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Baustatik 2 (Modul 3121)
Veranstaltungen Sommersemester 2018
Vorlesung: Di 08:15 – 09:45 Uhr, R. 1.115 Beginn: 11.04.2018 Hörsaalübung: Do 14:15 – 15:45 Uhr, R. 1.017 Beginn: 12.04.2018
5.9.1 Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit 116
5.9.2 Beispiel 12 117
5.9.3 Beispiel 13 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119
5.9.4 Beispiel 14 mit Rahmenformel und Reduktionssatz 121
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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger 14 Bild 1-2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger 15 Bild 1-3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 16 Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 17 Bild 2-1: Normalspannungen infolge Biegemoment 20 Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft 20 Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen 21 Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung 22 Bild 2-5: Längsverformungen 22 Bild 2-6: Längsdehnungen 22 Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen 23 Bild 2-8: Kinematik bei Biegung 25 Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N, M, V 27 Bild 2-10: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt 28 Bild 3-1: Äußere Arbeit 32 Bild 3-2: Eigenarbeit 33 Bild 3-3: Fremdarbeit 33 Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie 34 Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen 35 Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen 36 Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft 37 Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment 38 Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft 39 Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung 45 Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung 46 Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung 48 Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien 48 Bild 4-7: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung 49 Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien 49 Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen 50 Bild 4-10: Beispiel 11 – System und Belastung 51 Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 51 Bild 4-12: Beispiel 12 – System und Belastung 52 Bild 4-13: Beispiel 12 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 52 Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger 53 Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53 Bild 4-16: Beispiel 13 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen 54 Bild 4-17: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 54 Bild 4-18: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge Ts 55 Bild 4-19: Beispiel 13 – wirkliche Beanspruchung infolge ∆T 55 Bild 4-20: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sv 56 Bild 4-21: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sh 56
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Bild 4-22: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q 57 Bild 4-23: Lineares Federgesetz 58 Bild 4-24: Federnde Lagerungen 58 Bild 4-25: Ersatzfedern 59 Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung 60 Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager 61 Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund 61 Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn 62 Bild 4-30: Drehfedergesetz 63 Bild 4-31: Ersatz-Drehfeder 63 Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung 64 Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung 65 Bild 4-34: Beispiel 14 mit Dehnfeder - System und Belastung 67 Bild 4-35: Beispiel 14 mit Dehnfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 67 Bild 4-36: Beispiel 15 mit Drehfeder - System und Belastung 68 Bild 4-37: Beispiel 15 mit Drehfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 68 Bild 4-38: Beispiel 16 - Gelenkträger - System und Belastung 69 Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte 69 Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien 69 Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung 70 Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse 71 Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung 73 Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien 73 Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung 74 Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens 75 Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung 81 Bild 5-3: Beispiel 1 – Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme 81 Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung 82 Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen – LSZ und ESZ 82 Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung 83 Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm – LSZ und ESZ 83 Bild 5-8: Temperaturlastfälle 84 Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung 88 Bild 5-10: Zweigelenkrahmen – SBHS / LSZ 88 Bild 5-11: Zweigelenkrahmen – Visualisierung der Ergebnisse 89 Bild 5-12: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung 90 Bild 5-13: Ergebnisplot aus STAB2D 90 Bild 5-14: M(q) am SBHS 91 Bild 5-15: M(1) am SBHS 91 Bild 5-16: ESZ 91 Bild 5-17: Endgültige Momentenlinie M(1) 92 Bild 5-18: Beispiel 6 - System und Belastung 93 Bild 5-19: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger 94 Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98 Bild 5-21: Verschiebliche Systeme 99 Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen 100
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Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe 100 Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung 101 Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – SBHS und LSZ 101 Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – ESZe 102 Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – Superposition 103 Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung 105 Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder – ESZe 105 Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie 106 Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab 106 Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab 107 Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen 107 Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung 108 Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung 109 Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ 109 Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe 110 Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung 111 Bild 5-39: Beispiel 11 mit Drehfedern – EDV-Plot der M-Linie 112 Bild 5-40: Beispiel 11 - EDV-Plot der M-Linie 113 Bild 5-41: Skizze zu Temperatureinwirkungen 115 Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2 115 Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit 116 Bild 5-44: Beispiel 12 - System, Belastung 117 Bild 5-45: Beispiel 12 - ESZ und LSZ 117 Bild 5-46: Beispiel 12 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 118 Bild 5-47: Beispiel 13 – System und Belastung 119 Bild 5-48: Beispiel 13 – LSZ und ESZe 119 Bild 5-49: Beispiel 13 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 120 Bild 5-50: Beispiel 14 – System und Belastung 121 Bild 5-51: Beispiel 14 mit Reduktionssatz 121 Bild 5-52: Beispiel 14 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 122
Tabellenverzeichnis Tabelle 2-1: Formänderungsanteile 29 Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen 40 Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien 111 Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme 115
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1 Allgemeines zur Berechnung statisch unbestimmter Stabwerksysteme
1.1 Grundlegende Annahmen für Theorie 1. Ordnung Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes
Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.
b,h << ℓ, ℓ ≥ 5 h
kleine Verformungen
w << h << ℓ
Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β
w (x,y,z) = w(x)
Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
β (x,z) = β (x)
Schubverformungen werden vernachlässigt
Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale
β (x) = - w´(x)
⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt
⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z
Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt
Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen
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Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe
Vorteile statisch unbestimmter System
Nachteile statisch unbestimmter Systeme
Die Verteilung von Biege- und Dehnsteifigkeiten sowie Auflagerfedern haben bei statisch unbestimmten Systemen einen erheblichen Einfluss auf die Verteilung der Lagerkräfte und Schnittkräfte.
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2 Elastische Formänderungen in der linearen Stabstatik 2.1 Kleine Übersicht: Kraftgrößen – Weggrößen
Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen
Innere Weggrößen
Verzerrungen ε
Gleitungen γ
Krümmungen κ
Verdrillungen ϑ
Äußere Weggrößen Verschiebungen
Verdrehungen
Innere Kraftgrößen Normalkräfte N
Querkräfte Vy, Vz
Biegemomente My, Mz
Torsionsmoment MT
Äußere Kraftgrößen
Lasten F (kN), q )(m
kN, p )( 2m
kN
Lastmomente ML
Kraftgrößen Weggrößen
Gleichgewicht
Spannungen
Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)
Werkstoffgesetz
Zusammenfassung
∫
∫
⋅=⇒⋅⋅=
=⇒⋅=
zI
MdAzM
ANdAN
σσ
σσ
wzzzx
udxdux
′′⋅−=′⋅=
′==
βε
ε
),(
)(
)()()()()()(
xVxMxqxVxnxN
z
x
=′−=′−=′
wEIqMundwEIMuEAnNunduEAN x
′′′′⋅−=−=′′′′⋅−=
′′⋅=−=′′⋅=
)()(),(),(
xGxzxEzx
γτεσ
⋅=⋅=
wvu ,,
zyx βββ ,,
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2.4 Verformungen infolge Normalkraft Gleichgewicht: Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittkraft
Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung
Verschiebungsgröße u(x)
Bild 2-5: Längsverformungen
Einführung einer Verzerrungsgröße (Ingenieurdehnmaß) (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)
bzw.
Bild 2-6: Längsdehnungen
λ
∆λ
x,u
x
u(x) u(x)
x
ε(x) ε(x)
(x)udx
du(x)ε(x) ′== ll
llll
ngeAusgangslängeAusgangsläLängeNeue
N∆
=−∆+
=−
=)(ε
N
x
xx
xx
x
CdxnxNxnxN
xndxdNdxxndN
dxnNdNNH
e
a
+⋅−=⇒−=′
−=⋅−=
=⋅+−+=
∫
∑
)()()(
)(;)(
0:0
0)(
=′−=′
(x)Nxn(x)N
N+dN N n(x)
dx x
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Spannungsdefinition
Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen
Werkstoffgesetz : Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Die Spannungen sind proportional zu den Verzerrungen Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Zusammenfassung
dxAE
NdubzwdxxNAE
uAE
Nul
N ⋅⋅
=⋅
=⇒⋅
=′= ∫ .)(1
)(
ε
AElNl
⋅⋅
=∆
=∆=
⋅=
′⋅=
∫llu
dxxEAxNxu
uEANx
)()()()(
0
εσ ⋅= E
AN
=σ
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2.5 Verformungen infolge Biegemoment 2.5.1 Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes
Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.
b,h << ℓ , ℓ ≥ 5 h
kleine Verformungen
w << h << ℓ
Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β
w (x,y,z) = w(x)
Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
β (x,z) = β (x)
Schubverformungen werden vernachlässigt
Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale
β (x) = - w´(x)
⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt
⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z
Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt
2.12 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken
Tabelle 2-1: Formänderungsanteile
Verzerrung elastischer Anteil
Anteil inf. Temperatur
Anteil inf. Schwinden
Anteil inf. Kriechen
zugehörige Schnittkraft
ε = N
γz =
Vz
My
ϑ´= Mx = MT
γy =
Vy
Mz
AEN⋅
TT ⋅+ α sε+AE
N K
⋅+ϕ
==′ yy κβy
y
EM
Ι⋅ zT d
T∆⋅+α
y
Ky
EM
Ι⋅⋅+ ,ϕ
T
T
GM
Ι⋅ T
T
GM
Ι⋅⋅+ ϕ
==′ zz κβ
V
y
GAV
V
z
GAV
V
y
GAV
⋅+ϕ
V
z
GAV
⋅+ϕ
z
z
EM
Ι⋅ yT d
T∆⋅+α
z
Kz
EM
Ι⋅⋅+ ,ϕ
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3 Mechanische Arbeit und Formänderungsenergie 3.1 Einführung Arbeit = Kraft * Weg
Arbeit = Kraftgröße * Weggröße
Energie
Einheiten
[ ] [ ] JNmmNWA 1111 ==⋅==
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3.2 Annahmen und Voraussetzungen Ebenbleiben der Querschnitte (Jakob Bernoulli ,1654 – 1705)
Die Verschiebungen u(x,z) verlaufen über die Querschnittsdicke linear
(Bernoulli-Hypothese Teil I).
Schubverzerrungen werden vernachlässigt => Normale bleibt Normale (Bernoulli-Hypothese Teil II)
Die Verschiebungen w sind für alle Querschnittspunkte gleich. Die Balkendicke ändert sich bei der Deformation nicht (Formtreue: w(x,y,z) = w(x) ).
Die Verformungen sind sehr klein.
Lineare Elastizität Es gilt das Hookesche Gesetz (Robert Hooke ,1645 – 1703).
Quasi-statische Lastaufbringung Die Kraft wird langsam von Null auf ihren Endwert gesteigert.
Arbeit = Kraftgröße ⋅ Weggröße (René Descartes, 1596 – 1650)
Energiesatz der Elastostatik:
Die Arbeit der äußeren Kräfte A
wird als Formänderungsenergie W im System gespeichert.
A = W
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3.3 Äußere Arbeit 3.3.1 Begriffe, Definitionen
Bild 3-1: Äußere Arbeit
Bei linearer Elastizität gilt für die Äußere Arbeit:
eee
FF
uFc
FdFcFdFuA
ee
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
eee
uu
uFucduucduFAee
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21
21 2
00
dF
konjugierte äußere Arbeit A
Äußere Arbeit A
ue
Fe
du
dA
dA
ue u
F
F=c ⋅u Fe
ee uFA ⋅⋅=21
AAA
uFA ee
−=
⋅=~ˆ
~
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3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit Eigenarbeit Die Kraft F1 verrichtet an der Stelle 1 Arbeit auf dem von ihr selbst erzeugten Weg w11.
Bild 3-2: Eigenarbeit
Fremdarbeit Die Kraft F1 ist vor Belastung durch eine andere Kraft F2 vorhanden und verrichtet
Arbeit auf einem Weg, der durch die Wirkung der anderen Kraft F2 hervorgerufen wird:
Bild 3-3: Fremdarbeit
11111 21 wFA ⋅⋅=
121*12 wFA ⋅=
W11
1
F1
W12
1
F1 F2
2
W22
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3.4 Innere Arbeit – Formänderungsenergie 3.4.1 Spezifische Formänderungsenergie
Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie
dzdydxzyx
dVzyxGVG
z y x
V
⋅
⋅
⋅=
⋅=
=
∫ ∫ ∫
∫
)( )( )(
)(
),,(
),,(
γ
γ
γ
∫
∫
∫
∫∫
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅=
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
),,(),,(21)('
),,(),,(21)('
),,(),,(21)('
),,(),,(21),,('
A
VV
A
Mx
Mx
A
Nx
Nx
Axx
As
dAzyxzyxVW
dAzyxzyxMW
dAzyxzyxNW
dAzyxzyxdAzyxWW
γτ
εσ
εσ
εσ
γ(x,y,z)
x
z
y
Ws(x,y,z)
y
z
x
𝑊𝑊𝑠𝑠 =12∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑦𝑦)
∙ 𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑧𝑧)
∙ 𝑑𝑑𝑧𝑧� ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑����������������
𝐵𝐵𝐵𝐵𝑧𝑧𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹Ä𝐸𝐸 𝑊𝑊′
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
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3.4.2 Formänderungsenergie bei Normalspannungen
Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen
(Formänderungsenergie W)
(bezogene Formänderungsenergie W´)
Bei linearer Elastizität gilt:
∫∫ ⋅=′⋅′=)()(
ˆˆ;ˆˆA
SS dAWWdxWWl
eeSW εσ ⋅=~
SSS WWW −= ~ˆ
WWundWW SS == ˆˆ
∫ ∫ ⋅ = ′ ⋅ ′ = ) ( ) (
; A
S dA W W dx W W λ
konjugierte spezifische Formänderungsenergie SW
Spezifische Formänderungsenergie Ws
εσεεεεσεε
⋅⋅=⋅=∫ ⋅⋅=∫ ⋅=21
2
2
00
eS EdEdW
ee
eee
S Ed
EdW
ee
εσσσσσεσσ
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
εe ε
σ
σ=E ⋅ε σe
dxdAWdVWWA
SV
S ∫ ∫∫
⋅=⋅=
)( )()( l
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3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen
Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�(𝑥𝑥)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Formänderungsenergie (unterhalb der Kurve)
γe γ
τ
τ = G ⋅ γ τe
konjugierte spezifische Formänderungsenergie WS
Spezifische Formänderungsenergie Ws
eee
S GdGdWee
γτγγγγτγγ
⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21
2
2
00
dA W W dx W W A S l
⋅ ∫ = ′ ⋅ ∫ ′ = ) ( ) (
;
eee
S Gd
GdW
ee
γτττττγττ
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
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3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft
Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft
A=W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢
(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢(𝑙𝑙) = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝐴𝐴)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�����������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei zentrischer Normalkraft ergibt sich mit
Beispiel:
A = W u(ℓ) ℓ F
=⋅⋅⋅=′ ∫ dANW xxA
εσ)( 21)(
AüberconstAN
x .==σ
F
u(λ)
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3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment My
Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment
A = W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝐴𝐴)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�����������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei Biegemoment ergibt sich mit
Beispiel:
ℓ/2
F
ℓ/2
=⋅⋅⋅=′ ∫ dAMW xxA
εσ)( 21)(
Eundz
IM x
xxσεσ =⋅=
F
max w
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3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz
Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft
A = W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉
(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉(𝑙𝑙) = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧
(𝐴𝐴)
∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�������������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei Querkraft ergibt sich mit
wv(ℓ)
F
=⋅⋅⋅=′ ∫ dAVW xzxzA
γτ)( 21)(
Gund
AV xz
xV
zxz
τγτ ==
dxdAWdVWWA
SV
S ∫ ∫∫
⋅=⋅=
)( )()( l
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3.4.7 Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen
Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen
Normalkraft Biegung Querkraft Torsion
z.B. Balken mit Normalkraft, Biegemoment und Querkraft:
𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
mxV γ⋅⋅ )(21
VAGxVxV
⋅⋅⋅
)()(21
)()(21 xxM κ⋅⋅
)(21 2 xIE κ⋅⋅⋅ )(
21 2 xIG T χ⋅⋅⋅
)()(21 xxMT χ⋅⋅
T
TT IG
xMxM⋅
⋅⋅)()(
21
AExNxN
⋅⋅⋅
)()(21
y
yy IE
xMxM
⋅⋅⋅
)()(
21
)(21 2 xAE ε⋅⋅⋅
)()(21 xxN ε⋅⋅
)(21 2 xAG mV γ⋅⋅⋅
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4 Arbeitsprinzipe, Arbeitssätze 4.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Grundlage ist die Fremdarbeit A*. A* = W*
Querstrich : virtuell = gedacht
Virtuelle Arbeit = wirkliche Kraftgröße ⋅ virtuelle Verformung
Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung
4.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV)
∫ ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)( )()(
*)()()(
l ll
dxxVdxxMdxxNW mγκε
virtueller Verschiebungszustand:
gedacht
hinreichend klein
kinematisch verträglich
ansonsten beliebig
Das PdvA ist eine Gleichgewichtsaussage.
** WA =
fFA ⋅=*
fFA ⋅=*
fFA ⋅=*
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4.1.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
Frage: Welche Arbeit verrichtet eine virtuelle Kraft auf einem Weg f, der durch eine andere Last(gruppe) erzeugt wird, und welche Energie wird dabei im System gespeichert?
Antwort: Querstrich : virtuell = gedacht
Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung
𝑙𝑙 = Länge des Integrationsbereiches; S = Parabelscheitel Nr. 6 bis 10: Quadratische Parabeln Nr. 11 bis 16: Kubische Parabeln Tafelwert Nr. 15 und 16: 𝑖𝑖 = 𝑞𝑞𝑟𝑟∙𝑙𝑙
2
6 ; 1 ∙ 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐𝛿𝛿𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
𝐸𝐸𝐼𝐼 ∫ 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝑙𝑙𝐵𝐵 …
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4.2.1 Beispiel 1: Kragträger unter Einzellast
4.2.2 Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast
4.2.3 Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast
4.2.4 Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm
4.2.5 Beispiel 5: Holzbalken
Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung
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4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm
Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
1,5 m 4 m
q = 10 kN/m
fE= ? HEB 200
fm= ? φA= ?
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4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung
Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
4.2.8 Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder
Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
1,5 m 4 m
fE= ? HEB 200
∆sB= 10 mm
q = 10 kN/m
1,5 m 4 m
fE= ? HEB 200
cF=8000 kN/m
q = 10 kN/m
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4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss Für das dargestellte Tragwerk ist die Vertikalverformung fv infolge der gegebenen Belastung unter Berücksichtigung des Normalkrafteinflusses gesucht.
Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien
q = 10 kN/m
3 m
Steifigkeiten
EΙHEB200 =
EAIPE200 =
1,5 m 4 m
fV= ?
IPE 200
HEB 200
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4.2.10 Beispiel 10: Klausuraufgabe Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fH infolge der gegebenen Belastung gesucht.
Bild 4-7: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung
Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien
fH = ?
s = 20 kN/m
8 m
Material für alle Stäbe S 235; HEB 400
EA = ∞
5 m 5 m
6 m
w = 4 kN/m
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4.3 Zwängungslastfälle 4.3.1 Allgemeines Die Zwängungslastfälle
• T (Erwärmung / Abkühlung)
• ∆T (Temperaturgradient über die Querschnittshöhe)
• ∆s (Stützensenkung)
• εS (Schwinden) bewirken bei STATISCH BESTIMMTEN SYSTEMEN KEINE Schnittgrößen, jedoch Verformungen.
Beispiel: Brücke Lastfall geleichmäßige Temperaturänderung T (z.B. Erwärmung)
∆𝑙𝑙𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇 ∙ 𝑙𝑙
Lastfall Stützensenkung
Lastfall Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe
ou TTT −=∆
dTTT ∆⋅
=∆ ακ
Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen
∆s
warm
kalt
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4.3.2 Beispiel 11: Verformungsberechnung für den Lastfall „Erwärmung“ Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fh infolge der gegebenen Belastung T=50 K gesucht.
Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
Ts = 50 K (Erwärmung)
4 m
6 m
fH = ?
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4.3.3 Beispiel 12: Verformungsberechnung für den Lastfall ∆T Für das dargestellte Tragwerk (HEB300) ist die Horizontalverformung fh infolge des Lastfalls ∆T gesucht.
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ ∆𝑇𝑇𝑑𝑑�����
𝜅𝜅(∆𝑇𝑇)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)
Bild 4-12: Beispiel 12 – System und Belastung
Bild 4-13: Beispiel 12 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
fH = ?
Ti = -10° C TA = 10° C TA = 10° C
TA = 10° C
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4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Biegelinie ohne Stützensenkung
Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger
Biegelinie mit Stützensenkung
Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung
Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte
Biegemomente
Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien
Überlagerung
F = 10 KN
2 m
∆s=2cm
EΙ = 10000 kNm2
f1 = ?
q = 5 KN/m
2 m 2 m 2 m 2 m
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4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 17
Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung
Beton B25 E = 30.000 MN/m2 G = 12.500 MN/m2
αT = 10-5 1/K
ϕK = 0,6
εs = - 40 ⋅ 10-5
b/d = 20 cm / 40 cm A = 800 cm2
Ι = 20 ⋅ 403 / 12 = 106.667 cm4
EA = 3⋅107 kN/m2⋅10-4 ⋅ 800 = 2,4 ⋅106 kN
EΙ = 3 ⋅103 kN/cm2 ⋅106.667 cm4 = 3,2 ⋅108 kNcm
GA = 1,25 ⋅103 kN/cm2 ⋅ 800 cm2 = 106 kN
TS = 15 K ∆T = 30 K
2 4 m 4 m
4 m
q = 5 kN/m
∆sA = 4 cm
cF = 100 kN/cm
cm = 8 ⋅105 kNcm
fE = ?
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Auflagerkräfte und Schnittgrößen
Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse
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f⋅1 = ∫ dxEANN
+ ∫ dxEANNϕ
+ ∫ TdxN Tα
+ ∫ dxN Sε
+ ∫ dxEIMM
+ ∫ dxEIMMϕ
+ ∫∆ dxdTM Tα
+ ∫ dxGAVVVκ
+∑F
cc c
NN
+∑m
cc c
MM
- ii sC∑ ∆
- iiM∑ ∆ϕ
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4.6.5 Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2
Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung
Gesucht ist der Wert für den Knick in der Biegelinie am Gelenk ∆φG.
Auflagerkräfte, Momente und Normalkraftlinien infolge q infolge M= 1
Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien
HEB 400
4 4
5
q = 25 kN/m
11 =M
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4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung
Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung
1=M
f
∆ϕG
1=F
Berechnung einer absoluten Verschiebung f
ϕ
Berechnung einer absoluten Verdrehung ϕ
f2
1=F
Berechnung einer relativen Verschiebung f=f1 + f2
Berechnung einer relativen Verdrehung in einem Gelenk (Knick) ∆ϕG = ϕ1 + ϕ2
f1
1=F
ϕ2 ϕ1
1=M 1=M
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5 Das Kraftgrößenverfahren 5.1 Idee des Kraftgrößenverfahrens
Berechnung an einem beliebigen statisch bestimmten Hauptsystem
Einwirkung einer Einheitslast X1
Addition
Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens
w10
w11
X1
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5.2 Vorgehen 1. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Abzählkriterium
n = a + z – 3 p
2. Wahl eines zweckmäßigen statisch bestimmten Hauptsystems (SBHS) durch Lösen von Bindungen (durch Einführung von Gelenken oder Entfernen von Auflagerbindungen) (i = 1 ...n)
3. Ermittlung der Schnittgrößen infolge der gegebenen Belastung am SBHS (Lastspannungszustand, LSZ)
λ
q
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4. Ermittlung der Einheitsspannungs- oder Eigenspannungszustände(ESZ) Dort, wo Gelenke eingeführt wurden und/oder Bindungen entfernt wurden, werden entsprechende Kraftgrößen eingeführt (Xi = 1) und die zugehörige Momentenlinie Mi gezeichnet.
5. Berechnung der δ-Zahlen a) Verdrehung infolge der äußeren Belastung
5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems
Bei der Wahl des SBHS sind folgende Punkte zu beachten:
1. Formänderungsbenachbartes SBHS wählen ! 2. Xi so wählen, dass sich die ESZ möglichst wenig beeinflussen. 3. Keine verschieblichen Systeme verwenden !
Hierdurch werden numerische Schwierigkeiten bei der Lösung des Gleichungssystems
Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie
Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab
Zustandsgrößen
in der Symmetrieachse
Äquivalentes Ersatzsystem
Gegebenes System mit Belastung
0 0 u 0 V
===
ϕ 0 0 N 0 M
===
w
Symmetrie Antimetrie
F
F
FF HH HH
FFHH
V
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
q
M
β
w -
-
-
- -
-
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Stab in der Symmetrieachse
Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab
5.7.2 Belastungsumordnung
= +
Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen
w/2
Äquivalentes Ersatzsystem
Gegebenes System mit Belastung
0 V0 M
== 0 N =
2F
F FF
A F
F
I
F
2A
F
2I
Symmetrie Antimetrie
Schnittgrößen im mittleren Stiel
symmetrisch antimetrisch
w w/2 w/2 3-fach unbestimmt
2-fach unbestimmt 1-fach unbestimmt
w/2 w/2
w/2
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5.7.3 Beispiel 10 - Klausuraufgabe Für die nachfolgend dargestellte Rahmenbrücke sind die Biegemomentenlinie und die Auflagerkräfte infolge der gegebenen Belastung mithilfe des Kraftgrößenverfahrens zu berechnen und zeichnerisch darzustellen.
Die Belastungen F = 100 kN und p= 5 kN/m wirken gleichzeitig. Für sämtliche Stäbe ist EI = konst. und EA = ∞ anzunehmen.
Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung
2 m
cF = 0,001 EI
2 m
2
p = 5 kN/m F = 100 kN
5 m
20 m 6 m
F = 100 kN
F = 100 kN
6 m
10 m
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Berechnung unter Ausnutzung von Symmetriebedingungen
Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung
SBHS und LSZ
Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ
2 m 6 m 10 m
5 m
2 m
q = 5 kN/m V2 = 50 kN
V1 = 100 kN
cF = 0,001 EΙ
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LSZ und ESZ
Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe
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5.7.4 Beispiel 11 - Klausuraufgabe 2 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Auflagerkräfte sowie die Zustandslinien für Biegemoment, Querkraft und Normalkraft unter Verwendung des Kraftgrößenverfahrens zu ermitteln und mit Angabe der Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Für sämtliche Stäbe ist EI = const. und EA =const. anzunehmen.
Für sämtliche Stäbe:
b/d = 100 cm / 40 cm
E = 33300 MN/m2
Für die 3 unteren Stäbe:
Aufstelltemperatur: T0 = 10 K
Ti = 0 K, Ta = 50 K
αT = 1,0 ⋅ 10-5 1/K
Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung
Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien
In welchen Fällen müssen N-Linien gezeichnet werden
Fall Aufgabe LSZ ESZ wofür
1 EA = const. ja Ja ∫ ⋅⋅= dx
EANNii
00δ ; ∫ ⋅⋅= dx
EAN
N kiikδ
2 εt = αT ⋅ Ts;
εs = - …….
nein ja ∫ ⋅⋅= dxNii εδ 0
3 Nend ja ja ....22110 +⋅+⋅+= NXNXNN
oder über Auflagerkräfte und Gleichgewicht
qE = 30 kN/m
q = 30 kN/m
cm = 0,4 EI
3 m
Ta = 50 K
3 m
Ta = 50 K
Ta = 50 K
Ti = 0 K
2m 2m 2m 2m 2m 2m
qE = 30 kN/m
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Zusammenfassung der δ-Zahlen und Lösung des Gleichungssystems
5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 5.8.1 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)
Stab2D
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern im FB 3 installiert)
Demoversion zum download unter
http://www.isd.uni-hannover.de/62.html
RuckZuck
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke)
Demoversion zum download unter
http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx
PCAE
4H-NISI von PCAE
Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)
Weiter Infos unter
http://www.pcae.de
Friedrich & Lochner
Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton
Weitere Infos unter
http://www.frilo.de
RSTAB
RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken.
(Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)