BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU

BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU

Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cócạnh góc vuông bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nó

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diệntích của thiết diện này

Giải:

1

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên = = 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = . .a =

Tính: OA = ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = + =

b) V = = =

Tính: SO = ( SOA tại O)

c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy 1 góc 600: Kẻ = 600

* SSAC = SM.AC = . . =

* Tính: SM = ( SMO tại O

).

* Tính: AC = 2AM =

* Tính: AM = =

* Tính: OM = ( SMO tại O)

Bài 2: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r= 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nónc) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm

của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó

2

CM

45

a

S

BA O

Giải:HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA =25 (cm2) Tính: SA = ( SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = 25 + 625

b) V = = =

(cm3)

c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH SI OH = 12cm

* SSAB = .AB.SI = .40.25 =

500(cm2)

* Tính: SI = = =

25(cm) ( SOI tại O)

* Tính: = - OI =

15(cm) ( SOI tại O) * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = (cm) (

AOI tại I)

Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nóna) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng

(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC

Giải: a) * Thiết diện qua trục là SAB vuông cân tạiS nên = = 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = . .a =

Tính: OA = = ; Tính: SA = a (

SOA tại O)

3

lh

O

I

H

B

A

S

CMa 2

S

BA O

* Stp = Sxq + Sđáy = + =

b) V = = =

* Tính: SO = ( SOA tại O)c) * Kẻ OM

BC = 600 ; * SSBC = =

=

* Tính SM = ( SOM tại O) * Tính: BM = (

SMB tại M)

Bài 4: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. ABCD làhình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. Dựng các đường sinh AA’và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 600.a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ.b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’.

Giải:a. Thể tích và diện tích toàn phần của

hình trụ:

Ta có

vuông cân nên AD=OATrong tam giác vuông ADA’, ta có:

Vậy

b. Thể tích khối đa diện ABCDB’A’:Ta có: và các đoạn AB, CD,A’B’song song và bằng nhau nên khối đa diệnABCDB’A’ là lăng trụ đứng có đáy là tamgiác AA’D và chiều cao là CD.

Vậy

Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm

thuộc sao cho .Tính thể tích của khối tứ diện ACDM.

4

A

A’

C

B

B’

O

Giải:Ta có:

(1). đều

.

Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = ra) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụb) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao

cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

Giải:HD: a) * Sxq = 2 Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .r. r =2 r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 r2 + 2 r2 = 2 ( r2

b) * V = = =

c) * OO’//AA’ = 300

* Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách giữa đườngthẳng AB và trục OO’ của hình trụ

* Tính: O’H = (vì BA’O’ đều cạnh r)

* C/m: BA’O’ đều cạnh r * Tính: A’B =A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r ( AA’B tại A’) Cách khác: * Tính O’H = =

( A’O’H tại H)

* Tính: A’H = =

* Tính: A’B = r ( AA’B tại A’

5

r3

H

A

B

O

O'A'

r

Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụb) Tính thể tích của khối trục) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ

3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên

Giải:

HD: a) * Sxq = 2 Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .5.7 = 70(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120 (cm2) b) * V = = = .52.7 = 175 (cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm * = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI= 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) ( OAI tại I)

Bài 8: Bên trong hình trụ có mét h×nh vu«ng ABCD c¹nh a néi tiÕp mµA, B thuéc ®êng trßn ®¸y thø nhÊt vµ C, D thuéc ®êng trßn ®¸y thø hai cña h×nh trô mÆt ph¼ng h×nh vu«ng t¹o víi ®¸y h×nh trụ một góc 450. Tính thể tích khối trụ.

Giải:Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AB vµCDTa có : OI AB; IJ cắt OO’ tạitrung điểm M của OO’ . MIO = 45o lµgãc cña mÆt (ABCD) víi ®¸y, Dođó :

O’I = ; R =

h = 2OM =Vậy : V = R2h =

A

J

B

M '

C'

D

O'

O

6

h

r

l

B'

A'

O'

IO

B

A

KHỐI CẦUBài 1: Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy AB = a vaø caïnhbeân SA = a. AC caét BD taïi O.a/ Chöùng minh raèng O laø taâm cuûa maët caàu (S) ñi qua 5 ñieåm S,A, B, C, D vaø tính baùn kính R cuûa noù.b/ Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD.

Giải:

b/

(ñvtt

Bài 2: Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a , SA (ABCD) vaø SA = a . Tính baùn kính cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hính choùp theo a .

Giải:HD: a) * Gọi O là trung điểm SC* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC lần lượt vuông tại A, D, B

* OA = OB = OC = OD = OS = S(O;

)

b) * R = = =

7

* S = ; * V =

Bài 3: Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a và ñöôøng cheùo taïo vôùi ñaùy moät goùc . Tính theå tích cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï .

Giải:

Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích vàthể tích của mặt cầu

Giải:a) * Gọi O là trung điểm của CD. * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD =

CD

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

* Chứng minh: DBC vuông tại B OB = CD

* OA = OB = OC = OD = CD A, B, C, D mặt

cầu S(O; )

b) * Bán kính R = = =

=

8

O

D

C

B

A

* S = ; * V = R3 =

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Giải:HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ vuông gócvới mp(SAB) tại I * Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1) * I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vìSAB vuông tại S)

OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS. Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

* R = OA = =

* S =

* V =

Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từngđôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thểtích của khối cầu đó .

Giải:Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng vuông góc với mp(SAB) thì là trục của vuông . Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường trung trực của cạnh SC của

cắt tại O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC .

9

c

b

a I

OS

C

B

A

Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật .

Ta tính được : SI = , OI = JS =

1 , bán kính R = OS =

Diện tích : S =

Thể tích : V =

Bài 7: Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC), SA = a; AB = AC= b, . X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n h×nh cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn S.ABC.

Giải:Gäi I lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC; ®êngth¼ng (d) ®i qua I , vu«ng gãc víi mp(ABC).mp trung trùc cña SA c¾t (d) t¹i O, OA =OB = OC = OS nªn O lµ t©m mÆt cÇu.

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a .

Giải:

Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp thí tâm củamặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’ . Bán kính

Diện tích :

Bài 9: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¸c c¹nh

10

S

A C

B

O

I

®Òu b»ng a, c¹nh bªn b»ng b. TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ®i qua c¸c ®Ønh cña l¨ng trô

Giải:-Gäi O vµ O’ lµ t©m ∆ABC vµ ∆A’B’C’th× OO’ lµ trôc cña c¸c ®êng trßnngo¹i tiÕp ∆ABC vµ∆A’B’C’-Gäi I lµ trung ®iÓm OO’ th× IA = IB=IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I lµ t©m mÆtcÇu ngo¹i tiÕp l¨ng trô-B¸n kÝnh mÆt cÇu lµ R = IATam gi¸c vu«ng AOI cã: AO =

OI =

⇒AI2 = OA2+OI2 = ⇒ AI =

V=

AI2 =

V=

a

C

C'

O

O '

A1

A1'

B'

B

I

A'

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao h = 1. Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải:Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC .Khi đó SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Suy ra : SO (ABC) Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA , cắt SO tại I .

Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bánkính R = SI

Ta có .

Vì SAO vuông tại O nên SA = =

11

= Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường

tròn nên : SI = = = =

. Vậy bán kính R = SI = .

Diện tích mặt cầu : (đvdt)

Bài 11: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng a, c¹nh bªn hîp víi ®¸y mét gãc 30o. TÝnh thÓ tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.

Giải:Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã SOb (ABCD), SO lµ trôc cña ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gäi M lµ trung ®iÓm SATrung trùc cña SA c¾t SO t¹i I ⇒ I lµt©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp⋄OIMA lµ tõ gi¸c néi tiÕp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = Víi AO = ,

AS = ,

SO = SA sin30o = ⇒SI = = a

⇒ VMcÇu =

a

O

S

MD C

BA

I

Bài 12 : Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặtđáy một góc 600.1/ Tính diện tích hình xung quanh và thể tích của hình nón.2/ Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thểtích khối cầu đó.3/ Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường trònđáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặtđáy của hình nón. Biết bán kính của hình trụ bằng một nửa bán kínhđáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ.

Giải:

12

* Câu 1: đều

;

.* Câu 2 Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO

Bán kính mặt cầu r = O’O.

; V=

* Câu 3 N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ:

ON=

; .V=

13