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IntroducciónTrabajo de una fuerzaEnergía cinética de una partícula.
Principio del trabajo y la energíaAplicaciones del principio del
trabajo y la energíaPotencia y eficienciaProblema resuelto 13.1Problema resuelto 13.2Problema resuelto 13.3Pproblema resuelto 13.4Problema resuelto 13.5Energía potencialFuerzas conservativasConservación de la energíaMovimiento bajo una fuerza central
conservativa
Problema resuelto 13.6Problema resuelto 13.7Problema resuelto 13.9Principio del impulso y la cantidad demovimientoMovimiento impulsivoProblema resuelto 13.10Problema resuelto 13.11Problema resuelto 13.12ImpactoImpacto central directoImpacto central oblicuoProblemas en los que interviene laenergía y la cantidad de movimientoProblema resuelto 13.14Problema resuelto 13.15Problema resuelto 13.16Problema resuelto 13.17
• Anteriormente, los problemas relativos al movimiento de laspartículas se resolvieron mediante la ecuación fundamental delmovimiento, El capítulo actual presenta dos métodosadicionales de análisis.
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• Método del trabajo y la energía: se relaciona directamente conla fuerza, la masa, la velocidad y el desplazamiento.
• Método del impulso y la cantidad de movimiento: serelaciona directamente con la fuerza, la masa, la velocidady el tiempo.
Un automóvil que pesa 4 000 lbdesciende por una pendiente de 5o deinclinación a una rapidez de 60 mi/hcuando se aplican los frenos, lo queprovoca una fuerza de frenado totalconstante de 1 500 lb.
Determinar la distancia que recorre elautomóvil antes de detenerse.
SOLUCIÓN:
• Evaluar el cambio en la energíacinética.
• Determinar la distancia necesaria paraigualar el cambio de energía cinética.
Dos bloques están unidos por un cableinextensible como se muestra. Si elsistema se suelta desde el reposo,determinar la velocidad del bloque Adespués de que se ha movido 2 m.Suponer que el coeficiente de fricciónentre el bloque A y el plano esmk =0.25, y que la polea no tiene peso nifricción.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio de trabajo y laenergía por separado a los bloques Ay B.
• Cuando se combinan las dosrelaciones, el trabajo de las fuerzas delcable se cancela. Resolver para lavelocidad.
Se utiliza un resorte para detener un paquetede 60 kg que se desliza sobre una superficiehorizontal. El resorte tiene una constante k =20 kN/m y se sostiene mediante cables demanera que se encuentre inicialmentecomprimido 120 mm. El paquete tiene unavelocidad de 2.5 m/s en la posición que seilustra y la máxima compresión del resortees de 40 mm.
Determinar a) el coeficiente de friccióncinética entre el paquete y la superficie, y b)la velocidad del paquete cuando éste pasaotra vez por la posición mostrada.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio de trabajo y laenergía entre la posición inicial y elpunto en que el resorte estácompletamente comprimido y lavelocidad es cero. La únicaincógnita en la relación es elcoeficiente de fricción.
• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para la recuperación delpaquete. La única incógnita en larelación es la velocidad en laposición final.
Un vehículo de 2 000 lb parte delreposo en el punto 1 y desciende sinfricción por la pista que se ilustra.
Determinar:
a) la fuerza que ejerce la pistasobre el vehículo en el punto 2, y
b) el valor mínimo seguro del radiode curvatura en el punto 3.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para determinar la velocidad enel punto 2.
• Aplicar la segunda ley de Newton paraencontrar la fuerza normal de la pista enel punto 2.
• Aplicar el principio del trabajo y laenergía para determinar la velocidad enel punto 3.
• Aplicar la segunda ley de Newton paraencontrar el radio mínimo de curvaturaen el punto 3, de tal manera que unafuerza normal positiva sea ejercida por lapista.
• Aplicar el principio del trabajo y la energía paradeterminar la velocidad en el punto 3.
sft1.40sft2.32ft252ft252
21
ft250
323
233311
vgv
vg
WWTUT
• Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar elradio mínimo de curvatura en el punto 3, de talmanera que una fuerza normal positiva sea ejercidapor la pista.
El montacargas D y su carga tienen unpeso combinado de 600 lb, en tanto queel contrapeso C pesa 800 lb.
Determinar la potencia entregada por elmotor eléctrico M cuando el montacargasa) se mueve hacia arriba a una rapidezconstante de 8 ft/s, y b) tiene unavelocidad instantánea de 8 ft/s y unaaceleración de 2.5 ft/s2, ambas dirigidashacia arriba.
SOLUCIÓN:La fuerza ejercida por el cabledel motor tiene la mismadirección que la velocidad delmontacargas. La potenciaenviada por el motor es iguala FvD, vD = 8 ft/s.
• En el primer caso, los cuerpos estánen movimiento uniforme. Determinarla fuerza ejercida por el cable delmotor en condiciones de equilibrioestático.
• En el segundo caso, ambos cuerposse están acelerando. Aplicar lasegunda ley de Newton a cadacuerpo para determinar la fuerzarequerida del cable del motor.
• En el primer caso, los cuerpos están en movimientouniforme. Determinar la fuerza ejercida por el cable delmotor en condiciones de equilibrio estático.
• En el segundo caso, ambos cuerpos se están acelerando.Aplicar la segunda ley de Newton a cada cuerpo paradeterminar la fuerza requerida del cable del motor.
Un collarín de 20 lb se desliza sinfricción a lo largo de una varillavertical, como se ilustra. El resorteunido al collarín tiene una longitudno deformada de 4 in. y unaconstante de 3 lb/in.
Si el collarín se suelta desde laposición de reposo 1, determinar suvelocidad después que se ha movido6 in. hasta la posición 2.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio de la conservación dela energía entre las posiciones 1 y 2.
• La energías potenciales elástica ygravitacional en 1 y 2 se evalúan por lainformación dada. La energía cinéticainicial es cero.
• Resolver para la energía cinética y lavelocidad en 2.
Un objeto de 0.5 lb se empuja contrael resorte y se suelta desde el reposoen A. Ignorando la fricción,determinar la deformación mínima delresorte para la cual el objeto sedesplazará alrededor del aro ypermanecerá en contacto con él todoel tiempo.
SOLUCIÓN:
• Puesto que el objeto debe permanecer encontacto con el aro, la fuerza ejercidasobre él debe ser igual o mayor que cero.Estableciendo en cero la fuerza ejercidapor el aro, resolver para la velocidadmínima en D.
• Aplicar el principio de conservación dela energía entre los puntos A y D.Resolver para la deformación delresorte necesaria para producir lavelocidad requerida y la energíacinética en D.
Un satélite es lanzado en direcciónparalela a la superficie de la Tierracon una velocidad de 36 900 km/hdesde una altura de 500 km.
Determinar a) la altura máximaalcanzada por el satélite, y b) el errormáximo permisible en la dirección delanzamiento si el satélite va a entrar auna órbita a 200 km de la superficieterrestre.
SOLUCIÓN:
• Para el movimiento bajo una fuerza centralconservativa, los principios deconservación de la energía y laconservación del momento angular sepueden aplicar de manera simultánea.
• Aplicar los principios a los puntos de laaltitud mínima y máxima para determinarla altitud máxima.
• Aplicar los principios hasta el punto deinserción en órbita y el punto de altitudmínima para determinar la inserción deerror máximo admisible de la órbita deángulo.
• Aplicar los principios de conservación de la energía y laconservación del momento angular de los puntos de laaltitud mínima y máxima para determinar la altitudmáxima.
Conservación de la energía:
1
212
1
0
202
1
r
GMmmv
r
GMmmvVTVT AAAA
Conservación de la cantidad de movimiento angular:
• Aplicar los principios hasta el punto de inserción en órbita yel punto de altitud mínima para determinar la inserción deerror máximo admisible de la órbita de ángulo.
Conservación de la energía:
mín
2máx2
1
0
202
100 r
GMmmv
r
GMmmvVTVT AA
Conservación de la cantidad de movimiento angular:
• La cantidad de movimiento final de lapartícula puede obtenerse al sumarvectorialmente su cantidad de movimientoinicial y el impulso de la fuerza durante elintervalo de tiempo.
• Una fuerza que actúa sobre una partículadurante un breve intervalo lo suficientementegrande para causar un cambio significativo en lacantidad de movimiento se conoce como fuerzaimpulsiva.
• Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre unapartícula,
21 vmtFvm
• Cuando una pelota de beisbol es golpeada por unbate, el contacto se produce en un intervalo detiempo corto, pero la fuerza es suficientementegrande para cambiar el sentido del movimiento dela pelota.
• Las fuerzas no impulsivas son aquellas en lasque es pequeño y, por lo tanto, se puededespreciar.
Un automóvil que pesa 4 000 lbdesciende por una pendiente de 5o a unarapidez de 60 mi/h cuando se aplicanlos frenos, lo que provoca una fuerzade frenado total constante de 1 500 lb.
Determinar el tiempo que se requierepara que el automóvil se detenga.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento. El impulso esigual al producto de las fuerzasconstantes y al intervalo de tiempo.
Una pelota de beisbol de 4 oz se lanzacon una velocidad de 80 ft/s. Despuésde que la pelota es golpeada por el bate,adquiere una velocidad de 120 ft/s en ladirección mostrada. Si el bate y la bolaestán en contacto 0.015 s, determinar lafuerza impulsiva promedio ejercidasobre la pelota durante el impacto.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio del impulso y lacantidad de movimiento en términos delas ecuaciones componentes horizontal yvertical.
Un paquete de 10 kg cae desde unarampa en un carro de 25 kg a unavelocidad de 3 m/s. Si el carro está alinicio en reposo y puede rodarlibremente, determinar a) la velocidadfinal del carro, b) el impulso ejercidopor el carro sobre el paquete, y c) lafracción de la energía inicial perdidaen el impacto.
• Se aplica el mismo principio al paquetesólo para determinar el impulsoejercido sobre éste desde el cambio ensu cantidad de movimiento.
SOLUCIÓN:
• Se aplica el principio del impulso y lacantidad de movimiento al sistemapaquete-carro para determinar lavelocidad final.
• Impacto: Colisión que se produce entre doscuerpos durante un intervalo de tiempo, en el cualdichos cuerpos ejercen grandes fuerzas entre sí.
• Línea de impacto: Normal común a lassuperficies en contacto durante el impacto.
• Impacto central: Impacto en el que los centros demasa de los dos cuerpos se encuentran en la líneade impacto; de lo contrario, es un impactoexcéntrico.
Impacto central directo
• Impacto directo: Impacto en el que lasvelocidades de dos cuerpos se dirigen a lo largo dela línea de impacto.
Impacto central oblicuo
• Impacto oblicuo: Impacto en el cual uno o amboscuerpos se mueven a lo largo de una línea que nosea la línea de impacto.
• Bloque obligado a moverse a lo largo de lasuperficie horizontal.
• Los impulsos de las fuerzas internasa lo largo del eje n y de la fuerza externaejercida por la superficie horizontal y lavertical a lo largo de la superficie y dirigidoa lo largo de la vertical a la superficie.
FFyextF
• Velocidad final de la pelota en direccióndesconocida, y magnitud y velocidad demagnitud desconocida. Son necesarias tresecuaciones.
• La cantidad de movimiento tangencialde la bola se conserva.
tBtB vv
• La cantidad de movimiento totalhorizontal del bloque y la pelota seconserva.
xBBAAxBBAA vmvmvmvm
• El componente normal de lasvelocidades relativas del bloque y lapelota está relacionado por elcoeficiente de restitución.
nBnAnAnB vvevv
• Nota: La validez de la última expresión no resulta de la relación anterior por elcoeficiente de restitución. Es necesaria una derivación similar, pero por separado.
Una pelota es lanzada contra unapared vertical sin fricción.Inmediatamente antes de que la pelotagolpee la pared, su velocidad tieneuna magnitud v y forma un ángulo de30o con la horizontal. Si se sabe quee = 0.90, determinar la magnitud ydirección de la velocidad de la pelotacuando ésta rebota en la pared.
SOLUCIÓN:
• Resolver la velocidad de la pelota encomponentes normales y tangenciales ala pared.
• El impulso ejercido por la pared esnormal a la pared. El componente de lacantidad de movimiento tangencial dela pelota se conserva.
• Suponer que la pared tiene una masainfinita para que la velocidad de lapared antes y después del impacto seanula. Aplicar el coeficiente de larelación de restitución para encontrar elcambio en la velocidad relativa normalentre la pared y la pelota, es decir, lavelocidad normal de la pelota.
La pelota B cuelga de una cuerdainextensible. Una pelota idéntica A sesuelta desde el reposo cuando apenastoca la cuerda y adquiere una velocidadv0 antes de chocar con la pelota B.Suponiendo un impacto perfectamenteelástico (e = 1) y ninguna fricción,determinar la velocidad de cada pelotainmediatamente después del impacto.
SOLUCIÓN:
• Determinar la orientación de la línea deimpacto de la acción.
• El componente de la cantidad demovimiento de la pelota A tangencial alplano de contacto se conserva.
• La cantidad de movimiento totalhorizontal del sistema de dos pelotas seconserva.
• Las velocidades relativas a lo largo de lalínea de acción antes y después delimpacto están relacionadas por elcoeficiente de restitución.
• Resolver las dos últimas expresiones dela velocidad de la pelota A a lo largo dela línea de acción y la velocidad de lapelota B, que es horizontal.
Un bloque de 30 kg se deja caerdesde una altura de 2 m sobre el platode 10 kg de una balanza de resorte.Suponiendo que el impacto esperfectamente plástico, determinar eldesplazamiento máximo del plato. Laconstante del resorte es k = 20 kN/m.
SOLUCIÓN:
• Aplicar el principio de la conservaciónde la energía para determinar lavelocidad del bloque en el instante delimpacto.
• Dado que el impacto es perfectamenteplástico, el bloque y el plato se muevenjuntos a la misma velocidad después delimpacto. Determinar si la velocidadrequerida para la cantidad demovimiento total del bloque y el plato seconserva.
• Aplicar el principio de la conservaciónde la energía para determinar ladeformación máxima del resorte.