BAI GIANG TOAN KINH TE

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

BÀI 1: KHÁI NIỆM MÔ HÌNH KINH TẾ

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1 Mô hình kinh tế

a. Khái niệm mô hình - mô hình kinh tế

- Theo quan điểm đơn giản nhất thì: Mô hình của đối tượng là sự phản

ánh hiện thực khách quan của đối tượng, sự hình dung, tưởng tượng đó bằng ý

nghĩ của con người hay ý nghĩ của người nghiên cứu và việc trình bày, thể hiện

diễn đạt ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ….hoặc một ngôn ngữ

chuyên ngành.

- Mô hình bao gồm: nội dung và hình thức thể hiện nội dung của mô hình.

- Mô hình của đối tượng hoạt động trong lĩnh vực kinh tế gọi là mô hình

kinh tế.

b. Mô hình hóa đối tượng

Việc mô hình hóa đối tượng tức là mô tả đối tượng bằng một mô hình

nhất định, với việc mô tả ấy ta sẽ chọn ra những chi tiết quan trọng, nó thể hiện

các đặc điểm cơ bản của đối tượng và bỏ qua các chi tiết không quan trọng làm

cho việc nghiên cứu thành đơn giản.

1.2 Mô hình toán kinh tế

- Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày dưới dạng ngôn

ngữ toán học.

- Việc sử dụng ngôn ngữ tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận,

phân tích toán học và kế thừa những thành tựu trong lĩnh vực này cũng như

trong lĩnh vực có liên quan.

- Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối quan hệ đan xen, thậm chí

tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích về mặt định tính và định lượng,

khi đó những phương pháp thông thường không đủ hiệu lực để giải quyết, vì vậy

chúng ta cần đến suy luận toán học. Đây chính là điểm mạnh của mô hình toán

kinh tế.

Ví dụ: Giả sử nghiên cứu, phân tích quá trình hình thành mức giá của một

loại hàng hóa A trên thị trường, với giả định là các yếu tố khác như điều kiện

sản xuất của hàng A, thu nhập, sở thích của người tiêu dùng đã cho trước và

không đổi.

- Đối tượng nghiên cứu: Thị trường hàng hóa A và sự vận hành của thị

trường này.

A. Mô hình diễn tả bằng lời

- Xét thị trường hàng hóa A khi đưa cho người bán hàng và xuất hiện mức

giá bán được là Po

- Với mức giá ban đầu là Po thì lượng hàng hóa mà người bán muốn bán

được gọi là mức cung, còn lượng hàng hóa mà người mua muốn mua được gọi

là mức cầu.

+ Nếu cung lớn hơn cầu thì do người bán muốn bán được nhiều hàng hóa

hơn nên sẽ phải giảm giá khi đó sẽ tiếp tục hình thành mức giá mới P1 (thấp

hơn)

+Nếu cung nhỏ hơn cầu thì người mua sẵn sang trả giá cao hơn để mua

được hàng và tiếp tục hình thành mức giá mới cao hơn mức giá ban đầu.

Quá trình hình thành giá này tiếp diễn cho tới khi cung bằng cầu và khi đó

hình thành nên mức giá cân bằng.

B. Mô hình diễn tả bằng hình vẽ

- Trục hoành biểu thị cho mức giá P

- Trục tung biểu thị cho mức cung và cầu tương ứng S và D

- Quá trình hình thành mức giá diễn ra như sau:

+ Bắt đầu xem xét thị trường với mức giá là P1. Quá trình cứ như thế cho

đến khi mức giá cân bằng đó là khi đó ta sẽ có cung bằng cầu.

C. Mô hình toán kinh tế (mô hình cân bằng thị trường)

Gọi S là đường cung, D là đường cầu.

- Với từng mức giá P thì ta luôn có: S = S(p). Do người bán sẵn sàng bán

với mức giá cao hơn nên S là hàm tăng theo P tức là S’ = S’(p) > 0

- Tương tự đối với dạng đường cầu ta sẽ có: D = D(p). Do người mua sẽ

mua hơn với giá cao hơn nên D là một hàm giảm theo P. Khi đó D’ = D’(p)

- Tình huống cân bằng thị trường chính là mức cung bằng mức cầu

S = D

Mô hình cân bằng thị trường (MHIA) được biểu diễn:

- Khi muốn đề cập đến tác động của thu nhập (M), thuế (T) tới quá trình

hình thành giá, ta có mô hình MHIB dưới đây:

S = S (p, T) với

D = D (p, M, T) với

S = D

Nhận xét: - Với mô hình diễn tả bằng lời, hình vẽ ta không biết chắc

chắn quá trình hình thành giá trên thị trường có kết thúc được hay không.

- Với mô hình kinh tế ta chỉ việc giải phương trình và phân

tích được các nghiệm

+ Có thể mở rộng mô hình

+ Khi muốn đề cập đến tác động của thu nhập, thuế tới quá

trình hình thành giá ta có thể mở rộng mô hình bằng cách đưa các yếu tố này

tham gia vào một mối liên hệ với các yếu tố sẵn có.

BÀI 2: CẤU TRÚC MÔ HÌNH KINH TẾ

- Mô hình toán kinh tế là một tập hợp gồm các biến số và các hệ thức toán

học liên quan giữa chúng nhằm mô tả đối tượng liên quan đến sự kiện và hiện

tượng kinh tế.

- Mô hình gồm: các biến, các phương trình và các bất phương trình.

Ví dụ: Mô hình cân bằng thị trường

Các biến số: S, D, P

Hệ phương trình toán học

2.1. Các biến số của mô hình

Biến số của mô hình là yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng mà ta có thể

lượng hóa chúng, các yếu tố này sau khi được lượng hóa (cái gì tốt thì lấy,

không tốt, không quan trọng thì bỏ) được gọi là các đại lượng hay các biến số

kinh tế của mô hình. Các biến số này có thể thay đổi giá trị trong một phạm vi

nhất định, nhờ được lượng hóa cho nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện

tính toán giữa các biến số này.

2.1.1 Các biến định lượng

- Các biến định lượng: là các biến đại diện cho các yếu tố vốn dĩ mang

tính định lượng, chúng thể hiện mặt lượng của vấn đề, như chi phí, lợi nhuận,

sản lượng, mức cầu…Việc đo lường các biến định lượng có thể biểu thị dưới

dạng hiện vật hay dưới dạng giá trị

Ví dụ: Biểu hiện dưới dạng giá trị: tiền

Biểu hiện dưới dạng hiện vật: đo, cân, đếm

2.1.2 Biến định tính

- Ngoài các yếu tố lượng còn có các yếu tố phản ánh mặt chất của đối

tượng, các yếu tố này phản ánh những thuộc tính, đặc điểm của đối tượng ở các

mức độ khác nhau.

Ví dụ: giới tính, trình độ tay nghề hay trình độ học vấn…

- Vấn đề căn bản là phải phân tích sự tương tác giữa các yếu tố này trong

cùng một đối tượng, và so sánh các yếu tố này giữa các đối tượng có thể phân

loại, sắp xếp đối tượng theo tiêu chí chất lượng. Khi tiến hành “biến số hóa”

theo các bước:

- Các yếu tố chất của đối tượng ta gán cho nó một biến đó là biến Y, theo

quy luật tư duy biện chứng mặt lượng và mặt chất của đối tượng có mối liên hệ

khăng khít gắn bó hữu cơ với nhau (theo quy luật lượng đổi, chất đổi).

Vì lý do đó ta có thể giả thiết rằng những yếu tố chất đó là biến Y có thể

liên quan hàng loạt tới các yếu tố về lượng và ta gán cho biến này là biến X. Khi

đó: X = (X1, X2,….,Xn) = f(X)

Trên cơ sở phân tích thực tiễn ta có thể cho rằng giữa Y và X có mối quan

hệ hệ số: Y = f(X1, X2,…..,Xn) = f(X)

Trong đó Y được xem như một chỉ tiêu, hay một tiêu chí tổ hợp với các

chỉ tiêu thành phần và hàm: Y = f(X) thỏa mãn các điều kiện sau:

+ Hàm Y = f(X) chỉ cần xác định trên khoảng giá trị thực tế, có thể có tại

một địa điểm và thời gian cụ thể của các biến X

Ví dụ: Tìm hiểu thu nhập của các hộ gia đình ở TP. HN tính từ 1996 đến

2010

+ Hàm Y = f(X) thường lấy giá trị trên khoảng từ 0 đến 1 để tiện cho việc

sắp xếp và phù hợp đối tượng.

+ Nếu các chỉ tiêu thành phần là X, Y có mối quan hệ tốt hay tích cực với

ý nghĩa là khi giá trị của X, Y là một thành phần tốt và ngược lại.

Ví dụ: Chất lượng cuộc sống của bác sĩ

Ví dụ: Khi xem xét chất lượng cuộc sống của dân số: chất lượng cuộc

sống gán cho biến Y. Các chỉ tiêu thành phần, thu nhập bình quân trên đầu

người, tỷ lệ người biết chữ, tỷ lệ dân số dùng nước sạch, số bác sĩ trên 1000

người là những thành phần tốt.

- Tỷ lệ người nghèo, tỷ lệ người mắc bệnh hay là người phạm tội đây là

những thành phần xấu.

Mục đích yêu cầu hợp lý nhất: Y = f(X) đồng biến theo biến tốt và

nghịch biến theo biến xấu.

+ Để xác định một hàm f trước tiên ta phải chỉ số hóa các biến phương

pháp “chỉ số hóa”

Nếu các biến X1, X2,….,Xn là các biến tốt thì:

Xi =

Nếu các biến X1, X2,….,Xn là các biến xa thì:

Xi =

Trong đó min (X,Y) và Max (X,Y) được tính trong khoảng giá trị thực tế

của X, Y.

+ Với phép tính như trên rõ ràng X, Y lấy trong [0,1] và ta có thể sử dụng

X, Y để sắp xếp đối tượng theo từng thành phần riêng rẽ. Đối với X, Y có

khoảng biến thiên lớn, sự thay đổi của X, Y có thể tác động mạnh, yếu khác

nhau đối với Y tùy thuộc vào giá trị hiện có của X, Y.

2.1.3 Biến nội sinh - biến ngoại sinh - tham số

Căn cứ vào vai trò của biến số trong mô hình người ta có thể phân chia

biến số thành các dạng

a. Biến nội sinh (biến được giải thích)

- Là các biến mà về bản chất chúng phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện,

hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của các biến khác

trong mô hình.

- Nếu biết được giá trị của các biến khác trong mô hình ta có thể xác định

giá trị cụ thể của biến nội sinh bằng cách giải các hệ thức.

Ví dụ: Trong mô hình MHIA ta có S, D, p là các biến nội sinh

b. Biến ngoại sinh (biến giải thích)

- Là các biến độc lập với các biến khác có trong mô hình, giá trị của

chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình.

Ví dụ: Trong mô hình MHIB thì các biến M, T là biến ngoại sinh.

Xét theo đặc điểm cấu trúc toán học thì mô hình có tất cả các biến đều là

nội sinh thì được gọi là mô hình đóng.

c. Tham số (thông số)

- Là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng chúng thể hiện

các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động.

- Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của

các biến tới các biến nội sinh.

Ví dụ: Nếu trong mô hình MHIB có S = thì là các tham số.

* Lưu ý: Cùng một biến số trong các mô hình khác nhau có thể đóng vai

trò khác nhau hoặc cùng một mô hình nhưng mục đích sử dụng khác nhau.

2.2 Mối liên hệ giữa các biến số và hình thức biểu diễn

- Phần cốt lõi và phức tạp nhất của mô hình là phần mô tả các quan hệ

định lượng thể hiện sự tương tác, ảnh hưởng qua lại giữa các biến số

- Các quan hệ này phản ánh quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt

động kinh tế giữa các cá nhân với cá nhân, nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận

của nền kinh tế và giữa các nền kinh tế của các quốc gia. Ta có thể phân loại

toán kinh tế theo các quy luật, các quy tắc hình thành nên chúng và các quan hệ

kinh tế chủ yếu bao gồm:

+ Quan hệ hành vi:

Là các quan hệ hình thành khi chủ thê thực hiện hành vi kinh tế.

Ví dụ: Quan hệ giữa các mức cung và mức cầu, lợi nhuận của doanh

nghiệp khi doanh nghiệp muốn đạt mức lợi nhuận cao nhất, quan hệ giữa thu

nhập và tiêu dùng

+ Quan hệ kỹ thuật:

Là quan hệ phản ánh mối liên hệ mang tính kỹ thuật giữa các yếu tố.

Ví dụ: Quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố đầu vào và sản lượng, quan

hệ giữa giới tính, đối tác và mức tiêu thụ hàng hóa.

+ Quan hệ đồng nhất (quan hệ định nghĩa)

Là các quan hệ được định nghĩa, được gán cho các yếu tố

Ví dụ: Doanh thu được xác định bằng tổng số tiền khi bán hàng

+ Quan hệ định chế:

Là các quan hệ tiến hành do quy định của pháp luật, các văn bản pháp

quy, do các quy chế, quy ước, thỏa thuận, giữa các đối tác.

Ví dụ: Quan hệ giữa thu nhập và thuế thu nhập, quan hệ giữa tiến độ cấp

vốn, tiến độ thi công, quan hệ giữa tài sản thế chấp và bản vay.

Ngoài ra nếu xem xét các hoạt động kinh tế theo hình thức các giao dịch

kinh tế giữa các chủ thể, người ta có thể đề cập đến các quan hệ sau:

1. Quan hệ mua - bán, quan hệ trao đổi hàng hóa dịch vụ

2. Quan hệ thuê mướn lao động, thiết bị, đất đai, vùng trời, vùng biển…

3. Quan hệ vay mượn vốn, tài sản

4. Quan hệ chuyển nhượng: trợ cấp, di sản, thừa kế…

Trong các mối quan hệ kinh tế chịu sự chi phối của quy luật bao trùm và

quy luật bảo toàn vận động (không có gì tự sinh ra hoặc tự mất đi mà chúng chỉ

chuyển từ dạng này sang dạng khác) theo quy luật này thì sự vận động của các

quá trình trong tự nhiên và xã hội không ngẫu nhiên sinh ra hoặc mất đi, chúng

chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác.

Hình thức thể hiện mối quan hệ khá phổ biến mối quan hệ giữa các biến là

các phương trình và chúng được gọi là phân tích cấu trúc của mô hình.

Ở dạng đơn giản phân tích cấu trúc là những hàm số (còn gọi là những

hàm kinh tế dạng phức tạp hơn là phương trình hoặc hệ phương trình đại số,

phương trình hàm….)

Quan hệ giữa các biến số có thể là mối quan hệ trực tiếp hoặc gián tiếp

thông qua các biến số khác theo một hoặc nhiều khâu trung gian.

Ví dụ: Biểu diễn mối quan hệ thông qua sơ đồ kênh có liên hệ như sau:

Về mặt toán học: người ta biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến số bởi

các phương trình tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của mối quan hệ, giữa các biến

có trong phân tích, người ta phân loại theo phương trình trong mô hình bằng các

phương trình sau:

- Phương trình đồng nhất (hay đồng nhất thức)

Là phương trình thể hiện quan hệ đồng nhất giữa các biến số, hoặc giữa

hai biểu thức ở 2 vế của phương trình.

Ví dụ 1: Lợi nhuận ( ) = tổng doanh thu (TR) - tổng chi phí (TC)

= TR – TC gọi là phương trình đồng nhất

Ví dụ 2: Trong kinh tế vĩ mô: NX = EX – Im

Trong đó: NX: xuất khẩu ròng của một quốc gia

EX: giá trị xuất khẩu

Im: giá trị nhập khẩu của quốc gia đó

Thông thường xuất nhập khẩu phụ thuộc vào thu nhập Y, mức giá P và tỷ

giá hối đoái ER

Do đó: NX = EX (Y, P, ER) – Im (Y, P, ER)

- Phương trình hành vi: là phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do

tác động của các quy luật hoặc do chúng ta giả định

Ví dụ: Trong hành vi tiêu dùng nếu thu nhập tăn lên thì người tiêu dùng sẽ

có xu hướng chi tiêu nhiều hơn.

- Phương trình điều kiện: là phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số

trong các tình huống có những điều kiện, ràng buộc cụ thể mà mô hình đề cập

tới.

Ví dụ: S = D là phương trình điều kiện vì nó thể hiện được cân bằng thị

trường.

BÀI 3: PHÂN LOẠI MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

Tùy thuộc vào đặc điểm cấu trúc và công dụng, công cụ toán học sử dụng,

theo quy mô yếu tố, theo thời hạn người ta chia mô hình thành các loại:

3.1 Mô hình tối ưu

Là mô hình phản ánh sự lựa chọn các hình thức hoạt động nhằm tối ưu

hóa một hoặc một số chỉ tiêu định trước

- Cấu trúc cơ bản của mô hình này chính là bài toán tối ưu

+ Bài toán quy hoạch

+ Bài toán điều khiển tối ưu

Khi phân tích mô hình tối ưu công cụ chính được sử dụng đó là các

phương pháp tối ưu toán học.

3.2 Mô hình cân bằng

Trong mô hình liên quan tới đối tượng, mối quan hệ giữa các biến số được

thiết lập trong đó giá trị của các biến nội sinh được xác định và chúng không

thay đổi nếu giá trị biến ngoại sinh và các tham số cho trước được cố định thì

đối tượng gọi là ở trạng thái cân bằng.

Mô hình thể hiện đối tượng trong trạng thái cân bằng được gọi là mô hình

cân bằng.

Ví dụ: S = D

3.3 Mô hình tất định - mô hình ngẫu nhiên

Mô hình với các biến là tất định được gọi là mô hình tất định. Nếu có

chứa biến ngẫu nhiên thì gọi là mô hình ngẫu nhiên.

3.4 Mô hình toán Kinh tế và mô hình kinh tế lượng

- Về mặt hình thức: các mô hình kinh tế lượng cũng được xem là mô hình

kinh tế và thuộc vào lớp mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên có sự khác nhau giữa

mô hình kinh tế lượng và mô hình toán kinh tế.

- Trong mô hình toán kinh tế: các tham số co trước hoặc giả định là đã

biết, khi phân tích ta sử dụng các phương pháp toán học để xử lý.

- Trong mô hình kinh tế lượng các tham số, giá trị của chúng được xác

định nhờ các phương pháp xác suất, thống kê.

4.5. Mô hình tĩnh (theo thời gian) – mô hình động

- Mô hình có các biến: Mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm

hay tồn tại ở một khoảng thời gian xác định (cố định) gọi là mô hình tĩnh.

- Mô hình mô tả hiện tượng kinh tế trong đó có các biến phụ thuộc vào

thời gian được gọi là mô hình động.

4.6. Mô hình vĩ mô – mô hình vi mô

- Mô hình vĩ mô là mô hình tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến nền

kinh tế của một lĩnh vực kinh tế gồm một số nước.

- Mô hình vi mô: là mô hình mô tả một chủ thể kinh tế, hoặc những hiện

tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.

BÀI 4: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH

TRONG NGHIÊN CỨU VÀ PHÂN TÍCH KINH TẾ

4.1. Nội dung cơ bản và phương pháp mô hình

- Đặt vấn đề: Trong đặt vấn đề cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào đó

trong hoạt động kinh tế quan tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể huy động

để tham gia nghiên cứu, những nguồn lực đó gồm: con người, tài chính, thông

tin và thời gian.

- Mô hình hoá đối tượng:

+ Xác định các yếu tố, các sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực

tiếp giữa chúng ta mà ta có thể cảm nhận bằng trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở

lý luận đã lựa chọn.

+ Lược hoá các yếu tố đã xác định, coi chúng là các biến của mô hình.

+ Xem xét vai trò của các biến và thiết lập các quan hệ toán học mô tả

giữa các biến.

- Phân tích mô hình: sử dụng phương pháp phân tích mô hình để phân

tích, kết quả phân tích dùng để điều chỉnh mô hình cho phù hợp với thực tiễn.

- Giải thích kết quả: dựa vào kết quả phân tích mô hình ta sẽ đưa ra giải

đáp cho vấn đề cần nghiên cứu. Nếu ta thay đổi vấn đề hoặc mục đích nghiên

cứu nhưng đối tượng liên quan không thay đổi thì vẫn có thể sử dụng mô hình

sẵn có.

Ví dụ: Khi điều chỉnh một sắc lệnh thuế đánh vào việc sản xuất và tiêu

thụ một loại hàng hoá A. Với thuế suất t % ( mức giá P không đổi). Hỏi mức

cung thay đổi như thế nào? Từ đó sự đánh giá của người tiêu dùng như thế nào

để tránh tình trạng bất ổn của thị trường.

Giải

1. Đặt vấn đề:

Để đáp ứng được yêu cầu trên chúng ta cần phân tích tác động trực tiếp

của thuế đối với việc sản xuất và tiêu thụ của một loại hàng hoá A trên thị

trường.

2. Mô hình hoá đối tượng:

Đối tượng hàng hoá A cùng với thị trường của nó khi đó có sự xuất hiện

của yếu tố thuế (T)

Mô hình:

3. Phân tích mô hình

- Giải mô hình:

Giả sử ta có kết quả nghiệm là , phụ thuộc vào T ( giá cân bằng, T

thuế) nên ta có: = (T) (Mức giá cân bằng của thị trường phụ thuộc vào thuế)

Thay P vào hàm cung và hàm cầu ta được lượng cân bằng như sau:

= S ( (T), T) = D ( (T), T)

với giả thiết thích hợp về mặt toán học ta có thể tính được các biểu thức:

và ( là vi phân của theo biến T)

- Các biểu thức này phản ánh tác động của thuế tới giá cả và lượng cân

bằng.

4. Giải thích kết quả

- Để phân tích tác động của thuế T tới giá cả và lượng hàng hóa lưu thông

trên thị trường về mặt định tính ta chỉ cần xét dấu các biểu thức đó là:

và

- Nếu muốn đánh giá về lượng cần phải có thông tin, dữ liệu cụ thể của

các biến từ đấy ta suy ra sự tác động của thuế T thay đối làm dịch chuyển các

đường cung và cầu sang vị trí mới là D* và S*. Khi đó điểm cân bằng E sẽ dịch

chuyển sang E*

4.2 Bài tập áp dụng:

Một xí nghiệp chuyên sản xuất hai loại sản phẩm tiêu dùng. Biết tổng chi

phí kết hợp sản xuất 2 loại sản phẩm trên cho bởi hàm:

TC = 6Q12 + 8Q2

2 + 2Q1Q2

Trong đó Q1, Q2 là số lượng các sản phẩm, cho biết giá của các sản phẩm tương

ứng là: P1 = 50 (USD), P2 = 40 (USD)

a. Hãy xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để sao cho tổng lợi nhuận thu

được của xí nghiệp đạt giá trị max.

b. Giả sử mối quan hệ giữa giá và số lượng các sản phẩm cho bởi các hàm:

P1 = 56 – 4Q1

P2 = 48 – 2Q2

Khi đó hãy cho biết xí nghiệp muốn thu được tổng lợi nhuận cao nhất thì cần

quy định giá các sản phẩm tương ứng là bao nhiêu.

Giải

a. Cách 1: Áp dụng công thức: ( là tổng lợi nhuận)

= (P1Q1 + P2Q2) – (6Q12 + 8Q2

2 + 2Q1Q2)

= 50Q1 + 40Q2 – 6Q12 – 8Q2

2 – 2Q1Q2 (*)

Để tổng lợi nhuận đạt max

+ (1)

+ (2)

Từ (1) và (2)

Thay vào (*)

Cách 2: Điều kiện cần để là

Điều kiện đủ để = 50. 40. - 6. - 8. + 2. .

=

b. Áp dụng công thức:

= Q1P1 + Q2P2 – (6Q12 + 8Q2

2 + 2Q1Q2)

= Q1(56 – 4Q1) +Q2(48 – 2Q2) – (6Q12 + 8Q2

2 +2Q1Q2)

= 56Q1 + 4Q2 – 10Q12 – 10Q2

2 – 2Q1Q2

khi

BÀI 5: PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH

Sau khi giải các mô hình ta được nghiệm số, nghiệm số của mô hình phụ

thuộc các biến ngoại sinh và các tham số cho nên ta cần phân tích: khi biến

ngoại sinh thay đổi sẽ tác động như thế nào đến nghiệm của mô hình. Cách phân

tích này người ta gọi là phân tích so sánh tĩnh.

5.1 Đo lường sự thay đổi của các biến nội sinh

5.1.1 Đo lường sự thay đổi tuyệt đối

- Xét hàm Y = F (X1, X2,……., Xn), tại X = X0 gọi sự thay đổi của Y khi

chỉ có Xi thay đổi một lượng nhỏ là

+ Khi đó được gọi là: số gia riêng của Y theo Xi tại X lượng thay

đổi trung bình của Y theo Xi là:

- Trong trường hợp F có đạo hàm riêng theo Xi lúc này ta có tốc độ thay

đổi tức thời tại điểm X = X0 là:

Do đó, nếu khá nhỏ thì: (Xi) , nếu thì

- Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi một lượng khá

nhỏ với = . Sự thay đổi của biến nội sinh Y lúc này:

- Nếu là các vi phân thì ta sử dụng công thức vi phân

toàn phần:

Ví dụ:

Chi phí phụ thuộc vào sản phẩm: C(Q) = Q3 – 61,25Q2 + 1528Q - 2000

Trong đó: C: chi phí

Q: sản lượng sản phẩm

Khi thay đổi một đơn vị thì chi phí C sẽ thay đổi là bao nhiêu chi phí

biên: C’(Q) = 3Q2 – 122.5Q +1528

5.1.2 Đo lường sự thay đổi tương đối: hệ số co giãn

- Để đo tỷ lệ sự thay đổi tương đối của biến nội sinh với sự thay đổi tương

đối của một biến ngoại sinh người ta dùng hệ số co giãn

- Hệ số co giãn của biến Y theo biến Xi tại X = X0, ký hiệu là được

định nghĩa bởi công thức

Khi đó ta có công thức:

Hệ số này cho biết tại X = X0 khi biến Xi thay đổi 1% thì Y thay đổi bao

nhiêu %.

Trong trường hợp nếu > 0 thì Xi và Y thay đổi cùng chiều

< 0 thì Xi và Y thay đổi ngược chiều

- Hệ số co giãn chung (toàn phần)

Hệ số này cho biết tại X = X0 tỷ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến X

thay đổi 1%.

Ví dụ: Nếu Q là mức sản lượng, K là số vốn đầu tư, L là chi phí cho lao

động thì ( )

5.2 Tính hệ số tăng trưởng

- Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỷ lệ biến động của biến đó theo đơn

vị thời gian.

- Cho Y = F(X1, X2,......Xi,......Xm, t) thì hệ số tăng trưởng của Y là

- Nếu Y = F(X1(t), X2(t), ........Xn(t)) thì hệ số tăng trưởng của Y là:

Ví dụ: Cho hàm sản xuất: Y(t) = 0,2.K0,4.L0,8

Trong đó K = 120 + 0,1.t L = 200 + 0,3.t

Hãy tính hệ số tăng trưởng của sản xuất biết hệ số tăng trưởng của vốn K

là 20 %, lao động là 8 %.

Giải

5.3 Tính hệ số thay thế

- Giả sử tại X = X0 có Y = F(X0) = Y0

- Cho các biến Xi, Xj biến đổi và Xk (k ) không đổi thì hệ số thay thế

của hai biến này chính là tỷ lệ thay đổi của hai biến này sao cho Y = Y0 (tức Y

không đổi). Khi đó ta sẽ có:

+ Nếu thì Xi có thể thay thế được cho Xj tại X = X0 và là hệ

số thay thế cận biên.

+ Nếu thì Xi, Xj có thể bổ sung cho nhau tại X = X0 và là hệ số

bổ sung cận biên.

+ Nếu thì Xi, Xj không thể bổ sung hay thay thế cho nhau tại X = X0

Ví dụ: Người tiêu dùng có nhu cầu sử dụng hai mặt hàng có sản lượng lần

lượt là Q1, Q2. Hàm chi phí tiêu dùng là: TC = Q12 + Q2

2. Hỏi hai mặt hàng này

có thể thay thế nhau trong tiêu dùng không?

Giải

Hai mặt hàng có thể thay thế cho nhau

5.4 Tăng quy mô và hiệu quả

Kết quả sản xuất Y phụ thuộc vào các yếu tố sản xuất Y i. Trong thực tế

tồn tại một cơ cấu đầu tư nào đó vào vấn đề làm tăng các yếu tố sản xuất thì kết

quả sản xuất sẽ như thế nào.

Hàm sản xuất có dạng: Y = F

Với X’ =

Với mỗi dạng như thế ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ số

+ TH1: ta nói tăng quy mô có kết quả

ta nói tăng quy mô không có kết quả

ta nói tăng quy mô nhưng hiệu quả không thay đổi

BÀI 6: MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ PHỔ BIẾN

6.1 Hàm sản xuất

- Là hàm mô tả quan hệ giữa kết quả sản xuất phụ thuộc vào các yếu tố

sản xuất.

a. Hàm sản xuất dạng tuyến tính

Có phương trình: Y = a0 + a1X1 +.....+ anXn

- Đặc điểm của hàm:

+ Hệ số thay thế giữa các biến là không đổi do đó ta có thể dễ dàng tính

được các hệ số thay thế của các biến.

b. Hàm sản xuất có mối quan hệ với vốn và lao động

- Phương trình: hay

Trong đó: Y: là sản lượng

K: là vốn

L: là lao động

e: là các yếu tố mang tính chất kỹ thuật

: là các tham số > 0

- Đặc điểm:

+ Là hàm sản xuất có hệ số co giãn của sản lượng Y theo các biến số là

không đổi và khi tăng quy mô sản xuất ta có kết quả sản xuất tăng lên tương ứng

6.2 Mô hình cung (cầu) hàng hoá

a. Hàm cung

- Khi xét quan hệ cung cấp một hay một số mặt hàng người ta thường

dùng một hàm số gọi là hàm cung: Q(S) = Q(P)

- Đặc điểm: +

+

- Giải thích CT (1): Khi giá tăng thì kích thích sản xuất làm cho lượng

cung tăng lên

- Giải thích CT (2): Tồn tại một mức giá tối đa là P0, khi vượt quá mức giá

này thì lượng cung sẽ tăng chậm dần.

b. Hàm cầu

QD = Q(P,M) Trong đó: P là mức giá, M là thu nhập

Điều kiện:

6.3 Mô hình cân bằng

6.3.1 Mô hình cân bằng giá

- Mô hình cân bằng giá một thị trường: QS = QS(P), QS = -a + b.P

QD = QD(P), QD =

Trong đó a, b, là các tham số > 0

+ Mức giá tối thiểu người sản xuất chấp nhận được là:

+ Mức giá tối đa mà người tiêu dùng chấp nhận được là:

+ Sản lượng cân bằng thị trường là:

Vậy mức giá cân bằng có được khi: QS = QD

- Mô hình cân bằng hai thị trường:

QD1 = a0 + a1P1 + a2P2

QD2 = b0 + b1P1 + b2P2

QS1 =

Điều kiện cân bằng thị trường là:

+ Mô hình này ta có thể mở rộng với nhiều thị trường

Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm với Pi là giá của sản phẩm

thứ i với QSi và QDi là sản lượng cung và sản lượng cầu của sản phẩm thứ i (

). Biết rằng quan hệ giữa giá và sản lượng sản phẩm cho bởi các hàm

cung và hàm cầu được xác định như sau: QS1 = -4 + 3P1; QD1 = 2 - 2P1 + P2 + P3

QS2 = -2 + 2P2 QD2 = 1 + 2P1 - P2 + 2P3

QS3 = -3 + P3 QD3 = 3 + P1 + P2 - 3P3

a. Hãy xác định giá Pi của sản phẩm để đảm bảo mô hình cân bằng cung cầu thị

trường.

b. Xác định số lượng các sản phẩm cần sản xuất trong mô hình

Giải

a. Điều kiện cân bằng thị trường:

b. Số lượng sản phẩm sản phẩm trong mô hình:

Thay P1 = 3 vào (hoặc thay vào tìm QD1)

Thay P2 = ( hoặc thay vào tìm QD2)

Thay P3 = ( hoặc thay vào tìm QD3)

- Mức giá cân bằng được xác định:

(i = 0,1,2)

Trong đó:

6.3.2. Mô hình thu nhập quốc dân

Trong đó:

(J là 1 loại thuế

- Phương trình (1) là phương trình biểu diễn việc phân chia thu nhập quốc

dân thành 3 bộ phận

1. Tiêu dùng của dân chúng được ký hiệu C

2. Tích luỹ, ký hiệu: I0

3. Tiêu dùng của chính phủ, ký hiệu: G0

- Phương trình (2) là phương trình biểu diễn tiêu dùng của nhân dân từ thu

nhập sau khi chịu thuế.

- Phương trình (3): biểu hiện thuế bao gồm thuế thu nhập và các khoản

thuế khác đó ta sẽ có công thức tính thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng:

6.4 Mô hình tăng trưởng kinh tế

6.4.1 Các loại mô hình

Y(t): Thu nhập quốc dân

I (t): Đầu tư

K (t): Vốn

L (t) : Lao động

t: Thời gian (thời điểm)

6.4.2 Các mối quan hệ

K(t) = V.Y(t) với V là định mức xuất vốn

Khi đó phương trình này cho biết tỷ lệ giữa vốn và thu nhập quốc dân có

mối liên hệ với nhau qua hệ số V.

* Ý nghĩa: Cho ta biết số vốn cần thiết để tạo ra một đơn vị thu nhập quốc

dân:

+ Mối quan hệ giữa đầu tư và thu nhập quốc dân:

I (t) = S.Y(t)

Trong đó: S là hệ số biểu diễn tỷ suất tích luỹ

Ví dụ: Đầu tư cho một doanh nghiệp nhà nước cấp kinh phí liên tục cho doanh

nghiệp với lượng đầu tư được xác định bởi: trong đó t là thời gian

tính theo đơn vị tháng. Biết rằng vốn ban đầu của doanh nghiệp là K0 = 10.000

(USD). Xác định quy luật của quỹ vốn đầu tư theo thời gian.

Giải

Quy luật của quỹ vốn theo thời gian là:

=

=

Tính I: Đặt

( )

Vậy

CHƯƠNG 2: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

BÀI 7: BÀI TOÁN QUY HOẠCH

VÀ BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT

7.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

- Khi xây dựng kế hoạch thì thông thường người ta phải giải quyết các

vấn đề có tính chất phân phối.

Ví dụ: Phân phối các nguồn lực cho các đối tượng khác nhau

- Như vậy, công tác kế hoạch đòi hỏi người lập kế hoạch phải cụ thể hóa

các mục tiêu sao cho với những nguồn lực nhất định ta đạt được mục tiêu một

cách tốt nhất.

- Để đạt mục tiêu người ta sử dụng công cụ toán học để giải quyết các vấn

đề mong muốn và gọi là quy hoạch toán học. Vậy quy hoạch toán học là cơ sở lý

thuyết để giải quyết các vấn đề tối ưu.

* Nội dung của quy hoạch

+ Xây dựng các phương pháp, xác định các tham số sao cho các chỉ tiêu

về kinh tế như số lượng, chất lượng và hiệu quả được chọn làm mục tiêu. Người

ta biểu diễn chúng dưới dạng hàm số và được gọi là hàm mục tiêu.

+ Các chỉ tiêu được chọn là mục tiêu kinh tế phải đạt được yêu cầu tốt

nhất (nghĩa là phải tìm được cực trị của hàm mục tiêu đó).

+ Việc giải quyết các vấn đề xét cực trị của các hàm mục tiêu với một số

điều kiện ràng buộc (vd: vật tư, năng lực sản xuất, thiết bị, lao động....) được

nghiên cứu bằng phương pháp toán kinh tế.

Tất cả các nội dung trên được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Vậy

bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực trị của một quy hoạch tuyến

tính trên một tập hợp được mô tả bởi phương trình, bất phương trình.

Ví dụ: Quảng cáo trên phát thanh: 80.000đ/phút, thời gian 5 phút

Quảng cáo trên truyền hình: 400.000đ/phút, thời gian 4 phút

Chi phí chung tối đa là 1.600.000đ

Yêu cầu: Lập mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính?

Giải

Gọi x1 là thời lượng quảng cáo phát thanh, x1 0

Gọi x2 là thời lượng quảng cáo truyền hình, x2 0

Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính được lập:

7.2 Phân loại bài toán quy hoạch tuyến tính

7.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

- Là bài toán có hàm mục tiêu là các hàm bậc nhất, có điều kiện ràng buộc

biểu diễn bằng hệ phương trình bậc nhất hoặc các bất phương trình.

7.2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến tính

- Là bài toán có hàm mục tiêu không phải là những hàm bậc nhất, điều

kiện ràng buộc biểu diễn bằng phương trình bậc nhất hoặc bất phương trình bậc

nhất.

7.2.3 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Ví dụ: Một xưởng sản xuất bê tông A cần sản xuất hai loại sản phẩm pamen và ống

cống với mức sử dụng vật liệu:

Vật liệu ĐVT Sản phẩm Dự trữ vật

liệuPamen Ống

Xi măng kg 12 20 6000

Thép kg 24 18 7200

Đá m3 45 50 18000

Lợi nhuận max 10.000 10 12

Yêu cầu: Lập kế hoạch sản xuất hai sản phẩm trên sao cho lợi nhuận đạt

tối đa, chi phí sản xuất không vượt quá dữ liệu dự trữ vật liệu

Giải

Gọi x1, x2 là sản phẩm pamen và ống cần sản xuất

+ Khi đó ta tìm được một hàm mục tiêu (lợi nhuận tối đa)

F(x) = 10 x1 + 12x2 max

+ Điều kiện ràng buộc: xi măng: 12x1 + 20x2 6000

Thép: 24x1 + 18x2 7200

Đá: 45x1 + 50 x2 000

+ Điều kiện biên: x1 0, x2

- Bài toán quy hoạch tuyến tính được lập

* Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

Giả sử một doanh nghiệp cần sản xuất n sản phẩm, trong quá trình sản

xuất doanh nghiệp sử dụng hàng loạt các nhân tố như đầu tư nguyên liệu,...Ta

giả sử có m nhân tố tham gia vào quá trình sản xuất và mỗi nhân tố sản xuất có

lượng dự trữ là: bi,

Hao phí nhân tố sản xuất ra một đơn vị sản phẩm, kí hiệu là a ij với các giả

định trên ta sẽ có ma trận các hệ số chi phí sản xuất

+ Cj là lợi nhuận thu được do sản xuất một đơn vị sản phẩm

+ xj là số lượng sản phẩm

+ j là số lượng sản phẩm j sản xuất được

- Xác định số lượng các loại sản phẩm mà doanh nghiệp sản xuất sao cho

doanh thu đạt lợi nhuận cao nhất, đồng thời chi phí sản xuất là nhỏ nhất.

* Mô hình hóa bài toán

- x1, x2, ......, xn : là số lượng các loại sản phẩm trong nhà máy

Hàm mục tiêu: f(x) = c1.x1 + c2.x2 +......+ cnxn

- Điều kiện ràng buộc: a11x1 + a12x2 +.......+ a1nxn b1

a21x1 + a22x2 +...... + a2nxn b2

..........................................................................

am1x1 + am2x2 +...... + amnxn bm

( Trong đó b1, b2,...., bn là lượng dự trữ)

- Điều kiện biên:

- Ma trận ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính:

* Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát ở dạng ma trận

(I)

- Bài toán có dạng (I) còn được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chuẩn tắc.

- Đặc điểm của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc:

+ Hàm mục tiêu là một hàm bậc nhất của tham số điều khiển

+ Hệ ràng buộc là các bất phương trình bậc nhất với các tham số điều

khiển.

+ Các tham số điều khiển nhận các giá trị không âm.

* Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính:

* Dạng hỗn hợp của bài toán quy hoạch tuyến tính

* Đặc điểm của bài toán quy hoạch tuyến tính

1. Hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính tiến tới max ta có thể

thay thành hàm tiến tới min bằng cách đổi dấu hàm mục tiêu, hai bài toán này

tương đương với nhau và cùng điều kiện ràng buộc.

2. Bài toán quy hoạch tuyến tính có điều kiện ràng buộc mang dấu (=<) ta

chuyển thành dấu (=) bằng cách cộng thêm ẩn phụ vào bất phương trình.

3. Bài toán quy hoạch tuyến tính có điều kiện ràng buộc mang dấu (>=)

muốn chuyển thành dấu (=) thì ta trừ đi các ẩn phụ vào các bất phương trình.

4. Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, điều kiện ràng buộc mang dấu (=)

ta có thể chuyển thành hai đẳng thức trái chiều nhau.

Ví dụ: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

Hãy đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc

Giải

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính là:

Ví dụ: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính:

Hãy đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc

Giải

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính là:

Ví dụ: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

Hãy đưa bài toán về dạng hốn hợp sau đó đưa về dạng chính tắc

Giải

Dạng hỗn hợp của bài toán quy hoạch tuyến tính là:

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính là

Ví dụ 4: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

Hãy chuyển bài toán về dạng chính tắc

Giải

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính là:

BÀI 8: PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

8.1 Định nghĩa

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát:

(I)

Đưa được:

(II)

Với bài toán quy hoạch tuyến tính (II) ta sẽ tìm được ma trận ràng buộc

Gọi là ma trận ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính

- Trong ma trận A tồn tại một ma trận đơn vị vuông cỡ m x m

Khi đó ta nói ẩn x1, x2, …, xm tạo nên ma trận đơn vị được gọi là ẩn cơ

bản. xm+1, xm+2, ...., xn được gọi là ẩn tự do. Để tìm cơ sở của bài toán quy hoạch

tuyến tính ta giả sử xm+1 = xm+2 = xn = 0. Thay vào (II) ta tìm được ẩn cơ bản.

Vậy cơ sở của bài toán quy hoạch tuyến tính (ký hiệu là J) là:

tìm được phương án cực biên X0 = (b1, b2, ...,bm, 0, 0, ..., 0)

8.2 Ví dụ: Một xưởng sản xuất đồ gỗ cần sản xuất 3 loại sản phẩm đó là: bàn

học sinh, bàn giáo viên, ghế. Định mức sản xuất nguồn lực cho dưới bảng sau:

Nguồn lực ĐV tính Bàn HS Bàn GV Ghế Dự trữ NL

Gỗ dm3 5 7 3 600

Sắt kg 7 9 2 1000

Công nhân 5 7 2 900

(tgian: h)

Lãi suất 80 100 60

1000đ tối đa

a. Lập kế hoạch sản xuất để thu lợi nhuận cao nhất và chi phí sản xuất tiết kiệm

nhất. Xây dựng mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính?

b. Phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính

Giải

a. Gọi x1, x2, x3 là sản phẩm : bàn học sinh, bàn giáo viên, ghế cần sản xuất

- Khi đó ta tìm được hàm mục tiêu: f(x) = 80x1 + 100x2 + 60x3 Max

- Điều kiện ràng buộc:

+ Đối với gỗ: 5x1 + 7x2 + 3x3 600

+ Đối với sắt: 7x1 + 9x2 + 2x3 1000

+ Đố với cn: 5x1 + 7x2 + 2x3 900

- Điều kiện biên: x1, x2, x3

Bài toán quy hoạch tuyến tính:

b. Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính

(I)

Từ (I) ta rút ra được ma trận ràng buộc A

Chọn x1 = x2 = x3 = 0

Cơ sở

Phương án cực biên X0 = (0,0,0,600,1000,900)

BÀI 9: GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

BẰNG THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

9.1 Điều kiện để bài toán quy hoạch tuyến tính giải được bằng phương pháp

đơn hình.

- Bài toán quy hoạch tuyến tính phải ở dạng chính tắc với điều kiện hàm

mục tiêu

1.

2. Bài toán quy hoạch tuyến tính phải có phương án cực biên

9.2 Thuật toán đơn hình

- Bảng đơn hình gốc

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chính tắc:

Điều kiện ràng buộc:

Điều kiện biên:

- Bảng đơn hình gốc

Ci Cơ sở Phương C1 C2 ...... Cm Cm+1 Cm+2 .... Cn a

Hệ số án X1 X2 ...... Xm Xm+1 Xm+2 .... Xn b

C1 X1 b1 1 0 0 a1,m+1 A2,m+2 a1,n

CC2 X2 b2 0 1 0 a2,m+1 A2,m+2 a2,n

..... ..... ..... ..... ..... ......

Cm Xm bm 0 0 1 am,m+1 A2,m+2 am,n

Zj Z1 Z2 Zm Zm+1 Zm+2 Zn d

e

Trong đó Z1 = c1.a11 + c2.a21 + …..+ cm.am1

- Cột 1: Ghi hệ số tương ứng với các ẩn cơ sở

- Cột 2: Ghi các ẩn cơ sở

- Cột 3: Ghi các giá trị của các ẩn cơ sở trong phương án đang xét

- Cột 4: Chia làm 5 hàng

+ Hàng a: Ghi hệ số trong hàm mục tiêu Cj

+ Hàng b: Ghi các ẩn trong hàm mục tiêu xj

+ Hàng c: Ghi hệ số aij trong ma trận ràng buộc

+ Hàng d: Ghi giá trị của Zj với

+ Hàng e: Ghi số kiểm tra (giá trị kiểm tra)

* Thuật toán đơn hình

a. Tiêu chuẩn tối ưu: Phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính là

phương án có các số kiểm tra không dương

b. Thuật toán

- Bước 1: Xây dựng bảng đơn hình gốc

- Bước 2: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu

+ TH1: phương án đang xét là tối ưu

+ TH2: xj là ẩn tự do thì ta chuyển sang bước 3

- Bước 3: Kiểm tra tính không giải được của bài toán

+ TH1: và thì bài toán không giải được

+ TH2: và thì bài toán có phương án tối ưu -> sang b4

- Bước 4: Cải tiến phương án

- Xác định ẩn đưa vào cơ sở mới

Tìm Max là ẩn đưa vào cơ sở mới và cột k được gọi là cột

khóa

- Xác định ẩn đưa ra khỏi cơ sở cũ

Trên cột k ta tìm được

Khi đó ẩn xr bị loại khỏi cơ sở và phần tử ark gọi là phần tử khóa.

- Bước 5: Xây dựng phương án mới

Trong cơ sở mới ta thay thế xk cho xr và ghi lại các hệ số ci. Trong ma trận

các hệ số mới ta ký hiệu là và được tính bởi công thức

VD1: Một xưởng sản xuất cấu kiện bê tông, cần sản xuất 2 loại cấu kiện A và

B. Định mức sử dụng cho dưới bảng sau:

Vật liệuCấu kiện

Dự trữ vật liệuA B

Xi măng 12 20 6000

Cát 24 18 7200

Đá 45 50 18000

Lợi nhuận 10 12

Yêu cầu: Lập kế hoạch sản xuất cho hai loại sản phẩm nói trên sao cho

thu được lợi nhuận tối đa và chi phí sản xuất không vượt quá mức dự trữ vật

liệu?

Giải

* Lập kế hoạch

- Ta gọi x1 là vật liệu A cần sản xuất

- Ta gọi x2 là vật liệu B cần sản xuất

Ta có hàm mục tiêu : f(x) = 10x1 + 12x2

Điều kiện ràng buộc :

+ Đối với xi măng :

+ Đối với cát :

+ Đối với đá :

Điều kiện biên : x1, x2

có bài toán quy hoạch tuyến tính :

phương trình chính tắc :

* Phương án cực biên:

- Ma trận ràng buộc A:

là ẩn cơ sở, x1, x2 là ẩn tự do

Giả sử x1 = x2 = 0

Ci Hệ

sốCơ sở

Phương

án

-10 -12 0 0 0

X1 X2 X3 X4 X5

0 X3 6000 12 20 1 0 0

0 X4 7200 24 18 0 1 0

0 X5 18000 45 50 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0

10 12 0 0 0

Zj =

Ta thấy : phương án đang xét chưa tối ưu

* Tìm ẩn đưa vào : Max 1212,10 là ẩn đưa vào cơ sở mới

cột thứ 2 là cột khóa

* Tìm ẩn đưa ra :

là ẩn đưa ra khỏi cơ sở cũ

phần tử khóa là : 20

-12 x2 300 12/20 1 1/20 0 0

0 x4 1800 66/5 0 -18/20 1 0

0 x5 3000 15 0 -5/2 0 1

zj -36/5 -12 -12/20 0 0

14/5 0 -12/20 0 0

* Max nên x1 là cột khóa và ẩn đưa vào là x1

* Min nên x4 là ẩn đưa ra khỏi cơ sở cũ và

phần tử khóa là 66/5.

-12 x2 2400/11 0 1 1/11 -1/22 0

-10 x1 1500/11 1 0 -3/44 5/66 0

0 x5 10500/11 0 0 -65/44 -25/22 1

zj -10 -12 -9/22 -7/33 0

0 0 -9/22 -7/33 0

Ta thấy phương án đang xét là phương án tối ưu. Vì số sản

phẩm là nguyên nên X* = (136, 218, 0, 0, 954)

fmax = 136.10 + 218.12 = 3976

VD2 : Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình

Giải

* Bài toán quy hoạch tuyến tính đã ở dạng chính tắc

* Bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án cực biên

- Ma trận ràng buộc:

là ẩn cơ sở và là ẩn tự do

Giả sử x1=x2=x3=0 X0 =

(0,0,0,45,38,21)

Ta có bảng đơn hình

Ci Hệ

sốCơ sở

Phương

án

5 4 5 2 1 3

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x4 45 2 4 3 1 0 0

1 x5 38 4 2 3 0 1 0

3 x6 21 3 0 1 0 0 1

zj 17 10 12 2 1 3

12 6 7 0 0 0

Ta thấy nên phương án đang xét chưa tối ưu

* Tìm ẩn đưa vào: nên x1 là ẩn đưa vào cơ sở mới và cột

thứ nhất là cột khóa

* Tìm ẩn đưa ra: nên x6 là ẩn đưa ra và phần tử

khóa là 3

2 x4 31 0 4 7/3 1 0 -2/3

1 x5 10 0 2 5/3 0 1 -4/3

5 x1 7 1 0 1/3 0 0 1/3

zj 5 10 8 2 1 -1

0 6 3 0 0 -4

Ta thấy nên phương án đang xét chưa tối ưu

* Tìm ẩn đưa vào: nên x2 là ẩn đưa vào cơ sở mới và cột thứ

hai là cột khóa

* Tìm ẩn đưa ra: nên x5 là ẩn đưa ra và phần tử khóa

là 2

2 x4 11 0 0 -1 1 -2 2

4 x2 5 0 1 5/6 0 1/2 -4/6

5 x1 7 1 0 1/3 0 0 1/3

zj 5 4 3 2 -2 3

0 0 -2 0 -3 0

Vì nên phương án đang xét là tối ưu

BÀI 10: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

10.1 Khái niệm

Bất kỳ bài toán quy hoạch tuyến tính nào cũng có một bài toán quy hoạch

tuyến tính khác mà lời giải của bài toán này là kết quả của bài toán kia và ngược

lại. Các cặp bài toán như thế được gọi là cặp bài toán đối ngẫu.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

(I)

+ Gọi giá cả đơn vị, nhân tố sản xuất i là y i, . Khi đó dự trữ nhân tố

sản xuất (I) dùng để sản xuất sản phẩm loại j sẽ bán được với giá:

gi = a1j.y1 + a2j.y2 +.....+ amj.ym

+ Điều kiện của (II):

a11.y1 + a21.y2 + a31.y3 +.....+ am1.ym

..............................................................

a1n.y1 + a2n.y2 +...........+ amn.ym

+ Điều kiện: y1, y2,.....,ym

Khi đó ta có mô hình của bài toán đối ngẫu là:

(II)

Ta nói rằng bài toán (II) là bài toán đối ngẫu của bài toán (I)

- Trong bài toán gốc có hàm mục tiêu dần tới Max, bài toán đối ngẫu thì

có hàm mục tiêu dần tới Min. Hệ số của hàm mục tiêu trong bài toán gốc là C j,

hệ số của hàm mục tiêu trong bài toán đối ngẫu là bi. Hệ ràng buộc trong bài

toán gốc có dấu “ ”, hệ ràng buộc trong bài toán đối ngẫu có dấu “ ”. Ma trận

ràng buộc trong bài toán gốc:

- Ma trận ràng buộc trong bài toán đối ngẫu là At (ma trận chuyển vị)

- Số ẩn của bài toán gốc bằng số bất phương trình hệ ràng buộc của bài

toán đối ngẫu và ngược lại. Khi đó ta nói bài toán (I) và bài toán (II) là cặp bài

toán đối ngẫu. Khi đó để tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu ta có thể

dựa vào cách giải của bài toán gốc.

Ví dụ: Cho bài toán gốc:

Giải

Ma trận ràng buộc

Mô hình của bài toán đối ngẫu:

- Ta giải bài toán gốc:

+ Phương trình chính tắc:

Ma trận ràng buộc:

Giả sử x1 = x2 = x3 = 0

cơ sở

Bảng đơn hình

Ci Hệ

sốCơ sở

Phương

án

-9 -14 -5 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 54 9 4 4 1 0 0

0 x5 63 9 5 5 0 1 0

0 x6 5 0 1 0 0 0 1

zj 0 0 0 0 0 0

9 14 5 0 0 0

0 x4 34 9 0 4 1 0 -4

0 x5 38 9 0 5 0 1 -5

-14 x2 5 0 1 0 0 0 1

zj 0 -14 0 0 0 -14

9 0 5 0 0 -14

-9 x1 3 1 0 4/9 1/9 0 -4/9

0 x5 4 0 0 1 -1 1 -1

-14 x2, 5 0 1 0 0 0 1

zj -9 -14 -4 -1 0 -10

0 0 1 -1 0 -10

-9 x1 2 1 0 0 5/9 -4/9 0

-5 x3 4 0 0 1 -1 1 -1

-14 x2 5 0 1 0 0 0 1

zj -9 -14 -5 0 -1 -9

0 0 0 0 -1 -9

Vì phương án đang xét đã tối ưu

+ y1 = -1.

+ y2 = -1.

+ y3 = -1.

= 0 + 63 + 9.5 = 108

giá trị của bài toán gốc tại phương án tối ưu bằng giá trị của bài toán

đối ngẫu tại phương án tối ưu.

CHƯƠNG III: BÀI TOÁN VẬN TẢI

BÀI 11: MÔ HÌNH CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI

11.1 Mô hình của bài toán vận tải

Giả sử có m địa điểm cung cấp và n địa điểm tiêu thụ một loại hàng hóa

nào đó. Khả năng cung cấp ở địa điểm sản xuất X là ai ( )

Nhu cầu tiêu thụ ở các địa điểm là bj ( )

Yêu cầu: Lập phương án vận chuyển hàng hóa từ các địa điểm sản xuất

đến các địa điểm tiêu thụ để tổng chi phí là min.

Ta gọi xij là lượng hàng cần vận chuyển từ địa điểm sản xuất i tới địa điểm

tiêu thụ j.

Cij là chi phí vận chuyển từ địa điểm sản xuất i tới địa điểm tiêu thụ J.

Khi đó bài toán vận tải được xác định như sau: Lập phương án vận

chuyển tối ưu sao cho tổng chi phí vận chuyển từ các địa điểm sản xuất i tới các

địa điểm tiêu thụ j là min, đồng thời thỏa mãn các điều kiện vận chuyển hàng

hóa ở các địa điểm sản xuất đáp ứng nhu cầu tiêu dùng ở nơi tiêu thụ. Khi đó ta

sẽ có mô hình của bài toán vận tải.

a. Hàm mục tiêu: Tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

(1)

b. Điều kiện ràng buộc:

- Vận chuyển hết hàng hóa ở các địa điểm sản xuất

(

x11 + x12 + x13 +....+ x1m = a1 (2)

x21 + x22 + x23 +....+ x2m = a2

........................................

xm1 + xm2 + xm3 +....+ xmn = am

- Đáp ứng được nhu cầu ở các địa điểm tiêu thụ:

hay: x11 + x21 + ....+ xm1 = b1

x12 + x22 +....+ xm2 = b2 (3)

.....................................

x1n + x2n + .....+ xmn = bn

c. Điều kiện biên (lượng hàng hóa không âm): (4)

* Đối với bài toán vận tải người ta thường xét 3 trường hợp:

TH1: Cân bằng cung – cầu:

TH2: Cung vượt cầu:

TH3: Cung nhỏ hơn cầu:

Trong chương trình này ta chỉ xét trường hợp 1 tức là cung = cầu

* Bài toán vận tải ở dạng ma trận:

* Bài toán vận tải được ghi dưới dạng bảng:

b1 b2 ........ bn

- Theo hàng ta biểu diễn các địa điểm cung cấp ai

- Theo cột ta biểu diễn các địa điểm tiêu thụ bj

- Chi phí Cij được biểu diễn góc trái phía trên của ô ij

- Lượng hàng hóa xij được biểu diến ở góc phải phía dưới của ô ij

* Phương án X = xij của bài toán vận tải là phương án cơ sở chấp nhận

được tập các ô cơ sở của nó chứa chu trình.

Trong đó ô (i,j) được gọi là ô cơ sở nếu xij > 0

ô (i,j) được gọi là ô tự do nếu xij = 0

* Với: + X = xij thỏa mãn điều kiện (2, 3, 4) thì X là một phương án của

bài toán vận tải

+ X = xij là phương án của bài toán vận tải và thỏa mãn (1, 2, 3, 4)

thì X được gọi là phương án tối ưu của bài toán vận tải.

Ký hiệu phương án tối ưu: X* = (x*ij)

11.2 Điều kiện để giải bài toán vận tải

- Điều kiện: + Bài toán vận tải phải ở dạng cân bằng và bài toán có

phương án xuất phát (hay còn được gọi là phương án cực biên)

+ Phương án cực biên của bài toán vận tải là phương án:

Gồm có (m+n-1) ô cơ sở (xij >0) và không tạo vòng (hay chu trình)

- Vòng trong của bài toán vận tải là chu trình gồm các đỉnh các ô (i,j) với

xij > 0

- Chu trình của bài toán vận tải thỏa mãn 3 tiêu chuẩn:

+ Tiêu chuẩn 1: hai ô cơ sở cạnh nhau nằm trong cùng 1 cột hay 1 dòng.

+ Tiêu chuẩn 2: Không có 3 ô nằm trên cùng 1 dòng hay 1 cột

+ Tiêu chuẩn 3: Ô đầu tiên nằm trên cùng 1 dòng hay 1 cột với ô cuối

cùng tạo thành một chu trình.

* Một số dạng chu trình

Ví dụ: Xét bài toán vận tải được cho dưới bảng sau:

ai bj 350 450 550 150

600 18 17 23 31

400 20 21 15 25

500 16 19 29 19

Chứng minh bài toán có phương án?

Giải

+ x11 + x12 + x13 + x14 = a1 350 + 250 + 0 + 0 = 600 (thỏa mãn)

x21 + x22 + x23 + x24 = a2 0 + 200 + 200 + 0 = 400 (thỏa mãn)

x31 + x32 + x33 + x34 = a2 0 + 200 + 200 + 0 = 400 (thỏa mãn)

+ x11 + x21 + x31 = b1 350 + 0 + 0 = 350 (thỏa mãn)

x12 + x22 + x32 = b2 250 + 200 + 0 = 450 (thỏa mãn)

x13 + x23 + x33 = b3 0 + 200 + 350 = 550 (thỏa mãn)

x14 + x24 + x34 = b4 0 + 0 + 150 = 150 (thỏa mãn)

+ xij 0

Hàm mục tiêu: f(x) = 18.350 + 21.200 + 15.200 + 29.350 + 19.150

11.3 Xây dựng phương án cực biên của bài toán vận tải

11.3.1 Phương pháp góc: Tây - Bắc

Là phương pháp ta phân phối lượng hàng hóa bắt đầu từ góc Tây – Bắc

của bảng và bắt đầu từ ô đầu tiên: ô (1,1). Khi phân phối lượng hàng cần chuyển

vào ô này là: x11 = min (a1, bj)

+ Nếu x11 = a1 thì xóa đi hàng thứ nhất (hàng a1)

+ Nếu x11 = b1 thì xóa đi cột thứ nhất (cột b1)

Cứ tiếp tục quá trình đó sau đúng (m+n-1) lần phân phối.

Khi ta xóa được tất cả cấc ô trong bảng vận tải thì dừng lại. Vì vậy

phương pháp góc Tây – Bắc sẽ có không quá (m+n-1) ô cơ sở.

Ví dụ: Cho bài toán vận tải được xác định bởi các vectơ lượng phát:

a=(50, 70, 41), vectơ lượng thu: b=(30, 60, 46, 25), Chi phí

a. Lập bảng vận tải cho bài toán trên

b. Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải bằng phương pháp góc TB

Giải

ai 30 60 46 25

50 4 7 12 7

70 5 9 6 1

41 8 2 9 1

Min (30; 50) = 30 = b1 xóa cột 1

f(x) = 4.30 + 7.20 + 9.40 + 6.30 + 9.16 + 1.25 = 969

Ví dụ 2: Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải bằng phương pháp

góc Tây Bắc

ai 300 200 250 350 400

300 14 2 11 3 13

200 6 2 4 6 12

400 11 6 5 8 13

600 7 4 3 12 11

Cách giải tương tự

11.3.2 Phương pháp chi phí nhỏ nhất theo hàng (cột)

- Cách 1: Phương pháp chi phí nhỏ nhất theo hàng

ai 30 60 46 25

50

70

41

- Cách 2: Phương pháp chi phí nhỏ nhất theo cột

ai 30 60 46 25

50

70

41

11.3.3 Phương pháp chi phí nhỏ nhất theo toàn bảng

- Thực hiện phương pháp chi phí nhỏ nhất theo toàn bảng cũng giống như

phương pháp chi phí nhỏ nhất theo hàng hoặc cột chỉ khác ô phân phối đầu tiên

là ô có cước phí nhỏ nhất trong toàn bảng

11.4 Giải bài toán vận tải bằng thuật toán thế vị:

11.4.1 Tiêu chuẩn tối ưu

- Phương án của bài toán vận tải là phương án tối ưu nếu tồn tại một hệ

thống số kiểm tra Vj và ui sao cho:

ô (I,j) là ô cơ sở

Và ô (I,j) không là ô cơ sở

11.4.2 Thuật toán thế vị

- B1: Xây dựng phương án cực biên gồm (m+n-1) ô cơ sở. Nếu trong

trường hợp không đủ (m+n-1)ô cơ sở thì ta bổ sung thêm một ô cơ sở với xij = 0

- B2: Xây dựng hệ thống thế vị:

+ Xác định các thế vị ui, vj từ hệ phương trình: Vj - ui = Cij, i,j cơ sở

+ Tìm Vj, ui bằng cách chọn u1 = 0 sau đó xác định thế vị hàng và cột

- B3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu

+ Nếu cải tiến phương án

+ Nếu phương án đã tối ưu

- B4: Cải tiến phương án

+ Tìm ô điều chỉnh: Max ô (r,k) được gọi là ô điều chỉnh

+ Tìm vòng (chu trình) của ô điều chỉnh với các ô cơ sở

+ Đánh dấu lẻ, chẵn trên vòng bắt đầu từ ô điều chỉnh

+ Tìm lượng điều chỉnh: q = min là chẵn

- B5: Xây dựng phương án mới:

+ Cộng q vào ô lẻ trong vòng

+ Trừ q vào ô chẵn trong vòng

+ Các ô còn lại không tham gia vòng vẫn giữ nguyên

Sau hữu hạn bước ta được phương án tối ưu

Ví dụ:

- B1

ai 30 60 46 25

50 4 7 12 7

70 5 9 6 1

41 8 2 9 1

(Bảng 1) có f(x) = 969

- B2: Xác định hệ thống thế vị: Giải hệ phương trình: V j – ui = Cij (i, j ô cơ

sở)

Chọn u1 = 0

- B3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:

những ô cơ sở thì có

Bài toán chưa tối ưu

- B4: Cải tiến phương án

+ Tìm ô điều chỉnh: Max ô (3.2) là ô điều chỉnh

+ Lượng điều chỉnh

4 7 4 -4

30 60 46 25

0 50 4 7 12 7

-2 70 5 9 6 1

-5 41 8 2 9 1

Lượng điều chỉnh: Min chẵn

4 7 4 -4

30 60 46 25

0 50 4 7 12 7

-2 70 5 9 6 1

-5 41 8 2 9 1

(Bảng 2) có f(2) = 809

* Kiểm tra phương án tối ưu:

Hệ thống thế vị: Vj – ui = Cij

* Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:

+ tại ô (i,j) là những ô cơ sở:

+ phương án đang xét chưa tối ưu cải tiến phương án

Ta có: Max ô (2,4) là ô điều chỉnh

Vòng:

+ Lượng điều chỉnh: Min , ô (i.j) chẵn = 24

+ Bảng mới (bảng 3)

4 7 4 -4

30 60 46 25

0 50 4 7 12 7

-2 70 5 9 6 1

-5 41 8 2 9 1

f(3)=809 – 7.24 = 641

* Kiểm tra phương án tối ưu:

- Hệ thống thế vị: Vj – ui = Cij

* Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu:

+ tại ô (i,j) là những ô cơ sở:

+ phương án đang xét đã tối ưu

Bảng mới: Bảng phương án tối ưu

4 7 4 -4

30 60 46 25

0 50 4 7 12 7

-2 70 5 9 6 1

-5 41 8 2 9 1

Vậy phương án tối ưu của bài toán vận tải là:

X* = (x11, x12, x23, x24, x32, x34) = (30, 20, 46, 24, 40, 1)

fmin(x) = 641

CHƯƠNG 4: QUẢN LÝ DỮ LIỆU

BÀI 12: MÔ HÌNH QUẢN LÝ DỮ LIỆU

12.1 Khái niệm chung:

Trong thực tiễn điều hành sản xuất để đảm bảo sản xuất liên tục các

chuyên gia cần dự trữ nguyên vật liệu cũng như thành phẩm để tránh những sự

biến động ngẫu nhiên trong nhu cầu của khách hàng cũng như khả năng của

người cung cấp. Việc dự trữ đòi hỏi phải có những chi phí nhất định cho nên

người quản lý cần phải hoạch định chương trình dự trữ tới mức tối thiểu có thể.

Vấn đề đặt ra là cần phải xác định một chiến lược tối ưu sao cho thỏa mãn nhu

cầu về hầng hóa cũng như vật liệu, đồng thời đảm bảo chi phí quản lý dự trữ là

thấp nhất.

* Cơ cấu của chi phí quản lý dự trữ:

- Chi phí mua hàng: là chi phí cần để mua hoặc sản xuất hàng hóa

- Chi phí đặt hàng: là chi phí gắn liền với đợt đặt hàng hay từng lô hàng

mà không phụ thuộc vào số lượng hàng hóa gồm:

+ Chi phí gửi đơn hàng

+ Chi phí vận chuyển

+ Chi phí nhận hàng

- Chi phí bảo quản (trong kho) được tính theo từng giai đoạn nhất định, nó

được tính bằng giá trị % của hàng hóa gồm:

+ Chi phí vốn đầu tư

+ Chi phí bảo quản trong kho

+ Chi phí hư hỏng, hao hụt, mất mát

- Chi phí thiếu hàng: là chi phí do thiếu hàng ở trong kho như đặt thêm

hàng, chi phí mất mát cơ hội bán hàng.

12.2 Các mô hình dự trữ:

12.2.1 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều

- Nhu cầu: Q Thời gian: T (1 năm): thời kỳ

Với việc tiêu thụ hàng hóa là đều đặn, thời gian bổ sung hàng hóa vào kho

là không đáng kể. Khi đó:

qi: là lượng hàng trong mỗi kỳ

A: chi phí cho một lần đặt hàng

C: giá cả của hàng hóa

I: hệ số chi phí dự trữ

T0: thời gian đặt hàng

Yêu cầu: Hãy xác định số lần đặt hàng và lượng hàng hóa mỗi lần đặt sao

cho tổng chi phí là nhỏ nhất

* Mô hình:

- Trong mỗi chu kỳ ti thì lượng hàng hóa dự trữ trung bình là:

- Khi đó ta tìm được chi phí dự trữ:

- Tổng số tiền mua hàng: C.Q

- Chi phí đặt hàng cả thời kỳ là: n.A

- Hàm tổng chi phí:

F(qi, n) = n.A + + C.Q

F(q) =

+ Lượng hàng mỗi lần đặt tối ưu: q* =

+ Chi phí tối ưu: F(q*) =

+ Số lần đặt hàng tối ưu: n* =

+ Chu kỳ dự trữ tiêu thụ tối ưu: t* =

+ Điểm đặt hàng tối ưu: B* = Q.

Trong đó Int là phần nguyên của

+ Lượng vốn cần thiết cho chu kỳ dự trữ và tiêu thụ là:

K* = 2.A + C.

Ví dụ: Một cửa hàng kinh doanh thép có tổng nhu cầu Q = 400.000

(tấn/năm). Việc tiêu thụ đều đặn trong 1 năm và thời gian nhập hàng là không

đáng kể từ nguồn không hạn chế. Chi phí cho một lần đặt hàng A = 6 triệu đồng,

giá của 1 tấn là C = 3.600.000 đồng, hệ số chi phí bảo quản là I = 0,05, thời gian

từ lúc đặt hàng đến khi có hàng là 40 ngày. Xác định các chỉ tiêu tối ưu?

Giải

- Lượng hàng mỗi lần đặt tối ưu:

q* = =

- Chi phí tối ưu:

F(q*)=

=

- Số lần đặt hàng tối ưu:

n* = =

- Chu kỳ dự trữ tối ưu:

t* = =

- Điểm đặt hàng tối ưu:

B* = Q. = 400000.

- Lượng vốn cần thiết cho chu kỳ dự trữ và tiêu thụ:

K* = 2.A + C. = 2.6000000 + 3600000.

12.2.2 Mô hình dự trữ tiêu thụ đều, bổ sung dần

Giả sử một loại hàng hóa nào đó trong thời kỳ T, (T = 1 năm) là Q đơn vị

- Lượng hàng bổ sung H (với H >> Q)

- Giá cả: C

- Chi phí đặt hàng là: A

- Hệ số chi phí dự trữ là: I

- Thời gian đặt hàng là: T0 (năm) VD: đặt hàng trong 2 tháng thì T0 =

Yêu cầu: Hãy xác định số lần đặt hàng và lượng hàng đặt sao cho tổng chi

phí là nhỏ nhất

Ta sẽ có: q là lượng hàng cần đặt

T chia làm n giai đoạn, khi đó q =

Với t = tb + tt trong đó tb là thời gian bổ sung, tt thời gian tiêu thụ

- Các chỉ tiêu:

+ Lượng hàng tối đa trong kho: S

S = q .(1 – )

+ Hàm tổng chi phí:

+ Lượng hàng mỗi lần đặt tối ưu là:

+ Số lần đặt hàng tối ưu:

+ Chi phí tối ưu:

+ Chu kỳ dự trữ tiêu thụ tối ưu:

+ Điểm đặt hàng tối ưu:

Nếu:

+ Lượng hàng đặt không qua kho: r = q* - S*

+ Tổng lượng hàng đặt không qua kho trong thời gian T = 1 (năm)

Ví dụ: 1 Doanh nghiệp chế tạo thiết bị có công suất thiết bị H = 4.000.000

(bộ/năm) nhu cầu tiêu thụ Q = 2.800.000 (bộ/năm). Chi phí bảo quản có hệ số

chi phí mỗi bộ có giá C = 1.400.000 (nghìn đồng). Chi phí sản xuất cho

1 đợt A = 4.000.000đ, thời gian chuẩn bị cho 1 đợt sản xuất là 45 ngày. Hãy

phân chia nhu cầu thành các đợt sản xuất sao cho tổng chi phí là min.

Giải

- Lượng hàng mỗi lần đặt tối ưu:

- Số lần đặt hàng tối ưu:

=

- Chi phí tối ưu là:

=

- Chu kỳ dự trữ tiêu thụ tối ưu là:

=

- Điểm đặt hàng tối ưu là:

T0 =

B = 2800000. = 50466

S* = q*.

- Lượng hàng không qua kho là:

r = 73030 – 21909 = 51121

- Tổng lượng hàng không qua kho trong thời gian T = 1 là:

12.2.3 Mô hình dự trữ giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua

- Nhu cầu: Q

- Hệ số : I

- Chi phí đặt hàng: A

- Thời gian đặt hàng: T

giá cả C thay đổi theo số lượng mỗi lần q (q là số lượng)

q C

q < S1

S1 q < S2

S2 q < S3

.................

Sn-1 q

C1

C2

C3

....

Cn

Trong đó: S1 < S2 < S3 < ....... < Sn-1

C1 > C2 > C3 > ....... > Cn

Xác định: n, t, E(q*), q* (hàng hóa bổ sung tức thời)

Hàm dự trữ:

F(q) = F1(q) khi q

F2 (q) khi q

Fn-1(q) khi q

Fn(q) khi q

Lúc đó ta sẽ có lượng hàng tối ưu tính theo giá: Ci

- Xét bài toán 2 mức giá: 0 < q < S1

- B1: Lượng hàng đặt tối ưu:

+ Nếu

+ Nếu . Tính F2 (S1) =

- B2:

+ Tính F1 (q1*) =

+ Nếu F2(S1) < F1(q1*) --> q* = S1

F2(S1) > F1(q1*) --> q* = q1

*

F2(S1) = F1(q1*) --> q* = S1 hoặc q* = q*

1

Ví dụ: Một công ty kinh doanh bóng điện khả năng tiêu thụ là 10000

(thùng/năm). Chi phí cho mỗi lần đặt mua lâ A = 20 (USD), Hệ số chi phí bảo

quản là I = 0,1, biết cường độ bán ra đều đặn và thời gian nhập kho là không

đáng kể. Nếu mỗi lần đặt mua từ 2000 thùng trở lên thì giá 1 thùng là 120

(USD). Ngược lại, giá 1 thùng là 120,5 (USD).

Yêu cầu: Xác định lượng hàng mua mỗi lần sao cho tổng chi phí min và

các chỉ tiêu tương ứng với thời gian đặt hàng là 90 ngày.

Giải

Ta có: =

Vì q*2 < S1. Ta tính F2(S1) =

=

F1 (q1*) = =

Vì F2(S1) > F1(q1*) --> q* = q1

* = 182

+