Basit Regresyon Ve Korelasyon Analizi

BASİT REGRESYON VE

KORELASYON ANALİZİ

Ahmet Salih Kurucan

İ.Ü. İşletme Fakültesi 2014-2015 Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi (Doktora)

İleri Araştırma Teknikleri

Prof. Dr. A. Neyran ORHUNBİLGE

1

Konu Başlıkları

• Analizin Önemi

• Regresyon ve Korelasyon Analizinin Türleri

• Basit Doğrusal Regresyon Analizi

• En Küçük Kareler Yöntemiyle Doğrusal Regresyon

Denklemi

• Regresyon Denklemiyle Yapılacak Tahminlerin Standart

Hatası

• En Küçük Kareler Yönteminin Varsayımları

• Korelasyon Analizi, Tanımı ve Önemi

• Basit Doğrusal Regresyon Korelasyon Katsayısı

2

Konu Başlıkları

• Anakütle Verileriyle Basit Doğrusal Regresyon ve

Korelasyon Analizi

• Örnek Verileriyle Basit Doğrusal Regresyon ve

Korelasyon Analizi

• Regresyon Katsayısının Testleri

• Korelasyon Katsayısının Testleri

• Örnek Verileriyle Tahmin ve Politikaların Belirlenmesi

3

Konu Başlıkları

• Doğrusal Olmayan (Eğrisel) Basit Regresyon Analizi

• İkinci Derece Regresyon Denkleminin Yazılışı

• İkinci Derece Regresyon Denkleminin Standart Hatası

• İkinci Derece Fonksiyona Ait Korelasyon Katsayısı (Korelasyon İndeksi)

• Örnek Verileriyle İkinci Derece Regresyon Analizi ve Testler • Regresyon Katsayılarının Testleri

• İkinci Derece Korelasyon Katsayısının Testleri

• İkinci Derece Regresyon Denklemiyle Tahmin ve Politikaların Belirlenmesi

• Basit Regresyon Analizinde Doğrusala Dönüştürme Yöntemleri

4

Analizin Önemi

• İlişki Analizi veya Regresyon Analizi veya Tahmin

Teknikleri ana başlığı altında ele alınan bu istatistik

tekniğin iki temel işlevi vardır:

•Tahmin

•Karar vericiye politika saptamak

Aynı zamanda politikaların saptanıp, planlamanın

yapılmasında yol gösterici olması regresyon analizini diğer

tahmin tekniklerinden üstün kılar.

5

Regresyon ve Korelasyon Analizi Tanım

• Regresyon Analizi: Herhangi bir değişkenin (bağımlı

değişken) bir veya birden fazla değişkenle (bağımsız-

açıklayıcı değişken) arasındaki ilişkinin matematik bir

fonksiyon şeklinde yazılmasıdır.

• Korelasyon: Bağımlı değişkenle bağımsız değişken veya

değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü derece olarak

gösteren ve yüzde olarak ifade eden bir katsayıdır.

6

Regresyon ve Korelasyon Analizinin

Türleri

• Bağımsız değişken sayısına göre:

• Basit regresyon analizi (Tek bağımsız değişken)

• Çoklu regresyon analizi (Birden çok bağımsız değişken)

• Fonksiyon tipine göre:

• Doğrusal regresyon analizi

• Doğrusal olmayan (eğrisel) regresyon analizi

7

Regresyon ve Korelasyon Analizinin

Türleri

• Verilerin kaynağına göre: • Anakütle verileriyle regresyon analizi

• Örnek verileriyle regresyon analizi

• Zaman serilerinde regresyon analizi

• Çözüm yöntemlerine göre: • En Küçük Kareler Yöntemi

• Ağırlıklı En Küçük Kareler Yöntemi

• Taraflı Tahminleyen Yöntemi

• Asal Bileşenler Yöntemi

• Maximum Benzerlik Yöntemi

8

Regresyon ve Korelasyon Analizi

• Yarı belirleyici ve deneysel ilişkilerin (stokastik)

incelenmesi regresyon analizinin kapsamına girmektedir.

• Bağımlı değişken: Modelin ifade ettiği olay tarafından

belirlenirken,

• Bağımsız değiken: Modelin ifade edilen olaydan

bağımsız olan verileridir.

• Örneğin kişilerin gelirlerinin değişmesi, harcama

miktarının da değişmesine neden olur. Bu durumda gelir

bağımsız değişken, harcama miktarı ise bağımlı

değişkendir.

9

Basit Doğrusal ve Regresyon Analizi

• Basit doğrusal regresyon analizi, Y bağımlı değişkenin tek bir bağımsız (açıklayıcı) değişken X ile arasındaki ilişkinin doğrusal fonksiyonla ifade edilmesine dayanmaktadır.

• Anakütle için basit doğrusal regresyon denklemi:

• 𝑌 = 𝐵𝑂 + 𝐵1𝑋 + 𝜀

• Örnek için ise:

• 𝑦 = 𝑏𝑂 + 𝑏1𝑥 + 𝜀

• Hata Terimi (Kalıntı)

• 𝜀 = 𝑌 − 𝑌′

10

En Küçük Kareler Yöntemiyle Doğrusal

Regresyon Denklemi • En küçük kareler yöntemi, birbirine bağlı olarak değişen

iki fiziksel büyüklük arasındaki matematiksel bağlantıyı,

mümkün olduğunca gerçeğe uygun bir denklem olarak

yazmak için kullanılan, standart bir regresyon yöntemidir.

• Formun nasıl olacağına karar verdikten sonra katsayılar

bulunur.

• Tüm örnek sonuçlarına bakılarak hata terimlerinin

karelerini en düşük yapan katsayılar türev yardımıyla

bulunur.

• Burada türevin sıfır olduğu noktanın en küçük değer

olması kuralından faydalanılır.

11


Regresyon Denklemi • Fonksiyon tipinin belirlenmesi için regresyon analizine

serpilme diyagramı çizilerek başlanır. Aşağıdaki serpilme

diyagramında gözlem noktalarının dağılımının doğrusal

bir eğilimde olduğu görülebilir.

12


Regresyon Denklemi • Serpilme diyagramı incelendiğinde doğrusal bir eğilim gözüküyorsa

X’in Y’e göre matematik fonksiyonunun doğrusal olduğuna karar

verebilir.

• Ancak gözlem noktaları arasından çok sayıda doğrusal fonksiyon

geçirilebilir, en uygunu Y gözlem değerine en yakın tahmini (teorik) Y’

değerini (minimum hata) veren doğrusal fonksiyon olacaktır.

• olan fonksiyon seçilmelidir.

• yapılması gerekir. Bu yönteme En Küçük Kareler Yöntemi adı verilir.

13


Regresyon Denklemi • Bu fonksiyonun minimum olabilmesi için 𝑏0 ve 𝑏1

parametrelerine göre birinci dereceden türevlerin 0’a

eşitlenmesi gerekmektedir.

• Negatif işaretli terimler eşitliğin sağ tarafında geçirilerek

Normal Denklemler adı verilen aşağıdaki denklemler elde

edilir.

14


Regresyon Denklemi • Bu denklemlerde X değişkenin toplamı, kareleri toplamı, Y

değişkeninin toplamı ve iki değişkenin çarpımlarının

toplamı yerine konularak cebirsel eliminasyon ile çözüm

yapıldığında 𝑏0ve 𝑏1 katsayılarının değerleri elde edilir.

• Bu denklemde x ve y gözlem değerleri yerine bu

değerlerin aritmetik ortalamadan farkları konularak

kısaltmalar sağlanabilir.

• Aritmetik ortalamadan farkların cebirsel toplamını

ifade eden terimler sıfır olur.

15


Regresyon Denklemi • Birinci denklemde 𝑏0=0, ikinci denklemde ise

• elde edilecektir.

• 𝑏0=0 parametresinin değerini elde edebilmek için fonksiyonun geçtiği ortak noktalar 𝑥 ve 𝑦 ’nin denklemde x ve y’nin yerine konulması gerekir.

• Bu yolla da basit doğrusal regresyon denklemi yazılmış olur.

16


Regresyon Denklemi • 𝑏1 formülünün cebirsel açılımı yapılırsa aşağıdaki formül

elde edilebilir.

• Bu formülden yararlanıldığında, aritmetik ortalamadan farklar alınmamaktadır.

• İlk yol da olduğu gibi iki bilinmeyenli denkelmelerin çözüme de gerek kalmamaktadır.

17

Regresyon Denklemiyle Yapılacak

Tahminlerin Standart Hatası • Tahmin standart hatası veya regresyon denkleminin

standart hatası adları da verilen değer ise genellikle S

harfiyle gösterilmektedir.

• Endisler kullanılarak hangi fonksiyonunun veya regresyon

denkleminin hatası olduğu belirlenir.

• 𝑺𝒚𝒙 doğrusal bir regresyon denkleminin standart hatasını

• 𝑺𝒀𝑿𝑿𝟐 ikinci derece bir regresyon denkleminin standart

hatasını gösterir.

18


Tahminlerin Standart Hatası

• Şartıyla elde edilen regresyon denklemiyle tahmin

yapıldığında bir tahmin hatası vardır ancak bu minimize

edilmiştir.

• Gözlenen y değeri bir tahmin değer y’ bir de e gibi

hatadan oluşmaktadır.

• Tüm y’ lere ait olan bu hataların (e’lerin) ortalama

ölçüsüne standart hatası adı verilmektedir.

19


Tahminlerin Standart Hatası • Anakütleler ve örnekler için basit doğrusal regresyon

denkleminin standart hatası:

formülleriyle hesaplanır. Anakütlede hataların kareleri

toplamı N ’e bölünürken örneklerde (n-2) ’ye bölünmekte

yani bir anlamda daha büyük hesaplanmaktadır.

• Hatalarının karelerin ortalaması alınır. Kareli

ortalamanın kullanılmasının nedeni olmasıdır.

20


Tahminlerin Standart Hatası • Standart hatanın hesaplanabilmesi için elde edilen regresyon

denkleminde x yerine sırasıyla gözlenen tüm x değerleri

yerleştirilerek n adet y’ tahmini değeri elde edilir.

• Daha sonra gözlenen y değeriyle tahmini y’ değerleri

arasındaki farkların kareli ortalaması alınır.

• Şayet fonksyion ve açıklayıcı değişken x iyi seçilmişsse y’

değeri gözlenen y değerine çok yakın çıkarak düşük standart

hata elde edilmesine neden olur.

• Aksi halde hata büyük çıkacaktır. Bu durumda fonksiyon tipi

değiştirilebilir veya x bağımsız değişkeni başka bağımsız

değişkinlerle desteklenerek çoklu regresyon analizi uygulanır.

21


Tahminlerin Standart Hatası • Basit doğrusal regresyon denkleminin standart hatasının

tahmini formülüne ulaşmak için ‘lerin ilgili

fonksiyon açılımı yapılır.

• açılımı yapıldığına;

• x ile y yerine aritmetik ortalamadan farkları

yerleştirildiğinde, aritmetik ortalamadan farkların toplamı

ve 𝒃𝟎 katsayısını içeren terimler sıfır olacağından;

22



• olur. 𝒃𝟏’ler yerine formülü konulduğunda değeri:

•

• elde edilir. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ve 𝑏1

ifadesine yeniden dönüldüğünde de aşağıdaki şekilde

yazılabilir.

23



• Basit doğrusal regresyon denkleminin standart hatasının

tahminine

• formülüyle ulaşılabilir. Anakütlede paydada N vardır.

24

En Küçük Kareler Yönteminin

Varsayımları - 1 • Varsayımları üç grupta toplamak mümkündür;

• Bağımlı değişken Y, bağımsız değişken X ’e

belirli bir ölçüde bağımlıdır. Y değişkeni tesadüfi,

X değişkeni ise araştırmacı tarafından seçilen ve

kontrol edilebilen belirlenmiş değerlerdir.

• Her iki değişkenin tesadüfi olduğu durumlarda

da regresyon analizinde doğru sonuçlar elde

edilebilir.

25


Varsayımları - 2 • Otokeralasyon (autocorrelation) : Hataların birbirinden bağımsız

olması veya hatalar arasında otokeralasyon olmaması varsayımı bağımlılığa dayanan yöntemler sözkonusu ise önem kazanmaktadır.

• Hataların birbirinden bağımsız olmaları gerekmektedir.

• Hataların bağımlı olmasının nedenleri arasında:

• Önemli bir açıklayıcı değişkenin modelde olmaması

• Örnek birim sayısının az olması

• Seçilen fonksiyon tipinin uygun olmaması

• Ekonomik değişkenlerin zaman serileri analizinde birbirini takip eden hataların trend nedeniyle pozitif otokorelasyon göstermesi sayılabilir.

• Herhangi bir göz yanılmasına yer vermemek için sadece grafik yöntemle karar vermemek özellikle Durbin-Watson testini uygulamak gerekir.

26


Varsayımları - 3 • Belirli X değerleri karşısındaki Y değerleri alt setlerinin ve hataların

varyansları birbirine eşittir. Buna Eşit Varyanslılık varsayımı adı verilmektedir. Bu özelliğin tersi ise Farklı Varyanslılık adını alır.

• Çeşitli X değerleri karşısında Y değerlerinin regresyon doğrusuna paralel olarak çizgiler arasında olması eşit varyanslılığı yansıtır.

• X değerleri artarken bu çizgilerin genişlemeye veya tam tersi daralmaya başlaması ise istenmeyen durum Farklı Varyanslılığı gösterir.

• Örneğin gelirler (X) artarken tüketim harcalamaları (Y) alt setleri de sürekli genişlemektedir.

• Yüksek gelirlilerin bazıları az tüketim bazıları da çok fazla tüketim yapabilirler. Düşük gelirlerin ise gelirleri az olduğu için tüketim değeri aralığı da dar olmaktadır.

27

KORELASYON ANALİZİ,

TANIMI VE ÖNEMİ

28

Korelasyon Analizi, Tanımı ve Katsayısı

• İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü (derecesini) ve yönünü belirlemek icin hesaplanan bir sayıdır.

• Belirli bir birimi yoktur.

• Her zaman icin -1≤r≤ 1 eşitsizliği geçerlidir.

• Anakütle verileriyle yapılan analizlerde ρ, örnek verileriyle yapılan analizlerde ise r ile gösterilen korelasyon katsayısı ±𝟏 arasında yer almaktadır.

• Korelasyon katsayısının 1’e yaklaşması ilişikinin güçlü, 0’a yaklaşması ise zayıf olduğunu göstermektedir.

29


30

İki değişken arsında doğrusal bir ilişki yok ise korelasyon katsayısı r=0

bulunur. r>0 ise iki değişken arasında aynı yönde bir ilişki, r<0 ise de

değişkenler arasında ters yönlü bir ilişki söz konusudur.


• Regresyon analizinde regresyon katsayısı ve standart

hata 0 olmadığı sürece kesin bir karar verilemezken,

korelasyon katsayısı incelenerek karar verebiliriz.

• Korelasyon katsayılarıyla, regresyon denklemlerin

standart hataları arasında %100’lük ters bir ilişki (negatif)

vardır.

31

Karar Verme Katsayısı (Belirlilik)

• Oluşturulan regresyon denkleminin ne derece iyi bir tahminleyici olduğunu belirleyen oran belirlilik katsayısı olarak ifade edilir ve 𝑹𝟐 (veya 𝝆𝟐) ile gösterilir.

• Bu ile modelin uygunluğu tespit edilebilir.

• 𝑹𝟐 değeri 1’e ne derece yakın ise denklem o derece iyi,

• Sıfıra ne derece yakın ise denklem o derece kötü bir tahminleyici olarak kabul edilir.

32

Korelasyon Katsayısının Hesaplanması

• Serpilme diyagramında bir regresyon doğrusu

yerleştirirsek, 𝒀 − 𝒀 arasındaki fark, 𝑿𝒐 değeri

karşısındaki Y değerinin, Y serisinin ortalamasından

• farkını yani Y’deki toplam

• Değişkenliğini gösterir.

• Bu fark (𝒀 − 𝒀), (𝒀 − 𝒀′)

• ve (𝒀′ − 𝒀 ) olmak üzere

• iki kısımdan oluşur.

33


• Bu açıklamalar aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

• Aritmetik ortalamadan farkların cebirsel toplamını ifade

eden terimler sıfır olacağı ve burada iki terim 0’a eşit

olacağı için kareleri alınırsa;

34


• Her üç terim de (𝒚 − 𝒚 )𝟐 değerine bölünürse eşitlik

bozulmaz ancak oran şekline dönüşür:

•

• Korelasyon Katsayısı =>

35

(Belirlilik Katsayısı)


• Bu basit doğrusal korelasyon formülüyle korelasyon

katsayısının işareti belirlenemez.

• Karekök içinde ifadelerden oluştuğu için hep pozitif

çıkmak durumundadır.

• Katsayının işaretinin de belirlenebilecegi özel bir formül

elde edilmesi gerekir:

36


• Doğrusal Korelasyon katsayısına ait özel bir formül elde

etmek için formüldeki y’ yerine 𝒃𝑶 + 𝒃𝟏𝒙 yerleştirilirse

aşağıdaki form elde edilir:

• Standart hatanın hesaplanmasından aşağıdaki eşitlik elde

edilmişti:

• Bu formülde yerine konulursa,

• basit doğrusal korelasyon

• katsayısı için özel bir formül

• elde edilir:

37


• Formüldeki 𝒃𝟏 yerine regresyon hesabında bulunan formülü yazılır ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa aşağıdaki formüller elde edilir:

• veya:

• Bu basit doğrusal korelasyon formülüyle korelasyon katsayısının işareti de belirlenebilecektir.

38

Anakütle ve Örnek Verileriyle Regresyon

ve Korelasyon Analizi İstatistiksel Tahminleme

39

Nokta Tahmini Aralık Tahmini

𝒀′ = 𝑩𝑶 +𝑩𝟏𝑿 𝒀′ = 𝑩𝑶 +𝑩𝟏𝑿 + 𝜺

Y’ değerleri regresyon

doğrusu üzerindedir.

Tahminin bir de standart hatası vardır, bu hatanın da tahmine eklenmesi

gerekir. Çünkü en küçük kareler yöntemiyle yazılan regresyon denklemi

hataları minimize etmekte ancak tamamen ortadan kaldırmamaktadır.

Belirli bir olasılıkla (güvenle) ‘Aralık Tahmini’ yapılması gerekmektedir.

Aralık Tahmini

• Aralık tahmini yapılabilmesi için en küçük kareler yönteminin

varsayımlarının gerçekliliğinin araştırılması şarttır.

• Örneğin yeterince büyük olmaması veya bir örnekten elde

edilen istatistiğin bir başka örnekten sağlanan istatistikle aynı

olmayışı yüzünden anakütle parametresini bir noktada tahmin

etmek yanlış sonuçlar doğurabilir.

• Bu yüzden anakütle parametresi belirli bir hata seviyesi göz

önüne alınarak belirli bir aralıkta aranır.

• Hata terimini α ile gösterirsek, 1- α güven seviyesinde aralık

tahmini yapabiliriz.

40

Aralık Tahmini

41

• Hata terimi normal eğrinin her iki ucunda eşit olarak yer alır. %95 güven sınırları

için 1-0.95=0.05 dir. Bu hata normal eğrinin sağ ve sol ucuna eşit olarak

dağıtıldığında α /2 =0.05/2=0.025 dur.

• Bu alanları belirleyen biri negatif, diğeri pozitif iki Z değeri vardır.

Örnek Verileriyle Regresyon ve

Korelasyon Analizi

• Örnek regresyon katsayılarının 𝒃𝟎 𝒗𝒆 𝒃𝟏 standart

hataları ile korelasyon katsayısının standart

hatasının düşük olması örnek verileriyle yapılan

regresyon korelasyon analizinin anakütle için

geçerli olduğunu gösterir.

• Bu standart hatanın düşük olması örnek birim

sayısının yeterince büyük olmasına bağlıdır.

42

Örnek Verileriyle Regresyon ve

Korelasyon Analizi • Örnekleme teorisine göre;

• Küçük örneklerden (n<30) elde edilen istatistiklerin

dağılımı t Student dağılımına uyar.

• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri

gibi simetriktir. Normal eğriye göre daha basık ve yaygın

bir şekil alır. Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük bir

alan oluşur.

• n>30 olduğunda ise Z (Normal) dağılımına uyar.

43

Regresyon Katsayısının Testleri

• Regresyon denkleminin en küçük kareler yöntemiyle

yazılışı ve korelasyon katsayısının hesaplanması

aşamalarında örnek ve anakütle arasında hiçbir fark

yoktur. Sadece standart hatanın hesaplanmasında

farklılık olur.

• Tüm regresyon katsayılarının (𝑏1) ile korelasyon

katsayılarının (𝑟𝑦𝑥) anakütle için geçerliliklerinin

araştırılması gerekir.

• 𝒃𝟎 katsayısı sabit olduğu için değişkenler arasında

ilişki göstermemekte bu nedenle de testi yapılmaz.

44


• Regresyon analizinde hipotez testleri dört aşamadan

oluşur:

1. Hipotezlerin yazılması

• 𝐻0: 𝐵1 = 0 Anakütle X’deki bir birimlik değişme Y’de hiçbir

değişme oluşturmaz. (iki değişken arasında ilişki yoktur.)

• 𝐻1: 𝐵1 ≠ 0 Anakütlede X’deki bir birimlik değişme Y’de

anlamlı bir değişme oluşturur.

45


2. 𝜶 (𝒂𝒍𝒇𝒂) anlamlılık düzeyinin belirlenmesi

• 𝐻0 doğru olduğu halde 𝐻0 reddildiğinde yapılan hatayı

gösterir. (Yani iki değişken arasında anlamlı bir ilişki yok)

• %5 veya %1 sıklıkla kullanılan anlamlılık düzeyidir.

• %(1 - α) = testin güven düzeyidir: %99, %95.

46


• 3. Örnek regresyon katsayısının standart tesadüfi

değişkene dönüştürülmesi

• n<30 ise n>30 ise

• 𝐻0 hipotezinde B=0

• olduğu için:

47

şeklinde yazılabilir. Bu formülle regresyon katsayısı için t

veya Z değeri elde edilebilir.


4.Karar

• 𝒁𝜶/𝟐 veya 𝒕𝜶𝟐;𝒏−𝟐 tablo değeri ≥ hesaplanan 𝒁 veya 𝒕

değeri ise 𝑯𝟎 kabul, iki değişken arasında ilişki yok,

örneklem tahminlerde kullanılamaz.

• Tablo değeri ≤ 𝒁 veya 𝒕 ise 𝑯𝟎 red, iki değişken

arasında anakütlede ilişki var, örneklem tahminlerde

kullanılabilir.

• Basit doğrusal regresyon analizinde sadece regresyon

katsayısının veya sadece korelasyon katsayısının test

edilmesi yeterlidir. (Çünkü tek katsayı var)

48

Korelasyon Katsayısının Testleri

• Basit doğrusal korelasyon katsayılarının testinde Z (𝒏 ≥ 𝟑𝟎), t (𝒏 ≤ 𝟑𝟎) veya her büyüklükteki n için F testleri kullanılabilir.

• F testi (Varyans Analizi) iki ve birden fazla değişkenli modellerde kullanılır.

• Bu nedenle tüm korelasyon katsayılarının (basit doğrusal, eğrisel, çoklu ve kısmi) testlerinde F testi uygulanabilir.

• t ve Z testleri sadece iki değişkenin söz konusu olduğu, doğrusal ve kısmi korelasyon katsayılarının testlerinde kullanılabilir.

49


• Korelasyon katsayısının t ve Z testlerinin aşamaları,

regresyon katsayısının testiyle hemen hemen aynıdır.


• 𝐻0; 𝜌𝑦𝑥 = 0 Anakütlede X ile Y arasında ilişki yoktur.

• 𝐻1; 𝜌𝑦𝑥 ≠ 0 Anakütlede X ile Y arasında anlamlı bir ilişki

var.

2. 𝜶 (𝒂𝒍𝒇𝒂) anlamlılık düzeyinin belirlenmesi

50


3. Örnek korelasyon katsayısının standart tesadüfi


• Şekillerindeki formüllerden yararlanılarak t veya Z

değerleri korelasyon katsayısı elde edilebilir.

51


4. Karar

• 𝒁𝜶/𝟐 veya 𝒕𝜶𝟐;𝒏−𝟐 tablo değeri ≥ hesaplanan 𝒁 veya 𝒕

değeri ise 𝑯𝟎 kabul, iki değişken arasında ilişki yok, X değişkeni Y’i gerçekte etkilemektedir.

• 𝒁𝜶/𝟐 veya 𝒕𝜶𝟐;𝒏−𝟐 tablo değeri < hesaplanan 𝒁 veya 𝒕

değeri ise 𝑯𝟎 red, iki değişken arasında anakütlede doğrusal bir ilişki var yani lişki anlamlıdır. X değişkeni Y değişkeninin etkilediği için X değişkeni, Y üzerinde geliştirilecek politikalarda kullanılabilir.

• Aynı zamanda doğrusal regresyon denklemi de tahminlerde kullanılabilir sonucu ortaya çıkar.

52

Örnek Verileriyle Tahmin ve

Politikaların Belirlenmesi

• Örneklemde kullanılan denklem örnek regresyon

denklemi olduğu için 𝒃𝟎 ve 𝒃𝟏 katsayılarının standart

hatalarının 𝑺 𝒃𝟎𝑣𝑒 𝑺 𝒃𝟏tahmine ilave edilmesi gerekir.

• Bu hatalar yanında, regresyon denklemiyle yapılacak

tahminlerin standart hatasının 𝑺 𝒚𝒙 da ilave edilmesi

gerekir.

53

Örnek Verileriyle Tahmin ve

Politikaların Belirlenmesi

• Bu üç hatanın birlikte tahmine ilave edilmesinde aşağıdaki

formül kullanılır:

• Y değişkeninin tahmin aralığının büyük güvenle dar

olması için, her üç hatanın da düşük olması gerekir.

54

DOĞRUSAL OLMAYAN

(EĞRİSEL) BASİT

REGRESYON ANALİZİ

55

Doğrusal olmayan (Eğrisel) Basit

Regresyon Analizi • Bağımsız değişkenlerin, bağımlı değişkenle olan ilişkisi

her zaman doğrusal değildir. Eğrisel fonksiyonlar ikinci

üçüncü ve daha üst derecelerden olabilir.

𝒃𝟎 sabit 𝒃𝟏 fonksiyonun eğimi, 𝒃𝟐 eğimin değişme oranı, 𝒃𝟑

ise bükümün derecesindeki değişme oranını gösterir.

56

Doğrusal olmayan (Eğrisel) Basit

Regresyon Analizi

• Veriler arasında ilişki tek bir bükülme noktası veriyorsa

ikinci derece bir regresyon denklemi yazmak gerekir.

• En iyi tahmini değerleri verebilecek olan ise, yine en

küçük kareler yöntemiyle yazılacak denklemdir.

57

İkinci Derece Regresyon Denkleminin

Yazılışı • Hataları yani (𝜀 = 𝑦 − 𝑦′ ‘leri) minimum yapacak olan

fonksiyonu yazabilmek için

• minimum yapacak 𝒃𝟎, 𝒃𝟏 ve 𝒃𝟐 ‘nin elde edilmesi gerekir.

• Bunun için üç katsayıya göre birinci dereceden türevler

alınıp sıfıra eşitlenir.

58


Yazılışı • Negatif terimli ifadeler her üç denklemde de eşitliğin sol

tarafına alındığında, en küçük kareler yöntemiyle

fonksiyonunu yazılabilmesi için geçerli üç normal denklem

elde edilir.

• x ve y değişkenlerine, denklemlerdeki toplam, çarpım ve

karelerin alınması uygulanır ve yerlerine konularak çözüm

yapılırsa 𝒃𝟎, 𝒃𝟏 ve 𝒃𝟐 katsayıları elde edilir ve ikinci

derece regresyon denklemi yazılır:

59


Standart Hatası • Örnek verileriyle yapılan analizlerde ikinci derece

fonksiyonlarda yapılacak tahminlerin standart hatası:

• açılımı yapılarak aşağıdaki

formül elde edilir:

60

İkinci Derece Fonksiyona Ait Korelasyon

Katsayısı (Korelasyon İndeksi) • Genel korelasyon formülü kullanılır:

• İkinci derece fonksiyona ait korelasyon katsayısı doğrusal

fonksiyondan hayli yüksekse (veya 1’e daha yakınsa)

anakütle verileriyle çalışılıyorsa, 2.derece fonksiyon

tahminlerde kullanılabilir.

• Örnek verileriyle çalışılmışsa bu sonuçların anakütle için

geçerliliğinin araştırılması yani katsayıların testlerin

yapılması gerekir.

61

İkinci Derecede Regresyon Katsayılarının

Testleri • Örnek verileriyle çalışıldığında, örnek regresyon

denkleminin anakütle regresyon denklemi yerine kullanılabilir nitelikte olup olmadığının test edilmesi gerekir.

• 2. derece fonksiyonlada ilişki gösteren iki katsayı 𝒃𝟏 𝐯𝐞 𝒃𝟐 olduğu için ikisinin birlikte test edilmesi zorunludur.


2. 𝜶 anlamlılık düzeyinin belirlenmesi

𝒃𝟏’in testi

𝐻0: 𝐵1 = 0

𝐻1: 𝐵1 ≠ 0

𝒃𝟐’in testi

𝐻0: 𝐵𝟐 = 0

𝐻1: 𝐵𝟐 ≠ 0

62


Testleri 3. Örnek regresyon katsayılarının standart tesadüfi


63

formülleriyle t veya Z değerleri elde edilebilir.


Testleri 4. Karar

• 𝒕𝜶𝟐;𝒏−𝟑 tablo değeri ≥ 𝒕 ise 𝑯𝟎 kabul, 𝑏1 ve 𝑏2

parametreleri anlamsız. Anakütle için geçersiz.

• 𝒕𝜶𝟐;𝒏−𝟑 tablo değeri < 𝒕 ise 𝑯𝟎 red, 𝑏1 ve 𝑏2

parametreleri anlamlı. Anakütle için geçerli.

• Her iki katsayı için 𝑯𝟎 red ise, 2. derece

fonksiyon tahminlerde kullanılabilir.

64

İkinci Derecede Korelasyon Katsayısının

Testleri • Bir ve iki değişkene ait testlerde örnek büyüklüğüne bağlı

olarak t veya Z dağılımları kullanılmakta, iki ve ikiden fazla

değişken söz konusu olduğunda F testi (varyans analizi)

yapılmaktadır.

• F testi özellikle t veya Z testlerinin

uygulanamadığı ikiden fazla değişkenin testinde

kullanılabilen tek testtir.

• 2. Derece fonksiyonda da y,x ve x’in karesi olmak

üzere üç değişken olduğu için korelasyon indeksi

testinde sadece F testi uygulanabilir.

65

İkinci Derecede Korelasyon Katsayısının

Testleri 1.Hipotezin yazılması

𝐻0; 𝜌𝑦𝑥𝑥2 = 0 𝐻1; 𝜌𝑦𝑥𝑥2 ≠ 0

2. 𝜶 anlamlılık düzeyinin belirlenmesi

3. F istatistiğinin hesaplanması

4. Karar

𝐹𝛼;𝑓1−𝑓2 ≥ 𝐹 ise 𝐻0 kabul, anakütlede X ve Y arasındaki

ilişki ikinci dereceden değildir.

𝐹𝛼;𝑓1−𝑓2 < 𝐹 ise 𝐻0 red, anakütlede bu iki değişken

arasındaki ilişki ikinci derecedendir.

66

İkinci Derece Korelasyon Katsayısının

Testleri • 2. Derece regresyon analizi testlerinde korelasyon

indeksinin tek başına test edilmesi yetersizdir.

• Test sonucu 𝑯𝟎 kabul ise, 2.derece regresyon analizi

terk edilir.

• Test sonucu 𝑯𝟎 reddedilirse, mutlaka 𝑏1 ve 𝑏2

parametrelerinin de, ayrı ayrı test edilmesi gerekir.

• 𝑏1 ve 𝑏2’nin testleri sonucu 𝐻0 reddedilmişse, korelasyon

indeksinin testine gerek bile kalmaz

67

Basit Regresyon Ve Korelasyon Analizi

Documents