Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton Formelsammlung Jan Höffgen 3. März 2014 Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-Moduls Bemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton im WS 2013/14 erstellt. Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage. Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit. Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.
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Bemessung und Konstruktionvon Bauteilen im Stahlbeton
Formelsammlung
Jan Höffgen
3. März 2014
Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-ModulsBemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton
im WS 2013/14 erstellt.
Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage.
Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit.Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.
∗ Rad. Abstand der ersten Bewehrungsreihe von der Lasteinleitungsfläche: s0 = 0,3÷ 0,5 · d∗ Rad. Abstand jeder weiteren Bewehrungsreihe untereinander: sr ≤ 0,75 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel innerhalb u1: st ≤ 1,5 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel außerhalb u1: st ≤ 2,0 · d
2.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β
• Exzentrische Lasten bei Randstützen oder Innenstützen mit ungleichen Stützweiten
• Vorgeschrieben, wenn ec ≥ 1,2
Sektormodell
• Ermittlung des Einzugsbereichs der Stütze über Querkraftnullpunkte
– Erstellung des Querkraftverlaufs (S****) und Berechnung der Nullpunkte mit Strahlensatz →Rechteck
• Quadrant in vier Sektoren (22,5◦) einteilen
• Berechnung der Sektorflächen Ai als Dreiecke
• VEd,i = Ai · pd: Maßgebende Querkraft
• Berechnung der Teilumfangflächen Ui je Sektor
– Im Bereich der Ecken einer Rechteckstütze ist u1 ein Kreisbogen; deshalb Winkel ϕ zwischenFundamentecke und Sektorgrenzen graphisch bestimmen → Ui = π · a1 · ϕ
180◦
• max νi = maxνEd,iUi
• β = max νiνEd,m
Plastische Schubspannungsverteilung
• β = 1 + k · MEd
VEd· u1
W1für einachsiale Biegung
– Kreisquerschnitt: β = 1 + MEd
VEd· 0,6·πD+4d
• β = 1 +
√(ky · MEd,y
VEd· u1
W1,y
)2+(kz · MEd,z
VEd· u1
W1,z
)2für zweiachsiale Biegung
– Rechteckquerschnitt (vereinfacht): β = 1 +
√(MEd,y
VEd·by
)2+(MEd,z
VEd·bz
)2– k: Momentenfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses der Stützenabmessungen mit c1: Ab-
• Mindestbewehrung in Plattenbalken außerhalb des Wirkungsbereichs der Bewehrung aus GZT(2,5 · d1) verlegen und über die Höhe der Zugzone verteilen
3.4 Begrenzung der Verformungen3.4.1 Indirekte Berechnung
• zul ld =
K ·
[11 + 1,5 ·
√fck · ρ0ρ + 3,2 ·
√fck ·
(ρ0ρ − 1
)1,5]für ρ ≤ ρ0
K ·[11 + 1,5 ·
√fck · ρ0
ρ−ρ′ + 112 ·√fck ·
√ρ′
ρ0
]für ρ > ρ0
– l: Maßgebende Stützweite
∗ bei zweiachsig gespannten Platten der kleinere Wert für lK
∗ bei dreiseitig gelagerten Platten die Stützweite parallel zum freien Rand∗ bei Flachdecken der größere Wert für l
K
– ρ = As1Ac
: erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte/an der Einspannung für das Bemes-sungsmoment
– ρ0 = 10−3 ·√fck: Referenzbewehrungsgrad
– ρ′ = As2Ac
: erforderlicher Druckbewehrungsgrad
– K: Beiwert für verschiedene statische Systeme (rechts: Werte für ld )
∗ Verwendung der Tabellenwerte für Stützweitenverhältnisse 0,8 <leff,1leff,2
< 1,25
∗ Für andere Verhältnisse Berechnung mit lK : Abstand der Momentennullpunkte
J.H. Seite 13
3 NACHWEISE IM GZG
• Erhöhung von zul ld um Faktor 310σs,perm
≥ 1
– σs,perm ≈ MEd,perm
MEd· As,erfAs,vorh
· fyd
• Abminderung von zul ld um
– 0,8 für gegliederte Querschnitte mit bbw
> 3
– 7leff [m] für Balken und Platten mit leff > 7 m, die leichte Trennwände tragen, die durchübermäßige Durchbiegung beschädigt werden können
– 8,5leff [m] für Flachdecken mit leff > 8,5 m, die leichte Trennwände tragen, die durch übermäßigeDurchbiegung beschädigt werden können
• NW: zul ld ≥ vorh ld
• Zusätzlich nach NA: ld ≤
K · 35 allgemein
K2 · 150l wenn verformungsempfindliche Bauteile beeinträchtigt werden
• Wenn NW nicht eingehalten, As1 erhöhen oder direkte Berechnung durchführen.
3.4.2 Direkte Berechnung
• Berücksichtigung des Kriechens durch Modifikation des Beton-E-Moduls: Ec,eff = Ecm1+ϕ(∞,t0)
– Berechnung von h0 = 2 · Acu mit u: Umfangslänge des QS, die dem Trocknen ausgesetzt ist
– Ablesen der Kriechzahl ϕ in Abhängigkeit der relativen Luftfeuchte, des Belastungsalters t0,der Zementart, der Betonfestigkeitsklasse und h0 aus Anhang
• Nachweis der Verankerung der Riegelbewehrung im Knoten: lbd,beam ≤ hcol (auch bei durchlaufenderBewehrung)
– Wenn lbd ≥ hcol, Zulagebewehrung anordnen, sodass NW eingehalten
• Nachweis der Verankerung der Stützenbewehrung im Knoten: lbd,col ≤ hbeam
• Querkraftnachweis analog Abschnitt 4.3
– Wenn Zugseiten der Riegel entgegengesetzt: Fsd,beam = |MEd1|+|MEd2|zbeam
4.5 Konsolen• Nachweis der Druckstrebe: VEd = FEd ≤ VRd,max = 0,5 · ν · b · z · fcd
– ν = 0,7− fck200 ≥ 0,5 (fck in [MPA])
– fcd = fckγC
– z = 0,9 · d– Bestimmung der erforderlichen Mindestabmessungen: erfd = FEd · γC
0,45·ν·b·fck
• Nachweis der Zugstrebe
– ZEd = FEd · acz0 +HEd · aH+z0z0
: Zuggurtkraft∗ ac: Abstand Auflagermitte – Innenkante∗ z0 = d · (1− 0,4 · VEd
VRd,max): Lage der Druckstreben
∗ HEd ≥ 0,2 · FEd: Berücksichtigung behinderter Verformungen∗ aH = dL + d1 mit dL: Dicke der Lagerplatte
– As,erf = ZEdfyd
: erforderliche Zugbewehrung (oben einlegen)
– Bewehrungsführung∗ Schlaufen mit D ≥ 4 · φ
J.H. Seite 17
4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN
∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lbd ab Innenkante der Auflagerplatte· α1 = 0,7 für innen liegende Schlaufen, α1 = 0,5 für D ≥ 15 · φs; α5 = 2
3
∗ Umbiegen der Bügel mit D = 10÷ 20 · φ∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lb,rqd in der Stütze
• Bei abgehängten Lasten: zusätzliche Schlaufen mit As2 = 0,6·FEdfyd
·√
ak0,85·d + 1
– ak: Randabstand Konsolenrand – Lasteinfläche
• erforderliche Bügelbewehrung
– ac ≤ 0,5 · hc und VEd > 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,5 ·As– ac ≤ 0,5 · hc und VEd < 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel nach konstruktiven
Gesichtspunkten
– ac > 0,5 · hc und VEd ≥ ·VRd,c: geschlossene vertikale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,7 · FEdfyd
– ac > 0,5·hc und VEd < VRd,c: geschlossene vertikale Bügel nach konstruktiven Gesichtspunkten
4.6 Ausklinkungen
• Annahme: HEd ≥ 0,2FEd
• Abschätzung der ni Bügel der Zugstreben
• Berechnung der Abmessungen und Winkel
– e′ = e+ cnom + n2 · φsw + n−1
2 · a mit a ≥ max{φsw; dg + x; 20 mm}– dk = hk − cnom − φsw − 1
2 · φsl– zk = dk − cnom − φsw − 1
2 · φsl,1 (Bewehrung für Fsd,1 in einer Lage)
– da = d1,u − d1,m– l′1 = da · cot θ (θ aus Querkraftbemessung)
– θ1 = arctan(zke′
)– θ2 = arctan
(zkl′1
)• Berechnung der Strebenkräfte
– Fsd,1 = FEd · cot θ1 +HEd
– Fsd,2 = FEd +HEd · 1cot θ1+cot θ2
• As,i =Fsd,ifyd
: Gesamtbewerungsfläche je Strebe
• Überprüfung, ob Annahme der Bügelschenkel korrekt war
• Untere Biegebewehrung mit Schlaufen stoßen und Schlaufen verankern
J.H. Seite 18
5 TORSION
5 Torsion• Ermittlung der Torsionsmomente: S4.10 f
• Rechteckquerschnitt vereinfacht als Hohlkasten mit tef,i = 2 · d1 berechnen
– Ak = bk · hk = (b− tef )(h− tef ) (bezogen auf Mittellinie)
– uk = 2 · (bk + hk)
– Hohlkasten als Hohlkasten, wenn tw ≤ 16 max{b, h} → tef = tw
• Schubfluss aus Querkraft und Torsion: VEd,T+V = VEd,V + VEd,T
– VEd,V = VEd · tefb– VEd,T = TEd · zi
2·Ak
∗ zi = max
{h− tef,ib− tef,i
}: Abstand zwischen den Mittellinien zweier gegenüberliegenden
Hohlkastenseiten; Schubfluss an der langen Seite mit großem zi maximal
– Betrachtung der langen Rechteckseiten, da dort Torsionsschub maximal und Querkraftschubvorhanden
• Druckstrebenwinkel θ analog für Querkraftbemessung
– Darf durch zu viel eingelegte Biegelängsbewehrung (zum Teil) abgedeckt werden– In Druckgurten entsprechend der Druckkräfte abzumindern
• Konstruktive Durchbildung
– Abstände aller Bügel nach Stahlbeton II∗ Berechnung des Querkraftausnutzungsgrads: VEd
VRd,max
∗ Bestimmung des maximalen Bügelabstands sl,max
∗ Bestimmung des maximalen Bügelschenkelabstands im Querschnitt st,max
– Zusätzlich Maximalabstand der Torsionsbügel: sl ≤{uk8 ; b;h
}– Torsionsbügel entweder als Übergreifungsstoß mit l0 schließen oder in den Ecken um 135◦
umbiegen und mit 10φ verankern; Schlösser hintereinander versetzt anordnen– Torsionslängsbew: s ≤ 35 cm, über die Höhe zi zu verteilen, ein Stab je Ecke
• Torsion bei zusammengesetzten Querschnitten:Aufteilung des Torsionsmoments auf Teilquerschnitte und getrennte Bemessung
– Teilmoment: TEd,i = TEd · IT,i∑i IT,i
– Torsionsflächenmomente: S4.29
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EN 1992-1-1:2004 + AC:2010 (D)
a) trockene Innenräume, relative Luftfeuchte = 50%
ANMERKUNG — der Schnittpunkt der Linien 4 und 5 kann auch über dem Punkt 1 liegen — für t0 > 100 darf t0 = 100 angenommen werden (Tangentenlinie ist zu verwenden)
b) Außenluft, relative Luftfeuchte = 80%
Bild 3.1 — Methode zur Bestimmung der Kriechzahl ij(f, t0) für Beton bei normalen Umgebungsbedingungen