1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705). Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini “Bernoulli dan Binomial”. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang) kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari penulisan ini adalah : 1. Apa pengertian sebaran bernoulli 2. Apa pengertian sebaran binomial 1.3 Tujuan Penyusunan Makalah 1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli, dan sifat sebarannya. 2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial, dan sifat sebarannya.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana
adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses
Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika
bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).
Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan
dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”.
Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal
dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari
percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan
tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.
Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini
“Bernoulli dan Binomial”. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk
mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi
kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi
pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang)
kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari
penulisan ini adalah :
1. Apa pengertian sebaran bernoulli
2. Apa pengertian sebaran binomial
1.3 Tujuan Penyusunan Makalah
1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli,
dan sifat sebarannya.
2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial,
dan sifat sebarannya.
2
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Sebaran Bernoulli
Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang
hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “sukses” atau “gagal”. Percobaan tersebut
disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit
Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:
1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”
2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 – p
2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi
kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak
mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan
peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e E
X (e) =
0 jika e E◦
Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai
berikut : ƒ(x) = px q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 < p < 1.
Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang “sukses” dan q = 1- p
adalah peluang “gagal”, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian
sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai :
px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 < p < 1
ƒ (x;p) =
0 ; x 0 atau 1 ( x lainnya ).
3
2.1.2 Nilai Harapan
Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak.
Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau
gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan
sebagai x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut :
Definisi 2.1.2
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang ƒ(x),
maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
( ) ∑ ( )
Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu “sukses” atau
“gagal” ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q
dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat
ditulis sebagai berikut :
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (x) Bernoulli adalah
p, secara umum ditulis x = E(X) = p.
2.1.3 Ragam
Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam
sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu :
Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q
Bukti :
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2x = Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q
Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2x = p q.
4
2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi
fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah
acak bebas.
Definisi 2.1.4
Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan
dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan
sebagai berikut : MX(t) = E(etX)
( ) ∑
( )
( ) ∫ ( )
(Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986).
Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan
definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis
sebagai berikut :
( ) ∑
( ) ∑
∑( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) ( ).
2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial
Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak.
Definisi 2.1.5
Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai
E [ ( ) ( )]
dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai
Gx(t) = E(tx)
jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka
yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- .
5
Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis
sebagai berikut :
( ) ( ) ∑
( ) ∑
∑( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( )
2.2 Sebaran Binomial
Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari
sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam
percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya ‘sukses’ dari
sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki
ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali
2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai
gagal dan sukses
3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain
4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas.
2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang
Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi
kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak
mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli
yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang
sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika
peluang ‘sukses’ pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X
melambangkan banyaknya kejadian ‘sukses’, maka fungsi kepekatan peluang dari
peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai
( ) ( )
Fungsi kepekatan peluang Binomial diatas diperoleh dari uraian berikut ini :
6
1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu.
Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda
dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan
peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah pxqn-x.
2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang
menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama
dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok
sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil,
pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan
dengan ( ).
3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x
sukses diperoleh dari hasil penggandaan ( ) dengan pxqn-x.
Hal yang harus diperhatikan adalah
∑ ( )
∑ ( ) ( )
Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka
sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X > r), dengan r<n, adalah:
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )
2.2.2 Nilai harapan
Nilai harapan X dari sebaran Binomial dengan parameter n dan p adalah :
x = E(X) =np
Bukti rumus :
7
( ) ∑ ( )
∑
( )
∑ ( )
( ) ( )
( ) ( )
∑ (
) ( )
( ( )) ∑ ( ) ( )
∑ ( )
( )
∑ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑ (
) ( ) ( )
2.2.3 Ragam
Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai :