This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS: DINÁMICADINÁMICA
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Introducción
12 - 3
• La primera y tercera leyes de Newton son suficientes para el estudio de los cuerpos en reposo (estática) o de los cuerpos en movimiento sin aceleración.
• Cuando un cuerpo se acelera (cambios en la magnitud de la velocidad o dirección), se requiere la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.
• Segunda ley de Newton:
- Una partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él y en la dirección de la fuerza resultante.
- La resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la razón de cambio del momento lineal de la partícula.
- La suma de los momentos respecto a O de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la razón de cambio del momento angular de la partícula alrededor de O.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Segunda ley de movimiento de Newton
12 - 4
• Segunda ley de Newton: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de la resultante.
• Considerar una partícula sometida a fuerzas constantes,
ma
F
aF
aF
masa,constante3
3
2
2
1
1
• Cuando una partícula de masa m se halla sometida a una fuerza la aceleración de la partícula debe satisfacer ,F
amF
• La aceleración debe ser evaluada con respecto a un sistema newtoniano de referencia, es decir, no se está acelerando o girando.
• Si la fuerza que actúa sobre la partícula es cero, las partículas no se acelerarán, es decir, se mantendrán estacionarias o continuarán en una línea recta a velocidad constante.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Cantidad de movimiento lineal de una partícula
12 - 5
• Sustituyendo la aceleración por la derivada de los rendimientos de la velocidad,
partícula la de lineal movimiento de cantidad
Ldt
Ldvm
dt
ddt
vdmF
• Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal: Si la fuerza resultante sobre una partícula es cero, la cantidad de movimiento lineal de la partícula se mantiene constante en magnitud y dirección.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Sistemas de unidades
12 - 6
• De las unidades de las cuatro dimensiones principales (fuerza, masa, longitud y tiempo), tres pueden ser elegidas arbitrariamente. La cuarta debe ser compatible con la segunda ley de Newton.
• Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI): las unidades básicas son las de longitud (metro), masa (kilogramo) y tiempo (segundo). La unidad de fuerza es una unidad derivada,
22 s
mkg1
s
m1kg1N1
• Unidades de uso común en Estados Unidos: las unidades básicas son las de fuerza (libra), longitud (pie) y tiempo (segundo). La unidad de masa es una unidad derivada,
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Equilibrio dinámico
12 - 8
• Expresión alternativa de la segunda ley de Newton,
inerciadevectoram
amF
0
• Con la inclusión del vector de inercia, el sistema de fuerzas que actúan sobre la partícula es equivalente a cero. La partícula está en equilibrio dinámico. • Los métodos desarrollados pueden aplicarse para las partículas en equilibrio estático; por ejemplo, las fuerzas coplanares pueden representarse con un polígono vectorial cerrado.
• Los vectores de inercia a menudo son llamados fuerzas de inercia, ya que miden la resistencia que ofrecen a los cambios de las partículas en movimiento, es decir, los cambios en la velocidad o dirección.
• Las fuerzas de inercia pueden ser conceptualmente útiles, pero no son como las de contacto y las fuerzas gravitatorias halladas en la estática.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.1
12 - 9
Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Se necesita encontrar la magnitud de la fuerza P requerida para dar al bloque una aceleración de 10 ft/s2 hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es k0.25.
SOLUCIÓN:
• Resolver la ecuación de movimiento para el bloque en dos ecuaciones de las componentes rectangulares.
• Las incógnitas consisten en la fuerza P aplicada y la reacción normal N del plano. Las dos ecuaciones pueden resolverse para estas incógnitas.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.3
12 - 11
Los dos bloques que se muestran empiezan a moverse a partir del reposo. El plano horizontal y la polea no presentan fricción, y se supone que la masa de la polea puede ignorarse. Determinar la aceleración de cada bloque y la tensión en la cuerda.
SOLUCIÓN:
• Escribir las relaciones cinemáticas de los movimientos y las aceleraciones dependientes de los bloques.
• Escribir las ecuaciones de movimiento de los bloques y la polea.
• Combinar las relaciones cinemáticas con las ecuaciones de movimiento para resolver las aceleraciones y la tensión de la cuerda.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.4
12 - 14
El bloque B de 12 lb empieza a moverse desde el reposo y se desliza sobre la cuña A de 30 lb, la cual está sobre una superficie horizontal.
Si se ignora la fricción, determinar a) la aceleración de la cuña, y b) la aceleración del bloque relativa a la cuña.
SOLUCIÓN:
• El bloque está obligado a deslizarse por la cuña. Por lo tanto, sus movimientos son dependientes. Expresar la aceleración del bloque como la aceleración de la cuña más la aceleración del bloque en relación con la cuña.
• Escribir las ecuaciones de movimiento de la cuña y el bloque.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.5
12 - 17
La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano vertical. Si la tensión en la cuerda es 2.5 veces el peso de la plomada en la posición que se indica, determinar la velocidad y la aceleración de la plomada en esa posición.
SOLUCIÓN:
• Resolver la ecuación del movimiento de la plomada en componentes tangenciales y normales.
• Resolver las ecuaciones de componentes para la aceleración normal y tangencial.
• Despejar la velocidad en función de la aceleración normal.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.6
12 - 19
Determinar la rapidez máxima de la curva de una autopista de radio = 400 ft que tiene un ángulo de peralte = 18o. La rapidez máxima de la curva peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar para que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos.
SOLUCIÓN:
• El automóvil se desplaza en una trayectoria circular horizontal con el componente normal de la aceleración apuntando hacia el centro de la trayectoria. Las fuerzas que actúan sobre el automóvil son su peso y una reacción normal de la superficie de la carretera.
• Resolver la ecuación de movimiento para el automóvil en los componentes verticales y normal.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.6
12 - 20
SOLUCIÓN:
• El automóvil se desplaza en una trayectoria circular horizontal con el componente normal de la aceleración apuntando hacia el centro de la trayectoria. Las fuerzas que actúan sobre el automóvil son su peso y una reacción normal de la superficie de la carretera.
• Resolver la ecuación de movimiento para el automóvil en los componentes verticales y normal.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Cantidad de movimiento angular de una partícula
12 - 21
• momento de la cantidad de movimiento, o la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno a O.
VmrHO
• Derivada del momento angular con respecto al tiempo,
O
O
M
Fr
amrVmVVmrVmrH
• De la segunda ley de Newton se desprende que la suma de los momentos alrededor de O de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la tasa de cambio del momento angular de la partícula en torno a O.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Conservación de la cantidad de movimiento angular
12 - 23
• Cuando sólo la fuerza que actúa sobre la partícula se dirige hacia o desde un punto fijo O, se dice que la partícula se mueve bajo una fuerza central.
• Puesto que la línea de acción del centro de fuerza pasa por O, y 0 OO HM
constante OHVmr
• El vector de posición y el movimiento de las partículas se encuentran en un plano perpendicular a
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Ley de gravitación de Newton
12 - 25
• La fuerza gravitacional que ejerce el sol sobre un planeta o por la Tierra sobre un satélite es un ejemplo importante de la fuerza gravitacional.
• Ley de la gravitación universal de Newton. Dos partículas de masa M y m se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas dirigidas a lo largo de la línea que las une,
4
49
2
312
2
slbft
104.34skg
m1073.66
ngravitació de constante
Gr
MmGF
• Para una partícula de masa m sobre la superficie de la Tierra,
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.8
12 - 28
Un satélite es lanzado en dirección paralela a la superficie de la Tierra con una velocidad de 18 820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determinar la velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2 340 mi. El radio de la Tierra es de 3 960 mi.
SOLUCIÓN:
• Puesto que el satélite se mueve bajo una fuerza central, su cantidad de movimiento angular es constante. Equiparar el momento angular en A y B y despejar la velocidad en B.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Problema resuelto 12.8
12 - 29
SOLUCIÓN:
• Puesto que el satélite se mueve bajo una fuerza central, su cantidad de movimiento angular es constante. Equiparar el momento angular en A y B y despejar la velocidad en B.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Trayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central
12 - 30
• Para una partícula que se mueve por la fuerza central dirigida hacia el centro de la fuerza,
022 FrrmFFrrm r
• La segunda expresión es equivalente a de la que, constante2 hr
rdd
rh
rrh 1
y 2
2
2
2
2
• Después de sustituir en la ecuación radial de movimiento y simplificando,
ru
umhF
ud
ud 1donde222
2
• Si F es una función conocida de r o u, entonces la trayectoria de las partículas se puede encontrar mediante la integración de u = f(), con constantes de integración determinadas a partir de condiciones iniciales.
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Aplicación en mecánica celeste
12 - 34
• Recuérdese que para una partícula en movimiento bajo una fuerza central, la velocidad de áreas es constante, es decir,
constante212
21 hr
dtdA
• El tiempo periódico, o el tiempo que requiere un satélite para completar una órbita, es igual al área dentro de la órbita dividida por la velocidad del área,
Mecánica vectorial para ingenieros: DinámicaMecánica vectorial para ingenieros: Dinámica
No
ve
na
e
dic
ión
Leyes de Kepler del movimiento planetario
12 - 38
• Los resultados obtenidos para las trayectorias de los satélites alrededor de la Tierra también pueden aplicarse a las trayectorias de los planetas alrededor del Sol.
• Las propiedades de las órbitas de los planetas alrededor del Sol fueron determinadas por las observaciones astronómicas por Johann Kepler (1571-1630) antes de que Newton hubiera desarrollado su teoría fundamental.
1) Cada planeta describe una elipse, con el Sol ubicado en uno de sus focos.
2) El vector radio trazado desde el Sol hasta un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
3) Los cuadrados de tiempos periódicos de los planetas son proporcionales a los cubos de los ejes semimayores de sus órbitas.