Bahan Pertemuan 6-14 (Matriks)

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

11

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.

[C]=k[A]=[A]k

1583

A

1*45*48*43*4

4A

4203212

4A


22

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)


33

Contoh :

dengan k = 2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

1210

A

1143

B

06106

0353

*2)1143

1210

(*2)(2 BA

06106

2286

2420

1143

*21210

*222 BA

TERBUKTI


44

Contoh :

dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka

(k1+k2)C = k1.C + k2.C

1211

C

51055

1211

*51211

*)32(*)( 21 Ckk

TERBUKTI

51055

3633

2422

1211

*)3(1211

*)2()**( 21 CkCk

PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

55

Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.

Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana


66

Contoh :

013

B

11)0*1()1*2()3*3(013

*123*

BA

123A

000123369

1*02*03*01*12*13*11*32*33*3

123*013

* AB


77

Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya

Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)

Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau

B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A

LATIHAN SOAL MATRIKS

PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS

99

Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku :

A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya


1010

Tentukan hasil A² dan A³

0211

A

2213

0211

02112 AxAA

2635

2213

021123 AxAA


1111

Tentukan hasil 2A² + 3A³

0211

A

4426

2213

22 2A

66915

2235

33 3A

101079

66915

4426

32 32 AA

JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS

1212

Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol

Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.

1341

A

000000

23xO


1313

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

500020001

33xD

500050005

33xD


1414

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

100010001

D

600210542

A

152043001

B

DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS

1515

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan

Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.

Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

1616

Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar

Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

1717

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :

Contoh :

2221

1211

aaaa

A 21122211)det( aaaaA

3152

A 156)det( A

2221

1211)det(aaaa

A

3152

)det( A

METODE SARRUSMETODE SARRUS

1818

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

METODE SARRUSMETODE SARRUS

1919

Contoh :

Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2= 18

102311322

A

MINORMINOR

2020

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A3332

232211 aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A444342

343332

242322

11

aaaaaaaaa

M

MINORMINOR

2121

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS

2222

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan

Contoh :Kofaktor dari elemen a11

232332

23 )1( MMc

TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE

2323

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya


2424

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama|A|

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

3231

222113

3331

232112

3332

232211

131312121111

131312121111

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca


2525

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|

3231

121123

3331

131122

3332

131221

232322222121

232322222121

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMacacaca

2221

121133

2321

131132

2322

131231

333332323131

333332323131

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca


2626

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama|A|

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

2322

131231

3332

131221

3332

232211

313121211111

313121211111

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca


2727

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga|A|

2321

131132

3331

131122

3331

232112

323222221212

323222221212

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMacacaca

2221

121133

3231

121123

3231

222113

333323231313

333323231313

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca

DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA

2828

Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

dstaaaA 332211)det(

1296496)3(2)det( A

TRANSPOSE MATRIKS

2929

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh Aͭ dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.

Contoh : matriks A : berordo 2 x 3

transposenya : berordo 3 x 2

314131

A

311341

tA

TRANSPOSE MATRIKS

3030

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

TT

TTT

TT

TTT

kAkA

ABAB

AA

BABA

).(4

).(3

).(2

).(1

TRANSPOSE MATRIKS

3131

Pembuktian aturan no1 :

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

babababababa

bbbbbb

aaaaaa

BA

232221

131211

bbbbbb

B

232221

131211

aaaaaa

A

2313

2212

2111

aaaaaa

AT

2313

2212

2111

bbbbbb

BT

23231313

22221212

21211111

2313

2212

2111

2313

2212

2111

babababababa

bbbbbb

aaaaaa

BA TT

TERBUKTI

23231313

22221212

21211111

)(babababababa

BA T

TRANSPOSE MATRIKS

3232

Pembuktian aturan no 2 :

232221

131211

aaaaaa

A

2313

2212

2111

aaaaaa

AT

232221

131211

2313

2212

2111

)(aaaaaa

aaaaaa

A

T

TT

TERBUKTI

MATRIKS SIMETRI

3333

Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.

Contoh :1. 2.

002003231

002003231

TA

A

2112

2112

TB

B

AAT

INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS

3434

1A

IAA 1

dcba

A

acbd

bcadA 11

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

3535

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus

TM

))(()det(

11 MadjoinM

M


3636

Contoh Soal :

- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M

065410321

M

043612501

TM


3737

- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya

- Hasilnya :

==> ==>

1454152051824

1454152051824


3838

Hasil Adjoinnya :

Hasil akhir

1454152051824

1454152051824

111M

1454152051824

REFERENSIREFERENSI

3939

1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007

2. http://p4tkmatematika.org/3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Bahan Pertemuan 6-14 (Matriks)

Documents