1 UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA ** BANCO DE PROBLEMAS ** DIRIGIDO A LOS ASPIRANTES A INGRESAR EN EL PRIMER AÑO DE LAS ESCUELAS DE INGENIERIA CIVIL, ELÉCTRICA, INFORMÁTICA Y ELECTRONICA & TELECOMUNICACIONES SEPTIEMBRE 2011 – JULIO 2012
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7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
La Facultad de Ingeniería de la Universidad de Cuenca, una de las más prestigiosa delPaís, por su elevado nivel académico, a través del presente documento hace llegar un
cordial saludo a todos los señores bachilleres, y al mismo tiempo invitarles a que seanparte de nuestra Facultad, participando en el examen de admisión a una de las carrerasque ofrecemos, y cuyos perfiles brevemente nos permitimos describir:
INGENIERÍA CIVIL:Formar profesionales de excelencia, líderes emprendedores con sólidos valores moralesy éticos. Preparados en el campo científico y tecnológico con miras a obtener uningeniero generalista con conocimientos en las áreas de vialidad, construcciones,hidráulica y sanitaria en el que se incluyen aspectos relacionados con la conservacióndel medio ambiente, que contribuyan al desarrollo del país, para mejorarlo en lo social,económico, ambiental y político.
INGENIERÍA ELÉCTRICA:Formar Ingenieros Eléctricos, altamente competitivos, con bases sólidas en el campotecnológico y humanístico; con habilidades y conocimientos en las áreas de gestión yadministración, de manera que apliquen la Tecnología en las áreas de Potencia,Electrónica y Control, a fin de plantear soluciones adecuadas a problemas de lasociedad.
INGENIERÍA DE SISTEMAS:Formar Ingenieros de Sistemas, altamente competitivos, con bases sólidas en el campo
tecnológico y humanístico, de manera que apliquen las Tecnologías de Información yComunicación para proponer soluciones adecuadas para el desarrollo de las empresas einstituciones tanto privadas como públicas.
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES:Proporcionar a la región y al país profesionales altamente capacitados e íntegros en elárea de las telecomunicaciones, quienes a través de su aporte creativo permitan unamayor y mejor participación de los ecuatorianos en la sociedad de la información y lacomunicación.
Considerando la creciente demanda de aspirantes que tiene nuestra Facultad y la
limitada disponibilidad de espacios en aulas y laboratorios, nos obliga a fijar lossiguientes cupos para los nuevos estudiantes que aspiran a ingresar:
Con la finalidad de que los aspirantes tengan una orientación sobre el nivel mínimo deconocimientos requeridos para su ingreso a nuestra Facultad, se pone a consideración eldocumento adjunto que lo hemos llamado BANCO DE PROBLEMAS, que cubre lasáreas de: Algebra, Razonamiento Lógico, Geometría, Trigonometría, Geometría
Analítica, y Física.
Todos los aspirantes, previo al examen de admisión, en forma obligatoria, deberáninscribirse a través del portal web de la Universidad de Cuenca www.ucuenca.edu.ec , enla opción INSCRIPCIONES a partir del 16 de MAYO 2011 hasta el 17 DE JUNIO DE2011.
El examen de admisión se receptará el día miércoles 03 de agosto de 2011 a partir delas 8 horas, y sus resultados serán expuestos como máximo hasta el día jueves 04 deagosto de 2011. TODOS LOS ASPIRANTES PARA RENDIR EL EXAMEN DE
ADMISIÓN DEBERÁN PORTAR SU CÉDULA DE IDENTIDAD O SU PASAPORTE.
Se recomienda a los aspirantes revisar el Anexo 1: Instructivo Básico para rendir elExamen de Admisión.
El Decano
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El concepto de conjunto es aceptado en matemáticas como primitivo, pues es imposible dar una
definición en términos de conceptos más elementales. Es un término no definido. Intuitivamente, un
conjunto es una reunión, colección o agrupación bien definida de objetos, llamados elementos.
NOTACION.- Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, mientras que los elementos con letras
minúsculas, encerrados entre llaves y separados por comas. Ejemplo: El conjunto A, formado por losnúmeros impares positivos menores que 9, entonces: A = { 1, 3, 5, 7 } .
Si un objeto x es elemento de un conjunto A se escribe: x A ; lo que se lee: “ x pertenece al
conjunto A. En caso contrario escribiremos: x ∉∉∉∉ A.
DETERMINACION DE UN CONJUNTO.-
1. POR EXTENSION O TABULACION: Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se
nombra a todos y cada uno de los elementos.
Ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 }
C = { a, b, c, d, e, f }2. POR COMPRENSION O CONSTRUCCION: Un conjunto queda determinado por comprensión
o construcción, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del
conjunto, se emplea generalmente x / x : “ x tal que x ”
Ejemplo: B = { x / x es par positivo menor que 10 }
C = { x / x es una de las primeras seis letras del alfabeto }
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.- La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos
de dicho conjunto y se denota como n( … ). En los … se coloca el nombre del conjunto; así:
Ejemplo: n( B ) = 4
n( C ) = 6
CLASES DE CONJUNTOS.-
1. CONJUNTO FINITO.- Tiene una cantidad de elementos contables.
2. CONJUNTO INFINITO.- Tiene una cantidad ilimitada de elementos, imposible de contar.
3. CONJUNTO VACIO.- Llamado también conjunto NULO; es aquel conjunto que carece de
elementos. Se denota como: { } = ∅ .
Al conjunto vacío se le considera incluido en cualquier otro conjunto.
El conjunto vacío no tiene ningún subconjunto propio y su cardinalidad es n(∅∅∅∅ )))) = 0000
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B = { Cuadriláteros } C = { Triángulos equiláteros }
¿ Cuáles de las regiones enumeradas en el diagrama son conjuntos vacíos ?
a) 3; 5; 7 b) 3; 6; 7 c) 4; 5; 6 d) 5; 6; 7 e) 2; 5; 7
35.35.35.35. La expresión ( A - B' ) ∪ ( A' ∪ B' ) ' es igual a:
a) A ⋃ B' b) A ⋂ B' c) A ⋂ B d) A ⋃ B e) A' – B
36.36.36.36. Si los conjuntos M y N son unitarios M = { ( a² + 1 ) , ( 4a – 3 ) } ;
N = { ( y+3x ) , ( x + 8 – y ) } . Entonces la suma de x + a + y es:
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
37.37.37.37. Si: n(A ∪ B ) = 14 , n(A ∩ B ) = 6. Entonces n( A ) + n( B ) es:
a) 24 b) 10 c) 20 d) 15 e) 25
38.38.38.38. Dos conjuntos de 4 números positivos consecutivos tienen exactamente un número en común. Lasuma de los enteros en el conjunto con números más grandes es cuánto más grande que la suma de
los enteros en el otro conjunto.
a) 4 b) 7 c) 8 d) 12 e) Ninguna de las anteriores.
39.39.39.39. De los 504 primeros números naturales, ¿ Cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7?
a) 168 b) 240 c) 284 d) 288 e) 216
BA
32
1 54 6
7
C
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F F VEl bicondicional es verdadero sólo si los valores de sus componentes son iguales, en caso contrario es falso.
Las palabras: Cuando y sólo cuando, entonces y solamente entonces, etc. Equivalen al conector ↔ .
LEYES LOGICAS.- Consideremos la proposición: [ ( p → q ) ^ p ] → q ; cuya tabla de verdad es:
p q p→ q (p→q) ^ p [(p→q)^p]→q V V V V VV F F F VF V V F VF F V F V
La proposición compuesta es V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Se
dice entonces que tal proposición es una tautología o ley lógica.
La proposición p → p es V cualquiera sea el valor de verdad de p, es otro ejemplo de una ley lógica. En cambio p
^ ~ p es F cualquiera sea el valor de verdad de p. Se dice que es una contradicción.En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya demostración se reduce a la
confección de la correspondiente tabla de valores de verdad.
1. INVOLUCION: ~ ( ~ p ) ⇔⇔⇔⇔ p
2. IDEMPOTENCIA: a.- ( p ν p ) ⇔⇔⇔⇔ p
b.- ( p ^ p ) ⇔⇔⇔⇔ p
3. CONMUTATIVA: a.- ( p ν q ) ⇔⇔⇔⇔ ( q ν p )
b.- ( p ^ q ) ⇔⇔⇔⇔ ( q ^ p )
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66.66.66.66. Si x⁻¹ - 1 se divide por x – 1 el cociente es :
a) 1 b) 1 / ( x – 1 ) c) - 1 / ( x – 1 ) d) 1 / x e) - 1 / x
67.67.67.67. Una prueba tiene 40 preguntas. Cada pregunta correcta vale un punto, y se quitan dos puntos por cadapregunta que contesta mal. No se quitan ni se aumentan puntos por las preguntas que deje de
contestar. Si a un estudiante se le da una nota de 25, y tiene 5 respuestas malas, ¿ Qué parte de las
preguntas del test contestó ?
a) 1 / 3 b) 4 / 5 c) 7 / 8 d) 3 / 4 e) 3 / 5
68.68.68.68. Si de 100 huevos se rompe el 4 % , y el 25 % salen defectuosos ¿Cuántos huevos se pueden vender?
a) 96 b) 62 c) 71 d) 77 e) 72
69.69.69.69. Si x se incrementa en 25 %, x² se aumenta en (?) % :
a) 25.5 % b) 50.25 % c) 56.25 % d) 156.25 % e) 6.5 %
70.70.70.70. ¿ Cuál de las siguientes fracciones es la más cercana a 1 / 4 ?:
a) 1 / 5 b) 3 / 10 c) 3 / 200 d) 7 / 20 e) 4 / 15
71.71.71.71. Una mezcla de 17 partes de la sustancia A, 3 partes de la sustancia B y 4 partes de la sustancia C
pesan 72 gramos. ¿ Cuántos gramos de sustancia B hay en la mezcla ?
a) 3.4 b) 9 c) 12 d) 17 e) 51
72.72.72.72. Una colección filatélica contiene estampillas de correo Alemanas, Americanas e Indias. Si la
razón de estampillas Americanas a Indias es 5 a 2 y la razón de estampillas Alemanas a Indias es
5 a 1; ¿ Cuál es la razón de estampillas Americanas a Alemanas ?
a) 1:5 b) 5:10 c) 2:15 d) 2:20 e) 2:12
73.73.73.73. Una pintura debe ser preparada con 2 partes de pintura pura y 1.5 partes de agua. El pintor por error ha
preparado 6 litros de pintura la cual es mitad agua y mitad pintura pura. ¿Qué debe ser adicionado para
hacer las proporciones de la mezcla correctas?
a) 1 litro de pintura b) 1 litro de agua c) ½ litro de agua y 1 litro de pintura
d) ½ de pintura y 1 litro de agua e) ½ de pintura
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DEFINICION.- Se llama así a la igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen enla igualdad se les denomina incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación,las cuales forman el conjunto solución ( C S ).
Ejemplo: Sea la ecuación: x(x-1) = x + 3 ; Si x = 3 → 3(3-1) = 3+3 → 6 = 6
Si x = -1 → -1(-1-1) = -1+3 → 2 = 2
Como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación, entonces el CS = { -1,3}
No se debe confundir con la identidad algebraica , pues ésta cumple para todos los valores de sus letras.
Ejemplos: 1. ( a + b )² = a² + 2ab + b²
2. a² - b² = ( a + b ) ( a – b )
Resolver una ecuación es hallar los valores de sus incógnitas que hacen cumplir la ecuación, llamándose lassoluciones.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES.- Se clasifican de acuerdo a los siguientes aspectos:
1. Atendiendo a :
1.1 AL GRADO.- Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
1.2 A LOS COEFICIENTES.- Pueden ser numéricas o literales.
1.3 A LAS INCOGNITAS.- Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc.
2. De acuerdo al tipo de solución pueden ser compatibles e incompatibles.
2.1 ECUACIONES COMPATIBLES.- Cuando admiten soluciones, y estas se dividen en:
2.1.1 Ecuaciones determinadas.- Cuando tienen un número limitado de soluciones.
ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos o más ecuaciones; se dice que son equivalentes si tienen las mismassoluciones; es decir que las soluciones de la una, son también soluciones de las otras.
Ejemplo: 1. x² - 6x + 9 = 0 → C S = { 3 }
2. 6x + 3 = 4x + 9 → C S = { 3 } ; son ecuaciones equivalentes ya que tienen elmismo conjunto solución.
Si dos ecuaciones son equivalentes, no necesariamente deben ser ellas del mismo grado.
E C U A C I O N E S L I N E A L E S
Son aquellas ecuaciones polinomiales, que pueden reducirse a la forma general:
ax + b = 0 ; ∀ a ≠ 0 cuya solución es: x = -b / a
DISCUSIÓN DE LA SOLUCION.-
1. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 , se tendrá: x =a
b−; valor real.
2. Si a ≠ 0 y b = 0 , se tendrá: x = 0 ; valor real.
3. Si a = 0 y b = 0 , se tendrá: x = indeterminado.
4. Si a = 0 y b ≠ 0 , se tendrá que no hay solución, o es una ecuación incompatible o absurda.
E C U A C I O N E S C U A D R A T I C A S
FORMA GENERAL.-
Una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita es de la forma:
ax² + bx + c = 0 ; ∀ a ≠ 0
Esta forma se denomina completa, cuando a, b, c son diferentes de cero, pero cuando b ó c, ó ambas son cero, se
denomina incompleta.
RESOLUCION DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA.-
Se resuelve mediante dos formas:
a.- Factorizando mediante el aspa simple.
b.- Aplicando la fórmula general.
Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 132x-x
53x-4x
2
2
=+
+
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1.1.1.1. La igualdad 1 / ( x – 1 ) = 2 / ( x – 2 ) se satisface para :
a) Ningún valor real de x. b) x = 1 ó x = 2 c) Solamente para x = 1d) Solamente para x = 2 e) Solamente para x = 0
2.2.2.2. ¿ Para que valor de x la igualdad 1 / x = 1 / ( x – 2 ) es una proposición verdadera ?
a) 0 b) 1 c) - 2 d) 2 e) Ningún valor es posible.
3.3.3.3. ¿ En cuántos doceavos es 1 / 3 de 3 / 4 mayor que 1 / 4 de 2 / 3 ?
a) 12 b) 6 c) 5 d) 1 e) 2
4.4.4.4. y
y x50
−= donde x y y son ambos mayor a cero. Si el valor de y es doblado en la ecuación
anterior, el valor de x:
a) decrecerá b) se mantendrá igual c) se incrementará 4 veces
d) se doblará e) se incrementará más del doble
5.5.5.5. Si x y y son enteros y 1323 =+ y x , ¿Cuál de los siguientes puede ser el valor de y?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6.6.6.6. En una fábrica la tercera parte de los trabajadores son mujeres, de las cuales la mitad son casadas, y
la mitad de las mujeres casadas tienen niños. Si los 3 / 4 del total de hombres son casados y los 2/3 de
los hombres casados tienen niños, ¿ Qué parte de los trabajadores no tienen niños ?
a) 2 / 3 b) 7 / 12 c) 4 / 9 d) 17 / 36 e) 5 / 18
7.7.7.7. La razón de asistencia a un partido de fútbol en un colegio fue de 14 estudiantes por cada profesor. Siestuvieron 3000 personas en el partido, ¿Cuántos de ellos fueron profesores?
a) 1 b) 14 c) 200 d) 256 e) 2800
8.8.8.8. Los valores de x que satisfacen la ecuación 1 +x
4
x 2 =
8son:
a) 2 + 2i , 2 – 2i b) 4 , 0 c) 2 , - 2 d) 2 + 4i , 2 – 4i e) Ninguno de los anteriores.
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17.17.17.17. La diferencia entre el cubo de un número entero y el mismo número es 210. ¿ Cuál es dicho número ?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
18.18.18.18. La suma de dos números es 270 y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz cuadrada del otro,aumentado en 18. Señale la suma de cifras de uno de los números.
a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 7
19.19.19.19. Dos personas trabajando solas pueden terminar una obra en 8 y 10 días respectivamente. ¿ En
cuántos días terminarán la obra si trabajan juntas ?
a) 4 días b) 595
días c) 495
días d) 59
4días e) Ninguno de los anteriores.
20.20.20.20. Un equipo de baloncesto profesional anotó el 25 % de sus tantos en el primer cuarto del partido, el 15
% en el segundo cuarto y el 40 % en el tercer cuarto. Si el equipo obtuvo 21 puntos en el cuarto final
del partido, ¿ Cuántos puntos el equipo obtuvo durante el partido ?
a) 84 b) 96 c) 100 d) 105 e) No se da suficiente información.
21.21.21.21. Las dimensiones interiores de un envase de almacenaje de forma rectangular son de 10 pies de
longitud, 6 pies de anchura y 8 pies de alto. Cuando el envase se llena hasta una profundidad de 3
pies, ¿ Cuántos paquetes de trigo caben, si un paquete de trigo ocupa 2 pies cúbicos ?
a) 90 b) 240 c) 360 d) 480 e) 960
22.22.22.22. El último día del año A un padre y su hijo cumplen 30 y 5 años respectivamente. ¿En qué año la edad
del hijo será la mitad de la edad del padre?
a) A + 30 b) A + 20 c) A + 15 d) A + 10 e) Ninguno de los anteriores.
23.23.23.23. En la ecuación x + 1 / b = ( 1 + ab ) / b , la solución es cero si:
a) a = 1 b) a = 0 c) b = 0 d) a.b ≠ 0 e) Ninguno de los anteriores.
24.24.24.24. Si x es elemento de los números enteros, la solución de la ecuación 24x + 15 = 60x – 10 es:
a) 25 b) 36 / 5 c) 36 / 25 d) 25 / 36 e) Ninguno de los anteriores.
25.25.25.25. La solución de la ecuación ( x + 2 ) ² - ( x – 2 ) ² = 4x es:
a) 1 b) 0 c) - 2 d) - 1 e) Ninguno de los anteriores.
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35.35.35.35. Hoy Carlos es 5 años mayor que lo que Juan fue hace 2 años. Juan tiene ahora j años. En términos de j
¿Cuál es la edad de Carlos ahora?
a) j-5 b) j-3 c) j-2 d) j+2 e) j+3
36.36.36.36. Los tres hijos de Pepe tienen ( 2x + 9 ) , ( x + 1 ) y ( x + 2 ) años respectivamente. ¿ Cuántos años
tendrán que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la del primero ?
a) 5 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10
37.37.37.37. La suma de las edades de dos hombres dentro de 9 años será 98 años. Si el mayor tiene 30 años más
que el menor. La edad del menor es:
a) 20 b) 24 c) 26 d) 30 e) 25
38.38.38.38. Seis años atrás Anita fue P veces más vieja que Benjamín. Si Anita tiene ahora 17 años, ¿cuántos años
tiene Benjamín en términos de P?
a) (11/P)+6 b) (P/11)+6 c) 17-(P/6) d) 17/P e) 11.5P
39.39.39.39. Luis ha comprado 5 esferos y 4 reglas por 70 pesetas. Carlos ha pagado 46 pesetas por 3 esferos y 4
reglas. El valor de cada esfero es:
a) 12 b) 2.5 c) 10 d) 5.5 e) Ninguno de los anteriores.
40.40.40.40. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestan $ 12
más que cuatro grandes y siete pequeños. Un pastel grande costará:
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) Ninguno de los anteriores.
41.41.41.41. La solución de la ecuación aaaax2 + bbbbx + cccc = 0 ; donde a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c son elementos de los números reales con aaaadiferente de cero, indicar cual de las siguientes proposiciones es verdadera.
a) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son reales e iguales
b) Cuando b²- 4ac es positivo, las dos soluciones son complejas
c) Cuando b²- 4ac es negativo, las dos soluciones son distintas y ninguna de ellas son reales
d) Cuando b²- 4ac es igual a cero, las dos soluciones son iguales y ninguna de ellas es real
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68.68.68.68. El aceite que contiene un tanque vale 5600 dólares. Si se sacan 40 litros vales solamente 2400
dólares. ¿ Cuántos litros contenía el tanque ?
a) 60 b) 70 c) 80 d) 100 e) 140
69.69.69.69. Si a cada uno de mis sobrinos les doy $ 3 sobraría $ 19, pero si a cada uno les doy $ 5 me sobraría
$ 5 . ¿ Cuánto tengo ?
a) $ 7 b) $ 21 c) $ 12 d) $ 42 e) $ 40
70.70.70.70. En una fiesta los hombres y mujeres asistentes están en la relación de 3 a 1. Después de
transcurridas 6 horas se retiran 20 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es
de 5 a 1. Entonces el número original de asistentes a la fiesta fue de:
a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240
71.71.71.71. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 2 patos. Si
se aumentaran 35 gallinas estas serían igual a la cantidad de pavos. El número de patos en el corral
es:
a) 18 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24
72.72.72.72. En una reunión, el número de mujeres asistentes es al número de mujeres que no bailan como 10 esa 3 . Si todos los hombres estaban bailando y son 20 más que las mujeres que no bailan. ¿ Cuántas
personas hay en la reunión ?
a) 70 b) 85 c) 90 d) 35 e) 100
73.73.73.73. Hallar tres cantidades, si éstas suman 690 y están en la relación a 5; 7 y 11. Determinar el doble de
la cantidad mayor:
a) 700 b) 760 c) 660 d) 600 e) Ninguna de las anteriores.
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52.52.52.52. Dado: -12 < x – 14 < - 10 . Hallar ( a + b )( a + b )( a + b )( a + b ) en: 2a < 3x + 4 < 2b
a) 11 b) 13 c) 12 d) 14 e) 10
53.53.53.53. Cinco sumado a un número x da como resultado un número que es mayor que el doble del númerooriginal. ¿ De qué conjunto podría haberse escogido el número original ?
a) x<5 b) x<6 c) x<4 d) x<2 e) Ninguno de los anteriores.
54.54.54.54. La suma del doble de cierto número y 12 es mayor que cinco veces el número. ¿ Qué números
naturales satisfacen esta condición ?
a) 1, 2, 3, 4 b) 1, 2, 3 c) 4, 5, 6, 7 d) 1, 3, 4 e) Ninguno de los anteriores.
55.55.55.55. Para revelar una película, esta se mantiene entre 68 y 78 grados Fahrenheit ( F ). ¿ Cuál es la
temperatura en grados centígrados ( C ) , si F = 9/5C + 32 ?
a) 30 ≤ C ≤ 35 b) 40 ≤ C ≤ 45 c) 20 ≤ C ≤ 25
d) 10 ≤ C ≤ 15 e) Ninguno de los anteriores.
56.56.56.56. Si un kilo de naranjas contiene de 6 a 8 naranjas, ¿ El mayor peso que puede tener cuatro docenas
de naranjas es? :
a) 4 kg. b) 3 kg. c) 7 kg. d) 8 kg. e) Ninguno de los anteriores.
57.57.57.57. El valor de x en 88-2x = es:
a) {0, 8} b) {1, 2} c) {1, 8} d) {3, 4} e) Ninguno de los anteriores.
58.58.58.58. El valor de x en 86x =+ es:
a) {2, 6} b) {-14, 2} c) {-8, 8} d) {3, 4} e) Ninguno de los anteriores.
59.59.59.59. Al resolver 128x <+ , el intervalo solución, es:
a) (-20,4) b) (-14, 2) c) (-8, 10) d) (3, 4) e) Ninguno de los anteriores.
60.60.60.60. Si: x ∈ (2, 4) , entonces3x2
1
+∈ (
b
1,
a
1). El valor de a + ba + ba + ba + b es:
a) 10 b) 11 c) 18 d) 17 e) Ninguno de los anteriores.
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VARIABLE.- Es la expresión que cambia de valor y en los polinomios se escribe con las últimas letras del alfabeto:x, y, z, etc.
CONSTANTE.- Es una expresión que tiene un valor fijo o determinado, y se representa comúnmente con las primerasletras del alfabeto: a, b, c, d, etc.
REGLA DE CORRESPONDENCIA.- Es una ecuación de la forma: y = f(x).
IDEA DE FUNCION.- Es la relación de igualdad que existe entre dos variables: Dependiente e Independiente. Demodo tal que para un valor de la variable independiente exista un único valor de la variable dependiente.
Ejemplo: En la función: y = x³ + 5
y : será la variable dependiente;
x: la variable independiente, y
5: constante.
DEFINICION DE FUNCION
Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de alguna manera, un elemento único de un conjunto B ;se dice que esa correspondencia es una función.
Llamando a esta correspondencia por f , escribimos:
f: A → B que se lee: f es una función de A en B
DOMINIO DE f.- se representa por D f o D(f) , y es el conjunto A o también el conjunto de los primeros
elementos de los pares ordenados, en una función.
RECORRIDO DE f ( rango de f ).- Se representa por R f o R(f) , y es el conjunto B , o también el conjunto de
los segundos elementos de la función. Dada una función de un conjunto A en un conjunto B , al primer conjunto sele llama “ Conjunto de partida “ , y al segundo conjunto se le llama “ Conjunto de llegada “.
Ejemplos:
1. Sean los conjuntos: A = { a, b, c, d } y B = { x, y, z, v }
La relación entre ambos será: R = { ( a, x ), ( b, y ), ( c, z ), ( d, v ) }
Que es una función de A en B, ya que:
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Es una igualdad relativa, donde la incógnita se encuentra en el exponente. El valor dela incógnita al ser reemplazada en la ecuación original se transforma en una igualdad; se llama raíz o solución de laecuación.
CASOS:
1. FORMA m x = n p Donde la incógnita es x se debe tratar de lograr bases iguales para
luego igualar los exponentes.
También se expresa así: b x = b a → x = a , donde b ≠ 0 y 1 .
2. FORMA x x = A Donde la incógnita es x se debe buscar formar una analogía o
semejanza utilizando la teoría de exponentes.
También se expresa así: x x = a a → x = a
nx nx nx =→= ; x ≠ 0
L O G A R I T M O S .-
DEFINICION.- El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar otro número real y positivo llamadobase para obtener el número dado.
NOTACION LOGARITMICA.- yNLoga =
Donde: N = Número
a = base
y = Logaritmo ( exponente de la base ).
Es decir: Na y = Notación exponencial.
BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- Es cualquier número real y positivo. Luego:
a = 10 → Cuando la base es 10, se llama logaritmo decimal, vulgar o de Briggs.
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a = e → Cuando la base es e = 2.7182818245…. ( un número irracional) se llama
logaritmo Neperiano.
PROPIEDADES GENERALES.-
1. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es la unidad.
Si: a = a¹ → Log a a = 1
2. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la unidad es el cero.
Si: Log a 1 = 0 → aº= 1
3. Los números mayores que 1, tendrán logaritmo positivo y los números menores de 1 , tendrán logaritmonegativo.
Ejemplos: 1. 10 = 10¹ → Log 10 10 = 1
100 = 10² → Log 10 100 = 2
2. 0.1 = 10 1− → Log10 0.1 = -1
0.01= 10 2− → Log10 0.01= -2
4. El logaritmo de un número aumenta cuando el número aumenta y disminuye cuando el número disminuye.
5. En el campo de los números reales, no existe el logaritmo de un número negativo.6. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Sean: A y B los factores.
Luego: A = a x → Log a A = x
B = a y → Log a B = y
Entonces: A . B = a yx + , de lo cual Log a (A . B) = Log a A + Log a B
7. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador, menos ellogaritmo del denominador.
De la propiedad anterior, considerando las dos primeras igualdades, tenemos entonces:
y-xB
A Log a
B
Aa
y-x =→=
Log a )
B
A( = Log a A - Log a B
8. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo del número.
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9. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice del radical.
Log a
n
A = n
1Log a A
CAMBIO DE BASE DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS.- conociendo el logaritmo en base a del número N .Hallar el logaritmo en base b del mismo número.
Dato: Log a N ; incógnita Log b N = x → b x = N o Log a N = Log a b x
Entonces: Log a N = x Log a b = Log b N . Log a b
Luego: Log b N =bLog
NLog
a
a
IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS.-
b NLogb = N
1. El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.
Como: b
aLogb
= a aquí tomamos logaritmos en base a luego:
Log a b aLogb =Log a a → Log b a . Log . Log a b = 1
2. Si al número y a la base de un logaritmo se potencia o se extraen radicales de un mismo grado, el
logaritmo no se altera. b aLogb = a elevando a la potencia m se tendrá:
b m aLogb = a m → Log mba m = Log b a y Log n b
n a = Log b a
LOGARITMOS NEPERIANOS.- Son aquellos cuya base es el número e , también se llaman logaritmos naturales.NOTACION: Ln N = Log e N y para la conversión a logaritmos vulgares o viceversa, se emplea la siguiente
expresión:
Ln N =eLog
NLog
ECUACIONES LOGARITMICAS.- Se llaman ecuaciones logarítmicas a aquellas que contienen el logaritmo de laincógnita o de las incógnitas.
Ejemplos: 1. Log 5x = 2
2. Log(x+4) + Log(x-5) = 1
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El término razonamiento se define de diferente manera según el contexto, normalmente se refiere a un conjunto deactividades mentales consistentes en conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas o también puede referirseal estudio de ese proceso. En sentido amplio, se entiende por razonamiento la facultad humana que permite resolverproblemas.
Se llama también razonamiento al resultado de la actividad mental de razonar, es decir, un conjunto de proposicionesenlazadas entre sí que dan apoyo o justifican una idea. El razonamiento se corresponde con la actividad verbal deargumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión verbal de un razonamiento.
El razonamiento lógico se refiere al uso de entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras, partiendo de lo yaconocido o de lo que creemos conocer a lo desconocido o menos conocido. Se distingue entre razonamiento inductivo yrazonamiento deductivo.
ÁREA - HABILIDAD COGNITIVA
Esta área consta de cuatro tipos de ejercicios: secuencias lógicas, relaciones lógicas, transformaciones lógicas yconsideraciones lógicas. A continuación se presenta una descripción de cada uno de estos ejercicios.
SECUENCIAS LÓGICAS: Tienen como propósito evaluar la capacidad para percibir patrones de relación entrenúmeros y letras. Mide la habilidad del candidato para organizar información de forma inductiva.
Instrucciones: En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta un par de palabras relacionadas, seguido de cincopares de palabras o frases designadas con las letras A, B, C, D y E. Seleccione la letra que se refiere al par de palabrasque mejor indica una relación similar a la expresada en el par original. Marque el espacio de la letra correspondiente enla hoja de respuestas.
Ejemplo:
VOCACIÓN : OFICIO ::
(A) necesidad : satisfactor
(B) sacrificio : triunfo
(C) capacidad : tarea
(D) producción : producto
(E) calidad : meta
La respuesta correcta es la opción (C), por lo tanto debe marcar:
A B C D E
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RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS:RELACIONES LÓGICAS: Tiene como propósito medir la habilidad de extraer relaciones y hacer
comparaciones basadas en reglas de similitud. Se utilizan preguntas de analogías y metáforas.
InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor representa el significado de la frase
que se ofrece o la relación numérica similar al par original. Seleccione el encasillado correspondiente en lasposibles respuestas.
Ejemplo:
El ocaso de la vida
(A) adolescencia
(B) nacimiento
(C) vejez
(D) juventud
(E) madurez
La alternativa correcta es la respuesta (C), porque ocaso significa descenso. La contestación correcta que
debe marcar es:
A B C D E
1.1.1.1. Sus proyectos se estrellaron ante la realidad
a. se extendieron
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CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS:CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS:CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS:CONSIDERACIONES Y TRANSFORMACIONES LÓGICAS:
Miden la capacidad para usar correctamente las reglas de inferencia lógica. Se incluyen ejercicios de
razonamiento condicional y de diagrama. El candidato debe analizar una situación particular y seleccionar
la hipótesis o inferencia más apropiada.
InstruccionesInstruccionesInstruccionesInstrucciones: En los siguientes ejercicios elija la alternativa que mejor se relaciona con la información
dada; luego seleccione el encasillado correspondiente en las posibles respuestas.
Ejemplo:
En la fila del banco, el Sr. Hernández está formado después del Sr. González, y el Sr. González está
después del Sr. Ruiz. ¿En qué orden están formados?
(A) González, Ruiz, Hernández
(B) Ruiz, Hernández, González
(C) Hernández, González, Ruiz
(D) Ruiz, González, Hernández
(E) González, Hernández, Ruiz
La alternativa correcta es la respuesta (D). La respuesta que debe marcar es:
A B C D E
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5.5.5.5. Julio nació antes que Gloria y que Pablo; Miguel es menor que Silvia, pues nació después que Pablo,pero antes que Gloria; y Julio es menor que Silvia. ¿Quién de los cinco jóvenes ocupa el tercer lugar en el
orden de nacimiento?
a. Julio.
b. Gloria.
c. Pablo.
d. Miguel.
e. Silvia.
6.6.6.6. Manolo y Manuel salieron a piscar moras, durante la primera mitad de la jornada Manolo había
recolectado 2/3 veces más moras que Manuel. Al final de la jornada, Manolo tenía 59 kilos de moras y
Manuel tenía 14 kilos menos. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA?
a. En la segunda mitad de la jornada Manolo recolectó 24 kilos de moras.
b. Manolo y Manuel recolectaron la misma cantidad de moras en la segunda mitad de la jornada.
c. Manuel tenía 21 kilos de moras al finalizar la primera mitad del día.
d. Manolo tenía 14 kilos más de moras que Manuel al iniciar la segunda parte del día.
e. Manolo tenía 39 kilos de moras a la mitad de la jornada.
7.7.7.7. En una tienda de artesanías se venden varios objetos diferentes, si María quiere comprar una muñeca de
juguete; ¿a qué zona de la tienda debe dirigirse?
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
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COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES:COMPLETACIÓN DE ORACIONES: Se mide la habilidad para reconocer las relaciones entre distintas
partes de una oración. Requiere que conozca el significado de las palabras y su uso adecuado en el
contexto de la oración.
Instrucciones:Instrucciones:Instrucciones:Instrucciones: Cada una de las siguientes oraciones tiene uno o dos espacios en blanco. Cada espacio
indica que se ha omitido una palabra o frase. Debajo de las oraciones hay cinco palabras o frases,
señaladas con las letras A, B, C, D y E. Elija la palabra o frase que al insertarse en la oración, complete
mejor su significado; luego seleccione el encasillado correspondiente en la hoja de respuestas.
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En un principio pensé que la cantidad sumaría 45, sin embargo, eso no es necesariamente cierto. Porque
es evidente que los dos rublos que se le quitan a B se le agregan a A. Hasta ese punto la cifra sigue en
45, sin embargo, la mitad que se le quita a D no es la misma mitad que se agrega a C. Por esta razón,
decidí hacer un estimado de las cantidades.
Se entiende que son rublos enteros, así que no se pueden tener fracciones. Ahora, despejando D de la
relación que existe entre 2C = D / 2, tenemos que D = 4C. De todos los múltiplos de cuatro hay tres
posibles soluciones para D: 4, 20 y 28. La razón es que con esos resultados, C y D suman un número
impar: 5, 25 y 35, respectivamente, lo cual significa que dejan números pares para la otra mitad de la
operación: 40, 20 y 10, respectivamente. Esa parte de la operación debe ser par porque se necesita dividir
entre 2, y a una mitad quitarle 2, A, y a la otra mitad sumarle esos 2, B. Sin embargo, de todas esas
opciones, la única que cumple con la igualdad es la combinación: A = 8, B = 12, C = 5 y D = 20.
2.2.2.2. A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la
de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De
súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los
pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor
apareció el pez?
Posible Solución
Para resolver este problema se genera dos triángulos rectángulos y se aplica el teorema de Pitágoras.
Para la solución se está suponiendo que ambos pájaros vuelan a la misma velocidad. La distancia quebuscamos es la que existe entre el pez y el tronco, así que a esta distancia la llamaremos x, por lo tanto, la
distancia entre el pez y la palmera menor es 50-x. Las hipotenusas de ambos triángulos son iguales. Por
más tarde un tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el
último. Cuando se hizo el balance del trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo
11 veces más de tiempo que el último.¿Cuánto trabajó el último?¿Cuántos trabajadores hay en la brigada
de cavadores?
Posible Solución
Queremos saber el tiempo que trabajó el último miembro, así que a este tiempo le llamaremos x. Por lo
tanto, el primer miembro trabajó 11x. Ahora, el número de miembros de la brigada se desconoce, por lo
tanto, hablamos de y cavadores. El balance del trabajo efectuado se puede sacar a través de un promedio
del máximo y el mínimo, es decir: (11x + x) / 2. Lo cual nos da un total de 6x horas por cavador. Además, se
nos da como premisa que si todos hubieran trabajado desde el principio habrían terminado en 24 hrs. Lo
cual significa que se requieren y personas durante 24 hrs. para terminar el trabajo, esto lo representamoscomo 24y. Si relacionamos el promedio de horas trabajadas por cavador, con la expresión anterior,
obtenemos: 6xy = 24y. Al despejar x obtenemos x = 4.
Por lo tanto, el último cavador sólo trabajó 4 horas.
Con esta última ecuación, sólo podemos saber el valor de x, para obtener el número de cavadores hace
falta saber el progreso que tenían en el tiempo o algo así, porque sustituir x nos dará como resultado 24y
= 24y, lo cuál no nos permite saber el número de miembros de la brigada
4.4.4.4. La distancia entre dos pinos es de 40 m. Sus alturas son: 31 m y solo 6 m. ¿Pueden calcular la distanciaentre sus cimas?
Posible Solución
Sí, sólo hay que aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo superior. La distancia entre las puntas es la
hipotenusa, la base es de 40 metros y la altura es 31 – 6 =25. Con esto tenemos que c² = 40² + 25².
Resolviendo tenemos: c² = 2225
Por lo tanto, la distancia entre sus cimas es c = 2225 = 47.17m.
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5.5.5.5. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven.
¿Cuántos años tiene?
a. 11 años
b. 12años
c. 13 años
d. 14 años
e. 15 años
6.6.6.6. Judith y Manuel visitaron la granja de su tío. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas.
Manuel dijo haber contado dieciocho animales en total. Judith afirmó haber contado cincuenta patas.¿Cuántos cerdos había? y ¿Cuántas gallinas?
a. 13 gallinas y 5 cerdos
b. 12 cerdos y 6 gallinas
c. 10 cerdos y 8 gallinas
d. 7 cerdos y 11 gallinas
e. 8 cerdos y 10 gallinas
7.7.7.7. Cuatro vacas negras y tres vacas marrones dan tanta leche en cinco días como tres vacas negras y cincomarrones en cuatro días. ¿Qué clase de vaca es mejor lechera, la negra o la marrón?.
a. Las dos iguales
b. La marrón
c. La negra
d. Unas veces la marrón y otras la negra
e. La vaca negra no da leche
8.8.8.8. En el fondo de un pozo de doce metros de profundidad hay un caracol que sube tres metros durante el día
y desciende uno durante la noche.¿Cuánto tardará en salir el caracol del pozo?
a. 8 días y 7 noches
b. 5 días y 6 noches
c. 6 días y 5 noches
d. 5 días y 5 noches
e. No sale nunca
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13.13.13.13. Si pliegas una tira de papel por la mitad y después otra vez por la mitad, al desdoblarla verás tres marcas,
una hacia arriba y dos hacia abajo. Preguntamos:
a) ¿Cuántas marcas habrá si el proceso de plegado por la mitad se hace 6 veces?
b) ¿Cuántas marcas estarán hacia arriba y cuántas hacia abajo?
a. a)63 b)31 hacia arriba y 32 hacia abajo
b. a)6 b)3 hacia arriba y 3 hacia abajo
c. a)64 b)32 hacia arriba y 32 hacia abajo
d. a)31 b)15 hacia arriba y 16 hacia abajo
e. a)127 b)63 hacia arriba y 64 hacia abajo
14.14.14.14. Dividimos un rectángulo en 4 rectángulos con segmentos paralelos a los lados como indica la figura. Si lasáreas de tres de estos 4 rectángulos son las que se muestran, ¿cuál es el área del cuarto rectángulo?
a. 10
b. 15
c. 20
d. 21
e. 25
15.15.15.15. En la cena de Nochebuena, Juan compra una pizza enorme y la corta en 24 trozos iguales. Marcos secome 1/6 de la pizza. Claudia se come 1/4 de lo que queda y Silvia 1/3 del resto después de que Claudia y
Marcos se han servido. Si Juan se come lo que queda, ¿qué fracción de la pizza se ha comido Juan?
a. 5/12
b. 3/7
c. 6/17
d. 9/24
e. 11/24
16.16.16.16. Una persona tarda 90 segundos en recorrer los 60 metros de una cinta mecánica que no funciona. En
marcha, la cinta transporta a la gente en 60 segundos. ¿Cuánto tiempo necesitará esa persona para
recorrer los 60 metros si anda mientras la cinta está en funcionamiento?
a. 30 seg
b. 36 seg
c. 40 seg
d. 45 seg
e. 50 seg
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1.1.1.1. En un cajón existen 5 pares de medias negras y 5 pares de medias blancas, si sacamos de una en unay sin mirar.¿Cuántos como mínimo debemos sacar para tener la certeza de obtener un par del mismo
color?
a) 2 b) 1 c) 3 d) 7 e) 11
2.2.2.2. Un total de 55 estrechadas de mano se efectuaron en una fiesta. Suponiendo que cada uno de los
participantes es cortés con cada uno de los demás, el número de personas era:
a) 11 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14
3.3.3.3. En una caja hay 2 cajas y 3 bolas. En cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas y finalmente en
cada una de estas cajas hay 2 cajas y 3 bolas. ¿ El número total de bolas es ?
a) 21 b) 18 c) 20 d) 19 e) 22
4444.... Si de cada 20 mujeres 10 son solteras. ¿Cuántas casadas habrán de 200 que no sean casadas ?
a) 100 b) Más de 100. c) Más de 20 pero menos de 100. d) Ninguna.
e) Menos de 100.
5555.... A un número, se le multiplica por tres, se le resta seis. Luego se le multiplica por cinco, al nuevo
resultado se le divide por ocho, al resultado se eleva al cuadrado, luego se le resta ciento setenta y uno
para luego extraerle la raíz cúbica obteniéndose nueve. ¿El duplo de la cuarta parte del número inicial
es:?
a) 24 b) 9 c) 18 d) 36 e) 7
6666.... Entre Cuenca y Guayaquil hay 5 líneas diferentes de autobuses y entre Guayaquil y Salinas hay 3
líneas de autobuses. ¿ de cuántas maneras puede una persona ir de Cuenca a Salinas y regresar en
líneas diferentes ?
a) 125 b) 123 c) 120 d) 23 e) 15
7777.... ¿ Cuántas veces debemos lanzar un dado para obtener al menos dos veces la misma puntuación ?
a) 6 b) 8 c) 12 d) 7 e) 14
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El tío Ramón lleva unos grandes bigotes. El tío Pedro, una gran barba. El tío Ernesto y el tíoManuel llevan gafas. El tío Juan y el tío Ernesto son calvos. Los personajes 2. y 5. son:
a) Pedro y Ramón. b) Manuel y Juan. c) Ernesto y Ramón.
d) Juan y Ernesto. e) Ramón y Juan.
28282828.... Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto,
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros.
c) Sólo algunos neumáticos son de goma. d) Algunos neumáticos no son flexibles.
e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros.
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LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOSLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOSLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOSLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE DE BASE PARA RESPONDER LOS PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37PROBLEMAS DEL 32 AL 37....
Un colegio debe escoger cuatro estudiantes para un concurso con otros colegios . Hay siete candidatos
con iguales aptitudes: X, Y, y Z que se encuentran en el sexto curso y A, B, C, y D del quinto curso. Es
requisito que sean dos del quinto curso y dos del sexto curso. También es necesario que todos losconcursantes puedan trabajar entre si, pero: Los estudiantes A y B ; A y Y ; y , Z y C no pueden
trabajar juntos respectivamente.
32323232.... Si el estudiante B es seleccionado y el Y eliminado, entonces el equipo debe estar integrado por:
a) X, Z, A y B. b) X, Z, D y B. c) X, Z, C y B.
d) X, D, C y B e) Z, C, D y B.
33333333.... Si el estudiante A es seleccionado, ¿Cuáles son los otros tres que deben ser escogidos?
a) X, Y y D. b) X, Z y D. c) X, Z y B.
d) X, Z y C e) C, Z y D.
34343434.... Si los estudiantes Y y Z son seleccionados, ¿Cuáles son los otros dos que deben ser escogidos?
a) C y D. b) Solamente D. c) B y A.
d) B y D. e) Solamente C.
35353535.... ¿Cuál de la(s) siguiente(s) frase(s) es falsa:
I. Los estudiantes Y y C nunca se les selecciona juntos.
II. Los estudiantes Z y B nunca se les selecciona juntos.
III. Los estudiantes Z y D nunca se les selecciona juntos.
a) Solamente la I. b) Solamente la II. c) Solamente la III.
d) Solamente la I y III. e) La I, II y III.
36363636.... ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera para el estudiante X:
I. El estudiante X debe ser seleccionado como uno del sexto curso.
II. El estudiante X debe ser seleccionado si el estudiante C lo es.
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III. El estudiante X no puede ser seleccionado si A y B son eliminados.
a) Solamente la I: b) Solamente la II. c) Solamente la III.
d) Solamente la I y la III. e) La I, II y III.
37373737.... ¿Cuál de las siguientes frases debe ser siempre verdadera:
I. Si X es seleccionado, B es también seleccionado.
II. Si X no es seleccionado, B es seleccionado.
III. Si D no es seleccionado, entonces X y Y son seleccionados.
a) Solamente la I. b) Solamente la II. c) Solamente la III.
d) Solamente la II y la III. e) La I, II y III.
38383838....
Pedro y Antonio llevan el sombrero igual. Jaime y Andrés también. Andrés y Pedro llevan lazos iguales.
Juan y Antonio también. Los personajes que llevan sombrero negro son:
a) Andrés y Juan. b) Antonio y Jaime. c) Jaime y Pedro.
d) Juan y Andrés. e) Pedro y Antonio.
CCCCada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43ada pregunta desde la 39 hasta la 43 está formada de un dibujo que muestra un pedazoestá formada de un dibujo que muestra un pedazoestá formada de un dibujo que muestra un pedazoestá formada de un dibujo que muestra un pedazo de cartón qude cartón qude cartón qude cartón queeee
se debe doblar. Lse debe doblar. Lse debe doblar. Lse debe doblar. Las rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe das rectas punteadas indican los puntos donde se debe doblar. Eoblar. Eoblar. Eoblar. Escoja el dibujo a, b, cscoja el dibujo a, b, cscoja el dibujo a, b, cscoja el dibujo a, b, c
o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:o d que se obtenga al doblar el cartón del dibujo. Marque a la derecha su respuesta:
39.
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Cada pregunta desde lCada pregunta desde lCada pregunta desde lCada pregunta desde la 44 hasta la 49a 44 hasta la 49a 44 hasta la 49a 44 hasta la 49 está formada por un dibujo que muestra una caja que se debeestá formada por un dibujo que muestra una caja que se debeestá formada por un dibujo que muestra una caja que se debeestá formada por un dibujo que muestra una caja que se debedesdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha.desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha.desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha.desdoblar. Si la caja estuviera sin doblar se parece a uno de los dibujos A, B, C o D de la derecha.
Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su r Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su r Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su r Escoja la letra del cartón que al doblarlo dé la caja. Marque su respuesta a la derecha.espuesta a la derecha.espuesta a la derecha.espuesta a la derecha.
44.
45.
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
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EEEExamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccionexamine cuidadosamente cada figura, y seleccione la cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellala cantidad de bloques que existe en cada una de ellassss
. S. S. S. Señale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican.eñale su opción de las cinco que se indican.
50.
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
a) 70
b) 80
c) 60
d) 90
e) 40
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Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.Analice la secuencia y complete el número que hace falta. Elija su respuesta de las opciones mostradas.
LA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTASLA SIGUIENTE EXPLICACION SIRVE PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS QUE VIENEN AQUE VIENEN AQUE VIENEN AQUE VIENEN A
Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69Las preguntas de la 69 a la 78a la 78a la 78a la 78 están basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáestán basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáestán basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáestán basada en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá
escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.
El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.
A B
E
69696969.... Zancudos, moscas, insectos.
a) b) c) d) e)70707070.... Acuerdos, acuerdos de paz, oficiales del ejército.
Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88Las preguntas de la 79 a la 88 están basadestán basadestán basadestán basadas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberáas en los siguientes 5 diagramas; de los cuales se deberá
escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.escoger el que ilustra la relación entre tres conjuntos, de la mejor manera.
El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.El tamaño de los círculos no indican el tamaño relativo de los conjuntos.
AAAA BBBB
E
79797979.... Personas, cuencanos, quiteños.
a) b) c) d) e)
80808080.... Equipo de emergencia, vehículos, sogas.
a) b) c) d) e)
81818181.... Mamíferos, gatos, gallinas.
a) b) c) d) e)
82828282.... Ecuatorianos, lojanos, indígenas.
a) b) c) d) e)
C
D
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83838383.... Cosas de pesca, anzuelos, recompensas.
a) b) c) d) e)
84848484.... Plantas, cactus, crisantemos.
a) b) c) d) e)
85858585.... Bachilleres, mujeres, ciclistas.
a) b) c) d) e)
86868686.... Cóndores, aves, perros.
a) b) c) d) e)
87878787.... Artistas, actores, aficionados.
a) b) c) d) e)
88888888.... Ecuatorianos, americanos, pilotas de avión.
a) b) c) d) e)
89898989.... Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto. Carlos vive más abajo que Roberto,
pero más arriba que David; Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos; Andrés vive 2 pisos más arriba
que Carlos y a 4 pisos de Enrique. El tercer piso lo ocupa:
a) Roberto b) David c) Franco d) Carlos e) Enrique
90909090.... Seis ovejas tardan en saltar una cerca 6 minutos. Si las ovejas están igualmente espaciadas. ¿
Cuántas ovejas saltarán en una hora ?
a) 60 b) 40 c) 51 d) 46 e) 48
91919191.... En una carrera de caballos participaron 5 de estos veloces animales: Jet, Trueno, Galaxia, Expreso yel favorito Láser. Se sabe que no llegaron a la meta más de uno a la vez, además se sabe que
Expreso llegó después de Jet y Galaxia; Trueno llegó entre los 3 primeros puestos. El favorito no
defraudó. Galaxia llegó a la meta antes que Trueno, por una nariz. Los últimos tres lugares los
ocuparon respectivamente:
a) Trueno, Galaxia, Expreso b) Jet, Expreso, Galaxia c) Trueno, Jet, Expreso
a) Quito - ingeniería b) Quito – Educación c) Quito – derecho
d) Ambato – educación e) Cuenca – derecho.
99999999.... En el planeta X, Dios se escribe FKQU, entonces BESO se escribirá:
a) CGTP b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e)b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e)b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e)b) BFUQ c) DGUQ d) CFTP e) APRNAPRNAPRNAPRN
101.101.101.101. En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. Hallar el día de la semana que
cae 25 de dicho mes.
a) jueves b) lunes c) domingo d) viernes e) martes
101101101101.
..
. En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿ Cuál es el menor número de personas que pueden
trabajar en esa fábrica ?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
102102102102.... Tres amigos: Fernando, Julio y Luis, tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que:
Fernando le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. Julio le dice al dueño del gato
que su mascota y el perro pelean siempre. ¿ Qué animal tiene Julio y quién es el dueño del perro ?
a) perro – Julio b) perro – Fernando c) canario – Luis
d) gato – Luis e) canario – Fernando.
103103103103.... Con un alambre de 60 cm se construye un tetraedro regular. Calcular la velocidad de
desplazamiento de una arañita que tarda como mínimo 7 minutos en recorrer todas las aristas del
tetraedro ( en cm / min ).
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
104104104104.... Pedro no vive junto a Iván; Alberto no vive junto a Víctor, Víctor no vive junto a Pedro. Si los cuatroviven en la misma calle y en la misma acera. ¿ Quiénes viven en el centro ?
a) Alberto e Iván b) Iván y Pedro c) Pedro y Alberto
d) Juan y Víctor e) Faltan datos.
105105105105.... Se pintan las caras de un cubo, se corta hasta obtener 64 cubitos. ¿ Cuántos cubitos tendrán
ninguna cara pintada ?
a) 8 b) 16 c) 4 d) 12 e) 0
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106106106106.... Martha compró q kilogramos de pan a q dólares el kilogramo y además compro 25
dólares de mantequilla. Cuantos kilogramos de pan compró si en total pago 106 dólares.
a) 4,24 b) 8,48 c) 9 d) 7 e) Ninguna de las anteriores
107107107107.... El costo de energía para preparar una comida para tres familias es de $24. La familia A pone cinco
leños, la familia B pone 3 leños, la familia C no poneleños, y se prepara la comida, entonces la familia C
entrega $ 8 para que serepartan entre las que pusieron los leños, con el objeto de que el costo seaigual
para cada familia. Entonces:
a) A recibe $ 5 y B recibe $ 3 b) A recibe $ 6 y B recibe $ 2 c) A recibe $ 7 y B recibe $ 1
d) A recibe $ 3 y B recibe $ 5 e) Ninguna de las anteriores.
108108108108.... Al preguntarle a un postulante qué parte del examen ha contestado éste responde:
he contestado los 4/5 de lo que no contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado?
a) 4/9 b) 1/5 c) 1/9 d) 5/9 e) Ninguna de las anteriores
109109109109.... Tres muchachos están escalando un cerro. Jaime se encuentra más arriba que Antonio
y Milton se encuentra arriba de Jaime. ¿Cuál de los muchachos se encuentra en el segundo
lugar?
a) Jaime b) Antonio c) Milton d) Ninguno e) Ninguna de las anteriores
110110110110.... Un soldado raciona su agua para 10 días. Después de 4 días le dicen que debe hacer
alcanzar el agua para 8 días más. ¿En qué porcentaje debe disminuir su ración de agua ?
a) 80 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) Ninguna de las anteriores
111111111111.... Cuatro chicos son enviados al director del colegio por indisciplinados en clase. Para
esperar su castigo tienen que esperar en fila ante la puerta del despacho, ninguno quiere ser el
primero desde luego. Los niños se llaman Andrés, Benito, Carlos y Daniel (los llamaremos A,
B, C y D). Queremos escribir todos los órdenes posibles, por ejemplo: Para el orden ABCD, 1,
2, 3 y 4 respectivamente escribimos ABCD, ¿Cuantas formas diferentes hay en total?
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) Ninguna de las anteriores
112112112112.... En una urna hay tres bolas numeradas con los dígitos 2, 4 y 7 extraemos una bola de laurna y anotamos su número, sin devolver la bola extraída, se extrae una segunda bola y se
7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
111111119.9.9.9. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la
más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La
que practica gimnasia es:
a) Ana b) Beatriz c) Carmen d) Luisa e) Ninguna de las anteriores
121212120.0.0.0. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la
más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. La
que practica tenis es:
a) Ana b) Beatriz c) Carmen d) Luisa e) Ninguna de las anteriores
121121121121.... Un recipiente con 10 litros de agua contiene 15 gramos de sal común, semezcla con otro recipiente
con 15 litros de agua con 10 gramos de sal común,un litro de la nueva solución contiene:
a) 2,5 gramos de sal b) 1,5 gramos de sal c) 1 gramos de sal
d) 2 gramos de sal e) Ninguna de las anteriores
122122122122.... Un hombre que quería comprar unos cigarrillos que costaban 100 centavos, entregó al
vendedor un billete de 10 dólares, éste no tenía cambio y cambió el billete en la tienda de
comestibles de al lado, y le devolvió a su cliente 9 dólares. Una vez que éste se hubo
marchado, apareció el tendero, alegando que el billete de 10 dólares era falso y al vendedor nole quedo más remedio que restituirle su dinero. ¿Cuánto perdió el vendedor?
a) 9 dólares b) 1 dólares c) 10 dólares d) 11 dólares e) Ninguna de las anteriores
123123123123.... Un hombre tiene en su poder 9 monedas de oro. Sabe que una de las monedas no pesa
lo suficiente. Utilizando una balanza provista de dos platillos, y un fiel que indica únicamente la
igualdad de peso de ambos platillos. ¿Cuántas veces tiene que pesar como mínimo las
monedas para descubrir la que pesa menos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna de las anteriores
124124124124.... Pedro compro 4 botellas de cerveza ordinaria y José sólo una de cerveza tipo Pilsen.
Ésta última costo dos veces más que una botella de cerveza ordinaria. Francisco no compro
nada, pero aportó 50 pesetas, que se utilizaron para sufragar los gastos totales. Si las 50
pesetas de Francisco bastaron para pagar su parte, ¿Cuanto costo la botella de cerveza tipo
Pilsen?
a) 75 b) 30 c) 50 d) 46 e) Ninguna de las anteriores
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En lasEn lasEn lasEn las preguntas 1preguntas 1preguntas 1preguntas 122225555 a 1a 1a 1a 122227777 proceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que haproceda de acuerdo al ejemplo que ha
Continuación se expone:Continuación se expone:Continuación se expone:Continuación se expone:
Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta: Ejemplo:
Respuesta 12
121212125555.... Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 12 b) 3 c) 10 d) 1 e) Ninguna de las anteriores
121212126.6.6.6. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) Ninguna de las anteriores
121212127.7.7.7. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 11 b) 9 c) 13 d) 10 e) Ninguna de las anteriores
7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
En las preguntas 1En las preguntas 1En las preguntas 1En las preguntas 122228888 a 1a 1a 1a 133335555 inserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacioinserte el número que falta en el espacio correspondiente. Lacorrespondiente. Lacorrespondiente. Lacorrespondiente. La
misma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de losmisma regla aritmética vincula cada uno de los números denúmeros denúmeros denúmeros de abajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente deabajo con el correspondiente de
arriba.arriba.arriba.arriba.
Ejemplo: Inserte en el espacio correspondiente, el número que falta:
El número que falta es el 5, puesto que el número de las casillas inferiores superan en uno a
los de las casillas superiores.
121212128.8.8.8. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 4 b) 10 c) 6 d) 2 e) Ninguna de las anteriores
121212129.9.9.9. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 11 b) 3 c) 6 d) 9 e) Ninguna de las anteriores
131313130.0.0.0. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 19 e) Ninguna de las anteriores
131313131.1.1.1. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 18 b) 22 c) 32 d) 20 e) Ninguna de las anteriores
131313132.2.2.2. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 16 b) 17 c) 23 d) 12 e) Ninguna de las anteriores
7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
111133333.3.3.3. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 25 b) 14 c) 22 d) 38 e) Ninguna de las anteriores131313134.4.4.4. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) Ninguna de las anteriores
131313135.5.5.5. Inserte en el espacio correspondiente el número que falta:
a) 15 b) 13 c) 18 d) 21 e) Ninguna de las anteriores
En laEn laEn laEn la resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136resolución de los ejercicios 136 aaaa 145145145145 se debe insertar el númerose debe insertar el númerose debe insertar el númerose debe insertar el número que corresponda segúnque corresponda segúnque corresponda segúnque corresponda según
la relación aritméla relación aritméla relación aritméla relación aritmética existente entre ellos.tica existente entre ellos.tica existente entre ellos.tica existente entre ellos.
Ejemplo: Inserte el número que corresponda:
7 9 13 ___ 37
Las cifras van incrementando primero en 2 luego en 4 posteriormente en 8, en 16 y así
sucesivamente, por lo tanto se inserta el número 21.
111136363636.... Complete la serie: 1, 7, 21, 35, 35, ___
a) 49 b) 21 c) 42 d) 56 e) Ninguna de las anteriores
111137373737.... Complete la serie: 1, 3, 6, ___, 15
a) 12 b) 8 c) 9 d) 10 e) Ninguna de las anteriores
138138138138.... Inserte el número que corresponda 5 10 15 25 40 ___
a) 60 b) 55 c) 65 d) 75 e) Ninguna de las anteriores
139139139139.... Inserte el número que corresponda 33
22
3
11 ─
3
1___
a) ─ 3
2b) ─1
3
1c) ─1
3
2d) ─2
3
1e) Ninguna de las anteriores
140140140140.... Inserte el número que corresponda 2 3 7 16 32 ____
a) 48 b) 50 c) 54 d) 57 e) Ninguna de las anteriores
111141414141.... Inserte el número que corresponda 12 8 14 7 16 6 ___
a) 20 b) 18 c) 4 d) 22 e) Ninguna de las anteriores
142142142142.... Hallar el término que continua 8 11 16 23 ____
a) 30 b) 26 c) 32 d) 28 e) Ninguna de las anteriores
143143143143. Qué término falta 2 5 ____ 11 14 17a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) Ninguna de las anteriores
7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima. ¿ Cuál es el máximo
valor que puede obtener el bisabuelo ?
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) No se puede determinar.
165165165165.... Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia
eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un
número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que quedarán vacías en
esa fila ?
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) No se puede determinar.
166166166166.... Cuatro amigas van al cine y encuentran una fila de seis butacas vacías numeradas del 1 al 6. Alicia
eligió una butaca con numeración mayor en 2 unidades que la de Bety. Daniela eligió la butaca con un
número impar mayor que la de Alicia. ¿ Cuánto suman los números de las butacas que ocupan Daniela y
Bety en esa fila ?
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) No se puede determinar.
167167167167.... Abel, Beto, Paco y Pocho tienen $4, $6, $10 y $11, no necesariamente en ese orden. Se sabe que:
Abel no tiene $4, ni Paco $6. Beto no tiene $11, ni tampoco $6. Abel y Beto juntos tienen $21. ¿
Cuánto tienen juntos Beto y Pocho ?
a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) No se puede determinar.
168168168168.... En un almuerzo estaban presentes: Padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2
primos. ¿ Cuál es el menor número de personas presentes ?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 9 e) No se puede determinar.
169169169169.... Una señora le muestra la foto de un hombre a su hija y le dice: “ La medre de ese hombre es la
suegra de mi marido “. ¿ Qué viene a ser la hija de la señora, del hombre de la foto ?a) Su hija b) Su sobrina c) Su nieta d) Su nuera e) Su hermana
170170170170.... Ana es mayor que Katy. Silvia es menor que Julia, quién es menor que Ana. Katy es menor que
Silvia. ¿ Quién es la mayor ?
a) Katy b) Ana c) Silvia d) Julia e) No se puede determinar.
171171171171.... La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad A. La ciudad A tiene menos habitantes que la
ciudad Y, pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿ Qué ciudad tiene menos
habitantes ?
a) X b) Y c) Z d) A e) No se puede determinar.
172172172172.... En una carrera compiten 5 amigos: Antonio llegó antes que Armando, quien llegó en cuarto lugar. Si
Arsesio llegó inmediatamente después que Angel, Arsesio llegó después que Antonio y Angel llegó antes
que Ernesto. ¿ Quién llegó en segundo lugar ?
a) Antonio b) Angel c) Arsesio d) Armando e) Ernesto
173173173173.... El volcán Temboro está ubicado al Este del Krakatoa. El volcán Singapur al Oeste del Krakatoa. El
Sumatra a su vez ésta ubicado al Oeste del Singapur. ¿ Cuál es el volcán ubicado más al Este ?
a) Krakatoa b) Singapur c) Sumatra d) Temboro e) No se puede determinar.
174174174174.... Se tiene un edificio de seis pisos en el cuál viven seis personas A , B , C , D , E y F ; cada una en un
piso diferente. Si se sabe que: E vive adyacente a C y B. Para ir de la casa de E a la de F hay quebajar 3 pisos. A vive en el segundo piso. ¿ Quién vive en el último piso ?
7/10/2019 Banco de Problemas Septiembre2011-Julio2012
175175175175.... Ocho estudiantes de diversas aulas de la facultad de Ingeniería, van al comedor, se sientan en una
mesa circular guardando la misma distancia entre sí: El del 110 está frente al del 121 y es el único en
medio del 112 y 122. El del 124 está a la izquierda del de 121 y frente al del 112. Frente al del 122
está el del 113, éste a su vez está a la izquierda del de 123. ¿ Cuál de ellos está entre los estudiantes del
104 y 121 ?
a) 113 b) 112 c) 123 d) 124 e) Ninguno de los anteriores.
176176176176.... Cuatro hermanos: Ana, Pachy, Susy y Paulo, para hacer sus tareas se sientan alrededor de una
mesa circular con 4 sillas igualmente separadas entre si. Sabemos que: Pachy se sienta a la derecha de
Susy. Los hermanos cuyos nombres tienen la misma cantidad de letras no se sientan juntos. ¿ Quién está
sentado frente a Paulo ?
a) Pachy b) Ana c) Susy d) Polo e) No se puede determinar.
177177177177.... Adolfo es mayor que Alfonso; Aniceto es menor que Alonso y Alfonso es más viejo que Alonso. ¿
Quién posee más dinero, si está en relación directa con las edades ?
a) Alfonso b) Adolfo c) Aniceto d) Alonso e) No se sabe.
178178178178.... Ana, Aurora, Elcira y Bety viven en cuatro casas contiguas: Ana está al este de Elcira. Aurora no
está al oeste de Bety, Ana vive muy al lado de Bety y Elcira. ¿ Quién vive en el extremo derecho ?
a) Aurora b) Elcira c) Aurora o Elcira d) Bety e) No se sabe.
179179179179.... se tiene en una urna, 4 bolas negras, 6 bolas blancas y 5 bolas azules. ¿ Cuántas bolas deberán
extraerse como mínimo, para tener la certeza de tener dos bolas negras ?
a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) No se puede determinar.
180180180180.... Se tienen 50 bolos numerados desde el 1 hasta el 50. ¿ Cuántos bolos, como mínimo, se debenextraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 30 ?
a) 40 b) 30 c) 45 d) 35 e) No se puede determinar.
181181181181.... Se tienen 10 candados con igual número de llaves. ¿ Cuántos insertos como mínimo se deben
realizar para determinar la correspondencia entre llaves y candados ?
a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) No se puede determinar.
182182182182.... Se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extraer al azar, para
tener la certeza de extraer 5 tréboles y 10 espadas ?
a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) No se puede determinar.
183183183183.... se tiene un mazo de 52 cartas. ¿ Cuántas barajas, como mínimo, se deben extrae al azar, para tener
la certeza de extraer 2 ases ?
a) 52 b) 51 c) 50 d) 49 e) No se puede determinar.
184184184184.... En una caja hay 5 pares de zapatos negros y 4 pares de zapatos cafés. ¿ Cuántos zapatos hay que
extraer para obtener un par útil del mismo color ?
a) 10 b) 18 c) 8 d) 16 e) No se puede determinar.
185185185185.... En cierto depósito se tienen 3 pares de guantes rojos y 3 pares de guantes negros. ¿ Cuántos
guantes deben extraerse al azar para obtener con seguridad un par de guantes útiles de color negro ?a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) No se puede determinar.
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CANTIDAD ESCALAR.- o simplemente escalar es una magnitud que no tiene nada que ver con direccionesespaciales. Muchos conceptos fiscos tales como longitud, tiempo, temperatura, masa, densidad carga eléctrica yvolumen son escalares; cada una tiene una escala o tamaño (valor), pero no tiene asociada una dirección. El número deestudiantes en la clase, la cantidad de azúcar en una taza de café, el costo de una casa o de cualquier otro objeto sonejemplos familiares de escalares.Los escalares se especifican mediante números ordinarios y se suman y restan de acuerdo a las propiedades de losnúmeros reales.
VECTOR O CANTIDAD VECTORIAL.-
El vector es una representación gráfica de una magnitud física vectorial, el cual es definida a partir de tres de suscomponentes:
Módulo: Valor de un vector que determina el tamaño de este. Es decir, a mayor valor del vector (módulo) mayor serásu tamaño en una representación gráfica.
Sentido: Esta definido según “hacia donde apunte la flecha del vector”. Si bien existe una relación estrecha entresentido y dirección de un vector, estos términos poseen significados distintos.
Dirección: la dirección de un vector está definido por el ángulo existente entre las líneas de acción del vector y la líneade referencia. Está última es determinada en forma arbitraria por quién está desarrollando el análisis vectorial.
Varios conceptos físicos como desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento, campo eléctrico soncantidades vectoriales. Una cantidad vectorial puede ser representada geométricamente mediante una flecha dibujada aescala. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud de la cantidad vectorial (2 cm, 20 N, 40 km/h). Ladirección de la flecha indica la dirección de la magnitud vectorial.
En material Impreso los vectores se representa mediante negrita, A; B, F; P o también como Ar
, etc. Los vectores noquedan completamente especificados hasta que no se establezca la regla para su comportamiento.
LA RESULTANTE O SUMA DE VECTORES.- de un tipo particular (vectores de fuerza, de velocidad de momento,por ejemplo) es un vector simple que tiene el mismo efecto o resultado de todos los vectores originales tomadosconjuntamente.
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1. (METODO POLIGONAL).- Este método es para encontrar la resultanter R de algunos vectores ( , ,
r rr A B C ) y
consiste en ir uniendo consecutivamente el inicio de un vector con el final del otro, respetando las escalas y las
direcciones. El orden de la suma puede ser cualquiera + + = + + =+ + = + + =+ + = + + =+ + = + + =r r r rr r r A B C C A B R
La resultante queda representada por una flecha con su extremo inicial coincidiendo con el extremo inicial del primer
vector que se va a sumar y la punta final coincidiendo con la punta final del último vector que se sumo. Sir R es la
resultante, R = r R es el tamaño o magnitud de la resultante.
Ejemplo: Sea los siguientes vectores con sus módulos en centímetros.
El bosquejo muestra la obtención del vector resultante para la operación de álgebra de vectores:
2. METODO DEL PARALELOGRAMO.- La resultante de dos vectores actuando bajo cualquier ángulo se puederepresentar por la diagonal de un paralelogramo. Los dos vectores son dibujados como lados del paralelogramo y laresultante es la diagonal que sale desde el origen de los dos vectores.
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SUSTRACCION DE VECTORES.- Para sustraer el vectorr B del vector
r A hay que invertir el sentido del vector
r B , manteniendo su dirección y sumarlo al vector
r A , esto es (((( ))))− = + −− = + −− = + −− = + −
r rr r A B A B
. Y en el paralelogramo es la otradiagonal, con el sentido hacia el vector minuendo.
DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR .-
La obtención de las componentes de un vector se puede lograr utilizando un método de cálculo. Para ello, se hacenecesario utilizar las funciones trigonométricas seno (sen) y coseno (cos). Con las cuales, al multiplicar el módulo delvector (v) con las funciones coseno y seno obtenemos las componentes Rx y Ry respectivamente. Observe como las
funciones coseno y seno son aplicadas sobre el ánguloθ de inclinación del vector R.
Nota: Dependiendo del ángulo que posea el vector respecto a la referencia horizontal, la interpretación del signo de lacomponente al determinarla a través del método de cálculo está ligada con el signo que acompaña a las funciones senoy coseno al considerar los cuadrantes del plano cartesiano. Así por ejemplo, la componente en el eje X del vector R espositiva, dado que el coseno del ángulo del vector R es positivo. Otro ejemplo sería los signos negativos para ambascomponentes de un vector (ubicado en el 3er cuadrante, donde el seno y coseno son negativos).
cos x
R R θ θθ θ ====r r
y sin y
R R θ θθ θ ====r r
,o en forma equivalente Rx = R cosθ θθ θ , Ry = Rsinθ θθ θ
COMPONENTES PARA LA SUMA DE VECTORES.-Cada vector se descompone en sus componentes x, y, ztomando las componentes negativas en dirección negativa. La componente escalar x de la resultante R x, es igual a lasuma algebraica de las componentes de los vectores que se están sumando, de igual manera se obtiene Ry y Rz. Cuandose conocen las componentes la magnitud de la resultante está dada por:
2 2 2 x y z R R R R= + +
En dos dimensiones el ángulo que forma la resultante con el eje x puede ser encontrado de la relación
tan y
x
R
Rθ =
LOS VECTORES UNITARIOS .-tienen magnitud igual a uno y se representan por letras negritas, o con su respectivaflecha. Los vectores unitarios especiales i, j, k se asignan a los ejes x, y, z respectivamente. Un vector 3i representa unvector en la dirección x con magnitud igual a 3, mientras el vector -5k representa un vector en la dirección –z de
magnitud 5. Un vectorr
R que tienen las componentes escalares x, y, z ,Rx, Ry, Rz, puede ser escrito como:
rr r r x y z
R R i R j R k = + +
EL DESPLAZAMIENTO.- Cuando un objeto se mueve en el espacio de un punto a otro el desplazamiento es unvector que va desde la posición inicial a la posición final. Este es independiente de la distancia real que ha viajado elobjeto.
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Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulode vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).Partiendo de un escalar ( n ∈ R ) y de un vector , el producto de por
es , es el producto de cada una de las componentes del vector por elescalar, representando el vector por sus componentes:
si lo multiplicamos por el escalar n:
esto es:
Representando el vector como combinación lineal de los vectores:
y multiplicándolo por un escalar n:
esto es:
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.-
El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otrageométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.
Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichosvectores es:
En que ar
y br
corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse
que
Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:
Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente,la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,
De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando lascomponentes cartesianas de los vectores,
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PRODUCTO VECTORIAL.-Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial R3. El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector,c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:
El módulo de c está dado por
θ senbac =
donde θ es el ángulo entre a y b.
La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto
cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediantea ∧ b cuando escriben a mano.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
θ senbanbar
=×
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla delsacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama amenudo también regla de la mano derecha.
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16.- El módulo de la suma de dosvectores es igual a la suma de susmódulos│A + B│= │A│+│B│ cuando:a) Los vectores tienen igual módulo y
distinta direcciónb) Los vectores son perpendicularesentre sí
c) Los vectores tienen igual direccióny sentido contrario
d) Los vectores tienen igual direccióny sentido
e) Ninguna de las anteriores
17.- La velocidad es una MagnitudFísica
a) Escalonada creciente o decrecienteb) Discontinuac) Escalard) Vectoriale) Ninguna de las anteriores
18.- Dos desplazamientos tienenmódulos iguales a 3 metros y a 4metros respectivamente el módulo dela resultante es 7 metros cuando:a) Los dos son perpendiculares entre sí b) Siempre ya que 4+3=7c) Tienen igual dirección y sentidod) Tienen igual dirección y sentido
contrarioe) Ninguna de las anteriores
19.- El producto de un escalar C > 0por un vector da como resultado:a) Una magnitud escalarb) El valor del escalar al cuadrado
c) Un vector de igual dirección ysentido con un módulo igual a Cveces el módulo del vector
d) No existe la multiplicación de unescalar por un vector
e) Ninguna de las anteriores
20.- El producto de un escalar C < 0por un vector da como resultado:a) Una magnitud escalarb) El valor del escalar al cuadrado
c) Un vector de igual dirección ysentido contrario con un módulo
igual a C veces el módulo delvector
d) No existe la multiplicación de unescalar por un vector
e) Ninguna de las anteriores
21.- La aceleración es una MagnitudFísicaa) Escalonada creciente o decrecienteb) Discontinuac) Escalard) Vectoriale) Ninguna de las anteriores
22.- El producto escalar de dosvectores es igual a:
a) La suma de sus módulosb) Al producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman entresí los dos vectores.
c) Al producto de sus módulos por elseno del ángulo que forman entre sí los dos vectores.
d) No se pueden multiplicar dosvectores
e) Ninguna de las anteriores
23.- El producto escalar de un vectorpor si mismo da como resultado:a) El cuadrado de su módulob) Otro vector cuyo módulo es el
cuadrado del módulo del vector quese multiplica por si mismo
c) Cerod) No es posible ésta operacióne) Ninguna de las anteriores
24.- El producto escalar de dosvectores de igual dirección y sentido,da como resultado:a) La suma de sus módulosb) La resta de sus módulosc) El producto de sus módulosd) Ceroe) Ninguna de las anteriores
25.- El producto escalar de dosvectores de igual dirección y sentido
contrario, da como resultado:a) La suma de sus módulos
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b) La resta de sus módulosc) Menos el producto de sus módulosd) Ceroe) Ninguna de las anteriores
26.- Para que la suma de tres vectoressea cero, debe:a) Los vectores tener igual módulob) Uno de los vectores ser ceroc) Uno de los vectores tener como
módulo, el módulo de unocualquiera de los otros dos vectoresy ser de dirección contraria
d) Uno de los vectores tener comomódulo, el módulo de la suma de losotros dos vectores y ser de dirección
contrariae) Ninguna de las anteriores
27.- La suma algebraica de losmódulos de dos vectores de distintadirección es:a) Mayor que el módulo de la suma
vectorial de dichos vectoresb) Menor que el módulo de la suma
vectorial de dichos vectoresc) Igual que el módulo de la suma
vectorial de dichos vectoresd) Es indiferentee) Ninguna de las anteriores
28.- Si los vectores A y B forman unángulo θ el módulo del vector │A -B│ es:
a) θ cos222 AB B A ++
b) 2
B A +
c) 22
B A + d) θ θ Bsen A +cos e) Ninguna de las anteriores
29.- Si los vectores A y B forman un
ángulo θ el módulo del vector │A -B│ es:
a) θ cos222 AB B A −+
b) 2
B A −
c)
22 B A −
d) θ θ Bsen A −cos e) Ninguna de las anteriores
30.- Si el vector A indica la posicióninicial de un cuerpo y el vector B laposición final del mismo, el vectortraslación del cuerpo es:
a) Módulo de A+Bb) Módulo de A-B
c) → →
− B A
d) → →
− A B e) Ninguna de las anteriores
31.- Un cuerpo se traslada hacia eleste 4 Km, luego hacia el oeste 8 Km yfinalmente hacia el norte 3 Km. Elmódulo de su traslación total es:a) 15 Kmb) 5 Kmc) 7 Kmd) No se pueden sumar vectores de
distintas direccionese) Ninguna de las anteriores
32.- Señale la operación vectorialcorrecta:a) A + B = A - B
b) A - B = B - Ac) A – B = - (B – A)d) │A + B│= A.Be) Ninguna de las anteriores
33.- Si el producto escalar de losvectores A y B es igual al productoescalar de los vectores A y C,entonces:a) Solo si B = Cb) Solo si B ≠ C
c) Puede ser B = C ó B ≠ Cd) No tiene relacióne) Ninguna de las anteriores
34.- Si la suma de los vectores A y Bes igual al Vector C y la suma delmódulo de A más el módulo de B esigual al módulo de C, entonces:a) Los vectores A y B son
perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y
de sentido contrario
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c) Los vectores A y B son paralelos ydel mismo sentido
d) No se da ese casoe) Ninguna de las anteriores
35.- Si el módulo de la suma vectorialde A y B es igual al módulo de A – Bentonces los vectores A y B son:a) Los vectores A y B son
perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y
de sentido contrarioc) Los vectores A y B son paralelos y
del mismo sentidod) No se da ese casoe) Ninguna de las anteriores
36.- Si el vector B es igual al productode una constante K por el vector Aentonces B es:a) Los vectores A y B son
perpendiculares entre Sí b) Los vectores A y B son paralelos y
de sentido contrarioc) Los vectores A y B son paralelos y
del mismo sentidod) No se da ese casoe) Ninguna de las anteriores
37.- Se está probando un automóvilen una pista circular de radio R. Elmódulo del vector desplazamientodespués de haber completado mediavuelta es:a) π Rb) 2 R
c) 2 R
d) 2 R e) Ninguna de las anteriores
38.- Se está probando un automóvilen una pista circular de radio R. Elmódulo del vector desplazamientodespués de haber completado unavuelta es:a) π Rb) 2 R
c) 2 Rd) Cero
e) Ninguna de las anteriores
39.- Una magnitud Física es vectorialcuando para su plena determinaciónes necesario conocer:
a) El valor numérico de la magnitudb) El valor numérico, su dirección y susentido
c) Su valor funcional en dependenciadel tiempo
d) Su valor funcional en dependenciade la trayectoria
e) Ninguna de las anteriores
40.- Cuando se suman más de dosvectores de distintas direcciones y su
resultado es cero se obtiene:a) Una figura geométrica abiertab) Un polígono cerradoc) Una rectad) No se pueden sumar vectores de
distintas direccionese) Ninguna de las anteriores
41.-Dos vectores de la misma naturalezaposeen módulos A = 6 y
B = 10, formando entre sí un ángulo θ .La medida del ángulo θ , si suresultante es R = 14 es :a) π /3 b) π /6 c) π d) π /4 e) Ninguna de las anteriores
42.- Dos vectores coplanares y
concurrentes tienen una resultanteque mide 74 unidades, y sucorrespondiente vector diferenciamide 37 unidades. El ángulo queforman dichos vectores, si se sabeademás que sus módulos son igualeses:a) 57°b) 53°c) 55°d) 51°
e) Ninguna de las anteriores
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LA RAPIDEZ Es una magnitud escalar. Si un objeto le toma un tiempo t en viajar una distancia l , entonces:Rapidez promedio = distancia total viajada / tiempo empleado
pro
lv
t =
En esta expresión la distancia es la longitud total viajada a lo largo del camino.
LA VELOCIDAD es una magnitud vectorial. Si un objeto realiza un desplazamiento s en un intervalo de tiempo
t entonces: Velocidad promedio = vector desplazamiento/ tiemporr
pro
sv
t =
La dirección del vector velocidad es la misma que del vector desplazamiento. Las unidades de la velocidad yrapidez son las mismas de la distancia dividida por el tiempo, es decir m/s, km/h.
LA ACELERACION mide el cambio de la velocidad con el tiempo.
Aceleración promedio = cambio en el vector velocidad / tiempo
r rr f i
pro
v va
t
−=
Donde ri
v es la velocidad inicial, rv es la velocidad final y t es el intervalo de tiempo en el cual ha ocurrido
el cambio de la velocidad; las unidades de la aceleración son las de velocidad dividida para el tiempo. Sonejemplos típicos (m/s)/s = m/s2 , otro es (km/h)/s Km/h.s. Tome en cuenta que la aceleración es una magnitudvectorial que tiene la dirección del cambio de la velocidad
r f v -
ri
v .
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. Esta es una situación importante. En estecaso el vector aceleración es constante y está dirigido a lo largo de la línea del vector desplazamiento por loque la dirección de
rv y de
ra puede ser especificada con signo + o -. Si representamos el desplazamiento por
s (positivo si está en la dirección positiva y negativo si está en la dirección negativa), el movimiento se puededescribir con las siguientes cinco ecuaciones del Movimiento Uniformemente Acelerado:
2 2
2
2
2
1
2
pro
f i
pro
f i
f i
i
s v t v v
v
v va
t
v v as
s v t at
=+
=
−=
= +
= +
Frecuentemente s es reemplazado por x o y si el movimiento es en el plano, y a veces vf y vi se escriben comov y vo respectivamente.
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VELOCIDAD INSTATÁNEA es la velocidad promedio evaluada para un intervalo de tiempo que se aproxima acero. Así si un objeto realiza un desplazamiento
rs∆ en un intervalo de tiempo t ∆ , entonces para este objeto la
velocidad instantánea es:
0
rr
t
sv lím
t ∆ →
∆=
∆
Donde el significado de la expresión anterior es que la relaciónrs∆ / t ∆ debe ser evaluada para un intervalo de
tiempo t ∆ que se aproxima a cero. Las interpretaciones gráficas para el movimiento a lo largo de una línearecta son las siguientes:
1.- La velocidad instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la gráfica deldesplazamiento versus tiempo en ese instante de tiempo, esta puede ser positiva, negativa o cero.2.-La aceleración instantánea de un objeto en cierto instante de tiempo es la pendiente en la grafica de lavelocidad versus tiempo en ese instante de tiempo.3.- Para el movimiento con velocidad constante la gráfica de x versus t es una línea recta. Para un movimiento
con aceleración constante la gráfica de velocidad versus tiempo es una línea recta.4.-En general para una, dos o tres dimensiones la tangente de la grafica distancia versus tiempo en cualquierinstante de tiempo es la rapidez.
ACELERACION DEBIDA A LA GRAVEDAD (g): La aceleración de un cuerpo que se mueve solo bajo laacción de la fuerza de gravedad es g, aceleración de la gravedad o de caída libre que está dirigidaverticalmente hacia abajo. En la tierra g = 9,8 m/s2 o (32,2 ft/s2). En la luna la aceleración de caída libre es 1,6m/s2.
COMPONENTES DE LA VELOCIDAD: suponiendo que un objeto se mueve con la velocidad v bajo ciertoángulo con respecto al eje x, entonces la velocidad tiene componentes en x y y,
r x
v yr yv . Las componentes
escalares correspondientes son:
cos xv v θ = yv v sinθ = Estas componentes pueden ser valores positivos o negativos dependiendo del ángulo θ .Como regla:1.- Si la velocidad está en el primer cuadrante vx > 0, vy > 02.-Si la velocidad está en el segundo cuadrante vx < 0, vy > 03.- Si la velocidad está en el tercer cuadrante vx < 0, vy < 04.- Si la velocidad está en el cuarto cuadrante vx > 0, vy < 0
MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Puede ser analizado fácilmente si es ignorada la fricción del aire. Se debeconsiderar éste movimiento como dos movimiento independientes: Movimiento horizontal con a = 0 y velocidadfinal = velocidad inicial = velocidad promedio, esto es con rapidez constante; y un movimiento vertical con a = g= 9,8 m/s2 hacia abajo.
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1. La figura muestra la trayectoria de una pelota.En el punto A, de altura máxima
a) la velocidad es 0, pero la aceleración no es 0.
b) la velocidad, no es 0, pero la aceleración es 0.c) la rapidez es menor que en B, pero la aceleración
es mayor en B.
d) la velocidad y la aceleración son perpendicularesentre si.
e) ninguna de las anteriores
2. Una piedra se arroja hacia arriba y alcanzauna altura H antes de caer de nuevo al piso T segundos después. Su velocidad media duranteel intervalo de tiempo T es
a) 0. c) H/T.b) H/2T. d) 2H/T.c) ninguna de las anteriores
3. Un automóvil que viaja con una rapidezinicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si ladesaceleración durante este intervalo esconstante, ¿cuál de las siguientes afirmacioneses correcta para dicho intervalo?
a) La distancia recorrida es (v.t) / 2.b)La rapidez media es v.t.c) La aceleración es –v / 2.d)La distancia recorrida es (v.t2) / 2.
4. Una pelota se arroja verticalmente haciaarriba; alcanza su punto más alto y regresa.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta?a) La aceleración siempre está en la direcci6n del
movimiento.b) La aceleración siempre se opone a la
velocidad.c) La aceleración siempre está dirigida hacia
abajo.d) La aceleración siempre está dirigida haciaarriba.
5. Un objeto se deja caer desde el reposo.
Durante el primer segundo cae una distancia S1 y una distancia adicional S2 en el siguientesegundo; la relación S2/S1 es
a) 1. c) 3.
b) 2. d) 5.
6. Una piedra se tira hacia arriba y alcanza unaaltura H antes de caer al piso T segundosdespués. Su rapidez media durante el intervalo T es
a) 0. c) H/T.
b)H/2T. d) 2H/T.
7. Una piedra de masa M se lanza hacia arriba,con una velocidad inicial vo; alcanza una alturaH. Una segunda piedra de masa 2M se tira haciaarriba con una velocidad inicial de 2v0. ¿.Quealtura alcanzará?
a) H/2. d) 2H.b) H e) 4H.c) 2 H .
8. Una pelota se arroja hacia arriba. Después deque se suelta su aceleración:
a) permanece constante. c) disminuye.b) aumenta. d) es cero.
9. Una piedra de masa m 1 se deja caer desde eltecho de un edificio alto. Al mismo instante, otrapiedra de masa m 2 se deja caer desde unaventana 10 m abajo del techo. La distancia entrelas dos piedras durante su caída.
a) disminuye.b) permanece en 10 m siempre.c) aumenta.
d) depende de la relación m 1 / m 2 10. Una maceta se cae desde el pretil de unaventana de un quinto piso. Exactamente cuandopasa por la ventana del tercer piso alguien dejacaer accidentalmente un vaso de agua desdeesa ventana. ¿Cual de las siguientesafirmaciones es correcta?
a) La maceta llega primero al piso y con unavelocidad mayor que la del vaso.
b)La maceta toca el piso al mismo tiempo que el
vaso, pero la rapidez de la maceta es mayor.
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c) La maceta y el vaso tocan el piso al mismoinstante y con la misma velocidad.
d)El vaso toca el piso antes que la maceta.
11. Una piedra se lanza horizontalmente desdeuna barranca de 20 m de altura con unavelocidad inicial de 10 m/s. Una segunda piedrase deja caer simultáneamente desde esabarranca. ¿Cuál de las afirmaciones siguienteses la correcta?
a) Ambas chocan con el suelo con la mismavelocidad.
b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez.
c) Durante el vuelo, es igual al cambio develocidad de ambas piedras.
d) Durante el vuelo, es igual al cambio de larapidez de ambas piedras.
12. Una pelota de beisbol, al ser golpeada por unbateador, viaja hacia los jardines. La aceleraciónde la pelota durante el vuelo es:
a) la misma durante todo el trayecto.b)depende de si la pelota va hacia arriba o hacia
abajo.c) máxima en la cúspide de su trayectoria.d) depende de cómo se le pegóe) ninguna de las anteriores
13. Dos pelotas se tiran horizontalmente desdeun edificio alto al mismo tiempo, una convelocidad v0 y la otra con velocidad v 0 / 2
a) La pelota con velocidad inicial v0 llega primeroal suelo.
b) La pelota con velocidad inicial v 0 / 2 llegaprimero al suelo.
c) Ambas pelotas llegan al suelo al mismotiempo.
d) No se puede saber cual llega primero si no seconoce la altura del edificio.
14. Un vehículo viaja por una pista circular avelocidad constante.
a) Su aceleración es cero.b)Su aceleración es constante.c) Tanto a) como b) son correctos.d)Ni a) ni b) son correctos.
15. Dos proyectiles, A y B se disparan desde elpiso plano horizontal con velocidades inícialesidénticas. La velocidad inicial de A hace unángulo
Aθ con la horizontal, y B hace un ángulo
Bθ también con la horizontal. Si Aθ <
Bθ < 90 °
a) el proyectil B dura más tiempo en el aire yviaja más lejos que A.
b)el proyectil B dura más tiempo en el aire y no
llega tan lejos como el A. c) el proyectil B dura más tiempo en el aire y
alcanza mayor elevación que el proyectil A
d) tanto a) como b) son correctas.
16. Un cazador le tira a un pato que vuelahorizontalmente a una altura H. El intervalo detiempo entre el acertar al pato y cuando estellega al suelo depende de
a) que tan rápido volaba el pato.b) cuán rápido volaba el pato y cuál era la altura
H.
c) la altura H. d) la altura H y la distancia entre cl cazador y cl
pato cuando lo alcanzo la bala.
17. Dos automóviles, A y B, viajando avelocidades VA y VB se acercan por unacarretera recta. Cuando t = 0, están a unadistancia de 2 km. El tiempo que tardan enencontrarse es proporcional a:
a) A B
V V ++++r r
b) A B
V V −−−−r r
c) 1 A BV V −−−−r r
d) 1 A BV V ++++r r
18. Un pequeño aeroplano sigue el rumbo nortesegún su brújula. Su velocidad en el aire es de80 km/h. Sopla un fuerte viento del noreste alsuroeste también a 80 km/h. La velocidad delaeroplano con respecto al suelo es:
a) 80 km/h.b) mayor que 80 km/h.c) menor que 80 km/h.d) No se puede determinar con la información
proporcionada.
19.- Cuál de las siguientes situaciones esimposible:
a) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el estey una aceleración hacia el oeste
b) Un cuerpo tiene una velocidad cero y unaaceleración diferente de cero
c) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el nortey una aceleración hacia el noroeste
d) Un cuerpo tiene una velocidad constante yuna aceleración constante
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20.- Un niño en una plataforma de un camiónque se traslada en una trayectoria rectilíneahorizontal a velocidad constante, lanza unapelota verticalmente hacia arriba respecto delcamión, sin considerar la resistencia del aire,la pelota cae:
a) En sus manosb) Delante de élc) Atrás de éld) Fuera del camióne) Ninguna de las anteriores
21.- Un cuerpo es lanzado verticalmente haciaarriba, en un planeta en el que la aceleraciónde la gravedad es el doble que la de la Tierra.La altura que sube respecto de la altura alque subiría en la Tierra es:
a) Igualb) El doblec) La mitadd) La cuarta partee) Ninguna de las anteriores
22.- Un cuerpo es lanzado verticalmente haciaarriba, con una velocidad V=2Vo en unplaneta en el que la aceleración de lagravedad es el doble que la de la Tierra. Laaltura que sube respecto de la altura a la quesubiría en la Tierra si se lanzaría con unavelocidad Vo es:
a) Igualb) El doble
c) La mitadd) La cuarta partee) Ninguna de las anteriores
23.- El entrenador de la competencia atléticade 100 metros planos determina que lasvelocidades de Juan y María son de 10 y 9metros por segundo respectivamente,entonces se propone que Juan y Maríacompitan saliendo Juan un segundo después
de María para compensar las velocidades.Entonces al competir:
a) María llega primero que Juanb) Llegan igualesc) Juan llega primero que Maríad) Ninguna de las anteriores
24.- Una persona que está al borde de unedificio, a cierta altura sobre el suelo, lanzaverticalmente hacia arriba una pelota conuna velocidad inicial Vo y después lanza unapiedra verticalmente hacia abajo, con lamisma velocidad inicial Vo; despreciando laresistencia del aire la velocidad con la quellegan al suelo es:a) La pelota llega con mayor velocidad que la
piedrab) La piedra llega con mayor velocidad que la
pelotac) Llegan con igual velocidadd) Ninguna de las anteriores
25.- Dos cuerpos A y B parten del reposo, auna cierta altura h del suelo, el cuerpo A
resbala por una superficie sin friccióninclinada un ángulo θ, el cuerpo B caelibremente, la velocidad con que llegan alsuelo es:
a) Igualb) La velocidad de A es mayor que la de Bc) La velocidad de B es mayor que la de Ad) Depende del ángulo θ e) Ninguna de las anteriores
26.- Una partícula en movimiento rectilíneo
uniforme, parte de la posición P1(3;4) metros,después de 10 segundos se encuentra en laposición P2(33;44) metros, el módulo de lavelocidad de la partícula es:
a) 3 m/sb) 6 m/sc) 7 m/sd) 5 m/se) Ninguna de las anteriores
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27.- Un tren parte de un punto A hacia unpunto B, con una velocidad constante VA, Almismo tiempo parte un automóvil de B haciaA con una velocidad constante VB, si el tren yel automóvil se encuentran, medido desde A aun cuarto de la distancia de A a B, lasvelocidades son:
a) VA = 3/4 VBb) VA = 1/3 VBc) VA = 3 VBd) VA = 1/4 VBe) Ninguna de las anteriores
28.- Un cuerpo recorre una distancia de 100
metros en 5 segundos entre dos puntos P1 yP2 con movimiento rectilíneo uniformementeacelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/s suvelocidad en el punto P1 es de:
a) Cerob) 20 m/sc) 10 m/sd) 5 m/se) Ninguna de las anteriores
29.- Un cuerpo recorre una distancia de 100
metros en 5 segundos entre dos puntos P1 yP2 con movimiento rectilíneo uniformementeacelerado si su velocidad en P2 es de 30 m/ssu aceleración de:
a) 4 m/s²b) 2 m/s²c) 6 m/s²d) 5 m/s²e) Ninguna de las anteriores
30.- Considere un proyectil en lo más alto desu trayectoria, la dirección de su aceleraciónrespecto a la dirección de su velocidad es:
a) La mismab) Depende del ángulo inicial del disparoc) Es perpendiculard) En lo más alto de su trayectoria no tiene
aceleracióne) Ninguna de las anteriores
31.- Si un cuerpo duplica su velocidad Vo entres segundos, su aceleración es:
a) Vo / 3b) 2 Vo / 3c) Vod) 3Voe) Ninguna de las anteriores
32.- Se deja caer un cuerpo desde una alturah desde el suelo, al mismo tiempo se lanza unsegundo cuerpo desde el suelo, con unavelocidad igual a la que el primer cuerpogolpearía el suelo. En el punto de encuentrola velocidad de un cuerpo respecto del otroes:
a) Vo / 4b) Vo/ 2c) Vod) Depende de la alturae) Ninguna de las anteriores
33.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobreun terreno horizontal, con una rapidez
constante de 5 m/s. desde el helicóptero selanza horizontalmente un paquete con unarapidez de 12 m/s respecto a éste y endirección opuesta después de 10 segundostoca el terreno, el paquete ha recorrido unadistancia horizontal respecto a Tierra de:
a) 50 mb) 120 mc) 170 md) 70 m
e) Ninguna de las anteriores
34.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobreun terreno horizontal, con una rapidezconstante de 5 m/s. desde el helicóptero selanza horizontalmente un paquete con unarapidez de 12 m/s respecto a éste y endirección opuesta después de 10 segundostoca el terreno, el helicóptero estuvo a unaaltura de :
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a) 98 mb) 49 mc) 196 md) 64 me) Ninguna de las anteriores
35.- Un helicóptero vuela en línea recta, sobreun terreno horizontal, con una rapidezconstante de 5 m/s. desde el helicóptero selanza horizontalmente un paquete con unarapidez de 12 m/s respecto a éste y endirección opuesta después de 10 segundostoca el terreno, la distancia al helicóptero esde:
a) 50 mb) 120 mc) 170 md) 70 me) Ninguna de las anteriores
36.- Para una misma velocidad inicial en elmovimiento parabólico el ángulo que produceel mayor alcance horizontal es:a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados
d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores
37.- Cuál de los siguientes ángulos delanzamiento en el movimiento parabólicopara una misma velocidad produce la alturamáxima es:a) 0 grados b) 45 grados c) 30 gradosd) 60 grados e) Ninguna de las anteriores
38.- Una partícula que se mueve en líneahorizontal, pasa por las siguientes posiciones
en los instantes de tiempo indicados:
X (metros) 8 5 4 5 8T (segundos) 0 1 2 3 4La velocidad media de la partícula, en elintervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1segundos es:a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/sd) 6 m/s e) Ninguna de las anterior.
39.- Una partícula que se mueve en líneahorizontal, pasa por las siguientes posicionesen los instantes de tiempo indicados:
X (metros) 8 5 4 5 8T (segundos) 0 1 2 3 4La velocidad media de la partícula, en elintervalo de tiempo comprendido entre 0 y 2segundos es:a) -3 m/s b) -4 m/s c) -2 m/sd) 6 m/s e) Ninguna de las
anteriores
40.- Una partícula que se mueve en líneahorizontal, pasa por las siguientes posicionesen los instantes de tiempo indicados:
X (metros) 8 5 4 5 8T (segundos) 0 1 2 3 4
La aceleración de la partícula supuestaconstante, en el intervalo de tiempocomprendido entre 0 y 1 segundos es:
a) No se puede determinar b) 1m/s² c) 2 m/s² d) 6 m/s²
e) Ninguna de las anteriores
41.- Una partícula que se mueve en líneahorizontal, pasa por las siguientes posicionesen los instantes de tiempo indicados:
X (metros) 8 5 4 5 8T (segundos) 0 1 2 3 4
Si la velocidad en t=0 es cero, la aceleraciónde la partícula supuesta constante, en elintervalo de tiempo comprendido entre 0 y 1segundos es:
a) -3 m/s² b) -1 m/s² c) -2 m/s²d) 6 m/s² e) Ninguna de las
anteriores
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42.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo delreposo en una estación, durante la mitad de ladistancia a la siguiente estación, despuésdesacelera 1 m/s² , durante la mitad final delrecorrido. Si las estaciones están separadas100 metros. El tiempo de recorrido entre lasestaciones es:
a) 10 s. b) 20 s. c) 100 s.d) 50 s. e) Ninguna de las anteriores
43.- Un tren acelera 1 m/s² , partiendo delreposo en una estación, durante la mitad de ladistancia a la siguiente estación, despuésdesacelera 1 m/s² , durante la mitad final delrecorrido. Si las estaciones están separadas100 metros. La máxima velocidad del tren es:
a) 10 m/sb) 20 m/sc) 100 m/sd) 50 m/se) Ninguna de las anteriores
44.- Un globo asciende con una rapidez de 12m/s y una aceleración de 1,2 m/s² haciaarriba, en ese instante deja caer un paquete,la velocidad y aceleración iniciales delpaquete serán:
a) 2 / 2,1; / 0 smasmV =↑= ↑
b) 2 / 8,9; / 0 smasmV =↓= ↑
c) 2 / 2,1; / 12 smasmV =↑= ↑
d) 2 / 8,9; / 12 smasmV =↓= ↓ e) Ninguna de las anteriores
45.- Un globo desciende con una rapidez de12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² haciaarriba, en ese instante deja caer un paquete,la velocidad y aceleración iniciales delpaquete serán:
a) 2 / 2,1; / 0 smasmV =↑= ↑
b) 2 / 8,9; / 0 smasmV =↓= ↓
c) 2 / 8,9; / 12 smasmV =↓= ↓
d) 2 / 2,1; / 12 smasmV =↑= ↓
e) Ninguna de las anteriores
46.- Un globo desciende con una rapidez de12 m/s y una aceleración de 1,2 m/s² haciaabajo, en ese instante deja caer un paquete, lavelocidad y aceleración iniciales del paqueteserán:
47.- Un cazador dispara con un ángulo enlínea de vista, a una ardilla que se encuentraen el extremo más alto de un árbol, en elmismo instante en el que dispara la ardilla sedeja caer con la finalidad de no ser alcanzadapor el proyectil. Entonces:
a) El impacto depende de la velocidad delproyectil
b) El impacto depende del ángulo de disparoc) Nunca le impactad) Le impacta siempree) Ninguna de las anteriores
48.- Una bola rueda sobre una mesahorizontal, cayendo al piso en 1 segundo y auna distancia horizontal del borde de la mesade 3 metros. Sin considerar la resistencia del
aire, la rapidez con la que abandona la mesaes:
a) 3 m/s b) ( 3 + gh2 ) c) 6 m/s
d) 3/9,8 m/s e) Ninguna de las anteriores
49.- Una bola rueda sobre una mesahorizontal, cayendo al piso en 1 segundo y a
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una distancia horizontal del borde de la mesade 3 metros. Sin considerar la resistencia delaire, la altura de la mesa:
a) 3 m b) ( 3 + gh2 ) c) 6
m
d) 4,9 m e) Ninguna de las anteriores
50.- Para una misma velocidad inicial en elmovimiento parabólico el ángulo que produceel mayor alcance horizontal es:
a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados
d) 90 grados e) Ninguna de las anteriores
51.- Cual de los siguientes ángulos delanzamiento en el movimiento parabólicopara una misma velocidad produce la alturamáxima:
a) 0 grados b) 45 grados c) 30 grados
d) 60 grados e) Ninguna de las anteriores
52.- La velocidad en el movimientoparabólico es una función del tiempo. SiendoVo su velocidad inicial y θ el ángulo deelevación (ángulo que forma con lahorizontal) su función es:
a) 220
20 2 t gsengtV V V +−= θ
b) 22
0
2
0 2cos t gsengtV V V −+= θ θ
c) t gsengtV V V −+= θ 02
0 2
d) gt senV V −= θ 0 e) Ninguna de las anteriores
53.- Para un mismo movimiento parabólico,el tiempo de alcance máximo horizontal escon respecto al tiempo de altura máxima:
a) Igual b) La mitad c) El dobled) No tiene relación e) Ninguna de lasanteriores
54.- Un electrón gira alrededor de un protón
en una orbita circular de11104 −
x m de radio
con una rapidez de6102 x m/s . La
aceleración del electrón es:
a) 1910 m/s² b)2310 m/s² c) 0,5 x
2310 m/s²
d) 2 x2310 m/s² e) Ninguna de las
anteriores
55.- Un bombardero en picada con un ángulode 60 grados con la horizontal, deja caer unabomba, ésta impacta en el suelo 240 segundosdespués a una distancia horizontal de 24 Km.La velocidad del bombardero en el instanteque deja caer la bomba es de:
a) 360 Km/h b) 720 Km/h c) 540 Km/hd) 100 m/s e) Ninguna de las anteriores
56.- La velocidad angular de un motor quegira a 1800 revoluciones por minuto es:
a) 60π r/s b) 30 r/s c) 15 r/sd) 30π r/s e) Ninguna de las anteriores
57.- La velocidad lineal V1 de un punto de laperiferia de una polea de radio R1 se
transmite mediante una banda el movimientoa una segunda polea de radio R2 = 0.5R1, lavelocidad lineal en un punto de la periferia dela segunda polea es:
a) el doble b) la mitad c) el cuádruplo d) Igual e) Ninguna de lasanteriores
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58.- La velocidad angular w1de un punto dela periferia de una polea de radio R1 setransmite mediante una banda el movimientoa una segunda polea de radio R2 = 0.5R1 , lavelocidad angular en un punto de la periferiade la segunda polea es:
a) el doble b) la mitad c) el cuádruplo d) Igual e) Ninguna de las anteriores
59.- Para una velocidad inicial de disparo fija,existen dos ángulos que dan igual alcancehorizontal en el mismo sentido y estos son:
a) El un ángulo es el doble del otrob) Son suplementarios entre sí c) No existe dos ángulos que den el mismo
alcance horizontald) Son complementarios entre sí e) Ninguna de las anteriores
60.- En un movimiento parabólico el módulode la velocidad del cuerpo considerada en unplano horizontal cualquiera que corte a la
trayectoria es:
a) Distinta en los puntos de corte consideradosb) Su valor se ha incrementado de acuerdo a la
aceleración de la gravedadc) Su valor ha disminuido en g·td) Tiene el mismo valor en los puntos de corte
consideradose) Ninguna de las anteriores
61.- En el movimiento parabólico, el tiempoen el que la partícula alcanza la alturamáxima es:
a) El doble del tiempo de alcance máximohorizontal
b) Igual al tiempo de alcance máximohorizontal
c) La mitad del tiempo de alcance máximohorizontal
d) No tiene relacióne) Ninguna de las anteriores
62.- En un movimiento parabólico los ángulosθ1 y θ2 que forma el vector velocidad con lahorizontal en un plano horizontal cualquieraque corte a la trayectoria son:
a) θ1 = θ2b) Sus valores no guardan relación algunac) θ1 = 90 - θ2d) θ2 = 360 - θ1e) Ninguna de las anteriores
63.- Para una misma velocidad angular, en unmovimiento cuya trayectoria es circular, laaceleración normal es:
a) Mayor a mayor radiob) Mayor a menor radioc) No existe aceleración normald) Es independiente del radioe) Ninguna de las anteriores
64.- Si en un movimiento circular la rapidezdel cuerpo se duplica, la aceleración normal:
a) Se duplicab) Permanece igualc) Se cuadruplicad) No hay aceleración normale) Ninguna de las anteriores
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LA MASA de un objeto es la medida de la inercia del cuerpo. La inercia es la tendencia de un cuerpo enreposo a permanecer en reposo y la de un cuerpo en movimiento a continuar moviéndose con la mismavelocidad. Por muchos siglos los físicos encontraron que es útil pensar en la masa como la representaciónde la cantidad de materia.
EL KILOGRAMO ESTANDAR es un patrón cuya masa está definida como la de 1 kilogramo. La masa deotros cuerpos se encuentra por comparación con este patrón. La masa de un gramo es igual 0,001 Kg.
LA FUERZA es en general un agente de cambio, en mecánica es el agente que cambia la velocidad de uncuerpo. La fuerza es una cantidad vectorial que tiene magnitud y dirección. Una fuerza externa es unafuerza cuya fuente se encuentra fuera del sistema que está siendo considerada.
LA FUERZA NETA EXTERNA actuando sobre un objeto obliga a que ese objeto se acelere en la dirección
de esta fuerza. La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa.EL NEWTON es la unidad de la fuerza en el SI. Un Newton (1 N) es la fuerza necesaria para acelerar uncuerpo de 1 kilogramo de masa en 1m/s2.La libra (Pound) es igual a 4,45 N.
PRIMERA LEY DE NEWTON: Un objeto en reposo permanecerá en reposo; un objeto en movimientocontinuará en movimiento con velocidad constante. El reposo o el movimiento deben ser referidos a unsistema de referencia.
SEGUNDA LEY DE NEWTON: Como Newton demostró la segunda ley debe ser expresada en términos delconcepto del Momento, esto es una formulación correcta y rigurosa, también puede ser considerada de una
manera menos fundamental pero altamente útil. Si la resultante o fuerza netarF que actúa sobre un objeto
de masa m no es cero, el objeto se acelera en dirección de la fuerza. La aceleración a es proporcional a la
fuerza e inversamente proporcional a la masa del objeto. Si rF está en Newtons, m en kg y ra en m/s2 lasegunda ley se puede formular matemáticamente
rr F a
m= o F ma=
r r
LA ACELERACIÓN: ra tiene la misma dirección de la fuerza resultante
rF
La ecuación vectorial F ma=r r
puede ser escrita en términos de componentes como:
x x y y z zF ma F ma F ma= = =∑ ∑ ∑
TECERA LEY DE NEWTON: Los cuerpos interactúan con cuerpos y las fuerzas siempre aparecen enpares. Para cada fuerza aplicada sobre un cuerpo hay una fuerza igual en magnitud y en sentido opuesto.Con frecuencia esta ley se llama Ley de Acción y Reacción. Tome en consideración que las fuerzas deacción y reacción actúan sobre dos cuerpos interactuantes diferentes.
LEY DE LA GRAVEDAD UNIVERSAL: Cuando dos masas M y m interactúan gravitacionalmente, estas seatraen una a la otra con fuerza de igual magnitud. Para masas puntuales o cuerpos simétricamenteesféricos la fuerza de atracción está dada por:
2G
MmF G
r =
Donde r es la distancia entre los centros de las masas, G es igual a 6,67 x 10-11 Nm2 / kg2 cuando FG estáen newtons, M y m están en kg, y r en metros.
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EL PESO de un objeto ( Fw ) es la fuerza gravitacional actuando hacia abajo sobre un objeto. En la tierraesta es la fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto por el planeta, sus unidades son newton en elsistema SI y pounds en el sistema británico.
RELACION ENTRE EL PESO Y MASA: Un objeto de masa m que cae libremente hacia abajo en la tierra
está sujeto solamente a una fuerza: la influencia de la gravedad a la que llamamos peso Fw del objeto. Laaceleración del objeto debido a Fw es la aceleración de caída libre g . Por lo tanto F ma=
r rnos
proporciona la relación F = Fw ; a = g y m; esto es Fw = mg. Por cuanto en promedio g = 9,81 m/s2 en latierra un cuerpo de 1 kg pesa 9,81 N en la superficie de la tierra.
LA FUERZA DE TENSION (FT) actuando sobre una cuerda, cadena o tendón es una fuerza aplicada quetiende a estirar. La magnitud de la fuerza de tensión es la Tensión (FT)
LA FUERZA DE FRICCION (Ff) es una fuerza tangencial que actúa sobre un objeto y se opone aldeslizamiento sobre una superficie adyacente con la cual está en contacto. La fuerza de fricción es paralela
a la superficie y opuesta a la dirección de movimiento o de movimiento inminente. Solo cuando la fuerzaaplicada excede el máximo de la fuerza de fricción estática el cuerpo comenzara a deslizarse.
LA FUERZA NORMAL (FN) sobre un cuerpo es la que actúa en forma perpendicular a la superficie delcuerpo por parte de otra superficie o cuerpo con la cual se encuentra en contacto.
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DIAGRAMAS DE CUERPOS Y FUERZAS. A continuación se indican como referencias algunos sistemasde cuerpos y fuerzas. Identifique cada situación y descríbala.
EL COEFICIENTE DE FRICCION CINETICA k µ está definido para el caso en el que una superficie se
desliza sobre otra con velocidad constante. Este es
k µ = Fuerza de fricción/Fuerza normal = Ff / FN
EL COEFICIENTE DE FRICCION ESTATICA s µ está definido para el caso en el que una superficie esta
justo al borde del deslizamiento sobre otra superficie
s µ = Fuerza de fricción máxima/Fuerza normal = Ff (max) / FN
Donde el máximo de la fuerza de fricción ocurre cuando el objeto esta justo al borde de comenzar eldeslizamiento, pero sin embargo todavía se encuentra en reposo.
ANALISIS DIMENSIONAL. Todas las cantidades como aceleración y fuerza pueden ser expresadas entérminos de tres dimensiones fundamentales longitud: L, masa M y tiempo T. Por ejemplo, la aceleración esuna longitud (una distancia) dividida para el tiempo2; decimos entonces que tiene las dimensiones L/T2, quese puede escribir como [LT -2]. Las dimensiones de un volumen son [L3], y para una velocidad son [LT -1].Puesto que la fuerza es masa multiplicada por aceleración sus dimensiones son [MLT -2]. Las dimensiones
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son muy útiles para chequear si las ecuaciones están correctas, puesto que cada termino de la ecuacióndebe tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, las dimensiones de la ecuación
S = vit +1/2 a t2
Son [L] = [LT -1] [T] + [LT -2] [T2]
Por lo que cada término de la ecuación tiene la misma dimensión de longitud L. Recuerde que todos lostérminos en una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Un volumen [L 3] no puede ser sumado auna área [L2], o a una fuerza [MLT -2] no le puede ser sustraída una velocidad [LT -1]; estos términos notienen las mismas dimensiones. En el análisis dimensional no importan los factores numéricos, importansolo, las magnitudes físicas y sus dimensiones, y este es aplicable a todas las áreas de la física.
OPERACIONES MATEMATICAS CON UNIDADES: En cada operación matemática las unidades de lostérminos deben ser consideradas conjuntamente con los números y someterse a las mismas operacionesmatemáticas que se realizan sobre los números. Las cantidades no pueden ser sumadas o restadasmientras no tengan las mismas unidades y dimensiones.Por ejemplo, si queremos sumar algebraicamente 5 m. y 8 cm. debemos primero convertir los m a cm. , olos cm. a m. De otro lado las magnitudes de cualquier naturaleza pueden ser combinadas en
multiplicaciones o divisiones en las que las unidades así como los números obedecen a las leyes depotenciación, cancelación, etc.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3
3 33 3
2 2
33 3
3 3
1 6 2 8
2 5 2 10
3 2 1500 3000
4 2 3 6
155 5
3
m m m m m m
cm cm cm cm cm cm
kg kgm kg m kg
m m
km km km kms s
s ss s
g g cmcm g cm
gg cm g cm
+ = + →
× = × →
× = × →
× = × →
= → × →
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1.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones quedescriben un cuerpo en equilibrio no es cierta?a) la suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo es cero.b) el cuerpo se mueve a velocidad constante.c) el cuerpo debe permanecer en reposo.d) el cuerpo se mueve a rapidez constante.
2.- Un bloque de masa M esta resbalando porun plano inclinado sin fricción, como semuestra en la figura. La fuerza de reacciónejercida por el plano sobre el bloque es:
a) g .sen θ b) M.g .cos θ c) M.g. sen θ d) cero porque el plano tiene fricción.
3.- Se suspende una masa de una cuerda y se
acelera hacia abajo con una aceleración igual a0.7g. Se concluye que la tensión en la cuerdaes:
a) igual al peso de la masa.b)no cero, pero menor que el peso de la masa.c) mayor que el peso de la masad)cero.
4.- Un bloque de masa m descansa en un planoinclinado de un ángulo de 300 con la horizontal¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre lafuerza de fricción estática es verdad?
a) fs > m ·g c) fs = m ·g ·tan 30°
b) fs>= m ·g ·tan 30°. d) f s = m ·g ·sen 30°
5.- Un objeto se está moviendo a velocidadconstante. La fuerza total F que actúa sobre eseobjeto esta dada por:
a) 2 2F v m= b) F mv=
c) F mg= d) 0F =
6.- El bloque que se muestra en la figura estasostenido sobre un plano sin fricción Suaceleración es:
a) g b) g .cosθ c) g .senθ d) g. tanθ
7.- Suponiendo que se observa que el bloque dela figura resbala hacia abajo del plano avelocidad constante. Se concluye que elcoeficiente de fricción cinética
k µ entre el
bloque y el plano está definido por:
a) tanθ b) cosθ - senθ
c) 1- cosθ d) M.g .senθ
8.- Una masa m sobre un plano horizontal seempuja levemente para que tenga una velocidadinicial v 0 . Si se detiene después de recorrer una
distancia D, el coeficiente de fricción cinéticacontra la masa y el plano es:
a) 0v Dg b) 0 2v Dg
c) 20 2v Dg d) 2
0 2v D
e) ninguna de las anteriores
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9.- En la figura se muestra un sistema que estaen equilibrio. No hay fricción entre el bloque demasa M 1 y el plano inclinado, y la polea no tiene
fricción. La masa M 2 = 5 kg. la masa M 1 SEdesconoce. La tensión en la cuerda es:
a) 5g N.
b) 5g.cos θ N.c) 5g.sen θ N.d) no se puede determinar porque no se da M 1 e) ninguna de las anteriores
10.- Un bloque de masa M se jala sobre unasuperficie, como se ilustra en la figura. Lavelocidad del bloque es constante. Si µ es elcoeficiente de fricción cinética y T la tensión, Tes igual a:
a) T= µ g b) T=M. µ gc) T= M.g / µ d) ninguna de las anteriores
11.- Un bloque de masa m se remolca sobre unasuperficie como se muestra en la figura. Elcoeficiente de fricción cinética entre el bloque yla superficie es µ y la tensión de la cuerda T. La
aceleración del bloque entonces es:
a) cosa T mgθ µ ====
b) cosa T mgθ µ ====
c) cos / a T m mgθ µ = += += += + d) ninguna de las anteriores
12.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansasobre una superficie horizontal. El coeficientede fricción estática entre el bloque y la
superficie que la soporta es de 1.0. Una cuerdaes atada al bloque. La tensión de la cuerda esde 15 N y la cuerda hace un ángulo de 300 con lahorizontal:
a) el bloque permaneceráen reposo. La fuerza defricción estática es de20 N
b) el bloque se moverá horizontalmentec) el bloque se levantará de la superficie debido a
la cuerdad) el bloque permanecerá en reposo, la fuerza de
fricción estática es de 13 Ne) ninguna de las anteriores
13.- Un objeto resbala sobre una superficiehorizontal, a causa de un empujón que se le
impartió con una velocidad inicial v en ladirección positiva de las x. Si el coeficiente defricción cinética entre el objeto y la superficiees u, la aceleración el objeto es:
a) xa m µ = − b) x
a g µ = −
c) xa mg µ = − d) x
a g µ = −
e) ninguna de las anteriores
14.- Un bloque liso de aluminio y un bloque demadera de igual masa parten al mismo instantedel reposo sobre un plano inclinado de 2 m delongitud, que hace un ángulo de 45° con lahorizontal. El coeficiente de fricción cinéticaentre el bloque de aluminio y el plano esdespreciable; el del bloque de madera y elplano es de 0.3. Marque las afirmacionescorrectas:
a) ambos bloques alcanzaran el extremo delplano al mismo tiempo y con la mismavelocidad.
b) el bloque de aluminio llegará primero alextremo, pero los dos tendrán la mismavelocidad cuando alcancen el extremo.
c) el bloque de aluminio alcanzará el extremo
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del piano primero y se moverá mas rápidoque el bloque de madera cuando estealcance el extremo.
d) ambos bloques llegan al extremo del plano almismo tiempo, pero el bloque de madera se
mueve más despacio que el bloque de
aluminio.
15.- Un bloque cuyo peso es de 20 N descansasobre una superficie horizontal. A este bloquese le fija una cuerda. El coeficiente de fricciónestática entre el bloque y la superficie es de 1.0.Se tira de la cuerda en el sentido horizontal conuna fuerza de 15 N:
a) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloquees de 20 N.
b) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloquees de 15 N.
c) la fuerza de fricción que actúa sobre elbloque es de 5N.
d)no se puede determinar la fuerza de fricción.
Porque la fuerza normal entre el bloque y la
superficie no se conoce.
16.- Una persona de peso W está sobre unabalanza en un ascensor, cuando el ascensorasciende con una aceleración hacia arriba de4,9 m/s2. La balanza marca:a) W b) 1,5 W c) 2Wd) 0.5 W e) Ninguna de las anteriores
17.- La tensión T en la cuerda que esta atada ala masa m en la figura es T = mg/2. Laaceleración de la masa m es:
a) g / 2 dirigida hacia arribab) g / 2 dirigida hacia abajo
c) 3g / 2 dirigida hacia abajod) ninguna de las anteriores
18.- Dos masas M y m, siendo M > m, se cuelgan
de una polea sin masa y sin fricción, como semuestra en la figura. La aceleración de la masaM hacia abajo es:
a) g b) M
gm
c) M m
g M m
−+
d)M m
g Mm
−e) ninguna de los anteriores
19.- En la figura la tensión en la cuerda quesoporta la polea sin masa es
a) Mm
g M m+
b)2 Mm
g M m+
c)4 Mm
g M m+
d)2 Mm
g M m−
e) Ninguna de las anteriores
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20.- En la siguiente figura M2 está sobre elplano horizontal sin fricción. La tensión dela cuerda es:
a) 1 2
1 2
M M g
M M +b) 1 2
1 2
2 M M g
M M +
c) 1 2
1 2
4 M M g
M M +d) 1 2
1 2
2 M M g
M M −
e) Ninguna de las anteriores
21.-Dos masas m1 y m2 se aceleranuniformemente sobre una superficie sinfricción, como se muestra en la figura. Larelación de las tensiones T1 / T2 está dadapor:
a) 1
2
m
mb) 2
1
m
mc)
( )1 2
2
m m
m
+
d)( )
1
1 2
m
m m+e) ninguna de las anteriores
22.- Una persona de peso W está sobre unabalanza en un ascensor, cuando el ascensorasciende con velocidad constante m/s. Labalanza marca:a) W b) 1,5 W c) 2W
d) 0.5 W e) Ninguna de las anteriores
22223333....---- Si las magnitudes fundamentales son:La longitud L, la fuerza F y el tiempo T, las
dimensiones de la masa son:
a)2−
FLT b)21
T FL−
c) FLT d)12 −− T FL e) Ninguna de las anteriores
24.- Si las magnitudes fundamentales son:La longitud L, la masa M y el tiempo T, las
dimensiones de la Fuerza son:a)
2− MLT b)
21T ML
−
c) MLT d)12 −−
T ML e) Ninguna de las anteriores
25.- Un cuerpo está suspendido medianteuna cuerda, del techo de un elevador. Latensión en la cuerda es máxima cuando:a) El elevador está en reposob) El elevador asciende con rapidez constantec) El elevador desciende disminuyendo su
rapidezd) El elevador desciende aumentando su
rapideze) Ninguna de las anteriores
26.- La fuerza de la gravedad actúa en uncuerpo de 2 Kg masa y también se ejercesobre él una fuerza horizontal de 2 Kgfuerza el módulo de su aceleración es:
a) g b) 2g c) 2 g
d) g/2 e)Ninguna de las anteriores27.- Un viajero espacial cuya masa es de 60Kg, abandona la tierra, su peso en el espaciointerplanetario es:a) 60 Kgf b) 598 Nw c) Cerod) 58,58 Nw e) Ninguna de las anteriores
28.- La fuerza de fricción del aire en uncuerpo de 0,25 Kg de masa que cae con unaaceleración de 9,4 m/s² es:
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a) 0,1 Nw b) 0,1 Kgf c) 2 Nwd) 2 Kgf e) Ninguna de las
anteriores
29.- En una pelota de golf que viaja a travésdel aire, en movimiento parabólico la fuerzade la gravedad actúa:
a) En dirección del viajeb) Contraria a la dirección del viajec) Estando en movimiento no actúad) Hacia el centro de la Tierrae) Ninguna de las anteriores
30.- En el centro de una cuerda que jalandos estudiantes cada uno con una fuerza de30 Kg, como indica la figura, se ha instaladoun dinamómetro, cuanto marca eldinamómetro
a) 60 Kg b) 0 Kg c) 30 Kgd) 45 Kg e) Ninguna de las anteriores
31.- Masa inercial es:a) El peso de un cuerpob) La fuerza de atracción que ejerce sobre otro
cuerpoc) La que opone resistencia al cambio de
estado de reposo o de movimiento del
cuerpod) La que produce el movimiento del cuerpoe) Ninguna de las anteriores
32.- A menudo en lugar de conocer la masade un cuerpo, se da el peso W del mismo, laaceleración producida por una fuerza F queactúa sobre ese cuerpo está dada por:
a)F
Wga = b)
Fga
W = c)
W a
Fg= d)
W aF
= e) Ninguna de las anteriores
33.- Cuando se aplica la misma fuerza a doscuerpos de masas M1 y M2 respectivamentela relación de sus masas está dada por:
a)1
2
1
2
a
a
M
M = b)
2
1
1
2
a
a
M
M =
c) 1212 .. aa M M = d) Las masas no están relacionadas
e) Ninguna de las anteriores34.- La Tierra es un cuerpo de masa Mt,considerando un cuerpo de masa Mc que caelibremente con una aceleración g. La Tierraacelera hacia el cuerpo con una aceleración aigual a:
a) Cero b)t
c
M
g M .c)
c
t
M
g M .
d) Ninguna de las anteriores
35.- Suponga que sobre un cuerpo actúansólo dos fuerzas y que el cuerpo se muevecon una cierta aceleración en dirección ysentido de la velocidad, entonces:a) La velocidad puede llegar a ser Cerob) Las dos fuerzas deben actuar a lo largo de
la misma líneac) La suma de las dos fuerzas no puede ser
cero y su dirección es la de la velocidadd) La suma de las dos fuerzas debe ser ceroe) Ninguna de las anteriores
36.- Dos cuerpos de igual masa uno en laTierra y otro en la Luna están sometidas aigual resultante de fuerzas. Entonces:a) La aceleración del cuerpo que está en la
Tierra es Mayor que la que está en la Lunab) La aceleración del cuerpo que está en la
Tierra es Menor que la que está en la Lunac) Tienen igual aceleraciónd) Es indiferentee) Ninguna de las anteriores
30 Kg30 Kg
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37.-Un estudiante quiere determinar elcoeficiente de fricción estática entre una cajay un tablón. Coloca la caja sobre el tablón ylevanta éste gradualmente. Cuando el ángulollega a ser 30 grados la caja empieza adeslizarse hacia abajo. El coeficiente defricción estático entre la caja y el tablón es:
a)3
1b)
3
2c)
2
3
d) 0,5 e) Ninguna de las anteriores
38.- Una fuerza F aplicada a un objeto de
masa M1 produce una aceleración de 2 m/s²La misma fuerza aplicada a un objeto demasa M2 produce una aceleración de 6 m/s²Si se sujetan M1 y M2 bajo la acción de lamisma fuerza su aceleración es:
a) 2,5 m/s²b) 3 m/s²c) 1,5 m/s²d) 4 m/s²e) Ninguna de las anteriores
39.- Un objeto de 6 Kg experimenta unaaceleración de 2 m/s² la fuerza resultanteaplicada en esa dirección es:
a) 12 Kgb) 1200 dinasc) 117,16 Nd) 12 Ne) Ninguna de las anteriores
40.- Una partícula de 2 Kg se mueve a lolargo del eje X, bajo la acción de una sola
fuerza constante. Si la partícula parte delreposo, en t = 0 y después de 2 segundos seencuentra en X = 8 metros, la magnitud de lafuerza aplicada es:
a) 4 Nb) 8 Nc) 16 Nd) 32 Ne) Ninguna de las anteriores
41.- Un proyectil de masa 15 gramos sale delcañón de un rifle con una rapidez de 800m/s. Si la longitud del cañón es de 75 cm, lafuerza supuesta constante que acelera elproyectil es:
a) 15000 Nb) 6400 Nc) 1125 Kgd) 11200 Ne) Ninguna de las anteriores
42.- Un tractor de 3 toneladas proporcionauna aceleración de 1 m/s² a un remolque de7 toneladas, en las mismas condiciones éste
tractor a un remolque de 17 toneladas leproporciona una aceleración de:
a) 0,41 m/s²b) 0,18 m/s²c) 0,50 m/s²d) 0,59 m/s²
43.- El momento de una fuerza con respectoa un punto se define como:
a) El equilibrio estáticob) El equilibrio dinámicoc) La fuerza por la distancia al puntod) La fuerza por la distancia que recorre el
cuerpoe) Ninguna de las anteriores
44.- Masa gravitacional es:a) El peso de un cuerpo
b) La que interactúa con otra atrayéndosemutuamente con una fuerza
c) La que opone resistencia al cambio deestado de reposo o de movimiento delcuerpo
d) La que produce el movimiento delcuerpo
e) Ninguna de las anteriores
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EL TRABAJO realizado por una fuerza se define como el producto de fuerza por la distancia, cuando la fuerzaes paralela al desplazamiento. W = F sSi la fuerza no es paralela al desplazamiento, entonces debe considerarse la componente de la fuerza paralelaal desplazamiento.
W = F. s .cosθ
Tenga en cuenta que θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Si el vector de fuerza F r
es paralela al
desplazamiento sr
, cos cos0º 1θ = = y W = F.s. Por el contrario, si F r
y sr
tienen direcciones opuestas
cos cos180º 1θ = = − y W = -F s; esto es, el trabajo es negativo. Las fuerzas como la fricción frecuentementedetienen el movimiento del objeto y por lo tanto son opuestas a la dirección del desplazamiento, éstas fuerzasusualmente realizan trabajo negativo.
El trabajo transfiere energía desde un objeto a otro por medio de la acción de la fuerza aplicada sobre unadistancia.
LAS UNIDADES DE TRABAJO en el sistema SI es el N.m = Joule. 1 Joule es el trabajo realizado por unafuerza de 1 newton cuando se desplaza un objeto un metro en la dirección de la fuerza.
Otra medida usada a veces es el Ergio.
1 Erg = 10-7 joule, y el ft-lb = 1,355 Joule.
La energía es la medida del cambio que sufre un sistema, este cambio se realiza cuando una fuerza realizatrabajo sobre el objeto. La cantidad de energía transferida al cuerpo es igual al trabajo realizado; cuando elobjeto realiza trabajo este pierde energía igual al trabajo hecho por el cuerpo. La energía y el trabajo tienen lasmismas unidades. La energía como el trabajo son magnitudes escalares. Un objeto es capaz de realizar trabajosi es que almacena energía.
LA ENERGÍA CINETICA es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. Si un cuerpo de masa mse mueve con rapidez v, este tiene una energía cinética traslacional dada por:
21
2K mv=
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA es la que posee un cuerpo debido a la interacción gravitatoria. Enuna caída libre desde una altura h, una masa m puede realizar un trabajo en una magnitud igual a mgh.Definimos la energía potencial gravitatoria de un objeto respecto a un nivel de referencia que por lo común es lasuperficie de la tierra, si el objeto está a una altura h sobre el nivel cero de referencia la energía potencial
U mgh= Donde g es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que mg es el peso del objeto. La energíapotencial se mide en Joule cuando m está en Kg, g en m/s2 y h en metros.
EL TEOREMA DE TRABAJO-ENERGÍA: Si en el trabajo hecho sobre una masa puntual o un cuerpo rígido nohay cambio en su energía potencial elástica ( el cuerpo no se deforma), la energía impartida al cuerpo, puedesolamente aparecer en forma de energía cinética. Cuando el cuerpo no es totalmente rígido, sin embargo, la
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energía puede ser transferida a sus partes y el trabajo realizado sobre este no es precisamente igual al cambioen la energía cinética.
CONSERVACION DE LA ENERGÍA. La energía no puede ser creada ni destruida, solo puede sertransformada de una forma a otra.
POTENCIA es el ritmo con el cual se realiza el trabajo.
trabajohecho por la fuerzaPotencia promedio Fv
tiempoempleado pararealizar el trabajo= =
Donde la velocidad se mide en la dirección de la fuerza aplicada al objeto. Más generalmente la potencia es elritmo de transferencia de energía. En el SI la potencia se mide en Watt, 1 W = J / s.
Otra unidad de potencia usada frecuentemente es el HP (caballo fuerza) 1HP = 746 W.
EL KILOWATT-HORA es una unidad de energía. Si una fuerza está haciendo trabajo con un ritmo de 1Kw(1000 J / s), entonces en una hora se realizará un trabajo de 1Kw-h
1kw-h = 3,6 x 106 Joule = 3,6 MJ.
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1.- Una fuerza cambia el movimiento de unobjeto. Cuando se multiplica la fuerza por eltiempo en el que se aplica, a esa cantidad se lellama impulso, el cual cambia la cantidad demovimiento de ese objeto. ¿Cuál es el nombre dela cantidad fuerza x distancia?a) Potenciab) trabajoc) momento de la fuerzad) ninguna de las anteriores
2.- El trabajo que se realiza al subir un saco de 25kg. una distancia de 4 m. y un saco de 50 kg. unadistancia de 2 m:a) es mayor para el saco de 50 kg.b) es mayor para el saco de 25 kg.c) Los trabajos son iguales.d) ninguna de las anteriores
3.- ¿Cuántos watts de potencia se producencuando una fuerza de 1N mueve 2 m a un libroy se tarda 1 s:a) 1wtb) 2wtc) 0.5 wt
4.- La fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre:a) una rueda de bolos que rueda sobre una pistab) un automóvil que va por una carretera planac) un automóvil que va por una cuesta.
5.- Una pelota rebota a mayor altura que aquelladesde la que se deja caer:a) Sib) Noc) Ninguna
6.- Una pelota se lanza al aire directo hacia arriba.En qué posición es máxima su energía cinética:a) cuando comienza el movimientob) cuando alcanza la altura máximac) cuando termina el movimientod) ninguna de las anteriores
7.- Se deja caer una piedra desde cierta altura, ypenetra en el lodo. En igualdad de las demáscondiciones si se deja caer la piedra de unaaltura doble esta se hunde:
a) la mitadb) el doblec) la misma cantidad
d) ninguna de las anteriores
8.- La energía cinética de un coche cambia máscuando su velocidad cambia de:
a) 20 km / h a 30 k m / hb) 40 k m / h a 55 k m / h
9.- ¿Cuál de los siguientes es escalar?a) Velocidad b) Potencia.c) Aceleración. d) Desplazamiento.
10.- ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad
de energía?a) W • s. b) N . m.c) kg • m/s. d) J.
11.- La dimensión de potencia esa) [M] [L] / [T] b) [M] [L] 2 / [T] 2 c) [M] [L] 2 / [T] 3 d) ninguna anterior
12.- Juan y Pedro mueven cajas idénticas a lolargo de distancias iguales en direcciónhorizontal. Juan resbala la caja en una superficieque no tiene fricción. Pedro levanta su caja, y lacarga la distancia requerida y luego la baja de
nuevo:a) Juan Hace menos trabajo que Pedrob) Juan hace más trabajo que Pedro.c) Ni Juan ni Pedro hacen trabajo alguno.d) La cantidad de trabajo que hace cada uno
depende del tiempo que tomaron.
13.- Suponer que un saltador de garrocha alcanzatoda su altura mediante la conversión completade su EC en EP. Si su velocidad al momentoexacto antes de bajar sugarrocha es v, la altura alcanzada esta dada por
a)2vg
b) v2 / 2g
c) 2g / v2 d) v / 2g
14.- La energía potencial de una masa cambia en- 6 J. Se concluye que el trabajo hecho por lafuerza gravitacional sobre la masa es:a) 6 J, y la elevación de la masa disminuye.b) -6 J, y la elevación de la masa disminuye.c) 6 J, y la elevación de la masa aumenta.d) -6 J, y la elevación de la masa aumenta.
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15.- La fuerza ejercida por un resorte es F = -k xen donde x es la elongación. La dimensión de laconstante del resorte k es:
a) [M] / [T]2
b) [M] [L]2
/ [T]c) [M] [L] / [T]2 c) ninguna de las anteriores
16.- La defensa de un automóvil se fija al marcopor medio de un resorte cuya constante es k.Cuando el vehículo choca en una pared deconcreto a una velocidad de 1.0 km/h, el resortese comprime 1.0 cm. Si el vehículo choca a unavelocidad de 2.0 km/h, el resorte se comprimirá:
a) 2cm b) 2 cm.
c) 4 cm. d) 1 2 .cm
17.- El trabajo efectuado para acelerar unautomóvil desde 0 hasta 30 m/s es:
a) menor que el necesario para acelerarlo desde 30m/s hasta 60 m/s.
b) igual al necesario para acelerarlo desde 30 m/shasta 60 m/s.
c) mayor que el necesario para acelerarlo desde 30m/s hasta 60 m/s.
d) puede ser cualquiera de los anteriores,dependiendo del tiempo empleado para cambiar lavelocidad.
18.- Una lenteja de péndulo de masa M sesuspende por una cuerda de longitud L. Lalenteja se jala hacia un lado para que este a unaaltura L/4 sobre su nivel cuando cuelgalibremente. Si la lenteja se suelta partiendo delreposo, su velocidad en su punto más bajo estadada por:
a) 8v MgL= b) 8gL
c) 2gL d) 2 MgL
19.- Dos cañones de juguete idénticos A y Bdisparan proyectiles directamente hacia arriba. Elproyectil del cañón A tiene una masa MA y el delB, una masa MB =2MA. La altura que alcanza elproyectil A es H. La altura que logra el proyectiles:
a) H / 4 b) H / 2
c) 2 H d) H
20.- Una masa m se deja caer partiendo delreposo desde una altura h hasta el piso. Señale laafirmación correcta:
a) La velocidad de la masa al tocar el piso es propor-cional a h. b)La EC de la masa cuando llega al piso es propor-
cional a /;.c)La EC de la masa al golpear al piso es
independiente de m. d)La velocidad de la masa cuando pega en el piso
es proporcional a m
21.- Dos automóviles de masa M1 y M2 siendoM1>M2 viajan por una carretera recta. Sus
energías cinéticas son iguales. Si el coeficiente
de fricción estática entre llantas y pavimento esel mismo para ambos, y se detienen en ladistancia mínima sin derrapar:
a) el auto 1 se para en menor distancia que elautomóvil 2.
b) ambos automóviles se detienen en la mismadistancia.
c) el automóvil 2 se detiene en menor distancia queel automóvil 1.
d): a), b) o c) pueden ser ciertos, dependiendo delcoeficiente de fricción estática.
22.- Una masa m se empuja hacia arriba por un
piano inclinado que hace el ángulo θ con lahorizontal, como se muestra en la figura. En laparte superior del piano inclinado la velocidad dela masa es v. Si la masa partió del reposo y elplano no tiene fricción, el trabajo efectuado es:
a) m.g.L. cos θ .
b) m.g.L .sen θ + 21 2 mv
c) m.g.L. sen θ .
d) m.g.L .cos θ + 21 2mv
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23.- Un cañón de juguete dispara un proyectildirecto hacia arriba. La altura máxima quealcanza el proyectil es H cuando se ha
comprimido el resorte del cañón x cm. Para queel proyectil alcance una altura de 211, el resortedel cañón debe comprimirse:a) 2x cm. b) 4x cm.
c) 2 xcm d) 2 2 xcm
24.-Se supone que cuando se aplican los frenos,se ejerce una fuerza constante de fricción sobrelas ruedas de un automóvil. Si esto es así, sededuce que:
a) El coche pierde EC con una rapidez constante.b)La distancia que viaja el automóvil antes de
detenerse es proporcional a la velocidad delvehículo justo antes de aplicar los frenos.
c) La distancia que recorre el vehículo antesdetenerse es proporcional al cuadrado de lavelocidad que tenia exactamente antes de aplicarlos frenos.
d)La EC del automóvil es inversamente proporcionalal tiempo, siendo t = 0 el instante en que se aplicanlos frenos.
25.- Dos masas se sueltan desde una altura Hsobre el piso. M1 resbala hacia abajo de un piano
inclinado sin fricción que hace un ángulo de 30°con la horizontal; M2 resbala pendiente abajo enun piano semejante que hace un ángulo de 45°con la horizontal. ¿Cual de las afirmacionessiguientes es verdad?
a) M 1 llega al final después que M2 y la velocidad deM1 en ese punto es menor que la de M2
b) M1 y M2 llegan al final al mismo tiempo y con lamisma velocidad.
c) M1 alcanza el fondo después que M2 ,pero ambasllegan con la misma velocidad a ese punto
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores son
correctas.
26.- Irma, Miguel y Eduardo cargan bloques deconcreto idénticos desde el piso hasta la partetrasera de un camión. Irma levanta sus bloquescasi verticalmente del piso hasta el piso delcamión. Miguel desliza sus bloques hacia arribapor una tabla tosca. Eduardo desliza sus bloqueshacia arriba por un plano inclinado con rodillossin fricción. La tabla de Miguel tiene la mismalongitud que la del plano inclinado sin fricción deEduardo. Los tres cargan el mismo número de
bloques. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta?
a) Irma hace más trabajo que Miguel, y Miguel hace
más trabajo que Eduardo.b) Irma y Eduardo hacen el mismo trabajo, y Miguelhace más.
c) Miguel hace más trabajo que Eduardo, y este hacemás trabajo que Irma.
d) Irma, Eduardo y Miguel realizan la misma cantidadde trabajo.
27.- Una piedra se arroja directamente haciaarriba desde el piso de un edificio, con unavelocidad inicial v0. En el mismo instante, selanza una segunda piedra hacia arriba con un
ángulo de 60°con la horizontal y con la mismavelocidad inicial v0:a) Ambas piedras llegan al piso al mismo tiempo y
con velocidades iguales.b)Las dos piedras llegan al piso al mismo tiempo,
pero a distintas velocidades.c) Las piedras llegan al piso en tiempos distintos,
pero con las mismas velocidades.d) Las piedras llegan al piso en diferentes tiempos
y con distintas velocidades.
28.- Una masa m resbala a velocidad constante
pendiente abajo por un plano inclinado que hace unángulo θ con la horizontal. Mientras la masa semueve una distancia D a lo largo del plano, eltrabajo hecho por la fuerza de fricción sobre lamasa es:
a) –M.g.D. sen θ .b)–M.g.D. cos θ c) –M.g.D. tan θ .d) ninguno de los anteriores.
29.- Una persona de 70 kg. de masa camina poruna escalera y sube hasta el tercer piso de un
edificio. El trabajo en joules que realizó su pesodurante el recorrido, si se sabe que cada piso tiene4 m. de altura, es:
a) - 5600b) - 6500c) 5600d) 6500e) Ninguna de las anteriores
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de un cuerpo es el producto de su masa m y su velocidad v
r
. p mv=r r
El Momentum es una cantidad vectorial cuya dirección es de la velocidad. Las unidades del Momentum sonkg.m / s en el SI.
EL IMPULSO es el producto de la fuerza F r
por el intervalo de tiempo t ∆ durante el cual actúa la fuerza.Sus unidades son N / s en el SI. Un impulso causa variación o cambio en el Momentum. El cambio delMomentum producido por el impulso es igual al impulso en magnitud y dirección. Así si una fuerzaconstante actúa durante un intervalo de tiempo t ∆ sobre un cuerpo de masa m, ésta cambia su velocidad
desde unaiv
rhasta un valor final
f v , entonces:
Impulso = cambio en el Momentum
( ) f iF t m v v∆ = −r r r
La segunda ley de newton como la conocemos es p
F t
∆=
∆
rrde lo que se sigue que F t p∆ = ∆
r r
CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL. Si la fuerza neta externa actuando sobre un sistema decuerpos es cero, la suma vectorial del Momentum de los objetos se mantiene constante. En colisiones yexplosiones la suma vectorial del Momentum justo antes del evento es igual a la suma vectorial delMomentum justo después del evento. La suma vectorial del Momentum de los cuerpos involucrados nocambia durante la colisión o la explosión. Cuando dos cuerpos de masa m1 y m2 colisionan.
Momentum total antes del impacto = Momentum total después del impacto
1 1 2 2 1 1 2m u m u m v mv+ = +r r r r
Donde 1ur
y 2ur
son las velocidades antes del impacto, en tanto que 1vr
y 2vr
son las velocidades después del
impacto. En una dimensión, para las respectivas componentes, tenemos:
Y de forma semejante para las otras dos componentes, si es el caso.
UNA COLISION PERFECTAMENTE ELASTICA es aquella en la que la suma de las energías cinéticas
traslacionales de los cuerpos no cambia durante la colisión. En el caso de dos cuerpos,
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2m u m u m v m v+ = +
COEFICIENTE DE RESTITUCION Para algunas colisiones entre dos cuerpos en la que los cuerpos semueven solamente a lo largo de una línea recta se define un coeficiente de restitución, dado por:
2 1
1 2
x x
x x
v ve
u u
−=
−
Donde las componentes en u son antes del impacto, en tanto que las componentes en v son después del
impacto. Para una colisión elástica perfecta e=1, para una inelástica e<1. Si los cuerpos continúan juntos(pegados) después de la colisión e=0.
1 1 2 2 1 1 2 x x x xm u m u m v mv+ = +
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a) un pesado camión parado?b) una pequeña patineta en movimiento
2.- Que cañón imparte mayor cantidad demovimiento a un proyectil
a) uno cortob) uno largo
3.- En que clase de choque se conservala cantidad de movimiento
a) en uno elásticob) en uno inelásticoc) en ambos
4.- Se deja caer un objeto de masa mpartiendo del reposo, desde una alturah. Al golpear el suelo le imparte unimpulso proporcional a
a) m h b) m.h c) m.h2 d) ninguno de los anteriores
5.- Se suelta un objeto en reposo y caebajo la acción de la gravedad. Despuésde t segundos, su cantidad demovimiento es
a) m.g. t b) m.g.t
c) ( )21 2 mgt d) m gt
NOTA: Una piedra se lanza verticalmentehacia arriba. Las gráficas que aparecenen la figura están relacionadas con lassiguientes seis preguntas.
6.- La gráfica que muestra mejor laposición de la piedra como función del
tiempo es la:a) B b) D c)A d) Ce) ninguna de las anteriores
7.- La gráfica que muestra mejor laaceleración de la piedra como funcióndel tiempo es:
a) A b) D c) F d) Ee) ninguna de las anteriores
8.- La gráfica que muestra mejor la EP dela piedra como función del tiempo es la:
a) B b) D c) F d) Ee) ninguna de las anteriores
9.- La grafica que muestra mejor lacantidad de movimiento de la piedracomo función del tiempo es la:
a) F b) D c) A d) Ee) ninguna de las anteriores
10.- La gráfica que muestra mejor la ECde la piedra como función del tiempo es:
a) D b)C c) E d)F e) ninguna de las anteriores
11.- La gráfica que muestra mejor laenergía total de la piedra como funcióndel tiempo es la:
a) B b) E c) C d) Ae) ninguna de las anteriores
12.- Una pelota de 4 kg choca de frentecon otra de 1 kg. Antes del choque, lavelocidad de la pelota de 4 kg era 10m/s, y la velocidad de la pelota de 1 kgera cero. Después del choque, lavelocidad de la pelota de 1 kg es:
a) mayor que 10.0 m/sb) menor que 10.0 m/sc) igual a 10.0 m/sd) cero.
13.- Un automóvil de masa M que viaja auna velocidad v se impacta contra unautomóvil de masa M que estaestacionado. Las carrocerías de los dosse atoran en el choque. La perdida deEC en el choque es:
a) un cuarto de la EC inicial.b) la mitad de la EC inicial.
c) toda la EC inicial.d) cero.
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14.- Un objeto, que inicialmente estabaen reposo, explota desintegrándose entres partes iguales de masa. Las partes1 y 2 tienen la misma velocidad inicial v,y los vectores velocidad v1 y v2 sonperpendiculares entre si. Entonces, la
parte 3 tendrá una velocidad inicial de:a) / 2v b)v / 2 c) 2v d) 2v
15.- Una pelota de 0.3 kg se cae al pisoy rebota sin pérdida de EC.Inmediatamente antes de pegar en elpiso, su velocidad es de 10 m/s. Elimpulso que la pelota imparte al pisoes:
a) 0 kg-m/s.b)3 kg-m/s, dirigido hacia arriba.c) 6 kg-m/s, dirigido hacia abajo.d)6 kgm/s, dirigido hacia arriba.
16.- [M][L]/[T] es la dimensión de:a) la fuerza. c) la potencia.b) el impulso. d) la energía potencial.
17.- Un bloque de masa de 1 kg semueve a una velocidad de 2 m/s hacia laderecha sobre un plano sin fricción, ychoca y se pega con un bloque de masade 2 kg, que estaba en reposo. Despuésdel choque:
a) la EC del sistema es menor de 2 J.
b) la cantidad de movimiento delsistema es de 6 kg-m/s.c) la cantidad dc movimiento del sistema
es menor de 2 kg-m/s.d) la EC del sistema es de 2 J.
18.- Una expresión para la energíacinética en función del momento p es:
a) mp2 /2 b)p2 /2mc)pv/2 d) tanto b) como c)
19.- El producto a.p, en donde a es laaceleración y p es la cantidad demovimiento de un objeto, es igual a:
a) la energía cinética del objeto.b) la fuerza que actúa sobre el objetoc) la potencia suministrada al objeto.d) dos veces la energía cinética del
objeto.
20.- Un pasajero en un tren que semueve a velocidad constante v observaun choque entre dos objetos dentro deltren y llega a la conclusión de que el
choque es elástico. Un observador queestá de pie fuera del tren que observa lomismo llega a la conclusi6n de que:
a) el choque es inelástico; el cambio deenergía es proporcional a v
b) el choque es inelástico; el cambio de
energía es proporcional a v2
.c) el choque es inelástico; el cambio deenergía no tiene una relaci6n sencillacon v o con v2.
d) el choque es elástico.
21.- Una masa de 2.0 kg que está enreposo recibe un impulso de 10 N-S.Después del impulso:
a) la velocidad de la masa es de 20 m/s.b) la cantidad de movimiento de la masa
es dc 20 kg-m/s.c) la velocidad de la masa es de 10 m/s.d) la cantidad de movimiento de la masa
es de 10 kg-m/s.
22.- Una masa de 0.1 kg viaja a lo largode una pista a una velocidad de 1 m/s.Hay colisión elástica con otra masaidéntica que estaba en reposo sobre lapista. Después del impacto:
a) la cantidad total de movimiento y laEC son las mismas que antes delimpacto.
b) la cantidad total de movimiento es
igual que antes del impacto, pero laEC es menor.c) se conserva la EC, pero la cantidad
de movimiento después del choque esmenor que antes.
d) la cantidad de movimiento secomparte por igual entre las dosmasas después del impacto.
23.- Una pelota con masa de 2.0 kg, convelocidad inicial de 1.5 m/s en ladirección de las x positivas, choca y sepega con otra pelota de 2.0 kg queestaba en reposo. Marcar la afirmaciónque no sea correcta:
a) La energía cinética del sistema antesdel choque es de 2.25 J.
b)La energía cinética del sistemadespués del choque es de 2.25 J.
c) La cantidad de movimiento delsistema antes del choque es de 3 kg-m/s.
d)La cantidad de movimiento delsistema después del choque es de 3kg-m/s.
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24.- Un bloque de 20 kg. de masa esabandonado desde una altura h=5m.cayendo sobre una balanza de resorte.Si el impacto duró ∆ t=0.2 seg. Lalectura media de la balanza fue:
a) 1100 Nb) 1400 Nc) 1200 Nd) 1300 Ne) Ninguna de las anteriores
25.- Un hombre de 72 kg. de masa vacorriendo con una velocidad de 5 m/s, yda alcance a un vagón de 328 kg. quemarcha a razón de 3 m/s, y se monta enél. La velocidad que adquirirán ambos,
si el vagón se movía en la mismadirección que el hombre es:a) 4.72 m/s b) 3.86 m/sc) 3.36 m/sd) 4.22 m/se) Ninguna de las anteriores
26.- Un hombre de 50 kg. de masa queviaja en un coche de masa M=450 kg.con v 0 = 20 m/s, empieza a correr sobre
él con una velocidad relativa u = 10 m/srespecto al coche y en direcciónopuesta. La velocidad del hombrerespecto al piso será:a) 15 m/sb) 16 m/sc) 17 m/sd) 18 m/se) Ninguna de las anteriores
27.- Una pelota de tenis es dejada caer
desde una altura H = 9 m. respecto deun piso horizontal, rebotando hasta unaaltura h = 4 m. El coeficiente derestitución e entre la pelota y el piso es:a) 2 / 3b) 3 / 2c) 1 / 3d) 3e) Ninguna de las anteriores
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DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( θ ) usualmente se expresa en radianes, grados o revoluciones.
1 rev = 360º = 2π rad.
1rad = 57,3º
Un radian es el ángulo subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo, así un ángulo θ en
radianes está dado en términos de la longitud de arco y del radio por:l
r θ =
La medida de un ángulo en radianes es un número sin dimensiones. El radian, así como los grados, no sonunidades físicas; el radian no se puede expresar ni en metros ni en kilogramos ni en segundos. Se usa lanotación rad para recordar que se está trabajando con radianes.
LA VELOCIDAD ANGULAR ω de un objeto cuyo eje de rotación está fijo es la rapidez con que su
coordenada angular, desplazamiento angular θ cambia con el tiempo. Si θ cambia desdeiθ hasta
f θ en
un tiempo t , entonces la velocidad angular promedio es:
f i
prot
θ θ ω
−=
Las unidades de ω son rad / s. , también se la conoce como frecuencia angular y 2 f ω π = , donde f es lafrecuencia en rev / s o ciclos/s.
ACELERACION ANGULAR α de un objeto cuyo eje de rotación está fijo es la rapidez con la cual cambia la
velocidad angular. Si la velocidad angular cambia uniformemente desde iω hasta f ω en el tiempo t ,
entonces la aceleración angular es constante e igual:
f i
t
ω ω α
−=
Las unidades son rad /s2 o rev / min2.
ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO ANGULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO son exactamenteanálogas a las del movimiento lineal uniformemente acelerado.
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RELACION ENTRE MAGNITUDES ANGULARES Y TANGENCIALES. Existe una estrecha relación entrelas magnitudes angulares y las lineales, por ejemplo para una rueda que gira alrededor de un eje fijo
T l r v r a r θ ω α = = =
Donde l es la distancia recorrida por un punto sobre la circunferencia, θ es el desplazamiento angular, ω la velocidad angular, α la aceleración angular, aT la aceleración tangencial, r el radio de lacircunferencia, v la velocidad lineal.
LA ACELERACION CENTRIPETA ac. Una masa puntual que se mueve con una velocidad constantealrededor de un círculo de radio r está bajo la acción de una aceleración. Puesto que la magnitud de lavelocidad lineal no cambia, la dirección de la velocidad está en un cambio continuo. Este cambio dedirección se debe a la aceleración centrípeta de la masa dirigida hacia el centro del círculo. Su magnitudestá dada por:
( )2
2tanc
velocidad gencial varadio del cículo r
= =
Donde v es la velocidad de la masa alrededor del perímetro del círculo. Por cuanto v r ω = 2
ca r ω = en donde ω está en rad / s.
LA FUERZA CENTRÍPETA Fc es la fuerza que puede actuar sobre una masa m moviéndose en unatrayectoria circular de radio r y que imprime al cuerpo una aceleración centrípeta. De la expresión F = m.atenemos:
22
c
mvF mr
r
ω = =
Dondec
F r
esta dirigido hacia el centro de la circunferencia.
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una piedra de masa m y una cuerda de longitudL, a una velocidad angular ω constante. El planode rotación es vertical. La diferencia entre latensión en la cuerda cuando la piedra esta en suspuntos más alto y más bajo de su trayectoria es:
a) 2 mg.b) proporcional a ω c) proporcional a L.d) 2 m .L.ω .e) ninguna de las anteriores
2.- La rapidez lineal es mayor en un caballito deun carrusel:
a) que se encuentra en el exteriorb) que se encuentra más cerca del centro
3.- Si no te abrochas el cinturón de seguridad ypor ello te deslizas sobre el asiento y vas a darcontra la portezuela del auto que toma una curva¿que clase de fuerza es la responsable que vayasa dar contra la portezuela:
a) centrípetab) centrifugac) ninguna
4.- Un muchacho da vueltas a una honda con unapiedra de masa m a una velocidad angularconstante. La longitud de la cuerda es L. El planode rotación es horizontal. El ángulo θ entre lacuerda y la velocidad lo determinan:
a) 2tan Lgθ ω =
b) tan L Lgθ ω =
c) 2tan L mgθ ω =
d tan m Lgθ ω =
e) 2sin Lgθ ω =
5. Una masa pequeña se coloca sobre untornamesa que gira a 45 rpm. La aceleración de lamesa es:
a) tanto mayor cuanto más lejos está la masa delcentro de la mesa.
b) tanto mayor cuanto más cerca está la masadel centro de la mesa.
c) independiente de la focalización de la masa.d) cero.
6.- Una rueda tiene una velocidad angular de 2
rad/s. Al término de 5 s habrá dado una vueltaigual a:
a)5π b)5 π c)10π d)20π
7.- Una rueda está sujeta a aceleración angularuniforme alrededor de su eje. Inicialmente suvelocidad angular es cero. En los primeros 2 sgira un ángulo θ1 en los siguientes 2 s gira unángulo extraθ2. La relación θ2/ θ1, es:
a) 1 c)3.b) 2. d) 5.
8.- Una masa m en una cuerda se suelta desdeel reposo en el punto A como se muestra en lafigura. Cuando pasa por el punto más bajo B, latensión en la cuerda es:
a) m.g.b) 2m.gc) 3m.gd) no se puede determinar, la respuesta
depende de R
9.- La velocidad angular de la rotaciónterrestre sobre su eje es:
a) 12/ π rad/h. b) π /12 rad/hc) 48/ π rad/h. d) 0.5 grados/min.
10.- Un aeroplano que vuela hacia el sur dauna vuelta hacia el este manteniendo una
velocidad constante:a) Durante la vuelta, la aceleración de la nave
es cero.b)Al dar la vuelta, la aceleración angular de la
nave es cero.c) En la vuelta, la velocidad angular de la nave
es cero.d)Ninguna de las aseveraciones anteriores es
correcta.
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11.- Una masa viaja en una trayectoria circulara velocidad tangencial constante. Por lo que:
a) la aceleración de la masa es cero.b) la aceleración es finita y se dirige hacia el
centro de la trayectoria circular.
c) la aceleración es finita y se dirige haciaafuera del centro de la trayectoria circular.
d) la velocidad de la masa es constante.
12.- Una masa m que está sobre una mesahorizontal sin fricción, está fija a una cuerdade longitud L0, cuyo extremo a su vez estaclavado sobre la mesa. La masa giraalrededor del clavo a una velocidad angularconstante 0ω . Si la longitud de la cuerda se
reduce a L/2, la tensión de la cuerda no varia
si la velocidad angular se cambia a:
a) 2 0ω b) 0ω / 2 c) 0 2ω d) 02ω
13.- Dos automóviles de masas MA y MB,siendo MA = MB, viajan a la misma velocidad valrededor de una curva peraltada de radio Rque esta cubierta de hielo. Si el automóvil Apasa por la curva sin resbalar, el automóvil B
a) también pasará la curva sin resbalar.b)tenderá a resbalar hacia abajo, es decir,
hacia el interior de la curva.c) tenderá a resbalar hacia arriba, es decir,
hacia afuera de la curva.d): a), b) y c) pueden ser correctos,
dependiendo de la relación v / R.
14.- Un automóvil viaja hacia el norte con rapidezconstante. Entra a una curva sin peralte, quecambia la dirección del viaje hacia el este.Mientras el automóvil esta en la curva, laaceleración angular de las ruedas:
a) es cero.b) se dirige hacia arriba.c) se dirige hacia abajo.d) se dirige hacia el este.
e) no la describe ninguna de las afirmaciones
anteriores.
15.- Un volante en movimiento frenapaulatinamente debido a la fricción de suschumaceras. Después de un minuto su velocidadangular ha disminuido hasta 0.70 de:
a) 0.49 oω b) 0.40 oω c) 0.35 oω d) 0.10 oω
16.- Una masa se encuentra en una superficiehorizontal sin fricción. Está fija a una cuerda ygira alrededor de un centro fijo con una velocidadangular 0ω Si la longitud de la cuerda y la
velocidad angular se duplican, la tensión de lacuerda, que era inicialmente T0, ahora es:a) T0 / 2 b) T0 c) 4T0 d) 8T 0
17.- Un conductor apenas puede tomar una curvasin aperaltamiento a 40 km/h sin derrapar. Siaumenta la masa del automóvil cargándolo consacos de arena en la cajuela y en los asientos:
a) podrá viajar con seguridad por la curva a unavelocidad mayor de 40 km/h.
b) derrapara si trata de tomar la curva a 40
km/h.c) se dará cuenta que el haber colocado los
sacos de arena no constituye una diferenciaperceptible en la velocidad con la que puedetomar la curva.
d): a), b) y c) podrían ser correctas dependiendo
del radio de la curva.
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EL PERIODO T de un sistema cíclico que vibra o rota de manera repetitiva es el tiempo que se requierepara que el sistema complete un ciclo. En el caso de una vibración es el tiempo total de ida y vuelta.
LA FRECUENCIA f es el número de vibraciones realizadas en una unidad de tiempo o el número de ciclospor segundo. Debido a que T es el tiempo de un ciclo f = 1 / T. La unidad de la frecuencia es el Hertzio (Hz), o un ciclo / s = 1 Hz.El gráfico del movimiento vibratorio se muestra en la siguiente figura y describe el movimiento oscilatoriohacia arriba y abajo de una masa atada del extremo de un resorte. Un ciclo completo es desde a hasta b odesde c hasta d o desde e hasta f . El tiempo que demora en realizar un ciclo es T, el periodo.
EL DESPLAZAMIENTO ( X o Y) de un objeto que esta vibrando es la distancia desde la posición de
equilibrio o de reposo, esto es desde el centro de su trayectoria de vibración. El desplazamiento máximo sellama amplitud.
LA FUERZA DE RESTAURACIÓN es la fuerza que se opone al desplazamiento del sistema, ésta esnecesaria para que se dé la vibración. En otras palabras la fuerza restauradora siempre apunta a laposición de equilibrio. En el caso del resorte cuando éste está comprimido la fuerza de restauración lo estirahacia la posición de equilibrio y cuando está estirado lo comprime también hacia la posición de equilibrio.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Es un movimiento vibratorio que se da en los sistemas que estánsometidos a la acción de la Ley de Hooke. Debido a que el gráfico que describe este movimiento es unacurva seno o coseno, frecuentemente el MAS se llama movimiento sinusoidal. La característicafundamental del MAS es que la oscilación se da con una frecuencia constante simple, esto es lo que haceque el movimiento se llame armónico simple.
LA LEY DE HOOKE indica la fuerza que actúa sobre un sistema y que tiende a restaurarlo hacia laposición de equilibrio. En el caso de resortes esta ley viene dada por:
F = - k x
El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre está en dirección opuesta al desplazamiento. Laconstante del resorte k tienen las unidades de N / m y esta es una medida de la rigidez del resorte. Muchosresortes obedecen a la ley de Hooke para pequeños desplazamientos.
ENERGÍA POTENCIAL ELASTICA almacenada en un resorte cuando está estirado o comprimido en unadistancia x es igual a ½ Kx2 . Si la amplitud del movimiento es x0 para una masa en el extremo de unresorte, entonces la energía de la vibración es ½ k x o
2 y esta se almacena en el resorte solamente cuando
la masa tienen un desplazamiento máximo.
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EL INTERCAMBIO DE ENERGÍA entre la energía cinética y potencial ocurre constantemente en unsistema vibratorio. Cuando el sistema pasa a través de su posición de equilibrio, la energía cinética K esmáxima y la energía potencial es cero. Cuando el sistema tiene el máximo desplazamiento, la energíacinética es cero y la energía potencial es máxima. La ley de conservación de la energía, en ausencia defuerzas de fricción
Energía potencial + energía cinética = constante
Para una masa m en el extremo de un resorte (con masa despreciable) la expresión de conservación de laenergía es:
2 2 21 1 1
2 2 2 omv kx kx+ =
Dondeo x es la amplitud del movimiento.
LA VELOCIDAD en el MAS está determinada por la expresión anterior de la energía como:
( )2 2o
k v x x
m= −
LA ACELERACION EN EL MAS se determina por medio de la ley de Hooke. F = - k x y de la segunda leyde Newton F = m a. Igualando estas expresiones obtenemos:
k a x
m= −
El signo menos indica que la dirección de la aceleración ar
(y F r
) son siempre opuestas a la dirección deldesplazamiento.
CIRCULO DE REFERENCIA: Supongamos que un punto P se mueva con una velocidad constante vo sobre un círculo como se muestra en la figura. Este círculo se llama “El círculo de referencia para el MAS” .El punto A es la proyección del punto P sobre el eje x que coincide con el diámetro horizontal del círculo. Elmovimiento del punto A es hacia la izquierda y derecha del punto O como centro del movimiento armónicosimple. La amplitud del movimiento es x
oigual al radio del círculo. El tiempo que toma el punto P para
realizar una vuelta completa es el periodo T. La velocidad del punto A tienen una componente escalar
x ov v senθ =
Cuando esta cantidad es positiva, el punto está en la dirección positiva del eje x, cuando es negativa elpunto está en dirección negativa del eje x.
PERIODO EN EL MAS: El periodo T en MAS es el tiempo que toma el punto P en realizar una vueltacompleta alrededor del círculo de referencia. Por lo tanto:
22 o
o o
xr T
v v
π π = =
Pero vo es la máxima velocidad en el punto A de la figura, esto es vo es el valor del módulo de vx en el MAScuando x = 0
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ACELERACION EN TERMINOS DE T: Eliminando la cantidad k/ m entre las ecuaciones
a = - (k / m) y 2 mT k
π = encontramos:
2
2
4a x
T
π = −
EL PENDULO SIMPLE se aproxima al MAS si el ángulo del desplazamiento no es muy grande. El periodode vibración del péndulo de longitud L en una ubicación donde la aceleración de la gravedad g está dadopor:
2L
T g
π =
El MAS puede expresarse en forma analítica para sus componentes x y y de la siguiente forma.cos 2 cos
sin 2 sino o
o o
x x ft x t
y x ft x t
π ω
π ω
= =
= =
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1.- ¿Qué tiene mayor período?:a) un péndulo largob) un péndulo corto
2.- Si se acorta un péndulo su frecuencia:a) aumentab) disminuye
3.- Si se sube al doble la frecuencia de un objetoen vibración, que ocurre con su período:
a) se duplicab) se reduce a la mitadc) se mantiene iguald) ninguna de las anteriores
4.-Cual es la frecuencia en hertz quecorresponde a un periodo de 5s:
a) 0.5 hzb) 0.2 hzc) 2hzd) ninguna de las anteriores
5.- Un MAS se caracteriza por ( )sin y t π = , endonde t se da en segundos. El periodo delsistema es:
a) 2s b) 2 Hz. c) 3m. d) 0.5s
6.- La energía de un sistema de masas yresorte es proporcional a:
a) la amplitud de la vibración.b)el cuadrado de la masa.c)el cuadrado de la frecuencia.d)el cuadrado del producto de amplitud y
constante del resorte.
7.- Dos sistemas, A y B, de masa y resorte,oscilan con frecuencias fA y fB Si fB=2fA, y lasconstantes de resorte en los dos sistemas
son iguales, las dos masas MA y MB estánrelacionadas mediante:
a) MA = MB /4. c) MA = MB / 2 .b) MA = MB /2. d) MA = 4MB.
8.- La energía de un péndulo simple delongitud L y masa M que oscila con unaamplitud A es:
a) independiente de M.b) independiente de Lc) independiente de A.
d) dependiente de A, L y M.
En las preguntas 9, 10, 11 el péndulo Atiene una masa MA y longitud LA. El péndulo Btiene una masa M B y una longitud LB.
9.- Si LA = LB y MA = 2MB, y las amplitudesde vibración son iguales, entonces:.
a) TA = TB Y son iguales las energías de lospéndulos iguales.
c) TA = TB y A tiene mayor energía que B.d) TA = TB y A tiene menor energía que B.
10.- Si LA = 2LB, y MA = MB, y además los dospéndulos tienen igual energía de vibración,entonces:
a) sus amplitudes de movimiento angular soniguales.b) sus períodos de movimiento son iguales.c) B tiene una mayor amplitud angular que A.d) ninguna de las afirmaciones anteriores es
correcta.
11.- Si el péndulo A tiene un periodo dobleque el del otro péndulo B, entonces:
a) LA= 2LB y MA =2MB b) LA= 2LB y MA =2MB y las masas no
cuentanc) LA= 2LB y MA =MB /2
d) ninguna de las afirmaciones anteriores
es correcta.
12.- Dos relojes tienen péndulos simples delongitud L idénticas. El péndulo del reloj Aoscila en un arco de 100; el del reloj B oscilaen un arco de 50 .Cuando se comparan entresi los dos relojes, se encontrará que:
a) el reloj A camina despacio comparado conel reloj B.
b) el reloj A camina rápido comparado con el
reloj B.c) ambos relojes marcan la misma hora.d) la respuesta depende de la longitud de L.
13.- Dos relojes tienen péndulos simples delongitudes L idénticas. Se observa que elreloj A camina más despacio que el reloj B.Por tanto, el péndulo del reloj A:
a) oscila en un arco mayor que el del reloj B.b) oscila en un arco menor que el del reloj B.c) es más masivo que el del reloj B.d) es menos masivo que el del reloj B.e) está descrito ya sea por a) o por c).
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14.- Dos sistemas, A y B, de masa y resorte,oscilan de tal manera que sus energías soniguales. Las masas MA y MB se relacionanmediante MA=2MB. Las amplitudes deoscilación se relacionan mediante:
a) AA= Ab / 4b) AA= Ab / 4c) AA= Ab / 4d) ninguna de las anteriores es correcta. No
hay suficiente información para determinarla relación AA / AB
15.- Si la longitud de un péndulo aumenta aldoble, su frecuencia de oscilación cambiapor un factor de:
a) 2. c) 1 / 2 .
b) 2 . d) 1 / 4
16.- Un sistema de masa y resorte con masa Mvibra con una energía de 4 J cuando la amplitudde vibración es de 5 cm. Si se substituye la masapor otra de valor M/2 y el sistema se pone avibrar con una amplitud de 5 cm. la energía será:
a) 4J b) 1J c) 2jd) ninguna de las anteriores
17.- Dos péndulos simples idénticos, A y B,oscilan con amplitudes pequeñas, la energía del
péndulo A se relaciona con la del péndulo Bmediante:a) EA = EB. c) EA = 2EB.
b) EA = 2 EB. d) EA = 4EB.
18.- ¿Cómo es el período de un osciladorarmónico respecto de la amplitud?
a) Independiente.b) Directamente proporcional.c) Inversamente proporcional.d) Inversamente proporcional a su
cuadrado.
19.- Un oscilador armónico tiene una amplitudA y una frecuencia N. ¿Cómo es su aceleracióncuando pasa por la posición de equilibrio?
a) Proporcional a A2 b) Proporcional a A.Nc) Proporcional a A.N2 d) Cero
20.-Un móvil oscila armónicamente conamplitud A y frecuencia angular ω. Cuando suvelocidad es cero, ¿cómo será su aceleración?
a) cero.b) ±A.ω2 c) A.ω d) A2.ω
21.- Un oscilador armónico tiene una amplitudA y una frecuencia angular ω. Cuando suaceleración es cero, su velocidad es:
a) Momento lineal.b) Aceleración.c) Energía mecánica.d) Energía cinética.
23.- Se aumenta la frecuencia de un oscilador
armónico. ¿Cómo varían, si es que lo hacen,las magnitudes: período, amplitud y velocidadmáxima?
T A V
a) DISMINUYE NO VARIA AUMENTA
b) DISMINUYE AUMENTA AUMENTA
c) AUMENTA DISMINUYE NO VARIA
d) DISMINUYE NO VARIA DISMINUYE
24.- Un péndulo simple tiene un período de 1 sen la Tierra, ¿qué magnitudes debemos variarpara que su período permanezca constantecuando lo llevamos a otro Planeta, donde laatracción gravitatoria sea superior a la de laTierra?
a) Aumentar la masa.b) Aumentar la longitud.c) Disminuir la masa.d) Disminuir la longitud.
25.- Dos péndulos simples son iguales,excepto en que la masa de uno es doble que ladel otro. ¿Cuál es la relación de sus períodos?
a) 0'5 b) 1
c) d) 226.- Si conocemos el período y la longitud deun péndulo, podemos calcular:
a) Constante de la gravitación universal.b) Peso del péndulo.c) Tensión del hilo que soporta la bola del
péndulo.d) Ninguna de las anteriores.
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27.- Consideremos un péndulo simple queoscila con una pequeña amplitud. Calificar lassiguientes afirmaciones:A. Si la longitud de un péndulo se duplica, el
período también se duplica.B. Si la masa del péndulo se multiplica por 5, el
período queda multiplicado porC. Si la amplitud se reduce a la mitad, el período
no se modifica.D. Si el valor local de g fuera 9 veces mayor, la
frecuencia se multiplicaría por 3.
Son correctas:a) A, B y Cb) A, B, y Dc) B, C y Dd) C y D
28.- ¿Cómo variaría el período de un péndulosimple situado en el Ecuador, si la Tierraaumentara su velocidad de rotación?
a) Aumentaría.
b) No se modificaría.
c) Disminuiría.
d) Adquiriría un movimiento no armónico
y el período no sería constante.
29.- Un reloj de péndulo tiene un período de 2 sen un punto de altura 0 y latitud 45º. Su períododisminuye si realizamos un viaje:
a) Al Ecuador.b) Al Polo Norte.c) A la estratosfera en globo.d) Al fondo de una mina.
30.- ¿Qué le sucede a un reloj de péndulo si sedeja caer dentro de una caja desde una granaltura en el espacio libre?
a) No oscila.b) Aumenta su período.c) Disminuye su período.
d) No se modifica.
31.- Un cuerpo oscila armónicamente con unafrecuencia f = 5 Hz, de modo que al llegar a
un extremo su aceleración es 10π ²²²² m/s²²²². La
amplitud de las oscilaciones es:a) 10 cmb) 15 cm.c) 20 cmd) 30 cme) ninguna de las anteriores
32.- Una masam
realiza un MAS suspendidode un resorte constante k . Si la amplitud dela oscilación es A. ¿ Para qué posición x lasenergías cinética y potencial estarán en larelación 1:3 ?
a) A 3 / 2
b) A 2 / 3 .
c) A 3
d) A 2 e) ninguna de las anteriores
33.- Un objeto experimenta un MAS, de modoque al pasar por la posición de equilibrio suvelocidad es 15 m/s. El módulo de laaceleración en aquel punto de la trayectoriadonde la velocidad es 12 m/s, si además sesabe que la posición de dicho punto vienedado por x = 9 m. es:
a) 10 m/s²
b) 7 m/s².
c) 9 m/s²
d) 11 m/s²
e) ninguna de las anteriores
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LA PRESION PROMEDIO sobre una superficie de área A se encuentra como la fuerza dividida para elárea, considerando que la fuerza debe ser perpendicular (normal) al área
F p
A=
La unidad de presión en el SI es el Pascal que equivale a un N /m2.La presión atmosférica estándar es 1,01 x 105 Pa. Y es equivalente a 14,7 lb /plg2.Otras unidades que se utilizan para la presión son:
1 atmósfera ( 1atm) = 1,013 x 105 Pa1 torr = 1 mm de Hg. (mmHg) = 133,32 Pa.1 lb /plg2 = 6,895 KPa.
LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA debida a una columna de fluido de altura h y de densidad de masa ρ esigual:P gh ρ =
PRINCIPIO DE PASCAL. Cuando la presión en cualquier parte de un fluido confinado (líquidos o gases)cambia, la presión en cualquier otra parte del fluido también cambia en la misma cantidad ( se transmitenlas presiones).
EL PRINCIO DE ARQUÍMIDES. Un cuerpo parcial o completamente sumergido en un fluido recibe unempuje hacia arriba, igual al peso del fluido desplazado.
. E csF gV ρ =
Donde ρ es la densidad del fluido ycsV es el volumen del cuerpo sumergido.
La fuerza neta sobre el cuerpo es.( ) N f cF Vg ρ ρ = −
Donde f ρ es la densidad del fluido y c ρ es la densidad del cuerpo.
FLUJO DE FLUIDOS EN DESCARGA Cuando un fluido que llena un recipiente fluye a través de un orificiocon una velocidad promedio v, el flujo de descarga es igual
J = A . vDonde A es el área de la sección transversal del orificio. Las unidades de J son m3 / s.
ECUACION DE CONTINUIDAD: Suponiendo que un fluido incompresible llena un recipiente y fluye a
través de él, y que las áreas de las secciones transversales del recipiente cambian, entonces se cumple lasiguiente relación:J = A1. v1 = A2 .v2 = constante
En esta última relación A1 y A2 son las secciones transversales que cambian en el recipiente, en tanto quev1 y v2 son las respectivas velocidades a través de estas secciones.
ECUACION DE BERNOULLI. Para una corriente de flujo estacionario:
2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2P v h g P v h g ρ ρ ρ ρ + + = + +
P1 , v1, h1 son la presión, velocidad y la altura de un punto en el fluido,
P2 , v2, h2 son la presión, velocidad y altura en otro punto del fluido1 2 ρ ρ ρ = = es la densidad del fluido y g es la aceleración debida a la gravedad.
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1.- Se colocan dispositivos para medir lapresión bajo la superficie de un lago, como seilustra en la figura. Cada dispositivo registra lapresión ejercida sobre un pequeño diafragma D.
Se observara lo siguiente:a) PA = PB; PA >PC b) PA = PC; PA >PB
c) PB = PC; PA < PB d) PA = PC = PB
2.- A través del tubo que se ve en la figurafluye agua. El flujo es laminar. La presión:
a) es menor en B que en Ab) en A es igual a la de B.c) es mayor en B que en A.d) la de A no tiene relación con la de B
.3.- Una caja grande, de plástico, completamentecerrada, con un volumen de 1 m3, se coloca en elplatillo de una balanza. La balanza está enequilibrio cuando se coloca una pesa de latónen el otro platillo:
a) la masa de la caja es exactamente de 3g.b) el peso de la caja es exactamente de
0.0294N.
c) la masa de la caja pesa más de 3 g.d) el peso de la caja es menor de 0.0294 N.
4.- Si una mezcla de agua y de finísimas gotasde aceite (una emulsión de aceite en agua) secoloca en un centrífuga y se pone a girar a altavelocidad angular:
a) el aceite se moverá rápidamente hacia elcentro.
b) el aceite se moverá rápidamente hacia laperiferia.
c) el aceite se moverá hacia la periferia, pero
más lentamente de lo que lo haría sincentrifugar.
d) el aceite se moverá hacia el centra, peromás lentamente que sin centrifugar.
5.- Un trozo de madera flota en el agua, con lamitad sumergida, bajo el nivel del líquido. Si elmismo trozo de madera se pusiera a flotar enaceite (gravedad específica = 0.8), la parte de lamadera sumergida bajo la superficie del aceiteserá:
a) más de la mitad.b) la mitad.c) menos de la mitadd) la respuesta dependerá de la forma que tenga el
objeto de Madera
6.- Un objeto de densidad uniforme flota sobreel agua con sus tres cuartas partessumergidas. Su gravedad específica es:
a) 1/4. c) 1b) 3/4. d) 4/3.
7.- Una pequeña esfera de masa M se deja caerdesde una gran altura. Después de caer 100 malcanza su velocidad terminal y continuacayendo a esa velocidad. Durante los primeros100 m de caída la acción de la fricción del airecontra la esfera es:
a) mayor que la ejercida por la fricción del aire en
los siguientes 100 m.b) menor de lo que influye la fricción del aire
en los siguientes 100 m.c) Igual a 100Mgd) mayor que en 100Mg
8.- Un trozo de madera con densidad 0.8 g/cm3
(gravedad específica = 0.8) flota en un liquidocuya gravedad específica es 1.2. La parte de lamadera que se sumerge bajo el nivel delIíquido es:
a) 80%.b) 67%.c) 33%.d) no se puede definir, a menos que se
conozca el volumen del trozo.9.- Un objeto de masa M está suspendido de unabalanza de resorte que indica 25 N. Cuando lamasa se sumerge completamente en agua, labáscula indica 5 N. La gravedad especifica delobjeto es:
a) 2.0b) 1.5c) 1.25
d) se requieren más datos para que se puedadeterminar
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10.-Una caja grande de plástico completamentecerrada, cuyo volumen es de 0.1 m3, se colocaen el platillo de una balanza. Para equilibrarlase coloca en el otro platillo una pesa de latónde 30 g. ¿Qué masa, en gramos, tiene la caja?
a) 30
b) Más de 30c) Menos de 30d) Se precisa conocer el valor de la
aceleración de la gravedad en el lugar dela experiencia.
11.- Dos objetos macizos, uno de aluminio yotro de plomo, aparentemente tienen igualpeso cuando están sumergidos en agua. ¿Quése puede afirmar de sus masas? [ρPb > ρAl]a) La de plomo es mayor que la de aluminio.b) La de aluminio es mayor que la de plomo.
c) Son iguales.d) Depende de la forma de los objetos.
12.- Un trozo de madera flota en un vaso deagua y éste se coloca en un ascensor. ¿Qué leocurrirá al volumen de la madera sumergidacuando el ascensor baja cona < g?
a) No variará.b) Aumentará.c) Disminuirá.d) Aumentará y disminuirá alternativamente.
13.- Una caja grande de plásticocompletamente cerrada, cuyo volumen es de0.1 m3, se coloca en el platillo de una balanza.Para equilibrarla se coloca en el otro platillouna pesa de latón de 30 g. ¿Qué masa, engramos, tiene la caja?
a) 30
b) Más de 30
c) Menos de 30
d) Se precisa conocer el valor de la
aceleración de la gravedad en el lugar
de la experiencia.
14.- Un cubito de hielo flota en un vaso de agualleno hasta el borde. ¿Cómo se modifica elnivel del agua cuando el hielo se derrite?
a) Asciende.b) Desciende.c) No se modifica.d) Primero desciende y luego asciende.
15.- ¿Que le ocurrirá a un trozo de madera, siun astronauta en órbita circular alrededor de laTierra lo sumerge en agua?
a) Ascenderá y quedará flotando.b) Permanecerá donde lo dejó.c) Se hundirá y quedará en el fondo.
d) No se puede afirmar nada
16.- En el Mar Muerto la densidad del agua esmayor que la densidad del cuerpo humano.Una persona que «hace el muerto» en el MarMuerto sufre un empuje que, respecto a supeso, es:
a) Mayor o igual.b) Igual.c) Menor.d) Mayor.
17.- Un barco navega río abajo hasta llegar almar. Si mantiene la misma carga a lo largo detodo el viaje, la parte del barco que permanecesumergida:
a) Es la misma en todo el viaje.b) Aumenta.c) Disminuye.d) Al principio aumenta y luego disminuye
18.- Añadimos unos cubitos de hielo a unabebida alcohólica y observamos que aquéllosse hunden hasta el fondo. Por eso deducimosque es una bebida de contenido alcohólico:
a) Bajo.b) Alto.c) Medio.d) Muy bajo.
19.- Un trozo de hielo flota en agua. Si aumentael campo gravitatorio terrestre, ¿qué le pasa alvolumen sumergido?
a) Aumentará.b) Disminuirá.c) No se modificará.d) Aumentará y disminuirá alternativamente.
20.- Dos objetos de diferentes volúmenestienen el mismo peso aparente cuando estánsumergidos en agua. Si se pesan en el vacío,¿cómo será el peso del que tiene mayorvolumen?
a) Igual.b) Menor.c) Mayor.d) En el vacío ambos tendrán peso cero.
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21.- Se deja caer una roca en un lago profundo.A medida que se hunde, el empuje:
a) Aumenta.b) Permanece constante.c) Disminuye.d) Disminuye hasta hacerse cero en el
fondo.
Nota: Se supone que la variación de la densidaddel agua con la profundidad es despreciable.
22.- Si el campo gravitatorio terrestre aumenta,un pez que nada en un estanque:
a) Se hundirá.b) Permanecerá a la misma profundidad.c) Morirá aplastado.d) Flotará sobre el agua.
23.- Una pelota de ping-pong flota en el aguadentro de un recipiente cerrado. Si sacamosaire de la parte superior del recipiente, la pelota
a) Se hundirá un poco más.b) Se hundirá hasta llegar al fondo.c) Emergerá un poco.d) No modificará su volumen sumergido.
24.- Se mide el peso de un cuerpo en el vacíocon una balanza de resorte y el resultado es 25N. Si el mismo cuerpo se sumerge en agua, labalanza indica 5 N. ¿Cuál es la densidadrelativa del objeto?
a) 2.5b) 2c) 1.5d) 1.25
25.- Un bloque de madera flota en el agua conlas tres cuartas partes de su volumensumergidas. ¿Cuál es la densidad relativa de lamadera?
a) 0.5b) 0.75
c) 0.8d) 0.9
26.- Un flotador de 0.2 Kg de masa flota en elagua de forma que está sumergido en un 50%.Para conseguir que quede completamentesumergido, es necesario aplicarle una fuerzasuplementaria de:
a) 0.98 N
b) 1.96 Nc) 3.92 Nd) 5.98 N
27.- Un cuerpo, de masa m y densidad doble dela del agua, se coloca en el fondo de unrecipiente que contiene agua. ¿Cuál es el valorde la fuerza normal que ejerce el fondo delrecipiente sobre el cuerpo?
a) 0
b) 0.5 mgc) 3 mgd) 2 mge) ninguna de las anteriores
28.- Un bloque de madera que se mantiene
sumergido tiene un volumen de 90 cm³³³³ y unagravedad específica de 0.8. La fuerza engramos que se debe ejercer para evitar quesuba a la superficie del agua, es de:
a) cerob) 18.
c) 72d) 80e) ninguna de las anteriores
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Un postulado es una proposición de "verdad evidente" que no requiere demostración,
pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos pormedio de la deducción.
POSTULADOS GEOMETRICOS
• Por dos puntos dados puede hacerse pasar una recta y solo una, por lo tanto dosrectas no pueden cortarse en mas de un punto. Y dos puntos definen una recta
• Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos.
• El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.
• Una circunferencia queda determinada si se conoce su centro y su radio.
• Toda figura puede cambiarse de posición sin alterar su forma ni dimensiones.
PROPIEDADES DE PUNTO, RECTA Y PLANO
Existen infinitos, puntos, rectas y planos.
A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen aella.
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A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen aella.
Por un punto pasan infinitas rectas que llamamos haz de rectas
Tres puntos no colineales determinan un plano, o una recta y un punto fuera de ella determinanun plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.
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Tres o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta
Si varios puntos están en un mismo plano, decimos que dichos puntos son coplanarios.Se llama espacio al conjunto de todos los puntosSe llama figura geométrica a todo subconjunto (no vacío) del espacio
Bisector, bisectriz: es el punto, línea o plano que divide a una figura geométrica en dos partesiguales.
ANGULOS
Definición: Angulo: abertura entre dos rectas que se cortan o encuentran, las rectas que secortan se llaman lados, el punto de encuentro o corte se llama vértice.
Magnitud: El tamaño del ángulo depende únicamente de la magnitud de rotación necesariapara llevar uno de sus lados a la posición del otro, manteniendo el vértice fijo.
Modo de nombrar un ángulo:
Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas:
Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal vértice. Por ejemplo B<
Con una letra minúscula o un número que se coloca interior del ángulo en las cercanías delvértice; por ejemplo, a< o < 1
Por medio de 3 letras mayúsculas, de las cuales la del vértice se halla en el centro y se nombra
entre las otras dos, que se colocan sobre lados del ángulo.
B
a 1
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Conguencia o igualdad: Dos ángulos son iguales cuando el uno puede colocarse sobre el otrode manera que coincidan los vértices y los lados tomen la misma dirección.
Angulos adyacentes son los que tiene el vértice y uno de sus lados comunes y además el unoes externo al otro.
Perígono : ángulo que se obtiene al realizar una rotación completa de una recta alrededor deun punto fijo.
Grado: unidad de medida de ángulos de magnitud igual a la 360ª parte de un perígono.
Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales.
Perpendiculares; dos rectas son perpendiculares entre si se cortan formando ángulosadyacentes iguales, es decir ángulos rectos.
A1
2 <1 = <2
B C
A
Vértice
90º90º
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En un plano por un punto externo a una recta se puede trazar a esta una sola perpendicular.
Mediatriz :Si una recta biseca (corta en dos partes iguales) a un segmento, y además, esperpendicular a él se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su puntomedio.
Clases de ángulos
Ángulo agudo: es menor de 90º
Ángulo recto: tiene 90º
Ángulo obtuso: es mayor que 90º pero menor de 180º.
Ángulo llano o plano: mide 180º.
Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º.
Relación entre ángulos:
B
90º
180º
90º90º
G
FE
H
M
GH es mediatriz porque:GH biseca (corta) al segmento EFGH es perpendicular a EF
Entonces< EMG y < EMF son ángulos rectos yM es el punto medio de EF
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Si una recta es paralela a una segunda y esta paralela a una tercera, la primera es paralela ala tercera.
Dos rectas ubicadas en un mismo plano y perpendiculares simultáneamente a una tercera sonparalelas entre sí.
Igualdad de ángulos entre paralelas:
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
1 L y
2 L son // paralelas
L es trasversal
Tipos de ángulos formados
Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales, en el gráfico anterior:<1=<5; <2=<6; <3=<7;<4=<8.
Ángulos alternos externos y alternos internos entre paralelas son iguales.<1=<7; <2=<8; <3=<5;<4=<6.TRIANGULO
Definición: Triángulo; espacio limitado por tres segmentos de recta que se encuentran.Los puntos de concurrencia se llaman vértices, y los segmentos lados.
Propiedades de los triángulos
- En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, esigual a 180°.- A mayor lado se opone mayor ángulo.- La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercerlado y su diferencia menor.
Clasificación de los triángulos:
Según sus lados:
2 13 4
6 5
7 8
2 L
1 L
L
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Obtusángulo: este tipo de triángulo tiene un ángulo obtuso y dos agudos. El ladoopuesto al ángulo obtuso será de mayor longitud.
Rectángulo: es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos. El lado opuestoal ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para calcularcuánto mide la hipotenusa se aplica el Teorema de Pitágoras que consiste en que lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).
Fórmula: a 2 + b 2 = c 2
Líneas fundamentales de los triángulos
Mediana.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el puntomedio del lado opuesto. Cualquier triángulo tendrá 3 medianas: AP, BQ y CR, ó ma,mb, mc, respectivamente.
Las 3 medianas de un triángulo se intersecan en un único punto G llamadoBARICENTRO que es el punto de cruce de las medianas y es el centro de gravedad deltriángulo.
Bisectriz Interna.- Es la línea que partiendo del vértice divide a un ángulo en 2 iguales.Existen 3 bisectrices internas: AD, BE y CF, ó Va, Vb, Vc, respectivamente.
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El Incentro (G), es el punto de cruce de las bisectrices y además es el centro del círculoinscrito.El punto * esta ubicado siempre en la parte interior de cualquier triángulo.
Altura.- Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a suprolongación.Cualquier triángulo tiene alturas: AL, BM, CN respectivamente.
Las alturas se intersecan en un único punto H llamado Ortocentro, punto que estáubicado al interior del triángulo si este es acutángulo y en el exterior del mismo si estees obtusángulo, es este caso el ortocentro se determina prolongando las alturas.
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Mediatriz.- Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquieradel triángulo, por lo tanto tiene 3 mediatrices: PO, QO y RO
Las 3 mediatrices se intersecan en un único punto O llamado Circuncentro, que seencontrará dentro del triángulo si es acutángulo y fuera de él si es obtusángulo. Ademásel circuncentro equidista de los vértices y es el centro del círculo circunscrito.
Angulo externo de un triángulo es el formando por uno de sus lados y la prolongación deotro.
El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de sus dos internos opuestos.
Area de un triángulo= base * atura / 2 (b*h/2)
Base.- Es cualquier lado de un triángulo, por lo tanto todo triángulo tiene 3 bases. En el casodel triángulo isósceles se acostumbra llamar base al lado no congruente, si lo tiene.
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Definición: superficie plana limitada por una curva que tiene todos sus puntos equidistantes deun punto fijo, a la curva se le llama circunferencia, el punto fijo centro, la distancia igual sellama radio.
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• centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente,pasa por el centro;• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros;• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;• punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;• arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
diámetro.
Área de círculo= π * r²
Perímetro de circunferencia = 2 * π * r
Área de sector circular = π * r² * nº /360º
Donde : r = radionº = ángulo central en grados
CUERPO GEOMETRICOS
Poliedro: es un sólido limitado por planos.
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Prisma: poliedro en el cual dos de sus caras son polígonos iguales situados en planosparalelos y cuyas otras caras son paralelogramos.
Base de prisma: uno cualesquiera de los lados paralelos iguales.
Pirámide: poliedro en que una de sus caras es un polígono cualquiera y las otras sontriángulos, llamadas caras laterales, estas tienen un vértice común, denominado vértice de lapirámide.
Altura de la pirámide: perpendicular bajada desde su vértice a la base.
Prisma recto: cuando los ángulos formados por las caras y las bases son rectos.
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Razón: llámese al cociente de dos cantidades. (cantidad es el número que expresa la medida)
Serie de razones: tres o más razones iguales.
Propiedades de una serie de razones:
La razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual cualquierade las razones de la serie dada.
Proporción.- Definición: igualdad de dos razones.
Simbólicamente:
d
c
b
a=
Se lee a es a b como c es a d
Cada cantidad que interviene en una proporción se denomina término, a los términos a y d senombran extremos y a los términos b y c medios. También a los términos a y c se los nombraantecedentes a los b y d consecuentes.
Se dice que una proporción es continua si tiene los medios iguales.
Propiedades de las proporciones:
- En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.- En toda proporción la suma o resta de los antecedentes con sus respectivos
consecuentes da como resultado otra proporción.
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PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
1. Señalar la proposición verdadera:
a) Dos rectas siempre son coplanariasb) Dos rectas coincidentes son coplanarias.c) Por dos puntos pueden pasar infinidad de rectas.d) Tres puntos colineales determinan un plano.e) Ninguna de las anteriores.
2. Considérense cuatro puntos en el espacio, no coplanarios, ¿cuantos planos sepueden determinar?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Ninguno de los anteriores.3. Señalar la proposición falsa:
a) Existen infinitos puntos pertenecientes a una recta.b) Por un punto pasan infinitas rectas.c) Dos puntos distintos determinan una recta.d) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta está
necesariamente contenida en el plano.e) Si una recta y un plano tienen un punto en común, entonces la recta puede estar
contenida en el plano.
4. Señalar la afirmación verdadera; un plano esta determinado por:
a) Tres puntos no colineales.b) Una recta y un punto externo.c) Dos rectas que se intersecan.d) Dos rectas paralelas.e) Ninguna de las anteriores
5. ¿La proposición falsa es?
a) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.b) Dos ángulos congruentes son siempre opuestos por el vértice.c) Todo ángulo posee una sola bisectriz.d) Un triángulo isósceles puede ser equilátero.e) Si un triángulo es equilátero, entonces se puede afirmar que es isósceles.
6. Un triángulo obtusángulo es aquel que ...
a) tiene todos sus ángulos obtusosb) tiene un ángulo obtuso y los otros dos agudosc) tiene un ángulo obtuso y los otros dos pueden ser obtusos, rectos o agudos
d) las respuestas a y c son ciertas
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a) tener todos sus lados igualesb) tener todos sus lados distintos
c) tener iguales los dos lados mayoresd) tener dos lados iguales y uno desiguale) tener dos ángulos iguales
8. El baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto en el que se cortan las
a) Mediatricesb) Bisectricesc) Medianasd) Alturas.
9. ¿La proposición verdadera es?
a) Todo triángulo isósceles es acutángulo.b) Un triángulo rectángulo puede ser obtusángulo.c) Un triángulo rectángulo puede ser acutángulo.d) Un triángulo rectángulo nunca puede ser escalenoe) Un triángulo rectángulo nunca puede se equilátero.
10. ¿La proposición verdadera es?
a) El baricentro de un triángulo es siempre interno a él.b) El ortocentro de un triángulo es siempre interno a él.c) En un triángulo isósceles, el baricentro coincide con el incentro.d) El circuncentro de un triángulo se determina por el cruce de los bisectrices.e) El punto que en concurren las alturas determinan el incentro de un triángulo.
11. El centro del círculo inscrito en un triángulo (incentro) es el punto de corte de:
a) Las 3 medianas del triángulob) Las 3 bisectrices del triánguloc) Las 3 alturas del triángulod) Las 3 mediatrices del triánguloe) Ninguna de las anteriores
12. El incentro de un triángulo
a) es siempre interior al triángulob) dista los mismo de un lado que de su vértice opuestoc) dista lo mismo de todos los vérticesd) es siempre perpendicular a los ladose) ninguno de los anteriores.
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13. El centro del círculo circunscrito en un triángulo (circuncentro) es el punto de cortede:
a) Las 3 medianas del triángulo
b) Las 3 bisectrices del triánguloc) Las 3 medianas del triángulod) Las 3 mediatrices del triánguloe) Ninguna de las anteriores
14. El ortocentro de un triángulo es el punto de corte de:
a) Las 3 medianas del triángulob) Las 3 bisectrices del triánguloc) Las 3 alturas del triángulod) Las 3 mediatrices del triángulo
e) Ninguna de las anteriores
15. El ortocentro es el punto donde se cortan las alturas del triángulo. Si el ortocentoconincide con un vértice ...
a) el área del triángulo es un medio de su perímetrob) el triángulo es obtusánguloc) dos alturas coinciden con los lados adyacentes a ese vérticed) una altura coincide con el lado opuesto a ese vértice
16. ¿La proposición falsa es?
a) En el cuadrado las diagonales son perpendiculares.b) En el cuadrado las diagonales son congruentes.c) En el cuadrado las diagonales son bisectrices.d) Todo cuadrado es un trapecio.e) Se conoce como romboide al paralelogramo en general.
17. Señalar la afirmación correcta:
a) Todo triángulo rectángulo es isósceles.b) Todo triángulo acutángulo es isósceles.c) Todo triángulo obtusángulo es isósceles.d) Un triángulo rectángulo puede ser isósceles.e) Ninguna de las anteriores.
18. Por 3 puntos colineales pueden pasar:
a) 2 rectasb) Infinito número de planosc) Solo un planod) 2 planos
e) Ninguna de las anteriores
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19. ¿Cuántos planos contienen a una recta y un punto que no está sobre la recta?
a) Dos planosb) Infinitos planos
c) Un planod) 3 planose) Ninguna de las anteriores
20. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) Dos rectas en un mismo plano siempre son paralelasb) Si 2 rectas no están en un mismo plano pueden ser paralelasc) Una recta no determina dos semiplanos en un mismo planod) 2 puntos sobre una recta determina 3 segmentos de rectae) Ninguna de las anteriores
21. Tres familias tienen situadas sus casas en los vértices de un triángulo. Se quiereconstruir un pozo que se sitúe a la misma distancia de las tres viviendas. ¿Cuál seráel lugar apropiado?
a) El corte de las 3 medianas del triángulob) El corte de las 3 bisectrices del triánguloc) El corte de las 3 alturas del triángulod) El corte de las 3 mediatrices del triánguloe) Ninguna de las anteriores
22. Indicar cuál de los siguientes enunciados es falso:
a) Si dos ángulos son congruentes entonces tienen igual medidab) Si 2 ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentesc) Un ángulo obtuso tiene por suplemento un ángulo agudod) 2 ángulos adyacentes son suplementariose) Ninguna de las anteriores
23. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) Dos lados de un ángulo recto son perpendiculares.b) Un ángulo obtuso tiene mayor medida que su suplemento.c) La diferencia entre las medidas del suplemento y el complemento de un ángulo es
igual a 90º.d) Dos ángulos complementarios para el mismo ángulo son rectos.e) Las bisectrices de un par de ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo
extendido.
24. L1, L2 y L3 son rectas tales que: L1 ⊥⊥⊥⊥ L2 , x =?
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84. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con elángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.
a) 64º b)54º c)117º d)126º e)45º
85. Si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a2-1), entonces lahipotenusa mide:
a) (a2+4), a >1.b) (a2+1), a >1.c) (a4+1), a >1.d) (a2-1), a >1.e) (a2+2), a >1.
86. En un triángulo ABC, AB=6, BC=12, AC=x. Cuál de los siguientes valores no puedeser AC.
a) 6 b)7 c)8 d)9 e)10
87. La suma de los perímetros de dos triángulos equiláteros es 21 cm. Si el lado de unosde los triángulos mide 1 cm más que el doble de lo que mide el lado del otrotriángulo, ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los triángulos?
a) 3 cm b)4 cm c)5 cm d)6 cm e)9 cm
88. En la figura, AD = DC, AB = AC, el ángulo ABC mide 75º y el ángulo ADC mide 50º.¿Cuánto mide el ánguloBAD?
a) 64ºb) 100ºc) 95ºd) 89ºe) 90º
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89. En la figura, 5:2: = β α ¿qué tipo de triángulo es?
a) Escalenob) Isóscelesc) Rectángulod) Obtusánguloe) No se puede determinar
90. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
a) 110ºb) 100ºc) 115º
d) 95ºe) No se puede determinar
91. Calcula el perímetro del pentágono ABCDE. El triángulo ACE es equilátero y superímetro es igual a 18 cm. Los triángulos ABC y CDE son isósceles congruentes de14 cm de perímetro. AB = BC y CD = DE
a) 20 cmb) 22 cmc) 32 cmd) 24 cme) 19 cm
92. Si AB = BD; AC = BC; <ABD = 129º; <CAD = 18º; x = ?
a) 100 ºb) 104ºc) 111ºd) 115ºe) 98º
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a) (a + b) b) (a + b + c) c) (a + c)b) (b + c) e) Ninguna de las anteriores.
99. Clasifique el triángulo de la figura siguiente según los lados.
a) Escalenob) Isóscelesc) Equiláterod) Acutángulo
e) Ninguna de las anteriores
100. ¿cuál de los siguientes grupos de longitudes no pueden ser los lados de untriángulo rectángulo?
a) 3,4,5b) 5,12,13c) 8,15,17d) 12,15,18e) 9,12,15
101. Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno delos cuales tiene un lado común con el triángulo. Las superficies de estos trescampos son iguales a 64, 225 y 289 hectáreas. ¿Cuál es la superficie del campotriangular?.
a) 60 b) 80 c) 90 d)65 c100)
102. Calcular el perímetro de la figura siguiente: ED = AC = 15 cm; BC = 9cm , AE=6cm.
a) 69b) 54c) 72d) 81e) 79
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103. De las siguientes afirmaciones la verdadera es:
a) Si dos triángulos tienen igual área, tienen igual perímetrob) Si dos triángulos tienen igual perímetro entonces tienen igual área
c) Si dos triángulos tienen sus bases iguales, entonces tienen la misma áread) Si dos triángulos tienen la igual altura, entonces tienen las misma áreae) Si dos triángulos tienen igual altura y sus áreas son iguales, entonces sus bases
son iguales
104. En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas, además AB=BD, ¿Cuál es la relaciónentre las áreas de los triángulos ABC y BDE?
a) Area1 > área2
b) Area1 < área2c) Area1=área2d) No se puede sabere) Otra relación
105. Sea ABCD un cuadrado en el cual tenemos inscrito otro cuadrado EFGH cuyosvértices se encuentran ubicados en los puntos medios de los lados del cuadradoABCD. A su vez tenemos un círculo de área a inscrito en el cuadrado ABCD.Encuentre el área del cuadrado ABCD en función de a.
a) 8 a π b) 2 a π c) 5/4 a π d) 4 a/ π e) aπ
106. Los lados AB, BC, CD y DA, de un cuadrilátero convexo ABCD tienen longitudes3, 4, 12 y 13 respectivamente y el ángulo CBA es recto, entonces el área delcuadrilátero es:
a) 32b) 36c) 39d) 40e) 30
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113. A un cuadrado, cuyos lados miden 1024 m, se le inscribe un cuadrado,situando los vértices de éste en los puntos medios de los lados del primero. Aeste segundo cuadrado, por el mismo procedimiento, se le inscribe un tercercuadrado. ¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado más pequeño?
a) 12 b) 8 c) 16 d) 20 e) 256
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Aplicando las definiciones a los ángulos agudos del gráfico tenemos:
Fun. Trig. de α Fun. Trig. de β sen α = a/c sen β = a/ccos α = b/c cos β = b/ctan α = a/b tan β = a/bcsc α = c/a csc β = c/asec α = c/b sec β = c/bcot α = b/a cot β = b/a
Al analizar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos α y β del cuadro anteriorpodemos enunciar el siguiente teorema:
Una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su ángulocomplementario.
Funciones trigonométricas de 30º, 45º ,60º.
Para obtener las funciones de una ángulo de 45º, consideremos un triángulo rectánguloisósceles como el indicado en la gráfica a continuación en el cual se asignara a la longitud de
cada cateto la unidad, luego obtenemos la magnitud de hipotenusa 2 aplicando Pitágoras.
Para las funciones de 30º y 60º consideramos un triángulo equilátero con sus lados de longitud2 unidades cada uno, trazamos PS perpendicular a QR, esta recta divide al triángulo PQR endos triángulos rectángulos iguales, cada uno con sus ángulos agudos de 30º y 60º. Con los
valores de hipotenusa (QP) 2, y los catetos (QS) y (PS) 1 y 3
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En el cuadro siguiente se presentan los valores respectivos.
Ángulo Sen Cos Tg Csc Sec Ctg
30 º1
2 3
2
3
3
2
2 3
3
3
45º2
2 22 1
2 2 1
60º3
2 1
2 3 2 33 2
33
Generación de ángulos:
Un ángulo puede considerarse como engendrado por una recta que coincide primero con unode los lados del ángulo, gira después entorno del vértice y finalmente coincide con el otro lado.
Si la generatriz se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj, los ángulos sonpositivos.
Si la generatriz se mueve en sentido de las manecillas del reloj, los ángulos son negativos.
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Aún cuando 2 ángulos tengan los mismos lados inicial y final y hayan sido engendrados poruna rotación en el mismo sentido, pueden ser diferentes en magnitud.
Funciones trigonométricas de ángulo de cualquier magnitud
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de unángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en suposición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la partepositiva del eje x.
En la figura siguiente, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y queforma un ángulo α con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y de un punto situadosobre el lado terminal del ángulo pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III,IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si Pestá en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a
2 2 x y+ , aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
• Seno sen α = ordenada / radio = y / r
• Coseno cos α = abscisa / radio = x / r
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• Tangente tg α = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x• Cotangente cotg α = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y• Secante sec α = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x• Cosecante cosec α = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
Estas definiciones aplicadas al ángulo XOB del primer cuadrante concuerda, necesariamentecon las definiciones dadas anteriormente para ángulos agudos.
1.- El valor de cada una de las razones es independiente de la posición de P2.- Los valores de las funciones depende únicamente de la posición del lado final delángulo.
* Todos los ángulos que tengan los lados terminales coincidentes tendrán igual valor defunción trigonométrica
Signo de las funciones En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas yordenadas, las razones presentan los siguientes signos:
Las funciones trigonométricas de las funciones cosecante, secante y cotangente será el mismoque de su respectiva inversa.
Expresar cinco de las Funciones Trigonométricas en términos de una
Ejemplo: Como expresar todas las funciones en términos de la función senoTomamos un triángulo rectángulo al cual se asigna el valor de sus lados de cuerdo a ladefinición de la función trigonométrica en la cual quedaran definidas las otras cinco.
r
ysenAsenA ==
1 Entoncesr = 1y=senA
por lo tanto aplicando Pitágoras:22
yr x −±=
221 senA x −±=
De donde obtenemos las siguientes expresiones:
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Una de las aplicaciones de estas relaciones es el obtener una de las funciones trigonométricasen términos de las otras cinco.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
Función sin cos tan csc sec cot
sin
cos
tan
csc
sec
cot
Funciones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º: en el gráfico consideramos los puntosP1,P2,P3 yP4 correspondientes a los lados terminales de los ángulos de 0º,90º,180º y 270ºrespectivamente, asignando a cada uno las coordenadas presentadas a continuación, yaplicando la definición de las funciones trigonométricas obtenemos el valor de estaspresentadas en el siguiente cuadro.
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0º: para P1 tenemos: x =1, y = 090º: para P2 tenemos : x = 0, y= 1180º: para P3 tenemos: x = -1, y = 0
270º : para P4 tenemos: x= 0 , y = -1
Angulo Sen cos tg ctg Sec csc0º 0 1 0 ∞ 1 ∞
90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1180º 0 -1 0 ∞ -1 ∞ 270º -1 0 ∞ 0 ∞ -1* Se debe tomar en cuenta que la división para cero no tiene valor definido, lo que se expresacolocando ∞
Sistema circular : El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal,divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º.Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado poralguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no losayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo almoverse.
De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida delángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema se utilizacomo unidad de medida de los ángulos, el "radián".
Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco conla misma longitud del radio de la circunferencia. En la figura, la longitud del radio r es igual a ladel arco AB; el ángulo A0B mide 1 radianes.
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Esconveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.
La longitud P de una circunferencia está dada por
P = 2πr, r radio
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Como un radián es igual al radio, en una circunferencia hay 2π radianesTambién el ángulo de gira es de 360º, por lo tanto:
2π rad = 360º
π rad = 180º1/2π rad = 90º
Relación entre arco, radio y ángulo
En una circunferencia de radio “ r ”, la longitud “s” de un arco que subtiende unángulo central de α radianes es:
s = r . α ó α = r/s
Regla general para reducir las funciones ángulos de cualquier magnitud en términos defunciones de ángulos agudos.
I.- Cuando el ángulo sea de 180º ± A, o de 360º ± A, sus funciones son numéricamenteiguales, es decir en valor absoluto, a las funciones del mismo nombre de A.
II.- Cuando el ángulo sea de 90º ± A, o de 270º ± A, sus funciones son numéricamente igualesa las cofunciones del mismo nombre de A.
III.- En todos los casos el signo del resultado es el que corresponde a la función buscada, en el
cuadrante en que se encuentra el ángulo original.
En caso de que el ángulo sea mayor de 360º se debe primero reducir a un ángulo menor a360º mediante la substracción sucesiva de múltiplos de 360º, o en caso de ángulo negativoreducirlo al correspondiente ángulo positivo.
Funciones trigonométricas de ángulos negativos en términos de su correspondientepositivoTeorema: las funciones trigonométricas del ángulo negativo (-A) son iguales en valor absolutoa las funciones del mismo nombre del ángulo correspondiente positivo (A). El signo algebraico,cambia para todas las funciones excepto para el coseno y la secante.
Circulo trigonométrico: Circulo cuyo radio se toma como unidad de longitud, en el gráfico a
continuación el circulo presentado será trigonométrico si el radio AB se toma = 1
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Definición: Son la representación gráfica de las funciones trigonométricas a través desegmentos dirigidos de recta.
Las razones trigonométricas deducidas en un círculo trigonométrico se corresponden con losvalores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. Acontinuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma deobtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrantes es similar.
Línea seno
Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el eje X.
En el ángulo OQP:Sen α = PQ/rSen α = PQ
Análisis de la línea SENO
En el cuadrante1 el Seno crece de 0 a 1En el cuadrante2 el Seno decrece de 1 a 0En el cuadrante3 el Seno decrece de 0 a -1En el cuadrante4 el Seno crece de -1 a 0
Es una parte de la tangente geométrica trazada por elorigen de arcos A ( 1 ; 0 ),Se empieza a medir de este origen y termina en laintersección de la tangente geométrica con el radioprolongado que pasa por el extremo del arco.Análisis de la línea SENOAnálisis de la línea SENOAnálisis de la línea Tangente
En el cuadrante1 la Tangente crece de 0 a +∞
En el Q2 la Tangente crece de - ∞ a 0En el Q3 la Tangente crece de 0 a +∞ En el Q4 ,la Tangente crece de - ∞ a 0- ∞ < Tg α < +∞ Tg 0º = 0, Tg 90º = ∞, Tg 180º = 0,Tg 270º = ∞, Tg 360º = 0
Grafica de funciones Trigonométricas
Graficamos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
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Teorema: las funciones trigonométricas del ángulo negativo (-A) son iguales en valor absolutoa las funciones del mismo nombre del ángulo correspondiente positivo (A). El signo algebraico,
cambia para todas las funciones excepto para el coseno y la secante.
APLICACIONES
La principal aplicación que tiene la trigonometría es la resolución de figuras geométricasutilizando las funciones trigonométricas, es decir encontrar la longitud de los lados y medida deángulos que forman las figuras geométricas.
Resolución de triángulos
Resolver un triángulo significa determinar el valor de sus 6 elementos, 3 lados y 3 ángulos,para que un triángulo sea resoluble se deben conocer por lo menos 3 de sus elementos y uno
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de ellos por lo menos debe ser un lado. Partiendo siempre del supuesto que el triángulo puedeconstruirse con los datos dados.
Resolución de triángulos rectángulos.
En los triángulos rectángulos se parte siempre de conocer un ángulo, es decir el ángulo recto,luego puede completarse los tres datos requeridos con las siguientes posibilidades:
- Dos lados- Un lado y un ángulo agudo.
En cualquiera de los casos siempre se puede realizar los siguientes pasos para la resolución:
1.- Se realiza una figura que represente al triángulo.2.- Si se conoce el ángulo agudo, se obtiene el tercer ángulo, por complemento3.- Dentro de las funciones trigonométricas para ángulos agudos se escoge la mas adecuadaque contenga una sola incógnita.4.- Se comprueba los valores obtenidos utilizando el teorema de Pitágoras por ejemplo.
Ejemplo:
Resolver el triángulo rectángulo con una ángulo agudo de 25º e hipotenusa de 260u.
- Primer paso
- Segundo paso:
B = 90º - 25º = 65º
- Tercer paso:
Encontramos a
c
asenA =
260º25
asen =
260423.0
a= a = 109.88u.
Encontramos b
c
b A =cos
260º25cosb
=
260º25cos
b=
260906.0
b= b = 235.64
- Cuarto paso:
Comprobamos los valores obtenidos con el teorema de Pitágoras
2602 = 235.642 + 109.882
67600 = 55526.2+12073.6 =67599.8
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Todo triángulo isósceles queda dividido, por la perpendicular bajada del vértice del ángulodesigual al lado opuesto, en dos triángulos rectángulos, luego la solución de un triángulo
isósceles se reduce a la resolución de un rectángulo.
RESOLUCION DE POLÍGONOS REGULARES
Todo polígono regular de n lados, queda dividido por la recta trazada de su centro a los vértices(radio del circulo circunscrito), en n triángulos isósceles, los mismo que pueden resolversecomo triángulos rectángulos que se consiguen trazando la perpendicular del vértice del ángulodesigual (radio del circulo inscrito).
Ejemplo:
En este polígono cada ángulo central tendrá por valor 360º dividido para el número de lados(n).
Luego el ángulo del triángulo isósceles a resolver será:
X= 369º/2n
Donde:R= radio del circulo circunscritor = radio del circulo inscrito o apotemaAD = la mitad de la longitud de un ladoÁngulo x = 180º /n
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Siempre se debe utilizar las siguientes propiedades geométricas de los triángulos en su
resolución:
- La suma de los tres ángulos internos es 180º- A mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
La resolución de triángulos oblicuángulos depende de las siguientes leyes:
Ley de los senos
Los lados de un triángulo son proporcionales a la función seno de los ángulos opuesto.
senC
c
senB
b
senA
a==
No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos,esta se puede aplicar cuando dos de los datos conocidos son: un lado y su ángulo opuesto.
Ejemplo:Resolver el triángulo siguiente:
A=43º B=27º C=? a=5 b=? c = ?
El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo
siempre suma 180°.
c = 180°- a – b
c=180°-43°- 27°= 180°- 70°= 110° c=110° Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
senC
c
senB
b
senA
a==
Sustituyendo queda:
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En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de losotros lados, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
Abccba cos2222 −+=
Análogamente:
Baccab cos2222 −+=
C abbac cos2222 −+=
Despejando:
bc
acb A
2cos
222 −+=
ac
bca B
2cos
222 −+=
ab
cbaC
2cos
222 −+=
Ejemplo:
a = ?b = 9
c = 12A= 25°
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Funciones trigonométricas de ángulos dobles conocidas las del ángulo
xsenx xsen cos22 =
22
cos2cos sen x −=
1cos22cos 2 −= x x
xsen x 2212cos −=
tgx
tgx xtg
−=
1
22
Funciones de ángulos múltiples: Se debe expresar las funciones de ángulos nx, donde n es unnúmero entero en términos del ángulo x, el método utilizado consiste en expresar en ángulomúltiple nx como la sumas en términos de x.
Ejemplo
sen(3x)= sen (x+2x)
Funciones trigonométricas de un ángulo en funciones de su ángulo mitad:
2cos
22
x xsensenx =
22
coscos 22 xsen
x x −=
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Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valoresde los ángulos para los cuales estás funciones estén definidas.
Caminos para la demostración de identidades:
1.- Reducir un miembro o la forma del otro, usando identidades conocidas. En general elmiembro más complicado se lleva a la forma del más simple. Si esto no es posible entonces;
2.- Reducir ambos miembros a la misma expresión, luego dos cantidades simultáneamenteiguales a una tercera iguales entres sí.
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Las ecuaciones es un igualdad que se cumplen para ciertos valores de ángulo, y resolver unaecuación consiste en encontrar las ángulos para los cuales se cumple.
Sugerencias para resolver una ecuación trigonométrica:
1.- Expresar todas las funciones que intervienen en términos de funciones de un mismo ángulo.
2.- Expresar todas las funciones en términos de la misma función.
3.- Resolver algebraicamente considerando como incógnita la única función que intervieneahora en la ecuación.
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21. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen12º = 0.2 y sen 37º =0.8. Hallar sen 49º
a) ( )2215
4− b) ( )21
2
3− c)
2
21−
d) )65(
3
22− e)
2
252 −
22. Sin usar la calculadora y sabiendo que sen12º = 0.2 y sen 37º =0.8 ,halla tan 25º
a)5
4b)
7
5c)
7
4d)
9
5e) 1
5
4−
23. Sabiendo ques senx=5
3y que π
π << x
2, averigua el valor de sen 2x
a)
25
24b)
7
52 c)
27
24− d)
25
24− e)
5
12
24. Al recorrer 0.56 km. por una carretera, cuyo ángulo de inclinación es constante,hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?
a) 35º b) 60º c) 45º d) 30º e) 50º
25. En un rectángulo de lados 8 cm. y 12 cm. y de vértices A, B, C y D, dibujamos dospuntos M y N sobre su diagonal AC, de forma que los segmentos MB y ND seanperpendiculares a dicha diagonal. Halla la distancia entre M y N.
a) 1524 b)
1720 c)
1320 d)
2324 e)
1512
26. En el interior de un ángulo de 30º dibujamos dos circunferencias de radios 10 cm y13 cm. tangentes a ambos lados del ángulo (sus centros estarán situados sobre labisectriz del ángulo). Averigua la distancia entre ambos centros.
a) 32
6
−b)
22
5
−c)
31
6
−d)
32
6
+e)
32
12
−
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37. Al simplifica la siguiente expresión trigonométrica:
3 2 2 3cos cos cossen sen senα α α α α α + + + , su igual es:
a) cosα− senα b) senα+ cosαc) sen2α d) senα∗cosα e)senα∗2cosα
38. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a:( ) ( )
( ) ( )
cos cosa b a b
sen a b sen a b
+ + −
+ + −
a) cosa / sen2a b) sena*cosb c) ctana d) tanb e) sena*cosa
39. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a :
*cos( ) cos * ( )senb a b b sen a b− + −
a) sen2a b) sena c) cosa d) senb e) cosb
40. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a :2
1 cos 2
sen x
x+
a) sen x /cos2 x b) tan x c) 2tan x d) sen2x e) cos2x
41. Encontrar la expresion trigonométrica equivalente a :2 2
*1 cos 2 cos
sen a sen a
a a−
a) 2cos2a b) 2cosa c) 4cosa d) 4sen2a e) 4cos2
42. Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la partemás alta bajo un ángulo de 45º.
a) 28m b) 25m c) 20m d) 50m e) 30m
43. Calcula la altura de un arbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa sucopa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.
a) 4 3 b) 3 3 c) 5 2 d) 5 3 e)
5 2
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44. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla,bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación esde 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río.
a) 22.6m y 12.6m b) 24.6m y 14.6m c) 23.6m y 13.6m
d)23.6m y 13.6m e) 25.6m y 15.6m
45. Hallar el área de un rectángulo sabiendo que una diagonal mide 60m y el ánguloobtuso que determinan sus diagonales es 120º
a) 900 3 b) 3600 3 c) 4500 2 d) 225 3 e) 144 3
46. En un triángulo isósceles ABC conocemos el lado BC=80m y el radio de lacircunferencia inscrita r=20m. Calcular el área del triángulo y los lados iguales.
a) 1900m2, 8 60 b) 1920m2, 8 61 c) 1890m2, 9 61
d) 900m2,12 60 e) 1900m2, 61
47. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen x + 1/sen x = 5/2, son:
a) 20º ,160º b) 45º ,135º c) 30º,150º d) 30º,120º e) 35º,125º 48. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
(2sen2 x + 2) / 2sen x = 5sen x / 2sen x , son:
a) 30º ,160º b) 45º ,130º c) 30º,120º d) 30º,150º e) 40º,120º
49. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen2 x - 2cos2 x = 1 son:
a) 60º b) 90º c) 120º d) 150º e) 180º
50. Los valores de x comprendidos entre 0º y 180º que satisfacen la ecuación:
sen x + cos2 x = 1 son:
a) 30º,90º,120º b) 0º,90º,120º c) 0º,45º,90º d) 30º,60º,150ºe)0º,90º, 180º
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Definimos a un segmento rectilíneo como aquella parte determinada de una recta. En lasiguiente figura es posible ver un segmento de la recta L, este segmento se encuentradeterminado por los puntos A y B, y la notación que se usa para representar a ese segmentoes AB.
Ahora bien, tras definir el concepto de segmento rectilíneo, solo basta agregar el concepto de dirección adicho segmento y con esto tenemos ya la definición de un segmento rectilíneo dirigido. Llámese segmentorectilíneo dirigido a todo segmento rectilíneo con una dirección.
El segmento AB tiene dirección (indicada por la flecha), la dirección del segmento se indica
también en la nomenclatura ya que un segmento AB es aquel que va de A hacia B mientrasque un segmento BA es aquel que va de B hacia A; como una consecuencia de esto lasdimensiones de los segmentos AB y BA tienen igual magnitud absoluta pero signos
diferentes; es decir: BAAB −=
Ejemplo. La línea mostrada en la figura tiene sentido positivo de izquierda a derecha, exprese
AC en función de los otros segmentos.
A
B l C
Soluciones posibles: CB AB AC
BC AB AC
−=
+=
Distancia entre dos puntos
Es el valor absoluto (siempre positivo) del segmento que une esos dos puntos. Dados lospuntos ( )111 , y xP y ( )222 , y xP la distancia entre P1 y P2 viene dado por:
( ) ( )
2
12
2
1221 y y x x P P d −+−==
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Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta quecontiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
PA/PB=rLas coordenadas del punto P que divide a un segmento dirigido AB de extremos A(x1,y1)b(x2,y2) en una razón r =AP:PB , se obtienen mediante las relaciones:
1 2
1 2
1
1
x rx x
r
y ry y
r
+=
++
=+
Caso particular: las coordenadas del punto medio un segmento dirigido AB de extremosA(x1,y1) b(x2,y2) se obtienen con las relaciones:
1 2
1 2
2
2
x x x
y y y
+=
+=
Ejemplo
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
1 31 52 2 11 3
12 2
13 6 02 0
1 31
2 2
xp
yp
− += = =
+
− += = =
+
21 5 91 32 311
23 6 91 3
2 311
xq
yq
− += = =
+
− += = =
+
P(1,0) Q( 3, 3)
( )3,62 −P
( )3,21−
P
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Es el ángulo medido de manera anti-horaria (contra las manecillas del reloj) entre la partepositiva del eje de las x (abscisas) y la recta.Ejemplo. En la gráfica se tienen 2 rectas l y l´, con ángulos respecto del eje x de a y a´
respectivamente.
El ángulo de inclinación varia entre 0º y 180º.
α 'α
'l l
O x
y
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta, generalmente denominada como m , es la tangente de su ángulo deinclinación; es decir, m=tan ( a ). En base a la figura mostrada a continuación y usando ladefinición de la tangente tenemos que:
( )( )
( ) 1212
12tan x x x x
y y
adyacente cateto
opuesto cateto m ≠
−
−=== α
Por lo tanto dados dos puntos de una recta se puede definir su pendiente y su ángulo deinclinación. Como se puede ver en la expresión para la pendiente si los dos puntos usadospara definir la pendiente tienen el mismo valor de la abscisa (valor de x), el valor de m esinfinito.
Las rectas que tienen un ángulo de inclinación de 90º son paralelas al eje Y , y no tienenpendiente.
Ángulo entre dos rectas
Bajo el principio que dos rectas que no son paralelas se cortan en un único punto, los ángulos
entre 2 rectas son los mostrados en la figura. Para la determinación de 1θ se pueden usar las
pendientes de las rectas 1l y 2l de lasiguiente forma:
α
l
O x
y
( )222 ,y x P
( )111 ,y x P ( )
32112 x x −
α
O
2θ
1θ
C
B A
1α 2α
1l 2l
x
y
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En donde 21, m m son las pendientes de las rectas 1l y 2l respectivamente.
De igual manera si queremos encontrar 2θ la ecuación a usar es la siguiente:
21
211 1
tanm m
m m
+
−=θ
Para saber exactamente como usar una u otra ecuación se debe visualizar lo siguiente:
final inicial
inicial final
m m
m m
+
−=
1tanθ
En donde final inicial m y m están definidas por el sentido del ángulo el cual siempre se consideraantihorario (ver sentido de las flechas en el gráfico).
Condición de perpendicularidad
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si es que elproducto de sus pendientes sea -1; es decir:
121 −=⋅ m m
Si analizamos la ecuación para determinar el ángulo entre dos rectas nos podemos dar cuenta
que la condición de perpendicularidad está contenida en esta ecuación (analizar eldenominador).
Ejemplo. Determine si la recta 1l definida por los puntos ( )2,2 −−A y ( )3,3 B es perpendicular
(normal) a la recta 2l definida por los puntos ( )4,4 −C y ( )6,6− D .
( )( )
( )
( ) 111
110
104646
12323
21
2
1
−=−⋅=⋅
−=−
=−−
−−=
=−−−−
=
m m
m
m
Por lo tanto las rectas si son perpendiculares.Condición de paralelismo
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas entre sí es que suspendientes sean iguales; es decir:
21 m m =
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Es un grupo de puntos tal que si tomamos 2 de ellos y calculamos la pendiente usando la
ecuación
12
12
x x
y ym
−
−= este es un valor constante para cualquier par de puntos.
Ecuación de una recta dada un punto y la pendiente
La recta que pasa por el punto ( )111 , y xP y tiene la pendiente m , tiene por ecuación:
( )11 x xm y y −=−
Ejemplo. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )2,1P y tiene una pendientede -2.
( )
x y x y
x y x y
24222
222122
−=++−=
+−=−−−=−
Ecuación de una recta dada dos puntos
La recta que pasa por los puntos ( )111 , y xP y ( )222 , y xP , tiene por ecuación:
( )121
211 x x
x x
y y y y −
−
−=− .
Esta ecuación se obtiene fácilmente mediante la sustitución de la ecuación para la pendientede una recta en la ecuación ( )11 x xm y y −=− .
Distancia de un punto a una recta Cuando se solicita hallar la distancia desde un punto P a una recta l nos referimos a la distanciamás corta desde P a la recta l; esta distancia está medida sobre la recta perpendicular a l, porlo tanto, en este tipo de problemas lo que se debe hacer es determinar la ecuación de la rectaque pasa por P y es normal a l, luego se debe hallar el punto Q de intersección de las dosrectas; la distancia solicitada es la distancia del punto P al punto Q.
Ejemplo. Determine la distancia del punto ( )5,2− A a la recta cuya ecuación es: 32 −= x y
Condición de perpendicularidad121 −=⋅ m m
Pendiente de la recta dada = 2 por lo tanto:
2112 11 −=−=⋅ mm
Ecuación de la recta dada un punto y su pendiente
( ) ( )
( ) ( )
24
2215
11
x y
x y
x x m y y
−=
+−=−
−=−
Obtenemos el punto de corte de la recta dato y la obtenida:
P(14/5, 13/5)
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Y por último obtenemos la distancia entre A y P que será la distancia entre el punto A y la rectadada.
Ecuación de la circunferencia
Definición: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que seconserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
Teorema1:La circunferencia con centro en el punto (h,k) y radio r, tiene por ecuación:
222 )()( r k yh x =−+− Esta ecuación se conoce como segunda forma ordinaria de la circunferencia.
Corolario:La circunferencia de centro en el origen y radio r
Tiene por ecuación:
222
r y x =+
Esta ecuación se conoce como primera forma ordinaria ocanónica de la circunferencia
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Suponiendo un sistema de coordenadas inicial con origen en O y ejes x e y las coordenadas deun punto A dado, en este sistema son:
Dado un segundo sistema de referencia de origen O´ y ejes x´ e y´. Siendo los centros decoordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos ados, y las coordenadas de O´, respecto a sistema Oxy son:
(́ , )O h k
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en el sistema O´x´y´, según losdatos anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, B y C sobre el eje de las X y los puntos O, D y E sobre el eje de las ytenemos que por suma de segmentos dirigidos:
A
A
x OB BC
y OD BC
= +
= +
Pero por segmento de paralelas comprendidas entre paralelas tenemos: BC igual a x´ A ,OBigual a h, OD igual a k y BC igual a y´A , tenemos::
´
´ A A
A A
x h x
y k y
= +
= +
Esta dos expresiones que relacionan las coordenadas leídas en el un sistema original y una entraslación con respecto a este se constituyen la ley de traslación.
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Dado un sistema de coordenadas en el plano con origen en O y ejes x e y, un punto A delplano, se representara en este sistema tiene por coordenadas:
Para un segundo sistema de referencia girado un ángulo , respecto al primero, lascoordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia serán :
Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; empleamos unadenominación u otra para indicar si las coordenadas están determinadas con respecto a uno uotro sistema de referencia, llamando r a la distancia del punto A con respecto al origen que esla misma en ambos sistemas tenemos:
( )
( )
cos cos cos
cos cos
A
A
x r r rsen sen
y rsen rsen r sen
α β α β α β
α β α β α β
= + = −
= + = +
En el sistema rotado las coordenadas del punto se pueden expresar como:
´
´
cos A
A
x r
y rsen
β
β
=
=
Remplazando en con las expresiones de las coordenadas en el sistema original tenemos:
´ ´
´ ´
cos
cos A A A
A A A
x x y sen
y x sen y
α α
α α
= −
= +
Ecuaciones que relaciones las coordenadas del sistema original con las del sistema rotado esexpresan la ley que gobierna la rotación.
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Definición.- una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de talmanera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia
de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz.
En el gráfico tenemos los siguientes elementos de la parábola:
F foco ; l recta directriz ; la recta a que pasa por F y es perpendicular a l se llama eje de laparábola; A punto de intersección entre la directriz y el eje de la parábola; V punto medio delsegmente AF se denomina vértice de la parábola; BB´segmento de recta que une dos puntoscualesquiera de la parábola se denomina cuerda, cuerda que para por el foco tal como CC´sedenomina cuerda focal, cuerda focal tal como LL´que es perpendicular al eje se denomina ladorecta de la parábola, y por último segmento de recta que une el foco con uno cualesquiera delos puntos de la parábola se denomina radio vector del punto por ejemplo el segmento PF.
Ecuación de la Parábola con vértice en el origen y como eje un eje coordenado:
px y 42 =
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Esta ecuación corresponde a la parábola del gráfico, es decir con su vértice en (0,0), foco decoordenadas (p,0) y su directriz de ecuación x= -p
Análisis de la ecuación:
- Intersecciones: para x = 0, y = 0 , por lo tanto pasa por el origen
- Simetría.- si reemplazo y por –y la ecuación no se altera por lo tanto es simétrica con respectoal eje X.
Extensión: despejando y tenemos
px y 2±=
Por lo tanto para que exista valor real de y p y x deben tener el mismo signo, así que si F estaen la parte positiva del eje X, x puede tener solo valores positivos y se dice que la parábola seabre hacia la derecha, de lo contrario es decir con p negadito la parábola se abre a la izquierda.
Y puede tomar todos los valores reales positivos y negativos.
- Asíntotas: la parábola no tiene asíntotas verticales ni horizontales
Si el eje de la parábola esta en el eje Y y el vértice esta en el origen la ecuación sería:
py x 42 =
La ecuación de la recta directriz sería y= -p y si p>0 la parábola se abre hacia arriba, y si p<0 laparábola se abre hacia abajo.
En cada caso la longitud del lado recto es 4p
Estas formas de ecuación se conocen como primera forma ordinaria de la parábola.
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25. Los puntos A(-1,1), B(3,1) y C(3,7) definen el triangulo ABC, ¿Cuál es el valorde la tangente del ángulo C?
a) 2/3 b)-2/3 c)3/2 d)-3/2 e)Ninguno de los
anteriores
26. Si P1 (X1; Y1) y P2 (X2; Y2) son puntos diferentes de una recta entonces supendiente m está dada por:
a) 11
22
Y X
Y X m
+
+=
b) 12
12
Y X
X Y m
−
−= Con X2 ≠ Y1
c) 12
12
X X
Y Y
m −
−
= Con X2 ≠ X1
d) 12
12
X X
Y Y m = Con X2 ≠ 0 y X1 ≠ 0
27. Dada la ecuación de la recta ax+by+c=0 y asumiendo que todos sus coeficientesson diferentes de cero. ¿Cuáles son las coordenadas del corte de la recta con eleje y?
a) (c/b,0)b) (-c/b,0)c) (0,c/b)d) (0,-c/b)e) Ninguno de los anteriores
28. Las ecuaciones de dos rectas son:B
y y
A
x x 11 −=
− yD
y y
C
x x 22 −=
− , estas líneas
NO se cortan en ningún punto si y solo si:
a) BC=-ADb) BC=AD
c) AB=CDd) AB=-CDe) Ninguno de los anteriores
29. Las coordenadas del punto P (1; 0) referidos a los ejes coordenados cuandogiran un ángulo de 90 grados son:
a) (1; 0) b) (-1; 0) c) (0; 1) d)(0; -1) e) Ninguna delas anteriores
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30. La ecuación de la curva X² + Y² = r² cuando giran los ejes coordenados unángulo θ toman la forma:
a) X² + Y² = r² sen² θ d) X² + Y² = r²cos² θ
b) X² + Y² = r² e) X² cos² θ + Y² sen² θ = r²c) Ninguna de las anteriores
31. Dados los puntos P1 (X1; Y1) y P2(X2; Y2) cuando trasladamos paralelamentelos ejes coordenados al punto P1 las nuevas coordenadas del punto P2 son:
a) a) P2(X2; Y2)b) b) P2((X2+X1); (Y2+Y1))c) c) P2((X2-X1); (Y2-Y1))d) d) P2((X2X1); (Y2Y1))e) e) Ninguna de las anteriores
32. Hallar la ecuación de una circunferencia que tiene como extremos de uno desus diámetros los puntos A(-2,3) y B(4,-1).