ben rhima

Conception des liaisons mécaniques – MAJ 06/10/2009 5

Chapitre 2

Arbres de transmission

1 - Identification

Les arbres sont des organes de liaison de géométrie

globalement de révolution, qui participent à des

fonctions techniques de transmission de puissance

et de guidage en rotation autour d’un axe propre x1.

Notant M1 le couple et ω1 la pulsation, on distingue

- les arbres moteurs : M1. ω1 < 0

- les arbres récepteurs : M1. ω1 > 0

- les axes : M1 = 0

Arbres et axes dans un moteur à combustion interne


2 - Critères

Critère Niveau

Rigidité

Composantes ou normes limites des

déplacements généralisés (Majorants)

ω

lim lim,i iu

ωlim lim

; u

Fiabilité

Sollicitations statiques ∂t σ(x,t) = 0

Contrainte limite (Majorant)

Sollicitations dynamiques

Contrainte limite (Majorant)

Durée de vie sous σσσσ (Minorant)

( )

lim lim

limmin

; L

Sf

σσ=

σ

Stabilité

Élastique : Effort critique (Mode 1)

Vibratoire: Fréquences de résonance

et nœuds de vibration (Harmoniques

importants)

1;

1;

crit

exc j nj

k mk

φ = =

ΩX

Exemple : broche de tour


3 - Modèles géométriques

1D : prédétermination

1D + Corrections : vérification « manuelle »

3D : vérification et optimisation par la MEF

Exemple : pignon arbré conique

4 - Modèle Poutre

Le domaine D est un milieu continu curviligne orienté

d’abscisse x1∈]0, l] de section S = S(x1) et de

moments centraux principaux I22(x1) et I33(x1).

R0 (x, y, z) : Galiléen de référence

(x1 , x2 , x3) : Base locale au point courant

Problème est mixte simple avec les conditions

- Déplacements généralisés ui sur ∂Ωu

- Efforts généralisés Fi sur ∂Ωf (forces de volume

éventuellement)

HPP et comportement LEHI


Exemple : arbre manivelle d’un moteur thermique

5 - Efforts intérieurs TintM

Partition en D- et D+ supplémentaires dans D

Le torseur des efforts intérieurs est défini dans la base locale liée à l’arbre

TTTTintM ≡≡≡≡ TTTTD+ →→→→ D- M = TTTText →→→→ D+ M = – TTTText →→→→ D- M

TTTTintM ≡ R|M M

2 31 2 3

2 31 2 3t f f

N T T

M M M

= + += + +

R

M

x x x

x x x


6 - Changement de base

En général, pour les arbres

local

d

dt

≠

F0

- Mouvement relatif des efforts

- Instationnarité du chargement

Si R0 est utilisé comme base de projection, on revient

au local par l’isométrie

0 0 0

3 3 3 3

( , )int int( , , ) ( , , )1 2 3

:T Tθ

× → ×ℑ

xx y z x x x

ℝ ℝ ℝ ℝ

֏

Le cas le plus fréquent x1 est invariant (∀t, x1 = x)

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

P t t

t t

ω ωω ω

= −

Soit :

1

int int( , , ) ( , , )1 2 3

T P T•−= x x x x y z


7 - Contraintes et déplacements

On considère une poutre de faible courbure et on

néglige l’effort tranchant.

7.1 Déplacements

On cherche en général les déplacements en un nombre

fini de points. On pose ξk = ξi ≡ ω1 ω2 ω3 u1 u2 u3 le

vecteur des déplacements généralisés en un point Pk

chargé avec φ = φi ≡ F1 F2 F 3 M1 M2 M3

Les théorèmes de l’énergie sont indiqués, (avec

charges fictives si nécessaire)

1) On exprime le potentiel élastique :

( ) ( ) ( )( )2 2

2 3 22

122 33

12 1

2

f fM M MtNdx

E S I I Jν

Ω

= + + + +∫hhhh

2) Pour obtenir ξi, on dérive par rapport à la force

généralisée conjuguée φi imposée en Pk

( )ik i

Pk

Pξφ∂=

∂hhhh

(Th. de Castigliano)

Rappels :

i) hhhh défini par morceaux (attributs et C. L.)

ii) Si le point n’est pas chargé dans la direction

considérée on le charge par une composante fictive φφφφ * qu’on annule après dérivation de *hhhh .

iii) Le principe de superposition est applicable


Exemple : moment d’inertie I, module E, 2 3? ?C B

u ω

Le point C étant chargé, le résultat est immédiat

( )2 22 3

2 221 1 1 1

0 0

1 12

4 22 48

l l

CF F Fl

u x dx x dxF F EI EI EI

∂ ∂= = = =∂ ∂ ∫ ∫hhhh

Pour 3B

ω on introduit en B le moment fictif M*

( )

( )

( )*

2

*3

1 1

3 * 11 1

3

0

2

2 * 11 1 1 1 1

02 0

2

*0 :

2 22

*:

2 2 2

12 2

48

fA

B f

B

M

ll

l

M

M

l

l F MF M x M xYll

xF M l FY x l M l x Ml l

xF Fx dx x l x M dx

EI l l l

Fl FlEI

Mω

=

=

< ≤ = − +=− +

=− − < ≤ = − − +

= − + − − +

−

∂=∂

+

=

∫ ∫

*

**

*

hhhh

( )

2 2

23

12 16

16B

FlEI EI

Fl

EIω

= −

=−


7.2 Contraintes

Pour le problème de Saint – Venant

11 1 1 12 1 2 13 1 32 2σ σ σ= ⊗ + ⊗ + ⊗σ x x x x x x

Normale : 2 3

11 3 222 33

f fM MNx x

S I Iσ = + −

De torsion :

On cherche ψ la fonction des contraintes, fonction

seulement de la géométrie du contour et respectant

2 dans

0 sur lecontour delasectiond S

ψψ

∆ = − Ω= ∂

On note J le module rigidité en torsion

( )3 2 2 32

S S

J x dx x dxdsψ ψ∂

= −+∫ ∫

( )1

12 3 13 2

:Mt

JMt Mt

J J

ψ

σ ψ σ ψ

∧

= ∂ = − ∂

grad x=τ

Pour un section circulaire simplement connexe de

diamètre D = 2R :

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 3

1 1

2 2r R x x R rψ ψ= = − − = −

( )2 ; 0 sur Sψ ψ∆ =− = ∂

4

32

DJ

π=

( ) ( )14

32Mtr r r

Dθ θ θσ

π= =e e=τ τ


8 - Concentration de contrainte

La frontière des arbres n’étant pas partout C2, le

voisinage des singularités est le lieu d’un fort gradient de contrainte.

Dans ce voisinage les contraintes dépassent les

valeurs nominales de la solution de St – Venant

( )( )

,2 3

1

1

ijx x

ij nom

Max

x

σ

σ>


Corrections

Facteur de concentration de contrainte

K = fonction (géométrie, type d’effort (N, Mf, Mt),

mode (statique ou dynamique))

Kti : sollicitation statique, effort i (Ktt , Ktf, Kto)

Kfi : sollicitation dynamique, effort i (Kft , Kff, Kfo)

Déduit de Kti pour un acier de résistance Rm à l’état

de référence

Remarque :

Interpolation linéaire pour les valeurs intermédiaires


9 - Validation du critère fiabilité

9.1 Sollicitations statiques

On adopte la contrainte de Von–Mises

( ) ( )

( )

2

22 2 211

1 1

1; principales

2

3 3

i j i jVM

N f

i j

θ θ

σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ

= − ≠

= + = + +

En introduisant la correction par les Kti

( ) ( ) ( )2 2

1( ) max max 3tt N tf f toeqf K K K θσ σ σ σ

≡ = + +σx x

0,2%

( ) e

RS S

f= ≥

σ

Se ≡facteur de sécurité par rapport à la limite conventionnelle d’élasticité

Remarque : Pour σf il est commode d’opérer par

( ) ( )2 2

2 32 32 3 f ff f

vf

f

v vM M M M M Mf f

Mw

Ivσ

= + ≡ = +

=

fM x x v


9.2 Sollicitations dynamiques

Le développement de σσσσ en série de fourrier à l’ordre 1

donne un terme stationnaire et un terme fluctuant

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

12 2 2

0 0

, sin

1

2cos sin

ij ijm a

T

ijm

T T

ij ij ija

σ t σ σ ωtij

σ σ ,t dtijT

σ σ ,t ωtdt σ ,t ωtdtT

ϕ= + +

=

= +

∫

∫ ∫

x

x

x x

Nota : Souvent, les sollicitations sont sinusoïdales.

9.2.1 Sollicitations types

La résistance sous sollicitations variables dépend de la

conjugaison entre valeur moyenne et amplitude


9.2.2 Contraintes équivalentes

Le critère de Von – Mises est appliqué

Contrainte équivalente moyenne (stationnaire)

( ) ( )2 23tt Nm tf fm to meqm

K K Kσ σ σ τ= + +

Contrainte équivalente alternée (fluctuation)

( ) ( )2 23ft Na ff fa fo aeqa

K K Kσ σ σ τ= + +

Contrainte alternée de calcul

La sensibilité de eqa

σ aux effets de rugosité et

d’échelle est prise en compte par les facteurs Ks et Ke

eqaac

s eK K

σσ =×

9.2.3 Limite d’endurance σσσσD(Ni)

C’est l’amplitude de contrainte qui provoque la ruine

par fatigue au bout du nombre du nombre de cycles spécifié Ni, obtenue par l’essai S–N de Wöhler.

Pour les alliages ferreux on désigne par limite de fatigue σD (σD(N)) la limite asymptotique pour N=107.


σD(Ni) est une variable aléatoire et on pose p% la

probabilité de survie.

Corrélations σσσσD(Rm ; p%)

( ) ( )( ) ( )

3

50

3

90

0,58 1,1.10

0,56 1,4.10

D mmp %

D mmp %

σ N R R

σ N R R

−

=−

=

= − ×

= − × ( )2.daN mm−

σσσσD(Ni) pour Ni spécifié

( ) ( )log 3

40 9

0 9

i

DiD m

m

N

σ Nσ N , R

, R

−

=

9.2.4 Facteur de sécurité

On adopte le diagramme de Haigh σa=g(σm ; p)

Pour le point de fonctionnement A(σm, σac), on cherche

le point d’intersection de la droite OA avec le polygone

CDE. La fonction f est dans ce cas vectorielle


( )0,52 2( ) max eqm af σ σ ≡ +

σ

x

( )B

dac

OB yS S

f σ= = ≥

σ

Le diagramme de Haigh étant défini par morceaux, le

point B intercepté est situé soit sur CD soit DE.

Exemple : 1

, D

ac Deqm

eqm m

σSi B CD S

σ σσ

σ R

∈ = +


9.2.5 Durée de vie à probabilité fixée

Si le niveau du critère fiabilité est exprimé par une

durée de vie (nombre de cycles ou durée de service) on

détermine le nombre de cycles effectif :

- On postule une expression du facteur de sécurité

(position du point intercepté sur le diagramme (A1 ou

A2)) et on en déduit la valeur ( )iDσ N pour Sd =1

- On calcule αlim et on vérifie que pour la valeur

( )iDσ N trouvée l’expression de Sd est bonne

- On résout ( ) ( )( ), ,i m D iDσ N f R σ N N= pour obtenir Ni

10 - Validation du critère rigidité

On majore conjointement des composantes et/ou des normes des déplacements et/ou des rotations.

Les règles sont énoncées en exprimant les conditions

fonctionnelles cinématiques spécifiques au mécanisme

étudié. Souvent, les quantités vérifiées concernent le

plan équatorial (x2, x3) et la direction axiale (x1).


( )

( )

0,52 2

12 3

0,52 2

12 3

: :

: :

ea

u iu i

ii

ea

ii

ii

f P f Q

Q uP u u

f P f Q

QP

ω ω

ωω ω

+⊂Ω→ ⊂Ω→

+

+⊂Ω→ ⊂Ω→

+

ℝ ℝ

֏֏

ℝ ℝ

֏֏

On valide un ensemble de conditions conjointes.

Exemple : Engrènement d’un étage conique

On suppose que l’arbre de sortie, la couronne ainsi

que le pignon sont infiniment rigides et on se limite

au déplacement relatif des sommets (points bloqués)

des cônes primitifs.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 21 1 2 3S O u u d u dΟ ω ω= + ∧ = + + + −u u OS x x xωωωω

( ) ( )0,5

2 2

2 3 3 2 lim

1 lim

( )

( )

e eSu

a aSu

f u d u d u

f u u

ω ω ≤

≤

= + + −

=

Les rotations relatives sont tout aussi importantes.


11 - Vibrations de torsion

On cherche à éviter les instabilités (résonance) et à

localiser les nœuds (endommagement par fatigue).

11.1 Modélisation

On se place dans le cadre des solides rigides et d’un

système libre conservatif.

a) On identifie les inerties et les raideurs insérées

dans la ligne d’arbre et on paramètre strictement le

système discrétisé par le vecteur q = q1,…,qi,…,qn.

b) On exprime l’énergie potentielle élastique U et

l’énergie cinétique C du système discret.

c) Si la ligne d’arbre comporte des branches qui

tournent avec des vitesses différentes, on définit un

nouveau on paramétrage q* en ramenant toutes les

inerties et raideurs sur un même axe. Pour cela on

définit une transformation TTTT qui conserve C et U

* * * *; ; ;

n n

q q C q q C q q U q U q

→

= =

ℝ ℝ

ɺ ɺ֏

T :


d) On écrit le Lagrangien avec le paramétrage réduit

et on pose les équations du mouvement

( ) ( ) ( )* *

, ,

0 1;i i

L C U

d L Li n

dt q q

= −

∂ ∂− + = =∂ ∂

ɺ ɺ

ɺ

* * * * *q q q q q

e) On linéarise et on pose [M] (masse) et [K] (rigidité)

f) On résout l’équation caractéristique

[ ] [ ] [ ]( )1 2det 0M K ω− − =1

On détermine les modes propres associés aux racines

[ ] [ ] [ ]( ) 1 2: k kkω− − =X 1 X 0M K

11.2 Validation

a) Résonance

( ), , 1 10%ex exk j k j

ω ω δ δ∀ ∀Ω −Ω ≠ ± ∼

b) Localisation des nœuds

Pour tous les modes on vérifie si la position des

nœuds est acceptable (fatigue des arbres).


Exemple : Commande par poulie et courroie 1

2

di

d=

a) Modèle

11

dxdu N

ES= :

21

14c

c c cc

Sdk E k n E

l l

π= ≈

b) Energies cinétique et potentielle

( )2

2 1 22 2 21 1 21 1 2 2

2 22 2c

d dC I I I U k kα α α α α α α = + + = − + −

ɺ ɺ ɺ

c) Réduction sur l’arbre d’entrée

Soit β la nouvelle coordonnée de la poulie de sortie

qu’on remplace par un disque de moment d’inertie J.

2 2 2

2 2 2I J J i Iα β= ⇒ =ɺɺ

2 2 21 2 1 2 1 1

1 2 122 2 2 2 4

c c e c

d d d d d dk k k k

dα α α β ⇒

− = − =


d) Lagrangien et équations du mouvement

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22 2 21 11 1

1

1 1 1 1

1

2

0

0

0

e

e

e

L I I J k k

I k

I k k

J k

α α β α α α β

α α α

α α α α ββ β α

−

= + + − + −

− − − =

− + − − − =− − − =

ɺɺ ɺ

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

Système linéaire

e) Matrice de masse et de rigidité

( )

( )

( )

1 1 1

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

e e

e e

I k k

I k k k k

J k k

α αα αβ β

− + − + − =

−

ɺɺ

ɺɺ

ɺɺ

M K

f) Equation caractéristique et racines

2

2 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2

0

0

e e e

e e

k k

I Ikk k kk k k k k e

I I I I I J I J II J

k k

J J

ω

ω ω ω ω ω

ω

− −

− − − = − − − − − −

− −

1

2

12,3

1 1 1

0

14

2

e e e ee

k k k k k k I I Jk kkk

I J I I J I II J

ω

ω

=

+ + + + = + + ± + + −

Les racines comptent une pulsation nulle qui exprime

l’existence d’un mode rigide (mouvement d’ensemble).

Pour les harmoniques d’excitation importants, on

vérifie la coïncidence avec les pulsations d’excitation

( )2, , 1 10% 2;3ex ex

j i jiω ω δ δ∀Ω −Ω ≠ ± =∼


Les modes de vibration sont donnés par les solutions non banales de

[ ] [ ] [ ]( ) 1 2 2;3i i iω− − = =1 X 0M K

11 12 1

21 22 23 2

32 33 3

11 1 12 2

21 1 22 2 23 3

32 2 33 3

0

0

0

0

0

i

i i

i

i i

i i i

i i

a a x

a a a x

a a x

a x a x

a x a x a x

a x a x

+

+ +

= ≠

= = + =

0 X 0

1

112

12

11 323

12 33

1i

i

i

x

ax

a

a ax

a a

=

= −

=

3 cas possibles :

Il est avantageux d’avoir le nœud localisé sur la

courroie (Cas 3) pour éviter la rupture de l’arbre par

fatigue.

ben rhima

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