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Humboldt-Universität zu BerlinInstitut für MathematikDidaktik der MathematikSchulpraktische Studien im Fach MathematikFrau Swetlana Nordheimer

Bericht zum Unterrichtspraktikumim Fach Mathematik

vom 13. September bis 8. Oktober 2010

betreuende Fachdidaktikerin: Swetlana Nordheimer

Verfasserin: [email protected]

geboren am: XX.XX.XXXXStudienziel: Master of Education

Fachkombination: XXXXX, MathematikMatrikelnummer: XX XX XX

Schule: XXXXX-GymnasiumBerlin Mitte, Klasse 9

Schulform: GymnasiumMentorin: XXXXX

letzte Änderung: 3. September 2010

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen 1

2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang 2

3 Sachanalyse 33.1 Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Existenz von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Die Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten . . . . . . . . . . . . 63.2.3 Gesetze für partielles Wurzelziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unter-richtsreihe 74.1 Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe . . . . . . . . . 74.2 Didaktische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wur-zeltermen 95.1 Kompetenzen oder Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen und Begründung

der Medienwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.4 Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster) . . . . . . . . . . . . . . . . 125.5 Geplante Tafelbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.6 Reflexion der Stunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle 156.1 Der Zensurenspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Auswertung und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Hospitation 177.1 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Mathematische Begriffsbildung und

Sprechweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Reflexion zu Protokoll I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele im Mathema-

tikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4 Reflexion zu Protokoll II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8 Reflexion und Zusammenfassung 20

9 Literaturverzeichnis 229.1 Schulbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2 Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial . . . . . . . 22

Praktikumsbericht Mathematik Autor I

Inhaltsverzeichnis

A Anhang iA.1 Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte und Quotienten . . . iA.2 Arbeitsblatt A1: Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen For-

meln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiA.3 Arbeitsblatt A2: Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz iiiA.4 Arbeitsblatt A3: Beseitigen von Wurzeln im Nenner . . . . . . . . . . . . ivA.5 Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . v

A.5.1 Ü1: Tägliche Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vA.5.2 H1: Hausaufgabe zum 04.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . . vA.5.3 H2: Hausaufgabe zum 01.10.2010: . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

A.6 Sitzplan der XX, Raum 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viA.7 Auflistung der hospitierten Stunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiA.8 Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont . . . . . . . . . . . ixA.9 Leistungskontrolle Gruppe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiA.10 Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK . . . . . . . . . . . . . . . . . xivA.11 Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK . . . . . . . . . . . . . . xvA.12 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma . . . . . . xviA.13 Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse XX . . xix

B Selbstständigkeitserklärung xxiii

Praktikumsbericht Mathematik Autor II

1 Klassensituation und Sozialisationserscheinungen

1. Klassensituation und Sozialisationserscheinungen

Das XXXXX-Gymnasium ist eine staatliche Europaschule mit deutsch-griechischem Schwer-punkt1 in Berlin-Mitte, die durch ihre Ausrichtung von einer multikulturellen Schülerschaftmit einem hohen Migrationshintergrund geprägt ist.Die Klasse XX des XXXXX-Gymnasiums mit 28 Schülern2 setzt sich aus 11 Mädchen und17 Jungen zusammen. Der Klassenverband wird durch eine heterogene Leistungsstrukturgeprägt. Der Zusammenhalt unter den Schülern ist zu dem Zeitpunkt des Unterrichtsprak-tikums als schwach zu bezeichnen, da mit Beginn des neuen Schuljahres die drei Klassender Jahrgangsstufe aufgelöst und zwei neue Klassenverbände gebildet worden sind. Obwohldie Schüler im gemeinsamen Umgang teilweise distanziert sind, kann das soziale Klima alsangenehm bezeichnet werden. Der hohe Anteil der Schüler mit Migrationshintergrund (86% der Schüler haben einen muslimischen Hintergrund, der Rest ein afrikanisches, polnischesoder kanadischen Elternteil.) stellt im gemeinsamen Schulalltag nur selten ein Problem dar,weil das gesprochene Deutsch nicht akzentfrei ist, jedoch durch die gemachten Fehler nichtallzu stark beeinträchtigt wird.Die Lerngruppe präsentiert sich auf den ersten Blick als aufmerksame Klasse mit vereinzeltenleistungsstarken Schülern. Jedoch erweist es sich als schwierig, die Schüler dauerhaft für dieMathematik zu begeistern, da sie sich schnell ablenken und nur bedingt motivieren lassen,eigene Rechnungen durchzuführen oder Tafelanschriebe in ihren Hefter zu übernehmen. DieAnsprechbarkeit der Klasse gestaltet sich durch die neue Klassenzusammensetzung als pro-blematisch. Abschweifungen vom Thema und ein hoher Lautstärkepegel erfordern regelmäßigdie Aktivierung der Aufmerksamkeit durch den Lehrer. Die Notwendigkeit der Anleitung undAufmerksamkeit erschwert Gruppen- oder Freiarbeiten, weil die Schüler langsam zu Ergeb-nissen gelangen und sich nur kurz konzentrieren können. Da diese Arbeitsmethoden jedochdurch praktische Anwendungen geübt werden, erfolgt im Anschluss meistens eine Sicherungder Inhalte im Klassenverband.Zwei Schüler erweisen sich als verhaltensauffällig und stören durch Zwischenrufe den Unter-richt sowie ihre Mitschüler. Der eine Schüler hat bereits eine Klasse wiederholt, zeigt sichtrotzdem selten gewillt, sich am Unterricht zu beteiligen und verweigert auch die Mitarbeit.Der andere Schüler ist schwer zu motivieren und versucht, durch Fragen den Unterrichtsver-lauf zu stören. Wenn er sich jedoch angesprochen fühlt, arbeitet er elanvoll mit.Obwohl die Klasse einen eigenen Klassenraum besitzt, sind die Arbeitsbedingungen durch ei-ne nicht nutzbare Tafelhälfte eingeschränkt. Ein Overheadprojektor ist vorhanden, allerdingsfindet sich keine leere Wand, an die sich das Bild projizieren lässt, so dass Tafelanschriebekurz sein müssen und der Overheadprojektor schlecht eingesetzt werden kann.

1 Vgl. Homepage des XXXXX-Gymnasiums, www.XXXXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010; vgl. Homepageder Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung, http:// www.berlin.de/sen/bildung/,letzter Zugriff: 01.12.2010.

2 Im Folgenden werden die Schülerinnen und Schüler gleichermaßen als Schüler bezeichnet, um eine bessereLesbarkeit zu garantieren. Auch Lehrerinnen und Lehrer werden gleichermaßen als Lehrer bezeichnet.

Praktikumsbericht Mathematik Autor 1

2 Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in den Gesamtlehrgang

2. Unterrichtete Stoffabschnitte mit Einordnung in denGesamtlehrgang

In der Einheit Rechnen und Operationen mit Wurzeltermen wird der Umgang mit Quadrat-wurzeln und Wurzeltermen geübt. Die Schüler sollen Quadratwurzeln addieren, subtrahieren,multiplizieren und dividieren. In der Doppeljahrgangsstufe 9/10 ist das Thema Rechnen mitQuadratwurzeln im Berliner Rahmenlehrplan3 als Teilbereich des Themenfeldes: P1 9/10Neue Zahlen entdecken, Zentrale Leitidee: Zahl verankert. Obwohl das Rechnen mit Wur-zeln als einer von fünf Unterpunkten der Zwei-Schlüssel-Kompetenz aufgeführt ist, nimmtdas Üben und die Festigung dieser Kompetenz viel Zeit in Anspruch, so dass der Unterrichts-abschnitt wie folgt geplant und selbst unterrichtet wurde, wobei die hervorgehobene Stundein dem ausführlichen Unterrichtsentwurf vorgestellt wird:

Stunde Datum Stundenthema Art1. Stunde 20.09.2010 •Zusammenhang von Quadrieren und Radizieren

•Satz: Lösungsmenge der Gleichung x2 = a

Doppel-stunde

2. Stunde 27.09.2010 •Lösungsmenge der Gleichung x2 = a

•Definitionsmenge von WurzeltermenDoppel-stunde

3. Stunde 30.09.2010 •partielles Wurzelziehen•Darstellung von Mengen an der Zahlengerade

Einzel-stunde

4.Stunde

01.10.2010 Umformung von Wurzeltermen mit Hilfe•der Rationalität des Nenners•der Binomischen Formeln•des Distributivgesetzes

Einzel-stunde

5. Stunde 04.10.2010 Lernbuffet: Umformung von Wurzeltermen Doppel-stunde

6. Stunde 07.10.2010 Üben/ Festigen mit einer Aufgabensammlung Einzel-stunde

7. Stunde 08.10.2010 •Durchführung des Tests•Die Kubikwurzel 3

√x und die n-te Wurzel n

√x

Einzel-stunde

Obwohl das Stundenthema im Mathematikbuch4 zum Selbstlernen angeboten wird, handeltes sich um ein vertiefendes Stundenthema mit dem Ziel, die drei Themenschwerpunkte inHinblick auf das Lösen von Wurzelgleichungen zu festigen.Als Voraussetzung werden für die Behandlung der Quadratwurzel u.a. der sichere Umgangmit Brüchen und das Wissen über die Eigenschaften der rationalen und irrationalen Zahlenbenötigt. Die Schüler müssen das Distributivgesetz und die binomischen Formeln beherr-schen sowie grundlegende Eigenschaften der Quadratwurzel kennen.Durch die Zahlbereichserweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen erreichen die

3 Vgl. Berliner Rahmenlehrplan, S. 44.4 Elemente der Mathematik 9 Berlin, Schroedel, 2009, S. 31 f.


3 Sachanalyse

Schüler eine qualitativ höhere Ebene des mathematischen Operierens. Das Üben von Um-formungen der Quadratwurzel erleichtert es den Schülern, sich später erfolgreich mit derBehandlung von Potenzen und Potenzgleichungen auseinander zusetzen. Der sichere Um-gang mit Quadratwurzeln bildet die Basis für die Behandlung quadratischer Funktionen undGleichungen, durch die sie außermathematisch dann sehr gut motiviert werden können. Dasfolgende Thema, der Satz des Pythagoras, baut auf dem Wissen über Quadratwurzeln auf.Hier erfolgt neben der innermathematischen Motivierung eine außermathematische Motivie-rung anhand zahlreicher Beispiele wie das Berechnen von Höhen, die die Schüler im Alltaganwenden können.Das Themenfeld der reellen Zahlen, also auch die Quadratwurzel, bildet eine unverzicht-bare Grundlage für fundamentale Sätze der Analysis der kommenden Schuljahre bis in dieSekundarstufe II. Durch die Auseinandersetzung mit Quadratwurzeln und damit der Gegen-operation des Quadrierens erhalten die Schüler eine differenzierte und tiefgründigere Sichtauf Möglichkeiten zur Vereinfachung von Termen, die ihnen das Rechnen und den weiterenUmgang damit erleichtern.

3. Sachanalyse

Für die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den reellen Zahlen R werden der sichereUmgang mit den vier Grundrechenarten (+,−, · und :) auf Q vorausgesetzt. Wie üblichwerden hier die Addition und die Substraktion zur Addition zusammengefasst, da man dieSubstraktion auch als Addition einer negativen Zahl auffassen kann. Das gleiche gilt für dieMultiplikation und die Division, da die Division eine Multiplikation mit dem Kehrwert einerZahl ist. Weiterhin ist die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der rationalen ZahlenQ notwendig.

Die reellen Zahlen lassen sich durch die Erweiterung der rationalen Zahlen Q zu den irratio-nalen Zahlen I hin zu den reellen Zahlen R motivieren. Die Charakterisierung der Vollstän-digkeit der reellen Zahlen5 erlaubt es, R aus Q zu konstruieren.Einerseits kann R als die Menge der Klasse aller rationalen Intervallschachtelungen betrach-tet werden, wobei [an, bn] und [An, Bn] zwei Intervallschachtelungen darstellen. Diese gehörenderselben Klasse an, wenn an ≤ Bm, An ≤ bm ∀ n,m ε N.Die zweite Möglichkeit ist es, die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen zukonstruieren. Zwei Cauchy-Folgen gehören derselben Klasse an, wenn ihre Differenzenfolgeeine Nullfolge ist.Die dritte Möglichkeit stellt die Konstruktion von R als dedekindscher Schnitt rationaler Zah-len dar. R wird zerlegt in zwei disjunkte Teilmenge A und B, für die gilt: a < b ∀ a ε A, b ε B.Die in der Schule übliche Möglichkeit besteht darin, den Zahlraum der rationalen Zahlen Qum den Zahlraum der irrationalen Zahlen I zu erweitern und diese zu R zusammenzufassen.Hierzu kann entweder der Weg über Intervallschachtelungen oder die Idee der Cauchy-Folgen

5 Vgl. Filler, Andreas: 2. Vorlesung, Folie 3.


3 Sachanalyse

gewählt werden. Die Unterrichtseinheit baut auf der Herleitung über die Intervallschachte-lung auf, so dass diese durch die Betrachtung der Darstellbarkeit von Brüchen als Dezimal-zahlen näher betrachtet werden soll.

3.1. Eigenschaften der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen R sind bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe G, d.h. sie habenfolgende Eigenschaften:6

1. Assoziativität: ∀ a, b, c εG : (a+ b) + c = a+ (b+ c)

2. Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e εG, ∀ a εG : a+ e = e+ a = a

3. Existenz eines inversen Elements: ∀ a ε G ∃ b ε G : a+ b = b+ a = e

4. Kommutativität: ∀ a, b εG : a+ b = b+ a

Des Weiteren ist (R,+) abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b εG : (a+ b) εG.Bezüglich der Multiplikation sind die reellen Zahlen R ein kommutativer Monoid M , siehaben also die folgenden Eigenschaften:7

1. Assoziativität: ∀ a, b, c εM : (a · b) · c = a · (b · c)

2. Eindeutigkeit des neutralen Elements: ∃ e εM, ∀ a εM : a · e = e · a = a

3. Existenz von multiplikativen Inversen: ∀ a ε M, a 6= 0 ∃ a−1 ε M : a · a−1 = 1.

4. Kommutativität: ∀ a, b εM : a · b = b · a

Es handelt sich hierbei um keine Gruppe, da zu Null kein inverses Element vorliegt. Schließtman diese jedoch aus und definiert die Existenz von multiplen Inversen wie oben, so ist(R∗, ·) eine abelsche Gruppe. Sie ist ebenfalls abgeschlossen, da gilt: ∀ a, b εM : (a · b) εM .Zusätzlich gilt auf (R,+, ·) das Distributivgesetz: ∀ a, b, c εM : a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Auf Grundlage der Menge der natürlichen Zahlen N lässt sich die Menge der reellen ZahlenR durch Äquivalenzrelationen konstruieren.

Betrachte die Menge N∗ x N∗ mit N∗ = N\{0}. Die Relation ist definiert durch(a, b):(c, d)⇔ a · d = b · c

mit den Zahlenpaaren (a, b), (c, d) εN∗ x N∗. Weiterhin ist sie eine Äquivalenzrelation, da siefolgende Eigenschaften erfüllt:

1. Reflexivität: (a, b):(a, b) ∧ (c, d):(c, d)

2. Symmetrie: (a, b):(c, d)⇔ (c, d):(a, b)

3. Transitivität: (a, b):(c, d) ∧ (c, d):(e, f)⇒ (a, b):(e, f)

6 Vgl. Timmann: Repetitorium der Analysis, S. 15 f.7 Timmann, S. 16.


3 Sachanalyse

Die Menge der reellen Zahlen R ist gleich der Menge aller Äquivalenzklassen von N∗ x N∗

bezüglich der oben definierten Relation, wobei M(a) die Äquivalenzklasse von a εM mitM(a) := {b εM : b : a} ist. Die Addition und die Multiplikation sind beide wohldefiniert,kommutativ und assoziativ ∀ (a, b), (c, d) εR mit:

(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)(a, b) + (c, d) = (a · d+ b · c)

Die reellen Zahlen lassen sich anordnen. Für die Ordnungsrelation gilt für a, b εR genau eineder folgenden Beziehungen (Trichotomie-Eigenschaft):

a < b a = b a > b

Ferner gilt: ∀ a, b, c εRa < b ∧ b < c⇒ a < c

a < b⇔ a+ c < b+ c

a 6= 0 ∧ b 6= 0⇒ a · b > 0

Sei M definiert alsM := {(a, b) εN x N : b 6= 0}Menge von Paarzahlen, deren zweiter Eintragvon Null verschieden ist. Zwei Paare (a1, b1) und (a2, b2) sind äquivalent zueinander, wenngilt: a1

b1= a2

b2

Da die Notwendigkeit der Existenz reeller Zahlen aus der Intervallschachtelung und der Voll-ständigkeit der reellen Zahlen hergeleitet wird, ist eine Definition der Intervallschachtelungund der daraus resultierenden Vollständigkeit von R notwendig.Definition8: Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I1, I2, I3, ... kompakter Intervalle, kurz(In), mit den Eigenschaften:

1) In+1 ⊂ In für n = 1, 2, 3, ...

2) Zu jedem ε > 0 gibt es ein Intervall In mit einer Länge |In| < ε.

Satz9: Zu jeder Intervallschachtelung in R gibt es eine reelle Zahl, die allen ihren Intervallenangehört. (Intervallschachtelungsprinzip)

3.2. Existenz von Wurzeln

Als Konsequenz aus der Vollständigkeit von R lässt sich die Existenz von Wurzeln beweisen.10

Satz: Zu jeder reellen Zahl a > 0 und jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine reelle Zahlb > 0 mit bn = a.Anders ausgedrückt: ∀ a ε R und n ε R ∃! b ε R mit bn = a. Dieses b heißt die n-te Wurzelvon a mit der Bezeichnung: b = a

1n oder b = n

√a Es gilt: Potenzen mit rationalem Exponent

r ε Q, r = pq, p ε Z, q ε N, q 6= 0 werden für x > 0 definiert durch

xr = xpq := q

√xp = (

√x)p

8 Königsberger, S. 11.9 Königsberger, S. 12.10 Vgl. Königsberger, Beweis auf S. 12 f.


3 Sachanalyse

3.2.1. Die Quadratwurzel

Die Unterrichtseinheit behandelt den Umgang mit reellen Zahlen und Quadratwurzeltermen,weshalb die Quadratwurzeln im Folgenden definiert wird:Sei a > 0 eine Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll. Wenn x die Wurzel vona ist, gilt für x 6= 0: x2 = a ⇔ x = a

x, ansonsten ist x 6= a

x. Dann konvergiert die Folge,

basierend auf dem arithmetischen Mittel x′ = 12(x+ a

x) gegen die Wurzel aus a.

Satz:11 Seien a > 0 und x0 > 0 reelle Zahlen. Die Folge (xn)nεN sei durchxn+1 := 1

2(xn + axn

)rekursiv definiert. Dann konvergiert die Folge (xn) gegen die Quadratwurzel von a, d.h.gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung x2 = a.Nach Forster wird für a ≥ 0 die eindeutig bestimmte nichtnegative Lösung der Glei-chung x2 = a mit

√a bezeichnet. Die Gleichung x2 = a hat folgende Lösungen:

L = a = 0 : x = 0

a > 0 : ±√a

Definition (in der Schule gebräuchlich): Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise√a oder 2

√a, a heißt Radikand) versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert

a ergibt. Die Quadratwurzel in nichtnegativ.Satz: ∀ a ε R gilt:

√a2 = |a|

3.2.2. Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten

Auf Grundlage der Definition und des Satzes aus Kapitel 3.2.1 lassen sich die beiden Wurzel-gesetze für Produkte und Quotienten auf dem Zahlenraum der reellen Zahlen in R herleiten.

W1 ∀ a, b ≥ 0, a, b ε R :√a ·√b =√a · b

W2 ∀ a, b ≥ 0, a, b ε R :√a√b

=√

ab

Der Beweis findet sich im Anhang A.1 auf Seite i.

3.2.3. Gesetze für partielles Wurzelziehen

Neben den bereits genannten Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung sinddie drei Gesetze für das partielles Wurzelziehen elementar, um Terme umformen zu können.Sie lassen sich mit Hilfe des Satzes und den Gesetzen für Produkte und Quotienten beweisen.

P1 ∀ a, b ε R, b ≥ 0 :√a2b = |a| ·

√b Beweis:

√a2b =

√a2√b = |a| ·

√b

P2 ∀ a, b ε R, a ≥ 0, b 6= 0 :√

ab2 =

√a|b| Beweis:

√a2

b=√a2

b= |a|

b

P3 ∀ a, b ε R, b > 0 :√

a2

b= |a2√b

Beweis:√

ab2 =

√ab2 =

√a|b|

11 Forster, Otto: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig 1983,S. 34; Beweis auf S. 34 f.


4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe

4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnittund zu der Unterrichtsreihe

4.1. Darstellung möglicher Varianten für die Unterrichtsreihe

Eine Einführung der Quadratwurzel und ihrer Rechenoperationen ist auf verschiedene Artenmöglich. Die erste Möglichkeit besteht in der deduktiven Spezialisierung der allgemeinenn-ten Wurzel hin zu der Quadratwurzel als Spezialfall. Diese Variante, wie sie universitärbeschritten wird, stellt für die Schule jedoch keine gute Möglichkeit dar, da diese Darstel-lung sich als zu abstrakt für die Schüler erweist und der induktive Umkehrschluss von derQuadratwurzel hin zur Kubikwurzel schülernäher ist.Die Einführung der Quadratwurzel ist durch die Mentorin über eine Intervallschachtelung alsBerechnung der Quadratwurzel über einen nicht abbrechenden Dezimalbruch erfolgt.12 Eineweitere Möglichkeit hätte in der Konstruktion eines Quadrates und seiner Diagonale ohneexplizite Berechnung von

√2 bestanden, an dem die Schüler die Wurzel geometrisch erfah-

ren hätten.13 Nach der Betrachtung der Eigenschaften von abbrechenden und periodischenDezimalbrüchen wird der kognitive Konflikt der Länge der Quadratdiagonale erzeugt. DasZuhilfenehmen der Inkommensurabilität erleichtert es, den Beweis der Irrationalität einerWurzel zu führen und hebt die besondere Eigenschaft der irrationalen Zahlen, die Nichtdar-stellbarkeit als gewöhnlicher Bruch, hervor.Als Einstieg in die selbstständig geplante Unterrichtsreihe wird zunächst der Zusammenhangzwischen dem Quadrieren und Radizieren sowie die Lösungsmenge der Gleichung x2 = a her-ausgearbeitet. Darauf aufbauend wurden die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten mitihren speziellen Anwendungen und die Darstellung von Wurzeltermen an der Zahlengeradeerarbeitet. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, um Umformungsschritte und das Verständ-nis für die Gesetze zu erleichtern und vorzubereiten. Hiervon ausgehend ist es jedoch schwer,den weiteren Umgang mit Wurzeltermen für die Schüler außermathematisch zu motivieren.Sie kennen bereits die Darstellbarkeit einer Wurzel an der Zahlengerade, die Rechenregelnund ihre Anwendung sind jedoch nur sehr mühsam durch viele Übungsaufgaben erlernbar.Es fällt den Schülern schwer nachzuvollziehen, warum es notwendig ist, die Definitionsmengeeines Wurzelterms zu betrachten, trotz dass sie sich der Nichtnegativität einer Wurzel be-wusst sind. Ausgewählte Gegenbeispiele, bei denen der Radikand beispielsweise negativ ist,sollen die Notwendigkeit zur Betrachtung der Definitionsmenge innermathematisch motivie-ren, ohne auf den zu komplizierten Begriff der Konvergenz einer Folge zurückzugreifen. DieDarstellbarkeit der Definitionsmenge an der Zahlengerade wurde gewählt, um den Schülerneinen optischen bzw. geometrischen Zugang zu dieser Problematik für das bessere Verständ-nis anzubieten. Der Schluss von der Quadratwurzel zur Kubikwurzel erlaubt es, die Einheitsinnvoll abzuschließen, da der Spezialfall über die Betrachtung der Kubikwurzel auf die all-

12 Vgl. Elemente der Mathematik 9, S. 20; Lambacher Schweizer 9, Klett 2008, S. 12; Mathematik heute9, Schroedel 1992, S. 7.

13 Vgl. z.B. Hahn, Dzewas: Mathematik 9, Westermann 1995, S. 72.


4 Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt und zu der Unterrichtsreihe

gemeine Behandlung der n-ten Wurzel erweitert wird.Es wäre möglich, die Darstellung von Wurzelfunktionen bei der intuitiven Einleitung vonWurzeln voraus zunehmen.14 Diese Möglichkeit wurde allerdings nicht gewählt, um denSchwerpunkt nicht auf den Funktionsbegriff zu legen. Dieser hätte die Schüler vermutlichirritiert, da es notwendig gewesen wäre, sich zusätzlich zu der neuen Thematik im Umgangmit Wurzeln auch mit dem Funktionsbegriff und der Darstellung von Funktionsgraphen aus-einander zusetzen.

4.2. Didaktische Reduktion

Die Einführung der reellen Zahlen R erfolgt nicht axiomatisch, sondern basierend auf demkognitiven Konflikt der Notwendig der Erweiterung des Zahlbereiches von Q. Für die Herstel-lung des Zusammenhanges zwischen den rationalen Zahlen werden diese um die irrationalenZahlen I erweitert und die bisher geltenden Eigenschaften beibehalten. Q und I werden alsErweiterung des Zahlbereiches zu R zusammengefasst. Hier gilt der axiomatische Aufbau,ohne dass er mit den Schülern explizit behandelt wird.Da eine Betrachtung der Wurzel vom Spezialfall der Quadratwurzel hin zur n-ten Wurzelerfolgt, wird für die Quadratwurzel folgende vereinfachte Definition gebraucht:Definition: Unter der Quadratwurzel aus a (Schreibweise

√a oder 2

√a, a heißt Radikand)

versteht man diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Die Quadratwurzel istnichtnegativ.Die Definition der Quadratwurzel nach Forster15 wird hier deutlich vereinfacht, da der in derSachanalyse gegebene Begriff der Konvergenz von Folgen nicht benutzt werden kann, da aufihn nur intuitiv zurück gegriffen werden kann. Dies wurde durch die Intervallschachtelungzwar approximativ veranschaulicht, jedoch wird mit der oben genannten vereinfachten Defi-nition der Quadratwurzel gearbeitet, ohne auf die Definition der Intervallschachtelung nachKönigsberger auf Grund ihrer Abstraktheit zurückzugreifen. Der Satz zur Quadratwurzelwird den Schülern durch die Betrachtung des Betrages auf der Zahlengerade ohne Beweis-führung näher gebracht.Der Beweis für die Wurzelgesetze für Produkte wird zu Beginn der Unterrichtseinheit an derTafel vorgeführt und analog von den Schülern für Quotienten behandelt. Hiermit soll eineHeranführung an das mathematisch korrekte Führen von Beweisen auf Schulniveau erreichtwerden. Trotz dass beide Beweisführungen16 für den Unterricht relevant sind, wird nicht derWeg über die Betrachtung der Eigenschaften gewählt, sondern die zweite Beweisführung, dahier die Operationen bei einer Gleichung für Schüler leichter nachzuvollziehen sind.Der Unterrichtsstoff der Einheit wird teilweise im zweiten Abschnitt stark vom formalenDenken hin zum intuitiven Umgang mit Wurzeltermen vereinfacht, um dem Niveau derSchüler und dem Bedürfnis nach Anwendung angepasst zu werden. Die Gesetze für das par-tielle Wurzelziehen, die Anwendung des Distributivgesetzes und der binomischen Formeln14 Vgl. Hahn/ Dzewas: Mathematik 9, S. 72.15 Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.16 Vgl. Beweisführung im Anhang A.1 auf Seite i.


5 Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten der Umformung von Wurzeltermen

sowie das Rationalmachen des Nenners erfolgen ohne Beweisführung, damit sich die Schülerauf die Anwendung dessen konzentrieren können. Die Betrachtung der Definitionsmengenvon Wurzeltermen erfolgt lediglich durch das Berechnen bzw. Aufstellen in mathematischerSchreibweise D = {Variable ε R|Variable. . . }. Hierbei wird als didaktische Reduktion nichtweiter auf die Eigenschaften von Mengen auf universitärem Niveau eingegangen, sonderninhaltlich-anschaulich erklärt.Auch der Begriff der Wurzel als Konvergenz einer Folge wird den Schülern nicht näher ge-bracht, da die Schuldefinition mittels einer Intervallschachtelung hergeleitet, aber nicht alsexplizite Folge charakterisiert wurde. Die Quadratwurzel als Produkt zweier Zahlen bieteteine leichter zu begreifende Möglichkeit des Begriffs und bereitet zugleich das Verständnisfür den Satz des Pythagoras und die Potenzgesetze vor. Trotzdem wird das Verhalten einerFolge verbal beschrieben.Die Vollständigkeit der reellen Zahlen R wird in der Klasse als Dichtheit der reellen Zahlenbehandelt, ohne dass jedoch der Begriff der Stetigkeit genannt wird. Die Notwendigkeit derStetigkeit wird zwar in Bezug auf das Stopfen der Löcher auf der Zahlengerade impliziertund von einem intuitiven Begriff der Stetigkeit ausgegangen, jedoch würde eine Behandlungder Stetigkeit mittels der ε− δ−Sprache zu abstrakt sein.

5. Ausführlicher Stundenentwurf Drei Arten derUmformung von Wurzeltermen

Die im folgenden beschriebene Stunde wurde am 1. Oktober 2010 in der Klasse XX desXXXXX-Gymnasiums unterrichtet. Das Thema der Einzelstunde lautet Umformen von Wur-zeltermen mit den binomischen Formeln, dem Distributivgesetz und durch das Rationalma-chen des Nenners.

5.1. Kompetenzen oder Lernziele

• Die Schüler kennen die reellen Zahlen, ihre grundlegenden Eigenschaften und könnenauf diesem für sie neuen Zahlenraum sicher addieren, subtrahieren, multiplizieren unddividieren. (Kompetenzziel der Unterrichtsreihe)

Die Schüler im oberen Leistungsniveau

• formenWurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzes umund erkennen Gesetzmäßigkeiten. Sie machen den Nenner von Wurzeltermen rational,indem sie sinnvoll erweitern und dabei die binomischen Formeln zur Hilfe nehmen.

• bearbeiten in Gruppen zügig und zielführend die gestellten Aufgaben und erläuternder Klasse an der Tafel selbstständig ihre gemeinsam ausgewählten Übungsaufgaben.(soziale Kompetenz)



Die Schüler im unteren Leistungsniveau

• formen Wurzelterme mit Hilfe der binomischen Formeln und des Distributivgesetzesum, können aber keine eigenen Aufgaben formulieren. Sie machen den Nenner vonWurzeltermen rational, indem sie sich an den Beispielaufgaben orientieren.

• bearbeiten in Gruppen langsam die gestellten Aufgaben und erläutern auf Nachfrageden Rechenweg ihrer gemeinsam gewählten Übungsaufgaben.

5.2. Situative Voraussetzungen und Vorkenntnisse

In den vorangegangenen Stunden wurden die Eigenschaften der Quadratwurzel 17 und diedamit verbundenen Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten 18 eingeführt. Auch mit Hilfedes partiellen Wurzelziehens, der Bestimmung der Definitionsmenge einer Wurzel und ihrerDarstellung an der Zahlengerade sind die Schüler für Umformungstechniken und das graphi-sche Verständnis sensibilisiert worden. Die Hausaufgabe diente zur Festigung des Wissensüber partielles Wurzelziehen und die Wurzelgesetze.

Trotz dass der Klassenraum verhältnismäßig klein ist für eine Klasse mit 28 Schülern, wirdeine offene Form des Unterrichts gewählt, um diese den Schülern näher zubringen und daseigenständige Arbeiten zu fördern. Um keine Zeit während der Stunde zu verlieren, werdenbereits in der Pause zuvor die Tische zu sechs Gruppentischen à zwei bzw. drei Tische zu-sammengestellt. Da die Schüler in der vergangenen Stunde geäußert haben, dass sie gernedie praktische Anwendung der Umformung von Wurzeltermen üben würden, ist die heutigeStunde als Übungs- und Anwendungsstunde ausgelegt, in der aber trotzdem eine inhaltlicheVertiefung erfolgt.Die Schüler müssen sich ein Thema selbstständig erarbeiten und dieses dem Rest der Klas-se vorstellen. Die Form des selbstverantwortlichen Lernens fällt der Klasse großteils sehrschwer. Deshalb ist das Aufgabenblatt so konzipiert, dass anhand vorgebener Beispiele dasinhaltliche Konstrukt erarbeitet, verstanden und dann an selbst gewählten Beispielaufgabenverdeutlicht werden soll. Obwohl die binomischen Formeln und das Distributivgesetz als be-kannt vorauszusetzen sind, hat sich in den vergangenen Stunden gezeigt, dass davon nichtausgegangen werden kann. Deshalb sind diese auf dem jeweiligen Arbeitsblatt abgedruckt,damit die Bearbeitung der Blätter nicht aufgrund mangelnden Vorwissens beeinträchtigtwird.

In den beiden folgenden Stunden werden zwei verschiedene Formen der Übung für die Schülerangeboten. Beiden Varianten, das Lernbuffet und die Aufgabensammlung, liegen dieselbenAufgaben zu Grunde, so dass jeder Schüler als Vorbereitung für den Test vor den Herbstferienund die Klassenarbeit nach den Ferien die für ihn optimale Lernstrategie finden, sein Wissenbündeln und festigen kann.

17 Vgl. Kapitel 3.2.1 auf Seite 6.18 Vgl. Kapitel 3.2.2 auf Seite 6.



5.3. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen undBegründung der Medienwahl

Die geplante Stunde steht an dieser Stelle der Unterrichtseinheit, da sie elementare Bearbei-tungsstrategien von Wurzeltermumformungen behandelt und als letzter inhaltlicher Bausteinfür die Lernerfolgskontrolle fehlt. Die Schüler erhalten zur Wurzeltermumformung einige Bei-spiele, an denen sie ihr Wissen erweitern und ihr Verständnis vertiefen können.Die Verbindung von theoretischem Wissen und der praktischen Anwendung durch Übungs-aufgaben erweist sich in dieser Klasse als besonders notwendig, da es vielen Schülern schwerfällt, Sätze oder Definitionen sachlogisch korrekt zu durchdenken. Die Möglichkeit, die Her-leitung der Rechengesetze, die angewandt werden, an der Tafel zu erklären und diese in Formeines Satzes zu notieren, erscheint hier nicht sachdienlich. Bei der Wahl eines gelenkten Un-terrichtsgesprächs hätten sich nur vereinzelte Schüler mit Wortmeldungen beteiligt und derGroßteil wäre passiv geblieben, hätte nicht zugehört oder gestört. Bei der Erarbeitung derThemen in Einzelarbeit wären die Schüler jedoch nicht miteinander in Interaktion getreten,so dass diese Möglichkeit der Unterrichtsgestaltung verworfen wurde.

Als Einstieg wurde die Form der täglichen Übung gewählt. Der Stundenbeginn wird deutlichsignalisiert, die Schüler können zur Ruhe kommen und durch die Konzentration in der Bear-beitung wird eine didaktisch wertvolle Arbeitsathmosphäre geschaffen. Die einzelne Lösungder diktierten Aufgaben zeigt jedem Schüler einzeln auf, wo seine individuellen Schwächenliegen und was er noch einmal wiederholen sollte. Normalerweise erfolgt der Vergleich derErgebnisse in der Partnerarbeit. Wegen der schwierigen Vergleichsmöglichkeiten der graphi-schen Darstellungen werden diese als Ergebnissicherung ausnahmsweise an der Tafel einge-zeichnet. Außerdem können im Hinblick auf die Lernerfolgskontrolle und die Klassenarbeitformale Fehler direkt beseitigt werden, so dass sich keine falsche Darstellung einprägt.Das Vorstellen der Gruppenarbeit und das Erklären der drei Gruppen ermöglicht die Ziel-angabe der Stunde. Die Schüler erfahren, worin die Schwerpunkte der Stunde liegen und aufwelche Weise sie diese erarbeiten sollen. Der Lehrervortrag ermöglicht es, notwendige Infor-mationen zum Ablauf der Stunde und Organisatorisches kompakt und schnell zu erklären.Gleichzeitig können Schülerfragen geklärt und offene Probleme direkt gelöst werden.Für die Erarbeitungsphase wurde die Form der Arbeitsblätter gewählt, da drei verschiedeneThemen erarbeitet und durchdacht werden sollen. Die Gruppengröße von 4-5 Schülern wurdegewählt, da hier jeder Schüler der jeweiligen Gruppe gezwungen ist, sich an der Erarbeitungzu beteiligen, ohne sich zurücklehnen zu können. Trotzdem liegt die Last der Verantwortungnicht bei einem einzelnen Schüler, sondern verteilt sich optimalerweise gleichmäßig auf dieGruppenmitglieder. Um Ergebnisse erzielen zu können, müssen sie in Interaktion miteinan-der treten. Obwohl die sechs Gruppen sechs mögliche Themen suggerieren, ist eine Auswahlder drei genannten Themen erfolgt, da es sonst zu viele inhaltlich neue Schwerpunkte für dieStunde gäbe. Es ist für die Schüler bereits schwierig genug, sich mit drei neuen Vertiefungsbe-reichen auseinander zu setzen. Schwierigkeiten können in der Erarbeitungsphase in Form desfachlichen Verstehens und in der Gruppendynamik entstehen. Das Verständnis des Inhalts



wird, wie bereits beschrieben, durch die Informationsboxen auf dem Arbeitsblatt und dieBeispielaufgaben erleichtert. Die farblichen Hervorhebungen erleichtern das Erkennen vonZusammenhängen. Das Anleiten zum Zusammenarbeiten muss sukzessive gefördert werden.Falls Probleme in einer Gruppe auftreten sollten, kann der Lehrer als Vermittlungspersonzur Verfügung stehen oder auch die Gruppen zur intensiven Bearbeitung auffordern.Nach dieser Phase ist bei verlängerter Erarbeitungszeit ein Ende der Stunde möglich. Umeinen sinnvollen Stundenabschluss zu gewähren, würden die zu diesem Zeitpunkt erarbeite-ten Übungsaufgaben zwischen den jeweiligen Partnergruppen ausgetauscht und die weitereBearbeitung als Hausaufgabe gestellt werden. Die Präsentation für die anderen vier Gruppenwürde auf die folgende Stunde verschoben werden, so dass hierdurch ein Aufgreifen und eineWiederholung der Stundeninhalte erfolgen kann, ohne dass ein inhaltlicher Bruch zustandekommt.Die Sicherung der Ergebnisse soll in einer Präsentationsphase stattfinden. Die Unterrichts-form ermöglicht den Schülern, das freie Sprechen und das Erklären sowie das Schreiben an derTafel zu üben. Die Verbalisierung der mathematischen Fachbegriffe wie sinnvoll Erweiternund die Kennzeichnung der angewendeten Rechengesetze ermöglicht es den anderen Schüler,die Themen, die sie selbst nicht bearbeitet haben, zu verstehen, die Rechenwege nachzu-vollziehen und auf die gestellten Übungsaufgaben direkt anzuwenden. Der Tafel wurde derVorzug gegenüber dem Overhead-Projektor gegeben, da für diesen eine nicht vorhandenefreie Wand notwendig wäre.Die Hausaufgabe besteht aus Anwendungsaufgaben zu den drei behandelten Themengebie-ten und dient als Festigungsmöglichkeit für das Gelernte. Die Schüler sollen die Algorithmenverinnerlichen und verstehen können.Als Reserve dient die Hausaufgabenbesprechung zu der heutigen Stunde.

5.4. Verlaufsplanung in Tabellenform (Zeitraster)

Phase/Zeit

Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte/Ziele(Stichpunkte)

Sozialform/Materiali-en

Einstieg10:00 -10:10 Uhr

Begrüßung der Schüler (S)durch die Lehrerin (L).Durchführung einer täglichenÜbung: L liest den Arbeitsauf-trag vor, notiert die Mengenund zeichnet die Zahlengera-den an der Tafel an.Stelle die Menge graphisch an der

Zahlengerade dar oder nenne die

Menge, für die Zeichung gilt.

S öffnen ihr Übungs-heft, notieren dasDatum, hören denArbeitsauftragund schreiben dieMengen in dasÜbungsheft. Sielösen die Aufgabeneigenständig, nennendie Mengen, stellensie graphisch ander Tafel dar undkorrigieren möglicheFehler.

Verschriftlichungvon gesproche-nen Mengen,Darstellung vonMengen an derZahlengerade

Einzel-arbeit,Unterrichts-gespräch(Ü1, Heft)



Einleitung10:10 -10:15 Uhr

L erklärt den Ablauf der kom-menden Stunde.Wie ihr bemerkt habt, sind die Ti-

sche in Gruppen zusammengestellt.

Wir werden heute in sechs Grup-

pen mit jeweils 4-5 Schülern arbei-

ten. Die drei Themen werden im-

mer von zwei Gruppen bearbeitet,

so dass ihr euch hinterher gegensei-

tig ergänzen könnt. L teilt Grup-pen ein, erklärt Arbeitsauf-trag und gibt Bearbeitungs-zeit vor.

S finden sich in denGruppen zusammen,hören zu und kläreneventuelle Verständ-nisprobleme.

inhaltiche undformale Zielan-gabe

Lehrer-vortrag

Erarbeitung10:20 -10:30 Uhr

L steht für Rückfragen zurVerfügung.

S erhalten A1, A2, A3

und lesen den Ar-beitsauftrag und be-arbeiten die Aufga-ben.

selbständigesErarbeiten vonneuen Inhalten,produktive In-teraktion in derGruppe

Gruppen-arbeit(A1, A2, A3)

mögliches Stundenende, HA: S formen die von den Partnergruppen gefundenen Terme um.Präsentationund Übung10:30 -10:45 Uhr

L moderiert bei auftretendenProblemen.

S nennen ihr The-ma, geben eine Über-schrift an, rechnenein Beispiel an derTafel vor und erläu-tern den Rechenweg.Sie schreiben einenweiteren Term für ih-re Mitschüler an dieTafel.

Präsentationvon Ergebnis-sen, Verbali-sierung vonRechenwegen

Gruppen-arbeit(Heft)

Stundenende, HA H1: S. 32, Nr. 3 d - f, 9, S. 33, Nr. 15 c, dReserve:Hausaufgabe

L fordert S auf, ihre Haus-aufgaben zu vergleichen. BeiFehlern werden auftretendeProbleme benannt und mitseinem Sitznachbarn geklärt.Während des Vergleich kon-trolliert L die Vollständig-keit der Hausaufgaben bei denSchülern.

S vergleichen ihreErgebnisse und set-zen einen Haken beirichtigem Lösungs-weg und Ergebnis.Bei Problemen su-chen sie gemeinsammit ihrem Sitznach-barn den Fehler undkorrigieren ihn.

Finden vonFehlern undeigenständigeKorrektur bzw.Korrektur inPartnerarbeit.

Partner-arbeit(H2, Heft)

5.5. Geplante Tafelbilder

Da sich die Schüler selbstständig Aufgaben ausdenken müssen, sind die Beispielaufgabenexemplarisch für das Tafelbild aufbereitet worden.



Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln

Beispiel: (5 +√

13) · (5−√

13) = (5 +√

13) · (5−√

13)= 52 −

√132 = 25− 13 = 12

Übung: (√

3 +√

12)2 = (√

3 +√

12)2 =√

32 + 2√

3√

12 +√

122

= 15 + 2√

3 · 12 + 12 = 27 + 2√

36 = 27 + 2 · 6 = 27 + 12 = 39

Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz

Beispiel:√

7 · (1 +√

7) =√

7 · (1 +√

7) =√

7 · 1 +√

7 ·√

7=√

7 +√

7 · 7 =√

7 +√

49 =√

7 + 7

Übung: (√

25b+√

25c)− (√

16b+√

16c) = (√

25√b+√

25√c)− (

√16√b+√

16√c)

=√

25(b+ c)−√

16(b+ c) = 5(b+ c)− 4(b+ c) = b+ c

Beseitigen von Wurzeln im Nenner (Den Nenner rational machen)

Beispiel: 10√5 = 10

√5√

5√

5 = 10√

5√5·5 = 10

√5

5 = 2√

5

Übung: 13+√

5 = 1·(3−√

5)(3+√

5)(3−√

5) = 3−√

532−√

52 = 3−√

59−5 = 3−

√5

4

Die weiteren Materialen wie die Tägliche Übung und die Hausaufgaben befinden sich imAnhang A.5.3 auf Seite vi. Der Sitzplan der Klasse XX findet sich im Anhang A.6 aufSeite vi.

5.6. Reflexion der Stunde

Der Beginn der Stunde gestaltet sich insoweit problematisch, dass die Schüler nicht zur Ruhefinden. Deshalb stehen die Schüler, nach Absprache mit der Mentorin, zu Beginn der Stundeauf, um einen gemeinsamen Anfang zu finden. Leider hat sich gezeigt, dass die Schüler trotzdes wiederkehrende Rituals nur schwer aus der Lebendigkeit der vorangegangenen Pause indie Aufmerksamkeit des Unterrichtsgeschehens finden. Die tägliche Übung unterstützt diesenWechsel und es hat sich gezeigt, dass diese Art des Stundenbeginns sinnvoll ist. Die Schülernehmen gerne die Möglichkeit wahr zu zeigen, was sie gelernt haben. Aus den Reaktionenbei dem Vergleichen konnte daraus geschlossen werden, dass das graphische Darstellen vonWurzeltermen an der Zahlengerade zwei Drittel der Klasse kaum mehr Schwierigkeiten be-reitet. Durch das langsame „zur Ruhe kommen“ ist jedoch zu viel Zeit verloren gegangen,die am Ende der Stunden fehlt.


6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle

Bereits aus den Reaktionen bei dem Umstellen der Tische und während des Lehrervortrageshat sich gezeigt, dass die offene Arbeitsform des Gruppenlernens bei einem Teil der Schülerals unnötig angesehen wird. Sie präferieren den Frontalunterricht, haben sich in den Gruppenjedoch erstaunlich ruhig und angenehm verhalten. Auch wenn einzelne Schüler immer wiederdazu angehalten werden mussten, sich mit der Thematik auseinander zusetzen, haben dieSchüler innerhalb der Gruppen jedoch gute Ergebnisse erzielen können. Bei der Vermittlungdes Unterrichtsinhaltes in einem Frontalunterricht hätten sich vermutlich die anderen Schü-ler ablenken lassen.Leider hat sich die Bearbeitungszeit des Aufgabenzettels als zu kurz kalkuliert erwiesen. Eshat sich bestätigt, dass die Klasse sehr langsam Aufgaben bearbeitet und vor allem lang-sam rechnet. Die Hälfte der Schüler arbeitet sehr schnell, macht aber regelmäßig gravierendeFehler. Die andere Hälfte gelangt zu einem richtigen Ergebnis, braucht dafür jedoch einesehr lange Bearbeitungszeit. Die Arbeit in Gruppen kommt diesem differierten Arbeitsver-halten entgegen, da die Schüler sich gegenseitig austauschen, was sie in dieser Stunde auchausführlich getan haben. Leider hat sich die Bearbeitungszeit derart verlängert, dass diePräsentation einer der drei Gruppen in die folgende Stunde verschoben werden musste. Diesstellt allerdings kein Defizit dar, da so die Inhalte wiederholt und aufgefrischt werden konn-ten.Eine kleine Veränderung scheint auf dem Aufgabenzettel zu dem Rationalmachen des Nen-ners sinnvoll. Die Schüler haben bei einer Summe oder einer Differenz im Nenner nur mitHilfe erkannt, dass der Nenner zu einer binomischen Formel ergänzt werden und diese dannangewandt werden muss. Ein Hinweis auf dem Aufgabenzettel erleichtert beim nächsten Maldie Bearbeitung, da es sich hierbei zusätzlich noch um die am anspruchsvollsten zu bearbei-tende Arbeitsgruppe handelt. Ansonsten kann gesagt werden, dass die Stunde in Bezug aufdie Erfüllung der anfangs formulierten Lernziele theoretisch sehr gut konzipiert worden ist.Leider hat nur ein Teil der Schüler alle drei Kompetenzen erlangen können, da die Klassesehr langsam lernt und es vielen Erklärungsversuchen bedarf. Im Umgang mit der Anwen-dung der binomischen Formeln und dem Distributivgesetz haben die meisten Schüler jedochdie angestrebten Lernziele erreichen können.

6. Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle

Die Durchführung der dargestellten Lernerfolgskontrolle (LEK)19 ist am Ende der Unter-richtseinheit Rechnen mit Quadratwurzeln in der Klasse XX durchgeführt worden. Die LEKbesteht aus jeweils fünf Aufgaben und ist, wegen der begrenzten räumlichen Situation, inzwei Varianten A und B durchgeführt worden, um Täuschungsversuche zu verhindern. InAbsprache mit der Lehrerin wurden die Umformung von Wurzeltermen, die Angabe des

19 Die beiden Aufgabenblätter mit den Aufgabenstellungen befinden sich, zusammen mit dem Erwartungs-horizont, einer aufgabenspezifischen Verteilung der Punkte und einer Einteilung in die drei Aufgaben-bereiche im Anhang im Kapitel A.8 auf Seite xi.


6 Darstellung einer durchgeführten Lernerfolgskontrolle

Definitionsbereiches eines Wurzelterms und seine graphische Darstellung sowie die Lösungs-menge einer einfachen quadratischen Gleichung als Inhalte gestellt. Die letzte Aufgabe wurdeals Textaufgabe gestellt und die Schüler mussten die Wurzelgesetze für den Beweis kreativanwenden. Da bei dieser Aufgabe eigene Überlegungen ohne erfolgte Vorgabe des Lösungswe-ges notwendig sind, ist diese Aufgabe so gewählt worden, dass sie bewältigt werden musste,um eine Note im sehr guten Bereich zu erlangen. Durch die einfache Anwendung der Wurzel-gesetze in Aufgabe 1 jedoch soll gewährleistet werden, dass die Schüler den Test bewältigenkönnen.

6.1. Der Zensurenspiegel

Note 1 2 3 4 5 6Anzahl - 3 3 5 13 2

Im Anhang ist, zusätzlich zu der detaillierten Aufschlüsselung nach Aufgaben (Anhang A.10auf Seite xiv) auch der Bewertungsmaßstab für Mathematik (Anhang A.11 auf Seite xv)einzusehen, auf den in der Auswertung Bezug genommen wird.

6.2. Auswertung und Reflexion

Der Notenspiegel bildet leider die schwache Leistungen der Klasse relativ gut ab. Ein Groß-teil der Klasse arbeitet entweder sehr langsam und sorgfältig, kann sich dafür die Zeit nichtgut einteilen, oder bearbeitet die Aufgaben schnell und unkonzentriert, woraus viele Fehlerresultieren. Die LEK ist verhältnismäßig schlecht ausgefallen. Lediglich drei Schüler habenim guten Notenbereich abgeschnitten. Die ungenügenden Leistungen haben sich im Unter-richt bereits durch den Unwillen, sich am Unterrichtsgeschehen zu beteiligen, angedeutet.Insgesamt darf die LEK von den Aufgaben her nicht als zu schwer angesehen werden. Obwohles in der LEK 24 Punkte zu erreichen gab, wurde auf Wunsch der Mentorin der strengereMaßstab für weniger als 20 Punkte20 angesetzt mit der Begründung, dass die Aufgaben dieUnterrichtsinhalte in sehr gut zu lösender Weise wiederspiegeln. Auf Basis des positiverenMaßstabs wäre folgende Verteilung der Noten erfolgt: 3x Note 2, 4x Note 3, 9x Note 4, 8xNote 5, 2x Note 6. Als Zeitangabe wurden 20 Minuten kalkuliert und den Schüler standenschlussendlich 25 Minuten zur Verfügung. Auch wenn sechs Schüler bereits vor Abgabeschlussfertig waren, sollte bei zukünftigen Leistungskontrollen mehr darauf geachtet werden, dassdie Schüler ausreichend Zeit für die Bearbeitung erhalten.Auf Grund der vielen Unterrichtsinhalte konnte nur schwer eine wirkliche Schwerpunktset-zung innerhalb der Aufgaben erfolgen. Jede Aufgabe deckt einen Themenbereich ab, derexplizit behandelt worden ist. Im Einzelnen ist aufgefallen, dass es einigen Schülern schwerfällt, die verschiedenen Wurzelgesetze angemessen anzuwenden. Dem Großteil der Klasse hat

20 Vgl. die Maßstabstabelle im Anhang A.11 auf Seite xv.


7 Hospitation

es kaum Schwierigkeiten bereitet, die Wurzel über einem Bruch durch Umformungen aufzu-lösen oder zwei Wurzeln miteinander richtig zu multiplizieren. Trotz zweifacher Behandlungund der Klärung aller dazu auftretenden Fragen haben die Schüler jedoch die Notwendigkeitdes Betrages bei Wurzeltermen nicht verinnerlicht. Da in der Unterrichtsstunde, in der dieserthematisiert wurde, Probleme im Verständnis der Schüler aufgetreten sind, wurde das Themaerneut aufgegriffen. Die graphische Darstellung von Definitionsmengen an der Zahlengeradewurde großteils erfolgreich umgesetzt und beim Rationalmachen des Nenners sinnvoll erwei-tert. Für einige Schüler stellt die Verknüpfung mit den binomischen Formeln hierbei nochein Problem dar. Weiterhin musste, auch zum Entsetzen der Lehrerin, festgestellt werden,dass die Schüler trotz zahlreicher Hinweise und Ausführungen Wurzelterme nicht möglichstweit kürzen. Hierdurch sind seitens der Schüler viele unnötige Punkte verschenkt worden.Trotz einer ausführlichen Übungsphase vor der LEK haben sich die Schülern schwer mit demRechnen von Wurzeltermen getan. Zukünftig sollte eine direkte Verknüpfung von Theorieund praktischer Anwendung erfolgen. In den ersten beiden Stunden sind zu schwere Einstiegs-beispiele gewählt worden, da die Klasse in einem sehr niedrigen Leistungsniveau anzusiedelnist. Die Übungsphase ist von den Schülern sehr gut aufgenommen worden, jedoch muss indieser Klasse vermehrt das Augenmerk auf das Üben gelegt werden, durch das Inhalte nochbesser verinnerlicht werden können. Durch die Anwendung ist es sehr wahrscheinlich, dassdas Rechnen zukünftig schneller automatisiert wird.Ein Hinweis seitens der Mentorin lässt schlussendlich das Abschneiden des Schüler viel-leicht besser verstehen. Nach ihren Beobachtungen hätte die LEK auf Grund des erteiltenUnterrichts ohne größere Probleme gut bewältigt werden müssen. Die Schüler haben sichinteressiert am Unterrichtsgeschehen beteiligt und die Praktikantin im Unterricht ohne Ein-schränkungen als Lehrperson anerkannt. Die Schlussfolgerung, zu Hause zu lernen und sichauf die LEK vorzubereiten, wurde allerdings nicht gezogen, da die Relevanz der LEK für dieHalbjahresnote von den meisten Schülern nicht ernst genommen wurde.

7. Hospitation

Die tabellarische Auflistung der hospitierten Stunden findet sich im Anhang A.7 auf Seite vii.

7.1. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: MathematischeBegriffsbildung und Sprechweisen

Datum: 13.09.2010 Uhrzeit: 08:55-09:40 UhrKlasse: LK Ma Fach: MathematikStundenthema: Kollinearität, Komplanarität und lineare (Un-)AbhängigkeitHospitationsschwerpunkt: Das Lernen mathematischer Begriffe

Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt MathematischeBegriffsbildung und Sprechweisen befindet sich im Anhang A.12 auf Seite xvi.


7 Hospitation

7.2. Reflexion zu Protokoll I

Das Wiederholen der Kollinearität und der Besonderheit der Parallelität stellt ein gutesEinstiegsbeispiel dar, an dem die Definition der Kollinearität wiederholt werden kann. DieLehrerin festigt den Begriff der Kollinearität durch eine Realdefinition21, mit der artbildendeMerkmale wiederholt werden. In der anschließenden Übung müssen vorhandene Wissens-strukturen auf die Aufgabe transferiert werden. Die Verbalisierung der berechneten Ergeb-nisse festigt das inhaltliche Verständnis, auf dem die mathematische Vorgehensweise beruht.In der fortschreitenden Begriffsbildung der Kollinearität wird diese noch einmal realdefiniert,da die Schüler das Ergebnis interpretieren müssen.Der Übergang zur linearen (Un-)Abhängigkeit wird als eine Konventionaldefinition22 ein-geführt. Durch die Überschrift ist für die Schüler direkt ersichtlich, was das Thema derStunde ist. Jedoch wird zunächst nur die lineare Abhängigkeit von Vektoren definiert, umhier den Bezug zur Kollinearität, dem Bekannten, herzustellen. Die objektive-logische Be-griffsbildungsform ermöglicht es den Schülern, an bekannte Wissensstrukturen anzuknüpfenund sich eine eigene Struktur zu erarbeiten. Das weniger komplexe sekundäre Konzept derKollinearität und Parallelität von Vektoren wird erweitert zu einem komplexen sekundärenKonzept23 der Begriffsbildung, der linearen Abhängigkeit von Vektoren.Die Trennung von linearer Abhängigkeit und der Erweiterung zu linearer Unabhängigkeitstellt eine sinnvolle mathematische Weise dar, diese beiden zusammenhängenden Begriffeeinzuführen. Da sie auseinander hergeleitet werden (Ist dies nicht der Fall, so heißen dieVektoren linear unabhängig.), ist es gut, erst eine Verknüpfung der linearen Abhängigkeitmit Bekanntem zu ermöglichen und anschließend den Begriff zu erweitern. Die Schülerant-wort in Bezug auf die Komplanarität zeigt, dass zumindest einige Schüler den Begriff in ihreWissensstruktur sinnvoll einordnen konnten.Leider zeigt sich anhand der beiden Beispiele, dass die Schüler der 11. und der 12. Klasse sichschwer mit der Bearbeitung der Aufgabe tun. Im Gegensatz zu den Schülern der 13. Jahr-gangsstufe finden sie nur schwer einen Ansatz, die lineare Unabhängigkeit durch Darstellungeiner Linearkombination zu zeigen bzw. zu widerlegen. Auch die Darstellung des linearenGleichungssystems in der letzten Beispielaufgabe bereitet einigen Schüler große Probleme.Hier fehlt grundlegende Kompetenzen, um erfolgreich eine Untersuchung von Vektoren auflineare (Un-)Abhängigkeit durchzuführen. Die Lehrerin weist die entsprechenden Schüler ansich diese Fähigkeiten schleunigst selbst anzueignen, da im Unterricht dazu keine Zeit vor-handen ist und sie die LGS bereits umformen können müssten.Der Verweis auf das Kriterium für lineare (Un-)Abhängigkeit ist folgerichtig, aber es ist fürmanche Schüler vielleicht zu theorielastig. Deshalb ist die Verknüpfung von Beispielen mitder Definition und dem Bezug auf bekannte Wissensstrukturen ein guter Weg, den Begriff fürmöglichst viele Schüler begreifbar zu machen. Das Anwendungsbeispiel der Erwärmung ist

21 Vgl. Zech, S. 255.22 Vgl. Zech, S. 255.23 Vgl. Ausubel in Zech, S. 258.


7 Hospitation

ein abstraktes Anwendungsbeispiel, um sich die lineare Abhängigkeit der einzelnen Faktorenzu vergegenwärtigen.

7.3. Teilformalisiertes Stundenprotokoll: Motivation durch Beispiele imMathematikunterricht

Datum: 13.09.2010 Uhrzeit: 10:55-12:45 UhrKlasse: XX Fach: MathematikStundenthema: Darstellung von gemischt periodischen Dezimalzahlen als BruchHospitationsschwerpunkt: Erkennen und Anwendung von Lösungsstrategien und Rechenal-gorithmen

Das teilformalisierte Stundenprotokoll mit dem Beobachtungsschwerpunkt Motivation imMathematikunterricht befindet sich im Anhang A.13 auf Seite xix.

7.4. Reflexion zu Protokoll II

Der Einstieg wird geschickt durch den Lehrer motiviert, da durch die tägliche Übung diebesonderen Eigenschaften der rein periodischen und abbrechenden Dezimalzahlen und derUmwandlungsalgorithmus wiederholt und aktiviert werden. Die bewusste Auswahl von unter-schiedlichen Beispielen (z.B. ein negativer Radikand, Quadratzahlen,...) motiviert die Schü-ler, spielerisch an das Rechnen heranzugehen. Die Reaktion eines Schülers zeigt, dass bereitsbeim Diktieren der Aufgaben überlegt wird, wie der Lösungsweg aussehen könnte. Die The-menangabe für die folgende Unterrichtsstunde macht den Schülern deutlich, was sie lernensollen und wie der Lehrer den Stoff vorstrukturiert hat. Damit motiviert er nach Zech24 biszu diesem Zeitpunkt auf zwei Arten: erstens fördert er durch die tägliche Übung den Wett-bewerbsgedanken, der durch die gemeinsame Kontrolle in eine Zusammenarbeit zwischenden Schülern übergeleitet wird. Die Zielorientierung ist als Form der Leistungsmotivationdie zweite Variante der Motivation.Leider stellt sich heraus, dass viele Schüler trotz der vorhergehenden Umformungsalgorith-men enorme Probleme bei der Umformung gemischt periodischer Dezimalzahlen in einenBruch haben. Das Vorrechnen an der Tafel ermöglicht es jedem Schüler, seine Fehler selbstzu finden und zu korrigieren. Nach der enaktiven Phase zeigt sich der Lehrer hilfsbereit undgeht auf die Lernschwierigkeiten der Schüler ein, was nach Zech25 Motivation durch Selbst-tätigkeit und emotionale Zuwendung bezeichnet wird.In der Übungsphase werden die Schüler durch die Logik der Beispielbildung fasziniert undrufen bereits nach dem Anschreiben der dritten Aufgabe die beiden folgenden laut in dieKlasse. Durch die Wiederholung der Rechenschritte und der Erweiterung mit „9“ im Nennerkann ein Teil der Klasse mit seinem Wissen glänzen und mündliche Punkte sammeln.

24 Zech, S. 207.25 Zech, S. 207.


8 Reflexion und Zusammenfassung

Der Lehrer motiviert geschickt die Gleichheit von 1 und 0, 9, indem er Unklarheit überdas Ergebnis lässt und die Schüler entdeckend zu einem scheinbar unmögliches Ergebnisgelangen.26 Indem die Schüler selbstständig begründen sollen, warum die Gleichheit gilt,beschäftigen sie sich mit der Faszination der Darstellbarkeit zweier Zahlen, die inhaltlichdasselbe ausdrücken, aber optisch vollkommen verschieden aussehen. Der Beweis über dieDarstellung als geometrische Reihe27 würde vielleicht vereinzelte Schüler durch den erhöhtenSchwierigkeitsgrad ansprechen, jedoch würde es den Großteil der Klasse überfordern. DieEingabe des Bruchs in den Taschenrechner fördert das spielerische Entdecken der Schülerund die Bedeutung des Unendlichen.Zu Beginn der Stunde motiviert der Lehrer geschickt, jedoch fühlen sich die Schüler geprüft.Im Verlauf der Stunde wird ihr Interesse durch den Darstellungskonflikt geweckt, den derLehrer durch eine gute offene Fragestellung erreicht. Allerdings erfolgt die Beweisführungsehr schnell, so dass ein Teil der Schüler dem Unterricht nicht mehr aufmerksam folgenkann, sondern sich aus der Diskussion und Ideenfindung heraushält.

8. Reflexion und Zusammenfassung

Als Rückblick auf das Praktikum hat sich dieses als sehr lehrreich erwiesen. Ich durfte michals Lehrperson in einer sehr angenehmen Umgebung ausprobieren und stetige Erfolge in mei-ner Unterrichtsvorbereitung und vor allem in der Durchführung sehen können. Auch wennich anfangs deutlich zu schwere Beispiele ausgewählt habe, konnte ich den Schwierigkeitsgradim Laufe des Praktikums angemessen anpassen, so dass am Ende der Unterrichtseinheit dieSchüler nicht überfordert, aber gleichzeitig passend gefordert wurden.Zu Anfang habe ich den Unterricht in Absprache mit meiner Mentorin wochenweise vorbe-reitet unter Zielangabe der Inhalte der LEK. Auf Grund des Lernstandes der Klasse musstendiese allerdings jeweils modifiziert werden, da sich Lernschwierigkeiten aufgezeigt haben, aufdie mit den Schülern eingegangen werden musste. So ist eine grobe Übersicht sinnvoll gewe-sen, beim nächsten Mal ist eine noch genauere Planung der Unterrichtsreihe im vorhineinaber bestimmt noch hilfreicher, da man sich bereits mit möglichen Problemfällen auseinan-der setzen muss. Auf diese Weise können Schwierigkeiten vorweg genommen werden.Beispielsweise würde ich die Behandlung der Definitionsmenge eines Wurzelterms und dieLösungsmenge einer einfachen quadratischen Gleichung getrennt voneinander behandeln.Der ähnlich klingende Wortlaut hat die Schüler irritiert, so dass eine Trennung der Begriffesinnvoll ist.Als weitere Erfahrung habe ich festgestellt, dass die Schüler mich zwar als Lehrperson ak-zeptiert, aber nicht vollkommen ernst genommen haben. Anweisungen zur Wiederholungoder Beruhigungsmaßnahmen wurden galant ignoriert, so dass meine Mentorin vereinzeltdie Schüler auf meinen Status aufmerksam machen musste. Ich gehe aber davon aus, dassim Referendariat dieses Problem nicht besteht, da ich dort einen anderen rechtlichen Status

26 Vgl. Zech, S. 206.27 Vgl. o.A.: Verschieden und doch gleich, S. 52.


8 Reflexion und Zusammenfassung

besitze und dort auch die Legitimation habe, Noten zu geben.Es hat sich während der Hospitation gezeigt, dass vereinzelt versucht wird, neue Formen desUnterrichtens anzuwenden und eine Öffnung des Unterrichts zu ermöglichen. Leider zeigensich die Schüler oft ablehnend gegenüber diesen Versuchen und bevorzugen den Frontalun-terricht. Natürlich müssen sie an neue Methoden langsam herangeführt werden, aber dieUmsetzung der Konzepte der Universitäten in den Schulen wird noch lange dauern, bis sievon den Schülern vollständig akzeptiert sind.Während des Praktikums habe ich mich sehr gut durch meine Mentorin betreut gefühlt.Sie hat mich in ihre Kurse von Beginn an mitgenommen und nur wenige Hinweise vorweggegeben, so dass ich mich selbst ausprobieren konnte. Die Hinweise zu meinen Stunden-planungen waren sehr hilfreich, ohne in der Gestaltung der Stunde eingeengt zu sein. DasFeedback meiner Mentorin, die Hinweise meiner Dozentin und die praxisnahen Vorschlägeeiner abgeordneten Lehrerin haben mir sehr geholfen. Ich habe aus den Besuchen mit denanschließenden Gesprächen viele hilfreiche Hinweise erhalten, die in den folgenden Stundenzum Gelingen beigetragen haben.Abschließend kann ich sagen, dass das Praktikum mich in meiner Wahl des Lehramtstudi-ums bestärkt hat. Es wird bewusst, wieviel Zeit für eine gute Vorbereitung von Unterrichtbenötigt wird. Aber die Anstrengung, die der Lehrerberuf mit sich bringt, wird dadurchausgeglichen, dass man mit Menschen zusammen arbeiten kann und versuchen darf, diesendas eigene Interesse und die Begeisterung für die Mathematik weiterzugeben.


9 Literaturverzeichnis

9. Literaturverzeichnis

9.1. Schulbücher

Elemente der Mathematik 9:Heinz Griesel u.a. [Hrsgs.], Schroedel, Berlin 2009.

Lambacher Schweizer:Mathematik für Gymnasien 9, Christina Drüke-Noe u.a. [Hrsgs.], Klett 2008.

Mathematik heute 9:Heinz Griesel, Helmut Postel [Hrsgs.], Schroedel 1992.

Mathematik 9:Hahn/ Dzewas, Jutta Cukrowicz, Jürgen Dzewas [Hrsgs.], Westermann 1995.

Mathematik 13.1 Leistungskurs:Anton Bigalke, Norbert Köhler u.a. [Hrsgs.], Sekundarstufe II Berlin, Cornelsen 2001.

9.2. Fachdidaktische Literatur, Fachliteratur und Quellenmaterial

Berliner Rahmenlehrplan:http://www.berlin.de/imperia/md/content/sen-bildung/schulorganisation/lehrplaene/sek1_mathematik.pdf, letzter Zugriff: 30.11.2010.

Filler, Prof. Dr. Andreas:Vorlesungsskript: Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, WS 2010/11.

Forster, Otto:Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Braunschweig1983.

Homepage des XXXXX-Gymnasiums:Link: www.XXX.de, letzter Zugriff: 01.12.2010.

Homepage Berliner Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung:Link: http://www.berlin.de/sen/bildung/besondere_angebote/staatl_europaschule/,01.12.2010.

Königsberger, Konrad:Analysis 1, Berlin 1995.

Timmann, Steffen:Repetitorium der Analysis, Hannover 2006.

O.A.: Verschieden und doch gleich.Eine kleine, ganz schlichte Fangfrage zeigt, dass es nicht einfach ist, Zahlen darzu-stellen, in: Unendlich (plus eins), Spektrum der Wissenschaft (2/10).

Zech, Friedrich:Grundkurs Mathematikdidaktik. Theoretische und praktische Anleitung für dasLehren und Lernen von Mathematik, Weinheim (8) 1996.


A Anhang

A. Anhang

A.1. Beweisführung zu den Wurzegesetzen für Produkte undQuotienten

Beweis zu W1Behauptung:

√a ·√b ist die Wurzel aus dem Produkt a · b. Es gilt: (

√a · b)2 = a · b

a) Z.z.: Das Quadrat von√a ·√b ist a · b.

(√a ·√b)2 = (

√a ·√b) · (√a ·√b) =

√a ·√a ·√b ·√b = a · b

b) Z.z.:√a ·√b ist nichtnegativ.

Laut Definition ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da√a und

√b nichtnegativ sind

⇒ Produkt√a ·√b ist auch nichtnegativ.

Aus a) und b) ⇒√a ·√b =√a · b

alternativ:√a ·√b =√a · b⇔ (

√a ·√b)2 = (

√a · b)2 ⇔ (

√a ·√b) · (√a ·√b) = a · b

⇔√a ·√a ·√b ·√b = a · b⇔ a · b = a · b

Beweis zu W2Die Behauptung

√a√b

=√

abbedeutet:

√a√bist die Wurzel aus dem Quotienten a

b.

a) Z.z.: Das Quadrat von√a√bist a

b. (

√a√b)2 =

√a√b·√a√b

=√a·√a√

b·√b

= ab

b) Z.z.:√a√bist nichtnegativ.

Laut Definition ist eine Quadratwurzel nichtnegativ. Da√a und

√b nichtnegativ sind

⇒ Quotient√a√bist auch nichtnegativ.

Aus a) und b) ⇒√a√b

=√

ab

alternativ:√a√b

=√

ab⇔ (

√a√b)2 = (

√ab)2 ⇔ (

√a)2

(√b)2 = a

b⇔ a

b= a

b

Beide Beweismöglichkeiten der beiden Gesetze sind für den Unterricht relevant, jedoch zeigtdie zweite Beweisführung leichter nachzuvollziehende Operationen bei einer Gleichung auf,so dass diese für den Unterricht gewählt wird.

Praktikumsbericht Mathematik Autor i

A Anhang

A.2. Arbeitsblatt A1: Umformung von Wurzeltermen durch diebinomischen Formeln

Übungszettel Umformen von Wurzeltermen 1. Oktober 2010

Umformung von Wurzeltermen durch die binomischen Formeln

Aufgabe:

1. Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umfor-mungsschritte vorgenommen wurde.Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!

2. Forme folgende Wurzelterme mithilfe der Binomischen Formeln um. Vergleiche an-schließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.

(5 +√

13) · (5−√

13) (√

20 +√

5)2

3. Denkt euch gemeinsam zwei Wurzelterme aus. Den ersten formt ihr für eure Mitschü-ler an der Tafel um. Schreibt dazu die Überschrift an die Tafel und erläutert eurenRechenweg. Den zweiten Term formen eure Mitschüler selbst um.

Anwenden der Binomischen FormelnBeispiel: Verwandle folgende Terme in Summen:

1) (√

2 +√

18)2 2) (√a−√b)2 3) (

√a+√b) · (√a−√b)

Lösung: Durch Anwenden der binomischen Formeln erhälst du:

1) (√

2 +√

18)2 =√

22 + 2√

2√

18 +√

182 = 2 + 2√

36 + 18 = 2 + 2 · 6 + 18 = 32

2) (√a−√b)2 =

√22 − 2

√a√b+√b

2 = a− 2ab+ b

3) (√a+√b) · (√a−√b) =

√a

2 −√b

2 = a− b

Praktikumsbericht Mathematik Autor ii

A Anhang

A.3. Arbeitsblatt A2: Umformung von Wurzeltermen mit demDistributivgesetz


Umformung von Wurzeltermen mit dem Distributivgesetz

Aufgabe:

1. Lies dir die unten stehenden drei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umfor-mungsschritte vorgenommen wurde.Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!

2. Forme folgende Wurzelterme mithilfe des Distributivgesetzes um. Vergleiche anschlie-ßend die Ergebnisse in deiner Gruppe.√

7 · (1 +√

7) (√

25b+√

25c)− (√

16b+√

16c)


Anwenden des Distributivgesetzes Distributivgesetz: a · (b+ c) = a · b+ a · c

Beispiel:Verwandle folgende Terme in Summen:

1) (10 +√

2)√

2 2)√a(√a− b) 3) (

√3x−

√x+ 1)

√x

Lösung:Durch Anwenden des Distributivgesetzes erhälst du:

1) (10 +√

2)√

2 = 10 ·√

2 +√

2 ·√

2 = 10√

2 + 2

2)√a(√a− b) =

√a ·√a−√a · b = a− b

√a

3)(√

3x−√x+ 1)

√x =√

3x ·√x−√x ·√x+ 1 ·

√x =√

3x2 − x+√x

=√

3x− 1 · x+√x

=(√

3− 1)x+√x

Praktikumsbericht Mathematik Autor iii

A Anhang

A.4. Arbeitsblatt A3: Beseitigen von Wurzeln im Nenner


Beseitigen von Wurzeln im Nenner

Aufgabe:

1. Lies dir die unten stehenden zwei Beispiele durch und vollziehe nach, welche Umfor-mungsschritte vorgenommen wurde.Beachte dabei besonders die Klammern, die gesetzt wurden!

2. Forme folgende Wurzelterme um und vereinfache sie, indem du die Wurzel im Nennereliminierst. Vergleiche anschließend die Ergebnisse in deiner Gruppe.

10√5

13+√

5


Beseitigen von Wurzeln im Nenner

Beispiel:

Forme den linken Term so um, dass du den rechten erhälst:

1) 2√3

2√

33 2) 2

3−√

22(√

2+3)7

Lösung: Durch Erweitern der Brüche erhälst du Terme, in denen keine Wurzeln mehr im

Nenner erscheinen:

1) 2√3 = 2·

√3√

3·√

3 = 2√

33

2) 23−√

2 = 2(3+√

2)(3−√

2)(3+√

2) = 2(3+√

2)32−√

22 = 2(√

2+3)9−2 = 2(

√2+3)7

Praktikumsbericht Mathematik Autor iv

A Anhang

A.5. Geplante Tafelbilder, Übungs- und Hausaufgaben

A.5.1. Ü1: Tägliche Übung

Aufgaben:1) Stelle D = {x ε R|x < −2} graphisch dar.2) Nenne die Menge, für die gilt:

3) Stelle die Menge A an der Zahlengerade dar: A = {a ε R|a ≥ −1}4) Nenne die Menge, für die gilt:

Lösungen:

1)2) D = {z ε R|z < 1}

3)4) A = {a ε R|a = 2}

A.5.2. H1: Hausaufgabe zum 04.10.2010:

Elemente der Mathematik 9 (2008):S. 32, Nr. 3: Vereinfache durch Ausmultiplizieren bzw. Dividieren.

d) w√uv2 − v

√u3v + u

√uv

e)√u3vw −

√uv3 −

√uvw3

f) a√c5 + bc

√c3 + c2√c

S. 32, Nr. 9: Berechne im Kopf.

a) (√

3−√

27)2

b) (√

7−√

13) · (√

7−√

13)c)√

169− 2 · 13 · 17 + 289

S. 33, Nr. 15: Beseitige zuerst die Wurzel im Nenner. Verwende dann√

3 ≈ 1, 7 und√5 ≈ 2, 2 für die Berechnung von Näherungswerten. Was ist einfacher, die umgeformten

Terme zu berechnen oder die gegebenen?

c) 1√3+√

5d) 2

3−√

5

Praktikumsbericht Mathematik Autor v

A Anhang

A.5.3. H2: Hausaufgabe zum 01.10.2010:

Elemente der Mathematik 9 (2008):S. 29, Nr. 15:

a)√

12 = 2√

3b)√

72 = 4√

2c)√

125 = 6√

2

d)√

180 = 6√

5e)√

125 = 5√

5f)√

192 = 8√

3

g)√

360 = 6√

10h)√

525 = 5√

21

S. 29, Nr. 18:

a) 2 ·√

17 =√

68b) 7 ·

√10 =

√490

c) 0, 5 ·√

28 =√

7

d) 34 ·√

11 =√

99,16

e) 116 ·

√611 =

√116

f) 2 ·√

3, 25 =√

13

g) 10 ·√

17, 33 =√

1733h) 2, 5 ·

√150 =

√18

A.6. Sitzplan der XX, Raum 252

Praktikumsbericht Mathematik Autor vi

A Anhang

A.7. Auflistung der hospitierten Stunden

Die dunkelgrün hervorgehobenen Stunden wurden neben den unterrichteten Stunden in derKlasse 9|2 zusätzlich alleine oder im kooperativen Unterricht unterrichtet.

Datum Zeit Klasse Schüler-anzahl

Fach Stundenthema Hospitations-schwerpunkt

13.09.10 08:00-09:40

LK Ma 19 Mathe-matik

Komplanarität/Kollinearität, lineare(Un-) Abhängigkeit

Lernen von mathe-matischen Begrif-fen

13.09.10 10:00-10:45

10g 25 Mathe-matik

Berechnungen imDreieck mit Sinus,Cosinus, Tangens

Transfer von Text-aufgaben in ma-themische Formeln

13.09.10 10:55-12:45

9|2 28 Mathe-matik

Abzählbarkeit undDichtheit der ratio-nalen Zahlen

Lernen mathema-tischer Begriffe

13.09.10 13:50-15:25

Logik I 11 Mathe-matik

LEK, Fehlersuche inBeweisen

Hinterfragen vonOperationen

14.09.10 15:30-17:05

LogikII

15 Mathe-matik

LEK, Fehlersuche inBeweisen

Hinterfragen vonOperationen

16.09.10 10:00-11:40


Herleitung Ge-radengleichung,Lagebeziehungen imRaum

Motivation durchBeispiele

16.09.10 12:00-12:45

9|2 28 Mathe-matik

Die irrationalenZahlen

Gestaltung des Ta-felbildes

17.09.10 08:00-08:45


Terme und Termum-formungen

Lernen von Begrif-fen

17.09.10 10:00-10:45

9|2 28 Mathe-matik

LEK, Eigenschaftenrationale Zahlen

Motivation vonSätzen

17.09.10 10:55-11:40

LogikII

15 Mathe-matik

Terme und Termum-formungen

Lernen von Begrif-fen

17.09.10 12:00-12:45


LEK, Kollinearitätund Identität

Erarbeitung durchFragen

20.09.10 08:00-09:40


Identität, Paralle-lität, windschief,Schnitt von Geraden

Meldeverhalten

20.09.10 13:50-15:25


Tautologien, Nega-tionen

Übersetzung vonDenkstrukturen indie Logik

20.09.10 15:30-16:15

AGMathe

12 Mathe-matik

Känguruh-Aufgaben Selbstkontrollme-chanismen

Praktikumsbericht Mathematik Autor vii

A Anhang

21.09.10 15:30-17:05

LogikII

15 Mathe-matik

Tautologien, Nega-tionen

Übersetzung vonDenkstrukturen indie Logik

23.09.10 10:00-11:40


Identität, Paralle-lität, windschief,Schnitt von Geraden

Festigung durchÜben

27.09.10 8:00-09:40


Übung für die Klau-sur, Spurpunkte

Erkennen von Lö-sungsstrategien

28.09.10 15:30-17:05

LogikII

15 Mathe-matik

alternative/konjunk-tive Normalform

Möglichkeiten derTermumformung

01.10.10 08:00-08:45


alternative/konjunk-tive Normalform


01.10.10 10:55-11:40

LogikII

15 Mathe-matik

alternative/ kon-junktive Normal-form


01.10.10 12:00-12:45


Klausurbesprechung,Geradenscharen

korrekte mathema-tische Aufschreib-weisen

05.10.10 15:30-17:05

LogikII

15 Mathe-matik

Assoziativität,Idempotenz, Dis-tributivität, Ver-schmelzungsgesetz

Lösungsstrategien

08.10.10 08:00-8:45


LEK, Schülervortragvollständige Indukti-on

Gestaltung des Ta-felbildes

08.10.10 10:55-11:40

LogikII

15 Mathe-matik

LEK, Schaltalgebra Motivation durchBeispiele

08.10.10 12:00-12:45


Klausurbesprechung,lin. Unabhängigkeit

Verbalisierung vonSchülerlösungen

Praktikumsbericht Mathematik Autor viii

A Anhang

A.8. Leistungskontrolle Gruppe A mit Erwartungshorizont

Name: MA XX, Gruppe A2. LEK Thema: Umformen von Wurzeltermen 08.10.2010

Aufgabe 1: Vereinfache soweit wie möglich.a)

√3681 =

√36√81 = 6

9 = 23

b)√

10 ·√

16, 9 =√

10 · 16, 9 =√

169 = 13c)√

5 ·√

5x2 =√

5 · 5x2 =√

25x2 =√

25 ·√x2 = 5|x|

d) (2√v −√

2) · (2√v +√

2) (für v ≥ 0) = 2 · 2 ·√v ·√v −√

22 = 4v − 2e) (√

3−√

6)2 =√

32 − 2√

3√

6 +√

62 = 3− 2√

3 · 6 + 6 = 9− 2√

18 = 9− 2√

2 · 9 = 9− 6√

2f) 5√a+ 7

√a− 2

√a (für a ≥ 0) = (5 + 7− 2)

√a = 10

√a

Aufgabe 2: Mache den Nenner rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)a) 2√

6 = 2√

6√6√

6 = 2√

66 =

√6

3

b) 12+√

3 = 2−√

3(2+√

3)(2−√

3) = 2−√

34−3 = 2−

√3

1 = 2−√

3

Aufgabe 3: Löse die Gleichung x2 − 3 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)

x2 − 3 = 0 |+ 3x2 = 3 |√

|x| =√

3 x =√

3vx = −√

3L = {−

√3;√

3}

Aufgabe 4:a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms

√3x− 6 und stelle ihn graphisch dar.

3x− 6 ≥ 0 |+ 63x ≥ 6 | : 3x ≥ 2D = {x ε R|x ≥ 2}

b) Bestimme die Menge, für die gilt:

D = {x ε R|x < 1}

Praktikumsbericht Mathematik Autor ix

A Anhang

Aufgabe 5:Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:√

8 +√

18 =√

50. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.√

8+√

18 =√

4 · 2+√

2 · 9 =√

4√

2+√

2√

9 =√

2(2+3) =√

5 =√

2√

25 =√

2 · 25 =√

50alternativ:

√8 +√

18 =√

50√

4 · 2 +√

9 · 2 =√

25 · 2√

4√

2 +√

9√

2 =√

25 ·√

2(2 + 3)

√2 = 5

√2

5√

2 = 5√

2

Form: Punkte: Ergebnis: Note:

Kenntnisnahme der Eltern:

Verteilung der Punkte:Aufgabe 1: (AFB I)a) 1 Punkt: Wurzel ziehenb) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehenc) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichend) 1 Punkt: Anwendung der binomischen Formele) 2 Punkte: Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehenf) 1 Punkt: Anwendung des Distributivgesetzes

Aufgabe 2: (AFB II)a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikationzweier Wurzelnb) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendungder binomischen Formel

Aufgabe 3: (AFB II)2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge

Praktikumsbericht Mathematik Autor x

A Anhang

Aufgabe 4: (AFB II)a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmungdes Definitionsbereichesb) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik

Aufgabe 5: (AFB III)3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwort-satz

A.9. Leistungskontrolle Gruppe B

Name: MA XX, Gruppe B2. LEK Thema: Umformen von Wurzeltermen 08.10.2010

Aufgabe 1: Vereinfache soweit wie möglich.a)

√81144 =

√81

144 = 912 = 3

4b)√

19, 6 ·√

10 =√

1, 96 · 10 =√

196 = 14c)√

12a2 ·√

3 =√

36a2 =√

36√a2 = 6|a|

d) (3√p−√

7) · (3√p+√

7) (für p ≥ 0) = 3 · 3 · √p · √p−√

7 ·√

7 = 9p− 7e) (√

6−√

2)2 =√

62 − 2√

6√

2 +√

22 = 6− 2√

6 · 2 + 2 = 8− 2√

12 = 8− 2√

4 · 3 = 8− 4√

3f) 6√x+ 3

√x− 11

√x (für x ≥ 0) = (6 + 3− 11)

√x = −2

√x

Aufgabe 2:a) Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms

√5x+ 10 und stelle ihn graphisch dar.

5x+ 10 ≥ 0 | − 105x ≥ −10 | : 5x ≥ −2D = {x ε R|x ≥ −2}

b) Bestimme die Menge, für die gilt:

Praktikumsbericht Mathematik Autor xi

A Anhang

D = {x ε R|x < −2}

Aufgabe 3: Mache den Nenner rational. (Entferne die Wurzel aus dem Nenner.)a) 3√

15 = 3√

15√15√

15 = 3√

1515 =

√155

b) 62−√

2 = 6(2+√

2)(2−√

2)(2+√

2) = 6(2+√

2)4−2 = 6(2+

√2)

2 = 3(2+√

2)1 = 6 +

√2

Aufgabe 4: Löse die Gleichung x2 − 7 = 0. (Gib die Lösungsmenge an.)

x2 − 7 = 0 |+ 7x2 = 7 |√

|x| =√

7 x =√

7vx = −√

7L = {−

√7;√

7}

Aufgabe 5:Der arabische Mathematiker Al-Karkhi schrieb in einem Lehrbuch der Algebra:√

12 +√

48 =√

108. Beweise die Gültigkeit dieser Gleichung.√

12 +√

48 =√

4 · 3 +√

3 · 16 =√

3 ·√

4 +√

3 ·√

16 =√

3(2 + 4) =√

36 =√

3√

36 =√3 · 36 =

√108

alternativ:

√12 +

√48 =

√108

√4 · 3 +

√3 · 16 =

√36 · 3

√3 ·√

4 +√

3 ·√

16 =√

36√

3√

3(2 + 4) = 6√

3√

36 =√

36

Form: Punkte: Ergebnis: Note:

Kenntnisnahme der Eltern:

Verteilung der Punkte:Aufgabe 1: (AFB I)a) 1 Punkt: Wurzel ziehenb) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen

Praktikumsbericht Mathematik Autor xii

A Anhang

c) 2 Punkte: Zusammenziehen der Wurzeln, Wurzel ziehen mit Betragsstrichend) 1 Punkt: Anwendung der binomischen Formele) 2 Punkte: Anwendung der binomischen Formel, partielles Wurzelziehenf) 1 Punkt: Anwendung des Distributivgesetzes

Aufgabe 2: (AFB II)a) 3 Punkte: Betrachtung des Radikanden ≥ 0, Lösen der Ungleichung nach x, Bestimmungdes Definitionsbereichesb) 1 Punkt: Bestimmung des Definitionsbereiches aus der Graphik

Aufgabe 3: (AFB II)a) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Multiplikationzweier Wurzelnb) 2 Punkte: sinnvolles Erweitern des Bruches, Nenner rational machen durch Anwendungder binomischen Formel

Aufgabe 4: (AFB II)2 Punkte: Lösen der Gleichung nach x mit zwei Lösungen, Aufstellen der Lösungsmenge

Aufgabe 5: (AFB III)3 Punkte: partielles Wurzelziehen, Anwendung des Distributivgesetzes, Lösung mit Antwort-satz

Praktikumsbericht Mathematik Autor xiii

A Anhang

A.10. Aufgeschlüsselte Punkteverteilung der LEK

Zur Vereinfachung sind die Aufgabentypen der Leistungskontrolle B in dieselbe Reihenfolgegebracht worden wie bei der Leistungskontrolle A.

Nr. Aufgabe 1 2 3 4 5 Punkte % Notea) b) c) d) e) f) a) b) a) b)

1 1 12 1 0 1 0 11

2 1 0 1 12 0 2/2 ⇒ 91

2/24 39, 6 52 1 2 1 1

2 112 1 11

2 1 1 1 0 0 2/2 ⇒ 1312/24 56,3 4

3 1 2 1 1 2 1 112 2 11

2 3 1 3 2/2 ⇒ 21/24 87,5 24 1

2 0 0 1 112 0 11

2 2 1 0 12 1 2/2 ⇒ 11/24 45,8 5

5 1 0 1 0 112 0 11

2 112 0 1

212 0 2/2 ⇒ 91

2/24 39,6 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

212 0 2/2 ⇒ 3/24 12,5 6

7 12 2 1 0 11

212 11

2 112 0 0 1

2 0 0/2 ⇒ 9/24 37,5 58 1 2 1 1

2 2 12 2 2 1 3 1 3 2/2 ⇒ 21/24 87,5 2

9 0 0 0 0 12 0 0 0 0 1 1

2 0 1/2 ⇒3/24 12,5 610 1 2 1 0 1 0 11

2 0 1 1 1 0 1/2 ⇒ 1012/24 43,8 5

11 1 2 1 12

12 0 11

2 0 0 0 1 0 2/2 ⇒ 912/24 39,6 5

12 0 1 12

12 11

2 1 112 0 0 1 1

2 0 2/2 ⇒ 912/24 39,6 5

13 12 2 1 0 1

2 1 112 1 0 1 1 0 2/2 ⇒ 111

2/24 47,9 514 0 0 1 0 2 0 11

212 1 0 0 3 1/2 ⇒ 11/24 41,7 5

15 0 0 0 0 12 0 11

2 0 12 1 1

2 0 1/2 ⇒ 5/24 20,8 516 1 2 1 1

212 1 0 0 1 2 1 0 2/2 ⇒ 12/24 50 4

17 12 2 1 1 1 0 11

2 0 1 112

12 0 1/2 ⇒11/24 45,8 5

18 1 2 1 0 112 0 11

2 0 1 3 12 0 2/2 ⇒ 131

2 56,3 419 1

2 2 1 1 112 1 11

212 1 2 1

2 2 2/2 ⇒ 1612/24 68,8 3

20 1 2 1 12 1 1 2 11

2 1 2 1 0 2/2 ⇒ 16/24 66,6 321 1 2 1 1 0 1 11

2 112 1 1 1

2 2 2/2 ⇒ 1512/24 65 3

22 1 2 1 1 1 0 112 1 1 0 0 0 2/2 ⇒ 111

2/24 47,9 523 1 2 1 0 0 0 11

2 1 0 212

12 0 2/2 ⇒ 111

2/24 47,9 524 1 0 1 1 1

2 1 112 1 1

2 0 12 2 2/2 ⇒ 12/24 50 4

25 1 2 0 12 2 1 2 2 11

2 3 1 2 2/2 ⇒ 20/24 83,3 226 1 2 0 1 11

2 1 2 1 1 2 12 0 2/2 ⇒ 15/24 62,5 4

Praktikumsbericht Mathematik Autor xiv

A Anhang

A.11. Bewertungsmaßstab für Mathematik in der LEK

S1a ärzz 10

Bewertun9..§!}laßstab für Mathematik und Physik

Sekl

bis 20 überNote 20Punkte Punkte

1 95% 90%

2 80% . 750/0

3 65% 60%

4 500/0 45%

5 20% 20Yo

6 < 20% < 20'%

Sekl

Noten- Testspunkte a s re

15 100% I 95%14 95% 90'%13 . 90% 85%12 85%) 80%11 800/0 75%10 75% 70%9 70% 65%8 65% 60%7 60% 55%6 ·55%-- 50%5 50% 45%4 45% 36%3 35% 270/02 20% 18%

1 10% 9%

0 <10% <9%

Abbildung A.1: Bewertungsmaßstab von LEK und Klasuren der Sekundarstufen I und II der Fach-konferenzen Mathematik und Physik, XXXXX-Gymnasium, bereitgestellt von FrauXXXXX.

Praktikumsbericht Mathematik Autor xv

A Anhang

A.12. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 im LK Ma

Phase/

Zeit

Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte

Einstieg

8:55 Uhr

Lehrerin (L) fordert auf, dievergangene Aufgabe zur Un-tersuchung eines Trapez vor-zustellen. Stellen Sie bitte kurz

Ihre Ergebnisse zu der Aufgabe

vor, bei der untersucht werden

sollte, ob es sich bei dem Recht-

eck um ein Trapez handelt.

Bei einem Trapez muss ein Paar

kollinearer Vektoren Die Vektoren

sind für r = 2 kollinear. Das heißt,

dass beide Seiten parallel sind und

es sich um ein Trapez handelt.

Sicherung der

Ergebnisse,

Wiederholung

Übung

09:01 Uhr

L schreibt drei Punkte an dieTafel.geg.: A(1|2|4), B(3|4|3), C(5|6|2)

Prüfen Sie, ob C durch ein Viel-

faches von A und B darstellbar

ist. Alternativ: Sind ~AB und ~BC

kollinear?

S lösen die Aufgabe und ein Sstellt seinen Rechenweg an derTafel vor.Um zu prüfen, ob die drei Punkte

auf einer Geraden liegen, untersucht

man, ob # »

AB und # »

BC kollinear zu

einander sind:# »

AB = r · # »

BC, r ε R

# »

AB = ~b−~a =

3

4

3

−

1

2

4

=

2

2

−1

# »

BC = ~c−~b =

5

6

2

−

3

4

3

=

2

2

−1

Da # »

AB = # »

BC, ist r = 1.

Transfer von

Wissensstruk-

turen auf neue

Aufgabe

09:12 Uhr L weist darauf hin, dass einAntwortsatz bzw. eine Inter-pretation der Ergebnisse not-wendig ist.Wo liegen die Punkte auf der Ge-

rade?

Wir haben eine Strecke AC mit dem

Mittelpunkt B.

Die Länge der Strecke AC ist dop-

pelt so lang wie AB.

Die Strecke AB und BC sind gleich

lang.

Interpretation

von Ergebnis-

se in verbale

Sprachweise

Praktikumsbericht Mathematik Autor xvi

A Anhang

09:17 Uhr L schreibt das Stundenthemaan die Tafel.„Lineare Abhängigkeit und

Unabhängigkeit“

Def.: Die n Vektoren

~a1,~a2, ...,~an heißen linear

abhängig, wenn einer der Vek-

toren als Linearkombination der

anderen darstellbar ist.

Was fällt Ihnen dazu ein?

Vektoren sind linear abhängig, wenn

sie komplanar sind.

Zielangabe, Be-

griffsbildung,

Aufbau auf

bekannte Wis-

sensstrukturen

09:21 Uhr Nein, das ist nicht genug. Was

macht den Unterschied aus?

Komplanarität kann man in ei-

ner Ebene untersuchen, hier nicht.

Komplanarität ist ein Spezialfall der

Abhängigkeit.

09:24 Uhr Komplanarität untersucht

man im Dreidimensionalen,

lineare Abhängigkeit im n-

Dimensionalen.

L nennt Beispiel: Erwärmung

einer Eisenstange und die dabei

entstehende Helligkeit bei der

Erwärmung. Es ist zwar nicht

vorstellbar, aber durch die

Betrachtung der Temperatur

begreifbar.

S hören zu, kommentieren und

stellen Nachfragen bei Unklarhei-

ten.

Verdeutlichung

durch Anwen-

dungsbeispiel

09:27 Uhr L ergänzt das Tafelbild. Ist

dies nicht der Fall, so heißen die

Vektoren linear unabhängig.

L verweist auf das Kriterium

für lineare Abhängigkeit und Un-

abhängigkeit, dass die Schüler

nicht auswendig können, aber bei

Nachfrage ausdrücken müssen.

S ergänzen das Tafelbild in ihrem

Heft.

Erweiterung

der lin. Ab-

hängigkeit zur

Unabhängig-

keit

Praktikumsbericht Mathematik Autor xvii

A Anhang

09:30 Uhr Wo sieht man den Unterschied

beim Rechnen von Komplanari-

tät und linearer Unabhängigkeit?

Unter uns. Im Dreidimensiona-

len gibt es maximal drei linear

unabhängige Vektoren. Der vier-

te ist linear abhängig...

Gar nicht. und verweist auf die

Dimensionalität (Komplanarität im

Dreidimensionalen)

Unterschiede

zwischen Kom-

planarität und

lin. Unab-

hängigkeit,

Herausar-

beiten von

Eigenschaften

09:32 Uhr L stellt Aufgabe aus demBuch von Bigalke/ Köhler:Mathematik 13.1, S. 46, Nr.8a und d.

a) Sind

6

4

−9

und

−3

−2

4, 5

line-

ar unabhängig?

S lösen die Aufgabe. Sie sind line-

ar abhängig, weil außer der trivialen

Lösung noch die Lösung r = 12 , s = 1

existiert: 12

6

4

−9

+ 1

−3

−2

4, 5

= ~0

Anwendung

von Gelerntem,

Transfer auf

Aufgabe

09:35 Uhr L schreibt die zweite Aufgabean die Tafel:

r

1

−2

3

+ s

1

2

−1

+ t

1

0

1

=

~0; r, s, t ε R

S lösen die Aufgabe und er-gänzen an der Tafel. Daraus

ergibt sich das folgende GS:r s t rechte Seite

1 1 1 0

−2 2 0 0

3 −1 1 0

1 1 1 0

0 4 2 0

0 −4 2 0

1 1 1 0

0 4 2 0

0 0 0 0

Übung, Fes-

tigung von

Wissensstruk-

turen

Praktikumsbericht Mathematik Autor xviii

A Anhang

A.13. Teilformalisiertes Stundenprotokoll vom 13.09.2010 in der Klasse

XX

Phase/

Zeit

Lehrerhandeln Schülertätigkeiten Lerninhalte

Einstieg

10:55 Uhr

Lehrerin (L) begrüßt dieSchüler (S) und fordertsie auf, ihre Übungshefteherauszuholen. Sie diktiertvier Aufgaben der täglichenÜbung.1. „Wandle um in eine Dezimal-

zahl: “

2. Wandle um in einen Bruch:

3. Berechne folgende Wurzeln:√121144 ,√−64,

√625

4. Aus welchen Zahlen besteht die

Menge der rationalen Zahlen?

S begrüßen L, holen ihre

Übungshefte heraus und

notieren die diktierten

Aufgaben in ihrem Heft.

Ha, das geht ja gar

nicht!

Ziel des Einstieges:

Festigung bekann-

ter mathematischer

Inhalte, Aktivierung

von Wissen

Übung

11:00 Uhr

L weist S an, die Aufgaben al-

leine und ohne Nutzung des

Taschenrechners zu lösen.

S versuchen, die Aufgaben

einzelnd ohne Nutzung des

Taschenrechners zu lösen.

Umwandlung Bruch

↔ Dezimalzahl,

Eigenschaften der

rationalen Zahlen

11:08 Uhr L fordert zum Vergleich der

Aufgaben auf.

S nennen ihre Ergebnisseund klären Probleme imKlassengespräch.Die Definition für die ratio-

nalen Zahlen Q lautet: Die

Menge der rationalen Zahlen

besteht aus allen abbrechen-

den oder periodischen Dezi-

malzahlen.

Anwendung bekann-

ter Regeln

Hausauf-

gaben

11:14 Uhr

L leitet die Kontrolle der

Hausaufgaben ein und bittet

S, ihre Ergebnisse nacheinan-

der laut zu nennen.

S nennen ihre Lösungen,

vergleichen und korrigie-

ren sie gegebenenfalls.

Praktikumsbericht Mathematik Autor xix

A Anhang

11:17 Uhr L leitet neue Phase ein.Bisher haben wir rein periodische

und abbrechende Dezimalzahlen

(in Brüche) umgewandelt. Jetzt

arbeiten wir mit gemischt peri-

odischen Dezimalzahlen.

L schreibt Aufgabe an die Tafel:

Formt die gemischte periodische

Dezimalzahl in einen Bruch um:

0, 16

S versuchen, in Einzelar-

beit die Dezimalzahl in

einen Bruch umzuwan-

deln. Dabei zeigt sich, dass

viele S Probleme damit

haben.

Umwandlung einer

gemischt periodischen

Zahl in einen Bruch

11:20 Uhr L fordert einen S auf, die Auf-

gabe an der Tafel vorzurech-

nen, um für alle eine Muster-

lösung und einen Rechenalgo-

rithmus zu liefern.

S stellt seine Lösung

an der Tafel vor und

kommentiert sie. Seine

Mitschüler stellen Fragen

und korrigieren gemein-

sam Fehler.

0, 16

= 0, 1 + 0, 06

= 0, 1 + 0, 1 · 0, 6

= 0, 1 + 0, 1 · 69

= 0, 1 + 690

= 110 + 2

30

= 530 = 1

6

gemeinsames Lösen

der Problemstellung

im Klassenverband

mit Hinterfragen der

Lösbarkeit

11:26 Uhr

Übung

L schreibt fünf Aufgaben an

die Tafel und bittet S, sie als

Bruch umzuformen.

a) 0, 4163 b) 0, 258

c) 0, 258 d) 0, 258

e) 0, 258

S versuchen, die De-

zimalzahlen als Bruch

darzustellen, haben aber

grundlegende Probleme,

den Rechenalgorithmus

der Beispielaufgabe auf

die Übungsaufgaben zu

transferieren.

Transfer von Rechen-

algorithmen

Praktikumsbericht Mathematik Autor xx

A Anhang

Ergebnis-

sicherung

11:33 Uhr

L erkennt die Schwierigkeiten

der S, die Umformung vor-

zunehmen und lässt exempla-

risch Aufgabe a) an der Tafel

lösen.

S beginnt, den Lösungs-

weg zu Aufgabe a) an der

Tafel vorzurechnen und

wird parallel bei gemach-

ten Fehlern von seinen

Mitschülern korrigiert.

Fortsetzung

Ergebnis-

sicherung

12:00 Uhr

L stellt Nachfragen zu den Re-

chenschritten des Schülers an

der Tafel.

Wie verschiebt man Kommata

bei Dezimalzahlen?

Wie addiert man Brüche?

Wie stellt man eine periodische

Dezimalzahl als Bruch dar?

S vervollständigt den Lö-sungsweg an der Tafel.0, 4163= 0, 41 + 0, 0063= 0, 41 + 0, 01 · 0, 63(Kommaverschiebung)

= 41100 + 0, 01 · 63

99

(Bruchdarstellung)

= 41100 + 21

33 ·1

100

= 41100 + 7

1100

(Addition von Brüchen)

= 41·11+71100

= 4581100 = 229

550

Man addiert Brüche, indemman sie gleichnamig macht.

Kommaverschiebung

bei Dezimalzahlen,

Addition von Brü-

chen,

kgV, Umwandlung

eines Bruches ↔

Dezimalzahl

12:08 Uhr

Übung

L weist S darauf hin, wie nichtendende periodische Dezimal-zahlen als Bruch dargestelltwerden.0, 639 wird dargestellt durch 639

999 .

Periodische Dezimalzahlen wer-

den als Bruch immer mit einer

9, 99, 999, ... im Nenner darge-

stellt.

L gibt erneut Zeit, die restlichen

Dezimalzahlen umzuformen.

S können nun wesentlich

besser den Algorithmus

anwenden und stellen die

Dezimalzahlen hauptsäch-

lich in Einzelarbeit als

Bruch dar und vergleichen

mit ihrem Partner.

systematische Erwei-

terung des Nenners

zur Darstellung von

Dezimalzahlen als

Bruch

Hausaufgabe

12:26 Uhr

L schreibt die Hausaufgaben

an die Tafel.

Wandle um:

a) 0,101 b) 0, 101

c) 0, 101 d) 0, 101

S notieren die Aufgaben

in ihrem Hausaufgaben-

heft, wandeln um und ver-

gleichen die Ergebnisse.

Praktikumsbericht Mathematik Autor xxi

A Anhang

Problem-

stellung

12:31 Uhr

Was ist mit dieser periodischen

Dezimalzahl: 0, 99?

S versuchen, die Dezimal-zahl nach gewohnten Re-geln umzuwandeln und ge-langen sehr schnell eigen-ständig zu einer Lösungmit Begründung:0, 99 ist gleich 1, denn 0, 99

sind 9999 , was wieder 1 ist.

Gleichheit von De-

zimalzahlen bei

verschiedener Darstel-

lungsform

12:33 Uhr L schreibt 1, 9 an die Tafel

und fragt nach dem umge-

formten Bruch. Nach verschie-

denen Lösungsvorschlägen der

Schüler schreibt sie das richti-

ge Ergebnis an die Tafel und

erklärt es.

1, 9 = 1 + 99 = 1 + 1 = 2

S nennen Lösungen 1, 9

ist gleich 199 ,

189 ,

1999 und

schreiben anschließend

den richtigen Lösungweg

von der Tafel ab.

Transfer des Gelern-

ten auf andere Auf-

gaben; Probleme der

Eingabe von periodi-

schen Dezimalzahlen

in den Taschenrechner

Übung

12:36 Uhr

L schreibt Übungsaufgabenan die Tafel, um das Verständ-nis zu festigen.0, 09 0, 9 0, 59 0, 59Eine Periode ist nicht in den Ta-

schenrechner eingebbar, da Stel-

len fehlen würden. Eine Periode

ist kein endlicher Bruch.

S lösen die Aufgaben in

Einzelarbeit ohne Ta-

schenrechner.

Ein S gibt trotzdem

1,999999 in den Taschen-

rechner ein und stellt die

Frage Warum kommt da

nicht 2 raus?

Sicherung

12:39 Uhr

L lässt die Ergebnis vorlesen

und vergleichen.

Es gibt keine 9er Periode.

S lesen ihre Lösungen vor,

vergleichen ihre Ergebnis-

se und korrigieren sie ge-

gebenenfalls.

0, 09 = 0, 1 = 110

0, 9 = 999 = 1

11

0, 59 = 0, 6 = 35

0, 59 = 5999

Praktikumsbericht Mathematik Autor xxii

B Selbstständigkeitserklärung

B. Selbstständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst sowie keine anderen Quellenund Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe.

Berlin, den 3. Dezember 2010

Praktikumsbericht Mathematik Autor xxiii

BerichtzumUnterrichtspraktikum imFachMathematikdidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/praktikumsbericht... · Inhaltsverzeichnis A Anhang i A.1...

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