Bai2 Dao Ham Va Vi Phan

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Chương 1:

Phần 1

Nội dung

1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y)

2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y)

3.Sự khả vi và vi phân.

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1

Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0)

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , )( , ) ( , ) limx

x

f x y f xx yff x y x

xy

x

Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0)

0 0 0 00 0 0 0

0

( , ) ( , )( , ) ( , ) limy

y

f x yy

y f x yff x y x y

y

(Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0)

Ý nghĩa của đhr cấp 1

Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b)

Mphẳng y = b cắt S theo

gt C1 đi qua P.

(C1) : z = g(x) = f(x,b)

Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c)

g’(a) = f’x(a, b)

f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của

C1 tại x = a.

f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần

giao của Svới mp x = a) tại y = b

Các ví dụ về cách tính.

(1,2) :xf

(1,2), (1,2)x yf f

1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2

Tính

cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến

2( , )2 6 4f x x x

21(1,2) (6 4 ) |x xf x x 112 4 | 16xx

(1,2)yf cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến

2( , ) 31f y y y

22(1,2) (3 ) |y yf y y

f(x,y) = 3x2y + xy2

2(3 2 ) | 7yy

( , ), ( , )x yf x y f x y Tính với mọi (x, y) R2

( , )xf x y Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x

2( , ) , ( ,6 )xf x y y y yx x

Áp dụng tính: (1,2)xf

(Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)

f(x,y) = 3x2y + xy2

1, 22(6 ) | 16x yxy y

2/

( , )yf x y Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y

2( , ) 3 , )2 ( ,yf x y x yx x y

Áp dụng tính:

(1,2)xf 21, 2(3 2 ) | 7x yx xy

f(x,y) = 3x2y + xy2

2/ Tính (1,1), (1,1)x yf f với f(x, y) = xy

1( , ) , 0yxf x y yx x

1 1(1,1) 1 1 1;xf

( , ) ln , 0yyf x y x x x

1(1,1) 1 ln1 0yf

2 2,( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

xyx y

f x y x y

x y

3/ Cho

a/ Tính

b/ Tính

(0,1)xf

(0,0)xf

a/ Tính (0,1)xf (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức.

2 2 2

2 2 2( ) 2

( , ) , ( , ) (0,0)( )

xy x y x y

f x y x yx y

(0,1) 1xf

2 2,( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

xyx y

f x y x y

x y

b/ Tính (0,0)xf (0,0) là điểm phân chia biểu thức

Tính bằng định nghĩa

0 0 0 00 0

0

( , ) ( , )( , ) limx

x

f x x y f x yf x y

x

0 0

(0 ,0) (0,0)(0,0) lim lim 0 0x

x x

f x ff

x

2 2,( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

xyx y

f x y x y

x y

Hàm f xác định tại, mọi (x,y)

2 2

2 2( , ) x y

xx

f x y ex y

4/ Cho 2 2

( , ) x yf x y e tính ( , )xf x y

, ( , ) (0,0)x y

Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)

(0 ,0) (0,0)f x fx

• Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa

f không có đạo hàm theo x tại (0, 0)

(f’x(0,0) không tồn tại) .

21xe

x

2

0

1lim 1

x

x

ex

2 2( , ) x yf x y e

Ví dụ cho hàm 3 biến(Tương tự hàm 2 biến)

( , , ) xzf x y z x ye

, ,x y zf f f

Cho

Tính tại (0, 1,2)

1 xzxf yze

xzyf e

xzzf xye

(0, 1,2) 1 2 1xf

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Xét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến

2

2

2xx x

ff f

x

fx x

2

yxf

xy yf

fx

2

xyf

yx xf

fy

2

2

yy y

ff f

yf

y yy

Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu

có) của f’x, f’y

VÍ DỤ2( , ) cos( )f x y x xy y x

2 sin( )x x y y xf

x xxx ff

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f

sin( )yf x y x

y yxx ff

2 cos( )y x

2 sin( ) xx y y x

1 cos( )y x

x xyy ff

(0, ) 0, (0, ) 1 yx yyf f

(0, ) 3, (0, ) 0 xx xyf f

y yyy ff

sin( )yf x y x

1 cos( )y x

cos( )y x

Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau

xy yxf f

liên tục trong miền mở chứa (x0, y0)

Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng

, , ,x y xy yxf f f f

thì 0 0 0 0( , ) ( , )xy yxf x y f x y

(VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh)

•Ñoái vôùi caùc haøm sô caáp thöôøng gaëp, ñònh lyù Schwartz luoân ñuùng taïi caùc ñieåm ñaïo haøm toàn taïi.

•Ñònh lyù Schwartz cuõng ñuùng cho ñaïo haøm caáp 3 trôû leân.xxy xyx yxxf f f

( )m n

m nm n

m

m mny

n

x nyx y x

ff

f

Ý

Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính:

Lưu ý: đối với các hàm sơ cấp tính theo thứ tự nào cũng được.

2 xyxxf y e ( , ) xy

xf x y ye

( , ) (1 ) xyxyf x y xy e

( , ) (1 ) xyxyyf x y x xy x e

( , ) xyf x y e1/ Cho tính ,,xx xyyf f

Ví dụ

2(2 ) xyx x y e

Cách 2:

2 xyyyf x e

( , ) xyf x y e

xyy yyxf f 22 xyx x y e

Lấy theo thứ tự này nhanh hơn cách trước.

Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y

7

7 ( , )f

x yx

2/ Cho ( , ) ln(2 3 )f x y x y Tính 10

7 3 ( 1,1)f

x y

7 1 7

7

( 1) (7 1)!2

(2 3 )x y

7

7

2 6!

(2 3 )x y

10 3 7

7 3 3 7( , ) ( , )f f

x y x yx y y x

3 7

3 7

2 6!

(2 3 )y x y

107 3

7 3 ( 1,1) 2 9! 3f

x y

3 7

3 7 ( , )f

x yy x

7 3 102 6!3 ( 7)( 7 1)( 7 2)(2 3 )x y

7 3 102 9! 3 (2 3 )x y

SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1)

0 0 0 0( , ) ( , )f x x y y f x y A x B y o

2 2( )o o x y

0 0( , )df x y A x B y

f khả vi tại (x0, y0) nếu tồn tại 2 hằng số A, B sao cho:

là VCB bậc cao hơn khi x, y 0

vi phân của f tại (x0, y0)

Điều kiện cần của sự khả vi:

1.f khaû vi taïi (x0, y0) thì f lieân tuïc taïi (x0, y0).

2.f khaû vi taïi (x0, y0) thì f coù caùc ñaïo haøm rieâng taïi (x0, y0)

vaø 0 0 0 0( , ) , ( , ) x yf x y A f x y B

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy

Vi phân của hàm 2 biến thường viết dạng:

Cho f xaùc ñònh trong mieàn môû

chöùa (x0, y0), neáu caùc ñhr f’x, f’y

lieân tuïc taïi (x0, y0) thì f khaû vi taïi

(x0, y0).

Điều kiện đủ của khả vi:

Các hàm sơ cấp thường gặp đều thỏa mãn điều kiện này.

( , ) ( , ) ( , )x xdf x y f x y dx f x y dy

3 2 22 3xy dx x y dy

VD: cho2 3( , )f x y x y tính ( , )df x y

Các công thức tính vi phân: như hàm 1 biến

2

( ) ,

( ) ,

( . )

d f df R

d f g df dg

d f g gdf fdg

f gdf fdgd

g g

Sau đó gom lai theo dx, dy

Vi phân hàm n biến: 1 2, ,..., nz f x x x

1 21 2 ...nx x x ndz f dx f dx f dx

VI PHÂN CẤP CAO

2x yd f d f dx f dy ( ) ( )x yd f dx d f dy

Vi phân cấp 2 của f là vi phân của df(x,y) khi xem

dx, dy là các hằng số. (ta chỉ xét trường hợp các

đhr hỗn hợp bằng nhau)

Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y))

( ) ( )xx xy yx yyf dx f dy dx f dx f dy dy

2 2 22 2 2

2 2( , ) 2f f f

d f x y dx dxdy dyx yx y

2 2 2( , ) 2xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy

hay

Công thức trên áp dụng khi x, y là các biến độc lập .

VÍ DỤ

2 2 3( , ) xf x y x y y e

2 3 2 2* 2 , 2 3 x xx yf xy y e f x y y e

(0,1) (0,1) (0,1) 3x ydf f dx f dy dx dy

Tìm vi phân cấp 1, 2 tại (0, 1) của

2 3* 2 ,xxxf y y e 24 3 x

xyf xy y e

22 6 xyyf x ye

2 3 2 2* 2 , 4 3 , 2 6 x x xxx xy yyf y y e f xy y e f x ye

2 2 2(0,1) (0,1) 2 (0,1) (0,1)xx xy yyd f f dx f dxdy f dy

2 22 ( 3) 6dx dxdy dy

Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao

dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n – 1).

(Chæ aùp duïng khi f laø bieåu thöùc

ñôn giaûn theo x, y (thöôøng laø hôïp

cuûa 1 haøm sô caáp vôùi 1 ña thöùc

baäc 1 cuûa x, y).

( , ) ( , )n

nd f x y dx dy f x yx y

Trong khai triển nhị thức Newton, thay các lũy

thừa của bởi cấp đhr tương ứng của f, lũy

thừa của dx, dy tính như thường.

Công thức hình thức: (trường hợp biến độc lập)

cụ thể:

22

2 2 22 2

2 2

( , )

2

d f x y dx dy fx y

f f fdx dxdy dy

x yx y

33

3 3 3 33 2 2 3

3 2 2 3

( , )

3 3

d f x y dx dy fx y

f f f fdx dx dy dxdy dy

x x y x y y

Ví dụ

( , ) x yz f x y e

( )x ydz d e

2 ( ) ( )x yd z d dz d e dx dy

Tính vi phân cấp 3 của

Cách 1:

(dx, dy là hằng)

3 2 2 3( ) ( ) ( )x y x yd z d d z d e dx dy e dx dy

x y x ye dx e dy ( )x ye dx dy

2( )( ) ( )x y x yd e dx dy e dx dy

Cách 2:

3 3 3 33 3 2 2 3

3 2 2 33 3f f f f

d z dx dx dy dxdy dyx x y x y y

3 3 2 2 33 3x yd z e dx dx dy dxdy dy

3 3( )x yd z e dx dy

( , ) x yf x y e