Bài 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Jan 30, 2016
Bài 2Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Biến ngẫu nhiên
Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên
X là biến ngẫu nhiên
(
:
)
X
X
B
X(B)
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
Ví dụ Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.
Tung đồng xu 5 lần
Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.
Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất
Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm xuất hiện.
X = 0, 1, 2, …
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.
Hàm xác suất của X:
Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)
ĐK
( ) ( )i if x P X x
( ) 0if x
1
( ) 1n
ii
f x
x1 x2 Xn-1xn
f(x1)
f(x2)
f(xn-1) f(xn)
1
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.
S
S
S
S
H
H
H H
4 khả năng có thể xảy raPhân phối xác suất
x P(x)
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
0 1 2 x
.50
.25
Xác
su
ất
Biến ngẫu nhiên liên tục
Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R. Ví dụ
- Chiều cao, cân nặng.
- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Hàm mật độ xác suất
f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu
) ( ) 0
) ( ) 1
x
ii f x dx
i f x
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Tìm P(a<X<b)?f(x) P a x b( )≤≤
P a x b( )<<=
( ) ( )b
a
P a X b f x dx a b
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Lưu ý:
Do đó
( ) ( ) 0c
c
P X c f x dx
( ( )
( ) ( )
) XP b
P a X b P a X b
a X b P a
Hàm phân phối xác suất
Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau
Xác suất X thuộc (a,b]
( ) xF x P X
)( ( ) ( )b F aP b Fa X
Hàm phân phối xác suất
Tính chất
1) .
2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)
F(b).
3)
0 ( ) 1F x
) lim(
(
( ) 0
) lim ( ) 1x
x
F
F
F x
F x
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất tương ứng p1, p2, …, pn.
Với pi = P(X=xi).
Bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x0
Cụ thể
)xP(X)F(x 00
0
0x x
F(x )i
ip
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
1
1 2
2 3
1
1
1 2
2 1 1
0 ,
,
,)( ) (
,
,1n n n
n
p
p pF x P
x x
x x x
x x xx
p p p x x x
x x
X
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Đặt
X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc”
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung một đồng xu cân đối.
Đặt
X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện mặt hình.
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X
( ) ( )x
F x P X f u dux
Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục
Ví dụXét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
Tìm hàm phân phối F(x). Tính P(1<X<3/2).
2 ,0 23
( 8,
)0
xf x
x
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.
Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
Với pi = P(X=xi) và .
X x1 x2 … xn-1 xn
P p1 p2 … pn-1 pn
1
1n
ii
p
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Kỳ vọng của X
Kỳ vọng thường được ký hiệu là .
Tổng quát
1
n
i ii
EX x p
( )x
EX xP X x
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung con xúc sắc. Đặt
X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.
EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).
Kỳ vọng của X
( )EX xf x dx
Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
Tính EX.
2 ,0 1
0(
,)
xxf x
Tính chất của kỳ vọng
1) EC = C, C: hằng số
2) E(CX) = C.EX
3) E(X + Y)=EX + EY
4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập
5) Cho hàm số h(x), khi đó
nếu X rời rạc
nếu X liên tục
1
( ) ( )n
i ii
Eh x h x p
( ) ( ) ( )Eh x h x f x dx
Tính chất của kỳ vọng
Ví dụ
Cho h(x) = x2, h(X)=X2
nếu X rời rạc
nếu X liên tục
1
22i
n
ii
EX x p
2 2 ( )EX x f x dx
Phương sai của biến ngẫu nhiên
Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình.
Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của
X
Phương sai thường được ký hiệu là 2.
2
2 2
( )
( ) =
VarX E X EX
EX EX
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc
Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Ký hiệu = EX.
hoặc
22
1
( )n
i ii
VarX E X EX x p
22 2
1
2n
ii
VarX EX EX x p
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung 2 đồng xu. Đặt
X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính VarX.
Bảng phân phối xác suất
X 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1VarX = EX2 – (EX)2 = = (0x0.25 + 1x0.5 + 4x0.25) – 1 = 0.5
Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục
Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x).
Ký hiệu = EX.
hoặc
22( ) ( )VarX E X EX x f x dx
22 2 2( )VarX EX EX x f x dx
Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục
Ví dụCho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
Tính EX, VarX.
2 ,0 23
( 8,
)0
xf x
x
Độ lệch tiêu chuẩn
Độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu nhiên, là căn bậc hai của phương sai.
Ký hiệu: .
2 VarX
Tính chất của phương sai
1) Var(c)=0, c:hằng số
2) Var(cX)=c2VarX
Var(X+c)=VarX
3) Var(X + Y) = VarX + VarY nếu X và Y độc lập.