135 Barisan dan Deret Bilangan 6 Bab Sumber: www.scatork.com Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran yang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk? Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harus mempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materi yang dibahas pada bab ini. A. Pola Bilangan B. Barisan dan Deret Bilangan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
23
Embed
Barisan dan Deret Bilangan - Syarifahmads's Blog · PDF file135 Barisan dan Deret Bilangan Bab 6 Sumber: Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran yang baru kamu kenal.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
135
Barisan danDeret Bilangan
6BabSumber: www.scatork.com
Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran
yang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangan
sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan
teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini.
Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai
100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun barat
dan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depan
di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk
tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.
Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika
terdapat 25 baris tempat duduk?
Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harus
mempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materi
yang dibahas pada bab ini.
A. Pola Bilangan
B. Barisan dan Deret Bilangan
Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deret
bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan
cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan
suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukan
jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta
memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.
136 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
4. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 6 antara 1 dan 100.
5. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 10 dari 10 sampai dengan 250.
Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu.
Tes Apersepsi Awal
1. Sebutkanlah bilangan genap positif yang kurang dari 20.
2. Sebutkanlah bilangan ganjil positif antara 11 dan 30.
3. Sebutkanlah bilangan kuadrat dari 1 sampai dengan 15.
Diagram Alur
Barisan dan Deret Bilangan
Pola Bilangan
Barisan Bilangan Deret Bilangan
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Barisan Geometri
Deret Geometri
• Pola bilangan ganjil• Pola bilangan genap• Pola bilangan segitiga• Pola bilangan persegi• Pola bilangan persegipanjang
materi dasarnya membahas tentang
misalnya
terdiri atas terdiri atas
A. Pola BilanganGambar 6.1 memperlihatkan gedung pertunjukan yang
mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan.
Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak
bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil
yang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu:
1 + 3 = 22,
1 + 3 + 5 = 32,
1 + 3 + 5 + 7 = 42, dan seterusnya.
Jika kamu amati, akan diperoleh:
a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan
kuadrat dari bilangan 2,
b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan
kuadrat dari bilangan 3,
c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama
dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.
Sekarang, amatilah pola bilangan dari perhitungan berikut
ini.
22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1,
32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2,
42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3,
52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4, dan seterusnya.
Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih dari kuadrat bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilangan
berurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara
aljabar berikut ini.
InfoMatika
Blaise Pascal(1623–1662)
Blaise Pascal, ilmuwan berkebangsaan Prancis yang merupakan keajaiban dalam dunia matematika. Segitiga Pascal yang ditunjukkan di sini telah dikenal selama 600 tahun. Kemudian, ia menemukan bahwa banyak dari sifat-sifat segitiga dihubungkan dengan barisan-barisan dan deret-deret yang istimewa.Sumber: Ensiklopedi Matematika
& Peradaban Manusia, 2002
140 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Misalkan, bilangan yang berurutan itu adalah a dan a + 1
maka
(a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 – a2
= 2a + 1 = (a + 1) + a
Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap a
Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan)
tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya,
barisan bilangan
a. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116
b. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan
c. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98.Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari
bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan bilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang.
Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan bilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61.
Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai
suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan.
2. Deret Bilangan Amati kembali barisan-barisan bilangan berikut.
a. 40, 44, 48, 52, 56,
b. 1, 3, 5, 7, 9,
c. 2, 4, 6, 8, 10.
Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh
penjumlahan berikut.
a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56,
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10.Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut
dinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U
2, U
3, ..., U
n
adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U
2 + U
3 + ... + U
n
dinamakan deret.
InfoMatika
Terdapat dua macam deret bilangan berdasarkan atas banyaknya suku pada deret tersebut, yaitu deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah suatu deret yang banyak sukunya terbatas. Contoh, 1 + 2 + 3 + ... + 100. Deret ini ditulis dengan notasi U1 + U2 + ... + Un. Adapun deret tak berhingga adalah deret yang banyak sukunya tak terbatas.Contoh, 1 + 2 + 3 + .... Deret ini biasanya ditulis dengan notasiU1 + U2 + U3 + ....Dapatkah kamu membedakan kedua macam deret tersebut? Coba beri contoh lain deret berhingga dan deret tak berhingga.
a. 13 + 23 + 33 + 43 + 53
b. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63
c. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73
d. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83
8. Tentukan urutan bilangan yang habis
dibagi:
a. 10; c. 2;
b. 5; d. 3.
142 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
3. Barisan Aritmetika Amati keempat barisan bilangan berikut.
a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,
b. 99, 96, 93, 90, ..., Un,
c. 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un,
d. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.
Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu
tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan
pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang
demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua
suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan
(c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d)
merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu.
Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan
dinama kan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum,
barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut.
Suatu barisan U1, U
2, U
3, ..., U
n, U
n + 1
dinamakan barisan
aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi
Un + 1
– Un = U
n – U
n–1 = ... = U
2 – U
1 = b.
Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan
beda b maka barisan aritmetika U1, U
2, U
3, ..., U
n menjadi
a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b
U1
U2 U
3 U
n
Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika
dirumus kan sebagai berikut.
Un = a + (n – 1) b
Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1
dengan
mengguna kan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?
Contoh 6.1
1. Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan
barisan aritmetika atau bukan.
a. 1, –1, –3, –5, –7, –9, –11, –13, –15
b. 2, –2, 2, –2, –2
Penyelesaian:
a. Barisan aritmetika dengan b = –1 – 1 = –3 – (–1)
= –5 – (–3) = –2
Berikut adalah sekumpulan bilangan yang di antaranya terdapat beberapa bilangan yang memenuhi rumus
Un = n( )n
2
Jika U1 = 1, hubungkanlah bilangan-bilangan yang memenuhi rumus tersebut dengan garis. Bentuk apakah yang kamu peroleh?
Matematika Ria
•3
•20
•1
•6•
91•
82•
44
•4
•7
•8
•15
•78
•10
•17
•66
•55
•21
•45
•36
•11
•28
Barisan dan Deret Bilangan 143
b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang
berurutan tidak sama atau tidak tetap.
2. Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3
kurang dari 100.
Penyelesaian:
Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100
adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99.
a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b
U20
= 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60
Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang
dari 100 adalah 60.
3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui
a = 5 dan b = 2
5.
Penyelesaian:
U1 = a = 5 dan b =
2
5
U2 = a + b = 5 +
2
5 = 5
2
5
U3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2
2
5 = 5
4
5
U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 5 + 3
2
5 = 6
1
5
U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b = 5 + 4
2
5 = 6
3
5
Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 52
5, 5
4
5,
61
5, dan 6
3
5.
4. Deret AritmetikaBerdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3,
dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut.
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un.
Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai
Un semakin besar.
b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un.
Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai
Un semakin kecil.
Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret
aritmetika sebagai berikut.
Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut
dilambangkan dengan Sn maka
Siapa Berani?
1. Di antara barisan-barisan bil angan berikut, selidiki manakah yang merupakan barisan aritmetika?
a. 5, 4 12
, 4, 3 12
,
3, 2 12
b. 2, 1, 12
, 14
, 18
c. 5, 112
, 16,
21 12
, 27
2. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui
u6 = 9 dan u10 = 24.
Catatan
Jika aturan suatu barisan aritmatika ditambah b maka suku ke-n akan memuat b × n, yaituUn = b × n + ... atau Un = b × n – ...Contoh:Tentukan rumus suku ke-n dari 7, 10, 13, 16, ..., 64.Penyelesaian:Oleh karena aturannya ditambah tiga maka suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 7 = 3 × 1 + 4 U2 = 10 = 3 × 2 + 4 U3 = 13 = 3 × 3 + 4(Nilai 4 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti suku barisan yang dimaksud). Uraian tersebut menggambar-kan rumus suku ke-n dari barisan 7, 10, 13, 16, ..., yaitu Un = 3 × n + 4 = 3n + 4.
144 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Sn =
n
2(2a + (n – 1)b)
Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus S
n dapat dituliskan
sebagai berikut.
Sn =
n
2(a + U
n) atau S
n =
n
2(U
1 + U
n)
Dapatkah kamu menemukan rumus Sn + 1
dengan
menggunakan rumus Sn yang telah kamu ketahui?
Contoh 6.2
1. Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang
habis dibagi 7.
Penyelesaian:
Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis
dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994.
Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan
a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga
Un = a + (n – 1)b 994 = 252 + (n – 1)7
994 = 252 + 7n – 7
994 = 245 + 7n
7n = 994 – 245
7n = 749
n = 107
Sn = n
2(a + U
n) maka S
107 = 107
2(252 + 994) = 66.661
Jadi, jumlahnya adalah 66.661.
2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan
dengan Sn = 5n2 – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret
tersebut.
Penyelesaian:
Jumlah n suku pertama adalah Sn = 5n2 – 4n
Jumlah (n – 1) suku pertama adalah
Tugas untukmu
Dapatkah kamu membuktikan bahwa pada deret aritmetika berlaku Un = Sn – Sn – 1?Tuliskan hasil pembuktian tersebut pada buku tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu.
Hal Penting
• pola bilangan• barisan aritmetika• barisan geometri• deret aritmetika• deret geometri• sukubeda• segitiga Pascal• jumlah n suku pertama
Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah Un = 10n – 9.
Contoh 6.3
Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah
mobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan
konsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut
memutuskan untuk mening katkan jumlah produksinya dengan
menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi
awal tiap tahunnya. Tentukanlah:
a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun ke-
delapan;
b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan
tahun kedelapan.
Penyelesaian:
Langkah 1Menentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui: Suku pertama (a) = 3.000
Beda (b) = 10% × 3.000 = 300
n = 8
Ditanyakan:
a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan
(U8).
b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai tahun
kedelapan (S8).
Langkah 2a. Menentukan U
8 dengan menggunakan rumus
Un = a + (n – 1)b, sebagai berikut.
U8 = a + (8 – 1)b = a + 7b
= 3.000 + 7 (300) = 5.100
Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun
kedelapan adalah 5.100 buah.
Langkah 3b. Menentukan S
8 dengan menggunakan rumus
Sn = n
2 (a + U
n), sebagai berikut
S8 =
8
2(3.000 + U
8) = 4 (3.000 + 5.100) = 32.400
Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai
tahun kedelapan adalah 32.400 buah.
Siapa Berani?
1. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus
Sn = 2n2 + 3n. Tentukan suku ke-n dan beda (b) deret tersebut.
2. Sebuah perusahaan kompor memproduksi 4.000 buah kompor di tahun pertama produksinya. Setiap tahun jumlah produksinya bertambah dengan jumlah yang sama. Total produksi sampai dengan tahun kedelapan adalah 37.600 buah.a. Berapa
penambahan produksi setiap tahunnya?
b. Berapa kompor yang diproduksi pada tahun kesepuluh?
3. Seorang pengusaha kecil meminjam modal m rupiah dari suatu bank dengan suku bunga tunggal 1,2% per bulan. Setelah setahun pengusaha itu mengembalikan pinjaman dan bunga sebesar 57.200.000,00. Berapa rupiah modal yang dipinjam pengusaha tersebut?
Tugas untukmu
Coba kamu gunakan kalkulator untuk mencari S107 dari Contoh 6.2 nomor 1 tersebut. Apakah hasil yang kamu peroleh adalah 275?
146 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
5. Barisan Geometri
Amatilah ketiga barisan berikut ini.
a. 5, 15, 45, 135,
b. 160, 80, 40, 20,
c. 2, 8, 24, 120.
Pada barisan (a) tampak bahwa 15
5 = 45
15 = 135
45 = 3.
Jadi, perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan
tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki
perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan,
yaitu 1
2. Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan
geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan
pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan
barisan geometri.
Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan
geometri dinamakan pembanding atau rasio, dilambangkan
dengan p.
Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai
berikut.
Suatu barisan U1, U
2, U
3, ..., U
n, U
n+1 dinamakan barisan
geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlakuU
Un
n
1 = U
Un
n 1
= U
Un
n
1
2
= ... = U
U2
U
1UU
= p
Jika suku pertama barisan geometri adalah a dengan
pembandingnya p maka barisan geometri U1, U
2, U
3, ..., U
n
dinyatakan dengan
a, ap, ap2, ..., apn–1, ...
U1, U
2, U
3, ..., U
n
sehingga rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai
berikut.
Un = apn–1
Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1
dengan meng-
guna kan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui?
Contoh 6.4
1. Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan
geometri atau bukan.
InfoMatika
Johan Gauss(1771–1885)
Banyak orang mengatakan, Johan Gauss adalah seorang jenius dalam aritmetika. Ketika ia berusia 9 tahun, seorang guru menyuruh murid-murid di kelasnya untuk menjumlahkan deret bilangan 1 + 2 + 3 + ... + 40. Gauss hanya memerlukan waktu beberapa saat saja untuk memperoleh jawaban (820), bahkan tanpa menulis sesuatu. Ia mendapat jawaban dalam otaknya dengan menyadari jumlah itu dapat dipikirkan sebagai berikut: (1 + 40) + (2 + 39) + ... + (20 + 21) = 41 + 41 + ... + 41 = 20 × 41 = 820.Raja sangat kagum akan kemampuan Gauss muda sehingga raja bersedia membayar biaya pendidikannya. Akhirnya, Gauss menjadi salah satu ahli matematika terkemuka di dunia. Ia juga meninggalkan hasil karyanya dalam bidang astronomi, pengu kuran tanah, dan elektromagnetisme.Sumber: Khazanah Pengetahuan
Bagi Anak-Anak Matematika, 1979
Barisan dan Deret Bilangan 147
a. 1, 4, 16, 64, 256
b. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
Penyelesaian:
a. Barisan geometri karena perbandingan dua suku ber-
urutan sama, yaitu 4
1 = 16
4 = 64
16 = 256
64 = 4.
b. Bukan barisan geometri karena perbandingan dua suku
berurutan tidak sama, yaitu 3
1
5
3.
2. Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan
2, 6, 18, 54, ..., 39.366
Penyelesaian:
a = 2 dan p = 6
2 = 18
6 = 3
Un = apn–1 sehingga U
8 = 2 × 38–1 = 2 × 37 = 4.374.
Jadi, pembanding (rasio) = 3 dan suku ke-8 = 4.374.
6. Deret Geometri
Seperti yang telah kamu ketahui, jika U1, U
2, U
3, ..., U
n adalah
barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ap, ap2,
ap3, ..., apn–1. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapat
memperoleh barisan penjumlahan berikut.
a + ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1
Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri. Misalkan,
jumlah n suku pertama deret geometri dilambang kan dengan
Sn maka berlaku hubungan berikut.
Sn = a + ap + ap2 + ... + apn–2+ apn–1
pSn = ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 + apn
(1 – p)Sn = a – apn
= a(1 – pn)
Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret
geometri adalah sebagai berikut.
Sn =
a
p1
pn1; p < 1 atau S
n =
a
p
pn
1; p > 1
Contoh 6.5
Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan
2, 6, 18, 54, ....
InfoMatika
Fibonacci(1180–1250)
Fibonacci mempunyai nama lengkap Leonardo of Pisa. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber Abaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yang membawanya kepada apa yang sekarang dikenal sebagai Barisan Bilangan Fibonacci. Barisannya adalah 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... Setiap bilangan dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ...). Barisan Fibonacci bisa diteliti dalam susunan daun bunga atau segmen-segmen dalam buah nanas atau biji cemara. Sumber: Ensiklopedi Matematika
& Peradaban Manusia, 2002
Tugas untukmu
Apakah mungkin suatu barisan aritmetika juga merupakan barisan geometri?Coba selidiki olehmu. Berikan beberapa contoh lalu amati. Kemudian, tulislah hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu dan kumpulkan pada gurumu.
148 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
Penyelesaian:
a = 2 dan p = 6
2 = 18
16 = 3
Sn =
a
p
pn
1 sehingga
S8 =
2
3 1
3 18
= 2 561 1
2
( .6 ) = 6.560
Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 6.560.
2. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan
dengan Sn = 23n – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut.
Penyelesaian:
Sn = 23n – 1 maka
Sn–1
= 23(n–1) – 1 = 23n–3 – 1 = 2
2
3
3
n
– 1
Un = S
n – S
n – 1 = (23n – 1) – 2
21
3
3
n
= 23n – 2
8
3n
= 8 2 2
8
3 32 n32 = 7 2
8
3n
= 7
8 × 23n
Contoh 6.6
Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008
adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di
kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di
kabupaten itu pada 1 Januari 2018.
Penyelesaian:
Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui:
Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.
Langkah 2Membuat model matematika dari masalah tersebut.
Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah
U1 = 50.000 maka diperoleh model berikut.
U2 = 50.000 + 0,1(50.000) (gunakan sifat distributif)
Apabila aturan suatu barisan geometri dikali dengan p, maka suku ke-n akan memuat pemangkatan dari p.Contoh:Tentukan rumus suku ke-n dari 9, 27, 81, ....Penyelesaian:Oleh karena aturannya dikali tiga maka suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 9 = 31 + 1 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti suku barisan yang dimaksud.U2 = 27= 32 + 1 U3 = 81= 33 + 1
Uraian tersebut menggambar kan rumus suku ke-n dari barisan 9, 27, 81, ..., yaitu Un = 3n + 1.
Tugas untukmu
Dapatkah kamu membuktikan bahwa pada deret geometri berlaku Un = Sn – Sn – 1? Tuliskan hasil pembuktian tersebut pada buku tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu.
Dari suatu deret geometri diketahui Sn = 150, Sn + 1 = 155, dan Sn + 2 = 157,5. Tentukan suku pertama deret tersebut.
Langkah 3Menentukan jumlah penduduk pada 1 Januari 2018.
Amati bahwa barisan yang diperoleh pada Langkah 2 adalah
barisan geometri dengan suku pertama U1 = a = 50.000 dan
pembanding p = 1,1. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018
adalah suku ke-11 atau U11
. Mengapa? Coba kamu jelaskan
alasannya.
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka
U11
= 50.000(1,1)11 – 1 = 50.000(1,1)10 = 129.687,123
Jadi, jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 adalah 129.687 jiwa.
Contoh 6.7
Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00.
Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual)
sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual
mobil tersebut pada akhir tahun keenam?
Penyelesaian:
Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.
Diketahui: Harga mobil baru Rp200.000.000,00
Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahun
Ditanyakan: harga jual mobil pada akhir tahun keenam.
Langkah 2Membuat model matematika dari masalah pada soal, sebagai
berikut. Misalnya harga mobil baru adalah a = 200.000.000,00
dengan demikian diperoleh model berikut.
U2 = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000) (gunakan sifat
= 200.000.000 (1 – 0,2) distributif)
= 0,8 × 200.000.000
U3 = 0,8 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000)
Siapa Berani?
1. Awal bulan, Pak Tobing menabung di suatu bank se besar Rp100.000,00 dengan suku bunga majemuk 1% per bulan. Berapa rupiah jumlah tabungan Pak Tobing setelah disimpan selama 1 tahun?
2. Seekor ikan berenang lurus dengan kecepatan tetap 32 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepatannya menjadi 23
-nya, demikian
seterusnya setiap jam kecepatannya menjadi 23
kecepatan jam
sebelumnya. Berapa kilometer jarak yang ditempuh ikan tersebut pada 8 jam pertama?
Catatan
Perhitungan suku bunga majemuk adalah perhitungan bunga yang akan diperoleh pada bulan atau tahun berikutnya, dihitung dari saldo pada bulan atau tahun sebelumnya. Penjelasan lebih dalam tentang materi ini akan kamu temui di tingkat SMA/SMK
150 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
= 0,8 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif)