Berbagai macam distribusi

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang nilai-nilai X yang mungkin dalam Rx

merupakan sebuah interval dalam garis bilangan real.

Fungsi densitas dari sebuah peubah acak kontinu X adalah fungsi yang nilai-nilainya, g(x),

memenuhi persyaratan sebagai berikut

a. g(x) ≥ 0

b.

c. Untuk setiap a dan b , dengan -∞ < a < b < ∞ berlaku:

Ekspektasi untuk peubah acak kontinu X ditentukan oleh :

Fungsi densitas dari sebuah peubah acak kontinu bisa mempunyai beberapa nilai

bergantung pada nilai peubah acaknya. Jika setiap nilai fungsi densitas itu merupakan fungsi

dari konstanta yang belum diketahui, maka penghitungan konstanta itu tidak dilakukan

terhadap masing-masing interval nilai peubah acaknya melainkan terhadap semua interval

nilai peubah acaknya.

Dalam pokok bahasan di sini juga memuat distribusi kontinu yang sangat penting di

bidang statistika yaitu Distribusi Seragam, Distribusi Gamma, Distribusi Eksponensial,

Distribusi Chi-Kuadrat, Distribusi Beta, Distribusi Normal Umum, Distribusi Normal Baku, dan

dan Distribusi Normal Dua Peubah Acak.

Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada statistik inferensial yaitu dalam

pengujian hipotesis, pengujian panjang umur (life testing) dan sebagainya.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian dalam latar belakang di atas, penulis perlu merumuskan masalah:

1)( dxxg

b

a

dxxgbXaP )()(

dxxxfxE )()(

2

1. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi seragam?

2. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi gamma?

3. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi eksponensial?

4. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi chi-kuadrat?

5. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi beta?

6. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi normal umum?

7. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi normal baku?

8. Bagaimanakah bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi normal dua

peubah acak?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas penyusun memiliki tujuan:

1. Untuk menjelaskan tentang bentuk fungsi densitas, rerata dan varians dari distribusi

seragam


gamma


eksponensial


chi-kuadrat


beta


normal umum


normal baku


normal dua peubah acak

3

1.4 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah supaya penyusun dan pembaca dapat

mengetahui semua distribusi peubah acak kontinu yang ada di dalam makalah ini.

1.5 Metode Penulisan

Dalam penyusunan makalah ini metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka,

yaitu dengan cara mempelajari konsep dan teori dari sumber yang berhubungan dan

mendukung dengan apa yang dibahas oleh penyusun.

4

BAB II

ISI Distribusi untuk kontinu diantaranya yaitu distribusi seagam, distribusi gamma, distribusi

eksponensial, distribusi khi kuadrat, distribusi beta, distribusi normal umum, distribusi baku, distribusi dua peubah acak. X adalah variable acak kontinu, dimana x ∈ R pada interval −∞ < x < ∞. Probabilitasnya adalah P(X < x|C) dari pernyataan X < x| C, dengan x bergantung terhadap C, maka disebut probability fungsi ditribusi peluang dengan F(x) = P(X <x| C) .

Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang nilai-nilai X yang mungkin dalam Rx merupakan sebuah interval dalam garis bilangan real.

Fungsi densitas dari sebuah peubah acak kontinu X adalah fungsi yang nilai-nilainya, g(x), memenuhi persyaratan sebagai berikut

g(x) ≥ 0

Untuk setiap a dan b , dengan -∞ < a < b < ∞ berlaku:

Berikut adalah beberapa distribusi khusus kontinu :

1. Distribusi Seragam

Distribusi Seragam Kontinu adalah distribusi peluang kontinu yang paling sederhana.

Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam, jika dan hanya ika fungsi densitasnya

berbentuk:

dan grafiknya sebagai berikut :

1)( dxxg

b

a

dxxgbXaP )()(

lainnya x , 0

,-1

)(

xxg

5

Sifat rataan dan varians dari distribusi seragam kontinu adalah sebagai berikut:

K

2. Distribusi Gamma

Sebuah peubah acak X berdistribusi Gamma G(r, v) dengan parameter r dan v , dapat

dituliskan sebagai X ~ G(r, v) jika fungsi densitasnya memenuhi :

dan dengan g(x|r, v) = 0 untuk nilai sisa dari X dengan menjadi fungsi gammanya.

Rataan dan Varians daari Distribusi Gamma :

Rataan :

Varians :

3. Distribusi Eksponensial

Suatu variabel acak X memiliki distribusi eksponensial dengan μ parameter, jika

densitasnya fungsi p (x|μ) diberikan oleh :

dan g (x | μ) = 0 untuk nilai sisa X.

βα2

1][ XE

2αβ12

1

][XV

xr

vrxg exv vxrr

0dengan )(

),|( 1

)(r

vrXE ][

vrXV 2][

0 dan x 0untuk , 1)|(

ex

xg

6

Teorema :

Jika x variabel random dari distribusi eksponensial dengan parameter , maka rataan dan

variansnya adalah sebagai berikut:

o Rataan :

o Varians :

Probabilitas dari Variabel Random Berdistribusi Eksponensial :

4. Distribusi Chi-Kuadrat

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi khi-kuadrat (Chi-square distribution) atau distribusi χ²(v) dengan v derajat bebas adalah distribusi jumlah kuadrat v peubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi ini seringkali digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan. Distribusi khi-kuadrat merupakan kasus khusus distribusi gamma. Distribusi chi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan α=v/2 dan β=2.

Definisi distribusi chi-kuadrat :

Fungsi densitas chi-kuadrat :

Parameter distribusi chi-kuadrat :

o Rataan :

o Variansi :

o FPM :

][XE

2][ XV

xlainnya

xexvxf

xv

v

;0

0;

22

1

)(

21

2

2

v

vx 22

7

5. Distribusi Beta

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk: H(y) = 1; 0 < y < 1 = 0; y lainnya Apabila kita perhatikan funsi densitasnya, maka sebenarnya fungsi densitas tersebut merupakan khusus dari distribusi beta. Definisi

Peubah acak X dikatakan berdistribusi beta jika hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :

Peubah acak X yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β dapat ditulis sebagai X~B(α,β) Parameter distribusi beta :

Rataan :

Varians :

6. Distribusi Normal Umum

Distribusi normal adalah distribusi yang paling penting di antara distribusi yang lain. Kurva dari distribusi normal mempunyai bentuk setangkup seperti njpolonceng:

Nama lainnya: distribusi Gauss (Gaussian Distribution). Distribusi Normal (μ,σ2)

mempunyai rataan μ dan varians σ2. Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal dengan parameter μ dan σ2, yang

dituliskan sebagai X ~ N (μ, σ2), jika fungsi densitasnya p(xμ, σ2) sebagai berikut: Yang dalam hal ini π = 3.14159… dan e = 2.71828…

Beberapa sifat dri kurva fungsi densitas distribusi normal umum :

1. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x = μ

2. Rataan, median dan modus dari distribusi berimpitan.

3. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di x = μ sebesar √ .

1,1,10;)1.()().(

)( 11

xxxf

122

xexgx

,2

1),|(2

21

2

8

4. Kurvanya berasimtot sumbu datar x.

5. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x,f(x)) dengan:

푥 = 휇 ± 휎

푓(푥) = 1

√2휋휎휎푒

6. Luas daerah dibawah kurva:

a. P(|X – μ|< 휎) = 0,6826

b. P(|X – μ|< 2휎) = 0,9544

c. P(|X – μ|< 3휎) = 0,9973

Parameter Distribusi Normal Umum: Rataan : E [X] = μ

Varians : V [X] = σ2

FPM : 푀 (푡) = 푒푥푝 ; 푡 ∈ 푅

Kurva dengan beberapa nilai dari

Sifat-Sifat Kurva Normal:

Modus, adalah suatu titik yang terletak pada sumbu x di mana kurva mempunyai nilai

maksimum, yaitu pada x = μ

Kurva berbentuk simetri terhadap sumbu tegak pada x = μ

Kurva mempunyai titik belok pada x = μ ± σ, cekung dari bawah bila μ – s < x < μ + s dan

cekung dari atas untuk nilai x lainnya

Kedua ujung kurva normal mendekati sumbu datar secara asimptotik bila x bergerak

menjauhi μ baik dari kiri maupun dari kanan.

Luas daerah di bawah kurva adalah 1

2

21

21)(

xexg

21

9

The Central Limit Theorem

Fungsi Gaussian memiliki sifat yang unik, yakni hasil penjumlahan dua atau lebih fungsi Gaussian akan merupakan fungsi Gaussian juga. Sehingga suatu fungsi Gaussian dapat dipandang sebagai hasil penjumlahan dari beberapa sumber yang juga merupakan fungsi Gaussian.Untuk sejumlah n peubah acak xi yang terpisah dengan varians σi2 ,:

Dalam batas limit n → ∞, y adalah fungsi Gaussian dengan :

Kesalahan pengukuran sering merupakan hasil dari beberapa sumber.

7. Distribusi Normal Baku

Distribusi normal standard (baku) adalah distribusi normal yang memiliki sifat khusus, yaitu distribusi dengan : rata-rata(µ) = nol(0) dan simpangan baku(σ) = satu(1). Distribusi normal standard baku (standard normal distribution) muncul sebagai solusi dari adanya masalah dalam penyusunan tabel distribusi normal. Masalah tersebut ialah kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal dipengaruhi oleh nilai rata-rata dan simpangan baku nya. Oleh karena itu agar kita tetap dapat mencari probabilitas suatu interval dengan menggunakan langkah praktis melalui tabel distribusi normal daripada perhitungan metode integral yang lebih kompleks, maka digunakanlah apa yang disebut dengan distribusi normal standard baku. Dengan fungsi densitasnya berbentuk:

dengan π = 3,14159… dan e = 2,71828. Karena rata-rata µ = 0 dan variansi σ2 = 1

Cara transformasinya sebagai berikut: Dengan: Z : angka baku/standart

n

iixy

1

n

iiyE

1][

n

iiyV

1

2][

XZ

2

12 2 212 21 2 2 2

1 12

1 2

1

1 1

2 2

0 1

xx zz

x zz

z

P(x x x ) e dx e dx

n(z, , ) dx P(z z z )

10

X : nilai data 휇 : rata-rata populasi

휎 : simpangan baku populasi

Bila X bernilai antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z bernilai antara z1 = (x1– μ)/σ dan z2 = (x2 – μ)/σ :

Adapun parameter dari distribusi Normal Baku:

1. µ = E(X) = 0

2. σ2 = Var(X) = 1

3. Mx (t) = 푒푥푝 푡 , 푡 ∈ ℝ

Contoh

Diketahui suatu distribusi normal dengan µ = 50 dan σ = 10

Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai antara 45 dan 62

Jawab:

Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah

dan

Jadi

Kita bisa simpulkan bahwa x1 dan x2 berubah harga menjadi z1 dan z2

Tabel Distribusi Standart

Berikut adalah beberapa hal tentang distribusi normal standart:

dxx

x ex 2

21

21

)xXP(x 2121

dzzz

z e

2

1

2

2

21

dzznz

z2

1

)1,0;(

)( 21 zZzP

1 245 62x dan x

45 501 10 0 5z . 62 50

2 10 1 2z .

45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )

11

1. Tabel distribusi normal standart disusun untuk menghitung probabilitas nilai-nilai variabel

standart, yaitu distribusi normal dengan normal mean nol(µ=0) dan standart deviasi(σ=1).

Variabel distribusi normal menggunakan lambang z.

2. Karena ditribusi normal standart bersifat simetris(kiri-kanan sama) berbentuk lonceng, maka

tabel distribusi normal standart dibuat untuk menghitung bagian sebelah kanan mean dari

distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai disebelah kiri, maka nilai z negatif dianggap sama

dengan z positif, sehingga tabel tersebut tetap bisa digunakan. Total daerah dibawah kurva

sebelah kanan= 0,5.

3. Nilai-nilai probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut adalah nilai probabilitas antara

µ=0 dan satu nilai z tertentu, bukan antara dua buah nilai z sembarang.

Penggunaan Tabel Distribusi

(Tabel z distribusi normal baku)

Misal ingin dicari nilai z bagi nilai peluang sebesar 0,05,

Langkah-langkahnya:

1. Carilah angka 0,05 pada deretan angka berwarna biru.

Apabila tidak ada angka yang persis sebesar 0,05, maka carilah angka yang paling mendekati angka 0,05. Angka yang paling mendekati 0,05 pada tabel adalah 0,049985.

2. Dari angka 0,049985, tariklah garis ke kiri terlebih dahulu hingga mencapai eretan angka

pada kolom paling kiri dan catatlah angkanya. Dalam kasus ini adalah 1,6

3. Kemudian kembali ke posisi angka 0,049985, tariklah garis keatas hingga mencapai deretan

ujung kolom bagian atas dan catatlah angkanya( yaitu 0,045)

Nilai z yang dicari adalah 1,6 + 0,045 = 1,645

Dengan cara sebaliknya kita bisa menentukan nilai peluang bila diketahui nilai z-nya.

12

Tabel distribusi z

Contoh

Hitung peluang bahwa peubah acak Z berdistribusi normal baku mempunyai nilai:

a) Kurang dari 1,45

b) Kurang dari -0,65

c) Antara 1,15 dan 1,90

d) Antara -0,40 dan 0,70

Penyelesaian

a) Daerah yang dicari mulai dari Z=0 s.d Z=1,45

Jadi P(Z<1,45) =0,5+(daerah Z=0 s.d Z=1,45)

=0,5+0,426

P(Z<1,45) =0,926

b) Daerah yang dicari mulai dari Z=0 s.d Z =-0,65

Jadi P(Z<-0,65) =0,5-(daerah Z=0 s.d Z=0,65)

=0,5-0,2422

P(Z<-0,65) =0,2578

13

c) Daerah yang dicari mulai dari Z=1,15 s.d Z=1,90

Jadi P(1,15<Z<1,90) = (daerah Z=0 s.d Z=1,90)- (daerah Z=0 s.d Z=1,15)

=0,4713-0,3749

P(1,15<Z<1,90) =0,0964

d) Daerah yang dicari mulai dari Z=-0,40 s.d Z=0,70

Jadi P(-0,40<Z<0,70) = (daerah Z=0 s.d Z=0,40)+ (daerah Z=0 s.d Z=0,70)

=0,1554+0,2580

P(-0,40<Z<0,70) =0,4134

8. Distribusi Normal Dua Peubah Acak

Definisi Dua Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi normal dua pubah acak, jika dan hanya jika fungsi densitas gabungan berbentuk:

dengan

Jadi, Fungsi pembangkit momen (fpm) gabungan :

Dari hasil fungsi pembangkit momen gabungan, kita dapat menentukan rataan dan varians untuk masing-masing peubah acak serta kovariansnya. Sehingga didapatlah parameter distribusi normal dua peubah acak dari fungsi pembangkit momen gabungan tersebut.

Parameter Distribusi Normal Dua Peubah Acak

Jika X dan Y adalah dua peubah acak yang mengikuti distribusi normal dua peubah acak, maka X dan Y masing-masing mengikuti distribusi normal umum dengan:

a. E(X) =

14

b. Var(X) =

c. E(Y) =

d. Var(Y) =

dan nilai kovariannya adalah :

e. Kov(X,Y) =

Kepadatan Probabilitas Bersyarat

Kepadatan bersyarat dari X dengan syarat Y=y diberikan oleh:

Jadi fungsi marginal digunakan untuk mencari fungsi kepadatan peluang dari salah satu

peubah acak dalam fungsi kepadatan peluang gabungan. Cara mencarinya, misalkan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak y = f(y) karena f(y) jadi yang harus dimunculkan adalah variabel y sehingga untuk mencarinya adalah dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang gabungan terhadap dx. Sebaliknya misalkan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak x = f(x) karena f(x) maka yang harus dimunculkan adalah variabel x sehingga untuk mencarinya dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang gabungan terhadap dy. Fungsi kepadatan peluang bersyarat dari x dengan syarat Y=y adalah sebanding dengan fungsi kepadatan peluang gabungan dengan y tetap dan x bergerak dibagi dengan fungsi kepadatan peluang marginal terhadap y sedangkan bila fungsi kepadatan peluang dari y dengan syarat X=x adalah sebanding dengan fungsi kepadatan peluang gabungan dengan x tetap dan y bergerak dibagi dengan fungsi kepadatan peluang marginal terhadap x.

Gabungan Variabel Acak Kontinu dan Diskrit Jika x adalah variabel kontinu dan y diskrit, dalam hal ini diskritnya dari 0-j untuk mencari

fungsi kepadatan marginal dari fungsi kepadatan peluang kontinu dalam kasus ini kita misalkan:

Dengan nilai x tetap dan y bergerak. Adapun untuk mencari fungsi kepadatan diskrit dalam

kasus ini adalah yang (y)

dengan batas x Fungsi kepadatan peluang bersyarat dari x dengan syarat Y=y adalah

15

Jika peubah acak X dan Y berdistribusi normal dua peubah acak, maka:

a. Distribusi marginal untuk X dan Y masing-masing berdistribusi normal umum;

b. Distribusi bersyarat dari X dengan syarat Y=y dan Y dengan syarat X=x masing-masing

berdistribusi normal umum.

16

BAB III

KESIMPULAN

1. Untuk distribusi peluang kontinu,sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X,jika nilai-

nilainya, yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

2. Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X

didefinisikan sebagai : 2)]([)( XEXEXVar atau ][)( 2 XEXVar

3. Nilai varians untuk kasus kontinu: dxxfxXVar )()()( 2

4. - Fungsi densitas dari Distribusi Seragam berbentuk:

- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Seragam berbentuk:

dan

5. - Fungsi densitas dari Distribusi Gamma dengan parameter α dan β berbentuk:

; dan bernilai 0 untuk x lainnya

- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Gamma, G(α,β) berbentuk:

dan

6. - Fungsi densitas dari Distribusi Eksponensial dengan parameter α berbentuk:


- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Eksponensialnya berbentuk:

dan

7. - Fungsi densitas dari Distribusi Chi-Kuadrat dengan parameter α=v/2 dan β=2

berbentuk:

- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Chi-Kuadratnya berbentuk:

b

a

dxxf

dxxf

xoxf

)(b)XP(a :maka , b a -dengan b,dan a setiap Untuk 3.

1)C|(.2

semuauntuk ,)C|(.1

lainnya x , 0

,-1

)(

xxg

βα2

1][ XE 2αβ

12

1

][ XV

xxg ex x 0dengan )(

),|( 1

][XE

2][ XV

0 dan x 0untuk , 1)|(

ex

xg

][XE 2][ XV

lainnya x ;0

0

22

12

2

12 x

vvxgex

xv

v;

)|(

17

dan

8. - Fungsi densitas dari Distribusi Beta dengan parameter α dan β berbentuk:


- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Betanya berbentuk:

dan

9. - Fungsi densitas dari Distribusi Normal Umum dengan parameter μ dan σ2 berbentuk:


- Rerata dan Varians masing-masing dari Distribusi Betanya berbentuk:

E [X] = μ dan V [X] = σ2

10. - Cara transformasi ke dalam bentuk Normal Baku adalah sebagai berikut:

- Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata µ = E[X] = 0 dan variansi σ2 = V[X]

= 1 disebut distribusi normal baku dan fungsi densitasnya berbentuk:

xxxg e ;)(

2

21

21

- Bila X bernilai antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z bernilai antara

z1 = (x1 – μ)/σ dan z2 = (x2 – μ)/σ

vXE ][ vXV 2][

11101 11

,,;

)().(),|( )( xxg xx

][XE 12

][ XV

xxgx

e ,)|(2

21

21, 2

XZ

dxx

x ex 2

21

21

)xXP(x 2121

dzzz

z e

2

1

2

2

21

dzznz

z2

1

10 ),;()( 21 zZzP

18

DAFTAR PUSTAKA

Heryanto, Nar & Tuti Gantini. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widia.

K.R.Koch (2007). Introduction to Bayesian Statistic. Berlin:Springer

Berbagai macam distribusi

Documents