06 / Teil C / Seite 01 06.002.03 Teil C: Wechselstromkreis Beschreibungsgrößen Ohmscher, kapazitiver, induktiver Widerstand Knoten- und Maschenregeln Passiver Tiefpass / Hochpass / Bandpass Dezibel Bode-Diagramm 06.008.01 Wechselspannungskreis Definition Beschreibungsgrößen Wechselspannung: U 0 ω φ U Amplitude Winkelgeschwin- digkeit Phasenlage bei t = 0 messbarer Momentanwert U m U 0 φ U R I U(t = 0) U m U(t) = U 0 * e j(ω*t + φ U ) komplexe Schreibweise: 06.008.02 Wechselstromkreis Definition Beschreibungsgrößen Wechselstrom: I 0 ω φ I Amplitude Winkelgeschwin- digkeit Phasenlage bei t = 0 messbarer Momentanwert I m I 0 φ I R I I(t = 0) I m I(t) = I 0 * e j(ω*t + φ I ) komplexe Schreibweise: φ U 06.008.03 Wechselstrom / -spannung Phasenlagen Beschreibungsgrößen Wechselstrom: R I I 0 φ I I(t = 0) I(t) = I 0 * e j(ω*t + φ I ) U(t) = U 0 * e j(ω*t + φ U ) In der Regel ist φ I = φ U U(t = 0)
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Transcript
06 / Teil C / Seite 01
06.002.03
Teil C:
Wechselstromkreis
Beschreibungsgrößen
Ohmscher, kapazitiver, induktiver Widerstand
Knoten- und Maschenregeln
Passiver Tiefpass / Hochpass / Bandpass
Dezibel
Bode-Diagramm
06.008.01
WechselspannungskreisDefinition
BeschreibungsgrößenWechselspannung:
U0
ω
φU
Amplitude
Winkelgeschwin-digkeit
Phasenlage beit = 0
messbarerMomentanwert
Um
U 0φU R
I U(t = 0)
Um
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)komplexe Schreibweise:
06.008.02
WechselstromkreisDefinition
BeschreibungsgrößenWechselstrom:
I0ω
φI
Amplitude
Winkelgeschwin-digkeit
Phasenlage beit = 0
messbarerMomentanwert
Im
I 0
φI R
I I(t = 0)
Im
I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)komplexe Schreibweise:
φU
06.008.03
Wechselstrom / -spannungPhasenlagen
BeschreibungsgrößenWechselstrom:
R
I
I 0
φI
I(t = 0)I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
In der Regel ist φI = φU
U(t = 0)
06 / Teil C / Seite 02
I 0
I(t)
ImImR
06.008.06
Rein ohmscher Stromkreis:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φU)
I0 * ej(ω*t + φU)I(t)
Widerstand:
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
U0 * ej(ω*t + φU)U(t)R(t) = =
=I0
U0 = R
U 0
R
I U(t)
Um
Der Imaginärteil des rein ohmschen Widerstands ist 0.
Widerstand
06.008.07
Kondensator
Beschreibung:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
Die Animation zeigt: φ I = φU + 90°(d.h. der Strom eilt um 90° voraus)
06.008.04
Widerstand
Beschreibung:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
Die Animation zeigt: φ I = φU
Wechselstrom-quelle
Widerstand
06.008.05
Widerstand
IU,10V
7,5A
1,3Ω
R
45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Widerstand R istzeitlich konstant.
06 / Teil C / Seite 03
06.008.08
IU,10V
7,5A
1Ω
R
45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Widerstand R ändert sich zeitlich, wird sogar negativ.
Kondensator
06.008.09
Kondensator
Rein kapazitiver Stromkreis:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φU + π/2)
I(t)
Widerstand:
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
U(t)R(t) = =
=
I0 * ej(ω*t + φU + π/2)
U0 * ej(ω*t + φU)
I0 * ej(ω*t + φU) * ejπ/2
U0 * ej(ω*t + φU)
Der Realteil des rein kapazitiven Widerstands ist 0.
I0I(t)
Im
ZC
U 0
R
I U(t)
Um
=I0
U0 = - jZC = konst.- j
06.008.10
Rein kapazitiver Widerstand
Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit ω.
Stromstärke I wächst linear mit ω.
I0 = j * ω * C * U0 ZC = 1/j(ω * C)
I(t) = dQ(t)/dt = C * dU(t)/dt = j * ω * C * U(t)
Rein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig.
Winkelgeschwindigkeit ω
(vgl. 06.007.26)
06.008.11
Rein kapazitiver Widerstand
U(t) = * I(t)1jω*C
Rein kapazitive Widerstände sind freq.abhängig.
Regel: Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert
R1.00*R
0.50*R0.25*R
ω
Grund-freq.
1. Ver-doppel.
2. Ver-doppel.
3. Ver-doppel.
4. Ver-doppel.
100 200 400 800 1600
06 / Teil C / Seite 04
06.008.14
IU,10V
7,5A
1Ω
R
45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Widerstand R ändert sichzeitlich, wird sogar negativ.
Induktivität
06.008.15
Rein induktiver Stromkreis:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φU - π/2)
I(t)
Widerstand:
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
U(t)R(t) = =
=
I0 * ej(ω*t + φU - π/2)
U0 * ej(ω*t + φU)
I0 * ej(ω*t + φU) * e-jπ/2
U0 * ej(ω*t + φU)
Der Realteil des rein induktiven Widerstands ist 0.
I0
I(t)
Im
ZL U 0
R
I U(t)
Um
=I0
U0 = jZL = konst.j
Induktivität
06.008.12
Rein kapazitiver Widerstand
log(R)1.00*R
0.50*R
0.25*R
.125*R log(ω)
Grund-freq.
100 150 200 300 400 500 600 800
1. Ver-doppel.
2. Ver-doppel.
3. Ver-doppel.
Regel:
Bildliche Darstellung wird günstiger, wenn die jeweiligenVerdoppelungen / Halbierungen gleichabständig sind.
Frequenz verdoppelt Widerstand halbiert
Gerade, "6dB pro Oktave"
06.008.13
Induktivität
Beschreibung:
I(t) = I0 * ej(ω*t + φI)
U(t) = U0 * ej(ω*t + φU)
Die Animation zeigt: φ I = φU - 90°
06 / Teil C / Seite 05
06.008.16
Rein induktiver Widerstand
Bewegte Ladung pro Zeit wächst linear mit ω.
Änderung der Stromstärke I wächst linear mit ω.
U0 = j * ω * L * I0 ZL = j * ω * L
U(t) = L * dI(t)/dt
Rein induktive Widerstände sind freq.abhängig.
Winkelgeschwindigkeit ω
∫ U(t) dt = L * I(t)
06.008.17
Vergleich Gleich- / Wechselstromwiderstand
Bauteil R Gleichstrom R Wechselstrom
ohmscherWiderstand
Kapazität
Induktivität
U = R * I
unendlich
0
U = R * I
U = j * ω * L* I
U = * Ij * ω * C1
06.008.18
Knotenregel(1. Kirchhoffsches Gesetz)
Die Summe alle Ströme eines Stromknotens ist null:
Σ Ik(t) = 0 zu jedem Zeitpunkt tk = 1
N
I1*ej(ω*t+φ1)
I2*ej(ω*t+φ2)I3*ej(ω*t+φ3)
I4*ej(ω*t+φ4)
I5*ej(ω*t+φ5)I6*ej(ω*t+φ6)
06.008.19
Maschenregel(2. Kirchhoffsches Gesetz)
Die Summe aller Spannungen eines Stromkreises(Masche) ist null:
U0
U1 U2
U4 U3
Σ Uk(t) = 0 zu jedem Zeitpunkt tk = 1
N
06 / Teil C / Seite 06
06.009.01
Kombination von ohmschen,kapazitiven und induktiven Widerständen
Ohmsche, kapazitive und induktive Widerständekönnen kombiniert werden.
Möglichkeiten:
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Parallel- und Reihenschaltung
Diese Schaltungen haben eine große technischeBedeutung.