Primer 1. Primer 1. Odrediti Odrediti visinu visinu i i potrebnu potrebnu povr povr š š inu inu armature armature za za presek presek pravougaonog pravougaonog oblika oblika , , optere optere ć ć en en momentima momentima savijanja savijanja usled usled stalnog stalnog ( ( Mg Mg ) i ) i povremenog povremenog ( ( Mp Mp ) ) optere optere ć ć enja enja . . Podaci Podaci za za prora prora č č un un : : Mg = 60 Mg = 60 kNm kNm b = 25 cm b = 25 cm MB 30 MB 30 Mp = 80 Mp = 80 kNm kNm GA 240/360 GA 240/360 n MB 30 MB 30 f f B = 2.05 kN/cm = 2.05 kN/cm 2 n GA 240/360 GA 240/360 s s v = 24 kN/cm = 24 kN/cm 2
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Primer 1.Primer 1.OdreditiOdrediti visinuvisinu i i potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza presekpresekpravougaonogpravougaonog oblikaoblika, , optereoptereććenen momentimamomentima savijanjasavijanjausledusled stalnogstalnog ((MgMg) i ) i povremenogpovremenog ((MpMp) ) optereoptereććenjaenja. . PodaciPodaci zaza proraproraččunun::
Mg = 60 Mg = 60 kNmkNm b = 25 cmb = 25 cm MB 30MB 30Mp = 80 Mp = 80 kNmkNm GA 240/360GA 240/360
nn MB 30MB 30 ⇒⇒ ffBB = 2.05 kN/cm= 2.05 kN/cm22
nn GA 240/360GA 240/360 ⇒⇒ ssvv = 24 kN/cm= 24 kN/cm22
PRIMER 2PRIMER 2OdreditiOdrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza T T presekpresekzadatihzadatih geometrijskihgeometrijskih karakteristikakarakteristika, , optereoptereććenenuticajimauticajima usledusled stalnogstalnog (M(Mgg,N,Ngg) i ) i povremenogpovremenog(M(Mpp,N,Npp) ) optereoptereććenjaenja. .
nn MMgg = = 300300 kNmkNm MMpp = 250 = 250 kNmkNmnn NNgg = = 500500 kNkN NNpp = = 40400 0 kNkNnn B = 180 cmB = 180 cm b = 30 cmb = 30 cmnn dd = = 6600 ddpp = 10 cm= 10 cm
nn MB MB 25:25: ffBB = = 1.7251.725 kN/cmkN/cm22
nn RRA 4A 4000/0/505000:: σσvv = 4= 40 0 kN/cmkN/cm22
nn a1 = a1 = 99 cm cm ⇒⇒ h = 60 h = 60 -- 99 = 5= 511 cmcm
nn PRETPOSTAVIMO DA SE nPRETPOSTAVIMO DA SE n--n LINIJA NALAZI U n LINIJA NALAZI U PLOPLOČČI !I !
nn
εb/εa = 1.65 / 10 ‰ ; s = 0.142
x = 0.142× 51 = 7.24 cm > dp = 10 cm
2
51k 3 531770 10
180 2 05
= =⋅
⋅
.
.
PRIMER 3PRIMER 3
nn Pretpostavka o poloPretpostavka o položžaju naju n--n linije je tan linije je taččna!na!nn RaRaččunamo pravougaoni presek unamo pravougaoni presek šširine irine B!B!n μ *=8,282 %nn Potrebna armatura:Potrebna armatura:
nn Usvojeno: Usvojeno: 8R8RØØ2525 (39,28 cm(39,28 cm22))nn SraSraččunavanje stvarne statiunavanje stvarne statiččke visine, ke visine,
konstruisanje preseka...konstruisanje preseka...
2a
180 51 2 05A 8 282 39cm100 24
⋅= ⋅ ⋅ =
..
PRIMER PRIMER 66
ZaZa stub stub pravougaonogpravougaonog poprepopreččnognog presekapreseka zaza kojikoji susudate date tri tri kombinacijekombinacije uticajauticaja usledusled stalnogstalnog i i povremenogpovremenog optereoptereććenjaenja, , odreditiodrediti potrebnupotrebnu povrpovrššinuinuarmaturearmature. . UticajUticaj izvijanjaizvijanja zanemaritizanemariti..
Maksimalni moment savijanja Mu, merodavan za di-menzionisanje, je u preseku u kome je za odgovarajuću kombinaciju uticaja Tu=0. Sa dijagrama desno jasno je da je to presek na x = 4.0 m od oslonca A, gde je:
Mg = 80×4.0 - 40×4.02/2 = 160 kNm
Mp= 80×4.0 = 320 kNm = Mp,max.
Mu = 1.6×160 + 1.8×320 = 832 kNm 80336
352
480
832
Mu
Tumax
.Mu=
832
g=40kN/m
P=240kN
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2
PRIMERI ZA VEŽBE
2RØ25
2RØ12
2RØ25URØ10/25
3RØ25
3RØ25
Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B, ili, za slučaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči:
B = min.
=×+=×+=×+=×+
cm17560025.025l25.0bcm325152025d20b
0
p = 175 cm
pretp. a1 = 9 cm ⇒ h = 65 - 9 = 56 cm
05.217510832
56k2
××
= = 3.677
εb/εa = 1.558/10‰ ; µ = 7.775% ; s = 0.135
x = s×h = 0.135×56 = 7.55 cm < 15 cm = dp
Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina zategnute armature određuje iz izraza:
4005.2
10056175775.7A .potr,a ×
××= = 39.05 cm2
usvojeno: 8 RØ 25 (39.27 cm2)
85.1521035.43a1
×+×+×= = 9.3 cm ⇒ hstv. = 65 - 9.3 = 55.7 cm ≈ 56 cm = hpretp.
DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA
MB 30 ⇒ τr = 1.1 MPa (član 89. Pravilnika BAB 87)
Usvojeno je za sve preseke zb = 0.9×h = 0.9×56 = 50.4 cm.
a. levi deo nosača (A-C)
TuA = 1.6×120 + 1.8×80 = 336 kN
4.5025336A
n ×=τ = 0.267 kN/cm2 > τr
TuC,levo = 1.6×(-40) + 1.8×80 = 80 kN
4.502580levo,C
n ×=τ = 0.063 kN/cm2 < τr
levo,Cn
An
rAn
CA1 Lτ−τ
τ−τ×=λ −
63.067.21.167.24001 −
−×=λ = 308.4 cm
Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama, a prema dijagramu τRu.
Više kao prikaz praktičnog postupka nego stvarne potrebe za uštedom armature, izvršeno je proređivanje uzengija na pojedinim delovima dužine osiguranja. Za usvojene uzengije Ø10 maksimalno rastojanje, određeno iz zadovoljenja µuz,min.= 0.2% je:
2.min,uz
)1(u
u 102.025785.02
bame −××
×=
µ××
≤ = 31.4 cm ;
=
=≤
cm25cm282h
cm25b.mineu ⇒ usv. eu,max. = 25 cm
Odgovarajući napon koji nose ove uzengije je:
( ) ( )101402525785.02ctgsincos
ebam
vu
)1(u)3(
u,u ×+×××
×=θ×α+α×σ×
××
=τ = 0.101 kN/cm2
Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od minimalih određuje se iz dijagrama τRu:
−×=
ττ
−×λ=235.0101.014.3081x
.max,Ru
)3(u,u
13 = 176.5 cm
Dodatno proređivanje je učinjeno usvajanjem uzengija URØ10/15:
( ) ( )101401525785.02ctgsincos
ebam
vu
)1(u)2(
u,u ×+×××
×=θ×α+α×σ×
××
=τ = 0.168 kN/cm2
Deo nosača na kome su potrebne uzengije gušće od ovih određuje se iz dijagrama τRu:
−×=
ττ
−×λ=235.0168.014.3081x
.max,Ru
)2(u,u
12 = 88.5 cm
Konačno, usvojeno je: usvojeno: UØ 10/10 (m=2) na dužini 90 cm > x2 UØ 10/15 (m=2) na dužini 90 cm > x3-x2 UØ 10/25 (m=2) na ostalom delu dužine λ1 dodatna zategnuta armatura:
( ) ( )∆AT
ctg ctgamu
v
= × − =×
× −2
3362 40
1 0σ
θ α = 4.20 cm2
usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)1
1 Usvojene su 3RØ25 kao MINIMALNO TREĆINA šipki iz polja koje se moraju prevesti preko slobodnog oslonca (član 168. Pravilnika BAB 87)
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4
PRIMERI ZA VEŽBE
b. desni deo nosača (deo C-B) BuT = 1.6×120 + 1.8×160 = 480 kN
4.5025480B
n ×=τ = 0.381 kN/cm2 > τr
desno,CuT = 1.6×40 + 1.8×160 = 352 kN
4.5025352desno,C
n ×=τ = 0.279 kN/cm2 > τr
Kako je na čitavom delu nosača prekoračena vrednost τr, to je dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenim profilima, a prema dijagramu τRu.
Bnτ > 3τr ⇒ B
buT = 0 ⇒ BRuτ = B
nτ = 0.381 kN/cm2
Napon 3τr je prekoračen na delu nosača dužine 79.281.33.381.32003 −
−×=λ = 100.3 cm
desno,Cnτ < 3τr ⇒ ( )11.0279.0
23desno,C
Ru −×=τ = 0.254 kN/cm2
Usvojene su na čitavoj dužini osiguranja vertikalne uzengije URØ10/15:
( ) ( )101401525785.02ctgsincos
ebam
vu
)1(u
u,u ×+×××
×=θ×α+α×σ×
××
=τ = 0.168 kN/cm2
Na dijagramu τRu u prilogu je deo napona koji prihvataju uzengije šrafiran vertikalnom, a deo koji je potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrštenom šrafurom. Sledi:
25200168.07.992
254.033.03.1002
33.0381.0H k,vu ×
×−
×
++×
+= = 781.5 kN
usvojeno: θ = 45° ; αk = 45° (ugao pod kojim se povijaju profili)
( ) ( )0.1707.0707.0405.781
ctgsincosH
Akkv
k,vuk,a ×+×
=θ×α+α×σ
= = 13.81 cm2
usvojeno: 3 RØ 25 (14.73 cm2)
Tačna mesta povijanja kosih profila određuju se grafički, konstrukcijom integralne krive.
dodatna zategnuta armatura:
Tu,u = τu,u×b×z = 0.168×25×50.4 = 211.1 kN
Tmured. = Tu,u + Tbu = 211.1 + 0 = 211.1 kN
( ) ( )014021.211ctgctg
2TA
v
.redmu
a −××
=α−θ×σ
=∆ = 2.64 cm2
usvojeno: 3 Ø 25 (14.73 cm2)2
2 Videti napomenu za deo A-B (član 168. Pravilnika BAB 87)
[MPa]
τBn=τB
Ru=3.81 τ
λ=200
τCn =2.79
τCRu=2.54Aτ
100.3 99.7
3τr
τ(1)
u,u=
1.68
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1
PRIMERI ZA VEŽBE
DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA TORZIJE Za nosač POS1 prikazan na skici nacrtati dijagrame presečnih sila usled prikazanih sila G=75 kN, a zatim izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na pojedinim delovima nosača. Presek nosača je pravougaoni, dimenzija b/d = 45/60 cm. Nosač nije potrebno dimenzionisati prema momentima savijanja. Kvalitet materijala: MB 30, GA 240/360.
DIJAGRAMI STATIČKIH UTICAJA ZA POS 1 Oslonačka veza omogućava prihvatanje momenata torzije, a onemogućava prihvatanje momenata savijanja. Za slučaj torziono krutih oslonaca, dijagram momenata torzije je po obliku identičan sa dijagramom transverzalnih sila kod proste grede. Detaljnije o proračunu preseka napregnutih torzijom videti u literaturi (npr. M.Aćić, A.Pakvor, Ž.Peri-šić: Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija, poglavlje 4.2).
Redukcijom sila sa prepusta na POS 1 dobija se dispozicija opterećenja prikazana na skici. Sledi:
RG = G = 75 kN ⇒ Mg,max. = 75.0×2.0 = 150 kNm
MTg = G×1.0 = 75 kNm
Momenti torzije koji deluju u suprotnim smerovima pred-stavljaju se koncentrisanim silama suprotnih smerova, pa sledi da su vrednosti MT u uklještenju:
M Tgosl. . .
.= ×
−75 4 0 2 06 0
= 25 kNm
OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA
Krajnje trećine nosača Tu = 1.6×75 = 120 kN
pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 - 5 = 55 cm ⇒ τnT =
× ×120
45 0 9 55.= 0.054 kN/cm2
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 2
PRIMERI ZA VEŽBE
MTu = 1.6×25 = 40 kNm
pretp. a0 = 4.5 cm ⇒ b0 = 45 - 2×4.5 = 36 cm ; d0 = 60 - 2×4.5 = 51 cm
Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da su odgovarajuće dužine osiguranja λ1 = λ3 = 2.0 m.
Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom. Potrebna površina uzengija se sračunava iz odgovarajućih redukovanih uticaja (MTRu, odnosno τRu), posebno za uticaj momenta torzije, odnosno transverzalne sile.
Potrebno je obratiti pažnju da je nužno sračunati uzengije za prihvatanje transverzanih sila, bez obzira što je τn
T < τr. Kriterijum da li je potrebno osiguranje armaturom ili ne je UKUPAN napon smicanja, a ne napon smicanja od pojedinačnog uticaja.
Potrebne uzengije za prihvatanje transverzalne sile
( ) ( )T b zbunT
nr n= × × × − × × = × × × − × × ×
12
3 12
0 0540 296
3 0 11 0 296 45 0 9 55ττ
τ τ..
. . . = 6.9 kN
TRu = Tmu - Tbu = 120 - 6.9 = 113.1 kN ⇒ τRuT =
× ×113 1
45 0 9 55.
.= 0.051 kN/cm2
usvojeno: m=4 ; α = 90° ; θ = 45°
( ) ( )a
bm ctg
e eu
T
vu u
Ru,T
( )
cos sin.1 1 45 0 051
4 241
1 0 1=
×
××
+ ×× =
××
×+ ×
×τ
σ α α θ= 0.024×eu
Potrebne uzengije za prihvatanje torzije
( ) ( )M ATbunM
nr n b
T
= × × − × × = × × − × × × −ττ
τ τ δ3 0 2420 296
3 0 11 0 296 1836 4 5 1002.
.. . . = 2.3 kNm
MTRu = MTu - MTbu = 40 - 2.3 = 37.7 kNm
( ) ( )a M
A ctge eu
TRu
b vu uT,M
( )
cos sin.1
0
2
21 37 7 10
2 1836 241
1 0 1=
× ××
+ ×× =
×× ×
×+ ×
×σ α α θ
= 0.043×eu
spoljašnje uzengije: a a au spolja u M u TT,( )
,( )
,( )1 1 1= + = (0.043+0.024)×eu = 0.067×eu
pretp. UØ10 (au(1) = 0.785 cm2) ⇒ e u spolja,
.
.=
0 7850 067
= 11.8 cm ⇒ UØ10/10
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3
PRIMERI ZA VEŽBE
unutrašnje uzengije: a au u,unutra( )
,T( )1 1= = 0.024×eu
pretp. UØ8 (au(1) = 0.503 cm2) ⇒ e u ,unutra
.
.=
0 5030 024
= 21.1 cm ⇒ UØ8/20
Napominje se da se spoljašnje uzengije, koje prihvataju uticaj torzije, moraju zatvoriti preklapanjem po čitavoj kraćoj strani preseka, dok se unutrašnje uzengije, koje prihvataju samo uticaj transverzalne sile, mogu zatvoriti na uobičajen način, oko jedne od ugaonih šipki.
Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:
( ) ( )A MA
ctg Oa
Tu
b vb∑ =
× ×× + × × =
×× ×
× + × ×2
40 102 1836 24
1 0 1 1740
0
2
σα α θcos sin = 7.90 cm2
Sa aspekta nosivosti preseka, moguće je usvojiti samo četiri ugaone šipke odgovarajuće površine. Ipak, vodeći računa o graničnom stanju upotrebljivosti, treba izabrati veći broj tanjih profila i homogeno ih rasporediti po obimu preseka. U konkretnom slučaju, usvojeno je 14Ø10.
Potrebna površina podužne armature se može sračunati i iz izraza:
( ) ( )a MA
ctg e epTu
b vp pT,M
( ) cos sin1
0
2
240 10
2 1836 241 0 1=
× ×× + × × =
×× ×
× + × ×σ
α α θ = 0.045×ep
pretp. Ø10 (ap(1) = 0.785 cm2) ⇒ e p =
0 7850 045..
= 17.3 cm
Međutim, ovakav način proračuna se ne preporučuje, jer je teško armaturu rasporediti na istom (sračunatom) rastojanju duž horizontalnih i vertikalnih strana preseka.
Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva transverzalne sile potrebno je:
( ) ( )∆A T ctg ctgamu
v
=×
× − =×
× −2
1202 24
1 0σ
θ α = 2.50 cm2
Ovu armaturu potrebno je postaviti u donjoj, zategnutoj zoni preseka.
Kod usvajanja podužne armature preporučuje se da se najpre proračuna potrebna površina za svako od naponskih stanja (savijanje, smicanje, torzija). Zatim se usvoji horizontalna armatura za prihvatanje momenata torzije i rasporedi po preseku tako da rastojanje profila bude približno 15 cm. Ovako ras-poređenoj armaturi se, u odgovarajućim zonama, dodaje armatura za savijanje, odnosno dodatna zategnuta armatura za prihvatanje transverzalnih sila (poželjno usvajanje zajedničkih profila).
Srednja trećina nosača MTu = 1.6×50 = 80 kNm
τδn
M Tu
b
TMA
=× ×
=×
× ×280 10
2 1836 4 50
2
.= 0.484 kN/cm2
> =<
3 0 335
2ττ
t
t
kN cm. /
Kako je na čitavom delu nosača napon smicanja konstantan i veći od τr, sledi da je odgovarajuća dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama (α=90°) i horizontalnom armaturom.
τn > 3τr ⇒ MTbu = 0 ; MTRu = MTu = 80 kNm
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4
PRIMERI ZA VEŽBE
Potrebna površina uzengija
( ) ( )a M
A ctge eu
TRu
b vu u
( )
cos sin1
0
2
21 80 10
2 1836 241
1 0 1=
× ××
+ ×× =
×× ×
×+ ×
×σ α α θ
= 0.091×eu
pretp. UØ12 (au(1) = 1.13 cm2) ⇒ e u =
1 130 091
..
= 12.46 cm ⇒ UØ12/10
Horizontalna armatura Za pritvatanje napona smicanja usled dejstva momenta torzije za čitav presek potrebno je:
( ) ( )A MA
ctg Oa
Tu
b vb∑ =
× ×× + × × =
×× ×
× + × ×2
80 102 1836 24
1 0 1 1740
0
2
σα α θcos sin = 15.80 cm2
usvojeno: 14Ø12 (15.83 cm2)
Kako se u slučaju simultanog naprezanja torzijom i transverzalnim silama praktično podrazumeva osi-guranje VERTIKALNIM uzengijama (α=90°), izrazi za određivanje potrebne površine armature se mogu napisati u obliku:
abm
tg eu
T
vu
Ru,T
( )1 =×
×× ×
τ
σθ
aMA
tg eu MTRu
b vuT,
( )1
02=
× ×× ×
σθ
aMA
ctg ep MTu
b vpT,
( )1
02=
× ×× ×
σθ ; odnosno A M
Actg O
aTu
b vb∑ =
× ×× ×
2 00σ
θ
PRIMER PRIMER 44OdreditiOdrediti visinuvisinu i i potrebnupotrebnu povrpovrššinuinu armaturearmature zaza T T presekpresek zadatihzadatih geometrijskihgeometrijskih karakteristikakarakteristika, , optereoptereććenen momentimamomentima savijanjasavijanja usledusled stalnogstalnog (Mg) i (Mg) i povremenogpovremenog (Mp) (Mp) optereoptereććenjaenja. .
nn Mg = 190 Mg = 190 kNmkNm B = B = 11000 cm0 cm dpdp = 10 cm= 10 cmMp = 195 Mp = 195 kNmkNm b = 20 cmb = 20 cm
nn MB 30MB 30:: ffBB = 2.05 kN/cm= 2.05 kN/cm22
nn GGA 240/360A 240/360:: σσvv = 24= 24 kN/cmkN/cm22