BARISAN DAN DERET - · PDF fileContoh Soal 1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika : ... NOTASI SIGMA Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat

1 |

BARISAN DAN DERET

A. POLA BILANGAN

Berbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai

pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak

bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil

ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,… yaitu 9.

B. BARISAN BILANGAN

Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis

secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut

suatu aturan tertentu.

Contoh :

a. 1, 3, 5, ⋯

b. 10, 9, 8, 7, ⋯

Contoh Soal

1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika :

a. 𝑈𝑛 = 𝑛2

𝑛 + 1

b. 𝑈𝑛 = 𝑛 + 1

𝑛2 − 2𝑛 + 1

c. 𝑈𝑛 = 1

(4𝑛−3)(2𝑛−1)

2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan

rumus sederhana suku ke – n !

2 |

a. −8, −4, 0, ⋯

b. 1, √2, 2, ⋯

c. 4, 2, 1, ⋯

3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut.

a. −1, −1

2, −

1

4, −

1

2, ⋯

b. 1

1 × 2,

1

3 × 4,

1

5 × 8,

1

7 × 16, ⋯

c. 1

2,

1

2√2 ,

1

2√3,

1

2√4, ⋯

d. √5 − √2, √7 − √4, √9 − √6, ⋯

e. 1

√2 + 1,

1

√3 − √2,

1

2 + √3,

1

√5 − 2, ⋯

4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛. Suku ke-2

dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63.

a. Hitunglah 𝑎 dan 𝑏 serta rumus umum suku ke-n

b. Tentukan suku ke-10

5. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus :

𝑈𝑛 = (−1)𝑛 𝑛3 − 1

𝑛2+ 𝑛 + 1

a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15

b. Suku ke berapakah yang nilainya −24

C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan

bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda

“,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.

3 |

Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan

Aritmetika dan barisan Geometri.

1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)

1.1 BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan

menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap

itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.

Contoh-contoh barisan Aritmetika :

1) 1,3,5,.... bedanya b = ...

2) 0,5,10,... bedanya b = ...

3) 100,97,94,... bedanya b = ...

4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .

Suku ke-n barisan aritmetika

Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :

Un a + (n – 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika

a : suku pertama

n : banyak suku

b : beda/selisih

b = 1 nn UU

Contoh 1 : Tentukan beda dari :

a) 1, 5, 9 b) 10,81

2,7,...

Jawab : a) ………….

b) ………….

4 |

Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !

Jawab : ……………

Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !

Jawab : …………..

Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !

Jawab : …………….

Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 21 dan U10 41 . Tentukan

U15 !

Jawab : …………….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !

a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...

b) 1,11

2,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...

2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25

b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40

3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :

a) b = 4, U6 21 , a = ...

b) a = -5, U20 33 , b = ...

c) a = 9, b = -2, Un 19 , n = ...

d) U4 1 , U7 8 , a = ... , b = ...

e) U3 71

2 , U6 15 , U10 ...

5 |

4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan

hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !

6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali

menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000

jika bunganya tidak diperhitungkan !

1.2 DERET ARITMETIKA

Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat

deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.

Jumlah n suku pertama deret aritmetika

abababUbUUS

UbUbUbabaaS

UUUUUS

nnnn

nnnn

nnn

)()2(.......)2()(

)()2(..........)2()(

....... 1321

+

)(2

)()()(........)()()(2

nn

nnnnnnn

UanS

UaUaUaUaUaUaS

S n a Un n 1

2( ) , karena U a n bn ( )1 , maka :

])1(2[2

1bnanSn Sn : jumlah n suku pertama

U S Sn n n 1

Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !

a) 1+3+5+...sampai 50 suku

b) 2+5+8+...+272

Jawab : a) ……………..

6 |

b) …………….

Contoh 2: Tentukan 𝑥 jika 5+7+9+……+ x = 192

Jawab : ……………

Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4

tetapi tidak habis dibagi 5 !

Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + ……….. + 100 = 1S =……..

Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 +

80 + 100 = 2S = ……

Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 =

1S - 2S = ……..

Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn 2

Jawab : …………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku

b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53

d) 25+21+17 + ... + 1

2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441

b) 1+5+9+ ... + x = 561

3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :

a) a = 2, S b22 737 , ...

b) b=5, U S10 1546 , ...

c) U U S4 7 109 18 , , ...

4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi

tidak habis dibagi 3

7 |

6. Tentukan U8 jika S n nn 2 2

2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)

2.1 BARISAN GEOMETRI

Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan

tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio

(pembanding) dilambangkan dengan r.

Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...

Jawab : …………

Suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama u a1 dan rasio = r, maka :

1 n

n arU

Dimana 1

n

n

U

Ur

Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....

Jawab : …………….

Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...

Jawab : ………………

8 |

Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4 dan U5 16 . Tentukan U8 !

Jawab : ……………….

Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan

hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !

Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrxr

x,, maka

32727.. 3 xxxrxr

x

Jadi

9,3,13

1,3,93

1

0)3)(13(0310313333 2

abilangannyr

abilangannyr

rrrrrxrr

Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !

Jawab : ……………..

LATIHAN SOAL

1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :

a) 1,3,9,..... suku ke-7

b) 3,6,12,....suku ke-8

c) 16,8,4, ... suku ke-10

2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :

a) 1

4

1

21, , ,....

9 |

b) 2 2 2 4, , ,....

3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :

a) a U U 4 324 6, , ...

b) b U a 1

335, , ...

c) U U U3 6 58 64 , , ...

d) U U U3 5 21 25 , , ...

4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan

hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !

5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !

6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap

bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul

21.20 !

2.2 DERET GEOMETRI

Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat

deret geometri.

Jumlah n suku pertama deret geometri

nnn

n

nnn

n

ararararararrS

rxarararararaS

1232

1232

.............

..............

-

n

nn ararSS

1,1

)1(

1

)1(

r

r

ra

r

raS

nn

n dimana U S Sn n n 1

10 |

Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....

Jawab : ……………

Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243

Jawab : ………………

Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552 .... n

Jawab : ………………

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dari :

a) 1

4

1

21 10 .... ...S

b) 36+18+9+.... S6 ...

c) 2 2 2 2 8 ... ...S

2. Tentukan jumlah dari :

a) 1/3+1+3=....+81

b) 32+16+8+....+1/8

3. Tentukan n jika :

a) 3 3 3 3 3632 3 ... n

b) 2 2 2 2 10222 3 1 ... n

4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

a) U U S1 3 550 200 , , ...

11 |

b) a r S nn 1 3 29524, , , ...

c) S r a8 155

6

1

2 , , ...

5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah

27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk

semula !

2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Sa r

r

a

r

r

rn

n n

( )1

1 1 1

Untuk n maka :

S n

Lim )

11(

r

r

r

a n

Untuk –1 < r < 1 maka :

Srr

a

1

0

1 sehingga S

r

a

1 syarat –1 < r < 1

Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah)

jika –1 < r < 1

Contoh 1: Hitung ....4

1

2

11

Jawab : ………………

Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + …. (Beri alasannya !)

Jawab : ……………….

12 |

Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama

dengan 9, maka tentukan rasionya !

Jawab : …………………….

LATIHAN SOAL

1. Hitunglah jumlahnya dari :

a. 32+16+8+…. e. 0,1+0,01+0,001+….

b. 125+5+1+…. f. 8+2+1/2+….

c. 12+8+16/3+…. g. 1+1+1+….

d. 1/2+1/3+2/9+…. h. ....122

2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :

a. r = -2/5, S 15 maka a = ….

b. a = 2, 8

13 U maka S ….

c. 27

1,9 72 UU maka S ….

d. 8

1,

2

9531 UUU maka S ….

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi

semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti

4.

Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di

samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas

keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.

13 |

5. NOTASI SIGMA

Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat

keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan ""

b

ai

ix

dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan

ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks

menggunakan huruf kecil.

b

ai

x1 dibaca “sigma dari ix untuk harga i dari a sampai b”.

Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari

5

1

)12(k

k

Jawab :

5

1

)12(k

k = ………………… = …………

Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + ……. +

28

Jawab : 1 + 4 + 7 + ……. + 28 = …………..

Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi

rumus sigma sifatnya tidak unik.

ck

cn

cn

k

n

n xx0

14 |

Contoh 3 : Ubahlah

5

0

)34(k

k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !

Jawab :

12

7

75

7

5

0

)254(3)7(4)34(kkk

kkk

LATIHAN SOAL

1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :

n

k

k

n

k

ki

i

k

xe

n

nd

kc

ib

ka

1

6

0

10

1

7

3

2

7

1

2.

2.

3)1(.

.

)45(.

2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :

144.........941.

56.........642.

256.......421.

20

21......

3

4

2

32.

101......261710.

41......951.

74......852.

g

f

e

d

c

b

a

3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5

15 |

n

i

x

x

n

k

i

id

c

nb

ka

0

10

7

10

3

8

0

2

1.

2.

)210(.

)43(.

6. INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus

dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.

Misalkan Pn suatu pernyataan dan nAsli sedemikian sehingga :

1. nP benar untuk n = 1

2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n

sehingga menyebabkan 1kP benar pula, maka nP benar untuk n

Asli. Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan

jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan

jatuh pula.

Contoh 1 : Buktikan )1(2

.....321 nn

n dengan menggunakan

induksi matematika !

Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11(2

1 benar.

Misal untuk sembarang n = k maka )1(2

.....321 kk

k benar.

Sehingga untuk n = k+1 :

16 |

)2(2

1

2

)1(2)1(

2)1()1(

2)1(......321

k

kkk

kkk

kkk

benar.

Jadi )1(2

.....321 nn

n benar untuk nAsli.

LATIHAN SOAL

Buktikan dengan induksi matematika !

738.9

33.8

2.7

1222........222.6

)11(2

5)530(.......152025.5

11)212(.....6810.4

2

)15()35(.......1272.3

)12(.......531.2

)1(2.....642.1

2

3

2

32

2

2

n

nn

darifaktor

nndarifaktor

nndarifaktor

nnn

nnn

nnn

nn

nnn