BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁNchauthongphan.weebly.com/uploads/6/5/0/6/65061775/chuong_4_4._uoc... · Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

Giảng viên

ThS. Lê Trƣờng Giang

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING

KHOA CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

Chƣơng 3

MẪU NGẪU NHIÊN VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG

Bài 3

ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

& THỐNG KÊ TOÁN

Bài 3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể

3.1.2. Ví dụ minh họa

3.1.1. Xây dựng khoảng

ƣớc lƣợng

3.1. Ƣớc lƣợng

khoảng cho tỷ lệ

tổng thể 3.1.3. Bài tập nhóm

3.2.Khoảng ƣớc lƣợng một phía

3.2.1. Tối đa

3.2.2.Tối thiểu

Tài liệu tham khảo

1. Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán,

Trƣờng Đại học Tài Chính - Marketing.

2. Tập bài giảng Xác suất và Thống kê Toán – Lê Trường Giang.

3. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –NXB GDVN.

4. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết xác suất và

thống kê-NXBĐHQG TpHCM.

5. Trần Lộc Hùng (2005)- Giáo trình Xác suất Thống kê –NXB GDVN.

6. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012) – Giáo trình

Lý thuyết xác suất và Thống kê – NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, HN.

Bài 3. Ước lượng khoảng tham số tỉ lệ tổng thể

Giả sử trong tổng thể ta quan tâm những phần tử có

tính chất A với tỷ lệ là p chưa biết. Từ tổng thể, ta

chọn ra một mẫu gồm n phần tử, kiểm tra mẫu này ta

có tỷ lệ phần tử có tính chất A là f. Với một mẫu

chọn được, cùng với độ tin cậy cho trước , nhiệm

vụ của bài toán ƯLTL là cần xác định khoảng

sao cho

1

1 2,p p

1 2

1P p p p

3.1. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể

Cho là mẫu ngẫu nhiên của tổng

thể X có tỉ lệ p,

F là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên,

f là tỉ lệ mẫu cụ thể,

n là kích thước mẫu,

là độ tin cậy của ước lượng.

Ta xây dựng khoảng ước lượng (đối xứng) cho p:

1

1 2, , ..., nX X X

XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG

0,1

1

dF p

G Z N

p p

n

Khi đó

1

1 1 1 1

2 2 2 2

1P z G z P G z P G z

Theo đlghtt, ta có

1

2

1

2

z

z

1

2

1

2

;

2

1 .

2

P G z

P G z

Với

ta cần xác định thỏa mãn

XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG

1 1

2 2

1 *

1

F pP z z

p p

n

1 1

2 2

1 1

1

F F F F

P F z p F z

n n

Khi n đủ lớn, theo đlghtt ta có thể thay

Suy ra

1 1X Xp p s F F

Khi đó, từ (*) ta suy ra

2

1; .,

f fz

nf f

Vậy , trên mẫu cụ thể ta thay F bởi f, ta đƣợc khoảng ƣớc

lƣợng của p với độ tin cậy 1

0

1

2

z 1

2

z

/ 2 / 2

1

30

5

1 5

n

nf

n f

Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm

dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu

nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời

nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Hãy ƣớc

lƣợng (khoảng đối xứng) tỉ lệ cử tri bỏ phiếu

cho ông A với độ tin cậy 95%.

Ví dụ 1

Hướng dẫn tra bảng

X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2,1

0.0000

0389

0793

1179

1554

1915

2257

2580

2881

3159

3413

3643

3849

4032

1492

4332

4452

4554

4641

4713

4772

4821

0.0040

0438

0832

1217

1591

1950

2291

2611

2910

3186

3438

3665

3869

4049

4207

4345

4463

4564

4649

4719

4778

4826

0.0080

0478

0871

1255

1628

1985

2324

2642

2939

3212

3461

3686

3888

4066

4222

4357

4474

4573

4656

4726

4783

4830

0.0120

0517

0910

1293

1664

2019

2357

2673

2967

3238

3485

3708

3907

4082

4236

4370

4484

4582

4664

4732

4788

4834

0.0160

0557

0948

1331

1700

2054

2389

2703

2995

3264

3508

3729

3925

4099

4251

4382

4495

4591

4671

4738

4793

4838

0.0199

0396

0987

1368

1736

2088

2422

2734

3023

3289

3531

3749

3944

4115

4265

4394

4505

4599

4678

4744

4793

4838

0.0239

0636

1026

1406

1772

2123

2454

2764

3051

3315

3554

3770

3962

4131

4279

4406

4515

4608

4686

4750

4803

4846

0.0279

0675

1064

1443

1808

2157

2486

2794

3078

3340

3577

3790

3980

4147

4292

4418

4525

4616

4693

4756

4808

4850

0.0319

0714

1103

1480

1844

2190

2517

2823

3106

3365

3599

3810

3997

4162

4306

4429

4535

4625

4699

4761

4812

4854

0.0359

0753

1141

1517

1879

2224

2549

2852

3133

3389

3621

3830

4015

4177

4319

4441

4545

4633

4706

4767

4817

4857

Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)

2

0

0

1exp

22

x

tx dt

4750

0.95; 0,475

2

1,96 z z0

2

0,4752

z

1.9

.06

Ví dụ 1

+ Ta nhận thấy

Hƣớng dẫn

100 30

60 5

1 40 5

n

nf

n f

+ Sai số (độ chính xác) của ước lượng

2

1 0,6. 1 0,6

1,96. 0,096

100

f f

z

n

+ Khoảng ước lượng tỉ lệ ; 0,504;0,696 .f f

Ví dụ 2

Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ

luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời

để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu

cho ông A. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân bỏ phiếu cho

ông A với độ tin cậy 90% và sai số không vƣợt quá 2%

thì cần phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu ngƣời nữa.

Ví dụ 2

Độ chính xác của ước lượng được xác định

2

1f fz

n

Theo giả thiết ta có

2

0,45 2

2

2

2

1 1

0,02 0,02

0,02

0,6.0,41,645 1623,615

0,02

f f f f

z n z

n

n n

Vậy cần phải điều tra thêm ít nhất là 1524 người.

Hướng dẫn

Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ

Bƣớc 1 Xác định các tham số

(n, f, )

Bƣớc 2

Tính độ chính xác (mức sai số)

Bƣớc 3

Kết luận

1

2

2

22

11 f fn z

f f

nz

;p f f

3.2. Khoảng ước lượng một phía

1

2

1.

f fp f z

n

Khoảng tin cậy tối đa của p với độ tin cậy 1

1

2

1.

f ff z p

n

Khoảng tin cậy tối thiểu của p với độ tin cậy 1

Ví dụ 3

Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy

sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với mức ý nghĩa

5%,

a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy

đó.

b) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của

nhà máy đó.

Hướng dẫn tra bảng

X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2,1

0.0000

0389

0793

1179

1554

1915

2257

2580

2881

3159

3413

3643

3849

4032

1492

4332

4452

4554

4641

4713

4772

4821

0.0040

0438

0832

1217

1591

1950

2291

2611

2910

3186

3438

3665

3869

4049

4207

4345

4463

4564

4649

4719

4778

4826

0.0080

0478

0871

1255

1628

1985

2324

2642

2939

3212

3461

3686

3888

4066

4222

4357

4474

4573

4656

4726

4783

4830

0.0120

0517

0910

1293

1664

2019

2357

2673

2967

3238

3485

3708

3907

4082

4236

4370

4484

4582

4664

4732

4788

4834

0.0160

0557

0948

1331

1700

2054

2389

2703

2995

3264

3508

3729

3925

4099

4251

4382

4495

4591

4671

4738

4793

4838

0.0199

0396

0987

1368

1736

2088

2422

2734

3023

3289

3531

3749

3944

4115

4265

4394

4505

4599

4678

4744

4793

4838

0.0239

0636

1026

1406

1772

2123

2454

2764

3051

3315

3554

3770

3962

4131

4279

4406

4515

4608

4686

4750

4803

4846

0.0279

0675

1064

1443

1808

2157

2486

2794

3078

3340

3577

3790

3980

4147

4292

4418

4525

4616

4693

4756

4808

4850

0.0319

0714

1103

1480

1844

2190

2517

2823

3106

3365

3599

3810

3997

4162

4306

4429

4535

4625

4699

4761

4812

4854

0.0359

0753

1141

1517

1879

2224

2549

2852

3133

3389

3621

3830

4015

4177

4319

4441

4545

4633

4706

4767

4817

4857

Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)

2

0

0

1exp

22

x

tx dt

4505

0 0,5 0,450,05 0,5 0,45 1,645z z

1.6

.05

Ví dụ 3

Ta có

1

2

200,05

400

1 0,05.0,951,645. 0,0179

400

f

f f

z

n

a) Khoảng tin cậy tối đa

0,0679p f

b) Khoảng tin cậy tối thiểu

0,0321p f

Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ

Bước 1: Xác định

Kích thước mẫu: n Tỉ lệ mẫu: f Độ tin cậy:

Bước 2: Tính độ chính xác

I. Đối xứng

II. Một phía

2

1f f

nz

Bước 3: Kết luận i. Khoảng tin cậy đối xứng ii. Khoảng tin cậy tối đa iii. Khoảng tin cậy tối thiểu

1

;p f f

p f p f

1

2

1f fz

n

Bài 1. Một vùng có 3000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu

tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó ngƣời ta nghiên

cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 74 gia đình có nhu

cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95% hãy ƣớc

lƣợng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa

đó.

Bài 2. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân có mức thu nhập trên

10 triệu đồng ở TP. HCM với độ tin cậy 95%, sai số không

vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra với số lƣợng bao nhiêu

ngƣời, biết rằng tỉ lệ thực nghiệm là 0,8.

Bài 1

+ Ta nhận thấy

Hƣớng dẫn Bài 1

100 30

74 5

1 26 5

n

nf

n f

+ Độ chính xác của ước lượng

2

1 0,74. 1 0,74

1,96. 0,086

100

f f

z

n

+ Khoảng ước lượng tỉ lệ 0,654;0,826 .

+ Kết luận (1962; 2478)

+ Gọi M …, suy ra 3000

Mp

Bài 2

Độ chính xác của ước lượng được xác định

1

2

1f fz

n

Theo giả thiết ta có

2

2

2 2

2

2

1 1

0,02 0,02

0,02

0,8.0,21,96 1536,64

0,02

f f f f

z n z

n

n n

Vậy cần phải điều tra ít nhất là 1537 người

Hướng dẫn Bài 2

Bài 3. Từ một lô hàng gồm 5000 sản phẩm, ngƣời ta chọn

ngẫu nhiên ra 500 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 450

sản phẩm loại A.

a) Hãy ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với

độ tin cậy 95%?

b) Nếu muốn ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt

độ chính xác nhƣ câu a) và độ tin cậy 99% thì cần kiểm tra

thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

c) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ sản phẩm loại A của lô hàng

đạt độ chính xác ε = 2, 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu %?

Đáp số

a) (4369; 4632) sản phẩm.

b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa.

c) độ tin cậy là 93.72%.

Đáp số

a) (4369; 4632) sản phẩm.

b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa.

c) độ tin cậy là 93.72%.

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!