This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
2. Ñieàu kieän caàn: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Ñieàu kieän ñuû: Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I. a) Neáu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I. b) Neáu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I. c) Neáu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f khoâng ñoåi treân I.
Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù.
3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai 2( )g x ax bx c= + + :
• Neáu ∆ < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.
• Neáu ∆ = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = 2b a
− )
• Neáu ∆ > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.
4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai 2( )g x ax bx c= + + vôùi soá 0:
vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä.
d) 2 2(2 1) 1
1x m x my
x+ + + +
= +
coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh (tung).
VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò
1) Haøm soá baäc ba 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + . • Chia f(x) cho f′ (x) ta ñöôïc: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B. • Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:
1 1 1
2 2 2
( ) ( )
y f x Ax By f x Ax B
= = + = = +
⇒ Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B.
2) Haøm soá phaân thöùc 2( ) ( )
( )P x ax bx cy f xQ x dx e
+ += = =
+ .
• Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì 00
0
'( )'( )
P xy
Q x= .
• Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm
cöïc trò aáy laø: '( ) 2'( )
P x ax byQ x d
+= = .
Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :
a) 3 22 1y x x x= − − + b) 2 33 2y x x= − c) 3 23 6 8y x x x= − − +
d) 22 1
3x xy
x− +
= +
e 2 1
2x xy
x− −
= −
Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá:
a) 3 2 2 33 3( 1)y x mx m x m= − + − − b) 2 6x mx y
x m+ −
= −
c) 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − d) 2 2
1x mx m y
x m+ − +
= − +
Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá:
a) 3 22 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − − coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1. b) 3 22 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + − coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân ñöôøng thaúng y = –4x. c) 3 2 7 3y x mx x= + + + coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7. d) 3 2 23y x x m x m= − + + coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng
Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:
0( ) (1)(2)
f x yx D
= ∈
Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m ≤ y0 ≤ M (3) Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc:
4) Baát phöông trình f(x) ≥ α ñuùng vôùi moïi x ⇔ m ≥ α. 5) Baát phöông trình f(x) ≤ β ñuùng vôùi moïi x ⇔ M ≤ β.
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
a) 4 42 4 2x x− + − = b) 3 5 6 2x x x+ = + c) 5 5 1(1 )16
x x+ − =
Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:
a) 22 1x x m+ + = b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m− + + − − + =
c) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = d) 7 2 (7 )(2 )x x x x m− + + − − + =
Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ R:
a) 22 1x x m+ + > b) 22 9m x x m + < + c) 4 4 0mx x m− + ≥
Baøi 4. Cho baát phöông trình: 3 22 1 0x x x m− + − + < . a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2]. b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2].
Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau: a) 3 1mx x m− − ≤ + coù nghieäm. b) ( 2) 1m x m x+ − ≥ + coù nghieäm x ∈ [0; 2].
c) 2 2( 1) 1m x x x x− + ≤ + + nghieäm ñuùng vôùi moïi x ∈ [0; 1].
1. Ñònh nghóa:Ñieåm ( )0 0; ( )U x f x ñgl ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu toàn taïi moät khoaûng (a;
b) chöùa ñieåm x0 sao cho treân moät trong hai khoaûng (a; x0) vaø (x0; b) tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm U naèm phía treân ñoà thò coøn treân khoaûng kia tieáp tuyeán naèm phía döôùi ñoà thò
2. Tính chaát: • Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp hai treân moät khoaûng chöùa ñieåm x0, f′′(x0) = 0 vaø f′′(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ( )0 0; ( )U x f x laø moät ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá.
Baøi 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm: a) 3 22 3( 1) 6 2 0x m x mx− + + − = b) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m− + − + + =
c) 3 22 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m− + − − + = d) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =
e) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = f) 3 3 2 0x mx m− + =Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 2 nghieäm:
a) 3 2 2( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m− + − − + + − = b) 3 3 2 0x mx m− + =
c) 3 2(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m− + + + − + = d) 3 23 3(1 ) 1 3 0x x m x m− + − + + =Baøi 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:
a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =
c) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = d) 31 03
x x m− + =
Baøi 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät: a) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − = b) 3 26 3( 4) 4 8 0x x m x m− − − + − =
c) 3 21 5 74 03 2 6
x x x m− + + + = d) 3 2 (2 1) 2 0x mx m x m− + + − − =
Baøi 5. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät: a) 3 22 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ − + − + − = b) 3 2 2 23 3( 1) ( 1) 0x mx m x m− + − − − =
c) 3 23 9 0x x x m+ − + = d) 3 2 18 2 0x x mx m− + − =
1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm ( )0 0 0; ( )M x f x .
Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ( )0 0 0; ( )M x f x laø:
y – y0 = f′ (x0).(x – x0) 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä
phöông trình sau coù nghieäm: ( ) '( )
( )f '( )
x g x f x g x
= =
(*)
Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau ⇔ phöông trình 2ax bx c px q+ + = + coù nghieäm keùp.
VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x) Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y =f(x) taïi ñieåm ( )0 0 0;M x y :
• Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0. • Tính y′ = f′ (x0). Suy ra y′(x0) = f′ (x0). • Phöông trình tieáp tuyeán ∆ laø: y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y =f(x), bieát ∆ coù heä soá goùc k cho tröôùc. Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. • Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f′ (x0). • ∆ coù heä soá goùc k ⇒ f′ (x0) = k (1) • Giaûi phöông trình (1), tìm ñöôïc x0 vaø tính y0 = f(x0). Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. • Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ coù daïng: y = kx + m. • ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm:
( )'( )
f x kx mf x k
= + =
(*)
• Giaûi heä (*), tìm ñöôïc m. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆. Chuù yù: Heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán ∆ coù theå ñöôïc cho giaùn tieáp nhö sau: + ∆ taïo vôùi chieàu döông truïc hoaønh goùc α thì k = tanα + ∆ song song vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b thì k = a
+ ∆ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = 1 a
−
+ ∆ taïo vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b moät goùc α thì tan1k a
ka−
=+
α
Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán ∆ cuûa (C): y = f(x), bieát ∆ ñi qua ñieåm ( ; )A AA x y .
Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. • Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Khi ñoù: y0 = f(x0), y′0 = f′ (x0). • Phöông trình tieáp tuyeán ∆ taïi M: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) • ∆ ñi qua ( ; )A AA x y neân: yA – y0 = f′ (x0).(xA – x0) (2)
• Giaûi phöông trình (2), tìm ñöôïc x0. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa ∆.
Giaû söû d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) ∈ d. • Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM • ∆ tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm:
( ) ( ) (1)'( ) (2)
M Mf x k x x yf x k
= − + =
• Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – xM).f′ (x) + yM (3) • Soá tieáp tuyeán cuûa (C) veõ töø M = Soá nghieäm x cuûa (3)
Cho hoï ñöôøng (Cm): y = f(x, m) (m laø tham soá). M(x0; y0) ∈ (Cm) ⇔ y0 = f(x0, m) (1)
Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuyø theo soá nghieäm cuûa (1) ta suy ra soá ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. • Neáu (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M. Khi ñoù, M ñöôïc goïi laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï (Cm). • Neáu (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. • Neáu (1) voâ nghieäm thì khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua M.
VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) Caùch 1:
Baøi toaùn: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y) thoaû tính chaát α. • Nhaän xeùt: Tìm taäp hôïp ñieåm M trong maët phaúng toaï ñoä laø tìm phöông trình cuûa taäp hôïp ñieåm ñoù.
Daïng 1: Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M. 1) Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa tham soá m ñeå toàn taïi ñieåm M. 2) Tính toaï ñoä ñieåm M theo tham soá m. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra:
Tröôøng hôïp 1: M ( ) ( )
x f m y g m
= =
Khöû tham soá m giöõa x vaø y, ta coù moät heä thöùc giöõa x, y ñoäc laäp vôùi m coù daïng: F(x, y) = 0 (goïi laø phöông trình quó tích)
Tröôøng hôïp 2: M ( )( )
x a haèng soáy g m
= =
Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng x = a.
Tröôøng hôïp 3: M ( )( )
x f my b haèng soá
= =
Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng y = b. 3) Giôùi haïn quó tích: Döïa vaøo ñieàu kieän (neáu coù) cuûa m (ôû böôùc 1), ta tìm ñöôïc ñieàu kieän cuûa x hoaëc y ñeå toàn taïi ñieåm M(x; y). Ñoù laø giôùi haïn cuûa quó tích. 4) Keát luaän: Taäp hôïp caùc ñieåm M coù phöông trình F(x, y) = 0 (hoaëc x = a, hoaëc y = b) vôùi ñieàu kieän cuûa x hoaëc y (ôû böôùc 3).
Daïng 2: Trong tröôøng hôïp ta khoâng theå tính ñöôïc toaï ñoä cuûa ñieåm M theo tham soá m maø chæ thieát laäp ñöôïc moät heä thöùc chöùa toaï ñoä cuûa M thì ta tìm caùch khöû tham soá m trong heä thöùc ñeå tìm ñöôïc heä thöùc daïng F(x, y) = 0.
Chuù yù: Neáu baøi toaùn chæ hoûi : Ñieåm M chaïy treân ñöôøng naøo thì ta chæ tìm phöông trình F(x, y) = 0 maø khoâng caàn tìm giôùi haïn cuûa quó tích.
Baøi 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm ñaëc bieät cuûa hoï ñoà thò ñaõ cho. a) (Pm): 22 ( 2) 2 4y x m x m= − − + − . Tìm taäp hôïp caùc ñænh cuûa (Pm).
b) (Cm): 3 23 2 3 1y x mx x m= − + − − . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm uoán cuûa (Cm).
c) (Cm): 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Cm).
d) (Hm): ( 1) 1 1
m xy mx− +
= −
. Tìm taäp hôïp caùc taâm ñoái xöùng cuûa (Hm).
e) (Hm): 22 3 5
2x mx my
x− +
= −
. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Hm).
Baøi 2. Cho (C) vaø (C′). Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng. 1) Tìm m ñeå (C) vaø (C′) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. 2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB.
a) (C): 3 23 1y x x mx= + + + vaø (C’): 3 22 7y x x= + + .
a) 2 2( 1) 4y x y x y x= + + + + b) 22 4( 1) 6y x y x y x= + + − +
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b
Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d ⇔ d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB • Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng:
Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d:
a) 3( ) : ; : 2 0C y x x d x y= + + = b) 4( ) : ; : 2 6 02
xC y d x yx
+= − − =
−
c) 2
( ) : ; : 11
xC y d y xx
= = −−
d) 2 1( ) : ; : 1
1x xC y d y x
x+ −
= = −−
Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Vieát phöông trình ñoà thò (C′) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñöôøng thaúng d:
a) 3 2( ) : 3 5 10 2; : 2C y x x x d x= − + − = − b)22 3 7( ) : ; : 2
1x xC y d x
x− +
= =−
c) 2 2( ) : ; : 2
2x xC y d y
x+ −
= =−
d) 22 5 3( ) : ; : 1
1x xC y d y
x+ −
= = −−
Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d: a) 3 2 2( ) : 3 2 ; :C y mx x x m d Ox= + + +
VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b) Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I ⇔ I laø trung ñieåm cuûa AB.
• Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), coù heä soá goùc k coù daïng: ( )y k x a b= − + . • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d:
f(x) = ( )k x a b − + (1) • Tìm ñieäu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät
A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1). • Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I ⇔ I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k ⇒ xA, xB.
Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O ⇔ A B
A B
x xy y
= − = −
Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I:
a) 3 2( ) : 4 2; (2;4)C y x x x I= − + + b) 2 2 5( ) : ; 0;
1 2x xC y I
x + +
= −
c) 3 2( ) : 3 2 1; (0;0)C y x x x I O= − − + ≡ d) 4( ) : ; (0;0)1
xC y I Ox
+= ≡
+
e) 3 4( ) : ; (1;1)2 1xC y Ix
+=
− e) ( )
22 5 1( ) : ; 2; 51
x xC y Ix− +
= − −+
Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm I. Vieát phöông trình ñoà thò (C′) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñieåm I:
a) 3 2( ) : 2 3 5 1; (1;2)C y x x x I= + + + b)2( 1)( ) : ; (1;1)
2xC y Ix−
= −
c) 2 1( ) : ; (2;1)
1x xC y I
x− +
= −
d) 3 22 5 1( ) : ; (2;1)
2 3x x xC y I
x− − +
= −
Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm: a) 3 2 2 2( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O= − + − + − ≡
b) 3 2( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O= + + + ≡
c) 3 2( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O= + + + ≡ d) 2 2 22( ) : ; (0;0)
1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB = 2 2( ) ( )B A B Ax x y y− + −
2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng ∆: ax + by + c = 0:
d(M, ∆) = 0 0 2 2
ax by c
a b
+ +
+3) Dieän tích tam giaùc ABC:
S = ( )22 21 1. .sin . .2 2
AB AC A AB AC AB AC= −uuur uuur
Baøi 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. a) 2( ) : 1; (0;0)C y x A O= − ≡ b) 2( ) : ; (3;0)C y x A=
c) 2( ) : 2 1; (9;1)C y x A= + Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M
ñeán d laø nhoû nhaát.
a) 4 2( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= − + + = − b) 2 4 5( ) : ; : 3 6
2x xC y d y x
x+ +
= = − −+
c) 2( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= − = + d) 1( ) : ; : 2 31
xC y d y xx
+= = − +
−
Baøi 3. Tìm caùc ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) vôùi k cho tröôùc.
a) 2( ) : ; 12
xC y kx
+= =
− b)
2 1( ) : ; 11
x xC y kx+ −
= =−
c) 2 1( ) : ; 2
1x xC y k
x+ −
= =−
d) 2 2 2( ) : ; 2
1x xC y k
x+ +
= =+
Baøi 4. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai tieäm caän laø nhoû nhaát.
a) 2( ) :2
xH y x
+=
− b) 2 1( ) :
1xH y
x−
=+
c) 4 9( ) :3
xH y x
−=
−
d) 2 2( ) :
3x xH y
x+ −
= −
e) 2 1( ) : 2
x xH yx
− +=
− f)
2 3 3( ) :2
x xH y x+ +
= +
Baøi 5. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai truïc toaï ñoä laø nhoû nhaát.
a) 1( ) :1
xH yx
−=
+ b) 2 1( ) :
2xH y
x+
=−
c) 4 9( ) :3
xH y x
−=
−
d) 2 11( ) :
1x xH y
x+ −
= −
e) 2 3( ) :
2xH y x
−=
−f)
2 6( ) :3
x xH y x+ −
= −
Baøi 6. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán giao ñieåm cuûa hai tieäm caän laø nhoû nhaát.
a) 2 2 2( ) :
1x xH y
x+ +
= −
b) 2 1( ) : ; 1
1x xH y x
x− +
= >−
Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai ñieåm A, B thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau cuûa (H) sao cho ñoä daøi AB laø nhoû nhaát.
Baøi 1. Cho haøm soá: 3 2 4,y x ax= + − a laø tham soá.
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi a = 3. b) Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:
3 2 4 0x ax+ − = ÑS: b) a < 3.
Baøi 2. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 3 26 9 1y x x x= − + − .
b) Töø moät ñieåm baát kyø treân ñöôøng thaúng x = 2 ta keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán tôùi ñoà thò cuûa haøm soá? ÑS: b) moät tieáp tuyeán.
Baøi 3. Cho haøm soá: 3 3 (1)y x x= − a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Chöùng minh raèng m khi thay ñoåi, ñöôøng thaúng d cho bôûi phöông trình:
( 1) 2y m x = + + luoân caét ñoà thò haøm soá (1) taïi moät ñieåm A coá ñònh. Haõy xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng d caét ñoà thò haøm soá (1) taïi 3 ñieåm A, B, C khaùc nhau sao cho tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi B vaø C vuoâng goùc vôùi nhau.
ÑS: b) 2( 1; 2); 1 23
A m − = − +
Baøi 4. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: 4 22 1 (1)y x x= − −
b) Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät. 4 2
42 1 log (2)x x m− − =
ÑS: b) 4 < m < 16.
Baøi 5. Cho haøm soá: 4 25 4 (1)y x x= − +
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi 4 ñieåm phaân bieät. c) Tìm m sao cho ñoà thò (C) cuûa haøm soá chaén treân ñöôøng thaúng y = m ba ñoaïn thaúng coù ñoä daøi baèng nhau.
ÑS: b) 9 44
m− < < c) 7 4
m =
Baøi 6. Cho haøm soá: 4 21 32 2
y x mx= − + (1)
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñi qua 3 0;2
A
tieáp xuùc vôùi (C).
c) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá (1) coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi.
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, ñöôøng thaúng y = ax + 3 khoâng caét ñoà thò (H)? c) Qua ñieåm M(2 ; 3) vieát phöông trình tieáp vôùi ñoà thò (H). ÑS: b) –28 < a ≤ 0 c) y = –28x + 59.
Baøi 8. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò 2 ( )1
xy Cx
−=
− .
b) Tìm taát caû nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C) caùch ñeàu hai ñieåm A(0; 0) vaø B(2; 2). ÑS: b) (2 ; 0), (0 ; 2).
Baøi 9. Cho haøm soá: 12 ( )y x Cx
= − +
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân (C) caùc ñieåm caùch ñeàu hai truïc toïa ñoä. c) Tìm k ñeå ñöôøng thaúng y = k caét (C) taïi hai ñieåm maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau.
ÑS: b) 1 1 ;2 2
M
c) 2 5.k = − ±
Baøi 10. Cho haøm soá: 2 2( 1) 4 4 2
( 1)x m x m my
x m− + + − −
= − −
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi m = 2. b) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá xaùc ñònh vaø ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; +∞)
b) Goïi I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) vaø M laø moät ñieåm treân (C). Tieáp tuyeán taïi M vôùi (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A vaø B. Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø dieän tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M treân (C).
ÑS: b) 2 2.IABS =
Baøi 12. Cho haøm soá: 2 2 2 11 ( )
1 1x xy x C
x x+ +
= = + ++ +
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm sao cho tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa noù.
ÑS: b) 1 22 3 2 2 3 21 ; ; 1 ;
2 2 2 2M M
− + − − −
Baøi 13. Cho haøm soá: 2 ( 1) 1 ( )m
x m x mxy Cx m
+ + − +=
−
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi m = 2. b) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm tuøy yù thuoäc ñoà thò (C) (vôùi m = 2 ôû caâu treân) tôùi hai ñöôøng tieäm caän luoân baèng moät haèng soá.
a) Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc taïo bôûi hai truïc toïa ñoä vaø ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò cuûa haøm soá treân coù dieän tích baèng 4. b) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá treân khi m = –3. ÑS: a) m = –6 hay m = 2.
Baøi 16. Cho haøm soá: 2 1x xy
x+ +
= .
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá treân. b) Xaùc ñònh m sao cho phöông trình sau coù nghieäm:
4 3 2( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t− − + − − + =
ÑS: b) 3 7 .2 2
m hay m≤ − ≥
Baøi 17. Cho haøm soá: 3 2 2 2 23 3(1 ) (1)y x mx m m m= − + + − + − (m laø tham soá)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 1.
b) Tìm k ñeå phöông trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = coù 3 nghieäm phaân bieät. c) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1).
ÑS: b) 1 3; 0; 2;k k k− < < ≠ ≠ c) 22y x m m= − +
Baøi 18. Cho haøm soá: 4 2 2( 9) 10y mx m x= + − + (1) (m laø tham soá)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. b) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò. ÑS: b) 3 0 3.m hay m< − < <
Baøi 19. Cho haøm soá: 2(2 1) (1)
1m x my
x− −
= −
(m laø tham soá)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) öùng vôùi m = –1. b) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) vaø hai truïc toïa ñoä. c) Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y = x.
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = –1. b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông.
ÑS: b) 1 0.2
m− < <
Baøi 21. Cho haøm soá: 3 23y x x m= − + (1) (m laø tham soá)
a) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toïa ñoä. b) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 2. ÑS: a) m > 0.
Baøi 25. Cho haøm soá: 3 23 9 1 (1)y x mx x= − + + (vôùi m laø tham soá)
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 2. b) Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng thaúng y = x + 1.ÑS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.