Betonové konstrukce (S)Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku a konci paraboly . Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce

Silové působení kabelu na beton

Ekvivalentní zatížení

Staticky neurčité účinky předpětí

Konkordantní kabel, Lineární transformace kabelu

Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení

1

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton

1. Silové působení kabelu na beton

Osamělou silou v místech zakotvení

Silami v místech změny směru kabelu

Obecně - výslednice Rozklad na složky do

vodorovného a svislého směru

2

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – Silové působení kabelu na beton

Parabolický kabel

Přesné řešení - předpínací síla se mění po délce vlivem ztrát

předpětí třením

- radiální síly působí ve směru normály

H = P = konst

V = P∙tg α

α α

Rozklad sil pro přesné řešení Rozklad sil pro zjednodušené řešení H = P∙cos α

V = P∙sin α P

3

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – ekvivalentní zatížení

α

H = P∙cos α

V = P∙sin α P

2. Ekvivalentní zatížení

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení

Silové působení kabelu: Pouze koncové účinky:

Ohybový moment lze spočítat přímo:

(za předpokladu, že P je kladné číslo)

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)


statické schéma: idealizace nosníku pomocí těžišťové osy

tvoří pouze koncové účinky, výsledné síly musí být vztaženy k těžišti !!!

reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové

4

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – – ekvivalentní zatížení

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení konzola - přesné řešení

Protože reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové, průběh vnitřních sil nezávisí na

způsobu podepření (platí pouze u staticky určitých konstrukcí).

5


Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení

H = P = konst

V = P∙tg α

α α

H = P∙cos α

V = P∙sin α P

6


Lomený kabel

prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení

7


Parabolický kabel - geometrie

rovnice tečny paraboly, tj.

směrnice tečny = tg (γ):

rovnice paraboly:

𝑡𝑔 𝛾 𝑥 =𝑑𝑒(𝑥)

𝑑𝑥= −

8𝑓

𝐿2𝑥 +

4𝑓

𝐿+𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿

𝑒 𝑥 = −4𝑓

𝐿2𝑥2 +

4𝑓

𝐿𝑥 +

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎𝐿

𝑥 + 𝑒𝑎

a odtud sklony tečen na

začátku a na konci

paraboly

𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 0 =4𝑓


𝐿

𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 𝐿 = −8𝑓

𝐿2𝐿 +

4𝑓


𝐿=

= −4𝑓


𝐿

Souřadný systém x,y , kde e(x) = y(x)

Parametry paraboly:

• délka L

• vzepětí f v L/2 (s příslušným

znaménkem)

• excentricitou na počátku paraboly

ea a na konci paraboly eb (s

příslušným znaménkem)

8

Předpoklad:

• H = P = konstantní (plochý kabel, vliv

změn předpětí po délce zanedbán)

• P je kladná

Silové působení:

koncové účinky (rozklad na svislou a

vodorovnou sílu):

radiální síly po délce kabelu představují

rovnoměrné spojité zatížení působící na

nosník v úseku paraboly:


Parabolický kabel – účinky předpětí

𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥

𝑑𝑥2= −𝑃

𝑑2𝑒 𝑥

𝑑𝑥2= −𝑃

8𝑓

𝐿2

Ph = P = konst

Pv = P∙tg α

α

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)

Ohybový moment lze spočítat přímo,

protože platí:

reakce nulové !!!

9


Parabolický kabel – účinky předpětí

𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥

𝑑𝑥2= −𝑃

𝑑2𝑒 𝑥

𝑑𝑥2= −𝑃

8𝑓

𝐿2

P = 1000 kN

10

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce - – ekvivalentní zatížení

Nosníky s proměnným průřezem

11

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce

3. Účinky předpětí na staticky neurčitých konstrukcích

staticky určitá konstrukce

1x staticky neurčitá konstrukce

vazby nebrání deformaci

nevznikají reakce

přidaná vazba (zabránění

pootočení v bodě a) brání

deformaci vznikají

reakce

12


Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění pootočení v podpoře a)


• přidáme tolik stupňů volnosti (tedy

odebereme vazby), kolikrát je konstrukce

staticky neurčitá

• v bodě a odebereme vetknutí a nahradíme

pevnou podporou – odebraná jedna vazba

• každou odebranou vazbu nahradíme

deformační podmínkou

• uvolnili jsme pootočení v uzlu a –

deformační podmínka bude 𝜑𝑎𝑏𝑐𝑒𝑙𝑘 = 0

• v místě každé odebrané vazby přidáme

příslušnou sílu (moment) – neznámou

veličinu

• v našem případě moment v bodě a: 𝑀𝑎𝑠

Poznámka – kolik odebereme vazeb, tolik

vznikne deformačních podmínek a tolik bude

neznámých sil soustava rovnic (silová

metoda)

základní staticky určitá konstrukce

13

𝑀𝑎𝑠


Postup výpočtu – silová metoda


primární stav – účinky předpětí na základním

staticky určitém nosníku

• 𝜑𝑎𝑏𝑝

primární stočení v uzlu a od předpětí

(pomocí ekvivalentního zatížení od předpětí)

• primární vnitřní síly od předpětí 𝑁𝑝, 𝑉𝑝, 𝑀𝑝

sekundární stav

• 𝜑𝑎𝑏𝑠 sekundární stočení v uzlu a od

momentu 𝑀𝑎𝑠 v bodě a (neznámá veličina)

𝜑𝑎𝑏𝑠 = 𝑀𝑎

𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏

kde 𝛼𝑎𝑏 je stočení v uzlu a

od jednotkového momentu

působícího v uzlu a

celkové účinky

součet primárních a sekundárních účinků

𝜑𝑎𝑏𝑐𝑒𝑙𝑘 = 𝜑𝑎𝑏

𝑝+𝜑𝑎𝑏

𝑠 = 0

𝜑𝑎𝑏𝑝

+ 𝑀𝑎𝑠 ∙ 𝛼𝑎𝑏 = 0 výpočet 𝑀𝑎

𝑠 a zbylých

reakcí a vnitřních sil 𝑁𝑠 , 𝑉𝑠, 𝑀𝑠

• výpočet celkových účinků 𝑁𝑐 , 𝑉𝑐 , 𝑀𝑐


primární stav – primární účinky předpětí

sekundární stav – sekundární účinky předpětí

14


Postup výpočtu – silová metoda (uvolnění svislého podpření v bodě b)



primární stav – primární účinky předpětí

sekundární stav – sekundární účinky předpětí

15


Účinky předpětí

16


Příklad

17

Pootočení od ekvivalentního zatížení v bodě b

Deformační podmínka v bodě b

dopočet reakcí v sekundárním stavu např. z momentové podmínky

z rovnováhy svislých sil

Ekvivalentní zatížení – svislé složky sil

Předpoklad směru působení

momentu


Příklad – dtto jako předchozí ale uvolněná jiná vazba (svislý posun v bodě a)

Vnitřní síly viz předchozí strana 18

s


Spojitý nosník

reakce

19

Nosník ab Nosník bc


Spojitý nosník

20


Svislé složky sil

Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku

a konci paraboly


Spojitý nosník

deformační podmínka

21

Sekundární moment vyšel se záporným znaménkem, tzn. že působí opačným

směrem, než bylo předpokládáno


Příklad

22

Celkové účinky získáme:

• součtem účinků primárních a

sekundárních

• nebo výpočtem účinků od ekvivalentního

zatížení a reakcí sekundárního stavu na

prostých nosnících

• kombinací obou

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce

Staticky neurčité účinky předpětí – ještě jednou

R/2 R/2

sekundární

primární

celkový

celkový

Reakce od

sekundárních

účinků

Reakce od

sekundárních

účinků jsou

nulové

23


4. Tlaková čára

sekundární

celkový

• V průřezu (x) působí celkové účinky

předpětí 𝑀𝑐 a 𝑁𝑐

• Bod, ve kterém působí síla 𝑁𝑐, je

působiště tlakové síly v průřezu

• Spojnice působištˇ tlakové síly v

průřezech po délce nosníků tlaková čára

- poloha tlakové čáry měřená od těžiště

nosníku:

𝑒𝑐 = 𝑀𝑐 𝑁𝑐

- poloha tlakové čáry měřená od těžiště

kabelu

ν = 𝑒𝑐 − 𝑒𝑝 = 𝑀𝑐 𝑁𝑐 −𝑀𝑝 𝑁𝑝 = 𝑀𝑠 𝑁𝑐

pro 𝑁𝑝 = 𝑁𝑐

𝒆𝒄

24

x

Vzdálenost tlakové čáry od polohy kabelu je dána vztahem

Pokud jsou sekundární účinky od předpětí nulové, poloha tlakové čáry se

shoduje s polohou kabelu (𝑒𝑝 = 𝑒𝑐 → ν = 0) a takovému kabelu se říká

konkordantní kabel.

Poznámka: z praktického hlediska to nemá význam, ale je výhodný právě

proto, že jsou sekundární účinky nulové. Polohu takového kabelu lze nalézt,

a pokud se upraví do proveditelného tvaru, lze předpokládat že sekundární

účinky budou malé.


5. Konkordantní kabel

ν = 𝑀𝑝 𝑁𝑐

25


• Mějme momentový obrazec od

vnějšího zatížení na spojitém

nosníku.

• Vydělíme-li průběh momentů

konstantou, dostaneme průběh

tlakové čáry.

• Umístíme-li do této tlakové čáry

kabel, bude konkordantní.

• 𝑀𝑎/𝑘 = 𝑒𝑎 𝑘 = 𝑒𝑎/𝑀𝑎

• 𝑀𝑏/𝑘 = 𝑒𝑏 𝑘 = 𝑒𝑏/𝑀𝑏

• 𝑀𝑐/𝑘 = 𝑒𝑐 𝑘 = 𝑒𝑐/𝑀𝑐

•𝑒𝑎

𝑀𝑎=

𝑒𝑏

𝑀𝑏=

𝑒𝑐

𝑀𝑐= 𝑘

• konstanta 𝑘 odpovídá velikosti

předpínací síly

26

Jak nalézt polohu konkordantního

kabelu?


Lineární transformace kabelu

Předpoklad:

• plochý kabel

• změnou geometrie se

nezmění velikost ztrát

v daném místě

Celkové statické účinky kabelu na nosník se nezmění, pokud se se změnou jeho

geometrie nezmění ekvivalentní zatížení (kromě svislých sil, které se přenášejí

přímo do podpory 𝑉𝑎, 𝑉𝑏, 𝑉𝑐, 𝑉𝑑), tedy:

• zůstanou stejné koncové excentricity kabelu (𝑒𝑎, 𝑒𝑑)

• zůstane stejná křivost kabelu v každém místě (stejné vzepětí parabol v polích

ac a bc)

• zůstanou stejné diskontinuity kabelu (stejná změna úhlu v poli cd)

Poznámka: celkové účinky se nemění, ale změní se primární účinky a tím

pádem i sekundární účinky změní se reakce 27


Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení • vyrovnává se 80 až 100% ztížení

stálých pomocí ekvivalentních zatížení

od parabol v poli

• paraboly nad podporou – radiální síly

jdou přímo do podpory

• V krajním poli max 𝑒𝑝 by měla

odpovídat místu s maximálním

momentem

• momenty od stálých zatížení

(uvažovaného procenta) a předpětí se

odečtou a v průřezu zůstane jen

tlaková rezerva daná velikosti

předpínací síly, která slouží k vykrytí

napětí od ostatního zatížení, tj. zbytku

stálých zatížení a proměnných zatížení

• návrh P:

28

𝑝 = −𝑃8𝑓

𝐿2

Betonové konstrukce (S)Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku a konci paraboly . Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky neurčité konstrukce

Documents