Bases de Gröbner

Bases de GrbnerAndrs Felipe Patio Lpez - 20131167013David Camilo Molano Valbuena - 20131167004Universidad Distrital Francisco Jos de CaldasMatemticasBogot Colombia2015

Bases de GrbnerDefinicin: Sea = 1,2, , 1, 2, , un conjunto de polinomios distintos de cero. Entonces es una base de Grbner para el ideal = con respecto al orden de trminos < si y slo si 0 , {1,2, , } ; = donde 1, 2, , .

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Caracterizaciones de las Bases de GrbnerSea un ideal no trivial de 1, 2, , . Las siguientes afirmaciones son equivalentes para un conjunto de polinomios no nulos = 1,2, , .1. es una base de Grbner para .2. si y slo si puede ser reducido a 0 mediante aplicaciones

iteradas del algoritmo de Euclides con elementos de . La reduccin a se denotar

+ .

3. si y slo si = =1 con = max1 4. = =1 = =

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Teorema/Algoritmo de Buchberger y S-polinomios.

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4Sea 0 , 1, , . Sea adems = , .El polinomio

, =

Se llama el S-polinomio de y .Teorema (Buchberger): Sea = 1, , un conjunto de polinomios no nulos en 1, , . Entonces es una base de Grbner para = , si y slo si para todo ,

, + 0

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5Ejemplos. Si 1 = 2 2,2 = 2 , entonces 1,2 = 2. + 2, es una base de Grbner para + 2, . En general,

con polinomios de grado 1 en variables, las componentes no nulas del vector:

= 11 1 1

1

= 111 + + 111 + +

forman una base de Grbner cuando est escalonada reducida por filas. Cualquier polinomio forma una base de Grbner para . ,2 forma una base de Grbner con el orden lexicogrfico.

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6 Entrada: = 1, , 1, , con 0, 1 . Salida: = 1, , , una base de Grbner para 1, , .1. , , 2. WHILE DO3. , .4. ,5. , + donde no se puede reducir ms.

6. IF 0 THEN7. ,8.

Algoritmo de Buchberger

Desarrollo del Algoritmo.

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8Teorema: El algoritmo de Buchberger producir una base de Grbner para el ideal = .Notas para la demostracin:1. Si el algoritmo termina, eso significa que = al final de un

ciclo. Esto es, que durante el ciclo se repitieron los pasos 3-5 hasta que se cheque que todos los , fueron reducidos a 0. Lo que por el teorema de Buchberger resulta en una base de Grbner.

2. Si el algoritmo no llegara a terminar, obtendramos los conjuntos para el paso , de modo que 1 2 .

3. Si el elemento de un paso es distinto de 0, como no puede ser reducido ms, se tiene que 1 . De ac tenemos que 1 2 , una cadena ascendente de ideales.

Suma de Ideales

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9Sea un campo y sean , 1, , ideales, tales que =1, , , = 1, , . Entonces:

+ = 1, , ,1, ,

Producto de Ideales

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10Sea un campo y sean , 1, , ideales, tales que =1, , , = 1, , . Entonces:

= ,=11=,=

Interseccin de Ideales

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11Sea un campo e , ideales de 1, , . Sea ahora = +1 , 1, , . Entonces

= 1, , Adems, una base de Grbner para trae una base de Grbner para .

Ejercicio 1.

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12En el anillo de polinomios en una variable sobre un campo , considere un conjunto de polinomios no nulos = 1, , . Sea = mcd(1, ,). Probar que es una base de Grbner si y slo si para algn .

Ejercicio 2.

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13Cul es el principal problema para construir una base de Grbnersobre el anillo de polinomios de un anillo conmutativo cualquiera?

Demostracin Ejercicio 1.

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; , 0 =1

, ,=1

0

Por caracterizacin de base de Grbner, entonces es una base de Grbner.

Supongamos que es una base de Grbner. Entonces todos los polinomios de pueden ser reducidos a 0 mediante . Pero si es el de ellos, primero, pertenece a . Y segundo, como es de grado menor o igual que cualquiera de los elementos de , no puede ser reducido a 0mediante un polinomio de grado mayor, y para ser reducido a 0 mediante un polinomio del mismo grado, tiene que ser ste, un mltiplo escalar. Esto es, ; .

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15Bibliografa1. ADAMS, W. W., & LOUSTAUNAU, P. (1937,1958,1994). An Introduction to Grbner Bases.American Mathematical Society.2. DUMMIT, D., FOOTE, R., & ZEITZ, P. (2013). Abstract Algebra. New York: Wiley.3. FRALEIGH, J. (2013). A First Course in Abstract Algebra - Seventh Edition. Pearson Education.

Bases de GrbnerBases de GrbnerCaracterizaciones de las Bases de GrbnerTeorema/Algoritmo de Buchberger y S-polinomios.Slide Number 5Algoritmo de BuchbergerDesarrollo del Algoritmo.Slide Number 8Suma de IdealesProducto de IdealesInterseccin de IdealesEjercicio 1.Ejercicio 2.Demostracin Ejercicio 1.Slide Number 15