7/13/2019 bendaa tegar
1/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Mempelajari gerak benda, konsep-konsep gaya dan energi yang
berhubungan, membentuk satu bidang yang disebut dengan mekanika (Giancoli,
2001). Lebih lanjut, mekanika dibagi menjadi dua bagian yaitu kinematika dan
dinamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak tanpa menyebabkan
penyebab geraknya, sedangkan dinamika merupakan ilmu yang mempelajari
gerak dengan memperhatikan penyebab geraknya (Umar, 2008). Dinamika
berhubungan dengan gaya- gaya yang berkaitan dengannya dan sifat-sifat benda
yang bergerak tersebut.
Benda bergerak secara translasi dan rotasi. Benda yang berotasi disebabkan
oleh adanya torsi (Giancoli,2001). Jika torsi yang diberikan pada benda yang diam
lebih besar dari pada torsi yang menghambat, maka benda tersebut akan berputar.
Dalam hal ini, selisih antara torsi yang dikerjakan pada benda dengan torsi yang
menghambat disebut dengan torsi total. Torsi merupakan gaya yang kita berikan
pada benda tersebut. Secara metematis, torsi merupakan hasil kali dari gaya dan
lengan gaya. Dan torsi yang menghambat disebabkan oleh adanya gaya gesekan,
yang lebih tepatnya adalah hasil kali dari gaya gesekan dengan panjang lengan
gaya.
Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak
tegar), jika pada benda itu dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan
untuk membangun jembatan bisa bengkok, bahkan patah jika dikenai gaya berat
yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya). Derek bisa patah jika
beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk apabila gaya
berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu
mengalami perubahan bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara
setiap bagian pada benda itu tentu saja berubahdengan kata lain benda menjadi
7/13/2019 bendaa tegar
2/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 2
tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor-
faktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.
Selain itu peristiwa gerak benda yang menggelinding sangat erat kaitannya
dengan konsep dinamika rotasi benda tegar. Benda tegar merupakan sistem benda
yang terdiri atas sistem benda titik yang jumlahnya tak terhingga dan jika diberi
gaya, jarak antara titik titik dalam sistem selalu tetap. Gerak benda tegar dapat
dianalisis sebagai gerak translasi dari pusat massanya, ditanbah dengan gerak
rotasi sekitar pusat massa (Giancoli. 2001). Serta kaitannya dengan usaha dan
energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta
permasalahan pada dinamika rotasi.Berdasarkan uraian diatas, kami menyimpulkan diperlukan adanya
pemahaman yang lebih mengenai kesetimbangan benda tegar, kinematika rotasi
benda tegar, dinamika rotasi, torsi, momen inersia, gerak menggilinding, usaha
dan energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta
permasalahan pada dinamika rotasi. Agar kita semua dapat memahami lebih
dalam tentang kesetimbangan benda tegar dan mempraktekannya dalam
kehidupan sehri-hari.
1.2. Rumusan Masalah
Dari latar belakang tersebut adapun masalah-masalah yang muncul adalah
sebagai berikut :
1. Apakah yang dimaksud dengan titik berat?2. Bagaimanakah Kesetimbangan benda tegar?3. Bagaimanakah kinematika rotasi benda tegar?4. Apakah yang dimaksud dengan torsi dan momen inersia dalam
dinamika rotasi?
5. Bagaimana konsep gerak menggelinding?6. Bagaimana penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi?7. Bagaimanakah usaha dan energi kinetik gerak rotasi?8. Bagaimanakah momentum sudut dan kekekalannya?
7/13/2019 bendaa tegar
3/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 3
1.1. Tujuan1. Menjelaskan dan menganalisis titik berat.2. Menjelaskan dan menganalisis kesetimbangan benda tegar.3. Menjelaskan dan menganalisis kinematika rotasi benda tegar.4. Menjelaskan dan menganalisis dinamika rotasi yang meliputi torsi dan
momen inersia.
5. Menjelaskan dan menganalisis konsep gerak menggelinding.6. Memaparkan cara penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi.7. Menjelaskan dan menganalisis usaha dan energi kinetik gerak rotasi.8. Menjelaskan dan menganalisis momentum sudut dan kekekalannya.
.
1.2. ManfaatAdapun manfaat dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :
1. Memberikan suatu pengetahuan mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar bagi mahasiswa khususnya mahasiswa Pendidikan Fisika.
2. Menambah modul pembelajaran mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar.
3. Memberikan tambahan wawasan mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar
7/13/2019 bendaa tegar
4/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 4
BAB II
PEMBAHASAN
Benda tegar merupakan benda dengan bentuk tertentu yang tidak berubah,
sehingga jarak antar partikel partikel pembentuknya berada pada posisi yang
tetap relatif satu sama lain (Giancoli, 2001). Tentu saja pada kenyataanya benda
apapun bisa bergetar atau berubah bentuk ketika diberikan gaya. Namun efek ini
seringkali kecil, sehingga konsep benda tegar yang ideal sangat berguna bagi
pendekatan yang baik. Gerak benda tegar dapat dianalisis sebagai gerak translasi
dari pusat massanya yaitu jika lintasan semua titik tersebut sejajar, ditambah
dengan gerak rotasi sekitar pusat massa.
2.1 Titik Berat
Titik beratadalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gaya berat
sistem benda titik (Giancoli, 2001). Benda tegar akan melakukan gerak translasi
apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai titik berat. Titik berat
merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak
mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi
sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan
lintasan gerak translasinya. Untuk mengetahui letak titik berat suatu benda tegar
untuk benda-benda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus,
balok, bujur sangkar, bola dan lain-lain yaitu sama dengan letak sumbu
simetrinya. Sedangkan untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang
letak titik berat dicari dengan perhitungan.
Dari pernyataan di atas, titik berat benda homogen (massa jenis tiap tiap bagian
benda sama) memiliki sifatsifat khusus sebagai berikut:
Jika benda homogen mempunyai sumbu simetri atau bidang simetri, makatitik beratnya terletak pada sumbu simetri tersebut.
Letak titik berat benda pada benda padat bersifat tetap dan tidak tergantungpada posisi benda.
Jika suatu benda homogen mempunyai dua bidang simetri, maka titikberatnya terletak pada garis potong kedua benda tersebut.
7/13/2019 bendaa tegar
5/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 5
a) Titik berat benda berbentuk linear (garis)Titik berat benda berbentuk linear (garis) dapat dilihat pada Tabel 2.1
Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat
Garis Lurus X0
A B
Busur
Lingkaran
A yo B
R = jari-jari
lingkaran
Busur Setengah
Lingkaran
Y
A B
Untuk benda homogen yang merupakan gabungan dari benda- benda
berbentuk linear, titik beratnya dapat diperoleh dengan menggunakan
persamaan berikut:
(2.1)
Y
ZR
o R
Z
Z
Tabel 2.1 (titik berat benda liner)
7/13/2019 bendaa tegar
6/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 6
Keterangan:
: panjang garis : titik berat masingmasing benda : kordinat titik berat bendaContoh soal:
Hitunglah letak titik berat benda homogen satu dimensi seperti gambar di
bawah jika panjang masingmasing benda 6 cm dan 8 cm!
Jawab:
Bangun 1:
L1= 8 cm, x1= 0, y2= . 8 = 4
Bangun 2:
L2= 10 cm, x2 = .5, y2= 0
= 2,77 = 1,8Maka titik berat benda tersebut terletak pada (2,77 , 1,8)
b)Titik berat benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur
terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik beratnya
merupakan perpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat
lingkaran. Titik berat bidang homegen diperlihatkan pada Tabel 2.2
berikut:
10cm
8 cm
y
x
7/13/2019 bendaa tegar
7/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 7
Nama Benda Gambar Benda Titik Berat Keterangan
Segitiga C
t = tinggi
z = perpotongan
garis-garis berat
AD & CF
Jajaran Genjang D
C
A B
t = tinggi
z = perpotongan
diagonal AC dan
BD
Juring Lingkaran
R=jari-jari lingkaran
Setengah
Lingkaran
A 0
B
R=jari-jari lingkaran
Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua
dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat
ditentukan dengan persamaan berikut:
(2.2)
A
D
BE F
Zt
o
o
t
Y
X
ZR o
Y
R Z o
Tabel 2.2
(titik berat benda luasan)
7/13/2019 bendaa tegar
8/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 8
Keterangan:
: Koordinat titik berat bendaA : Luas bidang
: Absis titik masingmasing benda : Ordinat titik masingmasing benda
c) Titik berat benda homogen berbentuk ruangan (dimensi tiga)Titik berat benda berbentuk ruangan (dimensi tiga) dapat dilihat pada
Tabel 2.3
Nama Benda Gambar Benda Titik Berat Keterangan
Prisma
Z2
Z1
z pada titik
tengah garis z1z2
z1 = titik berat
bidang alas
z2 = titik berat
bidang atas
= panjang sisitegak
Silinder
Z2
t
Z1
t = tinggi silinder
R = jari-jari
lingkaran alas
A = luas kulit
silinder
Limas T
TT = garis tinggi
ruang
o
Z
Z
Z
y0
7/13/2019 bendaa tegar
9/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 9
Kerucut
A B
TT = tinggi
kerucut
T = pusat
lingkaran alas
Setengah bola
R = jari-jari
Letak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi
tiga dapat ditentukan dengan persamaan:
(2.3)
Contoh soal:
Sebuah bola homogen berlubang, mempunyai jari-
jari 2R. Bentuk rongga juga berbentuk bola dengan
jari-jari R. Seperti terlihat pada gambar. Berapakah
titik berat bola berlubang ini jika diukur dari pusat
koordinat dalam sumbu X.
Jawab:
Misalkan bangun 1 ialah bola besar, maka
Z
T
T
y0 Z
Tabel 2.3
(titik berat benda ruangan)
x
y
7/13/2019 bendaa tegar
10/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 10
, Dan lubang ialah bangun 2, maka;
, Sehingga titik berat benda tersebut dapat diperoleh melalui persamaan 2.3
Jadi titik berat bangun bola berlubang diatas adalah(X,Y) = (-1/7 R, 0)
2.2 Kesetimbangan Benda Tegar
2.1.1 Benda Tegar
Benda tegar disefinisikan sebagai benda yang ukurannya tidak dapat
diabaikan dan tidak mengalami perubahan bentuk atau volume jika dikenai gaya
luar (Umar, 2008). Jika benda tegar dikenai oleh suatu gaya maka setiap partikel
pada benda tersebut tidak mengalami perpindahan atautidak bergeser posisinya
sehingga jarak antara bagian-bagian benda tidak berubah.
2.1.2 Kesetimbangan benda
Kesetimbangan sebuah benda dapat dibedakan atas kesetimbangan statis
(keadaan benda tanpa gerak) dan keseimbangan dinamis (kesetimbangan benda
dalam keadaan gerak beraturan). Jika resultan semua gaya yang bekerja pada
suatu benda adalah nol dan benda tersebut tetap tidak bergerak, benda tersebut
berada dalam keadaan keseimbangan statis. Dengan kata lain benda pada
7/13/2019 bendaa tegar
11/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 11
kesetimbangan statis, jika tidak diganggu maka tidak akan mengalami percepatan
translasi maupun rotasi karena jumlah semua gaya dan jumlah semua torsi yang
bekerja padanya adalah nol. Bagaimanapun, jika benda dipindahkan sedikit, akam
memungkinkan 3 akibat, yaitu kesetimbangan stabil, kesetimbangan tidak stabil
dan kesetimbangan netral (Giancoli, 2001). Benda yang kembali ke posisi
semula,dikatakan sebagai kesetimbangan stabil. Benda yang berpindah lebih juh
lagi dari posisi awalnya disebut dengan kesetimbangan tidak stabil. Dan benda
yang tetap pada posisinya yang baru, dinamakan kesetimbangan netral. Benda-
benda yang berada dalam kesteimbangan statis banyak ditemukan dalam
kehidupan sehari-hari terutama dalam bidang teknik, misalnya rancangan struktur
jembatan, struktur menara, dan berbagai gedung pencakar langit.
Jika suatu benda bergerak beraturan dan resultan semua gaya yang bekerja
pada benda tersebut sama dengan nol, benda tersebut berada dalam
kesetimbangan dinamis. Contoh benda yang berada dalam kesetimbangan
dinamis. Contoh benda yang berada dalam keseimbangan dinamis adalah gerak
seorang penerjun payungmenggunakan sebuah parasut.
2.1.3 Kesetimbangan Benda Tegar
Syarat- syarat benda tegar agar setimbang adalah :
1. Percepatan linier pusat massanya nol.Dalam hukum II Newton, kita mempelajari jika terdapat gaya total yang
bekerja pada sebuah benda, maka benda akan bergerak lurus, di mana arah
gerakan benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat
sebuah benda diam, maka gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya
yang bekerja pada benda.
Berdasarkan persamaan hukum II Newton, persamaannya dapat ditulis:
F = m a
F= 0 (2.50)
7/13/2019 bendaa tegar
12/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 12
2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalamkerangkan acuan juga nol.
Dalam dinamika rotasi, kita mempelajari bahwa jika terdapat torsi total
yang bekerja pada sebuah benda (benda dianggap sebagai benda tegar), maka
benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian, agar benda tidak berotasi
maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja pada
benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :
= I
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan
sudut. Karena percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :
=0 (2.51)
Jawab:
W
C
B
TBC
TABA
60o
T = 50 N
TAB
TBC
TBCcos 60
TBCsin 60
60o
7/13/2019 bendaa tegar
13/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 13
Maka,
2.3Kinematika rotasi benda tegarKinematika rotasi adalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegar
dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Benda tegar bergerak rotasi
murni jika setiap partikel pada benda tersebut bergerak dalam lingkaran yang
pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi. Untuk menjelaskan
gerak rotasi benda tegar akan dimulai dengan memperkenalkan konsep konsep
yang berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad),
kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2).
7/13/2019 bendaa tegar
14/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 14
(2)
(1)
R
1) Posisi Sudut ()Agar sebuah titik di tepi roda berpindah dari posisi (1) ke posisi (2),
roda tersebut harus berputar sebesar ( lihat gambar
2.1). Jika jarak tempuh linear sdari posisi 1 ke posisi 2
dan jari jari R diketahui, maka hubungan posisi sudut
dengan jarak linearnya adalah:
(2.4)
Keterangan:
s: Perpindahan linear (m)
R: Jarijari Lingkaran (m): Perpindahan sudut (rad)
Bila gerak rotasi berlawanan dengan putaran jarum jam disebut sebagai
arah positif putaran, sehingga bila gerak rotasi berlawanan dengan jarum jam
maka jumlah bertambah, sedangkan bila gerak rotasi searah dengan putaran
jarum jam maka berkurang. Sudut dapat dinyatakan dengan radian (rad),
derajat ( 0 ), ataupun dalam putaran. Hubungan antara satuan radian, derajat,
dan putaran adalah sebagai berikut:
Radian merupakan satuan geomatris murni tanpa dimensi fisis karena terjadi
dari perbandingan dua panjang. 1 putaran disamakan dengan keliling
lingkaran (2), maka untuk satu lingkaran penuh diperoleh , , dan .
2) Kecepatan Sudut ()Kecepatan sudutdidefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut
dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan pergeseran
sudut atau searah dengan sumbu putarnya. Pergeseran sudut partikel dalam
selang waktu t = t2 t1 adalah = 2 1 maka laju sudut rata rata
(dapat dirumuskan sebagai berikut:
Gambar 2.1s = R
7/13/2019 bendaa tegar
15/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 15
(2.5)
Keterangan:
: kecepatan sudut ratarata (rad/s)t : selang waktu (s)
: perpindahan sudut (rad)
Kecepatan sudut sesaat terjadi pada selang waktu yang sangatsingkat yaitu mendekati nol sehingga perubahan kecepatannya sangat kecil.
Persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:
(2.6)
Untuk benda tegar, semua garis radial yang tetap dalam benda itu dan
tegak lurus terhadap sumbu rotasi akan menempuh sudut yang sama dalam
waktu yang sama, sehingga kecepatan sudut terhadap sumbu ini sama untuk
semua partikel dalam benda (Resnick. 1985: 319)
Gambar 2.2
Pada piringan yang berputar dengan sumbu putar pada poros, setiap titik
pada piringan tersebut mengalami kecepatan sudut yang sama, sedangkan
kecepatan linearnya berubah ubah tergantung pada letak titik tersebut.
semakin ke tepi (jarijari semakin besar), semakin besar kecepatan linearnya.
7/13/2019 bendaa tegar
16/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 16
Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudutnya dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Karena , maka hubungan antara kecepatan linear (v)dengan kecepatan
sudutnya ()
(2.7)
Keterangan:
v : kecepatan linear (m/s)
: kecepatan sudut (rad/s)
R : jarijari lingkaran (m)
Contoh soal:
Posisi sudut benda yang bergerak melingkar beraturan memenuhi
Dari data itu tentukan kecepatan sudut rata-rata antara !Jawab:
Bila
= 52 rad/s
3) Percepatan Sudut ()Jika laju sudut partikel dalam benda tegar tidak konstan maka laju sudut
seluruh partikel di dalam benda tegar juga tidak konstan. Ini berarti benda
tegar tersebut mengalami percepatan sudut atau biasa juga disebut dengan
v = R
7/13/2019 bendaa tegar
17/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 17
percepatan anguler. Percepatan sudutmerupakan perubahan kecepatan sudut
per satuan waktu yang diperlukan untuk terjadinya perubahan tersebut. Jika
pada saat t1, kecepatan sudut tersebut adalah 1dan pada saat t2= tt,kecepatan sudutnya menjadi 2= , percepatan sudut ratarata dapatdituliskan sebgai berikut:
(2.8)
Keterangan:
: percepatan sudut ratarata (rad/s2) : perubahan kecepatan sudut (rad/s)
t : perubahan waktu (s)
Sedangkan percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai percepatan sudut
ratarata untuk selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol.
(2.9)
Contoh soal:
Sebuah benda berotasi dengan kecepatan sudut Tentukan percepatan sudut saat Jawab:
Percepatan sudut bisa dicari menggunakan persamaan 2.8
=
Untuk rotasi dengan sumbu tetap, setiap patikel pada benda pejal
tersebut mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang
sama. Jadi dan merupakan karakteristik keseluruhan benda pejal tersebut.
7/13/2019 bendaa tegar
18/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 18
Kita dapat menggunakan persamaan 2.8untuk menunjuukan bahwa
percepatan sudut berhubungan dengan percepatan linear tangensial (aT) dari
partikel yang berotasi.
(2.10)
Keterangan:
aT : percepatan tangensial (m/s2)
R : jarijari lingkaran (m) : percepatan sudut (rad/s2)
Arah percepatan tangensial ini selalu bersinggungan dengan busur
lingkaran. Selain itu di dalam gerak rotasi juga terdapat percepatan radial
(asp), yaitu percepatan yang arahnya menuju titik pusat lingkaran atau biasa
disebut dengan percepatan sentripetal:
(2.11)
Keterangan:
asp : percepatan setripetal/ radial (rad/s2)
: kecepatan sudut (rad/s)
R : jarijari lingkaran (m)
Pada gambar 2.3, titik P terletak di tepi piringan mengalami dua
percepatan linear, yaitu percepatan setripetal
yang arahnya menuju pusat lingkaran dan
percepatan tangemsial yang arahnya tegak lurus
dengan percepatan setripetal, serta
bersinggungan dengan busur lingkaran yang
asp= R
P
7/13/2019 bendaa tegar
19/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 19
berpusat di O. Maka percepatan linear total dari sebuah partikel adalah jumlah
vector dari dua komponen percepatan tersebut.
2.3.1 Rotasi dengan laju sudut konstan
Untuk gerak rotasi benda tegar yang mempunyai laju sudut yang
konstan, pergeseran sudutnya dapat ditentukan dengan menggunakan
persamaan 2.5, sehingga diperoleh hubungan . Jikapada saat t=0 posisi sudut partikel adalah 0dan pada t2= t posisi sudutnya
adalah t, hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
(2.12)
Pada gerak rotasi partikel atau benda tegar yang laju sudutnya konstan, laju
sudut sesaat sama dengan laju sudut rataratanya.
2.3.2 Rotasi dengan percepatan sudut konstan
Definisi kecepatan sudut dan percepatan sudut dengan kecepatan dan
percepatan linear, dengan mengganti perpindahan linear s, mengganti v,
dan mengganti a. Karena persamaan-persamaan kinematika yang
menghubungkan , , dan bentuknya sama dengan persamaan-persamaan
kinematika gerak linear,maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh
kaitan sebagai berikut untuk percepatan sudut konstan.
(2.13)
(2.14)
Gambar 2.3
t=t
7/13/2019 bendaa tegar
20/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 20
(2.15)
2.4Dinamika Rotasi; Torsi dan Momen Inersia2.4.1 Momen gaya (Torsi)
Momen gayamerupakan hasil kali antara gaya (F) dengan lengan gaya
(l) (Umar, 2008). Momen gaya sebenarnya dibagi menjadi tiga yaitu:
momen lentur, momen kopel, dan momen puntir (torsi). Dalam makalah ini
kami membatasi materi pada momen puntir (torsi)
Benda hanya dapat mengalami perubahan gerak rotasi jika pada benda
diberi momen gaya atau sering juga disebut torsi. Menurut Umar (2008),
torsi didefinisikan sebagai besaran yang ditimbulkan oleh sebuah gaya
terhadap sumbu putarnya dan momen ini dapat memberikan pengaruh
terhadap perubahan gerak rotasi suatu benda. Torsi merupakan perkalian
secara vektor antara vektor gaya dan vektor lengan gaya, maka torsi
merupakan besaran vektor., sehingga selain mempunyai besar, torsi juga
mempunyai arah.
Contoh momen gaya (torsi) yang bisa kita temukan dalam kehidupan
sehari-hari adalah pegangan pintu yang diberikan gaya oleh tangan kita
sehingga engsel di dalamnya dapat berputar. Ketika membuka sebuah pintu,
pengaruh gaya yang diberikan tidak hanya tergantung pada besarnya gaya,
tetapi bergantung juga pada arah dan jarak titik gaya terhadap sumbu
perputaran pintu. Gaya yang diberikan untuk membuka pintu arahnya tegak
lurus terhadap pintu. Makin besar gaya yang diberikan, maka makin cepat
pula pintu dibuka. Tetapi jika diberikan gaya dengan besar yang sama pada
titik yang lebih dekat dengan engsel, maka pintu tidak akan terbuka
sedemikian cepat. Sedangkan jika kita memberikan gaya yang sejajar
dengan (mendekati atau menjauhi) engsel, maka engsel pintu tersebut tidak
akan berputar sehingga pintu tidak bisa terbuka. Terlihat bahwa percepatan
t=
7/13/2019 bendaa tegar
21/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 21
Gambar 2.4
F1
O
r = engsel
sudut pintu berbanding lurus tidak hanya dengan besarnya gaya, tetapi juga
dengan jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis kerja yang disebut
dengan lengan gaya.
Pada gambar 2.4, tirik
O disebut sebagai sumbu rotasi,
F adalah
besar gaya yang diberikan, dan rdisebut dengan lengan gaya. Adapun
pengertian dari lengan gaya yang merupakan jarak yang tegak lurus dari
sumbu rotasi Oterhadap garis gayanya.
Berdasarkan pernyataan tersebut besarnya gaya puntir atau momen
gaya (torsi) tidak hanya bergantung pada besarnya gaya, tetapi juga
ditentukan oleh titik tangkap gaya relatif terhadap titik asal (lengan gaya),
yaitu vektorr. Secara sistematis, torsi dirumuskan sebagai berikut:
(2.16)
jika garis gaya Fmelalui titik asal (sumbu rotasi), maka r sama dengan
nol dan momen gaya terhadap titik asal juga sama dengan nol
F sin
Gambar 2.5
F
O
r =
7/13/2019 bendaa tegar
22/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 22
F2
BA
F1
Gambar 2.7
Jika gaya yang diberikan pada sebuah batang (Gambar 2.5)
membentuk sudut terhadap lengan gaya, maka vektor F sin merupakan
komponen gaya yang tegak lurus terhadap lengan gaya. Ini berarti bahwa
gaya yang menimbulkan momen gaya adalah gaya yang tegak lurus dengan
lengan gaya. Atau jika sin melekat pada lengan gaya (r sin ), maka
lengan gaya yang memberikan momen gaya adalah lengan yang tegak lurus
terhadap garis gaya. Hubungan antara momen gaya dan lengan gaya jika
gaya membentuk sudut terdadap lengan gaya adalah:
(2.17)
Keterangan:
: momen gaya (Nm) : lengan momen (m) : gaya yang bekerja (N) : sudut antara garis gaya dengan lengan momen (o)Ketentuan momen gaya berdasarkan arah putarannya:
1. Jika benda diberikan gaya yang arah putarannya searah dengan arahputaran jarum jam atau menjauhi pembaca, maka momen gaya bernilai
positif (+).
2. Jika benda diberi gaya yang arah putarannya berlawanan dengan arahputaran jarum jam atau mendekati pembaca, maka momen gaya bernilai
negatif (-).
Gambar 2.7 menunjukkanadanya dua momen gaya yang
bekerja pada sebuah batang.
Besarnya momen gaya yang
ditimbulkan oleh F1 dan F2
terhadap titik B (sumbu rotasi)
adalah:
7/13/2019 bendaa tegar
23/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 23
Oleh karena arah rotasi yang ditimbulkan oleh gaya F1searah dengan arah
putaran jarum jam, maka bernilai positif, sedangkan bernilai negatifkarena arah rotasi yang ditimbulkan F2 berlawanan dengan arah putaran
jarum jam.
Jika pada sebuah benda bekerja dua atau lebih momen gaya, maka momen
gaya total di sekitar sumbu benda merupakan penjumlahan vektor semua
momen gaya yang bekerja. Secara matematis dapat dituliskan sebagai
berikut.
Contoh soal:
Batang AB bebas berputar di titik O seperti pada gambar di bawah.
Panjang AB = 3 m, OA = 2 m, dan OB = 1 m. Pada titik A bekerja gaya F A
= 10 N dan pada titik B bekerja gaya FB= 20 N. Tentukan torsi yang bekerja
pada batang dan arah putarnya.
Karena torsi bernilai negatif (-) maka arah putarnya berlawanan arah jarum
jam.
( )
7/13/2019 bendaa tegar
24/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 24
2.4.2 Momen inersia (kelembaman)Menurut Hukum I Newton, setiap benda memiliki kecenderungan
untuk mempertahankan keadaan geraknya. Jadi, jika benda dalam keadaan
diam, benda cenderung untuk tetap diam. Demikian pula dengan benda
yang sedang bergerak dengan kecepatan konstan, benda akan cenderung
untuk tetap bergerak lurus beraturan. Kecenderungan untuk
mempertahankan keadaannya inilah yang disebut dengan inersia.
Konsep Hukum kelembaman tersebut juga berlaku untuk benda
benda yang sedang berotasi, seperti halnya planet planet dalam tata surya
yang mempunyai kecenderungan untuk tetap mempertahankan keadaan
gerak rotasinya. Kecenderungan ini disebut sebagai momen inersia. Dalam
buku yang ditulis oleh Young dan Freedman (2002), tertulis bahwa kata
momen berarti bahwa I tergantung pada bagaimana massa benda
didistribusikan dalam ruang; ini tidak ada hubungannya dengan momen
dari waktu. Untuk sebuah benda yang rotasinya dan massa totalnya kita
ketahui, semakin besar jarak sumbu terhadap partikel yang menyusun benda,
semakin besar momen inersianya.
A. Momen inersia benda diskrit (partikel)Perhatikan gambar 2.6. Sebuah
partikel bermassa m berputar
mengelilingi sebuah sumbu yang
berjarak r dari m. Dengan demikian,
momen inersia (kelembaban inersia)
partikel tersebut dapat dirumuskan
sebagai berikut:
(2.19)
Keterangan:
I : momen inersia (kgm2)
m : massa partikel (kg)
r : jarak antara partikel dengan sumbu rotasi (m)
Gambar 2.6
mr
I = mr
7/13/2019 bendaa tegar
25/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 25
Perhatikan gambar 2.7! Untuk benda tegar yang tersusun dari banyak
partikel dengan masing-masing massa m1, m2, m3, ..., mN dan berjarak
tegak lurus terhadap titik poros masing-masing r1, r2, r3, ..., rNmaka
momen inersia sistem partikel tersebut adalah:
I = m1 r12+ m2 r2
2+ m3 r32 + + mN rN
2
(2..20)
B. Momen inersia benda tegarJika sebuah benda terdiri atas partikelpartikel yang dapat dianggap
terpisah satu sama lain, momen inersianya dapat ditentukan dengan
persamaan 2.20. Berbeda dengan benda tegar yang memiliki satu kesatuan
massa yang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan
bentuknya teratur. Teratur disini maksudnya adalah massa benda
terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari
titik pusat massa benda. Ketika sebuah benda tegar tidak dapat dinyatakandengan beberapa titik massa, tapi berupa distribusi massa yang homogen,
penjumlahan massa dan jarak yang mendefinisikan momen inersia dihitung
menggunakan teknik integral sebagai berikut (Young dan Freedman, 2002);
dengan radalah jarak tegak lurus elemen massa dmke sumbu putar:
(2.21)
Gambar 2.7
r1m1
m2r2
r3
m3
7/13/2019 bendaa tegar
26/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 26
Untuk menghitung integral, kita harus menyatakan r dan dmdalam
bentuk variabel integral yang sama. Ketika kita memiliki ojek satu dimensi,
seperti batang tipis, kita bisa menggunakan koordinat x sepanjang batang
dan menghubungkan dm pada pertambahan dx. Untuk objek tiga dimensi
biasanya paling mudah menyatakan dm dalam bentuk elemen volume dV
dan densitas benda , sehingga persamaannya menjadi:
Jika benda memiliki densitas homogen, maka dapat dikeluarkan daripersamaan.
Untuk menggunakan persamaan ini, kita harus menyatakan elemen dV
dalam bentuk diferensial dari variabel integral, seperti .Elemen dV harus selalu dipilih sehingga semua titik di dalamnya memiliki
jarak yang sama terhadap sumbu putar. Batas integrasi ditentukan oleh
bentuk dan ukuran benda.
Benda benda tegar yang bentuknya teratur, diaantaranya adalah
batang, silinder dan bola. Berikut ini akan ditunjukkan cara menghitung
momen inersia dari beberapa benda tegar:
a. Sebuah batang dengan panjang , dan massa m, yang berputar terhadapsumbu melalui pusat massa.
Dari persamaan 2.21, diasumsikan bahwa r = x dan dm = , dengan
batas integralnya adalah x1dan x2 sehingga diperoleh:
7/13/2019 bendaa tegar
27/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 27
b.Untuk sumbu putar yang terletak di ujung batang dengan panjang , danmassa m, akan didapatkan x1 = 0 dan x2 = sehingga momen inersia
batang akan menjadi:
|
Besarnya momen inersia dari sebuah benda yang bentuknya teratur
bergantung pada massa benda, bentuk benda, dan letak sumbu putarnya.
Pada Tabel 2dibawah ini terdapat momen inersia dari beberapa bentuk
benda dengan posisi sumbu tertentu.
Gambar Nama Letak Sumbu Momen Inersia
Batang melalui pusat
Batang melalui ujung
7/13/2019 bendaa tegar
28/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 28
cincin tipis melalui pusat
silinder
silinder pejal melalui pusat
silinder
Silinder pejal Seperti tampak
pada gambar
silinder
berongga
melalui pusat
bola pejal melalui pusat
bola pejal melalui salah
satu garis
singgung
7/13/2019 bendaa tegar
29/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 29
bola
berongga
Melalui pusat
Teorema Sumbu Sejajar
Ketika mengukur momen inersia dari sebuah benda pada sumbu yang
berbeda, hasilnya juga akan berbeda (berubah pada setiap pengukuran). Jadi
dapat dikatakan bahwa momen inersia dari sebuah benda besarnya relatif
terhadap suatu sumbu (Sumardi, 1996). Terdapat suatu teori yang dapat
menentukan besar momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang tidak
melalui pusatnya, tetapi masih sejajar dengan sumbu yang melalui pusat
tadi. Teori ini dikenal sebagai teorema sumbu sejajar. Teorema sumbu
sejajarmenyatakan bahwa jika sumbu putar tidak terletak pada pusat massa,
tapi sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa, maka momen inersia
terhadap sumbu tersebut dapat dihitung.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Tabel 2.4
(momen inersia benda tegar)
Gambar 2.8
(teorema sumbu sejajar)
7/13/2019 bendaa tegar
30/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 30
Dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap
sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar tetapi
melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut:
(2.22) ( )
Sehingga
( ) (2.23)suku pertama tidak lain adalah Mr2pm (M adalah massa total benda), suku
kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga
lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat
massa). Sehingga persamaanya menjadi:
(2.24)
Keterangan:
Ip : momen inersia terhadap sumbu baru (kgm2).
Ipm : momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat (kgm2).
M : massa seluruh benda (kg).
rpm : jarak antara sumbu baru dengan sumbu yang melalui pusat (m).
Contoh soal:
Hitunglah momen inersia sebuah roda
berbentuk silinder pejal yang memilki
diameter 20 cm dan massa 50 kg. Jika pusat
putaran ditepi roda sejajar dengan sumbunya.
r2pm
d = R
m = 50 kg
20 cm
7/13/2019 bendaa tegar
31/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 31
Jawab:
Momen inersia silinder yang mealui titik pusat adalah , sehinggamomen inersia yang sejajar dapat diperoleh melalui persamaan 2.24:
Teorema sumbu tegak lurus
Teori ini hanya berlaku pada benda benda yang mempunyai luasan
(lempeng tipis), karena ketebalan benda yang demikian dianggap nol.
Perhatikan gambar 2.9berikut ini!
(2.25)
Berdasarkan buku yang ditulis oleh Sumardi (1996), momen inersia
terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia terhadap dua
sumbu yang saling tegak lurus.
Contoh soal:
Gambar 2.9
(teorema sumbu tegak lurus)
7/13/2019 bendaa tegar
32/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 32
Keempat massa seperti tampak pada gambar,
dihubungkan oleh kawat yang massanya dapat
diabaikan. Tentukanlah momen inersia sistem jika
sumber putarnya:
a) Melalui pusat lingkaran O tegak lurus pada bidanggambar
b) Melalui AAJawab:
a.
b.
2.5Gerak MenggelindingDalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai benda yang bergerak
menggelinding, misalnya sebuah benda yang dilemparkan di atas lantai mendatar,
atau roda-roda sebuah kendaraan yang melaju di jalan raya. Berdasarkan jenis
bidang yang dilewati, gerak menggelinding dibagi menjadi tiga, yaitu gerak
menggelinding pada bidang datar, menggelinding pada bidang miring, dan beban
yang dihubungkan melalui katrol.
Menggelinding tanpa slip bergantung pada gesekan statik antara benda yang
menggelinding dan lantai. Gesekan bersifat statik karena titik kontak benda yang
menggelinding dengan lantai berada dalam keadaan diam pada setiap saat.
Contohnya ketika sedang mengerem terlalu keras sehingga ban menjadi selip.
Gerak menggelinding dengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak,
yaitu gerak rotasi dan translasi. Perhatikan gambar 2.11! Setiap bagian dari
silinder melakukan dua gerak sekaligus, yaitu gerak bersama pusat massa dengan
A
A
2m 2m
1m
3m
b
7/13/2019 bendaa tegar
33/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 33
kecepatan o, dan gerak melingkar dengan kecepatan sudut.TitikPmenyatakantitik singgung silinder dengan lantai, O menyatakan pusat massa, dan Q
menyatakan bagian paling atas silinder.
Jika silinder menggelinding tanpa selip, maka kecepatan titik P terhadap tanah
bernilai nol atau tidak terjadi gerak relatif antara silinder dengan tanah. Jadi titik P
berada dalam keadaan diam, sedangkan kecepatan o adalah resultan dari
kecepatan pusat massa o , dan kecepatan tangensial t = R yang arahnyaberlawanan dengan arah o,sehingga
p= oR = 0 (2.29)
dan kecepatan pusat massa memenuhi persamaan
o= R (2.30)Menyatakan bahwa jika silinder hanya bergerak rotasi, maka kecepatan gerak
pusat massa sama dengan kecepatan tangensial pinggir silinder.
Kecepatn titik memenuhi persamaanQ = o+ R = o+ o= 2o= 2R (2.31)Oleh karena titik P memiliki kecepatan p = 0, titik O memiliki kecepatan o=
R, dan titik memiliki kecepatan o= 2R, maka gerak silinder dapat dianggapsebagai gerak rotasi murni terhadap titik dengan kecepatan sudut . titiksinggung Pdisebut sumbu sesaat dari gerak menggelinding.
Contoh soal:
Gambar 2.11
(silinder pejal melakukan gerak menggilinding)
Q
P
O
7/13/2019 bendaa tegar
34/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 34
Sebuah roda berbentuk silinder pejal homogen
digantung pada sumbunya seperti pada gambar. Pada
tepi roda dililitkan tali. Tali tersebut ditarik vertikal
kebawah dengan gaya 15N. Apabila roda tersebut
memiliki massa 8Kg dan jari-jari 20cm, maka tentukan
percepatan tali tersebut.
Jawab:
F
R
7/13/2019 bendaa tegar
35/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 35
Maka:
Momen inersia katrol
7/13/2019 bendaa tegar
36/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 36
2.6Penyelesaian Masalah Dinamika RotasiUntuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di dalamnya terdapat
bagian sistem yang bergerak translasi maka pemecahannya dapat dilakukan
dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut:
1. Identifikasi benda bagian dari sistem sebagai obyek pembahasan dankelompokkan mana yang bergerak translasi dan yang bergerak secara
rotasi.
2. Tentukan sumbu koordinat yang memudahkan untuk penyelesaianberikutnya.
3. Gambar diagram gaya benda bebas untuk benda yang dipermasalahkan(atau untuk setiap benda jika ada lebih dari satu), yang menunjukkan
hanya (dan semua) gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut dan tepat
di mana gaya-gaya tersebut bekerja, sehingga anda bisa menentukan torsi
untuk setiap gaya.
4. Gunakan persamaan untuk gerak translasi dan untukgerak rotasi.
5. Selesaikan persamaan-persamaan yang dihasilkan unuk mencari besaran-besaran yang ditanyakan.
6. Buatlah perkiraan kasar untuk menentukan apakah jawaban anda masukakal atau tidak.
Kasus 1:
Benda A massa mdihubungkan dengan tali pada sebuah roda putar berjari-jari R
dan bermassa M. Bila mula-mula benda A diam pada ketinggian h1 kemudian
dilepas sampai pada ketinggian h2, tentukan tegangan tali dan percepatan linier
benda Asepanjang geraknya.
Pembahasan 1:
7/13/2019 bendaa tegar
37/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 37
Analisis rotasi
Setelah benda A dilepas dari roda yang
berputar dengan percepatan sudut ,
dalam hal ini gaya penggerak rotasinya
adalah gaya tegangan tali T. Dari hukum
II Newton untuk gerak rotasi ,hubungan torsi dengan gaya (tegangan tali) yaitu
dan definisi momen inersia roda terhadapsumbunya yaitu , diperoleh
(2.37)
Analisis Translasi
Benda A merupakan bagian sistem yang melakukan gerak translasi, sehingga
percepatan linier benda A sama dengan percepatan linear roda, yaitu ,sehingga gaya tegangan tali dapat dinyatakan seperti persamaan 2.37
Sepanjang gerakan benda A berlaku Hukum II Newton sehingga persamaanya
menjadi:
(2.38)Untuk menentukan tegangan tali T, masukan persamaan 2.38 ke persamaan 2.37
sehingga:
Gambar 2.12
7/13/2019 bendaa tegar
38/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 38
(2.39)
Masalah dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat
dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi
masalah dinamika rotasi juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum
kekekalan energi mekanik. Adapun energi mekanik pada benda yang melakukan
gerak rotasi dan gerak translasi adalah sebagai berikut:
(2.40)
Kasus 2:
Sebuah silinder pejal bermassa Mdan berjari-jari Rdiletakkan pada bidang miring
dengan kemiringan terhadap bidang horisontal yang mempunyai kekasaran
tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut menggelinding, tentukan kecepatan
silinder setelah sampai di kaki bidang miring!
Pembahasan 2:
a) Penyelesaian secara dinamikaSilinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat kekasaran
tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang menyebabkan silinder
berotasi dengan percepatan sudut ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat
ditentukan sesuai dengan persamaan 2.37
Gambar 2.13
7/13/2019 bendaa tegar
39/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 39
Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak translasi,
sehingga berlaku hukum kedua Newton.
(2.41)Dengan mensubtitusikan persamaan 2.37 ke dalam persamaan 2.41 maka
diperoleh percepatan silinder di dasar bidang miring yang memenuhi
persamaan sebagai berikut:
(2.42)Dengan menggunakan hubungan dan mengingat kecepatansilinder saat terlepas vo= 0 da h = s sin , maka diperoleh persamaan:
(2.43)Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih lambat jika
dibandingkan bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan yang
kecepatannya adalah
b) Penyelesaian menggunakan hukum kekekalan energi mekanikPada gerak menggelinding barlaku hukum kekekalan energi mekanik.
Karena mula mula silinder dalam keadaan diam, maka energi mekanik
silinder pada kedudukan 1 adalah:
(2.44)Pada saat silinder berada pada kedudukan 2, energi kinetiknya merupakan
jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, sehingga berlaku
persamaan:
(2.45)Dengan memasukkan momen inersia silinder dan kedalam persamaan 2.45, kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki
bidang miring besarnya adalah:
7/13/2019 bendaa tegar
40/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 40
(2.46)
2.7Usaha dan Energi Kinetik Gerak Rotasi2.7.1 Usaha
Kerja yang yang dilakukan pada benda yang berotasi pada sumbu yang
tetap, seperti pada roda atau katrol, rotasi batang motor penggerak. Kerja ini
dapat dinyatakan dengan torsi dan perpindahan sudut.
Anggaplah sebuah gaya tangensial di pinggir sebuah benda yangsedang berputar sejauh sudut
yang sangat kecil pada sumbu tetap dalam
suatu interval yang sangat kecil. Kerja yang dilakukan oleh gayaketika titik pada pinggiran benda tersebut bergeser sejauh adalah Jika diukur dalam radian, maka dan
Karena adalah torsi yang disebabkan oleh gaya , maka
o
7/13/2019 bendaa tegar
41/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 41
Kerja total yang dilakukan oleh torsi sepanjang perpindahan sudut dari ke adalah :
Jika torsi konstan ketika sudut berubah sebanyak adalah:
Anggaplah menyatakan torsi total pada benda , sehingga dari persamaan dapat diasumsikan bahwa benda bersifat tegar sehingga momeninersia adalah konstan. Kemudian ubah integral dalam persamaan kedalam integral sebagai berikut:
Karena merupakan torsi total, maka persamaan merupakankerja total yang diberikan pada benda tegar yang berputar. Persamaan
tersebut kemudian dapat ditulis menjadi:
Jadi kerja total sebuah benda tegar yang berputar dapat disamakan dengan
perubahan energi kinetik rotasi benda tegar.
2.7.2 Energi Kinetik Rotasi
Energi kinetik pada suatu partikel maupun yang terdiri dari banyak partikel
yaitu :
Ek= mi ( ) (2.54)Atau dapat juga ditulis
mi v2i (2.55)Untuk benda tegar yang berotasi berlaku kecepatan sudut , jadi kecepatansetiap partikel yaitu :
(kerja yang dilakukan oleh torsi)
(kerja yang dilakuakn oleh torsi konstan)
7/13/2019 bendaa tegar
42/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 42
vi = i(2.56)
Sehingga besar kelajuannya adalah
vi = Ri (2.57)Ri merupakan jarak dari partikel ke sumbu rotasi. Karena benda tegar
merupakan sistem banyak partikel yang jarak antara partikel-partikel
penyusunnya konstan. Sehingga energi kinetik sistem partikel memenuhi
persamaan:
mi ( i).( i) (2.58)Besarnya dapat ditulis sebagai
Ek= mi | i|2 (2.59)Jika dipakai besaran kelajuan untuk menggantikan kecepatan agar
persamaannya lebih sederhana, maka
Ek= mi v2i (2.60)vi= Ri, maka memenuhi persamaan
mi (Ri)2 (2.61) (mi Ri2)2 (2.62)
Dengan meninjau kembali rumus momen inersia yaitu, I = mi Ri2, makadiperoleh persamaan
Ek= 2 (2.63)Pada persamaan vi = iberlaku untuk sembarang sumbu yang bukanutama, karena besarnya kelajuan vi = Ri, besarnya torsi L = I. Jikarotasinya bekerja pada sumbu utama, maka persamaannya
Ek=
Benda tegar yang berotasi terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan
pada saat yang sama benda tegar relatif bergerak translasi terhadap
pengamat. Energi kinetik suatu benda dalam suatu acuan kerangka inersia
adalah sebagai berikut:
Ek=
M vc
2 + Ek,c (2.64)
i
7/13/2019 bendaa tegar
43/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 43
Dengan M adalah massa total, vc adalah kelajuan pusat massa, danMvc
2
adalah energi kinetik translasi. Jika bendanya berputar, Ek,c adalah energi
kinetik rotasi yang relatif terhadap pusat massa yang ditujukan oleh
vc
2
2
.
Dengan Icadalah momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi yang melalui
pusat massa. Sehingga energi kinetik total benda memenuhi persamaan
Ek=M vc
2+Ic
2(2.65)
Sesuai dengan hukum kekekalan energi memenuhi persamaan yaitu :
Ek + Ep= Konstan
Maka persamaan tersebut menjadi :
Ek= Mi vc2+ Ic 2 + Ep= Konstan (2.66)
2.8 Momentum Sudut dan Kekekalannya
2.8.1 Momentum Sudut
Jika momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh
benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka momentum sudut
merupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang melakukan
gerak rotasi. Dikatakan sudut, karena ketika melakukan gerak rotasi, setiap
benda mengitari sudut tertentu.Dalam hal ini, benda berputar terhadap
poros alias sumbu rotasi.
Persamaan-persamaan kinematika dan dinamika
untuk gerak rotasi analog dengan persamaan-persamaan
untuk gerak linier biasa menggunakan variabel sudut
yang sesuai. Contohnya ada pada energi kinetik rotasi
yang dirumuskan sebagai yang analog dengan Ek
translasi = . Cara yang sama juga dapat
digunakan pada momentum linier yang memiliki analogi rotasi.Besaran tersebut disebut momentum sudut L. Jika benda yang bergerak
rotasi, memiliki massa dan kecepatan, maka dikatakan benda itu memiliki
Gambar 22
m
v
R
7/13/2019 bendaa tegar
44/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 44
momentum linier. Jika momentum linier dikalikan jari-jarinya, maka
diperoleh momentum sudut yang besarnya dirumuskan:
(2.67)atau
menjadi (2.68)
Keterangan :
= momentum sudut (kg m2rad/s)= momen inersia (kg m2)= kecepatan sudut (rad/s)
= massa (kg)= kecepatan linier (m/s)
Momentum sudut merupakan besaran yang vekor yang arahnya
dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan, yang berbunyi :
Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut,
maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak
rotasinya
2.8.2 Hukum II Newton versi Momentum untuk Gerak Rotasi
Hukum II Newton tidak hanya dituliskan dalam persamaan
, namun dalam pembahasan momentum ini, .
Dengan cara yang serupa, ekivalen rotasi Hukum II Newton juga dapat
dirumuskan sebagai , sehingga dalam momentum sudutdirumuskan:
(2.69)
7/13/2019 bendaa tegar
45/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 45
Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan momentum
sudut sama dengan torsi total yang bekerja pada benda tegar. Laju
perubahan momentum sudut = perubahan momentum sudut yang terjadi
selama selang waktu tertentu. Misalnya mula-mula sebuah benda tegar
diam (momentum sudutnya = 0). Setelah dikerjakan Torsi, bnda tegar
tersebut berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. Ketika berotasi, benda
tegar itu mempunyai momentum sudut. Jadi selama selang waktu tertentu,
benda mengalami perubahan momentum sudut dari nol atau tidak ada
menjadi ada. Dalam hal ini terjadi pertambahan momentum sudut.
Dalam pesamaan diatas, merupakan torsi total yang bekerjauntuk merotasikan benda, dan merupakan perubahan momentum sudutdalam waktu . Persamaan merupakan suatu kasus khusus pada
persamaan 2.69 apabila momen inersianya konstan. Jika sebuah benda
memiliki kecepatan sudutnya pada waktu t=0, dan kecepatan sudut pada saat , makapercepatan sudutnya menjadi:
(2.70)Kemudian dari persamaan 2.65didapatkan:
(2.71)
2.8.3 Hukum Kekekalan Momentum SudutMomentum sudut merupakan konsep penting dalam fisika, karena
momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum
sudut. Hukum itu berbeda dengan prinsip. Bila dalam fluida kita mengenal
prinsip archimedes, pascal dll. Maka prinsip itu hanya berlaku untuk
kondisi tertentu saja. Karena hukum berlaku universal alias umum.
Momentum sudut pada kondisi tertentu juga disebut besaran yang
kekal. Pada persamaan 2.69 dapat dilihat apabila = 0, maka juga bernilai 0. Hal tersebut merupakan hukum kekekalan momentum
sudut yang menyatakan :
7/13/2019 bendaa tegar
46/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 46
Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap
konstan jika torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol.
Jika pada benda yang bergerak rotasi tidak bekerja momen gaya,
maka momentum sudut dari benda itu tidak berubah terhadap waktu, ini
berarti momentum sudut kekal. Jika momentum sudut awal dinyatakan
dengan L0 dan momentum sudut akhir dinyatakan dengan Lt, maka
berlaku :
(2.72)atau
(2.73)Persamaan diatas didapat dengan menggunakan persamaan
Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum, yaitu :
Keterangan :
momentum sudut awal= momentum sudut akhir
Jadi jika torsi total nol yang bekerja pada sebuah benda yang
berotasi pada sumbu tetap atau yang arahnya tidak berubah dapat
dituliskan
Dimana dan berturut-turut adalah momen inersia dan kecepatan sudutdisekitar sumbu pada saat awal (t=0). Sedangkan dan berturut-turut adalahnilainya pada saat yang lain. Bagian-bagian benda bisa merubah posisinya relative
satu sama lain. Sehinggaberubah. Tetapi kemudian berubah juga dan hasilkali tetap konstan. Ini berarti momentum sudut total system adalah konstan.Torsi-torsi dan gaya dalam dapat memindahkan momentum sudut dari satu benda
7/13/2019 bendaa tegar
47/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 47
ke benda lainnya, namun mereka tidak dapat mengubah momentum sudut total
dari sistem.
Contoh penerapan Hukum kekekalan momentum sebagai berikut:
1. Seseorang berdiri dengan membawa beban pada setiap tangannya diatas sebuah piringan yang berputar. Pada awal gerakannya, kedua
tangan direntangkan. Momen inersia orang akan besar karena beban
jauh dari sumbu putar (badan). Akibatnya kecepatan sudut orang
menjadi kecil. Jika beban yang dibawa tersebut dirapatkan, momen
inersianya akan berkurang karena jarak beban ke sumbu putar
berkurang. Ini menyebabkan kecepatan sudut yang dialami beban
bertambah besar
2. Bumi berputar mengelilingi matahari karena adanya gaya gravitasioleh matahari pada bumi, yaitu Fg sepanjang garis yang
menghubungkan Bumi (B) dan Matahari (M). momen gaya (olehFg dan r segaris = 0 sehingga . Jadi momentumsudut Bumi terhadap Matahari selama berputar adalah konstan
3. Tegaknya sebuah gasing yang sedang berputar juga dapat dijelaskandengan hukum kekekalan momentum sudut. Vector momentum sudut
(L) yang sedang berotasi arahnya vertical ke atas. Selama gasing
berotasi dapat diasumsikan arah L tidak berubah jika tidak ada
momen gaya luar yang mempengaruhinya. Itulah sebabnya saat
berotasi gasing dapat berdiri tegak.
7/13/2019 bendaa tegar
48/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 48
BAB III
PENUTUP
3.1 SIMPULAN
1. Titik berat adalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gayaberat sistem benda titik.
2. Kinematika rotasiadalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegardengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Konsep konsep yang
berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad),
kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2).
3. Dinamika rotasi mempelajari mengenai gerak rotasi denganmemperhitungkan pengaruh gaya yang menyebabkan benda itu bergerak.
Dinamika benda tegar sangat berhubungan dengan rotasi benda tegar
dengan sumbu rotasi tetap dalam kerangka acuan inersia. Momen gaya
didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dengan jarak titik ke garis kerja
gaya pada arah tegak lurus. Sedangkan Momen inersiaselain bergantung
pada kandungan zat di dalamnya atau massa benda juga bergantung pada
bentuk benda posisi massa tersebut ke sumbu putarnya. Semakin jauh
posisi massa benda ke pusat rotasinya, semakin besar momen inersia
benda tersebut.
4. Gerak menggelindingdengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak,yaitu gerak pusat massa dan gerak rotasi relatif terhadap pusat massa. Jika
dalam proses gerak menggelinding disertai dengan adanya slip, maka
ketika slip terjadi, gerak rotasi mengalami perlambatan sudut.
5.
Momen kopel merupakan besaran vektor dengan satuan N.m. Pengaruhkopel terhadap suatu benda dapat menyebabkan benda berotasi. Momen
kopel didefinisikan sebagai hasil kali antara salah satu gayanya dengan
jarak yang tegak lurus antara kedua gaya itu.
6. Keseimbangan benda tegar dibedakan menjadi: Keseimbangan stabil Keseimbangan netral Keseimbangan labil
7/13/2019 bendaa tegar
49/50
Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 49
7. Usaha dalam rotasi benda tegar dirumuskan dengan persamaan: d
Sedangkan untuk energi kinetic benda tegar dirumuskan dengan
persamaan:
Ek=
Mi vc
2+
Ic
2 + Ep
Momentum sudutmerupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda
yang melakukan gerak rotasi. Momentum sudut merupakan besaran yang
vekor yang arahnya dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan,
yang berbunyi :
Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut,
maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak
rotasinya
8. Hukum kekekalan momentum sudut yang menyatakan :Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap konstan jika
torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol
3.2 SaranAdapun saran yang dapat kami sampaikan dalam pembuatan makalah
ini adalah sebagai berikut :
1. Ternyata alam sekitar telah menyediakan kita laboratorium, yang dapatkita gunakan sebagai media bantu untuk memahami konsep-konsep yang
berkaitan dengan fisika. Karena setiap permasalahan dalam fisika erat
sekali kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, jadi yang dapat
disarankan adalah dalam belajar fisika hendaknya berawal dari
memahami konsepnya terlebih dahulu melalui kehidupan sehari-hari.
2. Hendaknya para mahasiswa berlatih menerapkan teori-teori dalamkinematika dan dinamika gerak benda tegar untuk menyelesaikan
masalah-masalah yang berkaitan dengan teori kinematika gerak lurus.
7/13/2019 bendaa tegar
50/50
DAFTAR PUSTAKA
Bueche, F.J. & Eugene H. 2006. Schaums Outlines Teori dan Soal-Soal Fisika
Univesitas: Edisi Kesepuluh. Jakarta: Erlangga
Giancoli, D.C. 2001.Fisika: Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta: Erlangga
Kardiawarman dkk. 1992. Fisika Dasar I. Jakarta: Depdikbud
Sarojo, G.A. 2002.Mekanika. Jakarta: Salemba Teknika
Satriawan, Mirza. 2007.Fisika Dasar. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada
Sumardi, Y. dkk. 1996.Mekanika. Jakarta: Depdikbud
Umar, Efrizon. 2008.Buku Pintar Fisika. Jakarta: Media Pusindo
Young, H.D & Roger A.F. 2002.Fisika Universitas: Edisi Kesepuluh Jilid I.
Jakarta: Erlangga