, en esta norma, las
ecuacionespara el cuadripotencial se reducen a
∂µ∂µAν = jν (20)
En electromagnetismo, decimos que una condición como la dada
por laecuacion ( 19), es una condicion que fija la norma. Una
consecuencia de lainvariancia de norma es que diferentes elecciones
de la condición que fija lanorma llevan a formas diferentes para
el propagador del fotón.
5
-
2 Invariancia de Norma en la Mecánica Cuántica
En el caso de una part́ıcula relativista con carga eléctrica q
y masam inmersaen un campo electromagnético externo su dinámica
se obtiene a partir delHamiltoniano clásico
H =√
(P− qA)2 +m2 + qV (21)
para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la
luz, esteHamiltoniano se escribe como
H ≈ m+ 12m
(P− qA)2 + qV (22)
restando una constante de la enerǵıa obtenemos
H −m = 12m
(P− qA)2 + qV (23)
Con el descubrimiento de la mecánica cuántica, se aprendió a
cuantizary a construir el análogo cuántico de los problemas
clásicos si cambiamosnuestras funciones por operadores
x → x̂ = x
Pi → P̂i = −i∂
∂xi
E → Ê = i ∂∂t
{Pi, xj} →[P̂i, x̂j
]= δij (24)
construimos la ecuación del equivalente cuántico para una
part́ıcula concarga eléctrica q y masa m inmersa en un campo
electromagnético externoconocida como ecuación de
Schrodinger(
12m
(−i∇− qA)2 + qV)
Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t
(25)
6
-
Ahora estudiaremos el comportamiento de esta ecuación ante la
trans-formación de norma del potencial vectorial A y escalar V
,
A → A′ = A +∇χ, V → V ′ = V − ∂χ∂t
Si hacemos solo la transformación de norma dada por las
ecuaciones (15),la ecuación de Schrodinger (25) cambia en(
12m
(−i∇− qA′
)2 + qV ′)Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t
(26)
sustituimos A′ y V ′ dados por las ecuaciones (15) y tenemos
que
(1
2m(−i∇− qA−∇χ)2 + q(V − ∂χ
∂t))
Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t
(27)
esta ecuación cambia su forma. Si no queda invariante esto
significa quela mecánica cuántica está en conflicto con las
ecuaciones de Maxwell.
Este problema se evita, si damos la regla de transformación de
la funciónde onda Ψ(x, t), esto es, necesitamos encontrar una ley
de transformacióndefinida que nos permita pasar de la función de
onda
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) (28)
tal que la ecuación de Schroedinger quede invariante bajo la
transformaciónde norma dada por la ec (15), y tome la forma;(
12m
(−i∇− qA′
)2+ qV
′)
Ψ′(x, t) = i
∂Ψ′(x, t)∂t
(29)
si reescribimos esta ecuación de la manera siguiente:
12m
[−i(∇− iqA′
)]2Ψ
′(x, t) = i
(∂
∂t+ iqV
′)
Ψ′(x, t) (30)
Vemos que aqui podemos identificar a los operadores;
D′ = ∇− iqA′ D′0 =∂
∂t+ iqV ′ (31)
en función de estos operadores la ecución de Schodinger se
escribe como
12m
(−iD′
)2Ψ
′(x, t) = iD
′0Ψ
′(x, t) (32)
7
-
Asi que si encontramos una regla de transformación que permita
pasarde Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) , en este caso, la transformación
combinada
A → A′ = A +∇χ,
V → V ′ = V − ∂χ∂t
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) (33)
de la función de onda Ψ y de los campos vectorial A y escalar V
dejaninvariante la ecuación de Schrodinger y preserva la
invariancia de normade las ecuaciones de Maxwell en la mecánica
cuántica.
La regla de transformación de la función de onda Ψ requerida,
que dejainvariante la f́ısica es la siguiente
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (34)
esta ecuación nos dice que la transformación de norma del
potencial elec-tromagnético ec (15) induce un cambio de fase en la
ecuación de onda Ψ, yal ir de un punto a otro del espacio tiempo,
cambia la fase de la part́ıculadescrita por Ψ. Vemos pues que una
traslacion de los potenciales electro-magnéticos en espacio de
Minkowsky induce una traslación de la función deonda en el
espacio de Hilbert.
Veamos como se transforma el termino izquierdo de la ecuación
(29),(−i∇− qA′
)Ψ
′(x, t) = [−i∇− qA− q∇χ] eiqχ(x,t)Ψ(x, t)
= q∇χeiqχ(x,t)Ψ(x, t) + eiqχ(x,t)(−i∇Ψ(x, t))
+ eiqχ(x,t)(−qAΨ(x, t))− q(∇χ)eiqχ(x,t)Ψ(x, t)
el primer y el último termino de la derecha se cancelan, con lo
que obtenemos
(−i∇− qA′
)Ψ
′(x, t) = eiqχ(x,t) (−i∇− qA) Ψ(x, t) (35)
escrita con los operadores de la ec. (31),
−iD′Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t) (−iDΨ(x, t)) (36)
8
-
De igual manera tenemos para el operador de derivada temporal
que
iD′0Ψ
′(x, t) = i(
∂
∂t+ iqV
′)eiqχ(x,t)Ψ(x, t)
= i(∂
∂t+ iq(V − ∂χ
∂t))eiqχ(x,t)Ψ(x, t)
= eiqχ(x,t) (iD0Ψ(x, t)) (37)
para el término de la derivada segunda en la ecuación de
Schrodingerobtenemos
12m
(−iD′
)2Ψ
′(x, t) = eiqχ(x,t)
12m
(−iD)2 Ψ(x, t) (38)
si hacemos uso de la Ec. de Schodinger no transformada, el lado
derechose escribe como
12m
(−iD′
)2Ψ
′(x, t) = eiqχ(x,t)iD0Ψ(x, t) (39)
y sustituyendo la ecuacion (37) obtenemos
12m
(−iD′
)2Ψ
′(x, t) = iD
′0Ψ
′(x, t) (40)
como se requiere.
Asi que en conclusión, la invariancia de norma de las
ecuaciones deMaxwell se preserva en la mecánica cuántica siempre
y cuando se haga latransformación combinada dada en las ecs. (41)-
(34)
A → A′ = A +∇χ,
V → V ′ = V − ∂χ∂t
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (41)
9
-
3 El argumento invertido: La invariancia de normacomo principio
dinámico.
Si no conocemos las leyes de interacción fundamentales, podemos
derivarlasde la ecuación de movimiento de una part́ıcula libre si
demandamos queesta sea invariante bajo transformaciones de fase que
dependen del espacio-tiempo.
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (42)
En mecánica cuántica la ecuación de Schrodinger de una
particula librede masa m y carga q esta dada de la manera
siguiente
12m
(−i∇)2 Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t
(43)
Vamos a invertir el argumento, demandamos que esta ecuación
quedeinvariante bajo la transformación de fase de la ec.(42):
(−i∇)2
2mΨ(x, t) = i
∂Ψ(x, t)∂t
→ (−i∇)2
2mΨ
′(x, t) = i
∂Ψ′(x, t)∂t
(44)
para el termino derecho obtenemos que
i∂Ψ
′(x, t)∂t
= ieiqχ(x,t)(∂Ψ(x, t)∂t
+ iqΨ(x, t)∂χ(x, t)∂t
)(45)
Vemos que el segundo término arruina la invariancia de fase de
la ec.(44), y en consecuencia, la transformación de fase local no
es una simetŕıade la part́ıcula libre.
Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase y elevar la
invarianciade fase local a principio dinámico, devemos de ver la
manera de eliminarel término extra, asi que si sumamos un término
adicional a la derivadaordinaria ∂∂t , podriamos anular el término
extra:
∂
∂t→ D0 =
∂
∂t+(algo que cancele a iq
∂χ(x)∂t
)(46)
y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.
10
-
Si introducimos un campo escalar V ′ conocido como el campo de
norma,en abos lados de la Ecuación (45),
(i∂
∂t− qV ′)Ψ′(x, t) = ieiqχ(x,t)
{∂Ψ(x, t)∂t
+ iqΨ(x, t)∂χ(x, t)∂t
+ iqV ′Ψ(x, t)}
(47)
encontramos que siempre que V ′ = V − ∂χ(x,t)∂t obtenemos que
este ter-mino se transforma de la manera correcta.
i(∂
∂t+ iqV ′)Ψ
′(x, t) = ieiqχ(x,t)
(∂
∂t+ iqV
)Ψ(x, t) (48)
Bajo la accion de la transformación de fase, D0 se
transforma
D0Ψ(x, t) → D′0Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)D0Ψ(x, t) (49)
Para el término de la derivada espacial tenemos:
−i2m
∇Ψ′(x, t) = −i2m
∇(eiqχ(x,t)Ψ(x, t)
)=
−i2m
eiqχ(x,t) (iq∇χΨ(x, t) +∇Ψ(x, t)) (50)
vemos que el término iq∇χ arruina la invariancia de fase de la
ecuaciónde Schrodinger.
Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase y elevar la
invarianciade fase local a principio dinámico, devemos de ver la
manera de eliminarel término extra, asi que si sumamos un término
adicional a la derivadaordinaria ∂∂x , podriamos anular el término
extra:
∇ → D = ∇+ (algo que cancele a iq∇χ) (51)
y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.Para
restaurarla, debemos de introducir un campo qA′ conocido como
campo de norma de tal manera que cancele este término.
12m
(−i∇− qA′
)Ψ
′(x, t) =
−ieiqχ(x,t)
2m(iq∇χ+∇− iqA′
)Ψ(x, t) (52)
el término extra se cancela solo si A′ = A +∇χ, y obtenemos
que;
DΨ(x, t) → D′Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)DΨ(x, t) (53)
11
-
4 RESUMEN
Si demandamos que la ecuación de Schrodinger de una part́ıcula
libre
12m
(−i∇)2 Ψ(x, t) = i∂Ψ(x, t)∂t
(54)
sea invariante ante una transformación de fase local
Ψ(x, t) → Ψ′(x, t) = eiqχ(x,t)Ψ(x, t) (55)
vemos que la invariancia de fase local no es una posible para
una teoŕıade part́ıcula libre, y requiere que introduscamos los
campos de interacción
A y V (56)
conocidos como campos de norma, con leyes de transformación
biendefinidas
A → A′ = A +∇χ V → V ′ = V − ∂χ(x, t)∂t
(57)
Asi que la ecuación de Scrodinger que es invariante de fase
local
12m
(−i (∇− iqA))2 Ψ(x, t) = i(∂
∂t+ iqV
)Ψ(x, t) (58)
describe a una part́ıcula que no es libre y está sujeta a
interacciones conlos campos de norma.
Solo si se cumple que A y V se transforman de acuerdo a la
ecuación(57) podemos elevar la invariancia de norma a principio
dinṕamico.
12
-
5 Transformación de fase global
La dinámica de una part́ıcula relativista de masa m y espin 12
esta dada porla lagrangiana de Dirac,
L0 = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ (59)
con
pµ = −i 6 h∂
∂xµ(60)
De donde obtenemos a partir del principio de mı́nima acción la
ecuaciónde Dirac de una part́ıcula libre.
(6 p−m) Ψ = 0 (61)
Si exigimos que la lagrangiana de Dirac de la part́ıcula libre
sea invariantebajo la transformación de fase global
U = e+iα (62)
esto es, bajo esta transformación de fase,
L0 → L′= Ψ̄
′(γµpµ −m)Ψ
′y
Ψ → Ψ′ = e+iαΨ
Ψ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄e−iα (63)
como la fase α no depende del espacio-tiempo x, el término con
laderivada cambia de la manera siguiente
∂µΨ → (∂µΨ)′ = e+iα∂µΨ
= e+iα∂µU−1UΨ
= ∂µΨ′ (64)
vemos que la lagrangiana queda invariante
L′= L0 (65)
13
-
6 Transformación de fase local y Abeliana
Las transformaciones de fase que varian de punto a punto en el
espaciotiempo se llaman transformaciones locales, en este caso, la
fase depende delespacio tiempo a travez de las coordenadas x,
α = α(x) (66)
Si demandamos que la lagrangiana de la part́ıcula libre
L0 = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ (67)
sea invariante bajo la transformación de fase local
U = e+iα(x) (68)
bajo la acción de U , las funciones Ψ y Ψ̄ se transforman
como,
Ψ → Ψ′ = UΨΨ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄U † (69)
y para el termino con la derivada tenemos,
∂µΨ(x) → (∂µΨ(x))′ =(
+i∂α(x)∂xµ
Ψ(x) +∂Ψ(x)∂xµ
)e−iα(x) (70)
el termino que rompe la invariancia de fase de la lagrangiana
es
∂α(x)∂xµ
y la transformación de fase local no es una simetŕıa de la
part́ıcula libre.
Si deseamos que la teoŕıa sea invariante de fase local como
principiodinámico, devemos de ver como se transforma la derivada
es claro que sicambiamos derivada ordinaria ∂µ por la derivada
covariante Dµ
∂µ → Dµ = ∂µ +(algo que cancele a i
∂α(x)∂xµ
Ψ(x))
(71)
podriamos restaurar la invariancia de fase de la teoŕıa.
14
-
Asi que deseamos tener una derivada covariante Dµ tal que se
transformede la manera siguiente
DµΨ → (DµΨ)′= eiα(x)DµΨ (72)
Si multiplicamos por la unidad 1 = U−1U ,
DµΨ → (DµΨ)′= eiα(x)DµU−1UΨ (73)
vemos que la derivada covariante se debe de transformar de la
manera sigu-iente
Dµ → (Dµ)′= UDµU−1 (74)
si introducimos un campo vectorial Aµ conocido como el campo de
norma,tal que,
Dµ = ∂µ − ieAµ (75)en este caso, bajo la transformación de fase
la derivada covariante se escribecomo:
(∂µ − ieAµ) →(∂µ − ieA
′µ
)= U (∂µ − ieAµ)U−1
= ∂µ + U∂µU−1 − ieUAµU−1 (76)
escribimos U a primer orden de la manera siguiente,
U(x) ≈ 1 + iα(x) (77)
con esto obtenemos que la lagrangiana de una part́ıcula libre qj
queda in-variante si Aµ se transforma como
Aµ → A′µ = Aµ +
1e∂µα(x) (78)
Vemos que demandando invariancia de face local, hemos
introducido uncampo de norma Aµ que se acopla a la particula de
Dirac con carga eléctricae, esto es, hemos obtenido partiendo de
la lagrangiana de una particula libre,la lagrangiana de una
particula inmersa en un campo Aµ.
Lo → L = Ψ̄ (γµDµ −m)Ψ (79)la particula ya no es libre, esta
sujeta a fuerzas electromagneticas queaparecieron de forma
geometrica, Aµ es el potencial vectorial y la inde-pendencia de la
norma la garantizamos con el termino
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (80)
Si deseamos que Aµ sea un campo f́ısico devemos agregar a L el
termino dela enerǵıa cinetica de este campo, con esto tenemos la
lagrangiana completade la electrodinámica cuántica o QED por sus
siglas en ingles
L = Ψ̄ (γµpµ −m)Ψ + eΨ̄γµAµΨ −14
FµνFµν (81)
15
-
7 Transformación de fase local y no-abeliana
Veremos ahora como generalizar del caso electromagnético, el
principio deinvariancia local de fase.
Un elemento U del grupo no abeliano G esta dado de la manera
siguiente;
U = e−igTaαa(x) (82)
U esta definido por N constantes αa, T a son los generadores del
grupo G ysatisfacen el algebra de Lie[
T a, T b]
= ifa,b,cT c a, b, c = 1, 2, ..., N (83)
La acción del grupo G sobre los campo Ψ y Ψ̄ es la
siguiente
U : Ψ → Ψ′ = UΨU : Ψ̄ → Ψ̄′ = Ψ̄U−1 (84)
en cada caso, los generadores T del grupo se eligen apropiados
para la rep-resentación de Ψ.
La idea de Yang, Mills y Shaw al comparar con el caso del
electromag-netismo fué que si la fase α es función del espacio
tiempo, y el termino dela derivada arruina la invariancia de fase
de la teoŕıa, en este caso, la la-grangiana invariante de norma
local se construye con la derivada covarianteDµ,
U : DµΨ → (DµΨ)′ = UDµΨ
(DµΨ)′ = UDµU−1UΨ
(DµΨ)′ = D
′µΨ
′(85)
esto es, la derivada se transforma de la manera siguiente
D′µ = UDµU−1 (86)
con Dµ = ∂µ− igAµ se obtiene que bajo un grupo general y local
de Lie,el potencial vectorial Aµ se transforma como
Aµ → A′µ = Aµ +
i
gU(x)∂µU−1(x) + U(x)AµU−1(x) (87)
16
-
ComoU = e−igα
a(x)T a ≈ 1− igαa(x)T a
obtenemos sustituyendo en la expresión (88), que
A′µ = Aµ − igαa(x) [T a, Aµ]− T a [∂µαa(x)] (88)
si expresamos al campo de norma Aµ en la base de los generadores
delgrupo
Aµ = T aAaµ a = 1, ..., N (89)
obtenemos que Aaµ se transforma de la manera siguiente
Aaµ(x) → A′aµ (x) = A
aµ(x)− ∂µαa(x) + gfabcαb(x)Acµ(x) (90)
La construcción de la derivada covariante Dµ nos llevo a
intrucir N cam-pos de norma Aaµ donde N es la dimensión del grupo
de norma G.
Para un grupo SU(n), la dimensión del grupo es N = n2 − 1.
La lagrangiana invariante bajo el grupo de norma G es
L = −14F aµνF
µνa + L
(Ψ, Ψ̄, DµΨ, DµΨ̄
)(91)
con el campo de estress para los campos vectoriales Abµ dado
por
−igT aF aµν = [Dµ, Dν ] (92)
a diferencia del fotón, los bosones de norma tienen
autointeracción y estohace la teoŕıa distinta y no linenal
F bµν = ∂µAbν(x)− ∂νAbµ(x) + gf bcdAcµ(x)Adν(x) (93)
17
-
7.1 Cromodinámica Cuántica, QCD
De manera analoga podemos derivar la estructura de la
CromodinámicaCuántica, solo que en este caso, el grupo de norma
U(1) dado por
U(1) = eiα(x) (94)
es reemplazado por el grupo de norma no Abeliano SU(3), que es
elgrupo de las matrices unitarias de tres por tres con determinante
uno, ladimensión de SU(3) es ocho y un elemento de este grupo
es
U = eiαa(x)Ta a = 1, 2, ..., 8 (95)
con Ta los generadores del grupo SU(3), estos satisfacen el
álgebra deLie
[Ta, Tb] = ifa,b,cTc (96)
en esta expresión, fa,b,c son las constantes de estructura del
grupo.
Al igual que en la Electrodinámica cuántica, partimos de la
ecuación deDirac de una part́ıcula libre
L0 = q̄j (γµpµ −m) qj j = r , y , b (97)
en este caso qj es la función que representa al quark de color
j.
Si demandamos que la lagrangiana de Dirac del quark libre sea
invariantebajo una transformación de fase global U , elemento de
SU(3),
L0 → L′ = UL0 (98)
bajo la acción de este grupo, las funciones qj y q̄j se
transforman de lamanera siguiente
qj → q′j = Uqj
q̄j → q̄′j = q̄jU
−1 (99)
como el grupo es no abeliano, los generadores Ta no conmutan y
devemosintroducir ocho campos de norma Gaµ,
Dµ = ∂µ+ igT aGaµ a = 1, ..., 8 (100)
tales que se transformen de la manera siguiente,
Gaµ → G′aµ = G
aµ −
1g∂µα
a(x)− fabcαbGcµ (101)
18
-
aśı que como producto final obtenemos la Lagrangiana de la
CromodinámicaCuántica,
LQCD = q̄ (iγµ∂µ −m) q − g (q̄γµT aq)Gaµ −14GaµνG
µνa (102)
con
Gaµν = ∂µGaν − ∂νGaµ − fabcGbµGcν (103)
7.2 Las interacciones débiles, WI
En la descripción de las interacciones fuertes y
electromagnéticas, los bosonesde norma (gluones y fotones) deven
de permanecer sin masa, ya que la pres-encia de un boson de norma
con masa destruye la invariancia de norma dela Lagrangiana.
El problema que surge al construir la teoŕıa de las
interacciones débileses que al ser esta de corto alcanse, los
bosones de norma son masivos.
Como introducimos un término de masa para los bosones de norma
delas interacciones débiles?
Lmasa = m2WµWµ (104)
El mecanismo que nos permitira introducir estos bosones de norma
ma-sivos sin violar la invariancia de norma es el rompimiento
espontáneo de lasimetŕıa de norma SU(2).
19
-
Un grupo de Lie se puede definir por la representación de sus
elementosU = e−iTaαa en términos de sus generadores.
1. Las generadoras del grupo SU(2) por sus siglas en ingles
special uni-tary, esta formado por las matrices unitarias σi
conocidas como lasmatrices de Pauli:
σ1 =(
0 11 0
), σ2 =
(0 −ii 0
), σ3 =
(1 00 −1
), (105)
el algebra de Lie de estas matrices es[σi2,σj2
]= ifijk
σk2
(106)
2. Las generadoras del grupo SU(3),son las matrices λi conocidas
comolas matrices de Gell-Mann Zweig,
λ1 =
0 1 01 0 00 0 0
, λ2 = 0 −i 0i 0 0
0 0 0
, λ3 = 1 0 00 −1 0
0 0 0
,
λ4 =
0 0 10 0 01 0 0
, λ5 = 0 0 −i0 0 0i 0 0
, λ6 = 0 0 00 0 1
0 1 0
,
λ7 =
0 0 00 0 −i0 i 0
, λ8 = 1√3
1 0 00 1 00 0 −2
, (107)con el algebra de Lie
[λj2,λk2
]= ifjkl
λl2
(108)
como Tr(λj) = 0 y Tr(λkλl) = 2δkl tenemos que
fjkl =14iT r(λl[λj , λk]) (109)
f123 = 1
f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 =12
f458 = f678 =√
32
(110)
20
-
3. El grupo de las matrices unitarias de cinco por cinco con
determinanteuno se llama el grupo SU(5), las matrices La con a = 1,
..., 24 son lasgeneradoras de este grupo,
La =
0 0
λa 0 00 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0
, a = 1, 2, ..., 8 (son los generadores de SU(3)),
L9,10,11 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 σi0 0 0
, i = 1, 2, 3 (son los generadores de SU(2)),
L12 =1√15
−2 0 0 0 00 −2 0 0 00 0 −2 0 00 0 0 3 00 0 0 0 3
, e =
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
,
L13 =
0 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 0
, L14 =
0 0 0 i 00 0 0 0 00 0 0 0 0−i 0 0 0 00 0 0 0 0
,
L15 =
0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 0
, L16 =
0 0 0 0 00 0 0 i 00 0 0 0 00 −i 0 0 00 0 0 0 0
,
L17 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 0
, L18 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 i 00 0 −i 0 00 0 0 0 0
,
21
-
L19 =
0 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 0
, L20 =
0 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0−i 0 0 0 0
,
L21 =
0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 0
, L22 =
0 0 0 0 00 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 0 0 00 −i 0 0 0
,
L23 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 0 0
, L24 =
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 i0 0 0 0 00 0 −i 0 0
, (111)
el algebra de Lie de SU(5) es
[Li2,Lj2
]= ifijk
Lk2
(112)
22
-
8 El Modelo Estandard de las interacciones elec-trodébiles y
fuertes
El Modelo Estandard de las interacciones electrodébiles y
fuertes es unateoŕıa de norma y proporciona un marco téorico
consistente y bien definidoen el cual se unifican la
electrodinámica cuántica y las interacciones nucle-ares débiles
y nucleares fuertes.
El grupo de norma GME de la teoŕıa es un grupo semisimple local
y noabeliano,
GME = SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y (113)
con bosonoes de norma :
Gµi , i = 1, .., 8, Wµi , i = 1, 2, 3 y B
µ
y con acoplos de norma
g3, g2 y g1.
para los factores SU(3), SU(2), y U(1) respectivamente.El
mecanismo de Higgs del rompimiento espontáneo de la simetŕıa
de
norma SU(2)L ⊗ U(1)Y , da masas a los bosones de norma Z y W± y
a losfermiones; seis quarks y tres leptones.
Las masas mf de los fermiones se obtienen de las interacciones
de Yukawaformadas por los términos que acoplan el campo de Higgs
con dos camposfermiónicos,
mf = (vλf )/√
2,
λf se ajusta de los datos experimentales y se conoce como el
acoplo deYukawa del fermión f, y v es el valor de expectación del
vacio del campo deHiggs.
En el mecanismo de Higgs, se introduce un solo campo escalar Φ
conocidocomo campo o bosón de Higgs; que es singlete de SU(3)C y
doblete deSU(2)L.
23
-
8.1 Evidencia experimental
No hay aun suficiente información experimental que confirme o
que excluyade manera definitiva el bosón escalar de Higgs Φ que
surgiria del mecanismode Higgs, esto nos da la libertad de postular
la existencia de otros camposde Higgs.
Los datos experimentales existentes hasta hoy son consistentes
con unsolo boson de Higgs del Modelo Estandard siempre y cuando la
masa delbosón de Higgs
mhsm
esté en el rangomhsm ≤ 200 GeV
para que sea consistente con los analisis de presicion
electrodébiles, y
mhsm ≥ 114 GeV
para que sea consistente con los ĺımites experimentales de
LEP2.
Hay muchas razones teóricas para poner en duda la idea de que
el Mod-elo Estandard con un solo sector de Higgs en el cual solo
hay un doblete deHiggs sea la solucion correcta:
En el Modelo Estandard, no hay una explicación para el patrón
de masasque se observa.
Jerarqúıa de masas: experimentalmente se observa que fermiones
de lamisma carga pero de diferentes generaciones o familias tienen
una gran difer-encia en sus masas.
Para obtener los valores correctos de las masas de los fermiones
es nece-sario elegir de manera apropiada los parámetros de
Yukawa,
λf
esto hace que tomen valores en un intervalo de
O(10−6) a O(1)
En una primera aproximación se pueden tomar como nulas las
masas delas dos primeras familias.
24
-
La replicación de los fermiones: para explicar el espectro
observado depart́ıculas se introducen tres generaciones o familias
de fermiones, sin quehaya una razón teórica que explique por que
la naturaleza es aśı.
Las interacciones débiles violan la simetŕıa de conjugación
de carga yparidad (CP), particularmente en los decaimientos de los
mesones Ko [1] yBo [2], y este problema tampoco está completamente
explicado.
En el Modelo Estandard, la violación de CP se introduce
agregandocomo parámetro libre adicional una fase compleja en la
matriz de mezclasde los quarks para tres familias, llamada la
matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ó VCKM [3].
En el Modelo Estandard tal como está formulado, la matriz de
mezclasde los leptones, análoga es una matriz unidad ya que el
Modelo Estandardse formuló para neutrinos de masa nula.
Evidencia experimental reciente indica que en el sector
leptónico hayf́ısica mas allá del Modelo Estándar; en
particular: los experimentos deneutrinos han dejado establecido que
los neutrinos se mezclan y que proba-blemente tienen masa.
En el caso particular de los neutrinos sabemos por la evidencia
exper-imental obtenida de Kamiokande, del experimento Troitsk y los
reultadosobtenidos en PSI y LEP que las cotas para las masas de los
neutrinos sondiferentes de cero,
mνe < 3.9 eV mνµ < 170 KeV mντ < 18.2 MeV. (114)
estas cotas no nulas son la primer evidencia experimental de
f́ısica nuebaque muestra la necesidad de extender el marco del
Modelo Estandard.
Los neutrinos son dif́ıciles de detectar porque sólo participan
en la in-teracción electrodébil y su carga eléctrica es nula y
su masa es muy pequeña.
Si los neutrinos adquieren masa por el mecanismo de Higgs
mν =v√2λν (115)
el problema es que se requiere un acople de Yukawa muy pequeño
λν < 10−10
para poder explicar la magnitud de las masas mν < 10 eV .
En el Modelo Estándar, tal como está ahora formulado, no se
puedenintroducir términos de masa para los neutrinos debido a que
en el modelo
25
-
no hay una representación del grupo de norma donde podamos
acomodara los neutrinos derechos de tal modo que se puedan acoplar
con sus corre-spondientes neutrinos izquierdos para formar
términos de masa de Dirac.
Los términos de masa para los neutrinos se pueden clasificar en
tres tiposde acuerdo al acoplamiento de los campos de quiralidad
izquierda y derechadel neutrino con el campo de Higgs.
En el Modelo Estándar una masa tipo Dirac es aquella que
conecta com-ponentes izquierdas ψL y derechas conjugadas ψ̄R =
ψ
†Rγ
0 del mismo campo.
Para las part́ıculas que portan cualquier número cuántico U(1)
, comola carga electromagnética, una masa de Dirac es el único
término de masaposible, ya que para preservar estos números
cuánticos U(1) es necesariotener interacción
part́ıcula-antipart́ıcula.
Sin embargo, los neutrinos son una excepción a esta regla;
debido aque no tienen carga electromagnética, es posible
introducir otros tipos detérminos de masa ademas de los términos
de masa tipo Dirac.
Estos otros términos de masa violan la conservación del
número leptónicoy en algunos casos SU(2) × U(1), pero están
permitidos por la invarianciade Lorentz.
Una masa de tipo Majorana es aquella que conecta componentes
izquier-das ψL y derechas ψR de campos conjugados; podemos
introducir dos masasde Majorana diferentes.
El primer tipo de masa de Majorana acopla part́ıcula con
part́ıcula.
El segundo tipo de masa de Majorana, acopla antipart́ıcula con
an-tipart́ıcula.
26
-
Una teoŕıa mixta que contenga masas de Dirac y Majorana se
obtienecon la lagrangiana
LDM = MDψ̄LψR +MT ψ̄cLψL +MSψ̄cRψR + h.c. (116)
Una teoŕıa que contenga masas de Majorana viola la
conservación decualquier número aditivo que porten los campos
fermiónicos ψ, por ejemplola carga eléctrica, aśı que todos los
fermiones fundamentales, excepto losneutrinos, deben tener MT = MS
= 0.
Para neutrinos de Majorana, se viola el número leptónico por
dos unidadesy pueden ocurrir los decaimientos doble beta: (Z − 1) →
(Z + 1) + e+ e, olos decaimientos K− → π+ee del Kaón; si ocurren
estos decaimientos, éstaserá una evidencia experimental clara de
que existen neutrinos con masa deMajorana, hasta hoy las cotas
experimentales para que ocurran estos pro-cesos son nulas.
Si los eigenvalores de MT son nulos o muy pequeños y si los
eigenvaloresde MS son grandes comparados con los de MD, entonces el
espectro demasas de los neutrinos se puede separar en un sector de
neutrinos ligeroscuya matriz de masas de 3× 3 se escribe como;
(Mν)light = MTDM
−1S MD (117)
y un sector de neutrinos pesados cuya matriz de masas de 3×3 se
escribecomo;
(Mν)heavy = MS (118)
Este es el llamado mecanismo de see-saw que nos permite entender
lasmasas pequeñas para los neutrinos que son del orden de eV .
Existen varias posibilidades para dar masa a los neutrinos en el
ModeloEstándar;
• Extender el sector de Higgs
• Extender el sector de leptones, agregando la parte derecha de
los neu-trinos.
• Extender tanto el sector de Higgs como el sector
leptónico.
Estudiado la posibilidad de que la tercer hipótesis sea
correcta.
27
-
8.2 La simetŕıa de familias
Nos planteamos la posibilidad de construir un extensión del
Modelo Es-tandard en la que agregaremos un grupo de familias o
grupo de sabor quenos permita incluir de manera natural en las
representaciones irreduciblesdel grupo de sabor las tres familias
de fermiones fundametales que se obser-van en la naturaleza.
Una simetŕıa no abeliana de sabor podria explicar varios
fenómenos dela f́ısica del sabor que en la actualidad paresen
independientes, mas aun,podria dar una indicación de cual es la
f́ısica correcta mas allá del ModeloEstandard.
Estudiaremos la posibilidad de que tal simetŕıa del sabor
existe a la es-cala de Fermi y las implicaciónes fenomenológicas
de esta hipótesis.
La simetŕıa que estudiaremos es la simetŕıa permutacional
S3[?, ?], lacual es la simetŕıa no abelian mas pequeña.
El grupo S3 contiene las seis permutaciones posibles de de tres
objetos
(f1, f2, f3)
La representacin de tres dimenciones de S(3) se puede
descomponer enla suma directa de dos representaciones irreducibles,
un singlete
fs =1√3
(f1 + f2 + f3)
y un doblete
fD =
1√2(f1 − f2)
1√6(f1 + f2 − 2 + f3)
Esta es la simetŕıa de un triángulo regular y tiene una
interpretación
geométrica simple.
Si aceptamos que el grupo S3 como una simetŕıa fundamental en
el sectorde materia del Modelo Estandard.
28
-
El producto directo de dos doblets
pD =(pD1pD2
)y qD =
(qD1qD2
)contiene un singlete simétrico que es un invariante de
S(3)
rs = pD1qD1 + pD2qD2
y un singlete antisimétrico, que no es invariante de S(3)
rA = pD1qD2 − pD2qD1y un doblete
rD = ( rD1 rD2 ) = ( pD1qD2 + pD2qD1 pD1qD1 − pD2qD2 )
Esto nos lleva de manera automática a extender el sector de
Higgs, comoel Modelo Estandard solo contiene un Higgs Φ que es
doblete de SU(2)L,el cual solo puede ser un singlete del grupo de
imetŕıa de familias S3 ycomo el grupo S3 tiene solo dos
representaciones irreducibles, un singlete yun doblete, no hay una
razón convinsente de por que debe existir solo uncampo de Higgs Φ
que es singlete del grupo de familias S3.
Incluir en el Modelo Estandard la simetŕıa permutacional S3
implica nosolo la igualdad de tres objetos, implica también la
igualdad de sus repre-sentaciones irreducibles.
Una ventaja es que este grupo permite diferencias entre las
generacionesde las part́ıculas elementales que se realizan en la
naturaleza.
La extención del Modelo Estandard con el grupo de familias S3
es inmedi-ata, ademas del campo de Higgs HS del Modelo Estandard,
introduciremosun campo de Higgs HD que es doblete de S3.
Introduciremos también un neutrino derecho νR por cada sabor de
neu-trino izquierdo νL.
29
-
Finalmente, el contenido de campos de materia de quarks,
leptones yHiggs que se transforman como los singletes de S3
son:
QT3 = (uL, dL)3 , u3R, d3R, LT3 = (νL, eL)3 , e3R , ν3R , HS ,
(119)
los campos de materia de quarks, leptones y Higgs que se
transforman comolos dobletes de S3 portan los indices I, J que
corren de 1 a 2
QTI = (uL, dL)I , uIR , dIR , LTI = (νL, eL)I , eIR , νIR , HI
(120)
de esta manera, por cada uno de los campos de materia tenemos
tres especiesque forman una representación irreducible de 1S + 2.
Las interacciones deYukawa renormalizables mas generales con
simetria de familias exacta S3son:
LY = LYD + LYU + LYE + LYν , (121)
donde
LYD = −Yd1 QIHSdIR − Y d3 Q3HSd3R
− Y d2 [ QIκIJH1dJR +QIηIJH2dJR ]− Y d4 Q3HIdIR − Y d5 QIHId3R +
h.c., (122)
LYU = −Yu1 QI(iσ2)H
∗SuIR − Y u3 Q3(iσ2)H∗Su3R
− Y u2 [ QIκIJ(iσ2)H∗1uJR + ηQIηIJ(iσ2)H∗2uJR ]− Y u4 Q3(iσ2)H∗I
uIR − Y u5 QI(iσ2)H∗I u3R + h.c., (123)
LYE = −Ye1 LIHSeIR − Y e3 L3HSe3R
− Y e2 [ LIκIJH1eJR + LIηIJH2eJR ]− Y e4 L3HIeIR − Y e5 LIHIe3R
+ h.c., (124)
LYν = −Y ν1 LI(iσ2)H∗SνIR − Y ν3 L3(iσ2)H∗Sν3R− Y ν2 [
LIκIJ(iσ2)H∗1νJR + LIηIJ(iσ2)H∗2νJR ]− Y ν4 L3(iσ2)H∗I νIR − Y ν5
LI(iσ2)H∗I ν3R + h.c., (125)
y
κ =
(0 11 0
)and η =
(1 00 −1
). (126)
30
-
El Modelo Estandard extendido con simet́ıa de familias S3 nos
permiteintroducir términos de Majorana para los neutrinos
derechos
LM = −M1νTIRCνIR −M3νT3RCν3R, (127)
donde C es la matriz de conjugación de carga.
Debido a la presencia de los tres campos de Higgs, el potencial
de HiggsVH(HS ,HD) es mas complicado que el del Modelo
Estandard.
El potencial de Higgs invariante bajo SU(2)L × U(1)Y × S3 can be
ex-pressed as [?],[?],[?]:
V = µ12(H1H1 +H2H2) + µ02(H3H3) + a(H3H3)2 +
b(H3H3)(H1H1 +H2H2) + c(H1H1 +H2H2)2 +
d(H1H2 −H2H1)2 + g((H1H1 −H2H2)
2 + (H1H2 +H2H1)2) +
f [(H3H1)(H1H3) + (H3H2)(H2H3)] + (128)h[(H3H1)(H3H1) +
(H3H2)(H3H2) + (H1H3)(H1H3) +(H2H3)(H2H3)]
Podemos suponer que los valores de expectación sobre estados
del vaciode los campos de Higgs sean reales con
< H1 >=< H2 >
.1
Estos campos de Higgs también satisfacen la constricción
< HS >2 + < H1 >2 + < H2 >2' (246 GeV)2/2
.
1Ver por ejemplo [?] en donde se considera un potencial con tres
campos de Higgs consimetŕıa S3.
31
-
Entonces de las interacciones de Yukawa Then from the Yukawa
inter-actions (122)–(125) y (127) derivamos las matrices de masa,
con la formageneral siguienteone
M =
m1 +m2 m2 m5m2 m1 −m2 m5m4 m4 m3
. (129)Las masas de Majorana para los neutrinos izquierdos νL se
pueden
obtener del mecanismo de see-saw[?], y esta dada por
Mν = MνDM̃−1(MνD)
T
, dondeM̃ = diag(M1,M1,M3)
.Todas las entradas en la matriz de masas pueden ser complejas;
S3 no
impone ninguna restricción.
Aśı que en las matrices de masas hay 4× 5 = 20 parámetros
complejos,los cuales se deben comparar con los 4 × 9 = 36
parámetros del ModeloEstandard con masas de Majorana de los
neutrinos izquierdos.
Las matrices de masas se diagonalizan por matrices unitarias
U †d(u,e)LMd(u,e)Ud(u,e)R = diag(md(u,e),ms(c,µ),mb,(t,τ)),
(130)
UTν MνUν = diag(mν1 ,mν2 ,mν3). (131)
Como las masas diagonales m pueden ser complejas, las masas
f́ısicas estándadas por los módulos |m|.2
Las matrices de mezcla están definidas de la manera
siguiente
VCKM = U†uLUdL , VMNS = U
†eLUν . (132)
2Denotaremos las masas f́ısicas de los neutrinos por mνi , pero
νiL no son los eigenes-tados de masa.
32
-
Referencias
[1] J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch and R. Turlay.
Phys.Rev. Lett. 13, 138, (1964), G. D. Barr et al, Na31
Collaboration, Phys.Lett. B317, 233, (1993); KTeV Collaboration,
Phys. Rev. Lett. 83, 22,(1999); NA48 Collaboration: V. Fanti, et al
Phys. Lett. B465, 335,(1999);
[2] A. Abashian et al. (Belle Collaboration) Phys. Rev. Lett.
86, 2509-2514,(2001); (The BABAR Collaboration), B. Aubert et al,
Phys. Rev. Lett.86, 2515-2522, (2001); B. Aubert, et al., (The
BABAR Collaboration),Phys. Rev. Lett. 87, 091801, (2001); T.E.
Coan,et al., CLEO Collabo-ration Phys. Rev. Lett. 86, 5661-5665,
(2001).
[3] Review of Particle Physics, Eur. Phys. J.C15, 1, (2000).
[4] M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49, 652,
(1973).
[5] L.L. Chau and W.-Y. Keung, Phys. Rev. Lett. 53, 1802, (1
984).
[6] L. Wolfenstein, Phys. Rev. Lett. 51, 1945 (1983).
[7] J. C. Pati and A. Salam Phys. Rev. Lett. 31, 661, (1973); H.
Georgiand S. L. Glashow, Phys. Rev. Lett. 32, 438, (1974).
[8] J. N. Bahcall, Astrophysics.J. 467 (1996) 475)
[9] B. T. Cleveland et al., Nucl. Phys.B (Proc Suppl.) 31 (1995)
47;
[10] R. Davis, Prog. Part. Nucl. Phys.32 (1994) 13.
[11] Homestake Collaboration, R. Davis Jr., Prog. part. Nucl.
Phys.32(1994) 13.
[12] Y. Fukuda et al. (Kamiokande Collaboration), Phys. Rev.
Lett. 77(1996) 1683.
[13] SuperKamiokande Collaboration, Y. Fukuda et al., Phys. Rev.
Lett.81(1998) 1158; Erratum 81 (1998) 4279.
[14] W. Hampel et al. (GALLEX Collaboration),Phys. Lett. B388
(1996)384; J. N.,
[15] Gallex Collaboration, W. Hampel et al., Phys. Lett.B447
(1999) 127.,
[16] Abdurashitov et al. (SAGE Collaboration), Phys. Rev.
Lett.77 (1996)4708.)
33
-
[17] R. D. Peccei, “Neutrino Physics”, 80, (1999),
hep-ph/9906509. AIPConference Proceedings de la Octava Escuela
Mexicana de Part́ıculasy Campos, Oaxaca, México (1998), Ed. Juan
Carlos D’Olivo, GabrielLópez Castro y Myriam Mondragón.
[18] hep-ph/0005011, V. Barger, Overview of neutrino oscillation
physics.
[19] T. K. Gaisser, F. Halzen, and T. Stanev, Phys. Rep.258
(1995) 173)
[20] Kamiokande [K. S. Hirata et al. Phys. Lett B205 (1998) 416,
B280(1992) 145;
[21] Y. Fukuda et al. Phys. Lett.B335 (1994) 237]
[22] C. Athanassopoulos et al. (LSND Collaboration), Phys. Rev.
Lett. 75(1995) 2650.,
[23] C. Athanassopoulos et al. (LSND Collaboration), Phys. Rev.
Lett.77(1996) 3082.
[24] C. Athanassopoulos, Phys. Rev. Lett.75, 2650 (1995);
[25] Phys. Rev. Lett. 77, 3082 (1996); Phys. Rev. Lett.81, 1774
(1998).
[26] D. Buskulic et al. (ALEPH Collaboration), Z. Phys.C 60
(1993) 71;
[27] B. Adeva et al. (L3 Collaboration), Phys. Lett.B 237 (1990)
136.
[28] C. Y. Cardall and G. M. Fuller, Phys. Rev.D 53 (1996)
4421)
[29] J. Kubo, Nucl. Phys.B259, 331, (1985); D. Kapetanakis, M.
Mon-dragón, G. Zoupanos Z.Phys.C60, 181, (1993); M. Mondragón and
G.Zoupanos, Nucl. Phys.B, 37 C, 98, (1995); J. Kubo, M.
Mondragónand G. Zoupanos, Nucl.Phys.B424, 291, (1994).
[30] A. J. Parkes and P. C. West Phys. Lett. B138, 99, (1984);
Nucl. Phys.B256, 340, (1985); D. R. T. Jones and A. J. Parkes Phys.
Lett. B160,267, (1985); D. R. T. Jones and L. Mezinescu, Phys.
Lett. B136, 242,(1984); Phys. Lett. B138, 293, (1984); A. J. Parkes
Phys. Lett. B156,73, (1985); S. Hamidi, J. Patera and J. H.
Schwarz, Phys. Lett. B141,349, (1984); J. E. Bjorkman, D. R. T.
Jones and S. Raby, Nucl.Phys.B259, 503, (1985); J. Leon et al,
Phys.Lett. B156, 66, (1985); X. D.Jiang and J. Shou Phys.Lett.
B197, 156, (1987); Phys.Lett. B216,160, (1989); I. Jack, D. R. T.
Jones Phys.Lett. B333, 372, (1994).
[31] A. V. Ermushev, D. I. Kasakov and O. V. Tarasov, Nucl.
Phys. B281,72, (1987); D. I. Kazakov, Phys. Lett. B179, 352,
(1986); C. Lucchesi,O. Piguet and K. Sibold, Helv. Phys. Acta 61,
321, (1988);
34
-
[32] W. Zimmermann, Commun. Math. Phys. 97, 211, (1985); R.
Oehmeand W. Zimmermann, Commun. Math. Phys. 97, 569, (1985).
[33] T. Kobayashi, J. Kubo, M. Mondragón, G. Zoupanos, Int.
Jour. Mod.Phys. A Vol. 16, 2053,(2001).
[34] K. S. Babu, Ts. Enkhbat, I Gogoladze, hep-ph/0204246, E.
Ma, G.Rajasekaran, Phys. Rev. D64, 113012, (2001).
[35]
[36] A. Mondragón and E. Rodŕıguez-Jáuregui, Rev. Mex. Fis.
44, (S1),33, (1998), see also hep-ph/9804267, A. Mondragón and E.
Rodŕıguez-Jáuregui, Phys. Rev . D59, 093009, (1999), A.
Mondragón andE. Rodŕıguez-Jáuregui, Phys. Rev . D61, 113002,
(2000), A. Mon-dragón and E. Rodŕıguez-Jáuregui, Rev. Mex. Fis.
en prensa, ver hep-ph/0003104.
[37] Harald Fritzsch, Z.Z. Xing, hep-ph/0212195
[38] C. D. Froggatt, ”Seventh Lomonosov Conference on Elementary
Parti-cle Physics”, hep-ph/9511400; Stuart Raby, hep-ph/9501349;
He, Phys.Rev. D41, 1630, (1990), Ma, Phys. Rev. Lett.64, 2866,
(1990).
[39] Howard Georgi, A. Pais Phys. Rev. D10, 1246, (1974).
[40] M. Carena, J. Ellis, A. Pilaftsis, C. E. M. Wagner Nucl.
Phys.B586,92-140, (2000); M. Carena, J. Ellis, A. Pilaftsis, C.E.M.
Wagner Nucl.Phys.B625, 345-371, (2002).
[41] G. C. Branco, D. Emmanuel-Costa, R. González Felipe, Phys.
Lett. B483, 87-93, (2000); R.G. Roberts, A. Romanino, G.G. Ross,
L.Velasco-Sevilla, Nucl. Phys.B615, 358-384, (2001).
[42] G.G. Ross, L. Velasco-Sevilla, hep-ph/0208218.
[43] Yosef Nir, hep-ph/0208080
[44] Lawrence J. Hall, Hitoshi Murayama, Phys. Rev. Lett.75,
3985-3988,(1995).
35