Bayesian Network Classifiers Nir Friedman Dan Geiger Moises Goldszmidt.

Bayesian Network Classifiers

Nir Friedman Dan Geiger

Moises Goldszmidt

קירוב פונקצית התפלגות ע"י עץ

בשבוע שעבר ראינו כיצד לקרב פונקצית • ע"י רשת בייסיאנית שהיא עץ.Pהתפלגות

לשם כך מחשבים את לכל הזוגות .–מוצאים עץ פורש מקסימלי עבור הגרף המלא, –

כשמשקל הקשת שווה ל- .

2

X1

X3 X4

X2

P(X2|X1)

P(X4|X3)

P(X3|X1)

( , )i jI X X,i jX X

( , )i jX X( , )i jI X X

TANקירוב פונקצית התפלגות ע"י

Pהיום נראה כיצד לקרב פונקצית התפלגות •.TANע"י רשת בייסיאנית שהיא

.Xi,Xj לכל הזוגות I(Xi,Xj|C)לשם כך מחשבים את –

מוצאים עץ פורש מקסימלי עבור הגרף המלא, –.I(Xi,Xj|C)) שווה ל-Xi,Xjכשמשקל הקשת (

3

X1

X3 X4

X2

P(X2|X1)

P(X4|X3)

P(X3|X1)C

P(X2|X1,C)

P(X4|X3,C)

P(X3|X1,C)

קביעת אופיו של גידול -Classificationדוגמה לבעיית

4

נניח שברצוננו לקבוע את אופיו של גידול •(שפיר/ממאיר), מתוך סט של תכונות שיש לנו

עדויות לגביהן (גודל, צורה,...).

זוהי בעיית קלאסיפיקציה.•

גודל

צורה

גרורות

אופי הגידול

Naïve Bayesian Classifier

, כל יתר classהנחה: בהינתן ה-•הקודקודים בלתי תלויים.

יתרון: פשוט, סיבוכיות חישוב פולינומית.–

על אף פשטותו, מודל זה בעל שימוש רחב –היקף, עד היום.

5

Class

A1 A2 A3 An

1 1( , ,..., ) ( ) ( | ) ( | )n nP C A A P C P A C P A C

1* arg max ( , ,..., )c nc P c a a

Naïve Bayesian Classifierהמשך -

-ים Ai הנחת האי-תלות המותנית בין ה-חסרון:•אינה מציאותית.

לדוגמה, כשבנק רוצה להעריך את מידת •הסיכון שבנתינת הלוואה ללקוח, התעלמות

והכנסה גיל, רמת השכלהמהקורלציות בין

פוגעת בתוצאות החיזוי.

6

loan risk

ageeducation

level income

Tree Augmented Naïveשיפור: Bayes

סוגים:2הקשתות ברשת הן מ-•

–ClassAi-הקשתות שהיו ב) NB.(

, שיחד מהוות עץ (העץ לא AiAjהקשתות –).Classכולל את קודקוד ה-

7

A2 AN-2 AN-1 ANA1 A3

Class

…

הקשתות האדומות

נקראותaugmenting

edges

- הכנהTANאלגוריתם לבניית

בזכות מבנה העץ שמשרות הקשתות • TANהאדומות, ניתן לחשב את מודל ה-

המתאים באופן יעיל.

מדד חשוב:•

conditional mutual information

8

A2 AN-2 AN-1 ANA1 A3

Class

…

, ,

( , | )( , | ) ( , , ) log

( | ) ( | )Px y z

P x y zI X Y Z P x y z

P x z P y z

TANאלגוריתם לבניית

מחשבים עבור כל זוג תכונות, 1..i≠jכך ש-

,A1בונים גרף מלא בו הקודקודים הם התכונות 2.…,An) ומשקל הקשת ,Ai,Aj. = (

.maximum weighted spanning treeמחשבים 3.

בוחרים שורש ומכוונים את יתר הקשתות כך 4.שהגרף שיווצר יהיה עץ.

ע"י הוספת TANמשלימים את הגרף ל-5..i לכל CAiהקשתות

9

ˆ ( , | )D

i jPI A A C

ˆ ( , | )D

i jPI A A C

A1 A2

A3 A4

10

7

5531

10

7

5

A1

A3 A4

A2

A1

A3 A4

A2

C

)Theorem 2משפט (

, BT שנסמנו TAN מחזיר TANהאלגוריתם לבניית 1.. log Likelihood(BT|D)אשר ממקסם את ה-

סיבוכיות הזמן של האלגוריתם שווה ל-2.

O((#attributes)2 ∙ |training set|).

.Ai,Aj - O(n2∙N)שלב החישוב לכל 1.

.O(n2logn)שלב מציאת העץ הפורש – 2.

.N>lognבד"כ, 3.

10

ˆ ( , | )D

i jPI A A C

TAN ו-NBהשוואה בין

11

תוצאות TANל-טובות יותר

בהשוואה Naïveל-

Bayes.

12

C, וערכו של a1,a2,…,anנניח שבידינו דגימות •לא ידוע עבורן.

incomplete כשיש TANאיך נבנה data?

1arg max ( | ,..., )C nP C A A

דוגמה הבא:dataנתון ה-•

עלינו להשלים את המידע החסר.•

נשתמש בסכימה שראינו קודם.•

13

A1 A2 A3 A4 C

1 0 1 0 ?

0 0 0 1 ?

1 1 1 0 ?

1 1 0 0 ?

0 0 0 1 ?

התחלתי:TANמבנה •

טבלאות התחלתיות: •

14

c=0 c=1

P(c) 0.5 0.5

c=0,a1=0 c=0,a1=1 c=1,a1=0 c=1,a1=1

P(a2=1|c,a1) 0.1 0.3 0.2 0.4

c=0 c=1

P(a1=1|c) 0.3 0.5

c=0,a2=0 c=0,a2=1 c=1,a2=0 c=1,a2=1

P(a3=1|c,a2) 0.7 0.3 0.5 0.1

c=0,a3=0 c=0,a3=1 c=1,a3=0 c=1,a3=1

P(a4=1|c,a3) 0.5 0.2 0.2 0.2

A1

A4 A3

A2

C

full dataהשלמה ל-

לדגימה a1,a2,…,anנשלים כל דגימה חלקית •.a1,a2,…,an,cמלאה

תיעשה עפ"י הנוסחה:c מציאת •

15

1* arg max ( | ,..., )c nc P c a aA1 A2 A3 A4 C

1 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 0 0 1

0 0 0 1 0

חדשTANחישוב מבנה

16

A1 A2

A4 A3

0.34945

0.36008

0.34631

0.34566

0.34571

0.34566

, ,

( , | )( , | ) ( , , ) log

( | ) ( | )i j

i jP i j i j

a a c i j

P a a cI A A C P a a c

P a c P a c

C

חישוב טבלאות הסתברות חדשות

ואפשר לחזור על התהליך, עד שהשינוי נהיה מזערי.•

17

c=0 c=1

P(c) 0.524 0.476

c=0,a1=0 c=0,a1=1 c=1,a1=0 c=1,a1=1

P(a2=1|c,a1) 0.33 0.4 0.5 0.66

c=0 c=1

P(a1=1|c) 0.45 0.6

c=0,a2=0 c=0,a2=1 c=1,a2=0 c=1,a2=1

P(a3=1|c,a2) 0.57 0.5 0.5 0.5

c=0,a3=0 c=0,a3=1 c=1,a3=0 c=1,a3=1

P(a4=1|c,a3) 0.6 0.33 0.6 0.4

A1 A2 A3 A4 C

1 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 0 0 1

0 0 0 1 0

conditional mutual informationהקשר בין -Kullback–Leibler divergenceל

18

( )( , ) ( ) log

( )KL TANx TAN

P xD P P P x

P x

DKLהגדרת

( ) log ( ) ( ) log ( )TANx x

P x P x P x P x

( ) ( ) log ( )TANx

H X P x P x הגדרת אנטרופיה

תכונות לוגריתם

19

( ) ( ) log ( )TANx

H X P x P x

כלל השרשרת

1

( ) ( ) log ( | ( ))n

TAN i ix i

H X P x P x parents x

1

( ) ( ) log( ( | ( )))n

TAN i ix i

H X P x P x parents x

תכונות לוגריתם

2

( ) ( ) log( ( )) log( ( | , ))n

TAN TAN i jx i

H X P x P c P x x c

מבנה TANה- Xj הוא

ההורה השני Xiשל

טענת עזר

20

1 2

1 2

i j

1 2

i j

1 2, ,...,

1 2, , ,...,

x ,x לא כולל

1 2, , ,...,

x ,x לא כולל

,

( ) ( , ) ( , ,..., ) ( , )

( , ,..., ) ( , )

( , ) ( , ,..., )

( , ) ( , )

n

i j n

i j n

i j

i j n i jx x x x

n i jx x x x x

i j nx x x x x

i j i jx x

P x f x x P x x x f x x

P x x x f x x

f x x P x x x

f x x P x x

21

2

( ) ( ) log( ( )) log( ( | , ))n

TAN TAN i jx i

H X P x P c P x x c

2 , ,

( ) ( ) log( ( )) ( , , ) log( ( | , ))i j

n

TAN i j TAN i jc i x x c

H X P c P c P x x c P x x c

פתיחת סוגריים

2

( ) ( ) log( ( )) ( ) log( ( | , ))n

TAN TAN i jx i x

H X P x P c P x P x x c

טענת העזר

2 ,

( ) ( ) log( ( )) ( , ) ( | , ) log( ( | , ))j i

n

TAN j i j TAN i jc i x c x

H X P c P c P x c P x x c P x x c

, הביטוי מקבל ערך Gibbsעפ"י אי-שיוויון מקסימלי

. P’(x)=P(x)כאשר |PTAN(xi|xj,c)=P(xi ו-PTAN(c)=P(c)לפיכך, מקסימום יתקבל עבור

xj,c).

( ) log '( )x

P x P x

22

2 , ,

( ) ( ) log( ( )) ( , , ) log( ( | , ))i j

n

TAN i j TAN i jc i x x c

H X P c P c P x x c P x x c

2 , ,

( ) ( ) log( ( )) ( , , ) log( ( | , ))i j

n

i j i jc i x x c

H X P c P c P x x c P x x c

PTAN(c)=P(c) PTAN(xi|xj,c)=P(xi|xj,c)

2 , ,

( ) ( ) ( , , ) log( ( | , ))i j

n

i j i ji x x c

H X H C P x x c P x x c

הגדרת אנטרופיה

2 , ,

( | ) ( | )( ) ( ) ( , , ) log ( | , )

( | ) ( | )i j

nj i

i j i ji x x c j i

P x c P x cH X H C P x x c P x x c

P x c P x c

2 , ,

( , | )( ) ( ) ( , , ) log log ( | )

( | ) ( | )i j

ni j

i j ii x x c i j

P x x cH X H C P x x c P x c

P x c P x c

מניפולציה

23

2 , ,

( , | )( ) ( ) ( , , ) log log ( | )

( | ) ( | )i j

ni j

i j ii x x c i j

P x x cH X H C P x x c P x c

P x c P x c

2 , , 2 , ,

( , | )( ) ( ) ( , , ) log ( , , ) log ( | )

( | ) ( | )i j i j

n ni j

i j i j ii x x c i x x ci j

P x x cH X H C P x x c P x x c P x c

P x c P x c

2 2 ,

( ) ( ) ( , | ) ( , ) log ( | )i

n n

P i j i ii i x c

H X H C I X X C P x c P x c

2 2

( ) ( ) ( , | ) ( ) ( | ) log ( | )i

n n

P i j i ii i c x

H X H C I X X C P c P x c P x c

+ טענת Iהגדרת

העזר

2 2

( ) ( ) ( , | ) ( | )n n

P i j ii i

H X H C I X X C H X C

כדי למזער את , יש למקסם את .

( , )KL TAND P P2

( , | )n

P i ji

I X X C

conditional mutual informationהקשר בין likelihoodלפונקצית ה-

במאמר מראים ש-•

24

ˆ ˆ ( ), ( ) 0

log ( | ) ( , ) ( , | ) constant termD D

T i i iP Pi i i

L B Data N I A C I A A C

לא מושפע מבחירת ההורים

Aiשל

יש למקסם את הביטוי הזה

מקסימיזציה של שקולה

.likelihoodלמקסימיזציה של פונקצית ה-

ˆ ( ), ( ) 0

( , | )D

i iPi i

I A A C

סיכום

25

•TAN מהווה הרחבה טבעית של Naïve Bayes.

לשיטה זו תוצאות טובות יותר בהשוואה •, ויחד עם זאת היא משמרת Naïve Bayesל-

את הפשטות החישובית שמאפיינת את שיטת .NBה-

טובים גם בהשוואה לשיטות TANביצועי • בתחום machine learningמובילות בעולם ה-

.C4.5, כמו לדוגמה classificationה-