Báo cáo tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích

Giới thiệu bài toánHàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

Điểm tới hạn và nghiệm yếuĐịnh lý Mountain Pass

Bổ đề cần dùngKết luận

Tài liệu tham khảo

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính vớibước nhảy phi tuyến vô định á tuyến tính

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Ngày 14 tháng 7 năm 2015

Đặng Trường - Trần Hòa Phú Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với bước nhảy phi tuyến vô định á tuyến tính





1 Giới thiệu bài toán

2 Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

3 Điểm tới hạn và nghiệm yếu

4 Định lý Mountain Pass

5 Bổ đề cần dùng

6 Kết luận

7 Tài liệu tham khảo






Giới thiệu bài toán

Trong tiểu luận này, chúng tôi kiểm chứng chi tiết các chứng minhtrong bài báo "Multiple positive solutions for quasilinear problemswith indefinite sublinear nonlinearity" của Francisco Odair de Paivacông bố trên Nonlinear Analysis 71 (2009) trang 1108-1115. Trongbài báo đó, người ta tìm nghiệm bội không tầm thường và khôngâm của bài toán tựa tuyến tính

−4pu = h(x)uα−1 + g(x , u) trên Ω

u ≥ 0 trên Ω (1.1)

u = 0 trên ∂Ω

với Ω ⊂ RN là miền trơn bị chặn, 1 ≤ α < p






Giới thiệu bài toán (tt)

g : Ω× R→ R Caratheodory sao cho g(x , t) = 0, với mọi t ≤ 0và h thỏa

h ∈ Lσα , ở đây σα :=

(p∗

α

)′

nghĩa là1

σα+α

p∗= 1 (1.2)

với p∗ = pN/(N − p) nếu 1 < p < N và p∗ =∞ nếu 1 < N ≤ p.

Giả sử g subcritical growth, tức là

|g(x , t)| ≤ c |t|q−1 + b(x), a.e in Ω, t ∈ R. (1.3)

với q ∈ (p, p∗), b ∈ Lq′(Ω), q = p∗/s và p < s < p∗, c là một

hằng số.







Giả sử có hai hàm k và L thuộc Lr với r > N/p nếu 1 < p ≤ N vàr = 1 nếu p > N, k và L được định nghĩa bởi

k (x) = liminft→∞

g (x , t)

|t|p−2 t

L (x) = limsupt→0

pG (x , t)

|t|p

có phần dương không tầm thường, các giới hạn là đều theo x trênΩ.







Hơn nữa h+ 6= 0 và có các hàm a ∈ Lr và d ∈ Lp′sao cho

|g(x , t)| ≤ a(x) |t|p−1 + d(x) (1.6)

Cho µ1 (k) < 1 < µ1 (L), thì tồn tại λ > 0 sao cho bài toán củachúng ta có ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thường nếu

(a) 1 < α < p và ‖h+‖Lσα < λ, hoặc

(b) α = 1, h(x) ≥ 0 và ‖h‖Lσα < λ

Đây là kết quả chính trong bài báo của Francisco Odair de Paivanói trên.






Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

Định nghĩa (Hàm Caratheodory)

Cho Ω mở, bị chặn trong Rn. Ánh xạ f : Ω× R→ R được gọi làCaratheodory nếu(i) Với mỗi s ∈ R thì ánh xạ x → f (x , s) đo được trong Ω.(ii) Với hầu hết x ∈ Ω thì ánh xạ s → f (x , s) là liên tục trong R






Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii (tt)

Đặt M = u : Ω→ R, u đo đượcNếu f : Ω× R→ R là Caratheodory thì với mỗi u ∈ M, ánh xạNf u : Ω→ R định nghĩa bởi

(Nf u)(x) = f (x , u(x)) với x ∈ Ω

Một hàm Caratheodory f : Ω× R→ R xác định một toán tửNf : M → M, được gọi là toán tử Nemytskii.






Điểm tới hạn và nghiệm yếu

Định nghĩa (Điểm tới hạn)

Cho E là không gian Banach và Φ : E → R là hàm khả vi Frechet.Khi đó u ∈ E được gọi là điểm tới hạn (critical point) của Φ nếuDΦ(u) = 0 trong E ∗ hay

DΦ(u)(v) = 0 ∀v ∈ E .






Điểm tới hạn và nghiệm yếu (tt)

Gọi u là nghiệm mạnh của bài toán (1) thì u ∈ C 2(Ω) ∩ C (Ω).Đặt

Φ(u) =1

p

∫Ω|∇u|pdx − 1

αh(x)(u+)α −

∫ΩG (x , u)dx u ∈W 1,p

0

DΦ(u)(v) =

∫Ω|∇u|p−2∇u∇v−

∫Ωh(x)(u+)α−1v−

∫Ωg(x , u)vdx

Từ đây ta thấy u là nghiệm yếu của (1) khi và chỉ khi u là điểm tớihạn của Φ






Định lý Mountain Pass

Định nghĩa (Điều kiện Palais-Smale)

Cho E là một không gian Banach và Φ ∈ C 1(E ,R). Ta nói Φ thỏađiều kiện Palais-Smale(PS), nếu với mọi dãy un ⊂ E sao choΦ(un) bị chặn và Φ′(un)→ 0 trong E thì có dãy con hội tụ.






Định lý Mountain Pass (tt)

Định lý (Moutain Pass)

Cho E là một không gian Banach và Φ ∈ C 1(E ,R). Giả sử Φ thỏaPalais-Smale, Φ(0) = 0 vài)tồn tại hằng số p, α > 0 để Φ|∂B(0,p) ≥ αii) tồn tại e ∈ E \ B(0, p) sao cho Φ(e) ≤ 0. Khi đó Φ có điểm tớihạn c ≥ α và c có dạngvói Γ = g ∈ C ([0, 1],E )|g(0) = 0, g(1) = e






Bổ đề cần dùng

Bổ đề

Với điều kiện (1.6) và µ1(k) < 1 < µ1(L) ta có hàm Φ thỏaPalais-Smale

Bổ đề

Với điều kiện (1.3),‖h+‖Lσα đủ nhỏ và µ1(L) > 1 thì sẽ tồn tạia > 0, p > 0 sao cho nếu ‖u‖ = p thì Φ(u) ≥ a > 0






Bổ đề cần dùng (tt)

Bổ đề

Do L(x) = lim supt→0

pG (x , t)

|t|pđều nên tồn tại u ∈W 1,p

0 thỏa

‖u‖ < ρ và Φ(u) < 0






Chứng minh định lý

Do bổ đề 2 nên hàm Φ thỏa điều kiện Mountain Pass và tồn tạiu1 ∈W 1,p

0 là điểm tới hạn không tầm thường của Φ thỏa mãnΦ(u1) > 0.Do bổ đề 3 kết hợp Φ thỏa Palais-Smale nên cực tiểu của Φ trongBρ(0) đạt được trong quả cầu mở tương ứng nên tồn tại điểm tớihạn u2 không tầm thường của Φ với Φ(u2) < 0 và ‖u2‖ < ρ.






Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã làm được những công việc sau:1. Trình bày một cách hệ thống, rõ ràng về các không gian Lp (Ω)và các không gian Sobolev W 1,p

0 (Ω) cùng các định lý nhúng liêntục, nhúng compact Rellich-Kondrachov vốn là những công cụ đắclực trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, nhất là cácphương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà phương trình p-Laplacetrong luận văn của chúng tôi là một ví dụ điển hình. Hơn nữachúng tôi chỉ rõ trong bài toán đang xét, với các điều kiện của Ωphép nhúng W 1,p(Ω) ⊂ L∞ (Ω) (p > N) là compact. Kết quả nàyđược kết hợp với định lý Dunford-Pettis (sẽ nói rõ hơn ngay sauđây) để chứng minh bổ đề 1 trang 29 của luận văn.






Kết luận (tt)

2. Phát biểu định lý Dunford-Pettis (định lý 1.21 trang 23 của luậnvăn), điều kiện cần để một dãy bị chặn trong L1 (X , µ) có dãy conhội tụ yếu cùng hệ quả của định lý này (hệ quả 1.2 trang 23 củaluận văn), được sử dụng trong chứng minh hàm Φ thỏa điều kiệnPalais-Smale (bổ đề 1 trang 29 của luận văn). Cụ thể hơn, dùnghệ quả của định lý Dunford-Pettis, chúng tôi chứng minh đượcg(x , un)

‖un‖p−1 g0 trong Lp (Ω) với p = 1 nếu p ≥ N . Ngoài ra chúng

tôi cũng chứng minhg(x , un)

‖un‖p−1 g0 trong Lp (Ω) với p > p∗′ nếu

p < N (trang 30 của luận văn). Trong bài báo của mình, tác giảFancisco Odair de Paiva chỉ nói lướt qua chỗ này mà không đưa rachứng minh cụ thể.






Kết luận (tt)

3. Chứng minh hàm Φ ∈ C 1(W 1,p

0 (Ω) ,R)(mệnh đề 2 trang 25

của luận văn). Trong bài báo của mình, tác giả Fancisco Odair dePaiva chỉ nói lướt qua chỗ này mà không đưa ra chứng minh cụthể. Từ việc tính cụ thể đạo hàm Fréchet của hàm Φ, chúng tôixây dựng dạng hình học Mountain pass của phiếm hàm năng lượngΦ. Một lần nữa bài báo của tác giả Fancisco Odair de Paiva khôngnhắc đến điều này.4. Chúng tôi kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lýFatou cho liminf (trang 38 và trang 40 của luận văn). Trong bàibáo của mình, do cấp độ là một công trình khoa học cấp cao nêntác giả Fancisco Odair de Paiva không đưa ra chứng minh cụ thểtrong việc kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lý Fatoucho liminf.






Kết luận (tt)

5. Phát hiện và chỉnh sửa một số lỗi sai trong bài báo của tác giảFancisco Odair de Paiva. Các lỗi này là thiếu hoặc dư số α trongcác đẳng thức (trang 1112 dòng cuối từ dưới đếm lên của [10]trong phần Tài liệu tham khảo), chủ yếu do việc đánh máy nhầmgây nên.Ngoài ra còn rất nhiều chỗ chỉ nêu quá ngắn gọn mà chưa cóchứng minh chi tiết. Trong bài báo của mình đăng trên NonlinearAnalysis TMA, chứng minh định lý 1 của tác giả Fancisco Odair dePaiva chỉ dài gần 6 trang. Sau khi cô đọng lại các chứng minh củamình






Kết luận (tt)

(chưa tính phần kiến thức chuẩn bị cùng nhiều kiến thức bổ trợ cótrong các tài liệu mà chúng tôi nghiên cứu, mà thời gian và khuônkhổ của luận văn chưa cho phép chúng tôi trình bày cặn kẽ hếtđược), chúng tôi nhận thấy độ dài phần chính trong luận văn

(chương Áp dụng giải bài toán p-Laplace) là 17 trang.







Robert A. Adams, John J. F. Fournier: Sobolev Spaces,Second Edition, Academic Press, Pure and AppliedMathematics, Volume 140, 2003.

Haim Brezis: Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications,Masson A., 1987.

F.E. Browder: Fixed point theory and nonlinear problems,Proc. Symp. Pure Math. 39 (1983) 4986.

Dương Minh Đức: Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ ChíMinh, 2000.

L.C.Evan: Partial Differential Equations, AmericanMathematical Society (1997).






Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh,Đặng Đức Trọng: Giải tích hàm, 2008.

N.S.Papageorgiou, S.T.Kyritsi-Yiallourou: Handbook ofApplied Analysis, Advances in Mechanics and Mathematics,Springer 2009.

I. Peral: Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian,International center for theoretical physics trieste, SecondSchool of Nonlinear Functional Analysis and Applications toDifferential Equations (1997).

I.V. Skrypnik: Methods for analysis of nonlinear ellipticboundary value problems, Am. Math. Soc. Transl., Ser. II 139(1994).






Francisco Odair de Paiva: Multiple positive solutions forquasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity,Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115.

Dương Minh Đức, Nguyễn Quang Huy: Non-uniformlyasymptotically linear p-Laplacian problems, Nonlinear AnalysisTMA 92 (2013) 183-197.

G. Dinca, P. Jebelean and J. Mawhin: Variational andtopological methods for Dirichlet problems with p-Laplacian,Portugaliae Mathematica Vol. 58 Fasc. 3 - 2001, Nova Série.






H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick: Real Analysis (FourthEdition), Pearson Education Asia Limited and China MachinePress, 2010.

Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and PartialDifferential Equations, Springer 2011.


Báo cáo tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích

Documents