Mục lục Chương 1: Tập hợp số thực và số phức 2 Chương 2. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 4 Chương 3. Không gian véc tơ, Không gian véc tơ Euclid 8 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 12 Chương 5. Trị riêng và véc tơ riêng của toán tử tuyến tính 14 Chương 6. Dạng toàn phương 16 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Mục lụcChương 1: Tập hợp số thực và số phức 2
Chương 2. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 4
Chương 3. Không gian véc tơ, Không gian véc tơ Euclid 8
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 12
Chương 5. Trị riêng và véc tơ riêng của toán tử tuyến tính 14
Chương 6. Dạng toàn phương 16
1
Chương 1 : Tập hợp và ánh xạ
Bài 1.1: Trong các trường hợp sau hỏi có A = B không?a. A là tập các số thực , B là tập hợp mọi số thực trị tuyệt đối của chính nó;b. A là tập các số thực , B là tập hợp mọi số thực trị tuyệt đối của chính nó;c. A là tập mọi số nguyên không âm và 100 có tam thừa là một số lẻ không chia hết
cho 3, B là tập các số nguyên không âm và 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24.
Bài 1.2: A, B, C là tập con của E. CMR nếu và thì .Bài 1.3: A là tập con của E. Hãy xác định các tập sau ( , .Bài 1.4: A, B là tập con của E. Chứng minh
a. Nếu thì b. Nếu A và B rời nhau thì mọi phần tử của E sẽ thuộc hoặc thuộc c.d.e.f.
Bài 1.5 : Các ánh xạ sau là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược nếu có :
a. b. c. d. e. f.
Bài 1.6 : Các ánh xạ sau đây là loại ánh xạ gì ? Xác định ánh xạ ngược nếu có :a. Đối xứng đối với một điểm Ob. Tịnh tiến theo vectơ c. Quay quanh tâm O một góc trong mặt phẳngd. Vị tâm O với tỉ số
Bài 1.7 :
a. Cho ánh xạ xác định bởi . Nó là đơn ánh ? là toàn ánh ? Tìm
ảnh f(R).
b. Cho ánh xạ xác định bởi . Tìm ảnh
Bài 1.8 : Xét 2 ánh xạxác định bởi
xác định bởi . So sánh và .Bài 1.9 : Cho 4 tập hợp A, B, C, D và 3 ánh xạ . CMR:
Bài 1.10 : a. Cho 2 tập E và F và ánh xạ . A và B là hai tập con của E. Chứng minh
b. CMR nếu f là đơn ánh thì : Bài 1.11 : Cho 2 tập E và F và ánh xạ . A và B là 2 tập con của F, chứng minh :
a. b.
2
Bài 1.12 : Cho . Chứng minh rằng :a. Nếu f và g là toàn ánh thì là toàn ánh
Nếu f và g là đơn ánh thì là đơn ánh Nếu f và g là song ánh thì là song ánh.
b. Nếu là song ánh và f là toàn ánh thì f và g là song ánh.
3
Chương 2 : Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính
Bài 2.1 : Cho
.
Tính :a. (A+B)+C b. A+(B+C) c. 3A d. Tìm At, Bt, Ct.
Bài 2.2: Tính các định thức cấp 2
a. b. c. d. e.
Bài 2.3: Tính các định thức cấp ba
a. b. c. d.
Bài 2.4 : Cho
. Hỏi các định thức sau bằng bao nhiêu ?
a. b.
Bài 2.5: Biết rằng các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Hãy chứng minh:
chia hết cho 17.
Bài 2.6: Chứng minh:
Bài 2.7: Tính định thức
bằng cách khai triển nó theo các phần tử của hàng ba.
Bài 2.8: Tính định thức:
bằng cách triển khai nó theo các phần tử của cột 4.
Bài 2.9: Tính các định thức sau:
a. b. c. d.
e. f.
4
Bài 2.10: Hãy nhân các ma trận:
a. b. c.
d. e. f. g.
Bài 2.11: Hãy tính AB – BA nếu
a.
b.
Bài 2.12: Cho
Hãy tính: a. At b. Bt c. AtBt d. BtAt
e. (AB)t f. (BA)t g. (A+B)t.
Bài 2.13 : Giải phương trình AX = B đối với ẩn là ma trận X, với :
Bài 2.14 : Dùng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
a. b. c.
Bài 2.15 : Dùng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
a. b. c. d.
Bài 2.16 : Hỏi các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phụ đại số :
a. b. c. d. e.
Bài 2.17 : Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau :a. b. c.
d. e. f.
5
g. h.
Bài 2.18 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình :
a. b.
Bài 2.19 : Hãy giải hệ các ma trận sau bằng cách tính ma trận nghịch đảoa. b. c. d. Bài 2.20 : Giải
a. b.
Bài 2.21 : Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ sau :a. b.
Bài 2.22 : Xác định để hệ sau có nghiệm không tầm thườnga. b.
Bài 2.23 : Tìm hạng của các ma trận sau :
a. b.
c.
6
Chương 3 : Không gian vectơ – Không gian Euclid Rn
Bài 3.1 : Trong các bài tập sau đây người ta cho một tập các phân tử gọi là vectơ, 2 phép tính
cộng vectơ và nhân vectơ với một số. Hãy xác định tập nào là không gian vectơ và nếu có tập
nào không phải là không gian vectơ thì chỉ ra các tiền đề mà tập đó không thỏa mãn.
a. Tập tất cả các bộ ba số thực (x,y,z) với các phép tính :
(x,y,z) + (x’,y’,z’) := x + x’, y + y’, z + z’)
k(x,y,z) := (kx,y,z)
b. Tập các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính :
(x,y,z) + (x’,y’,z’) := x + x’, y + y’, z + z’)
k(x,y,z) := (0, 0, 0)
c. Tập các số thực (x, y) với các phép tính :
(x,y) + (x’,y’) := (x + x’, y + y’)
k(x,y) := (2kx, 2ky)
d. Tập các số thực x với các phép tính cộng và nhân thông thường.
e. Tập các cặp số thực có dạng (x, y) trong đó với các phép tính thông thường
trong R2
f. Tập các cặp số thực (x, y) với các phép tính :
(x, y) + (x’ + y’) := (x + x’+ 1, y + y’ + 1)
k(x, y) := (kx + ky)
Bài 3.2 : Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w
a. x = (7, -2, 15), u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)
b. x = (0, 0, 0) ; u, v, w như câu a
c. x = (1, 4, -7, 7), u = (4, 1, 3, -2), v = (1, 2, -3, 2), w = (16, 9, 1, -3)
d. x = (0, 0, 0, 0); u, v, w như câu c.
Bài 3.3 : Mỗi họ vectơ dưới đây có sinh ra R3 không?