B.Goetze, GFaI Berlin Stralsund, 25.7.2003

B.Goetze, GFaI BerlinStralsund, 25.7.2003

C

A

S

Planarisierung von Graphen und Netzwerken

Überblick

Zur Historie

VinetS-Aktivitäten zur Planarität

Topologische Einbettung

DMP für Graphen

DMP für Netzwerke

Zur Historie Euler: Polyedergleichung Kuratowski: Charakterisierung planarer

Graphen, 1930 Tutte: Barycenter-Algorithmus, 1960 Demoucron, Malgrange, Pertuiset:

Planaritätstest, « DMP-Algorithmus », 1964 Hopcroft, Tarjan: Planaritätstest in O(n), 1974 G. Kant: Geometrische Einbettung im Gitter,

O(n), 1996 Boyer, Myrvold: Planare Einbettung in O(n),

2001

VinetS-Aktivitäten zur Planarität Einarbeitung in Hopcroft-Tarjan

(Stralsund) Diplomarbeit zum Algorithmus von Boyer-

Myrvold (Törsel) Diplomarbeit zum DMP-Algorithmus

(Haak) Implementierung des Algorithmus von

Kant (Haak) Implementierung von DMP und Tutte in

C++ (Goetze) Problemanalyse zur Planarisierung von

Netzwerken (Goetze, Scheffler)

Topologische Einbettung

Übergang

Abstrakter Graph

Menge von Facetten Planaritätsaussage

Topologische Einbettung

1

4

32 65

7

1011 12

13

14 15

16

8 9

F0

F1

F2

F3

F4

F5F6

F7

F8

F9

Topologische Einbettung

F0=(9,11,12)F1=(5,9,6)F2=(12,15,13) . . .F9=(7,16,1,4)

10 2

1

F7

65

9

F1

14 15

16

F3

F4

8

10

14

11 32

8

F5

4

3 5F6

11 12

9

F0

613

7

F8 F9

16

1

4

7

12

15 13F2

Topologische Einbettung

Äußere Facette nicht festgelegt

F9

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Topologische Einbettung

F0F9

F6

F5

F7F4

F3

F1

F8

F2

F1

F2

F3

F4

F5

F6 F8

F7F9

F0

DMP-Algorithmus

9

111

3

2

6

5

78

4

10

Gegeben:

2-fachzusammen-hängender

Graph

DMP-Algorithmus

9

111

3

2

6

5

78

4

10

Zyklus

DMP-Algorithmus

9

1

11

3

2

6

5

7

8

4

10

Zyklustopologisch

einbetten

DMP-Algorithmus

9

1

11

3

2

6

5

7

8

4

10

Fragmentierung

DMP-Algorithmus

9

1

11

3

2

6

5

7

8

4

10

Fragmentierung

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

Einbettungder

Fragmente

DMP-Algorithmus

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

TopologischeEinbettung

AlsoPlanarität

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

Eine Facettewird alsäußere

deklariert

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

Knoten der äußereFacette werden

auf konvexemPolygon

angepinnt

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

Kräftegleichgewicht

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

x

x

x

x

Triangulierung 3-fach

zusammen-hängend

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

x

x

x

x

Tuttekonvergiert,

Bild ausgewogen

Geometrische Einbettung

9

1

2

6

5

7

8

4

11

3

10

Netzwerke

Hyperkanten

Knoten mit Shapes (z.B. Rechtecke)

Pins; vorgeschriebene Reihenfolge

Knotenhierarchie

Netzwerk: Hyperkanten

Reduktion: Hypergraph Graph

Am Pseudoknoten beliebige Pin-Reihenfolge erlaubt

Netzwerk: fixierte Pins

1

23

4

5 6 7

1

23

4

5

6

7

Netzwerk: fixierte Pins

b d g

e

c

f

a

b

d

g

e

c

f

a

b

d g

e

c

f

a

fecdgbaabgdcefbgdcefa ),,,,,,(),,,,,,(

Pin-Zyklen

Netzwerk: Pin-Restriktionen

c

d

e a

b&

},,,,,{ abedcabecdabdecabdceabcedabcdeMPZ

MPZ(v) = MPZ(Type)

XF-Restriktion: Klasse von fixierten Pins Klasse von freien Pins

Netzwerk: Pin-Restriktionen

c

d

b &

e

f

a &

e

f

a &

c

d

b &

},{},,{,,,},{},,{,, dcfeabfedcba

kontextsensitive Restriktionen

DMP unter Pin-Restriktionen

p1

F0

F1

F2

F3

v

p2 p3

p4

p5

54321 ppppppartCycle

partielle Einbettungen

partielle Pinzyklen

DMP unter Pin-Restriktionen

Zuordnung: Fragment Facette

Ist Zuordnung zulässig?

Sind die eintstehenden partiellen Pin-Zyklen an den beteiligten Kontaktknoten

zulässig?

DMP unter Pin-Restriktionen

p1

F0

F1

F2

F3

v

p2 p3

p4

p5 p

54321' pppppppartCycle

Erweiterbar zu Element von MPZ(v)?

DMP unter Pin-Restriktionen

boolallowedPartialPinCycle (Type type, Partial_Pin_Cycle partCycle);

In DMP wird Backtracking erforderlich

ENDE