Bai Tap Toan cao cap 1

Giáo viên biên soạn: Hà Mạnh Tiến

9

CHƯƠNG 3

HAM SÔ MÔT BIÊN SÔ THƯC

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

Một số giới hạn cơ bản:

1lim 0 0

pnp

n

lim 0 1n

na a

lim 1n

na a

1lim 1

n

ne

n

lim 1 0n

na a

lim 1n

nn

lim ! 1n

nn

lim 0 1,p

nn

na p

a

lim 0!

n

n

aa

n

Bài 1. Cho dãy nx xác định như sau: 10 1x và 1 2 ; 1,2,...n n nx x x n

Chứng minh rằng nx có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2. Giả sử na , 1,2,...n là một dãy số thực được xác định bởi công thức truy

hồi sau: 11

30, , 2,3,...

4

nn

aa a n

Chứng minh rằng na là dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy.

Bài 3. Tìm giới hạn các dãy sau (nếu hội tụ):

a) Dạng phân thức

1. 2

2

2 3

3 2 1n

n nx

n n

2.

4

2( 1)(n 2)(n 4)n

nx

n

3.

3 2

2 1

4 3n

nx

n n

4.3 2

3 2

2 4 5

2 5 6n

n n nx

n n n

5.

2

2

3 5 4

2n

n nx

n

6.

3 2

2

2 1 5

2 3 5 1n

n nx

n n

b) Dạng mũ

8. 12 5

1 5

n n

n nx

9.

7

5 2.3

2.5 4.3

n n

n n nx

n

10.

11 8

2 7

n

n nx

c) Dạng căn thức

11. 3 2 3

nx n n n 12. 2

2

3 4

2n

n nx

n n

13.

2 23 1 1n

nx

n n


10

Bài 4. Không tính giới hạn, hãy chứng minh các dãy sau hội tụ

a) xn = n

ncos b) xn =

1n

nsinn 23 2

c) xn =

1n

ncosn

d)

6 2 2

4

3sin 5cos ( 1)

1n

n nx

n

HD: Sử dụng nguyên lý kẹp

2. GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ TÍNH LIÊN TỤC

Bài 5. Tính giới hạn của hàm số

a) Khử dạng vô định 0

0

1. 2

23

9lim

3x

x

x x 2.

3 2

3 21

1lim

1x

x x x

x x x 3.

0

4 2limx

x

x

4. xsin

eelim

xx

0x

5.

8x8x2

)2x(sinlim

2

2

2x

6.

3x4x

)3xsin(lim

23x

7. xcos1

xxlim

2

0x

8.

x3sinx

x2sinxlim

0x

9.

0

sin 4lim

ln(1 5 )x

x

x

b) Khử dạng vô định

10. 4

8

3 2lim

3 4x

x

x x 11.

2

2

2 5 3lim

6 3x

x x

x x

12.

2

2

1lim

2 1x

x

x x

c) Khử dạng vô định

13. 2limx

x x x

14. 2lim 2 1 4 4 3x

x x x

15. 2 33lim 1 1x

x x

d) Khử dạng vô định 1

16. 3

2lim

1

x

x

x

x 17.

21

lim3

x

x

x

x 18.

22

2

1lim

2

x

x

x

x

19. 1x

x 9x3

1x3lim

20.

3x

x 2x

1xlim

21.

1

0lim(1 3 ) x

xx

Bài 6. Xét sự liên tục của hàm số trên miền xác định của các hàm số sau:

1.

21

1

xf x

x 2.

5.3 0

0

x khi xf x

x b khi x


11

3. 2 0

2 0

xe khi xf x

a x khi x 4.

2 0 1

2 1 2

x khi xf x

x khi x

Bài 7. Xác định a để hàm số sau liên tục trên đoạn 0,2 :

2

2 khi 0,1

2 khi 1,2

x a xf x

ax x

Bài 8. Tìm a để hàm số sau liên tục tại 0 :x 0

sin3

0

x xe ekhi x

f x x

a khi x

Bài 9. Xét sự liên tục của hàm số f x tại 0 :x

sin 10

ln 1 sin

3 0

xekhi x

xf x

khi x

Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số f x tại 0 :x

2ln 10.

2

2 0

x xkhi xf x

x

khi x

Bài 11. Xác định a để f x liên tục tại 1:x 1

1

11

1

2 1 1

x

khi xf x e

a khi x

Bài 12. Xét tính liên tục của hàm số 2

1 cos xf x

x nếu 0, 0 , .x f A A R

Bài 13. Xét tính liên tục của hàm số:1

sinf x xx

nếu 0, 0 0.x f

Bài 14. Xác định a, b để hàm số liên tục trên toàn R:

22 3 1 2

2 4

8 4

x x khi x

f x ax b khi x

x khi x


12

3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Tính đạo hàm của các hàm số sau

1) y = x + x + 3 x 2) y = x

1 +

x

1 +

3 x

1 3) y =

3

2

x

ax +

xx

b -

x

x3

4) ecosxsinx 5) ln(sin2x) 6) tan

arcsin

x

x 7) arcsin

x1

x1

8) log3(x2 - sinx) 9) sin[cos2(tan3x)] 10) arctanax1

ax

11) arctan

2x1

x

12) arccos(cos2x) 13) tanx.cos2x 14) ln(1 + arctanx

1) 15) arcsin xsin

16) x + (x-1)arcsin1x

x

17)

3 x

x -

x

x 3

+ sin2x 18) 1

arctan x -

xarcsin

1

19) arctan x

x + ln(x + 2x1 ) 20) 22 xa - a.ln

x

xaa 22

21) log(arccosx) + lnsin4x 22) x 22 xa + a2arcsina

x 23) y = x

1

x

24) y = sinxx 25) y = (sinx)arcsinx 26) y = (cosx)sinx 27) y = (1 + x )lnx

28) y = xsinx + arcsin(lnx) 29) y = x2xe + sinxarctanx 30) y = (arctanx)arcsinx

Tìm vi phân của hàm số

a) y = a

1arctg

a

x b) y = arcsin

a

x c) y =

a2

1ln

ax

ax

d) y = ln|x + ax 2 |

Ứng dụng tính gần đúng

a) log11 b) 7

02,02

02,02

c) 3 02,1 d) 10 1000 e) sin290

f) arctan1.05 g) e0,02 h) arcsin0,51 i) 204,0 )02,1(e3

j) 203,0 )97,0(e8


13

Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số

a) y = x1

x 2

, tính y(8) b) y =

x1

x1

, tính y(100) c) y =

x

e x

, tìm y(10)

c) y = x2e2x, tính y(10) d) y = x2sinx, tính y(50)

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) sau

a) 1x

x2

b) 3 x1

x

c)

)x1(x

x

e) xn-1 x

1

e f) xex

g) ln(ax + b) h) sin2x i) 2x3x

12

j) 2x3x

12

k) xcosax

l) excosx m) x2eax n) sin4x + cos4x o) eaxsin(bx + c)

Bài 15. Xét tính khả vi của hàm số f(x) tại 0x

1 cos khi 0

( )1

khi 02

xx

xf x

x

Bài 16. Xét tính liên tục và tính khả vi của hàm số f(x) tại x = 0

1 1khi 0

( )

0 khi 0

xx

f x x

x

Bài 17. Xét tính liên tục và tính khả vi của hàm số f(x) tại x = 0

1 khi 0

( ) 1

0 khi 0

x

xx

f x e

x


14

Khai triển Taylor (khai triển tại lân cận x0)

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n + 1 trên [x0,x0+h] thì

f(x0 + h) = f(x0) + !1

)x('f 0 h + !2

)x(''f 0 h2 + … + !n

)x(f 0

)n(

hn + Rn(h),

trong đó

Rn(h) = )!1n(

)hx(f 0

)1n(

hn+1 số dư dạng Lagrăng

Rn(h) = o(hn) số dư dạng Peano

Khai triển Mac-Laurin (khai triển tại lân cận 0)

Khi x0 = 0

f(x) = f(0) + '(0)

1!

fh +

''(0)

2!

fh2 + … +

( ) (0)

!

nf

nhn + Rn(h),

Một số công thức khai triển Mac-Laurin thường dùng

+ (1 + x)α = 1 + !1

x +

!2

)1( x2 + … +

!n

)1n)...(1( xn + Rn(x)

+ Trường hợp m nguyên dương

(1 + x)m = 1 + !1

mx +

!2

)1m(m x2 + … +

!k

)1km)...(1m(m xk + … + xm

(1 - x)m = 1 - !1

mx +

!2

)1m(m x2 - … + (-1)k

!k

)1km)...(1m(m xk + … + (-1)mxm

+ x1

1

= 1 - x + x2 + … + (-1)nxn + Rn(x)

+ x1

1

= 1+ x + x2 + … + xn + Rn(x)

+ ln(x + 1) = x - 2

x 2

+ … + (-1)n-1

n

x n

+ Rn(x)

+ arctanx = x - 3

x 3

+ 5

x 5

+ … + (-1)n

1n2

x 1n2

+ Rn(x)


15

+ x1

1

= 1 -

2

x +

8

x3 2

- … + (-1)n

)n2...(6.4.2

)1n2...(5.3.1 xn + Rn(x)

+ arcsinx = x + 3.2

x 3

+ 5.8

x.3 5

+ … + )n2...(6.4.2

)1n2...(5.3.1

1n2

x 1n2

+ Rn(x)

+ ex = 1 + !1

x +

!2

x 2

+ … + !n

x n

+ Rn(x)

+ sinx = x - !3

x 3

+ … + (-1)n-1

)!1n2(

x 1n2

+ Rn(x)

+ cosx = 1 - !2

x 2

+ … + (-1)n

)!n2(

x n2

+ Rn(x)

Quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định

Áp dụng cho dạng 0

0 và

:

)x(g

)x(flim

0xx =

)x('g

)x('flim

0xx. Áp dụng tính các giới hạn sau

a)

2

x

1

x

x

111

x

1cose

lim

b)

)x1ln(

x2

tg

lim1x

c)

x2

xsinxlim

0x

d)

tgxx

xsinxlim

0x

e)

x

11ln

arctgxlim

x f)

tgxx

eelim

xx

0x

g)

xtgx

eelim

xtgx

0x

h)

)x1ln(

x2

tg

lim1x

i)

ax

eelim

ax

ax

j) xx

xx

0x dc

balim

k)

xtgx

eelim

xtgx

0x

l)

1x

1xlim

3

0x

m)

x2

xsin1lim

2x

n) 1xxln

xxlim

x

1x

Bài 18. Cho hàm số 3( ) . xf x x e , viết 6 số hạng đầu tiên trong khai triển Maclaurin

của f(x). Tính (3) (5)(0); (0)f f .

Bài 19. Cho hàm số 2( ) sin 3f x x . Sử dụng 5 số hạng đầu tiên của khai triển

Maclaurin của hàm số f(x) để tính giá trị gần đúng (0,01)f .

Bài 20. Cho hàm số 2

khi 0( )

khi 0

xe xf x

x ax b x


16

Xác định các giá trị của a và b để hàm số f(x) khả vi với x R .

Bài 21. Cho hàm số 3

0

0

khi ( )

khi

x x xf x

ax b x x

Với giá trị nào của a và b thì hàm số f(x) liên tục và khả vi tại 0x x

Bài 22. Tính gần đúng 52 0,15

2 0,15I

Bài 23. Tính gần đúng 2

2

(2,037) 3

(2,037) 5I

4. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Nguyên hàm các hàm thông dụng

a) dx0 = C b) dx1 = x + C c) dxx =

1

x 1

, α ≠ -1

d) x

dx = ln|x| + C e)

2x1

dx = arctgx + C f)

2x1

dx = arcsinx + C

g) dxa x = aln

a x

+ C h) dxex = ex + C i) xdxsin = -cosx + C

j) xdxcos = sinx + C k) xsin

dx2

= -cotgx + C l) xcos

dx2

= tgx + C

m) 22 xa

dx =

a

1arctg, a ≠ 0 n)

22 xa

dx =

a2

1ln

xa

xa

+ C, a ≠ 0

o) 22 xa

dx = arcsin

a

x + C, a ≠ 0 p)

2

2ln 1

1

dxx x C

x

MỘT SỐ DẠNG NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM

1.Tích phân hàm hữu tỷ

Phân tích thành tổng các phân thức hữu tỉ đơn giản

a) ax

Adx = Aln|x-a| + C b)

k)ax(

Adx =

1k)ax)(1k(

A

+ C (k ≠ 1)


17

c)

qpxx

dx)NMx(2

d)

m2 )qpxx(

dx)NMx( (q - p2/4 > 0) đổi biến x + p/2 = t

2. Tích phân hàm vô tỷ

a)

dx

dcx

bax,...,

dcx

bax,xR

s/rn/m

, cd ≠ 0. Đặt dcx

bax

= tk, với k là bội chung nhỏ nhất

của các chỉ số căn, đưa về dạng hữu tỉ với t.

b) dx)xa,x(R 22 Đặt x = asint, hoặc x = acost

dx)xa,x(R 22 Đặt x = atgt, hoặc x = acotgt

dxax,x(R 22 Đặt x = a/sint, hoặc x = acost

c) dx)cbxax,x(R 2 Đặt t = x + b/2a, đưa về dạng b

d) Tích phân dạng c có thể sử dụng phép thế Euler

a > 0, cbxax 2 = a x+t

c > 0, cbxax 2 = tx c

x0 là nghiệm tam thức bậc hai ax2 + bx + c, cbxax 2 = t(x - x0)

e)

cbxax)x(

dx)BAx(

2n Đặt x - α = 1/t

f) dx)bxa(x qpr , với r, p , q là các số hữu tỉ

q nguyên, s là mẫu số chung của r, p, thế x = ts

(r + 1)/p nguyên, s là mẫu số của q, thế a + bxp = ts

(r + 1)/p + q nguyên, s là mẫu số của q, thế a/xp + b = ts

3. Tích phân hàm lượng giác

a) Dạng dx)xcos,inxs(R , R là biểu thức hữu tỷ. Đặt t = tg2

x

b) Đặc biệt


18

Nếu R lẻ đối với sin thì đặt cosx = t

Nếu R lẻ đối với cos thì đặt sinx = t

Nếu R là chẵn đối với sin, cos thì đặt tgx = t

c) xdxosxcsin nm

Nếu m, n có ít nhất một số lẻ thì đặt như trường hợp b

Nếu m, n đều chẵn và có một số âm thì đặt tgx = t

Nếu m, n đều chẵn và dương thì hạ bậc

sin2x = (1 - cos2x)/2 cos2x = (1 + cos2x)/2 sinxcosx = sin2x/2

d) Dạng tích bxdxcososaxc ; bxdxcosaxsin ; bxdxsinaxsin

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản

1) 1 12 5

10

x x

xdx

2)

3

1

xdx

x

3) 2tan xdx 4) 21 cos

1 cos2

xdx

x

5) 4 1

dx

x 6) 2

2 2

1 2

(1 )

xdx

x x

Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 24 8 ; 4 6y x x y x

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3 36 16 ; 24 16x y y x y y

Câu 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi xoay hình phẳng

2: 2 ;2 2 3 0D y x x y quanh trục Ox.

Câu 4: Tính độ dài của đường cong 2 1y x từ điểm ( 1;0)A đến (1;0)B

Câu 5: Tính độ dài của đường cong sin , 1 cos ; 0 2x a t t y a t t

Câu 6: Tính độ dài của đường cong 3 3cos , sin ; 0 2x a t y a t t

Câu 7: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay cung 3y x 2 2

3 3x

quanh trục Ox.


19

Câu 8: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay cung siny x , (0 x

) quanh trục Ox.

Câu 9: Tính diện tích của mặt tròn xoay thu được khi quay đường cong

2 23 4 12x y quanh trục Oy.

5. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI I

Câu 10: Xét sự hội tụ và tính 2

0

. xI x e dx

Câu 11: Xét sự hội tụ và tính

22

0 1

dxI

x


1 1

dxI

x x


sinxI e xdx

Câu 14: Xét sự hội tụ và tính 2 4 9

dxI

x x

Câu 15: Xét sự hội tụ và tính

32

2 1

xdxI

x


1 1

dxI

x x x


1

arctan xI dx

x

Câu 18: Xét sự hội tụ của tích phân 4

1

3 4

1

xdx

x


71

1

1

xdx

x


1

xx e dx


20


5 32

1

3

xdx

x x


1

ln(1 )xdx

x

6. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2


21 4 4

dxI

x x


2

0

lnI x xdx


0 (1 )

dxI

x x

Câu 26: Xét sự hội tụ và tính 3 2

23 9

x dxI

x


20

sin 2

1

xdx

x


sin

01x

xdx

e


1

0 1x

dx

e


1

0

ln 1

sin

xdx

x x


sin

0

ln 1

1x

xdx

e

Câu 32: Xét sự hội tụ của tích phân

1 2

5230 1

xdx

x


50

ln(sin 2 )xdx

x


21


0cosx

dx

e x


2

0

sin xdx

x

Bai Tap Toan cao cap 1

Documents