Einf¨ uhrung Der Algorithmus von de-Casteljau Die Bernsteinform einer Bezier-Kurve Ableitungen von Bezier-Kurven Bezier-Kurven Hamid Fetouaki, Emma Skopin Universit¨ at Kassel FB Mathematik/Informatik 28. Januar 2009 Hamid Fetouaki, Emma Skopin Bezier-Kurven
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EinfuhrungDer Algorithmus von de-Casteljau
Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Bezier-Kurven
Hamid Fetouaki, Emma Skopin
Universitat KasselFB Mathematik/Informatik
28. Januar 2009
Hamid Fetouaki, Emma Skopin Bezier-Kurven
EinfuhrungDer Algorithmus von de-Casteljau
Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Motivation
Bis in den spaten 50er Jahren:
Zeichnung der Kurven am Papier
Fertigung der Modelle aus Holz und Ton
Einsetzung der Master-Modelle aus Gips fur dieKopiermaschinen
Seit 1955
Entwicklung und Einsetzung der (Numerical Control)NC-Maschinen
Interpretation der geometrischen Daten
Ubertragung dieser Daten auf die Maschinen
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Paul de-Casteljau
19. November 1930 geboren
Studium der Mathematik und Physik an der ENS
Wehrdienst im Algerienkrieg
1958 - Anfang der 1990 bei Citroen
Als Physiker in der Groupe DeterminationMathematique des Carrosseries
Veroffentlichung der Ergebnisse beim INPI
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Pierre Bezier
1. September 1910 geboren
25 November 1999 gestorben
1930 Diplom an der ENS d’arts et Metiers
1931 Diplom an der Ecole Superieured’electricite
1933 – 1975 Ingenieur bei Renault
1977 Dr. Title in der Mathematik von derUniversitat Paris
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Historie
Parallele Entdeckung der selben Formel
Rechtsstreit: de-Casteljau ⇔ Bezier
Die allgemeine Formel und damit die Kurven wird folglichnach Pierre Bezier benannt (Bernstein-Bezier-Polynom,Bezier-Kurve/Flache)
Das zugrunde liegende Konstruktionsprinzip wird nachde-Casteljau (de-Casteljau-Algorithmus) benannt.
Jahre spater konnten die Bezier-Kurven unmittelbar zur Steuerungvon NC-Frasen herangezogen werden.Z Anstoß zu parallelen Weiterentwicklungen in anderenIndustriebereichen wie Schiffsbau und Luftfahrt.
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
1 Einfuhrung
2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus
3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Lineare Interpolation
Gegeben seien zwei verschiedene Punkte a, b ∈ E3
Die Menge aller Punkte x ∈ E3 der Form
x = x(t) = (1− t)a + tb; t ∈ R (∗)
wird Gerade durch die Punkte a und b genannt.
Fur t ∈ [a, b] liegt der Punkt x zwischen a und b
(∗) stellt eine baryzentrische Kombination zweier Punkte im E3
dar. Diese ist als gewichtete Summe von Punkten definiert, wobeidie Gewichte sich zu Eins aufaddieren mussen.
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Lineare Interpolation
Abbildung: Lineare Interpolation: Punkte a, b beschreiben eine Gerade,die durch Sie durchgeht.
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Parabel Konstruktion
Seien nun b0, b1, b2 drei beliebige Punkte im E3, und sei t ∈ R.
Wir bilden nun:
b10 (t) = (1− t) b0 + tb1, (1)
b11 (t) = (1− t) b1 + tb2, (2)
b20 (t) = (1− t) b1
0 (t) + tb11 (t) . (3)
Durch einsetzen von (1) und (2) in (3) erhalten wir:
b20 (t) = (1− t) b1
0 (t) + tb11 (t)
= (1− t) [(1− t) b0 + tb1] + t[(1− t) b1 + tb2]
= (1− t)2 b0 + 2t (1− t) b1 + t2b2.
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Parabeln
b20(t) ist ein quadratischer Ausdruck in t (der hochgestellte
Index gibt den Grad an).
Fur t ∈ (−∞,∞) erzeugt er somit eine Parabel, die wir mitb2 bezeichnen.
Diese Konstruktion ist nicht weiter als wiederholte lineareInterpolation.
Parabeln sind immer ebene Kurven, da b2(t) immer einebaryzentrische Kombination dreier Punkte ist.
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Beispiel
Abbildung: Konstruktion einer Parabel durch wiederholte lineareInterpolation.
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
1 Einfuhrung
2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus
3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
de-Casteljau-Algorithmus
Gegeben:b0, b1, b2, . . . , bn ∈ E3, t ∈ R,
Setze:
bri (t) = (1− t) br−1
i (t) + tbr−1i+1 (t) fur
{r ∈ {1, . . . , n} und
i ∈ {0, . . . , n − r}(4)
b0i (t) = bi . (5)
Ausgabe:bn0(t) ist der Punkt auf der Bezier-Kurve bn, der dem
Parameterwert t entspricht.
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Bezeichnungen
Das Polygon P, das durch die Punkte b0, b1, . . . , bn
dargestellt wird, wird Bezierpolygon oder Kontrollpolygonder Kurve bn genannt.
Die Polygonecken bi werden Kontrollpunkte oderBezierpunkte genannt.
Die Zwischenpunkte bri (t) konnen wir in einer Dreiecksform
anordnen, dem sogenannten de-Casteljau-Schema.
Als Beispiel betrachten wir den Fall fur eine planare kubischeKurve an der Stelle t = 1
2 :
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Parabelnde-Casteljau-Algorithmus
Beispiel fur t = 12
b0 =[ 0
0
]b10 =
[ 01
]b1 =
[ 02
]b20 =
[ 232
]b11 =
[ 42
]b30 =
[ 72
32
]b2 =
[ 82
]b21 =
[ 532
]b12 =
[ 61
]b3 =
[ 40
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Beispiel fur t = 12
Abbildung: Das Berechnen eines Punktes auf einer Bezier-Kurve mit demde-Casteljau-Algorithmus.
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
1 Einfuhrung
2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus
3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
Bernsteinpolynome
Definition 3.1
Das i-te Bernsteinpolynom vom Grad n ist definiert durch:
Bni (t) :=
(n
i
)t i (1− t)n−i , (6)
wobei die Binomialkoeffizienten durch:(n
i
)=
{n!
i!(n−i)! falls 0 ≤ i ≤ n
0 sonst
gegeben sind.
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Die Bernsteinform einer Bezier-KurveAbleitungen von Bezier-Kurven
Beweis:Folgt aus Satz 3.3, Definition von baryzentrischen Kombinationenund (10). �
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Satz 3.5
Bezier-Kurven lassen sich mittels der Zwischenpunkte bri wie folgt
darstellen:
bn (t) =r∑
i=0
bn−ri (t)B r
i (t), wobei r ∈ {0, . . . , n} . (13)
1 D.h. berechne zuerst die n − r Stufen desde-Casteljau-Algorithmus in abhangigkeit von t,
2 betrachte die resultierenden Punkte bn−ri (t) als
Kontrollpunkte einer Bezier-Kurve vom Grad r ,
3 werte diese an der Stelle t aus.
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2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus
3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
Affine Invarianz
Definition
Eine Abbildung Φ : E3 → E3 heißt affine Abbildung, wenn sie
baryzentrische Kombinationen invariant lasst.
D.h: Seien x =∑αjaj ; x , aj ∈ E3 eine baryzentrische
Kombination und Φ eine affine Abbildung
⇒ Φ(x) =∑αjΦ(aj), Φ(x), Φ(aj) ∈ E3.
Bezier-Kurven sind baryzentrische Kombinationen
⇒ affine Invarianz
D.h., die folgenden Vorgehensweisen liefern dasselbe Resultat:
1 Berechne bn(t), wende affine Abbildung an2 Wende affine Abbildung auf das Kontrollpolygon an, werte
das transformierte Kontrollpolygon an t aus.
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
Invarianz unter baryzentrischen Kombinationen
Gegeben: zwei Bezier-Kurven bn und cn.
Fur α + β = 1 gilt:
αn∑
j=0bjB
nj (t) + β
n∑j=0
cjBnj (t) =
n∑j=0
(αbj + βcj)Bnj (t)
Berechnung des gewichteten Mittels zweier Bezier-Kurven:
1 Berechne das gewichtete Mittel der Kurvenpunkte
2 Bilde das gewichtete Mittel der Kontrollpunkte und berechnedie Kurve.
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Lineare Prazision
Es gilt:n∑
j=0
jnBn
j (t) = t.
Kontrollpunkte: bj =(
1− jn
)p + j
nq, j = 0, . . . , n
⇒ bn (t) =n∑
i=0
[(1− j
n )p + jnq]Bn
j (t)
= pn∑
j=0Bn
j (t)− pn∑
j=0
jnBn
j (t) + qn∑
j=0
jnBn
j (t)
= p + t(q − p)
Die Kurve, die durch dieses Polygon erzeugt wird, ist genaudie Gerade zwischen p und q, d.h. die Originalgerade wirdreproduziert.
Diese Eigenschaft wird lineare Prazision genannt.
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
Weitere Eigenschaften
Invarianz unter affinen ParametertransformationenFur u ∈ [a, b] definiere: t = u−a
b−a
⇒n∑
i=0biB
ni (t) =
n∑i=0
biBni
(u−ab−a
).
Konvexe-Hullen-EigenschaftFur t ∈ [0, 1] liegt die Kurve bn(t) in der konvexen Hulle desKontrollpolygons.
Endpunkte-InterpolationDie Bezier-Kurve verlauft durch die Punkte b0 und bn.
Symmetrie
Pseudo-lokale-KontrolleBn
i besitzt nur ein Maximum und nimmt dieses an der Stellet = i
n an.
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BernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
Bernsteinpolynome
Abbildung: Die quartischen Bernsteinpolynome.
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Die Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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Satz 4.1
Die Ableitung eines Bernsteinpolynoms Bni (t) ist gegeben durch:
d
dtBn
i (t) = n[Bn−1
i−1 (t)− Bn−1i (t)
], (14)
wobei i ∈ {0, . . . , n}.
Satz 4.2
Fur eine Bezier-Kurve bn(t) gilt folgendes:
d
dtbn(t) = n
n−1∑j=0
[bj+1 − bj ]Bn−1j (t) (15)
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Definition
Der Vorwartsdifferenzenoperator 4r ist definiert durch:
4rbj =
{4r−1bj+1 −4r−1bj , fur r ∈ Nbj , fur r = 0.
(16)
Mit der obigen Definition erhalten wir fur die Ableitung einerBezier-Kurve:
d
dtbn(t) = n
n−1∑j=0
4bjBn−1j (t); 4bj ∈ R3. (17)
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Die Ableitung einer Bezier-Kurve ist somit selbst wieder eineBezier-Kurve, deren Kontrollpolygon durch Differenzieren desoriginalen Polygons gegeben ist.
Abbildung: Bezier-Kurve aus dem erste Beispiel und ihre erste Ableitungals Kurve (verkleinert um den Faktor drei)
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2 Der Algorithmus von de-CasteljauParabelnde-Casteljau-Algorithmus
3 Die Bernsteinform einer Bezier-KurveBernsteinpolynomeEigenschaften von Bezier-Kurven
4 Ableitungen von Bezier-KurvenDie Ableitung einer Bezier-kurveAbleitungen hoherer OrdnungAbleitungen und der de-Casteljau-Algorithmus
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Beispiel: Die ersten Vorwartsdifferenzen:
40bi = bi
41bi = bi+1 − bi
42bi = 41bi+1 −41bi = bi+2 − 2bi+1 + bi
43bi = 42bi+1 −42bi = bi+3 − 3bi+2 + 3bi+1 − bi
Satz 4.4
Die Vorwartsdifferenzen lassen sich berechnen durch:
4rbi =r∑
j=0
(r
j
)(−1)r−jbi+j (18)
Beweis:
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Satz 4.5
Fur die r − te Ableitung einer Bezier-Kurve gilt:
d r
dtrbn(t) =
n!
(n − r)!
n−r∑j=0
4rbjBn−rj (t). (19)
Beweis:Durch wiederholte Anwendung von (17)
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Bemerkung 4.6
1 t = 0 : d r
dtr bn(0) = n!(n−r)!4
rb0, wegen Bn−rj (0) = δj ,0
2 t = 1: d r
dtr bn(1) = n!(n−r)!4
rbn−r , wegen Bn−rj (1) = δj ,n−r
Abbildung: Die erste und die zweite Ableitung fur t = 0.
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Satz4.7
Die r − te Ableitung einer Bezier-Kurve kann durch dieZwischenpunkte, die beim de-Casteljau-Algorithmus auftreten,folgendermaßen ausgedruckt werden:
d r
dtrbn(t) =
n!
(n − r)!4rbn−r
0 (t). (20)
Beweis:Zuerst zeigen wir, dass Summation und Differenzenbildungkommutieren:
n−1∑j=0
4bj =n−1∑j=0
[bj+1 − bj ] =n∑
j=1
bj+1 −n−1∑j=0
bj = 4n−1∑j=0
bj .
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Somit erhalten wir:
d r
dtrbn(t) =
n!
(n − r)!
n−r∑j=0
4rbjBn−rj (t) (21)
=n!
(n − r)!4r
n−r∑j=0
bjBn−rj (t) (22)
=n!
(n − r)!4rbn−r
0 (t) (23)
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(21) und (22) liefern zwei verschiedene Methoden, die r−teAbleitung einer Bezier-Kurve zu berechnen.
Methode (21): Bilde alle r -ten Vorwartsdifferenzen derKontrollpunkte, iterpretieren diese als ein neues Bezierpolygonvom Grad n − r und werte dieses an der Stelle t aus.
Methode (22): Berechne die r -te Ableitung als einNebenprodukt des de-Casteljau-Algorithmus.
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Beispiel: Die Ableitung der Bezier-Kurve aus dem erstenBeispiel
Wir bilden zuerst die ersten Differenzen der Kontrollpunkte:
4b0 = b1 − b0 =[ 0
2
]−[ 0
0
]=[ 0
2
],
4b1 = b2 − b1 =[ 8
2
]−[ 0
2
]=[ 8
0
],
4b2 = b3 − b2 =[ 4
0
]−[ 8
2
]=[ −4−2
].
Dann werten wir die entstehende quadratische Kurve an der Stellet = 1
2 aus:
B20
(1
2
)=
1
4, B2
1
(1
2
)=
1
2, B2
2
(1
2
)=
1
4.
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Somit erhalten wir:
d
dtb3
(1
2
)=
3!
2!
(1
4
[ 02
]+
1
2
[ 82
]+
1
4
[ −4−2
])=[ 9
0
].
Als Alternative berechnen wir 4b20(1
2):
4b20
(1
2
)= b2
1
(1
2
)− b2
0
(1
2
)=[ 5
32
]−[ 2
32
]=[ 3
0
].
Multiplikation mit 3 liefert das Ergebnis.
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