Lizza Ulfa Fauziah (120210101002) Amalia Warniasih Sasmito (120210101008) ALJABAR LINIER BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA Kelompok 16
Lizza Ulfa Fauziah (120210101002)Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)
ALJABAR LINIER
BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA
BASIS, DIMENSI, dan TEOREMANYA
Kelompok 16
Dimensi
Definisi :Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat ditemukan suatu himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n+1) vektor-vektor ϵ V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, banyak maksimum vektor-vektor ϵ V yang bebas linier adalah n.
Teorema :Setiap n vektor-vektor {u1,u2,……un} yang bebas linier dari V ruang vektor berdimensi n pasti merupakan sistem pembentuk dari V
Bukti :Ambil vektor sembarang v ϵ V. Karena
dimensi V adalah n, menurut definisi {u1,u2,……un} bergantung linier. Sehingga pada persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+λn+1v=0 terdapat λi yang tidak nol, dan haruslah λn+1 ≠0 karena bila demikian, persamaan λ1u1+λ2u2+...+λnun+0v=0, berakibat {u1,u2,……un} bergantung linier. Bertentangan berarti :
n
nn
n
nn
uuu
uuuv
n2211
12
1
21
1
1
...
...
Jadi, setiap v ϵ V kombinasi linier dari {u1,u2,……un} berarti {u1,u2,……un} sistem pembentuk
Catatan : Suatu sistem pembentuk tidak
perlu bebas linier. Mudah diterangkan bahwa bila {u1,u2,……um} merupakan sistem pembentuk yang bergantung linier, sedang maksimum vektor-vektor di antara u1,u2,……un yang bebas linier adalah {u1,u2,……up} juga sistem pembentuk. Jadi dalam hal ini dimensi adalah p
Contoh
1. Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk:a) b)
2,5,4,2,1,3,2,1 qp
8,22,14,10,4,11,7,5 vu
Penyelesaian :a) Kedua vektor pembentuk tidak
berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti dimensi = 2
b) Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun
. Jadi baik {u} maupun {v} merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi, dimensi = 1
0v
Basis
Definisi :Setiap sistem pembentuk yang bebas linier disebut basis dari ruang vektor tersebut. Dengan kata lain, setiap himpunan n vektor {u1,u2,……un} yang bebas linier dari ruang vektor berdimensi n disebut basis dari ruang vektor tersebut.
Basis
Catatan :1.Karena vektor-vektor ϵ V tak berhingga
banyaknya, kecuali ruang vektor yang dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0}, dan misalnya dimensi V berhingga n, maka kita dapat mencari banyak sekali himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas linier. Sehingga kita dapat memilih banyak basis untuk V
2.Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n
Teorema :Apabila { u1,u2,……un} basis dari ruang vektor V berdimensi n, maka setiap vektor v ϵ V dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,……un}, misal v=k1u1+ k2u2 + ……knun dan n-tupel skalar [k1,k2,……kn]disebut koordinat v relatif terhadap basis { u1,u2,……un} .
Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + ……+kmum
dan jugav=μ1u1+ μ 2u2 + …… +μmum ,maka
0 =(k1-μ1) u1+ (k2-μ2) u2 + ……(km-μm) um
Karena { u1,u2,……un} bebas linier, maka (k1-μ1)=( k2-μ2) =…..=(km-μm)=0, berarti k1=μ1 ; k2=μ2 ;…; km=μm
Contoh
Tentukan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :1.p = [3,2,7,11] dan q = [2,5,8,9]2.u = [2,1,6,3], dan v = [6,3,18,9]
ContohJawab :1.Kedua vektor yaitu p dan q tidak berkelipatan, sehingga p dan q bebas linier. Jadi p dan q adalah basis dari ruang vektor yang dibentuk. Atau dapat dituliskan, basis dari ruang vektor yag dibentuk adalah {p,q}2.Kedua vektor berkelipatan (v=3u), sehingga keduanya merupakan vektor yang saling bergantung linier. Vektor u maupun v ≠0, jadi keduanya merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi basis dari ruang vektor tersebut adalah {u} atau {v}
Contoh
1. Diketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1], c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi dari L(S)
2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh
1,1,1,0,1,1,0,0,1 rqp
Jawaban1. c=a+b sehingga {a,b,c}
bergantung linier{a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linierJadi, dimensi dari L(S) adalah 2 dan basis dari L(S) adalah {a,b},atau{a,c}, atau {b,c}.
2.
r}q,{p,adalah basisnyadan 3adalah dimensinya maka
linier, bebas berarti ,0 jelas
0
0
0
:atau 0,0,01,1,10,1,10,0,1
123
3
32
321
321
LATIHAN1. Apakah himpunan vektor-vektor ini
merupakan basis ?a) b)c) 2. Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q
= [2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x supaya L berdimensi 2.
3. Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r = [3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya
3,2,1,1,1,1
4,3,5,5,2,1,2,1,1
3R
1,1,1,0,1,1,0,0,1
Jawab 1. a) Bukan, karena dimensi = 3,
berarti basis harus terdiri atas 3 vektor
3R
3
3
32
32
32
321
321
321
321
R basisbukan rsebut vektor teketiga maka linier. bergantung berarti
0. yang terdapat jadi ,0 ambil kitaboleh
sebarang. 2 berarti ekivalen, (5)dan )4(
)5.(..........063 : kali)(1) 2()3(
)4.(..........02- : )2()1(
)3.........( 0452
)2.........( 032
)1.........( 05
:atau ,0,0,04,3,55,2,12,1,1
linier. bebasapakah selidiki kita b)
Jawab
3
321
3
32
321
321
R basisrsebut vektor teketiga maka linier. bebas berarti
0. ,, karena
)3.........( 0
)2.........( 0
)1.........( 05
:atau ,0,0,01,1,10,1,10,0,1
linier. bebasapakah selidiki kita c)
2. supaya L berdimensi 2 maka {p,q,r} bergantung linier. Maka r merupakan kombinasi linier dari {p,q}
)3...(....................2
)2........(32
)1...(..........24
atau ],0,1,2[]1,3,1[2,2,4
1
21
21
21
x
x
Dari persamaan (3) dan (1) diperoleh λ1=2 , λ2=1, yang harus memenuhi persamaan (2) berarti x=9
3. c merupakan kombinasi linier dari {a,b}
karena {a,b,c} bergantung linier. {a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas linier. Jadi, dimensinya adalah 2 dan basisnya adalah {a,b} atau{a,c} atau {b,c}.
]1,4,2[]1,2,1[2,6,3
THANK YOU